Pr(X 1 = j X 0 = i) Pr(T 1 < t X 0 = i) Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i) = Pr(X 1 = j X 0 = i) = [( D 0 ) 1 D 1 ] ij. Pr(T 1 < t X 0 = i) = [e D0t 1I] i

Ì Å ÃÁË ÇÄ ýäýë ÁÁº Ô Ð ÓÖÓ Ñ ÓÐ Ì Ð Å Ð Ù Ô Ø Åò Þ Ý Ø Ñ ¾¼¼ º

¾¼¼¾º  Һ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Ý D 0, D 1 Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÓØØ Å È Ø Ò X 0, X 1,... Þ Ö Þ ÙØ Ò Þ Ñ T 0 = 0, T 1,... Þ Ö Þ Ô ÐÐ Ò Ø º Ñ Ú Ø Þ Ú Ð Þ Òò Ø Pr(X 1 = j X 0 = i) Pr(T 1 < t X 0 = i) Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i) Ñ Pr(X 1 = j X 0 = i) Ú Ð Þ Òò Ø p k (t) Ð Ô Ò Ñ Pr(T 1 < t X 0 = i) Ú Ð Þ Òò Ø p k (t) Ð Ô Ò ÓÐ p k (t) = Pr(X(t) = k, T 1 > t X 0 = i) X(t) Þ ÓÐÝ Ñ Øº Å ÓÐ Pr(X 1 = j X 0 = i) = [( D 0 ) 1 D 1 ] ij Pr(T 1 < t X 0 = i) = [e D0t 1I] i j Þ Ö Ú Þ Ø Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø t Ô ÐÐ Ò Ø Ò [e D0t D 1 ] ij ÓÒÒ Ø Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i) = Pr(X 1 = j X 0 = i) = p j (0) Pr(T 1 < t X 0 = i) = p j (0) p j (t) t τ=0 [e D 0τ D 1 ] ij dτ ¾» ËÞ Ñ ¹Å Ö ÓÚ ÓÐÝ Ñ Ø ØÖ ÒÞ Ò Ú Ð Ò Ð Ö Þ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ý ÞÓØØ Å Ö ÓÚ Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ð Ô Òº Å ÓÐ Ö ØØ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ú Ð Þ Òò π ij (t) = Pr(X(t) = j X(0) = i)º ÐØ Ú Ó Ý Þ Ð ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø h Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ø ÖØ Ò Ú Þ Ø Ú Ø Þ Ñ ÒÒÝ Ø π ij (t T 1 = h) = Pr(X(t) = j X(0) = i, T 1 = h). ½

ÓÖ δ ij h t π ij (t T 1 = h) = Pr(X(T 1 ) = k X(0) = i, T 1 = h) π ij (t h) h < t, k S ÓÐ Pr(X(T 1 ) = j X(0) = i, T 1 = h) ÒÒ Ú Ð Þ Òò Ó Ý ÓÐÝ Ñ Ø Þ i ÐÐ ÔÓØ Ð T 1 = h Ô ÐÐ Ò Ø Ò k ÐÐ ÔÓØ Ð Ôº Pr(X(T 1 ) = j X(0) = i, T 1 = h) = dq ij(h) dq i (h). Ö ØØ Ñ ÒÒÝ Ø Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ú Ð Þ i ÐÐ ÔÓØ Ø Ö¹ Ø ÐÓ ÞÐ Ð Ô Ù π ij (t) = h=0 π ij (t T 1 = h) dq i (t), ÓÐ Q i (t) = j Q ij (t)º Þ ÒØ Ö ÐØ ÖØ ÐÚ Ú Ø Þ Þ t π ij (t) = δ ij (1 Q i (t)) + π kj (t h) dq ik (h). h=0 k S» ŻŻ½ ÓÖ ØÖ ÒÞ Ò Ú Ð º Ñ Ú Ø Þ Ú Ð Þ Òò Ø n 1 P n,n (t) = Pr(X(t) = n, X(u) > n 1, 0 < u < t X(0) = n) Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý Þ nº Þ ÒØÖ Ð Þ n 1º Þ ÒØÖ Ð Ô Ò ÐÓ ÞÐ ¹ Ú ÒÝ G n (t) òöò Ú ÒÝ g n (t)º ÞÞ ÒÒ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÐØ Øº Å ÓÐ Þ nº Þ ÒØ Ò ÐØ ÐØ ØØ +µ Ô Ö Ñ Ø Öò ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ ÞÐ º Þ Ð Ø¹ Ð Ô Þ Òº Þ ÒØ Ò Ø ÖØ Þ Ó ÓÐÝ Ñ Øº Þ Ð ØÐ Ô +µ Ú Ð Þ Òò Ð Þ n + 1º Þ ÒØÖ Ú Þ Ø Ñ µ Ú Ð Þ Òò Ð Þ n 1º Þ ÒØÖ Ý +µ n 1P n,n (t) = e (+µ)t + + µ t τ=0 Ì ÓÒ ÒØ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð Ø Ù Þ Ø n 1P n,n (s) = 1 + µ + s + t τ (+µ)e (+µ)t g n (γ) n 1 P n,n (t τ γ)dγdτ. + µ γ=0 + µ + µ + s g n (s) n 1P n,n (s) ¾

» Ý É [ Ö ÙÐ Ö ] Ö Þ Ò [ A 2, A 1 ], A 0 º Å [ Ø Ð Ø ] ÐØ Ø Ð µ1 0 µ3 0 A 2 = A 0 µ 1 = A 2 0 0 = 0 Å ÓÐ Þ A = A 0 + A 1 + A 2 Ò Ö ØÓÖÖ Ð ÐÐ ÑÞ ØØ Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ñ ÖÖ Ù Ð º Þ ÓÐÝ Ñ Ø ½¹ ÐÐ ÔÓØ ØÖ ÒÞ Ò ØØ Ô Ý ÒÝ Ð ÐÐ ÔÓغ Þ ÖØ ØØ ÐÐ ÔÓØ Ò ÐÐ Ø Ð Ð Ò Ó Ý Þ ØÐ Ô Ø Ò Ò Ò Ø Ú Þ Þ µ 2 > º» ÌÅ Û Ø Ñ Ò Ø ¾¹ Þ Ö ò Ñ Ò Ø Þ Ô Øº ÐØ Ø Ð ÞÚ Ó Ý Ñ Ò Ø Ò Ý ÇÆ¹Ç ÓÖÖ Ú Ò Ñ Ô ÓÐ Ò Ð Ú ÓÑ Ó Þ Ñ Ø Ð Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Pr(ON OFF) = p Pr(OFF ON) = qº Å ÓÐ Å ÐÐ Ð Ò ÞØ ØÒ Ò ÓÖÖ Ñ Ò Ð Ò ÐÐ Ø ÓÐ Þ Ð Ð Þ ÙØ Ò º ÐÐ Þ Ñ Ø Ñ Ò Ð Ò ÐÐ Ò Ñ Ð Ð Þ Ö Ø ò É ÓÐÝ Ñ Ø Ö Ð º Ñ ÓÖÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÇÆ ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ñ Ò Ò Ð Ô Þ Ò Ý Ð Ò ÐÐ Þ Ñ Ù Ö Ò Ñ Ú Ð Ø ÐÐ Ö Þ Ý ÐÐ ØÓÚ Ø Ð Øغ Ñ ÓÖÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ç ÐÐ ÔÓØ Ò Ý Ñ Ò Ø µ Ð Ô Ð ØØ Ý Ð Ò Ø ÖÓÐ Ø ÖØ ÐÑ º Å Ú Ð ÓÖÖ Ñ Ò Ò ÐÐ Ú Ò ÐÐ ÔÓØÓØ Ú ÐØ Ø Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Ý Ñ Ò Ø ÐÐ Ò ÔÓÒØÓ Ò ½ ÐÐ Ö Þ º À Þ ÇÆ[ Þ ½¹ ÐÐ ÔÓØ ÓÖ ] Ú Ø Þ [ Ñ ØÖ ÜÓ Ò ] 0 0 p q p(1 q) A 2 = (1 q) 2 A (1 q)q 1 = q(1 p) q p [ ] (1 p) 2 (1 p)p A 0 = º 0 0

¾¼¼¾º  Һ ¾¾º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Ý D 0, D 1 Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÓØØ Å È Ø Ò Ó Þ ÐØ ÐØ Ú Ð ÒÝ ÒÝ Ö Þ Ý Ò ÒØ Ñ ÝÑ Ø Ú Ø Ø Ö Þ Þ ÓÖÖ Ð Ø Ñ ÖØ Þ Ö Þ Þ Þ Ö Þ ÙØ Ò Þ Ý ØØ ÐÓ ÞÐ K ij (t) = Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i)µ Å ÓÐ = αd 1 1I ÓÐ α Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ α(d 0 + D 1 ) = 0 α1i = 1µº R(T 1, T 2 ) = E(T 1 T 2 ) E(T 1 )E(T 2 ) (E(T 2 1 ) E 2 (T 1 ))(E(T 2 2 ) E(T 2 )), ÓÐ E(T 1 ) = E(T 2 ) = α( D 0 ) 1 1I E(T1 2) = E(T 2 2) = 2α( D 0) 2 1I E(T 1 T 2 ) = α i t τ [e D0τ D 1 1I] j dτ dk ij (t). i t=0 τ=0 ¾» Ò ÓÐÝØÓÒÓ ò É ÓÐÝ Ñ ØÓ Ñ ØÖ Ü Ò Ð Ñ Ø Ñ ÖØ Ñ ØÖ Ü Ñ Ø ÖÓÞ Ò Ø ÒÙÐص ÒÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö Øº Å ÓÐ Þ {N(t), J(t)} Þ ÒØ Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ò γ n Ð Ð Þ Ð ÔÓÒØÓØ Ñ ÓÖ ÓÐÝ Ñ Ø Þ Òº Þ ÒØÖ Ð Ô γ n = min(t > 0 N(t) = n)µº ÓÖ G ij = Pr(J(γ n 1 = j) N(0) = n, J(0) = i) G Ñ ØÖ Ü 0 = A 2 +A 1 G+A 0 G 2 Ñ ØÖ Ü Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ñ Ð Ò Ñ¹Ò Ø Ú Ñ ÓÐ º ËØ Ð É Ø Ò G Ñ ØÖ Ü ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Üº Ä Ò Ð ÐØ ÐØ Ð ÓÖ ØÑÙ G := 0; Ê È Ì G := ( A 1 A 0 G) 1 A 2 ; ÍÆÌÁÄ 1I G1I ǫ

Ð Ò Ð ÐÓ ÞØ Ð ÓÖ ØÑÙ G := I; Ê È Ì G old := G; G := ( A 1 A 0 G) 1 A 2 ; ÍÆÌÁÄ G G old ǫ ÐÓ Ö ØÑ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ H := ( A 1 ) 1 A 0 ; L := ( A 1 ) 1 A 2 ; G := L; T := H; Ê È Ì U := HL + LH; H := (I U) 1 H 2 ; L := (I U) 1 L 2 ; G := G + TL; T := TH; ÍÆÌÁÄ 1I G1I ǫ» Å ÐÝ Ò Ô ÓÐ Ø Ò ÐÐ Ø É ÓÐÝ Ñ ØÓ Ê Ñ ØÖ Ü Ò Ð Ò ÝÓ Ø ÖØ º Î Ð Þ ÓÞ ÓÒ Þ ÑÐ Ð Ø Þ Ò Ó Ð Øº Å ÓÐ É ÔÓÞ Ø Ú Ú Þ Ø Ö ÒÙÐÐ Ú Þ Ø Ö Ò Ñ Ú Þ Ø Ö sp(r) ½ ½ ½ sp(g) ½ ½ ½ ÓÐ sp() Ô ØÖ Ð Ö Ù ÞØ Ð Ð º Þ R Ñ ØÖ Ü Þ nº Þ n 1º Þ ÒØ Ò ÐØ ÐØ ØØ Ö ÒÝ Ø Ñ º À ÓÐÝ Ñ Ø Ú Þ Ø Ö ÓÖ Þ nº Þ ÒØÖ Ð Ò ÙÐÚ ½ Ú Ð Þ Òò Ð Ú Þ Ð Ô Þ n 1º Þ ÒØÖ Ý G Ñ ØÖ Ü ÞØÓ ÞØ Ù Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ø ÖØ ½º À ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ñ Ú Þ Ø Ö ÓÖ Þ nº Þ ÒØÖ Ð Ò ÙÐÚ < 1 Ú Ð Þ Òò Ð Ð Ô Ú Þ ÓÐÝ Ñ Ø Þ n 1º Þ ÒØÖ Ý G Ñ ØÖ Ü ÞÙ ¹ ÞØÓ ÞØ Ù Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ø ÖØ < 1º

» Ý Å È»Å»½ ÓÖ Ö Þ ÓÐÝ Ñ Ø D 0, D 1 Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÓØØ ÞÓÐ Ð ÒØ ÒÞ Ø µº Ñ ÓÖ É Ð Ö Ò ÖÓÑ Ñ ØÖ Ü Øº ÀÓ Þ ÐØ ÐØ Ú Ð Þ Ø Ú Ô Ö Ù Ñ Ð Ð Ý ÒÝ Ú Ò Ö Ò ¹ Þ Ö Òµ ÙØ Ò Þ α Þ Ö Ô Ö Ù ÙØ Ò Þ β Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ú Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ð α = βg β = α( D 0 ) 1 D1º Å ÖØ ÀÓ Ý Ò Ø ÖÓÞÒ Ñ Þ Ý ÒÐ Ø Ð β α ÖØ Ø Å ÓÐ A 2 = µi A 1 = D 0 µi A 0 = D 1 º Ó Ð ÐØ Þ Ð Ò Þ ½º Þ ÒØ Ò Ñ Þ Ö Þ Ð Ò ¼º Þ ÒØ Ò Ø ÖØ Þ Ó ÓÐÝ Ñ Øº G Ñ ØÖ Ü ÔÓÒØ Þ Ú ÐØÓÞ Ø Ö Ð Ý Ð Ð Ð Ô Ø Ö º ¼º Þ ÒØ Ý (α, D 0 ) ÈÀ ÐÓ ÞÐ Ø Ø ÐØ ÓÐÝ Ñ Ø ÞØ Ò D 1 Ñ ØÖ ÜÒ Ñ Ð Ð Ò Ð Ô Þ ½º Þ ÒØÖ º ¼º Þ ÒØ Ý ÐÐ ÔÓØ Ò Ø Ð¹ Ø ØØ Ú Ö Ø ÖØ α( D 0 ) 1 Ý Þ ½º Þ ÒØ Ý ÐÐ ÔÓØ Ð Ô Ú Ð Þ Òò α( D 0 ) 1 D 1 º α β Þ Ð Ð Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ α = α( D 0 ) 1 D 1 G, α1i = 1, β = βg( D 0 ) 1 D 1, β1i = 1.» Ñ Þ Å»ÈÀ»½»¾ ÓÖ Ñ Ò ÓÐÝ Ñ Ø Ò Å È Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Þ Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø ÞÓÐ Ð ÈÀ ÐÓ ÞÐ τ, T Ô Ö Ñ Ø Ö Ðº Å ÓÐ ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Å Ö ÓÚ Ð Ò ØÖÙ Ø Ö τ Q = t T I I, tτ T

ÓÐ t = T1Iº Þ ÒØ Ò Ð Ö ØÑ Ò Ø ÖÒ Ø ÚÓÞ Ð Ý τ D 0 = T I I, D 1 = t. T tτ

¾¼¼¾º  Һ ¾ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Ý D 0, D 1 Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÓØØ Å È Ø Ò X 0, X 1,... Þ Ö Þ ÙØ Ò Þ Ñ T 0 = 0, T 1,... Þ Ö Þ Ô ÐÐ Ò Ø º Ñ Pr(X 1 = j X 0 = i) Ú Ð Þ Òò Ø Pr(T 1 < t X 0 = i) Ú Ð Þ Òò Ø t Ð ØØ Ö Þ ÒÝ Þ Ñ Ò ÐÓ ÞÐ Ø Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i) Ú Ð Þ Òò Ø Þ Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Ò Þ Ö Þ Þ ÐÓ ÞРغ À Þ Ý Ò ÐÝ Ö Þ Þ ÈÀ ÐÓ ÞÐ ÓÖ Ñ ÒÒ ÈÀ Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ Ø Ò Ñ Ò Ó ÓÐ Ñ Öغ Ñ Þ Ð Ñ Ó Ö Þ Þ ÓÖÖ Ð Ø R(T 1, T 2 ) = E(T 1 T 2 ) E(T 1 )E(T 2 ) (E(T1 2 ) E 2 (T 1 ))(E(T2 2 ) E(T 2 )) Å ÓÐ Pr(X 1 = j X 0 = i) = [( D 0 ) 1 D 1 ] ij Pr(T 1 < t X 0 = i) = 1 ǫ i e D 0t 1I ÓÐ ǫ i = {0,...,0, 1 i, 0,..., 0} ÓÐÝ Ò ÓÖÚ ¹ ØÓÖ Ñ Ò Ý ØÐ Ò Ò Ñ ¼ Ð Ñ Þ i¹ Ð Ñ Ñ 1º t Ð ØØ Ö Þ ÒÝ Þ Ñ Ò ÐÓ ÞÐ Þ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ˆP(z, t) = e (D 0+zD 1 )t ÓÐ P ij (n, t) = Pr(N(t) = n, J(t) = j N(0) = 0, J(0) = i) ˆP ij (z, t) = n=0 P ij (n, t)z n º j Þ Ö Ú Þ Ø Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø t Ô ÐÐ Ò Ø Ò [e D 0t D 1 ] ij ÓÒÒ Ø Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i) = t τ=0 [e D 0τ D 1 ] ij dτ

ÀÓ Þ ÐØ ÐØ Ú Ð Þ Ö Þ Ô ÐÐ Ò ØÓ Ò Þ ÐÓ ÞÐ Ø α = α( D 0 ) 1 D 1, α1i = 1 Ð Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ º Þ Ð Ô Ò Þ Ö Þ Þ ÐÓ ÞÐ 1 αe D 0t 1Iº Þ Ý Ò ÐÝ Ö Þ Þ α, D 0 Ö ÔÖ Þ ÒØ ÈÀ ÐÓ ÞÐ º R(T 1, T 2 ) Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ú Ø Þ Ñ ÒÒÝ Ð Ô Ò π 1 = π 0 ( D 0 ) 1 D 1 E(T 1 ) = π 0 ( D 0 ) 1 1I E(T 2 ) = π 1 ( D 0 ) 1 1I E(T 2 1 ) = 2π 0 ( D 0 ) 2 1I E(T 2 2 ) = 2π 1 ( D 0 ) 2 1I E(T 1 T 2 ) = i π 0i t=0 t τ [e D0τ D 1 1I] j dτ dk ij (t), τ=0 ÓÐ K ij (t) = Pr(X 1 = j, T 1 < t X 0 = i) = t τ=0 [ed 0τ D 1 ] ij º ¾» Å Ö ÓÚ ÓÐÝ Ñ Ø ØÖ ÒÞ Ò Ú Ð Ò Ð Ö Þ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ý ÞÓØØ Å Ö ÓÚ Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ð Ô Òº Å ÓÐ π ij (t T 1 = h) = Pr(X(t) = j X(0) = i, T 1 = h) = δ ij k S,k i h t q ik π kj (t h) h < t, q ii ÓÐ δ ij ÃÖÓÒ Ö ÐØ δ ij = 1 i = j δ ij = 0 i jµ ÒÒ q ii Ú Ð Þ Òò Ó Ý Å Ö ÓÚ Ð Ò Þ i ÐÐ ÔÓØ Ð k ÐÐ ÔÓØ Ð Ôº ÐØ Ø ÐØ ÐÓÐ Ú π ij (t) = π ij (t T 1 = h) ( q ii ) e qiih dh h=0 t = δ ij ( q ii ) e qiih q ik dh + π kj (t h) ( q ii ) e qiih dh h=t h=0 k S,k i q ii t = δ ij e qiit q ik + π kj (t h) ( q ii ) e qiih dh h=0 k S,k i q ii = δ ij e qiit + t q ik π kj (t h) e qiih dh. k S,k i h=0 q ik» Ý [ É Ö ÙÐ ] Ö Ö Þ Ò [ A] 2, A 1, A[ 0 º Å Ø Ð Ø ] ÐØ Ø Ð µ1 0 µ2 1 A 2 = A 0 µ 1 = A 1 0 0 = 2 3 4

Å ÓÐ Ö ÙÐ Ö Ö Þ Ò Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ö ØÓÖ [ ] µ2 A = A 2 + A 1 + A 0 = 2 µ 2 + 2 Ñ Ð Þ Ý Ò ÐÝ Ú Ð Þ Òò ¹ 3 3 [ 3 µ 3 +µ 2 + 2, 2 + 2 3 +µ 2 + 2 ]º Þ Ð Ô Ò Ö Ø ÐØ Ø Ð 3 3 +µ 2 + 2 ( 1 + 2 µ 1 ) + µ 2 + 2 3 +µ 2 + 2 ( 3 + 4 µ 1 ) < 0. ½¼

¾¼¼ º  Һ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ» Ñ Þ Å»ÈÀ»¾»¾ ÓÖ Ñ Ò ÓÐÝ Ñ Ø Ò Å È Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Þ Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø ÞÓÐ Ð ÈÀ ÐÓ ÞÐ τ, T Ô Ö Ñ Ø Ö Ðº Å ÓÐ ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Å Ö ÓÚ Ð Ò ØÖÙ Ø Ö τ Q = t T I I τ, t I + I t T T ÓÐ t = T1Iº Þ ÒØ Ò Ð Ö ØÑ Ò Ø ÖÒ Ø ÚÓÞ Ð Ý τ D 0 = T I I τ, D 1 = t. T T t I + I t ½½

¾¼¼ º  Һ ¾ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Å Þ Ö Ú Ý ÒØ ÒÞ Ø µ Ú ÒÝ (t)µ Ò Ð Þ Ö Ú ÒÝØ Þ ÐÓ ÞÐ Ú ÒÝ Ø Ú Ðº ½» ØÖ Ð Ú Ð ØØ ÖØ ÑÖ Ñ ÐÝ Ò Ø Ú Ò Ò Ú Ú Þ ÐÐ Ò Ò Þ Ö Ú ÒÝÒ ½» Ð Ø ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐ Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ò Ñ ÐÝ Ò Ð Ð Ø ¹ Ú ÒÝ Ò Ú Ú ÐÐ Ò Ò Þ Ö Ú ÒÝò Ö Þ Þ Ø Ò Å ÓÐ ½» Þ Ö Ú Ý ÒØ ÒÞ Ø Ú ÒÝ Ý Ñ ÒÝ Ú Ø Þ Ò Ú Ø Þ Ø δ Ð ØØ Ú Ø Þ Ú Ð Þ Òò»δµ Ñ t ÔÓÒØ Ò ÐØ Ú Ó Ý Þ Ñ ÒØ t¹ Ò Ñ Ú Ø Þ ØØ º (t) = f(t) 1 F(t) ÓÐ f(t) = df(t) º dt ½» Æ Ú Ú Þ Ö Ú ÒÝ Ø Ò ØÖ Ð Ú Ð ØØ ÖØ Ñ Ò ÐÓ ÞÐ Ý Ú ÐØÓÞ Ó Ý Ôк Ñ Ò Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Òµ Ò Þ Ö Ú ÒÝ Ø Ò ØÖ Ð Ú Ð ØØ ÖØ Ñ Ò Ñ Þ ÐÐ Ò Þ Ö Ú ÒÝ Ö ÐÓ ÞÐ Ø Ö ¹ Ñ ÒÝ Þº ½» Ð Ø ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐ Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ð Ø Ú ÒÝ 1/E(T)¹Ò Ð Ñ ¹ Ö Ò Ò ÙÐ Ò Þ Ö Ú ÒÝò Ö Þ Þ Ø Ò ÐÐ ØÚ 1/E(T)¹ Ò Ð Ñ Ö Ð Ò ÙÐ Ò Ú Ú Þ Ö Ú ÒÝò Ö Þ Þ Ø Ò Ñ Ò Ø Ø Ò ÝÓÖ Ò E(T) Ð Øص ÓÒÚ Ö Ð Þ 1/E(T) Ñ Ö Þº ýðð Ò Þ Ö Ú ÒÝò Þ Þ ÜÔÓÒ Ò Ð µ Ö Þ Þ Ø Ò Ð Ø Ú ÒÝ ÔÓÒ¹ ØÓ Ò t/e(t) Ð º» Ñ É ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ð Ø Ò Ý Þ Öò Ò Ú Þ Ð Ø ÐØ Ø Ð Øº Ì Ö¹ Ò Ö ÙÐ Ö Ö Þ Ò Ö Ù Ð Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ð Ø Ö º Å ÓÐ Ö ÙÐ Ö Ö Þ Ò Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ö ØÓÖ A = A 2 + A 1 + A 0 º Ñ Ò¹ ÒÝ Ò Þ Ò Ö ØÓÖ ÖÖ Ù Ð ÓÖ Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð Ó Ý αa 2 1I > αa 0 1I ÓÐ Þ α Ú ØÓÖ αa = 0, α1i = 1 Ð Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ º À Þ A = A 2 + A 1 + A 0 Ò Ö ØÓÖ ÖÖ Ù Ð ÓÖ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ø Ð ÓÒØ Ù Ð Ð¹ Ý ØÖ ÒÞ Ò n 1 ÖÖ Ù Ð ÓÔÓÖØÖ º Å Ò Ò ÖÖ Ù Ð ÓÔÓÖØÖ Ñ Ø ÖÓÞÞÙ Þ Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ Ø α i, 1 i nº ÓÖ Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ÖÖ Ù Ð ÓÔÓÖØÖ Ø Ð Ð Ò Ó Ý α i A 2i 1I > α i A 0i 1Iº ØÖ ÒÞ Ò ÓÔÓÖØÖ Ò Ò Ñ Ø º» Ñ Þ Å»Å»¾» ÓÖ Ò Ñ ÓÐÝ Ñ Ø Øº ½¾

Å ÓÐ ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Å Ö ÓÚ Ð Ò Q = µ µ 2µ 2µ 2µ 2µ. ÞÓÐ Ð Ô ÐÐ Ò ØÓ Ò Ø ÖØ Ò Ø ÚÓÞ Ý D 0 = µ 2µ, D 1 = µ 2µ. 2µ 2µ ½

» ÅÙØ ÓÐÝØÓÒÓ ò Å Ö ÓÚ Ð ÒÓ ØÖ ÒÞ Ò Ú Ð Ò Å Ö ÓÚ Ð Ø ÐÑ Ð Ø Ò Ð ÔÙÐ Ð Ö Ø ÞØ Ó Ý Þ Ñ Ý Þ Ö Ú ò Ú Ð Þ Ö ÒØ Ð Ö Ðº Å ÓÐ ÒØ Ø Ö Ý Ð Ñ ÓÒ π ij (t T 1 = h) = Pr(X(t) = j X(0) = i, T 1 = h) = Ý ÒÐ Ø Ð Ò ÙÐÚ π ij (t) = δ ij e q iit + Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù Ñ ØÓÚ Ð Ø Ø π ij (t) = δ ij e q iit + = e q iit δ ij + t q ik k S,k i h=0 t q ik k S,k i h=0 Å Ò Ø ÓÐ Ð Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ø Ú Ú π ij(t) = δ ij q ii e q iit + = k S,k i = k S q ik π kj (t). k S,k i t q ik k S,k i h=0 ( t q ik q ii e q iit h=0 q ik π kj (t) + q ii ( δ ij e q iit + δ ij k S,k i π kj (t h) e q iih dh π kj (h) e q ii(t h) dh π kj (h) e qiih dh. h t q ik π kj (t h) h < t, q ii ) π kj (h) e qiih dh + e qiit π kj (t) e q iit t q ik e q iit } k S,k i h=0 {{ } π ij (t) ) π kj (h) e qiih dh ½

¾¼¼ º  Һ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ¾» X(t) Y (t) Ø ÓÐÝØÓÒÓ ò Å Ö ÓÚ Ð Ò Q 1 ÐÐ ØÚ Q 2 Ò Ö ØÓÖÖ Ðº Ê ÞÓÐ Ð Þ {X(t), Y (t)} Å Ö ÓÚ Ð Ò ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ö Ø Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Øº Q 1 = [ µ µ ¾» Ò ÃÖÓÒ Ö Þ ÑòÚ Ð Ø Øº ] [ ] α α, Q 2 = β β Å ÓÐ Þ {X(t), Y (t)} Å Ö ÓÚ Ð Ò ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ö Ñ ØÖ Ü Ú Ø Þ µ α α β β Q = α α µ µ α α β β β µ µ β µ a 11 B a 1n B ÃÖÓÒ Ö ÞÓÖÞ A B = º º ºº º a n1 B a nn B ÃÖÓÒ Ö Þ A B = A I + I B Î Ý ÞÖ Ó Ý Q = Q 2 Q 2 = Q 2 I + I Q 2 = µ µ µ µ + α β α β α β α β, Ñ Ø Ý Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Ó Ý Þ Ö Ú Ð Ø ÓÐÝ Ò ØÑ Ò Ø Ó Ý Ú Ý Þ Ð Å Ö ÓÚ Ð Ò Ð Ô Ñ Ó Ò Ñ Ò Ð ÑÑ Ø Ú Ý Ñ Ó Å Ö ÓÚ Ð Ò Ð Ô Þ Ð Ò Ñ Ò Ð ÑÑ Øº» Ö Ð Þ Ð É ÓÐÝ Ñ Ø ØÖ ÒÞ Ò Ú Ð Ø Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø d/dtp(t) = P(t)Qµ Ô ÖØ ÓÒ ÐØ Ð Ø ÒÒ Þ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Øº ½

A1 A1 A1 A2 ii A2ii i i i A0 ij A0ij A1 ij A2 kk A1 ij A2 kk A1 ij k k k j A0 ji j A0ji j A0 A0 jj jj A2 ii A0ij A2 kk A0ji A0jj Å ÓÐ A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 P(t) = {P 0 (t), P 1 (t), P 2 (t),...}, Q = A 2 A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 º º º º ÓÒÒ Ø d P i (z, t) dt d P 0 (t) dt = P 0 (t)a 1 + P 1 A 2, d P 1 (t) = P 0 (t)a 0 + P 1 A 1 + P 2 A 2, dt d P i (t) = P i 1 (t)a 0 + P i A 1 + P i+1 A 2, dt ( = P 0 (t) A 1 A 1 1 ) ( z A 2 + P(z, t) za 0 + A 1 + 1 ) z A 2.» Ñ Ø Ð Å»Å»½ ÓÖ Ò Ó Ð ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ó Þ Ò Ú Ö Ø ÖØ Ø Ó Ð ÐØ Þ Ð ØÐ Ô Ò Ú Þ Ð Ø Ú Ðµº Å ÓÐ Ó Ð ÐØ Þ Ú Ö Ø E(H) Ý ÒÐ Þ nº Þ ÒØÖ Ð Þ n 1º Þ ÒØÖ Ð Ô Ú Ö Ø Ý E(H) = Pr(Ð Ð Ð Ô )E( ÐÐ ÔÓØ Ø ÖØ ) ( ) +Pr( Ð Ð Ð Ô ) E( ÐÐ ÔÓØ Ø ÖØ ) + 2E(H) ½

E(H) = µ + µ µ + µ + + µ ( ) µ + µ + 2E(H), ÓÒÒ Ø E(H) = 1 µ º» Á Ñ ÖØ Þ Å»»½»Å»½»»½ ÓÖÓ Ú Þ Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Øº Ñ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Ý ÞÓØØ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ú Ð Ð Ñ Þ Ø Þ ÓÖÓ º Ð ÓÖÓÐØ Ø Þ Ð Ñ ÐÝ Ò ÞÓÒÓ ÓÐÝØÓÒÓ ò Ý ÞÓØØ ÓÐÝ Ñ Ø Ý Ò ÐÝ Ú Ð Å ÓÐ Þ Å»»½ ÓÖ Ú Þ Ð Ø Ø ÚÓÞ Ô ÐÐ Ò ØÓ Ý ÞÓØØ ÌÅ Ð Ô Ò Ø ÖØ Ò º ÚÓÐÙ Ý Ò Ø X n+1 = (X n 1) + + Y n+1 ÓÐ X n Þ Ò¹ ÒÝ Ø ÚÓÞ ÙØ Ò Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö ÒÝ Þ Ñ Y n Þ Ò¹ ÒÝ ÞÓÐ Ð Ð ØØ Ö Þ ÒÝ Þ Ñ º Ý ÒÝ ÞÓÐ Ð Ð ØØ Ö Þ ÒÝ Þ Ñ Ò (t) i ÐÓ ÞÐ a i = e t db(t) Ñ Ð Ô Ò Ý ÞÓØØ Å Ö ÓÚ Ð Ò t=0 i! P = a 0 a 1 a 2 a 3 a 0 a 1 a 2 a 3 a 0 a 1 a 2 a 0 a 1 º ºº Å»»½ ÓÖ Ø Ò Ý ÞÓØØ Å Ö ÓÚ Ð Ò Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ Ñ Ý Þ Ó¹ ÐÝ Ñ Ø Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ Ú Ð È ËÌ ØÙÐ ÓÒ µº ޻Ż½ ÓÖ Ú Þ Ð Ø Þ Ö Þ Ô ÐÐ Ò ØÓ Ý ÞÓØØ ÌÅ Ð Ô Ò Ø ÖØ Ò º ÚÓÐÙ Ý Ò Ø X n+1 = (X n + 1 Y n+1 ) + ÓÐ X n Þ Ò¹ ÒÝ Ö Þ Ð ØØ Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ú ÒÝ Þ Ñ Y n Þ Ò¹ Þ n 1¹ ÒÝ Ö Þ Þ ØØ ÞÓÐ ÐØ ÒÝ Þ Ñ º Ý Ö Þ Þ Ò ÞÓÐ ÐØ ÒÝ Þ Ñ Ò (µt) i ÐÓ ÞÐ b i = e µt da(t) ØÓÚ c i = b k Ñ Ð Ô Ò Ý ÞÓØØ t=0 i! Å Ö ÓÚ Ð Ò P = i+1 c 0 b 0 c 1 b 1 b 0 c 2 b 2 b 1 b 0 c 3 b 3 b 2 b 1 º ºº º º ½ º ºº

»Å»½ ÓÖ Ø Ò Ý ÞÓØØ Å Ö ÓÚ Ð Ò Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ ÓÐÝ Ñ Ø Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ Ò Ñ Ý Þ Ñ º Þ ¼º ÐÐ ÔÓØ Ú Ø Ð Ú Ð ÞÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÓ ÞÐ ÓÑ ØÖ º Þ»»½ ÓÖ Ú Ð Þ Ö Ö Ò Þ Ö Ö Þ Ú Ø Ð Ú Ð Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ¹ Ð Þ Ø Ñ ÒØ Ô ÐÐ Ò ØÓغ ÒÒ Ö Ò Þ ÖÒ Ú Þ Ð Ø Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÒÒÝ Ð ÑÞ Ø ÒÝÐ º Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ÒÒÝ ÑÙÒ ØÖ Ð º ÑÙÒ ØÖ Ð Ñ Ò Ò Ö Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ò Þ Ö Þ ÒÝ ÞÓÐ Ð Ú Ð Ò Ú Þ Ñ ÞÓÐ Ð ÓÐ ÓÞ ½ Ñ Ö Ð Òº ÚÓÐÙ Ý Ò Ø W n+1 = (W n + s n t n+1 ) + ÓÐ W n Þ Ò¹ Ö Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ð ØØ ÑÙÒ ØÖ Ð s n Þ Ò¹ ÒÝ ÞÓÐ Ð t n Þ Ò¹ Ö Þ Þº ½

¾¼¼ º  Һ ¾ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Ý ØÓÖÒ Ö Ø Ð ÞÒ Ð Ð ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò Ð ÓÑ Ó Øº Þ Ð Ð ÞÒ Ð Ò Ø Ñò ÐÐ ÔÓØ Ú Ò Ø Ú Ô Þ Úº Þ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ Ò α 1 Ô Ö Ñ Ø Öò ÜÔÓÒ Ò Ð Ø ÖØ Þ Ó Ñ Ô Þ Ú Ò α 2 Ô Ö Ñ Ø Öò ÜÔÓÒ Ò¹ Ð º Þ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ Ò Ø ÖØ Þ Ó Ð ØØ 1 Ô Þ Ú ÐÐ ÔÓØ Ò Ø ÖØ Þ Ó Ð ØØ 2 Ô Ö Ñ Ø Öò ÈÓ ÓÒ ÓÐÝ Ñ Ø Þ Ö ÒØ Ò Ö Ð ÒÝ Øº Ñ Ð ÞÒ Ð ÇÆ¹Ç Ú Ð ò β 1 β 2 Ô Ö Ñ Ø Öò ÜÔÓÒ Ò Ð ÇÆ ÐÐ ØÚ Ç Ô Ö Ó Ù Ó ¹ к Þ ÇÆ ÐÐ ÔÓØ Ò Ø ÖØ Þ Ó Ð ØØ γ Ô Ö Ñ Ø Öò ÈÓ ÓÒ ÓÐÝ Ñ Ø Þ Ö ÒØ Ò Ö Ð ÒÝ Ø ÞÓÒ Ò Þ ÇÆ ÐÐ ÔÓØ Ð Ô ÓÖ Ò p Ú Ð Þ Òò Ð Ð Ø Þ Ý Òݺ ½» Ñ Þ Ð Ð ÞÒ Ð ÓÖ ÐÑ Ò Å È Ö ÔÖ Þ ÒØ Øº ½» Ñ Ñ Ó Ð ÞÒ Ð ÓÖ ÐÑ Ò Å È Ö ÔÖ Þ ÒØ Øº ½» Ñ Þ Ö Þ Ô ÐÐ Ò ØÓ Ý ÞÓØØ ÌÅ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ø Þ Ð Ð ÞÒ Ð Ö º ½» Ñ Þ Ö Þ Ô ÐÐ Ò ØÓ Ý ÞÓØØ ÌÅ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ñ Ó Ð ÞÒ Ð Ö º ½» Å È ÓÐÝ Ñ ØÓ ÐÑ Þ Ò Ð Ð Ñ ÐÝ ÐÓ ÞØ ÐÝ Ø ÖØÓÞ Þ Ð Ð Þ¹ Ò Ð Ò Ð ÓÐÝ Ñ ØÓØ Þ ÐÓ ÞØ ÐÝÒ Ñ Ð Ð Òº ½» Å È ÓÐÝ Ñ ØÓ ÐÑ Þ Ò Ð Ð Ñ ÐÝ ÐÓ ÞØ ÐÝ Ø ÖØÓÞ Ñ Ó Ð Þ¹ Ò Ð Ò Ð ÓÐÝ Ñ ØÓØ Þ ÐÓ ÞØ ÐÝÒ Ñ Ð Ð Òº ½» Ñ ØÓÖÒ ÓÖ ÐÑ Ò Å È Ö ÔÖ Þ ÒØ Øº Å ÓÐ [ ] [ ] α1 1 0 ½» D 0 =, D α 2 1 =. 0 2 ½» D 0 = [ ½» ( D 0 ) 1 D 1 = ] β 1, D (1 p)β 2 1 = 1 α 1 2 + α 2 1 + 2 1 ½ [ γ 0 pβ 2 0 [ α2 1 + 2 1 α 1 2 ]. α 2 1 α 1 2 + 2 1 ].

½» ( D 0 ) 1 D 1 = ½» ÅÅÈÈ Q = [ 1 0 1 0 ] [ α1 α 1. α 2 α 2 ½» ÈÀ Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø ½» D 0 = D (1) 0 D (2) 0 = D 1 = D (1) 1 D (2) 1 = { ] [1, 0],, Λ = [ 1 2 ] [ γ β1 β 1 (1 p)β 2 β 2. ]} β 1 α 1 (1 p)β 2 α 1 α 2 β 1 α 2 (1 p)β 2 γ + 1 pβ 2 1 γ + 2 pβ 2 2. º ¾» Ý ÌÅ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ø Þ P = b 0 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5... a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5... a 0 a 1 a 2 a 3 a 4... a 0 a 1 a 2 a 3... ÁÖ Ð Þ Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Ø A(z) = i a i z i B(z) = i b i z i º Å ÓÐ π = πp π 0 = π 0 b 0 + π 1 a 0 π 1 = π 0 b 1 + π 1 a 1 + π 2 a 0 i+1 π 0 = π 0 b 0 + π k a i+1 k k=1 Π(z) = π 0 B(z) + π 1 A(z) + π 2 za(z) +... = π 0 B(z) + Π(z) π 0 z ¾¼ A(z)

(z A(z))Π(z) π 0 Ñ Ø ÖÓÞ π 0 = lim z 1 zb(z) A(z) (1 A (z))π(z) + (z A(z))Π (z) lim = z 1 B(z) + zb (z) A (z) ÓÐ A (1) = i a i B (1) = i b i º i=0 i=0 = lim z 1 1 A (1) 1 + B (1) A (1) ((z A(z))Π(z)) d (zb(z) A(z)) = dz Î Ý ÞÖ Ó Ý a i = b i ÓÖ Ú Þ Ô Ù Þ Å»»½ ÓÖ Ñ ÖØ Ö Ñ ÒÝ Ø Ó Ý π 0 = 1 A (1) = 1 ρº» Ý É Ö ÙÐ Ö Ö Þ Ø Ò Ñ ØÖ Ü ÐÓ ØÖÙ Ø Ö A 2, A 1, A 0 º Å Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð µ 1 0 0 0 0 0 0 A 2 = 0 µ 2 0 A 1 = 0 γ A 0 = 0? 0 γ µ 3 0 0 0 0 Å ÓÐ Ö ÙÐ Ö Ö Þ Ò Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ö ØÓÖ 0 0 0 A = A 0 + A 1 + A 2 = 0 γ + γ 0 γ γ Þ Ò Ð Ò Ò Ò Ò ØÖ ÒÞ Ò ÐÐ ÔÓØ Ø ÖÖ Ù Ð ÓÔÓÖØ Ú Ò ½º ÐÐ ÔÓØ ¾º º ÐÐ ÔÓغ Þ Ð ÖÖ Ù Ð ÓÔÓÖØ Ò { Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð µ 1 > º γ Ñ Ó ÓÔÓÖØ Ò Þ Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ α (2) = + 2γ, + γ } º Ø Ð Ø + 2γ ÐØ Ø Ð Ó Ý α (2) A (2) 2 1I > α (2) A (2) 0 1I Þ Þ γ µ 2 + 2γ + ( + γ)(γ + µ 3) > γ 2 ( + γ) + + 2γ + 2γ + 2γ d dz» ŻŻ½ ÓÖ ØÖ ÒÞ Ò Ú Ð γ n Ð Ð Þ Ð ÔÓÒØÓØ Ñ ÓÖ ÓÐÝ Ñ Ø Þ Òº Þ ÒØÖ Ð Ô γ n = min(t > 0 N(t) = n)µº Ñ Ú Ø Þ Ú Ð Þ Òò Ø Pr(γ n 1 < γ n+1 X(0) = n) Pr(γ n 1 < γ n 2 X(0) = n) Pr(X(t) = n 1, γ n 2 > t, γ n+1 > t X(0) = n) Å ÓÐ À n 1 Ø Ð ÓÖ < µµ ÓÖ Ð Ð Ð Ô Ò Ð Pr(γ n 1 < γ n+1 X(0) = n) = µ + µ ¾½

Þ ÒØÙ Ö Ò Ñ Ð Ø Pr(γ n 1 < γ n 2 X(0) = n) = 1 Ö ØØ Ñ ÒÒÝ Þ Ð Å Ö ÓÚ Ð Ò ½¹ ÐÐ ÔÓØ Ò Ø ÖØ Þ Ó Ú Ð ¹ Þ Òò ¾¹ ÐÐ ÔÓØ Ð Ò ÙÐÚ º µ n 1 µ n Ý Pr(X(t) = n 1, γ n 2 > t, γ n+1 > t X(0) = n) = [ e At] 21 [ ] µ ÓÐ A = º µ µ ¾¾

¾¼¼ º  Һ ¾¼º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Ý Ý ÞÓÐ Ð Ø Ø Ö ÐÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖ Ø Å È ÓÐÝ Ñ Ø Ð ˆD 0, ˆD 1 D 0, D 1 µ Ö ÞÒ ÒÝ º Þ ÒÝ ÞÓÐ Ð µ Ô Ö Ñ Ø Öò ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ ÞÐ º ÞÓÐ Ð ÙØ Ò Þ ÒÝ p Ú Ð Þ Òò Ð Þ 1 p Ú Ð Þ Òò Ð Ñ Ò Ø Ð Ø ÚÓÞÒ º Ñ Þ Ñ Ò Ø ÓÖ ÐÑ Ø [ ] [ ] α1 1 0 ˆD 0 =, ˆD1 =, α 2 0 2 D 0 = [ ] β 1, D1 = (1 p)β 2 [ γ 0 pβ 2 0 ]. Å ÓÐ Þ Ø Ö Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ö Þ ÒØ Ò Å È ÓÐ D 0 = ˆD 0 D 0 D 1 = ˆD 1 D 1 º Ý Ú Þ ÐØ ÓÖ Ý Å È»Å»¾»¾ Ñ Ò Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Q = D 0 D1 µi D0 µi D1 2µI D0 + D 1 2µI Ñ Ò Ø ÚÓÞ ÓÐÝ Ñ Ø Ú Ø Þ Å È Ď 0 = D 0 D1 D 0 µi D1 D 0 + D 0 2µI Ď 1 = µi 2µI. Î Ð Ñ Ò Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ð Ñ Å È Ú Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ðº Þ Ñ Ò Ø ÓÖ ÐÑ D0 A = Ď0 + (1 p)ď1 D1 A = pď1 Ñ Ò Ø ÓÖ ÐÑ D0 A = Ď0 + pď1 D1 A = (1 p)ď1º ¾» Å»»½ ÓÖ Ó Ð ÐØ Ô Ö Ù Ò ÐÓ ÞÐ Þ Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø ÞÓÐ Ð òöò Ú ÒÝ Ò Ä ÔÐ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ b (s)º Å ÓÐ Â Ð Ð a i ÒÒ Ú Ð Þ Òò Ø Ó Ý Ý ÞÓÐ Ð Ð ØØ i ÒÝ Ö Þ º Ì ÒØ Ó Ð ÐØ Ô Ö Ù Ø Þ Ð ÞÓÐ Ð Ú Òº ÓÖ a 0 Ú Ð Þ Òò Ð Ö Ð ÓÖ Ú Ó Ð ÐØ Ô Ö Ù Ò a 1 Ú Ð Þ Òò Ð Ý ÒÝ Ñ Ö ÓÖ Ò Ø Ø ØÖ Ð Ú Ó Ð ÐØ Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ Þ Ø Ò a 2 Ú Ð Þ Òò Ð Ø ÒÝ Ñ Ö ÓÖ Òº ÓÖ Ý Ó Ð ÐØ ÐÐ ÓÞ Ó Ý ¾

Ð Þ Ö Ð Ö Ö Ò Þ Ö Ó Ý Ý ÒÝØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÒÒ Ø Ý Ó Ð ÐØ Ñ ÐÚ Ö Ð Ý ØÓÚ º Þ Ò Ó Ð ÐØ ÐÓ ÞÐ Ò Ä ÔÐ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ h (s) Ð Ø Ú Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø h (s) = a 0 b (s) + a 1 b (s)h (s) + a 2 b (s)h (s) 2 +... = b (s) a i h (s) i i=0» Þ Ð ÌÅ Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Ò Øò Ñ ØÖ Ü ÐÓ Ó Ø Ð ÒØ Ò º ÐÓ Ó ÓÖ Þ ÑÓÞ 0, 1, 2,..., mº Ö Ð Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Øº Ñ Þ Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ Þ Ñ Ø Ò Ñ Øº ÅÙØ Ñ Ó Ý Ú ÓÐØ Ý Ò ÐÝ Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ý Ò ÐÝ ÝÒ Ð Ø Øº Q = A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 A 2 A 1 Å ÓÐ Þ Ý Ò ÐÝ Ñ ÓÐ πq = 0 ÝÒ Ð Ø π1i = 1 ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ñ ¹ ÓÐ º È ÖØ ÓÒ Ð Ù π Ú ØÓÖØ Q¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ñ ØÖ Ü ÐÓ Ó Ñ Ö Ø Ò Ñ ¹ Ð Ð Òº ÓÖ Þ Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ô ÖØ ÓÒ ÐØ Ð π 0 A 1 + π 1 A 2 = 0 π 0 A 0 + π 1 A 1 + π 2 A 2 = 0 π n 1 A 0 + π n A 1 + π n+1 A 2 = 0 2 n m 1 π m 1 A 0 + π m A 1 = 0 m π n 1I = 1 n=0 Þ ÐØ Ð ÒÓ Ý ÒÐ Ø 2 n m 1µ Ñ ÓÐ Ø Ú Ø Þ Ð Ò Ö π n = αr n 1 + βs m n, 1 n m, ¾

ÓÐ A 0 + RA 1 + R 2 A 2 = 0, A 2 + SA 1 + S 2 A 0 = 0. Þ Ñ ÓÐ Ñ Ò Ò α β Ø Ò Ø Ð Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ ÐØ Ð ÒÓ Ý ÒÐ Ø 2 n m 1µ Ý Ñ Ö Ø Ý ÒÐ Ø Ò ½º ¾º ºµ ÖÓÑ Ñ Ö ØÐ Ò π 0 α βµ Ñ Ø ÖÓÞ Ö Ñ Ú Ø Þ Ð Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ ÖÖ ÒÓÖÑ Ð Þ Ð ÐØ Ø ÐÖ Ú Þ Ø A 1 A 0 [π 0 α β] A 2 A 1 + RA 2 R m 2 A 0 + R m 1 A 1 = [0 0 0] S m 1 A 1 + S m 1 A 2 SA 0 + A 1 m 1 π 0 + α R n m 1 1I + β S n 1I = 1 n=0 n=0» ÓÒ Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ù Ð Ö Ø Þ A 0 G 2 +A 1 G+A 2 = 0 Ñ ØÖ Ü Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ñ Ð Ò Ñ Ò Ø Ú Ñ ÓÐ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ö º Á Ñ ÖØ Ñ Ø ÖØ Ò ÒÙÑ Ö Ù Ð Ö Ó Ð ¼¹Ú Þ Ø Ö Ò Ñ Ú Þ Ø Ö Å Ö ÓÚ Ð Ò ÓÞ Ø ÖØÓÞ A 0, A 1, A 2 Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ò Ö Ñ ÓРغ Å ÓÐ Ö G Ñ ØÖ Ü ÐØ ÐØ G := 0; Ê È Ì G := ( A 1 A 0 G) 1 A 2 ; ÍÆÌÁÄ 1I G1I ǫ G Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ò Ö Ò Þ G := I; Ê È Ì G old := G; G := ( A 1 A 0 G) 1 A 2 ; ÍÆÌÁÄ G G old ǫ ÆÙÐÐ Ú Þ Ø Ö ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ò G Ñ ØÖ Ü ØÓ ÞØ Ù Ñ Ò Ñ Ú Þ Ø Ö Ó¹ ÐÝ Ñ Ø Ø Ò G Ñ ØÖ Ü ÞÙ ¹ ÞØÓ ÞØ Ù º ¾

Ý Þ Ð Ð Ö ÒÙÐÐ Ú Þ Ø Ö ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ò ÐÑ Ð Ø Ð ÓÒÚ Ö Ð Ø Ý ÓÖ¹ Ð Ø Ò Þ Ø Ö Þ Ñ Ð Ø Ú Ö Ø ØÐ ÒÙÐ Ò Ýº Í Ý Ò Þ Þ Ð Ö Ò Ñ Ú Þ Ø Ö ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ò ÐÚ Ð Ñ ÓÒÚ Ö Ð ǫ Ñ Ð Ð Ò ÖØ Ñ ÐÐ Øصº Ñ Ó Ð Ö ÐÚ Ð Ñ Ò Ø Ø Ò ÓÒÚ Ö Ð Ø ÔÓØØ Ö Ñ ÒÝ Ñ Ò ØÓ Ø Ù Ñ ØÖ Ü Þ Þ Ò Ñ Ú Þ Ø Ö ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ò ÞØÓ Ò Ö Ñ ÒÝØ º» Þ Ð ÌÅ Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Ò Øò Ñ ØÖ Ü ÐÓ Ó Ø Ð ÒØ Ò º ÐÓ Ó ÓÖ Þ ÑÓÞ 0, 1, 2,...º ¼ Þ ÒØÖ Ñ ÞÓÖ ØÓØØ Å Ö ÓÚ Ð Ò Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Øº Q = A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 A 2 A 1 A 0 Å ÓÐ Q 0 = A 1 +A 0G Ñ Ú Ð ¼ Þ ÒØÖ Ñ ÞÓÖ ØÓØ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ø Ð ØÑ Ò Ø Ð Ø Þ Ö Ø ÓÐÝ Ñ Ø ¼ Þ ÒØ Ò Ð Ð ØÑ Ò Ø Ú Ý Þ Ö Ø ÓÐÝ Ñ Ø ÐÐ Ô Þ ½¹ Þ ÒØ Ö ÓÒÒ Ø Ú Ð Ú Þ Ø Ö ¼ Þ ÒØÖ º ¾

¾¼¼ º  Һ ¾ º Ì Ñ ÞÓÐ Ð Ú Þ ½» Ý ÌÅ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ø Þ P = c 0 b 0 c 1 b 1 b 0 c 2 b 2 b 1 b 0 c 3 b 3 b 2 b 1 b 0 c 4 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 º ¹ Ö Ð Þ Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Øº ¹ Þ Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò Ø Ð Ð Ñ ÓÐÓ Ð Øº ¹Á ÞÓÐ Ó Ý Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Øº Å ÓÐ ¹ Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø π 0 = π 0 c 0 + π 1 c 1 +... = π i c i i=0 π k = π k 1 b 0 + π k b 1 +... = i=k 1 π i b i k+1 k 1 ¹Å ÓÐ Ð Ã Ö Ñ ÓÐ Ø π k = σπ k 1 = (1 σ)σ k Ð Ò Ñ Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ý ÒÐ Ø ÐÝ ØØ ØÚ σ = σ i b i º i=0 ¹ ÐÐ Ò ÖÞ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ý ÒÐ Ø Ø k 1µ Ø Ð Ø Ñ ÓÐ Ñ Ú Ð σ¹ø Ý i Ø ÖÓÞØÙ Ñ µ Ý Ô Ð ¼¹ µ Ý ÒÐ Ø Ø ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÞÒ º c i = 1 b j Ñ Ú Ð P Ñ ØÖ Ü ÓÖ Þ ½º Þ Ð Ô Ò Þ ÝÒ Ð Ø i 1 σ = (1 σ)σ i c i = (1 σ) σ i σ i b j = i=0 i=0 i=0 j=0 1 (1 σ) b j σ i = 1 b j σ j j=0 i=j j=0 Ñ σ = j=0 b j σ j ¹Ø ÐÝ ØØ ØÚ ÞÓÒÓ º ¾ j=0

¾» Ý Å»ÈÀ»½»Ã ÓÖ Ú Þ ÖÐ ÓÐÝ Ò Ó Ý Ö ÔÙ Ö Ð Ò ÙÐÚ Þ Ö Þ Ò¹ Ø ÒÞ Ø 1 Ñ Ò Ñ ÓÖ Ó Þ Ð Ö K 2 Þ ÒØ Øº ÓÖØ Ð 2 Þ Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø Ñ Ò Ñ ÓÖ Ó Þ Ð Ö K 1 Þ ÒØ Ø ÓÒÒ Ø Ñ Ø 1 Þ Ö Þ ÒØ ÒÞ Ø Ý ØÓÚ º 0 < K 1 < K 2 < Kº ÞÓÐ Ð α, T Ô Ö Ñ Ø Öò ÈÀ ÐÓ ÞÐ º Ñ ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Å Ö ÓÚ Ð ÒÓغ Å ÓÐ Å Ö ÓÚ Ð Ò ØÖÙ Ø Ö Ò Ö ØÓÖ Ñ ÖØ Ü Ú Ø Þ 0 1 1 t K 1 2 K 1 +1 K 1 2 K 2 K I 1 I I 1 1 1 I T T 1 1 T1 t α t α t α T 1 t α T 1 1 I t α 2 I 2 I 2 I T 2 T 2 T 2 T t α t α t α 0 1 2 K 1 K 1 +1 K 2 1 K 2 K 1 1 α t T 1 1 I tα T 1 1 I Q = tα T 1 1 I tα T 1 1 I tα T 2 2 I tα T 1 1 I tα T 2 2 I tα T 2 2 I tα T ÓÐ t = T 1I T 1 = T 1 I T 2 = T 2 Iº ¾

» Ý ÈÀ»Å»¾» ÓÖ Ö Þ Þ α, T Ô Ö Ñ Ø Öò ÈÀ ÐÓ ÞÐ ÞÓÐ Ð µ Ô Ö Ñ Ø Öò ÜÔÓÒ Ò Ð ÐÓ ÞÐ º ¹ Ñ ÓÖ ÐÚ Þ ÒÝ ÓÐÝ Ñ Ø Øº ¹ Ñ Þ ÐÚ Þ ÒÝ ÓÐÝ Ñ Ø ØÐ Ó ÒØ ÒÞ Ø Øº ¹Å ÓÖ Ð Þ Ø ÚÓÞ ÓÐÝ Ñ Ø ÒØ ÒÞ Ø Ñ ÒØ Þ ÐÚ Þ ÓÐÝ Ñ Ø º Å ÓÐ ÈÀ»Å»¾» ÓÖØ Ð Ö Å Ö ÓÚ Ð Ò Ò Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü T tα µi T µi tα Q = 2µI T 2µI tα Þ ÐÚ Þ ÒÝ ÓÐÝ Ñ Ø Å È Ö ÔÖ Þ ÒØ 2µI T 2µI tα 2µI T+tα 2µI T tα D 0 = µi T µi tα 2µI T 2µI tα 2µI T 2µI tα D 1 = 2µI T 2µI tα ¹ Þ ÐÚ Þ ÒÝ ÓÐÝ Ñ Ø ØÐ Ó ÒØ ÒÞ Ø = PD 1 1I ÓÐ P Å Ö ÓÚ Ð Ò Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ PQ = 0 P1I = 1µ Ñ Ú Ð ¹ Þ ÒØ Ò Ø ÖØ Ò Ø Ö Þ Þ ÐÚ Þ ÒÝ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Þ ÖØ = P 4 tα1i = P 4 t ÓÐ P 4 Þ Ý Ò ÐÝ ÐÓ ÞÐ Ú ØÓÖ ¹ Þ ÒØ Þ Ø ÖØÓÞ Ö Þ º ¹ À Ø ÚÓÞ ÓÐÝ Ñ Ø ÒØ ÒÞ Ø t = µ(p 1 + 2P 2 + 2P 3 + 2P 4 )1I Ø Ø ÐØ Ø Ð» Á Ñ ÖØ»»½ ÓÖ Ð ÑÞ Øº Å ÓÐ Â ÝÞ Ø Òº µ(p 1 + 2P 2 + 2P 3 + 2P 4 )1I < P 4 t. ¾