Géptan HF -
Előszó A fenti feladatot a http://wwwuni-miskolchu/~gtbweb/tantargyak/geptanfeladat04pdfa internet - címen találtam Alább megkísérlem megoldani A feladat összetett az egyes részek külön előadás tárgyát képezhetik A képletek leezetését csak annyira részletez - zük amennyire a feladat kifejtése igényli Például a munkatétel a kötélsúrlódás alap - egyenlete stb a Fizika Mechanika stb tantárgyakban lettek előada Az a meglátásunk hogy ~ a feladat ábrája iszonylag nehezen értelmezhető kissé félreérthető; ~ szűkszaú az útmutatás Ezek kiegészítése bizonyára megtörténik az előadáson a gyakorlaton Kifejtés Először meghatározzuk az M ezőnyomatékot melynek hatására az m tömegű l - ke és az m tömegű ensúly sebességről lassula L ezési úton megáll ábra ábra Ehhez a munkatételt használjuk fel [ ] Ez kimondja hogy a rendszer ( 0 ) kezdő és ( ) égállapota között a mozgási energia ΔE megáltozása egyenlő a rendszerre ható erők W össz 0 munkájáal Képletben: E E E W ( ) össz 0 össz össz 0
3 Az ábrán pirossal színeztük a haladó mozgást égző zölddel a már nyugó kötélégi tömegeket Látjuk hogy az sugarú kötéldob alamint a fel - és letekeredő kötél közti tapadás miatt a csúszásmentesség feltétele: L ( / 3 ) s L L ( / ) azt fogalmazza meg hogy a φ szöggel elforduló kötéldobról letekeredő illete a rá feltekeredő kötél L hossza egyenlő a φ szöghöz tartozó s köríhosszal Toábbá ( / ) - ből idő szerinti deriálással a sebességekre kapjuk hogy ( 3 / ) ( 3 / ) - ből idő szerinti deriálással köetkezik a gyorsulásokra fennálló összeggés: a a a a ( 4 ) A toábbi elemzéshez bontsuk részeire a szerkezetet ld ábra! Emlékeztetőül: a kötél súlytalan nyújthatatlan és hajlékony ábra
4 Mozgási energia: ( 0 ) helyzet: ~ lke: E0 m ; ( 5 / ) ~ ensúly: E0 m ; ( 5 / ) ~ kötéldob ( 3 / ) - el is: O E0 dob O ; ~ összesen: O O E0 össz m m m m agy az O mred m m ( 5 / 3 ) redukált tömeggel is: E0 össz mred ( 5 / 4 ) ( ) helyzet: ~ lke: E m 0 0 ; ( 6 / ) ~ ensúly: E m 0 0 ; ( 6 / ) ~ kötéldob: E dob O 0 0 ; ( 6 / 3 ) ~ összesen: E 0 ( 6 / 4 ) össz
Munka: ~ lke: 5 ( 0 ) ( ) W0 G K L ; ( 7 / ) ~ ensúly: W0 K G L ; ( 7 / ) ~ kötéldob ( / 3 ) - mal is: W0 dob M M K K L M M K K K K L M W0 dob K K L ; ( 7 / 3 ) ~ összesen: M W0 össz G K L K G L K K L M L G K K G K K M L G G M W0 össz G G L Látjuk hogy a kötélerők munkája kiesik az összegezésnél Most ( ) ( 5 / 4 ) ( 6 / 4 ) és ( 7 / 4 ) - gyel: M 0 mred G G K L mred M M mred G G G G L L ( 7 / 4 )
6 majd utóbbiból: mred M G G ; L tekintettel a G m g G m g összeggésekre is ( 8 ) és ( 9 ) - cel: red M m m g L m ( 8 ) ( 9 ) ( 0 ) Másodszor kiszámítjuk a ezés során felemésztett energia E* nagyságát Ez megegyezik a ezőnyomaték munkájáal ( 0 ) és ( / 3 ) - mal kapjuk hogy mred L E* M m m g L mred m m g L m m gl mred L E* m m gl mred ( ) Harmadszor meghatározzuk a működtetéséhez szükséges F f erő nagyságát Ehhez tekintsük a 3 ábrát is! Eszerint a ezési nyomaték nagysága: d M Fs F s ( ) Most a Coulomb - féle súrlódási törénnyel ld a 4 ábrát is! : Fs F n Fs F n Majd ( 3 ) - mal is: s s n n ( 3 ) F F F F ( 4 ) Most ( ) és ( 4 ) - gyel:
7 3 ábra 4 ábra d M Fn F n ( 5 ) majd ( 5 ) - ből: F F M n n d Majd ( 0 ) és ( 6 ) - tal: ( 6 )
8 mred Fn Fn m m g d L agy a 3 ábra szerinti jelöléssel: D mred Fn Fn m mg d L ( 7 ) Látjuk hogy most a tuskókat nyomó F n és F n erők nagyságát k meghatároznunk Ehhez tekintsük a 4 ábrát melyet a [ ] és [ 3 ] munkák ábrái is ihlettek! Itt a szerkezet geometriáját alamint a reá ható külső és belső erőket ábrázoltuk Először is kimutatjuk / belátjuk hogy általában Fn F n ( 8 ) Ha mégis annak alami feltétele lehet amit szintén megkeresünk A számításos izsgá - lathoz bontsuk gondolatban a szerkezetet a ábrán jelölt és 3 jelű részekre! Ha a szerkezet egésze egyensúlyban an akkor részei is így csak a részek egyensúlyát izs - gáljuk a köztük fépő belső erőkre is ügyele Először együk úgy hogy a külső F f ezőerő ismert és ennek ggényében keressük az F n és F n erőket! A 3 jelű rész egyensúlya alapján: MC 0 Fk cos h Ff d 0 d F cos F h k f ( 9 ) Az jelű rész egyensúlya alapján: MA 0 Fk cosafn a 0 F F cos ; n k ( 0 ) most ( 9 ) és ( 0 ) - szal: d F F h n f ( ) A és 3 jelű részek együttes egyensúlya alapján: M 0 F cos a h F a F f 0 B k n f innen ( 3 ) - mal is: d Fn a Fk cosa hff f Ff a hff f h d Ff a hf h
9 ebből pedig a ábra szerint is: d h f d d f d f d Fn Ff Ff Ff h a a h a a h a d e d h e Ff Ff h a h d a d h e Fn Ff h d a ( ) ( ) és ( ) összehasonlításából köetkezik hogy ~ ( 8 ) általában alóban fennáll; ~ F n = F n ha e = 0 ; esetünkben ez nem áll fenn mert e > 0 ; ~ F n F n h e ha ; ( * ) d a ekkor: d Fn Fn Fn F f ( 3 ) h Minthogy a HF - ban az e adat nem szerepel ezért fondorlattal élünk: úgy esszük hogy ( 3 ) fennáll amit ( * ) indokolhat is Ekkor azonban d d F n F n F f 4 F f h h ( 4 ) Most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: d D mred 4Ff m m g h d L h D mred Ff 4 m m g d d L ( 5 ) A HF feladási lapján szereplő jelölésektől itt eltértünk Az áttérés az egyikről a másikra: ~ a ezés során felemésztett energia: E* E f ; ~ a nyomaték: M M f ; F F ~ a működtetéséhez szükséges erő: f m
0 Negyedszer: a kötél megcsúszás eni biztonsága a szakirodalom szerint [ ] [ 3 ] a köetkező képlettel számítható: K e 0 0 K A jelölések és elneezések: ~ K K : a kötélerők nagysága a lkéhez és az ensúlyhoz kapcsolódó kötél - égeken; ~ ε : az áthúzási tényező; ~ ε 0 : az erőátiteli tényező; ~ : a megcsúszás eni biztonság; ~ α : átfogási szög; ~ μ : súrlódási tényező A ( 6 ) képlet talán nem annyira közismert így érdekes lehet megbeszélni Ehhez tekintsük az 5 ábrát is! Ihletője: [ 4 ] ( 6 ) K K 5 ábra Itt a kötéldobon átetett kötélszakaszra ható erőket tüntettük fel ( Vannak elhanyagolt tényezők: a centrifugális erő a kötél hajlítómeresége stb ) Nyomatéki egyensúlyi O egyenlettel: M 0 K K ds 0 ; K K ds S ; ( 7 ) szaakban: a kötélégi erők különbsége az elemi súrlódó erők eredője Ha a kötél a dobon a megcsúszás határán an akkor a kötélsúrlódás Euler - képlete [ 4 ] szerint fennáll hogy K K e ( 8 ) max így ekkor ( 7 ) és ( 8 ) - cal:
S K K K e K K e ( 9 ) max max A kötél megcsúszással szembeni biztonsága S K e max e 0 S K K K K ( 30 ) egyezésben ( 6 ) - tal A ( 6 ) képlet használatához: ( 3 ) Ezen felül meg k még határoznunk a kötélerők nagyságának arányát Ezt az és a ábra alapján ismét a munkatétel égezzük ~ A lkére ( 4 ) - gyel is: m m 0 L L m a L a L és m L A ábra szerint: ( 3 ) ( 33 ) K G K m g K m g ( 34 ) majd ( 33 ) és ( 34 ) - gyel: m K m g m g L g L K m g g L ~ Az ensúlyra az előzőkhöz hasonlóan: m m 0 L L m a L ( 35 ) a L ( 36 )
és m L A ábra szerint: ( 37 ) G K m g K K m g ( 38 ) majd ( 37 ) és ( 38 ) - cal: m K m g m g L g L K m g g L ( 39 ) Ezután a két kötélerő aránya ( 6 ) ( 35 ) és ( 39 ) szerint: m g K g L m gl K m m g g L gl K m g L K m gl ( 40 ) Végül a megcsúszás eni biztonság ( 30 ) ( 3 ) és ( 40 ) szerint: e m g L m gl ( 4 ) Betűcsere az utolsó feladatrészhez: b Az előzőkhöz még: m m L L 0 0 e f Ezzel a feladatot elileg megoldottuk
3 Megjegyzések M A ( 3 ) és a ( 36 ) képletek szerint is ö ( 4 )! a gyorsulások nagysága: a a a L Eszerint a hajtás mozgása itt egyenletesen lassuló M A kötéldob szöggyorsulásának nagysága ( 4 ) és ( 4 ) szerint: a L DL ( 4 ) ( 43 ) M3 A ( 40 ) képlet szerint a kötélerők nagyságára ezéskor: K K M4 A kötélhajtást ( Seiltrieb ) egy más úton tárgyalják [ 5 ] és [ 6 ] - ban M5 Érdekes hogy a feladatban nem tettek különbséget elileg sem a ezéssel kapcsolatos alamint a kötélnek a dobon aló tapadásáal kapcsolatos súrlódási tényezők között: egyetlen μ értéket adtak meg Pedig a ( ) csúszásmentességi feltétel agy a ( 8 ) kötélsúrlódás - képlet is tapadó azaz nyugalmi súrlódást és súrlódási tényezőt tételez fel Ellenben a ezésnél csakis a mozgásbeli / csúszó súrlódás és súrlódási tényező jöhet szóba Meglehet an erre is elfogadható szakmai magyarázat Irodalom: [ ] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I kötet 6 kiadás Tankönykiadó Budapest 975 [ ] Greschik Gyula: Anyagmozgató gépek 3 kiadás Tankönykiadó Budapest 987 [ 3 ] Bocsánczy János: Bányászati szállítóberendezések Tankönykiadó Budapest 974 [ 4 ] http://wwwnymehu/uploads/media/hajdu_e_mechanika_ipdf [ 5 ] Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper Auflage Springer - Verlag Wien ~ New York 966 [ 6 ] Franz Ziegler: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper VEB Fachbucherlag Leipzig 984 Sződliget 0 december 8 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár