Kockázati Mértékek Instabilitása

Hasonló dokumentumok
Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

OPTIMALIZÁCIÓ ÉS REGULARIZÁCIÓ

Loss Distribution Approach

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

A maximum likelihood becslésről

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése

Mérési hibák

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András

Exponenciális kisimítás. Üzleti tervezés statisztikai alapjai

Normális eloszlás tesztje

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

STATISZTIKAI PROBLÉMÁK A

Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis vizsgálatok

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok.

y ij = µ + α i + e ij

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok.

Kockázatalapú változó paraméterű szabályozó kártya kidolgozása a mérési bizonytalanság figyelembevételével

Ensemble előrejelzések: elméleti és gyakorlati háttér HÁGEL Edit Országos Meteorológiai Szolgálat Numerikus Modellező és Éghajlat-dinamikai Osztály 34

Kockázatkezelés a rezgésdiagnosztikában többváltozós szabályozó kártya segítségével

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kockázati Mértékek Instabilitása

A XXI. SZÁZADRA BECSÜLT KLIMATIKUS TENDENCIÁK VÁRHATÓ HATÁSA A LEFOLYÁS SZÉLSŐSÉGEIRE A FELSŐ-TISZA VÍZGYŰJTŐJÉN

S atisztika 2. előadás

Doktori disszertáció. szerkezete

Termelés- és szolgáltatásmenedzsment

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

5. elıadás március 22. Portfólió-optimalizálás

Témaválasztás, kutatási kérdések, kutatásmódszertan

Elemi statisztika fizikusoknak

Kockázatok és mérési bizonytalanság kezelése a termelésmenedzsment területén

Kísérlettervezés alapfogalmak

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok. Géczi-Papp Renáta

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Módszertani hozzájárulás a Szegénység

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Területi statisztikai elemzések

Segítség az outputok értelmezéséhez

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Logisztikai szimulációs módszerek

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika

Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

Kvantitatív módszerek

SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS - TÉZISFÜZET

Diagnosztika és előrejelzés

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Asszociációs szabályok

Mérési struktúrák

A mérési eredmény megadása

A Statisztika alapjai

KÉSZLETMODELLEZÉS EGYKOR ÉS MA

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

Populációbecslések és monitoring

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

Bírálat. Farkas András

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

Kockázatkezelés és biztosítás 1. konzultáció 2. rész

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Kosztyán Zsolt Tibor Katona Attila Imre

ELTE, matematika alapszak. Zempléni András oktatási igazgatóhelyettes Matematikai Intézet

Szabályozói tőkeköltségszámítás december 31-re vonatkozóan

MATEMATIKUS SZAKMAISMERTETŐ INFORMÁCIÓS MAPPA. Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program (HEFOP) 1.2 intézkedés

Átírás:

Kockázati Mértékek Instabilitása Doktori értekezés tézisei Varga-Haszonits István ELTE TTK Fizika Doktori Iskola Statisztikus fizika, biológiai fizika és kvantumrendszerek fizikája program Iskolavezető: Dr. Horváth Zalán, az MTA rendes tagja, egyetemi tanár Programvezető: Dr. Kürti Jenő DSc, egyetemi tanár Témavezető: Dr. Kondor Imre DSc, egyetemi tanár ELTE TTK Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék 2009

Bevezetés A kockázat mérése és különféle feltételek melletti minimalizálása a pénzügyi elmélet talán legalapvetőbb és legnehezebb problémája. A dolog bonyolultságát jelzi, hogy a pénzügyi szakma különböző részvevői (tudósok, banki szakemberek és szabályozók) már a pénzügyi kockázat meghatározásában sem értenek egyet, és ennek megfelelően a szakirodalomban és a gyakorlatban alkalmazott kockázatfogalmaknak és kockázati mértékeknek se szeri se száma. Ráadásul a banki gyakorlatban és szabályozásban az akadémiai szféra többszöri nyomatékos figyelmeztetése ellenére is szinte kizárólag ad-hoc, elméletileg gyengén megalapozott kockázatmérési és -kezelési módszereket alkalmaznak. Ennek köszönhetően a gyakorlat és az elmélet fejlődése sajnálatos módon szétvált: a mindennapi pénzügyi élet egyre kevésbé vett tudomást a legújabb elméleti eredményekről, ugyanakkor a kockázat matematikai elmélete egyre kevésbé vette figyelembe a gyakorlati igényeket. Nem fordult például kellő figyelem arra, miként teljesítenek ezek a módszerek abban az életszerű helyzetben, amikor a háttérfolyamatok vagy legalábbis azok paraméterei nem ismertek, így befektetéseink kockázatát empirikus adatok alapján kell becsülnünk. A pénzügyi kockázat szakirodalmában általánosnak mondható az a megközelítés, amely a matematikai eleganciát, és az absztrakt elméleti meggondolásokat helyezi előtérbe, és (általában implicit módon) feltételezi a háttérfolyamatok ismeretét. Ebben a megközelítésben a becslés problematikája mintegy másodlagos feladatként jelenik meg, amelyet mindenképpen meg kell előznie az elvont elméleti megalapozásnak. Az értekezésben számos példán keresztül mutattuk meg, hogy ez a megközelítés alapjaiban téves. A kockázati mértékek mintavételi zajjal szembeni érzékenységét a portfólió-választási problémán keresztül vizsgáltuk meg, amely a pénzügyi matematika egyik alapfeladata. Részben a szakirodalomra, részben saját kutatási eredményeinkre alapozva számos különböző kockázati mérték zajérzékenységét megvizsgáltuk, és azt találtuk, hogy néhány elméleti és/vagy gyakorlati szempontból igen fontos kockázati mérték az ún. kockáztatott érték, és a koherens kockázati mértékek erősen és lényegükből fakadó módon instabilak. Mindezt elemi matematikai meggondolások alapján a kockázati mértékék igen széles körére sikerült belátnunk, megkérdőjelezve ezzel azok gyakorlati alkalmazhatóságát. Mindez egyértelműen arra utal, hogy a kockázatmérési módszerek elméleti megalapozása során a mintavételi hibával szembeni érzékenység kérdése elsődleges jelentőséggel bír. A fenti vizsgálatok során numerikus szimulációk és elemi matematikai meggondolások mellett jórészt a rendezetlen rendszerek elméletében kidolgozott replika-módszerre támaszkodtunk, újabb példát szolgáltatva a módszer fizikán kívüli alkalmazhatóságára. A dolgozat végén röviden utaltunk rá, miként lehetne a dolgozatban bemutatott, a mintavételi zaj jellemzésére használt módszertant jóval általánosabb keretek között alkalmazni a különféle tudományágakban és szakterületeken kidolgozott modellek zajérzékenységének vizsgálatára.

Alkalmazott módszerek A különböző kockázati mértékek és árfolyam-eloszlások melletti portfólió optimalizációs problémák zajérzékenységének jellemzésére a q 0 mennyiséget használtuk, amely a mintából becsült optimális portfólió és a valódi optimális portfólió kockázatának hányadosa. q 0 előnyei közé tartozik, hogy dimenziótlan, így alkalmas akár erősen eltérő modellek zajérzékenységének összehasonlítására is, továbbá a mérési hibát a befektetők számára igen könnyen értelmezhető formában jellemzi. A q 0 mennyiség meghatározása mellett az optimum létezésének feltételeit, illetve annak valószínűségét is vizsgáltuk. q 0 viselkedését illetve az optimum létezését egyrészt a replika-módszer, másrészt numerikus szimulációk segítségével végeztük. A véges mintán történő portfólió-optimalizációs feladat ugyanis formálisan ekvivalens egy olyan statisztikus fizikai problémával, amelyben a portfólió súlyok megfelelnek a rendszer általánosított koordinátáinak (pl. pozíció vagy spinek), a csatolási állandók pedig a véges mintából származtathatók. Mivel a minta, és azzal együtt a csatolási állandók véletlen változók, ezért a vizsgált probléma analóg a spinüvegek, illetve a rendezetlen rendszerek egyes modelljeivel (pl. a Sherrington-Kirkpatrick-modellel), így hatékonyan alkalmazható az ilyen rendszerek analitikus vizsgálatára kidolgozott replika-módszer. Ahol azonban a modell bonyolultsága miatt a replika-módszer nem volt alkalmazható, vagy a replika-módszerrel kapott analitikus eredményeinket ellenőrizni akartuk, Monte Carlo szimulációt alkalmaztunk. Ennek lényege, hogy a véletlen mintákat egy előre rögzített eloszlásból saját magunk generáltuk, és a portfólió optimalizációt minden egyes mintára végrehajtottuk. Ennek megfelelően q 0 alakulását, illetve az optimum létezését mintáról mintára nyomon követtük, és megbecsültük pl. q 0 átlagát, vagy az optimum létezésének valószínűségét. A dolgozat végén az egyes kockázati mértékekre vonatkozó speciális eredményeinket igen általános formában is megfogalmaztuk, itt elsősorban elemi matematikai módszerekre támaszkodtunk.

Tézisek 1. A replika-módszer segítségével reprodukáltuk a klasszikus Markowitz-feladat mérési hibájának az N piacmérettől és a T mintamérettől való függését leíró q 0 = (1 N/T) 1/2 formulát. Habár a végeredmény nem újdonság, annak replika-módszerrel történő levezetése még nem szerepelt az irodalomban. Mivel a klasszikus Markowitz-feladat tulajdonképpen a lehető legegyszerűbb portfólió-választási probléma, ezért annak replika-módszerrel történő jellemzése jó kiindulópontként szolgál a bonyolultabb kockázat-minimalizációs modellek (pl. veszteségoldali kockázati mértékek) elemzéséhez is. 2. A replika-módszer segítségével megvizsgáltuk néhány fontos veszteségoldali kockázati mérték (Value-at-Risk, Expected Shortfall, szemivariancia) minimalizációjának zajérzékenységét abban az esetben, ha a kockázatot parametrikus illesztéssel (és nem historikus módszerrel) becsüljük. (Más szóval az árfolyammozgások eloszlásának alakját előre feltesszük, és csak az eloszlás paramétereit becsüljük.) Megállapítottuk, hogy az Expected Shortfall historikus becsléséhez hasonlóan a veszteségoldali kockázati mértékek parametrikus becslése is instabil, és véges valószínűséggel bekövetkezhet, hogy az optimum nem létezik. A termodinamikai limeszben (amikor mind az értékpapírok N száma, mind pedig a minta T mérete végtelenhez tart, miközben az r = N/T arány rögzített) az r relatív mintaméret és a Value-at-Risk vagy Expected Shortfall α konfidencia-szintje által kifeszített paramétersík egy jól definiált kritikus görbe mentén két fázisra esik szét: a görbe alatti tartományban létezik optimum, fölötte pedig nem. Beláttuk továbbá, hogy a megoldható tartományból a fázishatár felé közeledve a mérési hiba a q 0 (r c r) 1/2 módon divergál, ahol r c az N/T kritikus (azaz a fázishatáron felvett) értéke. Kritikus viselkedése alapján tehát az itt vizsgált probléma vélhetően ugyanabba az univerzalitási osztályba tartozik, mint az irodalomban, illetve az értekezésben vizsgált egyéb portfólió-választási feladatok. További fontos következtetés, hogy a parametrikus becslés a (várakozásoknak megfelelően) ugyan valamivel stabilabb, mint a historikus becslés, ugyanakkor továbbra is megengedi, hogy az optimum véges valószínűséggel ne létezzék, a fő problémát tehát nem oldja meg. 3. Mivel a független, azonos eloszlású, normális hozamingadozások feltételezése erősen leegyszerűsítő, ezért a portfólió-választás zajérzékenységét megvizsgáltuk a valamivel realisztikusabb GARCH-modellek (egész pontosan az ún. CCC-GARCH(1,1)-modell) alkalmazása mellett is. Numerikus módszerek felhasználásával megállapítottuk, hogy amennyiben a befektető tisztában van a GARCH-hatás jelenlétével (tehát ismeri a folyamat jellegét, de nem ismeri a paramétereit), akkor az optimalizáció becslésből származó hibája éppen a korábban megismert q 0 (1 N/T) 1/2 módon viselkedik. Ha azonban a befektető a GARCH-hatás jelenléte ellenére naiv módon független, gauss-i fluktuációkat feltételez, akkor a q 0 hiba jóval nagyobb lesz, és T esetben sem tart 1-hez. Ezek az eredmények tehát jó példát szolgáltatnak a téves modellspecifikációból eredő hiba potenciális nagyságára.

4. Elemi matematikai módszerekkel beláttuk, hogy a becsült optimum létezésével kapcsolatos instabilitás nem csupán a fent vizsgált kockázati mértékek speciális jellemzője, hanem azok bizonyos alapvető tulajdonságaiból fakad. Így kiderült, hogy az elméletben és gyakorlatban alkalmazott kockázati mértékek igen nagy része (köztük a Value-at-Risk, és a pénzügyi matematikusok körében igen népszerű koherens mértékek) instabil, ami kérdésessé teszi a gyakorlati használhatóságukat. Az alkalmazott gondolatmenetből kiindulva a jövőben lehetővé válhat a kockázatmérés új, stabilabb technikáinak a kidolgozása. 5. Megállapítottuk továbbá, hogy az értekezésben alkalmazott módszertan nemcsak a portfólióoptimalizációs feladatok körében alkalmazható, hanem tanulmányozhatjuk vele például tetszőleges tudományterületen kidolgozott modellek véletlen mintával szembeni érzékenységét is, és alsó becslést adhatunk a várható hibára, illetve a modellillesztéshez használt idősor ajánlott hosszára. Ez a kapcsolat a portfólió-optimalizáció és a statisztikai becslés elmélete között továbbá lehetőséget nyújt arra, hogy a statisztikus fizika módszereit olyan területeken is hatékonyan alkalmazzuk, ahol eddig a hagyományos matematikai módszerek voltak az uralkodóak. Következtetések Az értekezés legfontosabb pénzügyi vonatkozású következtetése, hogy a kockázati mértékek elméleti megalapozása nem hagyhatja figyelmen kívül a kockázatmérés és -minimalizáció gyakorlati kérdéseit, például a véges mintából történő becslést. Ennek a kritériumnak sem a gyakorlatban alkalmazott, sem pedig az elméleti szakemberek által javasolt kockázati mértékek nem felelnek meg, a kockázatmérés gyökeresen új megközelítésére van tehát szükség. Ezen túlmenően kibővítettük a replika-módszer statisztikus fizikán túli, konkrétabban pénzügyi alkalmazásainak körét, és a dolgozat végén megmutattuk, hogy a portfólió-választás problémakörén túllépve miként vihető át ez a módszertan a hagyományos matematikai statisztika területére.

A tézisek alapjául szolgáló publikációk I. Varga-Haszonits and I. Kondor, Noise Sensitivity of Portfolio Selection in Constant Conditional Correlation GARCH Models, Physica A 385, p307-318 (2007) I. Varga-Haszonits and I. Kondor, The Instability of Downside Risk Measures, J. Stat. Mech. 12, P12007 (2008) I. Kondor and I. Varga-Haszonits, Feasibility of Portfolio Optimization under Coherent Risk Measures, arxiv:0803.2283v3 [physics.soc-ph], submitted to Quantitative Finance (2008) I. Kondor and I. Varga-Haszonits, Divergent estimation error in portfolio optimization and in linear regression, Eur. Phys. J. B 64, p601-605 (2008)