Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát: Függvényvizsgálat. f HL := 4-4. f HL := - 4 + 8. f HL := 5 + 5 4 4. f HL := 5. f HL := 6. f HL := - 9. f HL := + + 0. f HL := - 7. f HL :=. f HL := e - 4. f HL := e - 5. f HL := ln + - 8. f HL := H- L. f HL := -. f HL := H + L - ü A függvényvizsgálat lépései. D f ; zérushelyek (ha megállapítható); paritás; periodicitás; határértékek + -ben, - -ben (ha van értelme), szakadási pontokban, határpontokban. f ' vizsgálata (monotonitás, lokális szélsőértékek). f " vizsgálata (konveitás, konkávitás, infleiós pontok). 4. Lineáris aszimptoták 5. f ábrázolása, R f meghatározása ü Emlékeztető Tétel: Ha az f függvény deriválható az értelmezési tartományának egy 0 belső pontjában, akkor az 0 -beli lokális szélsőérték létezésének. szükséges feltétele: f ' H 0 L = 0. elégséges feltétele: al f ' H 0 L = 0 és f ' előjelet vált 0 -ban bl Ha f kétszer deriválható 0 -ban: f ' H 0 L = 0 és f '' H 0 L 0 H f '' H 0 L > 0 : lok.min., f '' H 0 L < 0 : lok. ma.l Tétel: Ha az f függvény kétszer deriválható az értelmezési tartományának egy 0 belső pontjában, akkor az 0 -beli infleiós pont létezésének. szükséges feltétele: f '' H 0 L = 0. elégséges feltétele: al f '' H 0 L = 0 és f '' előjelet vált 0 -ban bl Ha f háromszor deriválható 0 -ban: f '' H 0 L = 0 és f ''' H 0 L 0 ü Aszimptoták Definíció (Függőleges aszimptota): Az = a egyenes az f függvény függőleges aszimptotája, ha f HL = vagy ha Øa+ f HL =. Øa- Definíció (Vízszintes aszimptota): Az y = b egyenes az f függvény vízszintes aszimptotája, ha f HL = b vagy ha f HL = b. Ø Definíció (Ferde aszimptota (tartalmazza a vízszintest is)): Az lhl = a + b egyenes az f függvény ferde aszimptotája, ha fhl @ f HL - lhld = 0 vagy ha @ f HL - lhld = 0. Ekkor a = és b = @ f HL - a D. Minden olyan racionális törtfüggvénynek van ferde aszimptotája, ahol a számláló fokszáma eggyel nagyobb, mint a nevezőé (ld. 9. és 0. Ø Ø példa).
Függvényvizsgálat.nb Megoldások ü. fhl := 4-4 D f = ; zérushely : = 0 és = 4 f ' HL = 4 - = 4 H - L = 0 ñ = 0 vagy = f '' HL = - 4 = H - L = 0 ñ = 0 vagy = f HL = f HL = + ; R f = @-7, + L <0 0 0<< << < f' 0 0 + f 0 min: 7 f" + 0 0 + 80 60 40 0 f infl:0 infl: 6 - - 4 5-0 ü. fhl := - 4 + 8 50 D f = ; zérushely : = 0 és = ; f páros; f ' HL = -4 + 6 = 4 I- + 9M = 0 ñ = - vagy = 0 vagy = f '' HL = - + 6 = 0 ñ = - vagy = f HL = f HL = - ; R f = H-, 8D -4-4 -50-00 -50 < << <<0 0 0<< << < f' + 0 0 + 0 f ma:8 min:0 ma:8 f" 0 + 0 f infl:45 infl:45 ü. fhl := 5 + 5 4 D f = ; zérushely : = 0 és = -5 f ' HL = 5 4 + 0 = 5 H + 4L = 0 ñ = -4 vagy = 0 f '' HL = 0 + 60 = 0 H + L = 0 ñ = - vagy = 0 f HL = + ; R f = < 4 4 4<< <<0 0 0< f' + 0 0 + f ma:56 min:0 f" 0 + 0 + f infl:6 0 00 00 00-4 - -00-00 -00-400
Függvényvizsgálat.nb ü 4. fhl := + D f = ; zérushely nincs; f páros f ' HL = - = 0 ñ = 0 I+ M f '' HL = I-+ M = 0 ñ = - vagy = I+ M f HL = 0 vízszintes aszimptota : y = 0 R f = H0, D < <<0 0 0<< f' + 0 f ma: f + 0 0 + f" infl: 4 infl: 4 <.0 0.8 0.6 0. - - - ü 5. fhl := - D f = \8-, <; zérushely nincs; f páros f ' HL = I-+ M = 0 ñ = 0 f '' HL = - I+ M I-+ M 0 Ø-0 Ø--0 Ø-0 f HL = + Ø-+0 f HL = 0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : = -, = R f = H-, 0L @, + L < <<0 0 0<< < f' 0 + + f min: f" + f -4-4 - - - ü 6. fhl := + D f = ; zérushely : = 0; f páratlan f ' HL = - = 0 ñ = - vagy = I+ M f '' HL = I- + M I+ M = 0 ñ = - vagy = 0 vagy = f HL = 0; vízszintes aszimptota : y = 0; R f = A-, E 0. -0-5 5 0-0. - < << <<0 0 0<< << < f' 0 + 0 f min: ma: f" 0 + 0 0 + f" infl: 4 infl:0 infl: 4
4 Függvényvizsgálat.nb 7. fhl := - D f = \8-, <; zérushely : = 0; f páratlan f ' HL = + I-+ M 0 f '' HL = - I + M I-+ M = 0 ñ = 0 Ø-0 Ø--0 Ø+0 f HL = - Ø-+0 f HL = 0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : = -, = R f = < <<0 0 0<< < f' + + + f f" + 0 + f infl:0-4 - 4 - - ü 8. fhl := H- L D f = \9 =; zérushely : = 0 f ' HL = -- = 0 ñ = - H-+ L f '' HL = 8H+L H-+ L 4 = 0 ñ = - Ø- -0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : = R f = A- 8, + M f HL = + Ø- +0 < << << < f' 0 + f min: 8 f" 0 + 0.6 0. f infl: 9-4 - 4 ü 9. fhl := + D f = \8<; zérushely : = 0 f ' HL = + = 0 ñ = - vagy = 0 H+L f '' HL = 0 H+L f HL = +, Ø--0 függőleges aszimptota : = -, ferde aszimptota : y = - R f = f HL = + Ø-+0 < << <<0 0 0< f' + 0 0 + f ma: 4 min:0 f" + f" 5-4 - - - -5-0
Függvényvizsgálat.nb 5 ü 0. fhl := - D f = \:-, >; zérushely : = 0; f páratlan f ' HL = -9 + 4 I-+ M = 0 ñ = 0 vagy = - vagy = f '' HL = 6I9 + M = 0 ñ = 0 I-+ M f HL = -, Ø- -0 Ø- +0 f HL = +, 5 0 5-4 - 4-5 Ø -0-0 -5 f HL = -, függőleges aszimptota : = -, =, ferde aszimptota : y = ; R f = Ø +0 f HL = +, f HL = + < << <<0 0 0<< << < f' + 0 0 0 + f ma: 9 0 min: 9 + f" + 0 + f infl:0 ü. fhl := - D f = ; zérushely : = 0 f ' HL = - - H- + L = 0 ñ = f '' HL = - H- + L = 0 ñ = f ''' HL = - - H- + L f '' HL < 0 fl f HL = º 0.7 lokális maimum f ''' HL > 0 fl f HL = º 0.7 infleiós pont f HL = 0; R f = J-, F ü. fhl :=H + L - D f = ; zérushely : = - f ' HL = - - H + L = 0 ñ = - vagy = 0 f '' HL = - I- + M = 0 ñ = - vagy = f ''' HL = - - I- - + M f '' H-L > 0 fl f H-L = 0 lokális minimum; f '' H0L < 0 fl f H0L = 4 lokális maimum f ''' J- N < 0 fl f J- N º.4 infleiós pont; f ''' J N > 0 fl f J N º.8 infleiós pont f HL = 0; R f = @0, + L fhl - fhl H + L - 8 0. 6-4 5-0. 4 - - 4 6
6 Függvényvizsgálat.nb ü. fhl := e - D f = ; zérushely nincs; f páros f '' H0L < 0 fl f H0L = lokális maimum f ' HL = - - = 0 ñ = 0 f ''' J- N < 0 fl f J- N = º 0.6 infleiós pont f '' HL = - I- + M = 0 ñ = º 0.7 f ''' J N > 0 fl f J N = infleiós pont f ''' HL = -4 - I- + M f HL = 0; R f = H0, D ü 4. fhl := e - D f = ; zérushely : = 0; f páratlan f ' HL = - - I- + M = 0 ñ = º 0.7 f '' HL = - I- + M = 0 ñ = f ''' HL = - - I - + 4 4 M º. f '' J- N > 0 fl f J- N = - º - lokális minimum; f '' J N < 0 fl f J N = º lokális maimum; f ''' - > 0 fl f - º -0.7 inleiós pont; f ''' > 0 fl f º 0.7 infleiós pont f HL = 0; R f = B-, F ü 5. fhl := ln D f = + ; zérushely : = f ' HL = + lnhl = 0 ñ = º 0.6 f '' HL = + lnhl = 0 ñ = º 0. ë f ''' HL = f '' H0L > 0 fl f K O = - º -0.8 lokális minimum f ''' J N > 0 fl f J N = - º -0.07 infleiós pont ë ë Ø0+0 f HL = + ; R f = B-, + F fhl -.0 fhl - fhl lnhl 0.8 0.6 0. 0. 0. 0. - - - -0. -0. 0. 0.6 0.8.0. - - - -