MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0
Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe változó meségek mérése Dgtáls méréstechka alapja Laborgakorlatok: Geometra alapmérések D53 www.mog.bme.hu
Elvárások Elérhető teljes potszám: 00 Mérés gakorlatok száma 6, ebből mamálsa 60 pot szerezhető meg az elvégzett mérésekért. Az elmélet aag számokérése az utolsó előadás órá törték. A zh 40 potot ér. Aláírás feltétele m. 40 pot, a következő botásba: A mérések össz-potszáma legalább 4, ZH- 6 pot elérése. Mde mérés gakorlato írásba, vag szóba elleőrzzük az adott mérés gakorlat aagából való felkészülést, és a jegzőköv potszámát a számokérés eredméével súlozzuk. ZH a 4. héte
Mért fotosak a mérés jegzőkövek esetébe a forma követelméek? Kalbrálás jegzőköv Vzsgálóeszköz azoosítószám: Típus: Mérés tartomá: Mérőhasáb készlet száma:.sz. beállító gűrű számjele:.sz. beállító gűrű számjele: Vzsgálat hőmérséklet: Mérőpofák párhuzamossága: Tolómérő felületéek épsége:
Ajálott rodalom Halász Huba: Műszak mérések (Műegetem Kadó, 003) Hütte: A mérök tudomáok kézköve, H fejezet (Sprger, 993) Schell: Jelek és redszerek méréstechkája (Müszak Kövkadó, 985) Walcher: Wkel-ud Wegmessug m Maschebau (VDI 985, ISBN 3-8-400708-)
Bevezetés A GÉPÉSZET ÉS A MÉRÉSTECHNIKA
Példa: NC, CNC pozcoáló redszerek D/A koverter Jelformáló (szabálozó) - Jelfeldolgozó PC, vag mkrokotroller Alapjel (előírt érték)
Aktív csapágazás (N>0.000/m) Pl.: Lézer TV polgo tükre, spec. hűtőkompresszor, www.sm.fr Teljesítmé erősítő Szabálozó Jelfeldolgozó Forgórész Távolságszezor-pár (utadó) Elektromáges-pár
www.sm.fr
CD-fej CD lemez metszete Traspare s réteg Lézersugá r Címkeoldal Védőréteg Tükrözőrét eg Pt Lecse Függőleges mozgatást végző tekercs L,R Forgatást-tolást végző tekercs m Tekercsfoglalat k,b Uref,Vref=0 A CD-fej elv felépítése
Folamatos távolság mérés a CD-fej és a lemez között Lecsefoglalat a leárs motorral A kvadrás fotódetektor, mt mérőtag Cél az értéktartás: a c b d 0 U E
Hosszúság mérés a PAV. reaktorá-ba A reaktor fő mérete
Hosszúság (helzet) mérés a PAV. reaktorába A helzetmérés elv elredezése Mérés feladatok:. Védőcsőblokk. Kosár (fűtőelemek hele) magasság helzetéek 3 potos elleőrzése. Előírt mérés bzotalaság: ma. 0, mm (0e-4) Körezet feltételek: 50 C, radoaktív sugárzás, bóros hűtővíz
Ks ampltúdójú rezgések értés és vsszahatás metes mérése Demo: www.poltec.de, DVD Szubmkroos ampltúdó tartomá Összetett felületek letapogatása Lézerfé, Doppler-effektus Szuperpozícó és lebegés detektálása terferométer segítségével Optoelektrokus érzékelés és elektrokus adatfeldolgozás Alk. pl.: Karosszéra és géprezgések
Ktektő SZEMELVÉNYEK A A MÉRÉSTECHNIKA TÖRTÉNETÉBŐL
Írásos feljegzések, dőszámítás Vca-tordos kultúra Kr. e. 3500 körül Tatárlak táblák (Torma Zsófa) Sumer Kr. e. 300-tól Terület-és hosszmértékek, dőmérés Egptom Kr.e. 300-tól Kía Kr. e. 000-től Maák Kr. e. 000-től 365 ap = év, égévete szökőap Bablo Kr. e. 800-tól Olmékok Kr.e. 00-tól Görögök Kr.e. 776-tól stado ~ 9,5 m Rómaak Kr.e. 753-tól
A MÉRÉSÜGY A TÖRTÉNELEM TÜKRÉBEN Mta élkül a kezdetek kezdeté Sumer Kr.e. 300, Hosszúság - súl - dő 4 hüvelk = köök (~0,495 méter), 6 köök = ád Daa (bru) ~ 8550 méter csllag-aptár, vízóra, ap = óra tömeg-etalo: ~ 65 mg-os hematt súlok (gaboaszem) 6 Maa = g, Maa (~ 0,5 kg) = 60 gr = 80 se K.e. 500 tól terület, térfogat Szla ~0,45 lter Ga ~35 ár, Sar ~35,8 méter, kör 360, terület (π ~ 3), gömb térfogat
Ks smeretterjesztés Mezopotámáról (ha már egszer az írás és számolás egk forráshele) Kr.e. 3500-400 Sumer vrágkor 400 00 Akkad (350 Sargo) 00 000 Sumer reeszász (épvádorlás pusztítja el) 800 700 Óbablo Óasszíra 749 Hammurab 600 00 Közép Bablo (Kaldea) 00 600 Asszíra (~600 Nabukadecar) 546 330 Perzsa (546 Kürosz,50 Dareos) 330 50 Makedóok 50 Kr. u. 6 Parthusok (szkíták) Kr. u. 6-tól Róma, Perzsa, Arába, Törökország
TÖRVÉNYKEZÉS ÉS MÉRÉSÜGY KAPCSOLATA A RÉGMULTBAN SUMER (Kr.e. kb. 300-től) Hog ugodt alvásod lege, potosa mérj, és végezzed mukádat! A legrégebb, smert törvéköv, Ut-Napstm uralkodó (Kr. e. 800 körül) AKKÁD - ASSZÚR - BABILON (Kr. e. kb. 00 500)...ha az ökör szabad ember fát felöklelve, aak halálát okozza, fél mae ezüstöt fzet (Talo: A bablo törvé szellem vezéreszméje a bosszú, ld.: Hammurab törvé- köve Kr.e. 78-686) ÓSZÖVETSÉG (Kr.e. kb. 00-től) Hbátla és potos lege a te súlod, hbátla és potos lege az űrmértéked, hog sokág élj azo a földö, amelet az Úr ad eked! Móz. V. 5. 4-5. ISZLÁM (Kr. u. 560) Az rgalmas és köörületes Allah evébe üldözze balsors azokat, Akk csalak a súlokkal és mértékekkel, valamt azokat, Akk teletöltk a mértékeket, amkor másoktól vásárolak, De lecsökketk, amkor maguk s eladak. Korá, 83. szura
Idő IPARI FORRADALOM KÜSZÖBÉIG 5 MENNYISÉG MÉRÉSE JELLEMZŐ Geom. szög Természet jeleség alapo Hel voatkoztatással Tömeg Térfogat Hosszúság Kohereca élkül Uralkodók, vezetők ökée szert Mértékek kohereca élkülsége az eges országok (országrészek!) között. Példák: H Zsgmod (405) : Tömeg, hossz-és űrmértékek Budához gazítva 655-től a pozso városház mértékek (öl, arasz, rőf, stb.) domacája F 790-g 50-féle fot súlegség, láb, rőf GB 580 tájá (I. Erzsébet) : országos egségesítés ( Imperal mértékek )
VISSZAVEZETÉS TERMÉSZETI ÁLLANDÓKRA : XVIII. SZ. Első javaslatok a HOSSZÚSÁG vsszavezetésére: Gabrel Mouto (Lo, 670): délkör /460-ed része Charles Tallerad autu- püspök 790: s legésdejű ga hossza Fraca Tud. Akadéma: Borda, Lagrage, Laplace, etc. Méter javaslatok: 793-799 Sec-ga hossza Egelítő egvemllomod része Neged-délkör tízmllomod része Változk a ehézség erő lokáls jellege matt Nehézkes mérés Párzs délkör: Dukerque- Barceloa Hosszmértékből származtatva: TÖMEG Lavoser 793: dm³ 4ºC (?) hőmérsékletű víz (?) tömege kg.
A méter keletkezése A délkör hosszáak megállapításához két adat volt szükséges: Dukerque-Barceloa földrajz szélességéek külöbsége a csllagok állása alapjá: 9º 39 A fet távolság meghatározása >00 háromszögelés pot segítségével A 00 év előtt mérés 0. mm-rel rövdebbek állapította meg a méter alapegséget a ma eszközökkel mérhető értékél, - íg ír a szakrodalom. Eretek godolatok: Valóba le potos méréseket tettek lehetővé a korabel műszerek és le stablak voltak a geodéza potok? Mere szabálos-e a Föld alakja az adott délkör meté? Beszélhetük-e valós délkörről? (Képzeletbel kör, amelek középpotja egbeesk a Föld középpotjával (?), és átmeg az Észak (?) és a Dél Sarko (?). Nem a véletle és a redszeres hbák éha egmást kompezáló egüttes hatása eredméez a valóba mpoáló ks eltérést?
EURÓPA ÉS MAGYARORSZÁG 799. jú..: Etalook (ősmértékek) bemutatása a törvéhozásba, letétbe helezés a Köztársaság Levéltárba: Méter: plata rúd Klogramm: plata heger???? 86: Németalföld törvét hoz a bevezetésről 840: Méterredszer törvéessé tétele Fracaországba (Lajos Fülöp) 849: Spaolország törvéese elfogadja az ősmértékeket 847: Bcské Nag Károl matematkus a csllagvzsgálójába vsz az eredetleg a párzs obszervatórum részére készült méter és klogramm etalot. A klogramm jeleleg s megva, a méter a II. vlágháború alatt eltűt. 867-870: Mérésüg törvé előkészítése 874: Törv. elfogadása Magarországo. Kruspér Istvá és Szl Kálmá 870- be újrahtelesít Párzsba a bcske etalookat. 870 Párzs: 5 állam megalapítja a Nemzetköz Méterbzottságot (Kruspér) 875 Párzs: 0 ország aláírja a Nemzetköz Méteregezmét (Appo) 907: Törvé az állam mérésügről, M.kr.Közpot Mértéküg Itézet 95: Megalapítják az OMH-t 007: Magar Kereskedelm Egedélezés Hvatal (volt OMH betagozódott)
NÉHÁNY NEMZETKÖZI SZERVEZET A MÉRÉSÜGYBEN Nemzetköz Méteregezmé CIM közpot laboratóruma Sevres-be: BIPM Nemzetköz Súl-és Mértéküg Hvatal feladata Etalook alapskáláak létesítése Nemzetköz etalook őrzése, összehasolítás Mérés módszerek fejlesztése Fzka álladók meghatározása Nemzetköz Mérésüg Szervezet OIML segít a emzet mérésüg mukáját
Fotos fogalmak a labormérések kértékeléséek segítéséhez (Ks előzetes a taaag statsztka részéből) Mérés sorozat: Azoos meség (méret) smételt mérése ugaazo mukadarabo. Ha a mérést -szer smételjük, és 0, akkor a sorozat szórásáak becslése az átlag szórásával törtéhet. Sorozatmérés: Azoos meség (méret) mérése azoos típusú gártmá eltérő darabja.
AMIKRE A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBÓL ÉPÍTÜNK:. Mérés eredmé alakja. Várható érték (Az smeretle meség matematka becslése, első mometum, leárs átlag) 3. Redszeres hbák eredője (Korrekcó: H) 4. Véletle hbák eredője (Eredő bzotalaság) 5. Megbízhatóság (kofdeca) szt, és faktora 6. Korrgált tapasztalat szórás 7. Átlag szórása smételt mérés eseté (mérés sorozat) 8. Sűrűségfüggvé f() 9. Eloszlásfüggvé (kumulált valószíűség) F() 0. Regresszó (Leárs, valamt Wald módszere)
A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA q q q (ISMÉTLÉS) A mérés csak akkor befejezett, ha a hbaszámítást s elvégeztük! Méredő meség Mérőszám (3 részből áll) Etalo mértékegség h H v Helette: valód érték, csak elmélet, mert ha smerék, em kellee mérük, leolvasott, télegese mért érték h vag heles érték, amelet val. szám. módszerekkel becslük. Az elmélet várható érték (μ), vag az ezt legjobba közelítő átlag H smert redszeres hbák eredője Elméletbe: H = v Gakorlatba: H = h bzotala eredetű, véletle hbák eredője. Bzotalaság tartomá. Pl. eg összetevője a műszerkövbe előjellel szereplő hba.
MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA Fgelem! A következő 4 dá szereplő képletek em felsmerések eredmée. Ezek az összefüggések valószíűségszámítás módszerekkel gazolhatók. Eredmé EGYETLEN MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN: Leolvasott érték H t u Bzotalaság, am az eljárás és a kvtelezés hbára vezethető vssza. (Szűkebbe értelmezve a műszer bzotalasága). Eredő redszeres hba (korrekcó) Megbízhatóság (valószíűség szt) faktora
MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN A TÍPUSÚ BECSLÉSSEL: Eredmé H t s H t s Sorozat átlaga, vag az átlagok átlaga Eredő redszeres hba Átlag szórása Megbízhatóság szt faktora
MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA TÖBB MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN B TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL: H U H t j k u j c s Eredmé Sorozat átlaga Eredő redszeres hba Megbízhatóság szt faktora Kterjesztett bzotalaság
A KITERJESZTETT MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG értelmezése az Europea Cooperato for Accredtato of Laboratores útmutatója alapjá (Mérésüg Közleméek XXXIX./3. 998. U k u t j k u j c s Kterjesztett mérés bzotalaság (k faktor a kofdeca sztből adódk), javasolt értéke:, azaz 95% Kofdeca szt faktora k, vag t A mért adathalmazokból számított szórások égzetösszege. Ha közvetett a mérés, akkor a c súlfaktorokkal s számol kell A mérés hardveres szórásaak, bzotalaságaak eredője
MEGJEGYZÉSEK a kterjesztett mérés bzotalasághoz. A bzotalaság számítása más módo s törtéhet.. Ma apg haszálatosak külöböző vállalatokál u. belső mősítés redszerek, amelek az EAL-R ajálástól eltérhetek. 3. Eg korább dőkbe alkalmazott módo va kszámítva az eredő bzotalaság a Halász Huba: Műszak mérések c. jegzet 5.5. fejezetébe (95. old.). 4. Fotos, hog a felhaszáló számára vlágossá tegük paraméteres alakba s azt, hoga jutottuk az eredméhez. 5. A. sz. mérés kértékelését md a régebb, mt az új útmutatók alapjá el lehet végez, bár ajáljuk a korszerűbb változatot.
MI MICSODA? (Ks valszám előzetes a mérés laborgakorlatok segítése céljából)
Előzetese két fotos képlet: A számta átlag kszámítása: Korrgált tapasztalat szórás meghatározása az abszolút hba felhaszálásával: s A fet képlettel meghatározott szórást korrgált tapasztalat szórásak evezk a valószíűségszámításba és a statsztkába.
Mérés sorozat kértékelése és az eloszlás próbája A szórás számításáál kzárólag csak a sorozat hossza matt megegedett az -el való osztás, - helett!
KEREKÍTÉSI SZABÁLYOK A felesleges számjegeket elhagjuk, a megmaradókat kerekítjük. Elhagott jeg Megmaradó jeg Példák < 5 Nem változk 3.4 3. > 5 Eggel ő 3.6 3. = 5, de utáa va még értékes jeg = 5 és a megmaradó jeg páratla = 5 és a megmaradó jeg páros, vag ulla 3.50 3.5 3.35 Nem változk 3.5 3.45 3.05 3. 3.4 3. 3.4 3.0
04.40 0 088.0 7.3 00.4 07.6 R 3. F L 4 A L 30 04. 0 086 8 00 08 R 3.7 F L 3 4. L A Mérés adatok feldol- gozása adat csoportosítással (osztálok) és Aélkül KEREKÍTÉS.8.809 9 63 s 45. 0 4.5 E 9..897 9 68.4 s 5. 0 5 E
Mérés és valószíűségszámítás Az abszolút gakorságtól a sűrűségfüggvég
Okság törvée A jeleségeket okok redszere hozza létre. Ha az okok mdegkét fgelembe lehete ve, a jeleség lefolása azokból egértelműe levezethető, kszámítható vola. Mvel ez lehetetle, az esetek túlomó többségébe a jeleségeket véletleszerűek evezhetjük.
OKSÁG TÖRVÉNYE KAUZÁLIS SZKÉMA Ha a feltételek összessége feáll, akkor az esemé bekövetkezk. Műszak példa: V A A külöbségtétel csak a saját fogatékos smeretek matt, esetleg célszerűségből szükséges. SZTOCHASZTIKUS SZKÉMA A hatótéezők száma ol ag, és ol boolultak az összefüggések, hog ezeket vag em lehet számba ve, vag a ktűzött feladat megoldása érdekébe ez em s szükséges. A folamat fő jellemzője a véletleszerű tömegjeleség. Műszak példa: Rezgő gépalkatrész által kbocsátott hagomásszt pllaat értéke
Valószíűség számítás fogalma a méréstechkába Valószíűség változó a méréstechkába: mérés adat (elem esemé), és mde jellemző, amt az adatokból számíta lehet. Átlag, szórás, llesztett egees meredeksége, tegelmetszete, stb. Ismételt mérésél véletle gadozást mutat, a külöböző tervallumokba eső értékeket meghatározott valószíűséggel vesz fel. A valószíűség defícója eg később dá látható. Lehet foltoos, vag dszkrét változó.
A mérés adatot tehát véletle elem esemékét kell felfog. A gépészetbe vaak álladó mérés adatok, leek például az alkatrészek hosszmérete, és vaak dőbe foltoosa változó adatok, ezek közé tartozk pl. a rezgés ampltúdó, vag a géprezgések által keletkező hagomásszt gadozása. Valószíűségszámítás szempotból mdkét típust foltoos változóak kell tekte, mert mdkét adat-típus adott értékhatárok között elvbe végtele sok értéket vehet fel. A későbbekbe bevezetésre kerülő eloszlás és sűrűség függvéek defícója matt fotos az, hog a gakorság u. hsztogram segítségével ábrázolható. A hsztogram vízsztes tegelé a mért értékek szerepelek, a függőleges tegele a relatív gakorság.
Valószíűség számítás fogalma a méréstechkába A mérés adatok terjedelme: R = ma - m A terjedelmet résztervallumokra botjuk, és megszámoljuk az eges résztervallumokba eső mérés adatokat. Célszerűség okokból előös, ha a résztervallumok azoos széelsségűek. Eze adatok száma az tervallumba előfordulás gakorsága. Relatív gakorság a gakorság vszoítása az összes mérések számához.
Valószíűség számítás fogalma a méréstechkába A relatív gakorság változk a mérések számáak övelésével: Relatív gakorság Valószíűség= P(A) ahol A az tervallumba esés eseméét jelöl Mérések száma Megfgelhető, hog az esetek többségébe a relatív gakorság gadozása csllapodk a mérések számáak övelésével. Sok mérés eseté jól megbecsülhető az átlag. Ezt az átlagot evezzük az esemé (esetükbe az tervallumba esés) valószíűségéek. A relatív gakorságból következk, hog: 0 P(A) Határozotta meg kell külöböztet a relatív gakorság és a valószíűség fogalmát: A relatív gakorság valószíűség változó, és csupá torzítatla becslése a valószíűségek!
A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉSE 654. júl. 9. Pascal eg Fermat-hoz írt levélbe a valószíűségszámítás első tudomáos géű tárgalása olvasható. 700 800 Az első valószíűség defícók Beroull: A valószíűség ola bzoosság fok, amel úg vszoul a teljes bzoossághoz, mt rész az egészhez. Laplace: Azoos valószíűséggel bekövetkező eseméek eseté P Kedvező eseméek száma Összes lehetséges esemé száma 800 900 Gauss, Posso, Markov stb. A legfotosabb véletle folamatok és valószíűség eloszlások kutatása. 933 Kolmogorov A valószíűség elmélet halmazelmélet alapoko ugvó aomatkus megalapozása. A valószíűség e szert eg eseméhalmazo értelmezett halmazfüggvé p=p(a).
q MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA s 3 A Csoportba sorolással q r r 3... 4... s... 3 s s k... k k k 3 k k k s k s eredő Ha a szórások közelítőleg azoosak: s s s Függetle sorozatokra: s s s... sk... s Az átlagok átlaga, ha mde ksmtába azoos számú elem va: k r m q r r m r r qr k r 0 r f r eseté M f k k d
AZ ELSŐ STATISZTIKAI TAPASZTALATOK : AZ ÁTLAG SZÓRÁSA Tapasztalat té, hog azoos körülméek között megsmételt számú mérés sorozat elvégzése utá mde sorozat eleme szórak a saját átlagértékük körül. Az átlagértékek vszot ugacsak szórak az átlagok átlaga körül, bár eek a szórásak a mértéke lvávalóa ksebb. A várható értéket az átlagok átlaga jobba közelít, mt egetle sorozat átlaga. Az átlagok ormál eloszlást mutatak, ha a mérés eredméek s ormál eloszlásúak. Az átlagok átlaga: Ha em szereték (em tudjuk) a mérés sorozatot elvégez, vajo lehetséges-e egetle, elvégzett mérés sorozat szórásából megbecsül azt, hog a sorozat -szor megsmétlése eseté mekkora lee az átlagok szórása? Ld.: Dához fűzött jegzetbe. j j
Az átlag varacája (szóráségzete) és szórása: s D D D... D D D... D D D D Hoga vszoul egmáshoz egetle mérés sorozat szórása és több mérés sorozat átlagáak szórása? Eg elemű mérés sorozat szórása: s D Átlag sűrűségfüggvée Sorozat sűrűségfüggvée Az átlag becsült szórása: Ezek a valószíűség változók akár átlagok s lehetek! s s
A MÉRÉSEK SZÁMA ÉS A SZÓRÁS A ormál eloszlású valószíűség változó eseté a várható érték körül rajzolt 3σ tartomába esés valószíűsége 99.7 %. Az átlag körül rajzolt s 3 tervallumba esk bele a keresett várható érték. Bzoos méréstechka szabváok az átlag korr. tapasztalat szórásával törtéő számítást gakorlatba csak 0 smételt mérés esetébe egedk alkalmaz. Eek egk okát a 3.. fejezet 39. dájá, a hba csökketésével összefüggésbe láthatjuk. Fotos gakorlat következtetés: A bzotalaság csökketése érdekébe érdemesebb a tapasztalat szórás csökketésére töreked (a mérések godosabb kvtelezésével), mt a mérések számát övel!
HISZTOGRAMTÓL A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNYIG Célszerűség: Az adatok számáak övekedése e okozza az ordáta hosszáak övekedését. Az eges osztálokhoz tartozó részhalmazokat voatkoztassuk a teljes alapsokaságra (ld.: 7. da): q r rel.gakorság A hsztogram eg téglalapjáak területe azoos a relatív gakorsággal: q r f () Az f() függvét sűrűségfüggvéek evezzük.
40 db-os mérés sorozat eredmééek ábrázolása osztálba sorolás utá, hsztogramo: 9 qr 8 7 6 5 4 3 =40 Δ r 00 0 0 03 04 05 06 07 08 09
Valószíűségszámítás jellemzők számítása: Átlagérték várható érték A mta várható értékéek becslése: k r q r Elmélet várható érték: E() f d Szóráségzet (varaca, dszperzó) Tapasztalat szóráségzet eseté: A korrgált tapasztalat szóráségzet: s s k r q r Elmélet szóráségzet: D Var E f d f d
A hsztogramtól a sűrűségfüggvég rajzba qr / Relatív gakorság hsztogramo q r f Δ A valószíűségszámítás modell megadása a valószíűség változó és az eloszlásfüggvé segítségével: F( F( F( ) ) ) P( 0 ) f () Valószíűségsűrűség függvé P f d F
Eloszlásfüggvé sűrűségfüggvé - valószíűség foltoos valószíűség változó, ha eloszlásfüggvée F() foltoos, és szakaszokét foltoosa derválható a sűrűségfüggvé: f P lm 0 df d mde -re A valószíűség kszámítása a sűrűségfüggvé alkalmazásával: P( ) F( ) f d f d F( ) Ha foltoos változó, akkor az = bekövetkezés valószíűsége zérus, de em lehetetle. A méréstechka gakorlatba szokásos határok között forma jeletése a következő: Aak a valószíűsége, hog a megadott tervallumba esk, az eloszlásfüggvé segítségével határozható meg. P(a b) F(b) F(a) b f d a f d
P f d F 0.5866 5.866% f() f(u) Stadard ormál eloszlás Sűrűségfüggvé és a kumulált valószíűség függvé, azaz eloszlásfüggvé szemléltetése μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ -3 - - 0 3 u F() F(u) -0.9775=0.075-0.8434=0.5866 0.5 0.99865 0.9775-0.99865=0.0035 0.8434 μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ -3 - - 0 3 u
Fotos eloszlások a méréstechkába Normál eloszlás Studet eloszlás Egeletes eloszlás Néhá egéb jellegzetes sűrűségfüggvé
Jellegzetes sűrűségfüggvéek f() Alkalmazás Normáls eloszlás (és Stadardzált ormáls eloszlás) f e Közpot határérték tétel: Sok, tetszés szert eloszlású valószíűség változó összege ormáls eloszlást ad. Pl.: Mérés adatok eloszlása Bomáls eloszlás f p p ha 0,,,..., máskét 0 Kockajáték, szúrópróba
Jellegzetes sűrűségfüggvéek f() Alkalmazás Possoeloszlás f e! 0 ha ha 0,,,... 0 Rtka eseméek száma agobb tervallumba Logartmkus ormáls eloszlás f 0 e l ha ha 0 0 Vállalatok forgalma, élettartam szélsőségese ag gébevételekél
Jellegzetes sűrűségfüggvéek f() Alkalmazás Epoecáls eloszlás f 0 e 0, 0 0 Nem öregedő termékek élettartama Webulleloszlás f 0 e - Öregedő termékek élettartama, aagkfáradás
Közpot határeloszlás tétel: A NORMÁL ELOSZLÁS EREDETE Nag számú, függetle valószíűség változó összegéek eloszlása közelítőleg ormáls eloszlású, ha az eges tagok értéke kcs a teljes összeghez képest. A metrológába eek azért va ag jeletősége, mert a mérés hbák sok, egmástól függetle zavaró téező hatására alakulak k. Megjegzedő, hog em mde határeloszlás ormál típusú. A ormál eloszlás alapgodolata: Hbafüggvé f(δ) Feltételezések: 0 =0 δ 0 =δ abszolút hba 0 : várható érték. A hbafüggvé szmmetrkus, azaz az azoos agságú, poztív és egatív előjelű hba előfordulásáak valószíűsége azoos.. A ks hbák agobb valószíűséggel fordulak elő, mt a agobbak. 3. A zérus hba előfordulásáak valószíűsége lege a legagobb.
NORMÁL ELOSZLÁS STANDARDIZÁLT NORMÁL ELOSZLÁS (LD. FÜGGVÉNYEIT AZ 56. DIÁN) F( ) aak a valószíűsége, hog a változó értéke A paraméterek emprkus (gakorlat) esetbe: Normál eloszlás sűrűségfüggvée: F F P f d sx sx ( f ) e Az értékek egszerűbb, táblázatos formába törtéő megadhatósága érdekébe áttérés eg paraméteres, ormalzált ormál eloszlás függvére: u d u du F u e du e du Fet eloszlásfüggvéből a ormalzált sűrűségfüggvé s származtatható: f u u e
A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MÓDSZEREINEK ALKALMAZÁSA A MÉRÉSTECHNIKÁBAN A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG SZÁMÍTÁSA HIBAINTERVALLUM MEGBÍZHATÓSÁGI SZINT SZÓRÁS A MÉRÉSI SOROZAT HOSSZÁNAK HATÁSA
PÉLDÁK A NORMÁL ELOSZLÁSRA. Előírt értékkel va megadva a véletle hba tervalluma. Mekkora P való-szíűséggel esek a mérés eredméek a megadott hbahatárok közé? Tektettel arra, hog emprkus adatokról va szó, mdhárom esetbe átlaggal és tapasztalat szórással számoluk! a./ P( s s)? P s s F s F s Átalakítás u-tól való függésre: Továbbá: P s s P s P u F() F( ) F() F F F 0.8434 táblázatból P u.6868 0.6868 P 68.7%
b./ P( s s)? P s s F s F s Átalakítás u-tól való függésre: Továbbá: P s s P s P u F() F( ) F() F F F 0.9775 táblázatból P u.95450 0.9545 P 95.45%
c./ P( 3s 3s)? P 3s 3s F 3s F 3s Átalakítás u-tól való függésre: Továbbá: P 3s 3s P 3 s 3 P 3 u 3 F(3) F( 3) F(3) F 3 F 3 F 3 0.99865 táblázatból P 3 u 3.9973 0.9973 P 99.73%
Az F(u) táblázat aszmmetrája matt adódó feladatok Írjuk le a matematka elvé, ha a véletle eseméek (pl.: a hbák) a várható érték körül szmmetrkusa szóródak s=μm értékkel és 99% (P=0,99) valószíűséggel kívájuk megad az eredmét: P u s H u s 0,99 A ormált ormáls eloszlás u értéket tartalmazó táblázat azoba a matematka defícó értelmébe adja a valószíűségeket, és ez az tegrálás aszmmetrkus: u u / f / d P f d Azaz aak a P valószíűségét, hog az valószíűség változó a (- < ) tartomába esk, az F() eloszlásfüggvé (= ) hele vett értéke adja meg. Tehát, ha a fet feladat megoldása közbe szmmetrzálás élkül vesszük fgelembe a táblázat értéket, komol számítás hbát véthetük: P H u s 0, 99 Táblázatból: u aszm F (u) 0,9900,33 P H,33 0 3 mm 0,99
Szmmetrzáljuk a feladatot: Íg már az előzőtől eltérő, heles értéket kapjuk: P szm ( F( u) P( u H F( u) F u F F( u Felső ) F u F( u Alsó ) u ) 0,99 F( u ) F F( u F ) F( u 0,99 F u F 0,995 u szm F (u) 0,995, 58,58 0 3 mm H,58 0 3 mm) 0,99 F ) Hasolítsuk össze a bzotalaság tartomát az előzővel! Érdekes ugaakkor megfgel, hog a valószíűség csekél övelése mle hatással va a bzotalaság tartomá agságára? 0,9973 F( u F ) 0,99865 u szm F (u) 0,9973 3, 0 P szm ( 3 0 3 mm H 3 0 3 mm) 0,9973
. Ismert a mérés eljárás (t..: elv és módszer), valamt a kvtelezés tapasztalat szórása a várható érték körül s. Egetle mérés alapjá az eredmé mekkora hba-tervallummal adható meg, ha 99 % bztosággal (kofdeca szt) akaruk eljár? Adatok: Lege a felbotás 0. μm, a tapasztalat szórás s= μm, a várható érték μ=5.0000 mm Szmmetra, lletve táblázat-probléma: A táblázat közvetleül a P(- us) valószíűséget adja meg. A feladat a változó tartomáát a várható érték körül szmmetrkuskét értelmez. Ahoa: F F u F u F u F.58 F u F u F u A F u 0.99 F 0.995 F u F F u F
A valószíűség szt csekél övelése F u (+0.73%-kal, 99.73%-ra) jeletős F változást okoz a bzotalaságba: uf 3. 0 0.9973 0.99865 A kszámított eredmé megadásáak formá P=99 % esetébe: 5.0 0.006mm 5.0mm 4.9974;5.006 mm 5.0.6 0 3 mm.6 m A kszámított eredmé bzotalasága ő, ha megbízhatóságot öveljük P=99.73 % - ra: 5.0 0.003mm 5.0mm 4.997;5.003 mm 5.0 3 0 3 mm 3 m Tehát hába kcs a szórás és potos a leolvasás! Ha csupá egetle mérésből akarjuk megad a lehető legbztoságosabb becslést, akkor a bzotalaság tartomá lesz ag.
3. Több, egmást követőe elvégzett mérés sorozatból smert az átlag szórása. A mérés sorozat hossza mkét befolásolja a hbát (eltérést) a várható érték és az átlagok átlaga között? A megbízhatóság szt lege 99%, és a tapasztalat szórás lege s=0-3 mm. s u H A hba mdkét előjellel előfordulhat, íg a valószíűség tartomá szmmetrkus, tehát: P u s H u s 0,99 A számítás egszerűsítése érdekébe máskét fogalmazva: Mekkora a valószíűsége aak, hog a hba kívül esk az tervallumo? 0,99 szmmetra 0,0 0,005 ezzel: F( u u ),58 0,005 0,995 Végül: P,58 0 3 mm H,58 0 3 mm
P,58 0 3 mm H,58 0 3 mm A hba bzotalaság tartomááak változása a mérés sorozat hosszáak függvéébe, P=99% megbízhatóság szte. Hba tervallum félszélessége [mm] A hba csökkeése Vszoítás: =,58 0-3,83 0-3 0,7 3,49 0-3 0,578 4,9 0-3 0,5 5,5 0-3 0,446 9 0,86 0-3 0,33 0 0,8 0-3 0,3 00 0,58 0-3 0, 0000 0,058 0-3 (~6 m) 0,0
4. Adott a mérés hbakorlátja Δ = 0-4 mm, és kétféle s tapasztalat szórása (s =Δ), valamt (s =0Δ). Há mérést kell elvégez ahhoz, hog az eredmé 99% valószíűséggel a megadott hbakorláto belül maradjo? A megadott valószíűség szt szmmetrkusa elosztva: P( u s 0 mm 4 0,99 0,005 0,0 H u s ) 0,99 F u 0,005 0,995 A táblázatból: u, 58./ Ha tehát a szórás a hbahatárral megegező, akkor a mérések száma: 4 4 s 0 mm 4 0,58 H 0 mm,58 4 0./ De ha a szórás a hbahatár tízszerese, akkor a szükséges mérések száma ő(!): 3 3 s 0 mm 4 0,58 H 0 mm,58 665 4 0 6,6
A terjedelem és a szórás kapcsolata
SZÓRÁS BECSLÉSE A TERJEDELEMBŐL Gakorlat segítség a szórás gors közelítésére, ha k mérés sorozatot végeztük sorozatokét számú méréssel: Terjedelem: R =,ma,m Átlagos terjedelem: R k k R A() 0.89 3 0.59 4 Szórás becslése az átlagos terjedelemből: S R A R 5 6 7 8 9 0.34 0 0.3
Jellegzetes mérés tevékeségek a mérök gakorlatba: Mérőeszköz kalbrálás Mérőeszköz htelesítés Műszak smeretszerzés Mőségelleőrzés Folamatráítás Automatzálás
SI alapegségek és alapmeségek Hosszúság l m Tömeg m kg Idő t s Elektromos áram I A Termod. hőmérséklet T K Aagmeség mol Féerősség I cd
Néhá fotos fogalom Alapmeség: Megállapodásszerűe egmástól függetleek tektett m. eg adott redszerbe Származtatott meség: Alapmeségek függvéekét defált Mértékegség: Ugaola fajtájú, más meség agságáak kfejezésére defált kokrét meség Egségredszer: alap és származtatott egségek összessége Koheres egség: Alapegségek hatváaak szorzatakét kfejezhető egség, az aráosság téező:. Pl. N kg m s Ikoheres egség: Mt fet, de az aráosság téező em. Pl: kp kg 9,8m s
HITELESÍTÉS? KALIBRÁLÁS? Elkészült az új műszer! Ismeretle a műszer Rége volt már haszálatba a műszer Mle a karaktersztkája? M kalbrálás (K), és m a htelesítés (H)? NEMZETKÖZI ETALON leszármaztatás NEMZETI ETALON OMH vsszavezetés K H REFERENCIA ETALON Legjobb eszköz az adott laborba HASZNÁLATI ETALON K HASZNÁLATI ETALON
Htelesítés A htelesítés állam feladat, csak kjelölt és akkredtált tézméek végezhetk. Hatóság tevékeség, amelek célja aak elbírálása, hog a mérőeszköz megfelel-e a mérésüg előírásokak? Eredmée: IGEN - NEM A htelesítés szabálat a Mérésüg Törvé szabálozza. A melléklet felsorolja a htelesítés körébe bevot mérés tevékeségeket és etalookat. Ezek az alábbak (léeg kemelve):. Kereskedelm tevékeség, szolgáltatások, adás-vétel sorá alkalmazott mértékek (súlmérték, űrmérték, vllamos eerga, gázfogasztás, vízfogasztás, stb.). Joghatással járó tevékeségek (Pl.: gépjármű sebességmérés) 3. Egészségüggel kapcsolatos mérés tevékeségek (Pl.: laboratórum vzsgálatok, véromás mérés, stb.)
M kalbrálás? Kalbrálás: Nem hatóság tevékeség, de elvbe csak akkredtált laboratórumok végezhetk. Azo tevékeségek összessége, amelek sorá meghatározott feltételek mellett a haszálat etalo és a mérőeszköz között összefüggést keresk. Eek eszköze a regresszó aalízs. Célja lehet állapot-felmérés, vag a műszerjellemzők meghatározása. Megj.: Rége a jusztírozást s kalbrálásak tektették, ez em törvées!
Etalook vsszavezethetősége Bzotalaság Egség defícó Nemzetköz etalo Nemzet etalo Refereca etalo Kalbrálás: Azokak a műveletekek az összessége, amelekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható az összefüggés eg mérőeszköz (mérőredszer) értékmutatása lletve eg mértékek vag aagmtáak tulajdoított érték és a méredő meség etaloal reprodukált megfelelő értéke között Haszálat etalo Haszálat mérőeszköz
LINEÁRIS REGRESSZIÓ. LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (GAUß) A dszkrét mérés potok alapjá ezzel a módszerrel akkor lehet közelítő függvét keres, ha az egk meség mérése precízebbe törtéhet, vag potosabba előírható. Ez általába a megfelelő godossággal elvégzett kalbrálás eseté áll fe, ha leárs kapcsolatot feltételezük. = be Ismert potosságú (hbájú) műszere leolvasott értékek Ld.: következő da = k Kalbráladó műszere leolvasott értékek Megjegzés: Ha mdkét meség jeletősebb gadozást, bzotalaságot mutat, akkor Wald módszere (éha kolozsvár matematkus) ajálott.
m Gauß ezt a módszert az alábbak matt javasolta: a hba változó előjelű (+,-) szélsőérték kereshető (derválás) h, X k = - + δ h -edk heles érték δ -edk mért érték -edk hba a kalbrácós lépések száma b h X be = Ismeretle, elmélet (regresszós) függvé, tt: egees (leárs kapcsolat) Adott -hez tartozó várható értékét regresszójáak evezzük. m b m m: A feladat tehát szélsőérték keresés Megjegzés: Ha a potok em egees köré csoportosulak, akkor parabolkus, hperbolkus, vag epoecáls regresszót célszerű alkalmaz.
Szélsőérték keresés: 0 b m b m b m b m f/ m: b m azaz b m 0 f/ b: b m azaz b m 0 b m b m Az m -re és b -re megoldadó leárs egeletredszer: Vag célszerűbbe mátros alakba: b m
m és b meghatározása Cramer - szabállal egszerűbb, mt mátrvertálással! M b m A keresett m és b paraméterek a mátregeletből: Lépések a Cramer - módszerrel: M M det././ Számláló m esetébe: 3./ Számláló b esetébe: Végeredméül: m b Keressük e két képletél célszerűbb formát az algortmzáláshoz!
Gakorlatba, a kéz és gép számoláshoz haszálható alakok (A képletek levezetést a következő dáko smertetjük azok számára, akk kívácsak a képletek hátterére s.) m majd m felhaszálásával: b m
Mle alapo lesz a boolult képlet le egszerű? b m b m Térjük vssza a mátros forma előtt egelet redszerhez: A. egeletből b azoal kfejezhető, ld. előző dá: b m és m m b
Most a b -re kapott formulát behelettesítjük az. egeletbe: ) ( m ) ( m ) ( m m m kfejezhető lee, de a jobb oldalo még mdg em az egszerű számítás képlet álla: ) ( m Nézzük, hoga alakítható tovább a számláló és a evező. Ez utóbb ráadásul a számítás algortmzálhatóságáak feltétele s!
A evező számítása léegese egszerűbb, ha gaz az alább feltételezés: A statsztkába fotos összefüggés elleőrzése: A da legfelső egeletéek jobb oldalát átalakítva tehát az új összefüggés: Egszerűsítések utá látható, hog gaz a feltételezés:
A számlálót s át kell alakíta, ha egszerűe algortmzálható formát szereték: ) ( Két lehetőség lee, de tektettel arra, hog a evezőbe már redelkezésre áll az abszolút hbája (lletve eek égzete), célszerű ezt a számlálóba s felhaszál: í ) ( ) ( ) ( A két szummába a közös szorzó, am kemelhető, ha a szummákat a közös határok matt összevotuk: í í ) ( í Tehát az m számítás képletébe a számláló legcélszerűbb alakja (tektettel a evező formájára) valóba az tt látható eredmé:
. WALD MÓDSZERE ALKALMAZÁSA: Ha mdkét változót ormáls eloszlású véletle hba terhel. ELJÁRÁS:. A mért érték párokat sorba redezzük. Lehetőleg a mérés tartomá két végéek körezetébe végezzük méréseket. A halmazt két részre osztjuk, és mdkét részhalmaz súlpotját képezzük.. A két súlpotot (s, s ) összekötve a regresszós egees meredekségét kapjuk. 3. A teljes halmaz S súlpotjáak kszámítása utá a. potba meghatározott meredekséggel húzuk egeest az S súlpoto keresztül.
k j j k k j j k k j j k k j j k A regresszós egees meredekségéek számítása: j j j j A teljes halmaz súlpotjá átmeő egees és az ordáta metszéspotja meghatározható: Végül a regresszós egees egelete: A két részhalmaz súlpotjáak meghatározása:
KORRELÁCIÓ Általáosságba két meség között kapcsolat szorosságát, a függőség fokát értk a fogalom alatt. A méréstechkába ge gakra felmerülő probléma aak felderítése, hog két, külöböző mérés sorozatból származó mtasokaság (adathalmaz) között va-e leárs összefüggés? Legeek a két vzsgált mta átlaga: Az átlag és az eges mért értékek között eltérést eg -dmezós vektor elemekét s fel lehet fog. X,,... Y,,...
Mért célszerű ebbe az esetbe a vektor-számítás alkalmazása? A vektor-térbe ugas egszerűbb a korrelácó (kapcsolat) értelmezése. Ha ugas a két vektor egmással φ szöget zár be, akkor a szög értékével kfejezhető mde léeges összefüggés: A két vektor között hajlásszög cosus-a - és + között mozoghat, ezt evezzük r korrelácós faktorak../ φ=90º, akkor cs közöttük leárs függés./ φ=0º, akkor va l. kapcsolat, a két vektor között kostas szorzóval =a 3./ φ=80º, akkor va l. kapcsolat, a két vektor között egatív kostas szorzóval = - a 4./ φ 0º, ll. φ 80º akkor lehet leárs a kapcsolat, de va eg korrekcós tag e = a + e, ahol e 0 Ha a korrelácós téező, akkor a két számsorozat között feltételezhető a leárs kapcsolat.
X és Y vektor szorzata: Tektettel arra, hog a számításokhoz mérés adatokat haszáluk fel, TAPASZTALATI KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓT (r*) kapuk. X Y X Y cos X Y cos X Y r cos r Ha r=, akkor a fet egeletből s megkaphatjuk a regresszós egees egeletét. Kérdés, mekkora a értéke, ha φ=0º? A korrelácó alapjá Végül: X X Y Y Y X Y X Y X Y Y ax X X X másrészt X lletve azaz a X ax X ax=y Y X
Tapasztalat korrelácós egüttható számítása az átlag és a szórás smeretébe Következk a vektor-szorzatból, a tapasztalat szórások felhaszálásával.,s,s, r s s,s,s, r
A tapasztalat korrelácós egüttható mmáls értéke adott mtaagság és kofdecaszt mellett Itt N mta agság, em szabadságfok! Magarázat a következő dá!
A Pearso-féle táblázatba azt látjuk, hog a mta agsága, a mérés sorozat hossza (N) és a kofdeca szt (90%, 95%, 99% és 99,9%) alapvetőe befolásolják azt, hog a gakorlatba mle korrelácós téezők mellett lehet elfogad, lletve elutasíta az adatok között összefüggésre voatkozó hpotézst. Az ebbe a táblázatba szereplő N em a szabadságfokot jelöl! Létezk ola Pearso korrelácós táblázat s, ahol a szabadságfok (degree of freedom, df) va feltütetve: df=n-, azaz a szabadságfok a mta hosszáál kettővel ksebb. A ullhpotézs H 0 a fet táblázat esetébe azt jelet, hog a két adatsor között cs kapcsolat. A Crtcal values (krtkus érték) jeletése eek következtébe az, hog amebe az adott mtaagságra kszámított tapasztalat korrelácós egüttható értéke ksebb, mt a táblázatba közölt krtkus érték, akkor a ullhpotézs H 0 gaz. A kapcsolat feltételezése adott valószíűséggel vsszautasítható. A számoszlopok felett látható 0., 0.05, 0.0 és 0.00 értékek az u. alfa értékek. Ezek mutatják a tévedés valószíűségét, amebe a ullhpotézst elveték (0%, 5%, % és 0.%). Látható, hog pl. eg 0 mérésből álló sorozat esetébe, P=99% kofdeca szte, már r*=0.765 érték s elegedő lehet ahhoz, hog elfogadjuk a kölcsöös összefüggés feállásáak feltételezését. Ez a táblázat szellemébe, az u. H ellehpotézs elfogadását jelet % tévedés lehetősége mellett.
A kalbrálás meete Precízós méréseket csak stablzált, szabváos hőmérséklete, előírt omás és páratartalom mellett lehet elvégez. A refereca etalokét haszált eszköz(ök) potossága deálsa eg agságreddel jobb lege. A bevzsgálást a statkus bemeet és statkus kmeet között kalbrácós függvé meghatározására általába a statkus kalbrálással kezdk. Vaak a gépészet alkalmazásba ola mérőeszközök, amelek fukcoálsa statkus működésűek. A statkus kalbrálás mde lépéséél meg kell vár, amíg beáll az álladósult (stacoárus) állapot.
A damkus kalbrálás célja aak eldötése, hog a mérőeszköz redszáma, dőálladó, frekveca meete, alsó és felső határfrekvecája, rezoaca frekvecája, stb. valóba egezek-e a feltételezett értékekkel, lletve ezek egezek-e az adatlapo megadott értékekkel? Eg műszak redszer redszáma a damkus működését leíró matematka modell, pl. a dfferecálegelet redszámával, valamt ezzel összefüggésbe, a frekveca átvtel függvé evezőjébe a Laplace-operátor (s) fokszámával egezk meg. A redszám a műszak redszerbe található függetle eerga tárolók számával egezk meg.
CSAK ELŐZETES! Termoelem statkus kalbrálása, a jelleggörbe felvétele
A mérés, mt smeretszerzés
A MÉRÉS, MINT ISMERETSZERZÉSI ÉS MODELLEZÉSI FOLYAMAT Összehasolítás HIBÁK HIBÁK A pror smeretek HIBÁK Fzka - techka, valós, mérhető meségek Modell alapjá Absztrakt felépített leképezés leképezés mérőlác EREDMÉNY modell tesztelése MÉRÉS A modell fomítása
METROLÓGIA (MÉRÉSTUDOMÁNY) MŰSZERTECHNIKA ADATFELDOLGOZÁS Mt kell mér? Hoga mérjük? Mvel mérjük? Mérés körülméek Mérő személek HIBAANALÍZIS Hbák vzsgálata: Eredetük Jellegük Formájuk Hbák becslése Hbák kküszöbölése Mérés eredmé megadása: Számadattal és mértékegséggel Dagrammal Hsztogrammal (stb.)
A mérés és a műszertechka kapcsolata Mérés eljárás Mérés kvtelezése Fzka elv Mérés módszer A műszer működés módja mechaka ktérítéses vllamos értéses összehasolító optka értésmetes elektromechakus kompezácós optomechakus külöbség optoelektrokus stb. Kapcsolódás a hbaaalízshez: helettesítéses frekveca Hbák osztálozása eredetük szert Mérés adatok feldolgozása A mérőműszer megválasztása Statkus jellemzők: érzékeség feloldás felbotás Damkus jellemzők: frekveca átvtel beállás dő túlledülés stabltás
MÉRÉS-ÉS MŰSZERTECHNIKA KAPCSOLATRENDSZERÉNEK FONTOSSÁGA MÉRÉSI EREDMÉNY: H U H t u E KORREKCIÓ (H) ÉS BIZONYTALANSÁG (U) A modellek, a mérés eljárásak, a műszerekek és a mérés körülméeek ezekbe dötő szerepük va!
M É R É S I H I B Á K O S Z T Á L Y O Z Á S A EREDETÜK SZERINT JELLEGÜK SZERINT FORMÁJUK SZERINT
MÉRÉSI HIBÁK EREDETÜK SZERINT Modell hbá Mérés eljárás hbá Fzka elv Mérés módszer Mérés kvtelezéséek hbá A műszer működés módja A mérőműszer megválasztása Mérés adatok feldolgozásáak hbá
M mcsoda a hbák eredetébe? Mle sorredbe kapok választ? Modell érthető Eljárás Fzka elv érthető Módszerek jö Kvtel Működés mód (értéses/értés metes) Mérőműszer tulajdosága (felbotás, damka, stb.) Formák (abszolút, stat., d. hbák, stb.) jö
MÉRÉSI MÓDSZEREK (teljesség gée élkül) Mérés módszer (metrológa aspektus szert) Ktérítéses A méredő meség által, valamle fzka kapcsolat révé létrehozott erőhatás a műszer szerkezetébe megfelelő elleerőt hoz létre. Az egesúl helzet bekövetkezésekor a meséget skála és mutató segítségével olvashatjuk le. Összehasolításos A méredő meséget azoos típusú, smert agságú meséggel hasolítjuk össze. Kompezácós, vag ull-módszer A méredő meség értékét az általa létrehozott változás kegelítésével állapítjuk meg. Ha a leolvasás a műszer mutató 0 állásába törték, akkor az ull-kompezácó. Külöbség A méredő meség és eg azoos típusú smert, de ksmértékbe eltérő meség külöbségéek mérése. Helettesítéses A méredő meséget azoos típusú, smert értékű meséggel helettesítk. Eredméül a kjelzett érték változatla marad, vag a ksmértékű eltérést skála segítségével mérk. Mérőeszköz, példa Mérőóra hosszméréshez Forgótekercses műszer Rugós erőmérő Kétkarú mérleg omaték-összehasolítás Mérőléc Hőmérséklet mérése kompezográffal Impedaca mérése hídkapcsolással, ulldetektorral. Optméter Mérőhasáb kombácó és a mukadarab között, ksmértékű külöbség mérése. Borda -redszerű mérleg A méredő tömeggel egeértékű súlt veszek le a mérlegkarról a tömeg oldalá.
KITÉRÍTÉSES MÓDSZER
KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Núlásmérő béleges omás jeltovábbítók (jelátalakítók) Az duktív útadóval felszerelt omásmérő vszot összehasolító módszerrel mér, mert a mag és a tekercs között relatív elmozdulás az összehasolítás alapja.
KITÉRÍTÉSES MÓDSZER
KITÉRÍTÉSES MÓDSZER
KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Forgatóomaték jelátalakító (úlásmérő béleges)
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER Iduktív útadók Belső magos, taptós duktív útadó Belső magos, értés metes duktív útadó
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER MITUTOYO LINEAR SCALE redszer
ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER
KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER
KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER
KÜLÖNBSÉGI MÓDSZER Etalo mérése ( ullázás ) Eltérés mérése
MÉRÉSI HIBÁK EREDETE PÉLDÁN BEMUTATVA V MODELL ELJÁRÁS KIVITEL d 4 h Hba: A mukadarab valós alakja eltér az deáls hegertől, például hordós Elv: mechaka Hba: a mérőfelületek az értkezés felület érdesség csúcsa fekszeek fel, a felület érdesség összevethető a mérőeszköz felbotásával Módszer: összehasolító Hba: tolómérő esetébe összehasolító módszerrel mérük, de az Abbe-elv em teljesül, azaz a méredő hosszúság és a mérce em esek eg egeesbe Mód: értéses Hba: a tolómérő mérőfelülete és a mukadarab közé szeeződés került Mérőeszköz: Hbák: blleés hba, osztás hbák tolómérő Mérés körülmée Hba: forgácsoló megmukálás utá közvetleül törték a mérés, a mukadarab hőmérséklete az előírtál magasabb Mérő személ Hba: fgelmetleségből adódó leolvasás hba
A mérés muka eredméét jellege szert, dötőe két hbatípus befolásolja: h H U. Redszeres hbák eredője (Ismert, számítható). Véletle hbák (hatásukat a szórás és bzotalaság formájába tapasztaljuk. Csak becsülhető hbák, okak és agságuk részbe smeretle)
MÉRÉSI HIBÁK JELLEGÜK SZERINT Durva mérés hba Redszeres hba Véletle hba A hba, és a hbaokozók jellemzése "Kugró" érték Általába fgelmetleség okozza, alapvetőe elkerülhető A mérés eljárás és a mérőeszköz elv hbá Elvbe meghatározható, hatása kszámítható és korrgálható A hbaokok dőbe és térbe véletleszerűe lépek fel Pl.: zajok, súrlódás hbák, körezet hatások, a méredő meségek változása A hba megszütetéséek módja A redszeres hbákhoz hasolóa, a kugró érték kzárásával a./ Többre redelkezésre állaak a mérőeszközt gártó korrekcós adata. Ha em, akkor a hbaterjedés számítás és kalbrácó szükséges b./ Nem meghatározható a hba mértéke, ebbe az esetbe véletle hbakét kell kezel Ismételt mérésekkel felsmerhető, kszűrhető Statsztka módszerekkel fgelembe vehető: átlagérték szórás kofdeca várható érték hbastatsztka Példák k k k K be k k,, k, Kugró érték k be 3 be K ep K K k,, be be be, be
Hbák forma megjeleése dő és frekveca tartomába Időbe változó meségek folamatos mérése a gépészetbe:. Az automatzálás és a folamatráítás alapfeltétele. Fzka-gépészet folamatok vzsgálata Eze meségek méréséek folamatát és műszak problémát a mérőlác bemutatásával lehet megérte. A téma foltatása az Időbe változó meségek méréséek alapja c. fejezetbe található.
MÉRÉSI HIBÁK FORMÁJUK SZERINT MEGJENENÍTÉSI FORMA IDŐ / FREKVENCIA FÜGGÉSÉBEN Abszolút hba Habsz h Relatív hba H Redukált hba H rel red h ma h mért érték heles érték h a mért érték százalékába % h m Trazes hba Damkus hba Álladósult hba Ampltúdó átvtel hbája Fázs átvtel hbája Potosság osztál PO H absz 00 ma ma v 00 % Mtavételezés hba
Elsőredű műszer dőbel jellemző. U(t) Damkus hba Valód (heles) kmeet függvé Trazes hba Átmeet függvé egségsebesség bemeetre t t t j Elsőredű műszer válasza egség-sebesség függvére
Elsőredű műszer dőbel jellemző. U(t) Statkus hba (dőbe álladó) U h U 095. U 0. 63 U U t U e t T Trazes hba (dőbe változó értékű) T t T beá ll A kmeet válaszfüggvée a bemeet ugrás-szerű változására (átmeet függvé)
Példák elsőredű redszerekre T 0
Elsőredű műszer súlfüggvée és T dőálladója A homogé dfferecálegelet aaltkus, hagomáos megoldása dő tartomába Súlfüggvé
Súlfüggvé és átvtel függvé kapcsolata Megoldás operátor tartomába Laplace traszformácóval dv T dt V U d dt s, s jω L Y s t Y s Példába : Y s V s U s V s U s b a m s s b a s m 0 a...... 0 bs a s Ts b a 0 0
Elsőredű műszer átvteléek frekveca függése
Másodredű műszer jellemző A másodredű műszer dő és frekveca tartomábel jellemzővel az Időbe változó meségek méréséek alapja c. fejezetbe találkozhatuk. Jele fejezetbe csupá a damka eredetű problémák léegéek megvlágítása a cél. A jelek frekvecafüggését és a jelek átvtelét a fet jelzett fejezetbe tárgaljuk részletesebbe.
MÉRENDŐ ELÉRHETŐ MÉRT
ELÉRHETŐ MÉRENDŐ MÉRT
TOVÁBBI PÉLDÁK az dőbe foltoos mérés szerepére, a később szakráos taulmáok területeről: gépészet, automatzálás, precízós techka Ld. a példákat a bevezető dáko
Tovább fotos smeretek a hbaaalízs területéről: Hba redszáma Abbe elv Közvetett mérés eredő hbája (bzotalasága)
A HIBA RENDSZÁMA Ha smert a hba okozója és a hba között függvékapcsolat, és ez utóbb ráadásul gorsa kovergáló hatvásorba fejthető, akkor a hbát a redszámával s tudjuk jellemez. f a 0 a a a3 Megfotolások:. Jó műszerkostrukcó eseté ks hbával számolhatuk. Gors kovergeca eseté gaz, hog + «Aak eldötésébe, hog melk hatváú összetevő hagható el, a mérök tapasztalat segít. A hba redszámát a hatvásor még fgelembe vett tagjáak ktevőjével adjuk meg. Alkalmazás példa: ABBE ELV K volt Erst Abbe? Kapcsolata a Carl Zess-szel, és matematka mukásságáak hatása a tudomáos műszerkostrukcó teré. Carl Zess mág ható szelleme: Tőkés magátulajdo helett alapítvá forma mde Zess üzembe. Élete át tartó képzés, szocáls háló. 3...
Abbe elv Összehasolító módszer, valamt közvetle mérés stratéga eseté, a feladat megoldásához redelkezük kell eg osztásos mércével. Abbe elve: A mérőberedezés kostrukcója lege ola, hog a mukadarab méredő mérete és az osztásos mérce eg egeesbe esse. Szemléletes példája eze elv érvéesüléséek a vízsztes és függőleges Abbe komparátor. H7/g6 (f6) ~ 0 30 μm F Példa az Abbe elv be em tartására (szükséghelzet): Tolómérő l h s Hbafüggvé (ok-okozat): l l h 3 5 h h s... h s tg 3 5 l h φ«az llesztés jóvoltából, ezért csak az első hatvá marad: A hba elsőredű.
Ismert agságú és előjelű redszeres hba terjedése (Közvetett mérés hbatervalluma) részeredméből tevődk össze a mérés eredmée: Például a fajlagos elleállás meghatározása: R A U I A f,,...,... 0 f,,..., Ideáls esetbe: = 0 és íg 0 0 30 0 0 a mért -edk jellemző heles (a valódt em smerjük) értéke, amelet kellőe ag számú mérés átlagértékével becslük. Hbával terhelt mérés (valóság) H X d 0 esetébe:
Feladatuk megkeres 0 azo d 0 változását, amel azért lép fel, mert 0 helett volt a mérésük eredmée: Kvtelezés: Ile típusú feladatok megoldására szolgál a parcáls derválás! d d... X X 0,... 0 X,... X 0 0 d (Talor sor elsőredű tagjaból, a lácszabál alkalmazásával) A parcáls dervált értéket 0 hele határozzuk meg, ezek leszek a redszeres és a véletle hba terjedéséek számításáál a súlfaktorok. A közvetett mérés eredő redszeres hbája: X 0,...X 0... X 0,...X 0 ahol Δ az -edk részmeség hbatervallumáak sugara
KÖZVETETT MÉRÉS EREDMÉNYÉNEK KORRIGÁLT TAPASZTALATI SZÓRÁSA Valame részeredmét redszeres és véletle hbák terhelek. A redszeres hbákat a korrekcóba vesszük fgelembe, a véletle hbákat a szórásuk jellemz: Levezetés élkül: Ha az,,...,... változók egmástól függetleek, akkor kszámítható a közvetett mérés eredmééek varacája (szóráségzete): f... f... Var f... Var... Var Fetekkel az eredő korrgált tapasztalat szórás általáosa haszálatos meghatározása: s f,... s X... f,... s X Csebsev tétele szert ez optmstább, és egbe a valósághoz közelbb becslést ad, mt a hbaterjedéssel számított abszolút, vag a relatív hba.
Közvetett mérés abszolút és relatív hbá terjedéséek összehasolítása./ Ha a végeredmét addtíva kapjuk a részeredméekből: = + z Eredő abszolút hba (ld.: 6. da) z z a előjel azt mutatja, hog az eltérés mdkét rába felléphet, tehát Δ az eredő hbatervallum sugara. A részeredméek hbá a súlfaktorokkal terhelve összeadódak, esetükbe: Eredő relatív hba: z ( z) z A két részeredmé egmáshoz való kapcsolatáak bemutatására az összefüggés számlálóját és evezőjét osztottuk -szel. A relatív hba képlete jól mutatja, hog abba az esetbe, ha a végeredmét két érték külöbségekét kapjuk, és a számértékek közel állak egmáshoz, ge veszéles lehet ez a mérés és számítás módszer! z z z z z z z
./ Ha a végeredmét szorzással, osztással, vag hatváozással kaphatjuk: z m m, 0 0 Eredő abszolút hba (redszeres hba terjedése), ld. 6.da: z mz m m z Eredő relatív hba (redszeres hba) terjedése: z z mz m m m z m z z
PÉLDÁK A KÖZVETETT MÉRÉS EREDŐ KORRIGÁLT TAPASZTALATI SZÓRÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA. Heger űrtartalmáak meghatározása hosszmérésekkel: f h D V, 4 Elv okokból a számításokhoz mdkét, -szer megsmételt hosszmérés adataból adódó legjobb becslés értéket, azaz az átlagot haszáljuk fel. Ugacsak meghatározható mdkét mérés korrgált tapasztalat szórása s, am egbe az eljárást és a kvtelezést s mősít. s s h, s s D, h h D D 4,, D h V f h D D V f h D V s 4 D s h D s A térfogat átlagáak eredő korrgált tapasztalat szórása:
. Görbület sugaráak mérése szferométerrel: 8 4 4 0 4 b b a b a b R b Rb a b Rb R a b R a R 8 4 8 4 b a b b a b R b a a R a b R s 4b a s 8b a 4b s Az R sugár korrgált tapasztalat szórása: Számítások a mérhető meségekből: b a s b b s a a Az f sík és a lecse felülete között b távolság méréséhez síküveglapot haszálak. Az a méret és a k. t. szórása a gépkövbe található, esetleg mér kell. R-b a b f
Időbe változó meségek méréséek alapja Dgtáls mérések alapja Jelek átvtele, MOGI Taszék mtavételezés, A/D koverzó
JEL: (IDŐBEN VÁLTOZÓ) FIZIKAI (KÉMIAI) MENNYISÉG HÍR/KÖZLEMÉNY: (IDŐBEN) KORLTOZOTT JELEK INFORMÁCIÓ (Shao, Bell Laboratores): BIZONYTALANSÁG, AMELYET A HÍR MEGSZŰNTET(ETT). Shao (948) csak a műszak értelembe vett formácók (elsősorba dgtáls vllamos jelek által átvtt hírtartalom) mérésére dolgozott k módszert! HÍRKÉSZLET: ÖSSZES LEHETSÉGES HÍR INFORMÁCIÓ MENYISÉG/HÍRTARTALOM: A HÍR KÖZLÉSE ÁLTAL ELOSZLATOTT BIZONYTALANSÁG NAGYSÁGA. EZÉRT ANNAK A HÍRNEK VAN NAGYOBB INFORMÁCIÓTARTALMA, AMELYNEK A BEKÖVETKEZÉSI VALÓSZÍNŰSÉGE KISEBB. A KÉPLET FORMAI ANLÓGIÁJA : ENTRÓPIA A termodamka etrópa aál agobb, mél agobb az adott állapotba való tartózkodás valószíűsége. S k l P P
A HÍR ENTRÓPIÁJA (Shao) Mle megfotolások és mle aalógák vezettek a fogalom megalkotásához? Kolmogorov (933): 0 P Bztosa bekövetkező esemé valószíűsége P=, de hírtartalma H=0 Lehetetle esemé valószíűsége P=0, eek hírtartalma vszot H~ Mle függvékapcsolat képes leír ezt a godolatmeetet? H A valószíűség szemléltetésére gakra alkalmazzák a dobókocka példáját, és a dobást kísérletek evezk. Egetle kísérlet eredmééről szóló hír tartalma, mert ebbe az esetbe mde lehetséges eredmé egforma valószíűséggel következhet be: Emlékeztetőül: Hartle (98): H log A log P log 0 log 6 / 6 0 ld( A) log A log 0,78
BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA Mdkét kmeet (,0) azoos valószíűséggel jeletkezhet: P()=P(0) P()= P(0) Az jel formácótartalma: A 0 jel formácótartalma: I ld P() I0 ld P() 0 0 A forrás átlagos formácótartalma: H P ld P P ld P P() 0,00 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0,3 0,4 0,5 -P() ld P() 0,00 0, 0,33 0,4 0,46 0,5 0,5 0,53 0,5 (-P())ld (- P ) 0,00 0,07 0,4 0, 0,6 0,3 0,36 0,44 0,5 H 0,00 0,9 0,47 0,6 0,7 0,8 0,88 0,97 A legagobb etrópa akkor jeletkezk, ha mdkét érték (;0) azoos valószíűséggel fordulhat elő. Ksebb eltérés a valószíűségbe, pl.: 0,4 0,6 em okoz csupá 0,03 bt csökkeést. Ez kedvez a bárs jelekkel való kódolásak.
BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA H/bt 0,5 Ola bárs hírforrás etrópáját keressük, amelek kmeeté azoos valószíűséggel fordulhat elő és a 0 jel, azaz P( ) P(0) 0,5 0,5 P() 0 P(0) 0,5 0,5 0 Az, vag 0 hír formácótartalma: I I0 ld bt 0,5 A forrás átlagos etrópája: H 0,5ld 0,5ld bt
AZ INFORMÁCIÓ ÁTVITEL ÁLTALÁNOS MODELLJE FORRÁS VEVŐ -. állapotba VEVŐ. állapotba Szkrozácó KÓDOLÓ DEKÓDOLÓ ÁTVITELI CSATORNA Iformácó veszteség Zaj, zavarások
JELEK FELOSZTÁSA DETERMINISZTIKUS SZTOCHASZTIKUS ANALÓG DISZKRÉT ERGO- DIKUS PERIÓDIKUS HARMO- NIKUS ÁLTALÁ- NOS PERIO- DIKUS NEM PERIÓDIKUS KVÁZI PERIO- DIKUS EGY-ÉS KÉTOL- DALASAN HATÁROLT AMPLI- TÚDÓ KVAN- TÁLT IDŐ KVAN- TÁLT AMPLI- TÚDÓ ÉS IDŐ KVAN- TÁLT NEM ERGO- DIKUS
JELEK (VÁLTOZÓK) A RENDSZEREKBEN (t)=as ω 0 t F(ω) ω 0 ω Időtartomá Operátor (frekveca) tartomá
JELÁTVITEL PROBLÉMÁINAK SZEMLÉLTETÉSE A SPEKTRUM SEGÍTSÉGÉVEL Méredő jel Regsztrált jel Másodredű átvtel tag (pl.)
MIÉRT VAN A DINAMIKAI MODELLEZÉSRE SZÜKSÉG? ALAPISMERETEK MŰSZEREK ADATLAPJAINAK ÉRTELMES OLVASÁSÁHOZ
PÉLDA, AMELY AZ ELŐZŐ DIA FREKVENCIA- MENETÉHEZ TARTOZIK: INDUKTÍV GYORSULÁS- ÉRZÉKELŐ
Feladat: Szezor damkus vselkedéséek megértése (, v, a, mérése szezmkus elve) k b v h b v m v m m v h k m v ref 0 v k = v h - v m b (v h v m ) k (v h v m )dt m v m
STRUKTÚRA MODELLTŐL MATEMATIKAI MODELLIG Modellezés mpedaca hálózattal, operátor tartomába b b Z b v h b v m V k k s k Z k k m Z b m s m Z m V h Z k Z m v k = v h - v m k v h v m dt u k =K k V V k h s s s b s b k k s m s s m k m k b s k X a k h s V s s V k h s s s m k m k b s k
k b s k m s k m s a X h k k b j k m k m k b j k m ) (j k m j a X h k 0 T k m 0 0 0 h k j j a X 0 0 0 h k j a X j s 0 T k b Vesd össze ezt a képletet a HBM adatlapo látható összefüggéssel! Az duktív gorsulásérzékelő átvtel függvée
ÁLTALÁNOS MÁSODRENDŰ, KÉT ENERGIA TÁROLÓS MŰSZER három jellegzetes matematka modell-formája: v(t) V ref =0 s d dt m m k T T X s F s v b b k X s T k k T s A f f(t) m t f k A TsX s Ts b t f mv t X s a f t dv m dt s Csomópot módszer bv A b a bv F s 0 s fm fb fk 0 kv a 0 k Dfferecálegelet f vdt t Átvtel Y s f függvé t v f k v v f f k v k k b m 0 v v b m k 0 b b b m m 0 k f m 0 0 m Állapottér k modell m f 0 0 0 0 m t m 0 f f t t
MÁSODRENDŰ TAG OPERÁTOR TARTOMÁNYBAN Dff. egeletből átvtel függvé s X X T KI BE X s s KI s T s TsX KI A Ts s X a KI s s b a 0 A s X a BE 0 s Y s Ampltúdó és fázs átvtel u. frekvecameet Frekvecameet Bode dagram
Ez az oka aak, hog a FFT programokkal kszámított spektrum kétoldalas. A egatív körfrekvecákra eső részt a poztív oldalhoz kell számíta.
Harmokus függvéek tegrálja Példa álladó ampltúdójú, perodkus függvé Fourer soráak kszámítására Aak szemléltetése, hog az eges egütthatók meghatározása sorá mle tegrálás határokkal kell számol. Alap-harmokus, és behelettesítés alakja az tegrálásál T T t A0 Ak cos k t Bk s k k t
/ 0 / 0 0 h t T h hdt T A T T Az úgevezett ege-összetevő (l. átlag): 0 s 0 s s cos / 0 / 0 T h t T h tdt h T A T T h T T h T h T h t T h tdt h T B T T 4 cos0 cos cos s / 0 / 0 0 s 0 s s cos / 0 / 0 T h t T h tdt h T A T T 0 cos0 cos cos s / 0 / 0 T h T h t T h tdt h T B T T 3 3 4 3 cos0 cos3 3 cos3 3 s 3 / 0 / 0 3 h T T h T h T h t T h tdt h T B T T 5 5 4 5 cos0 cos5 5 cos5 5 s 5 / 0 / 0 5 h T T h T h T h t T h tdt h T B T T 7 7 4 7 cos0 cos7 7 cos7 7 s 7 / 0 / 0 7 h T T h T h T h t T h tdt h T B T T
A Fourer - egütthatók ábrázolása a körfrekvecák függvéébe: A spektrum ω ω 3ω 5ω 7ω 9ω A Fourer - egütthatók alapjá megrajzolt harmokus összetevők, és eredőjük. Elméletbe, ha az eredőt az összes összetevő fgelembe vételével rajzoljuk meg, akkor az eredet függvét látjuk vszot.
A LEGFONTOSABB JELTÍPUSOK ÉS SPEKTRUMUK Foltoos jelek Időbe határolt jelek Dszkrét spektrum Foltoos spektrum