Oktatási Hivatal A 13/14. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny ásodik forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útutató 1.) Hőszigetelt tartályban légüres tér (vákuu) van, a tartályon kívüli szabad térben a levegő hőérséklete T = 3 K. A tartályt egy csappal ellátott vékony csővel egy szintén hőszigetelt hengerhez csatlakoztatjuk, elyben igen könnyű, hőszigetelő anyagból készült dugattyú zár el V = liter térfogatú levegőt, elynek nyoása és hőérséklete egegyezik a külső levegőével. A csapot óvatosan kinyitjuk, ajd a tartály belevegőzése után elzárjuk. Azt vesszük észre, hogy a dugattyú ajdne hozzáér a henger végéhez. a) Határozzuk eg a tartály térfogatát és a tartályba áralott levegő hőérsékletét! Nagyon hosszú idő elteltével (ivel a hőszigetelés ugyan igen jó, de ne tökéletes) a tartályban lévő levegő hőérsékleti egyensúlyba kerül a környezetével, T = 3 K hőérsékletű lesz. Ekkor a jobb oldali hengerben a kezdeti állapothoz hasonló helyzetet állítunk elő, vagyis a dugattyú V térfogatú levegőt zár el, aelynek hőérséklete egint T = 3 K és nyoása egegyezik a külső levegőével. A tartályt a hengerrel összekötő vékony csövön lévő csapot újra óvatosan kinyitjuk, ajd a tartály belevegőzése után azonnal elzárjuk. Most is azt vesszük észre, hogy a dugattyú ajdne hozzáér a henger végéhez. b) Határozzuk eg a tartályban lévő levegő hőérsékletét a csap elzárása után, valaint a V térfogatot! Megoldás. szivárog be: a) A csap szűk bejáratánál indig p a nyoás. A külső levegőből n ól p V nrt. (1) A tartályban kialakuló végállapot: A külső levegő által végzett unka: p V () nrt. W p V. (3) OKTV 13/14. forduló
A terodinaika I. főtétele szerint a dugattyútól balra levő gázennyiség belső energiaváltozása egegyezik a külső levegő által végzett unkával: ( ). p V V p V (4) Osszuk el az első egyenletet a ásodikkal, ajd a negyedikből fejezzük ki a térfogatok arányát: V T 7. () V T Innen a tartály térfogata: 7 V V 8 liter. (6) Tehát a bezárt levegő hőérséklete: 7 T T 4 K. (7) A hőérséklet tehát 4 K lesz. b) A tartályban T = 4 K-ről T = 3 K-re csökkent a levegő hőérséklete, tehát a nyoás p p (8) T T alapján p T p p lesz. Tegyük fel, hogy n anyagennyiségű gáz jut be a tartályba, ahol ezelőtt n anyagennyiségű gáz volt. A folyaat előtt az átáralott ennyiségre az T 7 állapotegyenlet: p V (9) n RT. A folyaat elején a bal oldalra vonatkozó állapotegyenlet: pv pv pv nrt. (1) 7 A gáz átáralása akkor fejeződik be, aikor a V térfogatú tartályban a nyoás eléri a külső nyoást. Ebben az állapotban: p V ( n n) R( T T). (11) A külső levegő által végzett unka (9)-et is figyelebe véve: W p V nrt (1). Ez a unka növeli a teljes gázennyiségnek a belső energiáját. A kezdeti- és végállapotokat a jobb és a bal részben figyelebe véve a belső energia változása: W ( n n) R( T T ) nrt nrt ( n n) R T. (13) A fenti összefüggésekből a következő rendezési lépésekkel juthatunk el a végeredényig: A (1) egyenlet alapján: 7 p V nrt. (14) Ezt (11)-ben figyelebe véve: 7 ( ) ( ) nrt n n R T T (1) OKTV 13/14. forduló
(1) és (13) felhasználásával nt n n (16) T adódik. (1) és (16) alkalazásával 7 T n n. (17) T T A (17)-et (16)-ban figyelebe véve, rendezve 4 T T 6,66 K 7 K adódik. Tehát közvetlenül a ásodik fellevegőzés után a 4 tartályban a hőérséklet 37 K lesz. A V térfogatot a (9), (1) és (17) egyenlet alapján határozhatjuk eg: Tehát a V térfogat,71 liter volt. n RT n V 7 T V V V,71 liter. p n T T 7 Megjegyzés: A száítás az a) kérdésre adott válasz foralizusával is egadható, aikor a belső energiát pv alakban fejezzük ki. Ebben az esetben először a V térfogatot kapjuk eg. ajd abból száíthatjuk ki a végső hőérsékletet..) Súrlódásentes, vízszintes felületen M kg töegű, α 3 hajlásszögű, kellően hosszú, rögzítetlen (trapéz alakú) lejtő nyugszik közvetlenül egy talajhoz rögzített lejtő ellett az ábra szerint. A lejtők hajlássíkja törés- és hézagentes, egybefüggő síkfelületet alkot. A rögzített lejtőről kiséretű (pontszerűnek kezelhető), 1kg töegű testet indítunk, ely v /s sebességgel érkezik a rögzítetlen lejtőre. A lejtő és a kis test közti súrlódás szintén elhanyagolható. a) Milyen agasra jut a kis test? b) Maxiálisan ekkora sebességre gyorsul fel a lejtő addig, aíg a kis test fel-le ozog rajta? c) Milyen a kis test pályája a talajhoz képest? (A görbe egyenletét ne szükséges egadni.) d) Mekkora a lejtő elozdulása addig, aíg a kis test a lejtőn fel-le ozog Megoldás. a) Aikor a kis test a legagasabb pontba jut a lejtőn, a két test közös vízszintes u sebességgel ozog. Mivel vízszintes irányú külső erők nincsenek, a kis test kezdeti lendületének vízszintes összetevője egarad: aiből adódik. v cos ( M ) u, (1) v cos u,7 M s OKTV 13/14 3. forduló
A kis test eelkedésének agasságát a echanikai energia egaradásának törvénye alapján határozhatjuk eg: aiből adódik. 1 v 1 ( ), M u gh () ( ) v u Mu v M sin h 1,1 g g M (3) A kis test tehát 1,1 éterrel eelkedik, azaz a lejtőn, étert csúszik fel. b) A kis test a talajhoz képest v sebességgel hagyja el a lejtőt, ainek vízszintes és függőleges összetevőit jelöljük v -szel és v -nal. Legyen v iránya hátrafelé (balra) utató, v iránya x y pedig lefelé utató. A lejtő ozogjon V sebességgel jobbra ebben a pillanatban. x y Vízszintes irányra érvényes a lendület-egaradás: v cos MV v x. (4) Az energia-egaradás alapján: 1 1 1 v v v. () MV ( ) x y A kényszerfeltétel, ai azt fejezi ki, hogy a test a lejtőn ozog, azaz a lejtőhöz rögzített koordinátarendszerből szelélve a lejtő hajlássíkjával párhuzaosan ozog: vy tg. (6) v V x Háro egyenletünk van (4-6), háro iseretlennel. Kifejezve a kért sebességet: adódik. A lejtő tehát axiálisan 1,44 /s sebességre gyorsul. V v cos 1,44 (7) M s A kérdések egválaszolásához ugyan ne szükségszerű, de egadjuk a kis test sebességkoponenseit is: M M,89 s vx v cos, y v v sin,. s OKTV 13/14 4. forduló
Vegyük észre, hogy V u, azaz a lejtő sebessége éppen a kétszerese annak, int aennyivel a lejtő és a kis test közösen ozgott, aikor a kis test a legfelső pontban volt (vagyis a töegközéppont vízszintes sebességkoponensének). Az is feltűnő, hogy a végállapotban kis test sebességének függőleges összetevője nagyságában egegyezik, irányában pedig ellentétes a kis test kezdősebességének függőleges összetevőjével. Csupán az érdekesség kedvéért jegyezzük eg, hogy a vízszintes irányt tekintve a kölcsönhatás olyan, int egy rugalas ütközés! A rugalas deforáció helyett az energia a kis test helyzeti energiájába vész el. A veszteség akkor axiális, aikor indkét test a töegközéppont vízszintes sebességével ozog, és a kis test eelkedése axiális. Utána ez az energia visszaalakul, és a kezdő és végállapot közt az ozgási energia és az ipulzus vízszintes koponense is egarad. Mivel a test függőleges sebességének a nagysága a kiindulási és a végállapotban azonos, a vízszintes irányhoz rendelhető ozgási energia külön egaradó ennyiség, azaz a vízszintes irányt tekintve egy rugalas ütközés zajlott le. c) A rendszer töegközéppontja sebességének a vízszintes összetevője állandó: v cos u,7. M s Ha beülünk az u sebességgel vízszintes irányban (jobbra) egyenletesen ozgó koordinátarendszerbe (K ), akkor a kis test lecsúszását úgy látjuk, hogy nulla kezdősebességgel indul a K -ben éppen álló lejtőn. Ebben a rendszerben a kis test egyenes vonalú pályán ozog egyenletesen gyorsuló ozgással, hivatkozva a jól isert klasszikus példa konklúzióira. Ha visszatérünk a laborrendszerre, akkor abban a kis test ozgása egy ferde irányú egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló ozgás és egy vízszintes irányú egyenletes ozgás szuperpozíciójaként áll elő. Ez pedig parabola pályát jelent, ahogy azt a ferde hajítás különböző eseteinél szátalanszor láthattuk. Mivel a kis test a lejtő alsó sarkánál van a ozgás kezdetekor is, eg a végénél is, ezért a K rendszerben a kis test ugyanazon az egyenesen ozog felfelé és lefelé. De ne ez az egyenes alkotja a parabola ferde tengelyét. A parabolának lesz olyan pontja, ahol az érintője (a sebesség iránya) erőleges a kis test gyorsulásának irányára. Tehát a parabola tengelye ezen a ponton egy át, és a tengely iránya egegyezik a gyorsulás, vagyis az eredő erő irányával. Már ebből is látszik, hogy a nehézségi erő ellett a kis testre (illetve a lejtőre) ható kényszererő is állandó. Mindezek alapján úgy is elképzelhetjük a ozgást, hogy 3 -os szögben v kezdősebességgel egy egy egyenes vonalú egyenletes ozgás, aire rárakódik egy ferde irányú egyenletesen gyorsuló ozgás. Ez az elképzelés is a parabola pályához vezet. d) A fentiekben láttuk, hogy a K rendszerben a gyorsulásvektor állandó. Ez ezt jelenti, hogy a ható erőknek, következésképp a kényszererőnek is állandónak kell lennie. Ha áttérünk a laboratóriui rendszere, ai K -höz képest egyenes vonalban egyenletesen ozog az erőknek változatlannak kell aradni. Tehát a kényszererő és a gyorsulások a teljes (felfelé-lefelé) ozgás során állandók, következésképp az alábbi (8-11) egyenletek a teljes kényszerozgás során érvényesek. A ozgásegyenletek: OKTV 13/14. forduló
a lejtőre: Nsin MA. (8) A kis testre vízszintes irányban: Nsin ax. (9) A kis testre függőleges irányban: g Ncos ay. (1) Kényszerfeltétel a gyorsulásokkal egfogalazva: ay tg a A. (11) x A (8) (11) egyenletekből a következő eredényeket kapjuk: Mgcos N 8, N M sin a y Msincos M sin, s, ax g 4,1 ( M )sin sincos g,86, A g,8 M sin s M sin Függőleges irányban a test h = 1,1 étert ozog a y =,86 /s gyorsulással, aihez h t,87 s (1) a y időre van szüksége. Az erők állandóságából, és abból, hogy a test a kiinduló agasságba jut vissza egyenesen következik, hogy a felfelé és a lefelé haladás ideje azonos. Mivel a gyorsulás állandó, a lejtő elozdulása: A s t 1,6. (13) Tehát a lejtő elozdulása 1,6. Az eredény paraéteres alakban: s. v s g M M sin ( ) tg. Megjegyzés: A fentitől különböző, fizikailag helyes egoldásokat is elfogadjuk. Egy alternatíva a d) kérdés egválaszolására: A függőleges ozgáshoz tartozó gyorsuláskoponens állandó, tehát ahol t a felfelé ozgás ideje. sin h v t, A teljes ozgás ideje t, ezalatt a lejtő által egtett út OKTV 13/14 6. forduló
V Vh s t Vt. v sin Figyelebe véve (3)-t: v s g M M sin ( ) tg 1,6. 3.) N = enetszáú, L= hosszúságú, R = c sugarú, egyenes tekercs tengelyében hosszú egyenes vezetőszál húzódik. A tekercsben I T = A erősségű egyenára folyik. A vezetékben folyó ára erőssége I V. A két ára hatására keletkező ágneses terek szuperpozíciója görbe vonalú indukcióvonalakat eredényez. a) Jelleezzük a kialakult ágneses ezőt! b) Gondolatban jelöljünk ki egy, a tekercs tengelyével párhuzaos, attól r = R/ távolságban húzódó egyenest, aelyet valaelyik indukcióvonal etsz. Mekkora legyen az egyenes vezetőszálban folyó ára erőssége, hogy ezt az egyenest ez az indukcióvonal éterenként 1-szer esse? Megoldás. a) Az egyenes tekercs hoogén, a tengelyével párhuzaos indukcióvonalakkal jellezett ágneses teret hoz létre. Erre szuperponálódik az egyenes vezető ágneses tere (indukcióvektorának nagyságát v -vel jelöljük), aelynek indukcióvonalai a vezetékre erőleges, azzal koncentrikus körök. A kiválasztott, a tekercs tengelyétől r = R/ távolságban húzódó egyenes azon pontjában, aelyben az eredő ágneses tér kiszeelt indukcióvonala etszi azt (indukcióvektorának nagyságát T -vel jelöljük), a tér ezen pontját két, egyásra erőleges indukcióvektor összegeként előálló eredő indukcióvektor () jellezi. Mivel az egyenes vezető tere állandó nagyságú indukciót hoz létre az r távolságban, valaint a tekercs belsejének inden pontjában állandó nagyságú és irányú indukcióvektorokat kelt, ezek vektorösszege egy olyan görbe entén helyezkedik el, aely egyenletes eneteelkedésű csavarvonal (helix), és tengelye az egyenes vezető. b) Valójában a kiválasztott indukcióvonal és a tekercs tengelyével párhuzaos, attól r távolságra húzódó etszéspontok vonal enti sűrűségét adta eg a feladat. Ebből kell visszakövetkeztetni a csavarvonal eneteelkedésére, és ebből a keresett ára erősségére. OKTV 13/14 7. forduló
A kétféle ágneses ező indukcióvektorai, valaint a szuperpozíciójuk az alábbi ábrán látható. Az eredő ező indukcióvonala egy, az r sugarú hengerre felcsavarodó vonal, aelynek egy kivágott és síkba kiterített részéről a eneteelkedés nagysága leolvasható: A halvány csavarvonal (képe) a tekercset, a halvány egyenes a vezetéket jelzi, a henger sugara r, aelyre felcsavarodik az eredő ező kiválasztott indukcióvonala. Ennek egy szeletét síkba kiterítve láthatjuk az alábbi ábrán: Innen leolvasható, hogy a etszéspontok d periodicitása (eneteelkedés) A szöget a két indukcióvektor aránya adja eg: r d. (1) tg () V tg. T Az előírt enetsűrűséget az n hányados jellezi, ahol esetünkben = 1, és a enetsűrűség n = 1, azaz a eneteelkedés d.. d 1 1 ()-t (1)-be írva: d r T r 3) V V Az egyenes tekercs által létrehozott indukció a tekercs belsejében indenhol: ITN T, L az egyenes vezetőé tőle r távolságban: T OKTV 13/14 8. forduló
I r V. Ezeket (3)-ba írva: A vezeték keresett áraerőssége: I I N d r r r r I N dl T T ITN L 4. V IV IVL T 1 A V 4r 4 11 1 1,37 A. Megjegyzés: Helyes egoldásként fogadható el az is, ha a éterenkénti 1 etszéspontot úgy értelezzük, hogy a szakaszt 11 részre osztjuk. Ilyenkor kissé eltérő eredényt kapunk. OKTV 13/14 9. forduló
Értékelési útutató A egoldásban vázoltaktól eltérő száításokra, aelyek elvileg helyesek és helyes végeredényre vezetnek az alkérdésekre adható teljes pontszá jár. 1. feladat a) Állapotegyenlet a kezdő állapotra, pont Annak észrevétele, hogy a folyaat végén a külső és belső nyoás egegyezik Állapotegyenlet a végállapotra, pont A külső légtér unkavégzése pont Terodinaika első főtétele pont A kért térfogat érték egadása A kért hőérséklet érték egadása b) A kihűlés után az új nyoás egadása Állapotegyenletek helyes felírása 3 pont A külső légtér unkavégzése pont A belső energiaváltozás helyes felírása pont A kért hőérséklet érték egadása pont A kért térfogat helyes egadása pont Összesen: pont. feladat a) Annak feliserése, hogy ebben az állapotban a relatív ozgás egszűnik Az ipulzus-érleg alkalazása Az energia-érleg alkalazása A agasság egadása b) Az ipulzus-érleg alkalazása Az energia-érleg alkalazása A kényszerfeltétel egfogalazása A kért sebesség egadása pont c) Helyes érvek felsorakoztatása, a parabola kiondása pont d) Mozgásegyenlet a lejtőre, pont Mozgásegyenlet a kis testre (vízszintes), pont Mozgásegyenlet a kis testre (függőleges) Kényszerfeltétel a gyorsulásokkal egfogalazva A végeredényhez szükséges gyorsulásértékek helyes egadása A ozgás időtartaának egadása A lejtő elozdulásának egadása Összesen: pont 3, feladat a) A kialakuló eredő ágneses ező indukcióvonalainak helyes jellezése 8 pont b) A eneteelkedés helyes eghatározása 4 pont A eneteelkedés helyes kifejezése az indukcióvektorokkal 3 pont OKTV 13/14 1. forduló
A eneteelkedés helyes kifejezése a vezeték és tekercs adataival A kertesett ára erősségének helyes eghatározása 3 pont pont Összesen: pont OKTV 13/14 11. forduló