DISZKRÉT MATEMATIKAI FELADATOK

DISZKRÉT MATEMATIKAI FELADATOK

Jegyzete és példatára a matematia egyetemi otatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmuso bonyolultsága Analitius módszere a pénzügyeben Bevezetés az analízisbe Differential Geometry Diszrét optimalizálás Diszrét matematiai feladato Geometria Igazságos elosztáso Interatív analízis feladatgyűjtemény matematia BSc hallgató számára Introductory Course in Analysis Matematiai pénzügy Mathematical Analysis-Exercises 1-2 Mértéelmélet és dinamius programozás Numerius funcionálanalízis Operációutatás Operációutatási példatár Optimális irányításo Parciális differenciálegyenlete Példatár az analízishez Szimmetrius ombinatoriai strutúrá Többváltozós adatelemzés

Csiva ri Pe ter Nagy Zolta n Lo ra nt Pa lvo lgyi Do mo to r DISZKRE T MATEMATIKAI FELADATOK Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Terme szettudoma nyi Kar Typotex 2014

2014 2019, Csivári Péter, Nagy Zoltán Lóránt, Pálvölgyi Dömötör, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Letorálta: Simonyi Gábor Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevéne feltüntetése mellett nem eresedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN 978 963 279 262 0 Készült a Typotex Kiadó (http://www.typotex.hu) gondozásában Felelős vezető: Votisy Zsuzsa Műszai szeresztő: Gerner József Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú, Jegyzete és példatára a matematia egyetemi otatásához című projet eretében. KULCSSZAVAK: Gráfelmélet, leszámlálás, algoritmuso, valószinűségi és (lineáris) algebrai módszere ombinatoriában és gráfelméletben. ÖSSZEFOGLALÁS: Enne a jegyzetne a célja, hogy segítséget nyújtson az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tanuló matematia BSc és MSc hallgatóna a Számítógéptudományi tanszé által otatott urzusohoz, elsősorban a Véges matematia, Diszrét matematia és Algoritmuselmélet tárgyahoz. A feladato nagyrészben az elmúlt éve feladatsoraiból erülne i és o is tartozna hozzáju, ezzel a gyaorlatora és ZH-ra való felészülést önnyíti meg mind a hallgatóna, mind a tanárona. Az érintett témá a gráfelmélet, leszámlálás, algoritmuso, valószinűségi és (lineáris) algebrai módszere ombinatoriában és gráfelméletben. A feladatoat eszerint csoportosítottu, a o pedig a önyv másodi felében szerepelne.

Tartalomjegyzé 1. Gráfelmélet 5 1.1. Összefüggőség, feszítőfá..................... 5 1.2. Fá................................ 6 1.3. Köreresés............................. 6 1.4. Vegyes feladato......................... 7 1.5. Többszörös összefüggőség, Menger-tétel............ 7 1.6. Fülfelbontás............................ 9 1.7. Párosítási feladato páros gráfoban.............. 9 1.8. Független élhalmazo...................... 11 1.9. Lefogáso, független halmazo................. 12 1.10. Sígráfo............................. 13 1.11. Tournamente.......................... 15 1.12. Körö, uta irányított gráfoban................ 16 1.13. A Turán-tétel és alalmazásai.................. 16 1.14. Cseresznyé............................ 17 1.15. Színezési feladato........................ 19 1.16. Élszínezése............................ 20 1.17. Sígráfo színezése........................ 20 1.18. Listaszínezése.......................... 21 1.19. Perfet gráfo........................... 21 1.20. Sorrend szerinti színezése.................... 22 2. Leszámlálási feladato 23 2.1. Bevezető feladato........................ 23 2.2. Szita................................ 24 2.3. Binomiális együttható és generátorfüggvénye........ 29 2.4. Lineáris reurzió......................... 33 2.5. Fibonacci-sorozat......................... 33 2.6. Catalan-számo.......................... 35 2.7. Stirling számo.......................... 36 i

2.8. Partíció.............................. 40 3. Algebrai módszere a ombinatoriában 43 3.1. Lineáris algebrai módszere................... 43 3.2. Polinommódszer......................... 44 3.3. A ombinatorius Nullstellensatz alalmazásai........ 45 4. Spetrálgráfelméleti feladato 49 4.1. Bevezető feladato........................ 49 4.2. Gráfszorzato, gráftranszformáció............... 52 4.3. Spetrálsugár-becslése..................... 53 4.4. Gráfparamétere becslései.................... 54 4.5. Erősen reguláris gráfo...................... 55 4.6. Laplace-sajátértée....................... 56 5. Valószínűségszámítási módszere a ombinatoriában 59 5.1. Várható érté és változtatott véletlen............. 59 5.2. Másodi momentum módszer.................. 63 5.3. A Lovász-féle loál-lemma alalmazásai............ 65 6. Algoritmuselmélet 67 6.1. Reurzió............................. 69 6.2. Rendezés............................. 70 6.3. Számolás............................. 71 6.4. Diszrét Fourier-transzformáció................. 72 6.5. Stabil párosításo......................... 73 6.6. Elemi Gráfalgoritmuso..................... 74 6.7. Dinamius programozás..................... 76 6.8. Folyamo............................. 77 6.9. Approximáció........................... 79 6.10. Kódolás.............................. 79 7. Gráfelmélet o 81 7.1. Összefüggőség, feszítőfá..................... 81 7.2. Fá................................ 82 7.3. Köreresés............................. 83 7.4. Vegyes feladato......................... 84 7.5. Többszörös összefüggőség, Menger-tétel............ 85 7.6. Fülfelbontás............................ 87 7.7. Párosítási feladato páros gráfoban.............. 88 7.8. Független élhalmazo...................... 91 7.9. Lefogáso, független halmazo................. 93 7.10. Sígráfo............................. 94 ii

7.11. Tournamente.......................... 98 7.12. Körö, uta irányított gráfoban................ 98 7.13. A Turán-tétel és alalmazásai.................. 99 7.14. Cseresznyé............................ 101 7.15. Színezési feladato........................ 104 7.16. Élszínezése............................ 106 7.17. Sígráfo színezése........................ 107 7.18. Listaszínezése.......................... 108 7.19. Perfet gráfo........................... 109 7.20. Sorrend szerinti színezése.................... 111 8. Leszámlálási feladato o 113 8.1. Bevezető feladato........................ 113 8.2. Szita................................ 116 8.3. Binomiális együttható és generátorfüggvénye........ 123 8.4. Lineáris reurzió......................... 135 8.5. Fibonacci-sorozat......................... 136 8.6. Catalan-számo.......................... 140 8.7. Stirling számo.......................... 142 8.8. Partíció.............................. 148 9. Algebrai módszere a ombinatoriában o 151 9.1. Lineáris algebrai módszere................... 151 9.2. Polinommódszer......................... 154 9.3. A ombinatorius Nullstellensatz alalmazásai........ 157 10.Spetrálgráfelméleti feladato o 163 10.1. Bevezető feladato........................ 163 10.2. Gráfszorzato, gráftranszformáció............... 168 10.3. Spetrálsugár-becslése..................... 169 10.4. Gráfparamétere becslései.................... 171 10.5. Erősen reguláris gráfo...................... 173 10.6. Laplace-sajátértée....................... 176 11.Valószínűségszámítási módszere a ombinatoriában o 183 11.1. Várható érté és változtatott véletlen............. 183 11.2. Másodi momentum módszer.................. 194 11.3. A Lovász-féle loál-lemma alalmazásai............ 200 12.Algoritmuselmélet o 205 12.1. Reurzió............................. 205 12.2. Rendezés............................. 208 iii

12.3. Számolás............................. 210 12.4. Diszrét Fourier-transzformáció................. 211 12.5. Stabil párosításo......................... 212 12.6. Elemi gráfalgoritmuso...................... 213 12.7. Dinamius programozás..................... 216 12.8. Folyamo............................. 218 12.9. Approximáció........................... 220 12.10.Kódolás.............................. 221

Elees György emléére

Előszó Enne a jegyzetne a célja, hogy segítséget nyújtson az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tanuló matematia BSc és MSc hallgatóna a Számítógéptudományi Tanszé által otatott urzusohoz, elsősorban a véges matematia, diszrét matematia és algoritmuselmélet tárgyahoz. A feladato nagyrészt az elmúlt éve feladatsoraiból erülne i és o is tartozna hozzáju, ezzel a gyaorlatora és ZH-ra való felészülést önnyíti meg mind a hallgatóna, mind a tanárona. Az érintett témá a gráfelmélet, algoritmuso, valószinűségi és (lineáris) algebrai módszere a ombinatoriában és gráfelméletben. A feladatoat eszerint csoportosítottu, a o pedig a önyv másodi felében szerepelne. A jegyzet iindulópontjául az Elees György által összegyűjtött feladato szolgálta, de ezen ívül számtalan forrásból merítettün, a legtöbb példánál éptelenség lenne ideríteni, hogy itől származi. Számos feladat cieben jelent meg lemmaént, önállóan nem híres eredménye, de mindenépp tanulságosa. A gráfelméleti és a leszámlálási feladato egy részét Elees Györgytől és Lippner Gábortól tanultu, ai hosszú ideig tartottá az első éves véges matematia gyaorlatot. Számos feladatot ifejezetten azért dolgozta i, hogy a diáo minél önállóbban tudjana egy-egy témát elsajátítani. Néhány polinommódszeres feladatot a szerző Tóth Ágnestől tanulta. Az algoritmuselméleti példá özül rengeteg származi Király Zoltántól és Hubai Tamástól. Ezen ívül hasznos megjegyzéseért és észrevételeért szintén öszönettel tartozun Kisfaludy-Ba Sándorna és a so so hallgatóna, ai az éve során észrevételeiel hozzájárulta a feladato és ai színvonalához. A fent említett matematiusoon ívül a szerző nagyon soat tanulta Gács Andrástól, Lovász Lászlótól, Szilai Pétertől, Szőnyi Tamástól és még so más embertől, aine ezért nagyon hálása.

1. fejezet Gráfelmélet 1.1. Összefüggőség, feszítőfá 1.1. Adott az összefüggő G gráf ét feszítőfája. Mutasd meg, hogy néhány lépésben el lehet jutni az egyiből a másiba úgy, hogy minden lépésben feszítőfát apun és mindig az atuális feszítőfa egy élét cseréljü le a gráf egy mási élére! 1.2. A G összefüggő gráf egy feszítőfáját alternálóna nevezzü, ha ± jeleet lehet írni a fa éleire úgy, hogy minden nem fabeli él által meghatározott fabeli úton felváltva vanna a + és jele. Mutassu meg, hogy minden összefüggő gráfna van alternáló feszítőfája! 1.3. Egy onvex soszöget egymást nem metsző átlóal háromszögere osztottun. Bizonyítsd be, hogy van olyan háromszög, amelyne ét oldala is a soszög eredeti oldalai özül erül i! 1.4. n számból ( n 2) páronénti összeget épezün, ahol n 5. Közülü legalább n2 3n+4 2 szám racionális. Bizonyítsd be, hogy az összes szám racionális! 1.5. Azt mondju, hogy egy G gráf egyértelműen -színezhető, ha egyrészt létezi a csúcsaina jó színezése (ahol élszomszédos csúcso színe ülönböző)

6 1. Gráfelmélet színnel, másrészt bármely ét csúcsára a gráfna, azo vagy megegyező színűe minden jó -színezésben, vagy mindben eltérő színűe. Igazolju, hogy ha az n 3 csúcsú G gráf egyértelműen 3-színezhető, aor G-ne legalább 2n 3 éle van! 1.2. Fá 1.6. Legyen T a T fa darab nem feltétlenül ülönböző részfája úgy, hogy legalább f 2 (rendezetlen) T -beli pár metszi egymást. Mutasd meg, hogy van a T fána olyan csúcsa, amelyet legalább f 2 + 1 T -beli elem tartalmaz! 1.7. Legyene r, m pozitív egésze és legyen R tetszőleges multihalmaza a T fa csúcsaina úgy, hogy R = rm. Mutasd meg, hogy eor létezi S V (T ), melyre S m 1, és T \S minden összefüggő omponense legfeljebb r elemét tartalmazza R-ne! 1.3. Köreresés Kétféle megözelítés megvizsgálása hasznos lehet ezeben a feladatoban. Az egyi, ha a gráf egy rögzített strutúrájából indulun i, amiben az éle elhelyezedéséről van információn. Erre példa lehet, ha vesszü a gráf egy mélységi vagy szélességi eresés feszítőfáját. A nem faéle csa meghatározott módon haladhatna ebben az esetben. A mási megözelítés alapja, hogy egyfajta szélső helyzetből indulun, ez szintén erős strutúrát adhat az éle elhelyezedésére nézve. Erre példa lehet, ha a gráf leghosszabb útját teintjü; enne ét végpontjából csa az út belső pontjaiba, vagy a mási végpontba vezethet él. Eredményre vezethet szintén, ha a leghosszabb/legrövidebb örből indulun i. 1.8. Egy n csúcsú összefüggő gráfban nincs páros ör. Mutasd meg, hogy legfeljebb 3 2 (n 1) éle van! 1.9. Legyen n 4. Tegyü fel, hogy az n csúcsú összefüggő G gráfna legalább 2n 3 éle van. Igazolju, hogy G tartalmaz egy ört, benne egy átlóval. Mutassu meg, hogy az állítás éles!

1.4. Vegyes feladato 7 1.10. A K n teljes gráf éleit n színnel színeztü úgy, hogy minden szín szerepel is. Mutasd meg, hogy van benne olyan háromszög, melyne oldalai ülönböző színűe! 1.11. Egy n-csúcsú páros G gráfban nincsene C 4, C 6,..., C 2 hosszú örö. Mutasd meg, hogy G éleine száma legfeljebb n 1+1/ + n! 1.4. Vegyes feladato 1.12. Mutasd meg, hogy ha egy összefüggő G gráfban a leghosszabb ör és a leghosszabb út csúcsszáma azonos, aor a gráfban van Hamilton-ör! 1.13. (a) Mutasd meg, hogy nem lehet a Petersen-gráf éleit három színnel színezni úgy, hogy minden csúcsnál három ülönböző színű él legyen! (b) Mutasd meg, hogy nincs a Petersen-gráfban Hamilton-ör! 1.14. Mutasd meg, hogy ha egy összefüggő 2r-reguláris gráfna páros so éle van, aor az élhalmaza előáll ét r-reguláris gráf uniójaént! 1.15. Milyen n-re létezi n csúcsú gráf, amely izomorf a omplementerével? 1.16. Legyen G = (V, E) gráf p csúcson, δ(g) q minimális foal. Bizonyítsd be, hogy létezi olyan H feszített részgráfja, melyre V (H) = p és δ(h) q! 1.5. Többszörös összefüggőség, Menger-tétel 1.17. (a) Mutasd meg, hogy egy 3-reguláris egyszerű gráfra az élösszefüggőségi szám és az összefüggőségi szám megegyezi! (b) Mutass példát arra, hogy 4-reguláris gráfra ez nem igaz!

8 1. Gráfelmélet 1.18. Egy -szorosan összefüggő gráfhoz hozzáveszün egy csúcsot és összeötjü mási csúccsal. Mutasd meg, hogy továbbra is -szorosan összefüggő gráfot aptun! 1.19. Igazold az alábbi öveteztetéseet! (a) Max-flow-min-cut Irányított él-menger tétel (b) Irányított él-menger tétel Irányított pont-menger tétel (c) Irányított pont-menger tétel Kőnig Hall-tétel (d) Irányított pont-menger tétel Irányítatlan pont-menger tétel (e) Irányított él-menger tétel Irányítatlan él-menger tétel 1.20. Tegyü fel, hogy G irányított gráf minden x a, b pontjána ifoa egyenlő a befoával, míg a ifoa -val nagyobb mint a befoa. Bizonyítsd be, hogy létezi G-ben éldiszjunt (a, b) út! 1.21. Egy irányított G gráf minden csúcsába ugyanannyi él megy be, mint amennyi i. Tudju, hogy a gráf b csúcsából darab élfüggetlen út megy a-ba. Mutasd meg, hogy eor van darab élfüggetlen út a-ból b-be, melye élei függetlene az eredeti darab úttól! 1.22. Egy G gráf x és y pontja özött legfeljebb éldiszjunt út megy. Bizonyítsd be, hogy x és y özött legfeljebb 2 (nem feltétlenül ülönböző) út van úgy, hogy minden él legfeljebb ét útban van benne! 1.23. Legyene x 1, x 2,..., x és y 1,..., y egy -szorosan összefüggő gráf csúcsai. Mutasd meg, hogy van darab olyan csúcsdiszjunt út, melye párosítjá az x-eet az y-oal! 1.24. Legyene x, y 1, y 2,..., y 1 és z egy -szorosan összefüggő gráf csúcsai. Bizonyítsd be, hogy van olyan x z út amely átmegy az y i -en!

1.6. Fülfelbontás 9 1.25. [Dirac tétele] Bizonyítsd be, hogy ha > 1, aor egy -szorosan összefüggő G gráf bármely pontja egy örön van. 1.6. Fülfelbontás 1.26. Legyen a G irányított gráf erősen összefüggő. Mutassu meg, hogy van G-ne övetező alaú fülfelbontása: egy pontból indulva mindig irányított utat vagy ört adun az addig felépített gráfhoz úgy, hogy út esetén csa a ét végpontot, ör esetén csa egy pontot tartalmazzon az addig felépített gráf az új útból, illetve örből. 1.27. Legyen a, b V (G) ahol G 2-szeresen összefüggő gráf. Mutasd meg, hogy G élei irányíthatóa úgy, hogy minden él rajta legyen egy irányított (a, b) úton! 1.28. Legyen G irányított gráf erősen összefüggő és irányítását elhagyva 2- szeresen összefüggő. Mutassu meg, hogy van G-ne övetező alaú fülfelbontása: egy irányított örből indulva mindig irányított utat adun az addig felépített gráfhoz úgy, hogy az addig felépített gráf az új útból csa anna ét végpontját tartalmazza. 1.29. A G gráf étszeresen élösszefüggő, de bármely élét elhagyva már nem étszeresen élösszefüggő. Mutasd meg, hogy a romatius száma legfeljebb 3! 1.7. Párosítási feladato páros gráfoban 1.30. Leteszün a satáblára 32 bástyát úgy, hogy minden sorban és oszlopban pontosan 4 bástya legyen. Mutasd meg, hogy iválasztható özülü 16 bástya úgy, hogy minden sorban és oszlopban pontosan ét iválasztott bástya legyen!

10 1. Gráfelmélet 1.31. Két 10 fős csapat pingpongversenyen mérőzi meg egymással. Mindeni mindenivel játszi az ellenfél csapatából, mégpedig úgy, hogy egy fordulóban mind a 20 ember asztalhoz áll. Mutassu meg, hogy aárhogyan is bonyolítottá le az első 4 fordulót, a maradé 60 mérőzés is elrendezhető 6 teljes fordulóban! 1.32. Legyen 2 < n és A 1, A 2,..., A ( n az {1, 2,..., n} halmaz elemű ) részhalmazai. Mutasd meg, hogy minden i-re létezi B i halmaz a övetező tulajdonságoal: A i B i, B i = + 1 és i j esetén B i B j. 1.33. Egy társaság süteményt eszi. A tálon csupa ülönböző sütemény található. A társaság bármely tagjához található a tálon legalább étszer annyi süti úgy, hogy minden süti szimpatius valaine. Mutasd meg, hogy szét lehet úgy osztani a sütiet, hogy mindenine jusson legalább ét olyan süti, ami nei szimpatius! 1.34. Legyen G egy n-csúcsú páros gráf. Mutasd meg, hogy χ(g) = ω(g)! 1.35. Legyen A 1, A 2,..., A n és B 1, B 2,..., B n az {1, 2,..., mn} halmaz egyegy olyan particiója, hogy minden partícióosztály m elemű. Mutasd meg, hogy újra lehet rendezni a B i halmazoat úgy, hogy A i B i minden 1 i n esetén. 1.36. Legyen G véges csoport és H részcsoportja G-ne, legyen G : H = n. Mutasd meg, hogy létezi g 1,..., g n G, melye egyszerre jobb és bal oldali melléosztály-reprezentánso. 1.37. Tegyü fel, hogy a G gráf csúcshalmaza felbomli az A, B, C diszjunt csúcshalmazora úgy, hogy A = B = C = N, egyi osztályon belül sincs él, valamint nincs él az A és C osztályo özött. Mutasd meg, hogy ha a gráfna több, mint N 2 éle van, aor létezne X A és Y C halmazo, amire X + Y > N és minden x X, y Y csúcspárna van özös szomszédja B-ben!

1.8. Független élhalmazo 11 1.38. Legyen G = (A, B, E) páros gráf, és tegyü fel, hogy minden X A esetén N(A) A. Legyen v A és e 1 = (u 1, v), e 2 = (u 2, v) E. Mutasd meg, hogy G = (A, B, E \ e 1 ) vagy G = (A, B, E \ e 2 ) gráfra szintén teljesül a Hall-feltétel! 1.39. Vezesd le a Hall-tételt a Tutte-tételből! 1.40. (Deficites Hall) Adott a G(V 1, V 2 ) páros gráf. Mutasd meg, hogy pontosan aor létezi benne V 1 d független él, ha minden X V 1 esetén N(X) X d! 1.41. Adott a G(A, B, E) páros gráf, melyre A = B = n, E = 10n + 1. Bizonyítsd be, hogy iválasztható legalább 11 független éle! 1.42. Egy egyszerű páros gráfban, amelyne mindét osztálya 2r csúcsot tartalmaz, minden fo legalább r. Mutasd meg, hogy van benne teljes párosítás! 1.43. Egy n csúcsú páros gráfban minden foszám 3 vagy 4. Mutasd meg, hogy van olyan párosítás amely legalább 3 7n élet tartalmaz! 1.44. Egy G = (A, B, E) páros gráfra teljesül, hogy A = B = n és (a, b) / E, a A, b B esetén d(a) + d(b) n. Mutasd meg, hogy G-ben van teljes párosítás! 1.8. Független élhalmazo Jelölése: ν(g) a G gráf legnagyobb független élhalmazána mérete; ϱ(g) azon éle minimális száma, amelye lefogjá az összes csúcsot; α(g) a G gráf legnagyobb független csúcshalmazána mérete; τ(g) pedig a G gráf olyan pontjaina minimális száma, melye az összes élt lefogjá. 1.45. (Petersen tétele) (a) Mutasd meg, hogy étszeresen élösszefüggő 3- reguláris gráfban van teljes párosítás! (b) Mutass példát olyan 3-reguláris gráfra amiben nincs teljes párosítás!

12 1. Gráfelmélet 1.46. Legyen F 0 a G egy párosítása. Eor G-ben van olyan maximális élszámú párosítás amely lefedi az összes F 0 által lefedett pontot. 1.47. Mutasd meg, hogy ha a csúcso száma páros, aor összefüggő arommentes gráfban van teljes párosítás! (Egy gráf arommentes, ha nincs benne feszített K 1,3.) 1.48. Mutasd meg, hogy egy n csúcsú gráf vagy a omplementere tartalmaz n 3 független élt! 1.49. Legyen M, N E(G) ét diszjunt párosítás a G gráfban, melyere M > N. Mutasd meg, hogy létezne M, N diszjunt párosításai G-ne, melyre M = M 1 és N = N + 1 és M N = M N! 1.50. Mutasd meg, hogy az e(g) élű G gráf élhalmaza pontosan aor bontható fel t élű párosításo uniójára, ha t e(g) és χ e (G) e(g)/t! 1.51. (Gallai tétele) (a) Tegyü fel, hogy a G összefüggő gráfban ν(g \ v) = ν(g) minden v csúcsra. Mutasd meg, hogy tetszőleges x, y csúcsora ν(g \ {x, y}) < ν(g)! (Segítség: (x, y) távolságára menő inducióval bizonyítsd az állítást!) (b) Tegyü fel, hogy a G összefüggő gráfban ν(g\v) = ν(g) minden v csúcsra. Mutasd meg, hogy tetszőleges v csúcsra G \ v-ne van teljes párosítása! (Megjegyzés: az ilyen gráfot fatorritiusna hívju.) 1.9. Lefogáso, független halmazo 1.52. Legyene a G egyszerű gráf csúcsai az {1, 2,..., 100} halmaz elemei. Továbbá össü össze az i és j csúcsot, ha i j 100. Határozd meg a ρ(g), ν(g), τ(g), α(g) paramétere értéét!

1.10. Sígráfo 13 1.53. (a) Mutasd meg, hogy τ(g) 2ν! (b) Mutasd meg, hogy τ(g) + 2ρ(G) 2 V (G)! (c) Igazold, hogy minden x [1, 2] Q számra létezi G összefüggő gráf, melyre τ(g) ν(g) = x! 1.54. Mutasd meg, hogy egy r-reguláris gráfban a független csúcso maximális száma legfeljebb aora, mint a független éle maximális száma! 1.55. Legyen G izolált pontot nem tartalmazó gráf. Jelölje d a legnagyobb V (G) foszámot G-ben. Bizonyítsd be, hogy α(g) d+1! 1.10. Sígráfo Egy gráfot aor nevezün síbarajzolhatóna, ha lerajzolható úgy a síban, hogy az élei nem metszi egymást. Sztereografius projecióval igazolható, hogy egy gráf aor és csa aor síbarajzolható, ha gömbre rajzolható. A onvex poliédere élhálói síbarajzolható gráfot adna. Euler tétele szerint az összefüggő síbarajzolható gráfo (vagy más formában imondva: a poliédere) e élszáma, n csúcsszáma, és l tartományszáma özött fennáll az e + 2 = n + l összefüggés. 1.56. Mutasd meg, hogy minden onvex síbarajzolható gráfra teljesül az e 3n 6 egyenlőtlenség! Mutasd meg, hogy ha a gráf páros is aor e 2n 4! 1.57. Egy faluban van három ház és három út. Úgy szeretnén minden házat minden úttal összeötni, hogy semelyi ét út ne metssze egymást. Meg lehet ezt tenni? 1.58. Mutasd meg, hogy a K 5 nem síbarajzolható.

14 1. Gráfelmélet Kuratowsi tétele szerint egy véges gráf aor és csa aor síbarajzolható, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topologiusan izomorf K 5 -tel vagy K 3,3 -mal. Wagner tétele szerint egy véges gráf aor és csa aor síbarajzolható, ha az előbb felsorolt ét gráf egyie sem minora. A Fáry Wagner-tétel szerint egy síba rajzolható egyszerű gráf egyenes vonalaal is síba rajzolható. 1.59. Bizonyítsd be, hogy a Petersen-gráf nem síbarajzolható! 1.60. Mely n-re rajzolható síba az a gráf, amelyet úgy apun, hogy a teljes n n csúcsú páros gráfból elhagyun egy teljes párosítást? 1.61. Keress olyan sígráfot, amine a duálisa nem egyértelmű! 1.62. Mutasd meg, hogy nem lehet egy gráf és duálisa is egyszerű, páros sígráf! 1.63. Egy sígráf legrövidebb öréne hossza 5. Adj felső becslést az éle számára a csúcso számána függvényében! Mutass végtelen so sígráfot amelyre a becslésed pontos! 1.64. Egy 60 csúcsú 3-reguláris sígráf minden lapja 5-szög vagy 6-szög. Melyiből mennyi van? 1.65. Egy onvex poliéder minden csúcsába páros so él fut. Bizonyítsd be, hogy legalább 8 darab háromszöglapja van! 1.66. Van egy onvex poliéderün. Kiválasztottu egy lapját. Ezután észrevettü, hogy minden olyan csúcsban, ami nincs ezen a lapon, legalább 6 él találozi. Bizonyítsd be, hogy eor a iválasztott lapon van olyan csúcs, ahol maximum 3 él találozi!

1.11. Tournamente 15 1.67. Bizonyítsd be, hogy egy egyszerű síbarajzolt gráf éleit ét színnel színezve mindenépp találun olyan csúcsot, amelyre illeszedő éle elhelyezedés szerinti cilius sorrendjében legfeljebb ét színváltás fordul elő! 1.68. Legyen G 4-reguláris síbarajzolt gráf. Mutassu meg, hogy élei irányítható úgy, hogy minden csúcsnál a ét belépő és ét ilépő él elválasztja egymást! 1.69. Egy poliéder éleit irányítju úgy, hogy minden csúcsba fut be és i is él. Bizonyítsd be, hogy van legalább ét lap, amelyne az élei ört alotna! 1.70. Egy n csúcsú egyszerű gráfna 4n éle van. Mutassu meg, hogy bármely lerajzolásaor legalább n metsző élpár van. 1.11. Tournamente 1.71. Egy T tournament csúcsaina egy v 1, v 2,..., v n sorrendjét mediánsorrendne hívju, ha {e = (v i, v j ) i < j} maximális. Mutasd meg, hogy (a) tetszőleges i < j esetén v i, v i+1,..., v j mediánsorrendje az általu feszített tournamentne, (b) v i legyőzte a v i+1,..., v j csúcsona legalább felét, míg v j iapott a v i, v i+1,..., v j 1 csúcso legalább felétől! 1.72. Mediánsorrend segítségével (lásd 1.71 feladat) adj (új) bizonyítást arra, hogy egy tournamentben mindig van pszeudo-győztes és irányított Hamiltonút. (Egy tournamentben v pszeudogyőztes, ha v-ből minden csúcs elérhető legfeljebb 2 hosszú irányított úton.) 1.73. Fenyőne (v. branching-ne) nevezün egy irányított fát, ha a gyöéren ivül minden pont befoa 1 ( és a gyöér befoa 0). Mutasd meg, hogy egy 2 csúcsú tournamentbe minden legfeljebb + 1 csúcsú fenyő beágyazható! (Segítség: mutasd meg, hogy egy +1 csúcsú F fenyő úgy is beágyazható, hogy a mediánsorrendben minden i-re a {v 1,..., v i } intervallum legalább fele F -ben van.)

16 1. Gráfelmélet 1.12. Körö, uta irányított gráfoban 1.74. Mutasd meg, hogy ha egy irányított gráfban nincs irányított ör, aor van a csúcsona egy olyan v 1, v 2,..., v n sorrendje, hogy minden e = (v i, v j ) él esetén i < j! (Az ilyen sorrendet topologius sorrendne hívju.) 1.75. Mutasd meg, hogy ha egy irányított D = (V, E) gráfban nincsen irányított ör, aor van olyan X V (D) független halmaz, hogy tetszőleges v / X esetén létezi w X, melyre (w, v) E(D)! 1.76. Mutasd meg, hogy egy tetszőleges irányított D = (V, E) gráfban van olyan X V (D) független halmaz, amelyre igaz, hogy minden y X csúcsba vezet legfeljebb 2 hosszú irányított út ebbe a független halmazból! 1.13. A Turán-tétel és alalmazásai 1.77. Az n csúcsú G egyszerű gráf éleine halmaza előáll mint ét páros gráf élhalmazána uniója. Mutassu meg, hogy e(g) 3 8 n2, ahol e(g) a G éleine számát jelöli! 1.78. A bergengóc lottón 100 számból húzna 5-öt, egy szelvényen azonban csa 2 számot jelölne meg. Minimum hány szelvényt ell itölteni, hogy biztosan legyen ét találatosun? 1.79. Egy 15 pontú gráf éleit pirossal és éel színeztü meg úgy, hogy nincs egyszínű háromszög a gráfban. Maximum hány éle van a gráfna? 1.80. A 10 csúcsú teljes gráf éleit színnel színezzü úgy, hogy bármely pontot választva a öztü futó éle özött mind a szín előfordul. Határozzu meg a legisebb -t, melyre létezi ilyen színezés!

1.14. Cseresznyé 17 1.81. Legyen P = {(p 1,..., p n ) n i=1 p i = 1, p i 0 i = 1,..., n}. Legyen G gráf az {1, 2,..., n} csúcsoon. Mennyi max P (i,j) E(G) p ip j, ha E(G) := {i(i + 1) (mod n) : i [1, n]}, azaz G egy n-hosszú ör? 1.82. Legyen P = {p = (p 1,..., p n ) n i=1 p i = 1, 0 p i Q. Legyen G egyszerű gráf az {1, 2,..., n} csúcsoon. Mutasd meg, hogy max p P (i,j) E(G) p i p j = 1 2 ( 1 1 ω(g) ). 1.83. Legyen G gráf n csúcson, mely nem tartalmaz -csúcsú teljes részgráfot. Legyen u, v a G gráf ét összeötetlen csúcsa N(u), N(v) szomszédhalmazoal. Legyen G = Z(G, u, v) az a gráf, amit úgy apun, hogy G-ből itöröljü a v és N(v) özötti éleet és behúzzu a v és N(u) özötti éleet. (a) Mutassu meg, hogy G sem tartalmaz -csúcsú teljes gráfot! (b) Vezessü le ebből a Turán-tételt! 1.14. Cseresznyé 1.84. Egy gráf csúcsaina foszámai d 1, d 2,... d n. Hány 2-hosszú út (népszerűbb nevén cseresznye) van a gráfban? 1.85. Mutasd meg, hogy ha egy gráfban nincsen 4 csúcsú ör, aor e n 3/2 2 + n 4! 1.86. (a) Tegyü fel, hogy egy n csúcsú gráfban nincs háromszög. Mutasd meg, hogy legfeljebb e(n 2)/2 cseresznye lehet benne! (b) Egy n csúcsú gráfban nincs háromszög. Mutasd meg, hogy legfeljebb n 2 /4 éle van! (c) Bizonyítsd be, hogy egy e élű, n csúcsú gráfban legalább 4e2 en 2 3n háromszög van!

18 1. Gráfelmélet 1.87. (a) K n éleit pirosra és ére színeztü úgy, hogy minden csúcsra pontosan é él illeszedi. Bizonyítsd be, hogy az egyszínű háromszöge száma ( ) n n (n 1). 3 2 (b) Mutassu meg, hogy ha K n éleit tetszőlegesen színezzü ét színnel, aor az egyszínű háromszöge száma legalább n(n 1)(n 5). 24 1.88. 10 ember teniszversenyt rendez, mindeni mindenivel játszi. Az i- edi ember x i ellenfél ellen győzött és y i ellenfél ellen vesztett. Bizonyítsd be, hogy 10 i=1 10 x 2 i = yi 2. i=1 1.89. Egy 10 csúcsú gráfban nincs háromszög és négy hosszú ör. Mutasd meg, hogy legfeljebb 15 éle van! 1.90. Egy n csúcsú gráfban nincs K 3,3. Mutasd meg, hogy legfeljebb 2(n 5/3 ) éle van! 1.91. Adott n pont a síon, melye özül semelyi három nincs egy egyenesen. Mutasd meg, hogy legfeljebb n 2 egyenlőszárú háromszög választható i, melyene a csúcsai az adott ponto özül erülne i! 1.92. Adott n pont a síon. Mutasd meg, hogy minden távolság maximum c n 3/2 -szer fordulhat elő!

1.15. Színezési feladato 19 1.15. Színezési feladato 1.93. (a) Legyen χ(g) a G gráf romatius száma, ω(g), illetve α(g) a legnagyobb li, illetve legnagyobb független halmaz mérete. Mutasd meg, n hogy χ(g) max(ω(g), α(g) ), ahol n a csúcso száma! (b) G 1, G 2 ét gráf ugyanazon csúcshalmazon. Bizonyítsd be, hogy χ(g 1 G 2 ) χ(g 1 )χ(g 2 )! A (G 1 G 2 ) gráfban a G 1 és G 2 gráfo élhalmazát uniózzu. 1.94. Mutasd meg, hogy egy gráf pontosan aor páros, ha nincsen benne páratlan hosszú ör! 1.95. Mennyi a Petersen-gráf romatius száma? 1.96. A G gráf csúcsai az 1, 2,..., 100 számo, az i és j csúcsoat összeötjü, ha egyi osztja a másiat. Mennyi enne a gráfna a romatius száma? 1.97. A G gráf csúcsai az 1, 2,..., 100 számo, az i és j csúcsot összeötjü ha relatív príme. (Az 1-t önmagával összeötő élet elhagyju.) Mennyi G romatius száma? 1.98. A sí pontjait három színnel színeztü. Mutasd meg, hogy van olyan egység hosszú szaasz, amelyne végpontjai azonos színnel vanna megszínezve! 1.99. A G gráf három páros gráf élhalmazána uniója. Mutasd meg, hogy a romatius száma legfeljebb 8! 1.100. Bizonyítsd, hogy χ(g)χ(g) n! 1.101. Mutasd meg, hogy χ(g) + χ(g) n + 1!

20 1. Gráfelmélet 1.102. Igaz-e, hogy minden G gráfna van olyan színezése χ(g) színnel, amelyben az egyi osztály α(g) csúcsot tartalmaz? 1.103. Az (n, )-Kneser-gráf csúcsai az {1, 2,..., n} -elemű részhalmazai, és ét csúcs össze van ötve, ha a -elemű halmazo diszjunta. Mutasd meg, hogy az (n, )-Kneser-gráf romatius száma legfeljebb n 2 + 2! 1.16. Élszínezése 1.104. (Kőnig élszínezési tétele) Egy páros gráfban minden pont foa r. Mutasd meg, hogy i lehet színezni az éleit r színnel úgy, hogy minden csúcsban csupa ülönböző színű él találozzon! 1.105. Egy páros gráfban a legnagyobb foszám. Mutasd meg, hogy i lehet színezni az éleit színnel úgy, hogy minden csúcsban csupa ülönböző színű él találozzon! 1.106. Legyen G olyan (2 + 1)-reguláris gráf, melyben van elvágó él. Határozd meg G élromatius számát! 1.107. Adott egy 101 pontú teljes gráf. Bármely 3 pont özött menő éle vagy egyszínűe vagy mind ülönbözne. Bizonyítsd be, hogy a színe száma 1 vagy legalább 12! 1.17. Sígráfo színezése 1.108. A síot egyeneseel országora osztottu. Mutasd meg, hogy már ét színnel is i lehet színezni ezen országoat úgy, hogy szomszédosa ne legyene azonos színűe!

1.18. Listaszínezése 21 1.109. Van néhány egyenes a síon, semelyi 3 nem megy át egy ponton. Ez a rajz definiál egy sígráfot, melyne a csúcsai a metszésponto, és ét csúcs aor van összeötve éllel, ha egy egyenesre esne és ott szomszédosa is. Bizonyítsd be, hogy enne a gráfna a csúcsai iszínezhetőe 3 színnel úgy, hogy szomszédos csúcso ne legyene azonos színűe! 1.110. Legyen G 3-reguláris étszeresen élösszefüggő sígráf (vagyis bármely élét elhagyva még összefüggő marad a gráf). Mutasd meg, hogy ha igaz a négyszíntétel a sígráfora, aor G élei színezhetőe három színnel úgy, hogy tetszőleges csúcsból három ülönböző színű él induljon i! 1.111. Mutass olyan 3-reguláris sígráfot, amelyne az élei nem színezhetőe i három színnel úgy, hogy minden csúcsnál három ülönböző színű él legyen! 1.18. Listaszínezése 1.112. Legyen adott pozitív egész. Mutass olyan páros gráfot, melyne listaszínezési száma legalább! 1.113. (Thomassen) Mutasd meg, hogy egy sígráf listaszínezési száma legfeljebb 5! 1.19. Perfet gráfo Az alábbi feladatoban definiált gráfoban özös, hogy perfet gráfo. 1.114. Adott egy fa néhány részfája. Tegyü fel, hogy bármely ettőne van özös pontja. Bizonyítsd be, hogy eor az összesne is van! (Az 1.119 feladat ehhez apcsolódi.)

22 1. Gráfelmélet 1.115. A számegyenes néhány zárt intervallumána lefogása alatt olyan L ponthalmazt értün, amire igaz, hogy minden intervallum tartalmaz legalább egy L-beli pontot. (a) Bizonyítsd be, hogy ha a zárt intervallumo özött nincs 101 páronént diszjunt, aor lefogható 100 ponttal! (b) Adjun (gyors) módszert adott intervallumrendszert lefogó legisebb ponthalmaz eresésére! 1.116. Legyen G egy páros gráf. Mutasd meg, hogy χ(g) = ω(g)! 1.117. Adott a valós számo néhány intervalluma. Ehhez hozzárendeljü a övetező G gráfot: a csúcso az intervallumo, és ettőt összeötün, ha az intervallumona van özös pontja. (a) Bizonyítsd be, hogy χ(g) = ω(g)! (b) Bizonyítsd be, hogy χ(g) = ω(g)! (c) Mutasd meg, hogy G minden legalább 4 hosszú örében van húr! (Az ilyen típusú gráfoat merev örű gráfna hívju.) 1.118. Mutass olyan G gráfot, melyre χ(g) = ω(g), de χ(g) ω(g)! 1.119. Adott egy T fa és anna T 1,..., T n részfája. Definiálun egy G gráfot n csúcson a övetezőéppen: az i és j csúcso aor legyene összeötve, ha T i és T j részfána nincs özös pontju T -ben. Mutasd meg, hogy χ(g) = ω(g)! 1.20. Sorrend szerinti színezése 1.120. Mutasd meg, hogy tetszőleges G gráf csúcsaina van olyan sorrendje, hogy a sorrend szerint mohón színezve (mindig a legisebb sorszámú szabad színt használva) éppen χ(g) színt használun! 1.121. Adj meg minden n-re egy G páros gráfot 2n csúcson és a csúcsona egy sorrendjét úgy, hogy mohón színezve (mindig a legisebb sorszámú szabad színt használva) a sorrend szerint legalább n színre legyen szüség!

2. fejezet Leszámlálási feladato 2.1. Bevezető feladato 2.1. Hány anagramma észíthető a MATEMATIKA szó betűiből? 2.2. Hány olyan 7 jegyű telefonszám van, amiben van 2 szomszédos jegy, ami megegyezne? (Telefonszám ezdődhet 0-val is.) 2.3. Hány módon juthatun A-ból B-be a nyila irányában haladva? A B A B B A 2.4. Hány olyan 7 jegyű szám van, amiben (a) van 2 azonos számjegy? (b) pontosan ét azonos számjegy van?

24 2. Leszámlálási feladato 2.5. Hányféleéppen állhat sorba n lány és 5 fiú úgy, hogy legyen ét fiú ai egymás mellett állna? 2.6. Hány módon írható fel a 12 mint 5 darab pozitív egész összege? És ha a nullát is megengedjü, mint összeadandót? (A számo sorrendje mindét esetben számít!) 2.7. Hány olyan 5-jegyű szám van amiben a jegye (nem feltétlenül szigorúan) balról jobbra nőne? 2.8. A játéboltban 6-féle plüssállat apható. Mi 16 darabot aarun venni. Hány módon tehetjü ezt meg? És ha ráadásul mindegyiből legalább egyet szeretnén hazavinni? 2.9. Az (x + y + z + w) 1000 ifejtésében hány tagban van legalább első foon az x? (Pl. 1000x 999 y egy tagna számít, a változó ommutálna.) 2.10. Hány f : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} monoton növő függvény van? 2.11. Legyen d egy városban azon háza száma, melyeben legalább ember él, c i pedig az i-edi házban laó száma. Bizonyítsd be, hogy i c2 i = d 1 + 3d 2 + 5d 3 +...! 2.12. Egy onvex n-szög átlóina hány metszéspontja lehet? 2.13. Maximum hány részre osztja a síot n egyenes? 2.2. Szita 2.14. (a) Hány olyan egész szám van 1 és 300 özött, amelyi nem osztható se 2-vel, se 3-mal? (b) Hány olyan szám van, ami osztható 2-vel, 3-mal vagy 5-tel?

2.2. Szita 25 2.15. Hány olyan hétjegyű telefonszám van, amiben csa az 1, 2, 3 jegye szerepelne, de eze mindegyie tényleg elő is fordul? 2.16. Egy osztály 30 tanulója özül szereti a matematiát 12, a fiziát 14, a émiát 13, a matematiát és a fiziát 5, a matematiát és a émiát 4, a fiziát és a émiát 7, mindhármat 3. Hány tanuló nem edveli egyiet sem? 2.17. Legyen A 1, A 2,..., A V és minden j-re v j legyen az A j araterisztius vetora, azaz x V esetén v j (x) = 1, ha x A j és v j (x) = 0 ha x / A j. Mutasd meg, hogy (a) x (1 v 1(x))(1 v 2 (x))... (1 v n (x)) = V \ n i=1 A i! (b) x v i 1 (x)v i2 (x)... v il (x) = A i1 A i2 A il! (c) Bizonyítsd be a logiai szitát: V \ n i=1a i = V + n ( 1) =1 1 i 1<...<i n A i1 A i. 2.18. Határozzu meg egy n elemű halmaz fixpont nélüli permutációina a számát! 2.19. (Legendre-formula) Legyen x egy pozitív egész szám. Legyen π(x) az x-nél nem nagyobb príme száma, µ(n) pedig a Möbius-függvény, amit a övetezőéppen definíálun: µ(n) = 0, ha létezi > 1 egész, melyre 2 n és µ(n) = ( 1) t, ha n = p 1 p 2... p t prímtényezős felbontásban p 1 < p 2 < < p t. Bizonyítsd be, hogy 1 + π(x) π( x) = d p x p µ(d) x d! 2.20. Mutasd meg, hogy n! = n ( ) n ( 1) (n ) n. =0

26 2. Leszámlálási feladato 2.21. Mutasd meg, hogy ( ) m = n ( )( ) n n + m l ( 1) l. l l l=0 2.22. Bizonyítsd be, hogy 1 sd < m esetén m s ( )( ) d m m ( 1) = 0. s =0 2.23. Adott G = (V (G), E(G)) gráf és legyen λ pozitív egész. Legyen P (G, λ) az a függvény, amely megadja, hogy a G gráf csúcsait hányféleéppen lehet úgy iszínezni λ színnel, hogy összeötött csúcso ne legyene azonos színűe. Mutasd meg, hogy P (G, λ) = T E(G) ( 1) T λ c(t ), ahol c(t ) a G T = (V (G), T ) gráf összefüggő omponenseine száma! 2.24. Legyen V egy tetszőleges véges halmaz és A 1,..., A n halmazo legyene V tetszőleges részhalmazai. Legyen σ j = 1 i 1<...<i j n A i1 A ij. Legyen t egész szám 1 és n/2 özött. Mutasd meg, hogy 2t 1 V + ( 1) j σ j V \ n i=1 A i V + j=1 2t j=1 ( 1) j σ j.

2.2. Szita 27 2.25. Legyen V egy tetszőleges véges halmaz és A 1,..., A n halmazo legyene V tetszőleges részhalmazai. Legyen σ j = A i1 A ij. 1 i 1<...<i j n Legyen T V azon elemene a halmaza V -ben, amelye pontosan darab A i -ben vanna benne. Bizonyítsd be, hogy T = n ( ) j ( 1) +j σ j. j= 2.26. Legyen V egy tetszőleges véges halmaz és A 1,..., A n halmazo legyene V tetszőleges részhalmazai. Legyen σ j = A i1 A ij. 1 i 1<...<i j n Legyen T V azon elemene a halmaza V -ben, amelye legfeljebb darab A i -ben vanna benne. Bizonyítsd be, hogy n ( ) j 1 T = σ 0 + ( 1) +j σ j. j=+1 2.27. Legyen V egy tetszőleges véges halmaz és A 1,..., A n halmazo legyene V tetszőleges részhalmazai. Legyen σ j = A i1 A ij. 1 i 1<...<i j n Legyen T V azon elemene a halmaza V -ben, amelye legalább darab A i -ben vanna benne. Bizonyítsd be, hogy T = n ( ) j 1 ( 1) +j σ j. 1 j=

28 2. Leszámlálási feladato 2.28. Hányféleéppen táncolhat n házaspár úgy, hogy (a) pontosan férfi táncoljon a feleségével, (b) legalább férfi táncoljon a feleségével, (c) legfeljebb férfi táncoljon a feleségével? 2.29. Adott az a 0, a 1, a 2,... sorozat. Enne differenciasorozata a 1 a 0, a 2 a 1, a 3 a 2,... Enne is épezhetjü a differenciasorozatát és a apottna is... Fejezd i az n-edi differenciasorozat -adi elemét a 0, a 1, a 2,... segítségével! 2.30. (a) Teintsü a övetező -adfoú polinomot: P (x) = x(x 1)... (x + 1). Képezzü a P (0), P (1), P (2),... sorozatot. Mi lesz az m-edi differenciasorozat? (b) Legyen P (x) tetszőleges -adfoú polinom. Mi lesz a -adi differenciasorozat? 2.31. Bizonyítsd be az alábbi azonosságoat. n n+1 n n n n 1 ( ) n (n 1) n + 1 ( ) n (n 1) n 1 + 1 ( ) n (n 1) n+1 + 1 ( ) n (n 2) n = n! 2 ( ) n (n 2) n 1 = 0 2 ( ) n (n 2) n+1 = 2 ( n + 1 2 ) n! 2.32. Legyen 1. Mutasd meg, hogy ( )( ) r jt ( 1) j (r jt) 1 = 0. j j

2.3. Binomiális együttható és generátorfüggvénye 29 2.3. Binomiális együttható és generátorfüggvénye 2.33. Kettős leszámlálással oldd meg! (a) n ( n =0 ) =? )( n m (b) ( n m ) ( m)( = n (c) n =0 ( n ) =? (d) r ( n )( m =0 (e) ( n ) s)( t =? r ) =? ) 2.34. Mennyi n =0 ( ) n 2? 2.35. Mutasd meg, hogy ( ) ( + +1 ) ( + + n ( ) = n+1 2.36. Mutasd meg, hogy n ( r )( s ) ( =0 n+ = r+s r+n)! 2.37. Mennyi n =0 ( n )( m )? 2.38. Mutasd meg, hogy ( ) 2 n + 0 ( ) 2 n +... 1 ( ) 2 n = n +1)! ( ) 2n. n 2.39. (a) Legyen n > m. Bizonyítsd be, hogy n ( )( ) n ( 1) = 0. m =0 (b) Legyen A az az n n-es mátrix, melyne i. sor j. oszlopában levő elem ( i 1 j 1). Határozzu meg az A 1 mátrixot!

30 2. Leszámlálási feladato 2.40. (a) Milyen azonosság övetezi a binomiális együtthatóra abból, hogy (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m? (b) És abból, hogy (1 + x)n deriváltja n(1 + x) n 1? 2.41. (a) Legyen F (x) = n=0 a nx n. Mi lesz F (x) 1 x? (b) Mi a hatványsora 1 (1 x) n -ne? (c) Milyen binomiális együtthatóra vonatozó azonosság övetezi abból, 1 hogy (1 x) = 1 1 n+m (1 x) n (1 x)? m 2.42. (a) Mine a generátorfüggvénye (1 4x) 1/2? (b) Bizonyítsd be, hogy n =0 ( 2 )( 2(n ) n ) = 4 n. 2.43. Legyene F (x) = n=0 a n xn n!, G(x) = n=0 b n xn n!, F (x)g(x) = n=0 c n xn n! exponenciális generátorfüggvénye. Fejezd i c n -t a i, b j sorozat segítségével! 2.44. Az a 0, a 1, a 2,... és b 0, b 1, b 2,... sorozatora fennáll, hogy n =0 ( n ) a = b n. Fejezd i az a n sorozatot a b sorozat segítségével! 2.45. Mennyi i=1 (xi2 + x i2 +1 + x i2 +2 +... )? 2.46. Mi a apcsolat az a n és a b n sorozat özött ha a n x n = x b 1 x? n=1 =1

2.3. Binomiális együttható és generátorfüggvénye 31 2.47. (a) Legyen A n = n ( )( ) n. 2 m =0 Határozd meg a n=0 A nx n hatványsort! (b) Mutasd meg, hogy ( ) A n = 2 n 2m 1 n n m. n m m 2.48. Mutasd meg, hogy n ( ) n + 2 n = 1 2 3 (2 4n + 1). =0 2.49. Bizonyítsd be, hogy m ( )( ) m n + = m =0 ( m )( n ) 2. 2.50. Bizonyítsd be, hogy n ( 2 ( 1) n =0 )( ) = 2 n. n 2.51. Mennyi m =0 ( m )( 2m 2 m ) ( 2)?

32 2. Leszámlálási feladato 2.52. Bizonyítsd be, hogy n =0 ( n 2 )( 2 ) 2 n 2 = ( ) 2n. n 2.53. Mutasd meg, hogy n m =0 ( n + m + 2 )( 2 ) ( 1) + 1 = ( ) n 1. m 1 2.54. Mennyi n/2 =0 ( n ) 2 n? 2.55. Mennyi n/2 =0 ( n ) ( ) ( ) n 2 1 5? 4 12 2.56. Az a 0, a 1, a 2,... sorozatra teljesül, hogy minden n-re ( ) n a 0 + 0 ( ) n a 1 + + 1 ( ) n a n = n!. n (a) Határozd meg a n=0 a n zn n! exponenciális generátorfüggvényt! (b) Adj a i -re épletet! (c) Mutasd meg, hogy a n a fixpontmentes permutáció száma n ponton!

2.4. Lineáris reurzió 33 2.57. Legyen f(n) az {1, 2,..., n} fixpontmentes permutációina száma. Megállapodás szerint f(0) = 1. Bizonyítsd be, hogy n ( ) n n ( ) n (n )! = f(n )2. =0 =0 2.4. Lineáris reurzió 2.58. Teintsü az a n = 5a n 1 6a n 2 lineáris reurzióval definiált sorozatot! Adjun a n -re explicit épletet, ha (a) a 0 = 1 és a 1 = 2, (b) a 0 = 1 és a 1 = 3, (c) a 0 = 3 és a 1 = 8. 2.59. Adj meg explicit épletet a övetező sorozato tagjaira: (a) a n+1 = 3a n 2a n 1, ahol a 1 = 4, a 2 = 6, (b) b n+1 = 2b n 2b n 1, ahol b 1 = 1, b 2 = 1, (c) c n+1 = 4c n 2c n 1, ahol c 1 = 0, c 2 = 1, (d) d n+1 = 2d n d n 1, ahol d 1 = 1, d 2 = 2, (e) e n+1 = 4e n 4e n 1, ahol e 1 = 2, e 2 = 8. 2.60. Az a n sorozat ielégíti az a n = 6a n 1 11a n 2 + 6a n 3 reurziót és a 0 = 6, a 1 = 11, a 2 = 25. Határozd meg a n -t! 2.61. Az a n sorozatot a övetező reurzióval definiálju: a n+1 = 4a n a n 1 n 1 és a 0 = 2, a 1 = 4. Adj explicit épletet a n -re! 2.5. Fibonacci-sorozat Ebben a részben a Fibonacci-sorozatot vizsgálju. Ezt a lineáris reurzív sorozatot a övetezőéppen definiálju: F n = F n 1 + F n 2 és (n 2), F 0 = 0, F 1 = 1. 2.62. Hányféleéppen fedhetjü le a 2 n-es táblát 1 2-es dominóal?

34 2. Leszámlálási feladato 2.63. Mennyi n/2 i=0 ( n i i )? 2.64. Legyen (F n ) a Fibonacci-sorozat: F n = F n 1 + F n 2 (n 2), F 0 = 0, F 1 = 1. Bizonyítsd be, hogy (n + 1)F 0 + nf 1 + + 1 F n = F n+4 (n + 3). 2.65. Legyen (F n ) a Fibonacci-sorozat. Mennyi F 2 1 + F 2 2 + + F 2 n? 2.66. Legyen (F n ) a Fibonacci-sorozat. Adj explicit épletet F n -re! 2.67. Legyen (F n ) a Fibonacci sorozat. Bizonyítsd be, hogy n =0 ( ) n F = F 2n. 2.68. (a) Mennyi ( 0 1 1 1 )n? (b) Keress épletet F n+m -re F n 1, F n, F m, F m+1 használatával! ( (c) Mutasd meg, hogy F n = 1 n 2 2+1) 5! n 1 2.69. (a) Legyen F n a Fibonacci-sorozat n-edi tagja, vagyis F 0 = 0, F 1 = 1 és F n+1 = F n + F n 1 ha n 1. Hozd zárt alara az F (x) = F 1 + F 2 x + F 3 x 2 +... hatványsort! (b) Mi lesz a n=0 F n xn n! exponenciális generátorfüggvény?

2.6. Catalan-számo 35 2.70. (a) Legyen m pozitív egész. Mutasd meg, hogy F mod m periodius! (b) Mutasd meg, hogy (F n, F ) = F (n,)! 2.71. Mutasd meg, hogy ha p 5 prím aor F p 1 vagy F p+1 osztható p-vel! 2.72. Bizonyítsd be, hogy F n = t=0 ( ) Fn 1 t t F nf t t. 2.6. Catalan-számo Ebben a részben az ún. Catalan-számoat fogju vizsgálni. Ezt a sorozatot a 2.73 feladatban vezetjü be és az összes többi feladatban is C n -nel fogju jelölni az n-edi Catalan-számot. 2.73. (a) Jelölje C n azon 2n hosszú ±1-ből álló sorozato számát, ahol a 2n szám összege 0 és minden ezdő részletösszeg nemnegatív. Bizonyítsd be, hogy n =0 C C n = C n+1, ahol C 0 = 1! (b) Hányféleéppen juthat el egy bolha a (0, 0) pontból az (n, n) pontba, ha minden lépésben jobbra vagy felfelé léphet egyet a négyzetrácson és nem mehet az y = x egyenes fölé? És egy általános (n, ) pontba? (c) Mi öze egymáshoz az (a) és (b) részne? 2.74. n hangya egy csövön sétál eresztül. A cső nagyon szű, így a hangyá nem tudjá megelőzni egymást, ámde a cső felénél van egy leágazás egy zsáutcába, amibe néhány hangya be tud menni és onnan fordított sorrendben ijöhetne, de a leágazásból visszafelé nem mehetne, csa előre. Hányféle sorrendben jöhetne i a csőből? 2.75. Hányféleéppen bonthatun fel egy onvex n-szöget háromszögere n 3 átlóval?

36 2. Leszámlálási feladato 2.76. Egy dinasztia alapító uralodója úgy rendelezett, hogy minden fiúági leszármazottjána 2 (nem feltétlenül fiú) gyermee legyen. Ő és mindegyi fiúági leszármazottja is így tett, ám a (fiúági) dinasztia csa n férfi tagot számlált, majd ihalt. Hányféleéppen nézhet i ezen n tagú dinasztia családfája, feltüntetve, hogy i volt az első és i a másodi gyerme? 2.77. Egy ör alaú asztal örül 2n ember ül. Hányféleéppen tud egyszerre mindeni ezet fogni egy egy társával, hogy az így létrejövő n ézfogás özül semelyi ettő se eresztezze egymást? 2.78. Legyen C n az n-edi Catalan-szám, C n = (2n n ) n+1 (C 0 = 1). Határozd meg a C(x) = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 +... generátorfüggvényt a C i -re vonatozó reurzió segítségével! 2.7. Stirling számo 2.79. Jelöljü { n } -val ahányféleéppen az {1, 2,..., n} halmazt nem üres halmazra lehet szétbontani. (Pl.: { 3 2} = 3, mert {1, 2}{3}, {1, 3}{2}, {2, 3}{1}.) (a) Szitaformulával bizonyítsd be, hogy { n } = 1! ( ) ( 1) r ( r) n. r r=0 (b) Adj a binomiális együtthatóhoz hasonló reurziót { n }-ra! 2.80. Legyen [ ] n az 1, 2,..., n azon permutációina száma, amelyben pontosan cilus van. (Eze az elsőfajú Stirling-számo.) Mutasd meg, hogy [ n ] = [ n 1 1 ] + (n 1) [ n 1 ].

2.7. Stirling számo 37 2.81. Bizonyítsd be, hogy { n } x(x 1)... (x + 1) = x n. 2.82. Legyen [ n ] az 1, 2,..., n azon permutációina száma, amelyeben pontosan cilus van. Mutasd meg, hogy n =0 [ n ] x = x(x + 1)... (x + n 1). 2.83. Bizonyítsd be, hogy n 0 { n } x n x = (1 x)(1 2x)... (1 x). 2.84. Mutasd meg, hogy { n } z n n! = (ez 1).! n 0 2.85. Mutasd meg, hogy [ n ] z n n 0 n! = 1! ( ) 1 log. 1 z

38 2. Leszámlálási feladato 2.86. Legyen s n (x) = =1 { n } x. (a) Mutasd meg, hogy n=0 s n (x) zn n! = z ex(e 1). (b) Mutasd meg, hogy n ( ) n s (x)s n (y) = s n (x + y). =0 2.87. Legyen S n (x) = =1 [ n ] x. (a) Mutasd meg, hogy n=0 S n (x) zn n! = 1 (1 z) x. (b) Mutasd meg, hogy n ( ) n S (x)s n (y) = S n (x + y). =0 2.88. Legyen S(n, r) = {( 1, 2,..., n ) Z n i 0, 1 + 2 2 + + n n = Mutasd meg, hogy { n r } = = n, 1 + + n = r}. S(n,r) n! 1!1! 1 2!2! 2... n!n! n.

2.7. Stirling számo 39 2.89. Legyen S(n, r) = {( 1, 2,..., n ) Z n i 0, 1 + 2 2 + + n n = Mutasd meg, hogy [ n r ] = = n, 1 + + n = r}. S(n,r) n! 1!1 1 2!2 2... n!n n. 2.90. Bizonyítsd be, hogy ha m, n 0 egésze, aor az elsőfajú és másodfajú Stirling számora fennáll, hogy { n } [ ] { 1 ha m = n, ( 1) n = m 0 ha m n. 2.91. Bizonyítsd be, hogy { } n + 1 = m + 1 ( ) { } n. m 2.92. Jelölje t(n, ) ahányféleéppen fel lehet bontani az {1, 2,..., n} halmazt nem üres halmazra úgy, hogy ét szomszédos } elem ne erüljön egy halmazba. Mutasd meg, hogy t(n, ) =. { n 1 1 2.93. Mutasd meg, hogy n > 1 esetén n =0 { n } ( 1) ( 1)! = 0. 2.94. Az {1, 2,..., n} permutációiban mennyi a ciluso számána átlaga?

40 2. Leszámlálási feladato 2.8. Partíció 2.95. Jelölje p (n) az n természetes egész szám felbontásaina számát pozitív egésze összegére, melye mindegyie legfeljebb. p (0) = 1 definíció szerint. Legyen továbbá p (n) n azon partícióina halmaza, ahol legfeljebb tagú összeget épezün. Mutasd meg, hogy p (n) = p (n)! 2.96. Bizonyítsd be, hogy az n szám csupa ülönböző pozitív egészre való összegelőállításaina száma egyenlő n szám csupa páratlan pozitív egészre való összegelőállításaina számával! 2.97. Jelölje p (n) az n természetes egész szám felbontásaina számát pozitív egésze összegére, melye mindegyie legfeljebb. p (0) = 1 definíció szerint. (a) Bizonyítsd be, hogy p (n)x n 1 = (1 x)(1 x 2 )... (1 x ). n=0 (b) Jelölje p(n) az n partícióina számát. Bizonyítsd be, hogy p(n)x n 1 = 1 x. n=0 =1 (Értelmes ez a szorzat? Milyen onvergencia szerint?) 2.98. Legyen p(n) az n szám pozitív egésze összegeént (partició) való felírásaina száma, ahol a sorrend nem számít. (Pl.: p(4) = 5, mert 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1.) (a) Bizonyítsd be, hogy az n szám partícióiban az 1-ese száma p(n 1) + p(n 2) + + p(0), ahol p(0) = 1 definíció szerint! (b) Keress hasonló épletet a 2-ese, 3-aso,... számára! (c) Bizonyítsd be, hogy ahol σ() osztóina összege! p(n) = 1 n 1 σ(n )p(), n =0

2.8. Partíció 41 2.99. Legyen p(n) az n szám partícióina a száma. Legyen továbbá r(n) azon partíció száma, ahol az összeadandó ülönböző páratlan számo. Mutasd meg, hogy p(n) r(n) (mod 2)!

3. fejezet Algebrai módszere a ombinatoriában 3.1. Lineáris algebrai módszere 3.1. Az n csúcsú G gráf éleit megirányítju, majd minden e = xy élhez hozzárendeljü azt a v e R n vetort, amely az x oordinátában 1, y oordinátában 1, mindenütt máshol pedig 0. (a) Meora a v e vetoro által generált V vetortér dimenziója? (b) Mely élehez tartozó vetorrendszere leszne lineárisan függetlene? (c) Mely élehez tartozó vetorrendszere leszne generátorrendszerei V -ne? (d) Mely élehez tartozó vetorrendszere leszne bázisai V -ne? 3.2. (Graham Polla-tétel) Mutasd meg, hogy a K n teljes gráf élhalmazát nem lehet felbontani (n 1)-nél evesebb teljes páros gráf uniójára. 3.3. Legyen f r (n) anna a minimuma ahány részre az n csúcsú teljes r- uniform hipergráfot fel lehet bontani páronént diszjunt teljes r-osztályú r-uniform hipergráfo uniójára. (a) Mutasd meg, hogy f r (n) f r 1 (n 1)! (b) Mutasd meg, hogy f 3 (n) = n 2!