9 oppler effektu kézítette: r. óczy-bodnár Andrea 9.1 A képlet é a változók definiáláa Hanghullámok eetén, amennyiben a forráa é a megfigyelő egymához képet mozog, a megfigyelő által ézlelt frekvencia eltér az eredetitől. Ezt a jelenéget oppler effektunak nevezik. (Elektromágnee hullámok eetén i fellép a jelenég, de itt mi a hanghullámokra zorítkozunk.) Valójában nem változik meg a forrá által kibocátott hang frekvenciája, cak az ézlelő érzékeli így. Ha a megfigyelő é a forrá közeledik, akkor az ézlelt frekvencia magaabb lez, ellenkező eetben alaconyabb. Általáno egyenlet: c v M f (Hz) c vf ahol f é f a forrá által kibocátott, illetve a megfigyelő/vevő által ézlelt frekvenciákat jelöli, c a hang terjedéi ebeége (m/), vm é vf pedig a megfigyelő é a forrá közeghez vizonyított ebeége (m/). Ha a mozgó megfigyelő a forrá irányába mozog, akkor a +, ellenkező eetben a - előjelet haználjuk. Mozgó forránál pont ellenkezőleg. Ha a forrá é a megfigyelő közeghez vizonyított ebeége jóval kiebb, mint a hang terjedéi ebeége az adott közegben, akkor a két frekvencia különbége, má néven oppler eltolódá, az alábbiak zerint írható fel*: v f f ' f f (Hz) c ahol v a megfigyelő é a forrá egymához vizonyított ebeége. Pozitív az előjel, ha közelednek egymához, negatív, ha távolodnak. (*Valójában a fenti egyenlet zigorúan véve cak a mozgó megfigyelő álló forrá eetre érvénye. Ugyanakkor a megfogalmazott feltételek teljeülée eetén jó közelítéel a többi eetben i alkalmazható, ezért az egyzerűég kedvéért gyakran ezt a formát haználják a oppler eltolódá meghatározáakor.) 1
Mozgó vizaverő objektum: ha egy tet vr ebeéggel mozog az álló forrához képet majd pedig ugyanezen tet vizaveri a hangot, mint vr ebeéggel mozgó máodlago forrá, akkor ez a oppler eltolódánál 2vR látzólago relatív ebeégnek felel meg az álló megfigyelő zempontjából (amely legegyzerűbb eetben a forrá közvetlen közelében helyezkedik el). Ilyenkor: 2vR f f ' f f (Hz) c ahol vr a vizaverő objektum ebeége. Megjegyzé: az özefüggéek a fenti formában cak akkor érvényeek, ha v é c párhuzamo (a mozgá a forrát é a megfigyelőt, illetve a vizaverő objektumot özekötő egyene mentén történik). Amennyiben ez nem teljeül, azaz v é c egymáal θ zöget zárnak be, akkor v-nek cak a c irányába eő vetülete zámít, azaz v helyére v coθ kerül. Ekkor a oppler eltolódá nem állandó, hanem coθ pillanatnyi értékétől, azaz a forrá é a megfigyelő pillanatnyi helyzetétől függ. A feladatmegoldá orán ezzel az eettel nem foglalkozunk. 9.2 A relatív ebeég alakuláa a megfigyelő é a forrá egymához vizonyított mozgáa orán Az alábbi táblázat a forrá é a megfigyelő egymához vizonyított ebeégének alakuláát mutatja a mozgá irányának függvényében. (A mozgá a két objektumot özekötő egyene mentén történik.) Forrá mozgáa Megfigyelő mozgáa v előjele álló - álló + +, ha vf>vm -, ha vf<vm 0, ha vf=vm + - +, ha vm>vf -, ha vm<vf 0, ha vf=vm 2
9.3 Mintafeladatok megoldáal 9.3.1 Feladat Egy hangforrá é egy megfigyelő az őket özekötő egyene mentén mozoghat. A hangforrá 3000 Hz frekvenciájú hangot bocát ki. A hang terjedéi ebeége 330 m/. Határozzuk meg az ézlelt frekvenciát az alábbi eetekben: (a) megfigyelő közeledik az álló hangforrához 40 km/h ebeéggel; (b) a hangforrá közeledik az álló megfigyelőhöz 75 km/h ebeéggel; (c) a megfigyelő távolodik az álló forrától 55 km/h ebeéggel. (a) a mozgá eredményeképp a két objektum közelít egymához, ezért a relatív ebeég (v) előjele pozitív lez, így a oppler eltolódáal megnő a frekvencia. Fonto, hogy a ebeégeket azono mértékegyéggel helyetteítük be! 40 km/h = 11,11 m/. Haználhatjuk az általáno egyenletet i: Miután a oppler-eltolódá általunk imertetett formája a mozgó megfigyelő álló forrá eetre lett levezetve, így termézeteen a kétféle megoldá azono. (b) a mozgá eredményeképp a két objektum közelebb kerül egymához, ezért v előjele pozitív lez, így a oppler eltolódáal megnő a frekvencia. Fonto, hogy a ebeégeket azono mértékegyéggel helyetteítük be! 75 km/h = 20,83 m/. Az általáno egyenletbe behelyetteítve: 11,11 m/ 3000Hz 101Hz 330 m/ f ' 3000Hz f 3101Hz 330 m / 11,11 m / 3000Hz 3101Hz 330 m/ 20,83 m/ 3000Hz 189Hz 330 m/ f ' 3000Hz f 3189Hz 330 m/ 3000Hz 3202Hz 330 m / 20,83 m / Mivel itt mozgó forráról van zó, így mint korábban említettük a opplereltolódára megadott egyzerűített egyenlet cak közelítő megoldát adhat. (c) a mozgá eredményeképp a két objektum távolodik egymától, ezért v előjele negatív lez, így a oppler eltolódáal cökken a frekvencia. Fonto, hogy a ebeégeket azono mértékegyéggel helyetteítük be! 55 km/h = 15,28 m/. 3
15,28 m/ 3000Hz 139Hz 330 m/ f ' 3000Hz f 2861Hz Az általáno egyenletet haználva ugyanezt a megoldát kapjuk, hizen a mozgó megfigyelő álló forrá eetről van zó: 330 m / 15,28 m / 3000Hz 2861Hz 330 m/ 9.3.2 Feladat Egy hangforrá é egy megfigyelő az őket özekötő egyene mentén mozoghat. A hangforrá 12000 Hz frekvenciájú hangot bocát ki. A hang terjedéi ebeége 1500 m/. Határozzuk meg az ézlelt frekvenciát az alábbi eetekben: (a) a forrá ebeége 50 km/h, a megfigyelőé 100 km/h, egymá irányába mozognak; (b) a forrá ebeége 50 km/h, a megfigyelőé 120 km/h, egymától távolodnak; (c) a hullámforrá ebeége 108 km/h, a megfigyelőé 54 km/h. Azono irányba mozognak, a hullámforrá megy hátul; (d) a hullámforrá é a megfigyelő ebeége egyaránt 60 km/h. Azono irányba mozognak, a hullámforrá megy hátul. (a) a mozgá eredményeképp a két objektum közeledik egymához, a relatív ebeégük +150 km/h lez. A oppler eltolódáal növekzik a frekvencia. Fonto, hogy a ebeégeket azono mértékegyéggel helyetteítük be! 150 km/h = 41,7 m/. 41,7 m/ 12000Hz 333,6Hz 1500 m/ f ' 12000Hz f 12333Hz Az általáno egyenletbe behelyetteítve a forrá é a megfigyelő m/-ban kifejezett ebeégét a következő eredményt kapjuk: 1500 m / 27,78 m / 12000Hz 12336Hz 1500 m / 13,89 m / Az előjeleket az általáno leírában imertetett konvenciónak megfelelően alkalmaztuk. Láthatjuk, hogy a hang terjedéi ebeégének növekedéével a kétféle megoldá közötti eltéré cökken, a oppler-eltolódá mozgó megfigyelő álló forrá eetre megadott egyenletével kapott megoldá egyre pontoabb eredményt ad (vö. 33.3.1 feladat). (b) a mozgá eredményeképp a két objektum távolodik egymától, a relatív ebeégük - 170 km/h lez. A oppler eltolódáal cökken a frekvencia. Fonto, hogy a ebeégeket azono mértékegyéggel helyetteítük be! 170 km/h = 47,2 m/. 4
Az általáno egyenletet alapján: 47,2 m/ 12000Hz 378Hz 1500 m/ f ' 12000Hz f 11622Hz 1500 m / 33,33 m / 12000Hz 11626Hz 1500 m / 13,89 m / A kétfajta megoldá közötti különbég gyakorlatilag elhanyagolható (ld. a. réz). (c) a mozgá eredményeképp a két objektum közeledik egymához, a relatív ebeégük 54 km/h lez. A oppler eltolódáal nő a frekvencia. Fonto, hogy a ebeégeket azono mértékegyéggel helyetteítük be! 54 km/h = 15 m/. 15 m/ 12000Hz 120Hz 1500 m/ f ' 12000Hz f 12120Hz Ha a m/-ban kifejezett ebeégeket az általáno egyenletbe behelyetteítjük, akkor a következő megoldát kapjuk: 1500 m / 15 m / 12000Hz 12122Hz 1500 m / 30 m / (d) mivel azono ebeéggel mozognak, ugyanazon irányba, a relatív ebeégük 0 lez, így nem lez frekvencia eltolódá, az ézlelt frekvencia megegyezik az emittált frekvenciával. 9.3.3 Feladat Az álló ultrahang forrá 8000 khz frekvenciájú ultrahangot generál. A forrához képet milyen irányba mozog é mekkora ebeéggel az a mozgó megfigyelő, amelyik 250 Hz-cel alaconyabb frekvenciát érzékel az eredetihez képet? Az adott közegben az ultrahang terjedéi ebeége 1600 m/. (A mozgá a megfigyelőt é a forrát özekötő egyene vonal mentén történik.) 5
Alaconyabb a frekvencia, így a megfigyelő távolodik a forrától, a relatív ebeég előjele - lez. v f v c c f 250Hz v 1600 m / 0,05 m / 6 8 10 Hz Fonto, hogy a zámítáoknál a frekvenciákat azono mértékegyéggel helyetteítük be. 9.3.4 Feladat Egy álló ultrahang tranzducer 5 MHz frekvenciájú ultrahangot bocát ki, amely egy 12 cm/ ebeéggel mozgó objektumról vizaverődik. Az ultrahangot ugyanez a tranzducer érzékeli. Mekkora lez a detektált frekvencia, ha az objektum a tranzducer irányába halad? A hang terjedéi ebeége 1510 m/. (A mozgá a tranzducert é a vizaverő objektumot özekötő egyene mentén történik.) Mivel vizaverő objektumról van zó, a oppler eltolódá kizámítáához zükége ebeég kétzeree a mozgó objektum ebeégének. A forrá/megfigyelő irányába mozog, így a oppler eltolódá értékével nő a frekvencia. 2 0,12 m/ 1510 m/ f ' f f 5000795Hz 6 5 10 Hz 795Hz 9.3.5 Feladat Egy mozgó objektum által vizavert ultrahang megfigyelő által detektált frekvenciája 500 Hz-cel alaconyabb, mint az eredeti frekvencia. Az álló forrához/megfigyelőhöz képet milyen irányba é mekkora ebeéggel mozog az objektum? Az eredeti frekvencia 1000 khz. A hang terjedéi ebeége 1510 m/. (A mozgá a tranzducert é a vizaverő objektumot özekötő egyene mentén történik.) Alaconyabb a frekvencia, azaz a vizaverő objektum távolodik a forrától/megfigyelőtől. Sebeége pedig az alábbiak alapján zámítható: 2vR f vr c c 2 f 500Hz vr 1510 m / 0,3775 m / 6 2 10 Hz Az objektum tehát 0,38 m/ ebeéggel távolodik a forrától/megfigyelőtől. 6
9.4 Gyakorló zámítái feladatok A megoldáok kizámítáánál a oppler eltolódá mozgó megfigyelő álló forrá eetre levezetett egyenletét alkalmazza! 1. Mekkora a oppler eltolódá értéke, ha a megfigyelő 5 cm/ ebeéggel mozog az álló forrá irányába? A hang frekvenciája 10000 Hz, terjedéi ebeége az adott közegben 800 m/. (A mozgá a két objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) 0,625 Hz (b) -0,625 Hz (c) 62,5 Hz 2. Mekkora a oppler eltolódá értéke, ha a forrá 5 m/perc ebeéggel távolodik az álló megfigyelőtől? A hang frekvenciája 10000 Hz, terjedéi ebeége az adott közegben 1600 m/. (A mozgá a két objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) -31,25 Hz (b) -0,521 Hz (c) 0,521 Hz 3. Mekkora a oppler eltolódá értéke, ha a forrá é a megfigyelő 10 cm/ ebeéggel mozognak ugyanabban az irányban é a forrá van hátul? A hang frekvenciája 8000 khz, terjedéi ebeége az adott közegben 1600 m/. (A mozgá a két objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) -500 Hz (b) 0 Hz (c) 500 Hz 4. Mekkora lez az álló megfigyelő által ézlelt frekvencia, ha a forrá 25 km/h ebeéggel távolodik a megfigyelőtől? A hang frekvenciája 10000 Hz, terjedéi ebeége az adott közegben 330 m/. (A mozgá a két objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) 10210 Hz (b) 0 (c) 9790 Hz 5. Mekkora az álló megfigyelőhöz vizonyított előjele ebeége a mozgó forrának, ha a megfigyelő a kibocátott 9000 Hz helyett 8500 Hz frekvenciát érzékel? A hang terjedéi ebeége 330 m/. (A mozgá a két objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) 18,33 m/ (b) -19,41 m/ (c) -18,33 m/ 6. Egy hangforrá é egy megfigyelő az őket özekötő egyene mentén mozoghat. A hangforrá 10 khz frekvenciájú hangot bocát ki. A hang terjedéi ebeége 1500 m/. Mekkora a oppler eltolódá, ha a forrá ebeége 50 km/h, a megfigyelőé 150 km/h, é egymá irányába mozognak? (a) 185 Hz (b) 370 Hz (c) 1333 Hz 7. Egy hangforrá é egy megfigyelő az őket özekötő egyene mentén mozoghat. A hangforrá 1 MHz frekvenciájú hangot bocát ki. A hang terjedéi ebeége 330 m/. Mekkora lez a megfigyelő által érzékelt frekvencia, ha forrá é a megfigyelő ebeége egyaránt 0,05 m/, ellentéte irányba mozognak é távolodnak egymától? (a) 1000303 Hz (b) 1000000 Hz (c) 999697 Hz 8. Hogyan változik az álló megfigyelő által érzékelt oppler eltolódá mértéke, ha a megfigyelőtől távolodó mozgó forrá ebeégét kétzereére növeljük? (A hang frekvenciája nem változik.) (a) felére cökken (b) nem változik (c) kétzereére nő 7
9. Mekkora az álló forrához/megfigyelőhöz vizonyított előjele ebeége a vizaverő objektumnak, ha a megfigyelő a 100000 Hz helyett 100500 Hz frekvenciát érzékel? A hang terjedéi ebeége 1600 m/. (A mozgá a tranzducert é a vizaverő objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) +8 m/ (b) +4 m/ (c) -8 m/ 10. Egy álló ultrahang tranzducer 4 MHz frekvenciájú ultrahangot bocát ki, amely egy 10 cm/ ebeéggel mozgó objektumról vizaverődik. Az ultrahangot ugyanez a tranzducer érzékeli. Mekkora lez a frekvencia eltolódá, ha az objektum a tranzducertől távolodik? A hang terjedéi ebeége 1510 m/. (A mozgá a tranzducert é a vizaverő objektumot özekötő egyene mentén történik.) (a) 530 Hz (b) -530 Hz (c) -265 Hz 8