Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1
Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus függvéy 39 7. Véletle változók kovergeciája 45 8. Feltételes várható érték 55 9. Cetrális határeloszlás-tétel 67 10.Martigálok diszkrét időbe 71 2
Előszó A feladatgyűjteméy a Szegedi Tudomáyegyetem Matematika BSc szakos hallgatói számára tartott Valószíűségelmélet c. tárgyhoz készült. A heti égy óra előadáshoz csupá egy óra gyakorlat va, ezért külööse fotos az otthoi feladatmegoldás. Eek megköyítését célozza meg a jegyzet. Magyar yelve kevés olya valószíűségszámítás feladatgyűjteméy va, ami haszálható a Valószíűségelmélet tárgyhoz. Ilye a klasszikus Ötszerzős példatár, Bogár, Mogyoródi, Prékopa, Réyi, Szász: Valószíűségszá- mítási feladatgyűjteméy [3]. Ugyaakkor e feladatgyűjteméy sem fedi le teljese a jele példatár ayagát, hisze em mértékelméleti megközelítést haszál, így eseméyek mérhetősége, farokeseméyek kimaradak. Másrészt [3] sok olya témakört is tartalmaz, amivel itt em foglalkozuk; pl. elemi valószíűségszámítási példák, sztochasztikus folyamatok. A másik magyar yelvű feladatgyűjteméy az iterete elérhető Barczy, Pap: Valószíűségszámítás II. példatár [1], ami már felöleli a Valószíűségelmélet tárgy ayagát. A jele példatár és [1] ayaga agyjából megegyezik, az egyes témákból az egyik illetve másik tartalmaz több feladatot. A tárgyalt feladatok közül sok része a matematikai folklórak, de ahol tudtam feltütettem a forrást. Az említett két példatár mellett sok feladatot vettem át Billigsley [2] és Breima [4] köyvéből, éháy a Kolmogorov versey feladatai [5] közül való. Sok példa kutatásaim sorá merült fel, ezekél megadtam a hivatkozást (cikket vagy köyvet), illetve sok saját agyszüleméyem. A feladatok témák szerit vaak csoportosítva, mide téma elejé egy rövid elméleti összefoglaló található, melybe a szükséges defiíciók és főbb tételek, tulajdoságok szerepelek. Mide témába jó éháy feladat megoldása agyo részletese ki va dolgozva, egyes példákál pedig rövid útmutatás található. A feladatgyűjteméy írása a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012-0001 Nemzeti Kiválóság Program című kiemelt projekt keretébe zajlott. A projekt az Európai Uió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával valósul meg. 3
1. Mérhetőség Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-itegrál, véletle változók és eloszlásfüggvéyeik Az A halmazredszer σ-algebra az Ω alaphalmazo, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazredszer algebra, ha csak a véges uióra zárt. A µ halmazfüggvéy mérték, ha emegatív, em azoosa végtele és σ-additív A-. Valószíűségi mérték eseté µ(ω) = 1. A C halmazredszer félalgebra, ha zárt a metszetre és mide eleméek komplemetere előáll C-beli halmazok diszjukt uiójakét. Tetszőleges sok σ-algebra metszete σ-algebra. Ebből következik, hogy mide C halmazredszerhez va őt tartalmazó legszűkebb σ-algebra; ezt evezzük a C által geerált σ-algebráak. Jele: σ(c). Ha adott egy topológia, akkor a yitott halmazok által geerált σ-algebra a Borel-halmazok σ-algebrája. Az f : Ω R valós függvéy A-mérhető, ha mide B B Borelhalmazra f 1 (B) = {ω : f(ω) B} A. Az X valós függvéy akkor véletle változó, ha mérhető. Eloszlásfüggvéye F (x) = P{X x}. Egy függvéy akkor és csak akkor eloszlásfüggvéy, ha mooto övő, jobbról folytoos és F ( ) = 0, F ( ) = 1. A mérhetőséget elég geerátorredszere elleőrizi. A leggyakrabba haszált speciális esetek: f mérhető, ha mide x-re: f 1 ((, x]) A; f 1 ((, x)) A; f 1 ((x, )) A;.... Sőt elegedő csak racioális x- ekre megköveteli a feltételeket. Legye F mooto övő jobbról folytoos függvéy az egyeese és legye a < b eseté µ F ((a, b]) = F (b) F (a). Ezzel defiiáltuk µ F -et a C = {(a, b] : a < b } félalgebrá. Megmutatható, hogy µ F mérték C-. A kiterjesztési eljárás szerit µ F kiterjeszthető a B = σ(c) Borelhalmazoko defiiált mértékké. Ezt evezzük az F által idukált Lebesgue Stieltjes-mértékek, melyet µ F -el jelölük. Sőt, általába a dµ F = df jelölést haszáljuk. 1.1. Legye A a véges vagy ko-véges (A ko-véges, ha komplemetere véges) halmazok osztálya. Igazoljuk, hogy A algebra, de csak akkor σ-algebra, ha Ω véges! Megoldás. Az A halmazredszer defiíciójába A és A c szerepe szimmetrikus, ezért ha A A, akkor A c A is teljesül. Nézzük most az uióra való zártságot. Elég 2-re igazoli, azaz ha A, B A, akkor A B A. Ha A c vagy B c véges, akkor (A B) c = A c B c miatt (A B) c is véges, így 4
(A B) A. Ha pedig A és B is véges, akkor A B is véges, így A. Ezzel beláttuk, hogy A algebra. Ha Ω =, akkor va ω 1, ω 2,... végtele sok külöböző eleme. Nyilvá {ω} A mide ω Ω eseté. Viszot az A = {ω 1, ω 3, ω 5,...} halmaz végtele, és a komplemetere tartalmazza az {ω 2, ω 4, ω 6,...} végtele halmazt, így A / A. Tehát ekkor A em σ-algebra. Véges alaphalmazo persze az algebra és a σ-algebra tulajdoság ugyaaz. 1.2. Legye A a megszámlálható vagy ko-megszámlálható halmazok osztálya. Igazoljuk, hogy A σ-algebra! Legye C = {{x} : x Ω}. Mutassuk meg, hogy σ(c) = A! 1.3. Legye Ω = N = {1, 2,...} és { } #(A {1,..., }) C = A N : D(A) = lim létezik. A D(A) értéket az A halmaz számelméleti sűrűségéek evezik (persze csak ha létezik). Igazoljuk, hogy (a) D( ) végese additív C-; (b) D( ) em mérték C-; (c) C kotiuum számosságú; (d) C zárt a véges diszjukt uióra! Mi lesz a D által idukált külső mérték? ([2] Problem 2.18 p.35) 1.4. Adjuk meg a lottóhúzást leíró valószíűségi mezőt! 1.5. Igazoljuk, hogy σ-algebra számossága em lehet megszámlálhatóa végtele, tehát vagy véges vagy legalább kotiuum sok eleme va. 1.6. Határozzuk meg az alábbi halmazredszerek által geerált τ(h) topológiát és σ(h) σ-algebrát! Milye kapcsolat áll τ(h) és σ(h) között? (a) H 1 = {(a, b) : a, b R, a < b}; (b) H 2 = {[a, b] : a, b R, a < b}; (c) H 3 = {(a, b] : a, b R, a < b}; (d) H 4 = {(, a] : a R}; (e) H 5 = {(a, ) : a R}. 5
1.7. Legyeek X, = 1, 2,..., véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező. Igazoljuk, hogy a következő halmazok mérhetők: (i) {sup X > 0}; (ii) {sup X = 0}; (iii) lim sup X 0}. Tetszőleges Y : Ω R, és B R eseté Y 1 (B) = {Y B} = {ω : Y (ω) B}. Megoldás. Az ilye feladatokál a kérdéses halmazt elő kell állítai ívóhalmazokból ({X x}, vagy {X < x}, vagy ezek komplemetere) megszámlálható sok halmazelméleti művelet (metszet, uió, külöbség) segítségével. (i) Az első példába azt kell észrevei, hogy egy x valós számsorozat szuprémuma potosa akkor szigorúa pozitív, ha va pozitív eleme. Azaz sup x > 0 potosa akkor, ha létezik olya, melyre x > 0. A példába azokat az ω kimeeteleket kell összegyűjtei, melyre sup X (ω) > 0. Ezek szerit {sup X > 0} = {ω : sup X (ω) > 0} = =1{ω : X (ω) > 0} = =1{X > 0}. Mivel mide eseté {X > 0} mérhető halmaz, és mérhető halmazok megszámlálható uiója is mérhető, ezért az állítást beláttuk. A többi rész bizoyítását em írjuk ki ilye részletese. (ii) Világos, hogy a feti godolatmeetbe 0 helyett tetszőleges valós számot írva is mide igaz marad, így {sup X > α} A (a mérhetőség szioimája a A), tetszőleges α R eseté. Mivel {sup X = 0} = {sup X 0}\{sup X > 0}, ezért ha belátjuk, hogy {sup X 0} A, akkor késze vagyuk. Na de {sup X 0} = k=1{sup X > k 1 }, és a megszámlálható metszet mide eleme mérhető, így a σ-algebra tulajdoság miatt a metszet is mérhető. (Vegyük észre, hogy {sup X 0} = =1{X 0}. A 1/ sorozat egy ellepélda.) (iii) A lim sup defiícióját kell haszáli, amit valós számsorozatokra taultuk. Eszerit lim sup x 0 potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté a sorozatak végtele sok ε-ál agyobb eleme va, vagy másképp, mide ε > 0, mide N eseté létezik k, hogy x k > ε. Köyű meggodoli, hogy a halmazos átírásba a mide kvatorak az metszet, a létezik kvatorak pedig az uió felel meg (ezt már (i)-él is haszáltuk). Arra kell 6
még figyeli, hogy ε helyett egy diszkrét 0-hoz tartó sorozatot kell íri, hogy megszámlálható metszetet kapjuk. Tehát {lim sup X 0} = m=1 =1 k={x k > m 1 }. Mivel X, = 1, 2,..., véletle változók, ezért mérhetőek, {X k > m 1 } A, mide k és m eseté. Ilyeek megszámlálható uiója mérhető, mérhető halmazok megszámlálható metszete mérhető, végül mérhető halmazok megszámlálható metszete megit mérhető, és kész. 1.8. Legyeek X, = 1, 2,..., véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező és c tetszőleges valós szám. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok mérhetők: {ω : lim X (ω) = c} = {lim X = c}; {lim X létezik}; { =1 X < }; {lim sup X c}. 1.9. Legyeek f, g, f mérhetőek. Mutassuk meg, hogy f +g, cf, mi(f, g), if f, sup f, lim if f mérhetőek! 1.10. Egy halmaz G δ, ha megszámlálható sok yitott halmaz metszete. Mutassuk meg, hogy az irracioális számok halmaza G δ. Adjuk példát olya függvéyre, melyek folytoossági potjai az irracioális számok. [Azaz a függvéy mide racioális potba szakad, de mide irracioálisba folytoos.] Mutassuk meg, hogy a racioális számok halmaza em G δ. [Haszáljuk a Baire-kategóriatételt!] ([10]) 1.11. Igazoljuk, hogy f : R R tetszőleges függvéy folytoossági potjaiak halmaza G δ! Az előző feladat alapjá ez azt jeleti, hogy ics olya függvéy, ami a racioális potokba folytoos, az irracioálisokba meg szakad. ([10]) Segítség. Defiiáljuk a φ(x, δ) = sup{ f(s) f(t) : s, t (x δ, x + δ)}, φ(x) = if δ>0 φ(x, δ) függvéyeket. Mutassuk meg, hogy f potosa akkor folytoos x- be, ha φ(x) = 0. A φ ullhelyeit meg elő lehet állítai megszámlálható sok yitott halmaz metszetekét. 1.12. Legye f : R R Borel-mérhető függvéy. Mutassuk meg, hogy az a halmaz, ahol a deriváltja létezik, mérhető! 1.13. Legye F (x) tetszőleges eloszlásfüggvéy. Írjuk fel F (x) segítségével a következő halmazok µ F (F által geerált) Lebesgue Stieltjes-mértékét: (0, 1], {0}, [0, 1), [0, ), R, Q, Q. Megoldás. A defiíció szerit µ F ((0, 1]) = F (1) F (0). Az egyelemű halmazok viszot már em (a, b] alakúak, ezért ilyekor a defiíció em elég. Haszáljuk a mértékek folytoossági tételét! Világos, hogy {0} = =1( 1, 0], és a ( 1/, 0] halmazsorozat mooto csökkeő, 7
így, mivel µ F (( 1, 0]) < (valószíűségi mérték eseté ez a feltétel midig teljesül) így a folytoossági tétel szerit µ F ({0}) = µ F ( =1( 1, 0]) = lim µ F (( 1, 0]) = lim (F (0) F ( 1 )) = F (0) F (0 ), ahol F (x ) = lim y x F (y) az x-beli baloldali határérték. Fotos láti, hogy ez éppe az F eloszlásfüggvéy ugrása a 0 potba. Általáosa, tetszőleges x R eseté µ F ({x}) = F (x) F (x ). Ebből azoal következik, hogy ha F folytoos akkor mide egyelemű, és így mide megszámlálható sok elemű halmaz mértéke 0. Mivel [0, 1) = ({0} (0, 1])\{1}, így az előzőek és a mérték tulajdoságai alapjá µ F ([0, 1)) = (F (0) F (0 )+F (1) F (0)) (F (1) F (1 )) = F (1 ) F (0 ). Megit a folytoossági tételt haszáljuk: (0, ) = =1(0, ], és az uió mooto, ezért µ F ((0, )) = µ F ( =1(0, ]) = lim (F () F (0)) = 1 F (0). Így µ F ([0, )) = 1 F (0 ). A számegyees mértékét hasolóa számolhatjuk: R = =1(, ], és az uió mooto, így µ F (R) = µ F ( =1(, ]) = lim µ F ((, ]) = lim (F () F ( )) = 1 0 = 1. A racioális számok megszámlálható soka vaak, ezért µ F (Q) = µ F ( r Q {r}) = r Q µ F ({r}) = r Q(F (r) F (r )). Végül R = Q Q, és az uió diszjukt, így µ F (Q ) = 1 µ F (Q) = 1 r Q(F (r) F (r )). 1.14. Legye 8
(a) F (x) = 1 ha x 0, 0 külöbe; (b) F (x) = k/, ha x [k, k + 1), 1 k, 0, ha x < 1 és 1, ha x. (c) F (x) = 1 e x, ha x > 0, 0 külöbe. Határozzuk meg az gdµ F itegrál értékét, ahol g tetszőleges mérhető függvéy! Megoldás. (a) Az előzőek szerit µ F ({0}) = F (0) F (0 ) = 1, azaz a mérték egységyi tömeget tesz a 0 potba, és máshova em is tesz tömeget. Ezért tetszőleges A Borel-halmazra µ F (A) = I A (0) = 1 ha 0 A és 0 külöbe. Ebből világos, hogy a g függvéyek csak a 0-ba felvett értéke az érdekes, és az itegrál defiíciója alapjá gdf = gdµ F = g(0) 1. Fotos láti, hogy ez a függvéy egy olya véletle változó eloszlásfüggvéye, mely egy valószíűséggel 0 értéket vesz fel. Az ilye változókat degeerált véletle változóak evezzük, hisze valójába em is véletle. (b) Ez a függvéy is egy tiszta ugrófüggvéy, ami egy olya változó eloszlásfüggvéye, mely az {1, 2,..., } értékeket veheti fel, midegyiket 1/ valószíűséggel. Tehát a µ F mérték az {1, 2,..., } potokra kocetrálódik, és µ F (A) = 1 A {1, 2,..., }, A B 1, azaz csak az számít, hogy az A halmazba háy pot esik az {1, 2,..., } elemek közül. Ie világos, hogy a g függvéy {1, 2,..., } potokba felvett értéke az érdekes, és gdf = gdµ F = k=1 g(k) 1. (c) Ez a függvéy folytoos (hát persze, ő az egy paraméterű expoeciális eloszlás eloszlásfüggvéye), ezért mide megszámlálható halmaz µ F szeriti mértéke 0. Azt is látjuk, hogy a (, 0] félegyees mértéke 0, és így eek bármely részhalmazáak is 0 a mértéke. Legye most 0 < a < b <. A Newto Leibiz-formulát, és az idukált mérték defiícióját alkalmazva µ F ((a, b]) = F (b) F (a) = e a e b = Ezt éppe úgy is írhatjuk, hogy I (a,b] (y)df (y) = R 9 R b a I (a,b] (y)e y dy. e y dy.
Az itegrál liearitását és a Lebesgue Mooto Kovergeciatételt haszálva (éppe úgy, ahogy ezt mértékelméletből megtaultuk) kapjuk, hogy tetszőleges g mérhető függvéyre gdf = g(y)e y dy = g(y)f(y)dy, 0 ahol f(y) = e y, ha y 0, és 0 külöbe, azaz f(y) = F (y). Itt azt kell megjegyezi, hogy abszolút folytoos esetbe df (y) = f(y)dy. 1.15. Adjuk meg a G(x) függvéy által idukált µ G Lebesgue Stieltjesmértékek a λ Lebesgue-mértékre voatkozó Lebesgue-felbotását, és határozzuk meg az abszolút folytoos tag Rado Nikodym-deriváltját. Számoljuk ki az g(x)dg(x) Lebesgue Stieltjes-itegrálok értékét! A { 1 e (a) A = R, g(x) = x, G(x) = κx, ha x 0, 0, ha x < 0,, κ > 0. (b) A = R, g(x) = x 2, G(x) = R { e κ κ m m=0, ha x [, + 1), m! 0, ha x < 0. (c) A = ( 2, 2), 1, ha x 1, x + 3, ha 1 < x < 0, g(x) = cos x, ha 0 x < π/2, x 2, ha π/2 x, x, ha x < 1, 0, ha 1 x < 0, G(x) = x 2, ha 0 x < 1, e x, ha 1 x. 1.16. Legye (Ω, A, P) tetszőleges valószíűségi mező, és A = {ω Ω : P({ω}) > 0}. Mutassuk meg, hogy A megszámlálható! 1.17. Igazak-e a következő állítások? (a) Ha X véletle változó, akkor X 2 is. (b) Ha X 2 véletle változó, akkor X is. (c) Ha X 2 véletle változó, akkor X is. 1.18. Az X véletle változóról akkor modjuk, hogy eloszlása szimmetrikus 0-ra, ha X és X eloszlása megegyezik. Mutassuk meg, hogy X eloszlása potosa akkor szimmetrikus 0-ra, ha eloszlásfüggvéyére F (x) + F ( x ) = 1, x R feáll! 10
1.19. Mutassuk meg, hogy tetszőleges F (x) eloszlásfüggvéy eseté feáll: lim x x x lim x x 0+ x 1 df (z) = 0, z lim 1 df (z) = 0, z lim x x x x 0 x 1 df (z) = 0; z 1 df (z) = 0. z Megoldás. Belátjuk az első állítást, a többi ugyaúgy megy. Nyilvá x x 1 df (z) = z 0 x z I z>x(z)df (z). Az itegradus (mit z függvéye) mide rögzített z > 0 eseté kovergál 0-hoz, amit x, hisze ha x > z, akkor az itegradus 0. Azt kell tehát megmutati, hogy az itegrál és a határátmeet felcserélhető. Ezt Lebesgue Majorás Kovergeciatételével igazoljuk. Ehhez kell egy itegrálható majorás. Vegyük észre, hogy mide x-re és mide z-re, x z I z>x(z) 1, ami persze itegrálható µ F szerit, és ezzel az állítást igazoltuk. 1.20. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges F eloszlásfüggvéyre, melyre F (0) = 0, F 1 (x)df (x) = 1. 0 1.21. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A 1, A 2,..., A eseméyek eseté P{A 1 A 2 A } P{A 1 } + P{A 2 } + + P{A } ( 1). 1.22. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A, B, C eseméyekre (a) P{A C} P{A B} + P{B C}; (b) ha P{A B} = 0 akkor P{A} = P{B}; (c) P{A B} P{A C} P{B C}. 11
Megjegyzés. A a szimmetrikus differeciát jelöli, azaz A B = A\B B\A. 1.23. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A és B eseméyre P{A B} P{A}P{B} 1 4. 1.24. Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező, A 0 A rész-σ-algebra és A A olya eseméy, melyre mide ɛ > 0 szám eseté létezik A ɛ A 0, hogy P(A A ɛ ) ɛ. Mutassuk meg, hogy va A 0 A 0, melyre P(A A 0 ) = 0. 1.25. Legye Ω = {ω 1, ω 2,...} megszámlálható halmaz, A = 2 Ω és P(ω ) = p > 0, ahol p p +1. (a) Bizoyítsuk be, hogy R(P) = {x : A A, P(A) = x} perfekt halmaz. (b) Bizoyítsuk be, hogy R(P) = [0, 1] potosa akkor, ha mide -re teljesül a p k=+1 p k feltétel. ([9]) 1.26. Az (Ω, A, P) valószíűségi mezőt atommetesek evezzük, ha mide pozitív valószíűségű A eseméyhez va olya B A eseméy, hogy 0 < P{B} < P{A}. Bizoyítsuk be, hogy atommetes valószíűségi mező eseté R(P) = [0, 1]. ([9]) 1.27. Bizoyítsuk be, hogy R(P) tetszőleges valószíűségi mező eseté zárt halmaz. ([9]) 2. 0 1 törvéyek Farok-σ-algebrák, Borel Catelli lemmák és Kolmogorov 0 1 törvéye Borel Catelli-lemmák. Legyeek A 1, A 2,... eseméyek. (I.) Ha =1 P{A } <, akkor az eseméyek közül egy valószíűséggel, csak véges sok következik be, azaz a {ω Ω : ω A végtele sok -re} = =1 k= A k = lim sup A halmaz mértéke 0, azaz P{lim sup A } = 0. (II.) Ha az eseméyek függetleek és =1 P{A } =, akkor az A 1, A 2,... eseméyek közül egy valószíűséggel (majdem biztosa) végtele sok következik be, azaz P{lim sup A } = 1. 12
Farok-σ-algebra. Legyeek X 1, X 2,... véletle változók az (Ω, A, P) valószíűségi mező. Az X 1, X 2,... változók által geerált farok-σ-algebra a T = =1σ(X, X +1,...) σ-algebra. Az A T eseméyeket farokeseméyekek evezzük. A defiícióba σ-algebrák mooto csökkeő sorozatáak metszete szerepel. Az ituitív jeletés: a T -beli eseméyek bekövetkezését em befolyásolja ha a változók közül véges sok megváltozik. Valóba, hisze ha A T akkor tetszőleges m N eseté A σ(x m+1, X m+2,...), azaz A em függ az X 1, X 2,..., X m változóktól. Ez alapjá világos, hogy a {lim X létezik}, { =1 X < } alakú eseméyek farokeseméyek, viszot az {if X < 0}, {X 10 > 2} eseméyek em azok. A precíz bizoyítást lásd a feladatok között. Kolmogorov 0 1 törvéye. Legyeek X 1, X 2,... függetle véletle változók, és legye T az általuk meghatározott farok-σ-algebra. Ekkor tetszőleges A T farokeseméy valószíűsége 0 vagy 1. 2.1. Az alábbi eseméyek közül melyek elemei az X 1, X 2,... véletle változók által geerált farok-σ-algebráak? {if X < c}; { lim X létezik}; {lim sup X 0}; N { } { } X < ; X < 0. =1 =1 (Tehát ami eleme, arról mutassuk meg hogy eleme, ami em eleme, arról mutassuk meg hogy em.) Megoldás. Feltehetjük, hogy c = 0. Az ituíció alapjá világos, hogy {if X < 0} em farokeseméy, hisze egyetle változó megváltoztatása is befolyásolja az ifimum értéket, ezáltal az eseméy bekövetkezését. A precíz bizoyítás ezért itt ellepélda kostruálását jeleti. Legye Ω = {ω 1, ω 2 }, A = 2 Ω = {, {ω 1 }, {ω 2 }, Ω}. Legye X 1 (ω 1 ) = 1, X 1 (ω 2 ) = 0, és X 2, 2. Mivel 2 eseté X degeerált, így σ(x ) = {, Ω} a triviális σ- algebra, és ezért ugyacsak σ(x, X +1,...) = {, Ω}. Ie azoal látjuk, hogy T = =1σ(X, X +1,...) = {, Ω}, azaz a farok-σ-algebra is a triviális. Ugyaakkor {if X < 0} = {X 1 < 0} = {X 1 = 1} = {ω 1 }, 13
ami em farokeseméy. Hasolóa egyszerű kostrukcióval igazolható, hogy { =1 X < 0} / T. A másik három eseméy farokeseméy, csak az egyik bizoyítását írjuk ki részletese. Mivel az {lim X létezik} eseméyél a határérték ics megadva, ezért létezését a Cauchy-féle belső kovergeciakritérium segítségével tudjuk leíri. Eszerit az x 1, x 2,..., (determiisztikus!) valós számsorozat potosa akkor koverges, ha ( ε > 0)( N = N(ε))( m, N) : x m x ε. A folytoos ε-t kicseréljük egy megszámlálható sorozatra (k 1 ) és a korábba látott módo lefordítjuk halmazok yelvére a feti tulajdoságot. Eszerit {lim X létezik} = k=1 N=1 m=n =N { X m X k 1 }. Mivel { X m X k 1 } mérhető, és mérhető halmazoko megszámlálható halmazelméleti műveletet elvégezve mérhetőt kapuk, azt láttuk be, hogy {lim X létezik} A. Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a {lim X létezik} eseméy farokeseméy, azt kell megmutati, hogy mide K eseté {lim X létezik} σ(x K, X K+1,...). Ehhez vegyük észre, hogy a m=n =N { X m X k 1 } halmazsorozat rögzített k eseté N-be mooto övő. Hát persze, hisz egyre kevesebb halmazt metszük össze. Emiatt N=1 m=n =N{ X m X k 1 } = N=K m=n =N{ X m X k 1 }, és a jobb oldalo álló mide halmaz már σ(x K, X K+1,...). állítás beláttuk. 2.2. Legyeek A 1, A 2,... eseméyek. Mi a Ezzel az lim sup A = =1 m= A és lim if A = =1 m= A eseméyek jeletése? Milye tartalmazás áll fö a két halmaz között? Megoldás. Megmutatjuk, hogy lim sup A = {ω : ω A végtele sok eseté}. Valóba, ha ω A végtele sok eseté, akkor mide 0 természetes számhoz va olya m > 0, hogy ω A m. Ezért ω m= 0 mide 0 14
eseté, ami éppe azt jeleti, hogy ω lim sup A. tartalmazás ugyaígy igazolható. Megmutatjuk, hogy A fordított iráyú lim if A = {ω : ω A véges sok kivételével mide eseté}. Valóba, ha va olya, hogy ω A m mide m eseté, akkor ω m= A m, és így ω =1 m= A m. A fordított iráy ugyaígy megy. A feti átfogalmazásból világos, hogy lim if A lim sup A. Midig erre a szemléletes jeletésre godoljuk, és e a defiícióra! 2.3. Mutassuk meg, hogy P{lim if A } lim if P{A } lim sup P{A } P{lim sup A }. 2.4. Mutassuk meg, hogy ( ) lim sup A ( ) lim sup A ( ( ) lim if A ( ) lim if A ( lim sup ( lim sup lim if ( lim if ) B lim sup(a B ); ) B = lim sup(a B ); ) B = lim if(a B ); ) B lim if(a B ), továbbá, hogy a két tartalmazás lehet szigorú. ([2] Problem 4.2. p.64) 2.5. Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Igazoljuk, hogy X lim sup log = 1 m.b. Megoldás. Először megmutatjuk, hogy lim sup X / log 1 m.b. Legye ε > 0 tetszőleges, rögzített, és legye A = {X > (1 ε) log }. Ekkor az A, = 1, 2,... eseméyek függetleek, hisze az X, = 1, 2,... változók függetleek és P{A } = P{X > (1 ε) log } = e (1 ε) log = (1 ε). Mivel =1 P{A } = =1 (1 ε) =, ezért a második Borel Catellilemma szerit az A eseméyek közül egy valószíűséggel végtele sok bekövetkezik, azaz az X / log végtele sok -re meghaladja 1 ε értéket, ami éppe 15
azt jeleti, hogy lim sup X / log 1 ε, m.b. Ezzel beláttuk, hogy tetszőleges ε > 0 szám eseté lim sup X / log 1 ε, m.b., vagy másképpe, ha B ε = {ω : lim sup X / log 1 ε}, akkor P{B ε } = 1. Legye ε 0 egy 0-hoz tartó mooto csökkeő sorozat, és B := =1B ε. Megszámlálható sok 1 mértékű eseméy metszete is 1 mértékű, így P{B} = 1. Ugyaakkor, B éppe az az eseméy, ahol lim sup X / log 1. Ezzel az egyik iráy kész. Azt kell még beláti, hogy lim sup X / log 1 m.b. Legye megit ε > 0 tetszőleges, rögzített, és legye C = {X > (1 + ε) log }. Ekkor P{C } = P{X > (1 + ε) log } = e (1+ε) log = (1+ε), és így =1 P{C } <. Az első Borel Catelli-lemma szerit a C eseméyek közül egy valószíűséggel csak véges sok következik be. Vegyük észre, hogy itt ics szükségük a függetleségre! Ez pedig éppe azt jeleti, hogy lim sup X / log < 1 + ε m.b. Jelölje D ε a lim sup X / log < 1 + ε eseméyt! Megmutattuk, hogy P{D ε } = 1. Legye ε 0 egy 0-hoz tartó mooto csökkeő sorozat, és D := =1D ε. Megszámlálható sok 1 mértékű eseméy metszete is 1 mértékű, így P{D} = 1. Ugyaakkor, D éppe az az eseméy, ahol lim sup X / log 1. Ezzel a másik iráy is kész. 2.6. Legyeek X 1, X 2,... függetle emegatív egész értékű véletle változók. Mutassuk meg, hogy az X 1 + X 2 + sor akkor és csakis akkor koverges m.b., ha P{X > 0} <. =1 2.7. Legyeek X 1, X 2,... függetle stadard ormális véletle változók. Mutassuk meg, hogy X lim sup = 1 m.b. 2 log Segítség. Mutassuk meg, hogy ( 1 x 1 ) x 3 ϕ(x) 1 Φ(x) 1 x ϕ(x). 2.8. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges p (0, 1) eseté aak a valószíűsége, hogy Z 2 élperkolációjába va végtele kompoes, az 0 vagy 1. (Azaz a 16
égyzetrács mide élét egymástól függetleül p valószíűséggel megtartom, 1 p valószíűséggel pedig eldobom.) 2.9. Legyeek X, X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók, melyek közös eloszlásfüggvéye P{X x} = 1 1/x, ha x > 1, külöbe 0. Igazoljuk, hogy lim sup X log = m.b. 2.10. Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású véletle változók [0, 1]-e. Mutassuk meg, hogy a =1 i=1 végtele sor majdem biztosa koverges, ha P{X = 1} < 1. 2.11. Legyeek X 1, X 2,... függetle Uiform(0, 1) véletle változók. Mutassuk meg hogy az X 1, X 2,... sorozat torlódási potjaiak halmaza [0, 1] m.b. 2.12. Legyeek X 1, X 2,... függetle λ > 0 paraméterű expoeciális eloszlású véletle változók. Adjuk meg egy kokrét a sorozatot, melyre eseté a és { P{X > (1 + ε)a végtele sok -re} = 0, ha ε > 0, 1, ha ε 0. X i 2.13. Legye X 1, X 2,... egy végtele érmedobássorozat. Jelölje l az - edik lépéssel kezdődő 0-futam hosszát, azaz l = k, ha X = X +1 =... = X +k 1 = 0, és X +k = 1. Mutassuk meg, hogy P{l r} = 2 r, r N. Továbbá, ha =1 2 r <, akkor Következméykét igazoljuk, hogy ([2] Example 4.1 p.53) P{l r végtele sokszor } = 0. P{lim sup l log 2 1} = 1. 2.14. Folytatás. Igazoljuk, hogy r N mooto övő sorozat eseté ha =1 2 r /r = akkor P{l r végtele sokszor } = 1. 17
Következméykét P{ l log 2 és így a két feladatból együtt ([2] Example 4.1 p.53) 1 végtele sokszor } = 1, P{lim sup l log 2 = 1} = 1. 2.15. Szetpétervári paradoxo. Péter addig dobál egy szabályos érmét, míg fej em lesz. Ha ez a k-adik dobásra következik be először, akkor fizet Pálak 2 k dukátot. Ekkor, ha X jelöli Pál yereméyét, akkor P{X = 2 k } = 1/2 k. Meyi E(X)? Legyeek X 1, X 2,... függetle szetpétervári változók. Ezekre teljesül a következő gyege törvéy (Feller, 1945): { } S P log 1 > ε 0, mide ε > 0 eseté. Mutassuk meg, hogy lim sup X log = m.b., azaz a megfelelő erős törvéy em teljesülhet. 2.16. Tekitsük egy végtele fej írás sorozatot. Jelölje A azt az eseméyt, hogy az hosszú sorozatba va 1/2 log 2 egymás utái fej, B pedig azt az eseméyt, hogy va 3 log 2 egymás utái fej. Igazoljuk, hogy egy valószíűséggel A véges sok kivételével bekövetkezik, ugyaakkor B csak véges sok -re következik be! Erdős Réyi: O a ew law of large umbers 3. Vektorváltozók Vektorváltozók, abszolút folytoos és diszkrét eloszlások, sűrűségfüggvéy, függetleség, véletle változók traszformációi Az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d függvéyt véletle vektorak evezzük, ha mérhető, azaz mide B B d d-dimeziós Borel-halmaz iverz képe A-beli. Ez potosa akkor teljesül, ha mide kompoes véletle változó 18
(miért?). A véletle vektor egyetle kompoeséek eloszlását evezzük peremeloszlásak. Az X véletle vektor eloszlásfüggvéye, vagy az X 1,..., X d változók együttes eloszlásfüggvéye az F (x 1,..., x d ) = P{X 1 x 1,..., X d x d } függvéy. Egy d-változós függvéy potosa akkor eloszlásfüggvéy, ha (1) mide koordiátájába jobbról folytoos és mooto övő (emcsökkeő); (2) mide i-re és mide rögzített x 1,..., x i 1, x i+1,..., x d valós számok eseté lim x F (x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x d ) = 0 teljesül; (3) lim x1,...,x d F (x 1,..., x d ) = 1; (4) F megváltozása mide téglateste 0. [Az egydimeziós esetbe (4) következik a mootoitásból, de magasabb dimezióba em (lásd 3.1. Feladat).] Az F eloszlásfüggvéy által idukált µ F Lebesgue Stieltjes-mérték az egydimeziós esethez hasolóa defiiálható [a balról yitott jobbról zárt téglák most is félalgebrát alkotak; egy ilye tégla mértéke legye F megváltozása]. Az X véletle vektor eloszlása folytoos, ha eloszlásfüggvéye abszolút folytoos, azaz va olya f : R d R valós mérhető függvéy, hogy µ F (B) = f(x)dx, mide B B Bd d-dimeziós Borel-halmazra. Nyilvá f csak Lebesgue-m.m. egyértelműe meghatározott; ezt evezzük X sűrűségfüggvéyéek. Az X véletle változó diszkrét, ha µ F -ek va megszámlálható tartója, azaz vaak x 1, x 2,... R k -beli potok, hogy =1 µ F ({x }) = 1. Az X 1, X 2,..., X véletle változók függetleek, ha P{X 1 B 1,..., X B } = P{X 1 B 1 } P{X B } teljesül mide B 1,..., B Borelhalmazra. Eek szükséges és elegedő feltétele, hogy az együttes eloszlásfüggvéy faktorizálható, azaz F (x 1,..., x ) = F (x 1 ) F (x ). Köye igazolható, hogy folytoos eloszlások eseté ez az együttes sűrűségfüggvéy faktorizálhatóságával ekvivales. Ha X folytoos, sűrűségfüggvéy-e f és P{X I} = 1, ahol I véges vagy végtele itervallum és h szigorúa mooto (övő vagy csökkeő), folytoosa differeciálható függvéy I-, h (x) 0, x I, akkor az Y = h(x) változó is folytoos és sűrűségfüggvéye { f(h 1 (y)), ha y h(i), g(y) = h (h 1 (y)) 0, ha y h(i), 19
3.1. Eloszlásfüggvéy-e? (a) H(x, y) = e e (x+y) ; (b) H(x, y) = e e x e y. 3.2. Határozzuk meg a poliomiális eloszlás peremeloszlásait! Megjegyzés. Az (X 1, X 2,..., X ) véletle vektor poliomiális eloszlású, ha P{X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k } = ( ) m p k 1 1 k 1, k 2,..., k 2 2 pk ( ) m j=1 1 p k j j, ahol k j 0, j=1 k j m, p j 0, j=1 p j 1, és ( ) m m! = k 1, k 2,..., k k 1!k 2! k!(m j=1 k j)!. 3.3. Legye U(x, y) = F (x)g(y)[1+α(1 F (x))(1 G(y))], ahol F (x), G(x) eloszlásfüggvéyek és α 1. Mutassuk meg, hogy U(x, y) eloszlásfüggvéy, melyek peremeloszlásai F (x) és G(y)! 3.4. Legye az (X, Y ) véletle változó eloszlása egyeletes az egységkörbe. Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt és a peremeloszlások sűrűségfüggvéyeit! 3.5. Legye az X és Y véletle változók együttes sűrűségfüggvéye { 4 h(x, y) = (x + xy + y), ha(x, y) (0, 5 1)2, 0, külöbe. Határozzuk meg a peremeloszlásokat! 3.6. Mutassuk meg, hogy a következő függvéyek sűrűségfüggvéyek! (a) A λ paraméterű, p-ed redű Γ eloszlás (p > 0, λ > 0): { λ p x p 1 e f(x) = λx, ha x > 0, Γ(p) 0, külöbe. j=1 (b) Az (a, b) paraméterű Cauchy eloszlás (a > 0, b R): f(x) = 1 π 20 a a 2 + (x b) 2.
(c) Kétdimeziós Γ eloszlás (p, q > 0): { x p 1 (y x) q 1 e y, ha 0 < x < y <, h(x, y) = Γ(p)Γ(q) 0, külöbe. 3.7. A béta függvéy (vagy elsőfajú Euler féle itegrál). (a) Bizoyítsuk be, hogy B(x, y) = 1 0 tx 1 (1 t) y 1 dt <, x > 0, y > 0, és B(x, y) = B(y, x). (b) Bizoyítsuk be, hogy x > 0, y > 1 eseté B(x, y) = (c) Ha y N, akkor B(x, y) = (d) Tetszőleges N számra (y 1)! x(x+1)...(x+y 1). y 1 B(x, y 1). x+y 1 B(x, y) = (x + y)(x + y + 1)... (x + y + 1) B(x, y + ). y(y + 1)... (y + 1) (e) Igazoljuk a béta függvéy alábbi végtele szorzat előállítását: ( 1)! (x + y)(x + y + 1)... (x + y + 1) B(x, y) = lim x(x + 1)... (x + 1)y(y + 1)... (y + 1). 3.8. A gamma függvéy (vagy másodfajú Euler féle itegrál). (a) Mutassuk meg, hogy Γ(x) = t x 1 e t dt <, x > 0, és tetszőleges 0 p > 0 eseté Γ(x) = p x u x 1 e up du. 0 (b) Mutassuk meg, hogy p x B(x, p + 1) < Γ(x) < (p + x + 1) x B(x, p + 1). (c) Mutassuk meg, hogy ( 1)! x Γ(x) = lim x(x + 1)... (x + 1). (d) Bizoyítsuk be, hogy B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y). 3.9. Az alábbi f( ), h(, ) függvéyek esetébe határozzuk meg c álladó értékét, hogy sűrűségfüggvéyt kapjuk! Többdimeziós esetbe adjuk meg a peremeloszlásokat! 21
(a) A (p, q)-redű B eloszlás (p, q > 0): { cx f(x) = p 1 (1 x) q 1, ha 0 < x < 1, 0, külöbe. (b) Kétdimeziós B eloszlás (p, q, r > 0): { cx h(x, y) = p 1 y q 1 (1 x y) r 1, ha 0 < x, y és x + y < 1, 0, külöbe. { c e (c) h(x, y) = x, ha 0 x, 0 < y < 2, 0, külöbe. { e (d) h(x, y) = cx, ha 0 < y < x, 0, külöbe. 3.10. Jelölje ϕ() az Euler-féle függvéyt, azaz ϕ() az -él kisebb -hez relatív prím pozitív egészek száma. Bizoyítsuk be valószíűségszámítási úto, hogy ϕ() = ( 1 1 ). p p 3.11. Adjuk példát olya A, B, C eseméyekre, melyek párokét függetleek, de em függetleek! Adjuk példát A, B, C és D eseméyekre, hogy bármely három közülük függetle, de mid a égy em függetle! 3.12. Mutassuk meg, hogy eseméyek egy {A j : j J} halmaza potosa akkor függetle, ha a megfelelő idikátorváltozók függetleek. 3.13. Legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók, és g k ( ), k = 1, 2,..., Borel mérhető függvéyek. Bizoyítsuk be, hogy g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ),..., g (X ) véletle változók is függetleek! 3.14. Láttuk, hogy abszolút folytoos véletle vektorváltozó peremeloszlásai abszolút folytoosak. Igazoljuk, hogy ez em megfordítható, azaz mutassuk X, Y abszolút folytoos véletle változókat, melyek együttes eloszlása em abszolút folytoos! 3.15. Lássuk be, hogy ha az (X, Y ) véletle vektorváltozó abszolút folytoos, akkor P(X = Y ) = 0. Az együttes sűrűségfüggvéyel írjuk fel a P(X Y ) valószíűséget! 3.16. Határozzuk meg a P(X = Y ) és P(X Y ) valószíűségeket, ha 22
(a) Ha X Exp(λ), Y Exp(µ) függetle véletle változó; (b) Ha X, Y függetle geometriai eloszlású véletle változók; (c) Ha X és Y diszkrét függetle véletle változók, melyek lehetséges értékei ugyaazok az x 1, x 2,... számok. Továbbá P(X = x k ) = p k és P(Y = x k ) = q k. 3.17. Legyeek X és Y függetle Exp(λ) véletle változók. Igazoljuk, hogy X Y is expoeciális eloszlású és adjuk meg a paraméterét is! Megoldás. Meg kell határozuk X Y eloszlásfüggvéyét, azaz az F (z) = P{ X Y z} valószíűségeket. Mivel X Y 0 ezért feltehetjük, hogy z 0. F (z) helyett 1 F (z) = P{ X Y > z} értéket számoljuk ki. Legye S z = {(x, y) : x y > z, x 0, y 0}, és jelölje f(x, y) az (X, Y ) vektor együttes sűrűségfüggvéyét. Ekkor P{ X Y > z} = P{(X, Y ) S z } = f(x, y) dxdy. S z A függetleség miatt f(x, y) = λe λx λe λy, ha x 0 és y 0, és 0 külöbe. Ezért a szimmetria és a Fubii-tétel alapjá f(x, y) dxdy = λ 2 e λ(x+y) dxdy S z S z [ x z ] = 2 λ 2 e λ(x+y) dy dx = 2 z z = e λz. 0 λe λx [ 1 e λ(x z)] dx Tehát F (z) = 1 e λz, azaz X Y is expoeciális eloszlású λ paraméterrel. Megjegyzés. Valójába az S z halmaz (X, Y ) vektor által idukált kétdimeziós µ (X,Y ) Lebesgue Stieltjes-mértékét határoztuk meg. Ez abszolút folytoos esetbe az f(x, y)dxdy mérték, azaz formálisa µ (X,Y ) (dx, dy) = f(x, y)dxdy. 3.18. Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Tekitsük a polárkoordiáta-traszformációval kapott (R, Θ) vektorváltozót, ahol R = X 2 + Y 2 és tgθ = X/Y. Határozzuk meg (R, Θ) együttes eloszlását! Igazoljuk, hogy ezek függetleek! 23
Megoldás. Meg kell határozuk az (R, Θ) vektorváltozó eloszlásfüggvéyét. Világos, hogy R 0 és Θ [0, 2π). Legye tehát r > 0 és α (0, 2π). A stadard ormális sűrűségfüggvéy e x2 /2 / 2π, és mivel a változók függetleek, az együttes sűrűségfüggvéy f(x, y) = e x2 /2 y 2 /2 /(2π). Legye S r,α = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2, xy } ta α. Ez éppe azo (x, y) = (ρ cos ϕ, ρ si ϕ) potok halmaza, melyek polárkoordiátás alakjába ρ = x 2 + y 2 r és ϕ α. Így P{R r, Θ α} = P{(X, Y ) S r,α } 1 = S r,α 2π e x 2 +y 2 2 dxdy. A itegrálási tartomáy alakjából és itegradusból is látszik, hogy érdemes áttéri polárkoordiátás alakra; azaz legye x = ρ cos ϕ, y = ρ si ϕ. A traszformáció Jacobi-mátrixáak determiása ρ, így 1 x 2 +y 2 α r 1 S r,α 2π e 2 dxdy = 0 0 2π e fracρ22 ρ dρ dϕ = α 2π ( 1 e r2 2 Az eloszlásfüggvéy alakjából látjuk (α = 2π ill. r helyettesítéssel), hogy a két peremeloszlás P{R r} = 1 e r2 2, ). P{Θ α} = α 2π, és az is világos, hogy R és Θ függetleek, valamit Θ egyeletes eloszlású a [0, 2π] itervallumo. 3.19. Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Határozzuk meg az XY/ X 2 + Y 2 eloszlását! 3.20. Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Igazoljuk, hogy X + Y és X Y függetleek! [Ez a tulajdoság karakterizálja is a ormálist, de erről majd később, a karakterisztikus függvéyekél, 6.13. Feladat.] 3.21. Egyeletes eloszlás szerit válasszuk egy potot az egységgömbö. A szélességi és hosszúsági körök megadásával a véletle pot leírható (Θ, Ψ) párral, ahol θ [0, π], ψ ( π, π]. Határozzuk meg (Θ, Ψ) eloszlását! 3.22. Legyeek X 1, X 2,..., X függetle véletle változók F 1, F 2,..., F eloszlásfüggvéyel. 24
(a) Adjuk meg az m = mi{x 1, X 2,..., X }, M = max{x 1, X 2,..., X } véletle változók eloszlását! (b) Tegyük fel, hogy a közös eloszlás E(0,1). Adjuk szükséges és elegedő feltételt az {a } sorozatra, hogy P(m a ) 1 és P(M 1 a ) 1. 3.23. Legyeek X 1, X 2,..., X függetle expoeciális eloszlású véletle változók, λ 1, λ 2,..., λ paraméterekkel és X = mi{x 1, X 2,..., X }. Igazoljuk, hogy X Exp(λ 1 + λ 2 +... + λ ), és P(X = X k ) = Megoldás. Feltehetjük, hogy k = 1. Ekkor λ k λ 1 + λ 2 +... + λ, k = 1, 2,...,. {X = X 1 } = {X 1 X 2, X 1 X 3,..., X 1 X } = {(X 1,..., X ) S 1 }, ahol S 1 = {(x 1, x 2,..., x ) R : x 1 = mi{x 1, x 2,..., x }}. Mivel a változóik függetleek, ezért az együttes sűrűségfüggvéy f(x 1,..., x ) = f X1 (x 1 )... f X (x ) = λ 1 e λ 1x 1... λ e λx I x1 >0(x 1 )... I x>0(x ), tehát a keresett valószíűség P{X = X 1 } =... f(x 1,..., x ) dx 1... dx S 1 = λ 1 e λ 1x 1... λ e λx dx 1... dx. S 1 [0, ) Fubii tételével a feti -szeres itegrál egyszerűe számolható. Mivel x 1 a legkisebb, ezért a többi változó rögzített x 1 eseté az (x 1, ) itervallumo változik, x 1 pedig a (0, )-e. Tehát az előbbi itegrál [ ] =... λ 1 e λ 1x 1... λ e λx dx 2... dx dx 1 0 x 1 x 1 x 1 [ ] = λ 1 e λ 1x 1 λ 2 e λ 2x 2 dx 2... λ e λx dx dx 1 0 x 1 = = 0 λ 1 e λ 1x 1 e λ 2x 1... e λx 1 dx 1 λ 1 λ 1 +... + λ, 25 x 1
amit állítottuk. 3.24. Adjuk példát olya X és Y expoeciális eloszlású véletle változókra, melyek (a) miimuma expoeciális, de em az előző feladatba megadott paraméterrel; (b) miimuma em expoeciális; (c) maximuma expoeciális. 3.25. Mit modhatuk geometriai eloszlású véletle változók miimumáról és maximumáról? 3.26. Legyeek X 1, X 2,..., X függetle azoos eloszlású, abszolút folytoos véletle változók. Meyi a valószíűsége, hogy X 1 agyobb az összes többiél? 3.27. Egy megbeszélésre hivatalos ember. Mideki 5 óra és 5:10 között érkezik egymástól függetleül, egyeletes eloszlás szerit. Amit valaki megérkezik és csöget, α idő telik el és a házigazda beegedi. Ha eközbe mások is érkezek, akkor azok egyszerre meek be a korábba érkezővel. Meyi a valószíűsége, hogy mideki egyszerre érkezik? 3.28. Legye X E(-1,1) eloszlású véletle változó. Határozzuk meg a következő véletle változók sűrűségfüggvéyeit: (a) X ; (b) X 2 ; (c) e X. 3.29. Legye X Exp(λ) eloszlású véletle változó. Határozzuk meg a következő véletle változók sűrűségfüggvéyeit: (a) 2X + 3; (b) X 3 ; (c) X. 3.30. Bizoyítsuk be, hogy ha X E( π/2, π/2) eloszlású, akkor tgx az (1,0) paraméterű Cauchy eloszlású véletle változó. 3.31. Bizoyítsuk be, hogy ha X az (1,0) paraméterű Cauchy eloszlású véletle változó, akkor 26
(a) 1 X ; (b) 2 X ; 1 X 2 (c) 3 X X3 1 3 X 2 is Cauchy eloszlású. 3.32. Legyeek X és Y függetle egyeletes eloszlásúak [0,1]-e, és legye R = X 2 + Y 2. Határozzuk meg R eloszlás- és sűrűségfüggvéyét! 3.33. Legye X = mi{u, V }, Y = max{u, V }, ahol U és V függetleek és egyeletes eloszlásúak [0,1]-e. Határozzuk meg (a) X (b) 1 Y (c) Y X eloszlását! 3.34. Tegyük fel, hogy (X, Y ) egyeletes eloszlású az {(x, y) : 0 < y < x < 1} tartomáyo. Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt és a margiális sűrűségeket! Függetleek-e X és Y? 3.35. Legye az X és Y változók együttes sűrűségfüggvéye f(x, y) = 6e 2x 3y (x, y > 0), 0, külöbe. Határozzuk meg az együttes és margiális eloszlásfüggvéyeket! Függetleek-e X és Y? 3.36. Legye X és Y együttes sűrűsége { c(y f(x, y) = 2 x 2 )e y, y x y, y > 0, 0, külöbe. Adjuk meg c értékét és igazoljuk, hogy Y gamma eloszlású! 3.37. Legye X és Y együttes sűrűsége f, ahol (a) f(x, y) = xe x(1+y), ha x, y 0; (b) f(x, y) = 6xy 2, ha x, y 0 és x + y 1; (c) f(x, y) = 2xy + x, ha x, y (0, 1); (d) f(x, y) = (x + y) 2 (x y) 2, ha x, y (0, 1). Határozzuk meg a margiálisokat! Függetleek-e a változók? 27
4. Véletle változók traszformáltjai Véletle változók összegéek, szorzatáak, háyadosáak eloszlása, kovolúció Legyeek X és Y függetle véletle változók F és G eloszlásfüggvéyel. A Z = X + Y változó eloszlásfüggvéye H(x) = P{Z x} = P{X + Y x} = F (x y)dg(y) = G(x y)df (y). R A H eloszlásfüggvéyt az F és G függvéyek Lebesgue Stieltjes-kovolúciójáak evezzük. Ha még X és Y folytoosak is f és g sűrűségfüggvéyel, akkor Z is folytoos és sűrűsége h(x) = f(x y)g(y)dy = R g(x y)f(y)dy. A h függvéyt a f és g függvéy kovolúciójáak evezzük. Hasolóa meghatározható függetle véletle változók háyadosáak eloszlása is. Legyeek X és Y folytoos véletle változók f és g sűrűséggel. Ekkor a Z = X/Y változó is folytoos és sűrűsége h(x) = f(xv) v g(v)dv. 4.1. Legyeek X és Y függetleek, melyek 1,2,3 és 4 értéket veszek fel redre 0, 1, 0, 2, 0, 3 és 0, 4 valószíűséggel. Adjuk meg X + Y eloszlását! 4.2. Legyeek X és Y függetle p-paraméterű geometriai eloszlású változók. Adjuk meg X + Y eloszlását! 4.3. Legyeek X és Y függetle Poisso eloszlású véletle változók λ és µ paraméterekkel. Határozzuk meg Z = X + Y eloszlását! Megoldás. Diszkrét esetbe egyszerűbbe is meghatározhatjuk az eloszlást, em kell a kovolúciós formulát haszáluk. Világos, hogy Z emegatív egész értékeket vehet fel, és a függetleség és a Poisso eloszlás defiíciója 28
szerit P{Z = k} = P{X = l, Y = k l, valamilye l {0, 1,..., k} eseté } k k = P{X = l, Y = k l} = P{X = l}p{y = k l} = l=0 k l=0 l=0 λ l µk l e λ l! (k l)! e µ = e (λ+µ) 1 k! (λ+µ) (λ + µ)k = e. k! k l=0 ( ) k λ l µ k l l Tehát Z egy λ + µ paraméterű Poisso-eloszlású véletle változó. 4.4. Legyeek X, Y függetle, a (0, 1)-e egyeletes eloszlású véletle változók. Határozzuk meg Z = X + Y eloszlását! Megoldás. Mivel az egyeletes eloszlás abszolút folytoos eloszlás, f(x) = I [0,1] (x) sűrűségfüggvéyel, így haszálhatjuk a sűrűségfüggvéyre voatkozó formulát. Eszerit 1 g(x) = f(x y)f(y)dy = I [0,1] (x y)dy. R Mivel 0 x y 1 x 1 y x, így g(x) = 0, ha x / [0, 2], és 1 { x 1dy = x, ha 0 x 1, 0 g(x) = I [0,1] (x y)dy = 1dy = 2 x, ha 1 x 2. 0 1 x 1 0 4.5. Határozzuk meg az alábbi függetle véletle változók összegéek eloszlását! (a) X N(µ 1, σ 2 1), Y N(µ 2, σ 2 2) ; (b) X, Y, Z E(0,1); (c) X Poisso(λ), Y E(0,1). 4.6. Legyeek X 1, X 2,..., X függetle Exp(λ) eloszlású véletle változók. Bizoyítsuk be, hogy az X = X 1 + X 2 + + X véletle változó sűrűségfüggvéye f (x) = λ ( 1)! x 1 e λx, x > 0. 29
Megoldás. Teljes idukcióval bizoyítuk. Az = 1 esetbe igaz az állítás, és tegyük fel, hogy valamely 1 eseté igaz. A kovolúciós formula, és az idukciós feltevés szerit amit állítottuk. f +1 (x) = = f 1 (x y)f (y)dy x λe λ(x y) λ 0 x = λ+1 ( 1)! e λx = λ+1 x e λx, )! ( 1)! y 1 e λy dy 0 y 1 dy 4.7. Az -szabadsági fokú χ 2 -eloszlás. Legyeek Z 1, Z 2,..., Z függetle N(0,1) eloszlású véletle változók. Bizoyítsuk be, hogy az X = Z 2 1 + Z 2 2 + + Z 2 véletle változó. sűrűségfüggvéye f (x) = x/2 1 e x 2 2 /2 Γ(/2), x > 0. Határozzuk meg X sűrűségfüggvéyét (-szabadsági fokú χ-eloszlás)! 4.8. Az -szabadsági fokú Studet-eloszlás. Legye T = X0 X 2 1 + X 2 2 +... + X 2, ahol X 0, X 1,..., X függetle N(0,1) véletle változók. Mutassuk meg, hogy T sűrűségfüggvéye f (x) = Γ ( ) +1 2 ( π Γ ) 2 ) +1 (1 + x2 2, x R. 4.9. Az és m szabadsági fokú F-eloszlás. Legyeek X χ 2 () és Y χ 2 (m) függetle véletle változó. Határozzuk meg mx/(y ) véletle változó sűrűségfüggvéyét! 4.10. Legyeek X, Y függetle, azoos eloszlású emegatív véletle változók, F eloszlásfüggvéyel. Adjuk meg az (X + Y, max{x, Y }) vektorváltozó eloszlását! 30
4.11. Legyeek X 1, X 2,..., X véletle változók függetleek és azoos eloszlásúak. Továbbá legye P(X i = k) = 1/3, k {0, 1, 2}. Adjuk meg Y = X 1 X 2... X eloszlását! 4.12. Legye F egy emegatív véletle változó eloszlásfüggvéye. Igazoljuk, hogy x > 0 eseté F 2 (x/2) + 2 és 0 z x 2z eseté F 2 (x/2) + 2 z x/2 x x/2 F (x u)f (du) = F 2 (x), F (x u)f (du) = F (z)f (x z) + z x z F (x u)f (du). (Ez em túl szórakoztató, de segít begyakoroli a Lebesgue Stieltjes itegrállal való számolást.) Megjegyzés. Eszerit b a Eél a feladál szükség va a parciális itegrálás formulájára. F (x)dg(x) = F (b)g(b) F (a)g(a) b a G(x)dF (x). Eek bizoyítása megtalálható a [6] jegyzetbe. Vegyük észre, hogy abba az esetbe mikor F, G abszolút folytoosak, akkor a formula a Riema-féle itegrálelméletbe ismert parciális itegrál formulája. Azt is megjegyezzük, hogy a Lebesgue Stieltjes-féle általáos esetbe egyszerűbb megjegyezi a formulát. 4.13. Legyeek X és Y függetle E(0,1) eloszlású véletle változók. Adjuk meg XY és X/Y véletle változó eloszlását! 4.14. Kovolúció általába. Legye M a komplex Borel-mértékek tere R-e, a µ = µ (R) ormával. Tetszőleges E Borel-mérhető halmaz eseté tekitsük az E 2 = {(x, y) : x + y E} R 2 halmazt. Tetszőleges λ, µ M mértékek eseté defiiáljuk a két mérték kovolúcióját a (µ λ)(e) = (µ λ)(e 2 ) formulával, ahol a (µ λ) a szorzatmérték. (a) Mutassuk meg, hogy λ µ M, és λ µ λ µ. (b) Mutassuk meg, hogy f dν = f(x + y) dµ(x) dλ(y), ahol ν = λ µ, és f C 0 (R) (végtelebe eltűő függvéy). 31
(c) Mutassuk meg, hogy a kovolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. (d) Mutassuk meg, hogy (µ λ)(e) = µ(e t) dλ(t), ahol E t = {x t : x E}. (e) Mutassuk meg, hogy µ λ diszkrét, ha µ és λ is diszkrét, és folytoos, ha µ folytoos. Továbbá µ λ << m, ha λ << m, ahol m a Lebesguemérték ( m / M!). (f) Ha dµ = fdm és dλ = g dm, ahol f, g L 1 (R), akkor d(λ µ) = (f g) dm, ahol (f g)(x) = f(x t)g(t) dt a szokásos kovolúció. ([10]) Megjegyzés. A valószíűségszámításba defiiált kovolúció a fetiek speciális esete, amikor λ és µ Lebesgue Stieltjes-mértékek. Az (f) pot a sűrűségfüggvéyre voatkozó formula általáosa. 4.15. Legyeek X 1, X 2, X 3 függetle Exp(1) eloszlású véletle változók. Határozzuk meg (X 2 X 1, X 3 X 2 ) együttes sűrűségfüggvéyét! 4.16. Legyeek X 1 és X 2 függetle (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlású véletle változók. Mutassuk meg, hogy is (1,0) paraméterű Cauchy-eloszlás. Y = X 1 + X 2 1 X 1 X 2 4.17. Igazoljuk, hogy függetle stadard ormálisok háyadosa Cauchyeloszlású! 4.18. Legyeek X, Y függetle expoeciális eloszlású véletle változók 1 paraméterrel. Határozzuk meg X/(X + Y ) eloszlását! 4.19. Legyeek γ és γ függetle gamma eloszlású véletle változók (a, c) és (b, c) paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy γ/(γ + γ ) eloszlása beta(a, b), és függetle γ + γ változótól, amiek eloszlása gamma(a + b, c). Bertoi, de folklór 4.20. Legyeek X 1, X 2,... függetle Exp(1) eloszlású véletle változók, és jelölje S = X 1 + + X a részletösszegüket. Igazoljuk, hogy az ( ) S1 S 2 S,,..., S +1 S +1 32 S +1
véletle vektor eloszlása tetszőleges rögzített eseté megegyezik egy [0,1]- e egyeletes eloszlásból vett elemű redezett mita eloszlásával, azaz az (U 1,..., U ) vektor eloszlásával, ahol U 1,..., U függetle Egyeletes(0, 1) véletle változók, és U 1 U 2... U ezek sorba redezése. Segítség. A sűrűségfüggvéyek egyelőségét igazoljuk. Világos, hogy midkét vektor az {0 x 1... x 1} térrészbe kocetrált. Világos, hogy a redezett mita sűrűsége eze a halmazo kostas!. Vegyük egy tetszőleges 0 < x 1 < x 2 <... < x < 1 potot. A lim h i 0,i=1,..., ( ) 1 2 h i P{S i /S +1 (x i h i, x i + h i ), i = 1,..., } i=1 határértéket akarjuk meghatározi. Hajtsuk végre az x 1 + + x i = u i, i = 1,...,, + 1 itegráltraszformációt, és vegyük észre, hogy elég kis h i értékek eseté a diszjukt ((x i h i )u +1, (x i + h i )u +1 ) itervallumoko itegráluk, i = 1,...,. Így azt kapjuk, hogy a föti limesz = lim h i 0,i=1,..., ( ) 1 2 h i i=1 0 [2h i u +1 ]e u +1 du +1 =!. i=1 5. Várható érték Várható érték, mometumok, egyelőtleségek Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező, X egy véletle változó. véletle változó várható értéke E(X) = XdP. Ω Az X Jelölje F az X eloszlásfüggvéyét, és µ F az F által idukált Lebesgue Stieltjes-mértéket. Teljesül az ú. traszformációs tétel: h(x)dp = h(x)df (x)(= h(x)dµ X (x), Ω R ahol h valós mérhető függvéy. Az egyelőség úgy értedő, hogy a két oldal ugyaakkor létezik, és ha létezek akkor egyelők. Az X k-adik mometuma E(X k ), ill. k-adik cetrális mometuma E((X E(X)) k ). Speciálisa a szóráségyzet a második cetrális mometum: D 2 (X) = E((X E(X)) 2 ). R 33
A Csebisev-egyelőtleséggel becsülhetjük a várható értéktől való eltérést: P{ X E(X) ε} D 2 (X)/ε 2. [Magasabb mometumok létezése eseté a becslés fiomítható (lásd 5.31. Feladat).] Mivel a várható érték egy itegrál, ezért a szokásos tulajdoságok teljesülek: liearitás; kovergeciatételek: Lebesgue mooto, Lebesgue majorás; Hölder-, Mikowski-, Jese-egyelőtleség. Az (X 1,..., X ) : Ω R véletle vektorváltozó várhatóérték-vektora az (E(X 1 ),..., E(X )) vektor, kovariaciamátrixa az a (σ ij ) i,j=1 mátrix, melyre σ ij =Cov(X i, X j ) = E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))]. 5.1. Egy halastóba N hal va. Kihalászuk M halat, megjelöljük őket, és visszaeresztjük a tóba. Bizoyos idő elteltével, miutá jól elkeveredtek, kihalászuk -et. Ezek között legye a megjelöltek száma X. A teljes halállomáy N meghatározására az M /(X + 1) becslést haszáljuk. Számítsuk ki eek a várható értékét és szórását! Miért em a logikusabb M /X becslést haszáljuk? 5.2. Határozzuk meg a Poisso, a biomiális, az egyeletes és az expoeciális eloszlás várható értékét és szórását! 5.3. Határozzuk meg 1/(X + 1) várható értékét, ha (a) X Biom(, p); (b) X Poisso(λ); (c) X geometriai eloszlású; (d) X hipergeometriai eloszlású. 5.4. Adjuk példát olya X véletle változóra, melyre E( X α ) =, tetszőleges α > 0 eseté. 5.5. Legye (X, Y ) együttes sűrűségfüggvéye h(x, y) = 1 x 2 +π 2 y 2 8π 2 e 8π 2. Függetleek-e X és Y? Határozzuk meg a várható érték vektort és a kovariaciamátrixot! 5.6. Legyeek X és Y függetle N(0,1) véletle változó. Határozzuk meg E( X 2 Y 2 ) értékét! 5.7. Határozzuk meg X véletle változó k-adik mometumát, k = 1, 2,..., ha 34
(a) X N(0, σ 2 ); (b) X Exp(λ); (c) X χ 2 (). 5.8. Számítsuk ki az ötöslottó kihúzott legagyobb és legkisebb szám várható értékét és szórását! 5.9. Határozzuk meg a poliomiális és polihipergeometrikus eloszlás várható érték vektorát és kovariaciamátrixát! Megjegyzés. Polihipergeometrikus eloszlás: P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k ) ( ) M 1 ( M1 = m k 1 )( M2 k 2 )... ( M k )( M i=1 M i m i=1 k i ahol k i 0, i=1 k i m és M i 0, i = 1, 2,...,, i=1 M i M, m M. 5.10. Mutassuk meg, hogy ha X és Y függetleek akkor korrelálatlaok. Példával igazoljuk, hogy a megfordítás em igaz! 5.11. Mutassuk meg, hogy r(x, Y ) = 1 potosa akkor teljesül, ha Y = ax + b, valamilye a, b R álladókra. 5.12. Legye f(x, y) = c(x + y), 0 x, y 1, egy (X, Y ) vektorváltozó sűrűségfüggvéye. Meyi c értéke, peremeloszlások, várható érték vektor, kovariaciamátrix, Xe Y várható értéke. 5.13. Legye X és Y függetle Poisso eloszlású véletle változó λ illetve µ paraméterrel. Határozzuk meg X + Y és XY várható értékét és szórását, valamit a két változó kovariaciáját. 5.14. Legye az X és Y változók együttes sűrűségfüggvéye f(x, y) = 6e 2x 3y (x, y > 0), 0, külöbe. Határozzuk meg az együttes és margiális eloszlásfüggvéyeket! Adjuk meg a kovariaciamátrixot! 5.15. Legye X és Y együttes sűrűsége f, ahol (a) f(x, y) = xe x(1+y), ha x, y 0; (b) f(x, y) = 6xy 2, ha x, y 0 és x + y 1; (c) f(x, y) = 2xy + x, ha x, y (0, 1); 35 ),
(d) f(x, y) = (x + y) 2 (x y) 2, ha x, y (0, 1). Határozzuk meg a kovariaciamátrixot! 5.16. Legye az (X, Y ) véletle vektor sűrűsége f(x, y) = 3/x 5, ha x y 0, x 1. Adjuk meg a kovariaciamátrixot! 5.17. Legyeek X és Y függetle stadard ormálisok. Határozzuk meg az (X Y, X + Y ) vektor várhatóérték-vektorát és kovariaciamátrixát! 5.18. Legyeek X 1, X 2,..., X ugyaazo a valószíűségi mező defiiált véletle változók. Mutassuk meg, hogy a véletle változók potosa akkor függetleek, ha tetszőleges t 1, t 2,..., t : R R korlátos mérhető függvéyek eseté E (t 1 (X 1 )t 2 (X 2 )... t (X )) = E (t 1 (X 1 )) E (t 2 (X 2 ))... E (t (X )). 5.19. Legye X véletle változó. Mutassuk meg, hogy (a) ha E(X) <, akkor (b) ha E(X 2 ) <, akkor lim x [1 F (x)] = 0 és lim xf (x) = 0; x x lim x x 2 df (y) y >x y <x y2 df (y) = 0. Megoldás. Az (a) részt bizoyítjuk, a (b) hasolóa megy. Először itegrálalakba írjuk az x[1 F (x)] kifejezést, majd a határból leválasztjuk x-et. Ha x > 0, akkor x [1 F (x)] = x x df (y) = 0 xi {y>x} (y)df (y). Vegyük észre, hogy mide y > 0 eseté xi {y>x} (y) 0, amit x, hisz ha x > y akkor az itegradus 0. Tehát csak azt kell beláti, hogy az itegrálás és a határátmeet felcserélhető, amit Lebesgue Majorás Kovergeciatételével bizoyítuk. Világos, hogy xi {y>x} (y) y mide x-re, és y itegrálható df (y) szerit, hisze y df (y) = E X <. Ezzel az állítást R beláttuk. 36