1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes számok. Műveletek: összeadás, szorzás 3+2=5 Egész számok Z := {..., n,..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...,n,...} Műveletek: összeadás, kivonás, szorzás Racionális számok (törtek) { } p Q := : p, q Z, q 0 q 1
Például, 1 2, 2 3, 2 3 = 2 3, 3 1 = 3 Műveletek: összeadás, kivonás, szorzás, osztás Számegyenes: egy geometriai egyenes, kijelölve rajta két pont (a 0 és 1), és egy irány: Racionális számok ábrázolása Aracionális számok nem töltik ki a számegyenest: 2: az egységnégyzet átlójának hossza nem racionális irracionális Aszámegyenes minden pontjához egy számot rendelünk: 2
Ha a pont a 0-tól jobbra van, akkor a pontnak a 0-tól való távolságát rendeljük a ponthoz, ha a 0-tól balra van, akkor a távolságának az ellentettjét. Műveletek: összeadás szorzás 3
Apárhuzamos szelők tétele szerint: a :1=x : b x = a b Valós számok: a racionális és irracionális számok együtt. Jele: R (Megjegyzés: több irracionális szám van, mint racionális; sőt, racionális számok csak kivételesen fordulnak elő aszámegyenesen!) 4
Abszolút érték: a R, a := { a, ha a pozitív a, ha a negatív annak a pontnak a távolságaa0-tól a számegyenesen, amelyhez a-t rendeltük. Két pont távolságaaszámegyenesen: a, b R, távolságuk: a b Egyenlőtlenség: ha a, b R (a b), akkor a<b azt jelenti, hogy a számegyenesen a b szám az a-tól akijelölt irányba (jobbra) esik. 5
Intervallum: ha a, b R (a <b), akkor (a, b) :={x R : a<x<b} (nyitott i.) [a, b] :={x R : a x b} (zárt i.) 6
Függvények Példa. Adóbevétel Probléma: Határozzuk meg azt az a adókulcsot, amely mellett az államnak maximális bevétele van. Minden k [0, 100] adókulcshoz egyértelműen tartozik egy A(k), k-tól függőadóbevétel: k A(k) Az A adóbevétel a k adókulcs függvénye, A = A(k) Értelmezési tartomány: a [0, 100] intervallum Értékkészlete: az összes lehetséges adóbevétel, vagyis a[0,a max ] intervallum. A: [0, 100] [0, ) ért. tart. érkezési halmaz ÉT, D A ÉH értékkészlet: [0,A max ]=R f Jelölés: D R ad halmaz részhalmaza R-nek, tehát D minden elemét tartalmazza R (fordítva nem feltétlenül igaz). Például, [0, 100] R. x D : x eleme D-nek. Például, 38 [0, 100] 7
Definíció. Legyenek adva a D R,K R halmazok. Ha a D minden eleméhez valamilyen szabály szerint hozzá vanegyértelműen rendelve a K halmaz egy eleme, akkor azt mondjuk, hogy a D halmazon értelmezve van egy függvény. D: értelmezési tartomány (D f ) K: érkezési halmaz f: a hozzárendelési szabály x D, x y = f(x) K x: független változó y = f(x) függő változó, függvényérték R = R f := {f(x) :x D f } értékkészlet Afüggvény jelölése: f : D R R f = f(d f ) Mi határoz meg egy függvényt? a) értelmezési tartomány (D f ) b) hozzárendelési szabály (f) (az értékkészlet ezekből már meghatározható). Példák. 1. D = R; x R, x f x 3 vagy f(x) =x 3 K = R, R = R 2. D = R; x R, x x 2, vagy f(x) =x 2 K = R, R =[0, ) 8
3. D =[0, ), x [0, ), x x, vagy f(x) = x K =[0, ), R=[0, ) Függvény grafikonja: Egy síkbeli G halmaz akkor és csakis akkor függvénygrafikon, ha bármely függőleges (az y tengellyel párhuzamos) egyenessel legfeljebb egy közös pontja van. 9
Példa. 4. Tegyük fel, hogy egy termékfajta x darabjának forintban számított előállítási költsége C(x) = 100x x + 500 (termelési függvény). C(16) = 100 16 16+500 = 100 16 4+500 = 6900 16 db termék gyártása esetén az összköltség C(100) = 100 100 100 + 500 = 100 100 10 + 500 = 100 500 C(0) = 500(?) 10
D C =[0, ), R C = [500, ) Konvenció: A hozzárendelési szabályt sokszor formulával adjuk meg. Ha nem mondunk hozzá értelmezési tartományt, akkor automatikusan arra a függvényre gondolunk, amelynek hozzárendelési szabálya a formula, értelmezési tartománya pedig az a legbővebb halmaz, ahol a formulának értelme van. (Ld. a fenti példákat.) Példák.5.Határozzuk meg az a) f(x) = 1 x +3 b) g(x) = 2x +4 függvények értelmezési tartományát, grafikonját, értékkészletét. a) x +3 0 x 3 D f =(, 3) ( 3, ) =R\{ 3} 11
R f =(, 0) (0, ) =R\{0} (Jelölések: Legyen A, B két halmaz A B ( A és B egyesítése: azon pontok halmaza, amelyek elemei vagy A-nak, vagy B-nek (vagy mindkettőnek) A B := {x : x A vagy x B} (a vagy megengedő!!) A B (A és B közös része, metszete): azon pontok 12
halmaza, amelyek elemei A-nak is és B-nek is A B := {x : x A és x B} A\B : A és B különbsége, amelynek elemei benne vannak A-ban, de nincsenek benne B-ben) A\B := {x : x A és x/ B} b) g(x) = 2x +4 2x +4 0 2x 4 x 2 13
Lineáris függvények y = mx + b m: meredekség b: tengelymetszet az y-tengelyen Egy ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenlete: (x 0,y 0 ), m y y 0 = m(x x 0 ) Két ponton átmenő egyenes egyenlete: (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) 14
y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Általános helyzetű egyenes egyenlete: px + qy = r (p 2 + q 2 > 0) a) q 0 y = p q x + r q ( m = p q, b = r ) q 15
b) q =0 px = r x = r p Másodfokú függvények y = f(x) =ax 2 + bx + c (a 0; x R) [ f(x) =a x 2 + b a x + c ] = a [ ( = a x + b 2a ( = a x + b ) 2 + 2a ) 2 + c a b2 4a 2 4ac b2 a ] = 16
Polinomok y = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a n 0) Racionális törtfüggvény y = P (x) Q(x), P,Q polinomok Exponenciális függvény Hatványozás: a b = c (a, b, c R; a>0, a 1) 17
a: ahatvány alapja b: a hatvány kitevője c: a hatvány értéke Hatványfüggvény: rögzített a hatványkitevő (α R), változik az alap (x R) y = x α független változó: a hatványalap függő változó: a hatványérték 18
19
Exponenciális függvény: rögzített az alap (a), változik a kitevő (x) y = a x független változó: a kitevő függő változó: az érték 20
Inverz függvény. Legyen f : D f R R f adott függvény, és tegyük fel, hogy (x 1,x 2 D f, x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ), vagyis az ÉT különböző elemeihez különböző függvényértékek tartoznak. Ekkor értelmezhető az f függvény inverz függvénye, f 1 akövetkező módon: a) f 1 ÉT-a az eredeti függvény ÉK-e D f 1 := R f b) f 1 érkezési halmaza és egyben értékkészlete az eredeti függvény ÉT-a c) hozzárendelési szabály: y R f esetén f 1 (y) a D f -nek az az x eleme, amelyhez az eredeti f függvény az y értéket rendelte hozzá 21
y D f 1 = R f x = f 1 (y) D f, ha f(x) =y Példa. y = f(x) =10 x exponenciális függvény (a = 10) szigorúan monoton növekvő x 1 <x 2 10 x 1 < 10 x 2 D f = R, R f =(0, ) D f 1 =(0, ), R f 1 = R y (0, ) hatványérték x = f 1 (y) az a kitevő, amelyre 10-et emelve y-t kapunk 10 x = y y 10 100 1 10 x 1 2 1 22
f 1 : logaritmus függvény (10-es alapú) Általánosan: adott az alap (a) független változó: hatványérték függő változó: hatványkitevő a x = y, x =log a y Összetett függvény. Legyen adva két függvény: f : L R M R (belső függvény), g : M R R (külső fügvény). A g(f) összetett függvény értelmezési tartománya L, és a hozzárendelési szabály: x g(f) g(f(x)) (x L). Például, ha a belső függvény f(x) = x 2, a külső 23
függvény g(y) =cosy, akkorl = M = R, és g(f(x)) = cos(x 2 ). Formálisan, az összetett függvény x helyen felvett értékét úgy kapjuk, hogy a belső függvény x helyen vett értékét beírjuk a külső függvény független változója helyére. 24