ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010

c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei ANDRÁS SZILÁRD A matematika taítása/adrás Szilárd Miercurea-Ciuc: Status, 009 ISBN 978-973-1764-63-4 371.3:51 Kiadja a Státus Köyvkiadó Felelős kiadó Birtók József igazgató ISBN: 978-606-805-07-6 Készült a Státus Nyomdába http://www.status.com.ro Email: office@status.com.ro Didactica matematicii pri metode IBL Editura Status, Miercurea-Ciuc Tiparul executat sub comada r. 19/010 la Status Priters - Siculei

A köyv megírását és megjeleését az Európai Bizottság által fiaszírozott PRIMAS projekt Promotig Iquiry i Mathematics ad Sciece Educatio) és a PRIMAS projekt Romáiai partere, a Babeş-Bolyai Tudomáyegyetem támogatta

A PRIMAS projekt parteritézméyei:

TARTALOMJEGYZÉK 1. Előhag 9. Bevezetés 1 1. FEJEZET. BICIKLIHIÁNYBAN 5 1. Az alapfeladat 5. Egy lehetéges általáosítás és megoldása 9 3. További problémák 40 4. Megjegyzések 43. FEJEZET. TÖLTÖGETÉSES FELADATOKTÓL LINEÁRIS DIOFANTOSZI EGYENLETEKIG 45 1. Bevezetés 45. Megoldások és további feladatok 46 3. A modell, egy algoritmikus megközelítés és egy kis matematikai háttér 49 4. Bizoyítások 54 5. A felmérés és eredméyei 56 6. Megjegyzések, következtetések 58 3. FEJEZET. GYUFASZÁLAK ÉS NÉGYZETEK 59 1. Bevezetés 59. A felmerülő problémák 61 3. Megoldások 64 4. Tapasztalatok, következtetések 70 Melléklet 74 4. FEJEZET. ALAPMŰVELETEK 77 1. Értjük vagy tudjuk 77. Feladatok 78 5

6 TARTALOMJEGYZÉK 3. A rövidített számítási képletek képi megjeleítése 89 4. A égyzetgyökvoás 95 5. FEJEZET. SZÁMJEGYEK ÉS MINTÁZATOK 101 1. Feladatok és megoldási stratégiák 101. További tulajdoságok 105 6. FEJEZET. KERESZTÜL A SIVATAGON 107 1. Az alapfeladat 107. Az általáos eset 11 7. FEJEZET. TALPPONTI HÁROMSZÖGEK 115 1. Az alapfeladat 115. Sejtések és bizoyítások 116 3. Tapasztalatok, következtetések 130 8. FEJEZET. DOBOZOK 131 1. A kozervdoboz méretei 131. A Fietti-s doboz 133 9. FEJEZET. KAMATOZÁSI SÉMÁK ÉS AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 139 1. Pézügyi fogalmak 139. Az e ) 1, e = 1+ ) 1 sorozat vizsgálata 141 3. A korlátosság egy más igazolása 149 4. Az expoeciális függvéy értelmezése 150 5. Az expoeciális függvéy tulajdoságai 158 6. Feladatlapok 167 7. Megjegyzések, tapasztalatok, következtetések 173 10. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA 177 1. Bevezető feladatok 177. Mátrixok 181 3. Mátrixok összeadása 185 4. Mátrixok szorzása 186 5. Egyeletredszerek 199 6. Didaktikai megjegyzések 06

TARTALOMJEGYZÉK 7 11. FEJEZET. KALANDOZÁS A VALÓSZÍNŰSÉG VILÁGÁBAN 07 1. Csaltál már dolgozatírás közbe? 07. A valószíűség fogalmáak bevezetése 08 3. A feltételes valószíűség fogalma 15 4. Véletle által kikéyszerített válaszok elemzése 19 5. Javasolt feladatok 0 1. FEJEZET. A HAPPY CUBE PUZZLE ELEMZÉSE 3 1. Mi is a Happy Cube? 3. Roko játékok 6 3. Foglalkozások és sejtések 7 4. Happy Cube kirakó programok 9 5. A kockák elméleti elemzése 31 6. Egy kocka kirakásáak lépései 36 7. A kockákhoz tartozó gráfok 38 8. Az elméleti elemzések által kapott ragsorok 45 9. A kockák vizsgálata a kirakásukra szervezett tevékeységek által 46 10. Az elméleti és gyakorlati megfigyelések összehasolítása 50 11. A kockák megoldásai 5 Szakirodalom 55

Kiadváyuk fejezeteiek szerzői: 1. Előhag Adrás Szilárd. Bevezetés Szilágyi Judit 3. Biciklihiáyba Adrás Szilárd 4. Töltögetési feladatoktól lieárisdiofatoszi egyeletekig Nagy Örs, Adrás Szilárd 5. Gyufaszálak és égyzetek Adrás Szilárd, Sipos Kiga 6. Alapműveletek Adrás Szilárd 7. Számjegyek és mitázatok Adrás Szilárd 8. A sivatago keresztül Adrás Szilárd 9. Talppoti háromszögek Adrás Szilárd 10. Dobozok Nagy Örs, Adrás Szilárd 11. Kamatozási sémák és az expoeciális függvéy Csapó Hajalka, Adrás Szilárd 1. Lieáris algebra, probléma és kívácsiság közpotúmegkö- zelítésbe Szilágyi Judit, Adrás Szilárd 14. Kaladozás a valószíűség világába Soós Aa 15. A Happy Cube puzzle elemzése Adrás Szilárd, Bartos Kocsis Adrea, Sipos Kiga, Soós Aa Diákokkal tartott foglalkozásaik egy részét a SimpleX Egyesület által szervezett tehetséggodozó táborokba, illetve a Romáiai Magyar Pedagógusok Szövetsége által a Teleki Oktatási Közpotba szervezett táborba, valamit a csíkszeredai Márto Áro Líceumba és a kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceumba tartottuk. A köyv mide fejezetét kipróbáltuk ababeş-bolyai Tudomáyegyetem hallgatóival és éháy témát az egyetem kereté belül tartott továbbképző is. Köszöettel tartozuk diákjaikak, akik részt vettek a foglalkozásaiko és kollégáikak, akikek támogatása élkül foglalkozásaik egy része em lett vola lehetséges. Külö köszöettel tartozuk Dávid Gézáak és Tamási Csabáak.

1. Előhag Válságba az oktatás. Nemcsak amiatt, mert a világméretű pézügyi válság hatással va az élet mide területére, tehát az oktatásra is. Nem is amiatt, mert az oktatási redszer zavartala működését biztosítai hivatott politikum kaotikus, gyakra öelletmodásos szabályozásai szétzillálják, elzüllesztik, szétbomlasztják a redszert, lehetetleé teszik a hosszútávúoktatási folyamatok működését. Nem is azért, mert az oktatásszervezés területé olya közgazdasági modelleket probálak alkalmazi, amelyek egyrészt az oktatás léyegi voatkozásait em tekitik optimalizáladócélak, másrészt már a közgazdaság területé is látváyosa megbuktak. Nem is azért, mert a miőségbiztosítás egy globalizálódott téveszme, hisz midutala csak egy miimális szitet biztosít és em a miőséget, ami messze efölött áll. Nem is azért, mert a emzetközi tredekhez való alkalmazkodás lokálisa paradoxot szül. A probléma sokkal mélyebb, sokrétűbb, áryaltabb és valójába em is ott va, ahol észleljük. Mi csak a probléma következméyeit látjuk, a problémáak a redszere belüli megyilváulását. Súlyos hiba ezt összekeveri a téyleges problémával. Az oktatás tartalmilag midig is a múltra kocetrált, midig megpróbálta újraértékeli és átmetei a múltból azt a tapasztalati bölcsességet, ami az idők folyamá felhalmozódott. Így a taárokak alapvető feladatuk a hagyomáyőrzés, hagyomáyápolás. Ugyaakkor az iskoláak midig ki kell elégíteie a társadalom aktuális igéyeit is. Godoljuk meg, hogy a Római Birodalom terjedése vezetett az itézméyesített iskolaredszer agyfokú terjedéséhez és a hagyomáyos iskolai redszer ekkor alapozódott meg, egyértelműe a birodalom igéyeiek megfelelőe; később az egyházi iskolákba ez a hagyomáyos, klasszicista oktatás kiegészült a vallásos taokkal, majd a emzetállamok megjeleésével az oktatásba is helyet kaptak a emzeti eszmék, eszméyek. A felvilágosodás utái társadalmakba a társadalmi igéyredszer és a hagyomáyból fakadó cél egyre jobba külövált. A moder társadalmakba e két iráyelv teljese elkülöült. Eek következméyekét egyre hevesebb vita folyik arról, hogy egyáltalá mit taítsuk, illetve, hogy milye 9

10 ELŐHANG módszerekkel taítsuk. Sőt újabba a vita súlypotja ayira eltolódott, hogy arról vitázuk, milye kompeteciákat kell fejlesztei az iskolába. Ez az iráyelv már egyértelműe csak a társadalmi igéyek kielégítéséről szól, mert a kulcskompeteciák teljes egészébe szociális motivációval redelkezek. A kulcskompeteciák közt sehol em jeleik meg a mérlegelés, az elmélyült godolkodás, a hagyomáy értelmes átörökítéséek, esetleg az átmiősítéséek a kompeteciája mit ahogy az erkölcsi kompetecia, a felelősségvállalás kompeteciája és még sok más sem, de ez egy más kérdés). Úgy tűik, hogy midezekre a társadalomak, vagy mégikább a piacgazdaságak, ics kifejezett igéye. Így elvileg az írás és olvasás készsége gyakorlatilag arra szükséges, hogy a piac reklámhadjáratába e legyük süketek és vakok, tudjuk alkalmazkodi a tredhez, képesek legyük felfogi egy-egy írás üzeetét, ha máskét em, szociális cimkézés útjá. Az már túl költséges lee, esetleg túl költői, ha látók leék és vezérük em külső vola, haem belsőkből vezérele. Egyszóval az igéy az, hogy a külsővezérléshez szükséges alapfukcióik működjeek. Midezt jól tükrözi a emzetközi szóhaszálat, hisz a képzések megevezésére legtöbb helye az agol,,to trai szószármazékait haszáljuk, ami igazából, eredeti értelmét tekitve, közelebb áll az idomításhoz, mit az oktatáshoz vagy a eveléshez. És természetese midez tükröződik az iskolába, az oktatási redszerbe és a vele szembe támasztott igéyekbe. És mivel az iskola sem szolgálhat egyszerre két úrak, külööse em akkor, ha az egyik Buddha Majushri és a másik Mara, a jelelegi léthelyzet egyre rosszabb, mert a kibotakozó szellemi káosz és sötétség ayira elferdíti, hogy igazából a dötések agy része sokkal ikább szól arról, hogy Lucifert vagy Beliált, esetleg Lucifert vagy Leviathát szolgálja a redszer. Ugyaakkor a mai felgyorsult, áthuzalozott, digitalizált világukba egyre kisebb súlya va az egyéi tudásak, az egyéi látásmódak. Sokkal fotosabb a társadalom számára, és külööse a piac számára, hogy jó fogyasztóvá váljuk. Csakhogy a tudásalapú moder társadalomba seki sem lehet jó fogyasztó, ha em redelkezik kellő szitűműszaki, iformatikai ismeretekkel. Így fotossá vált, hogy a matematika, az iformatika és a természettudomáyok oktatását olyaá alakítsuk, hogy eek a célak is teljese megfelelje,

ELŐHANG 11 vagyis magyará fogyasztói és felhaszálói szite mideki tudjo hatékoya eligazodi. Ezt az igéyt mide lehetséges érvvel és ürüggyel alá szokás támasztai, mit a legtöbb magyarázatra szoruló dolgot. Két, széles körbe elfogadott motiváció, az Európai Bizottságak készült jeletések/felmérések és a pszihológia kutatások. Ezek szerit a populációak egyre kisebb része hajladó vállali az egzakt tudomáyok megértéséhez szükséges erőfeszítést, másrészt az absztrakt matematikai/tudomáyos tudás és aak alkalmazási készsége közt ics automatikus traszfer. Így ics más lehetőség, mit a matematikát és a természettudomáyokat alkalmazáscetrikusa taítai. Ezt ajálja ma a legtöbb szakmai fórum, ezt ajálja az Európai Bizottság és ezt várja a diáksereg is. Midezzel csak az a god, hogy a motiváció sátít és pot emiatt előre látható, hogy az alkalmazáscetrikusság bevezetése által sem oldható meg a reális probléma. A matematika fejlődésébe ugyais az alkalmazások midig is az egyik közpoti hajtóerő szerepét játszották. A másik hajtóerő viszot a matematika belső tisztaságigéye, ötörvéyűsége. A legtöbb egzakt, formális matematikai fogalmat, elméletet messze megelőzték a felmerült problémák megoldására haszált ituitív, heurisztikus godolatmeetek. Így valójába a matematika működéséek megértése magába foglalja a formalizálatla vagy kevéssé formalizált, ituitív godolatmeetek kristályosítását is. Ezt ugyaúgy taíthatjuk gyakorlatias, alkalmazáscetrikus feladatoko keresztül, mit teljese absztrakt köryezetbe. Ugyaakkor a léyeges részletek ugyaúgy láthatatlaok maradhatak alkalmazáscetrikus feladatok megoldása sorá is, mit absztrakt problémák tárgyalása közbe. Ebbe a kötetbe a Promotig Iquiry i Mathematics ad Sciece Educatio Across Europe FP7-es úiós projekt kereté belül haszált éháy tevékeységüket, taayagukat, oktatási ötletüket mutatjuk be. Ez a projekt valamit több más európai projekt, amelybe résztvettük) lehetőség számukra, hogy a matematika oktatásáról alkotott formalizálatla elképzeléseiket/tapasztalataikat mások számára is hozzáférhetővé, esetleg haszálhatóváalakítsuk. Céluk em kevesebb, mit a matematikáról és aak oktatásáról valami olyat felmutati, ami a projekteke, jeletéseke, ürügyeke és okoko túlmutatva a matematikáról, mit alapvető emberi tevékeységről szól.

. Bevezetés Az utóbbi évtizedbe egy ige aggasztó jeleséggel kell szembeézük. A techika századába egyre kevesebb fiatal mutat érdeklődést a matematikai és természettudomáyos pályák irát. Míg az egyetemet végzettek száma övekvőbe va Európába és a mi országukba is, addig a matematika és természettudomáyos szakokat választók száma csökke, sőt a bármilye tudomáyos karriert befuti vágyók száma is csökkeőbe va. Részletese elemzi ezt a helyzetet több erre a célra kievezett európai szakbizottság. A 004 áprilisába Brüsszelbe bemutatott Gago-jeletés szerit ekkor az EU-ba 5, 7kutató jutott 1000 főre, a tagságra váró országokba pedig átlagosa, 6 kutató. Ehhez képest a gazdasági és techológiai fejlődés fetartása legalább egy 8 kutatós átlagot igéyel, ami azt jeleti, hogy Európáak félmillióval több kutatásba dolgozó emberre va szüksége. Külööse rossz a helyzet atermészettudomáyok, ezek közt főkét a fizika és a matematika teré. Ezeke a területeke bizoyos európai országokba emcsak akutatók de a taítók száma sem elegedő. Más országokba még elegedő, de a közeljövőbe már em lesz az. A Gago-jeletésbe megjeleő MAPS- Mappig Physics Studets i Europe) taulmáy szerit 1997 és 00 közt 17 százalékkal csökket Európába a fizikába diplomázottak száma. A jeletés számos okot vizsgál és javaslatokat tesz a helyzet javítása érdekébe. A taításról, mit a jeleséget befolyásoló egyik fotos téyezőről a következőket állapítja meg: Az iskolába zajló matematikai és természettudomáyos oktatás egy,,saját világba zajlik, amely em tud a tudomáyos területeke zajló fejlődéssel lépést tartai. A diákok túl absztraktak érzékelik, mert alapgodolatokat próbál átadi megfelelő kísérletező, megfigyelő, értelmező háttér élkül. Abba az állapotba va, hogy túlyomóa téyszerű, ezáltal em eléggé figyelem- és érdeklődésfelkeltő. A diákok többsége irrelevásak és ehézek tartja. A 007-es Rocard- jeletés: Sciece Educatio Now megerősíti az előző jeletés megállapításait, sőt a helyzet súlyosbodásáról beszél. Ebbe a jeletésbe az egyik legfotosabb javaslat a kívácsiságvezérelt oktatás előtérbe helyezése. Kívácsiságvezérelt tauláso a jeletés szerzői azt a folyamatot értik, amely problémák 1

BEVEZETÉS 13 feltárására, kísérletek elemzésére, alteratívák megtalálására, kis kutatások megtervezésére, sejtések megfogalmazására, iformációgyűjtésre, modellalkotásra, koheres érvek megfogalmazására iráyul Lim, Davis, Bell 004). A matematikát taítók közössége problémaközpotú taításak evezi azt a módszert, amelybe a taítás egy megoldadó problémával kezdődik és eek megoldásához kell olya tudásra szert tei, amely lehetővé teszi aak megoldását. A kívácsiságvezérelt oktatás problémaközpotú megközelítés, de több aál, méghozzá akísérletezések tulajdoított fotosság által. A romá taügyi redszer állapotát tárgyaló 007-es Miclea- -jeletés is kitér számos a feti jeletésekbe említett problémára. Romáiaatudomáyos publikációk lakossághoz viszoyított száma szerit 11-szer kisebb teljesítméyt mutat az EU-s átlagál, ötször kisebbet Magyarországhoz és kétszer kisebbet Bulgáriához képest. Romáia iovációs együtthatója 006-ba kétszer kisebb volt Bulgáriáéál, háromszor Magyarországéál és ötször az EU-s átlagál és a legagyobb csökkeő tedeciát mutatja az összes felmért ország közt. A Miclea-jeletés is eek egyik okát a taügyi redszer jelelegi állapotába látja és aak radikális átalakítását javasolja. Sok más fotos megoldadó probléma mellett kiemelt fotosságot tulajdoít a kompetecia-alapú oktatásak. A jeletés szerit a jelelegi curriculum túlterhelt és irrelevás a mukapiac szempotjából. Az iformációátadás teljese előtérbe va a problémamegoldást segítő kompeteciák fejlesztésével szembe. Nem lehet tudi, milye tudást váruk el egy érettségizett fiataltól. Midez látóhatár élküli oktatáshoz és semmit em mutató belső felméréshez vezetett. A diákok pedig egyre kevésbéértékelek egy olya iskolaredszert, amely elzárkózik a tudás termeléséek és szállításáak jelelegi módozataitól. Midez a külöböző európai felmérésekből is látszik. A 003-as Pisafelméréseke és TIMSS-felméréseke Romáia a vizsgált 4 ország közt a 34-edik helyet foglalta el, a emzetközi átlagtól mide felmért kompeteciába lemaradt. Midez azt mutatja, hogy a matematika és természettudomáyos oktatás világszerte em túl jó helyzete áluk még rosszabb képet mutat. Ilye körülméyek közt valóba mide matematikát taító taárak el kell godolkodia, hogy melyek azok a módozatok, amelyekkel ezt a tedeciát csökketei lehete. Nagyo sok olya

14 BEVEZETÉS téyező va,amiatársadalom és főkét a politikum dötései múlik. Természetese valamilye egységes, jól alátámasztott fellépéssel talá valamilye mértékbe ezt is lehet befolyásoli, de ehhez előbb potosa és egységese kellee tudi, hogy mit szereték. Amit megtehetük és meg is kell tei, az taítási gyakorlatuk átalakítása olya módo, hogy valóba parterei lehessük taítváyaikak ataulás folyamatába és megváltozott életkörülméyeikből adódó godjaikra valamilye életképes megoldást próbáljuk találi. Olya problémákkal szembesülük a taítás sorá, mit: -azegyreerősödő hiáyos szövegértés, - az absztrakciós képesség egyre agyobb hiáya, - a yelvezet elszegéyedése és ezáltal az érzelmi és értelmi élet szegéyedése, - a sok forrásból jövő álladó igerlések való kitettség miatt jóval magasabb igerküszöb. Ezekek a gyerekekek erősebb impulzusokra va szükségük, ahhoz, hogy érdeklődésüket felkeltve aktív résztvevőivé váljaak a taulásak. Ahhoz, hogy ezt elérjük változatossá kell tei a módszereiket, és azokat a módszereket kell előtérbe helyezi, amelyek kötelezővé teszik a diák aktív részvételét a taórá. El kell érük, hogy a diák cselekvő módo reagáljo az őt érő kihívásokra. Ez külöbe az utóbbi időbe sokat hagoztatott kompetecia szó értelmezése is: az egyé belső késztetése, hogy cselekvéssel válaszoljo egy adott helyzet kihívására, tehát em azoos sem a tudással, sem a képességgel, magába foglalja ezeket, de em azoos velük Blomhøj és Jese, 003). A Rocard-jeletésbe kiemelt kívácsiságorietált oktatás olya módszer, amelyet érdemes lee redszerese haszáli a taítási folyamatba. Ez agymértékbe fejlesztheti a kompeteciákat a puszta ismerettel szembe. Eek gyökerei a problémaközpotú taítással azoosak. Ha megvizsgáljuk Eric Wittma elképzelését a problémamegoldás képességéek fejlesztésére voatkozóa, azt tapasztaljuk, hogy szite teljes mértékbe megegyezik a Rocard-jeletésbe foglaltakkal. Erich Ch. Wittma a problémamegoldási képességek fejlesztéséek tíz feltételét tartja alapvetőe fotosak : 1. Ismeretszerzés felfedeztető taítás és taulás révé.

BEVEZETÉS 15. A taulók ösztözése a diverges godolkodásra többféle megfogalmazás; több iráyból törtéő megközelítése ugyaaak a problémáak; a matematika külöböző területeiek összekapcsolása, a módszerek ötvözése; stb.). 3. Automatizált godolatmeetek kizárólagos alkalmazásáak háttérbe szorítása. 4. Nyitott problémák vizsgálata ics direkt kérdés, többféle kérdésfeltevés lehetséges, apró kutatási lehetőségek stb.). 5. Ösztöözi kell arra a taulókat, hogy maguk is fogalmazzaak meg problémákat. 6. Egy olya,,yelv kialakítása, amely lehetővé teszi a taulók számára, hogy godolataikat ki tudják fejezi. 7. Ituitív idoklások, sejtések ösztözése. Egy kicsi, de öálló lépés többet ér, mit egy bemutatott godolatmeet,,leféyképezése.) 8. Heurisztikus stratégiák taulása. 9. Kostruktív magatartás kialakítása a hibákkal szembe. 10. Diszkussziók, reflexiók, argumetációk ösztözése. Egyébkét magáak a problémáak a mibelétét is érdemes megvizsgáluk. Pólya György szerit:,,problémák va, tehát azt jeleti, hogy olya megfelelő teivalót keresük tudatosa, amely alkalmas valamilye világosa megfogalmazott, de közvetleül meg em közelíthető cél elérésére. Problémát megoldai a megfelelő teivaló megtalálását jeleti... a legjellemzőbb emberi tevékeység a problémamegoldás, a célratörő godolkodás, eszközök keresése valamely kitűzött cél eléréséhez. Ala H. Schoefeld a probléma fogalmáak értelmezésekor a,,problémaság kritériumát em a feladat, a kérdés boyolultságába keresi:,,az a ehézség a probléma fogalmáak értelmezésébe, hogy maga a problémamegoldás folyamata agyo függ a problémamegoldó személyétől. Azok a feladatok, amelyek megoldása komoly erőfeszítést kívá bizoyos taulóktól, mások számára lehetek egyszerű rutifeladatok, sőt egy matematikus számára ismeretei alapjá trivialitások. Eélfogva az, hogy egy feladat probléma-e, em magáak a feladatak a léyegi sajátossága, sokkal ikább az egyé és a feladat közötti kapcsolat jellemzője.

16 BEVEZETÉS A Pólya-féle értelmezés agyo rávilágít arra, hogy a problémamegoldás képessége és a kompeteciák megléte teljese egy tőről fakad, Schoefeld értelmezése pedig rávilágít arra, hogy a problémaszituáció egyéekét külöbözik. Biztos problémaszituációt jeleteek mideki számára a taítás sorá azok a helyzetek, amikor olya feladatot kell ellátuk, amely megoldására em elegedőek a már meglevő eszközeik és újabbakat kell találuk. Egy új fogalom vagy eszköz ilyeszerű bevezetése ahol az lehetséges) biztosa élméyszerűbb a tauló számára, mit a puszta közlés. Aproblémaközpotú matematikai oktatásba azoal felmerül az alkalmazás és modellezés problémája. Az utóbbi másfél évszázad örökös kérdése volt, hogy tiszta matematikát taítsaak-e vagy alkalmazáscetrikusat, s ha ige, milye mértékbe. A mérleg yelve hol erre, hol arra dőlt el, amikor valamely iráy túlsúlyba került. Az utóbbi évtizedekbe kutatások is folytak, több európai országba is ilye iráyba Dáia, Holladia, Németország, Svédország) és egyre ikább szükségesek tartják a modellezési tevékeységek jelelétét a matematikataításba. Ezt yilvávalóvá teszi aak szükségessége, hogy a matematikát is itegráljuk az élet más területei kifejtett tevékeységekkel. Hogya valósul ez meg az alkalmazás és modellezés által? Midkettő a matematikáak a külvilággal való kapcsolatát teremti meg. A modellezés a külvilág matematika iráyú kapcsolatot képviseli. Mikor modellezük, a külvilágba álluk és a matematika birodalmába keresük a:,,hol találhatok valamilye matematikai eszközt, ami segíthet megoldai ezt a problémát? kérdésre választ. Az alkalmazás a matematika külvilág iráyú kapcsolatot képviseli. Most a matematika birodalmába álluk és a külvilágba keressük a:,,hol haszálhatom a matematika világá kívül ezt az eszközt? kérdésre a választ. A matematikadidaktikusok körébe elég agy koszezus alakult ki abba, hogy a modellezés agyo fotos a matematikataításba. Két felfogás is létezik, vaak akik magáért a taításért tartják fotosak, ebbe a felfogásba a modellezés eszközkét jeleik meg, amely megköyítheti és támogathatja a matematikáak, mit tatárgyak a taítását. A másik felfogás azt vallja, hogy a matematikát úgy kell taítai, hogy olya kompeteciákat fejlesszük, amelyek a matematika alkalmazásába és a modellalkotásba segíteek.

BEVEZETÉS 17 Az általáos iskolába ez a dualitás természetes, hisze midkét aspektus agyo fotos, úgy kell egybeágyazi őket, hogy közbe még csak ki sem ejtjük a modell szót. Meg kell teremtei a gyerek számára a matematika világa és a saját világa közti összeköttetést, meg kell taítai haszáli a matematikát változatos kotextusokba és helyzetekbe, rákellébresztei, hogy midehol találkozik vele. Az,,alkalmazás és modellezés a matematika taulásáért elképzelés abból idul ki, hogy: a) Bizoyítaikelladiákak, hogy a matematikát az emberek sok okból és célból valóba haszálják, így egy gazdagabb képet alkotak a matematika természetéről és szerepéről b) Motivációt yújt a diákak, hogy matematikát tauljo, mivel segít külöböző attitűdök és elképzelések formába ötésébe. Amásik elképzelés szerit: a) A matematikai taítás és taulás egyik célja, hogy a diákokat felszerelje azzal a képességgel, hogy a matematikát ömaga határai túl alkalmazza. b) A matematika ömaga határai túli alkalmazásamidigmate- matikai modellek és modellezése keresztül törtéik. Időről időre megjeleik külöböző iskolaredszerekbe és áluk még ma is él) az az elképzelés, hogy ha valaki helyes és hatékoy módo tault,,tiszta matematikát, akkor képes lesz alkalmazi a matematikát más területeke és más kotextusokba további erre iráyuló taítás élkül. Ezzel szembe az utóbbi idők kutatásai azt mutatták ki, hogy ics automatikus traszfer a tiszta matematikai tudás és azo képesség közt, hogy ezt az egyé alkalmazi tudja olya helyzetekbe, amelyek még em teljese matematizáltak. Ezért, ha szereték, hogy diákjaik alkalmazási és modellezési kompeteciákkal redelkezzeek, mit a matematikai műveltségük egyik kimeetele, az alkalmazás és modellezés explicite kell szerepelje a matematikataítás programjába. Eek megvalósításához viszot a taárak képesek kell leie változatos taítási köryezetek létrehozására, olya helyzeteket és tevékeységeket kell kitalália, amelyek támogatják az alkalmazási és modellezési kompeteciák megjeleését külöböző evelési helyzetekbe más matematikai kompeteciákkal párhuzamosa. Ebbe a

18 BEVEZETÉS taár azoba külöböző problémákba ütközik: időbeosztási godok meyit taítsuk ezekből időbe?), a tartalmak megtervezése mit, milye modelleket?), a tevékeységek és felhaszált ayagok kiválasztása, a megfelelő egyesúly megteremtése az alkalmazás és a többi, fotos elméleti és más típusú matematikai tevékeység között. Ahogy a diák em képes boyolultabb helyzetekbe alkalmazi a matematikát, illetve megalkoti és kielemezi matematikai modelleket az elméleti matematikai ismereteiek automatikus következméyekét, ugyaúgy a taárt sem teszi képessé elméleti matematikusi vagy hagyomáyos matematikataári képzése arra, hogy megfelelőköryezeteket, helyzeteket, illetve tevékeységeket hozzo létre az alkalmazásra és modellezésre. Ehhez be kell ezt iktati a taári képzésbe, illetve a továbbképzések fotos részévé kellváliia eze taári képességek fejlesztése. Ugyaakkor fotos más országok már meglevő tapasztalataiak kielemzése és átvétele. Természetese a kompeteciaalapú, a kívácsiságvezérelt taításak és taulásak is megvaak a maga korlátai, alkalmazhatósági határai, és ezek majd hosszasabb alkalmazás és vizsgálatok utá derülek ki például a kompeteciák méréséek egyik problémája, hogy ugyaazok a kompeteciák külöböző emberekél em egyidőbe alakulak ki, de az, hogy em alakult ki afelmérés időpotjára, em azt jeleti feltétleül, hogy később sem válik operacioálissá). Kérdés az is, hogy bizoyos dolgok, mit a heurisztikus eljárások, a heurisztikus problémamegoldó képesség, milye mértékbe taíthatóak. Például a heurisztika taíthatóságát illetőe Kosztoláyi József arra a következtetésre jut 000-be ebbe atémába írt Phd-dolgozatába, hogy az csak bizoyos mértékbe taítható, de agyo haszos ezzel foglalkozi, mert bizoyos fejlődés elérhető megfelelő stratégiák jól feltett kérdésekkel iráyított taítása által. És természetese az, hogy ez csak bizoyos mértékig taítható em ok arra, hogy e tegyük azt. Ami biztos, és szité felmérések bizoyítják, a legfotosabb, hogy kik és hogya alkalmazzák ezeket a módszereket, azaz a lelkes, úgy szakmai, mit didaktikai szempotból jól felkészült, jóképességűés empátiával redelkező taárt em lehet semmivel helyettesítei, és mide módszere túl az ő személyes hozzáállása az, ami az egész taítási folyamatot a legagyobb mértékbe meghatározza.

BEVEZETÉS 19 Ugyaakkor a legkreatívabb és jó felkészültséggel redelkező evelőek, taítóak is szüksége va segítségre és együttműködésre, az újrégi) iráyzatok megismerésére, az alkalmazáshoz szükséges erőfeszítések megtermékeyítésére. Ezért válak egyre szükségesebbé a jól átgodolt és jól kivitelezett továbbképzések, illetve külöböző hazai vagy emzetközi projektekbe való részvételek és kooperációk. Egy másik ige fotos probléma a taköyvek, illetve segédayagok kérdése. Ami a Romáiába forgalomba levő taköyveket illeti, az a god velük, hogy még midig agyo hasolítaak feladatayaggal kiegészített egyetemi jegyzetekre; tétel, bizoyítás, példa stílusba való felvezetés jellemzi őket, s ha émely köyv el is tér valameyire ettől a stílustól ameyire ez egyáltalá lehetséges ahhoz, hogy megfelelje az elbírálási kritériumokak), mivel icseek taári kéziköyvek, a máshoz szokott taárok em igazá tudják haszáli ezeket, így ikább választják az általuk megszokott taköyveket. Egy más felfogásba szerkesztett, a kívácsiságvezérelt oktatást támogató taköyvkocepcióra lee szükség. Természetese ehhez ige agy többletmukára va szükség a szerzők részéről és egy agyobb stabilitásra a taügybe, modjuk miimálisa arra, hogy a taterv em változik évete vagy kétévete, mit azt az utóbbi időbe már megszoktuk. Egy tapasztalat margójára. 007 és 010 közt a kolozsvári BBTE és a Báthory Istvá Líceum a DQME Developig Quality i Mathematics Educatio) európai multikulturális projekt résztvevője volt. A projekt külööse a matematikai modellezéssel foglalkozott, és a három év alatt együttműködések alakultak ki bizoyos projektek egyidőbe törtéő lefuttatására. Mi Svédországgal és Dáiával együtt az Asthma-projekte dolgoztuk, ez a három év legkomplexebb matematikai és modellezési apparátusát igéylő projektek bizoyult, a komolyabb modellezési háttérrel redelkező Dáiá és Svédországo kívül csak Romáia és Magyarország vállalkozott a részvételre és a magyarországi résztvevők feladták egy adott poto. A modellezésre váróproblémaakövetkező volt: Az asztmába szevedő emberek jeletős háyadát teofiliel kezelik. A teofili vagy más evé a dimetilxati a metilxatiok csoportjába tartozó alkaloid drog akárcsak a koffei és a teobromi),

0 BEVEZETÉS amely előfordul például a zöld teába is. A teofili több gyógyszer kompoese akár koffeiel kombiálva is), a legtöbbet légzészavarok kezelésére ajálják. Az adagolás leggyakoribb módja az, hogy T órákét T rögzített) a beteg egy D mg-yi dózist kap. Egy pácies vérébe 60 mg teofilit fecskedeztek be és ezutá kétórákét mérték a teofiliek a vérbeli kocetrációját. A kapott adatok alapjá állították össze a következő táblázatot: Idő órákba) Kocetráció mg/l) 0 4 6 8 10 1 14 16 18 10,0 7,0 5,0 3,5,5 1,9 1,3 0,9 0,6 0,5 Feladatuk az volt, hogy szerkesszük matematikai modellt a felszívódásra és a modell, valamit a mérési eredméyek alapjá válaszoljuk a következő kérdésekre: 1. Hogya változik a teofili kocetrációja az idő függvéyébe?. Hogya kell rögzítei a D és T értékeket, ha azt szereték, hogy éháy ijekció utá a teofili kocetrációja 5mg/l és 15mg/l közt legye? 3. Hogya kell rögzítei a D és T értékeket ahhoz, hogy a teofili kocetrációja már az adagolás kezdetétől 5mg/l és 15mg/l közt legye, ha egy kezdeti S dózissal kezdük és utáa T órákét D dózist adagoluk? 4. Milye más téyezőket kell figyelembe vei? Alkossuk modelleket a következő esetekre: I. időegységekét a vérbe levő teofili rögzített p 1 százalékát haszálja el a szervezet; II. időegységekét a vér rögzített p 3 százaléka kerül a májba, avérből, illetve a májból az ott lévő teofili p 1 illetve p százaléka szívódik fel és a májba levő teofili p 4 százaléka kerül vissza a vérkerigésbe; III. időegységekét a vérbe levő teofili rögzített p 1 százalékát haszálja el a szervezet, és azadagolásmiatt időegységekét rögzített p meyiségű teofili érkezik a vérbe pl. pasztilla vagy ragtapaszos adagolás eseté); IV. időegységekét a vér rögzített p 3 százaléka kerül a májba, avérből, illetve a májból az ott lévő teofili p 1, illetve p százaléka

BEVEZETÉS 1 szívódik fel és a májba levő teofili p 4 százaléka kerül vissza a vérkerigésbe, ugyaakkor az adagolás miatt időegységekét rögzített p meyiségű teofili érkezik a vérbe pl. pasztilla vagy ragtapaszos adagolás eseté). Ahhoz, hogy a feltett kérdésekre válaszoljaak, a diákoktól elvártuk, hogy az adott modelleket a megadott adatokhoz igazítsák regresszióaalízist haszálva, majd kifejlesszék umerikus kísérletekkel és/vagy formális számításokkal) a kért gyógyszerezési sémákat. Mivel agyo komplex problémával álltuk szembe emcsak középiskolás diákokat, haem elsőéves egyetemi hallgatókat is bevotuk a mukacsoportokba. Mielőtt a tulajdoképpei modellezési probléma megoldására iráyuló tevékeységeket elkezdtük, éháy olya aktivitást kellett szervezük, amellyel a megfelelő hátteret biztosítottuk: -a középiskolás diákok számára alapvető matematikai aalízisbeli fogalmakat deriváltak, differeciálegyeletek), regresszió aalízist paraméter esztimáció, görbeillesztés), ugyaakkor speciális szoftverek haszálatát Excel, Matlab) taítottuk. -az egyetemi hallgatók számára csak regresszió aalízisbe és szoftverkezelésbe tartottuk foglalkozásokat. Ez 10 foglalkozást jeletett a középiskolás diákok számára és 4 foglalkozást az egyetemi hallgatók számára. Midez hagyomáyos iskolai köryezetbe zajlott. A tulajdoképpei modellezési tevékeység leboyolítására égy csoportot hoztuk létre, midegyik csoportak az egyik megadott modellel kellett dolgozia. A csoportok 3-4 egyetemi hallgatóból és -3 középiskolás diákból álltak. Mide csoportak volt saját számítógépe, amelye Excelbe végezhette a számításokat. Az eredméyek bemutatására egy videoprojektor állt a diákok redelkezésére. Az előkészítő tevékeységek sorá mide diák megismerkedett a modellekkel az azokat leíró differeciálegyeletekkel és azok megoldásaival), de em ismerték a kérdéseket, amelyek a végé válaszoliuk kellett. A tevékeységet három órásra terveztük, de csak öt és fél óra alatt készültek el és zajlottak le a bemutatók. Ezalatt az idő alatt bármilye precíze megfogalmazott techikai kérdést megválaszoltuk, de em befolyásoltuk a csapatokat a számításaik megtervezésébe és kivitelezésébe megpróbáltuk betartai a Tog

BEVEZETÉS által leírt szabályokat). A tevékeység azzal zárult, hogy mide csapat a saját Excel-táblázata alapjá egy bemutatót tartott. Nagyo taulságos volt számukra az egyes csapatok hozzáállása és az a mód, ahogya a problémát kezelték. Az első modellel dolgozók jól válaszolták meg az egyes kérdést az Excel görbeillesztési programját haszálták a megoldáshoz). A gyógyszer adagolási sémájuk egy része is helyes volt, de helytele sémákat is adtak. Az általuk megadott táblázat em tartalmazta rögzített T eseté a maximális és miimális adagokat, de helyes T értékek eseté az általuk megadott gyógyszeradag a megfelelő miimális és maximális adagok közt helyezkedett el. A kiszámításra iráyuló aalitikus meghatározást egy poto feladták és umerikus kísérletezéshez folyamodtak. Így sikerült adott T és D értékekre kiszámoli a kocetrációt a kt időpillaatba és több olya értéket kaptak, amelyre az adagolás helyes volt, de em vették észre a T megegedett felsőértékét, így helytele sémákat is alkottak. A csoport tagjai már félórás ötletgyűjtés utá ekifogtak a számításokak. A három órá át tartó muka alatt egyetle kérdésük sem volt. A prezetációjuk teljese világos volt, de sajos em tartalmazta a jeleség éháy kulcseleméta hosszútávúviselkedés periodicitását, a kezdőadag szükséges voltát és aak hatását). A tevékeység sorá számukra a legagyobb godot az jeletette, hogy em tudták a umerikus techikákat a formális kalkulussal ötvözi, így az eredméyekhez csak umerikus módszerekkel próbáltak eljuti. Amásodik csoport feladata attól volt ehéz, hogy rá kellett vola jöiük, hogy a meglevő adatok em elégségesek ahhoz, hogy helyes és elleőrizhető választ adjaak a feltett kérdésekre. Nem jöttek rá arra, hogy a specifikációk és adatok alapjá ez a modell em működtethető. Az egyedüli támpot, amivel a megadott adagolást elleőrizhették vola, az elméleti háttér egy mélyebb megértését igéyelte. A csapat erre em jött rá, túl furcsa és váratla volt számukra az, hogy a specifikációkat modellt) kell változtati, ahhoz, hogy a kérdésekre helyes, elleőrizhető válaszokat adhassaak, holott a matematikai modell mélyebb megértése ezt lehetővé tette vola. Midez azt mutatja, hogy em jutottak el e tevékeységük egy metakogitív szitjére. A harmadik mukacsoport volt a legsikeresebb. Ők ötvözték a umerikus módszereket az aalízis módszereivel. A legagyobb

BEVEZETÉS 3 lehetséges T értéket is megtalálták és umerikus kísérletekkel a miimális és maximális adagokatis. Ez a csoport több kérdést is feltett atevékeység sorá. Aháyszor többértelműséggel találkoztak vagy bizoyos aspektusokba em volt koszezus a csoport tagjai közt, kérdéseket fogalmaztak meg az ötleteikkel, problémájukkal kapcsolatba és taácsot kértek. Úgy godolom sikerességük ebből a agyo hatékoy muka- és együttműködési stílusból származott. Aegyedikcsoportúgy időbe, mit a válaszok tekitetébe a leggyegébbek bizoyult, aak elleére, hogy a megoldás kocepciója talá az őesetükbe volt a legjobb, de em tudták azt kivitelezi és em fordultak segítségért a hibáik egy részét is észrevették, de em tudták azt kijavítai. Atevékeységsorozat sok érdekes taulsággal zárult számukra: 1. Mivel diákjaik em jártasak ilye megközelítésekbe valós probléma+modellezés+statisztikai adatok+számítógéporietált megtervezés), gyakra képleteket próbáltak alkoti olya esetekbe is, amikor ez em volt lehetséges. Ebből azt a következtetést vohatjuk le, hogy bizoyos matematikai fogalmakat pl. függvéy, iverz függvéy, egyelet, egy feladat eredméye) újra kell vizsgáluk és esetleg úgy kiterjeszteük, hogy ez haszálhatóés haszos legye ilye helyzetekbe. A számítógépek haszálata a matematikaórák egy részé szükséges és elkerülhetetle. A romáiai curriculumak magába kellee foglalia a modellezést és a számítógépes szimulációt is.. A csapatmuka sokat segített a résztvevőkek abba, hogy sok járhatatla utat elkerüljeek a megoldás felfedezése közbe. A diákok véleméye az volt, hogy biztosa em midegyikük tudta vola öállóa, egyedül ugyaazt az eredméyt produkáli. Ez megerősíti McCartey 1990) a modellezésre szát idő öveléséek szükségességéről írt cikkéek azt a megállapítását, hogy az ilye tevékeységek em hatékoyak a diákok felmérésébe. 3. A modellezési tevékeység előkészítésekor rájöttük, milye ehéz olya taárokat találi, akik ilye jellegű tevékeységekbe hajladóak együttműködi. Ez az élméy meggyőzött arról, hogy a taárképzésbe szükség va modellezési és számítógép által támogatott matematika előadásokra, és a taártovábbképzésbe is ezekek a témákak fotos szerephez kell jutiuk.

4 BEVEZETÉS 4. A legfotosabb taulság az volt, hogy agyo aggasztó az, hogy egy komplexebb modellezési tevékeység sorá sok helyzetbe a diák vagy taár em redelkezik olya kritériumokkal, amelylyel validálhatá a modellt vagy a számításokat, ami ige komoly következméyekkel járhat képzeljük el egy rossz gyógyszer adagolási sémát a valós életbe). Éppe ezért ilye modelekkel csak akkor szabad foglalkozi, ha va elegedő idők a teljes letárgyalásukra és kijavításukra mit pl. a kettes csoport feladata esetébe), ellekező esetbe komoly félreértelmezésekhez vezethet. Mivel iskolai keretek közt az idő agyo szűk Nagy, 007), agyo jól meg kell godoli milye modellezési feladatokkal foglalkozuk, de mideképp úgy kell csiáli, hogy az alkalmazási korlátokat a diák láthassa. A feladat részletesebb megoldását az [1] köyvbe vagy a [4], [5] cikkekbe találhatjuk meg. A további fejezetekbe olya taayagokat, tevékeységeket igyekszük bemutati, amelyek valamilye szite) kivitelezhetők az iskolai keretek közt, külöösebb előkészület élkül. Ugyaakkor arra is igyekszük rávilágítai, hogy az aktuális taterv fejezetei teljes egészébe átstrukturálhatók a kívácsiságvezérelt matematikaoktatás elvei alapjá.

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1. Az alapfeladat 1. Feladat. Két település közti távolság 40 km. Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük, de egyidőbe em ülhetek midkette a bicikli. Gyalogosa a sebességük v 1 =5km/hés biciklivel v =0 km/h. Egyszerre idulak, ugyaarról a településről. Legalább meyi időre va szükségük ahhoz, hogy midkette a másik településre érkezzeek? Elképzelhetük egy valósághűbb kotextust is. Két biciklis egy túrá vesz rész, amely abből áll, hogy az A helységig voattal utazak, oa a B helységig biciklizek, majd B-ből voattal térek haza. Az A és B közti szakaszo egy C potba az egyikük biciklije haszálhatatlaá és javíthatatlaá) válik, pl. becsúszik egy szakadékba. A C és B távolsága 40 km, az A és C távolsága 60 km és B-ből 5 és fél óra múlva lee voatjuk hazafele. Elérhetik-e midkette ezt a voatot, ha a megmaradt bicikli egyszerre kette em ülhetek? A továbbiakba ezt a kotextust haszáljuk. Világos, hogya távolságot gyalogosa8 óra alatt lehete megtei, tehát ha az egyik gyalogosa megy, akkor em éri el a voatot. Ahhoz, hogy midkette 8 óráál kevesebb idő alattmegtegyék az adott távolságot, aak egy részét midkettő biciklivel kellee megtegye. Tehát azt érdemes csiáli, hogy midkette elidulak, az egyik gyalogosa, a másik bicikli, és aki a bicikli idult, az valahol útközbe otthagyja a biciklit a társáak. Esetleg megtehetik, hogy több kisebb szakaszra osztják az utat és többször cserélek. Így azt érdemes figyeli, hogy meyi utat teszek meg bicikli és meyit gyalog. Ha 5

6 AZ ALAPFELADAT valamelyikük olyakor hagyá el a biciklit, amikor a társa mögött va, akkor a célbajutás idejét csökketheték, ha még egy kicsit megy a biciklivel és em hagyja ott). Emiatt világos, hogy ha a bicikli em jut el B-be, akkor a meetidő em lehet miimális. Így ha x-szel jelöljük az egyik biciklis által gyalogosa megtett út hosszát, akkor ő 40 x távolságot tesz meg biciklivel és a társa x távolságot tesz meg biciklivel és 40 x távolságot gyalog. Emiatt a teljes távolságot t 1 = x 5 + 40 x, illetve t = x 0 0 + 40 x 5 idő alatt teszik meg. Például ha x =10, akkor t 1 =3, 5és t =6, 5, tehát 6, 5óra alatt midkette beérek. Ezzel persze em érik el a voatot. Ha x = 15, akkor t 1 = 4 1 és t 4 = 5 3, tehát így sem 4 érik el a voatot. Ha viszot x = 0, akkor t 1 = t = 5, és így elérhetik a voatot. További kísérletezéssel belátható, hogy x>0 eseté az átjutáshoz szité több, mit 5 óra szükséges, sőt az is észrevehető, hogy x-re ugyaazt a teljes időt kapjuk, mit 40 x- re x =5eseté t =4 1 és t 4 1 =5 3, míg x =30eseté t 4 =3, 5és t 1 =6, 5). Ezzel a gyakorlati feladatot meg is oldottuk, de a matematikai probléma megoldása em teljes. Igazoluk kell, hogy valóba legalább 5 órára szükség va eél kevesebb idő alatt em juthatak el B-be). Jó volaáltaláosa is megoldai a feladatot, vagyis a távolság és a kétfajta sebesség függvéyébe megtaláli a szükséges idő miimumát. Ha x<0, akkor x 40 x < 1és > 4, 0 5 tehát az összegről így em tudjuk eldötei, hogy 5-él kisebb vagy agyobb. Másrészt t = x 0 + 40 x 5 ha x<0 és t 1 = x 5 + 40 x 0 1 =8 x 5 1 ) =8 3x 0 0 > 5, 1 =+x 5 1 ) =+ 3x 0 0 > 5, ha x>0. Ez mutatja, hogy ha valaki a távolság feléél többet tesz meg gyalog, akkor több, mit 5 óra alatt ér B-be, tehát legalább

BICIKLIHIÁNYBAN 7 5óra szükséges ahhoz, hogy az adott feltételek mellett midkette megtegyék a 40 km hosszú útszakaszt. Látható, hogy egy lehetséges megoldás az, hogy az egyik gyerek megy 0 km-t biciklivel, majd lerakja a biciklit és gyalog megy tovább. A társa elidul gyalog és 0 km utá felül a biciklire, majd azzal megy tovább. Ez csak egy lehetséges megoldás, mert több váltással is kivitelezhető ugyaez. Ha az egyik gyerek csak 10 km-t megy biciklivel, otthagyja és 10 km-t megy gyalog, akkor, 5óra utá ér az út feléhez. Ez alatt a társa előbb megtesz 10 km-t gyalog, majd 10 km-t biciklivel, tehát őis, 5óra alatt éri el az út felét. Ha midezt megismétlik az út másik felé, akkor is 5 óra alatt érek célba. Látható, hogy végtele sok módo lehetséges kivitelezi a cseréket úgy, hogy összese 5 óra alatt jussaak B-be. A fogalmak tisztázása érdekébe írjuk le matematikai szimbólumokkal is, hogy mit jelet a szükséges idő miimuma. Ha t 1 és t akét gyerek átjutási ideje, akkor ahhoz, hogy midkette B-be érjeek t =max{t 1,t } idő szükséges. Tehát midkette { x t =max{t 1,t } =max idő alatt érek B-be. meghatározásához a mi max 0 x 40 5 + 40 x, x 0 0 + 40 x 5 Így az átjutáshoz szükséges idő miimumáak { x 5 + 40 x, x 0 0 + 40 x } 5 kifejezést kell kiszámítai. Az előbbi godolatmeet segítségével tehát azt igazoltuk, hogy { x mi max 0 x 40 5 + 40 x, x 0 0 + 40 x } =5. 5 Ismételjük meg az előbbi godolatmeetet általáosabb esetbe, amikor a sebességek v 1 és v em ismerjük a számértéküket, de v 1 <v ), illetve a távolság d. Ha x-szel jelöljükazegyikgyerekáltal gyalogosa megtett távolságot, akkor ő d x távolságot tesz meg biciklivel és a társa x távolságot biciklivel és d x-et gyalog. Így az }

8 AZ ALAPFELADAT átjutási idejük redre t 1 = x v 1 + d x v és t = x v + d x v 1. Tehát midkettőjük átjutásához szükséges idő { x t =max{t 1,t } =max + d x, x + d x } v 1 v v v 1 és ki kell számoli a mi max 0 x d { x + d x, x + d x } v 1 v v v 1 kifejezés értékét. Ha x d, akkor t = d 1 x 1 ) d d v 1 v 1 v v 1 és ha x d, akkor t 1 = d 1 + x 1 ) d + d v v 1 v v v v 1 v 1 v = d v 1 + v v 1 v v v 1 v 1 v = d v 1 + v v 1 v. Ez alapjá a t 1 és t maximumáak a legkisebb értéke potosa x = d eseté érhető elés ebbe az esetbe t = d v 1 + v, v 1 v tehát a két gyerek átlagos sebessége a d távolságra számolva éppe vátlag = v 1v v 1 + v, vagyis a v 1 és v harmoikus középaráyosa. Megjegyzés. Az előbbi feladat megoldása mutatja, hogy a harmoikus középaráyos valóba kifejezhet valamilye átlagértéket. Érdemes megemlítei más kotextust is, amelybe az átlagértéket a harmoikus középaráyossal számítjuk ki. Például ha egy buszjárat egy ap kétszer teszi meg ugyaazt a d hosszúságú útvoalat és a két alkalommal kapott átlagsebessége v 1, illetve v, akkor összese d távolságot tesz meg d v 1 + d v idő alatt, tehát az átlagsebessége d = d v 1 + d 1 v v 1 + 1 = v 1v. v v 1 + v

BICIKLIHIÁNYBAN 9 Fotos kihagsúlyozi, hogy mikor jeleik meg a harmoikus özéparáyos, mit átlagérték. Esetleg olya példákat is érdemes mutati, ahol valamilye meyiség átlagát más középaráyossal számtai, mértai, égyzetes) kell kiszámítai.. Egy lehetéges általáosítás és megoldása Az alapfeladat megoldása utá érdemes a diákokak a következő problémát megfogalmazi:. Feladat. Általáosítsuk az 1. feladatot! Fogalmazzuk meg miél több hasoló jellegű problémát, próbáljuk ragsoroli őket a ehézségük szerit! Gyártsuk valamilye stratégiát a boyolultabb esetek vizsgálatára! A diákok általába gyorsa megfogalmazak valamilye általáosításokat és gyakra meg is sejtik a megoldásaikat, esetleg valamilye hibás elméletet is gyorsa felvázolak. A jeleségek alapos megértése és a hibák kiküszöbölése érdekébe ajálott a megfogalmazott feladatok elemzése. A továbbiakba felsoroluk éháy lehetséges általáosítást és aak megoldását. A legegyszerűbbek tűőáltaláosítás, amikor több gyerek va és több bicikli. Általába ember k biciklivel egy adott d távolságot legkevesebb meyi idő alatt tud megtei, ha a feltételek maradak vagyis egy bicikli egyszerre legfeljebb egy ember ülhet). Aak érdekébe, hogy az általáos eset megoldását megsejthessük, érdemes előbb sajátos eseteket vizsgáli már csak azért is, hogy e egy sajátos esetből fogalmazzuk meg az általáos esetet). Előbb vizsgáljuk meg a következő eseteket: 3. Feladat. Egy d távolságot = 3 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie. Gyalog v 1 és bicikli v sebességgel haladhatak, de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet. Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a hárma? Mekkora az átlagsebességük, ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot?

30 AZ ÁLTALÁNOS ESET 4. Feladat. Egy d távolságot = 4 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie. Gyalog v 1 és bicikli v sebességgel haladhatak, de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet. Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid aégye? Mekkora az átlagsebességük, ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 5. Feladat. Egy d távolságot gyerekek N, ) a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie. Gyalog v 1 és bicikli v sebességgel haladhatak, de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet. Legkevesebb meyi idő alatt teheti meg a d távolságot mid az gyerek? Mekkora az átlagsebességük, ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 6. Feladat. Egy d távolságot = 3 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie. Gyalog v 1 és bicikli v sebességgel haladhatak, de csak két biciklijük va és egy bicikli egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet. Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a hárma? Mekkora az átlagsebességük, ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 7. Feladat. Egy d távolságot = 4 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie. Gyalog v 1 és bicikli v sebességgel haladhatak, de csak két biciklijük va és egy bicikli egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet. Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a égye? Mekkora az átlagsebességük, ha a legkevesebb idő alattteszik meg a távolságot? Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor bicikli és gyerek va, ahol N, 3. 8. Feladat. Oldjuk meg az előbbi feladatot = 5 gyerek és k =3 bicikli eseté! 9. Feladat. Oldjuk meg az előbbi feladatot tetszőleges N és k N eseté, ahol a gyerekek száma és k a biciklik száma, valamit >k. Megjegyzés. Természetese elégséges lee megoldai az utolsó feladatot. A többit gyakorlatilag csak azért fogalmaztuk meg külö,

BICIKLIHIÁNYBAN 31 hogy a sajátos esetekből való építkezést, az elméletalkotást aktiválhassuk a megoldásuk segítségével. A cél az utolsó feladat megoldása, de ha egyből csak azt ézzük, akkor agy valószíűséggel a diákok em jöek rá a megoldás kulcslépéseire. Ezért fotos tudatosítai beük, hogy,,kevés megfigyelés és sok okoskodás tévedésekhez vezet, sok megfigyelés és kevés okoskodás azigazsághoz. Carrel, Alexis). Mielőtt a boyolultabb eseteket megvizsgáljuk érdemes a már megoldott feladat megoldását úgy átíri, hogy a jelölésredszer meg a godolatmeet alkalmas legye az általáosításra. Eek érdekébe vezessük be szimmetrikus jelöléseket. Jelölje x 1 és x akét gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1,y a bicikli megtett út hosszát. Ezekkel a jelölésekkel x 1 +y 1 = d és x +y = d, mivel midkét gyerek megteszi a teljes távot. Ugyaakkor a bicikli is megteszi a teljes távot beláttuk, hogy em érdemes otthagyi meetközbe) és em érdemes a biciklivel visszafele sem mei mert ez biztosa időveszteséget hoz létre), tehát y 1 + y = d, így x 1 + x = d. Ha t 1 és t akét gyerek meetideje, akkor t 1 = x 1 + y 1 és t = x + y, v 1 v v 1 v tehát ha t =max{t 1,t }, akkor írhatjuk, hogy Az előbbiek alapjá t x 1 v 1 + y 1 v és t x v 1 + y v. t x 1 + x + y 1 + y, v 1 v vagyis t d 1 + 1 ). v 1 v Egyelőség potosa akkor teljesülhet, ha x 1 = x = y 1 = y = d. Ez elérhető úgy, hogy a távolság feléig az egyik gyerek megy a bicikli, leteszi, majd gyalogosa megy tovább. Eközbe a másik gyerek az út első felét megteszi gyalog, az út feléél elveszi a biciklit, majd azo megy tovább. Így a d távolság megtételéhez szükséges miimális idő

3 AZ ÁLTALÁNOS ESET d 1 + 1 ). v 1 v A megoldásak ez a leírása azért előyösebb, mert az optimális megoldás feltételeit és a végeredméyt megkapjuk a számolásokból. A3.feladatmegoldása. Jelölje x 1,x és x 3 ahárom gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1,y, valamit y 3 a bicikli megtett út hosszát. Ezekkel a jelölésekkel x i + y i = d, ha 1 i 3. Mivel a biciklit em érdemes meetközbe elhagyi és em érdemes a biciklivel visszafele mei, írhatjuk, hogy y 1 + y + y 3 = d, tehát x 1 + x + x 3 =d. Ha t 1,t és t 3 a gyerekek meetideje, akkor t i = x i + y i, 1 i 3, v 1 v tehát ha t =max{t 1,t,t 3 }, akkor írhatjuk, hogy Az előbbiek alapjá t x 1 v 1 + y 1 v t x v 1 + y v t x 3 v 1 + y 3 v 3t x 1 + x + x 3 + y 1 + y + y 3, v 1 v vagyis t d + 1 ). 3 v 1 v Egyelőség potosa akkor teljesülhet, ha x 1 = x = x 3 = d és 3 y 1 = y = y 3 = d. Ez elérhető úgy, hogy a távolság első egyharmadát 3 az egyik gyerek teszi meg biciklivel, a második egyharmadát egy másik gyerek és az utolsó egyharmadát a harmadik gyerek. Az út többi részé midhárma gyalogolak. Ebbe az esetbe az átlagsebesség 3 vátlag = v 1 + 1, v vagyis egy súlyozott harmoikus középaráyos.