IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI

IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI POLLACK PRESS, PÉCS

HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI

Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat ellenőizte Macsa Dániel, okl. villamosménök Széchenyi István Egyetem, Győ Kovács Gegely, okl. villamosménök Széchenyi István Egyetem, Győ

HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI IVÁNYI AMÁLIA Műszaki Infomatika Tanszék Pollack Mihály Műszaki és Infomatikai Ka, Pécsi Tudományegyetem POLLACK PRESS, PÉCS 04

A műszaki szakkönyv a Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki és Infomatikai Ka Ménök Infomatikus BSc képzéshez készült 04 ISBN xxxx Első magya nyelvű kiadás, 04 Iványi Amália, 04 Minden jog fenntatva Készült a POLLACK PRESS gondozásában Kiadja a Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki és Infomatikai Ka Nyomta és kötötte Rotai Nyomda Kft. Komló

TARTALOM Bevezetés.... Matematikai összefoglaló...3.. Vektook, műveletek vektookon...3... Skaláis- és vektomennyiségek...3... Pont helyzetvektoa...4..3. Vektoműveletek...5.. Az integál és a deivált fogalma...9... Skalá-vekto és vekto-vekto függvények...9... A vonalintegál...9..3. A felületi integál.....4. A téfogati integál...3..5. Az idő szeinti deivált...4. Statikus elektomos té...6.. Az elektosztatikus té foásmennyiségei...6... Az elektomos töltés...6... Töltésmodellek...8.. A statikus elektomos té intenzitása...0... Az elektomos téeőség vekto...0... Az elektomos feszültség és a potenciál....3. A statikus elektomos té gejesztettsége...5.3.. Az elektosztatika Gauss-tétele...5.4. Egyszeű töltéselendezések tee és potenciálja...7.4.. Pontszeű töltés tee és potenciálja...7.4.. A vonalmenti töltéssűűség tee és potenciálja...8.5. Elektomos té anyag jelenlétében...30.5.. Vezetők, szigetelők...30.5.. A kapacitás, kondenzátook...3.5.3. Elektóda endszeek ön- és észkapacitása...40.5.4. Szigetelők, dielektikumok...43.5.5. Folytonossági feltételek...45.5.6. Keeszt- és hossziányú étegezés...47

vi TARTALOM.6. Enegiaviszonyok az elektomos tében... 50.6.. Töltése ható eő, munkavégzés... 50.6.. Töltött elektódaendsze enegiája... 5.6.3. Elektódaendsze enegiája és a kapacitás kapcsolata... 53.6.4. Az elektomos té enegiasűűsége... 54.6.5. Elektomos eőhatás és a vituális munka elve... 55.7. Ellenőző kédések... 56.8. Gyakoló feladatok... 56 3. Stacionáius áam elektomos tee... 78 3.. Az áamlási té foásmennyisége, az elektomos áam... 78 3... Áammodellek... 79 3.. A stacionáius áamlási té gejesztettsége és intenzitása... 8 3... A stacionáius elektomos té gejesztettsége... 8 3... A stacionáius áamlási té intenzitása... 8 3.3. Vezető anyag elektomos tében... 83 3.4. Analógia a statikus és a stacionáius té között... 86 3.5. Folytonossági feltételek két közeg hatáfelületén... 87 3.5.. Az elektomos téeősség viselkedése közeghatáon... 87 3.5.. A áamsűűség vekto viselkedése közeghatáon... 88 3.5.3. Vezető közegek töéstövénye... 89 3.5.4. Következmények... 90 3.6. A beiktatott téeősség és a diffeenciális Ohm-tövény... 90 3.6.. A beiktatott téeősség... 90 3.6.. A diffeenciális Ohm-tövény... 9 3.6.3. Az áamfoás... 93 3.6.4. Az áamvezető teljesítménye... 93 3.7. Ellenőző kédések... 94 3.8. Gyakoló feladatok... 95 4. Stacionáius mágneses té... 03 4.. A mágneses té jelenléte... 03 4... A mágneses dipólus... 03 4... A mágneses indukció... 04 4..3. Mozgó töltése ható mágneses eő... 04 4..4. Áamvezetőe ható mágneses eő... 05 4.. A mágneses té intenzitása és gejesztettsége... 07 4... A mágneses fluxus... 07 4... A mágneses indukció foásmentessége... 08 4..3. A gejesztési tövény... 09 4..4. A Biot-Savat-tövény... 0 4..5. A gejesztési tövény alkalmazása... 4.3. Az ön- és kölcsönös induktivitás... 4 4.3.. Vezető huok önindukciós-együtthatója... 4 4.3.. Illusztációs példa... 4 4.3.3. Vezetők kölcsönös indukciós-együtthatója... 5 4.3.4. Illusztációs példa... 7

TARTALOM vii 4.4. Mágneses té és anyag kölcsönhatása...8 4.4.. A mágnesezettség vektoa és a pemeabilitás...8 4.4.. Mágneses anyagok típusai...0 4.4.3. A mágneses té folytonossági feltételei két közeg hatáán...3 4.5. Mágneses köök számítása...8 4.5.. A mágneses ellenállás és a mágneses Ohm-tövény...33 4.6. Ellenőző kédések...34 4.7. Gyakoló feladatok...35 5. Időben változó elektomágneses té...45 5.. Időben változó mágneses té...45 5... Nyugalmi indukció...45 5... Lenz-tövény...47 5..3. Faaday-féle indukció tövény...48 5.. A mozgási indukció...48 5.3. Időben változó áam mágneses tee...49 5.3.. Önindukció jelensége...49 5.3.. Kölcsönös indukció jelensége...50 5.3.3. Tekecsek soos és páhuzamos kapcsolása...5 5.4. A mágneses té enegiája...54 5.4.. Tekecs enegiája...54 5.4.. Csatolt tekecsek enegiája...54 5.4.3. A mágneses té enegiasűűsége...55 5.4.4. Belső indukciós együttható...56 5.4.5. A mágneses eőhatás és a vituális munka elve...57 5.5. Időben változó elektomos té...58 5.5.. A folytonossági egyenlet...58 5.5.. Az eltolási áam...59 5.5.3. A kondenzáto áama...6 5.6. Az elektomágneses té alapaxiómái...6 5.6.. Az elektomágneses té enegiaviszonyai...6 5.6.. A Maxwell-egyenletek...64 5.7. Ellenőző kédések...66 5.8. Gyakoló feladatok...67 5.9. További gyakoló feladatok...75 6. Villamos hálózatok...8 6.. A endsze és a hálózat...8 6... A endsze opeátoa...8 6.. Kichhoff-típusú hálózatok...83 6... Rezisztív hálózatok komponensei és kaakteisztikájuk...84 6... Dinamikus hálózatok komponensei...88 6..3. Dinamikus komponensek kaakteisztikái...89 6..4. Dinamikus komponensek enegiaviszonyai...9 6..5. Csatolt kondenzátook...94 6..6. Csatolt tekecsek...95

viii TARTALOM 7. Hálózati egyenletek... 97 7.. Kichhoff-tövények... 97 7... Kichhoff áamtövénye... 97 7... Kichhoff feszültségtövénye... 98 7..3. Hálózati egyenletek felíása... 99 7.. Kichhoff-egyenletek fundamentális endszee, gáfelméleti alapok... 0 7... A hálózat gáfja... 0 7... A hálózat nomál fája... 04 7..3. Fundamentális vágatendsze... 05 7..4. Fundamentális huokendsze... 06 7.3. Ellenőző kédések... 07 7.4. Összekapcsolási kényszeek szisztematikus felíása... 07 8. Rezisztív hálózatok... 0 8.. A hálózati egyenletekteljes endszee... 0 8... A hálózati egyenletek edukált endszee... 8.. Ellenállások soos és páhuzamos kapcsolása... 8... Ellenállások soos kapcsolása... 3 8... Ellenállások páthuzamos kapcsolása... 4 8.3. A szupepozíció módszee... 6 8.4. Helyettesítő geneátook tétele... 8 8.4.. A helyettesítő kapcsolások paaméteei... 8 8.4.. Teljesítményillesztés... 3 8.5. Ellenőző kédések... 33 8.6. Gyakoló feladatok... 34 9. Szinuszos gejesztés válasza... 65 9.. A szinuszos lefolyású gejesztő jel jellemzői... 65 9.. A komplex fomalizmus... 68 9.3. Műveletek komplex számokkal... 70 9.3.. A komplex szám algebai alakjából az exponenciális alak... 70 9.3.. A komplex szám exponenciális alakjából az algebai alak... 7 9.3.3. A komplex szám konjugáltja... 7 9.3.4. Két komplex szám összege, különbsége algebai alakban... 7 9.3.5. Komplex szám és konjugáltjának összege, különbsége... 7 9.3.6. Két komplex szám szozata algebai alakban... 73 9.3.7. Két komplex szám szozata exponenciális alakban... 74 9.3.8. Komplex szám szozata a konjugáltjával... 74 9.3.9. Két komplex szám hányadosa exponenciális alakban... 75 9.3.0. Két komplex szám hányadosa algebai alakban... 75 9.4. A komplex fomalizmus alkalmazása... 76 9.4.. A jel komplex csúcsétéke... 76 9.4.. Hálózati egyenletek komplex fomalizmus esetén... 77 9.4.3. A komplex impedancia... 8 9.5. Hálózatszámítás a komplex fomalizmus alkalmazásával... 84 9.5.. Impedanciák soos és páhuzamos kapcsolása... 84 9.5.. Áam- és feszültségosztás... 85

TARTALOM ix 9.5.3. A szupepozíció módszee komplex fomalizmus esetén...86 9.5.4. Helyettesítő geneátook elve komplex fomalizmus esetén...86 9.5.5. Csatolt tekecsek és a komplex fomalizmus...89 9.5.6. Kiegyenlített hídkapcsolás...89 9.5.7. Rezgőköök...9 9.6. A teljesítmény...94 9.6.. A pillanatnyi teljesítmény...95 9.6.. A hatásos teljesítmény...96 9.6.3. A látszólagos teljesítmény és a teljesítménytényező...96 9.6.4. A meddő teljesítmény...98 9.6.5. A komplex teljesítmény...99 9.6.6. Teljesítményillesztés...300 9.7. Ellenőző kédések...30 9.8. Gyakoló feladatok...30 0. Hálózatok fekvencia függése...34 0.. Az átviteli tényező fogalma...34 0.. Az átviteli kaakteisztika...36 0... Néhány egyszeű hálózat átviteli kaakteisztikája...37 0.3. Az átviteli kaakteisztika ábázolása lineáis-lineáis skálán...38 0.3.. Néhány hálózat átviteli kaakteisztikájának lineáis-lineáis ábázolása...39 0.4. Az átviteli kaakteisztika ábázolása a komplex számsíkon, a Nyquist-diagam...39 0.4.. Néhány egyszeű hálózat Nyquist-diagamja...330 0.5. Az átviteli kaakteisztika logaitmikus ábázolása, a Bode-diagam...33 0.5.. A logaitmikus egységek...333 0.5.. Az átviteli kaakteisztika nomál alakjai...334 0.5.3. A nomál alakok ábázolása, Bode-diagamja...335 Felhasznált iodalom...340 Tágymutató...34

BEVEZETÉS A Hadveek Villamosságtani Alapjai c. műszaki szakkönyv a ménök infomatikus BSc képzéshez készült, ahol, a szakkönyvben feldolgozott témaköök az azonos elnevezésű tágy keetében keülnek feldolgozása. A kötet célja megalapozni a ménök infomatikus képzésben észtvevő hallgatók ménöki ismeeteinek fizikai és villamosságtani alapjait, ezzel is elősegítve a szaktágyakban (Elektonika, Jelek és endszeek, Méésadatgyűjtés és jelfeldolgozás) előfoduló fizikai jelenségek és technológiai folyamatok matematikailag megfogalmazott, a számítógép nyelvée lefodítható ismeeteinek átadását. A műszaki szakkönyv a fizikai jelenségek, technológiai folyamatok köéből csak néhány, a szakképzés soán a szaktágyakban felhasználása keülő kédések tágyalásával foglalkozik. A szakkönyv két nagy észe tagolódik, az elektomágneses teek elemi tágyalásáa és ezt követi a villamos hálózatok fogalma és alapvető számítási eljáásainak összefoglalása. Az. fejezetben a matematikai összefoglaló közös leíási mód és nyelv kialakításáa szolgál. A. fejezetben az elektosztatikai tészámítási modell összefüggései keülnek bevezetése. A 3. fejezetben a stacionáius áamlási té, a 4. fejezetben a stacionáius mágneses té összefüggéseinek tágyalásáa keül so. Az 5. fejezet keetében keül so az időben változó elektomágneses té alapjainak bevezetésée, a Maxwell-egyenletek teljes endszeének összefoglalásáa és az elektomágneses té enegiaviszonyainak ismetetésée. A 6. fejezet témája a villamos hálózatok komponenseinek és kaakteisztikáinak ismetetése. A 7. fejezet a hálózati egyenletek felíásával foglalkozik, köztük a gáfelméleti alapok ismetetése után a hálózat topológiáján alapuló összekapcsolási kényszeek, a Kichhoff-egyenletek szisztematikus felíásáa ad eljáást. A 8. fejezet ezisztív hálózatok számítási eljáásait ismeteti, és végül a 9. fejezet a komplex fomalizmus bevezetésével a szinuszos gejesztésű hálózatok állandósult üzemmódbeli számítási eljáásait tágyalja. A 0. fejezet tágyalja a villamos hálózatok fekvenciafüggését, az átviteli kaakteisztika fogalmát, valamint annak lineáis-lineáis skálán való ábázolását, a Nyquist és a Bode diagamok megszekesztésének elveit és ételmezését. A műszaki szakkönyv elsősoban a hazai felsőfokú képzés szakkönyveie támaszkodik, de felhasználja a szomszédos oszágok hasonló témájú egyetemi

BEVEZETÉS jegyzeteit és szakkönyveit is, alkalmazva a ménöki megismeési folyamatok szabályait. A műszaki életben előfoduló, a szakkönyvben tágyalt fejezeteknek a matematika szigoú szabályai szeinti megfogalmazása azt a készséget kívánja az Olvasóban, a hallgatóban kialakítani, hogy az itt nem tágyalt, de a ménök infomatikus szakmai pályafutása soán előfoduló jelenségek vizsgálatához kellő bátoságot és szakmai ismeetet adjon. A műszaki szakkönyv egyes fejezetei végén lévő feladatok és megoldásaik a tágy oktatásához és tanulásához nyújtanak segítséget. Köszönetemet fejezem ki a Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Ka Műszaki Infomatika Tanszéken oktató, dolgozó kollégáimnak és hallgatóimnak a bátoításét és könyv megíása soán nyújtott segítségét. Pécsett, 04. decembe Iványi Amália

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ A fejezet néhány olyan matematikai összefüggést tágyal, azok egzakt bizonyítása nélkül, amelyetek a Hadveek Villamosságtani Alapjai c. tágy tágyalása soán felhasználása keülnek... Vektook, műveletek vektookon... Skaláis és vektomennyiségek Az olyan mennyiségeket, amelyek pozitív és negatív számokkal jellemezhetők skaláis mennyiségeknek nevezzük. Ilyen, pl. a töltés, a tömeg, a hőméséklet, a sűűség, a munka, stb. Azokat a mennyiségeket viszont, amelyek megadásához nagyságuk, méetük mellett még tébeli helyzetüke, iányaika is szükség van, vektomennyiségeknek nevezzük. Pl. az eő, a sebesség, a gyosulás, az elektomos és a mágneses téeősség, stb. vekto mennyiségek. Mind a skaláis, mind a vektomennyiségek a hely és idő függvényében változhatnak. Amíg egy adott időpillanatban egy adott helyen a skaláis mennyiséget egy pozitív vagy negatív étékű számadat és a métékegysége jellemzi, addig egy adott helyen egy adott időpillanatban a vektomennyiséget a nagysága és métékegysége mellett az iánya is meghatáozza. Az F = F e F (.) vektomennyiség F nagysága a vekto hosszával, a vekto F abszolút étékével adható meg, F = F, (.)

4. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ a vekto e F iányát az F vekto iányába mutató ef = F F (.3) egységvekto definiálja. Az. ábán látható F vekto az A pontból a B pont felé mutat, hossza F, iányát az A B pontokat összekötő egyenes iányába, az A pontból a B pont felé mutató e F egységvekto adja meg... ába. Az F vekto ábázolása... Pont helyzetvektoa A deékszögű, Descates-koodináta-endszeben az x, y, z koodinátákkal jellemzett P x y, z P pont helye (. ába) a koodináta-endsze oigójából a P (, ), azaz a ( ) pont felé mutató helyzetvektoal adható meg, ahol az helyzetvekto az x, y, z koodináta-vetületeivel és a koodináta-tengelyek iányába mutató ex, e y, ez egységvektookkal a következő: = xex + ye y + zez. (.4).. ába. P pont a deékszögű koodináta-endszeben Két vekto akko tekinthető egyenlőnek, ha az abszolút étékük egyenlő, és a vektook iánya is megegyezik, azaz páhuzamosak és egyenlő nagyságúak.

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 5..3. Vektoműveletek Vektookon alkalmazott lineáis opeációk az összeadás, a kivonás és az állandóval való szozás. Legyen és két helyzetvekto, a deékszögű koodináta-endszebeli (Descates-féle) koodináta-vetületeivel adott, = xe x + ye y + ze z, = xex + ye y + zez. (.5) (i) A két helyzetvekto összege az = +, (.6) azaz vekto, amelye az + = 0 összefüggés fennáll, azaz az, és a vektook zát háomszöget (több vekto esetén zát sokszöget) alkotnak (.3 ába). Az eedő vekto koodináta-vetületei a komponensek koodináta-vetületeinek összegeként adható meg, azaz =. (.7) ( x + x ) e x + ( y + y ) e y + ( z + z ) e z.3. ába. Két helyzetvekto összege (ii) A két helyzetvekto különbsége az és a vektook összege, =. (.8) A különbségi vekto koodináta-vetületei a komponensek koodináta-vetületeinek különbségével a következő alakban fejezhető ki (.4 ába), =. (.9) ( x x ) e x + ( y y ) e y + ( z z ) e z

6. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ.4. ába. Két helyzetvekto különbsége Az helyzetvektonak valamely c állandóval való szozata a vekto hosszának, abszolút étékének a megnövelését ( c > ), ill. csökkentését ( c < ) eedményezi = c ( ) ( ) ( ) = cxe x + cye y + cze z, = cx + cy + cz = c. (.0) (iii) Két vekto skaláis szozata skaláis mennyiség. Az és az vektook = skaláis szozatának a két vekto abszolút étékének, és a két vekto által bezát kisebbik ϕ szög koszinuszának szozatával kapott = cosϕ skaláis mennyiséget nevezzük, (.5 ába), = cosϕ. (.).5. ába. Két vekto skaláis szozata A deékszögű Descates-féle koodináta-endszeben a páhuzamos egységvektook skaláis szozata egységnyi skaláis étéket eedményez, míg az egymása meőleges egységvektook skaláis szozata nulla étéket ad (.6 ába),.6. ába. Egységvektook skaláis szozata

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 7 ex ex =, ex e y = 0, e y e y =, e y ez = 0, ez ez =, ez ex = 0. (.) Az = vektook skaláis szozatának eedménye a koodináta-komponensekkel is megadható, ha figyelembe vesszük az egységvektook skaláis szozataia vonatkozó (.) összefüggést. Így az skaláis szozat a következő alakban íható: ( xe x + ye y + ze z ) ( xex + yey + zez ) = xx + y y + z = z. (.3) Két vekto = cosϕ skaláis szozata úgy is ételmezhető, mint az egyik vektonak a másik vektoa eső vetülete, azaz cosϕ, szoozva a másik vekto hosszával (.7 ába)..7. ába. Az vektonak az vektoa vonatkozó vetülete (iv) Két vekto vektoiális szozata vektot eedményez. Az és az vektook = vektoiális szozatának azt az vektot tekintjük, amelynek az sinϕ hosszúsága az és az vektook által kifeszített paalelogamma teületével egyenlő, iánya pedig meőleges mind az mind az vektoa, olyan iányítással, hogy az, az és az vektook jobbsodású hámast alkotnak (.8 ába), = sinϕ e, e = e e. (.4) A deékszögű, Descates-féle koodináta-endszeben a páhuzamos egységvektook vektoiális szozata nullahosszúságú vektot eedményez, míg az egymása meőleges egységvektook vektoiális szozata mindkét vektoa meőleges, egységnyi hosszúságú, egységvektot ad (.9 ába)

8. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ.8. ába. Az és az vektook vektoiális szozata.,,,,, z z y y x x y x z x z y z y x 0 0 0 = = = = = = e e e e e e e e e e e e e e e (.5).9. ába. Egységvektook vektoiális szozata Figyelembe véve az egységvektook vektoiális szozataia vonatkozó fenti összefüggéseket, két vekto vektoiális szozata a vektook koodináta-komponenseivel is kifejezhető a következő detemináns kiétékelésével: ( ) ( ) ( ). x y y x x z z x y z z y z y x z y x z y x z y x + = = = e e e e e e (.6) A vektook szozatainak tulajdonságai közül ki kell emelni a skaláis szozat kommutatív tulajdonságát, míg meg kell jegyezni, hogy a vektoiális szozat nem kommutatív, azaz vektoiális szozat elemeinek felcseélése ugyanolyan nagyságú, de ellenkező iányú vektot eedményez, vagyis, = =. (.7)

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 9.. Az integál és a deivált fogalma... Skalá-vekto és vekto-vekto függvények Az olyan Φ skaláis mennyiséget, amely a geometiai té egy tatományának minden helyzetvekto által kijelölt pontjában meghatáozott étéket vesz fel Φ = Φ ( ), skalá-vekto függvénynek nevezzük. Ilyen skalá-vekto függvény pl. a hőméséklet, a sűűség, a skalápotenciál, stb. Az olyan V vektomennyiséget, amely a geometiai té egy tatományának minden helyzetvekto által kijelölt pontjában meghatáozott vekto étéket vesz fel V = V ( ), vekto-vekto függvénynek nevezzük. Ilyen pl. a sebesség, az elektomos és a mágneses téeősség, stb.... A vonalintegál Mint ismeetes, ha a geometiai té valamely pontjában egy ( ) tömegponta, amely az eő hatásáa valamely iányba tömegpont W munkát végez, ( ) l F eő hat egy l elmozdulást végez, akko a W = Fl, (.8) ahol F l ( ) = F l ( ) e l az eőnek az elmozdulás iányába mutató, F ( n ) az elmozdulás iányáa meőleges komponense, l pedig az út hossza (.0a ába), míg e l az elmozdulás iányába mutató egységvekto. A fenti (.8) összefüggés a vektook skaláis szozata alapján megadható az eő és az elmozdulás vektoainak skaláis szozataként W = F l, W = F l cosϕ = Fl. (.9) F Ha az ( ) ( ) l eő hatásáa az elemi tömegpont az A pontból a B pontba mozdul el valamely l út mentén, akko az út elemi szakaszain végzett munkavégzések összege az A pontból a B pontba való elmozdulás soán kifejtett munkát eedményezi (.0b ába) N W AB = W k. (.0) k =

0. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ a) b).0. ába. a) Az elemi tömegpont F l eő hatásáa a l úton való elmozdulása b) A vonalintegál ételmezése, a munkavégzés számítása Ezt a munkát úgy hatáozhatjuk meg, hogy az A B pontok közötti útszakaszt N elemi észe bontjuk. A k adik elemi útszakaszt a l k, k =,, L, N vekto jellemzi. Minden elemi szakasz belsejében felveszünk egy k helyzetvektot, és ott meghatáozzuk az Fk ( k ) eőhatás nagyságát, amelyet az elemi elmozdulás-vektoal skaláisan szoozva a k adik szakaszon végzett munkát kapjuk Wk = F ( k ) lk, k =,, L, N. (.) Az összes elemi szakaszon kapott munkavégzéseket összegezve a két pont közötti munkavégzéshez jutunk N W AB = W k k = N = F k = k lk. (.) ( ) Ha az elemi szakaszok hosszát minden hatáon túl csökkentjük, akko az A B út elemi l k szakaszainak végtelen finom, infinitezimálisan kicsiny d l osztása szeinti összegezéshez, az F ( ) eőnek az A B pontok közötti vonalintegáljához, a tömegpont elmozdításához szükséges munkavégzéshez jutunk, azaz N B W AB = lim F ( k ) lk = F ( ) dl. (.3) lk 0 k = A Minthogy a klasszikus fizika ételemben az A pontból a B pontba való elmozdulás soán végzett munka valamint a B pontból az A pontba való visszatéés soán végzett összes munka nulla,

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ B A WABA = F d A B ( ) dl + F ( ) l = 0, (.4) ahonnan az integál alsó és felső hatáainak felcseélése az integál eedményében egy negatív előjelet eedményez B F A A = dl. (.5) B ( ) dl F ( ) Adjuk meg az F ( ) eőt az eő F ( ) = F ( ) abszolút éétkével és az eő iányába mutató e s F egységvektoal, F ( ) = F( ) ef, valamint az A B pontok közti elmozdulást az l úthossz l = l abszolút étékével (hosszával), valamint az elmozdulás éintője iányába mutató e l egységvektoal, l = lel. A fenti jelöléseket az (.3) kifejezésbe helyettesítve az A B pontok közti elmozdulás soán végzett munka kifejezésée a következőt kapjuk B F A B A ( ) dl = F( ) dl ef el. (.6) Vegyük figyelembe, hogy a két egységvekto, e F, el skaláis szozata az F ( ) eő és az l útszakasz éintője közti szög koszinuszát eedményezi, így a fenti (.6) kifejezés az eőnek az elmozdulás iányába eső vetületének az elmozdulás menti integálját adja B F A F l ( ) dl e e = B F cosϕ dl A. (.7)..3. A felületi integál Mint ismeetes, ha egy felületen mágneses indukcióvonalak mennek át, azok összege a felület fluxusát adják. Ennek meghatáozásához tekintsük az. ábát, ahol az a felület a felület a méőszámával és a hozzá endelt n felületi nomálissal adható meg, a = a n. Bontsuk fel az. ábán látható a felületet N elemi a k k =,, L,N felülete, amely belsejében az k helyzetvekto egy pontot hatáoz meg. A megfelelően kis méetű elemi a k felület minden k pontjában a Bk ( k ) mágneses indukcióvekto

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ állandónak tekinthető. Ezen elemi felületeken a B k indukcióvektonak az elemi felület nomálisával való skaláis szozata a B k indukcióvektonak a felülete meőleges komponensét eedményezi ( B ) B n k n = k (.3 ába)... ába. Az elemi felület ételmezése.. ába. A felületi integál ételmezése Ekko a a k elemi felület Ψk.3. ába. Az elemi felület fluxusa Ψ = n a fluxusa k ( k ) k B, azaz Ψ k = Bk ak, k =,, L, N. (.8) A teljes felület Ψ fluxusa az elemi felületek fluxusainak összege, N N Ψ = Ψk = Bk ( k ) ak. (.9) k = k =

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 3 Ha az elemi felületek méetét minden hatáon túl csökkentjük, akko egy végtelen sok infinitezimálisan kicsiny elemből álló összeghez, a B indukciónak az a felülete vett integáljához jutunk, N Ψ = lim Bk ak = B( ) da. (.30) ak 0 k = a Egy zát felületen a belépő fluxus ki is lép, (.4 ába) B da = Ψ, B da = Ψ, (.3) a a és minthogy Ψ = Ψ, így a zát felület fluxusa nulla, B da = 0. (.3) a.4. ába. Zát felület fluxusa..4. A téfogati integál Egy test tömegét a ρ sűűsége és a v téfogata hatáozza meg. Ha azonban a test sűűsége nem állandó, hanem a geometiai té egyes k, k =,, L, N pontjaiban másmás étéket vesz fel ρ k = ρ( k ), a test tömege a test sűűségfüggvényének a téfogata vett integáljával hatáozható meg. Bontsuk fel a test v téfogatát olyan N számú elemi v k k =,, L, N téfogatoka, amelyek helyzetét az k kelyzetvektoal lehet jellemezni. Tekintsük az elemi v k, k =,, L,N téfogat k pontjában a test ρ k = ρ( k ) sűűségét állandónak, ekko az elemi téfogat mk tömegét a következő szozattal fejezhetjük ki (.5 ába): mk = ρ k vk, k =,, LN. (.33)

4. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ.5. ába. Az elemi téfogat A teljes v téfogat m tömege ezen elemi (.6 ába) mk tömegek összegeként állítható elő, N N m = m k = ρ k vk. (.34) k = k =.6. ába. A téfogati integál ételmezése Ha az elemi vk téfogatok méeteit minden hatáon túl csökkentjük, ugyancsak egy végtelen sok infinitezimálisan kicsiny elemből álló összeghez, a test ρ ( ) sűűségének a v téfogata vonatkozó integáljához jutunk, N m = lim ρ k vk = ρ( ) dv. (.35) vk 0 k = v..5. Az idő szeinti deivált Tekintsük egy téfogatban elhelyezkedő Q ( t) töltés időbeli változását (.7 ába). t = időpillanatban az töltés étéke Q( ) t = t időpillanatban Legyen a t Q = t, a Q = Q( t ). A téfogat töltése t = t t idő alatt Q = Q Q étékkel változik meg. A téfogat töltésének megváltozásáa a töltés idő szeinti diffeenciálhányadosa ad

. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 5 tájékoztatást, amely a t időegység alatt létejött hányadosának azon hatáétékével adható meg, amiko az idő tat Q töltés megváltozás t növekménye nullához dq Q = lim. (.36) dt D t 0 t.7. ába. Az idő szeinti diffeenciálhányados ételmezése Ha az.7 ábán a t időpillanat megegyezik a t időpillanattal, azaz t nullához tat, az (.36) diffeenciálhányados a Q töltés időfüggvényének t időpillanatbeli éintőjét adja.

. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A nyugvó töltések időben állandó elektomos teet keltenek, amelyet statikus elektomos tének, az elektomágneses témodellt elektosztatikus tének nevezzük. Az elektosztatikus té jelenlétét a töltéseke gyakoolt hatásán, a Coulomb-eőn keesztül lehet kimutatni. Az elektomos teet foásmennyiségekkel és téjellemzőkkel lehet jellemezni... Az elektosztatikus té foásmennyiségei... Az elektomos töltés Az elektosztatikus té foása az anyag elemi észecskéit jellemző elektomos töltés, amely az elekton e =,6 0 9 C töltésének egész számú többszööseként, kvantáltan fodul elő, ahol C = coulomb az elektomos töltés métékegysége. Minthogy a töltés az egyes anyagi észecskék egyik jellemző mennyisége, az anyagmegmaadás tövénye egyben a töltésmegmaadás tövényét is magában foglalja. Ez azt jelenti, hogy habá az elektomos töltés tébeli eloszlása változhat a pozitív és a negatív töltések összege mindig nulla maad. A töltés métékegysége, az coulomb nagyon nagy egység, ezét kisebb egységeit alkalmazzuk, úgy, mint milli-coulomb ( C = 03mC ), miko-coulomb ( C = 06µC ), nano-coulomb ( C = 09nC ) és piko-coulomb ( C = 0pC ), azaz C = 0 3 mc = 06 µc = 09 nc = 0 pc. (.) A töltés métékegységét az SI-endszeben (System Intenational) Nemzetközi Métékegység endszeben az áam métékegységée vezetik vissza, azaz C = As, azaz ampesekundum. Az elektomágneses té analízisénél nem atomi szintű vizsgálatoka keül so, ugyanis egy piko-coulomb töltés létehozásához

. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 7 0 C N =,6 0 9 6,5 06 számú elekton szükséges, ezét a ménöki gyakolatban az elektomágneses té összefüggései statisztikus tövényekkel íhatók le. Az elektomos töltések jelenlétét az egymása kifejtett eőhatáson keesztül lehet kimutatni. Két pontszeűnek tekinthető Q és Q elektomos töltésű test között fellépő eő a tapasztalati Coulomb-tövénnyel fejezhető ki (. ába). A Coulomb-tövény szeint az eőhatás nagysága, amely a Q és Q töltésű, a két töltés közötti távolsághoz képest kis méetű töltött test között fellép, aányos a két töltés szozatával és fodítottan aányos a két töltés közötti távolság négyzetével és a teet kitöltő homogén, izotop közeg ε anyagjellemzőjével Q Q F =. 4πε.. ába. A Coulomb-tövény ételmezéséhez Az eő iánya a két töltést összekötő egyenes iányába esik. Azonos előjelű töltések taszítják egymást, míg ellenkező előjelű töltések vonzóeőt gyakoolnak egymása (. ába)... ába. Az elektomos töltés ételmezése az eőhatás alapján A fenti kifejezésben ε az anyag pemittivitása, dielektomos állandója, amely a vákuum ε 0 pemittivitásának és a közege jellemző ε elatív pemittivitásának a szozata

8. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ahol ε = ε0 ε, 0 9 As ε 0 = 8,86 0 F m, (.) 4 π 9 Vm míg ε, a elatív pemittivitás dimenzió nélküli szám. A levegő elatív pemittivitása közel egy, ε.... Töltésmodellek Egy adott téészen a töltés különböző eloszlású lehet. (i) Pontszeű töltés. Egy kisméetű test Q töltése pontszeűnek tekinthető, amely az elektosztatikában időben állandó Q = Q0, míg általában időben változó Q = Q() t mennyiség lehet. (ii) Téfogati töltéssűűség. Ha a Q ( t) töltés egy téfogatban oszlik el, akko a töltéseloszlás ρ (,t) téfogati töltéssűűséggel modellezhető. Feltéve, hogy az elemi v téfogatban Q ρ,t téfogati töltéssűűségnek a pontszeűvé zsugoított elemi téfogat töltését tekintjük, métékegysége C m3, töltés helyezkedik el (.3 ába), a ( ) Q C ρ(, t) = lim, [ ρ] =. (.3) v 0 v m3.3. ába. A téfogati töltéssűűség ételmezése A ρ (,t) téfogati töltéssűűség ismeetében a v téfogat ( t) integál felhasználásával hatáozható meg: Q töltése a következő

. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 9 Q () t = (, t) ρ dv. v (iii) Felületi töltéssűűség. Ha a téfogat h magassága elhanyagolható az a felületéhez képest, akko a téfogatban elhelyezkedő Q ( t) töltéseket felületi töltéssűűséggel modellezzük. Amennyiben az a felület a elemén Q töltés helyezkedik el (.4 ába), a σ (,t) felületi töltéssűűség a felület egy pontjáa vonatkoztatott töltésmennyiség, métékegysége C m, Q C σ (, t) = lim, [ σ ] = a 0 a m. (.4).4. ába. A felületi töltéssűűség ételmezése A felületi töltéssűűség ismeetében a felület össztöltése meghatáozható Q () t = (, t) σ da. a (iv) Vonalmenti töltéssűűség. Ha azonban a téfogat keesztmetszete hanyagolható el a téfogat hosszához képest, akko a téfogatban lévő töltéseloszlás vonalmenti töltéssűűséggel modellezhető. Feltéve, hogy a kis keesztmetszetű téfogat hossza mentén a l szakaszon Q töltés helyezkedik el (.5 ába) a q (,t) vonalmenti töltéssűűség a kis keesztmetszetű téfogat hossza mentén adja meg a töltéseloszlást, métékegysége C m, Q C q(, t) = lim, [] q =. (.5) l 0 l m.5. ába. A vonalmenti töltéssűűség ételmezése

0. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A vonalmenti töltéssűűség ismeetében a kis keesztmetszetű téfogat l hossza mentén az összes töltés a következőképpen hatáozható meg Q () t q(, t) = l dl. (v) Összefoglalva, valamely a felülettel hatáolt v téfogat összes töltése (.6 ába) ρ,t téfogati töltéssűűség, a téfogatot hatáoló a téfogatban helyet foglaló ( ) hatáfelületen elhelyezkedő σ (,t) felületi töltéssűűség, a téfogat belsejében az l hosszúságú szakasz q (,t) vonalmenti töltéseloszlása, valamint a téfogatban lévő Q () t pontszeű töltések figyelembevételével a következő Q ρ + + i. v a l i () t = (, t) dv + σ (, t) da q(, t) dl Q ( t).6. ába. Valamely téfogat összes töltése Megjegyzés. Minthogy elektosztatikus tében nyugvó töltések teét vizsgáljuk, így a töltések és eloszlásuk is időben állandó étékűek, azaz a pontszeű töltés Q, a különböző töltéssűűségek a geometiai tében állandók, vagy hely szeint változhatnak. Így a téfogati töltéssűűség ρ, ill. ρ ( ), a felületi töltéssűűség σ, ill. σ ( ) vonalmenti töltéssűűség pedig q, ill. q ( )., a.. A statikus elektomos té intenzitása... Az elektomos téeősség vekto A nyugvó töltések keltette elektosztatikus té jelenlétét a geometiai té valamely pontjában elhelyezett egységnyi Q póbatöltése ható F = Q E