g n+m = g n g m = g m g n,g nm = (g n ) m, (gh) n = g n h n

ÈÖÑÙØ ÐÐÑÞ ÒÐÓØØ ÖÓÐÓÑ ÒÝ Ð ÐÖ ÒÝ Ð ÞÖØ ÑØÑØ ØÓ ½º Òº Þ {1,2,...,n} ÐÑÞ ÔÖÑÙØ Ò ÓÔÓÖØ Ø S n ¹ÒÐ Ðк ¾º Òº (a 1 a 2...a k )¹ÚÐ ÐÐ Þ S n ÓÔÓÖØ ÞÓÒ ÐÑØ ÑÐÝ a 1 ¹Ø a 2 ¹ º º º a k 1 ¹Ø a k ¹ a k ¹Ø a 1 ¹ Ú Þº ÒØ Ð ÔÖÑÙØ Ø ÐÙ ÓÒ ÒÚÞÞº ØØ Ó Þ ÐÙ ÓØ ØÖÒ ÞÔÓÞÒ ÒÚÞÞº º Òº ÃØ ÐÙ Ø ÒÒ ÒÚÞÒ ÒÒ ÓÐÝÒ ÐÑ ÑÐÝØ ÑÒ ØØ ÑÓÞØÒº º ÌØк ÒÝ º Óк ÖÑÐÝ S n ¹Ð ÔÖÑÙØ Ð ÐÐ Ô ÖÓÒÒØ Ò ÐÙ Ó ÞÓÖÞØÒغ Þ Ð ÐÐØ Ò ÞÖÔÐ ÐÙ Ó ÐÑÞ ÝÖØÐÑòÒ ÑØ ÖÓÞÓØغ º ÌØк Òݺ Óк ÖÑÐÝ ÔÖÑÙØ Ð ÐÐ ØÖÒ ÞÔÓÞ ÞÓÖÞØÒغ Þ Ð ÐÐØ Ò ÞÖÔÐ ØÖÒ ÞÔÓÞ Þ Ñ Ò ÔÖØ ÑØ ÖÓÞÓØغ º Òº Ý ÔÖÑÙØ Ø Ô ÖÓ Ò Ô ÖØÐÒÒµ ÒÚÞÒ ØÖÒ Þ¹ ÔÓÞ ÞÓÖÞØÒØ ØÖØÒ Ð ÐÐØ Ò ÞÖÔÐ ØÖÒ ÞÔÓÞ Þ Ñ Ô ÖÓ Ô ÖØÐÒµº º Òº ÓØØ n¹ö Þ S n ÓÔÓÖØ Ô ÖÓ ÔÖÑÙØ Ò Ö Þ ÓÔÓÖØ Ø A n ¹ÒÐ ÐÐ Þ n¹öòò ÐØÖÒ Ð ÓÔÓÖØÒ ÚÙº ØØÐÞ ØÖØÓÞ Ñ ÔÖÑÙØ ÓÔÓÖØÓ ØÐÑÐØ ÐÐÑÞ ÑÖ¹ Ò ÐÐ 16¹Ó ØÓغ ÓÔÓÖØÓ ÖÒº Ê Þ ÓÔÓÖØ ÐÙ ÓÔÓÖغ ÒÐÓØØ ÖÓÐÓÑ ÒÝ Ð ÐÖ º º ÃÙÖÓ Ð ÐÖ º Òº ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ ½º ÓÐÐ ÄÝÒ G ÓÔÓÖØ g G n Nº ÓÖ g n = g...g,g 0 = 1,g n = (g n ) 1 º º ÌØк ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ ½º ÓÐÐ ÖÚÒÝ ØÚ ÒÝÓÞ ÞÓÒÓ ÖÑÐÝ g,h G n,m Z ØÒ ÞÓÒÒ g n+m = g n g m = g m g n,g nm = (g n ) m, (gh) n = g n h n ÒÑ ÑÒ ØÐ Ð g h Ð ÖÐØ ÓÖ Òµº ½¼º Òº ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ º ÓÐÐ À ÐØÞ ÓÐÝÒ i j Z ÑÐÝÖ g i = g j ÓÖ ÚÒ ÓÐÝÒ k Z ÑÐÝÖ g k = 1º Ð ÓÐÝÒ ÔÓÞØÚ Þ k Þ ÑÓØ ÑÐÝÖ g k = 1 g ÐÑ ÖÒÒ ÒÚÞÞº ÂÐ o(g)º À ÒÒ ÐÝÒ ØÙÐÓÒ k Þ Þ Ñ ÓÖ ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ g ÖÒ ÚØÐÒº ½

¾ ½½º ÌØк ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÄÝÒ g G Ú ÖÒòº ÓÖ ÖÑÐÝ k Z¹Ö g k = 1 o(g) kº ÌÓÚ g i = g j i j( ÑÓ o(g)º ½¾º ÌØк ÄÝÒ g,h G k Zº ÓÖ µ o(g k ) = o(g) ÐÒÓ(o(g),k) µ gh = hg ÓÖ o(gh) ÐØ(o(g),o(h)) µ gh = hg ÐÒÓ(o(g),o(h)) = 1 ÓÖ o(gh) = o(g)o(h)º ½ º Òº H G Ö ÞÐÑÞ G Ö Þ ÓÔÓÖØ 1 H ÖÑÐÝ h 1,h 2 H ØÒ h 1 h 2 H h 1 1 Hº Î Ö Þ ÓÔÓÖØ ÐÑ Þ Ñ Ø Ö Þ Ó¹ ÔÓÖØ ÖÒÒ ÒÚÞÞº ½º Òº À A G ÓÖ ÞØ Ð Þò Ö Þ ÓÔÓÖØ Ø G¹Ò ÑÐÝÒ Ñ A Ö ÞÐÑÞ Þ A ÐØÐ ÒÖ ÐØ Ö Þ ÓÔÓÖØÒ ÒÚÞÞº ÂÐ [A]º À A = {g} ÝÐÑò ÓÖ [A] ÐÝØØ [g]¹ø ÖØÙÒº ½º ýððø º [A] = {g ǫ1 1 gǫ2 2...gǫ k k : g i A,ǫ i {0, 1}}º ½º Òº ϕ: G H ÐÔÞ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ ÖÑÐÝ g,h G ØÒ (gh)ϕ = (gϕ)(hϕ)º ØÚ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ ÓØ ÞÓÑÓÖÞÑÙ ÓÒ ÒÚÞÞº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ G ÓÔÓÖØ ÞÓÑÓÖ H ÓÔÓÖØØÐ ÐØÞ ϕ: G H ÞÓÑÓÖÞÑÙ º ÂÐ G = Hº Þ ÞÓÑÓÖ ÓÔÓÖØÓ ³ÐÒÝÒ³ ÑÝÞÒº ½º ýððø º ÁÞÓÑÓÖÞÑÙ ÒÚÖÞ ÞÓÑÓÖÞÑÙ º ½º ýððø º ÄÝÒ g Gº À g ÖÒ ÚØÐÒ ÓÖ [g] = Z ÝÒØ [g] = Z o(g) º ÁØØ Z k ÑÓÙÐÓ k ÑÖÓ ØÚ ÓÔÓÖغµ ½º ÌØк ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ º ÓÐÐ ÐÙ ÓÔÓÖØ ÑÒÒ Ö Þ ÓÔÓÖØ ÐÐØÚ ÓÑÓÑÓÖ Ô ÐÙ º Ê Þ ÓÔÓÖØ ÞÖÒØ ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓÞ ÄÖÒ¹ØØÐ ÒÓÖÑ ÐÓ Þغ ¾¼º Òº ÄÝÒ G ÓÔÓÖØ H Gº ÓÖ Hg = {hg : h H} ÒÚ g ÐÑÞ ØÖØÓÞ H ÞÖÒØ Ð ÑÐÐÓ ÞØ Ðݺ À ÓÒÐÔÔÒ gh = {gh : h H} g ÐÑÞ ØÖØÓÞ Ó ÑÐÐÓ ÞØ Ðݺ ÚØÞ ØØÐ ÑÒÝ ÖÚÒÝ ÑÖ ÓÖ Ó ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓ ÐÝØØ Ð ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓÖ ÑÓÒ٠غ ¾½º ÌØк ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ º ÓÐÐ ÄÝÒ G ÓÔÓÖØ H G g,g Gº ÓÖ ÚØÞ ÚÚÐÒ µ Hg Hg µ g g 1 H µ Hg = Hg µ g Hgº ÞÓÒÝØ Þ a) b) Ö ÒÝÓÞ ÐÝÒ h Hg Hg º ÓÖ h = h 1 g = h 2 g ÐÐÑ h 1,h 2 H¹Ö ÑÐ g g 1 = h 1 2 h 1 H º b) c) Ö ÒÝÓÞ ÐÝÒ hg Hg º ÓÖ hg = (hg g 1 )g ÑÚÐ g g 1 H ÞÖØ hg g 1 H ÚÝ hg Hg ÞÖØ Hg Hgº À ÓÒÐÔÔÒ Ð ØØ ÓÝ Hg Hg ØРк

c) d) Ö ÒÝ ØÖÚ Ð ÞÒ g Hg Ö d) a) Ö ÒÝ ÞÒ g Hg ÓÖ g Hg Hg º ¾¾º Òº Þ ÐÞ ØØÐ ÐÔ Ò {Hg : g G} Ó ÞØ ÐÝÓÞ G¹Òº Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ø H ÞÖÒØ ÓÓÐÐ ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓÞ Ò ÒÚÞÞº ¾ º ÌØк ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ º ÓÐÐ ÖÑÐÝ g G ØÒ Hg = H º ÞÒ ÞÓÒÝØ ϕ: Hg H,hg h ÐÔÞ ÐÒ ÐØ Hg H ÞØØ ÖÑÐÝ g G ØÒº À ÞÒ hg = h g ÓÖ h = h º ¾º Òº Ê Þ ÓÔÓÖØ ÒÜÒ ÒÚÞÞ ÓÓÐÐ ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓ Þ ¹ Ñ Øº ÂÐ [G : H]º ÖØÐÑ ÞÖòÒ Þ ÒÜ ÑÝÞ ÐÓÐÐ ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓ Þ Ñ ÚÐ º ¾º ÌØк ÃÙÖÓ ¾º ÓÐÐ ÒÝ º ÓÐÐ ÄÖÒ¹ØØÐ ÖÑÐÝ G Ú ÓÔÓÖØ H Ö Þ ÓÔÓÖØ ØÒ G = H [G : H]º ËÔ Ð Ò Ú ÓÔÓÖØ Ö Þ ÓÔÓÖØ Ò ÖÒ Ó ÞØ ÓÔÓÖØ ÖÒغ ¾º ÃÚØÞÑÒݺ À g G ÓÐ G Ú ÓÔÓÖØ ÓÖ o(g) Ú o(g) = [g] º Ì Ø o(g) G º ¾º Òº G ÓÔÓÖØ N Ö Þ ÓÔÓÖØ Ø ÒÓÖÑ ÐÓ ÞØÒ ÒÚÞÞ ÓÞÞ ØÖØÓÞ Ð¹ ÐÐØÚ ÓÓÐÐ ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓ ÙÝÒÞÓº ÂÐ N Gº ¾º ÌØк ÃÙÖÓ ¼º ÓÐÐ ÒÝ ¼º ÓÐÐ ÄÝÒ N Gº ÓÖ Þ Ð ÚÚÐÒ µ N ÒÓÖÑ ÐÓ ÞØ G¹Ò µ ÖÑÐÝ g G ØÒ gn = Ng µ ÖÑÐÝ g G ØÒ g 1 Ng N µ ÖÑÐÝ g G ØÒ g 1 Ng = Nº ÞÓÒÝØ Þ a) b) Ö ÒÝ ØÖÚ Ð ÞÒ g¹ø ØÖØÐÑÞ ÐÓÐÐ Ñй ÐÓ ÞØ ÐÝ gn ÓÓÐÐ Ô Ngº b) c) Ö ÒÝÓÞ ÐÝÒ n Nº ÓÖ ng Ng = gn ÑØØ ÐØÞ ÓÐÝÒ n N ÑÐÝÖ ng = gn º ÞÓÖÓÞÚ ÐÖÐ g 1 ¹ÞÐ g 1 ng = n N ÚÝ g 1 Ng Nº c) d) Ö ÒÝÓÞ ÐÝÒ n N g Gº ÓÖ c) ÑØØ gng 1 N ÞÖØ n = g 1 gng 1 g g 1 Ng ÑØØ N g 1 Ng ÚÝ N = g 1 Ngº d) b) Ö ÒÝÓÞ ÐÝÒ ng Ngº ÓÖ ng = g g 1 ng gn ÐØÐ ÑØغ Ì Ø Ng gnº À ÓÒÐÔÔÒ Ð ØØ ÓÝ gn Ng ÞÞÐ ØØÐØ ÞÓÒÝØÓØØÙº ¾º Òº ÄÝÒ N Gº ÐÑÞ Ø G/N¹ÒÐ Ðк ÓÖ Þ N ÞÖÒØ ÓÓÐÐ ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓ ØÓÖ ÓÔÓÖØ ÓÑÓÑÓÖØØÐ ÞÓÑÓÖØØÐ ÑÐÐØØ ØØк

¼º ÌØк ÃÙÖÓ ½º ÓÐÐ ÄÝÒ N Gº ÓÖ G/N¹Ò Ò ÐØ ÞÓÖÞ Ng Nh = N(gh)º Þ ÑòÚÐØ ÐÒ ÐØ G/N ÞÞÐ ÑòÚÐØØÐ ÓÔÓÖØÓØ ÐÓغ ÞÒ ÓÔÓÖØ ÒÚ G ÓÔÓÖØ N ÒÓÖÑ ÐÓ ÞØ ÞÖÒØ ÚØØ ØÓÖ ÓÔÓÖغ ÞÓÒÝØ ÑòÚÐØ ÐÒ ÐØ ÓÞ ÚÝ ÞÖ ÓÝ Ng = Ng Nh = Nh ÓÖ ¾½º ÌØÐ ÞÖÒØ g g 1,h h 1 Nº ÓÖ g h h 1 g 1 = g g 1 g(h h 1 )g 1 N ÞÒ N ÒÓÖÑÐÓ ÞØ ÞÖØ g(h h 1 )g 1 Nº Ì Ø N(gh) = N(g h ) ÚÝ ÑòÚÐØ ÐÒ Ðغ ÃÒÒÝò ÐÐÒÖÞÒ ÓÝ ÞÓ¹ ØÚ Ý ÐÑ N Ý ÐÑÑе ÖÑÐÝ ÐÑÒ ÚÒ ÒÚÖÞ ÑÔ (Ng) 1 = Ng 1 º ½º Òº ÄÝÒ G,H ÓÔÓÖØ ϕ: G H Ô ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ º ÓÖ {g G : gϕ = 1} ÐÑÞØ ϕ Ñ Ò ÒÚÞÞº ÂÐ ker ϕº ¾º Òº ÄÝÒ H,K Gº ÓÖ HK = {hk : h H,k K} ÐÑÞØ H K ÓÑÔÐÜÙ ÞÓÖÞØ Ò ÒÚÞÞº º ÌØк ÀÓÑÓÑÓÖ¹ØØÐ ÄÝÒ G,H ÓÔÓÖØ ϕ: G H Ô ÞÖØÚ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ º ÓÖ ker ϕ ÒÓÖÑ ÐÓ ÞØ G¹Ò H = G/ker ϕº º ÌØк Ð ÞÓÑÓÖØØÐ ÐÝÒ G ÓÔÓÖØ H G N Gº ÓÖ HN G N HN H N Hº ÌÓÚ HN/N = H/H Nº º ÌØк Å Ó ÞÓÑÓÖØØÐ ÐÝÒ M,N G Ý ÓÝ M Nº ÓÖ N/M G/M (G/M)/(N/M) = G/Nº º ÌØк ÅÐÐØØ ØØÐ ÐÝÒ N Gº ÓÖ γ: {H : N H,H G} {K : K G/N},H H/N ÐÔÞ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÓÖÑ ÐÓ ÞØØÖØ ÒØ Ø Ö ÞÒÖÒÞØØ ÐÑÞ ÞØغ ÝòÖòº Ê ÞÝòÖò Ð ØÓÖÝòÖòº ÀÓÑÓÑÓÖØØÐ ÞÓÑÓÖØØÐ ÑÐÐØØ ØØк ÒÐÓØØ ÖÓÐÓÑ ÒÝ Ð ÐÖ º Òº Þ (R;+, ) ÑØÑØ ØÖÙØÖ Ø ÝòÖòÒ ÒÚÞÞ + ØÚ ÐØÓÞ ÑòÚÐØ ÑÐÝ ØÐ Ø Þ Ð ÜÒ Ø ¹ (R;+) й ÓÔÓÖØ ¹ (R; ) Ð ÓÔÓÖØ ÚÝ ÞÓØÚ ¹ ÞÓÖÞ ÞØÖÙØÚ Þ Þ Ö ÒÞÚ ÚÝ a (b + c) = ab + ac (b + c) a = ba + caº ÝòÖò ØÚ Ý ÐÑØ 0¹ÚÐ ÑÙÐØÔÐØÚ Ý ÐÑØ ÑÒÒÝÒ ÚÒµ 1¹ÝÐ Þ a R ÐÑ ØÚ ÒÚÖÞØ Ô a¹úð Ðк º ÌØк ÒÝ ½¼º Óк ÌØ ÞÐ R ÝòÖòÒ ØÐ Ð ÓÝ ÖÑÐÝ a R ØÒ 0a = a0 = 0 ØÓÚ ( a)b = a( b) = (ab)º

ÞÓÒÝØ 0a + 0a = (0 + 0)a = 0a, Ñ ÑÒØ ÓÐÐÓÞ ÓÞÞ Ú 0a¹Ø 0a = 0 º Ñ ÐÐØ ÞÓÐ ¹ ÓÞ ÚÝ ÞÖ ÓÝ ab + ( a)b = (a + ( 1))b = 0b = 0 ÞÖØ ( a)b = (ab)º º Òº Þ R ÝòÖòØ Ý ÐÑ Ò ÐÐØÚ ÓÑÑÙØØÚÒ ÒÚÞÞ ÞÓÖÞ ÑòÚÐØ Ý ÐÑ ÐÐØÚ ÓÑÑÙØØÚº Þ R Ý ÐÑ ÓÑÑÙ¹ ØØÚ ÝòÖòØ Ø ØÒ ÒÚÞÞ 0¹Ò ÚÐ ÑÒÒ ÐÑÒ ÚÒ ÑÙÐØÔÐØÚ ÒÚÖÞ ÚÝ (R \ {0}; ) ÓÔÓÖغ ¼º Òº Þ R ÝòÖò T ÒÑÖ Ö ÞÐÑÞ Ø Þ R Ö ÞÝòÖòÒ ÒÚÞÞ Þ ÖØ Þ Þ Ö ØÚ ÒÚÖÞ ÔÞ Ö ÞÓÖÞ Ö ÒÞÚ ÚÝ ÖÑÐÝ r,s T ØÒ r + s, r,rs T º ÂÐ T Rº À T Ö ÞÝòÖò ÐÐ T + r Þ {t + r : t T } ÐÑÞغ ½º ÌØк ÄÝÒ T Ö ÞÝòÖò Þ R ÝòÖòÒ ÚÐÑÒØ r,s Rº Ð ÚÚÐÒ µ T + r T + s µ r s T µ T + r = T + sº ÓÖ Þ ÞÓÒÝØ ÄÝÒ i,j T Ý ÓÝ i + r = j + sº ÓÖ r s = j i T º ÞÞÐ Þ µ µ Ö ÒÝØ Ð ØØÙº µ µ Ö ÒÝÓÞ ÐÝÒ i + r T + rº ÓÖ r s T i + r T ÑØØ i+s = (i+r) (r s) T Ø Ø T +r T +sº ÙÐØ ÑØØ Ð T +r = T +s º µ µ Ö ÒÝ ØÖÚ Ð º ÒØ ØØÐ ÐÔ Ò T + r Ð Ö ÞÐÑÞÓ Ý Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ø R¹Òº À ÓÒÐÔÔÒ ÓÔÓÖØÓÓÞ ÞÓÒÝÓ ØÒ Þ Ó ÞØ ÐÝÓ ÐÑÞ ÐÐÑ ÑòÚÐØÐ ÐÐ ØÚ ÝòÖòØ ÐÓغ ¾º Òº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Þ R ÝòÖò I Ö ÞÝòÖò Ð ÖÑÐÝ r I s R ØÒ rs,sr Iº ÂÐ I Rº º ÌØк À R ÝòÖò I Ô Ð ÓÖ Þ I + r Ð Ö ÞÐÑÞÓ R/I ÐÑÞ Ò Ò ÐØ Ý Þ Ý ÞÓÖÞ ÚØÞÔÔÒ (I + r) + (I + s) = I + (r + s), (I + r)(i + s) = I + rs. ÞÞÐ Ø ÑòÚÐØØÐ R/I ÝòÖòØ ÐÓØ ÑÐÝØ Þ R ÝòÖò I Ð ÞÖÒØ ÚØØ ØÓÖÝòÖòÒ ÒÚÞÒº ÞÓÒÝØ Ð ÞÖ Ð ØÙ ÓÝ Þ Þ ÞÓÖÞ ÐÒ ÐØ ÚÝ I +r = I +r I +s = I +s ÓÖ I +(r+s) = I +(r +s ) I +rs = I +r s º Þ Ý ÞÖò I + r = I + r I + s = I + s ÑØØ r r,s s I ÞÖØ (r + s) (r + s ) I ÞÞ I + (r + s) = I + (r + s )º ÍÝÒÓÖ Þ Ð ØÙÐÓÒ ÑØØ r(s s ),(r r )s I ÞÖØ rs r s = rs rs + rs r s = r(s s ) + (r r )s I, Ø Ø I + rs = I + r s º R/I ÝòÖò ÚÓÐØ Ò ÐÐÒÖÞ ÞÙØ Ò Ñ Ö Ý ÞÖò I(= I + 0) Ð Þ Þ ØÚ Ý ÐÑ I r(= I + ( r)) Ô Þ I + r ÐÑ ØÚ ÒÚÖÞº

º Òº ÄÝÒ R,T ÝòÖòº ϕ: R T ÐÔÞ Ø ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ Ò ÒÚÞÞ ÖÑÐÝ r,s R ØÒ (r + s)ϕ = rϕ + sϕ, (rs)ϕ = rϕ sϕ. ØÚ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ ÓØ ÞÓÑÓÖÞÑÙ Ò ÒÚÞÞº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Þ R T ÝòÖò ÞÓÑÓÖ ÐØÞ ϕ: R T ÞÓÑÓÖÞÑÙ º ÂÐ R = T º º Òº ÄÝÒ ϕ: R T ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ º ÓÖ ker ϕ = {r R : rϕ = 0}º ÓÔÓÖØÐÑÐØ ÓÑÓÑÓÖØØÐ ÞÓÑÓÖØØÐ ÑÐÐ ÝòÖòÖ Ö¹ ÚÒÝ º º ÌØк ÀÓÑÓÑÓÖ¹ØØÐ ÄÝÒ R,T ÝòÖò ϕ: R T Ô ÞÖØÚ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ º ÓÖ ker ϕ Ð R¹Ò T = R/ker ϕº º ÌØк Ð ÞÓÑÓÖØØÐ ÐÝÒ R ÝòÖò T R I Rº ÓÖ T +I R I T + I T I T º ÌÓÚ T + I/I = T/I T º º ÌØк Å Ó ÞÓÑÓÖØØÐ ÐÝÒ I,J R Ý ÓÝ J Iº ÓÖ I/J R/J (R/J)/(I/J) = R/Iº º ÌØк ÅÐÐØØ ØØÐ ÐÝÒ I Rº ÓÖ γ: {T : I T,T R} {T : T R/I},T T/I ÐÔÞ ÑÓÒÓØÓÒ ÐØÖØ ÒØ Ø Ö ÞÒÖÒÞØØ ÐÑÞ ÞØغ Ý ÞÖò ÓÑÑÙØØÚ Ý ÐÑ ÝòÖòº ÐÝòÖò ØÓÖØ Øº Ì ØÓÒ ØÖÙº ¼º Òº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Þ R ÝòÖò I Ð ÑÜÑ Ð J R,I J R¹Ð ÚØÞ ÓÝ J = R ÚÝ J = Iº ÎÝ I ÑÜÑ Ð Ð ÒÒ Ò Ð ÒÝÓ R¹ØÐ ÐÒÞ Ðº ½º Òº Þ ÓÐÝÒ R ÝòÖòØ ÑÐÝÒ {0} Þ R Ö ÞÝòÖò ÐÓ Ý ÞÖò ÝòÖòÒ ÒÚÞÞº ¾º ÌØк ÄÝÒ R Ý ÞÖò ÓÑÑÙØØÚ Ý ÐÑ ÝòÖòº ÓÖ R Ø Øº ÞÓÒÝØ ÄÝÒ r R Ý ÒÙÐÐ ØÐ ÐÒÞ ÐѺ ÓÖ rr R ÙÝÒ¹ ÓÖ 0,r R ÞÖØ rr = R º ÎÝ ÐØÞ ÓÐÝÒ r 1 R ÐÑ ÑÐÝÖ rr 1 = 1 Ñ ÔÔ ÞØ ÐÒØ ÓÝ R \ {0} ÓÔÓÖØ ÚÝ R Ø Øº Þ ÐÞ ØØÐ ÑÐÐØØ ØØÐ ÓÑÒ Ð ÚØÞ º ÌØк ÄÝÒ R Ý ÐÑ ÓÑÑÙØØÚ ÝòÖò I Rº ØÓÖÝòÖò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ø I ÑÜÑ Ð º ÓÖ Þ R/I º Òº À R ÝòÖò r R ÓÖ (r)¹öð ÐÐ Þ r ÐØÐ ÒÖ ÐØ ÐØ ÞÞ (r) = {rs : s R}º º ÌØк ÄÝÒ R ÐÝòÖò r Rº ÓÖ Þ R/(r) ØÓÖÝòÖò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ø r ÖÖÙÐ º

ÞÓÒÝØ À r ÖÖÙÐ ÓÖ ØÝ Ð ÓÝ J ÓÐÝÒ Ð ÑÐÝÖ (r) Jº ÅÚÐ R ÐÝòÖò ÞÖØ J = (s) ÚÐÑÐÝ s R ÐÑÖº ÓÖ ÞÓÒÒ r J ÑØØ r = st ÐÐÑ t R ÐÑÖº ÅÚÐ r ÖÖÙÐ s ÚÝ ÞÓ ÐØ r¹öð ÚÝ Ý ÞÞ ÞÓ ÐØ Þ Ý ÐÑÑеº Þ Ð ØÒ (r) = (s) Ñ ÓÒ (s) = R º Ì Ø (r) ÑÜÑ Ð Ð ÞÖØ R/(r) Ø Øº ÓÖØÚ R/(r) Ø Ø ÓÖ ÑÐÐØØ ØØÐ ÞÖÒØ (r) ÑÜÑ Ð Ðº ÌÝ Ð ÑÓ Ø ÓÝ r = st ÐÐÑ s,t R ØÒº ÓÖ (r) (s) ÑØØ (s) = (r) ÓÖ s ÞÓ ÐØ r¹öðµ ÚÝ (s) = R ÓÖ s Ý º ÎÝ r ÖÖÙÐ º ËÔ Ð Ò K Ø Ø f K[x] Ô ÖÖÙÐ ÔÓÐÒÓÑ ÓÖ K[x]/(f) Ø Øº ÄÝÒ K Ø Ø f K[x] Ô ÖÖÙÐ ÔÓÐÒÓѺ ÓÖ K[x]/(f) ¹ ØÓÖÝòÖò Ø Øº ÐÑ Þ (f) + g Ð ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝÓ ÓÐ g K[x]º ÓØØ g K[x] ØÒ Þ (f) + g ÑÐÐÓ ÞØ ÐÝ ÞÓÒÓ ØØ g ÔÓÐÒÓÑ f¹ð ÚÐ Ó ÞØ ÓÖ ÐØÞ ÑÖ Úк ÞÒ ÑÖÓØ g¹úð Ðк Þ ÐÔ Ò K[x]/(f) Ø ØÒ ÙÝÒÝ Þ ÑÓÐÙÒ ÑÒØ K[x]¹Ò ÑÒ Þ ÖÑÐÝ Ø ÔÓÐÒÓÑÓØ ÝÓÖÑ Ò ØÒØÒ ÙÝÒÞØ ÑÖÓØ f¹ð Ó ÞØÚº ÈÐ ÙÐ Q[x]/(x 2 + 2x + 2)¹Ò x + 2 2x 3 = 2x 2 + x 6 = 3x 10 = x 2 x 8. º Òº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Þ L Ø Ø ÝÞØ K Ø Ø ÐØÞ ι: L K ÒØÚ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ º ÒØ ØÒ ι ÐÔÞ ÔÐÑÞ Ý L¹ÐÐ ÞÓÑÓÖ Ö ÞØ ØØ ÐÓØ K¹Ò ÒÒÒ Þ ÐÒÚÞ L ³ÐÒÝÒ³ Ö ÞØ Ø K¹Òº º ÌØк ÄÝÒ K Ø Ø f K[x] ÖÖÙÐ ÔÓÐÒÓѺ ÓÖ K[x]/(f) Ø Ø K ÝÞØ K[x]/(f)¹º ÞÓÒÝØ ÞØ ÓÝ K[x]/(f) Ø Ø Ñ Ö ÞÓÒÝØÓØØÙ K ÝÞ ÓÞ Ô Ð ÞÖÚÒÒ ÓÝ ι: K K[x]/(f),k k ÐÔÞ ÒØÚ ÓÑÓÑÓÖÞÑÙ º ÒØ ÐÔ Ò ÐØ Þ ÓÝ K Ö ÞØ Ø K[x]/(f)¹Òº ÓÖ f ÐÓ¹ Ø Ý ÑÒØ Ý K[x]/(f) ÐØØ ÔÓÐÒÓѺ ÃÒÒÝÒ ÐÐÒÖÞØ ÓÝ ÞÒ ÔÓÐÒÓÑÒ Þ x K[x]/(f) ÐÑ Ýº À f ÒÑ Ð Ó ÓÖ ÒÒ K¹Ð Ý Ý K[x]/(f) Ø ØÓÒ ØÖÙ ÐÓØ Ý ÓÝ K¹ÓÞ ÓÞÞ Ú Þ Þ f ÔÓÐÒÓÑ Ý Ýغ º ÌØк ÄÝÒ K Ø Ø f K[x] ØØ ÞÐ ÒÑ ÐØØÐÒÐ ÖÖÙÐ µ ÔÓÐÒÓѺ ÓÖ ÚÒ ÓÐÝÒ L Ø Ø ÑÐÝÒ K Ö ÞØ Ø ÙÝÒÓÖ L ÐØØ f Ñ Ö ÝØÒÝÞ ÞÓÖÞØ Ö ÓÒØØ ÚÝ L Ñ Ö ØÖØÐÑÞÞ f ÑÒÒ Ýغ ÌÓÚ ÒØ ØÙÐÓÒ L Ø Ø ÞØØ ÚÒ Ð L ÚÝ ÖÑÐÝ ÓÐÝÒ L Ø Ø ÑÐÝ ØÖØÐÑÞÞ K¹Ø f Þ ÝØ ØÖØÐÑÞ L ¹ÚÐ ÞÓÑÓÖ Ö ÞØ Øغ Þ Þ L Ø Ø ÞÓÑÓÖ Ö ÝÖØÐÑòº º Òº ÒØ ØØÐÒ ÞÖÔÐ L Ø ØØ Þ f K[x] ÔÓÐÒÓÑ ÐÓÒØ Ø ØÒ ÒÚÞÞº

Ì Ø ÔÖÑØ Ø ÖØÖ ÞØ º ¼º Òº ÄÝÒ K Ø Øº À K Ø Ø Ý ÐÑÒ ØÚ ÖÒ Úع ÐÒ ÓÖ K Ø Ø ÖØÖ ÞØ 0 ÝÒØ ÑÝÞ K Ý ÐÑÒ ØÚ ÖÒÚк ½º Òº ÄÝÒ K Ø Øº ÓÖ K \ {0} ÓÔÓÖØÓØ K Ø Ø ÑÙÐØÔÐØÚ¹ ÓÔÓÖØ Ò ÒÚÞÞ K ¹Ð Ðк ¾º Òº Þ R ÝòÖòØ ÞÖÙ Ó ÞØÑÒØ Ò ÒÚÞÞ ÖÑÐÝ a,b R ÒÑÒÙÐÐ ÐÑÖ ab 0º Ò ÞÖÒØ Ø Ø ÞÖÙ Ó ÞØÑÒØ º º Òº À K Ø Ø a K n N ÓÖ Þ n¹ø a +... + a ÞØ n a¹úð Ðк 0 a ÐÑØ 0¹Ò Ò ÐÙº À Ô n Z ÒØÚ ÓÖ a n = ( a) +... + ( a) ÓÐ Þ ÞÒ n Ø ÚÒº º ÌØк ÖÑÐÝ Ø Ø ÖØÖ ÞØ ÔÖÑ Þ Ñ ÚÝ ÚØÐÒº À K Ø Ø ÖØÖ ÞØ p ÓÖ ÖÑÐÝ n Z a K ØÒ p n ÓÖ n a = 0º ÞÓÒÝØ ÌÝ Ð ÓÝ K ÖØÖ ÞØ Ú º ÄÝÒ Þ Öع Ö ÞØ n ØÝ Ð ÓÝ n = pq ÓÐ p,q N 1¹ØÐ ÐÒÞº ÓÖ ÞØÖÙØÚØ Ø Ð ÞÒ ÐÚ (p 1) (q 1) = n 1 = 0 ÞÞ Ð ÓÐÐÓÒ ÞÖÔÐ Ø Ø ØÐÑ ÞÓÖÞØ 0º ÞÓÒÒ ÑÒÒ Ø Ø ÞÖÙ Ó ÞØÑÒØ Ý ÚÐÑÐÝ ØÒÝÞ 0 ÐÐ ÓÝ ÐÝÒº Þ ÞÓÒÒ ÐÐÒØÑÓÒ ÒÒ ÓÝ Þ 1 ÖÒ n ÞÒ p,q < nº ØØÐ Ñ Ó Ö ÞÞ ÚÝ ÞÖ ÓÝ p nº n a = (n 1) a = 0, º Òº ÄÝÒ K Ø Ø L Kº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ L Ö ÞØ Ø K¹Ò L ÒÑÖ ÖÑÐÝ a,b L,a 0 ØÒ a + b,a b,ab,a 1 Lº º Òº ÄÝÒ K Ø Ø A Kº Þ A ÐØÐ ÒÖ ÐØ Ö ÞØ Ø Þ Ð Þò Ö ÞØ Ø ÑÐÝ ØÖØÐÑÞÞ A ÐÑغ º Òº ÄÝÒ K Ø Øº ÓÖ K Ý ÐÑ ÐØÐ ÒÖ ÐØ Ö ÞØ ØØ K ÔÖÑØ ØÒ ÒÚÞÞº K ÔÖÑØ Ø ÖÑÐÝ Ö ÞØ ØÒ Ö ÞÐÑÞº º ÌØк À K ÖØÖ ÞØ p ÓÖ K ÔÖÑØ Ø ÞÓÑÓÖ Z p ¹ÚÐ Ô ÚØÐÒ ÓÖ Q¹Úк ÞÓÒÝØ ÂÐÐ K Ø Ø ÔÖÑØ ØØ F º À Ø Ø ÖØÖ ÞØ p ÓÖ 0,1,2 1,...,(p 1) 1 ÐÑ ÐÒÞº ÍÝÒÓÖ n 1 = m 1 ÓÖ ÓÖ ØÐ Ð n m (ÑÓ p) ÐÙ ÓÔÓÖØ ØÙÐÓÒ ÑØصº ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ ÒÒÝÒ ÐÐÒÖÞØ ÓÝ ÐÔÞ ÞÓÑÓÖÞÑÙ º ϕ: F Z p,n 1 n

À Ø Ø ÖØÖ ÞØ ÚØÐÒ ÓÖ Þ 1 ÐØÐ ÒÖ ÐØ ØÚ Ö Þ ÓÔÓÖØ ÞÓÑÓÖ Z¹ÚÐ ÞÞ n 1 = m 1 n = m. ÍÝÒÓÖ ÞØÖÙØÚØ ÑØØ (n 1) (m 1) = (nm 1) º ÄÝÒ F = {(n 1) (m 1) 1 : n,m Z,m 0}º ÐÐÒÖÞØ ÓÝ F ÔÔÒ K ÔÖÑØ Ø ÓÝ ÐÔÞ ÞÓÑÓÖÞÑÙ º ϕ: F Q, ((n 1) (m 1) 1 ) n m º ÌØк À K Ø Ø ÖØÖ ÞØ p ÓÖ K¹Ò ØÓÒÒØ ÐØ p¹ ØÚ ÒÝÖ ÑÐÒ ÞÞ ÖÑÐÝ a,b K ØÒ (a + b) p = a p + b p. ÞÓÒÝØ ÞØÖÙØÚØ ÞÓÖÞ ÓÑÑÙØØÚØ ÑØØ ØÐ Ð ÒÓÑ Ð ÞÓÒÓ ÞÞ ( ) ( ) (a + b) p = a p p + a p 1 p b +... + a p i b i +... + b p. 1 i ( ) p ÍÝÒÓÖ 0 < i < p ÓÖ p ÞÖØ ÒØ ÞÒ ÚÝ ØÓ i Ò ÞÒ p¹úð Ó ÞØØ Þ ÑÑÐ ÚÒ ÞÓÖÓÞÚ ÚÝ ÞÓÖÞص Ý ÞÓÒÝØÒ ÝÒÐ º Î Ø Ø ØÙÐÓÒ Þ ÑÓÐ Ú Ø ØÒ ¹ÐÓÖØÑÙ º ÃÒÒÝÒ ÐÐÒÖÞØ ÓÝ K Ø Ø L Ô Ö ÞØ Ø ÓÖ K ÐÓØ Ý ÑÒØ Ý L ÐØØ ÚØÓÖØÖ Ð ÖÖÐ ÚÐ ÞÓÖÞ Ý ÞÖòÒ Þ L ÐÑÚÐ ÚÐ ÞÓÖÞ Ð Þº Þ ÐÞ ØØÐ ÞÖÒØ ÖÑÐÝ Ú Ø Ø ÔÖÑØ Ø ÚÐÑÐÝ Z p ¹ÚÐ ÞÓÑÓÖº ÞÖØ ÖÑÐÝ Ú Ø Ø ÐÓØ ÚÐÑÐÝ Z p Ø Ø ÐØØ Þ ÔÔÒ Ú ÑÒ¹ Þ µ ÚØÓÖØÖÒغ ÅÒØÓÝ ÖÑÐÝ Z p ÐØØ Ú ÑÒÞ ÚØÓÖØÖ ÞÓÑÓÖ Z n p ¹ÒÐ ÐÐÑ n N¹Ö ÞÖØ ÚØÞ ØØк ¼º ÌØк ÖÑÐÝ Ú Ø Ø ÐÑ Þ Ñ p n Ð ÓÐ p K Ø Ø ÖØÖ Þع n ØÖÑ ÞØ Þ Ñº ÚØÞ ØØÐ Ø ÚÐ ÓÒ ØÖÙ ÐØÙÒ Ú Ø Øغ ½º ÌØк ÄÝÒ f Z p [x] n¹ó ÖÖÙÐ ÔÓÐÒÓѺ ÓÖ Z p [x]/(f) Ø Ø n ÑÒÞ ÚØÓÖØÖØ ÐÓØ ÔÖÑØ Ø ÐØØ ÞÖØ Þ ÐÑ Þ Ñ p n º ÞÓÒÝØ ÄÒ Ö ÐÔÞ Þ ÓÒÐÒ ÖÑÐÝ a Z p [x]/(f) ÐÑÞ ÖÒÐØ Ý Z p [x]¹ð ÑÒÑ ÐÔÓÐÒÓÑ ÑÐÝ Þ ÓØØ Ñ ÑÖØ ØÙÐÓÒ ¹ ÓÐ ÖÒÐÞ ÚÝ ÑÒÑ ÐÔÓÐÒÓÑ m ÓÖ m(a) = 0 ÖÑÐÝ g ÔÓÐÒÓÑÖ g(a) = 0 ÓÖ m gº f ÖÖÙÐØ Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÓÖ Ð ØØ ÓÝ Þ 1,x,...,x n 1 ÐÑ ÐÒ Ö Ò ØÐÒ ÙÝÒÓÖ ÒÖ ØÓÖÖÒ ÞÖØ Z p [x]/(f) ÚØÓÖ¹ ØÖÒ ÚÝ ÚØÓÖØÖ n ÑÒÞ º

½¼ ¾º ÌØк ÖÑÐÝ Ú Ø Ø ÑÙÐØÔÐØÚ ÓÔÓÖØ ÐÙ º ÞÓÒÝØ ÄÝÒ K Ú Ø Øº ÓÖ K = p n ÓÐ p K Ø Ø ÖØÖ Þ¹ Ø n ØÖÑ ÞØ Þ Ñº ÂÐÐ d K ÓÔÓÖØ ÐÑÖÒÒ Ð Þ Ø ÞÖ Øº ÓÖ x d = 1 ÖÑÐÝ x K ¹Ö Ñ ÞØ ÐÒØ ÓÝ x d+1 x = 0 ÖÑÐÝ x K ØÒº Å ÔÔÒ ÓÐÑÞÚ K Ø Ø ÑÒÒ ÐÑ Ý Þ x d+1 x K[x] ÔÓÐÒÓÑÒº ÞÓÒÒ Ý d+1¹ó ÔÓÐÒÓÑÒ ÐÐ d+1 Ý ÐØ ÞÖØ d + 1 p n ÚÝ d p n 1º ÍÝÒÓÖ ÓÔÓÖØ ÑÒÒ ÐÑÒ ÖÒ Ó ÞØ ÓÔÓÖØ ÖÒØ ÞÖØ Þ ÐÑÖÒ Ð Þ Ø¹ ÞÖ Ó ÞØ ÞØ ÚÝ d p n 1º Þ Ý ÐØ d = p n 1 = K º Ý ÓÔÓÖØÐÑÐØ ÒÒÝÒ ÞÓÒÝØص ØØÐ ÞÖÒØ Ú Ð¹ ÓÔÓÖØÒ ÑÒ ØÐ ÐØ ÓÐÝÒ ÐÑ ÑÐÝÒ ÖÒ ÑÝÞ ÓÔÓÖØÐÑ ÖÒ¹ Ò Ð Þ Ø ÞÖ Úк Þ Þ ÐÞ ÞÖÚØÐÐÐ ÝØØ ÞØ Öѹ ÒÝÞ ÓÝ K ¹Ò ÚÒ ÓÐÝÒ ÐÑ ÑÐÝÒ ÖÒ ÔÔÒ K ÞÞ K ÐÙ ÓÔÓÖغ º Òº K Ú Ø Ø ÑÙÐØÔÐØÚ ÓÔÓÖØ Ò ÒÖ ØÓÖÐÑØ ÔÖÑØÚ ÐÑÒ ÚÙº º Òº ÄÝÒ K = q Ø Ø a K Ô ÔÖÑØÚ ÐѺ ÓÖ K ÖÑÐÝ ÐÑ ÐÖØ a ØÚ ÒÝÒغ log: K Z q 1,a k k ÐÔÞ Ø ÞÖØ ÐÓÖØÑÙ Ò ÒÚÞÞº º Òº ÄÝÒ K = q Ú Ø Ø a K Ô ØØ ÞÐ ÔÖÑØÚ ÐѺ ÓÖ ÖÑÐÝ 0 n q 1 ØÒ ÚÚ Ýغººµ ÝØÐÒ ÓÐÝÒ Z(n) Þ Ñ ÐØÞ ÑÓÙÐÓ q 1 ÑÐÝÖ 1 + a n = a Z(n) º ÞØ Z : Z q 1 Z q 1 ÐÔÞ Ø ÚÙ ¹ÐÓÖØÑÙ Ò ØÖÑ ÞØ Ò Z Þ a ÔÖÑØÚ ÐÑ Ú Ð ÞØ Øеº ÒØ ÒÒ ÞÖÔÐ ÝØÐÒ ÚØÐ 1 Ø ØÐÑÞ ØÖØÓÞ ÙÝÒ a n = 1 ÓÖ ÒÒ ÓÐÝÒ k ØÚ ÑÐÝÖ a k = 1 + ( 1) = 0 ÐÒÒº À K ÖØÖ ÞØ Ô ÖØÐÒ ÓÖ 1 = a q 1 2 Ý q 1 2 ¹Ö ÒÑ ÖØÐÑÞÞ ¹ ÐÓÖØÑÙ Ø ÚÝ ÞÓ Ñ ¹Ò ÖØÐÑÞÒµº À K ÖØÖ ÞØ 2 ÓÖ 1 = 1 ÚÝ ÝÒ ÐÑ ÔÔÒ 0 ÒÒ ÓÐÝÒ k ÑÐÝÖ a k = 1 + 1 = 0 ÐÒÒº ¹ÐÓÖØÑÙ Ø ÚÐ q ÐÑ Þ Ñ Ú Ø ØÒ ÚÐ Þ ÑÓÐ Ø Ø ÞØ ÑÓÙÐÓ q 1 ÚÐ Þ ÑÓÐ Ö ÙÝÒ a ÔÖÑØÚ ÐÑ q ÐÑ Þ Ñ K Ø ØÒ ÓÖ a n a m = a n+m, ÚÝ ÞÓÖÞ ÞÓ Ó ÑÓÙÐÓ q 1 Þ ÒØ ÐÒ Ñ Ñ n m a n + a m = a n (a m n + 1) = a n a Z(m n) = a n+z(m n), ÚÝ Þ Þ Ô ¹ÐÓÖØÑÙ Ø ÚÐ Ø Ñ ÔÖ Þ ØØ ÝÐÒ ÐÐ Þ Ð ÑÐØØØ ÚØÐÖºººµ º ÌØк ÖÑÐÝ p ÔÖÑÖ n ØÖÑ ÞØ Þ ÑÖ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÞÓÑÓÖ ÞÑÔÓÒØ Ðµ p n ÐÑ Þ Ñ Ø Ø ÐØÞº Þ Ø Ø ÔÔÒ Þ f = x pn x Z p [x] ÔÓÐÒÓÑ ÐÓÒØ Ø Øº

ÞÓÒÝØ Ð ÞÖ Ð ØÙ ÓÝ f ÐÓÒØ Ø ØÒ f ÖÑÐÝ Ø Ý¹ Ò Þ ÞÓÖÞØ ÐÒ ÒÝÓ Ý f¹òº Þ ÞÞ ØÝ Ð ÓÝ a,b Ý f¹ò ÚÝ a pn = a b pn = bº ÓÖ ÞÓÒÒ ØÚ ÒÝÓÞ ÞÓÒÓ Ø Ð ÞÒ ÐÚ (a + b) pn = a pn + b pn = a + b ÞÞ a + b Ý f¹òº À ÓÒÐÔÔÒ Ð ØØ Ø ÐÐØ º Þ ÞÓÒÒ ÞØ ÐÒØ ÓÝ f Ý Ø ØØ ÐÓØÒ Ñ Þ ÔÔÒ Ñ ÙØ Ò ÚÓÒ ÓÝ ÐÓÒØ Ø Ø ÔÔÒ f ÝØ ØÖØÐÑÞÞ ÞÞ ÐÑ Þ Ñ ÒÑ ÐØ ÒÝÓ p n ¹Òк ÍÝÒÓÖ Þ f ÔÓÐÒÓÑ ÖÚ ÐØ Z p ÐØص Þ 1 ÔÓÐÒÓÑ ÞÖØ f¹ò ÒÒ Ø ÞÖ Ý Ñ ÞØ ÐÒØ ÓÝ ÔÔÒ p n Ö ÐÒÞ Ý ÚÒº Ì Ø f ÐÓÒØ Ø Ø ÔÔÒ p n ÐÑ Þ Ñº ÞÞÐ Ð ØØÙ ÓÝ ÐØÞ p n ÐÑ Þ Ñ Ø Øº ÞØ Ñ Ö ¾º ÌØÐ ÞÓÒÝØ Ò Ð ØØÙ ÓÝ Ý p n ÐÑ Þ Ñ Ø Ø ÑÒÒ ÐÑ Ý Þ x pn x ÔÓÐÒÓÑÒ Ý Þ ÔÔÒ ÒÒ ÐÓÒØ Ø Ø ØØ ÓÒØÓ ÞÖÚÒÒ ÓÝ f¹ò ÒÒ Ø ÞÖ Ýµº Ý ÞÒ ÐÚ ÐÓÒØ Ø Ø ÝÖØÐÑò ÖÐ ÞÐ º ÌØÐØ p n ÐÑ Þ Ñ Ø Ø ÙÒØ º ½½