Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ANALÍZIS elméleti összefoglaló és példatár Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 00.

Szerzők: Csikós Pajor Gizella magiszter, szakfőiskolai tanár, Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta Dr. Péics Hajnalka, rendkívüli egyetemi tanár, Újvidéki Egyetem, Építőmérnöki Kar, Szabadka Szaklektor: Ábrák: Fedőlapterv: Kiadja: Kiadásért felel: Felelős szerkesztő: Boros István magiszter, szakfőiskolai tanár, Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka Rožnjik Andrea magiszter, egyetemi tanársegéd, Újvidéki Egyetem, Építőmérnöki Kar, Szabadka Molnár Csikós Nándor Bolyai Farkas Alapítvány, Zenta Kormányos Róbert Vida János A tankönyv kézirata a Szülőföld Alap támogatásával készült.

Kedves Olvasó! Ezt a matematikakönyvet elsősorban a speciális matematikai gimnáziumban magyarul tanuló diákoknak szántuk, de szívből reméljük, hogy az általános gimnáziumokban és más középiskolákban is fel tudnak használni belőle feladatsorokat, akár a mindennapi oktatásban, akár az emelt szintű tanítás keretein belül, vagy az egyetemi felvételikre való felkészítés folyamán. Ez a tankönyvpótló kiadvány nem egy meghatározott évfolyam számára készült, mind a négy éven keresztül használhatják a tanulók, ugyanis összefoglaltunk benne minden olyan témakört a matematikai analízis tárgyköréből, melyet az évek folyamán a matematikai szakgimnáziumban tanítunk. Minden címszó alatt rövid elméleti összefoglaló után példák, illusztrációk, majd részletesen kidolgozott feladatsorok következnek. A Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium megalakulásának első napjától kezdve tanítjuk itt az Analízis és algebra tárgyat, és igyekszünk ebben a munkában gyümölcsöztetni a főiskolai és egyetemi oktatásban szerzett sokéves tapasztalatunkat. E könyv megírására az késztetett bennünket, hogy nem tudtunk tanulóinknak olyan magyar nyelvű matematika-tankönyvet ajánlani, amely teljes egészében felölelné a számukra előírt tananyagot. Ez sokban nehezítette a tanulók számára az önálló tanulást. A könyv a magyar nyelv és a matematikai szakkifejezések használatának igényességével íródott, ezzel is segítve a diákokat kétnyelvű környezetünkben a szép és helyes anyanyelv és szaknyelv használatára. Lektorunk, Boros István magiszter, a Szabadkai Műszaki Szakfőiskola tanára, számos értékes megjegyzéssel segítette munkánkat. A szöveget színes ábrákkal gazdagította és szemléletessé tette Rožnjik Andrea magiszter, a szabadkai Építőmérnöki Kar tanársegédje. Fogadják köszönetünket. Köszönetet mondunk még a Bolyai Farkas Alapítvány munkatársainak és a Szülőföld Alapnak, akik lehetővé tették és támogatták e könyv kéziratának elkészítését, és elektronikus megjelentetését. Kitartást és eredményes munkát kívánunk mindenkinek, aki e könyv segítségével szeretne elmélyedni a matematikai analízis csodálatos világában. Úgy gondoljuk, hogy aki velünk együtt kidolgozza az itt következő feladatsorokat, az nemcsak örömét fogja lelni a matematika szépségeiben, hanem a nagy költőhöz, Kölcsey Ferenchez hasonlóan, úgy gondolja majd, hogy: Lángerő kevésnek adatik; azonban minden egészséges lélek hosszú szorgalom által más tudományát, tapasztalatát, példáját magáévá teheti, helyesen ítélni, egybehasonlítani megtanulhat; s vizsgálat és gyakorlatnál fogva a teremtő lelket ha el nem érheti, hozzája legalább közelíthet. Zenta, 00. május A Szerzők

Tartalom. Halmazok, relációk, függvények.. Halmazelméleti alapfogalmak............................ A halmaz fogalma............................... Műveletek halmazokkal............................ Relációk, leképezések függvények).................. 6.. Elemi függvények................................... Lineáris függvény............................... Szakaszonként egyenesvonalú függvény................ 7... Hatványfüggvény..............................4. Másodfokú függvény.......................... 4..5. Eponenciális függvény......................... 4..6. Logaritmusfüggvény.......................... 44..7. Trigonometrikus függvények...................... 45..8. Árkuszfüggvények............................ 47..9. Hiperbolikus függvények........................ 50..0. Áreafüggvények............................. 5.. Elemi függvények és transzformációik..................... 54. Számsorozatok 59.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.................. 59... Sorozatok megadása.......................... 59... Sorozatok ábrázolása.......................... 60.. Korlátos és monoton sorozatok......................... 6.. Rekurzív sorozatok............................... 69... Számtani aritmetikai) sorozat..................... 69... Mértani geometriai) sorozat...................... 7... A Fibonacci-féle sorozat........................ 80.4. Differenciaegyenletek.............................. 8.4.. Véges differenciák............................ 8.4.. Állandó együtthatós lineáris differenciaegyenletek.......... 8.5. Konvergens sorozatok.............................. 88.5.. Sorozatok határértéke......................... 88.5.. Nullához és végtelenhez tartó sorozatok................ 9.5.. Műveletek konvergens sorozatokkal.................. 94.5.4. Néhány nevezetes sorozat határértéke................. 95.5.5. Végtelen mértani sor........................... Egyváltozós valós függvények 4.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak................ 4... A függvények megadása........................ 4... Valós függvények tulajdonságai.................... 5

II TARTALOM... Műveletek függvényekkel, az inverz függvény............... Függvények folytonossága........................... 9... A folytonosság definíciója....................... 9... Folytonos függvények.......................... 4.. Függvények határértéke............................ 4... Függvény határértékével kapcsolatos alapfogalmak.......... 4... Függvény határértékének tulajdonságai................ 45... Végtelenben vett és végtelen határérték................ 46..4. Néhány fontosabb határérték..................... 47..5. Valós függvény szakadáspontjai és aszimptotái............ 6 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 69 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai...................... 69 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség............... 69 4... A derivált differenciálhányados) fogalma............... 7 4... Differenciálási szabályok........................ 74 4..4. A differenciál fogalma......................... 89 4..5. Magasabb rendű differenciálhányadosok................ 90 4.. A differenciálszámítás alkalmazása....................... 9 4... A differenciálszámítás középértéktételei................ 9 4... A Taylor-formula............................ 94 4... L Hospital-szabály........................... 97 4..4. A függvény monotonitása és szélsőértékei............... 0 4..5. A függvény konveitása és infleiós pontjai.............. 0 4..6. Függvénykivizsgálás.......................... 5. Egyváltozós valós függvények integrálszámítása 9 5.. A határozatlan integrál fogalma........................ 9 5.. A határozatlan integrál alaptulajdonságai................... 4 5.. Integrálási módszerek.............................. 49 5... Helyettesítési módszer......................... 49 5... Parciális integrálás módszere...................... 56 5.4. Racionális és racionalizálható integrálok................... 65 5.4.. Racionális függvények integrálása................... 65 5.4.. Irracionális függvények integrálása................... 74 5.4.. Trigonometrikus függvények integrálása................ 79 5.4.4. Eponenciális és hiperbolikus függvények integrálása........ 8 5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai................ 8 5.5.. Arkhimédész módszere síkidomok területének meghatározására... 8 5.5.. A határozott integrál fogalma..................... 84 5.5.. A határozott integrál tulajdonságai.................. 87 5.5.4. Newton-Leibniz formula........................ 89 5.6. A határozott integrál alkalmazása....................... 94 5.6.. Síkidomok területszámítása...................... 94 5.6.. Forgástestek térfogata......................... 0 5.6.. Ívhossz számítás............................ 05 5.6.4. Forgástestek felszíne.......................... 06

TARTALOM III 5.7. Improprius integrál............................... 07 5.7.. Első típusú improprius integrál.................... 07 5.7.. Második típusú improprius integrál.................. 0 6. Differenciálegyenletek 6.. A differenciálegyenlet fogalma......................... 6.. Elsőrendű differenciálegyenletek........................ 6 6... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek........... 6 6... Változóiban homogén differenciálegyenlet............... 6... Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet................. 6 6..4. Bernoulli-féle differenciálegyenlet................... 6.. Másodrendű differenciálegyenlet........................ 9 6... Másodrendű lineáris differenciálegyenlet............... 9 6... Állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet...... 40 6... Állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet..... 44

. Halmazok, relációk, függvények.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hogy a halmaz különböző dolgok összessége. Ez nem definíció, hanem a halmaz más szavakkal való körülírása. A geometriában ugyancsak definíció nélkül, alapfogalomként használjuk például a pont, az egyenes és a sík fogalmát is. Valamely halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy hozzátartozik-e a szóban forgó halmazhoz eleme-e a halmaznak). A halmazt alkotó dolgok a halmaz elemei. A halmazokat nagybetűvel, elemeit pedig kisbetűvel jelöljük. Azt a tényt, hogy az A halmaz eleme, így jelöljük: A. Ha valamely y elem nem tartozik az A halmazba, akkor ennek jelölése: y / A. Egy halmazban egy elem csak egyszer fordulhat elő, de a felsorolás sorrendje tetszőleges lehet... Példa. Ha Q-val jelöljük a racionális számok halmazát, akkor: Q, / Q. Egy halmazt általában kétféle módon adhatunk meg: vagy felsoroljuk a halmaz elemeit, vagy a halmaz elemeinek pontos körülírását adjuk... Példa. A {,,, 4} és B { N < 5} az ötnél kisebb természetes számok halmazát jelöli... Példa. A C { R 0 < 4} halmaz a 0 és 4 közé eső valós számok halmazát jelöli. A 0 hozzátartozik a C halmazhoz, a 4 viszont nem... Definíció. Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt az B halmaz részhalmazának nevezzük, és ezt a kapcsolatot így jelöljük: A B vagy B A olv: A részhalmaza B-nek)... Definíció. Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, és a B halmaznak van olyan eleme, amely nem eleme A-nak, akkor az A halmazt az B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, és ezt a kapcsolatot így jelöljük: A B vagy B A olv: A valódi részhalmaza B-nek). A B A B

. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A természetes számok N halmazára és az egész számok Z halmazára igaz, hogy N Z. Minden halmaz részhalmaza önmagának, azaz A A... Definíció. A valós számok R halmazának olyan részhalmazait, melyek a és b két valós szám között vannak, intervallumoknak nevezzük. Nevezetesen: a, b) { R a < < b} nyitott intervallum, [a, b] { R a b} zárt intervallum, a, b] { R a < b} balról nyitott jobbról zárt intervallum, [a, b) { R a < b} balról zárt jobbról nyitott intervallum. A.. Példa C halmaza felírható intervallumként is, C 0, 4]..4. Definíció. Az A és B halmazt egyenlőnek nevezzük, azaz A B akkor és csakis akkor, ha A B és B A. Ha két halmaz egyenlő, akkor az elemeik megegyeznek. Az.7. Példa halmazaira tehát igaz, hogy: A B..5. Definíció. Üres halmazon az olyan vagy {} szimbólummal jelölt halmazt értjük, amelynek egy eleme sincs. Eszerint { }..4. Példa. Tekintsük az A { R + 0} halmazt. Mivel R a valós számok halmazát jelöli, és + 0 semmilyen valós számra nem teljesül, így az A halmaznak nincs eleme, azaz A üres halmaz. Ha figyelembe vesszük, hogy akárhogyan is adjuk meg az üres halmazt, mindig ugyanarról a halmazról van szó pontosan arról, amelyiknek nincs eleme), akkor nyilvánvaló, hogy csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Ha valamilyen halmazokról beszélünk, akkor általában ismertnek veszünk egy alaphalmazt, amelyből a szemlélt halmazok elemeit vesszük. Például, ha a páros természetes számok halmazát tekintjük, vagy a prímszámok halmazát szemléljük, akkor ezek a természetes számok N halmazának a részhalmazai. Hasonlóképpen bármilyen nyitott a, b) vagy zárt [a, b] intervallum a valós számtengelyen a valós számok R halmazának a részhalmazai. Ezt az alaphalmazt gyakran nem is említjük, de alapértelmezés szerint ismertnek vesszük. Nevezzük ezt az alaphalmazt univerzális halmaznak és jelöljük U-val..6. Definíció. A halmaz elemeinek számát a halmaz kardinális számának nevezzük. Az A halmaz kardinális száma jelölhető A, #A vagy CardA) módon. A halmazok jól szemléltethetők Venn-diagrammal, azaz zárt görbével határolt síkidommal, amelyben a halmazhoz tartozó elemek a síkidom belsejében levő pontok..5. Példa. Az A {,,, 4} halmaz Venn-diagrammal való ábrázolása: A 4

.. Halmazelméleti alapfogalmak... Műveletek halmazokkal Az alábbiakban olyan műveleteket értelmezünk, amelyek segítségével adott halmazokból meghatározott elemeket tartalmazó újabb halmazokat állíthatunk elő..7. Definíció. Az A és B halmazok unióján egyesítésén) azt a halmazt értjük, amelynek elemei az A vagy B halmazok legalább egyikének elemei, tehát A B { A B}. A B A B.6. Példa. Ha A {, 4, 6, 8} és B {n N n < 5}, akkor A B {,,, 4, 6, 8}. A definícióból nyílvánvaló, hogy A A B) és B A B). Az egyesítés művelete kettőnél több halmaz esetén is értelmezhető. Az A, A,..., A n halmazok unióját az n A A... A n szimbólummal jelöljük, és azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelyek az uniót alkotó halmazok közül legalább egynek elemei..8. Definíció. Az A és B halmazok metszetén közös részén) azt a halmazt értjük, amelynek elemei A-nak is és B-nek is elemei, tehát A B { A B}. i A i A B.7. Példa. Ha A {, 4, 6, 8} és B {n N n < 5}, akkor A B {, 4}. A definícióból nyílvánvaló, hogy A B) A és A B) B. A B.9. Definíció. Ha az A és a B halmazoknak nincs közös eleme, azaz A B, akkor azt mondjuk, hogy A és B diszjunkt halmazok. A közösrészképzés művelete kettőnél több halmaz esetén is értelmezhető. Az A, A,..., A n halmazok metszetét az n A A... A n szimbólummal jelöljük, és azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelyek a metszetet alkotó halmazok mindegyikének elemei. i A i

4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.8. Példa. Az A { R < } [, ) és B { R } [, ] halmazok intervallumok) uniója és metszete A B [, ] és A B [, )..0. Definíció. Az A és B halmazok különbségén azt a halmazt értjük, amely azokat és csakis azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem elemei, tehát A \ B { A / B}. A B A B A definícióból azonnal látható, hogy ha A és B diszjunktak, azaz A B, akkor A \ B A és B \ A B..9. Példa. Ha A {, 4, 6, 8} és B {n N n < 5}, akkor A \ B {6, 8} és B \ A {, }..0. Példa. Ha A { R < } [, ) és B { R } [, ] adott halmazok intervallumok), akkor A \ B [, ) és B \ A {}... Definíció. Legyen A az U univerzális halmaz részhalmaza. Ekkor A-nak az U-ra vonatkozó komplementerén értjük az U \ A halmazt, amelyet A vagy A módon jelölünk. U A A Könnyen belátható, hogy A \ B A B... Definíció. Legyen A a B halmaz részhalmaza. Ekkor A-nak a B-re vonatkozó komplementerén értjük a B \ A halmazt, amelyet A B módon jelölünk... Definíció. Az A és B halmazok szimmetrikus különbségén azt az A B módon jelölt halmazt értjük, amelynek elemei vagy csak az A halmaz vagy csak a B halmaz elemei, vagyis A B { A B}. A B A B

.. Halmazelméleti alapfogalmak 5.. Példa. Ha A {, 4, 6, 8} és B {n N n < 5}, akkor A B {,, 6, 8}. Könnyen belátható, hogy A B A B) \ A B)... Tétel. Az A, B és C tetszőleges halmazokra igazak a következő állítások:. A A A, A A A idempotencia);. A B B A, A B B A kommutativitás);. A B C) A B) C, A B C) A B) C asszociativitás); 4. A B C) A B) A C), A B C) A B) A C) az unió és a metszet kölcsönös disztributivitása); 5. A B B A kommutativitás), A B C) A B) C asszociativitás); 6. A A, A, A \ A, \ A, A A ; 7. A A involúció), A A, A A U; 8. A B A B, A B A B De Morgan-féle azonosságok)..4. Definíció. Az A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A halmaz hatványhalmazának vagy partitív halmazának nevezzük. Ennek jelölésére a P A) szimbólumot használjuk, tehát P A) {B B A}. Ha A elemeinek száma n, akkor P A) elemeinek száma n... Példa. Ha A {, { }} és B {,, }, akkor P A) {, { }, {{ }}, {, { }}} és P B) {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }}..5. Definíció. Az és y elemekből alkotott rendezett pár, y), ahol a rendezett pár első komponense, y pedig a második komponense. Rendezett párok egyenlősége a megfelelő komponensek egyenlőségét jelenti:, y) u, v) u y v. A rendezett pár fogalma általánosítható, így beszélhetünk rendezett n-esek ről is, amelyek alakja,,..., n ), ahol i az i-edik komponens i,,..., n). Rendezett n-esek között az egyenlőség komponensenkénti egyenlőséget jelent:,,..., n ) y, y,..., y n ) i y i i,,..., n)..6. Definíció. Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán az, y) rendezett párokból alkotott és az A B szimbólummal jelölt halmazt értjük, ahol A és y B, azaz A B {, y) A y B}. Ha A B, akkor az A A A jelölés használatos. Ha A vagy B üres halmaz, akkor A B. A Descartes-féle szorzat általánosítása: A A... A n {,,..., n ) A A... n A n }.

6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Példa. Ha A {, } és B {a, b, c}, akkor A {, ),, ),, ),, )}, A B {, a),, b),, c),, a),, b),, c)}, A A B {,, a),,, b),,, c),,, a),,, b),,, c),,, a),,, b),,, c),,, a),,, b),,, c)}. A A B a b c B... Relációk, leképezések függvények).7. Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Az A és B halmazok elemei közötti ρ relációnak nevezzük az A B halmaz bármely részhalmazát, azaz ρ A B. A relációt alkotó rendezett párok első komponenseinek halmaza a reláció értelmezési tartománya, a második komponensek halmaza pedig a reláció értékkészlete..8. Definíció. Legyenek A és B nemüres halmazok. Az A és B halmazok elemei közötti f A B relációt függvénynek leképezésnek) nevezzük, ha az A halmaz minden eleméhez a B halmaz egy és csakis egy elemét rendeli hozzá, azaz A) y B), y) f;, y ) f, y ) f y y. Ebben a leképezésben az A halmazt a függvény értelmezési tartományának domenjének), a B halmazt pedig a függvény képtartományának kodomenjének) nevezzük. A B halmaz azon elemei, amelyek e hozzárendelésben részt vesznek azaz a képelemek), a függvény fa) értékkészletét alkotják. Az értékkészlet tehát része a képtartománynak. A függvény értelmezésekor szokás az a szóhasználat is, hogy az f függvény az A halmazt a B halmazba képezi le. Ezért mondjuk a függvényt leképezésnek is. Ennek egyik jelölési módja: f : A B. Az f függvény értelmezési tartományának jelölése D f, az értékkészletének jelölése pedig R f. Az értékkészletet fa) módon is lehet jelölni. Ha a függvényt f jelöli és a D f, akkor az a-hoz rendelt R f -beli elemet fa) b jelöli, amit az f függvény a helyhez tartozó helyettesítési értékének nevezzük, és ezt jelölhetjük még f : a b vagy a, b) f módon is..4. Példa. Az A {,, } halmaz B {y, y, y, y 4 } halmazba való f {, y ),, y ),, y )} leképezése nyildiagrammal ábrázolva: y A y y B y 4

.. Halmazelméleti alapfogalmak 7 Az f függvény megadásához meg kell adni a D f értelmezési tartományt, az R f képtartományt és azt a hozzárendelési szabályt, amelynek segítségével minden D f elemhez meghatározható kiszámítható) a hozzátartozó y R f elem. Ha az értelmezési tartomány véges halmaz, akkor a függvény megadható a leképezést definiáló rendezett párok halmazával, a rendezett párok táblázatával, vagy egy formulával képlettel)..5. Példa. Legyen az A {,,, 4} halmaz az f leképezés értelmezési tartománya, értékkészlete pedig a B {a, b, c, d} halmaz. Mivel mindkét halmaz véges, ezért a leképezést megadhatjuk rendezett párok halmazával vagy táblázattal a következő módokon: f {, a),, c),, b), 4, d)}, f ) 4, a c b d 4 f) a c b d..6. Példa. Legyen A {, 0,,, } az f függvény értelmezési tartománya, Z a képtartománya, f) pedig a leképezés szabálya. Ekkor f ) 5, f0), f), f), f), s így fa) {5,,,, } az adott függvény értékkészlete, vagyis fa) Z. Ez az f leképezés rendezett párokkal és táblázattal is felírható: f {, 5), 0, ),, ),, ),, )}, f ) 0, 5 0 f) 5. Ha az értelmezési tartomány végtelen halmaz, akkor a függvény a leképezés szabályát kifejező képlettel adható meg..7. Példa. Legyen f) + az R halmaznak az R halmazba való leképezése. Ekkor az értelmezési tartománynak és az értékkészletnek is végtelen sok eleme van, tehát nem sorolható mind fel. A leképezési szabály segítségével azonban bármely eredeti elemhez meghatározható az f) képelem. Például, f0), fa) a + és így tovább..9. Definíció. Az f : A B és f : A B függvények egyenlőek, ha megegyezik az értelmezési tartományuk, azaz A A és ha f ) f ) minden A esetén..0. Definíció. Az f : A B függvény injektív vagy - leképezés), ha minden, A esetén igaz, hogy: f ) f )..8. Példa. Az A {,, } halmaz B {y, y, y, y 4 } halmazba való f {, y ),, y ),, y )} injektív leképezés nyíldiagrammal ábrázolva: y A y y B y 4

8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Definíció. Az f : A B függvény szürjektív vagy halmazra való leképezés), ha minden y B elemhez van olyan A elem, hogy y f)..9. Példa. Az A {,, } halmaz B {y, y } halmazra való f {, y ),, y ),, y )} szürjektív leképezés nyíldiagrammal ábrázolva: A y y B.. Tétel. Az f : A B függvény akkor és csak akkor szürjektív, ha fa) B, azaz a függvény értékkészlete egyenlő a képtartományával... Definíció. Az f : A B függvényt bijektívnek nevezzük, ha egyidejűleg injektív és szürjektív..0. Példa. Az A {,, } halmaz B {y, y, y } halmazra való f {, y ),, y ),, y )} bijektív leképezés nyíldiagrammal ábrázolva: A y y B y.. Definíció. Az i A : A A bijektív függvényt az A halmaz A halmazra való identikus leképezésének nevezzük, ha minden A esetén i A ). Ha egyértelmű, hogy melyik halmaz identikus leképezéséről beszélünk, akkor az identikus leképezés jelölésére az i jelölést használjuk..4. Definíció. Legyenek A és B adott halmazok. Ha az A halmaz bijektív módon leképezhető a B halmazra, akkor azt mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlő számosságúak vagy számosságilag ekvivalensek..5. Definíció. Egy halmazt végtelen számosságúnak vagy egyszerűen végtelennek nevezünk, ha van olyan valódi részhalmaza, amellyel számosságilag ekvivalens. Egy halmazt véges számosságúnak vagy végesnek nevezünk, ha nincs egyetlen olyan valódi részhalmaza sem, amellyel számosságilag ekvivalens... Példa. Tekintsük a természetes számok N halmazát és a páros természetes számok P halmazát, ahol P N. Legyen f : N P olyan leképezés, hogy fn) n. Mivel f bijekció, az N halmaz végtelen..6. Definíció. Egy halmazt megszámlálhatóan végtelennek nevezünk, ha a természetes számok halmazával számosságilag ekvivalens. Ha egy végtelen halmaz számossága nem megszámlálhatóan végtelen, akkor kontinuumszámosságról beszélünk.

.. Halmazelméleti alapfogalmak 9.. Példa. A természetes számok N, a páros természetes számok P, az egész számok Z és a racionális számok Q halmaza megszámlálhatóan végtelen, viszont a valós számok R halmaza, az egyenes pontjai, a kör pontjai kontinuumszámosságúak..7. Definíció. Egy halmazt megszámlálhatónak nevezünk, ha vagy véges, vagy megszámlálhatóan végtelen..8. Definíció. Legyenek A, B és C nemüres halmazok, f : B C és g : A B pedig adott függvények. Az A halmaznak a C halmazba való f g-vel jelölt leképezését összetett függvénynek vagy a függvények kompozíciójának, összetételének) nevezzük és f g)) fg)) módon értelmezzük minden A elemre... Példa. Ha f) + és g), R, akkor f g)) fg)) f ) +, R, g f)) gf)) g + ) + ), R. A fenti példából belátható, hogy f g g f általánosan nem érvényes, vagyis a leképezések kompozíciója nem kommutatív művelet... Tétel. Legyenek h : A B, g : B C és f : C D tetszőleges leképezések. Ekkor érvényes, hogy f g) h f g h), azaz a leképezések kompozíciója asszociatív művelet. Bizonyítás. Mindkét leképezés, f g) h és f g h) is, az A halmazon értelmezett. Továbbá minden A elemre igaz, hogy f g) h)) f g)h)) fgh))) fg h))) f g h))), amivel állításunkat igazoltuk. Ha f : A B függvény bijektív, akkor minden y B elemre van olyan A elem, hogy y f). Ez azt jelenti, hogy az f függvényt megadó rendezett párok komponenseit felcserélve ismét függvényt kapunk, ami lehetővé teszi az inverz függvény fogalmának bevezetését..9. Definíció. Legyen f : A B bijektív függvény úgy, hogy f) y, ha A és y B. Ekkor az f : B A leképezést az f függvény inverzének nevezzük, ha f y) minden y B esetén. Az f függvény f inverzfüggvénye szintén bijektív. Minden A elemre érvényes, hogy f f)) és minden y B elemre f f )y) y..4. Példa. Legyen az A {,,, 4} halmaz az f leképezés értelmezési ) tartománya, 4 értékkészlete pedig a B {a, b, c, d} halmaz. Az f bijektív függvény ) a c b d a b c d inverze az f függvény. Ezek f 4 f összetétele valóban az A halmaz identikus leképezése, mert ) ) ) a b c d 4 4 f f. 4 a c b d 4

0. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.5. Példa. Az f) + függvény inverzét változócserével a következőképen határozzuk meg: ha y +, akkor a változócsere után y +. Ebből y, azaz f ) az inverz függvény. Az f függvényre és f inverzére valóban teljesül, hogy f f)) f f)) f + ) +, f f )) ff )) f ) +. Az f) + függvény inverzét a definícióból kiindulva is meghatározhatjuk. Mivel a definíció szerint f f)), ezért f + ). Legyen + t, ebből pedig t. Ezt behelyettesítve az f + ) egyenlőségbe adódik, hogy f t) t, azaz t esetén f ) a keresett függvény..0. Definíció. A G f {, f)) A} halmazt az f : A B függvény grafikonjának nevezzük. y f) a grafikon egyenlete, ahol a független változó, y pedig a függő változó. Ha az f : R R bijektív függvény grafikonja megrajzolható, akkor az f grafikonja is megrajzolható, és ez az f függvény grafikonjának az y egyenesre vonatkozó tükörképe a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben. Például az f) + 4 függvény és f ) 4 inverzének grafikonja a koordinátarendszerben az alábbi ábrán látható. Megfigyelhető a két grafikon szimmetrikussága az y egyeneshez viszonyítva. y 4 y 4 4 4 y y 4 4.. Definíció. Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben egy vagy több) ismeretlen függvény és azok) független változói szerepelnek.

.. Halmazelméleti alapfogalmak FELADATOK. Legyenek f, f és f az A {, 4, 6, 8} halmaz B {a, b, c} halmazba való leképezései. Vizsgáljuk ki, hogy közülük melyek szürjektívek, azaz halmazra való leképezések, ha ) 4 6 8 f, f a b c a 4 6 ) 8 a b a b és f ) 4 6 8. a a a a Megoldás. A feladat megoldásához azt kell megvizsgálni, hogy az fa) értékkészlet megegyezik-e a B képtartománnyal. Mivel ezért f szürjektív. Mivel f A) {f ), f 4), f 6), f 8)} {a, b, c, a} {a, b, c} B, f A) {f ), f 4), f 6), f 8)} {a, b, a, b} {a, b} B, ezért f nem szürjektív. Mivel f A) {f ), f 4), f 6), f 8)} {a, a, a, a} {a} B, ezért f nem szürjektív.. Legyenek f, f és f az A {,, 5} halmaz B {p, q, r, s} halmazba való leképezései. Vizsgáljuk ki, hogy közülük melyek injektívek, - leképezések), ha ) ) ) 5 5 5 f, f p q r és f s r s. q q q Megoldás. A feladat megoldásához azt kell megvizsgálni, hogy vajon különböző eredeti elemek képelemei is különbözőek-e. Mivel f ) p, f ) q, f 5) r, így ha, akkor f ) f ), tehát az f leképezés injektív. Mivel f ) s f 5), így 5, de f ) f 5), tehát az f leképezés nem injektív. Mivel f ) f ) f 5) q, így 5, de f ) f ) f 5), tehát az f leképezés nem injektív.. Legyen f az A {a, b, c, d} halmaz B {,,, 4, 5} halmazba való leképezése. Oldjuk meg az f), f), f), f) 4 és f) 5 egyenleteket, ha ) a b c d f. 5 Megoldás. f) esetén a vagy b. f) és f) 4 esetén nincs megoldás. Ha f), akkor c. Amennyiben f) 5, d a megoldás.

. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 4. Legyen f az A {a, b, c, d} halmaz önmagába való leképezése. Oldjuk meg az f) a, f) b, f) c, f) d, ff)) ) b, fff))) d és a b c d ffff)))) a egyenleteket, ha f. b b d a Megoldás. f) a esetén d. Ha f) b, akkor a vagy b. f) c esetén nincs megoldás. Amennyiben f) d, a megoldás c. Ha ff)) b, akkor f) a vagy f) b, amiből pedig következik, hogy d vagy a vagy b. Ha fff))) d, akkor ff)) c, ezért most nincs megoldás. ffff)))) a esetén fff))) d, ezért szintén nincs megoldás. 5. Legyen f az A {,,, 4} halmaz önmagába való leképezése és f 4 4 a) Határozzuk meg az f és f 4 leképezéseket. b) Számítsuk ki mivel egyenlő f f f))), f f) f))4) és f f) f f))). c) Oldjuk meg az f f f))) 4 és az f f) f f))) egyenleteket. Megoldás. a) f f f) f f f f) ) )) ) 4 4 4 4 4 4 ) ) ) 4 4 4 f, 4 4 4 ). f 4 f f) f f) ) )) ) )) 4 4 4 4 4 4 4 4 ) ) ) 4 4 4 i. 4 4 4 b) f f f))) f ), f f) f))4) f 4), f f) f f))) f 4 ). c) Az f f f))) 4, azaz f ) 4 egyenlet megoldása. Az f f) f f))), vagyis f 4 ) egyenlet megoldása. 6. Adottak az A {,,, 4}, B {a, b, c, d} és C {p, q, r, s} halmazok, valamint az f : A B, g : B C és h : C A leképezések. Határozzuk meg a g f, h g, f h és h g f) leképezéseket, ha f 4 b c d a ), g a b c d s r q p ), h ) p q r s. 4

.. Halmazelméleti alapfogalmak Megoldás. ) ) ) a b c d 4 4 g f s r q p b c d a r q p s ) ) ) p q r s a b c d a b c d h g 4 s r q p 4 ) ) ) 4 p q r s p q r s f h b c d a 4 c b a d ) ) )) p q r s a b c d 4 h g f) 4 s r q p b c d a ) ) ) p q r s 4 4. 4 r q p s 4 7. Adottak az A {a, b, c} és B {0, 0, 0} halmazok, valamint az f : A B és g : B C bijektív leképezések. Határozzuk meg az f és g inverzfüggvényeket, majd a g f, f g, f f, g g függvénykompozíciókat, ha f a b c 0 0 0 ), g 0 0 0 c b a Megoldás. ) ) 0 0 0 a b c f, g, c b a 0 0 0 ) ) ) a b c 0 0 0 0 0 0 g f, 0 0 0 c a b 0 0 0 ) ) ) 0 0 0 a b c a b c f g, c a b 0 0 0 b a c ) ) ) 0 0 0 a b c a b c f f i c a b 0 0 0 a b c A, ) ) ) a b c 0 0 0 0 0 0 g g i 0 0 0 c b a 0 0 0 B. 8. Adott az A {,, 0,, } halmazon értelmezett f) 4 leképezés. Határozzuk meg az fa) értékkészletet, írjuk fel az f leképezést és vizsgáljuk ki, hogy az f : A fa) leképezés bijektív-e. Megoldás. Mivel f ) ) 4 0, f ) ) 4 7, f0) 0 4 4, f) 4 és f) 4, ezért fa) { 0, 7, 4,, }. Maga az f függvény így írható le: ) 0 f. 0 7 4 Mivel az értékkészlet is és a képtartomány is fa), ezért a függvény szürjektív. Mivel minden eredeti elemhez más-más képelem tartozik, így teljesül, hogy ha, akkor f ) f ), tehát az f leképezés injektív is, amiből az következik, hogy f bijektív. ).

4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 9. Adott az A {,, 0,, } halmazon értelmezett f : A R függvény az f) leképezési szabállyal. Határozzuk meg az fa) értékkészletet, írjuk fel az f leképezést és vizsgáljuk ki, hogy az f : A R és f : A fa) leképezések bijektívek-e. Megoldás. A függvényértékek f ), f ) 0, f0) 0, f) 0 és f), ezért az értékkészlet fa) {, 0, }. Az f függvény így írható le: ) 0 f. 0 0 Mivel fa) R, ezért az f : A R függvény nem szürjektív. Mivel, de f ) f), ezért az f : A fa) leképezés nem injektív, amiből az következik, hogy egyik leképezés sem bijektív. 0. Adott az A {,, 0,, } halmazon értelmezett f : A R függvény az f) 4 leképezési szabállyal. Határozzuk meg az fa) értékkészletet, írjuk fel az f leképezést és vizsgáljuk ki, hogy az f : A R és f : A fa) leképezések bijektívek-e. Megoldás. A függvényértékek f ) ) 4 0, f ) ) 4, f0) 0) 4 4, f) 4 és f) 4 0, ezért az értékkészlet fa) { 4,, 0}. Az f függvény így írható le: ) 0 f. 0 4 0 Mivel fa) R, ezért az f : A R függvény nem szürjektív. Mivel, de f ) f), ezért az f : A fa) leképezés nem injektív, amiből az következik, hogy egyik leképezés sem bijektív.. Bizonyítsuk be, hogy az f) 4 leképezési szabállyal definiált f : R R függvény bijektív, majd határozzuk meg az f ) inverzfüggvényt. Megoldás. Egy függvény akkor bijektív, ha injektív is és szürjektív is. Vizsgáljuk először az injektivitást! Ha, akkor és 4 4, amiből következik, hogy f ) f ), azaz az f függvény injektív. A szürjektív tulajdonság kivizsgálásához tekintsük az értékkészlet egy tetszőleges y R elemét, amelyet úgy kaptunk, hogy az értelmezési tartomány egy elemét az f függvénnyel leképeztünk, azaz y 4, valamely R elemre. Ebből y + 4, tehát az y R képelem az y + 4 eredeti elemnek a képe. Ez azt jelenti, hogy az értékkészlet minden egyes y képeleméhez hozzárendelhető egy eredeti elem, tehát az f) 4 leképezés szürjektív is. Mivel ezek szerint a függvény bijektív, ezért van inverze. Az inverz függvény meghatározása a definíció szerint: mivel f f)), ezért f 4). Legyen 4 t, ebből pedig t + 4. Ezt behelyettesítve adódik, hogy f t) t + 4, azaz t esetén a keresett függvény f ) + 4.

.. Halmazelméleti alapfogalmak 5. Legyen f) az f : R R függvény leképezési szabálya. Bizonyítsuk be, hogy az f függvény se nem injektív, se nem szürjektív, majd határozzuk meg a D f és R f halmazokat úgy, hogy az f függvény bijektív legyen. Keressük meg az így kapott függvény f ) inverzét. Megoldás. Az f függvény nem injektív, mert például az y 0 értéket a függvény -ben is és -ben is felveszi, azaz, de f ) f). Ugyanakkor a függvény nem szürjektív, mert -nál nagyobb értékeket az f függvény nem vesz fel. Így például nincs olyan valós érték, amelyre f) 4. Ha az értelmezési tartományt és az értékkészletet leszűkítjük D f [0, + ) és R f, ] tartományokra, akkor az f : D f R f függvény bijektív. Ekkor az f függvény leképezési szabálya f), ennek inverze pedig f ),, ].. Legyen f) 4 az f : R R függvény leképezési szabálya. Bizonyítsuk be, hogy az f függvény se nem injektív, se nem szürjektív, majd határozzuk meg a D f és R f halmazokat úgy, hogy az f függvény bijektív legyen. Keressük meg az így kapott függvény f ) inverzét. Megoldás. Az f : R R függvény nem injektív, mert például az y 0 értéket a függvény -ben is és -ben is felveszi, azaz, de f ) f). Ugyanakkor a függvény nem szürjektív, mert 4-től kisebb értékeket az f függvény nem vesz fel. Így például nincs olyan valós érték, amelyre f) 5. Ha az értelmezési tartományt és az értékkészletet leszűkítjük a D f [0, + ) és az R f [ 4, + ) tartományokra, akkor az f : D f R f függvény bijektív. Ekkor az f függvény inverze az f ) + 4, [ 4, + ). 4. Állítsuk össze az f ), f ), f ) és f 4) függvények összetételének kompozíciójának) táblázatát. Megoldás. Mivel az f ) i), így megállapíthatjuk, hogy f f k f k f f k, k,,, 4. A többi esetben a következő számításokat végezhetjük el: f f )) f f )) f ) ) f ), ) ) f f )) f f )) f f 4 ), f f 4 )) f f 4 )) f ) ) f ), f f )) f f )) f ) ) f 4 ), ) f f )) f f )) f f ),

6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK f f 4 )) f f 4 )) f )) ) f ), f 4 f )) f 4 f )) f 4 ) f ), ) f 4 f )) f 4 f )) f 4 f ), f 4 f 4 )) f 4 f 4 )) f 4 ) f ), A keresett táblázat: f f f f 4 f f f f f 4 f f f f 4 f f f f 4 f f f 4 f 4 f f f 5. Legyen az f ) és f n+) f f n )), n N. Számítsuk ki az f 009 00) függvényértéket. Megoldás. ) f ) f f )) f ) f ) f f )) f f 4 ) f f )) f ), f 5 ) f f 4 )) f f )) f ),, i), f 6 ) f f 5 )) f f )) f ) i), és így tovább. Ebből következik, hogy f n ), f n+ ) és f n+). Mivel 009 699 +, ezért f 009 ) f 699+ ) és f 009 00) 00 00 009 00. 6. Ha az f n ), n N függvények sorozatát az f ), f ), f n+ ) f n+ f n )), n N szabállyal képezzük, akkor számítsuk ki mennyivel egyenlő f 00 00). ) Megoldás. f ) f f )) f, ) f 4 ) f f )) f f ),

.. Halmazelméleti alapfogalmak 7 f 5 ) f 4 f )) f 4 ), ) f 6 ) f 5 f 4 )) f 5, ) f 7 ) f 6 f 5 )) f 6 f ), ) f 8 ) f 7 f 6 )) f 7 f ), f 9 ) f 8 f 7 )) f f )) f ), és így tovább. Észrevehető, hogy bár az identikus leképezés nem jelenik meg, mégis kialakult egy hatos ciklus. Az f 7 ) f ) és f 8 ) f ), ami a ciklus újra indulását jelenti az f 6 ) függvény után. Mivel 00 6 5, ezért f 00 ) f 6 ) és f 0000) 00. 7. Legyen f ) + ) + és f n+) f f n )), n N. Számítsuk ki az f 00 ) értékét. Megoldás. + ) f ) f f )) f + ) +, ) + f ) f f )) f + + + ) +, + ) + f 4 ) f f )) f + ) +, f 5 ) f ) + ) +, ) f 6 ) f f 5 )) f + ) + +, f 7 ) f f 6 )) f + + ) +, ) + f 8 ) f f 7 )) f i), ) + ezért ) f 9 ) f f 8 )) f i)) f ), f 0 ) f f 9 )) f f )) f ),

8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK és így tovább. Ebből következik, hogy minden n N esetén, f 8n ), f 8n+ ) + ) +, f 8n+) +, f 8n+ ) + + + ) +, f 8n+4), f 8n+5) + ) +, f 8n+6 ) +, f 8n+7) + ) +. Mivel 00 8 5 +, ezért f 00 ) f 8 5+ ) f ) + és f 00 ) 0. 8. Oldjuk meg az f ) 5 függvényegyenletet. Megoldás. Vezessük be a t helyettesítést. Ebből t +. Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket az f ) 5 függvényegyenletbe adódik, hogy ft) t + 5 t 7. Visszatérve t helyett az független változóra kapjuk, hogy f) 7. 9. Oldjuk meg az f + ) + függvényegyenletet, ha 7. + 7 Megoldás. Vezessük be a + t helyettesítést. Ebből t. Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket az f + ) + függvényegyenletbe adódik, hogy + 7 ft) t + t + 7 t t + 5, illetve visszatérve az független változóra, f) + 5, 5. 0. Oldjuk meg az f ) 4 + függvényegyenletet. Megoldás. Vezessük be a t helyettesítést. Ebből t +. Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket az f ) 4 + függvényegyenletbe adódik, hogy ) t + ft) 4 t + + t + t +, illetve, hogy f) + +.

.. Halmazelméleti alapfogalmak 9. Legyen a tetszőleges valós szám. Ha f + a) + + a, akkor határozzuk meg mennyi f a). Megoldás. A feladatot két lépésben oldjuk meg. Először meghatározzuk az f) szabályt, majd kiszámítjuk az f függvény a helyen vett helyettesítési értékét. Az + a t helyettesítésből t a, ahonnan következik, hogy illetve hogy Az f függvény értéke a-ban ft) t a) + t a) + a t + a)t + a, f) + a) + a. f a) a) + a) a) + a + 4a) + 4a a.. Oldjuk meg az f ) + + Megoldás. Vezessük be a + t helyettesítést. függvényegyenletet, ha,. Ebből + t ), ahonnan rendezés után az t + kifejezést kapjuk. t Következik, hogy t+ t ft) t+ + t t, t vagyis f),. ). Oldjuk meg az f) + f függvényegyenletet, ha. Megoldás. Vezessük be az t helyettesítést. Ekkor t ), ahonnan rendezés után t t. Ezeket behelyettesíve a fenti egyenletbe adódik, hogy ) t f + t f t). t t A kapott egyenletben nevezzük át a t változót -re. eredetivel együtt a következő egyenletrendszert adja: f) + f ) ) f ) + f Az így kapott egyenlet az

0. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A második egyenletet beszorozva )-szel, a következő egyenletrendszert kapjuk: f) + f f ) f ) ) A két egyenletet összeadva kapjuk, hogy amiből ) f ), + ) f) ), rendezés után pedig a keresett függvény alakja f) ),. 4. Oldjuk meg az adott függvényegyenletet, ha, : f ) + + f ). + Megoldás. Vegyük észre, hogy ha Ugyanakkor, ha a helyettesítés + t, akkor + t és + t t. + t, akkor + t és t + t. Mindkét helyettesítést alkalmazva az adott egyenletre, a következő egyenletrendszert kapjuk: ft) + f f t) + f ) t ) t + t t t + t

.. Halmazelméleti alapfogalmak A második egyenletet beszorozva )-vel, majd a két egyenletet összeadva, rendezés után kapjuk a ft) + t t + t + 4 t egyenletet, amiből illetve áttérve az változóra, a megoldás ft) 4t + 5 t ), f) 4 + 5 ),. 5. Oldjuk meg az adott függvényegyenlet-rendszert, majd határozzuk meg az f g)) függvénykompozíciót, ha : f f ) ) + g + ) g + ) Megoldás. Összeadva a két egyenletet, rendezés után adódik, hogy ) f. Ha és f t) t, akkor t t t t, vagyis f) ). Vonjuk ki az egyenletrendszer első egyenletéből a másodikat. Ekkor rendezés után kapjuk, hogy g + ). Ha és + t, akkor t g t) t 4, vagyis g). 4 A keresett függvénykompozíció pedig ) f g)) fg)) f 4 4 ) ) 5). 4

. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Elemi függvények A következőkben azokkal a függvényekkel ismerkedünk meg, amelyekre később az általánosabb függvények vizsgálatát alapozni fogjuk. Mivel ezek a függvények már az elemi matematikában is szerepelnek, ezért elemi alapfüggvényeknek nevezzük őket. Azokat a függvényeket amelyek az elemi alapfüggvényekből a négy alapművelet összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és az összetett függvény képzésének véges számú alkalmazásával nyerhetők, elemi függvényeknek nevezzük. Az alábbi fejezetekben bemutatjuk az elemi alapfüggvényeket és foglalkozunk néhány fontosabb elemi függvénnyel.... Lineáris függvény.. Definíció. Legyenek a és b tetszőleges valós számok. Azt az f : R R valós függvényt, melyet az f) a + b hozzárendeléssel adunk meg, lineáris vagy elsőfokú) függvénynek nevezzük. A lineáris függvény minden valós számra értelmezett és minden valós értéket felvesz, azaz értelemzési tartománya D f R, és értékkészlete is ugyanez, vagyis R f R. Az f lineáris függvény grafikonja a G f {, y) R R és y a + b} ponthalmaz, amely a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben mindig egy egyenes. Ha a 0, akkor a lineáris függvény f) b alakú. Mivel ebben az esetben a képletben nem szerepel az független változó, ezért ezt a függvényt konstans függvénynek nevezzük. A konstans függvény minden egyes pontjának ordinátája y-koordinátája) b-vel egyenlő, ami azt jelenti, hogy grafikonjának minden egyes pontja b távolságra van az -tengelytől, ezért az y b egyenletű függvénygrafikon egy vízszintes helyzetű, azaz az -tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg. y y b, b 0 y b M,b M,b y b, b 0 y b, b 0 Ha M, y ) és M, y ) az y b egyenes különböző pontjai, ahol és olyan valós számok esetén, hogy <, y y b lesz érvényes. Az ilyen helyzetű egyenes se nem növekszik, se nem csökken, hiszen bármely valós számra ugyanazt az értéket veszi fel. Az f : R R, f) b konstans függvény se nem injektív, se nem szürjektív, tehát nem is bijektív, ezért nincs inverz függvénye.

.. Elemi függvények Legyen most a 0. Ekkor az f) a + b lineáris függvény bijektív és grafikonja egy ferde helyzetű egyenes, amelynek egyenlete y a + b. Felvetődik a kérdés, hogy vajon a sík bármely egyenese egy lineáris függvény grafikonja-e? A válasz nem, ugyanis az m egyenletű függőleges helyzetű, azaz y-tengellyel párhuzamos egyenesen olyan pontok találhatók, mint az m, y ) és m, y ). Ez pedig azt jelenti, hogy az m hozzárendelési szabály nem tesz eleget a leképezés definíciójának mivel egy eredetihez nem csak egy értéket rendel hozzá), így nem is függvény. y y y m,y m,y m m Az f) a+b, a 0 lineáris függvény minden valós számra értelmezett, azaz D f R. Az f függvény értéke nullában egyenlő a lineáris függvény állandó tagjával, azaz f0) b. Az f függvény grafikonján tehát mindig rajta van a 0, b) koordinátájú pont, ami egyben azt is jelenti, hogy az y a + b egyenes a b pontban metszi az y-tengelyt. Azt a pontot, ahol az y a+b egyenes metszi az -tengelyt, az f függvény nullahelyének nevezzük. Mivel ebben a pontban y 0, így b a. Ezért N b ) a, 0 az f) a + b lineáris függvény nullahelye. Az f függvény előjele az a konstans előjelétől függ. o Legyen a > 0. Az f függvény pozitív, azaz grafikonja az -tengely felett helyezkedik el, amennyiben > b, és az f függvény negatív, azaz grafikonja az -tengely alatt a helyezkedik el, ha < b a. o Legyen a < 0. Ebben az esetben viszont fordított a helyzet, vagyis az f függvény pozitív, ha < b a, és az f függvény negatív, amennyiben > b a. Az f) a + b lineáris függvény képletében az a 0 állandót az y a + b egyenes iránytényezőjének nevezzük. Vizsgáljuk meg az iránytényező geometriai jelentését. Legyenek M, y ) és M, y ) az y a + b egyenes különböző pontjai, ahol és tetszőleges valós számok, valamint y a + b és y a + b. Ha a második egyenletből kivonjuk az elsőt, akkor az y y a ) összefüggést kapjuk, és mivel, ezért a y y tg α), ahol az y a + b egyenes α szöget zár be az -tengely pozitív irányával. Az f függvény növekedése, illetve csökkenése szintén az a konstans előjelétől függ. o Tekintsük először az a > 0 esetet. Ha most és olyan valós számok, hogy <, akkor y < y és ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény szigorúan monoton Α y y b y M M

4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK növekvő a teljes értelmezési tartományon. Vegyük észre, hogy a függvény grafikonja és az -tengely pozitív iránya által bezárt α szög hegyes szög. o Az a < 0 esetet vizsgálva megállapíthatjuk, hogy ha és olyan valós számok, hogy <, akkor y > y és ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományon. A függvény grafikonja most az -tengely pozitív irányával α tompa szöget zár be. b y y y M M Ha b 0, akkor az y a egyenes áthalad az origón. a esetén az y egyenes az első és harmadik negyed szimmetriatengelye, a esetén pedig az y egyenes a második és negyedik negyed szimmetriatengelye. Tekintsük az f ) a + b és f ) a + b függvények grafikonjait. Mivel az f függvény iránytényezője és grafikonjának az -tengely pozitív irányával bezárt szöge összefüggésben állnak egymással, ezért érvényes a következő, párhuzamos egyenesekre vonatkozó tétel..4. Tétel. Két különböző egyenes akkor és csakis akkor párhuzamos, ha iránytényezőik megegyeznek, azaz a a, vagy ha mindkettő merőleges az -tengelyre. Merőleges egyenesek esetén a következő állítás érvényes..5. Tétel. Két különböző egyenes akkor és csakis akkor merőleges egymásra, ha iránytényezőik kielégítik az ) a a, a a feltételt, vagy ha az egyik egyenes merőleges az -tengelyre, a másik pedig párhuzamos az -tengellyel. A síkbeli egyenes egyenletének eplicit alakja y a + b, a, b R, a 0. A síkbeli egyenes egyenletének implicit alakja az Α A + By + C 0, A, B, C R kétismeretlenes egyenlet, amelyből B 0 esetén felírható az egyenes egyenletének eplicit alakja, ahol a A B és b C B, azaz y A B C B. A B 0 esetben az y-tengellyel párhuzamos egyenesek egyenletét kapjuk, azaz ekkor C A.

.. Elemi függvények 5 FELADATOK.. Írjuk fel annak a lineáris függvénynek az egyenletét, amely áthalad az M 0, ) és M 4, ) pontokon, majd ábrázoljuk a grafikonját és írjuk le a tulajdonságait. Megoldás. A lineáris függvény általános alakja f) a + b. Ha az M és M pontok rajta vannak az f függvény grafikonján, akkor ezek a pontok kielégítik a megfelelő egyenes egyenletét, vagyis az alábbi egyenletrendszert: y y a 0 + b a 4 + b Az első egyenletből b, a másodikból pedig a, így a keresett függvény egyenlete f). Az y függvénygrafikonról leolvashatjuk a következő tulajdonságokat:. A függvény értelmezési tartománya D f R.. A függvény értékkészlete R f R.. A függvény nullahelye, 0 esetén pedig az értéke. Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja az N, 0) pontban metszi az -tengelyt, s az M0, ) pontban metszi az y-tengelyt. 4. a > 0 miatt a függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 5. f) > 0, ha, + ), illetve f) < 0, ha, ).. Határozzuk meg azt a lineáris függvényt, amely párhuzamos az y 5 egyenessel és áthalad a P, ) ponton. Megoldás. Az y 5 egyenes iránytényezője a 5. A párhuzamosság miatt a keresett f) a + b lineáris függvény iránytényezője is annyi kell, hogy legyen, azaz a 5. Az f) 5 + b lineáris függvénynek tartalmaznia kell a P, ) pontot, tehát teljesülnie kell a 5 ) + b egyenletnek, ahonnan b. A keresett lineáris függvény tehát f) 5 +.. Az f) m ) + m lineáris függvényben határozzuk meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy a) a függvény grafikonja az y-tengelyt az 5-ben messe, b) a függvény nullahelye -ban legyen.

6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Megoldás. a) Az y a + b egyenes b-ben metszi az y-tengelyt, ezért most b 5 kell legyen. Az adott függvényből ennek alapján m 5, ahonnan m, azaz m. Mivel m, ezért a keresett függvény képlete f) + 5. b) Ha a nullahely, akkor az N, 0) pont rajta van a keresett függvény grafikonján. Ekkor 0 m ) ) + m, illetve 0 m + 6 + m. Innen 5m 9 és m 9. A keresett függvény grafikonjának eplicit alakja tehát 5 y 5 5, implicit alakja pedig + 5y + 0. 4. A k + k)y + 0 egyenes egyenletében határozzuk meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenes párhuzamos legyen a 4 y + 0 egyenessel. 5. Megoldás. Mivel az egyenes iránytényezője az egyenes egyenletének eplicit alakjából olvasható ki, ezért alakítsuk át az implicit alakot eplicit alakra. Ekkor adódik, hogy y 4+, illetve y +, így a keresett iránytényező a. A paraméteres egyenletet pedig átalakíthatjuk a következő módon: k )y k +, illetve y k k + k. Így az iránytényezőket kiegyenlítve az alábbi egyenletet kapjuk: k k, ahonnan k k, vagyis k. A keresett egyenes egyenletet tehát implicit alakban y + 0, illetve eplicit alakban y +. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az M5, ) ponton és merőleges a + y 4 0 egyenesre. Megoldás. Ha + y 4 0, akkor ebből y + 4, így az adott egyenes iránytényezője a. Ha a keresett egyenes egyenletét y a +b alakban írjuk fel, akkor a a, vagyis y + b. Ennek az egyenesnek át kell haladnia az M5, ) ponton, ezért 5 + b, ahonnan b. A keresett egyenes egyenletének eplicit alakja tehát y, implicit alakja pedig y 0.

.. Elemi függvények 7... Szakaszonként egyenesvonalú függvény E függvények egyszerűségük ellenére nem elemi függvények. Az abszolút érték függvény. Az a, a R abszolút érték értelmezése alapján az f) abszolút érték függvényt így definiáljuk: {, ha 0,, ha < 0. y y Az f abszolút érték függvény értelmezési tartománya D f R, értékkészlete R f [0, ). Az f függvény grafikonja y, ha 0 és y, ha < 0..6. Példa., 0 0,. Az előjel vagy szignum) függvény. Az előjelét megadó f) sgn előjel vagy szignum) függvényt a következőképpen definiáljuk:, ha > 0, sgn 0, ha 0,, ha < 0. y y sgn Az f előjel függvény értelmezési tartománya D f R, értékkészlete R f {, 0, }. Az f függvény grafikonja y, ha > 0, y 0, ha 0 és y, ha < 0..7. Példa. sgn, sgn ), sgn 0 0. Az egészrész vagy entier) függvény. Az R egész részét megadó f) [] egészrész vagy entier) függvény definíciója a következő: [] ma{n Z n }, vagyis [] jelenti az -nél kisebb vagy vele egyenlő legnagyobb egész számot. Az f egészrész függvény értelmezési tartománya D f R, értékkészlete pedig R f Z. Az f függvény grafikonja két egész szám között olyan egyenesszakaszokból áll, amelyek párhuzamosak az -tengellyel, s végpontjaik közül csak a baloldaliak tartoznak a grafikonhoz. y y.8. Példa. [.], [.00], [.4], [].

8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A törtrész vagy frac) függvény. Az R tört részét megadó f) {} törtrész vagy frac) függvény definićiója a következő: {} [] [] ma{n Z n }. y y Az f törtrész függvény értelmezési tartománya D f R, értékkészlete pedig R f [0, ). Az f függvény grafikonja két egész szám között az -tengellyel 45 o -os szöget bezáró egyenesszakaszokból áll, a végpontjaik közül csak az -tengelyen levők tartoznak a grafikonhoz..9. Példa. {.} 0., { } 0, {.4} 0.6, {} 0. FELADATOK.. Írjuk fel abszolút érték nélkül, majd rajzoljuk meg az f) 4 függvény grafikonját, majd a segítségével rajzoljuk meg az y 4 grafikont is. Megoldás. Az abszolút érték definíciója alapján következik, hogy { { 4, ha 4 0, 4, ha, 4 4), ha 4 < 0. + 4, ha <. Behelyettesítve a megfelelő egyenletbe és rendezve a kifejezést, valamint megoldva a megfelelő egyenlőtlenségeket adódik, hogy { 7, ha, y 4 +, ha <. Ennek grafikonja és az y 4 függvénygrafikon a következő két ábrán látható. Az abszolút érték a második grafikon esetében azt jelenti, hogy ha a grafikon íve az -tengely felett van, akkor ott is marad, ha pedig a grafikon íve az -tengely alatt van, akkor azt a pozitív félsíkra tükrözzük az -tengelyhez való tengelyes szimmetriával. y y 4 y 4 y 4 4 4

.. Elemi függvények 9. Rajzoljuk meg az f) + + függvény grafikonját és határozzuk meg a nullahelyét. Megoldás. Mivel { +, ha + 0, + + ), ha + < 0 { +, ha,, ha < ezért rendezés után felírható, hogy {, ha, f), ha <. A függvény nullahelyét az f) 0 egyenlet megoldása adja. 0 akkor és csakis akkor, ha és mivel a hozzátartozik a [, ) intervallumhoz, ez valóban nullahelye a függvénynek. 0 akkor és csakis akkor, ha 0, és mivel a 0 nem tartozik hozzá a, ) intervallumhoz, ezért nem nullahelye a függvénynek. A függvénynek tehát csak egy nullahelye van, az N, 0) pont. N,0 4 4 5 6 7 8 y y. Oldjuk meg az 5 ) egyenletet. Megoldás. Oldjuk meg grafikusan a feladatot oly módon, hogy megrajzoljuk az 4 y y y és y + 5 M függvénygrafikonokat ugyanabban a koordinátarendszerben és megkeressük a metszéspontjaikat. M y 5 4 5 6 Mivel {, ha 0, ), ha < 0 {, ha, +, ha < ezért az egyik megoldást az y és az y + 5 egyenesek metszéspontjából,

0. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK a másik megoldást pedig az y és az y + 5 egyenesek metszéspontjából olvashatjuk le. Mivel ezek a metszéspontok az M, ) és M, ) pontok, ezért az egyenlet megoldásai és. 4. Oldjuk meg az + + 5) egyenlőtlenséget. Megoldás. Rajzoljuk meg ugyanabban a koordinátarendszerben az y + és y + 5 függvénygrafikonokat, majd számítsuk ki a metszéspontokat és olvassuk le, hogy mely intervallumon van az y + y y 4 y 5 5 4 grafikonja az y + 5 grafikonja alatt. Az egyik metszéspontot az + + 5 egyenletből számítjuk ki, ahonnan, a másik metszéspontot az + 5 egyenlet megoldása adja, ahonnan. A grafikonról leolvashatjuk, hogy az y + függvény grafikonja a [, ] intervallumon az y + 5 függvény grafikonja alatt van, ezért az + + 5) egyenlőtlenség megoldása a [, ] intervallum, azaz a megoldáshalmaz M { R }. 5. Hány megoldása van a + a egyenletnek az a valós paraméter különböző értékeire? Megoldás. Mivel az abszolút érték felbontása után {, ha, + +, ha <, ezért ha megrajzoljuk az y + függvény grafikonját, valamint az y a vízszintes helyzetű egyeneseket különböző a R értékekre, akkor a grafikonról leolvashatjuk a megoldást: y y a, a y a, a 6 5 4 4 y a, a y

.. Elemi függvények o a > esetén az egyenletnek nincs megoldása, o a esetén az egyenletnek megoldása van, o a < esetén az egyenletnek megoldása van.... Hatványfüggvény.. Definíció. Azt az f : R R valós függvényt, melyet az f) n, n N hozzárendeléssel adunk meg, természetes kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük. Tekintsünk először néhány kokrét esetet. Az f) függvény grafikonja az y egyenletű egyenes. Az f) függvény grafikonja parabola. Készítsünk értéktáblázatot és a kapott pontok segítségével rajzoljuk fel ezt a görbét. 0.5 0 0.5 4 0.5 0 0.5 4 y y y 7 y 4 6 5 y 4 4 Az f) függvény értelmezési tartománya D f R, értékkészlete R f [0, ), nullahelye pedig az origó, azaz az N0, 0) pont. Az f függvény jellegzetes tulajdonsága, hogy f ) f), ami miatt a függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre. Ugyanilyen tulajdonságokkal rendelkezik minden f) n, azaz páros kitevőjű hatványfüggvény, ha n N. A mellékelt ábrán megfigyelhetjük az y és az y 4 parabolák közötti viszonyt. A páros kitevőjű függvényre érvényes, hogy minden valós számra f ) f), és emiatt nevezünk minden olyan f függvényt párosnak, amelyekre f ) f) teljesül. A páros függvények grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre.

. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Rajzoljuk most fel az f) függvény grafikonját, amelyet harmadfokú parabolának is szokás nevezni. Készítsünk értéktáblázatot és a kapott pontok segítségével rajzoljuk fel ezt a görbét. 0.5 0 0.5 8 0.5 0 0.5 8 y y 8 y 7 y 5 6 5 y 4 y 4 5 6 7 8 Az f) függvény értelmezési tartománya D f R, értékkészlete R f R, nullahelye pedig az origó, azaz az N0, 0) pont. Az f függvény jellegzetes tulajdonsága, hogy f ) f), ami miatt a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Ugyanilyen tulajdonságokkal rendelkezik minden f) n, azaz páratlan kitevőjű hatványfüggvény, ha n N. A mellékelt ábrán megfigyelhetjük az y és az y 5 harmadfokú parabolák közötti viszonyt. A páratlan kitevőjű függvényre érvényes, hogy minden valós számra f ) f), és emiatt nevezünk minden olyan f függvényt páratlannak, amelyekre f ) f) teljesül. A páratlan függvények grafikonja szimmetrikus az origóra. Bővítsük ki a hatványfüggvény fogalmát negatív egész kitevőkre, azaz tekintsük az f) n n, n N függvényeket. Értelmezési tartományuk D f R \ {0}, nullahelyük nincs. Páros kitevők esetén a függvények párosak és értékkészletük R f 0, ), páratlan kitevők esetén pedig a függvények páratlanok és értékkészletük R f R \ {0}.

.. Elemi függvények A következő két ábrán az n és n 4, valamint az n, n és n 5 eset látható. y y y y 4 y y 5 y Tekintsük az f) függvényt a D f [0, ) értelmezési tartományon. Ekkor az f függvény értékkészlete R f [0, ) és f bijektív, vagyis létezik inverze. Az f inverz függvényt az f ) ) egyenletből kapjuk, ahonnan f ). Az f függvény grafikonját az f függvény grafikonjának y tengelyre való tükrözésével kapjuk. Az y függvénygrafikonról leolvashatjuk, hogy a függvény csak nemnegatív számokra értelmezett, szigorúan monoton növekvő és pozitív a teljes értelmezési tartományon. Hasonlóan jutunk el az y n függvénygrafikonok fogalmához is, melyek tulajdonságaikban is teljes hasonlóságot mutatnak az y grafikon tulajdonságaival. Tekintsük most az f) függvényt a D f R értelmezési tartományon. Ekkor az f függvény értékkészlete R f R és f bijektív, vagyis létezik inverze. Az f inverz függvényt az f ) ) egyenletből kapjuk, ahonnan f ). Az f függvény grafikonját az f függvény grafikonjának y tengelyre való tükrözésével kapjuk. Az y függvénygrafikonról leolvashatjuk, hogy a függvény minden valós számra értelmezett, szigorúan monoton növekvő a teljes értelemzési tartományon, az origóban van nullahelye és grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra, vagyis páratlan függvényről van szó. Hasonlóan jutunk el az y n+ függvénygrafikonok fogalmához is, melyek tulajdonságaikban teljes hasonlóságot mutatnak az y grafikon tulajdonságaival. Bővítsük most a hatványfüggvény fogalmát racionális kitevőjű hatványfüggvényekre, azaz tekintsük az f) n n, n N típusú függvényeket. A következő két ábrán az n és n 4, valamint az n és n 5 eset látható.

4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK y y y y 4 y y 5..4. Másodfokú függvény.4. Definíció. Legyenek a, b, c R és a 0. Az f : R R valós függvényt, melyet az f) a + b + c hozzárendeléssel adunk meg, másodfokú függvénynek nevezzük. Azt a síkgörbét, amelynek az egyenlete y a + b + c, másodfokú parabolának, vagy röviden csak parabolának nevezzük. A másodfokú függvény legegyszerűbb alakja a, valamint b c 0 esetén az f) függvény, amelynek grafikonját már rajzoltuk, s amelyből különböző függvénytranszformációk segítségével az összes többi parabola is felrajzolható. Az alábbi ábrán a már ismert y parabola látható, s erről leolvashatjuk az f) függvény tulajdonságait.. Értelmezési tartománya: D f R. y. Értékkészlete: R f [0, ).. Nullahelye: 0. 4. Előjele: f) > 0, ha 0. 5. f szigorúan monoton csökkenő, ha < 0, f szigorúan monoton növekvő, ha > 0. 6. 0-ban a függvénynek minimuma van és f min 0) 0. y 7 6 5 4 7. A grafikonnak az y-tengely szimmetriatengelye. 8. A függvény grafikonja felfelé nyíló konve) parabola. 4 Az f) k, f) k + n, f) + m) és f) k + m) + n függvények grafikonjai olyan parabolák, melyeket az y parabola transzformációival kaphatunk -, illetve y-tengelyek irányában történő eltolásokkal, valamint zsugorítással és nyújtással.

.. Elemi függvények 5 Vizsgáljuk meg hogyan ábrázolhatnánk a legegyszerűbben az f) a +b+c függvény grafikonját tetszőleges a, b, c R, a 0 együtthatók esetén. A parabolának vagy nincs közös pontja az -tengellyel a függvénynek nincs nullahelye), vagy van egy közös érintési pontja az -tengellyel a függvénynek egy nullahelye van), vagy pedig két különböző közös pontjuk van, amelyekben a parabola átmetszi az -tengelyt a függvénynek két nullahelye van). A nullahelyek száma az f) 0 egyenlet, illetve az a + b + c 0 másodfokú egyenlet D b 4ac diszkriminánsától függ. Legyenek és az a + b + c 0 másodfokú egyenlet gyökei. D > 0 esetén a függvénynek két különböző nullahelye van, R és R,, melyekben a függvény grafikonja átmetszi az -tengelyt. D 0 esetén a függvénynek egy nullahelye van, R, melyben a függvény grafikonja alulról vagy felülről érinti az -tengelyt. D < 0 esetén a függvénynek nincs nullahelye, / R és / R, a függvény grafikonja vagy teljes egészében az -tengely felett vagy pedig alatta helyezkedik el. A másodfokú függvény grafikonjának másik jellegzetes pontja a parabola csúcspontja, amely a > 0 esetén minimumpont, a < 0 esetén pedig maimumpont. Gondoljunk például az y parabola nullahelyére, amely egyben ennek a parabolának minimumpontja is.) A csúcspontot T jelöli, koordinátáit pedig a másodfokú függvény kanonikus alakjából olvashatjuk le. Mivel minden R számra y a + b + c a + b a + c ) a a ba b + + 4a + c ) a b 4a [ a + b ) ] 4ac b + a 4a a + b ) 4ac b +. a 4a + b ) 0, ezért a a > 0 esetén a + b + c 4ac b, és 4a a < 0 esetén a 4ac b + b + c. 4a Ez azt jelenti, hogy az a > 0 esetben a parabolának T minimumpontja van, a < 0 esetben pedig T maimumpontja, mégpedig T b ) 4ac b,. a 4a

6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A kanonikus alakból az is megállapítható, hogy az y a + b ) 4ac b + a 4a k + m) + n parabola függvénytranszformációk segítségével is megrajzolható. A másodfokú függvény olyan tulajdonságai, mint az értelmez esi tartomány, értékkészlet, nullahely, előjel, minimum- vagy maimumpont, monotonitás, paritás párosság vagy páratlanság), konveitás, a kivizsgált tulajdonságok alapján a grafikonról mindig leolvashatók. Összesítve az elmondottakat, a parabola különböző helyzetei a koordinátarendszerben az alábbi ábrákon láthatók. y y T y a b c c c y a b c T a > 0, D > 0 a < 0, D > 0 y y y a b c T c c T y a b c a > 0, D 0 a < 0, D 0

.. Elemi függvények 7 y y c y a b c T T c y a b c a > 0, D < 0 a < 0, D < 0 Általánosan elmondható, hogy az f másodfokú függvény grafikonja a > 0 esetén felfelé nyíló konve) parabola, a < 0 esetén pedig lefelé nyíló konkáv) parabola. Ugyanakkor megállapítható az is, hogy a > 0 esetén az f függvény szigorúan monoton csökkenő a, b ) intervallumon és a szigorúan monoton növekvő a b ) a, intervallumon, a < 0 esetben viszont az f függvény szigorúan monoton növekvő a, b ) intervallumon és a szigorúan monoton csökkenő a b ) a, intervallumon. FELADATOK.. Rajzoljuk meg az f) 8 + másodfokú függvény grafikonját és írjuk le a tulajdonságait. Megoldás. Az f függvény nullahelyeit az 8 + 0 másodfokú egyenlet megoldásával kapjuk, így és 6 a két nullahely. Mivel a > 0, ezért a függvény grafikonja felfelé nyíló parabola, minimumpontja pedig T min b ) 4ac b, T min 4, 4). a 4a

8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A függvény grafikonja és tulajdonságai:. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f [ 4, ).. Nullahelyei: és 6. 4. Előjele: f) > 0, ha, ) 6, ) f) < 0, ha, 6). 5. A függvénynek minimuma van és T min 4, 4). 6. f szigorúan monoton csökkenő, ha, 4), f szigorúan monoton növekvő, ha 4, ). 7. Az f függvény grafikonja felfelé nyíló konve) parabola. 4 4 y y 8 4 5 6 7. Vizsgáljuk ki az f) másodfokú függvényt, rajzoljuk meg a grafikonját. Megoldás. Az f függvény nullahelyeit az 0 másodfokú egyenlet gyökei adják, most viszont ezért csak egy nullahelye van. Mivel a < 0, ezért a függvény grafikonja lefelé nyíló parabola, maimumpontja pedig T ma b ) 4ac b, T ma, 0). a 4a A függvény grafikonja és tulajdonságai:. Értelmezési tartománya: D f R. y. Értékkészlete: R f [, 0).. Nullahelye:. 4. Előjele: f) < 0, ha, ), ). 5. A függvénynek maimuma van és T ma, 0). 6. f szigorúan monoton növekvő, ha, ), f szigorúan monoton csökkenő, ha, ). 7. Az f függvény grafikonja lefelé nyíló konkáv) parabola. y

.. Elemi függvények 9. Vizsgáljuk ki az f) + másodfokú függvényt, és ábrázoljuk a koordinátarendszerben. Megoldás. A függvénynek nullahelyei nincsenek, mert a + 0 másodfokú egyenlet gyökei most nem valós számok. Mivel a < 0, ezért a függvény grafikonja lefelé nyíló parabola, maimumpontja pedig T ma b ) 4ac b, T ma, ). a 4a y A függvény grafikonja és tulajdonságai:. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f [, ).. Nullahelye nincs. 4. Előjele: f) < 0, ha R. 5. A függvénynek maimuma van és T ma, ). 6. f szigorúan monoton növekvő, ha, ), f szigorúan monoton csökkenő, ha, ). 7. Az f függvény grafikonja lefelé nyíló konkáv) parabola. 4 y 4. Rajzoljuk meg az f) + függvény grafikonját. Megoldás. Írjuk fel a függvényt abszolút érték nélkül. Ekkor { f) +, ha 0, + +, ha < 0. Rajzoljuk meg ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét parabolát, majd jelöljük meg az y + parabolaívet 0 értékekre, az y + + parabolaívet pedig < 0 értékekre. y y 4

40. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 5. Rajzoljuk meg az f) 4 függvény grafikonját. Megoldás. Először írjuk fel a függvényt abszolút érték nélkül. Vegyük észre, hogy az 4 4) szorzat előjele táblázattal könnyen kivizsgálható. Mivel D f, 0) 0, 4) 4, ) + + 4 + 4 + + ezért 4 f) { 4, ha, 0) 4, ), 4), ha 0, 4), { + 4, ha, 0) 4, ), 4, ha [0, 4]. Az + 4 0 egyenletből kapjuk, hogy és az y + 4 konkáv parabola nullahelyei, csúcspontja pedig T ma, ). Az 4 0 egyenletből kapjuk, hogy 7 és + 7 az y 4 konve parabola nullahelyei, csúcspontja pedig T min, 7). Rajzoljuk most meg ugyanabban a koordinátarendszerben az y + 4 parabolát és az y 4 parabolát is. A keresett grafikont úgy kapjuk meg, hogy a konkáv parabolából vesszük a, 0) 4, ) intervallumokhoz tartozó íveket, a konve parabolából pedig a [0, 4] intervallumhoz tartozó ívet. A függvény grafikonja a mellékelt ábrán látható. 4 7 7 4 5 4 5 6 7 y y 4 y 4 6. Bontsuk fel a p R + számot két összeadandóra úgy, hogy az összeadandók szorzata a lehető legnagyobb legyen. Megoldás. Ha az egyik összeadandót -szel jelöljük, akkor a másik összeadandó p. Ezek szorzata f) p ) + p egy olyan másodfokú függvény, amelynek maimuma van, tehát egy ilyen szorzat valóban elérheti a legnagyobb értékét. Mivel f ma b ) a 4ac b p ), ezért f ma p 4a 4 a keresett szorzat legnagyobb értéke. Ez azt jelenti, hogy a szorzat akkor a legnagyobb, ha a p számot p p + p módon bontjuk összegre, mert akkor a p p p 4 a lehető legnagyobb szorzat.

.. Elemi függvények 4 7. Határozzuk meg az f) függvény lehető legnagyobb értékét. + + 4 Megoldás. Az f) + + 4 függvény legnagyobb értékét azokban a g) pontokban kapjuk meg, ahol a g) + + 4 függvénynek az értéke legkisebb. A g függvénynek nincsenek valós gyökei, mert diszkriminánsa D < 0, és mivel főegyütthatója a > 0, ezért neki minimuma van, így minden valós számra pozitív értéket vesz fel. Mivel g) + + 4 + ) +, ezért g min ), tehát a nevező lehető legkisebb értéke. Mivel g) > 0 minden valós számra, ezért az f) g) is mindig pozitív, és érvényes, hogy f ma ) g min ), vagyis az f függvény lehető legnagyobb értéke. Eszerint 0 < f), minden R esetén. 8. Legyenek és az f) +m )+m+ másodfokú függvény nullahelyei. Az m valós paraméter mely értékére lesz az nullahelyek négyzetösszege a lehető legnagyobb? Megoldás. Az f) + m ) + m + másodfokú függvény és nullahelyei egyben a + m ) + m + 0 másodfokú egyenlet gyökei. Alkalmazzuk a Viète-képleteket az + négyzetösszeg kifejezésére. Ekkor ezért + + ) m ) m + m ) + m + ) m m + 6 m ) + 5, + ) ma 5, ha m, vagyis a keresett négyzetösszeg lehető legnagyobb értéke 5, ha az m valós paraméter értéke. 9. Legyen f) k ) k + k másodfokú függvény. Határozzuk meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy az f függvény mindkét nullahelye pozitív valós szám legyen. Megoldás. Ahhoz, hogy az f függvény nullahelyei valós számok legyenek, a diszkrimináns, D 4k 4k )k ) 0k 4, nem lehet negatív, ezért D 0, illetve 0k 4 0 kell hogy teljesüljön, ahonnan k 6. Ha mindkét nullahely 5 pozitív, akkor az összegük és szorzatuk is pozitív, azaz + 0 és 0. A feladat feltétele tehát teljesül, ha k kielégíti az alábbi egyenlőtlenségrendszert: k 6 5, k k 0 és k k 0. A megoldást az alábbi táblázatból olvashatjuk le:

4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK, 0) 0, 6 ) ) 6 5 5,, ), ) k + + + + 5k 6 + + + k + + k + k + + + k k + + + + k A táblázatból látható, hogy a kívánt egyenlőtlenségrendszert a, ) intervallumba tartozó k paraméterértékek elégítik ki. Tehát az adott f másodfokú függvény mindkét nullahelye pozitív valós szám, ha k >. 0. Határozzuk meg az y m + parabolasereg csúcspontjainak mértani helyét, ha m R. Megoldás. Mivel a parabola csúcspontjainak koordinátái minden esetben T b ) 4ac b, T a 4a m, m ), m így az m és y m m egyenletrendszerből az m paraméter eliminálásával kapjuk a keresett egyenletet. Mivel m, ebből m. Behelyettesítve az y m kifejezésbe adódik az y egyenlet. Ez azt jelenti, hogy az m f) m + másodfokú függvénycsalád csúcspontjai a különböző m R paraméterek esetén az y egyenesen helyezkednek el. y 4 m m m m m m

.. Elemi függvények 4..5. Eponenciális függvény.5. Definíció. Eponenciális függvénynek nevezzük azt az f : R R + valós függvényt, amelyet az f) a, R hozzárendelési szabállyal adunk meg, ahol a > 0 és a. Az eponenciális függvény grafikonját legegyszerűbben egy értéktáblázat segítségével rajzolhatjuk meg, amelyben {,, 0,, } abszcissza értékeknek megfelelő pontok benne kell, hogy legyenek ahhoz, hogy a helyes ábrát meg tudjuk rajzolni. Az eponenciális függvény grafikonja ) 0 < a < és a > esetén különböző alakú. A két alapesetet az y és az y grafikonjaival szemléltetjük. Készítsük el az értéktáblázatokat és a kapott pontok segítségével rajzoljuk fel a görbéket, majd vizsgáljuk ki tulajdonságaikat. 0 0.5 0.5 4 0 4 0.5 0.5 y y 8 y y 8 7 7 6 6 5 5 4 4 4 4 Az eponenciális függvény tulajdonságai:. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f 0, ).. Nullahelye nincs. 4. A függvény pozitív a teljes értelmezési tartományon. 5. a > esetén a függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 6. 0 < a < esetén a függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományon. 7. A függvény konve a teljes értelmezési tartományon.

44. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 8. Az y 0 egyenes a görbe vízszintes aszimptotája. Aszimptotának nevezzük az olyan egyeneseket, amelyekhez a függvény görbéje fokozatosan közelít, de nem éri el.)..6. Logaritmusfüggvény Mivel az eponenciális függvény bijektív, ezért invertálható és inverz függvényét logaritmusfüggvénynek nevezzük..6. Definíció. Logaritmusfüggvénynek nevezzük azt az f : R + R valós függvényt, amelyet az f) log a, R + hozzárendelési szabállyal adunk meg, ahol a > 0 és a. A logaritmusfüggvény grafikonját kétféleképpen kaphatjuk meg. A megfelelő eponenciális függvény grafikonjának az y egyeneshez való tengelyes tükrözésével vagy értéktáblázat segítségével, amelybe az y {,, 0,, } ordináta értékeknek megfelelő pontokat választjuk. A logaritmusfüggvény grafikonja 0 < a < és a > esetén különböző alakú. A két alapesetet az y log és az y log grafikonjaival szemléltetjük. Készítsük el ezeket az értéktáblázatokat és a kapott pontok segítségével rajzoljuk fel a görbéket, majd vizsgáljuk ki tulajdonságaikat. 0.5 0.5 4 log 0 4 0.5 0.5 log 0 y y y log y log 4 4 5 6 4 4 5 6 A logaritmusfüggvény tulajdonságai:. Értelmezési tartománya: D f R +.. Értékkészlete: R f R.. Nullahelye. 4. a > esetén a függvény negatív a 0, ) intervallumon, és pozitív a, ) intervallumon.

.. Elemi függvények 45 5. 0 < a < esetén viszont a függvény pozitív a 0, ) intervallumon, és negatív a, ) intervallumon. 6. a > esetén a függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 7. 0 < a < esetén a függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományon. 8. a > esetén a függvény konve a teljes értelmezési tartományon. 9. 0 < a < esetén a függvény konkáv a teljes értelmezési tartományon. 0. Az 0 egyenes a görbe függőleges aszimptotája...7. Trigonometrikus függvények A f) sin, f) cos, f) tg i f) ctg függvényeket trigonometrikus függvényeknek nevezzük. A trigonometrikus függvények periodikusak, mert mindegyik esetén van olyan ω pozitív valós szám, amelyre f + ω) f). Az f) sin függvény grafikonja és tulajdonságai: y y sin Π Π Π Π Π Π 5Π Π. A függvény minden valós számra értelmezett, azaz D f R.. A függvény értékkészlete az R f [, ] intervallum.. A függvény alapperiódusa ω 0 π, azaz sin + kπ) sin, k Z. 4. A függvény páratlan, vagyis sin ) sin. 5. A függvény nullahelyei az kπ pontok, k Z. 6. A függvény pozitív a kπ, π+kπ) és negatív a π+kπ, π+kπ) intervallumokon, k Z. 7. A függvény szigorúan monoton növekvő a kπ, π ) π + kπ + kπ, π ) + kπ π és szigorúan monoton csökkenő a + kπ, π ) + kπ intervallumokon, k Z. π ) π ) 8. A függvénynek + kπ, pontokban maimuma, a + kπ, pontokban pedig minimuma van, k Z.

46. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Az f) cos függvény grafikonja és tulajdonságai: y y cos Π Π Π Π Π Π 5Π Π. A függvény minden valós számra értelmezett, azaz D f R.. A függvény értékkészlete az R f [, ] intervallum.. A függvény alapperiódusa ω 0 π, azaz cos + kπ) cos, k Z. 4. A függvény páros, vagyis cos ) cos. 5. A függvény nullahelyei a π + kπ pontok, k Z. 6. A függvény pozitív a kπ, π ) ) π + kπ + kπ, π + kπ intervallumokon és π negatív a + kπ, π ) + kπ intervallumokon, k Z. 7. A függvény szigorúan monoton csökkenő a kπ, π + kπ) intervallumokon és szigorúan monoton növekvő a π + kπ, π + kπ) intervallumokon, k Z. 8. A függvénynek a kπ, ) pontokban maimuma, és a π + kπ, ) pontokban minimuma van. Az f) tg függvény grafikonja és tulajdonságai:. A függvény értelmezési tartománya D f R \ { π + kπ, k Z}. y y tg. A függvény értékkészlete R f R.. A függvény alapperiódusa ω 0 π, azaz tg + kπ) tg, k Z. 4. A függvény páratlan, vagyis Π Π Π Π Π Π tg ) tg. 5. A függvény nullahelyei a kπ pontok, k Z. 6. A függvény pozitív a kπ, π ) π ) + kπ és negatív a + kπ, π + kπ intervallumokon, k Z.

.. Elemi függvények 47 7. A függvény szigorúan monoton növekvő a k Z. π + kπ, π + kπ ) intervallumokon, 8. A függvénynek nincs se maimuma, se minimuma. 9. A függvény függőleges aszimptotái az π + kπ egyenesek, k Z. Az f) ctg függvény grafikonja és tulajdonságai:. A függvény értelmezési tartománya y D f R \ {kπ, k Z}. y ctg. A függvény értékkészlete R f R.. A függvény alapperiódusa ω 0 π, azaz ctg + kπ) ctg, k Z. 4. A függvény páratlan, vagyis Π Π Π Π Π Π ctg ) ctg. 5. A függvény nullahelyei a π +kπ pontok, k Z. 6. A függvény pozitív a kπ, π ) π ) + kπ intervallumokon és negatív a + kπ, π + kπ intervallumokon, k Z. 7. A függvény szigorúan monoton csökkenő a kπ, π + kπ) intervallumokon, k Z. 8. A függvénynek nincs se maimuma, se minimuma. 9. A függvény függőleges aszimptotái az kπ egyenesek, k Z...8. Árkuszfüggvények A trigonometrikus függvények periodikusak, ezért a teljes értelmezési tartományukon nem bijektívek, tehát nem invertálhatók. Bizonyos intervallumokon azonban szigorúan monotonok, ezért ott invertálhatók is. Az ilyen módon értelmezett inverz függvényeket árkuszfüggvényeknek vagy ciklometrikus függvényeknek nevezzük. [ Az árkusz szinusz függvény a π, π ] intervallumra szűkített f) sin függvény inverze, f ) arcsin.

48. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Értelmezési tartománya: D f [, ].. Értékkészlete: R f [ π, π. Nullahelye 0. 4. A függvény páratlan. ]. Π y y arcsin 5. Görbéje [ az y sin függvénygörbe π, π ] intervallumhoz tartozó darabjának az y egyenesre való tükrözésével állítható elő. 6. Az f ) arcsin függvény szigorúan monoton növekvő. Π Az árkusz koszinusz függvény a [0, π] intervallumra szűkített f) cos függvény inverze, f ) arccos. y. Értelmezési tartománya: D f [, ]. Π. Értékkészlete: R f [0, π]. y arccos. Nullahelye. 4. Görbéje az y cos függvénygörbe [0, π] intervallumhoz tartozó darabjának az y egyenesre való tükrözésével állítható elő. Π 5. Az f ) arccos függvény szigorúan monoton csökkenő. Az árkusz tangens függvény a π, π ) inverze. Jelölése: f ) arctg. intervallumra szűkített f) tg függvény y Π y arctg Π

.. Elemi függvények 49. Értelmezési tartománya: D f, ).. Értékkészlete: R f π, π ).. Nullahelye 0. 4. A függvény páratlan. 5. Görbéje az f) tg függvény π, π ) intervallumhoz tartozó görbéjének az y egyenesre való tükrözésével állítható elő. 6. Az f ) arctg függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományán. 7. Az y π és az y π egyenesek a függvény vízszintes aszimptotái. Az árkusz kotangens függvény a 0, π) intervallumra szűkített f) ctg függvény inverze. Jelölése: f ) arcctg. y Π Π y arcctg. Értelmezési tartománya: D f, ).. Értékkészlete: R f 0, π).. Görbéje az f) ctg függvény 0, π) intervallumhoz tartozó görbéjének az y egyenesre való tükrözésével állítható elő. 4. Nullehelye nincs. 5. Az f ) arcctg függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományán. 6. Az y 0 és az y π egyenesek a függvény vízszintes aszimptotái.

50. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK..9. Hiperbolikus függvények Az eponenciális függvény segítségével értelmezzük a hiperbolikus függvényeket. A szinusz hiperbolikusz függvényt f) sh módon jelöljük, hozzárendelési törvénye pedig a következő:. sh e e. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f R.. Nullahelye 0. 4. A függvény páratlan. 5. A függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. y 4 y sh 4 A koszinusz hiperbolikusz függvényt f) ch módon jelöljük, hozzárendelési törvénye pedig. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f [, ).. Nullahelye nincs. 4. A függvény páros. ch e + e. 5. A függvény szigorúan monoton csökkenő a, 0) intervallumon és szigorúan monoton növekvő a 0, ) intervallumon. y ch 5 4 y Az y ch görbét láncgörbének is nevezik, mert a súlyos kábelek, láncok, kötelek, amelyeket két pontban felfüggesztünk úgy, hogy a pontok egymásközti távolsága kisebb a huzal vagy kötél hosszúságánál, akkor a belógás éppen a láncgörbe ívét követi. A tangens hiperbolikusz függvényt f) th módon jelöljük, hozzárendelési törvénye pedig th e e sh e + e ch.

.. Elemi függvények 5 y y th. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f, ).. Nullahelye 0. 4. A függvény páratlan. 5. A függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 6. Az y és az y egyenesek a függvény víszintes aszimptotái. A kotangens hiperbolikusz függvényt f) cth módon jelöljük, hozzárendelési törvénye pedig cth e + e ch e e sh.. Értelmezési tartománya: D f R\{0}.. Értékkészlete: R f, ), ).. Nullahelye nincs. 4. A függvény páratlan. 5. A függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományon. 6. Az y és az y egyenesek a függvény víszintes aszimptotái. y y cth A hiperbolikus függvényekre a trigonometrikus függvényekhez hasonló összefüggések, azonosságok érvényesek. Ezek közül a következők jól használhatók a hiperbolikus függvényekkel kapcsolatos problémák megoldásához. ch sh, ch ch + sh, sh sh ch, sh + y) sh ch y+ ch sh y, ch + y) ch ch y+ sh sh y, sh ch, ch ch +.

5. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK..0. Áreafüggvények A hiperbolikus függvények inverzeit áreafüggvényeknek nevezzük. Görbéiket előállíthatjuk a hiperbolikus függvények görbéiből, ha azokat az y egyenesre tükrözzük. Az área szinusz hiperbolikusz függvény az f) sh függvény inverze, jelölése f ) arsh. Az inverzfüggvény képzése alapján előállíthatjuk az f ) arsh függvényt a logaritmusfüggvény segítségével. Ha f) sh e e, akkor ef ) e f ). Ebből adódik, hogy f ) arsh ln + + ).. Értelmezési tartománya: D f R.. Értékkészlete: R f R.. Nullahelye 0. 4. A függvény páratlan. 5. A függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. y y arsh 4 4 Az área koszinusz hiperbolikusz függvény az f) ch függvény inverze, jelölése f ) arch, logaritmikus alakja pedig arch ln + ).. Értelmezési tartománya: D f [, ). y. Értékkészlete: R f [0, ).. Nullahelye. 4. A függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 4 5 y arch

.. Elemi függvények 5 Az área tangens hiperbolikusz függvény az y f) th függvény inverze, jelölése f ) arth, logaritmikus alakja pedig arth ln +. y arth. Értelmezési tartománya: D f, ).. Értékkészlete: R f R.. Nullahelye 0. 4. A függvény páratlan. 5. A függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 6. Az és az egyenesek a függvény függőleges aszimptotái. Az área kotangens hiperbolikusz függvény az f) cth függvény inverze, jelölése logaritmikus alakja pedig f ) arcth, arcth ln +.. Értelmezési tartománya: D f, ), ).. Értékkészlete: R f R \ {0}.. Nullahelye nincs. 4. A függvény páratlan. 5. A függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományon. 6. Az és az egyenesek a függvény függőleges aszimptotái. y y arcth

54. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Elemi függvények és transzformációik Az elemi alapfüggvények csoportjába tartoznak a konstans függvények, a hatványfüggvények, az eponenciális függvények, a logaritmusfüggvények, a trigonometrikus függvények és a ciklometrikus függvények..7. Definíció. o Az elemi alapfüggvények elemi függvények. o Ha f és g elemi függvények, akkor f + g, f g, f g, f g feltéve, hogy értelmezettek). és f g is elemi függvények o Az elemi függvényeket az előző két szabály véges számú alkalmazásával kapjuk. Az elemi függvényeket feloszthatjuk algebrai és transzcendens függvényekre. Egy függvényt algebrai függvénynek nevezünk, ha számokból és az változóból véges sok összeadás, szorzás, osztás és gyökvonás útján jön létre. Az algebrai függvényeket feloszthatjuk racionális egész függvényekre polinomokra), racionális törtfüggvényekre és irracionális függvényekre nem racionális algebrai függvényekre). A nem algebrai függvényeket transzcendens függvényeknek nevezzük. Transzcendens függvények az eponenciális függvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények, ciklometrikus függvények, hiperbolikus függvények és az áreafüggvények. A következőkben megmutatunk négyféle elemi függvénytranszformációt. o Az y f) + c függvénygrafikont az y f) grafikon y-tengely irányú c távolságú transzlációjával jön létre. Ha c > 0, akkor a transzláció az y-tengely pozitív iránya felé történik. Ha c < 0, akkor a függvény grafikonját y-tengely negatív iránya felé toljuk. Az alábbi ábrán az y parabola két y-tengely irányú eltolása látható, az egyik pozitív, a másik negatív irányba. y y c 0 y y c 0

.. Elemi függvények és transzformációik 55 y f) + c o Az y f + c) függvénygrafikon az y f) grafikon -tengely irányú c távolságú transzlációjával jön létre. Ha c > 0, akkor a transzláció az -tengely negatív iránya felé történik. Ha c < 0, akkor a függvény grafikonját -tengely pozitív iránya felé toljuk. A mellékelt ábrán az y parabola két -tengely irányú transzlációja látható. y y c 0 y y y f + c) c 0 o Az y c f) függvénytranszformációt az y f) függvényértékek c 0 állandóval való szorzásával kapjuk. Az y c f) és y f) függvényeknek ugyanaz az értelmezési tartományuk és ugyanazok a nullahelyei. Pozitív konstans esetén a függvények előjele és monotonitása megegyezik, ha pedig a konstants negatív, akkor a függvények előjele és monotonitása ellentétes. y y y y c c y c f), c > 0 c esetén az y f) függvénygrafikont az y f) grafikon -tengelyre való tükrözésével kapjuk. 4 o A periodikus függvényeknél fontos a függvény független változójának konstanssal való szorzása. Ebben az esetben az y fc) transzformációról van szó. Ha ω az y f) függvény periódusa, akkor ω az y fc) függvény periódusa, ahol c > 0. c ) A következő ábrákon az y sin grafikonjának y sin ) és y sin függvénytranszformációi láthatók. Az f) sin) függvény alapperiódusa ω 0 π, y sin ) alapperiódusa ω 0 π, y sin alapperiódusa pedig ω 0 4π. y y y sin y sin y sin y sin Π Π Π Π Π Π Π Π 5Π Π 7Π 4Π

56. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK FELADATOK. Függvénytranszformációk segítségével rajzoljuk meg a következő függvények grafikonjait. y. f) ) + Megoldás. Ha az y parabolát az -tengely irányában jobbra toljuk egységgel, akkor az y 4 y y ) parabolát kapjuk. A megfelelő függvényértékeket -vel szorozva kapjuk az 4 5 y ) grafikont. Az így kapott görbét y-tengely irányában egységgel felfelé tolva megkapjuk a keresett másodfokú függvény grafikonját. 4 5 6 7 8 y y. f) 4 Megoldás. Mivel {, ha 0,, ha < 0, és 4 4, így az adott függvény felírható a következő alakban: { f), ha 0,, ha < 0. y y y 5 y 4 y 4 4 y f A grafikonját megrajzolhatnánk két értéktáblázat segítségével, vagy függvénytranszformációkkal a következőképpen. Legyenek y és y a kiinduló görbék. Toljuk el mindkettőt az y-tengely irányában lefelé egységgel. Az y görbéből válasszuk ki azt az ívet, amelyre 0, az y görbéből pedig azt az ívet, amelyre < 0. A két ív együttesen adja meg az y f) grafikont.

.. Elemi függvények és transzformációik 57 y. f) + Megoldás. Vegyük észre, hogy az adott függvény 0-ban nem értelmezett. Írjuk fel abszolútérték nélkül az f függvényt. Mivel {, ha > 0,, ha < 0, y 5 y 4 y 4 4 y ezért f) { ) +, ha > 0, ), ha < 0. 4 5 y f y A függvény grafikonjának megrajzolásához induljunk ki az y grafikonjából. Egyik esetben ezt a görbét toljuk jobbra az -tengely mentén egységgel, a másik esetben pedig ugyanezt a görbét toljuk balra szintén egységgel. A kapott görbéket a )-gyel való szorzás miatt tükrözzük az -tengelyhez viszonyítva. A balra mozdított görbéből válasszuk az > 0-hoz tartozó ívet, a jobbra mozdított görbéből pedig az < 0-hoz tartozó ívet. 4. f) log ) Megoldás. A keresett függvény grafikonjához eljutunk, ha az y log görbére függvénytranszformációkat alkalmazunk a következő sorrendben: Először -tengely irányában jobbra toljuk a görbét egységgel, majd a kapott görbét y-tengely irányában toljuk lefelé egységgel. Az abszolútérték miatt az így kapott grafikonnak azt a részét, amely az -tengely alatt van tükrözzük a pozitív félsíkra az -tengelyhez viszonyítva. Vegyük észre, hogy a függvény értelmezési tartománya D f, ) és az egyenes a függvény függőleges aszimptotája. y 4 4 y log y log y f 4 5 6 7 8 9 y log

58. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 5. f) log Megoldás. A függvény értelmezési tartománya D f R \ {}. Mivel ezért az y log log { log log ), ha >, ), ha < függvénygrafikont megkaphatjuk, ha az y log görbét jobbra toljuk az -tengely irányában egységgel, majd azt tükrözzük az egyeneshez viszonyítva a függvény ) argumentumának )-gyel való szorzása miatt). A külső abszolút érték miatt mindkét görbének azt az ívét, amely a negatív félsíkhoz tartozik, tükrözzük a pozitív félsíkra. függvénygrafikont. Így kapjuk meg az y f) y 4 y f 4 4 5 6 7 8 y log y log y log

59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Definíció. Azokat az f : N R valós függvényeket, melyek minden n természetes számhoz egy a n valós számot rendelnek hozzá, végtelen számsorozatoknak, röviden sorozatoknak nevezzük. a n a sorozat n-edik eleme vagy tagja), amelyet szokás a sorozat általános elemének is nevezni. Magát a sorozatot {a n }-nel jelöljük.... Sorozatok megadása A sorozatoknak végtelen sok eleme van és ezeket különféle módon adhatjuk meg. I. A sorozatot megadhatjuk az általános elem képletével, vagyis az n változó függvényeként felírt képlettel, formulával... Példa. a) Ha a n n az általános elem, akkor a sorozat elemei,,, 4, 5,... és ez a természetes számok sorozata. b) Amennyiben a n n az általános elem képlete, akkor a sorozat elemei, 4, 8, 6,,... és most a hatványainak sorozatát kapjuk. c) a n n esetén a sorozat elemei,,, 4,,... és ez a harmonikus sorozat, mely nevét 5 arról kapta, hogy a második elemtől kezdve a sorozat minden eleme a két szomszédos elem harmonikus közepe, vagyis érvényes, hogy a n a n + a n+ ), n. II. A sorozatot megadhatjuk rekurzív módon. Ez azt jelenti, hogy néhány elemet megadunk, a további elemeket pedig az előttük lévők segítségével definiáljuk... Példa. a) Legyen a és a n a n, ha n. Ekkor a a, a a 4, a 4 a 8, a 5 a 6, és így tovább. A sorozat elemei,, 4, 8, 6,.... b) Legyen a 0 és a n a n +, ha n. Ekkor a a +, a a +, a 4 a + 7, a 5 a 4 + 5, és így tovább. A sorozat elemei 0,,, 7, 5,.... c) Legyen a 0, a és a n a n + a n, ha n. Ekkor a a + a, a 4 a + a, a 5 a 4 + a 5, és így tovább. A sorozat elemei ebben az esetben 0,,,, 5,....

60. SZÁMSOROZATOK Ilyen módon kiszámítható a sorozat bármelyik eleme, de ahhoz, hogy meghatározzuk a rekurzív módon megadott sorozat 000. elemét, ki kell számítani mind a 999 előző elemet is. Bizonyos esetekben a rekurzív képletekkel megadott sorozatok általános eleme is meghatározható, de erről az eljárásról a későbbiekben lesz szó. III. Számsorozatot megadhatunk utasítással, leírással is... Példa. a) Legyen {a n } a prímszámok sorozata, azaz,, 5, 7,,, 7,... és így tovább. Nem létezik sem eplicit, sem rekurzív formula, amely megadná az n. prímszámot, de a sorozat ezzel az utasítással mégis egyértelműen meghatározott. b) Legyen {a n } az a sorozatot, amelynek elemei sorban a végtelen tizedestört alakú felírásának egy-, két-, háromszámjegyű, stb. racionális közelítései. A sorozat elemei,.4,.4,.44,.44,.... Ha az ezredik számjegyet kérdeznénk, tudjuk, hogy az egyértelműen meg van határozva, de megadnása sok munkát igényelne. Megjegyzés: A számsorozatokat szokás megadni az első néhány elem felsorolásával is, de ez a definiálás nem mindig egyértelmű, ezért ha lehet kerüljük ezt a megadási módot..4. Példa. Tekintsük az, 6, 8, 56,... számsorozatot, amelyet az első négy elem segítségével írtunk fel. A felsorolt elemek alapján a sorozat általános eleme egyrészt lehetne a n n 4, de ugyanakkor b n 0n 5n + 50n 4 is. A megfelelő sorozatok ötödik, hatodik elemei viszont már nem egyeznek meg.... Sorozatok ábrázolása n 4 5 6 a n 6 8 56 65 96 b n 6 8 56 60 76 Az {a n } sorozatot ábrázolhatjuk a számegyenesen a sorozat elemeihez rendelt pontokkal: a, a, a,..., vagy mint olyan függvényt a valós számsíkban, melynek értelmezési tartományát a természetes számok alkotják, grafikonja pedig az, a ),, a ),, a ),... diszkrét pontok halmaza. a n 5 0 4 5 a n 4.5. Példa. Az a n n számsorozat számegyenesen való ábrázolása és síkban való ábrázolása is jó képet ad a számsorozatnak megfelelő pontok elhelyezkedéséről. 4 5 n

.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 6 a n 0 5 a n 5.6. Példa. Az a 0, a kezdeti elemekkel és az a n a n + a n rekurzív képlettel megadott számsorozat esetében a a, és ez a számegyenesen azt jelenti, hogy az -ben két pont van egymás tetején, de ezt nem tudjuk érzékelni. A számsíkon való ábrázolás kiküszöböli ezt a problémát, hiszen ott két különböző pontként jelenik meg, a ) és, a ). 4 5 n 0 a n a n.7. Példa. Az a, a 0 kezdeti elemekkel és az a n a n a n rekurzív formulával megadott számsorozat esetében sem derül ki a számegyenesen, hogy a a 4, hacsak nem írjuk oda minden ponthoz, hogy a számsorozat melyik elemének felel meg. A számegyenesen való ábrázolás azt sem teszi lehetővé, hogy képet kapjunk arról, hogy melyik pont felel meg az első elemnek, melyik a másodiknak, és így tovább. Mint látjuk, a síkban való ábrázolás megoldja ezeket a problémákat. 4 5 n FELADATOK. Határozzuk meg az {a n } sorozat első k elemét.. a n n n, k 8 Megoldás. a, a 0, a 6, a 4 4 4 4, a 5 5 5 0, a 6 6 6, a 7 7 7 5 4, a 8 8 8 8,...

6. SZÁMSOROZATOK. a n n 5n +, k 6 Megoldás. a 5 +, a 5 + 5, a 5 +, a 4 4 5 4 +, a 5 5 5 5 + 7, a 6 6 5 6 + 7,.... a n + ) n+ n, k 6 Megoldás. a + ) 5, a + ), a + ) 4, a 4 + ) 5 4 5 4, a 5 + ) 6 5 5, a 6 + ) 7 6,... 4. a n + ) n n, k 4 n! Megoldás. a + ) 0 0!, a + )! a + )! 5. a n cos n + ) π, k 8 Megoldás., a 4 + ) 4!, 9 8,... a cos π, a cos π 0, a cos π, a 4 cos 5π 0, a 5 cos π, a 6 cos 7π 0, a 7 cos 4π, a 8 cos 9π 0,... 6. a n sin nπ, k 8 Megoldás. a sin π, a sin π 0, a sin π, a 4 sin π 0, a 5 sin 5π, a 6 sin π 0, a 7 sin 7π, a 8 sin 4π 0,... {, n páratlan; 7. a n n, n páros., k 8 Megoldás. a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 4,...

.. Korlátos és monoton sorozatok 6 8. a n { n+ ln e, n páratlan; e ln n, n páros., k 8 Megoldás. a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7 4, a 8 4,... 9. a n + + + + n, k 4 Megoldás. a, a +, a + + 6, a 4 + + + 4 5,... 0. a n + + + n n +, k Megoldás. a + + 4, a + + + 4 + 4 4, a + + + 4 + 5 + 6 + 0,.... a, a n+ 5 4a n, k 5 Megoldás. a, a, a, a 4, a 5,.... a 4, a n+ a n + 5, k 5 6 Megoldás. a 4, a 7, a 8, a 4 8 8, a 5 5400 768,.... a 0, a n+ a n + )n n, k 5 Megoldás. a 0, a, a, a 4 8, a 5 7 6,... 4. a, a, a n+ a n+ + 5a n, k 5 Megoldás. a, a, a, a 4 7, a 5 9,... 5. a, a, a n+ ) n an+ + a n, k 5 Megoldás. a, a, a, a 4 4, a 5 5 8,..... Korlátos és monoton sorozatok Mivel a sorozatok is függvények, ezért természetes, hogy vizsgáljuk a függvényekre jellemző tulajdonságokat. Két ilyen fontos tulajdonság a korlátosság és monotonitás... Definíció. Az {a n } sorozatot felülről alulról) korlátosnak nevezzük, ha megadható olyan K k) szám, amelynél a sorozatnak nincs nagyobb kisebb) eleme, azaz a n K, n,,... a n k, n,,...). A sorozatot korlátosnak mondjuk, ha felülről és alulról is korlátos, azaz ha minden n-re k a n K. Az ilyen k számot alsó korlátnak, a K számot pedig felső korlátnak nevezzük.

64. SZÁMSOROZATOK A definícióból következik, hogy ha létezik egy felső alsó) korlát, akkor végtelen sok felső alsó) korlát is van. A valós számok teljességi aiómájából következik, hogy a felső korlátok között van legkisebb és az alsó korlátok között van legnagyobb... Definíció. Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határának vagy szuprémumának; alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határának vagy infimumának nevezzük. Jelölésük: sup{a n }, illetve inf{a n }. A fentiek szerint felülről alulról) korlátos sorozatnak van felső alsó) határa. Korlátos sorozatnak van felső és alsó határa is. A sorozat felső alsó) határa nem feltétlenül eleme a sorozatnak. a n.8. Példa. Az a n n sorozat alulról korlátos, mert n, így egy alsó korlátja k. Felülről nem korlátos a sorozat, mert bármely K számot is vesszük, van a sorozatnak olyan eleme, mely K-nál nagyobb, ugyanis a n > K, ha n > K +. A grafikon szempontjából ez azt jelenti, hogy a számsorozat pontjai vagy az y egyenesen vannak vagy pedig az y egyenes felett. 4 5 y n a n n.9. Példa. Az a n ) n n + n sorozat korlátos, mert a n n + )n n a n 5 4 y n + + n n +, tehát a n minden n-re, vagyis a sorozat egy alsó korlátja k, egy felső korlátja pedig K. A számsorozat pontjai az y és az y egyenesek között helyezkednek el, legfeljebb magukon az egyeneseken vannak rajta. 6 5 4 4 5 a n ) n n + n y n.0. Példa. Az a n ) n n sorozat sem alulról, sem felülről nem korlátos, mert a n > K, ha n > K. Ez egy oszcillálló sorozat, amelynél n növekedésével a megfelelő a n értékek abszolút értékben mind nagyobbak és nagyobbak, s így a nekik megfelelő pontok mind távolabb és távolabb vannak az -tengelytől.

.. Korlátos és monoton sorozatok 65 a n 4 4 5 n 5 a n ) n n.4. Definíció. Az {a n } sorozat szigorúan monoton növekvő csökkenő), ha a n < a n+ a n > a n+ ) minden n N esetén. Az {a n } sorozat monoton nemcsökkenő nemnövekvő), ha a n a n+ a n a n+ ) minden n N esetén. Ezen tulajdonságok valamelyikével rendelkező sorozatot monoton sorozatnak nevezzük... Példa. Az a n n n a n a n+ n n sorozat szigorúan monoton növekvő, mivel n n + n n nn + ) azaz a n < a n+ minden n természetes szám esetén. n )n + ) n nn + ) nn + ) < 0,

66. SZÁMSOROZATOK Az a n n sorozat n első néhány eleme 0.5 a n 0,,, 4, 4 5,.... 4 5 a n n n n.. Példa. Az a n n pozitív elemű) sorozat szigorúan monoton csökkenő, mivel a n a n+ n n+ n + n azaz a n > a n+ minden n természetes szám esetén. + n >, a n Az a n sorozat első n néhány eleme,,, 4, 0.5 5,.... 4 5 n a n n.. Példa. Az a n ) n sorozat nem monoton sorozat, hiszen az a n a n+ ) n ) n+ ) n + ) n ) n kifejezés nem állandó előjelű. Mivel a sorozat elemei váltakozva negatívak és pozitívak, ezért azt mondjuk rá, hogy oszcilláló, első néhány eleme pedig,,,,,.... a n 4 5 n a n ) n Vegyük észre, hogy ha az a n ) n számsorozatot számegyenesen ábrázoltuk volna, akkor csak két pont lenne a grafikonon, a -nél és az -nél. Mindkettő esetében viszont végtelen sok pont lenne egymás tetején, csak az egyenesen ezt nem lehet érzékeltetni.

.. Korlátos és monoton sorozatok 67 FELADATOK. Vizsgáljuk ki a következő sorozatok monotonitását és korlátosságát.. a n + n Megoldás. Vizsgáljuk ki a sorozat monotonitását. E célból két szomszédos elem különbségének előjelét kell meghatározni. a n+ a n + n + + n ) n + n n n nn + ) nn + ) < 0. Mivel a n+ a n < 0 minden n N esetén, ezért a n+ < a n érvényes minden n N esetén, vagyis a sorozat szigorúan monoton csökkenő. Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő, ezért az első elem a egyben a sorozat legkisebb felső korlátja is, azaz K esetén a n K minden n N esetén. Mivel n > 0 minden n N esetén, ezért a n + > minden n N esetén, n ezért a sorozat egy alsó korlátja lehet k. A sorozat tehát korlátos és minden n természetes számra < a n.. a n n Megoldás. A monotonitási tulajdonság meghatározásához vizsgáljuk most ki az a n+ a n különbség előjelét. Mivel a n+ a n n + ) n) n + n < 0, ezért a n+ < a n minden n természetes számra, tehát a sorozat szigorúan monoton csökkenő. Így a sorozat felülről korlátos, egy felső korlátja K a. Ha k alsó korlátja lenne, akkor erre k < n kellene, hogy teljesüljön, viszont ez csak n < k indeekre lenne igaz, nem pedig minden n természetes számra. Most ugyanis minél nagyobb n, annál kisebb a n n, tehát a sorozat alulról nem korlátos.. a n n + Megoldás. A monotonitást az a n+ a n különbség előjeléből állapítjuk meg. Mivel a n+ a n n + ) + n + ) n + n + n n > 0 minden n természetes számra, így a n+ > a n minden n természetes számra, tehát a sorozat szigorúan monoton növekvő. A sorozat első eleme egyben a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a. Ha létezne olyan K szám, amelyre n + < K, akkor ez a tulajdonság csak az n < K + indeű elemekre lenne igaz, tehát a sorozat felülről nem korlátos. Valóban, ez egy olyan sorozat, hogy egyre nagyobb n természetes számok esetén a n n + még gyorsabban nő. A sorozat tehát szigorúan monoton növekvő és alulról korlátos.

68. SZÁMSOROZATOK 4. a n n n Megoldás. Vizsgáljuk ki az a n+ a n különbséget. a n+ a n n + n + ) n n n n + ) n n n n n + n n + nn + ) nn ) n )n + ) nn + ) nn + ) > 0, ezért a n+ > a n minden n természetes számra, tehát a sorozat szigorúan monoton növekvő. A sorozat első eleme egyben a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a, illetve k. Mivel n > 0 minden n N esetén, ezért n < 0 és n < minden n N esetén, ezért a sorozat egy felső korlátja lehet k, hiszen minden n N-re a n n n n <. A sorozat tehát korlátos és minden n természetes számra a n. 5. a n n + n + Megoldás. Vizsgáljuk most is az a n+ a n különbséget. a n+ a n n + ) + n + ) + n + n + n + n + n + n + n + n + n + n + )n + ) n + )n + n + ) n + n + )n + ) n4 + n + n + n + n + n 4 n n n 4n 4 n + n + )n + ) n + ) n + n + )n + ) < 0, minden n természetes számra, így a n+ < a n minden n természetes számra, tehát a sorozat szigorúan monoton csökkenő. A sorozat első eleme egyben a sorozat egy felső korlátja is, tehát K a. Vegyük észre, hogy a n n + n + + n +. Mivel > 0, ezért + n + n + >, tehát k a sorozat egy alsó korlátja. A sorozat tehát korlátos és minden n természetes számra < a n.

.. Rekurzív sorozatok 69.. Rekurzív sorozatok A rekurzív sorozatok közül néhány sorozat gyakorlati alkalmazása, felhasználhatósága miatt annyira jelentős, hogy érdemes velük külön foglalkozni. Ezekből néhányat definiálunk, megmutatjuk jellegzetes tulajdonságaikat és érdekes alkalmazásaikat.... Számtani aritmetikai) sorozat.5. Definíció. Azt a számsorozatot, amelyben minden elemet tagot) az őt megelőzőből egy d állandó hozzádásával kapunk, számtani vagy aritmetikai) sorozatnak nevezzük. A d szám a sorozat különbsége vagy differenciája). A definíció alapján felírhatjuk a számtani sorozat rekurzív képzési szabályát: Ebből adódik, hogy a n a n + d, illetve a n a n d, n. a) ha d > 0, a számtani sorozat monoton növekvő és alulról korlátos, b) ha d < 0, a számtani sorozat monoton csökkenő és felülről korlátos, c) d 0 esetén is beszélhetünk számtani sorozatról, amely nemnövekvő, nemcsökkenő és korlátos sorozat. Elemei: a, a, a,...,a,... Az ilyen sorozatot állandó vagy konstans) sorozatnak nevezzük. A számtani sorozat megadásához elég két adat. Legegyszerűbb meghatározó adatai a és d. Az egyszerű képzési szabályból adódik, hogy a és d ismeretében a számtani sorozat bármelyik elemét felírhatjuk a következőképpen: a a + d, a a + d, a 4 a + d, Ezt az eljárást folytatva és általánosítva kimondható a következő tétel:... Tétel. Ha az {a n } számtani sorozat első eleme a és különbsége d, akkor minden n természetes számra érvényes, hogy a n a + n )d. Bizonyítás. A bizonyítás a matematikai indukció módszerével történik. o n esetén a a + )d a + 0 d a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz n k-ra, vagyis, hogy a k a + k )d. o Igazoljuk az állítás helyességét n k + -re. Ekkor a k+ a k + d a + k )d + d a + k + )d a + kd.

70. SZÁMSOROZATOK.4. Példa. Ha az 5,,, 4, 7,... számtani sorozat huszadik elemét kell meghatározni, akkor megállapíthatjuk, hogy a 5 és d, tehát a 0 a + 9 d 5 + 9 ) 5..5. Példa. Ha egy olyan számtani sorozat differenciáját kell kiszámítani, melynek első tagja és tizedik tagja, akkor az a 0 a + 9d összefüggésből azt kapjuk, hogy + 9d, ahonnan d. Mivel a n + a n+ a n d + a n + d a n a n, ezért érvényes, hogy a számtani sorozatban bármely három szomszédos elem közül a középső a két mellette levő elem számtani közepe. Erről a tulajdonságról kapta e sorozat a számtani megnevezést. Hasonlóan érvényes a következő összefüggés is: a n k + a n+k a n, k < n. Az összeg kiszámításának legegyszerűbb alapgondolata ma is az, amelyet Gauss 777-855) 9 éves korában alkalmazott, amikor tanítója azt a feladatot adta az osztályának, hogy adják össze -től 40-ig az egész számokat. Gauss egy pillanaton belül felírta az összeget: 80. Tanítója kérésére el is magyarázta a gondolatmenetét. Elképzelte egy sorba felírva a 40 tagú összeget, majd ugyanezt a 40 tagot fordított sorrendben aláírva. Az egymás alá került két szám összege mindenütt 4. 40 ilyen pár van, ezért 4-et 40-nel kellene szorozni, de a két sor miatt minden szám kétszer szerepel az összegben, ezért a 40 helyett csak 0-szal szorozta az összeget. Ez a szorzat adja a pontos összeget, a 80-at. Ugyanezzel a gondolatmenettel lehet kiszámítani a számtani sorozat első n elemének S n összegét. Kimondható a következő tétel:.. Tétel. Ha az {a n } számtani sorozat első eleme a és különbsége d, akkor az első n elemének összege S n a + a +... + a n n a + a n ) n a + n )d). Bizonyítás. Győződjünk meg először arról, hogy minden k esetén, amelyre k n érvényes, hogy a k + a n k+ a + a n. Valóban, a k a + k )d, a n k+ a + n k)d és a n a + n )d, tehát Mivel a k + a n k+ a + k )d + a + n k)d a + a + n )d a + a n. és ugyanakkor így összeadva a két egyenletet adódik, hogy S n a + a + + a n + a n S n a n + a n + + a + a, S n a + a n ) + a + a n ) + + a n + a ) + a n + a ) na + a n ).

.. Rekurzív sorozatok 7 Innen következik az S n n a + a n ) összefüggés, amelybe behelyettesítve az a n a + n )d kifejezést adódik, hogy S n n a + n )d). A tétel gyakorlati alkalmazását mutatja az alábbi példa..6. Példa. Egy útszakasz javításához homokbányából teherautóval homokot szállítanak. Az első forduló terhét a kocsi az út elején rakja le, ez a homokbányától 8000 m-es távolságra van. Minden további forduló terhét 5 m-rel távolabbra kell vinnie. A 5. fordulónál mekkora távolságra megy a kocsi, és a 5 forduló megtétele közben hány km utat tesz meg teher alatt? a 8000, d 5, tehát n 5 esetben a 5 8000 + 5 )5 8850, vagyis a 5. fordulónál a kocsi 8850 m távolságra megy. Mivel a 5 forduló alatt teherrel megtett távolságok összege S 5 a + a +... + a 5 5 a + a 5 ) 5 8000 + 8850) 94875 m, így megállapíthatjuk, hogy a 5. forduló megtétele után a kocsi teherrel összesen 94,875 km utat tett meg. FELADATOK.. Egy számtani sorozat első és ötödik tagjának összege 6, második és negyedik tagjának szorzata 60. Számítsuk ki első hat tagjának összegét. Megoldás. A feltételek lapján felírhatjuk, hogy a + a 5 6 és a a 4 60. Mivel a fenti összefüggésekben szereplő tagok a -ra szimmetrikusak, fejezzük ki a megadott feltételeket a segítségével. Ekkor az összegre vonatkozó feltételből következik, hogy a d + a + d 6, illetve a. Ha a feltételben szereplő szorzat tényezőit is felírjuk a segítségével, akkor az a d)a + d) 60, illetve d 60 összefüggést kapjuk, ahonnan d 9, azaz d vagy d. Ha d, akkor az a a + d összefüggésből a 7 következik, a keresett számtani sorozat pedig 7, 0,, 6, 9,... Amennyiben d, az a a + d összefüggésből a 9-et kapunk, s akkor a keresett számtani sorozat 9, 6,, 0, 7,...

7. SZÁMSOROZATOK. Határozzuk meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul -et adnak. Megoldás. Az első olyan kétjegyű szám, amely 4-gyel osztva maradékul -et ad, a. Ez lehet tehát egy sorozat első eleme a ). A 4-gyel való osztás maradékosztályában az elemek sorban 4-gyel növekszenek, tehát egy olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek különbsége d 4. Az utolsó kétjegyű szám ebben a sorozatban a 97. A kérdés most az, hogy a 97 hanyadik eleme ennek a sorozatnak. Mivel a n a + n )d, így 97 + n ) 4, és ebből n. A keresett összeg kiszámítható a számtani sorozat első n elemének S n összegképletéből, s így S + 97) 0 0.. Egy erdőtelepítésnél párhuzamos sorokban összesen 660 fát ültettek el. Az első sorba 8, minden következő sorba pedig -mal több fa került, mint az előzőbe. Hány fa jutott az utolsó sorba? Megoldás. A különböző sorokba ültetett fák száma olyan számtani sorozatot alkot, amelyben a 8 és d. Ha n sorba összesen 660 fát ültettek, akkor S n 660, és egyrészt ki kell számolni mennyi az n, másrészt pedig, hogy mennyi az a n. Mivel ahonnan S n n a + n )d), így 660 n 6 + n )), 50 6n + nn ), illetve n + n 50 0. Ebből n 40 és n, ahol a negatív tört megoldásnak nincs értelme, mivel ez nem lehet a sorozat tagjának indee. Ezek szerint 40 sor fát ültettek el és az utolsó sorba a 40 a + 9d 8 + 9 5 fa jutott. 4. Határozzuk meg a számtani sorozatban az első 9 tag összegét, ha tudjuk, hogy a 4 + a 8 + a + a 6 4. Megoldás. Mivel a 4 és a 6, valamint a 8 és a az a 0 elemre nézve szimmetrikusak, ezért írjuk fel a megadott feltételt a 0 és d segítségével. Ekkor a 0 6d) + a 0 d) + a 0 + d) + a 0 + 6d) 4, ahonnan a 0 56. Az első 9 tag összege felírható a 0 segítségével, mint S 9 9 a + a 9 ) 9 a 0 9d + a 0 + 9d) 9 a 0 9 56 064. 5. Lehetnek-e az 5 és a 5 egy olyan számtani sorozat elemei, amelynek első tagja? Megoldás. Ha van ilyen sorozat, akkor felírható, hogy 5 + n )d és 5 + m )d, ahol n és m különböző természetes számok. Ekkor 5 n )d és 5 m )d,

.. Rekurzív sorozatok 7 ezek hányadosa pedig 5 5 m )d n )d m n. Innen 5 m n +, ami lehetetlen, mert 5 irracionális szám, a m n + kifejezés pedig racionális, tehát nem lehetnek egyenlők. Megállapíthatjuk tehát, hogy az 5 és a 5 számok nem lehetnek egy olyan számtani sorozat tagjai, amelynek első tagja.... Mértani geometriai) sorozat.6. Definíció. Azt a számsorozatot, amelyben minden elemet tagot) az őt megelőzőből egy q 0 számmal való szorzással kapunk, mértani vagy geometriai) sorozatnak nevezzük. A q szám a sorozat hányadosa vagy kvociense). A definícióból következik a mértani sorozat rekurzív képzési szabálya: a n a n q, illetve a n a n q, n. Ebből látjuk, hogy q > 0 esetén a sorozat elemei azonos előjelűek. Ha q >, akkor a > 0 esetén a mértani sorozat szigorúan monoton növekvő, a < 0 esetén pedig szigorúan monoton csökkenő. Ha 0 < q < és a > 0, akkor a sorozat szigorúan monoton csökkenő, a < 0 esetén pedig szigorúan monoton növekvő. q -re állandó sorozatot kapunk. Ha q < 0, akkor az elemek előjele váltakozó. A definícióból következik, hogy adott a és q esetén a mértani sorozat tagjai felírhatók a a q, a a q, a 4 a q, alakban, illetve ezt az eljárást folytatva és általánosítva kimondható a következő tétel:... Tétel. Ha a mértani sorozat első eleme a és hányadosa q, akkor minden n természetes szám esetén a n a q n. Bizonyítás. A bizonyítást matematikai indukcióval végezzük. o n esetén a a q ) a q 0 a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz n k-ra, vagyis, hogy a k a q k. o Igazoljuk az állítás helyességét n k + -re. Ekkor a k+ a k q a q k q a q k a q k+.

74. SZÁMSOROZATOK.7. Példa. Ha az a feladatunk, hogy az a n mértani sorozatban meghatározzuk az n első elemet és a hányadost, akkor az első elem az a. A kvocienst kiszámíthatjuk bármelyik két szomszédos tag hányadosaként, például q a a..8. Példa. Állapítsuk meg, hogy a mértani sorozat hányadik tagja a 8, ha első eleme, hányadosa pedig. Mivel a n a q n, ezért 8 n, ahonnan n 4, illetve n 5. Ezért a sorozat ötödik eleme 8. A mértani sorozatban bármely három egymást követő elemre érvényes az a n a n a n+ összefüggés, amelyből pozitív tagú sorozat esetén felírható az a n a n a n+ képlet is. Ez azt jelenti, hogy a mértani sorozat három szomszédos eleme közül a középső a két mellette levőnek mértani közepe és ebből származik a megnevezésben a mértani jelző. Hasonlóan érvényes k < n esetén, hogy a n a n k a n+k..4. Tétel. Ha az {a n } mértani sorozat első eleme a és hányadosa q, akkor az első n elemének összege Ha q, akkor S n na. Bizonyítás. Ha akkor S n a + a +... + a n a qn q a qn q, q. S n a + a +... + a n S n q a q + a q +... + a n q a + a +... + a n+. Ha a második egyenletből kivonjuk az elsőt, akkor vagyis S n q S n a + a +... + a n+ a + a +... + a n ) a n+ a a q n a, S n q ) a q n ), ahonnan S n a q n q. Ha q, akkor a mértani sorozat minden tagja egyenlő, így S n n a.

.. Rekurzív sorozatok 75.9. Példa. Ha az S n n + n y + n y + + y n + y n összegben 0 és y 0, akkor S n egy olyan mértani sorozat első n tagjának összege, amelyben a n és q y. Ezért ahonnan S n n ) y n y y)s n n y n, n y n y, vagyis ily módon levezettük az ismert összefüggést, mely szerint n y n y) n + n y + n y + + y n + y n ). A mértani sorozat n-edik elemének kiszámítása a kamatos kamatszámításban nagyon fontos. Gondoljunk a következő problémára..0. Példa. Valaki január -én 7000 dinárt évi 5%-os kamatláb mellett betesz a bankba. Kamatosan kamatozva 6 év alatt mekkorára növekszik meg az összeg? A kamatos kamatozás azt jelenti, hogy az évi kamatot évenként automatikusan hozzácsatolják a lekötött pénzösszeghez, és a következő években már ez a megnövekedett összeg kamatozik.) Általánosan fogalmazva: A T 0 összeg évi p%-os kamatlábbal kamatozva n év alatt mekkorára növekszik fel? A p%-os kamattal növelt összeg év alatt az eredeti + p -szorosára növekszik. Ezért 00 p%-kal kamatosan kamatozva n év alatt a T 0 összegből lesz T n T 0 + p ) n. 00 Esetünkben ez T 6 T 0 + p ) 6 7000 + 5 ) 6 7000, 05 6 980, 67 din. 00 00 FELADATOK.. Egy növekvő mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 0, első három tagjának összege pedig 6. Melyik ez a sorozat? Megoldás. Mivel a + a 0 és a + a + a 6, ebből nyilvánvaló, hogy a 6, ahonnan a q 6, illetve a 6 q. Mivel a + a q 0, így a + q ) 0, illetve 6 q + q ) 0.

76. SZÁMSOROZATOK Ebből a q 0q+ 0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai q és q. Mivel a keresett sorozat növekvő kell legyen, így a hányados nem lehet. Ezért q és a. A feladatban megdott feltételekt kielégítő növekvő mértani sorozat tehát:, 6, 8, 54,.... Egy mértani sorozat negyedik tagja 4-gyel nagyobb, mint a második tag, második és harmadik tagjának összege pedig 6. Határozzuk meg ezt a sorozatot. Megoldás. A megadott feltételekből felírhatjuk, hogy a 4 a + 4 és a + a 6, a q a q 4 és a q + a q 6, illetve a q q) 4 és a q + q ) 6. Osszuk el a két egyenlet megfelelő oldalait: Ekkor q q q + q 4 6. qq ) 4qq + ), ha q + q 0, ebből pedig következik, hogy q 4, ahonnan q 5. Most 0 a 6, innen pedig a. Ekkor a keresett mértani sorozat 5,, 5, 5, 5,... 5 Nézzük meg ad-e további megoldást a q + q 0 eset. A mértani sorozat definíciója szerint q 0. Ha q, akkor a második feltételből a 0 6, ami ellentmondást jelent, tehát ezek az értékek nem adnak megoldást.. Egy pozitív tagú mértani sorozat első és ötödik tagjának különbsége 5, első és harmadik tagjának összege pedig 0. Határozzuk meg a sorozat első öt tagjának összegét. Megoldás. Ahhoz, hogy a mértani sorozat minden tagja pozitív legyen, a és q is pozitív kell legyen. A feltételek szerint a a 5 5 és a + a 0 igaz, amelyek felírhatók a és q segítségével, mint a q 4 ) 5 és a + q ) 0. Elosztva a két egyenlet megfelelő oldalait kapjuk, hogy q 4 + q 4. Mivel q 4 q ) + q ) és + q 0, ezért a baloldalon egyszerűsíthetünk + q -tel, s ebből az q 4, illetve q 4

.. Rekurzív sorozatok 77 egyenletet kapjuk, ahonnan q vagy q. Mivel a feltételek szerint a hányados nem lehet negatív, ezért q az egyetlen megoldás. Ekkor a 6, a keresett mértani sorozat pedig 6, 8, 4,,,,... 4. Egy háromszög oldalainak mérőszáma egy mértani sorozat három egymást követő eleme. Milyen határok között változhat a sorozat hányadosa? Megoldás. Legyenek a háromszög oldalai a, b és c. Tegyük fel, hogy a a háromszög legrövidebb, c pedig a leghosszabb oldala. Mivel ezek a számok mértani sorozatot alkotnak, így b aq és c aq, eami szerint q. A háromszög oldalaira vonatkozó egyenlőtlenség szerint a + b > c, ahonnan a + aq > aq. Mivel a a háromszög oldala, ezért pozitív szám, így a fenti egyenlőtlenség osztható a-val. Ekkor q q < 0 egyenlőtlenséget kapjuk, ahonnan q 5, + 5 ). Mivel 5 szám, ezért a q feltétel miatt a hányados határai és + 5, azaz q < + 5. negatív 5. A és 4 közé iktassunk 9 számot úgy, hogy a két megadott számmal együtt mértani sorozatot alkossanak. Megoldás. A -vel és a 4-gyel együtt a keresett 9 szám a sorozat elemét adja meg, vagyis a és a 4. Mivel a a q 0, így 4 q 0, ahonnan q 0 következik, ugyanis ennek a sorozatnak növekvőnek kell lennie, és ez csak q > esetén történhet meg. Így a sorozat elemei, 0, 0, 0, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 0 0, illetve némi rendezés után, 0, 5, 0 8, 5 4, 0, 5 8, 0 8, 5 6, 0 5, 4. 6. Egy számtani és egy mértani sorozat első eleme 5 és harmadik elemük is egyenlő. A számtani sorozat második eleme 0-zel nagyobb a mértani sorozat második eleménél. Írjuk fel ezeket a sorozatokat. Megoldás. Jelölje a, a, a a számtani sorozat, b, b, b pedig a mértani sorozat első három elemét. Ekkor a b 5, a b, és a b + 0.

78. SZÁMSOROZATOK Mivel a 5 + d és a 5 + d, valamint b 5q és b 5q, így következik, hogy 5 + d 5q és 5 + d 5q + 0. A második egyenletből d 5q +5, majd ezt az elsőbe helyettesítve következik, hogy 5 + 0q + 0 5q, vagyis q q 0, amelynek megoldásai q és q. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 5,... számtani és az 5, 5, 5,... mértani sorozat. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 45,... számtani és az 5, 5, 45,... mértani sorozat. Ezért tehát két sorozatpár létezik a feladatban megadott feltételekkel, mégpedig az valamint az sorozatpár. 5, 5, 5,... és 5, 5, 5,... 5, 5, 45,... és 5, 5, 45,... 7. Négy szám egy mértani sorozat négy egymást követő elemét alkotja. Ha a második számhoz 6-ot, a harmadikhoz -at adunk, a negyedikből 6-ot elveszünk, akkor az így kapott négy szám egy számtani sorozat egymást követő tagjai lesznek. Melyik ez a négy szám? Megoldás. Legyenek a, b, c és d a négy szám, amelyek mértani sorozatot alkotnak. Ekkor a feltételek szerint a, b + 6, c + és d 6 számtani sorozatot alkotnak. Ezért érvényes, hogy b ac c bd b + 6) a + c + c + ) b + 6 + d 6 A harmadik egyenletből a b c + 9, a negyedikből pedig d c b + 6. helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket az első két egyenletbe. Ekkor a b cb c + 9) c bc b + 6) egyenletrendszert kapjuk. Rendezzük a két egyenletet b + c bc 9c b + c bc 6d alakúra, majd vonjuk ki egymásból a két egyenletet. Ekkor c 4d adódik, majd ezt behelyettesítve az a b c + 9 és d c b + 6 egyenletekbe adódnak az a 9 b és d 7b + 6 összefüggések. A b ac egyenletbe helyettesítve a b 9 b) 4b egyenletet kapjuk, ahonnan b 0 vagy b 4. Ha b 0, akkor c 0, a 9 és d 6, amiből a 9, 0, 0, 6 sorozatot kapnánk, de ez nem mértani sorozat. Ha b 4, akkor c 6, a és d 64, amiből az, 4, 6, 64 mértani sorozatot kapjuk, a megfelelő számtani sorozat pedig az, 0, 9, 8. A keresett négy szám tehát, 4, 6, 64.

.. Rekurzív sorozatok 79 8. Három szám, melyek összege 76, mértani sorozatot alkot. Ezt a három számot tekinthetjük egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik tagjának is. Melyik ez a három szám? Megoldás. Legyenek a, b és c a keresett számok. Mivel ezek a számok mértani sorozatot alkotnak, így b aq és c aq. A számok összege a + b + c 76, illetve a + aq + aq 76. A másik feltétel szerint b a + d, illetve c a + 5d és mivel mértani sorozat elemeiről van szó, ezért felírható, hogy aq a + d, illetve aq a + 5d. ha a két egyenletet kivonjuk egymásból, akkor a d aqq ) feltételt kapjuk. Az aq ) d és a aqq ) d feltételből adódik továbbá, hogy ahonnan aq ) aqq ), aq ) aqq ) azaz aq ) q) 0. Innen a 0 vagy q vagy q a lehetséges megoldások. a 0 esetén b 0 és c 0 lenne, ezek összege pedig nem 76. Ha q, akkor a 76, b 76 és c 76. Ez a három szám kielégíti a megadott feltételeket. ha q, akkor a + + 4 ) 76, ahonnan a 6, b 4 és c 6 adódik. 9 Mivel ez a három szám is kielégíti a megadott feltételeket a megfelelő számtani sorozatban d 4), ezért két olyan számhármas létezik, amely eleget tesz a feladatban kitűzött feltételeknek, ezek pedig a 76, 76, 76 és a 6, 4, 6. 9. Lakásvásárlásra januárban 50000 euró kölcsönt kaptunk a banktól évi 5%-os kamatos kamatra. Minden év végén 6000 eurót kell törlesztenünk. Hány év múlva fizetjük vissza az adósságunkat? Megoldás. A kölcsön összege kezdetkor T 0 50000 euró. Ha erre az összegre az év végén 5%-os kamatot fizetünk és törlesztünk 6000 eurót, akkor az első év végén az adósságunk ahol q + T T 0 + p ) T 0 q, 00 p. A második év végén az adósságunk 00 ) T T + p 00 T 0 q ) q T 0 q q + ). A harmadik év végén ez T T + p ) T 0 q q + )) q T 0 q q + q + ). 00 Folytatva ezt az eljárást azt kapjuk, hogy az n. év végén adósságunk T n T 0 q n q n + q n + + q + ) T 0 q n qn q.

80. SZÁMSOROZATOK Ha adósságunkat az n. évben teljesen vissza akarjuk fizetni, akkor T n 0 kell legyen. Az a kérdés, hogy ez hanyadik évben történik, azaz mennyi az n értéke. Mivel így a keresett értéket a q + egyenletből számítjuk ki. Innen p 00 + 5 00.05, 0 50000.05 n 6000.05n.05 0000 70000, 05 n, illetve.05 n 7. Mindkét oldal logaritmálásával azt kapjuk, hogy n log.05 log 7, ahonnan n.04, ez pedig azt jelenti, hogy az adósságot körülbelül év alatt fizetjük vissza. 0. Számítsuk ki az S n 9 + 99 + 999 + + } 99 {{ 9} összeget. n Megoldás. Először vegyük észre, hogy az összeadandók mindegyike a 0 valamelyik hatványától -gyel kisebb szám. Ezt az észrevételt felhasználva felírhatjuk, hogy Innen az S n 0 ) + 0 ) + 0 ) + + 0 n ). S n 0 + 0 + 0 + + 0 n n, képletet kapjuk, amelyben felhasználva a mértani sorozat első n elemének összegképletét adódik, hogy S n 0 0n 0 n 0 9 0n ) n.... A Fibonacci-féle sorozat Leonardo Pisano 70-50) olasz kereskedő-matematikust Fibonaccinak Bonaccio fia) is nevezték. Sokat utazott és utazásai során sokat foglalkozott az arab matematikával. Két könyvet írt, melyekben több saját eredménye is van. Az 8-ban kiadott könyvében található az azóta híressé vált következő példa... Példa. Vizsgáljuk meg, mennyire szaporodik egy pár maszületett nyúl egy év alatt, ha minden nyúlpár minden hónap végén egy párral szaporodik, a nyulak pedig kéthónapos korukban ivarérettek. Ez azt jelenti, hogy akkor hoznak első ízben utódokat.) Minden hónap végén csak azok a nyulak szaporodnak, amelyek legalább kéthónaposak, és így az első hónap végén, illetve második hónap kezdetén nincs szaporulat, marad az egy

.4. Differenciaegyenletek 8 pár nyúl. A második hónap végén, azaz harmadik hónap kezdetén már van szaporulat, és így két pár a nyulak száma. A harmadik hónap végén, illetve negyedik hónap kezdetén is csak az eredeti egy pár nyúlnak van ivadéka és így három pár nyúl lesz. A következő, a negyedik hónap végén, vagyis ötödik hónap kezdetén már két pár nyúl lesz kéthónapos, ezért a szaporulat két pár stb. Ha a n jelenti a nyulak számát az n-edik hónap kezdetén és a a nyulak számát a tenyésztés kezdetén, akkor Az így kapott a, a, a n+ a n + a n, n,,...,,,, 5, 8,,, 4, 55,... sorozatot Fibonacci sorozatnak szokás nevezni, amelynek általános eleme: [ ) a n n ) n ], n,,... 5 + 5 5.4. Differenciaegyenletek Az előző fejezetekben találkoztunk két érdekes rekurzív sorozattal. Az egyik egy mértani sorozat, a, a n+ a n, n,,..., amely általános tagjának képlete a n n, a másik a Fibonacci-sorozat amely általános tagjának képlete [ a n + 5 5 a, a, a n+ a n + a n, n,,...,.) ) n ) n ] 5, n,,..., két mértani sorozat különbsége. Most megmutatjuk azt az eljárást, amelyből a Fibonaccisorozat képletét nyertük. Tegyük fel, hogy van olyan {t n } t 0) mértani sorozat, amely a.) rekurziós formulát kielégíti. Ekkor t n+ t n + t n, n,,..., és így t t 0..) Ha t a.) egyenletnek a megoldása, akkor {t n } kielégíti a.) rekurziós formulát. Mivel a.) egyenlet két gyöke t + 5) és t 5), ezért az { + ) n } { 5 ) n } 5 és.) geometriai sorozat mindegyike megoldása a.) rekurziós formulának. A fenti két sorozat egyike sem teljesíti azonban az a a kezdeti feltételeket. Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely C és C állandó mellett a.) sorozatok C és C

8. SZÁMSOROZATOK állandókkal való beszorzásával kapott sorozat is kielégíti a.) rekurziós formulát, és a két sorozat összege, az + ) n 5 ) n 5 a n C + C is. Most a C és C értékeket, a mértani sorozat kezdőértékeit úgy fogjuk megválasztani, hogy a a legyen. Ez a következő egyenlőségek teljesülését jelenti: + ) 5 ) 5 C + C, C + ) 5 ) 5 + C, amiből C 5 és C 5. Ezt az eljárást alkalmazni lehet a Fibonacci-sorozatnál általánosabb rekurzív sorozatokra is..4.. Véges differenciák.7. Definíció. Egy {a n } valós számsorozat véges differenciáján a különbséget értjük. a n a n+ a n, n,,... Az a leképezés, amely az {a n } sorozathoz hozzárendeli a { a n } sorozatot, a következő tulajdonsággal rendelkezik: és ha λ valós szám, akkor a n + b n ) a n + b n, λa n ) λ a n, vagyis a az összeadással és a λ-val való szorzással felcserélhető. Ezt a tulajdonságot úgy fejezzük ki röviden, hogy lineáris. A magasabb differenciákat a következőképpen értelmezzük: a második differencia a n a n ) a n+ a n+ + a n..4.. Állandó együtthatós lineáris differenciaegyenletek.8. Definíció. Az ismeretlen {a n } számsorozat és első differenciája között fennálló A a n + A 0 a n 0,.4) alakú lineáris összefüggést, ahol A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, állandó együtthatós elsőrendű lineáris differenciaegyenletnek nevezzük.

.4. Differenciaegyenletek 8 Behelyettesítve a véges differencia alakját, a.4) egyenletet a alakban is felírhatjuk... Példa. Tekintsük a a n+ qa n a n k alakú differenciaegyenlet, ahol k állandó. A véges differencia definícióját behelyettesítve a fenti egyenlet a n+ a n k alakban írható fel. Az általános megoldás nyilvánvalóan a n kn + C. Ez azt jelenti, hogy az a n értékek olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek differenciája k... Példa. Tekintsük most a a n + ba n 0 differenciaegyenletet. A véges differencia definícióját behelyettesítve ez az egyenlet alakban írható, ahonnan a n+ a n + ba n 0 a n+ a n b egyenlet adódik. Ebben az esetben tehát az a n értékek mértani sorozatot alkotnak. a A kezdeti érték esetén az a n+ qa n elsőrendű lineáris differenciaegyenlet általános megoldása a n Aq n. A megoldáshoz a következő módszerrel juthatunk: keressük a megoldást a n Ct n alakban, ahol C meghatározatlan állandó, maga a megoldás pedig egy tetszőlegesen választott kezdeti értéktől függ. Behelyettesítés után adódik, hogy t n+ qt n, innen pedig a t q 0 karakterisztikus egyenlet megoldásaként a t q értéket kapjuk. A kezdeti érték felhasználásával kiszámítható, hogy C A, ami a fent megadott megoldáshoz q vezet..9. Definíció. Az ismeretlen {a n } számsorozat és első két differenciája között fennálló A a n + A a n + A 0 a n 0.5) alakú lineáris összefüggést, ahol A, A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, állandó együtthatós másodrendű lineáris differenciaegyenletnek nevezzük.

84. SZÁMSOROZATOK Behelyettesítve a véges differenciák megfelelő alakjait, a.5) egyenletet az a n+ pa n+ + qa n.6) alakban is felírhatjuk. Induljunk ki most a.6) egyenletből, amely az a n, a n+ és a n+ ismeretleneket tartalmazza. Ha az a n és a n+ értékeket tetszőlegesen választjuk, akkor az egyenlet meghatározza az a n+ értéket. Írjuk fel most azt az egyenletet, amelyet úgy kapunk, hogy minden inde értékét eggyel megnöveljük. Az ebben az egyenletben előforduló ismeretlenek a következők lesznek: a n+, a n+ és a n+. Mivel a n+ és a n+ értéke már ismert, ezért meg tudjuk határozni a n+ értékét. Folytatva ezt az eljárást, belátható, hogy a n és a n+ tetszőlegesen megválasztott két kezdeti értéke a megoldást teljesen meghatározza. A megoldás tehát két tetszőlegesen választható kezdeti értéktől függ. Tegyük fel, hogy f n és g n az a n+ pa n+ + qa n.7) állandó együtthatós lineáris differenciaegyenlet két lineárisan független megoldása és mindkettő egy speciálisan megválasztott kezdeti értékrendszernek felel meg. Ekkor, az egyenletek lineáris jellege miatt az általános megoldást a n C f n + C g n alakban írhatjuk fel, ahol C és C tetszőleges állandó. A fenti összefüggés megadja a.7) differenciaegyenlet általános megoldását, ha az f n és g n megoldások lineárisan függetlenek. A.7) másodrendű lineáris differenciaegyenlet általános megoldásának előállítása végett keressük a megoldást a n t n t 0) alakban, ahol t egyelőre határozatlan állandó. Behelyettesítve a következő.7) differenciaegyenletbe, t ismeretlenes egyenletet kapjuk: amiből a t n+ pt n+ + qt n, n,,,...,.8) t pt + q, másodfokú algebrai egyenlet adódik, a.7) karakterisztikus egyenlete, amelynek t a gyöke. Fordítva, ha t a karakterisztikus egyenletnek a megoldása, akkor.8) is érvényes, vagyis t n kielégíti a.7) differenciaegyenletet. Két esetet fogunk tárgyalni: amikor a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós gyöke van és amikor a karakterisztikus egyenletnek egy kettős valós gyöke van. I. Vegyük először a két különböző valós gyök esetét, amikor t és t a karakterisztikus egyenlet valós megoldásai, ahol t t. Ekkor, f n t n és g n t n a lineárisan független megoldások, s éppúgy, mint a Fibonacci-sorozat esetében, tetszőleges C, C mellett az a n C t n + C t n.9) sorozat általános megoldása a differenciaegyenletnek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyenletrendszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.9) képletbe.

.4. Differenciaegyenletek 85.4. Példa. Oldjuk meg az differenciaegyenletet. a n+ 5a n+ 6a n, n,,... a, a Megoldás. A karakterisztikus egyenlet t 5t + 6 0, amelynek gyökei t és t. Így az egyenlet általános megoldása: a n C n + C n, n,,... A C, C értékpárra C + C, 9C + 4C, amiből C 4 és C 7. II. Kettős valós gyök esetén, amikor t t valós szám, f n t n és g n nt n a lineárisan független megoldások, s tetszőleges C, C mellett az a n C t n + C nt n.0) sorozat általános megoldása a differenciaegyenletnek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyenletrendszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.0) képletbe..5. Példa. Határozzuk meg az a 0, a a n+ 4a n+ 4a n, n,,... rekurzív módon megadott számsorozat általános elemét. Megoldás. A karakterisztikus egyenlet t 4t + 4 0, amelynek gyökei t t. Így az egyenlet általános megoldása: a n C n + C n n, n,,... A C, C értékpárra C + C 0, 4C + 8C, amiből C 4 és C. Ennek alapján az általános elem 4 a n 4 n + 4 n n n ) n.

86. SZÁMSOROZATOK FELADATOK.. Oldjuk meg az a n+ a n 0 differenciaegyenletet, ha a. Megoldás. Keressük a megoldást a n t n alakban, ahol t 0. Ekkor az egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy t n+ t n 0, illetve a t 0 karakterisztikus egyenletet, amelynek megoldása t. Ekkor az általános megoldás a n C n alakban írható fel, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a kell, hogy teljesüljön, ezért behelyettesítve az általános megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahonnan C, a kért feltételeknek eleget tevő megoldás pedig a n n, azaz a n n.. Írjuk fel az a, a n+ 0 a n rekurzív módon megadott számsorozat általános elemét. Megoldás. A megoldást a n t n alakban keressük, ahol t 0. Ekkor az egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy t n+ 0 tn, ahonnan t 0 a karakterisztikus egyenletet megoldása. Ekkor a rekurzív egyenletet kielégíti az a n C ) n általános megoldás, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a 0 kell, hogy teljesüljön, ezért behelyettesítve az általános megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahonnan C 0 következik, a sorozat n. elemének képlete pedig 0 a n 0 )n 0, azaz a n n )n 0. n. Oldjuk meg az a n+ 5a n+ 6a n differenciaegyenletet, ha a, a. Megoldás. A megoldást most is a n t n alakban keressük, ahol t 0. Ekkor az egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy t n+ 5t n+ 6t n, ahonnan t 5t + 6 0 a karakterisztikus egyenletet, megoldásai pedig t és t. Ekkor a differenciaegyenletet kielégíti minden a n C n + C n alakú megoldás, amelyet általános megoldásnak nevezünk, ahol C és C tetszőleges egymástól független valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljön, ezért behelyettesítve az általános megoldás képletébe kapjuk az C + C és 4C + 9C, egyenletrendszert, ahonnan C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a n n n.

.4. Differenciaegyenletek 87 4. Írjuk fel az a, a, a n+ a n+ + 4a n rekurzív módon megadott számsorozat általános elemét. Megoldás. Keressük az általános elemet a n t n alakban, ahol t 0. Ekkor az egyenletbe helyettesítve adódik, hogy t n+ t n+ + 4t n, ahonnan t t 4 0 a karakterisztikus egyenletet, melynek megoldásai t és t 4. Ekkor a rekurzív egyenletet kielégíti minden olyan a n C ) n + C 4 n alakú megoldás, ahol C és C tetszőleges egymástól független valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljön, ezért behelyettesítve az általános megoldás képletébe kapjuk az C + 4C és C + 6C, egyenletrendszert, ahonnan C és C 0, a sorozat általános elemének képlete pedig a n ) n, vagyis a n ) n+. 5. Oldjuk meg az a n+ a n+ a n differenciaegyenletet, ha a 0, a. Megoldás. A megoldást a n t n alakban keressük, ahol t 0. Az egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy t n+ t n+ t n, ahonnan t + t + 0 a karakterisztikus egyenletet, melynek megoldásai t t. Ekkor a differenciaegyenletet kielégíti minden a n C ) n + C n ) n alakú megoldás, amelyet általános megoldásnak nevezünk, ahol C és C tetszőleges egymástól független valós számok. Mivel a 0 és a kell, hogy teljesüljön, ezért behelyettesítve az általános megoldás képletébe kapjuk az 0 C C és C + C, egyenletrendszert, ahonnan C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a n ) n n ) n, vagyis a n n) ) n.

88. SZÁMSOROZATOK.5. Konvergens sorozatok.5.. Sorozatok határértéke Tekintsük az a n n, b n n n, c n + )n n, d n ) n sorozatokat. számsíkban. Írjuk fel e sorozatok első néhány elemét és rajzoljuk fel grafikonjaikat a a n n esetén a n a, a, a, 0.5 a 4 4, a 5 5,... y 0 4 5 n b n n n esetén b 0, b, b, b 4 4, b 5 4 5,... 0.5 a n 4 5 y n c n + )n n esetén c 0, c +, c, a n y c 4 + 4, c 5 5,... 0 4 5 n a n d n ) n esetén d, d, d, d 4, d 5,... 4 5 n E sorozatokat vizsgálva észrevehető, hogy az {a n }, {b n }, {c n } sorozatok esetében rendre van egy-egy olyan szám, amelyet a sorozat elemei tetszőlegesen megközelítenek valamilyen módon. Az {a n } sorozat elemei a 0-t, a {b n } és a {c n } sorozat elemei az -et. A {d n } sorozat esetében nincs ilyen szám.

.5. Konvergens sorozatok 89 A sorozatok e tulajdonságának pontos meghatározása adja a konvergencia, illetve a határérték fogalmát. A következőkben két egymással ekvivalens definíciót adunk meg..0. Definíció. Az {a n } sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy bármely ε > 0 számhoz megadható olyan N N küszöbszám vagy küszöbinde) N függ ε-tól), hogy ha n N, akkor a sorozat elemeinek A számtól való eltérése kisebb mint ε, azaz a n A < ε. a n A ε A A ε y A ε y A y A ε 0 4 5 6 7 8 n.. Definíció. Az {a n } sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy A bármely környezetébe a sorozatnak véges sok elem kivételével minden eleme beletartozik. 0 A ε A A ε a n Az A számot az {a n } sorozat határértékének vagy limeszének nevezzük jelölése pedig lim a n A illetve a n A n olvasd: limesz a n egyenlő A, illetve a n tart A-hoz, vagy a n konvergál A-hoz)..6. Példa. Vannak olyan sorozatok, amelyeknek nincs határértéke, mint például a a n ) n n + n, b n n, c n ) n, d n ) n n... Definíció. Az olyan sorozatokat, amelyeknek nincs határértékük, divergens sorozatoknak nevezzük. A következő tétel a határérték egyértelműségét vagy unicitását) mondja ki..5. Tétel. Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Bizonyítás. A tételt indirekt módon bizonyítjuk, azaz feltesszük, hogy legalább két határértéke van a sorozatnak, például A és A A A ). Mivel A A, ezért A A ρ > 0. ρ Tekintsük az A és A sugarú környezetét. Ezeknek a környezeteknek - a sugár alkalmas 4 választása miatt - nincs közös része. A határérték.. Definíciója alapján, ha A határértéke a sorozatnak, akkor bármely, így ρ sugarú környezetébe is, a sorozatnak végtelen sok 4

90. SZÁMSOROZATOK ρ eleme esik, és ebből csak véges sok marad ki. Ez azt jelenti, hogy A sugarú környezetébe 4 csak véges sok eleme eshet a sorozatnak, tehát A -nek van olyan környezete, amelyből végtelen sok eleme marad ki a sorozatnak, így A nem lehet a sorozat határértéke. Ezzel ellentmondásba kerültünk a feltételezésünkkel, hogy A is határértéke a sorozatnak. Az alábbi tételek a konvergens sorozatoknak két fontos tulajdonságát mondják ki..6. Tétel. Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is. Bizonyítás. Ha a n A, akkor ε -hez is van olyan N Z +, hogy n N -re a n A <, azaz A < a n < A +. Ha vesszük az A + számot és a sorozat nála nagyobb elemeit ilyen csak véges sok lehet, legfeljebb N ), és ezek közül kiválasztjuk a legnagyobbikat, akkor ez nyilvánvalóan felső korlátja lesz a sorozatnak. Hasonlóan adhatunk egy alsó korlátot is a sorozathoz. Vagyis, ha K ma{a +, a, a,..., a N }, k min{a, a, a,..., a N }, akkor minden n-re teljesül, azaz a sorozat valóban korlátos. k a n K Az állítás nem fordítható meg, azaz a korlátosságból nem következik a konvergencia..7. Példa. a) Az a n n sorozat konvergens, tehát korlátos is. b) A b n n sorozat nem korlátos, tehát nem is konvergens. c) A c n ) n sorozat korlátos, de nem konvergens. Ha egy sorozatból végtelen sok elemet választunk ki abban a sorrendben, ahogy ezek az eredeti sorozatban szerepeltek, a sorozatunk egy részsorozatát kapjuk..8. Példa. Tekintsük az a n sorozatot. Válasszuk ki ennek összes páratlan indeű n elemét, ezzel egy új b n n sorozat áll elő:,, 5,.....7. Tétel. Konvergens sorozat minden részsorozata konvergens, és határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. A sorozatok egy másik, a határértékhez közelálló, de azzal nem azonos jellemzője a torlódási pont. Az alábbiakban ezzel ismerkedünk meg... Definíció. Az a számot az {a n } sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha a bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. A torlódási pont fogalmát másképpen is lehet definiálni, s a két definíció természetesen egymással ekvivalens..4. Definíció. Az {a n } sorozatnak az a szám torlódási pontja, ha kiválasztható az {a n } sorozatból egy a-hoz konvergáló {b n } részsorozat.

.5. Konvergens sorozatok 9 Nyilvánvaló, hogy a határérték mindig torlódási pont, de ez az állítás fordítva általában nem igaz..9. Példa. Vizsgáljuk meg az a n ) n n + sorozat elemeit, felrajzolva azokat a n számsíkban és a számegyenesen. Ez a sorozat nem konvergens, mert két torlódási pontja van, és. Az {a n } sorozat konvergens részsorozatai b n n + és c n n + n n, ahol lim b n és lim c n. n n 0 4 5 4 a n a n 4 5 6 7 8 y y n Tudjuk, hogy egy sorozat korlátosságából nem következik a sorozat konvergenciája, igaz viszont a következő tétel..8. Tétel. Bolzano-Weierstrass). Korlátos sorozatnak van legalább egy torlódási pontja. Megjegyezzük, hogy a Bolzano-Weierstrass tétel egy más megfogalmazása a következő: Korlátos sorozatból kiválasztható legalább egy konvergens részsorozat..0. Példa. Az a n ) n sorozatból a páros indeű elemeket kiválasztva, -hez konvergáló részsorozatot kapunk. A Bolzano-Weierstrass tétel következménye az alábbi állítás..9. Tétel. Ha egy korlátos sorozatnak csak egy torlódási pontja van, akkor a sorozat konvergens... Példa. a) Az a n )n n konvergens. sorozat korlátos és csak egy torlódási pontja van, tehát b) A jól ismert b n ) n sorozat ugyan korlátos, de két torlódási pontja van, és, ezért nem konvergens.

9. SZÁMSOROZATOK c) A c n n + ) n n sorozatnak csak egy torlódási pontja van, a 0, de nem korlátos, ezért nem konvergens. Az előzőekben beláttuk, hogy egy konvergens sorozat mindig korlátos, de az állítás megfordítása nem igaz. Ha azonban a korlátos sorozat egyben monoton is, akkor már bizonyosan konvergens..0. Tétel. Ha egy sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens. Ha a sorozat növekvő, akkor a felső határhoz, ha csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás. Legyen például az {a n } korlátos sorozat növekvő. Ekkor a n a n+ minden n-re teljesül. A sorozat korlátos, így van felső határa, jelöljük ezt H-val. Ekkor, egyrészt a n H minden n-re, másrészt tetszőleges pozitív ε számhoz megadható a sorozatnak olyan a n eleme, amely H ε-nál nagyobb, amelyre tehát H ε < a n < H. Mivel a sorozat növekvő, a fenti egyenlőtlenség a sorozat minden, az a n -ot követő elemére igaz. Így a H bármely környezetéből a sorozatnak legfeljebb véges számú eleme marad ki, hiszen H ε < a n a n < H teljesül minden n -nál nagyobb n-re. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy az {a n } sorozat konvergens, és határértéke H. Csökkenő sorozatra - a sorozat alsó határának létezését kihasználva - a bizonyítás hasonlóan végezhető el... Példa. a) Az a n n + sorozat monoton csökkenő és korlátos, ezért konvergens. n + b) A b n n n + sorozat monoton növekvő és korlátos, ezért konvergens..5.. Nullához és végtelenhez tartó sorozatok A technikai és a gyakorlati alkalmazás szempontjából rendkívül fontosak azok a sorozatok, amelyek minden határon túl növekednek, illetve csökkennek. Most megadjuk ezen heurisztikus fogalmak pontos definícióját..5. Definíció. Azt mondjuk, hogy az {a n } sorozat plusz végtelenhez tart, ha minden K valós számhoz létezik olyan N N küszöbszám, hogy n N esetén a n > K. Ezt a tényt a következő módon jelöljük: lim a n + vagy a n +. n.6. Definíció. Ha az {a n } sorozat olyan, hogy lim n a n ) +, akkor azt mondjuk, hogy az {a n } sorozat minusz végtelenhez tart, és ezt a tényt a következő módon jelöljük: lim a n vagy a n. n

.5. Konvergens sorozatok 9 Amennyiben az {a n } sorozat valamelyik végtelenhez divergál, szokás azt mondani, hogy tágabb értelemben konvergens vagy valódi divergens sorozat. Ilyen szóhasználat esetén a + és a is tekinthető valamely sorozat határértékének, bár egyik sem szám... Példa. a) A természetes számok,,,..., n,... sorozata + -be divergál. b) A negatív egész számok { n} sorozata -be divergál, n. c) A, 4, 8,..., n,... sorozat + -be divergál, n. d) A, 8,,..., n,... sorozat -be divergál, n. Az a n n sorozat a b n n sorozatnak, a c n n sorozat a d n n sorozatnak részsorozata, így a fenti példák azt mutatják, hogy a valódi divergens sorozatok bizonyos tekintetben hasonlóan viselkednek, mint a konvergens sorozatok. Érvényes a következő állítás:.. Tétel. Ha {a n } valódi divergens sorozat, akkor minden részsorozata is az..4. Példa. Az a n n sorozat 0-hoz konvergál. A b n n sorozat végtelenbe divergál. Általánosan igaz a következő tétel... Tétel. Ha a n 0 a n > 0), akkor a n. Ha a n, akkor a n 0. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a n 0, és legyen K tetszőleges adott szám. Azt kell megmutatnunk, hogy elég nagy n-re a n > K. Feltehetjük, hogy K > 0, mert ha a sorozat tagjai valahonnan kezdve pozitív K-nál nagyobbak, akkor ez negatív K-ra még inkább igaz. Legyen tehát K > 0. Ekkor K is pozitív, és > K akkor és csak akkor áll fenn, ha a n < teljesül, ez utóbbi viszont az a n K a n 0 feltétel miatt elég nagy n-ekre igaz. A tétel második részének bizonyításához induljunk ki abból, hogy a n, és legyen ε tetszőlegesen megadott pozitív szám. Ekkor 0 a n < ε a n teljesül, ha a n > ε, ez pedig az a n feltétel miatt elég nagy n-ekre teljesül, tehát a n 0. Ezzel a tételt bebizonyítottuk... Tétel. Ha a n és c > 0, akkor ca n, míg ha c < 0, akkor ca n. Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy c > 0, és K tetszőleges szám. Ekkor ca n > K minden olyan n-re fennáll, amelyre a n > K c, ez pedig elég nagy n-ekre az a n feltevés miatt igaz. Ezzel bebizonyítottuk, hogy ca n.

94. SZÁMSOROZATOK Legyen most c < 0, és k tetszőleges adott szám. Ekkor a ca n < k minden olyan n- re teljesül, amelyre a n > k c, ami a n miatt elég nagy n-ekre igaz. Ezzel a tétel bizonyítást nyert. A végtelenhez tartó sorozatok esetében nem fogalmazhatunk meg a határértékre vonatkozó olyan tételeket, amilyeneket az előzőekben kimondtunk a végeshez konvergáló sorozatok esetében. Így nem mondhatunk semmi biztosat a, 0, típusú határértékekről. Hasonlóan kritikusak a, 0, 0 0 és 0 0 típusú határértékek is..5.. Műveletek konvergens sorozatokkal A következő fejezetben látni fogjuk, hogy még viszonylag egyszerű sorozat konvergenciájának bizonyítása sem triviális. Ezért is van jelentősége a konvergens sorozatok és az alapműveletek kapcsolatának, ugyanis néhány egyszerű sorozat határértékének ismeretében bonyolultabb sorozatok határértéke is meghatározható. Most néhány olyan szabályt mutatunk meg, amelyek a sorozatok határértékének gyors kiszámítását teszik lehetővé..4. Tétel. Ha az {a n } és {b n } sorozatok konvergensek, akkor az {a n + b n } és az {a n b n } sorozatok is konvergensek, mégpedig úgy, hogy lim a n + b n ) lim a n + lim b n, n n n lim a n b n ) lim a n lim b n. n n n.5. Tétel. Ha az {a n } és {b n } sorozatok konvergensek, akkor az {a n b n } sorozat is konvergens, mégpedig úgy, hogy lim a n b n ) lim a n lim b n. n n n.6. Tétel. Ha az {a n } és {b n } sorozatok konvergensek, valamint lim b n 0, akkor az { } n an sorozat is konvergens, mégpedig úgy, hogy b n a n lim n b n lim a n n lim b n n.7. Tétel. Ha az {a n } sorozat konvergens, akkor érvényesek az alábbi egyenlőségek:. a) lim n C a n ) C lim n a n, C konstans, b) lim n a n ) k lim n a n ) k, k N. c) lim n k a n k lim n a n, k N. d) lim log a a n log a lim n e) lim e a n e lim n a n. n n a n ), a > 0, a.

.5. Konvergens sorozatok 95 A c) esetben páros k esetén még azt is meg kell követelni, hogy az {a n } sorozat elemei legyenek nemnegatívak, a d) esetben pedig hogy pozitívak legyenek..8. Tétel. Ha az {a n } és {b n } sorozatok konvergensek, és lim a n lim b n, n n akkor véges sok n kivételével a n b n. Ha az {a n } és {b n } sorozatok konvergensek és a n b n véges sok n kivételével, akkor lim a n lim b n. n n.9. Tétel. Rendőr-elv.) Ha a n b n c n teljesül véges sok n kivételével, és akkor {b n } konvergens és lim a n lim c n A, n n lim b n A. n A fenti tétel Kürschák professzor találó elnevezése nyomán a Rendőr-elv nevet kapta, amelyet az alábbi érdekes módon tudunk átfogalmazni: Két rendőr két oldalról belekarol egy, az utcán elfogott tolvajba. Ha a két rendőr a rendőrségre megy, akkor világos, hogy a tolvajnak is a rendőrökkel a rendőrségre kell menni..5.4. Néhány nevezetes sorozat határértéke Az alábbiakban néhány, a feladatmegoldások során gyakran előforduló sorozat konvergenciáját vizsgáljuk. A későbbiekben felhasználjuk a Jacob Bernoulli nevéhez fűződő egyenlőtlenséget, amelyet a következő tételben fogalmazunk meg. A tétel teljes indukcióval bizonyítható..0. Tétel. Bernoulli-egyenlőtlenség). Ha h > valós szám, akkor minden n természetes számra + h) n + nh. A következőkben megadjuk néhány nevezetes sorozat határértékét, amelyeket alaphatárértékeknek nevezünk. I. Ha a n c, akkor a sorozat konvergens és lim c c. n Bizonyítás. Az a n c egy állandó elemű sorozat. Maga az állítás a határérték definíciója alapján nyilvánvaló. II. Ha a n, akkor a sorozat konvergens és n lim n n 0.

96. SZÁMSOROZATOK Bizonyítás. Ennek belátásához a.0. Definíció szerint azt kell megmutatni, hogy bármely ε > 0-hoz megadható olyan N N függ ε-tól!), hogy ha n N, akkor a n 0 < ε. Mivel a n 0 n n < ε, ha n > ε, [ ] ezért az N + választás megfelel. ε III. Ha q tetszőleges valós szám és a n q n, akkor lim n qn 0, ha q <,, ha q, divergens, ha q > vagy q. Bizonyítás. Először a q < esetet vizsgáljuk. Megmutatjuk, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan N, hogy n N esetén q n 0 < ε. A q n 0 q n < ε egyenlőtlenség ekvivalens az q ) n > ε egyenlőtlenséggel. Alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget + h q Ekkor ε-t úgy választjuk, hogy ) n ) + n q q > ε teljesüljön, vagyis q n 0 < ε. A fenti egyenlőtlenségből adódik, hogy n ε ) + N. ε q választás esetén. Másodszor a q esettel foglalkozunk. Ekkor q n minden n-re, így a n állandó elemű sorozatunk van. Ez pedig konvergens és határértéke. Harmadszor a q és a q > eseteket bizonyítjuk. Ha q, akkor q n és q n. Ezek szerint a sorozatnak végtelen sok eleme, illetve -, azaz a sorozatnak két torlódási pontja is van, ezért divergens. Ha q >, akkor alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget a + h q választás mellett. Ekkor q n + nq ), vagyis az a n q n sorozat páros elemeiből álló részsorozata < q esetén minden határon túl nő, tehát az {a n } sorozat nem lehet konvergens, így divergens. IV. Ha a > 0 és a n n a, akkor a sorozat konvergens, és lim n n a. Bizonyítás. Ha a, akkor az állítás nyilvánvaló. Ha a >, akkor megmutatjuk, hogy tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan ε-tól függő N, hogy n N esetén n a < ε. Az n a n a < ε

.5. Konvergens sorozatok 97 ekvivalens az a < + ε) n egyenlőtlenséggel. Alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget h ε választás esetén. Ekkor + ε) n + nε > nε, így ha a < nε teljesül, akkor teljesül, hogy n a < ε. Az a < nε egyenlőtlenség pedig minden n a [ a ] ε természetes számra igaz, ezek szerint N +. ε Ha 0 < a <, akkor megmutatjuk, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan ε-tól függő N, hogy n N esetén n a < ε. Az n a n a < ε ekvivalens az a > ε) n egyenlőtlenséggel, ha 0 < a < és ε <. Tehát most ε) n 0, így van olyan N küszöbszám, hogy a kért tulajdonság teljesül. V. Ha a n + n) n, akkor a sorozat konvergens és lim + n e. b n) Bizonyítás. Legyen a n + n) n, n,,,... Először megmutatjuk a Bernoulli egyenlőtlenség akalmazásával), hogy az {a n } sorozat növekvő. a n+ + ) n+ + n ) n n + a n n + n) n + ) n + )) n + + n n + ) n + + n + ) >. Ebből következik, hogy a n+ > a n, azaz az {a n } sorozat növekvő. Mutassuk még meg, hogy az {a n } sorozat korlátos is. Ehhez vegyük a b n + n) n+, n,,,... általános elemű sorozatot. Ugyanazokkal a fogásokkal, amelyekkel az {a n } sorozatról beláttuk, hogy növekvő, a {b n } sorozatról megmutatjuk, hogy csökkenő. Könnyen belátható, hogy b n + ) n+ + b n+ n + n + ) n + nn + ) ) n ) n+ n + + nn + ) n + ) n + n + + nn + ) >. Ebből következik, hogy b n+ < b n, azaz a {b n } sorozat csökkenő.

98. SZÁMSOROZATOK A b n és az a n közötti b n + ) n + ) a n + ) n n n összefüggésből következik, hogy a n < b n minden n-re. Az {a n } sorozat növekvő, a {b n } pedig csökkenő lévén, minden n-re fennáll az a a n < b egyenlőtlenség, ami azt jelenti, hogy az {a n } sorozat korlátos. Az {a n } sorozat növekvő és korlátos, tehát konvergens is, határértékét pedig jelöljük e-vel, azaz lim n + n) n e. Az e a nevezetes Euler-féle szám, amely irracionális és e, 78 8 88 459 045... Ha egy sorozat konvergens, akkor minden részsorozata is konvergens és ugyanoda konvergál ahová az eredeti sorozat. Ezért a természetes számok sorozatának bármely n k részsorozatára lim + ) nk e. n k n k Bizonyítás nélkül megemlítünk még egy fontos alaphatárértéket: lim n n n. FELADATOK. Igazoljuk a definíció alkalmazásával az alábbi határértékek helyességét. Adott ε esetén számoljuk ki az N küszöbszámot.. lim 0, ε 0 n n Megoldás. Ha ε tetszőlegesen megadott pozitív szám, akkor a n A n 0 n < ε teljesül, amennyiben n >. Találtunk tehát ε-hoz megfelelő küszöbszámot, s ez [ ] ε [ ] N +. Ha ε 0, akkor a küszöbszám N + 00. ε 0 n. lim, ε 0 5 n n Megoldás. Ha ε tetszőlegesen megadott pozitív szám, akkor a n A n n n n n n < ε.

.5. Konvergens sorozatok 99 Amennyiben n > [ ] ε, akkor a küszöbszám N +. Amennyiben ε 0 5, [ ] ε akkor a megfelelő küszöbszám N + 0000. 0 5 n +. lim, ε 0 4 n n + Megoldás. Amennyiben ε tetszőlegesen megadott pozitív szám, akkor a n A n + n + n + n n + n + < ε. Ha n + > ε, azaz n > [ ] ε akkor a küszöbszám N ε +. ε 0 4 [ ] esetén a megfelelő küszöbszám N 0 + 0000. 4 n 4. lim n n, ε 0.005 Megoldás. Tetszőlegesen megadott ε pozitív számra a n A n n n ) n ) n ) 6n 4 6n + n ) n ) n ) < ε. Ha 4n > ε, azaz n > 4ε [, akkor a megfelelő küszöbszám N 4ε Ha ε 0.005, akkor a küszöbszám [ N 4 0.005 ] + [00 0.5] + [99.5] + 00. ] +. 4n + 5. lim n 7 5n 4, ε 0, 0004 5 Megoldás. Tetszőlegesen megadott ε pozitív számra a n A 4n + 7 5n + 4 5 54n + ) + 47 5n) 57 5n) 0n + 5 + 8 0n 57 5n) 57 5n) 55n 7) < ε. Ha 5n 5 >, azaz n > ε 5ε + 7 [ 5, akkor N 5ε + 7 ] + a megfelelő 5 küszöbszám. ε 0, 004 esetén a küszöbszám [ N 5 0, 0004 + 7 ] [ + 00 + 7 ] + 0. 5 5

00. SZÁMSOROZATOK A következő feladatokban számítsuk ki az {a n } sorozat határértékét. A típusú határérték esetében úgy szüntethetjük meg a határozatlanságot, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk ugyanazzal a végtelenhez tartó kifejezéssel, vagy ami ugyanaz, a számlálóból is és a nevezőból is kiemeljük ugyanazt a végtelenhez tartó kifejezést és ezzel egyszerűsítünk. 6. a n n 7n + 5 Megoldás. 999n + 000 7. a n n n + Megoldás. 8. a n lim a n n lim n n 7n + 5 lim n n n n 7 + 5 n ) ) lim n n 7 + 5 n 7. lim a 999n + 000 n lim n n n n + 999 lim + 000 n n n + 0 0. n n n + )n + )n + ) nn + )n + ) Megoldás. lim a n + )n + )n + ) n lim n n nn + )n + ) 9. a n n + n + Megoldás. 0. a n n + n + n Megoldás. + lim ) + ) + ) n n n n + ) + ) n n lim a n + n lim n n n + lim n lim n + )n + )n + ) n n n n n n + )n + ) n n n+ n n + n 6. + n lim n + n. lim a n + n lim n n n + n lim + n n + n n lim n + n + n.

.5. Konvergens sorozatok 0 n + 7n +. a n n + Megoldás. lim a n lim n n n + 7n + lim n n + n + 7 n + n + n lim n 0 0. n +7n+ n n+ n. a n n + n n + n + n Megoldás. lim a n lim n n n + n n + n + n + n lim n + n + lim n n n. n+ n n n+ n+ n n. a n n + n+ 5 n+ + n Megoldás. lim a n + n+ n lim n n 5 n+ + n lim n lim n ) + 6 4. a n n + )n + )n + ) n 00 + ) 00n) 00 + ) 0 Megoldás. 0 ) 0 + 6 + 0 + 6. n n + ) n n 5 n+ + ) n lim a n + )n + )n + ) n 00 + ) n lim n n 00n) 00 + ) 0 lim n n 5050 lim n n + n) ) n + ) n n + ) n n 00 + n )) 00 n 00 00 00 + 0 n 00 lim n n +++ +00 + n n 00 0 ) ) ) + n + n + ) 00 00 + 0 n 00 ) ) ) ) + n + n + n + n 00 n ) 5050 00 00 + 0 n 00 n 00 ) 00 00 ) 0 00 5050.

0. SZÁMSOROZATOK 5. a n Megoldás. n + 4 n + 5n + n lim a n lim n n lim n n + 4 n + 5n + n lim n + n n n +5n) + n 8 lim n + n n n + n 4 n +5n+ n n + 5 n n ) +. Ha a határérték típusú határozatlan kifejezés, akkor irracionális kifejezés esetén gyöktelenítéssel, törtek különbsége esetén közös nevezőre hozással tudunk megszabadulni a határozatlanságtól. 6. a n n + n Megoldás. n lim a ) n ) n + + n n lim + n lim + n n n n n + + n 7. a n n n + n Megoldás. 8. a n 4n 4 + n n Megoldás. n + n lim lim n n + + n n n + + n 0. ) lim a n lim n n + n n n lim n n n + n ) n n + + n n n + + n n n + n lim n n n + + n lim n + n n n + + n lim n lim n 4n + n n + n + + n n +. ) lim a n lim 4n4 + n n n n ) 4n + + n 4n + + n lim n lim n n n 4 + + n ) 4 + 4. n 4n + 4n ) 4n + + n

.5. Konvergens sorozatok 0 9. a n n n + 4 Megoldás. lim a n lim n lim n ) n + 4 n n n ) n + 4 n ) + n n + 4) + n + 4) n ) + n n + 4) + n + 4) lim n n n + 4) n6 + n n + 4) + n + 4) 4 lim n n + n n + 4) + n + 4) 4 0. 0. a n n + 5n 0 n 6n + 5 Megoldás. lim a n lim n n n + 5n 0 n 6n + 5 lim n n + 5n 0 n 6n + 5 lim n const n + 5n 0 + n 6n + 5 n + 5n 0 + n 6n + 5 n + 5n 0 + n 6n + 5 ) lim n n + 5n 0 n 6n + 5) n + 5n 0 + n 6n + 5 ) lim n + 5 n 0 n + 5 n n 5 ) 6n + 5n.. a n n + n + n + 6n + 5 n + 5n + n + 7n Megoldás. lim a n + n + n n lim + 6n + 5 n n n + 5n + n + 7n lim n n + n + + n + 6n + 5 n + n + + n + 6n + 5 n + n + n + 6n + 5) lim n n + 5n + n + 7n ) lim n 4n n + n + n + n + 6n + 5 n + 5n + n + 7n n + 5n + + n + 7n n + 5n + + n + 7n n + 5n + + n + 7n n + n + + n + 6n + 5 n + 5n + + n + 7n n + n + + n + 6n + 5

04. SZÁMSOROZATOK lim n 4 n + n n + n. a n n n + Megoldás. lim n + 5 + + + 7 n n n n 4 + + + + 6 + 5 n n n n lim a n lim n n n + n n n + n + + n n + + n lim n lim n n + n n n. a n n + n + n + 5n Megoldás. 6. n + n n n + n ) + n n + ) + ) n + ) n ) + n n + ) + n + ) n6 + n n + ) + ) n + ) n + + n ) + ) n n + + n + lim n ) n + + n ) n + + n + + n ) + + n. lim a n lim n + n + ) n + 5n n n lim n + n + n + n ) n + 5n n ) lim n + n + n + lim n ) n + 5n n n ) lim n + n + n n n + n + + n n + n + + n + + lim n ) n + 5n n + n n + 5n + n + 5n) n n + n n + 5n + n + 5n) n + n + n lim n n + n + + n + lim n n + 5n) n n + n n + 5n + n + 5n) n + lim n n + n + + n + lim 5n n n + n n + 5n + n + 5n) lim n + n + + + n n + lim n 5 n + n + 5n + + n ) 0.

.5. Konvergens sorozatok 05 4. a n 5n + 0n n + 4n + Megoldás. ) 5n lim a + n lim n n 0n n + 4n + lim n 5n + )4n + ) n + )0n ) 0n )4n + ) lim n 0n + 5n + 8n + 6 0n + n 0n + 0n )4n + ) 7n n + 7 lim n 0n )4n + ) 7 40. 5. a n n n + + 6n + 4n Megoldás. n lim a n lim n n n + + ) 6n + 4n lim n n + 4n ) + 6n )n + ) n + ) + 4n ) lim n n + n 4 + n + n 4 6n n + ) + 4n ) lim n 6n + n + n + n + ) + 4n ) lim n 6 + n + n + n + n ) n + 4) 6 8 4. Ha a határérték típusú, akkor a lim + n e alaphatárérték alkalmazásával n n) oldható fel a határozatlanság, vagy erre vezetjük vissza fn) t helyettesítéssel, ha lim n érvényes. + fn) n + 6. a n n Megoldás. ) fn) alakú, de csak abban az esetben, ha n esetén fn) is ) n+ lim a n lim n n n + n ) n+ lim + n+ n n) lim + ) n + ) ) lim + n lim + n n n n n) e e. n n)

06. SZÁMSOROZATOK n + 7. a n n Megoldás. ) n lim a n lim n n lim n [ + n n + n ) n lim + n lim + n n) ) n n n ) ] n [ lim + n n ) ] n [ lim + ) ] k e, k k ahol bevezettük az n k helyettesítést, amely esetében k, ha n. n + 8. a n n Megoldás. ) n lim a n lim n n n + n [ lim + ) ] n n n ) n lim + ) n lim + ) n n n n n [ lim n + ) ] n n [ lim k + ) ] k k e e, ahol bevezettük a n k helyettesítést, amely esetében k, ha n. ) n n + 5 9. a n n Megoldás. lim a n lim n n lim n [ + n 5 n + 5 n ) n lim + 5 n lim + n n) ) n 5 5 n n 5 ) ] n 5 [ 5 lim + n n 5 ) ] n 5 [ 5 lim + ) ] k 5 e 5, k k ahol bevezettük az n 5 k helyettesítést, amely esetében k, ha n. 0. a n ) n+ n + n Megoldás. ) n+ n + lim a n lim n n n lim + ) n+ n n lim n + n ) n+ n n lim n [ + n ) n ] n+ 6n 4

.5. Konvergens sorozatok 07 [ lim n + n ) n ] n+ lim 6n 4 n [ lim k + ) ] n+ k lim 6n 4 n k e e, ahol bevezettük az n k helyettesítést, amely esetében k, ha n. ) n 6n +. a n 6n Megoldás. ) n ) n 6n + 6n + lim a n lim lim n n 6n n 6n lim + ) n lim + ) 6n 6n n n 6n n 6n lim n [ + 6n [ lim k ) 6n ] n 6n + ) ] k lim k [ n 6n n lim n + 6n n 6n n e lim ) 6n ] lim e, n 6n n ahol bevezettük a 6n k helyettesítést, amely esetében k, ha n. ) n n+ + n +. a n n n + Megoldás. ) n n+ ) n+ lim a + n + n lim lim + n + n + n n n n + n n n + lim n lim + n + n + n + n + n n n + lim n n n+ n lim n + + ) n n+ n n n+ n lim n n+ n nn+) n n n+ ) n+ lim n + ) n+) n n+ n n n n+ ) n n+ n [ lim k nn+) n n+ n n n + + ) ] k lim k 6n +n n n n+ ) n+ e, ahol bevezettük a n n + n n. k helyettesítést, amely esetében k, ha

08. SZÁMSOROZATOK. a n ) n n Megoldás. lim a n lim n n n n) lim n lim n + n ) n + n n ) n lim n n n ) n lim + n ) n n ) lim + e e, n n ahol bevezettük a n k helyettesítést, amelynél k, ha n. 4. a n ) 4n+ n + n + Megoldás. ) 4n+ n + lim a n lim n n n + lim n n+ n+ ) 4n+ lim n + n+ ) 4n+ [ lim n lim + n n+ + n+ ) ] 4n+ n+ lim n+6 n ) 4n+ n+ n+ [ lim k [ ) ] 4n+ lim + n+ n+6 n n+ + k ) ] 4n+ k lim n+6 n e 4 ahol bevezettük a n + k helyettesítést, amelynél k, ha n. 5. a n ) n n + +5 n + Megoldás. lim a n lim n n mivel ) n n + +5 lim n + n lim + n lim n ) n +5 n + [ + n + n + n + ) n +5 lim + n ) n + n + + n + lim n ) n ++ ) ] e 4 e e, + n + lim + ) n + lim + ) lim + ) k e, n n + n n + k k ) n +5 e, ahol bevezettük a n + k helyettesítést, amely esetében k, ha n.

.5. Konvergens sorozatok 09 A következő három feladatban használjuk fel a lim n a és lim n n alaphatárértékeket, ahol a pozitív valós szám, hogy a feloldjuk a határozatlanságot a 0 típusú n n határozatlan kifejezéseknél. 6. a n n 5n Megoldás. lim a n lim n 5n 0) n lim ) 5 n n n n n 7. a n n 7n Megoldás. lim n n 5 lim n n n. lim a n lim n 7n 0) n lim 7 n ) ) n lim n 7 lim n n n n n 8. a n n n + Megoldás. lim a n lim n n + 0). n n A határértéket a Rendőr-elv alapján oldjuk meg. Mivel n esetén n < n + n + n, vagyis n n + 4n, n n ). ezért n n n n + n 4n, és a megfelelő tétel alapján vagyis ezért lim n n n lim n n n + lim n n 4n, lim n n n +, lim n n n +. A következő két sorozat határértékét számoljuk ki a monotonitási és korlátossági tulajdonság felhasználásával. 9. a n cn n!, c > 0 Megoldás. Az {a n } pozitív tagú sorozat szigorúan monoton csökkenő, mert a n+ a n c n+ n+)! c n n! c c n n+) n! c n n! c n + <, ha n > c, tehát a c )-től nagyobb indeekre érvényes lesz az a feltétel, hogy a n+ < a n. Mivel az {a n } sorozat pozitív tagú, ezért alulról korlátos például a

0. SZÁMSOROZATOK 0-val) és szigorúan monoton csökkenő, ezért ez a sorozat konvergens, tehát létezik határértéke. Legyen lim a n a. n Ekkor ahonnan lim a n+ lim a n a és a n+ a n n n lim a n+ lim a n n n ) c lim a n lim n + n n c n +, c n +. Ebből következik, hogy a a 0, illetve a 0, amely alapján kimondható, hogy 40. a n + c n lim n n! 0, ha c > 0. + +, ahol n gyök szerepel a kifejezésben Megoldás. Igazoljuk először, hogy a n < minden n természetes számra. Ennek bizonyítását matematikai indukcióval végezzük. o n esetén a <. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz n k-ra, azaz a k <. o Az állítás n k + esetén is igaz, mert a k+ + a k < +, tehát {a n } korlátos sorozat. Igazoljuk most szintén matematikai indukcióval, hogy a n < a n+ minden n természetes számra. o n esetén a < + a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz n k-ra, azaz a k < a k+. o Az állítás n k + esetén is igaz, mert a k+ + a k < + a k+ a k+, tehát {a n } szigorúan monoton növekvő sorozat. Mivel az {a n } sorozat szigorúan monoton növekvő és felülről korlátos például a -vel), ezért ez a sorozat konvergens, tehát létezik határértéke. Legyen Ekkor lim a n a. n lim a n+ lim a n a valamint a n+ + a n. n n Ebből következik, hogy a n+ + a + n, illetve ) lim a n+ lim + a n ) n n ahonnan a + a. Ebből az egyenletből a vagy a következik, de a pozitivitás miatt a az egyetlen megoldás. Ezért lim a n lim + + +. n n

.5. Konvergens sorozatok.5.5. Végtelen mértani sor.7. Definíció. Egy mértani sorozat elemeiből képzett végtelen sok tagú összeget végtelen mértani sornak nevezzük. Tekintsük az a, aq, aq,..., aq n,... mértani sorozatot, ahol a 0 és q 0. Tudjuk, hogy a mértani sorozat első n elemének összege S n a + aq + aq + + aq n a qn q. Ha a mértani sorozat minden elemét össze akarjuk adni, akkor valójában az S a + aq + aq + + aq n +... összeget keressük, amelynek értékét a mértani sor {S n } részletösszeg sorozatának határértékeként tudunk kiszámolni, vagyis az S lim n S n képlet segítségével, amennyiben ez a határérték létezik. Mivel lim S n lim a qn n n q a q lim n qn ) a q ) lim q n, n így megállapíthatjuk, hogy ez a határérték csak q < esetén létezik, ugyanis csak akkor konvergens a {q n } sorozat. q és q > esetében lim q n nem létezik, tehát az S n összeg sem számítható ki. q esetén S n n a és lim S n lim n a) ± az első n n elem előjelétől függően). Ezek szerin a végtelen mértani sor összege S n a + aq + aq + + aq n + a, q <. q Ezt a képletet szokás S a q, q < alakban is írni, kihangsúlyozva, hogy a a mértani sorozat első eleme..5. Példa. Ha az S + + + + n + szeretnénk kiszámítani, akkor azt kell észrevennünk, hogy ennek a végtelen összegnek a tagjai,,,,, n egy mértani sorozat elemei, amelyben a és q. Mivel a hányados eleget tesz a < feltételnek, így a végtelen mértani sor összege S a q.

. SZÁMSOROZATOK FELADATOK.. Számítsuk ki az 4 + 9 6 7 64 + + )n ) n + végtelen összeget. 4 Megoldás. Az összeg egy végtelen mértani sor, mert tagjai az, ) n 4, 9 6, 7 64,, )n, 4 mértani sorozat elemei, amelynek hányadosa q 4 eleget tesz az 4 < feltételnek, ezért a keresett összeg S a q ) 7 4 4 4 7.. Számítsuk ki az + + 4 + 6 + végtelen összeget, ha tudjuk, hogy <.. Megoldás. Ha <, akkor < is érvényes. A keresett összeg egy végtelen mértani sor, mert az,, 4, 6, elemekkel rendelkező és q hányadosú mértani sorozat elemeit adjuk össze. Mivel a hányadosra teljesül a q < feltétel, ezért a keresett S összeg létezik és S a q. Írjuk fel tört alakjában az, 4 szakaszos tizedes számot. Megoldás. Írjuk fel az adott számot több tizedes számjeggyel és bontsuk fel a következő módon:, 4, 444 + 0, 4 + 0, 004 + 0, 00004 + + 4 00 + 4 0000 + 4 000000 + Vegyük észre, hogy a második tagtól kezdve egy végtelen mértani sor tagjait kell összegeznünk, melyben a 4 00 és q ) 00, amelyre <. Ezért 00, 4 + 4 00 00 + 4 99 99. 4. Az a befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszög oldalainak felezőpontjait összekötve egy újabb egyenlőszárú derékszögű háromszöget kapunk. Felezzük meg ennek az oldalait is és újra kössük össze a felezőpontokat. Folytassuk ezt az eljárást a végtelenségig, majd számítsuk ki az eredeti és a beírt háromszögek kerületeinek és területeinek összegét. Megoldás. Ha az egyenlőszárú derékszögű háromszög oldala a, akkor kerülete K a + a a + ), területe pedig T a. Az eredetivel együtt

.5. Konvergens sorozatok a háromszögek befogói sorban az a, háromszögek kerületeinek összege a, a 4, a,... mértani sorozatot adják. A 8 K a + ) + a + ) + a 4 + ) + a 8 + ) +, ahonnan K a + ) + + 4 + 8 ) + a + ) a + ). Mivel a, így az összes háromszög kerületének összege K + ) 4+. A háromszögek területeinek összege T a + a ) a ) a ) + + +, 4 8 ahonnan T a + 4 + 6 + ) 64 + a 4 a. Mivel a, így az összes háromszög területének összege T. 5. Az adott R sugarú körbe írjunk egyenlőoldalú háromszöget, majd abba kört, és folytassuk ezt az eljárást a végtelenségig. Számítsuk ki a körök kerületeinek és a háromszögek területeinek összegét. Megoldás. Az R sugarú körbe írt egyenlőoldalú háromszög oldala a R. Ha ebbe a háromszögbe kört írunk, akkor annak sugara R R, az újabb beírt egyenlőoldalú háromszög oldala pedig a a. Ezért a körök sugarai és az egyen- lőoldalú háromszögek oldalai az R, R, R 4, R 8,... és az a, a, a 4, a 8,... mértani sorozatokat alkotják. A körök kerületeinek összege K Rπ + R π + R 4 π + R 8 π +, amelyből rendezés után K Rπ + + 4 + 8 ) + Rπ 4Rπ, vagyis az öszes így előállított kör kerületének összege K 4Rπ. Az említett módon előállított háromszög területének összege ) a ) a ) 4 + 4 4 + 8 4 +, a T a 4 + amely rendezés után a T a 4 + 4 + 6 + ) 64 + a 4 4 a kifejezést adja. Mivel a R, így az összes háromszög területének összege T R R.

4. Egyváltozós valós függvények.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek értelmezési tartománya és képtartománya is valós számokból áll. Az ilyen f : A R B R függvényeket egyváltozós valós függvényeknek nevezzük, s a latin vagy a görög ábécé betűivel jelöljük, például: f, g, h,..., φ, ψ, ϑ stb. Az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának domenjének) nevezzük és D f - fel jelöljük, míg a B halmazt az f függvény értékkészletének kodomenjének) nevezzük és R f -fel jelöljük. Valós függvényeknél általában a független változó jelölésére az, a függő változó jelölésére az y betűt használjuk, de ha szükséges, akkor más betűket is használhatunk. A függvény jelölésénél sokszor az y f) szimbólumot használjuk, ami azt jelenti, hogy y valamilyen függvénye -nek. Ha 0 D f, akkor az f függvény 0 ponthoz rendelt értékét f 0 )-lal jelöljük, és az f függvény 0 pontban felvett helyettesítési értékének nevezzük. Ha f 0 ) 0, akkor 0 az f függvény zérushelye vagy nullahelye. A valós függvény megadásához nem elég csak az értelmezési tartományt és az értékkészletet megadni, azt is tudnunk kell, hogyan találhatjuk meg a független változó egyes értékeihez tartozó függvényértéket, vagyis ismernünk kell a hozzárendelési törvényt. A hozzárendelési törvény megadása sokféleképpen történhet. A függvény hozzárendelési törvényét például megadhatjuk táblázattal. Ez abban áll, hogy kiírjuk a független változó számos értékét, s melléírjuk a nekik megfelelő függvényértéket. A függvények táblázattal való megadásának fő hiányossága a nagy terjedelem és a szemléletesség hiánya, de ettől függetlenül igen elterjedt megadási mód a természettudományokban és a műszaki tudományokban. A függvény megadásának legfontosabb módja a képlettel formulával) való megadás. Ekkor megadunk egy olyan képletet, amely az független változón kívül csupa adott számot tartalmaz. Ha képlettel adjuk meg a függvényt, akkor az értelmezési tartományt mindazok a valós számok alkotják, amelyre a képletben szereplő műveletek mindegyike elvégezhető és a képlet valós értéket vesz fel. Adott f és g valós függvényekből képzett összetett függvények értelmezési tartományának meghatározásakor figyelembe kell venni a következőket:. y f) g) esetén g) 0.. y n f) esetén f) 0 n N).. y log a f) esetén f) > 0 a > 0, a ). 4. y tg f) esetén f) π + kπ, k Z).

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 5 5. y ctg f) esetén f) kπ, k Z). 6. y arcsin f) és y arccos f) esetén f)... Példa. Az f) + függvény racionális törtfüggvény, ezért a nevezője nem 4 lehet nulla. Keressük meg tehát a nevező nullahelyeit és zárjuk ki azokat az értelmezési tartományból. 4 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) 0, innen pedig megkapjuk, hogy a nevező nulla, ha 0, vagy ha, vagy ha. Ezért az értelmezési tartomány D f R \ {, 0, }, vagy más felírásban D f, ), 0) 0, ), )... Példa. Az f) 6 függvény páros gyökkitevőjű irracionális függvény, ezért a gyök alatti mennyiség nem lehet negatív, vagyis teljesülnie kell az 6 0, illetve 4) + 4) 0 egyenlőtlenségnek. Oldjuk meg táblázattal ezt a másodfokú egyenlőtlenséget. D f, 4) 4, 4) 4, ) 4 + + 4 + + 6 + + A táblázatból kiolvashatjuk, hogy az f függvény csak a 4, 4) intervallumon negatív, tehát D f, 4] [4, )... Példa. Mivel minden) logaritmusfüggvény csak pozitív értékekre értelmezett, ezért + + az f) ln függvény csak akkor értelmezett, ha az 4 + 4 + > 0 egyenlőtlenség teljesül. Mivel + > 0 minden valós számra, ezért a törtfüggvény előjele csak a nevezőtől függ. Bontsuk tényezőkre a nevezőt és oldjuk meg táblázattal az így kapott ) ) > 0 egyenlőtlenséget. D f, ), ), ) + + + 4 + + + A táblázatból kiolvashatjuk, hogy az f függvény csak az [, ] intervallumon nempozitív, tehát D f, ), )..4. Példa. Az f) tg függvény nem értelmezett azokban a pontokban, ahol π + kπ, k Z, illetve π + kπ, k Z. A keresett értelmezési tartomány tehát.5. Példa. Az f) arcsin 6 + 9 D f R \ {k + )π, k Z}. függvény csak akkor értelmezett, ha a 6 + 9

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 6 egyenlőtlenségrendszer teljesül. Mivel a nevezője minden valós számra pozitív, + 9 ezért mindkét egyenlőtlenséget szorozhatjuk + 9-cel. Ekkor 9 < 6 < + 9, azaz a 9 6 és 6 + 9 egyenlőtlenségeknek kell teljesülniük, azaz megoldáshalmazaik metszete adja az f függvény értelmezési tartományát. Mivel a fenti egyenlőtlenségrendszer ekvivalens az 6 9 0 és 6 + 9 0, illetve az + ) 0 és ) 0 egyenlőtlenségrendszerekkel, így látható, hogy mindkettő megoldáshalmaza az R halmaz, tehát metszetük is az, és így D f R. A függvény grafikonja vagy görbéje a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer által meghatározott síkban az olyan, f)) pontok halmaza, amelyek abszcisszái az független változó értékei, ahol D f, ordinátái pedig az ezeknek megfelelő függvényértékek, azaz y f), s ezt az egyenletet nevezzük a függvénygörbe egyenletének. A függvény grafikus megadása azt jelenti, hogy a függvény grafikonját adjuk meg, és a független változó 0 értékéhez tartozó f 0 ) függvényérték a görbe 0 abszcisszájú pontjának ordinátája. Gyakran előfordul, hogy a függvény grafikonja csak néhány pontból áll, mégis általánosan elterjedt, hogy a függvény grafikonját görbének nevezzük, s így a függvény és a görbe fogalma szorosan összefügg. Egy függvény megadása egy görbe, a függvény grafikonjának megadását jelenti, és fordítva: egy görbe megadásával egy függvényt is megadunk, azt a függvényt, amelynek a megadott görbe a grafikonja. Természetesen csak olyan görbét adhatunk meg függvény grafikonjaként, amely esetében az y-tengellyel párhuzamos egyenesek a görbét legfeljebb egy pontban metszhetik..6. Példa. A mellékelt táblázattal megadott f függvény grafikonja mindössze három pontból áll, az, ),, 4) és, 5) pontokból, mivel D f {,, }. f) 4 5.7. Példa. Legyen az f) + függvény értelmezési tartománya D f [, ]. Az f függvény grafikonja most az y + görbe [, ] intervallumhoz tartozó darabja, azaz az, ) és, 5) pontokat összekötő szakasz..8. Példa. Legyen az f) + függvény értelmezési tartománya most D f R. Az f függvény grafikonja most az y + egyenes.

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 7 y y y 5 5 5 y 4 4 4 A függvény grafikonja a függvény nullahelyében metszi át az -tengelyt. A függvény értelmezési tartományának azon pontjaiban, ahol a függvényértékek pozitívak, a függvény grafikonja az -tengely felett van, az értelmezési tartomány azon pontjaiban pedig, ahol a függvényértékek y negatívak, a függvény grafikonja az -tengely alatt van..9. Példa. Az f) függvény nullahelyei az f) 0, illetve az 0 egyenlet megoldásai, azaz és. Az y parabola tehát a, 0) és, 0) pontokban metszi át az -tengelyt, s mivel főegyütthatója pozitív, minimuma van. A függvény előjelét leolvashatjuk a grafikonról: f) > 0, ha, ), ), és f) < 0, ha, ). y A függvény y f) megadási módjára azt mondjuk, hogy a függvény eplicit alakban van megadva. Ha használjuk ezt a jelölést, akkor az F, y) 0 egyenlet is értelmezhet egy vagy több) függvényt. Ekkor azt mondjuk, hogy F, y) 0 egy implicit alakban megadott függvény..0. Példa. + y 0 az egységsugarú körvonal implicit alakú megadása. Mivel ebből y ±, ezért + y 0 jelentheti az f ) függvényt, de az f ) függvényt is. Az f függvény grafikonja az egységsugarú körvonal felső, pozitív félsíkhoz tartozó félköríve, az f függvény grafikonja pedig az egységsugarú körvonal alsó, negatív félsíkhoz tartozó félköríve. y y y y y

8. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.. Példa. A parabola y 0 implicit alakú megadása, y ± miatt jelentheti az f ) függvényt, de az f ) függvényt is. Az f függvény grafikonja a parabolagörbe felső, pozitív félsíkhoz tartozó íve, az f függvény grafikonja pedig a parabolagörbe alsó, negatív félsíkhoz tartozó íve. y y y y y FELADATOK. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát.. f) + 5 Megoldás. Mivel a racionális törtfüggvény nevezője nem nulla, hiszen + 5 > 0, ezért a függvény minden valós számra értelmezett, azaz D f R, ). +. f) + 6 + 8 Megoldás. A racionális törtfüggvény nevezője nem lehet nulla, azaz + 6 + 8 + 4) + ) 0 kell teljesüljön, amely feltétel akkor és csakis akkor igaz, ha 0 és 4 és. Az értelmezési tartomány tehát D f R \ { 4,, 0}, 4) 4, ), 0) 0, ).. f) + Megoldás. Páratlan gyökkitevőjű a függvény, tehát minden valós számra értelmezett, ezért most csak az alatta levő tört nevezőjére kell feltenni, hogy ne legyen nulla, azaz 0, így D f R \ {0}, 0) 0, ). 4. f) 5 Megoldás. A tört miatt a nevező nem lehet nulla, a páros gyökkitevőjű függvény alatti kifejezés pedig nem lehet negatív, így megállapíthatjuk, hogy a két feltétel összesítve az 5 5 ) > 0 feltételhez vezet. Oldjuk meg táblázattal ezt a másodfokú egyenlőtlenséget. D f, 0) 0, 5) 5, ) + + 5 + + 5 + A táblázatból kiolvashatjuk, hogy az 5 másodfokú kifejezés csak a 0, 5) intervallumon pozitív, tehát az f függvény értelmezési tartománya D f 0, 5).

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 9 5. f) 5 + + Megoldás. Figyelembe véve a törtet és a páros gyökkitevőjű függvényeket, a következő kikötéseket kell tennünk: 5 + > 0 és 0. Az egyenlőtlenségek megoldáshalmazai > 5 és 0, amelyek egyidőben 5 < 0 valós számokra teljesülnek, tehát D f 5, 0]. ) + 5 6. f) ln 5 Megoldás. A logaritmusfüggvény csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett és a nevező nem lehet nulla, ezért az + 5 5 > 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Táblázatba foglalva a számláló és nevező tulajdonságait, a következőket kapjuk: D f, 5) 5, 5) 5, ) + 5 + + 5 + + + 5 5 + 7. f) ln A táblázatból látható, hogy az + 5 5 törtkifejezés csak a 5, 5) intervallumon pozitív, tehát az f függvény értelmezési tartománya D f 5, 5). Megoldás. A logaritmusfüggvény csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett és 0 minden valós számra. Ez azt jelenti, hogy csupán a nullát kell kizárni az értelmezési tartományból, azaz D f R \ {0}, 0) 0, ). 8. f) log cos ) Megoldás. A logaritmusfüggvény csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett, ezért teljesülnie kell a cos > 0 feltételnek, ami azt jelenti, hogy az f függvény értelmezési tartománya azoknak az intervallumoknak az uniójából áll, amelyekben az y cos függvénygörbe az -tengely fölött helyezkedik el. Ezért D f π + kπ, π ) + kπ. k Z 9. f) ln ) Megoldás. Vegyük figyelembe a logaritmusfüggvény és a páros gyökkitevőjű irracionális függvény értelmezettségét is. Ekkor teljesülnie kell a következő feltételeknek: > 0 és ln ) 0. Az ln ) 0 egyenlőtlenség akkor és csakis akkor igaz, ha, vagyis az + 0 másodfokú egyenlőtlenség is teljesül. Az + másodfokú trinomról megállapíthatjuk, hogy determinánsa D 4 < 0, tehát az y + parabolának nincs valós nullahelye, viszont a főegyütthatója a > 0, vagyis konve és minimuma van, ami azt jelenti, hogy minden valós számra szigorúan pozitív értéket vesz fel. Ezért az + 0 másodfokú egyenlőtlenség egyetlen egy valós számra sem teljesül, tehát D f.

0. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 0. f) ln sin ) Megoldás. A logaritmusfüggvény és a páros gyökkitevőjű irracionális függvény értelmezettségét is figyelembe véve kikötjük, hogy teljesülnie kell a feltételeknek, illetve az ezzel ekvivalens sin > 0 és ln sin ) 0 sin > 0 és sin egyenlőtlenségrendszernek. Az egyenlőtlenségrendszer megoldását a sin egyenlőtlenség megoldáshalmaza, illetve a sin feltétellel összesítve a sin egyenlet megoldáshalmaza adja meg. Ezért { π } D f + kπ, k Z.. f) arccos + sin Megoldás. Vegyük észre, hogy a tört nevezőjében szereplő +sin kifejezés mindig szigorúan pozitív, tehát nem lehet nulla. Ezért csupán a ), illetve + sin + sin és + sin egyenlőtlenségrendszert kell megoldani. Mivel + sin > 0 minden valós számra, ezért mindkét egyenlőtlenség beszorozható + sin )-szel, s így a illetve a sin és + sin, sin 4 és sin 0 egyenlőtlenségeket kapjuk, amelyek közül az első mindig teljesül, a második megoldáshalmaza pedig minden olyan intervallum uniója, ahol az y sin függvénygörbe nem az -tengely alatt van, tehát D f k Z [kπ, k + )π].. f) + log4 ) + Megoldás. Vegyük figyelembe mindhárom összeadandó értelmezési tartományát és keressük meg ezek metszetét. Kikötéseink a következők: 0 és 4 > 0 és 0, illetve 0 és < 4 és. A keresett értelmezési tartomány így D f [0, ), 4).

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak. f) e + arcsin + + arctg ln + )) Megoldás. Vegyük figyelembe, hogy az eponenciális függvény kitevőjében levő tört nevezője nem lehet nulla, azaz + 0, illetve kell, hogy teljesüljön. A négyzetgyök alatti kifejezés nem lehet negatív, tehát kikötjük, hogy arcsin + 0 teljesüljön, ami akkor és csak akkor lehetséges, ha 0 teljesül. Mivel + + > 0, ezért a kapott egyenletrendszer ekvivalens a 0 + egyenletrendszerrel, amelynek megoldáshalmaza a valós számok halmaza. Az y arctg függvény minden valós számra értelmezett, tehát itt nincs kikötés, a logaritmusfüggvény viszont csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett, és az + kifejezés teljesíti ezt a feltételt. Összegezve a fenti feltételek mindegyikét azt kapjuk, hogy az adott függvény értelmezési tartománya D f R \ { }, azaz 4. f) ) + D f, ), ). Megoldás. Az eponenciális függvény alapja csak -től különböző pozitív valós szám lehet, így teljesülnie kell az illetve az > 0 és, ) + ) > 0 és 0 feltételeknek. Az első egyenlőtlenség megoldása az, ), ) intervallum, a második megoldása pedig: ±. Ezért a megadott függvény értelmezési tartománya D f, ) ),, + ) + ),. 5. f) log 4 ) Megoldás. A logaritmusfüggvény csak pozitív értékekre értelmezett, alapja pedig csak -től különböző pozitív valós szám lehet, ezért kikötéseink most: > 0 és és 4 > 0. Mivel a fenti egyenlőtlenségrendszer megoldáshalmazát az >, az 4, valamint a < < tulajdonságok egyidőben történő megvalósulása adja meg, ezért az f függvény értelmezési tartománya D f, 4 ) ) 4,.

. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát, nullahelyeit, majd vizsgáljuk ki az előjelüket, azaz határozzuk meg mely intervallumokon pozitívak és mely intervallumokon negatívak. 6. f) 6 Megoldás. Mivel f lineáris függvény, ezért D f R. A függvény nullahelye az f) 0 függvény megoldása, ebben az esetben a 6 0 egyenlet gyöke, azaz. Ez azt jelenti, hogy az f függvény görbéje az N, 0 ) pontban metszi az - tengelyt. Az f függvény akkor és csakis akkor pozitív, ha f) > 0, azaz 6 > 0, tehát > esetén. Az f függvény akkor és csakis akkor negatív, ha f) < 0, azaz 6 < 0, tehát < esetén. Ezeket a tulajdonságokat táblázatban is összefoglalhatjuk. D f, ) ), f) + 7. f) 5 ) Az f függvény pozitív az, intervallumon, és negatív a, ) intervallumon. Megoldás. A függvény értelmezési tartománya D f R, mert f másodfokú függvény. f) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 0, azaz 5 vagy 5 esetén, tehát a függvény grafikonja N 5, 0) és N 5, 0) pontokban metszi az -tengelyt. Felhasználva, hogy a függvény f) 5 )5 + ) alakban is felírható, az előjellel kapcsolatos tulajdonságokat táblázatban foglaljuk össze. D f, 5) 5, 5) 5, ) 5 + + 5 + + + f) + 8. f) + + Megállapíthatjuk, hogy az f függvény pozitív a 5, 5) intervallumon, és negatív a, 5) 5, ) intervallumon. Megoldás. f polinomfüggvény, tehát az értelmezési tartománya D f R. f) 0 akkor és csakis akkor, ha + + ) 0, azaz csupán 0 esetén, mert + + + ) + 7 > 0. A függvény grafikonja tehát csak az N0, 0) 4 pontban metszi az -tengelyt. Az f függvény előjele így csak -től függ, vagyis f) > 0, ha 0, ), és f) < 0, ha, 0). 9. f) + 9 Megoldás. f racionális törtfüggvény, így a nevező nem lehet nulla, azaz 9 0, ami azt jelenti, hogy és. Az értelmezési tartomány ennek alapján D f R \ {, }, illetve intervallumos alakban D f, ), ), ). f) 0 akkor és csakis akkor, ha a számláló nulla, vagyis ) ) 0. A kapott egyenlet megoldásai 0, és, tehát a függvény grafikonja az N 0, 0), N, 0) és N, 0) pontokban metszi az -tengelyt. Végezzük táblázattal az előjel vizsgálatát.

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak D f, ), 0) 0, ), ), ), ) + + + + + + + + + + 9 + + f) + + + Megállapíthatjuk, hogy f) > 0, ha, 0), ), ) és f) < 0, ha, ) 0, ), ). 0. f) 4 Megoldás. Az eponenciális függvény minden valós számra értelmezett, ezért az értelmezési tartomány D f R. A függvény nullahelyét az f) 0 egyenletből számíthatjuk ki. 4 0 akkor és csakis akkor, ha, amelyből, vagyis az f függvény grafikonja egyetlen pontban metszi át az -tengelyt, ez pedig N, 0). A függvény előjelének kivizsgálásához eponenciális egyenlőtlenségeket kell megoldani. f) > 0 akkor és csakis akkor, ha 4 > 0, azaz >, amelyből következik, hogy >. f) < 0 akkor és csakis akkor, ha <, ahonnan <. Összefoglalva, az f függvény pozitív, ha, ) és az f függvény negatív, ha, ). 5. f) 6 Megoldás. A nevező nem lehet nulla és a gyök alatti kifejezés nem lehet negatív, ezért 6 > 0 esetén lesz csak értelmezett a függvény, ami azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány D f 6, ). f) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 0, azaz 5 esetében, de mivel 5 / D f, ezért a függvénynek nincs nullahelye. Az előjel kivizsgálásánál vegyük észre, hogy 6 > 0 az értelmezési tartomány minden pontjára, tehát a függvény előjele csak a számláló előjelétől függ. Ezért f) > 0 akkor és csakis akkor, ha 5 > 0, vagyis < 5 esetén, ami nem lehetséges, mert ez az intervallum nincs benne az értelmezési tartományban. f) < 0 akkor és csakis akkor, ha 5 < 0, vagyis > 5 esetén. Ez azt jelenti, hogy az f függvény a teljes értelmezési tartományon negatív.. f) ln ln Megoldás. A logaritmusfüggvény csak pozitív értékekre értelmezett, ezért az egyik kikötésünk az, hogy > 0. A nevező nem lehet nulla, ezért a másik kikötésünk az ln, vagyis e. Ezért a függvény értelmezési tartománya D f 0, e) e, ). f) 0 akkor és csakis akkor, ha ln 0, ez pedig esetén teljesül, tehát a függvénygrafikon az N, 0) pontban metszi át az abszcissza tengelyt. Foglaljuk táblázatba a függvény előjelének kivizsgálását. D f 0, ), e) e, ) ln + + ln + + f) + A táblázatból megállapíthatjuk, hogy f) > 0, ha, e), és f) < 0, ha 0, ) e, ).

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK. f) log + Megoldás. Az f függvény akkor és csakis akkor értelmezett, ha + > 0. Készítsük el a kapott egyenlőtlenség megoldásának táblázatát., ), ), ) + + + + + + + f) 0 akkor és csakis akkor, ha + A táblázatból megállapíthatjuk, hogy a függvény értelmezési tartománya D f, ), )., azaz + esetén, e ennek az egyenletnek nincs megoldása, így a függvénynek nincs nullahelye. f) > 0 akkor és csakis akkor, ha 0 < + + + <, azaz akkor és csakis akkor, ha < 0. 5 A kapott egyenlőtlenség megoldása < 0, illetve < 0 megoldásával ekvivalens, ami azt jelenti, hogy az f függvény pozitív < esetén, tehát a, ) intervallumon. f) < 0 akkor és csakis akkor, ha + >, azaz akkor és csakis 5 akkor, ha > 0. A kapott egyenlőtlenség megoldása > 0 megoldásával ekvivalens, ami azt jelenti, hogy az f függvény negatív a, ) intervallumon. 4. f) )e Megoldás. Mivel az eponenciális függvény kitevőjében levő nevező nem lehet nulla, ezért 0, s így D f R \ {0}, 0) 0, ). f) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, tehát a függvény nullahelye. Ez azt jelenti, hogy a függvénygrafikon az N, 0) pontban metszi az -tengelyt. Mivel az eponenciális függvény mindig pozitív, ezért f) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, és f) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0. Az f függvény tehát pozitív > -re, azaz, ) esetén, és negatív < -re, azaz, ) esetén. 5. f) cos sin Megoldás. Az f függvényben szereplő két trigonometrikus függvény minden valós számra értelmezett, tehát az f függvény értelmezési tartománya D f R. Alkalmazva a trigonometriai azonosságokat átalakíthatjuk az f függvényt: f) cos sin cos sin sin sin sin. Ekkor f) 0 akkor és csakis akkor, ha sin + sin 0. Bevezetve a sin t helyettesítést az egyenlet a t + t 0 másodfokú egyenletre vezetődik vissza, amelynek megoldásai t és t. Visszahelyettesítve az eredeti változót a sin és egyenleteket kapjuk, amelyek megoldásai sin π 6 + kπ, 5π 6 + kπ és π + kπ, k Z.

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 5 Mivel az f függvény f) sin ) sin + ) alakban is felírható és sin + 0, ezért f) > 0 akkor és csakis akkor, ha sin < 0, illetve f) < 0 akkor és csakis akkor, ha sin > 0. Összegezve a fentieket megállapíthatjuk, hogy az f függvény pozitív, ha 0 + kπ, π ) 6 + kπ 5π 6 + kπ, π ) ) π + kπ π + kπ, 6 + kπ, π illetve az f függvény negatív, ha 6 + kπ, 5π ) 6 + kπ.... Valós függvények tulajdonságai A következőkben felsoroljuk azokat a legegyszerűbb fogalmakat, amelyek a függvények vizsgálata során leggyakrabban előfordulnak... Definíció. Az f függvényt felülről alulról) korlátosnak nevezzük, ha van olyan K k) szám, hogy minden D f pontra f) < K k < f)). Az f függvény korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, ekkor f) ma{ k, K }, azaz k f) K. Azt mondjuk, hogy K az f függvény egy felső, k pedig az f függvény egy alsó korlátja. Fontos kihangsúlyozni, hogy ha a függvénynek van egy felső korlátja vagy egy alsó korlátja, akkor ezekből végtelen sok is van. Tehát a felső és alsó korlát fogalma nem egyértelmű. Lehet definiálni korlátos függvény legkisebb felső korlátját, mint a függvény szuprémumát, vagy korlátos függvény legnagyobb alsó korlátját, mint a függvény infimmumát, de a korlátosság szempontjából ezek nem a legfontosabb fogalmak... Példa. a) Az f) + függvény felülről korlátos, egy felső korlátja a, tehát a függvény grafikonja az y egyenes alatt helyezkedik el. b) Az f) függvény alulról korlátos, egy alsó korlátja a 0, tehát a függvény grafikonja az y 0 egyenes felett helyezkedik el. c) Az f) cos függvény korlátos, egy felső korlátja az, egy alsó korlátja a, tehát a függvény grafikonja az y és az y egyenesek között helyezkedik el. d) Az f) függvény sem alulról, sem felülről nem korlátos... Definíció. Az f függvényt szigorúan monoton növekvőnek csökkenőnek) nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely két olyan pontjára, amelyekre <, az f ) < f ) f ) > f )) reláció teljesül. Az f függvényt monoton nemcsökkenőnek nemnövekvőnek) mondjuk, ha < esetén az teljesül, hogy f ) f ) f ) f )).

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK A szigorúan monoton növekvő, szigorúan monoton csökkenő, monoton nemcsökkenő és monoton nemnövekvő függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevezzük. A szigorúan monoton növekvő és szigorúan monoton csökkenő függvényekre azt mondjuk, hogy szigorúan monotonak... Példa. a) Az f) függvény szigorúan monoton csökkenő. b) Az f) ln függvény szigorúan monoton növekvő. c) Az f) függvény monoton nemcsökkenő és monoton nemnövekvő is. A monotonitás definiálható az értelmezési tartomány valamely részintervallumán is. Ekkor a szóban forgó intervallumon monoton függvényről beszélünk..4. Példa. a) Az f) függvény a, 0) intervallumon szigorúan monoton növekvő, a 0, ) intervallumon pedig szigorúan monoton csökkenő, de a teljes értelmezési tartományon vizsgálva nem monoton. b) Az f) + függvény a, ) intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a, ) intervallumon pedig szigorúan monoton növekvő, de a teljes értelmezési tartományon vizsgálva nem monoton... Definíció. Legyen 0 az f függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az f függvénynek az 0 pontban helyi vagy lokális) maimuma minimuma) van, ha megadható az 0 pontnak olyan környezete, hogy az ebbe eső D f, de 0 pontokra igaz, hogy f) < f 0 ) f) > f 0 )). Azt az 0 pontot, ahol az f függvény eléri helyi maimumát minimumát, az f függvény helyi maimuma minimuma) helyének nevezzük. Az 0, f 0 )) pont az y f) függvénygörbe helyi maimumpontja minimumpontja. A helyi maimumhelyet és minimumhelyet egy szóval helyi szélsőértékhelynek nevezzük, a helyi maimumpont és minimumpont közös neve pedig helyi szélsőértékpont..5. Példa. a) Az f) + függvénynek az 0 pontban helyi minimuma van, amelynek értéke f min 0). b) Az f) + függvénynek az pontban helyi maimuma van, amelynek értéke f ma ). c) Az f) függvénynek nincs helyi szélsőértéke. Az olyan függvények esetében vizsgálható a függvénygörbe alakja a konveitás szempontjából, amelyek értelmezési tartományának van olyan részhalmaza, amely intervallum..4. Definíció. Az [a, b] intervallumon értelmezett f függvényt konvenek konkávnak) nevezzük, ha minden a < < b esetén f) < f ) + f ) f ) ) f) > f ) + f ) ) f ) ).

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 7 A fenti definíció szemléletesen a következőképpen fogalmazható meg: egy függvénygörbét konvenek konkávnak) nevezünk, ha bármely ívének minden pontja a végpontok kivételével a végpontok által meghatározott húr alatt felett) van. A konve görbeívre tehát az jellemző, hogy bármely pontjához húzott érintője fölött halad, míg a konkáv görbeívre az, hogy bármely pontjához húzott érintője alatt halad. A fenti elnevezések akkor lennének pontosak, ha azt is hozzátennénk, hogy a függvény felülről nézve konve, illetve konkáv, de mi mindig ilyen értelemben használjuk őket..5. Definíció. Egy függvénynek az 0 pontban infleiós vagy áthajlási) pontja van, ha az 0 pontnak van olyan jobb és bal oldali környezete, hogy az egyikben a függvény szigorúan konve, a másikban szigorúan konkáv, vagy fordítva..6. Példa. Az f) függvény a, 0) intervallumon konkáv, a 0, ) intervallumon konve, az 0 pontban pedig infleiós pontja van és f inf 0) 0..6. Definíció. Az f függvényt, amelynek értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra, páros függvénynek nevezzük, ha bármely D f pontra f ) f), és páratlan függvénynek, ha bármely D f pontra f ) f). A definícióból következik, hogy a páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvények grafikonja pedig középpontosan szimmetrikus az origóra..7. Példa. Az f) + függvény páros, mert f ) ) + + f)..8. Példa. Az f) + függvény páratlan, mert f ) ) + ) + ) f)..9. Példa. Ha tudjuk, hogy a trigonometrikus függvények közül csak az y cos páros, a többi páratlan, akkor megállapíthatjuk, hogy az f) sin + cos függvény se nem páros, se nem páratlan, mivel f ) sin ) + cos ) sin + cos ±f)..0. Példa. Az f) log se nem páros, se nem páratlan, mert az értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra..7. Definíció. Az f függvény periodikus, ha létezik olyan ω pozitív valós szám, amelyre teljesül a következő két feltétel:. minden D f esetén következik, hogy + kω) D f, ahol k Z;. minden D f esetén f + ω) f). Ekkor ω-t az f függvény periódusának nevezzük. Természetesen, ha ω periódus, akkor ennek bármely pozitív egész számszorosa is periódus. A függvény lehető legkisebb periódusát a függvény alapperiódusának nevezzük és ω 0 -val jelöljük.

8. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.. Példa. A trigonometrikus függvények periodikusak. Közülük az f) sin és f) cos függvények alapperiódusa ω 0 π. Ez azt jelenti, hogy sin + π) sin, azaz, hogy sin + kπ) sin, k Z, illetve hogy cos + kπ) cos, k Z. Az f) tg és az f) ctg függvények alapperiódusa ω 0 π. Ebből azt tudjuk, hogy tg + kπ) tg, k Z, és ctg + kπ) ctg, k Z... Példa. Az f) függvény nem periodikus, mert nem találunk olyan ω pozitív valós számot, hogy f+ω) f), vagyis + ω teljesüljön, hiszen akkor +ω kellene, hogy igaz legyen minden valós 0 értékre, amely csak ω 0 esetben valósul meg... Példa. Vizsgáljuk most ki az f) sin függvény periodikusságát. Mivel általános esetben tudjuk, hogy az f függvény periodikusságához egy olyan ω > 0 számot keresünk, amelyre f + ω) f) igaz, és ebben az esetben tudjuk, hogy az y sin függvény periodikus és π az alapperiódusa, ezért most a sin + ω) sin + kπ), k Z egyenlőségnek kell teljesülnie. Innen + ω) + kπ akkor és csakis akkor, ha ω kπ, vagyis ω kπ, k Z. Az alapperiódust a legkisebb pozitív egész k számra kapjuk, tehát k esetén, s így az f függvényről megállapítható, hogy periodikus, alapperiódusa pedig ω 0 π..4. Példa. Mutassuk meg, hogy az f) tg függvény nem periodikus. E célból tegyük fel, hogy az f függvény periodikus ω periódussal, azaz teljesül, hogy tg + ω tg + kπ), k Z. Ebből + ω + kπ, k Z, ahonnan négyzetre emeléssel azt kapjuk, hogy Ekkor + ω + kπ + k π, k Z. ω kπ + k π / R +, k Z, mivel az változó is szerepel a kifejezésben. Ezért az f függvény egy nem periodikus trigonometrikus függvény. FELADATOK. Vizsgáljuk ki az alábbi függvények paritását.. f) Megoldás. Mivel f ) ) f), az adott függvény páratlan.

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 9. f) 4 + 5 + 6 + cos Megoldás. Mivel f ) ) 4 + 5 ) + 6 + cos ) 4 + 5 + 6 + cos f), az adott függvény páros.. f) sinsin ) Megoldás. Mivel f ) sinsin )) sin sin ) sinsin ) f), az adott függvény tehát páratlan. 4. f) + + + Megoldás. A függvény se nem páros, se nem páratlan, hiszen f ) ) + ) + ) + + + ±f). cos 5 5. f) + Megoldás. A függvény páratlan, mert D f, 0) 0, ) és f ) 6. f) Megoldás. Mivel cos 5 ) ) + ) cos 5 cos 5 + f). f ) ) ) f), ezért a függvény páratlan. 7. f) + + + Megoldás. Vegyük észre, hogy D f, ), ), ) és f ) ) + ) + ) + ) + + + + + ) + f), ezért a függvény páratlan. 8. f) + ) + ) Megoldás. Mivel f ) + ) + ) ) + + ) f), a függvény páros.

0. 9. f) log a + ) + Megoldás. A függvény páratlan, mert EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK f ) log a + ) ) ) + log a + ) + + + + ) + log a log a + ) + loga + ) + f). + + 0. f) ln + cos cos Megoldás. A függvény páros, mert f ) ln + cos ) cos ) Vizsgáljuk ki az alábbi függvények periodikusságát. ln + cos cos f).. f) sin Megoldás. Alkalmazzuk a sin cos trigonometriai azonosságot, s így cos valójában az f) függvény periodikusságát kell kivizsgálni. Olyan ω pozitív valós számot keresünk, hogy teljesüljön az f + ω) f) egyenlőség, illetve ha felhasználjuk az y cos periodikusságát, akkor igaz legyen, hogy Innen vagyis cos + ω) cos + kπ), k Z. cos + ω) cos + kπ), k Z, + ω + kπ, k Z. Ebből adódik, hogy az f függvény periódusa ω kπ, k Z, az alapperiódusa pedig k -re ω 0 π.. f) sin Megoldás. Olyan ω pozitív valós számot keresünk, amelyre ) sin + ω sin + kπ, k Z. Ebből vagyis ahonnan + ω + kπ, k Z, + ω) + kπ), illetve + kπ + ω + kπω, k Z, ω kπ + kπ / R+, tehát ez a függvény nem periodikus.

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak. f) ctg π Megoldás. Mivel ctg π + ω) ctg π + kπ), k Z, kell legyen, ezért π + πω π + kπ, k Z, ahonnan ω k, k Z, a periódus, és ω 0 az alapperiódus. 4. f) sin π + sin π Megoldás. Mivel most két összeadandónk van, mindkettőnek keressük a periódusát, majd a kapott periódusok legkisebb közös többszöröse lesz az f összegfüggvény periódusa. Először a egyenlőségből kapjuk, hogy ahonnan ω 4k, k Z. Másodszor a egyenlőségből kapjuk, hogy sin π + ω) sin π + kπ ), k Z, π + πω π + kπ, k Z, sin π + ω) sin π + kπ ), k Z, π + πω π + kπ, k Z, ahonnan ω 6k, k Z. Mivel LKT 4k, 6k) k, az adott f függvény periódusa ω k, k Z, alapperiódusa pedig ω 0. 5. f) cos π Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy van-e olyan pozitív valós ω, amelyre teljesül a egyenlőség. Innen cos + ω π π ) cos + kπ, k Z π + ω π π + kπ, k Z kell legyen, ahonnan ω kπ, k Z a függvény periódusa, ω 0 π pedig az alapperiódus.

. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK... Műveletek függvényekkel, az inverz függvény.8. Definíció. Az f és g valós függvények összegén, különbségén, szorzatán, hányadosán rendre azt az F, G, H, R függvényt értjük, amely azokban és csak azokban a pontokban értelmezett, amelyekben f és g is értelmezett kivéve az R függvényt, amely g) 0 esetén nem értelmezett), és minden ilyen pontban: F ) f + g)) f) + g), G) f g)) f) g), H) f g)) f) g), ) f R) ) f) g g)..9. Definíció. Az f és g valós függvények összetételén vagy kompozícióján) azt a F függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya a g függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, amelyekre a g) függvényérték hozzátartozik az f függvény értelmezési tartományához, és minden ilyen pontban F ) f g)) fg))..5. Példa. Ha f) +, R és g), 0, akkor f g)) fg)) f ) +, 0, g f)) gf)) g + ) + ) +,..6. Példa. Bontsuk fel belső és külső függvényekre a F ) + + 4 függvényt. Ha g) + + 4 és f), akkor fg)) + + 4. Viszont, ha g ) + és f ) +, akkor f g )) + + ) + + 4..0. Definíció. Legyen az f valós függvény által létesített leképezés kölcsönösen egyértelmű bijektív). Az f függvény inverz függvényén értjük azt az f függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f értékkészlete, s a hozzárendelési törvénye a következő: egy 0 értékhez olyan f 0 ) értéket rendel, amely helyen az f függvény az 0 értéket vette fel, azaz ff 0 )) 0. Szigorúan monoton függvénynek mindig létezik inverze, ugyanis ekkor a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Ha az f invertálható függvény grafikonja megrajzolható, akkor az f grafikonja is, és ez az f függvény grafikonjának az y egyenesre vonatkozó tükörképe a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben..7. Példa. Az f) + + 5 függvény f inverzfüggvénye az f ) + f ) + 5 összefüggésből f ) 5, ahol D f R f R \ { 5} és R f D f R \ {}.

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak.8. Példa. Legyen f) log ) + adott függvény, ahol D f, ) és R f R. Az f függvény f inverzére az ff )) tulajdonság alapján érvényes, hogy ahol D f R és R f, ). logf ) ) +, azaz f ) 0 +, FELADATOK. Határozzuk meg a következő függvények inverzeit.. f) 4 + Megoldás. Az y 4 + függvénygrafikonról megállapítható, hogy az f függvény bijektív a, ], illetve a [, ) intervallumon, ezért ezek bármelyikén kereshetünk inverzfüggvényt. Ha y 4 +, akkor az y változócsere után y 4y +, illetve y 4y + 0, innen pedig y + + és y +. Ha az f ) 4 + függvény az f függvény leszűkítése az a, ] intervallumra, vagyis D f, ], az f ) 4 + függvény pedig az f függvény leszűkítése az a [, ) intervallumra, vagyis D f [, ), akkor f ) +, és f ) + +, és R f [, ) miatt mindkét függvény értelmezési tartománya D f D f [, ).. f) Megoldás. Írjuk fel a függvényt y alakban. változócsere után y írható fel, ahonnan Ekkor az y + y, illetve y log + egyenlőségekhez jutunk, ahonnan az inverzfüggvény f + ) + log.. f) + ln + ) Megoldás. Mivel most y + ln + ), az y változócsere után felírható, hogy + lny + ). Ha ebből kifejezzük az y függő változót, akkor ebből lny + ), illetve e y +, ahonnan megkapjuk, hogy az inverzfüggvény f ) e ).

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 4. f) + Megoldás. Végezzük el az y változócserét az y + egyenletben. Ekkor az y + egyenletet kapjuk, ahonnan ki kell fejeznünk az y függő változót. Az y átalakítás során azt kapjuk, hogy y ) y +, illetve y ) +, ahonnan az inverz függvény f ) +. Vegyük észre, hogy az f függvény most önmagának inverze, ami azt jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y egyeneshez viszonyítva. 5. f) Megoldás. Vezessük be az y egyenletbe az y változócserét. Ekkor az y y összefüggést kapjuk, amelyből ki kell fejezni a függő y változót. Rendezve az egyenletet adódik, hogy y y, illetve y y. Ha a kapott egyenletben bevezetjük a y t helyettesítést, akkor a t t 0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelyből illetve a visszahelyettesítés után t + + és t +, y + + vagy y +. Mivel + < 0, ezért csak a y + + egyenlőség lehetséges, ahonnan mindkét oldal logaritmálása után kapjuk meg, hogy f ) log + ) +. 6. f) a a, a > 0, a a + a Megoldás. Bővítsük az f függvényt a -nel. Így az y a egyenletbe kell a + bevezetni az y változócserét, s ekkor ay. Kifejezve ebből a függő a y + változót adódik, hogy a y ) +, illetve a y +, amelyből megkaphatjuk, hogy a keresett inverzfüggvény f ) log a +. 7. f) ln +

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 5 Megoldás. Az y változócsere után az y ln + ln + y egyenletet, amelyből y-t fejezzük ki. Ekkor y e y) + y, illetve y e + ) e egyenletből kapjuk az az ekvivalens egyenlet, ahonnan a keresett inverzfüggvény f ) e e +. 8. f) log a + ) +, a > 0, a Megoldás. Ismételjük meg az előző feladatokból már jól ismert eljárást, azaz vezessük be az y log a + ) + egyenletben az y változócserét. Ekkor log a y + ) y +, ahonnan a y y +. Négyzetre emelés után adódik, hogy a ya + y y +, illetve ya a, innen pdig következik, hogy az inverzfüggvény f ) a a. 9. f) sin Megoldás. Alkalmazzuk az y Ekkor az sin y sin egyenletet kapjuk, ahonnan az sin y, illetve egyenletre az y változócserét. sin y ekvivalens egyenleteket kapjuk. A keresett inverzfüggvény tehát 0. f) ecos + e cos f ) arcsin. Megoldás. Ha y ecos, akkor az inverzfüggvényt az y változócsere + ecos után az ecos y egyenletből határozzuk meg. Innen + ecos y e cos y ) +, azaz cos y ln +, a keresett inverzfüggvény pedig f ) arccos ln + ).

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK. Írjuk fel az f) 4 + felhasználásával. Megoldás. Mivel függvényt más alakban, az abszolútérték definíciójának {, ha 0,, ha < 0, így + { +, ha, + ), ha <. Ezért az f függvény felírható a következő alakban: f) 4, ha, + 4, ha <. +. Írjuk fel az f) + )sgn + 5) + függvényt más alakban, az előjel függvény definíciójának felhasználásával. Megoldás. Mivel, ha > 0, sgn 0, ha 0,, ha < 0, + ) +, ha > 5, ezért f) + ) 0 +, ha 5, + ) ) +, ha < 5, rendezés után pedig 4, ha > 5, f), ha 5, 4, ha < 5.. Ha f), akkor határozzuk meg az és y értékét úgy, hogy ff)) 0 és ffy)) y igaz legyen. Megoldás. Alkalmazva az összetett függvény szabályát az ff)) 0 feltételből az f ) 0 illetve ) 0 egyenlet következik, amelynek megoldása 4. Az ffy)) y feltételből következik, hogy így a kapott egyenlet megoldása y. fy ) y vagyis y ) y, 4. Ha f) +, akkor határozzuk meg a g függvényt az f + g)) + összefüggésből. Megoldás. Ha f + g)) +, akkor az f függvény definíciója alapján érvényes, hogy + g)) + + azaz + g) + +, ahonnan g).

.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 7 5. Keressük meg mindazokat az f : R R függvényeket, melyekre f00) és f)fy) f y) érvényes legyen minden, y R esetén. Megoldás. Vegyük észre, hogy minden y R esetén fy) 0 kell legyen, mert ha létezne olyan y R, amelyre fy) 0 lenne, akkor minden R esetén érvényes lenne, hogy f) 0 f y), amely csak f) 0 esetén lenne igaz, de ez az f00) feltétel miatt nem lehetséges. Vegyük észre továbbá azt, hogy y választásával ami lehetséges, hiszen az f)fy) f y) egyenlet minden, y R esetén érvényes) fy)fy) fy) adódik, ahonnan fy) f), amely függvény eleget tesz az f00) feltételnek is. Így a keresett függvény az f) konstans függvény. 6. Határozzuk meg mindazokat az f valós függvényeket, melyekre érvényes, hogy fy) f)fy) és f + y) f) + fy) + y minden, y R esetén. Megoldás. Ha y 0, akkor az f + y) f) + fy) + y feltételből következik, hogy f) f) + f0), azaz f0) 0 adódik. Ha az f + y) f) + fy) + y feltételben y, akkor f0) f) + f ). Mivel f0) 0, így az következik, hogy f) + f ). Írjuk fel az előbbi lépésben kapott feltételt f ) + f )) alakban, majd alkalmazzuk rá az fy) f)fy) feltételt. Ekkor f) f) + f) f ), ahonnan f)f) + f )). Ha most az f+y) f)+fy)+y feltételben -et és y -et választunk, akkor f) + f ) következik, ahonnan megkapjuk az f) megoldást. 7. Ha f) e e és g) e + e, akkor mutassuk meg, hogy f ± y) f)gy) ± g)fy). Megoldás. Először mutassuk meg, hogy f + y) f)gy) + g)fy) teljesül. f + y) e+y e y e+y) e +y e e y 4e e y e e y e y + e ) + e e y + e y e ) 4e e y e ) e y + ) e e y + e + ) e y ) e e y e e ey + e y + e + e ey e y e e ey + e y + e + e ey e y f)gy) + g)fy).

8. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Mutassuk meg hasonlóképpen, hogy az f y) f)gy) g)fy) összefüggés is teljesül. f y) e y e +y e y) e y e e y 4e e y e e y e + e y ) + e e y + e e y ) 4e e y e ) e y + ) e e y + e + ) e y ) e e y e e e y + e y + e + e e y e y e + e e y e y + e e e y + e y f)gy) g)fy). 8. Legyen f) adott függvény és n N. Határozzuk meg az f n) + kifejezést, ha f ) f) és f n ) ff n )). Megoldás. Mivel f ) f) ) f ) ff )) f + ) f ) ff )) f + ) f 4 ) ff )) f + ahonnan most már megsejthetjük, hogy f n ) +, + + + + + + + + + + n, n N. Az állítást matematikai indukcióval bizonyítjuk. o n -re az állítást igaz. o Feltesszük, hogy az állítás igaz n k-ra, azaz f k ) + + + + + + + +4 + +, +, + 4, + k, k N. o Igazoljuk, hogy ekkor az állítás n k + -re is igaz. Mivel ) f k+ ) ff k )) f +k, + k + + k + ) +k ezzel az állítást igazoltuk. 9. Mutassuk meg, hogy minden valós esetén arctg arcsin +. Megoldás. Ha két függvényérték egyenlő, akkor tangenseik is egyenlőek, tehát ) tg arctg ) tg arcsin, R. +

.. Függvények folytonossága 9 és végezzük el a megfelelő transz- Használjuk fel, hogy tg α sin α cos α formációkat. Ekkor ) sin arcsin + sin arcsin + sin α sin α következik, amivel az állításunkat igazoltuk. 0. Mutassuk meg, hogy ha <, akkor arcsin arctg ), innen +, illetve +. Megoldás. Vegyük észre, hogy < esetén az kifejezés értelmezett. Ha két függvényérték megegyezik, akkor színuszaik is megegyeznek, tehát ) sin arcsin ) sin arctg, <. A sin α tg α + tg α trigonometriai azonosság alkalmazásával következik, hogy ) tg arctg + tg arctg ), ebből, illetve + következik, amivel az állításunkat igazoltuk... Függvények folytonossága... A folytonosság definíciója.9. Példa. Tekintsük az f) sgn előjel függvényt D f R) és az 0 pontot. Tudjuk, hogy sgn 0) 0. Vegyünk egy olyan 0-hoz tartó { n } sorozatot, amelyben n < 0. Legyen például n. Ekkor lim n n 0, a megfelelő függvényértékekből n alkotott sorozat határértékére pedig érvényes, hogy lim f n) lim f ) lim ). n n n n Ha n, akkor most n n > 0 és lim n 0, a megfelelő függvényértékekből alkotott n sorozat határértékére pedig igaz, hogy ) lim f n) lim f lim +). n n n n

40. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Vegyünk most olyan 0-hoz tartó sorozatot, amelyben az elemek felváltva pozitív, illetve negatív előjelűek. Legyen például n )n, ahol lim n n 0, a megfelelő n függvényértékekből alkotott sorozat pedig f ) ), f, f ) ), f, 4 f ) ) ) n, f ) n, 5 Ez a sorozat nem is konvergens. Megállapíthatjuk tehát, hogy az f) sgn függvény értéke nullában értelmezett és f0) 0. Ha az { n } sorozat balról tart 0-hoz, akkor lim f n), ha az { n } sorozat jobbról tart 0-hoz, akkor lim f n ), és ezek a n n határértékek nem egyeznek meg az f0) függvényértékkel, a 0-hoz tartó oszcilláló { n } sorozat esetén pedig lim f n ) nem is létezik. Vegyük észre azt is, hogy a szignum n függvény grafikonja a 0-ban megszakad..0. Példa. Tekintsük most az f) {} törtrész függvényt és az pontot D f R), ahol a {} [], vagyis [] az valós szám egész részét, {} pedig az valós szám törtrészét jelöli. Vegyünk először olyan sorozatot, melynek minden eleme -nél kisebb és -hez tart. Ilyen például az n n. E sorozat elemeihez tartozó n függvényértékekből alkotott sorozat f0) 0, f n ) ), f ), f ) n 4 4, f n n n, Így a függvényértékekből alkotott sorozat -hez tart. Vegyünk most olyan sorozatot, amelynek minden eleme -nél nagyobb és ez a sorozat is tartson -hez. Ilyen például az n n +. E sorozat elemeihez tartozó függvényértékekből alkotott sorozat n ) f) 0, f ) 4, f ) 5, f ) n + 4 4, f n n, Ez a sorozat 0-hoz konvergál. Tudjuk továbbá azt is, hogy a függvényérték f) {} [] 0. Vegyük tehát észre, hogy f) 0, lim f n ), ha az { n } n sorozat balról tart -hez, és lim f n ) 0, ha az { n } sorozat jobbról tart -hez. A n törtrész függvény grafikonjáról azt is láthatjuk, hogy a grafikon -ben megszakad... Példa. Tekintsük most az f) függvényt és az pontot. Ekkor ) f 4. Vegyünk fel olyan tetszőleges { n} sorozatot, amely -hez tart. A megfelelő függvényértékek sorozata { n} és határértékére igaz, hogy ) lim n) lim n) n n 4,

.. Függvények folytonossága 4 amely érték megegyezik az f grafikonját vizsgáljuk az ) 4 függvényértékkel. Ha az f) függvény pontban, akkor az előző két példával ellentétben megállapíthatjuk, hogy a függvény grafikonja az pontban nem szakad meg. Másképpen is leírható a függvény -ben vizsgált tulajdonsága. Adjunk meg egy tetszőleges pozitív ε számot és legyen 0 < <. Ekkor 4 ) + + ) < ε, ha < ε. Ezért, ha a δ pozitív számot -nél kisebbre választjuk, akkor az -nek van olyan δ-sugarú környezete, hogy az ebbe eső pontokban a függvény értéke az 4 kevesebbel tér el. függvényértéktől ε-nál Ezen gondolatmenet alapján megfogalmazhatjuk a folytonosság definícióját. Ezért a továbbiakban mindig feltesszük, hogy a függvény, nemcsak a vizsgált pontban, hanem annak valamely környezetében esetleg csak félkörnyezetében) értelmezve van. A folytonosság pontos fogalmára két definíciót is adunk. y f 0 ε f 0 f y f.. Definíció. Cauchy). Az f függvény folytonos az 0 pontban, ha bármely pozitív ε-hoz megadható olyan pozitív δ δ az ε és az 0 függvénye), hogy 0 δ, 0 + δ) D f, és ha 0 < δ, akkor f) f 0 ) < ε, miközben 0, D f. f 0 ε 0 0 0.. Definíció. Heine). Az f függvény folytonos az 0 D f pontban, ha f az 0 szimmetrikus környezetében értelmezve van, és minden olyan { n } n D f ) sorozatra, amely 0 -hoz tart, az f n ) függvényértékek sorozata az f 0 ) függvényértékhez tart. Ezen definíciók azon megfogalmazásnak adnak pontos értelmet, miszerint, ha az pont elég közel van 0 -hoz, akkor f) közel van f 0 )-hoz. Belátható, hogy a Heine-féle és a Cauchy-féle folytonossági definíciók ekvivalensek. Az alábbiakban megadjuk a féloldali folytonosság fogalmát is a Cauchy-féle megfogalmazás szerint. Minden folytonossági definíció megfogalmazható Heine szerint is.

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.. Definíció. Cauchy). Az f függvényt az 0 -ban balról jobbról) folytonosnak nevezzük, ha f az 0 megfelelő félkörnyezetében értelmezett és bármely ε > 0-hoz megadható olyan pozitív δ δ az ε és az 0 függvénye), hogy < 0 > 0 ) és 0 δ, 0 ) 0, 0 + δ)), akkor f) f 0 ) < ε, miközben 0, D f... Tétel. Az f függvény egy 0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha 0 -ban balról is és jobbról is folytonos... Példa. a) Az f) függvény minden 0 pontban folytonos. b) Az f) sgn függvény az 0 pontban nem folytonos. c) Az {}, az ún. törtrész-függvény minden egész értékben balról nem folytonos, jobbról viszont folytonos.... Folytonos függvények.. Tétel. Ha két függvény folytonos az 0 pontban, akkor összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos az 0 pontban. Hányadosuk is folytonos, ha a nevezőben levő függvény az 0 pontban nullától különböző... Tétel. Az f g összetett függvény folytonos az 0 pontban, ha a g belső függvény folytonos 0 pontban és az f függvény folytonos g 0 ) pontban. A folytonosság pontbeli tulajdonság, bár a függvénynek a vizsgált pont környezetében való értelmezettsége is szükséges az e pontbeli folytonossághoz. Most ezt a pontbeli tulajdonságot intervallumokra is kiterjesztjük..4. Definíció. Az f függvényt egy nyitott intervallumon folytonosnak nevezzük, ha az intervallum minden pontjában folytonos. Az f függvényt egy zárt intervallumon folytonosnak nevezzük, ha az intervallum minden belső pontjában folytonos, a bal végpontban jobbról és a jobb végpontban balról folytonos..5. Definíció. Egy függvényt folytonosnak mondunk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Amennyiben az értelmezési tartomány több intervallumból áll, akkor minden intervallumon megköveteljük a folytonosságot. Az olyan helyeken, ahol a függvény nincs értelmezve, a folytonosság kérdésének feltevése eleve indokolatlan. Fontos megjegyezni, hogy az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományukon..4. Tétel. Bolzano-tétel). Ha a függvény a zárt intervallumon folytonos, és az intervallum két végpontjában az értékei különböző előjelűek, akkor az intervallum belsejében van nullahelye. A tétel geometriai jelentése a következő: ha az f függvény az [a, b] zárt intervallumban folytonos és grafikonjának az -tengely mindkét oldalán van pontja, akkor van a grafikon e két pont közötti ívének az -tengellyel legalább egy metszéspontja. A következő tétel a zárt intervallumon folytonos függvények, a későbbi alkalmazások szempontjából nagyon fontos tulajdonságát fogalmazza meg.

.. Függvények határértéke 4.5. Tétel. Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos ezen az intervallumon. A tétel geometriai jelentése: ha az f függvény az [a, b] intervallumban folytonos, akkor grafikonja nem távolodhat el akármilyen messzire az -tengelytől; megadható olyan, az -tengellyel párhuzamos sáv, hogy az f függvény grafikonjának az [a, b] intervallumhoz tartozó szakasza a sávban halad. Végül következzen két tétel, melyek az inverz függvényekkel kapcsolatosak..6. Tétel. Legyen az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, ekkor az f függvény létezéséhez szükséges és elégséges, hogy az f függvény szigorúan monoton legyen az [a, b] intervallumon..7. Tétel. Ha f az [a, b] intervallumon szigorúan monoton folytonos függvény, inverze, f is folytonos azon az [α, β] intervallumon, amelynek végpontjai α min{fa), fb)} és β ma{fa), fb)}... Függvények határértéke... Függvény határértékével kapcsolatos alapfogalmak Legtöbbször olyan függvényeket vizsgálunk, amelyek egy intervallumon vannak értelmezve. Vannak azonban olyan példák is, ahol a függvények egy pontban vagy nincsenek értelmezve, vagy az adott pontban végtelen nagy értéket vesznek fel. Ilyen esetekben szükség van a függvénynek a pont egy környezetében való vizsgálatára. Nézzünk először néhány példát... Példa. Az f) sgn függvény az origóban nem folytonos, viszont ha n 0 és n 0, akkor a {sgn n } sorozat konvergens és -hez tart, hiszen minden n-re sgn n. y y sgn.4. Példa. Az y f) függvény az pontban nem folytonos, de megállapíthatjuk, hogy bármely n és n sorozatra { } n { n + } n y konvergens és -höz tart..5. Példa. Az f) függvény az origóban nem folytonos, de bármely más { } pontban igen. Bármely n 0 és például n sorozatra a konvergens, sőt határértéke megegyezik a függvény pontban vett helyettesítési értékével, az 4 -del. n

44. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Az ilyen és hasonló tulajdonságú függvényekről azt mondjuk, hogy létezik a határértékük. Most is azt feltételezzük, hogy a vizsgált pont valamely környezetében vagy félkörnyezetében értelmezve van a függvény a vizsgált helyen a függvény nem feltétlenül értelmezett). y f 0 A ε y f.6. Definíció. Legyen az f függvény az 0 pont valamely környezetében értelmezett, kivéve esetleg az 0 pontot. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvény 0 pontbeli határértéke az A szám, ha bármely ε > 0- hoz létezik olyan δ > 0 δ függvénye ε-nak és az 0 -nak), hogy ha 0 < δ 0 ), akkor f) A < ε. Természetesen D f. A f A ε 0 0 0.6. Példa. A fenti példák esetében tehát felírható, hogy lim sgn és lim 0 lim ) + ) lim + )..7. Definíció. Legyen az f függvény az 0 pont valamely jobb, illetve bal oldali félkörnyezetében értelmezett, kivéve esetleg az 0 pontot. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvény 0 pontbeli jobboldali baloldali) határértéke az A szám, ha bármely ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 δ függvénye ε-nak és az 0 -nak), hogy ha 0 < < 0 +δ 0 δ < < 0 ), akkor f) A < ε. Természetesen D f. A jobboldali, illetve baloldali határértékek jelölése: lim f) A, illetve lim f) A. 0 +0 0 0.7. Példa. a) Az f) sgn függvény viselkedését az 0 pont környezetében a féloldali határértékek segítségével így írhatjuk fel: lim sgn és lim sgn. 0 0 0+0 b) Az f) [] egészrész függvény viselkedése az pont környezetében így írható fel: lim [] és lim [] 4. 0 +0 c) Az f) {} törtrész függvény viselkedése az pont környezetében így írható fel: lim {} és lim {} 0. 0 +0.8. Tétel. Az f függvénynek az 0 pontban akkor és csak akkor létezik határértéke, ha ott létezik a jobb és bal oldali határértéke és ezek egyenlőek, azaz lim f) lim f) lim f). 0 +0 0 0 0

.. Függvények határértéke 45... Függvény határértékének tulajdonságai Most pedig megfogalmazunk néhány, a függvényekkel végezhető műveletekre, a függvények határértékére és folytonosságára vonatkozó egyszerű állítást..9. Tétel. Ha f) 0 és lim 0 f) létezik, akkor lim 0 f) 0..0. Tétel. Ha lim f) és lim g) létezik, akkor az 0 pontban az f és g függvények 0 0 összegének és különbségének határértéke is létezik és lim [f) + g)] lim f) + lim g), 0 0 0 lim [f) g)] lim f) lim g). 0 0 0.. Tétel. Ha lim f) és lim g) létezik, akkor az 0 pontban az f és g függvények 0 0 szorzatának határértéke is létezik és lim 0 [f)g)] lim 0 f) lim 0 g)... Tétel. Ha lim f) és lim g) létezik és lim g) 0, akkor az 0 pontban az 0 0 0 f és g függvények hányadosának határértéke is létezik és f) lim 0 g) lim 0 f) lim 0 g)... Tétel. Ha lim f) és lim g) létezik, valamint az 0 valamely környezetében 0 0 f) g), akkor lim f) lim g). 0 0.4. Tétel. Rendőr-elv). Ha lim f) és lim g) határértékek léteznek és egyenlőek, 0 0 azaz lim f) lim g) A 0 0 valamint az 0 valamely környezetében f) h) g), akkor lim h) A. 0.5. Tétel. Az f függvénynek 0 -ban akkor és csak akkor létezik határértéke, ha {f n )} konvergens, valahányszor n 0 n 0 ), n D f..6. Tétel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az 0 pontban, ha az 0 pontban létezik határértéke és lim 0 f) f 0 ).

46. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK... Végtelenben vett és végtelen határérték Az eddigiekben véges helyen vett véges határértékről beszéltünk. A következőkben a véges helyen vett végtelen értékű és a végtelenben vett határértéket ismertetjük..8. Definíció. Legyen az f függvény az 0 pont valamely környezetében értelmezett, kivéve esetleg az 0 pontot. Ekkor az f függvénynek az 0 pontban + ) a határértéke, ha bármely M számhoz megadható olyan δ > 0 δ függvénye M-nek és az 0 -nak), hogy ha 0 < δ 0 ), akkor f) > M f) < M) teljesül. Természetesen D f. A végtelen határérték jelölése: lim f), 0 lim f). 0.8. Példa. Az f), illetve a g) függvény viselkedése az 0 pont környezetében felírható, mint lim 0, illetve lim 0 ). A fentiekhez hasonlóan definiálhatók a féloldali végtelen határértékek is..9. Példa. a) A féloldali végtelen határértékek segítségével az f) függvény viselkedése az 0 pont környezetében felírható, mint lim 0 0 és lim 0+0. b) A féloldali végtelen határértékre szükségünk akkor is, ha a logaritmusfüggvény viselkedését szeretnénk leírni az 0 pont környezetében, hiszen ez a függvény az 0 pontnak csak a jobboldali környezetében értelmezett. Felírható, hogy lim log a a > ) és lim log a 0 < a < ). 0+0 0+0 A következőkben feltesszük, hogy a megfelelő félegyenesen a függvény értelmezett..9. Definíció. Az f függvénynek a + -ben -ben) a határértéke az A szám, ha bármely ε > 0-hoz megadható olyan függvénye ε-nak), hogy ha > < ), akkor f) A < ε. Természetesen D f. A határérték jelölése a végtelenben: lim f) A, lim f) A..0. Definíció. Az f függvénynek a + -ben -ben) a határértéke +, illetve, ha bármely M számhoz van olyan szám függvénye M-nek), hogy ha > < ), akkor f) > M, illetve f) < M. Természetesen D f. A végtelenben vett végtelen határérték jelölése: lim f) +, lim lim f) +, lim f), f).

.. Függvények határértéke 47..4. Néhány fontosabb határérték I. lim 0 sin Bizonyítás. Mivel a sin meg először, hogy függvény páros, ezért csak az > 0 esetet tárgyaljuk. Mutassuk cos < sin <, ha 0 < < π. A bizonyításhoz felhasználjuk az egységsugarú kört, amelynek középpontja a koordinátarendszer kezdőpontja, a sugara pedig egy hosszúságegység. Ebben az változót az ÂB körív jelenti, ahol B a körvonal -tengellyel való metszéspontja, A pedig a körvonal I. negyedbe eső tetszőleges pontja. Legyen A az A pont -tengelyre eső merőleges vetülete, C pedig az OA félegyenes és a kör B pontban szerkesztett érintőjének metszéspontja. A rajzról leolvasható, hogy AA sin és BC tg, s az is jól látható, hogy az AOB körcikk területe az OAB és az OBC területe közé esik. Ennek következtében, mivel a kör sugara, következik, hogy sin < < tg, amiből a sin értékkel való osztás és -vel való szorzás után következik, hogy < sin < sin, vagyis cos < cos <. Tudjuk, hogy az f) cos folytonos a 0 pontban és cos 0. akkor lim 0 cos. A rendőr-elv szerint tehát következik, hogy pedig a sin II. lim + e ) sin függvény párossága miatt lim 0 is igaz. Bizonyítás. A bizonyítás a számsorozatokra vonatkozó lim n 0 y A A Így ha 0 0), sin lim, ebből 0 0 + n) n e határérték segítségével történik. Ha [] az valós szám egész része, akkor [] n N és érvényes az [] < []+ egyenlőtlenség. Ha, akkor [] n is teljesül. Megmutatjuk, hogy Legyen fn) lim + ) [] lim + ) []+ e. [] + [] + ) n és gn) + n+, n N. n + n) C B

48. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK A számsorozatokról szóló fejezetben már beláttuk, hogy lim + ) n lim + n+ e. n n + n n) Innen az f ) f[]) függvények definiálásával következik, hogy lim f ) lim + [] + és + ) [] és g ) g[]) + ) []+, [] + [] ) [] lim f[]) lim fn) lim n n + ) n e, n + lim g ) lim + ) []+ lim g[]) lim gn) lim + n+ e. [] n n n) Legyen most h) + ). Mivel lim f ) lim g ) e, valamint f ) h) g ) érvényes minden valós számra, ezért a rendőr-elv alapján lim h) lim + e. ) III. lim 0 ln + ) Bizonyítás. Ha a. alaphatárértékben bevezetjük az y helyettesítést, akkor akkor és csakis akkor, ha y 0. Ekkor közvetlenül adódik, hogy lim y 0 + y) y e, vagy y esetén lim 0 + ) e. E ténynek és a logaritmusfüggvény folytonosságának felhasználásával adódik, hogy ln + ) ) lim lim ln + ) ln lim 0 + ) ln e. 0 0 IV. lim 0 a ln a a > 0, a ) és a e esetén lim 0 e Bizonyítás. Alkalmazzuk az y a helyettesítést, ahol 0 akkor és csakis akkor, ha y 0. Ekkor log a y + ) ln + y) a, tehát lim ln a 0 lim y 0 y ln+y) ln a ln a,

.. Függvények határértéke 49 ahol a. alaphatárértéket és a két függvény hányadosának határértékére vonatkozó szabályt alkalmaztuk. V. lim 0 + ) α α α R, α 0) Bizonyítás. Ha az + ) α kifejezést e α ln+) alakban írjuk fel és alkalmazzuk a. és 4. alaphatárértéket, akkor a következőket kapjuk: + ) α lim 0 lim 0 e α ln+) e y lim y y 0 α lim 0 ln + ) e α ln+) lim 0 ln + ) α α, ) ln + ) ahol az első határértéknél alkalmaztuk az α ln + ) y helyettesítést, ahol 0 akkor és csakis akkor, ha y 0. VI. lim 0 + ) e Bizonyítás. Alkalmazzuk a. alaphatárértéket. Ha 0 + 0, akkor t esetén t + és lim 0+0 + ) lim + ) t e. t + t Ha 0 0, akkor s esetén s és lim 0 0 + ) lim s ) s s lim lim + s + s) ) s + s + s s + s lim + ) s lim + ) lim + ) z e. s + s s + s z + z A levezetés során alkalmaztuk a z s helyettesítést, ahol z +, akkor és csakis akkor, ha s +. Függvények határértékeinek kiszámításánál a következő határozatlan kifejezésekkel találkozhatunk: o, 0 0, o, 0, o, 0 0, 0.

50. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK FELADATOK. Számoljuk ki a következő határértékeket.. lim + 5 Megoldás. Egyszerű behelyettesítéssel kapjuk, hogy + 5 lim 4 + 6 5 5.. lim + 5 Megoldás. Egyszerű behelyettesítéssel kapjuk, hogy + 5 lim + 5 0 +.. lim 0 e e Megoldás. Egyszerű behelyettesítéssel kapjuk, hogy e e lim 0 e0 e 0 0 0. 4. lim π sin cos Megoldás. Ugyancsak behelyettesítéssel kapjuk, hogy lim π sin cos sin π cos π 0. ln 5. lim +0 + Megoldás. Most is egyszerű behelyettesítéssel kapjuk meg a keresett határértéket: lim +0 ln + 0 +. Amennyiben a határérték behelyettesítés után típusú határozatlan kifejezés, akkor legmagasabb kitevőjű hatványának a számlálóból és a nevezőből való kiemelésével, majd leegyszerűsítésével juthatunk egyszerűbb alakhoz, amelyből a határérték meghatározható. Ezt a megoldási módszert már alkalmaztuk a sorozatok határértékeinél is, ezért az analógia miatt csak néhány feladatot mutatunk be. 6. lim + 7 4 + 5 + 6

.. Függvények határértéke 5 Megoldás. Ha végtelen nagy számot helyettesítünk az változó helyébe, akkor típusú határozatlan kifejezést kapunk. Ekkor lim mivel lim + 7 ) 4 + 5 + 6 + 7 ) lim 4 + 5 + 6 ) lim + 7 4 + 5 + 6 4, C + + + 7. lim + Megoldás. 0, ha C konstans és n N. k + + + lim + ) + + lim + ) + + ) + + lim + +. 8. lim + 5 7 8 + Megoldás. lim + 5 7 8 + ) lim + ) + 5 7 8 + ) lim + 5 7 8 + 0. + 9. lim + + Megoldás. lim + + + ) lim + + ) + + + lim + + ) lim + + 4 0. lim 9 + 8 + 9 Megoldás. Mivel < 0 esetén, így lim lim ) 4 9 + 8 + 9 + ) 4 lim + + lim + lim + + ). ) 4 + + ) 4 + +.

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Amennyiben a határérték behelyettesítés után 0 típusú határozatlan kifejezés és a racionális törtfüggvényünk van, akkor a számláló és a nevező tényezőkre bontásával, majd leegy- 0 szerűsítésével juthatunk egyszerűbb alakhoz, amelyből a határérték meghatározható. Ha irracionális függvényünk van, akkor általában gyökteleníteni kell, ha pedig trigonometrikus sin a függvény, akkor általában a lim alaphatárérték alkalmazásával próbáljuk 0 megszüntetni a határozatlanságot.. lim 4 8 + 6 6 Megoldás. 8 + 6 lim 4 6 + 4 + 6. lim + 6 4 Megoldás.. lim 0 lim + ) 0 4) lim 0 4 4) + 4) lim 4 4 + 4) 0 0. + 4 + 6 + 6 4 ) 0 ) + ) + ) lim 0 + ) ) ) + ) lim + ) ) 0 5) 0 +. Megoldás. Mivel a kifejezés 0 típusú határozatlan kifejezés és irracionális, ezért 0 gyöktelenítéssel juthatunk el a megoldásig. ) ) + 0 + + + lim lim 0 0 0 + + 4. lim 8 + lim 0 + + ) lim 0 + + ) 0 0. + 7 5 Megoldás. lim 8 + 7 5 + 7 5 lim 8 8 ) 0 + 7 5 + 7 + 5 lim 0 8 + 7 + 5 + ) + 4 lim + 7 + 5 8 + ) + 4 + + 4 + + 4 + 7 + 5 ) 64 + 8 + 4 5 + 5 4 + + 4 0 0 6 5.

.. Függvények határértéke 5 sin sin 5. lim 0 sin Megoldás. Mivel trigonometrikus függvény határértékét kell kiszámítanunk, a sin lim alaphatárértéket alkalmazzuk a megoldás során. 0 sin sin lim 0 sin lim 0 sin sin 0 0 ) lim 0 sin sin lim 0 sin cos sin sin sin lim 0 ) sin sin lim 0 sin lim 0 sin lim sin 0 sin lim 0 cos sin t lim, t 0 t ahol a t, 0 akkor és csakis akkor ha t 0 helyettesítést alkalmaztuk. tg sin 6. lim 0 sin Megoldás. cos 7. lim 0 Megoldás. tg sin lim 0 sin lim 0 cos lim 0 ) 0 sin lim ) cos 0 0 sin cos cos cos ) lim 0 ) 0 lim 0 vagy másik módszerrel cos lim 0 lim 0 sin lim 0 0 0 sin + cos ) cos cos lim 0 sin cos + cos ). sin 0 ) cos lim 0 sin lim 0 4 sin lim 0 + cos + cos lim 0 ) lim 0 + cos ), cos + cos ) +. 8. lim )tg π Megoldás. A lim )tg π ) sin π ) 0 0 ) lim cos π 0 Vezessük be az t helyettesítést, ahol akkor és csakis akkor, ha t 0. Ekkor t sin π A lim πt) t 0 cos π πt) t sin π πt) t 0 sin πt lim lim t 0 ) 0 lim 0 t 0 t π sin πt lim sin t 0 π ) t π lim t 0 t sin π πt) cos π cos πt + sin π sin πt π t sin π t π π.

54. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK tg + tg 9. lim π sin Megoldás. tg + tg lim π sin lim π tg + tg lim π sin ) 0 0 tg + + tg tg + + tg tg tg lim π sin cos tg + + tg ) cos tg + + tg ) ) + ). cos 0. lim 0 0 Megoldás. Az 0 0 jelölés azt jelenti, hogy balról, vagyis negatív értékeken keresztül közelítünk a nulla felé. ) cos 0 sin sin lim lim lim 0 0 0 0 0 0 0 sin lim 0 0 sin lim 0 0 ) lim 0 0 lim 0 0 sin ) ) ). Amennyiben a határérték a közvetlen behelyettesítés után típusú, akkor irracionális különbség esetén gyöktelenítéssel, törtek különbségének estén pedig közös nevezőre hozással szabadulhatunk meg a határozatlanságtól.. lim + 5 + ) + Megoldás. Az adott határérték típusú és irracionális, ezért végezzük el a gyöktelenítést. Ekkor + 5 + ) ) lim + lim + 5 + 5 + + ) + + + 5 + + lim + + 5 + + 5 + + lim + + 5 + lim + 8 5) ) + 8 5 + 5 + + 8 + 4.

.. Függvények határértéke 55. lim + + ) Megoldás. Mivel most, ezért a határérték típusú. A gyöktelenítés elvégzésével kapjuk, hogy lim + + ) ) + lim + + ) + lim + + lim. lim + 5 ) 5 lim + + lim ) + + ) ). + + + Megoldás. A határérték típusú. Gyöktelenítsünk a megfelelő módon. + 5 ) 5 ) lim lim + 5 ) 5 lim + 5) + + 5) 5) + 5) + 5) + + 5) 5) + 5) + 5 + 5 lim + 5) + + 5) 5) + 5) + 5) + + 5) 5) + 5) 0 0. 0 4. lim + ) Megoldás. lim + ) ) ) ) lim + + ) lim + lim + ) + lim + ) + + ) + 6 + ) + + ) + 6 + + lim ) + + + lim + ) + + ) + + lim 6 + +

56. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK lim lim ) + lim ) + + + + + ) + lim + + + + + ) + + + +. 4 5. lim 4 + ) + Megoldás. Az adott határérték típusú. Végezzük el kétszer a gyöktelenítést. Ekkor lim 4 4 + ) + ) 4 lim 4 + + lim ) 4 4 + + + 4 4 + + + 4 + + ) 4 4 + + + 4 + + + ) 4 + + + ) lim 4 + 4 4 4 + + + ) 4 + + + )) + lim ) ) 4 + + + 4 + + + 4 lim + ) ) ) 4 + + + + + +. 4 4 ) 4 6. lim + Megoldás. Az adott határérték típusú, de nem irracionális. Közös nevezőre hozással típusú határozatlan kifejezést kapunk. ) 4 lim + 4 4 ) lim + ) 7. lim 4 + ) lim + lim + Megoldás. A határérték most ), azaz típusú. Hozzunk közös nevezőre. ) lim 4 ) ) lim + 4 + lim 4 lim 0. ) 4 lim 4 ) 4.

.. Függvények határértéke 57 8. lim ) Megoldás. Ha az helyébe -et helyettesítünk, akkor típusú határozatlan kifejezést kapunk, ezért közös nevezőre hozunk. lim ) ) lim + lim 0. ) + 9. lim 5 + 4 + 4 9 + 6 Megoldás. Az helyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy típusú a határérték. Bontsuk tényezőkre a nevezőket, majd hozzunk közös nevezőre. lim 0. lim Megoldás. lim + 5 + 4 + 4 + ) 4) + 4 ) ) ) ) 9 + 6 ) lim + ) ) + 4) ) ) 4) + 8 + 6 lim ) ) 4) lim 4 8 + 4 ) ) 4) lim 4 ) ) ) 4) lim ) + + + 4 + 4 lim lim lim + + + 4 + 4 ) + ) + ) + ) + + ) + ) lim 4 ) ) 4) 0 ) 0. ) ) + ) + ) lim + ) + ) + + ) + ) 4 0 0. Ha a határérték típusú határozatlan kifejezés, akkor a megoldást helyettesítéssel, a + ) e alaphatárértékre való visszavezetéssel keressük. lim + +. lim + ) + Megoldás. Mivel + esetén +, így típusú a határérték. Végezzük el a következő transzformációkat, amelyekkel megszüntethetjük a határozatlanságot. lim + + ) + lim + ) + [ ) lim + ) ] + + +

58. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK [ lim + + ) ] lim + + e + +. Az átalakításoknál felhasználtuk az y e függvény folytonosságát és ennek alapján adott g valós függvényre lim + eg) e lim + g). ) + + 6. lim + + Megoldás. lim + ) + + 6 + ) lim + + + 5 + ) + lim + 5 ) + + + [ lim + lim + + + 5 + + 5 ) + 5 5 + + ) + ] lim 5 5+5 6+ + [ lim + lim z + [ + + 5 + ) z ] lim z ) + ] 5+5 6+ 5 5+5 + 6+ 5 6 e 6 e 5, ahol bevezettük a + z helyettesítést, amelyre érvényes, hogy ha + 5 akkor z +. ) + +. lim + + + 4 Megoldás. ) + + lim + + + 4 ) lim + + + + ) + mert és lim + + + + + ) + lim + + lim + + ) + + + lim + + lim + + + + lim + + lim + + + + + ) + e, ) + + + + +

.. Függvények határértéke 59 lim + + + + ) + + + + + lim + + + + ) + + lim + + + + [ lim z + + ) z ] lim + ++ + + z e, ahol alkalmaztuk az + z helyettesítést, amely esetén ha + akkor + z +. A következő két feladatban alkalmazzuk a lim 0 + ) 4. lim 0 + sin ) e alaphatárértéket. Megoldás. A határérték típusú határozatlan kifejezés és a következőképpen oldható meg: 5. lim cos ) 0 lim 0 + sin ) [ ] lim + sin ) sin sin 0 ) lim + sin ) sin sin 0 [ sin ]lim lim + sin ) sin 0 0 Megoldás. Hasonlóan járunk el, mint az előző feladatban. lim cos ) 0 lim ) lim + cos )) 0 0 [ + cos )) cos [ lim + cos )) cos 0 [ lim z 0 + z) z e e cos cos ] cos ]lim 0 cos ] lim 0 cos e e. A levezetésben alkalmaztuk a z cos helyettesítést, ahol z 0, ha 0 és felhasználtuk a 7. feladatból, hogy cos lim 0.

60. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Alkalmazzuk a következő két feladatban a lim 0 ln + ) 6. lim 0 lncos ) Megoldás. Végezzük el a következő transzformációkat: ) lncos ) 0 ln + cos ) A lim lim 0 0 0 cos alaphatárértéket. ) cos ln + cos ) cos lim lim. 0 cos 0 Az első határértékben alkalmazzuk a cos t helyettesítést, ahol ha 0, akkor t 0. A második határértékben vezessük be a z helyettesítést, ahol ha 0, akkor z 0, majd használjuk fel ismét a 7. feladat megoldását. Ekkor ln + t) cos z A lim 4) lim 4) t 0 t z 0 z. 7. lim 0 lncos ) lncos 4) Megoldás. Járjunk el a következő módon: lncos ) lim 0 lncos 4) ) 0 ln + cos ) lim 0 0 ln + cos 4 ) lim 0 ln+cos ) cos ln+cos 4 ) cos 4 cos cos 4 lim 0 ln+cos ) cos ln+cos 4 ) lim 0 cos 4 cos 9) lim 0 ) cos 4 6) lim 0 4) 9 6 9 6. ln a alaphatár- a cos 8. Számoljuk ki a lim 0 értékre való visszavezetéssel. Megoldás. lim a cos lim 0 0 a a > 0) határértéket a lim 0 a + lim 0 cos ) 0 a + cos lim 0 0 a z lim z 0 z + +, ahol az első határértékben az z határértéket alkalmaztuk z 0, ha 0), a második pedig a 7. feladatból ismert megoldás. e a e b 9. Számoljuk ki a lim 0 sin alkalmazásával. Megoldás. e a e b lim 0 sin a > 0) határértéket a lim 0 e ) 0 e a + e b lim 0 0 sin alaphatárérték ) e a lim 0 sin eb sin

.. Függvények határértéke 6 e a lim 0 sin lim e b 0 sin e a lim a lim 0 a 0 e a lim 0 a sin lim e b b lim 0 b 0 ) a e b lim sin 0 b sin a b. ) b sin 40. Számoljuk ki a lim 0 sin + sin a > 0) határértéket a + ) α lim 0 alaphatárérték felhasználásával. Megoldás. lim 0 sin + sin lim 0 lim 0 lim sin sin ) 0 sin ) sin sin + z) lim z 0 z α α R, α 0) ) 0 sin + + sin lim 0 0 lim 0 lim ) + sin + sin ) 0 lim 0 + sin ) sin sin sin ) lim 0 lim + t) sin lim t 0 t 0 ) 5 6. )..5. Valós függvény szakadáspontjai és aszimptotái.. Definíció. Ha az f függvény az 0 helyen nem folytonos, akkor 0 a függvény szakadáspontja. Ilyenkor azt mondjuk, hogy 0 a függvénynek. megszüntethető szakadása, ha lim 0 f) L és L f 0 ), azaz a függvénynek az 0 pontban létezik határértéke, de az nem egyezik meg a függvény értékével az adott pontban;. első típusú szakadása, ha lim f) L és lim f) L, de L L, azaz a 0 + 0 függvénynek létezik baloldali és jobboldali határértéke is, de azok nem egyenlőek;. második típusú szakadása, ha a szakadás nem megszüntethető szakadás és nem is első típusú szakadás.

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.40. Példa. a) Az f) függvény az 0 pontban nem folytonos, mert nem is értelmezett, de itt véges határértéke van: lim 0. Az 0 pont tehát az f függvénynek megszüntethető szakadása. Az f függvény szakadását az új f függvény definiálásával szüntethetjük meg. Ekkor az, ha, f ), ha. függvény minden valós számra értelmezett és folytonos. b) Az f) sin függvény az 0 pontban nem folytonos, mert nem is értelmezett, viszont van véges határértéke: sin lim 0. Az 0 pont tehát az f függvénynek megszüntethető szakadása. Az { sin, ha 0, f ), ha 0. függvény minden valós számra értelmezett és folytonos. c) A.7. Példa függvényeinek a szemlélt pontokban első típusú szakadása van, tehát az f) sgn függvénynek az 0 pontban, f) [] függvénynek az pontban és f) {} függvénynek az pontban, hiszen baloldali és jobboldali határértékeik léteznek a szemlélt pontokban, de azok egymással nem egyenlőek. d) Az f) függvény az pontban nem folytonos minden más helyen igen). A függvénynek itt második típusú szakadása van, mert a baloldali és jobboldali határértékek ± -be tartanak, ugyanis lim 0 0 0 és lim +0 + 0 +0 +. e) az f) e függvénynek az 0 pontban szintén második típusú szakadása van, mert itt nincs határértéke, ugyanis a baloldali és jobboldali határértékek nem egyeznek meg. lim e 0, lim e +. 0 0 0+0.. Definíció. Az a egyenesre akkor mondjuk, hogy az y f) függvénygrafikon függőleges vagy vertikális) aszimptotája, ha a határértékek valamelyike teljesül. lim f) ± vagy lim f) ± a 0 a+0

.. Függvények határértéke 6.4. Példa. a) Az f) log a logaritmusfüggvénynek az 0 egyenes féloldali függőleges aszimptotája, mert lim log a a > ) és lim log a 0 < a < ). 0+0 0+0 b) Az f) függvénynek az 0 egyenes függőleges aszimptotája, mert lim 0 0 és lim 0+0. c) Az f) tg függvénynek az π egyenes függőleges aszimptotája, mert lim tg és lim tg. π 0 π +0 d) Az f) ctg függvénynek az 0 egyenes függőleges aszimptotája, mert lim ctg és lim ctg. 0 0 0+0 e) Az f) arth függvénynek az és egyenesek féloldali függőleges aszimptotái, mert lim arth és lim arth. +0 0 f) Az f) arcth függvénynek az és egyenesek féloldali függőleges aszimptotái, mert lim arcth és lim arcth. 0 +0.. Definíció. Az y k + n egyenest akkor nevezzük az y f) függvénygrafikon ferde aszimptotájának, az + ) esetében, ha az f függvény és az adott egyenes megfelelő ordinátája közötti különbség nullához tart, ha + ), vagyis ha ) lim [f) k + n)] 0 + lim [f) k + n)] 0 Ha k 0, akkor az y n egyenes az y f) függvénygrafikon vízszintes vagy horizontális) aszimptotája + ) esetén. Megjegyezzük, hogy a függvényeknek lehetnek közös ferde vagy vízszintes aszimptotái + ) esetén, amit ± módon szoktunk felírni..4. Példa. a) Az f) a a > 0, a ) függvénynek az y 0 egyenes vízszintes aszimptotája, mert lim log a 0 a > ) és lim + log a 0 0 < a < )..

64. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK b) Az f) függvénynek az y 0 egyenes vízszintes aszimptotája, mert lim lim + 0. c) Az f) arctg és f) arcctg függvényeknek az y π és y π egyenesek vízszintes aszimptotái, mert lim arctg π, lim arctg π +, lim arcctg π, lim arcctg π +. d) Az f) th és f) cth függvényeknek az y és y egyenesek vízszintes aszimptotái, mert lim th, lim th, lim + cth, lim cth. +.4. Példa. Mivel f) + + alapján lim [f) + )] lim ±, ezért f) + ). Ennek ± 0, tehát a definíció alapján az f) függvénynek az y + egyenes ferde a- szimptotája. Ugyanakkor az y függvénygrafikonnak az egyenes függőleges aszimptotája, hiszen lim 0 0) 0 0, lim +0 y + 0) + 0 +0 +. 7 6 y 5 4 y 4 4 5

.. Függvények határértéke 65 A ferde aszimptota meghatározása nem mindig lehetséges az előző példában bemutatott eljárással. Ezért van szükség a következő tételre..7. Tétel. Az y f) függvénygrafikonnak az y k + n egyenes + esetén esetén) akkor és csakis akkor ferde aszimptotája, ha a ) ) f) lim + k f) lim k és lim [f) k] n lim [f) k] n + határértékek léteznek. Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy az y k + n egyenes az y f) függvénygrafikon ferde aszimptotája, ha +, azaz teljesüljön a [f) k + n)] 0 feltétel. lim + Igazoljuk, hogy a ferde aszimptota k és n együtthatóit a k f) lim + és n lim [f) k] + határértékek segítségével tudjuk meghatározni, s hogy ezek léteznek. E célból vezessük be az f) k+n) α) helyettesítést, amelyből f) k+n+α) adódik, ahol lim α) 0. Ekkor + f) lim + lim k + n + α) lim k + n + + + α) ) k, lim [f) k] lim + tehát az állítás beláttuk. Fordítva, tegyük most fel, hogy léteznek a [k + n + α)) k] lim + f) lim + k és lim [f) k] n + [n + α)] n, + határértékek. Igazoljuk, hogy az y k + n egyenes az y f) függvénygrafikon ferde aszimptotája, ha +. Ekkor a második határértékből az α) f) k + n) jelölést alkalmazva adódik, hogy lim α) + lim [f) k + n)] lim + [f) k] n n n 0, + innen pedig lim [f) k + n)] 0, + vagyis az y k + n egyenes az y f) függvénygrafikon ferde aszimptotája, ha +. A bizonyítás analóg módon az esetben is elvégezhető..44. Példa. Az f) függvény ferde aszimptotáit az előbbi tétel képletei segítségével is kiszámíthatjuk. Ekkor a ferde aszimptotát az y k + n egyenes alakjában keressük, ahol f) lim ± lim ± k ) [ ] n lim [f) k] lim ± ± tehát y + a keresett ferde aszimptota. lim ±, lim ±,

66. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK FELADATOK. Vizsgáljuk ki a következő függvények aszimptotáit.. f) + Megoldás. Mivel + +) ), így a függvény értelmezési tartománya D f R \ {, }. Ez azt jelenti, hogy -ben és -ben a függvénynek szakadáspontja van. Mivel lim 0 lim +0 + ) ) 0 + ) 0 ) 0 ) +, + ) ) + 0 + ) + 0 ) +0 ), így a függvénynek az egyenes függőleges aszimptotája. Mivel lim 0 lim +0 + ) ) 0 + ) 0 ) 0), + ) ) + 0 + ) + 0 ) +0) +, ezért a függvénynek az egyenes függőleges aszimptotája. A függvénynek az y 0 egyenes vízszintes aszimptotája, mert lim ± + ) ) 0. Mivel az y k + n ferde aszimptota k 0 esetén lesz vízszintes helyzetű y n), ezért ha a függvénynek van vízszintes aszimptotája, akkor nincs ferde aszimptotája, és fordítva.. f) 5 + Megoldás. A függvény értelmezési tartománya D f R \ { }. A függvénynek az egyenes függőleges aszimptotája, mert 5 lim 0 + 0) 0) 5 0 + 0, Mivel 5 lim +0 + 5 lim + + + 0) + 0) 5 + 0 + 5 + és lim + ezért a függvénynek nincs vízszintes aszimptotája. A ferde aszimptotát y k + n alakban keressük, ahol k f) lim ± lim 5 ± +, +0 +.,

.. Függvények határértéke 67 n [ ] lim [f) k] lim 5 ± ± + 5 lim ± + 5 lim ± + így az y egyenes a függvény ferde aszimptotája.. f) e, Megoldás. A függvény értelmezési tartománya D f R \ {0}. Az 0 egyenes a függvény egyoldali függőleges aszimptotája, mert lim 0 0 e e 0 e + és lim 0+0 e e +0 e e 0. Mivel lim + e e e 0 és lim e e e +0, ezért az y egyenes a függvény vízszintes aszimptotája, és így a függvénynek ferde aszimptotája nincs. 4. f) arctg Megoldás. Mivel D f R, ezért a függvénynek nincs szakadáspontja, s így függőleges aszimptotája sem. Mivel lim arctg ) + π + +, lim arctg ) π ), ezért a függvénynek nincs vízszintes aszimptotája. Keressük y k + n alakban a ferde aszimptotát. Mivel k k f) lim + lim arctg + f) lim lim arctg lim arctg ) + π +, lim arctg ) π, és n lim [f) k] lim + arctg ) lim + + arctg ) π n lim [f) k] lim arctg ) lim arctg ) π, ezért a függvénynek két ferde aszimptotája van, ezek pedig az y π és az y + π egyenesek. Ha +, akkor a függvény az y π egyeneshez, ha, akkor pedig a függvény az y + π egyeneshez közelít. Vegyük észre, hogy az f függvény grafikonjának most egymással párhuzamos ferde aszimptotái vannak.

68. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 5. f) 6 Megoldás. Az f függvény akkor értelmezett, ha 6 0, illetve ha az ) + ) 0 egyenlőtlenség igaz, ami a D f, ] [, + ) értelmezési tartományon teljesül. Mivel a függvény -ben és -ban értelmezett, azaz az f ) és f) valós értékek léteznek, ezért a függvénynek függőleges aszimptotája nincs. Vizsgáljuk ki, hogy van-e vízszintes aszimptotája. ) 6 ) lim + [ lim 6) + ] 6 + + 6 viszont lim + + 6 lim + 6 + + lim + ) + + 6 + 6 + 6 ) 6 +, lim ) 6, és ez azt jelenti, hogy a függvénynek + esetén az y egyenes vízszintes aszimptotája, de esetén nincs vízszintes aszimptotája. A ferde aszimptota kivizsgálását ezért csak az esetére korlátozzuk. Keressük a függvény ferde aszimptotáját y k + n alakban. Ekkor f) k lim lim 6 6 lim ) + 6 + 6 lim lim + és n lim [f) k] lim ) 6 lim ) 6 ) lim + ) 6 ) lim ) lim [ + 6) + + 6 ) lim 6 6 6 ] ) + 6 ) + 6 ) +, vagyis esetén a függvénynek ferde aszimptotája van, mégpedig az y egyenes.

69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y 4 görbe egy szelőjét a P 0, 4 ) és P 9, 4 9) pontokon át, majd egy másikat a P 0, 4 ) és P 4, 4 4) pontokon keresztül. A görbe szelőjének nevezünk minden olyan egyenest, amelynek a görbével legalább két közös pontja van.) Ezeknek a szelőknek az iránytényezője k tg α 4 9 4 9, k tg α 4 4 4 4 4. Képzeljünk el egy olyan { n } számsorozatot, ahol 9, 4, a sorozat többi eleme pedig monoton csökkenve tart -hez, azaz n. Ha szelőt fektetünk a P 0, 4 ) és valamely P n n, 4 n ) ponton keresztül, akkor a kapott szelő iránytangense k n tg α n 4 n 4 n és y t P P 8 P 0 4 Α Α Α 4 9 y 4 A lim tg α 4 n 4 n lim n n n 4 lim n n n ) n + ) 4 lim n 4 n ) n + lim n n n + n + 4. Ha n, akkor a megfelelő szelők sorban az y 4 görbe P 0, 4) pontban húzott érintőjéhez tartanak, tehát A ennek az érintőnek az iránytényezője. A görbe érintőjének nevezünk minden olyan egyenest, amelynek a görbével legalább egy közös pontja van és a közös pont - úgynevezett érintési pont - egy környezetében a görbe csak az egyenes egyik oldalán helyezkedik el.) Általánosan tekintsünk egy f függvényt, amely értelmezett az 0 R pont egy környezetében. Vegyünk ismét n 0, n 0 pontokat és tekintsük a P 0 0, f 0 )) és P n n, f n )) pontokon áthaladó szelő iránytangensét. Jelölje n 0 az -tengelyen az 0 ponttól való eltávolodás mértékét, azaz az független változó növekményét és

70 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA y f n ) f 0 ) az y-tengelyen az f 0 ) függvényértéktől való eltávolodás mértékét, azaz az f függvény 0 ponthoz tartozó növekményét. Most tg α n f n) f 0 ) n 0 y alakban is felírható, s ezt a y hányadost az y f) függvénygörbe 0 ponthoz tartozó differenciahányadosának különbségi hányadosának) nevezzük. Ha létezik az A lim n 0 tg α n lim n 0 f n ) f 0 ) n 0 y lim 0 határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény grafikonjának a P 0 0, f 0 )) pontban létezik érintője és ennek az érintőnek az iránytangense A. Tekintsük most az egyik speciális mozgást, a szabadesést. Ha egy golyót leejtünk akkor a golyó t 0 idő alatt s 0 g t 0, t n idő alatt pedig s n g t n utat tesz meg g a nehézségi gyorsulás). A g t n g t 0 t n t 0 hányados azt az átlagsebességet mutatja, amivel haladva a golyó az s n s 0 utat t n t 0 idő alatt tenné meg. Ha t n olyan időpillanatok sorozata, hogy t n t 0, t n t 0, akkor ha a v lim t n t 0 g t n g t 0 t n t 0 határérték létezik, akkor ezt a v határértéket a mozgó test t 0 időpontbeli pillanatnyi sebességének nevezzük. Általánosan, ha ismerjük az s st) útfüggvényt, és t n olyan időpillanatok sorozata, hogy t n t 0, t n t 0, valamint ha t t n t 0 az idő, mint független változó növekménye és s st n ) st 0 ) az útfüggvény növekménye, akkor a t 0 időpontban a mozgó test pillanatnyi sebessége v lim t n t 0 st n ) st 0 ) t n t 0 s lim t 0 t. A két problémában az közös, hogy 0-val nem lehet osztani. Ezért kell a szelők iránytangenseiből, illetve az átlagsebességekből sorozatokat képezni és vizsgálni, hogy e sorozatok konvergensek-e.

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 7 4... A derivált differenciálhányados) fogalma Egy pontbeli érintő és egy időpontbeli sebesség problémájának vizsgálata ugyanarra a feladatra vezetett. Azt kell vizsgálni, hogy ha adott egy f : a, b) R függvény és 0 a, b), akkor az f 0 + ) f 0 ) differenciahányados függvénynek létezik-e határértéke az 0 pontban, ha közelít nullához. y f 0 f 0 Α 0 y f y 0 t Sok más gyakorlati sűrűség, áramerősség, gyorsulás) és elméleti feladat is ugyanerre a problémára vezet, ezért érdemes erre a határértékre külön elnevezést bevezetni. 4.. Definíció. Legyen f az a, b) intervallumon értelmezett függvény és 0 a, b) egy adott pont. Legyen továbbá az független változó olyan növekménye, amelyre igaz, hogy 0 + a, b). Ekkor az f függvényt az 0 pontban deriválhatónak vagy differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a f 0 + ) f) lim 0 határérték. Ezt a határértéket nevezzük az f függvény 0 pontbeli deriváltjának vagy differenciálhányadosának, szokásos jelölése pedig f f 0 + ) f) y 0 ) lim lim 0 0 dy d. 0 A derivált további jelölései: f ), 0 illetve df d. 0 Ez utóbbi jelölés egybetartozó szimbólum, a törtvonal tehát nem osztást jelöl! Szokás a derivált definíciójában használni a h jelölést. Ekkor az f függvény 0 helyen vett deriváltját így is írhatjuk: f f 0 + ) f 0 ) 0 ) lim 0 f 0 + h) f 0 ) lim. h 0 h Vezessük be most az 0 + jelölést. Ez esetben 0 akkor és csak akkor teljesül, ha 0. Ezzel a jelöléssel az f függvény 0 helyen vett differenciálhányadosa a következő ekvivalens alakban írható fel: f f 0 + ) f 0 ) 0 ) lim 0 lim 0 f) f 0 ) 0.

7 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA Mivel az 0 pontbeli differenciálhányados értéke a P 0 0, f 0 )) pontban megegyezik az y f) függvénygörbéhez húzott t érintő meredekségével, vagyis ezért a t érintőegyenes egyenlete f) f 0 ) lim f 0 ) tg α, 0 0 t : y f 0 ) f 0 ) 0 ), a P 0 0, f 0 )) pontban y f) függvénygörbéhez húzott n merőleges egyenes egyenlete pedig n : y f 0 ) f 0 ) 0). Látható, hogy a differenciálhatóság a függvény pontbeli tulajdonsága, bár a pont környezetében való értelmezettsége is követelmény. Természetesen vannak olyan függvények, amelyek értelmezési tartományuk több pontjában, esetleg értelemzési tartományuk valamely részintervallumán differenciálhatók, sőt sok függvény a teljes értelmezési tartományán differenciálható. Az alábbiakban megadjuk az intervallumon való differenciálhatóság definícióját. 4.. Definíció. Az f függvényt az a, b) intervallumon differenciálható függvénynek nevezzük, ha f az a, b) intervallum minden pontjában differenciálható. 4.. Definíció. Azt a függvényt, mely az a, b) intervallum minden pontjához az f adott pontbeli deriváltját rendeli hozzá, az f függvény deriváltfüggvényének, vagy röviden deriváltjának nevezzük és f -vel, vagy df -szel jelöljük, s így d f ) lim 0 f + ) f), a, b). 4.. Példa. Legyenek a és b valós számok. Az f) a + b függvény deriváltját a definícó segítségével a következőképpen számíthatjuk ki: a + b) f f + ) f) ) lim 0 a + ) lim 0 a + ) + b a b lim 0 a lim 0 lim a 0 a. 4.. Példa. Az f) függvény deriváltja a definícó segítségével így számítható ki: ) f f + ) f) ) lim 0 + + ) lim 0 + ) lim 0 + ) lim 0 + lim 0.

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 7 4.. Példa. Az f) függvény deriváltjának kiszámítása a definícó segítségével: ) f f + ) f) + ) lim lim 0 0 + + + lim 0 + + lim 0 + ) + + ) lim 0 + +. 4.4. Példa. Az f) sin függvény deriváltjának meghatározása a definícó segítségével: sin ) f f + ) f) ) lim 0 sin + cos lim 0 sin lim 0 sin + ) sin lim 0 sin lim 0 + lim cos 0 cos + cos cos. 4.5. Példa. Az f) cos függvény deriváltjának kiszámítása a definícó alapján: cos ) f f + ) f) ) lim 0 sin + sin lim 0 sin lim 0 + lim sin 0 cos + ) cos lim 0 sin lim 0 sin + sin sin. 4.6. Példa. Az f) a függvény deriváltját is ki lehet számítani a definícó segítségével. Legyen a > 0, a és R. Ekkor a ) f f + ) f) ) lim 0 a + a lim 0 a a lim 0 a t A levezetésben felhasználtuk a lim a t ln a ismert határértéket. t 0 t Az a e speciális esetben azt kapjuk, hogy e ) e. a ln a. 4.7. Példa. Az f) ln függvény deriváltja is kiszámítható a definícó segítségével. Ha > 0, akkor ln ) f f + ) f) ) lim 0 ) lim 0 ln + lim 0 ln + ) ln lim 0 ) ln +, ln + t) felhasználva a lim ismert határértéket. t 0 t Hasonlóan mutatható meg, hogy log a ), > 0, a > 0, a. ln a

74 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA Emlékezzünk vissza, hogy egy 0 pontban folytonos f valós függvény mindig kielégíti a lim f) f 0 ) 0 feltételt, amelyet a következő formában is felírhatunk: lim [f 0 + ) f 0 )] 0. 0 Az így felírt feltétel láthatóan szükséges ahhoz, hogy az f 0 + ) f 0 ) differenciahányadosnak legyen véges határértéke 0 esetén. Megfogalmazható tehát az alábbi állítás: 4.. Tétel. Ha az f valós függvény differenciálható az 0 pontban, akkor f folytonos is az 0 pontban. Valamely függvény adott pontbeli folytonosságából nem következik e pontbeli differenciálhatósága, bár lehet differenciálható is. 4.8. Példa. Az f) függvény 0 pontban folytonos, de nem differenciálható. 4.9. Példa. Az f) függvény 0 pontban folytonos és differenciálható is. A differenciálhatóság tehát erősebb feltételt jelent, mint a folytonosság. Tételünk alapján világos, ha f az 0 pontban nem folytonos, akkor ott nem is differenciálható. 4... Differenciálási szabályok 4.. Tétel. Ha az f függvény differenciálható az pontban, akkor a cf függvény is differenciálható az pontban, ahol k tetszőleges konstans, és Bizonyítás. Legyen F ) kf). Ekkor [kf)] kf ). [kf)] F F + ) F ) ) lim 0 kf + ) kf) lim 0 k[f + ) f)] lim 0 f + ) f) k lim 0 kf ). 4.. Tétel. Ha az f és g függvények differenciálhatók az pontban, akkor f + g összegük is differenciálható az pontban, és f + g) ) [f) + g)] f ) + g ).

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 75 Bizonyítás. Legyen F ) f) + g). Ekkor [f) + g)] F F + ) F ) ) lim 0 f + ) + g + ) f) + g)) lim 0 f + ) f) lim 0 + g + ) g) f + ) f) g + ) g) lim + lim 0 0 ) f ) + g ). 4.4. Tétel. Ha az f és g függvények differenciálhatók az pontban, akkor f g különbségük is differenciálható az pontban, és f g) ) [f) g)] f ) g ). Bizonyítás. Legyen F ) f) g). Ekkor [f) g)] F F + ) F ) ) lim 0 f + ) g + ) f) g)) lim 0 f + ) f) lim 0 g + ) g) f + ) f) g + ) g) lim lim 0 0 ) f ) g ). 4.5. Tétel. Ha az f és g függvények differenciálhatók az pontban, akkor f g szorzatuk is differenciálható az pontban és érvényes, hogy: fg) ) [f)g)] f )g) + f)g ). Bizonyítás. Legyen F ) f)g). Ekkor lim 0 [f)g)] F F + ) F ) ) lim 0 f + )g + ) f)g) lim 0 f + )g + ) f)g + ) + f)g + ) f)g) f + ) f) g + ) g) g + ) + f) lim 0 f )g) + f)g ). lim 0

76 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4.6. Tétel. Ha az f és g függvények differenciálhatók az pontban és g) 0, akkor a függvények f g hányadosa is differenciálható az pontban és érvényes, hogy: ) f ) g Bizonyítás. Legyen F ) f) g). Ekkor [ ] f) F F + ) F ) ) lim g) 0 [ ] f) f )g) f)g ). g) g)) lim f + ) 0 g + ) f) g) f + )g) f)g) + f)g) f)g + ) lim 0 )g + )g) [ ] f + ) f) g + ) g) lim g) f) 0 g + )g) [ ] f + ) f) g + ) g) lim g) f) lim g)) 0 0 f )g) f)g ) g)). 4.0. Példa. Az f) tg függvény deriváltja a hányados deriváltjának szabálya segítségével így számítható ki: tg ) ) sin sin ) cos sin cos ) cos cos cos + sin cos cos. 4.. Példa. Az f) ctg függvény deriváltja is meghatározható a hányados deriváltjának szabálya segítségével: ctg ) cos ) cos ) sin cos sin ) sin sin sin cos sin sin. 4.7. Tétel. Ha a g függvény differenciálható az pontban és az f függvény differenciálható a g) pontban, akkor az f g összetett függvény is differenciálható az pontban és érvényes, hogy: f g) ) [fg))] f g))g ). Bizonyítás. Legyen F ) fg)). Ekkor [fg))] F F + ) F ) ) lim 0 fg + )) fg)) lim 0 g + ) g) fg + )) fg)) lim 0 ) g + ) g)

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 77 fg + )) fg)) g + ) g) lim lim g+ ) g) g + ) g) 0 f g))g ), ahol g + ) g), ha 0, mert g differenciálható az pontban és emiatt folytonos is -ben. 4.. Példa. Legyen α tetszőleges valós szám. Ha f) α e α ln, akkor α ) f ) e α ln ) e α ln α ln ) α α αα. 4.. Példa. Mivel az összetett függvény deriválási szabálya szerint e ) e, ezért ) e sh ) e e + e ) e ch, ch ) + e e e sh. 4.4. Példa. Az f) th függvény deriváltja így számítható ki: th ) ) sh sh ) ch sh ch ) ch ch ch sh ch ch. 4.5. Példa. Az f) cth függvény deriváltja a következőképpen határozható meg: cth ) ) ch ch ) sh ch sh ) sh sh sh ch sh sh. 4.8. Tétel. Az f függvény f inverz függvénye differenciálható az pontban, ha az f függvény differenciálható az f ) pontban, ahol f f )) 0 és érvényes, hogy: f ) ) [ f ) ] f f )). Bizonyítás. Az inverz függvény tulajdonsága, hogy ff )). Meghatározva mindkét oldal deriváltját kapjuk az összetett függvény differenciálási szabálya alapján, hogy f f )) [f ) ]. Leosztás után következik, hogy [ f ) ] f f )). A trigonometrikus függvények és a hiperbolikus függvények inverzeinek deriváltjait az előzőekben bemutatott képlet alapján számíthatjuk ki.

78 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4.6. Példa. Ha f) sin, akkor f ) arcsin és f ) cos. Ekkor arcsin ) [ f ) ] f f )) cosarcsin ). Mivel cos sin és sinarcsin ), ezért arcsin ). sinarcsin )) 4.7. Példa. Ha f) cos, akkor f ) arccos és f ) sin. Ekkor arccos ) [ f ) ] f f )) sinarccos ). Mivel sin cos és cosarccos ), ezért arccos ). cosarccos )) 4.8. Példa. Ha f) tg, akkor f ) arctg és f ) cos. Ekkor arctg ) [ f ) ] f f )) cosarctg )). cosarctg)) Az inverz függvény tulajdonsága alapján tg arctg ) és cos cos cos cos + sin cos cos cos +sin cos + tg, ezért arctg ) + tg arctg )) +. 4.9. Példa. Ha f) ctg, akkor f ) arcctg és f ) sin. Ekkor arcctg ) [ f ) ] f f )) sinarcctg)) sinarcctg )). Az inverz függvény tulajdonsága alapján ctg arcctg ) és sin sin sin sin + cos sin sin sin +cos sin + ctg, ezért arcctg ) + ctg arcctg )) +.

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 79 4.0. Példa. Ha f) sh, akkor f ) arsh és f ) ch. Ekkor arsh ) [ f ) ] f f )) ch arsh ). Mivel ch + sh és sh arsh ), ezért arsh ). + sh arsh )) + Ha a megfelelő área függvényt logaritmusos alakban írjuk fel, akkor a deriváltfüggvény a deriválási szabályok alkalmazásával is kiszámítható. Ebben az esetben arsh ) ln + ) ) + ) + + + + + + + + +. + 4.. Példa. Ha f) ch, akkor f ) arch és f ) sh. Ekkor arch ) [ f ) ] f f )) sh arch ). Mivel sh ch és ch arch ), ezért A másik módon: arch ) arch ) ch arch )). ln + ) ) + + + +. ) 4.. Példa. Ha f) th, akkor f ) arth és f ) ch. Ekkor arth ) [ f ) ] f f )) ch arth )). charth)) Az inverz függvény tulajdonsága alapján tharth ) és ezért A másik módszerrel: arth ) ch ch arth ) ch ch sh ch ch ch sh sh tharth )). th, ln + ) ) ) + ) + ) + + + ) +.

80 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4.. Példa. Ha f) cth, akkor f ) arcth és f ) sh. Ekkor arcth ) [ f ) ] f f )) sharcth)) sh arcth )). Az inverz függvény tulajdonsága alapján cth arcth ) és ezért A másik módszerrel: sh sh sh sh ch arcth ) arcth ) sh sh sh ch sh cth arcth )). cth, ln + ) ) + ) + ) + ) +.

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 8 Elemi függvények deriváltjainak táblázata. c) 0, c const.. α ) α α, > 0, α R. e ) e, a ) a ln a, R, a > 0, a 4. ln ), log a ) ln a, a > 0, a 5. sin ) cos, R 6. cos ) sin, R 7. tg ) cos, π + kπ, k Z 8. ctg ) sin, kπ, k Z 9. arcsin ), < 0. arccos ), <. arctg ) +, R. arcctg ) +, R. sh ) ch, R 4. ch ) sh, R 5. th) ch, R 6. cth ) sh, R \ {0} 7. arsh ) 8. arch ) +, > 9. arth ), < 0. arcth ), >

8 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA FELADATOK. Határozzuk meg az f) + 5 függvény deriváltját a definíció alapján. Megoldás. + 5) f f + ) f) ) lim 0 + ) + ) + 5 + 5) lim 0 + 4 + ) + 5 lim 0 4 + ) 4 + lim lim 4. 0 0. Határozzuk meg az f) + függvény deriváltját a definíció alapján. Megoldás. Az f) + függvény deriváltját a definícó segítségével így számíthatjuk ki: + ) f f + ) f) ) lim 0 + ) + lim 0 + + ) + ) lim 0 + + ) ) lim 0 lim 0 + + ).. Határozzuk meg az f) 5 függvény deriváltját a definíció alapján. Megoldás. lim 0 5) f f + ) f) ) lim 0 + ) 5 5 lim 0 + ) 5 5 + ) 5 + 5 + ) 5 + 5 + ) 5 5) lim 0 ) + ) 5 + 5) lim 0 + ) 5 + 5 5. Határozzuk meg a következő függvények deriváltját, alkalmazva az elemi függvények deriváltjainak táblázatát és a deriválási szabályokat. 4. f) 5 4 + 7 + π Megoldás. f ) 5 4 + 7 + π ) 5 4 4 + 7 + 5 4 + 6 4 +.

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 8 5. f) 6 5 + 4 Megoldás. f 6 ) 5 ) + 4 6 5 + 4 ) 6 ) 5 ) 4 + 4) 5 + 5 4 4. 5 6. f) + 4 Megoldás. f ) + 4 ) + 4 ) 7. f) + 5 4 + 4 4 + 4 4. Megoldás. f ) + 5 ) 4 + 4 5 ) 4 + 5 5 + 5 5. 8. f) 4 Megoldás. f ) 9. f) a + π, a R Írjuk fel az irracionális kifejezést hatványaként. Ekkor 4 ) ) ) Megoldás. Bontsuk az adott függvényt két összeadandóra. Ekkor 0. f) e f ). ) a + π a + π ) ) a 6 + π a ) 7 6 + π ) 4 a 6 6 6 π. Megoldás. Alkalmazzuk a szorzat deriválási szabályát. Ekkor f ) e ) ) e + e ) e + e + )e.

84 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA. f) + ) sin Megoldás. f ) + ) sin ) + ) sin + + ) sin ) sin + + ) cos sin + + ) cos.. f) + 5 Megoldás. Alkalmazzuk a hányados deriválási szabályát. Ekkor ) f ) ) + 5) + 5) + 5 + 5) + 5) + 5) 4 + 0 4 + 5) 0 4 + 5) 0 ) + 5).. f) ln + ln Megoldás. ) ln f ) ln ) + ln ) ln ) + ln ) + ln + ln ) + ln ) ln ) + ln + ln 4 + ln ) + ln ) + ln ). 4. f) sin + tg Megoldás. f ) ) sin sin ) + tg ) sin + tg ) + tg + tg ) cos + tg ) sin cos cos + sin sin cos + tg ) cos +sin ) cos +sin cos sin cos sin + sin cos +cos cos cos cos + sin cos ) + sin cos sin + sin. 5. Számítsuk ki mennyi f 0 ) értéke, ha f) a +, a R és 0. Megoldás. Határozzuk meg először a függvény deriváltját: ) a f ) a ) + ) a ) + ) + + ) ) + ) a ) + ) a + + ) a + + ).

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 85 Számoljuk most ki az f függvény értékét -ben: f ) a + + ) a + 4. Határozzuk meg a következő összetett függvények deriváltját. 6. f) + 4) 7 Megoldás. f ) + 4) 7) 7 + 4)6 + 4) + 4) 6. 7. f) + 5 4 Megoldás. ) f ) + 5 4 + 5 4 + 5 4) 8. f) arcsin Megoldás. f ) ) arcsin )) 4 ) ) 4 6 + 5 + 5 4. 4. 9. f) + Megoldás. ) f ) + + ) 4 ) ) ) + 4 + + ) + ) + 6 + ) +. 0. f) arctg Megoldás. f ) + arctg + + + ) + + + + + + + + ) ) + ) ) + ) 4 + ).

86 4.. f) ln Megoldás. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA ) sin + sin f ) ln )) sin + sin + sin sin ) sin + sin + sin cos ) + sin ) sin ) cos sin + sin ) cos sin cos cos + sin cos sin + sin cos sin cos cos cos.. f) arctg + arctg Megoldás. f ) arctg + ) arctg + + + ) ) ) ) + ) + ) + 4 + + ) + ) + + + 4 ) + 4 + 6.. f) + ln + + Megoldás. f ) + ln + ) + + + + + + + + + + + + + + + + + ) + + + + 4. f) arcsin + ln +. Megoldás. f ) arcsin + ln )

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 87 arcsin + ) arcsin + ) arcsin + + arcsin ) arcsin ). 5. Mutassuk meg, hogy az y ln + függvény kielégíti az y + e y összefüggést. Megoldás. Határozzuk meg először az adott függvény deriváltját, majd mutassuk meg, hogy az kielégíti a megadott összefüggést. Mivel ) ) y ln + ) + + ) +, ezért behelyettesítve adódik, hogy ) + majd rendezés után + e ln +, + + + +, azaz + +. 6. Mutassuk meg, hogy az y arcsin függvény kielégíti az )y y összefüggést. Megoldás. Mivel y arcsin ) + arcsin arcsin + arcsin ), így ezt a megadott összefüggésbe helyettesítve a következőket kapjuk: + arcsin ) ) arcsin, + arcsin arcsin, azaz. 7. Határozzuk meg az f) 4 parabola érintőjének és merőleges egyenesének egyenletét az -tengellyel alkotott metszéspontjaiban. Megoldás. Az f függvény és az -tengely metszetei az f függvény nullái, azaz azok a pontok, melyek kielégítik a 4 0 egyenletet. Ezek az és pontok. Az f görbe érintőjének egyenlete az 0 pontban y f 0 ) 0 ) + f 0 ),

88 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA az f görbe merőleges egyenesének egyenlete az 0 pontban pedig y f 0 ) 0) + f 0 ). Az f függvény első deriváltja f ), így f ) 4 és f ) 4. Tehát a parabola érintőjének egyenlete a, 0) pontban y 4+8, a, 0) pontban pedig y 4 + 8. A parabola merőleges egyenesének egyenlete a, 0) pontban y 4, a, 0) pontban pedig y 4. 8. Határozzuk meg az f) ln görbe azon pontjait, melyekben a görbe érintője párhuzamos az y egyenessel. Megoldás. Az f görbe érintőjének iránytényezője az 0 pontban f 0 ). Mivel a párhuzamos egyeneseknek egyenlő iránytényezőik vannak, így következik, hogy f 0 ). Felhasználva, hogy f ), az egyenletből kapjuk, hogy 0 0, illetve a keresett pont P, ln ). 9. Milyen szög alatt metszi az y sin görbe az -tengelyt? Megoldás. A keresett szög a görbe -tengellyel alkotott metszetéhez tartozó érintő és az -tengely által alkotott szög. Az y sin görbe az -tengelyt az kπ pontokban metszi, ahol k Z. A görbe 0 pontjához tartozó érintőjének és az -tengely által közbezárt φ szögekre érvényes, hogy tg φ f 0 ), ebből illetve tg φ coskπ) {, ha k páros,, ha k páratlan, { arctg, ha k páros, φ arctg ), ha k páratlan, { π/4, ha k páros, π/4, ha k páratlan. Tehát a keresett szögek: π 4 és π 4 nagyságúak. 0. Keressük meg az f) + 4 parabolának azt az érintőjét, amely merőleges az y egyenesre. Megoldás. Mivel az y egyenes iránytényezője, ezért a rá merőleges érintő iránytényezője. Ugyanakkor az érintő iránytényezője f 0 ) 0 +, tehát 0 +, ahonnan 0. A parabola )), f egyenlete y f ) + ) + f ), illetve y 7 4. pontbeli érintőjének

4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 89 4..4. A differenciál fogalma 4.4. Definíció. Ha az f függvény differenciálható az 0 pontban, akkor az f 0 ) 0 ) lineáris kifejezést az f függvény 0 pontbeli differenciáljának nevezzük. Jelölése: df 0 vagy röviden df, tehát df f 0 ) 0 ). Speciálisan az f) hozzárendelési szabállyal megadott f függvényre: minden 0 D f -re, így f 0 ) lim 0 0 0 df d 0 ), azaz d 0. Az 0 különbség a független változó növekménye, jelölése pedig 0. Az f) f 0 ) különbség a függvényérték növekménye, jelölése pedig f f) f 0 ). Mondható tehát, hogy a független változó differenciálja megegyezik a növekményével, amíg a függvényérték differenciálja az 0 helyen: df f 0 )d általában nem egyezik meg a f-fel. Gyakran hasznos, ha ismerjük a derivált alábbi definícióját is, hiszen az 0 helyhez tartozó df és f között a kapcsolatot pont ez a definíciója adja meg: 4.5. Definíció. Legyen f függvény az 0 valamely környezetében értelmezve. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható 0 -ban, ha létezik olyan szám, hogy minden olyan -re, amely eleme e környezetnek, az f) f 0 ) c 0 ) + h) 0 ) összefüggés felírható, ahol lim 0 h) 0. Ekkor c f 0 ). Igaz tehát, hogy ahol lim 0 h) 0, azaz felírható, hogy ahonnan belátható, hogy f) f 0 ) f 0 ) 0 ) + h) 0 ), f f 0 )d + h)d, illetve f df + h)d, lim f df. 0 Sőt a f df különbség elhanyagolhatóan kicsivé válik d-hez képest, miközben 0, azaz f df lim 0 d lim 0 h) 0. A fent elmondottak geometriai jelentése a következő: df jelenti az f függvény ordinátaértékének megváltozását f 0 )-tól az érintőig, míg f ugyancsak f 0 )-tól, de a függvény görbéjéig, miközben az 0 helyről áttérünk az 0 + helyre. Viszont, ha 0 azaz d 0) df egyre inkább sőt minden határon túl) megközelíti f-et, azaz f df.

90 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4..5. Magasabb rendű differenciálhányadosok 4.6. Definíció. Ha az f és f függvények differenciálhatók az 0 pontban, akkor az f függvény 0 pontban vett deriváltját az f függvény 0 pontban vett második deriváltjának nevezzük és f 0 ) szimbólummal jelöljük. A második deriváltnak ugyancsak gyakran használt jelölése: d f d. 0 Analóg módon jutunk el a magasabb rendű, illetve n-edrendű deriváltak fogalmához. Jelölésük: f 0 ), f 0 ), f 0 ), f 4) 0 ),..., f n) 0 ),... df d f d, d n f 0 d,..., 0 d n,... 0 Ezek után definiáljuk a függvény magasabbrendű n-edrendű) deriváltfüggvényét. 4.7. Definíció. Ha az f függvény differenciálható a H halmazon H D f ) és az f függvény differenciálható a H halmazon H H ), akkor f deriváltfüggvényét, amelyet f -vel jeölünk, nevezzük az f függvény másodrendű deriváltfüggvényének. Hasonló módon jutunk el az n-edrendű deriváltfüggvény fogalmához. Jelölésük: vagy f, f, f, f 4),..., f n),... df d, d f d,..., d n f d,... n Szokás még az f függvény nulladik deriváltjáról is beszélni. A függvény nulladik deriváltja alatt magát a függvényt értjük, vagyis f 0) 0 ) f 0 ), illetve f 0) f. FELADATOK. Határozzuk meg az f) + 5 4 függvény harmadik deriváltját. Megoldás. f ) 6 + 5, f ) 6, f ) 0.. Létezik-e az f) 4 függvény századik deriváltja? Megoldás. Mivel f ) 4, f ), f ) 4, f 4) ) 4, valamint f 5) ) 0, így a függvény századik deriváltja is létezik és f 00) ) 0.. Határozzuk meg az f) e függvény n-edik deriváltját, ha n N. Megoldás. Számoljunk ki annyi deriváltat, amennyiből általánosíthatunk: f ) e, f ) 4e e, f ) 8e e. Megállapíthatjuk, hogy f n) ) n e.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 9 4. Határozzuk meg az f) ln függvény n-edik deriváltját, ha n N. Megoldás. Mivel f ), f )!, f ) )!, f 4) ) ) 4! 4, f 5) ) 6 4) 5 4! 5. Megállapíthatjuk, hogy f n) ) ) n n )! n. 5. Határozzuk meg az f) sin függvény n-edik deriváltját, ha n N. Megoldás. Mivel f ) cos, f ) sin, f ) cos, Megállapíthatjuk, hogy sin, n4k, f n) cos, n4k+, ) sin, n4k+, cos, n4k+, vagyis f n) ) sin + nπ ). f 4) ) sin, f 5) ) cos. sin, n4k, azaz f n) sin ) + π ), n4k+, sin ) + π, n4k+, sin ) + π, n4k+, 4.. A differenciálszámítás alkalmazása 4... A differenciálszámítás középértéktételei 4.9. Tétel. Fermat-tétel) Legyen a c δ, c + δ) intervallum a c R pont δ-környezete, az f : c δ, c + δ) R függvény pedig differenciálható a c pontban. Ha az f függvénynek a c pontban helyi szélsőértéke van, akkor f c) 0. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az f függvénynek a c pontban helyi maimuma van, azaz legyen minden c δ, c + δ) esetén f) fc). A derivált definíciója szerint f f) fc) c) lim, c c ahol a határérték nem függ attól, hogy az jobbról vagy balról tart-e a c-hez. Ha > c, akkor f) fc) 0, c s áttérve a határátmenetre c + 0) azt kapjuk, hogy f c) 0. Ha viszont < c, akkor f) fc) 0, c s kiszámítva a határértéket c 0) azt kapjuk, hogy f c) 0. A differenciálhatóság miatt mindkét állítás igaz, s ez csak f c) 0 mellett lehetséges, amit valójában szerettünk volna belátni.

9 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4.0. Tétel. Rolle-tétel) Legyen az f : [a, b] R függvény a) folytonos az [a, b] intervallumon, b) differenciálható a, b) intervallumon és c) fa) fb), azaz az [a, b] intervallum végpontjaiban a függvényértékek megegyeznek. Ekkor létezik legalább egy olyan ξ a, b), ahol f ξ) 0. Bizonyítás. Az a) feltételből és a megfelelő tételből következik, hogy folytonos függvény zárt intervallumon felveszi maimumát és minimumát, tehát van az [a, b] intervallumon legalább egy olyan hely, ahol az f függvény felveszi legnagyobb M értékét, továbbá van legalább egy olyan hely, ahol az f függvény felveszi legkisebb m értékét. Két eset lehetséges. I. A két abszolút szélsőérték közül legalább az egyiket a függvény az a, b) intervallumon veszi fel, azaz m < M, s legyen ξ ez a pont, a < ξ < b. A ξ pont egyben helyi szélsőértéket is jelent, tehát a Fermat-tétel alapján f ξ) 0. II. Az f függvény abszolút minimumát és maimumát az [a, b] intervallum végpontjaiban veszi fel. Ebben az esetben a c) feltétel miatt m M. Ha most az f függvénynek megegyezik a legkisebb és legnagyobb értéke az [a, b] intervallumon, akkor f) konstans, [a, b], s így az a, b) intervallum minden ξ, a < ξ < b pontjára igaz, hogy f ξ) 0. Ezzel a Rolle-tételt bebizonyítottuk. A Rolle tétel geometriai jelentése: az f ξ) 0 azt jelenti, hogy a szóban forgó helyen a függvény görbéjéhez húzott érintő párhuzamos az tengellyel. A tételnek van egy, a szélsőérték-vizsgálatban nagyon lényeges következménye: 4.. Következmény. Ha egy függvény olyan pontban veszi fel a szélsőértékét, ahol differenciálható, akkor ott a derivált értéke zérus. Ez az állítás nem fordítható meg, azaz az első derivált zérus volta csak szükséges feltétele a szélsőérték létezésének. 4.4. Példa. Tekintsük az f) 5 függvényt az 0 0 pontban. f ) 5 4, f 0 ) f 0) 0, és még sincs f-nek szélsőértéke 0 0 pontban. A fentiek nem azt jelentik, hogy csak differenciálható függvénynek létezik szélsőértéke. 4.5. Példa. Az f) függvénynek az 0 0 pontban minimuma van, holott a függvény itt nem differenciálható. 4.. Tétel. Langrange-tétel) Legyen az f : [a, b] R függvény a) folytonos az [a, b] intervallumon és b) differenciálható az a, b) intervallumon. Ekkor létezik legalább egy olyan ξ a, b), ahol f ξ) fb) fa). b a Bizonyítás. Legyen y g) az y f) görbe P a, fa)) és P b, fb)) pontjain áthaladó szelő egyenlete, ahol fb) fa) g) a) + fa). b a

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 9 Definiáljuk a h) f) g) segédfüggvényt és igazoljuk, hogy a h függvényre teljesülnek a Rolle-tétel feltételei. a) A h függvény folytonos az [a, b] intervallumon, mert az f és g függvények is folytonosak az [a, b] intervallumon, így f g különbségük is folytonos. b) A h függvény differenciálható az a, b) intervallumon, mert az f és g függvények is differenciálhatók az [a, b] intervallumon, így f g különbségük is differenciálható. c) Mivel ha) fa) ga) fa) fa) 0 és hb) fb) gb) fb) fb) 0, ezért ha) hb), azaz teljesülnek a a Rolle-tétel feltételei. Ekkor létezik legalább egy olyan ξ a, b) pont, ahol h ξ) 0. Mivel így a Rolle-tétel állítása szerint h ) f ) g ) f ) fb) fa), b a f ξ) fb) fa) b a Ezzel a Lagrange-tételt bebizonyítottuk. 0, azaz f ξ) fb) fa). b a A tétel állítása geometriailag azt jelenti, hogy van olyan ξ pont, amelyhez tartozó érintő meredeksége megegyezik az a és b helyekhez tartozó pontokon átmenő szelő meredekségével. E tételből adódik a következő állítás: 4.. Tétel. Legyen az f : [a, b] R függvény a) folytonos az [a, b] intervallumon, b) differenciálható az a, b) intervallumon, c) tetszőleges a, b) pontra f ) 0. Ekkor f) const. a teljes [a, b] intervallumon. Ezt kézzelfoghatóbban úgy is megfogalmazhatjuk, hogy csak a konstans értékű függvény az a függvény, amelynek deriváltja azonosan zérus valamely intervallumon. 4.. Tétel. Cauchy-tétel) Legyenek az f : [a, b] R és a g : [a, b] R függvények a) folytonosak az [a, b] intervallumon, b) differenciálhatók az a, b) intervallumon és c) tetszőleges a, b) pontra g ) 0. Ekkor létezik legalább egy olyan ξ a, b), ahol f ξ) g ξ) fb) fa) gb) ga). Bizonyítás. Definiáljuk a h) f) + λg) segédfüggvényt, ahol λ egy később megválasztandó konstans. Igazoljuk, hogy meg lehet adni a λ konstans olyan értékét, hogy a h függvényre teljesülnek a Rolle-tétel feltételei. a) A h függvény folytonos az [a, b] intervallumon, mert az f és g függvények is folytonosak az [a, b] intervallumon, így f + λg lineáris kombinációjuk is folytonos. b) A h függvény differenciálható az a, b) intervallumon, mert az f és g függvények is differenciálhatók az [a, b] intervallumon, így f +λg lineáris kombinációjuk is differenciálható.

94 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA c) ha) fa) + λga) és hb) fb) + λgb) miatt ha) hb) akkor és csakis akkor teljesül, ha fb) fa) fa) + λga) fb) + λgb), azaz λ gb) ga). Természetesen gb) ga), mert különben a Rolle-tétel értelmében az a, b) intervallumon a g függvénynek lenne nullahelye, ami ellentmondana a Cauchy-tétel c) feltételének. Tehát létezik legalább egy olyan ξ a, b) pont, ahol h ξ) 0, azaz f ξ) + λg ξ) 0, s ekkor f ξ) fb) fa) λ g ξ) gb) ga). Ezzel a Cauchy-tételt bebizonyítottuk. Könnyű belátni, hogy a Cauchy-tétel a Langrange-tétel általánosítása, hiszen speciális esetben, amikor g), akkor g ). Az is észrevehető, hogy a Langrange-tétel viszont a Rolle-tétel általánosítása. A Rolle-, a Langrange- és a Cauchy-tétel mindegyike ún. egzisztencia tétel, azaz e tételek csak annyit állítanak, hogy létezik legalább egy - egy a szóban forgó tulajdonságokkal rendelkező hely az a, b) intervallumban. E tételek azonban sem az ilyen tulajdonságú helyek számáról, sem arról, hogy ezek pontosan hol helyezkednek el az a, b) intervallumban, nem adnak felvilágosítást. 4... A Taylor-formula 4.8. Definíció. Legyen az f függvény az 0 helyen legalább n-szer differenciálható. Ekkor a T n ) f 0 ) + f 0 ) 0 ) + f 0 ) 0 ) +... + f n) 0 ) 0 ) n!! n! polinomot az f függvény 0 helyhez tartozó n-edfokú Taylor-polinomjának nevezzük. Ha n elég nagy, akkor a T n polinom az 0 hely környezetében jól közelíti az f függvényt. Ha 0 0, akkor a Taylor-polinomot Maclaurin-polinomnak mondjuk. Ennek alakja: M n ) f0) + f 0) + f 0) +... + f n) 0) n.!! n! A Taylor-polinom szerkezetéből látható, hogy T n 0 ) f 0 ). Ha viszont 0, akkor már T n ) f). Jelölje f) és T n ) különbségét, azaz a maradéktagot R n ), vagyis legyen R n ) f) T n ). Belátható, hogy R n ) f n+) ξ) n + )! 0) n+, ahol ξ az 0 és értékek között van. Itt nyilván azt feltételezzük, hogy f legalább n+)- szer differenciálható. Ha a maradéktag elég kicsi, akkor T n ) értéke jó közelítést ad az f) függvényértékre. Ez az állítás azért is nagy fontosságú, mert segítségével bonyolult függvényeket meg tudunk közelíteni könnyen kezelhető függvényekkel, nevezetesen polinomokkal, amelyek grafikonjai a megfigyelt pont környezetében hozzásimulnak a szóban forgó függvény grafikonjához.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 95 FELADATOK. Határozzuk meg az f) e függvény n-edfokú Taylor-polinomját az 0 pont környezetében. Megoldás. Az f függvény n-edfokú Taylor-polinomját az 0 pont környezetében a T n ) f) + f )! képlettel adott. Mivel így a keresett polinom pedig ) + f )! ) +... + f n) ) ) n n! f ) f ) f ) f n) ) e, f ) f ) f ) f n) ) e, vagyis T n ) e + e e ) +!! ) +... + e n! )n, T n ) e ) ) + + +... +!! ) )n. n!. Határozzuk meg az f) sin függvény hetedfokú Taylor-polinomját az 0 π pont környezetében. Megoldás. Mivel f ) cos, f ) sin, f ) cos, f 4) ) sin, így a megfelelő függvényértékek f π) cos π, f π) sin π 0, f π) cos π, f 4) π) sin π 0. Általánosítva a fenti esetekből adódik, hogy { 0, nk, f n) π) ) k+, nk+, k 0,,,... a keresett függvény Taylor-polinomja pedig T 7 ) 0 + )! illetve π) + 0 +! π) + 0 + ) π) 5 + 0 + 5! 7! π)7, T 7 ) π) + 6 π) 0 π)5 + 0 + 5040 π)7. Megállapíthatjuk, hogy az f) sin függvény Taylor-polinomjában csak páratlan kitevőjű hatványok szerepelnek, ami biztosítja azt, hogy a megfelelő Taylor-polinom is páratlan legyen, mint maga a függvény.

96 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA. Határozzuk meg az f) cos függvény hetedfokú Maclaurin-polinomját. Megoldás. Mivel f) cos, f ) sin, f ) cos, f ) sin, f 4) ) cos, f 5) ) sin, f 6) ) cos, f 7) ) sin, így a megfelelő függvényértékek f0) cos 0, f 0) sin 0 0, f 0) cos 0, f 0) sin 0 0, f 4) 0) cos 0, f 5) 0) sin 0 0, f 6) 0) cos 0, f 7) 0) sin 0 0. A keresett függvény Maclaurin-polinomja pedig M 7 )! + 4! 4 6! 6, illetve M 7 ) + 4 4 70 6. Megállapíthatjuk, hogy az f) cos függvény Maclaurin-polinomjában csak páros kitevőjű hatványok szerepelnek, ami biztosítja azt, hogy a megfelelő Taylorpolinom is páros legyen, mint maga a függvény. 4. Írjuk fel az f) e + e környezetében. függvény ötödfokú Taylor-polinomját az 0 0 pont Megoldás. Az f függvény ötödfokú Taylor-polinomja az 0 0 pont környezetében nem más mint a függvény ötödfokú Maclaurin-polinomja M 5 ) f0) + f 0)! Az f függvény első öt deriváltja: + f 0)! +... + f 5) 0) 5. 5! f ) e + e ) e + e ) ) e e ), f ) e e ) e e ) ) e + e ), f ) e + e ) e e ), f 4) ) e e ) e + e ), f 5) ) e + e ) e e ). Ezért f0) f 0) f 4) 0) és f 0) f 0) f 5) 0) 0, így M 5 ) + + 4 4.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 97 5. Határozzuk meg az f) függvény Maclaurin-polinomját n 5 esetén. Megoldás. Az f függvény Maclaurin-formulája Mivel M n ) f0) + f 0)! + f 0)! +... + f n) 0) n. n! f ) ) ) ) ) ) ), f ) ) ) ) ) ), f ) ) ) ) 4 )! ) 4, f 4) ) 6 ) 4 )! 4 ) 5 ) 4! ) 5, f 5) ) 4 ) 5 ) 4! 5 ) 5 ) 5! ) 5, így f0), f 0)!, f 0)!, f 0)!, f 4) 0) 4! és f 5) 0) 5!. Ekkor M 5 ) +!! +!! +!! + 4! 4! 4 + 5! 5! 5, illetve M 5 ) + + + + 4 + 5. 4... L Hospital-szabály Gyakran előfordul, hogy két olyan függvény hányadosának a határértékét kell meghatározni, amelyeknek a határértéke egyaránt nulla vagy egyaránt végtelen. Az ilyen határértékek kiszámítására ad egyszerű módszert az alábbi tétel szabály). 4.4. Tétel. L Hospital-szabály) Legyenek f és g az 0 hely környezetében differenciálható függvények. Ha akkor lim f) lim g) 0, 0 0 f) lim 0 g) lim f ) 0 g ), feltéve, hogy a jobb oldalon szereplő véges vagy végtelen) határérték létezik.

98 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA A fenti határértéket 0 határozatlan típusú határértéknek nevezzük. 0 A tétel akkor is érvényes, ha lim f) lim g) +. 0 0 Ilyenkor határozatlan típusú határértékről beszélünk. A tétel akkor is alkalmazható, ha 0 vagy 0. A L Hospital-szabállyal kiszámíthatók a 0,, 0 0, 0 és típusú határértékek is, ha azokat előzetesen sikerül 0 0 vagy típusúra visszavezetni, s a segítségükkel egyszerűbben meghatározhatunk összetettebb határértékeket is. FELADATOK Számítsuk ki a következő határértékeket.. lim + 7 + 6 Megoldás. A megadott határérték 0 0 a L Hospital-szabályt. Ekkor típusú határozatlan kifejezés. Alkalmazzuk + lim 7 + 6 lim 4 7 4 7 4.. lim 0 sin Megoldás. A megadott határérték 0 típusú határozatlan kifejezés. Ugyanakkor 0 tudjuk, hogy -gyel egyenlő, mivel alaphatárértékként alkalmaztuk a trigonometrikus függvények határérték számításánál. Mutassuk meg, hogy milyen egyszerű ennek a határértéknek a kiszámítása a L Hospital-szabály alkalmazásával. Ekkor. lim 0 cos sin sin lim 0 lim cos 0 cos 0. Megoldás. A megadott határérték 0 0 a L Hospital-szabályt. Ekkor típusú határozatlan kifejezés. Alkalmazzuk cos sin lim 0 lim 0 sin lim 0 cos sin cos lim sin 0.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 99 7 4. lim 0 Megoldás. Mivel 0 7 0, így 0 típusú határozatlan kifejezésről van szó. 0 Alkalmazzuk a L Hospital-szabályt. Ekkor e 5. lim 7 lim 0 lim 0 ln 7 ln 7 ln ln 7 ln 7. Megoldás. A megadott határérték típusú határozatlan kifejezés. Alkalmazzuk rá kétszer a L Hospital-szabályt. Ekkor e lim lim e lim e. ln 6. lim típusú határozatlan kifejezés, a L Hospital- Megoldás. Mivel a határérték szabályt alkalmazva kapjuk, hogy 7. lim ln ) +0 ln lim lim ln lim ln 0. Megoldás. A határérték 0 típusú határozatlan kifejezés, ezért 0 0 vagy típusú határozatlan kifejezésre kell hozni ahhoz, hogy alkalmazni lehessen a L Hospitalszabályt. Ekkor lim ln ) ln lim +0 +0 ln lim +0 ln lim +0 lim +0 lim ) 0. +0 8. lim 0 e Megoldás. A határérték 0 típusú határozatlan kifejezés, ezért átalakítjuk és alkalmazzuk a L Hospital-szabályt. Ekkor lim 0 e 9. lim 0 ) sin e 0 lim e ) lim 0 lim 0 e e.

00 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA Megoldás. A határérték típusú határozatlan kifejezés, amelyet közös nevezőre hozva átalakíthatunk 0 típusúra. Ekkor már alkalmazhatjuk a L Hospital- 0 szabályt. Így lim 0 ) sin lim sin 0 sin lim cos 0 sin + cos sin lim 0 cos + cos sin 0 0. ) 0. lim 5 + 6 Megoldás. A határérték típusú határozatlan kifejezés, amelyet közös nevezőre hozva átalakíthatunk 0 típusúra. Ekkor már alkalmazhatjuk a L Hospital- 0 szabályt. Így lim 5 + 6. lim ln + )) + Megoldás. ) + 5 lim ) + ) lim + 5. A határérték típusú határozatlan kifejezés, amelyet közös nevezőre hozva átalakíthatunk 0, majd 0 0 típusúra. Ilyen formában már alkalmazható a L Hospital-szabály és lim ln + )) lim + + ln + )). lim +0 lim + ln + ) lim + lim + + ) + lim + lim + + ). Megoldás. A határérték 0 0 típusú határozatlan kifejezés. Legyen lim +0 H. Logaritmáljuk a fenti egyenlőség mindkét oldalát. Ekkor ) ln ln H. Rendezve a baloldalt kapjuk, hogy lim +0 lim ln +0 ) ln H, azaz lim ln ) ln H. +0 +

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 0 A baloldali határérték most 0 típusú határozatlan kifejezés, ezért átalakítjuk és alkalmazzuk a L Hospital-szabályt. Ekkor ln ln H lim ln ) lim +0 +0 lim +0 ahonnan H e 0, illetve a keresett határérték lim +0.. lim +0 cos ) 5 lim ) 0, +0 Megoldás. típusú határozatlan kifejezésről van szó. Legyen H lim +0 cos ) 5, majd logaritmáljuk a fenti egyenlőség mindkét oldalát. Ekkor ) ) ) ln H ln lim cos ) 5 lim ln cos ) 5 5 lim ln cos ) +0 +0 +0 ln cos lim +0 lim +0 sin ) cos Ebből H e 0, illetve lim +0 cos ) 5. 4. lim ctg ) ln +0 0 lim tg 0 0 0. +0 Megoldás. A határérték 0 típusú határozatlan kifejezés. Legyen most H lim ctg ) ln, +0 majd logaritmáljuk a fenti egyenlőség mindkét oldalát. Hasonló eljárással, mint az előző két feladatban kapjuk, hogy ) ) ) ln H ln lim ctg ) ln lim ln ctg ) ln lim ln ctg ). +0 +0 +0 ln A kapott határérték most típusú határozatlan kifejezés, ezért átalakítjuk és alkalmazzuk a L Hospital-szabályt. ln ctg ln H lim +0 ln lim +0 lim +0 sin cos lim +0 Ezért H e, illetve lim ctg ) ln e +0 e. ctg sin cos sin.

0 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA sin 5. Indokoljuk meg, hogy miért nem alkalmazható a L Hospital-szabály a lim + határérték kiszámítására. Megoldás. A határérték típusú határozatlan kifejezés, s a L Hospital-szabályt alkalmazva a sin lim + cos lim + lim cos ) + határértéket kapjuk, amely nem létezik, hiszen nem tudjuk, hogy cos a [, ] intervallumból melyik értéket veszi fel. 4..4. A függvény monotonitása és szélsőértékei Az alábbi állítás a Lagrange-tétel egyik következménye és a differenciálható függvények monotonitásának elégséges feltételét adja meg. 4.5. Tétel. Ha az f differenciálható függvény növekszik csökken) az a, b) intervallumon, akkor f ) 0 f ) 0) minden a, b) pontra. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az f függvény növekszik az a, b) intervallumon. Legyen a, b) tetszőleges pont. Ekkor + a, b) mellett igaz, hogy f + ) f) 0, attól függetlenül, hogy pozitív vagy negatív. Ebből következik, hogy f f + ) f) ) lim 0 0. Hasonlóan mutatható meg, hogy f ) 0, amennyiben az f függvény csökken. Ezen tétel és a konstans függvény differenciálhányadosának const) 0) következményeként, megfogalmazhatjuk a deriválható függvény valamely intervallumon való szigorú monotonitásának szükséges és elégséges feltételét, amely jól használható a feladatok megoldása során. 4.. Következmény. Ha f az a, b)-n differenciálható és minden a, b) pontra f ) > 0 f ) < 0), akkor f az a, b) intervallumon szigorúan növekvő csökkenő). Most pedig rátérünk a differenciálható függvények lokális szélsőértékének vizsgálatára. Ha f 0 ) 0, akkor az f függvénynek 0 pontban lehet, de nem biztos, hogy van szélsőértéke. Ha f 0 ) 0, akkor az f függvénynek 0 -ban nincs szélsőértéke. Az f ) 0 egyenlet megoldásait az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. Ez azt jelenti, hogy a differenciálható f függvény lokális szélsőérték helyeit az f függvény stacionárius pontjai között kell keresni. A következőkben a differenciálható függvények szélsőértékének létezésére mondunk ki elégséges feltételeket.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 0 4.6. Tétel. Ha f differenciálható az 0 valamely környezetében és f 0 ) 0, akkor ahhoz, hogy a függvénynek az 0 helyen lokális szélsőértéke legyen elegendő, hogy az f függvény az 0 helyen előjelet váltson. Gyorsabb és kényelmesebb a helyi szélsőértéket a második derivált segítségével meghatározni. Ennek lehetőségét biztosítja a következő állítás. 4.7. Tétel. Ha f az 0 helyen kétszer differenciálható és f 0 ) 0, akkor az 0 helyen való lokális maimum minimum) létezéséhez elegendő, hogy f 0 ) < 0 f 0 ) > 0) legyen. Ha az f függvény olyan, hogy f 0 ) f 0 ) 0, akkor a lokális szélsőérték létezéséről e tételek alapján nem mondhatunk semmit. A következő tétel segít az ilyen jellegű problémák megoldásában. 4.8. Tétel. Legyen az f függvény az 0 helyen n-szer differenciálható és f 0 ) f 0 ) f n ) 0 ) 0, továbbá f n) 0 ) 0. Ekkor az f függvénynek az 0 helyen akkor és csak akkor van helyi lokális) szélsőértéke, ha n páros szám. FELADATOK. Vizsgáljuk ki az f) 6 + 9 4 függvény monotonitását és határozzuk meg a helyi szélsőértékeit. Megoldás. Az f függvény értelmezési tartománya D f R, és szélsőértékeit az f ) 0 egyenlet megoldásai, a stacionárius pontok között kell keresni. A függvény első deriváltja f ) + 9 a megfelelő egyenlet pedig f ) 0, azaz 4 + ) 0, amelynek megoldásai, illetve a stacionárius pontok és. Hogy a stacionárius pontokban van-e a függvénynek szélsőértéke, az meghatározható a függvény monotonitási tulajdonságaiból is. Ezért az f függvény előjelének vizsgálatával határozzuk meg az f függvény monotonitását. Foglaljuk táblázatba a kivizsgálást. D f, ), ), ) + + + f ) + + f) A mellékelt táblázat alapján az f függvény monoton növekvő a, ), ) intervallumon és monoton csökkenő az, ) intervallumon. A táblázatból azt is leolvashatjuk, hogy a monotonitási tulajdonság szerint az f függvénynek -ben maimuma, -ban pedig minimuma van. Ugyanakkor a megfelelő függvényértékek: f ma ) 0 és f min ) 4.

04 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA. Határozzuk meg az f) 6 függvény helyi szélsőértékeit. + Megoldás. Az f függvény értelmezési tartománya D f R. A függvény első deriváltja f ) 6 + ) 6 + ) 6 + 6 + ) 6 6 + ), a függvény stacionárius pontjainak meghatározásához pedig oldjuk meg az f ) 0 egyenletet. Ekkor 6 ) + ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, tehát a stacionárius pontok és. Vizsgáljuk ki most a szélsőértékek létezését, illetve típusát a függvény második deriváltja segítségével. A függvény második deriváltja: Mivel f ) + ) 6 6 ) + ) + ) 4 + ) 6 6 ) 4 + ) 4 + 4 + ) + 4 6 + ) + ) + ). f ) ) ) ) + ) 6 ) + ) 8 > 0, ezért az pontban a függvénynek helyi minimuma van, a megfelelő függvényérték f min ) és a görbe minimumpontja P min, ). Mivel f ) + ) + ) 8 < 0, ezért az pontban a függvénynek helyi maimuma van, a megfelelő függvényérték f ma ), a görbe maimumpontja pedig P ma, ).. Vizsgáljuk ki az f) 4 ln függvény monotonitását és határozzuk meg a helyi szélsőértékeit. Megoldás. Az f függvény értelmezési tartománya most D f 0, ). A függvény első deriváltja f ) 4 ln + 4 ) 4 ln ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 ln ) 0.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 05 Innen vagy 0, ahonnan 0 0 adódik, de 0 / D f, vagy pedig 4 ln 0, ahonnan 4 e az egyetlen stacionárius pont. Az f függvény előjelének vizsgálatával határozzuk meg az f függvény monotonitását. Foglaljuk táblázatba a kivizsgálást. ) ) D f 0, 4 e 4 e, A mellékelt táblázat alapján) az f függvény + + monoton növekvő a 0, 4 intervallumon 4 ln e + ) f ) + f) és monoton csökkenő az 4 e, intervallumon. A táblázatból azt is leolvashatjuk, hogy a monotonitási tulajdonság szerint az f függvénynek az pontban maimuma van. A megfelelő függvényérték, 4 e illetve a görbe maimumpontja: ) f ma 4 e 4e, illetve P ma 4 e, ). 4e 4. Vizsgáljuk ki az f) arctg a helyi szélsőértékeit. + ) függvény monotonitását és határozzuk meg Megoldás. Az f függvény értelmezési tartománya most D f R \ {0}, a függvény első deriváltja pedig f ) + ) + ) + + ) + +. Mivel f ) 0, ezért a függvénynek nincs stacionárius pontja, sígy szélsőértéke sem. Az f függvény előjele a P ) + + másodfokú polinom előjelétől függ, amelyről megállapítható, hogy a diszkriminánsa D 4 8 < 0, a főegyütthatója pedig pozitív, így a P polinomfüggvény minden értéke szigorúan pozitív, tehát az f függvény értéke szigorúan negatív a teljes értelmezési tartományán. Ez azt jelenti, hogy az f függvény szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományán. 5. Bontsuk szét az A pozitív számot két összeadandóra úgy, hogy az egyik összeadandó négyzetének és a másik összeadandó köbének összege a lehető legkisebb legyen. Megoldás. Keressük egy összeg legkisebb értékét, azaz ha függvénykény kezeljük, akkor keressük egy függvény minimumát. Ha az A számot két összeadandóra bontjuk, akkor jelöljük közülük az egyiket -szel, a másikat pedig A -szel. A feladatban megfogalmazott összeget ekkor az f) A ) + függvény írja le, s ennek a függvénynek a minimumát kell meghatározni. Alkalmazzuk a már ismert eljárást. Mivel f ) A ) + + A,

06 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA a + A 0 egyenletet kell megoldani, amelynek gyökei + + 6A > 0 és + 6A Mivel pozitív összeadandókat keresünk, ezért a negatív gyök nem lehet számunkra jó megoldás, csakis jöhet számításba. Igazoljuk, hogy erre az összeadandóra valóban a legkisebb összeget kapjuk, azaz hogy f ) > 0. A függvény második deriváltja f ) 6 + és f ) f + + 6A tehát az állítást igazoltuk. ) 6 + + 6A < 0. + + + 6A > 0, 6. m bádogból készítsünk lehető legnagyobb térfogatú fedél nélküli négyzet alapú dobozt. Mekkora lesz ez a térfogat? Megoldás. Fejezzük ki a négyzet alapú doboz térfogatát függvényként, s keressük a maimumát. Legyen a négyzet oldala, a doboz magasssága pedig H. A m bádog a fedél nélküli doboz felszínével egyezik meg, ezért A doboz térfogata viszont + 4H, ahonnan H 4. V H, ahonnan V ) 4 s ennek a függvénynek keressük a maimumát. Mivel 4 ), V ) ) + 4 4 ) 4, az 4 0 egyenlet megoldásai, azaz a stacionárius pontok és. Mivel a négyzet oldala csak pozitív lehet, ezért az egyetlen elfogadható stacionárius pont. Mutassuk meg, hogy az m értékre valóban a lehető legnagyobb térfogatot kapjuk. A függvény második deriváltja ) V ) és V < 0, tehát a V függvénynek az térfogat pedig ) V 4 pontban valóban maimuma van, a keresett ), vagyis V ma m.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 07 7. Adott R sugarú gömbbe írjunk lehető legnagyobb térfogatú hengert. Határozzuk meg a henger magasságát, valamint a keresett maimális térfogatot. Megoldás. Készítsük el a gömb és a henger keresztmetszetének vázlatát. Legyen r a henger alapjának sugara és H a henger magassága. Mivel r R H 4, akkor a henger térfogata ) V r, H) r πh, illetve V H) R H πh R πh π 4 4 H. Határozzuk meg a fenti függvény maimumát. A függvény első deriváltja: V H) R π π 4 H, az R π π 4 H 0 egyenlet megoldásai pedig H R és H R, amelyek közül csak H R az egyetlen elfogadható stacionárius pont, hiszen a henger magassága pozitív szám kell legyen. H R esetén r R 4 4R R. Mutassuk meg, hogy ez az érték valóban maimális térfogatot ad. Mivel V H) π ) R H, ezért V π R < 0, így valóban maimumról beszélünk, s a lehető legnagyobb térfogatú henger sugara R r R, magassága H, térfogata pedig V 4R π. 8. Adott R sugarú gömbbe írjunk lehető legnagyobb térfogatú kúpot. Megoldás. Készítsük el a gömb és a kúp keresztmetszetének vázlatát. Legyen r a kúp alapjának sugara, H pedig a kúp magassága. A kúp térfogata ekkor V r, H) r πh. Az ábráról leolvashatjuk, hogy r R H R) RH H, ezért V H) RH H ) πh π RH H ). Keressük meg a fenti térfogatfüggvény maimumát. Mivel V H) π ) 4RH H π H 4R H),

08 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA és V H) 0 kell teljesüljön, ezért a H 4R H) 0 egyenlet megoldásai lehetnek a stacionárius pontok. A H 0 0 az egyik megoldás, de ennek most nincs értelme, a másik megoldás H 4 R viszont stacionárius pont, amelyre r 8R 6R 9 8 9 R. Mutassuk meg, hogy ezekkel az értékekkel valóban maimális térfogatot kapunk. A térfogatfüggvény második deriváltja V H) π 4R 6H) és V H) π 4R 6 4 ) R π 4R 8R) < 0, tehát valóban a maimális térfogatot kaptuk, amelynek értéke: V ma 8 9 R π 4 R 8 R π. 9. Adott területű és alapú háromszögek közül melyiknek legkisebb a kerülete? Megoldás. Legyen az adott háromszög alapja a, másik két oldala b és c, területe pedig T. Ekkor T ah, ahonnan h T. Ha a h magasság az a alapot és a a részekre bontja fel, akkor a derékszögű háromszögekből b h +, illetve b h + és c h + a ), illetve c h + a ) adódik, a keresett kerület pedig K a + b + c, illetve K, h) a + h + + h + a ). Mivel h T a, így és K) a + K ) 4T a + + K ) 0 akkor és csakis akkor teljesül, ha 4T + a ) a a ) +. 4T + a 4T + a ) a 4T + a a, 4T + a ) a innen pedig 4T a + a ) a ) 4T a +.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 09 Négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy a ), ahonnan a a +, s ebből a, ami azt jelenti, hogy a háromszögnek egyenlőszárúnak kell lennie. Mivel 4T + a 4T + a ) a a ) a ) K ) és 4T a + 4T a + 4T + a 4T + ) + 4T + a a 4T a 4T a +a ) 4T a + a ) 4T a + a ) a ) 4T a + a ) ) 4T a + a ) 4T + ) + 4T + a ) ), a a a ) K 4T a 4T a + a 4 ) + 4T a + a 4 ) > 0, ezért az adott területű háromszögek közül valóban az egyenlőszárú háromszög a legkisebb kerületű. 0. Határozzuk meg az adott palástterületű kúpok közül azt, amelyiknek lehető legnagyobb a térfogata. Megoldás. Legyen r a kúp alapjának sugara, s az alkotója, H pedig a magassága. A feltételek szerint a kúp palástjának M területe állandó és ismert. Mivel M rπs, ezért s M rπ, és ugyanakkor H M s r r π r. A kúp térfogata V r, H) r πh, illetve egy változóval kifejezve V r) M r π r π r r π M r rπ 4 π r M π r 4. A térfogatfüggvény első deriváltja V r) M π r 4 + r 4π r M π r M π r 4 π r 4 4 M π r. 4 Mivel V r) 0 kell teljesüljön, ezért meg kell oldani az egyenletet. Rendezés után adódik, hogy M π r 4 π r 4 M π r 4 M π r 4 π r 4, ahonnan M π r 4,

0 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA M ebből pedig megkapjuk, hogy a megoldások r π és r M π. A negatív megoldásnak nincs értelme a feladat szempontjából, ezért r az egyetlen stacionárius pont. A második derivált Mivel ezért V r) π r M π r 4 4π r M π r 4 π r 4 πr M π r 4 M π r 4 tehát az r π r M π r 4 4π r M 4π 4 r 7 + 4π 4 r 7 M π r 4 ) M π r 4 π r 4 M M π π r M π r 4 + 4M M π r 4 és M π r 4 M M V M π ) < 0, ). M, alapsugarú kúpnak a legnagyobb a térfogata, mégpedig V ma M 0 π. 4..5. A függvény konveitása és infleiós pontjai A konve függvényeknek sok jelentős tulajdonsága van. Belátható például, hogy az adott intervallumon konve függvények folytonosak is az adott intervallumon. Legfontosabbnak mégis a konve függvények deriváltakkal kapcsolatos tulajdonságait tartjuk, ezért ezzel kapcsolatban fogalmazunk meg néhány állítást. 4.9. Tétel. Az f differenciálható függvény akkor és csakis akkor konve konkáv) az [a, b] intervallumon, ha f növekvő csökkenő) az [a, b] intervallumon. 4.0. Tétel. Az [a, b] intervallumon kétszer differenciálható f függvény akkor és csak akkor szigorúan konve konkáv) az [a, b] intervallumon, ha f ) > 0 f ) < 0) minden [a, b] pontra. Ezek után megfogalmazzuk a differenciálható függvény infleiós pontja létezésének feltételeit. Elsőként szükséges feltételt mondunk ki. 4.. Tétel. Ha az 0 pont valamely környezetében kétszer differenciálható f függvénynek az 0 pontban infleiós pontja van, akkor f 0 ) 0. A továbbiakban az infleiós pont létezésére vonatkozó elegendő feltételeket adunk meg.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 4.. Tétel. Ha f az 0 pont valamely környezetében kétszer differenciálható és igaz, hogy f 0 ) 0, valamint az f függvény az 0 pontban előjelet vált, akkor f-nek az 0 pontban infleiós pontja van. 4.. Tétel. Ha f az 0 pontban háromszor differenciálható, valamint f 0 ) 0 és f 0 ) 0, akkor f-nek az 0 pontban infleiós pontja van. Ha az f függvény olyan, hogy f 0 ) f 0 ) 0, akkor az infleiós pont létezéséről e tételek alapján nem mondhatunk semmit. A következő tétel segít az ilyen jellegű problémák megoldásában. 4.4. Tétel. Legyen 0 helyen n-szer differenciálható f függvény deriváltjaira igaz, hogy f 0 ) f 0 )... f n ) 0 ) 0 és f n) 0 ) 0. Ekkor az f függvénynek az 0 pontban akkor és csakis akkor van infleiós pontja, ha n páratlan szám. 4.6. Példa. Az f) +8 függvénynek f ) 6+8 az első deriváltja, f ) 6 pedig a második deriváltja. Mivel f ) 0 akkor és csakis akkor teljesül, ha 6 0, azaz esetén, ezért a függvénynek itt lehet infleiós pontja. Vizsgáljuk ki a második derivált előjelét! Mivel f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 6 > 0, azaz > esetén és f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 6 < 0, azaz < esetén, ezért levonhatjuk azt a következtetést, hogy az f függvény konve a, ) intervallumon és konkáv a, ) intervallumon. Az itt leírt eredményeket táblázatba is foglalhatjuk. D f, ), ) + f ) + f) Mivel az f függvény az pontban konkávitásból konveitásba megy át, tehát görbületet vált, ezért ebben a pontban az f függvénynek infleiós pontja van. A függvény értéke az infleiós pontjában f inf ) 6, az infleiós pont koordinátái pedig P inf, 6). Az infleiós pont létezését az f függvény harmadik deriváltja segítségével is ellenőrizhetjük. Mivel a harmadik derivált f ), ezért f ) 0 is igaz, tehát az pontban az f függvénynek infleiós pontja van. 4.7. Példa. Az f) 4 + + 4 függvénynek f ) 8 + az első deriváltja, f ) 4 pedig a második deriváltja. Mivel f ) 0 akkor és csakis akkor teljesül, ha 0, ezért itt van a függvénynek lehetséges infleiós pontja. Viszont f ) 48 és f 0) 0, ezért tovább kell számolni a függvény deriváltjait ahhoz, hogy el lehessen dönteni vajon itt infleiós pontja lesz-e a függvénynek vagy sem. Mivel f 4 ) 48 és f 4 0) 48 0 teljesül, azaz páros deriváltra lesz először nullától különböző függvényérték az 0 pontban, így ebben a pontban a függvénynek nem infleiós pontja van, hanem szélsőértéke. f 4 0) 48 > 0 miatt ez az f függvény egy minimumpontja. Másik indoklás: mivel f ) 4 0 a teljes értelmezési tartományon, ezért az f függvény konve a teljes értelmezési tartományon, vagyis nem vált görbületet az 0 pontban, ezért az 0 pont nem infleiós pont.

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4..6. Függvénykivizsgálás A függvénykivizsgálás vázlata:. értelmezési tartomány: D f R. Érdemes az értelmezési tartományt intervallumként, illetve intervallumok uniójaként felírni és kivizsgálni a függvény viselkedését az intervallumok végpontjaiban, s így a függőleges és vízszintes aszimptotákat is megkapjuk, ha vannak.. paritás: Kivizsgáljuk, hogy a függvény páros vagy páratlan, vagy esetleg egyik tulajdonsággal sem rendelkezik.. nullahely: Meghatározzuk az f) 0 egyenlet megoldásait, mert ezekben a pontokban metszi a függvény grafikonja az -tengelyt. 4. előjel: Meghatározzuk az f) > 0 és az f) < 0 egyenlőtlenségek megoldáshalmazait, mert az így kapott intervallumokon lesz a függvény grafikonja az -tengely felett, illetve alatt. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: Az a egyenes az y f) függvénygörbe függőleges aszimptotája, ha lim f) ± vagy lim f) ±. a 0 a+0 b) vízszintes aszimptota: Az y f) függvénygörbe vízszintes aszimptotája az olyan y b egyenes, amelyre lim f) b vagy lim f) b. c) ferde aszimptota: Az y k + n egyenes az y f) függvénygörbe ferde aszimptotája, amennyiben k f) lim ± és n lim f) k), k 0, k, n ±. ± 6. szélsőértékek: Az f ) 0 egyenlet megoldásai adják a stacionárius pontokat, amelyekben a függvénynek lehetnek szélsőértékei, mégpedig maimuma, amennyiben ott a függvény monoton növekedésből monoton csökkenésbe vált, illetve minimuma, amennyiben ott a függvény monoton csökkenésből monoton növekedésbe vált. 7. monotonitás: Azokon az intervallumokon, ahol f ) > 0, ott a függvény szigorúan monoton növekszik, s ahol f ) < 0, ott a függvény szigorúan monoton csökken. 8. infleiós pontok: Az f ) 0 egyenlet megoldásaiban lehetnek a függvénynek infleiós pontjai, amennyiben ott a függvény görbületet vált, azaz konveitásból konkávitásba megy át, vagy fordítva. 9. konveitás: Azokon az intervallumokon, ahol f ) > 0, ott a függvény konve, s ahol f ) < 0, ott a függvény konkáv. 0. a függvény grafikonja: A koordinátarendszerben bejelöljük a kivizsgált adatokat, majd a jellegzetes pontok nullahelyek, szélsőértékek, infleiós pontok) összekötésével megrajzoljuk a függvény grafikonját.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 4.8. Példa. Vizsgáljuk ki az f) ) függvényt és rajzoljuk le a grafikonját.. értelmezési tartomány: Az f függvény polinom, tehát D f R, ).. paritás: A függvény értelmezési tartománya az origóra szimmetrikus intervallum, így van értelme vizsgálni a paritást. Mivel f ) ) ) ) ) f), ez azt jelenti, hogy a függvény páratlan, tehát grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha ) 0, azaz ) + ) 0. A kapott egyenlet megoldásai az, 0 és, ez pedig azt jelenti, hogy a függvény görbéje a, 0), 0, 0) és, 0) pontokban metszi az -tengelyt. 4. előjel: Az f függvény előjelét meghatározhatjuk a tényezőit alkotó függvények grafikonjainak segítségével, vagyis az y és y függvények grafikonjainak ábrázolásával. Mivel a függvények előjelei megegyeznek az, 0) és, ) intervallumon, különböznek a, ) és 0, ) intervallumon, ezért f) > 0 ha, 0), ) és f) < 0 ha, ) 0, ). y y y 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: Mivel az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, a függvénynek nincs függőleges aszimptotája. b) vízszintes aszimptota: A függvénynek nincs vízszintes aszimptotája, mert lim f) lim ) és lim f) lim ). c) ferde aszimptota: Mivel f) lim ± lim ) ± ezért a függvénynek nincs ferde aszimptotája. 6. szélsőértékek: A függvény első deriváltja lim ± ), f ) ) + + ) 5 ). Mivel f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 ) 5 + ) 0, ezért az f 5 5 függvény stacionárius pontjai 0, 4 0, 77 és 5 0, 77. 5 5

4 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 7. monotonitás: Az f függvény előjelének meghatározására alkalmazzuk az f ) 5 ) alakot. Mivel > 0 ha 0, az y 5 parabola grafikonja alapján megállapítjuk, hogy 5 > 0, ha 5 5, 5 ) 5, ) és 5 < 0, amennyiben 5 5 5, 5 ). Ebből az következik, hogy f ) > 0, azaz az f függvény 5 5 növekszik a, 5 ), ) intervallumon és 5 5 5 f ) < 0, azaz az f függvény csökken az 5, 0) 0, 5 ) intervallumon. 5 Az f függvény előjelet vált az 4 5, illetve az 5 5 pontban, így ezekben a pontokban a függvénynek szélsőértéke van. Pontosabban, 4 -ben a függvénynek 5 maimuma van, mert ott a függvénygörbe növekedésből csökkenésbe vált, 5 -ben pedig a függvénynek minimuma van, mert ott csökkenésből vált növekedésbe. Ugyanakkor f ma 4 ) 0, 8 és f min 5 ) 0, 8. 8. infleiós pontok: A függvény második deriváltja f ) 5 ) + 0 0 ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0 ) 0 + ) 0. A kapott egyenlet megoldásai, s egyben a lehetséges infleiós pontok 5 y 5 y 5 0, 0 6 0 0 és 7 0 0 0. 9. konveitás: Az f ) 0 ) függvény előjele az y és y 0 függvények grafikonjai alapján így alakul: ) ) 0 0 f ) > 0 ha 0, 0 0,, ) ) 0 0 f ) < 0 ha, 0,. 0 0 ) ) 0 0 Tehát az f függvény konve az 0, 0 0, ) ) 0 0 intervallumon és konkáv a, 0, intervallumon. 0 0 Mivel az f függvény előjelet vált anullahelyeiben, ezért 0 0 az 0, 6 és 7 pontokban az f 0 0 függvénynek infleiós pontjai vannak. y y 0 y

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 5 Az infleiós pontoknak megfelelő függvényértékek: f inf 6 ) 0, és f inf 7 ) 0,. 0. függvény grafikonja: y y y 4 4 0 y függvényt és rajzoljuk le a grafi- 4.9. Példa. Vizsgáljuk ki az f) 0 + 5 + 4 konját.. értelmezési tartomány: A számláló és a nevező tényezőkre bontása után kapjuk, + ) 5) hogy f), vagyis az + binommal tudunk egyszerűsíteni, ha + 0. 7 ) + ) Ezáltal a függvény az f) 5 formát veszi fel, ahol. Mivel a nevező nem 7 lehet nulla, ezért 7 0. Tehát 7 és, így D f R \ {, 7}, ), 7) 7, ).. paritás: A függvény értelmezési tartománya nem szimmetrikus intervallum az origóra, így a függvény se nem páros se nem páratlan.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 0. Az egyenlet megoldása 5, tehát 5 a függvény nullahelye, s a függvény görbéje illeszkedik az 5, 0) pontra. 4. előjel: Az f függvény előjele megegyezik a P ) 5)7 ) 5) 7) polinom előjelével az értelmezési tartományon.

6 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA A P polinom konve, mert a főegyütthatója < 0 és metszi az -tengelyt az 5 és 7 pontokban. A P polinom grafikonja alapján megállapítjuk, hogy P ) > 0, ha 5, 7) és P ) < 0 ha, 5) 7, ). y y 5 7 5 7 Tehát, f) > 0 ha 5, 7) és f) < 0 ha, ), 5) 7, ). 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: lim f) lim 5 0 0 7 7 9 és lim f) lim 5 +0 +0 7 7 9 miatt az f függvénynek nincs függőleges aszimptotája az pontban. Mivel lim f) lim 5 7 0 7 0 7 +0 és lim 7+0 f) ezért 7 az f függvény függőleges aszimptotája. b) vízszintes aszimptota: és lim 5 7+0 7 0 5 lim f) lim 7 lim 5) 5 7 lim ) 7 lim f) lim 5 7 lim 5) 5 7 lim ) 7, tehát y vízszintes aszimptotája a függvénynek. c) ferde aszimptota: Mivel a függvénynek van vízszintes aszimptotája, ezért y k+n egyenletű ferde aszimptotája nincs, amit számítással is igazolhatunk: k k lim f) lim 5 7 ) lim 5) 7 ) lim 5 7 0, f) lim lim 5 7 ) lim 5) 7 ) lim 5 7 0. 6. szélsőértékek: Az első derivált f 7 5) ) ) 7 ) 7 ). Mivel f ) 0 nem lehetséges, ezért az f függvénynek nincs stacionárius pontja, s így nincs szélsőértéke sem. 7. monotonitás: Minden D f esetén érvényes, hogy f ) > 0, amiből következik, hogy az f függvény növekszik a, ), 7) 7, ) intervallumon. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) 7 ) ) 47 ) ) 4 7 ).

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 7 Mivel f ) 0 nem lehetséges, a függvénynek nincs infleiós pontja. 9. konveitás: Vizsgáljuk ki az f függvény előjelét. f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 7 > 0 és f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 7 < 0, ezért f ) > 0, ha, ), 7) és f ) < 0, ha 7, ). Az f függvény konve a, ), 7) intervallumon és konkáv a 7, ) intervallumon. 0. a függvény grafikonja: y 5 7 y 5 0 5 5 y 0 5 4 4.0. Példa. Vizsgáljuk ki az f) függvényt és rajzoljuk le a grafikonját.. értelmezési tartomány: D f, ], mert 0, ahonnan.. paritás: A függvény értelmezési tartománya nem szimmetrikus intervallum az origóra, így a függvény se nem páros se nem páratlan.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha 0. A kapott egyenlet megoldásai 0 és, s ezek egyben az f függvény nullahelyei. 4. előjel: Mivel > 0 a teljes értelmezési tartományon, ezért f) > 0 ha > 0 és f) < 0 ha < 0. 5. aszimptoták: A függvénynek se függőleges, se ferde, se vízszintes aszimptotája nincs, mert lim 0) +0 +0, 0 f) lim lim +, lim f) lim. 6. szélsőértékek: Az első derivált f ),. f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, azaz, és ez egyben az f függvény stacionárius pontja.

8 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, azaz < esetén. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz > esetén. Ebből megállapíthatjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton növekvő a, ) ) intervallumon, a, intervallumon pedig szigorúan monoton csökkenő. A monotonitás alapján az f függvénynek ) -ban maimuma van és f ma. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) + ) 6 ) + ) ) 4 4 ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 0, azaz 4 4 esetén. Mivel 4 D f, ezért az f függvénynek nincs infleiós pontja. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 4 > 0, azaz > 4 esetén. Mivel ez az intervallum nincs benne az értelmezési tartományban, így az f függvény második deriváltja nem lehet pozitív. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 4 < 0, azaz < 4 esetén. Ez a tulajdonság érvényes a D f értelmezési tartományon, tehát az f függvény konkáv, ha D f. 0. a függvény grafikonja: y 0 y

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 9 4.. Példa. Vizsgáljuk ki az f) e függvényt és rajzoljuk le a grafikonját.. értelmezési tartomány: D f R, ).. paritás: Mivel f ) e e ±f), ezért a függvény se nem páros, se nem páratlan.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha e 0. Az egyenlet megoldása 0, s ez az f függvény nullahelye. 4. előjel: Mivel az eponenciális függvény mindig pozitív, ezért f) > 0, ha > 0, illetve f) < 0, ha < 0. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: Nincs, mert a függvény minden valós számra értelmezett. b) vízszintes aszimptota: y 0 pozitív irányban vízszintes aszimptota, mert lim f) lim e lim e lim f) lim e lim e. + +0, c) ferde aszimptota: Csak negatív irányban kell kivizsgálni, mert pozitív irányban van vízszintes aszimptota. Mivel f) lim lim e ezért ferde aszimptota nincs. +, ) e. e 0, vagyis ha 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) e f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ) e egyenlet megoldása, az f függvény stacionárius pontja. 0. A kapott 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, azaz < esetén. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz > esetén. Ebből megállapíthatjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton növekvő a, ) intervallumon, a, + ) intervallumon pedig szigorúan monoton csökkenő. A monotonitás alapján az f függvénynek -ben maimuma van és f ma ) e. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) e ) e + ) e. 4 f ) 0 akkor és csakis akkor, ha + 0. Az f függvény lehetséges infleiós pontja 4 ezért 4-ben van. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha + > 0, azaz > 4 esetén. 4 f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha + < 0, azaz < 4 esetén. Ebből megállapíthatjuk, 4 hogy az f függvény konve az, 4) intervallumon, a 4, + ) intervallumon pedig

0 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA konkáv. Mivel -ban az f függvény előjelet vált, ezért ott az f függvénynek infleiós pontja van és f inf 4) 4 e. 0. a függvény grafikonja: y y 4 y 0 4.. Példa. Vizsgáljuk ki az f) + ln függvényt és rajzoljuk le a grafikonját.. értelmezési tartomány: A logaritmus függvény csak pozitív értékekre értelmezett és a nevező nem lehet nulla, azaz > 0 és 0 kell, hogy teljesüljön. Tehát D f R + 0, + ).. paritás: Mivel az értelmezési tartomány nem szimmetrikus az origóra, ezért a függvény nem lehet se páros, se páratlan.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha +ln 0, azaz e a nullahely. 4. előjel: f) > 0, ha + ln > 0 és f) < 0, ha + ln < 0. Mivel > 0 teljesül az értelmezési tartományon, ezért f pozitív, ha + ln > 0, azaz > e és f negatív, ha + ln < 0, vagyis 0 < < e. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: Az 0 egyenes függőleges aszimptota, mert + ln lim +0. b) vízszintes aszimptota: Az y 0 egyenes vízszintes aszimptota, mert a L Hospital szabály alkalmazása után kapjuk, hogy + ln lim f) lim lim +0. c) ferde aszimptota: Mivel van vízszintes aszimptota, ezért ferde nem lehet. 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) + ln ) ln.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ln 0. Az egyenlet megoldása, és ez az f függvény stacionárius pontja. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha ln < 0, azaz 0 < < esetén. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha ln > 0, azaz > esetén. Ebből megállapíthatjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton növekvő a 0, ) intervallumon, és szigorúan monoton csökkenő az, + ) intervallumon. A monotonitás alapján az f függvénynek - ben maimuma van és f ma ). 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) + ln ) ) 4 ln ) 4 ln. f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ln 0, vagyis e a lehetséges infleiós pont. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha ln > 0, azaz > e esetén. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha ln < 0, azaz 0 < < e esetén. Ebből megállapíthatjuk, hogy az f függvény konve az 0, e) intervallumon, a e, + ) intervallumon pedig konkáv. Mivel -ban az f függvény előjelet vált, ezért ott az f függvénynek infleiós pontja van és f inf e) e. 0. a függvény grafikonja: y y ln y 0 0 FELADATOK. Vizsgáljuk ki a következő függvényeket és rajzoljuk le grafikonjaikat.. f) 4 4 + 4 Megoldás.. értelmezési tartomány: D f R, ), mert f polinomfüggvény.. paritás: Mivel f ) ) 4 4 ) + 4 4 4 + 4 f), ezért a függvény páros. Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y koordinátatengelyhez viszonyítva.

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 + 0. t behelyettesítés után kapjuk a t t + 0 másodfokú egyenletet, amelynek diszkriminánsa D 4 8 < 0. Ebből következik, hogy se a másodfokú egyenletnek, se az eredeti negyedfokú egyenletnek nincs valós megoldása, tehát a függvény grafikonja nem metszi az -tengelyt. 4. előjel: f) > 0, ha 4 + > 0. Mivel ez a tulajdonság a teljes értelmezési tartományon teljesül, ezért az f függvény szigorúan pozitív az értelmezési tartomány minden pontjára. 5. aszimptoták: A függvénynek nincsenek aszimptotái, viszont lim f) lim 4 4 + 4 ) +. ± ± 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) 4 4 ) 8 ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha + ) ) 0. A függvény stacionárius pontjai tehát, 0 és. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha +) ) > 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha + ) ) < 0. D f, ), 0) 0, ), ) + + + + + + + f ) + + f) A mellékelt táblázat alapján a függvény szigorúan monoton növekvő a, 0), ) intervallumon és szigorúan monoton csökkenő a, ) 0, ) intervallumon. A táblázatból leolvashatjuk, hogy a monotonitási tulajdonság szerint az f függvénynek -ben minimuma van, 0-ban maimuma van és -ben minimuma van. Számítással adódik, hogy a megfelelő függvényértékek: f min ) f min ) és f ma 0) 4. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) 8 ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0. A lehetséges infleiós pontok tehát 4 és 5. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0 teljesül, azaz < és > esetén. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz ) ) < < esetén. Ebből megállapíthatjuk, hogy a,, ) intervallumon az f függvény konve, a, intervallumon pedig konkáv.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása Mivel 4 -ben és 5 -ben az f függvény előjelet vált, ezért ott az f függvénynek infleiós pontjai vannak. A megfelelő függvényértékek az infleiós pontokban: 0. A függvény grafikonja: f inf 4 ) f inf 5 ) 6 9. y y 4 4 4 4 6 9 0, 5, 5 + 6 ). f) Megoldás.. értelmezési tartomány: D f R, ).. paritás: A függvény páratlan, mivel f ) 0, ) 5, 5 ) + 6 ) ) 0, 5 +, 5 6 ) 0, 5, 5 + 6 ) f).. nullahely: f) 0 4 5 + 60 ), ezért f) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 5 + 60 ) 0. Mivel az t helyettesítés után kapott t 5t + 60

4 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA másodfokú trinom mindig pozitív mert diszkriminánsa 5 60 65 70 < 0 és főegyütthatója pozitív), ezért 0 az egyetlen nullahely. 4. előjel: f) > 0 ha 4 5 + 60 ) > 0, azaz > 0 esetén, és f) < 0 ha 4 5 + 60 ) < 0, vagyis < 0 esetén. 5. aszimptoták: A függvénynek nincsenek aszimptotái, viszont lim f) lim 0, 5, 5 + 6 ) ±. ± ± 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) 5 4 75 + 60 ) 4 5 + 4 ) ) 4 ). 0 4 4 f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) ) + ) 0, s eszerint az f függvény stacionárius pontjai,, 4 és 5. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha )+) )+) > 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) ) + ) < 0. A táblázatból látható, D f, ), ), ), ), ) hogy a függvény + + + + + szigorúan monoton + + + + növekvő a, ) + +, ), ) intervallumon + és szigorúan f ) + + + monoton csökkenő a f), ), ) intervallumon. A táblázatból leolvashatjuk, hogy a monotonitás alapján az f függvénynek - ben maimuma van, -ben minimuma van, -ben maimuma van és 4 -ben minimuma van, valamint f ma ) 0, 8, f min ), 7, f ma ), 7 és f min ) 0, 8. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) 4 0 ) 4 5 ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 ) 0. Az egyenlet megoldásai, és 0 0 egyben a lehetséges infleiós pontok, 6 és 7. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 5 ) > 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 5 ) < 0. ) ) ) ) 0 0 0 0 D f,, 0 0,, + + 5 + + f ) + + f)

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 5 ) ) 0 0 A fenti táblázatból megállapíthatjuk, hogy a, 0, intervallumon az f függvény konve, a, 0, intervallumon pedig ) ) 0 0 konkáv. Mivel 6 -ban és 7 -ben az f függvény előjelet vált, ezért ott az f függvénynek infleiós pontjai vannak és f inf 6 ) 0, illetve f inf 7 ) 0. 0. A függvény grafikonja: y y 0.5.5 6.9.8468 0.8 5 0.8 5.8468.9. f) 4 Megoldás.. értelmezési tartomány: A nevező nem lehet nulla, ezért az értelmezési tartomány D f R \ {0}, 0) 0, ).. paritás: Mivel f ) 4 ) 4 ) f), ezért a függvény páratlan, azaz a függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 0, azaz 4 0. Ennek alapján az egyenlet megoldása és egyben a függvény nullahelyei és.

6 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 4. előjel: f) > 0 akkor és csakis akkor, ha 4 csakis akkor, ha 4 < 0. D f, ), 0) 0, ), ) + + 4 + + f) + + 5. aszimptoták > 0 és f) < 0 akkor és A mellékelt táblázatból látható, hogy a függvény pozitív a, ) 0, ) intervallumon és negatív a, 0), ) intervallumon. a) függőleges aszimptota: Az 0 egyenes függőleges aszimptota, mivel és 4 lim f) lim +0 +0 4 lim f) lim 0 0 4 +0) +0 4 0) 0 4 +0 + 4 0. b) vízszintes aszimptota: Vízszintes aszimptota nincs, mert ) 4 lim f) lim ± ±. c) ferde aszimptota: Ha y k + n alakban keresünk ferde aszimptotát, akkor és n k lim f) k) lim ± f) lim ± lim 4 ± tehát a függvénynek y ferde aszimptotája. ) 4 + lim ± ± ) 4 0, 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) 4 ) + 4 0. Mivel az f függvénynek nincs nullahelye, ezért az f függvénynek nincs stacionárius pontja és így szélsőértéke sem. 7. monotonitás: f ) + 4 < 0 minden D f esetén, ezért a függvény értelmezési tartományának minden pontjában szigorúan monoton csökkenő. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) + 4) 4 8) 8 0. Mivel az f függvénynek nincs nullahelye, ezért az f függvénynek nincs infleiós pontja.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 7 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 8 > 0, azaz > 0 esetén, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 8 < 0, azaz < 0 esetén. Ez azt jelenti, hogy a, 0) intervallumon az f függvény konkáv, a 0, ) intervallumon pedig konve. 0. A függvény grafikonja: y y y 4 7 6 5 4 4 5 6 7 0 4. f) + ) Megoldás.. értelmezési tartomány: Mivel + 0 akkor és csakis akkor, ha, és a nevező nem lehet nulla, ezért D f R \ { }, ), ).. paritás: Az értelmezési tartomány nem szimmetrikus az origóra, tehát a függvény se nem páros, se nem páratlan.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha esetén. Eszerint 0 a függvény nullahelye. + ) 0, vagyis 0 4. előjel: f) > 0 akkor és csakis akkor, ha + ) > 0, azaz minden D f esetén, tehát az f függvény pozitív a teljes értelmezési tartományon. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: függőleges aszimptota, mert lim f) ±0 lim ±0 ± 0) + ) ± 0 + ) +0 +.

8 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA b) vízszintes aszimptota: y vízszintes aszimptota, mert lim f) ± lim ± + ). c) ferde aszimptota: A vízszintes aszimptota létezése miatt ferde aszimptota nincs. 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) + ) + ) + ) 4 + ) + ) + ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, vagyis, ha 0. Eszerint az f + ) függvény nullahelye 0, és ez egyben stacionárius pont is. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, azaz ha + ) + ) > 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz akkor + ) és csakis akkor, ha +) < 0. Az y +) parabola -ben és 0-ban metszi az -tengelyt, s mivel minimuma van, pozitív < és > 0 esetén, illetve negatív < < 0 esetén. Ez azt jelenti, hogy az f függvény szigorúan monoton növekvő a, ) 0, ) intervallumon és szigorúan monoton csökkenő a, 0) intervallumon. A monotonitási tulajdonságből következik, hogy 0 pontban a függvénynek minimuma van, így a megfelelő függvényérték f min 0) 0. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) + ) + ) + ) 6 + ) 6 4 ) + ) 4 + ) 4 + ). 4 f ) ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, azaz 0, illetve + ) 4 esetén. Ezért lehetséges infleiós pont. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) 4 > 0, azaz akkor és csakis akkor, ha > 0, illetve < esetén. f ) < 0 akkor és csakis ) akkor, ha < 0, azaz akkor és csakis akkor, ha < 0, illetve > + ) 4 esetén. Ezért az f függvény konve a, ) ) intervallumon és konkáv az, intervallumon. Mivel az f függvény -ben előjelet vált, ezért az f függvény infleiós pontja, a megfelelő függvényérték pedig ) f inf 9.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 9 0. A függvény grafikonja: y y y 7 6 5 4 4 5 6 7 5. f) Megoldás.. értelmezési tartomány: D f R, ).. paritás: A függvény páros, mert f ) ) f).. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, azaz ha 0. Az egyenlet megoldása és egyben az f függvény nullahelyei és. 4. előjel: f) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, azaz > 0, valamint f) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz < 0. Az y parabola -ben és -ben metszi az -tengelyt, s mivel maimuma van, pozitív < < esetén, negatív < és > esetén. 5. aszimptoták: A függvénynek nincs semmilyen aszimptotája, viszont lim f) ± lim ±. 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, tehát 0 a stacionárius pont. Vegyük észre, hogy az f deriváltfüggvény nem értelmezett az a D f értelmezési tartomány és pontjaiban. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, azaz ha ) < 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz ha > 0. )

0 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA Eszerint az f függvény szigorúan monoton növekvő a, 0) intervallumon és szigorúan monoton csökkenő a 0, ) intervallumon. A monotonitási tulajdonságból következik, hogy 0-ban a függvénynek maimuma van és f ma 0). 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) ) ) ) 4 ) + 4 ) ) + 9 ) ) 9 + ) ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, azaz a nullahelyekben, de ezekben a pontokban sem az f függvény, sem az f függvény nem értelmezett. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz < és > esetén. f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz < < esetén. Ezért az f függvény konve a, ), ) intervallumon és konkáv a, ) intervallumon. Mivel az f függvény és pontokban előjelet vált, ezért itt az f függvénynek olyan infleiós pontjai vannak, amelyekben a az f függvény nem differenciálható, azaz az f függvény grafikonjához nem húzható érintő. Ugyanakkor f inf ) f inf ) 0 0. A függvény grafikonja: y y 6. f) Megoldás. +. értelmezési tartomány: D f R, ).. paritás: A függvény páratlan, mert f ) ) + + f).. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha függvény nullahelye. + 0, tehát 0 a

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 4. előjel: f) > 0 ha > 0, illetve f) < 0 ha < 0. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: Nincs, mert a függvény minden valós számra értelmezett. b) vízszintes aszimptota: y és y vízszintes aszimptota, mert és lim f) lim + lim + lim f) lim + lim. + c) ferde aszimptota: Nincs, mert van vízszintes aszimptota. 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) + + + + + + + ) + + ) +. Mivel f ) 0, az f függvénynek nincs stacionárius pontja, tehát szélsőértéke sem. 7. monotonitás: f ) > 0 minden D f esetén, ezért az f függvény szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) + ) ) + ) 5 + ) +. f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, tehát 0 az f függvény lehetséges infleiós pontja. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha > 0. Ezek szerint az f függvény konve a, 0) intervallumon és konkáv a 0, ) intervallumon. 0. A függvény grafikonja: y y y y

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 7. f) e e Megoldás.. értelmezési tartomány: D f R, ).. paritás: A függvény páros, mert f ) ) e ) e f).. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha e 0, tehát 0 az egyetlen nullahely. 4. előjel: f) 0 ha D f. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: Nincs, mert a függvény minden valós számra értelmezett. b) vízszintes aszimptota: y 0 vízszintes aszimptota, mert lim f) ± lim ± e lim ± e lim ± c) ferde aszimptota: Nincs, mert van vízszintes aszimptota. e 0. 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) e ) e + )e ) e. f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) 0, tehát 0, és a stacionárius pontok. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) > 0, illetve f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha ) + ) < 0. D f, ), 0) 0, ), ) + + + + + + + + + f ) + + f) A mellékelt táblázatból leolvasható, hogy a függvény szigorúan monoton növekvő a, ) 0, ) intervallumon és szigorúan monoton csökkenő a, 0), ) intervallumon. A táblázatból láthatjuk azt is, hogy a monotonitás alapján az f függvénynek 0- ban minimuma van, -ben és -ben pedig maimuma van, a megfelelő függvényértékek pedig f min 0) 0 és f ma ) f ma ) e. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) ) e ) 6 ) e ) e 0 + 4 4) e 5 + 4) e.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 5 + 0. t behelyettesítés után kapjuk a t 5t + 0 másodfokú egyenletet, amelynek megoldásai t 5 + 7 4, 8 és t 5 7 4 0,. A visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy a lehetséges infleiós pontok 5 + 7 5 7 4, 5, 5 0, 47, 4 4 6 5 7 4 0, 47, 7 5 + 7 4, 5. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 4 5 + > 0, illetve f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 4 5 + < 0. Készítsünk táblázatot, felhasználva az előbbi jelöléseket. D f, 4 ) 4, 5 ) 5, 6 ) 6, 7 ) 7, ) t + + t + + + + f ) + + + f) A táblázatból megállapíthatjuk, hogy a, 4 ) 5, 6 ) 7, ) intervallumon az f függvény konve, az 4, 5 ) 6, 7 ) intervallumon pedig konkáv. Mivel 4 -ben, 5 -ben, 6 -ban és 7 -ben az f függvény előjelet vált, ezért ott az f függvénynek infleiós pontjai vannak. Egyszerű helyettesítéssel kiszámítható, hogy f inf 4 ) f inf 7 ) 0, és f inf 5 ) f inf 6 ) 0, 8. 0. A függvény grafikonja: y 4 5 6 7 y 8. f) Megoldás. ) e 5. értelmezési tartomány: Mivel az eponenciális függvény kitevőjében levő nevező nem lehet nulla, ezért 0, s így D f R \ {0}, 0) 0, ).

4 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA. paritás: A függvény se nem páros, se nem páratlan, mivel f ) ) e ) e ±f). 5 5. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 0, tehát 5 a függvény nullahelye. 4. előjel: Mivel az eponenciális függvény mindig pozitív, ezért f) > 0 akkor és csakis akkor, ha 5 > 0, és f) < 0 akkor és csakis akkor, ha 5 f függvény tehát pozitív > 5 esetén és negatív < 5 esetén. 5. aszimptoták < 0. Az a) függőleges aszimptota: Az 0 egyenes csak egyoldali függőleges aszimptota, mert lim f) lim ) e 0 0 0 0 5 5 e 5 0 0, tehát balról nézve nem függőleges aszimptota, viszont jobbról nézve igen, mert lim f) lim ) e 0+0 0+0 5 5 e+. b) vízszintes aszimptota: Nincs, mert lim f) ± lim ± 5 ) e ±. c) ferde aszimptota: Ha y k + n alakban keresünk ferde aszimptotát, akkor Az y + 4 5 n k f) lim ± lim lim f) k) lim ± ± ± ) lim e ± 5 lim e lim ± lim ± 5 e, ) ) e 5 ± e 5 ) e 5 lim ± e 5 5 4 5. egyenes az f függvény ferde aszimptotája. 6. szélsőértékek: Az első derivált ) 5 f ) e ) 5 ) 5 5 e 5 5 + 5 e.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 5 f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 5 5+ 0, tehát az f függvény stacionárius pontjai 5 5 és 5 + 5. 0 0 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 5 5 + > 0, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 5 5 + < 0. Az f függvény eszerint szigorúan monoton növekvő a, 0) 0, ), ) intervallumon és szigorúan monoton csökkenő az, ) intervallumon. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja 5 f ) ) e + 5 + 5 ) ) e ) e 5 4 e. f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 0, azaz 4 pont. a lehetséges infleiós 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, azaz ha >, valamint f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0, azaz ha < ). Az f függvény tehát konve a, intervallumon és konkáv a, ) intervallu- mon. 4 -ban az f második deriváltfüggvény előjelet vált, így ez a pont az f ) függvény infleiós pontja és f inf e. 0. A függvény grafikonja: y y 5 y 5 y 5 0

6 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 9. f) ln + Megoldás.. értelmezési tartomány: A logaritmus függvény csak pozitív értékekre értelmezett, tehát + > 0 kell teljesüljön. D f, ), ), ) + + + + + + + A mellékelt táblázatból leolvasható, hogy a megoldáshalmaz < és >. Ez azt jelenti, hogy D f, ), ).. paritás: A függvény páratlan, mert f ) ln + ln ) + + ln ln + f).. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha +, azaz 0. A kapott egyenletnek nincs megoldása, így a függvénynek nincs nullahelye. 4. előjel: f) > 0 ha + >, azaz + > 0, illetve f) < 0 ha <, azaz < 0. A függvény előjele tehát előjelétől függ, így az f függvény akkor pozitív, ha > és akkor negatív, ha <. 5. aszimptoták a) függőleges aszimptota: balról nézve, pedig jobbról nézve függőleges aszimptotája a függvénynek, mert és lim f) lim ln + 0 0 ln 0 + 0 ln 0 0 ln 0 + 0 lim f) lim ln + +0 +0 ln + 0 + + 0 ln + 0 +0 +. b) vízszintes aszimptota: y 0 vízszintes aszimptota, mert lim f) lim ln + ± ± + ln lim ± c) ferde aszimptota: Nincs, mert van vízszintes aszimptota. 6. szélsőértékek: Az első derivált ln 0. f ) ) + ) + ) 0. Az f függvénynek nincs nullahelye, így az f függvénynek nincs stacionárius pontja.

4.. A differenciálszámítás alkalmazása 7 7. monotonitás: f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0. Mivel ez a tulajdonság a teljes értelmezési tartományon teljesül, így az f függvény mindehol szigorúan monoton csökkenő. 8. infleiós pontok: A második derivált f ) ) ) 4 ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha 4 0, azaz 0, de ez a pont nincs benne az f függvény értelmezési tartományában, tehát a függvénynek nincs infleiós pontja. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha 4 > 0, illetve f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha 4 < 0. Ez azt jelenti, hogy az f függvény pozitív > 0 esetén, és negatív < 0 esetén, vagyis az f függvény konve az, ) intervallumon és konkáv a, ) intervallumon. 0. A függvény grafikonja: y y 0 y ln 0. f) ln ln ) Megoldás.. értelmezési tartomány: A logaritmus függvény csak pozitív értékekre értelmezett, tehát D f 0, ).. paritás: A függvény se nem páros se nem páratlan, mert a függvény értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra.. nullahely: f) 0 akkor és csakis akkor, ha ln 0, azaz az egyetlen nullahely, hiszen 0 lenne a másik, de az nem eleme az értelmezési tartománynak. 4. előjel: f) > 0 akkor és csakis akkor, ha ln ) > 0, ez pedig teljesül az értelmezési tartomány minden pontjára. 5. aszimptoták: A függvénynek se függőleges, se vízszintes, se ferde aszimptotája nincs, viszont lim f) lim ln ) + lim f) 0+0 lim ln 0+0 ) ln ) lim 0+0 lim 0+0 ln

8 4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA ln lim 0+0 lim 0+0 lim +0. 0+0 6. szélsőértékek: Az első derivált f ) ln ) + ln ln ln + ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ln ln + ) 0. A kapott egyenlet megoldásai és e a lehetséges stacionárius pontok. 7. monotonitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha ln ln + ) > 0, ugyanakkor f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha ln ln + ) < 0. D f 0, e ) e, ), ) ln + ln + + + f ) + + f) A mellékelt táblázatból leolvashatjuk a következőket: a függvény szigorúan monoton növekvő a 0, e ), ) intervallumon és szigorúan monoton csökkenő az e, ) intervallumon. A táblázatból láthatjuk azt is, hogy a monotonitás alapján az f függvénynek - ben minimuma van, e -ban pedig maimuma van. Számítással kapjuk, hogy f min ) 0 és f ma e ) 4e. 8. infleiós pontok: Az f függvény második deriváltja f ) ln + ln + ). f ) 0 akkor és csakis akkor, ha ln + 0, azaz e a lehetséges infleiós pont. 9. konveitás: f ) > 0 akkor és csakis akkor, ha ln + > 0, illetve f ) < 0 akkor és csakis akkor, ha ln + < 0. Eszerint az f függvény konve az e, ) intervallumon, az f függvény pedig konkáv a, e ) intervallumon. Eszerint e a függvény infleiós pontja és f inf e ) e. 0. A függvény grafikonja: y y ln 4

9 5. Egyváltozós valós függvények integrálszámítása 5.. A határozatlan integrál fogalma Az eddigiekben megismertük a differenciálás műveletét, melynek alapfeladata: adott f függvényhez megkeresni az f derivált függvényt. Természetesnek tűnik a fordított probléma tanulmányozása is: keressük azt az F függvényt, melynek ismert az F derivált függvénye. 5.. Példa. Ha tudjuk, hogy F ) érvényes, akkor F ) a keresett függvény, azaz amelyre ) teljesül, hogy. Viszont F nem az egyetlen ilyen függvény. Például, az y y F ) + és F ) függvények ugyanúgy teljesítik a kívánt tulajdonságot, vagyis + ) és ). A következő ábrán néhány olyan függvény grafikonja látható, amelyeknek f) a deriváltfüggvénye. Figyeljük meg az adott függvénygörbék kölcsönös helyzetét. y y 5.. Definíció. Ha az F függvény differenciálható az [a, b] intervallumon és minden [a, b] esetén F ) f), akkor az F függvényt az f függvény primitív függvényének nevezzük az [a, b] intervallumon. A fenti példából látható, hogy adott intervallum felett az f függvény primitív függvénye, ha létezik, nem egyértelműen meghatározott. A következő állítás választ ad arra a kérdésre, hogy egy függvénynek hány primitív függvénye lehet és hogy a adott függvény primitív függvényeinek grafikonjai milyen kölcsönös helyzetben vannak egymással.

40 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 5.. Tétel. Ha az F és F függvények az f függvény primitív függvényei az [a, b] intervallumon, akkor van olyan C valós állandó, hogy minden [a, b] esetén F ) F ) C. Bizonyítás. Mivel az F és F függvények az f függvény primitív függvényei az [a, b] intervallumon, ezért évényes, hogy F ) f) és F ) f) minden [a, b] esetén. Kivonva a második egyenlőséget az elsőből adódik, hogy F ) F ) f) f) 0, azaz, hogy F ) F )) 0 minden [a, b] esetén. Ebből az következik, hogy F ) F ) C minden [a, b] esetén, ami azt jelenti, hogy adott f függvény primitív függvényei legfeljebb egy állandóban különböznek egymástól. 5.. Példa. Az f) sin függvény minden primitív függvénye F ) cos + C alakban írható fel, ahol C tetszőleges konstans. Az ábrán a C, C 0, C, C és C eset látható. y y cos y cos y cos y cos y cos Π Π Π Π A fentiekben említett tulajdonságok geometriai jelentése a következő:. Ha síkbeli koordinátarendszerben felrajzoljuk az f függvény egy primitív függvényének grafikonját az [a, b] intervallumon, akkor a sík minden olyan görbéje, amely ebből a görbéből y-tengely menti párhuzamos eltolással átvihető, szintén az f függvény egy primitív függvényének grafikonját képezi az [a, b] intervallumon.. Az f függvény összes primitív függvényének grafikonjai az [a, b] intervallumon a fent leírt módon állíthatóak elő. 5.. Definíció. Legyen f olyan függvény, amelynek van primitív függvénye az [a, b] intervallumon. Az f függvény [a, b] intervallumhoz tartozó primitív függvényeinek halmazát az f függvény határozatlan integráljának nevezzük és f)d szimbólummal jelöljük.

5.. A határozatlan integrál alaptulajdonságai 4 Ha F az f függvény egy primitív függvénye az [a, b] intervallumon, akkor az [a, b] felett f)d {F ) + C C R}. Az egyszerűség kedvéért, ezt úgy szokás írni mint f)d F ) + C, de figyelembe kell venni, hogy ilyen jelölési mód esetén ugyanolyan szimbólumot használunk a halmaz és a halmaz egy eleme esetén is. Az szimbólum az integrál jele, f) az integrálandó függvény vagy integrandus, az f)d kifejezés pedig az integrál alatti kifejezés. Figyelembe véve, hogy F az f függvény primitív függvénye az [a, b] intervallumon, ami azt jelenti, hogy minden [a, b] esetén F ) f), láthatjuk, hogy az f)d integrál alatti kifejezés az F függvény differenciálját jelenti, és érvényes, hogy f)d df ) F ) + C. 5.) Mivel adódik, hogy df ) + C) df ) F )d f)d, d f) f)d. 5.) A 5.) és 5.) egyenlőségek azt mutatják, hogy a differenciálás művelete a differenciál keresése) és az integrálás művelete a határozatlan integrál keresése) egymás inverzei, egy tetszőleges konstans pontosságáig. 5.. A határozatlan integrál alaptulajdonságai 5.. Tétel. Ha az f és g függvényeknek van primitív függvénye az [a, b] intervallumon, akkor az f + g függvénynek is van primitív függvénye az [a, b] intervallumon, mégpedig f) + g))d f)d + g)d. Bizonyítás. Legyen F az f, G pedig a g függvény primitív függvénye az [a, b] intervallumon. Ekkor F ) f), G ) g), amiből adódik, hogy F ) + G)) F ) + G ) f) + g). Ezt azt jelenti, hogy F ) + G) az f) + g) függvény primitív függvénye. Ezért f) + g))d F ) + G) + C, ahol C tetszőleges valós állandó. Másfelől f)d F ) + C, g)d G) + C,

4 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ahol C és C tetszőleges valós állandók, vagyis f)d + g)d F ) + G) + C + C. Mivel C, C és C tetszőleges valós állandók, az {F ) + G) + C C R} és {F ) + G) + C + C C, C R} függvényhalmazok egyenlőek. Az állítást ezzel beláttuk. 5.. Tétel. Ha az f függvénynek van primitív függvénye az [a, b] intervallumon és α R, akkor az αf függvénynek is van primitív függvénye az adott intervallumon, mégpedig αf))d α f)d. Bizonyítás. Legyen F az f függvény primitív függvénye az [a, b] intervallumon. Ekkor minden [a, b] esetén teljesül, hogy F ) f), vagyis αf )) αf ) αf). Ezért αf))d αf ) + C, ahol C tetszőleges valós állandó. Másfelől f)d F ) + C, ahol C tetszőleges valós állandó, azaz α f)d αf ) + C ) αf ) + αc. Az {αf ) + C C R} és {αf ) + αc C R} függvényhalmazok egyenlőek. Az állítást ezzel beláttuk. 5.. Következmény. Ha az f és g függvényeknek van primitív függvényük az [a, b] intervallumon, α és β pedig nullától különböző valós számok, akkor az αf +βg függvénynek is van primitív függvénye [a, b] intervallumon, mégpedig αf) + βg))d α f)d + β g)d.

5.. A határozatlan integrál alaptulajdonságai 4 Alapintegrálok táblázata. d + C. n d n+ n + + C, n R \ { } d. ln + C, 0 4. e d e + C 5. 6. 7. 8. 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. a d a + C, a > 0, a ln a sin d cos + C cos d sin + C sh d ch + C ch d sh + C d d tg + C, cos d sin d ctg + C, d d th + C ch d d cth + C, 0 sh π + kπ, k Z kπ, k Z d d arcsin + C, < d d arctg + C + d + d ln + + + C arsh + C { d arch + C ln + d ) + C, > ; ln + + C, <. d d arth + C ln ln + + + C, < ; + C, >.

44 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA A határozatlan integrálok megoldása során minden esetben feltételezzük, hogy az integrálás folyamatában megjelenő függvények értelmezési tartományán keressük a primitív függvényt. FELADATOK. Határozzuk meg a következő integrálok megoldását.. 5 d Megoldás. d. Megoldás.. 4. d 5 Megoldás. d d 5 5 d d d 5 d 6 6 + C 6 + C. ln + C. 5 d 4 4 + C 4 + C. 5. Megoldás. 4d 7 d d 5 5 + C 5 5 + C. Megoldás. 4d 7 4 4 7 4 7 + C 4 7 4 7 4 + C 7 7 4 + C. 6. d Megoldás. d 9 6 d 5 6 5 6 d + C 6 5 6 d 6 5 + C 6 5 4 6 + C.

5.. A határozatlan integrál alaptulajdonságai 45 7. sin cos ) d Megoldás. sin cos ) d sin d cos d cos ) sin + C cos sin + C. 8. e + + ) d Megoldás. e + + ) d e d d + 9 d e ln + 9 ln + C e + ln + ln + C. 9. + d Megoldás. + d + ) d + ln + C 6 + ln + + C. 0. ) + ) d Megoldás. ) ) + ) + d d d ) 7 6 6 d 6 6 7 6 6 7 + C 6 6 6 7 6 + C.. 5 4 5 d Megoldás. 5 4 d 4 5 ) ) d 5 d 4 ) d 5 4 5 ) ln 5 + C 4 ln ln 5) 5 + C.

46 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA. + d Megoldás. + d + ) d ) d arctg + C. + + +. + ) d Megoldás. + + + ) d ) + + ) d d + 4. 5. tg d Megoldás. + ) d + d + + arctg + C arctg + C. sin tg cos d cos d cos d cos d d tg + C. d sin cos d Megoldás. d sin sin cos + cos sin cos d 6. + cos + cos d Megoldás. + cos + cos d 7. cos cos sin d Megoldás. cos d cos + d cos + d sin tg ctg + C. + cos sin + cos + cos sin d + cos cos d tg + + C tg + ) + C. cos cos sin d sin cos + sin )cos sin ) cos sin d d cos sin cos + sin )d cos d + sin d sin cos + C.

5.. A határozatlan integrál alaptulajdonságai 47 8. a e a ) d Megoldás. a e a ) d a e ) d ae) d d 9. sh d ae) ln ae + C a e + C. + ln a Megoldás. e e sh d d e d e ) d 0. 4 + + d Megoldás. 4 + + d 8. cos 4 d Megoldás. e e ) ln e + C e + e + C ch + C. 4 + + ) d + ) d + ) + + ) d ) + + arctg + C. 8 cos 4 d 8 sin sin d 4 + cos sin cos ) d sin + cos sin cos d cos + ) sin d tg ctg + C.. sin + cos ) d Megoldás. sin + cos ) d sin + sin cos + ) cos d + sin ) d cos + C.

48 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA sin. cos cos 4 d Megoldás. sin sin cos cos 4 d + cos sin cos sin d cos cos ) cos sin d d sin d ctg tg + C. cos 4. d 5. Megoldás. e +5 d d 8 d ) d 8 8) ln 8 + C ln ln 8 + C. 6. Megoldás. 4 4 d e +5 d e 5 e ) d e5 e ) ln e + C e+5 + C. Megoldás. d 4 4 d arcsin + C. 7. 9 + 9 ) d Megoldás. 9 ) + 9 d d 9 + 9 d + arsh + C ln + + + C. 8. d Megoldás. d ) d d d arcsin + C arcsin + + C.

5.. Integrálási módszerek 49 9. 5 + 5 + ) d Megoldás. 5 + 5 + ) d 5 d d + 5 d d + 5 arctg + C 5 arctg + C. 4 0. + d Megoldás. 4 4 + d + ) ) + ) d d + + + + ) d d + ) d + arctg + C. + 5.. Integrálási módszerek 5... Helyettesítési módszer Helyettesítési módszernek nevezzük azt az integrálási módszert, amelyet az összetett függvény differenciálásából vezetünk le. 5.4. Tétel. Ha az f függvénynek van F primitív függvénye az [a, b] intervallumon és φ : [α, β] [a, b] folytonosan differenciálható függvény az [α, β] intervallumon, azaz φt), t [α, β], akkor az fφt))φ t) függvénynek van F φt)) primitív függvénye az [α, β] intervallumon, ezért [α, β]-n fφt))φ t)dt F φt)) + C. Bizonyítás. Az F φt)) összetett függvény differenciálható és igaz, hogy F φt))) F φt))φ t). Mivel F az f függvény primitív függvénye az [a, b] intervallumon, ezért t [α, β] esetén φt) [a, b], azaz F φt)) fφt)) az [α, β] intervallumon, ahonnan az állítás következik.

50 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA FELADATOK. Oldjuk meg helyettesítéssel a következő határozatlan integrálokat.. a + b) n d, n R \ { }, a R \ {0}, b R.. 4. Megoldás. Bevezetve az a + b t, ad dt, d dt helyettesítést adódik, hogy a a + b) n d t n dt t n+ a + b)n+ + C + C. a a n + an + ) d + 4 Megoldás. Alkalmazva a +4 t, d dt, d dt helyettesítést kapjuk, hogy d + 4 dt t ln t + C ln + 4 + C. d + 9 Megoldás. Kiemelve 9-et a nevezőből és rendezve az integrandust jön, hogy d + 9 d 9 + d 9. 9 ) + Vezessük be most az t, d dt helyettesítést. Ekkor d + 9 dt 9 t + arctg t + C arctg + C. d 4 Megoldás. Kiemelve -t a nevezőből és rendezve az integrandust következik: d d 4 4 ) d 4 ). Vezessük be most az t, d dt helyettesítést. Ekkor d dt 4 arcsin t + C arcsin t + C. 5. e +5 d Megoldás. Bevezetve a + 5 t, d dt, d dt helyettesítést adódik: e +5 d e t dt et + C e+5 + C.

5.. Integrálási módszerek 5 6. 5 sin5 + )d 7. 8. 9. 0. Megoldás. Bevezetve a 5 + t, 5d dt, d dt helyettesítést kapjuk: 5 5 sin5 + )d 5 sin tdt cos t + C cos5 + ) + C. 5 d cos ) π Megoldás. Bevezetve a π t, d dt helyettesítést az integrál megoldása: d cos dt ) π cos t tg t + C tg π ) + C. a p+q d, a R +, p R \ {0}, q R Megoldás. Vezessük be a p + q t, pd dt, d dt helyettesítést. Ekkor p a p+q d a t dt p p a t ln a + C ap+q p ln a + C. d + + 5 Megoldás. Egészítsük ki teljes négyzetté a nevezőben levő másodfokú kifejezést. Ekkor d + + 5 d + + ) + 4 d + ) + 4. Kiemelve 4-et a nevezőből kapjuk, hogy d + + 5 4 Bevezetve a + d + d ). + t, d dt, d dt helyettesítést adódik, hogy d + + 5 4 dt t + arctg t + C arctg + + C. Megoldás. Bevezetve a t, d dt, d dt helyettesítést adódik, hogy d dt t dt t t + C t + C ) + C.

5 5.. d + EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Megoldás. Bevezetve a + t, d dt helyettesítést következik: d dt + t ln t + C ln + ) + C.. + d Megoldás. Bevezetve a + t, d dt, d dt helyettesítést adódik: + d tdt t dt t + C 9 t + C 9 t t + C 9 + ) + + C.. 4 4 d Megoldás. Alkalmazzuk az 4 t, 4)d dt helyettesítést. Ekkor 4 dt 4 d t ln t + C ln 4 + C. 4. 9t + t + 5 t + t + 5t + dt Megoldás. Emeljünk ki -at a számlálóból az integrál elé. Ekkor 9t + t + 5 t + t + 5t + dt t + 4t + 5 t + t + 5t + dt. Bevezetve a t + t + 5t + z, t + 4t + 5)dt dz helyettesítést következik, hogy 9t + t + 5 dz t + t + 5t + dt z ln z + C ln t + t + 5t + + C. 5. d ln Megoldás. Bevezetve a ln t, d dt helyettesítést adódik, hogy d dt ln t ln t + C ln ln + C.

5.. Integrálási módszerek 5 6. e 4 d 7. 8. Megoldás. Bevezetve a 4 t, 4 d dt, d dt helyettesítést jön, 4 hogy e 4 d e t dt 4 4 et + C 4 e 4 + C + C. 4e 4 sin d cos Megoldás. Bevezetve a cos t, sin d dt, sin d dt helyettesítést adódik: sin d cos dt t ln t + C ln cos + C. tg d Megoldás. Alkalmazzuk a tg α sin α trigonometriai azonosságot. Ekkor cos α sin tg d cos d. Bevezetve a cos t, sin d dt, sin d dt helyettesítést adódik, hogy tg d dt t ln t + C ln cos + C. sin 9. π + sin d Megoldás. Bevezetve a π + sin t, sin cos d dt, sin d dt 0. helyettesítést következik, hogy sin dt π + sin d t ln t + C lnπ + sin ) + C. sin d sin )d Megoldás. Alkalmazzuk a sin α trigonometriai azonosságot és rendezzük az integrandust. Ekkor sin d sin )d cos α sin d cos )d sin d cos d.

54 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Bevezetve a cos t, sin d dt helyettesítést adódik, hogy sin d dt sin )d ln t + C ln cos + C ln + cos + C. t. sin cos sin + cos d Megoldás. Bővítsük az integrandust sin + cos -el, majd rendezzük. Ekkor sin cos sin cos sin + cos d sin + cos sin + cos sin + cos d sin cos sin + cos ) d cos sin ) sin + sin cos + cos d cos + sin d. Alkalmazva a + sin t, cos d dt, cos d dt helyettesítést adódik, hogy sin cos sin + cos d sin cos. sin + cos d Megoldás. Bevezetve a. dt t ln t + C ln + sin + C. sin + cos t, sin cos d dt, sin cos d dt helyettesítést az integrál megoldása: sin cos sin + cos d ln t + C ln sin + cos ) + C. d sin Megoldás. Alkalmazzuk először a nevezőben a sin α sin α cos α azonosságot. Ekkor Bevezetve az d sin d sin cos. t, d dt helyettesítést adódik, hogy d sin dt sin t cos t dt sin t cos t. Egyszerűsítsük most az integrandust cos t-vel. Ekkor d sin dt cos t sin t cos t cos t dt cos t sin t cos t dt cos t tg t. dt Bevezetve most a tg t z, dz helyettesítés kapjuk, hogy cos t d dz tg sin z ln z + C ln tg t + C ln + C.

5.. Integrálási módszerek 55 4. d ) arcsin Megoldás. Bevezetve a arcsin t, d ) arcsin d d arcsin dt helyettesítést adódik, hogy dt t t+c arcsin +C. 5. d Megoldás. Alakítsuk át először az integrandust: d d d + + ) d ). Bevezetve az t, d dt helyettesítést adódik, hogy d dt arcsin t + C arcsin ) + C. t 6. sin 4 sin d Megoldás. Felhasználva a sin α sin α cos α trigonometriai azonosságot és bevezetve a t sin, dt cos d helyettesítést következik, hogy sin 4 sin d sin 5 cos d t 5 dt t6 6 + C sin6 + C. 7. ln tg sin d Megoldás. Bevezetve az ln tg t, d d dt, tg cos sin dt helyettesítést az integrál a következőképpen oldható meg: ln tg sin d tdt t + C t ln tg ) + C 4 4 + C. 8. ln ln d Megoldás. Bevezetve az ln t, d dt helyettesítést adódik: ln ln d t tdt t dt t5 + C 5 5 t t + C 5 ln ln + C.

56 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 9. + d Megoldás. Alakítsuk át az integrandust: + d + ) d d d d d. Bevezetve a második integrálban az t, d dt, d dt helyettesítést következik: + d arcsin + t+c arcsin + t+c arcsin + +C. 0. d Megoldás. Bevezetve az t arcsin, sin t, d cos tdt helyettesítést kapjuk, hogy cos d sin t cos tdt t cos tdt + cos t cos tdt dt dt + cos tdt. Alkalmazzuk a második integrálban most a t z, dt dz helyettesítést. Ekkor d t + cos zdz t 4 + 4 sin z + C t + sin t + C. 4 Mivel sin t sin t cos t sin t sin t, a megoldás visszahelyettesítés után d t + sin t sin t + C arcsin + ) + C. 5... Parciális integrálás módszere A parciális integrálás módszere két függvény szorzatának differenciálási szabályából vezethető le. 5.5. Tétel. Ha u és v folytonosan differenciálható függvények az [a, b] intervallumon, akkor az [a, b] intervallumon érvényes, hogy u)dv) u)v) v)du).

5.. Integrálási módszerek 57 Bizonyítás. Az [a, b] intervallumon értelmezett u és v függvények szorzatának deriváltját az u)v)) u )v) + u)v ) formula adja, a szorzat differenciálját pedig du)v)) v)du) + u)dv). Ha az u és v függvények folytonosan differenciálhatók, akkor igaz, hogy u)v) + C v)du) + u)dv). Ebből, figyelembe véve, hogy a határozatlan integrál két tetszőleges konstanst is tartalmaz, a C konstanst kihagyhatjuk, s az [a, b] intervallumra igaz lesz, hogy u)dv) u)v) v)du), ahonnan az állítás következik. Ily módon az u)v ) függvény primitív függvényének megtalálása visszavezetődik egy részleges integrálásra és a v)u ) függvény primitív függvényének meghatározására. A fenti tétel alapján végzett integrálási módszert nevezzük parciális integrálásnak. Az egyszerűség kedvéért a parciális integrálás alkalmazásánál a formulából szokás kihagyni az argumentumot. A formula ekkor: udv uv vdu. FELADATOK Határozzuk meg a parciális integrálás módszerével az alábbi határozatlan integrálok megoldását.. e d Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u, dv e d, akkor du d, v e d e.. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást adódik: e d e e e e + C e ) + C. sin d Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u, dv sin d, akkor du d, v sin d cos. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást kapjuk, hogy sin d cos cos )d cos + cos d cos +sin +C.

58 5.. + ) cos d Megoldás. Ha EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA u +, dv cos d, akkor du d, v sin, ahol v kiszámításánál a t, d dt, d dt helyettesítést és az alábbi számítást alkalmazzuk: v cos d cos tdt sin t + C sin + C. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást következik, hogy +) cos d + + sin sin d sin sin d. 4. Alkalmazva a kapott integrálban a t, d dt, d dt helyettesítést adódik: + ) cos d + sin sin tdt 4 sh d + sin + cos t) + C sin + cos + C. 4 4 Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u, dv sh d, akkor du d, v sh d ch. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást jön, hogy sh d ch ch d ch ch d ch sh + C. 5. sin d Megoldás. Alkalmazzuk a sin α sin d Ha most a második integrálban cos α cos d trigonometriai azonosságot. Ekkor d cos d. u, dv cos d, akkor du d, v sin,

5.. Integrálási módszerek 59 6. akkor behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást adódik: sin d sin ) sin d ln d 4 4 sin 4 cos + C 4 4 sin cos + C. 8 Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u ln, dv d, akkor du d, v. 7. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást következik, hogy ln d ln d ln d ln + C ln ) + C. arctg d 8. Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u arctg, dv d, akkor du d +, v. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást kapjuk, hogy arctg d arctg + d. Bevezetve a kapott integrálban az + t, d dt, d dt helyettesítést kapjuk a megoldást: arctg d arctg dt t arctg ln t +C arctg ln+ )+C. arcsin d Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u arcsin, dv d, akkor du d 9, v. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást következik, hogy arcsin d arcsin d. 9

60 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Bevezetve a kapott integrálban az 9 t, 9 t, 8d tdt, d tdt helyettesítést adódik, hogy 9 arcsin d arcsin + tdt arcsin + dt + C 9 t 9. ln d arcsin + t + C arcsin + 9 + C. 0.. Megoldás. Alkalmazzuk az integrálás során a parciális integrálás módszerét. Ha u ln, dv d, akkor du d, v d. Helyettesítsünk be a parciális integrálás képletébe és végezzük el az integrálást. Ekkor ln d ln d ln d ln 4 + C. ln d Megoldás. Alkalmazzuk az integrálás során a parciális integrálás módszerét. Ha u ln, dv d, akkor du d, v d 4 4. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást kapjuk, hogy ln d 4 4 4 ln 4 d 4 4 ln d 4 4 4 ln 6 4 + C. ln + ) d Megoldás. Alkalmazzuk az integrálás során a parciális integrálás módszerét. Ha u ln + ), dv d, akkor du d, v. + Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást következik, hogy ln + ) d ln + ) + d ln + ) + d ln + ) + ln + ) d ln + ) + d + + ) d + d ln + ) + arctg + C.

5.. Integrálási módszerek 6. arctg d Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha. u arctg, dv d, akkor du d +, v. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást jön, hogy arctg d arctg d + arctg + d + arctg ) d + arctg + arctg + C. arcsin d Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u arcsin, dv d, akkor du d, v. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást adódik, hogy arcsin d arcsin d arcsin + d arcsin + ) d. A helyettesítési módszerrel megoldott feladatsor 0. feladata alapján d arcsin +, ezért következik, hogy arcsin d arcsin + 4 arcsin + 4 arcsin + C 4. sin cos d arcsin 4 arcsin + 4 + C. sin α Megoldás. Alkalmazva a sin α cos α trigonometriai azonosságot kapjuk, hogy sin cos d sin d. Ha u, dv sin d, akkor du d, v cos,

6 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA akkor behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást adódik: sin cos d cos ) ) cos d 5. 4 cos + sin + C. 8 cos sin d Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u, dv cos sin d, akkor du d, v sin, ahol v kiszámítása a sin t, cos d dt helyettesítés bevezetésével történt: cos dt v dv sin d t t + C sin. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást kapjuk a megoldást: cos sin d sin + sin d. Felhasználva a helyettesítési módszerrel megoldott feladatsor. feladatának eredményét, miszerint tg sin d ln + C, kapjuk, hogy cos sin d tg sin + ln + C. ln 6. d Megoldás. Alkalmazzuk az integrálás során a parciális integrálás módszerét. Ha u ln, dv d, akkor du d, v d. 7. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást következik, hogy ln d d ln d ln ln d ln 4 + C ln ) + C. Megoldás. Alkalmazzuk az integrálás során a parciális integrálás módszerét. Ha u ln, dv d, akkor du ln d, v.

5.. Integrálási módszerek 6 Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást adódik: ln d ln ln d ln ln d. Felhasználva a parciális integrálás módszerévell megoldott feladatsor 9. feladatának eredményét, miszerint ln d ln 4 + C, 8. kapjuk, hogy e cos d ln d ln ln + 4 + C. Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u cos, dv e d, akkor du sin d, v e. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe következik, hogy I e cos d e cos + e sin d. Alkalmazzuk most újra a kapott integrálban a parciális integrálás módszerét. Ha u sin, dv e d, akkor du cos d, v e. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe most azt kapjuk, hogy I e cos + e sin e cos d e cos + e sin I, azaz ugyanazt az integrált kaptuk, amelyből kiindultunk. Ekkor I e cos + e sin, 9. ahonnan sin + )d I e cos + sin ) + C. Megoldás. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Ha u, dv sin + )d, akkor du ln d, v cos + ). Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe adódik, hogy I sin + )d cos + ) + ln cos + )d.

64 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Alkalmazzuk most újra a kapott integrálban a parciális integrálás módszerét. Ha u, dv cos + )d, akkor du ln d, v sin + ). Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe most azt kapjuk, hogy I cos+)+ ln ) ln sin + ) sin + )d cos + ) + ln sin + ) 4 ln I, 9 9 azaz ugyanazt az integrált kaptuk, amelyből kiindultunk. Ekkor + 4 ) ln I 9 cos + ) + ln sin + ), 9 ahonnan I 0. ln + ) arctg + ) ln + ) d 9 ln 9 + 4 ln sin + ) ) 9 cos + ) + C 9 + 4 ln ln sin + ) cos + )) + C. Megoldás. Rendezzük az integrandust az alábbi módon: ln + ) arctg I + ) ln + ) d ln + ) ) arctg + ) ln + ) d. Alkalmazzuk az integrálás során a parciális integrálás módszerét. Ha akkor u ln + ) arctg, dv du ln + ) d, ahol v kiszámítása a ln + ) t, v dv d + + ) ln + ) d + ) ln + ) d, v ln + ), dt helyettesítéssel történt: dt t t + C ln + ) + C. Behelyettesítve a parciális integrálás képletébe és elvégezve az integrálást adódik, hogy I ln + ) ) ) arctg ln + ) ) ln + ) ln + ) ) d + arctg ln + ) d + arctg ln + ) + + C arctg ln + ) + C.

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 65 5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 5.4.. Racionális függvények integrálása 5.. Definíció. Racionális törtfüggvénynek vagy röviden racionális törtnek nevezzük két polinom, például P ) és Q), f) P ) hányadosát, ahol a Q) osztópolinom nem Q) a nullapolinom. Racionális törtfüggvényekkel ugyanolyan szabályok szerint végzünk műveleteket, mint a racionális számokkal. A racionális törtek egyenlőségét ugyanúgy értelmezzük, mint a törtek egyenlőségét az elemi aritmetikában. A továbbiakban csak valós együtthatós racionális törtekkel fogunk foglalkozni. 5.4. Definíció. Rövidíthetetlennek nevezünk egy racionális törtet, ha számlálója relatív prím a nevezőjéhez. 5.6. Tétel. Minden racionális tört egyenlő egy rövidíthetetlen törttel, mely a számláló és nevező nulladfokú közös tényezőitől eltekintve, egyértelműen meghatározott. Bizonyítás. Bármely racionális törtet egyszerűsíthetjük számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztójával, miáltal egy az eredetivel egyenlő rövidíthetetlen törtet kapunk. Ha továbbá a P ) φ) és a rövidíthetetlen törtek egyenlők egymással, azaz Q) ψ) P )ψ) Q)φ), akkor P ) és Q) relatív prím voltából következik, hogy φ) osztható a P ) polinommal, φ) és ψ) relatív prím voltából pedig következik, hogy P ) osztható φ)-szel. Eszerint P ) Cφ), akkor viszont Q) Cψ) is következik. 5.5. Definíció. Nevezzünk egy racionális törtet szabályosnak vagy valódinak, ha számlálójának fokszáma alacsonyabb, mint a nevezőjéé. Ha megegyezés szerint a szabályos törtek közé számítjuk a nullapolinomot is, akkor érvényes a következő állítás: 5.7. Tétel. Minden racionális tört egyértelműen előállítható egy polinom és egy szabályos tört összegeként. Bizonyítás. Ha adott a P ) Q) racionális tört, s ha a számlálót a nevezővel osztva az P ) Q)S) + R) egyenlőséget nyerjük, ahol R) fokszáma kisebb, mint Q)-é, akkor könnyű belátni, hogy Ha továbbá fennáll az P ) Q) S) + R) Q). P ) Q) S) + φ) ψ)

66 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA egyenlőség, ahol φ) fokszáma kisebb ψ) fokszámánál, akkor a két egyenlet kivonásával kapjuk, hogy S) + R) Q) S) φ) ψ) 0, ahonnan ebből pedig S) S) φ) ψ) R) Q), S) S) φ)q) ψ)r). ψ)q) Minthogy most a bal oldalon polinom áll, a jobb oldalon pedig szabályos tört, amiről könnyű meggyőződni, azért szükségképpen S) S) és φ) ψ) R) Q) 0. A szabályos racionális törteket további vizsgálatnak vethetjük alá. Először is emlékeztetünk arra, hogy az irreducibilis valós polinomok a alakú lineáris polinomok lehetnek, ahol a valós szám, illetve p + q alakú másodfokú polinomok, ahol p, q R és p 4q < 0. Az irreducibilis valós másodfokú polinomoknak nincsenek valós gyökei. 5.6. Definíció. A P ) szabályos racionális törtet elemi törtnek nevezzük, ha nevezője, Q) Q) valamely irreducibilis p) polinom hatványa, Q) p k ) k ), a számláló P ) pedig alacsonyabb fokú, mint p). 5.. Példa. Néhány elemi tört:, + ), π +, Érvényes a következő állítás, amit bizonyítás nélkül fogunk megadni: 5 + +, + ). 5.8. Tétel. Minden szabályos racionális tört egyértelműen felbontható elemi törtek összegére. FELADATOK Oldjuk meg a következő racionális integrálokat.. 4 d Megoldás. Az integrandus racionális törtfüggvény, bontsuk tehát elemi törtek összegére. Mivel 4 4), ezért 4 A + B 4

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 67 alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel. Ekkor A 4) + B. 0 esetén a fenti egyenlőségből 4A adódik, 4 esetén pedig 4B, amelyből a megoldások A 4 és B, az integrandus pedig felírható mint 4. 4 4 + 4 4 4 + 4 4, az integrálási feladat pedig a következő módon oldható meg: 4 d 4 + ) 4 d 4 4 d + 4 4 d 4 ln + 4 ln 4 + C 4 ln 4 + C. d Megoldás. Mivel az integrandus racionális törtfüggvény és a nevezője felírható + ) ) alakban, ezért A + + B alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel és rendezzük a kifejezést. Ekkor A ) + B + ), illetve A + B) A + B. A megfelelő együtthatók kiegyenlítésével kapjuk az A + B, A + B 0 két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszert, amelynek megoldása A, B. Ekkor az integrálási feladat megoldása: d + + ) d + d + d ln + + ln + ln C ln C + ) ).. 7 + 4 d Megoldás. Mivel az integrandus racionális törtfüggvény és a nevezője felírható + 4 ) + ) alakban, ezért 7 + 4 A + B + + C + )

68 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel és rendezzük a kifejezést. Ekkor 7 A + ) + B ) + ) + C ). esetén a fenti egyenlőségből 9 9A, illetve A adódik, esetén 9 C, illetve C, 0 behelyettesítésével pedig 7 4 B, illetve B 0. Ekkor az integrálási feladat megoldása: I ) 7 + 4 d + d + ) + + ) d. Az t, d dt, illetve + z, d dz helyettesítések bevezetésével, majd az integrálás elvégzésével kapjuk, hogy 4. I dt dz t + z ln t + C ln z + + C. + + 5 5 d Megoldás. Mivel az integrandus racionális törtfüggvény és a nevezője felírható + 5 5 ) + 5) alakban, ezért + ) + 5) A + B + C + 5 alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel és rendezzük a kifejezést. Ekkor + A + 5) + B + C) ). esetén a fenti egyenlőségből 4 4A, illetve A adódik, 0 esetén 5 C, illetve C, behelyettesítésével pedig 4 B 4, illetve B 0 a megoldás. Ekkor az integrálási feladat megoldása: I + + 5 5 d + d + + 5 d. + 5 ) d Emeljünk ki 5-öt a második integrál nevezőjéből, majd vezessük be az t, d dt és s, d 5ds helyettesítéseket. Ekkor 5 dt I t + 5 5ds s + 5 ln t + 5 arctg s + C ln + 5 5 arctg 5 + C.

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 69 5. d Megoldás. Mivel az integrandus racionális törtfüggvény és a nevezője felírható ) + ) alakban, ezért ) + ) A + B + C + alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel és rendezzük a kifejezést. Ekkor A ) + ) + B + ) + C ) 0 esetén a fenti egyenlőségből A, illetve A adódik, esetén B, illetve B, behelyettesítésével pedig 4 C, illetve C a megoldás. Ekkor az integrálási feladat megoldása: I d + + ) d d + d d + ln ln ln + + ln C ln C. + 6. + + ) + ) d Megoldás. Mivel az integrandus racionális törtfüggvény, nevezője pedig irreducibilis másodfokú polinomok szorzata, ezért + + + ) + ) A + B + + + C + D + alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel és rendezzük a kifejezést. Ekkor + A + B) + ) + C + D) + + ). 0 esetén a fenti egyenlőségből B +D adódik, érték behelyettesítésével A+B)+C +D), behelyettesítésével 6 A+B) + C +D), behelyettesítésével pedig az 8 A + B) + C + D) 7 egyenletet kapjuk. A kapott négy egyenletből álló négyismeretlenes egyenletrendszer B + D, A + B + C + D, A + B C + D 6, 6A + B + 4C + 7D 8. Az első egyenletből D B, s ezt behelyettesítve a többi egyenletbe adódik a következő három lineáris egyenletből álló háromismeretlenes egyenletrendszer A B + C 8, A B C 4, A B + 7C 6,

70 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 7. amelynek megoldása A 0, B és C, valamint D. Ekkor az integrálási feladat megoldása: + I + + ) + ) d + + + + ) d + d + + + d. Az első integrál megoldásához átírjuk a nevezőt + + + ) [ + 4 + ) ] + 4 formába és bevezetjük a + s, d ds, d ds helyettesítést, a másik integrálban pedig az + t, )d dt helyettesítést vezetjük be. Ekkor I 4 d dt ) + t 4 ds ln t s + + + arctg s ln t + C arctg ln + ) + C. + 4 + + + + d Megoldás. Alakítsuk át a nevezőt szorzattá: Így az integrál megoldásához 4 + + + + 4 + + + + + + + ) + + + + + ) + ). + + ) + + ) A + B + + C + D + + alakban keressük az elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldali nevezővel és rendezzük a kifejezést. Ekkor + A + B) + + ) + C + D) + ). 0 esetén a fenti egyenlőségből B + D adódik, az érték behelyettesítésével A + B) + C + D), az érték behelyettesítésével A + B) + C + D), az érték behelyettesítésével pedig az 9 A + B) 7 + C + D) 5 egyenletet kapjuk. A kapott négy egyenletből álló négyismeretlenes egyenletrendszer B + D, A + B + C + D, A + B C + D, 4A + 7B + 0C + 5D 9.

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 7 8. Az első egyenletből D B, s ezt behelyettesítve a többi egyenletbe adódik a következő három lineáris egyenletből álló háromismeretlenes egyenletrendszer A + B + C, A B C, 7A + B + 5C 7, amelynek megoldása A, B 0 és C 0, valamint D. Ekkor az integrálási feladat megoldása: ) + I 4 + + + + d + + d + + d + + + d. Az első integrálban bevezetjük az + t, d dt, d dt helyettesítést, a második integrál megoldásához pedig átírjuk a nevezőt + + + ) + 4 4 formába és bevezetjük a + s, I dt t 4 d ds, d [ + ) + d ) + ln t 4 + ] ds helyettesítést. Ekkor ds s + ln + ) arctg s + C ln + ) + arctg + C. 4 0 + 7 + 4 + 5 + + d Megoldás. Először bontsuk elemi törtek összegére a P ) valós szabályos racionális Q) törtet, ahol P ) 4 0 + 7 + 4 + és Q) 5 + +. Könnyen ellenőrizhető, hogy Q) + ) ) + ), s emellett az +,, + polinomok mindegyike irreducibilis. A keresett felbontás szükségképpen P ) Q) A + + B ) + C + D + E + alakú, ahonnan az A, B, C, D és E paraméterek értékét kell meghatározni. Szorozva a fenti egyenlőség mindkét oldalát a Q) polinommal, következik a P ) A ) + ) + B + ) + ) + C + ) ) + ) + + D + ) ) + E + ) )

7 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA egyenlőség. Kiegyenlítve a kapott egyenlőség jobb és bal oldalán szereplő polinomok megfelelő együtthatóit, öt egyenletből álló, egyértelműen megoldható lineáris egyenletrendszert kapunk, A, B, C, D, E ismeretlenekkel. Az ismeretlenek meghatározására azonban más módszer is választható. Ha a kapott egyenlőségben az behelyettesítést elvégezzük, a 45A 5 egyenlőséget kapjuk, ahonnan A adódik. helyettesítéssel kapjuk, hogy 6B 6, azaz B. Ezután helyettesítsünk az egyenlőségbe 0-t, majd -et. Figyelembe véve A és B ismert értékeit, kapjuk a C + E 4C 4D + 4E 8 egyenletrendszert. Innen D. Végül helyettesítsünk -t a fenti egyenlőségbe, majd a már kiszámolt értékek felhasználásával együtt nyerjük a 0C + 4E 5 egyenletet, ami a fenti egyenletrendszerrel együtt vezet a C és E értékekhez. Így tehát A fenti levezetés alapján + d P ) Q) + + ) + +. I 4 0 + 7 + 4 + 5 + + d + + ) + ) d + + d + ) d + d + d. Az s + és t helyettesítés bevezetésével, ahol ds d és dt d, valamint a w + helyettesítés bevezetésével, ahol dw d, adódik I s ds + t dt t dt + w dw + d ln s t ln t + ln w arctg + C. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy I ln + ln + ln + ) arctg + C. 4 9. ) + ) d Megoldás. Az integrandus egy nem szabályos racionális törtfüggvény, ami azt jelenti, hogy fel kell írni egy polinom és egy szabályos racionális tört összegeként. A számlálót a nevezővel elosztva, rendezés után kapjuk, hogy 4 ) + ) 5 + 6 + + ) + ),

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 7 és így I + + + + 4 ) + ) d ) d 5 + 6 ) + ) 5 + 6 ) + ) d. A racionális törtfüggvény integrálásához a racionális törtfüggvényt fel kell bontani elemi törtek összegére. Konkrét esetben: Ebből következik, hogy 5 + 6 ) + ) I + + 6 6 +. ) d. + Az s és t + helyettesítés bevezetésével, ahol ds d és dt d, adódik, hogy I + + s ds 6 t dt + + ln s 6 Visszahelyettesítés után kapjuk a következő eredményt: I + + ln 6 + + ln t + C. ln + + C ln + C. + ) 6 4 + 7 + 4 + 5 0. d + 5 + 9 Megoldás. Az integrandus egy nem szabályos racionális törtfüggvény, ami azt jelenti, hogy fel kell írni egy polinom és egy szabályos racionális tört összegeként. A számlálót a nevezővel elosztva, rendezés után kapjuk, hogy 4 + 7 + 4 + 5 + 5 + 9 s így 4 + 7 + 4 + 5 I d + 5 + 9 + ) d + + + + + + 8 + 7 d + 5 + 9 + + + 8 + 7 + 5 + 9, + 8 + 7 + 5 + 9 ) d + 8 + 7 ) + ) d.

74 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA A racionális törtfüggvény integrálásához a racionális törtfüggvényt fel kell bontani elemi törtek összegére. Konkrét esetben: Ebből következik, hogy + 8 + 7 ) + ) + + ). I + + d + d + ). Az s és t + helyettesítés bevezetésével, ahol ds d és dt d, adódik, hogy I ds dt ++ s + t) ++ln s +C ++ln t + +C. 5.4.. Irracionális függvények integrálása Az irracionális integrálok megoldásakor arra törekszünk, hogy megfelelő helyettesítések bevezetésével az adott integrált racionális törtfüggvény integrálására vezessük vissza. Irracionális integrálok esetén a típusok és helyettesítések igen sokfélék lehetnek. Közülük csak a két legegyszerűbbet mutatjuk meg. A következőkben az R racionális törtkifejezést jelöl. ) a) R, p a + b a + b c + d, p pk a + b,..., d integrál esetén a helyettesítés c + d c + d a + b c + d tn, ahol n LKT p, p,..., p k ). Ha c 0 és d, akkor ez az integráltipus a legegyszerűbb alakot veszi fel. Mi csak ilyen integrálokkal foglalkozunk. FELADATOK Határozzuk meg a következő irracionális integrálok megoldását.. + d Megoldás. Az integrál megoldásához vezessük be a + t, t, d t dt, d t dt helyettesítést, az adott integrál pedig így alakul: t + d t t dt t )t dt t 6 t )dt 4 4 ) t 7 4 7 t4 + C 4 t 4 t4 7 ) + C + ) 4 + ) + C 4 4 7 4 4 + ) ) 8 + + 8 + C + )8 9) + + C.

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 75. d + Megoldás. Vegyük észre, hogy az integrandus irracionális függvény, ahol minden gyök alatti mennyiség ugyanaz az, és megegyezik az a) típusú integrállal a, b 0, c 0, d esetén. Mivel a gyökkitevők és, ezért n LKT, ) 6, így a helyettesítés t 6, d 6t 5 dt. Ekkor I d + 6t 5 dt t6 + t 6 6 t 5 dt t + t 6 valóban racionális integrál. Mivel t t + t t 4 + ) 8 8 t +, t dt + t, ezért a keresett integrál t I 6 t 4 + 8 ) 8 dt t + t dt tdt+ 4 dt 4 dt t + t 4 t + 4 t ln t + + C. 4 Mivel t 6 volt a helyettesítés, ahonnan t 6, ezért I 6 ) 4 6 ) + 4 6 4 ln 6 + + C. 4 + d 4 + 4 6 4 ln 6 + + C. Megoldás. Mivel 4 4 4 és így I 4 + d 4 + d, ebből az következik, hogy n LKT, 4) 4, vagyis az t 4, d 4t dt helyettesítést kell bevezetni. Ekkor I t4 4t dt t4 4 t 4 + 4 4 t t ) dt 4 t + tdt 4 t 4 t + dt t t + )t t + ) dt. A második integrál racionális tört, amely felbontható elemi törtek összegére, azaz t t + )t t + ) t + + t + t t +,

76 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ezért a továbbiakban I 4 t + 4 dt t + 4 t + 4 ln t + 4 4 Vezessük most be a t z, dt I t + 4 ln t + 6 9 dz dt t t + ) + 4 4 dt ). t + helyettesítést. Ekkor dz z + t + 4 Visszahelyettesítve az eredeti változóra adódik, hogy t 4, ezért 8 ln t + arctg z + C. 9 4. d 5 4 5 I + 4 ln 4 + 8 9 arctg 4 + C. Megoldás. Mivel n LKT, 4) 4, vagyis az 5 t 4, d 4t dt, d t dt helyettesítést kell bevezetni. Ekkor d I 5 4 5 t dt t t4 4 t dt t 4 t t dt t t ) + t )t + ) dt dt + t t t + )dt + dt t dt t t + t + ln t + C. Mivel most t 4 5, ezért visszatérve az eredeti változóra kapjuk, hogy I 5 + 4 5 + ln 4 5 + C. 5. + + + d Megoldás. Vezessük be az + t, t +, d tdt helyettesítést. Ekkor + + t + t I d + t tdt + t t dt t + + ) dt t ) t + t + ln t + C t + 4t + 4 ln t + C. Visszatérve az eredeti változóra, I + + 4 + + 4 ln + + C.

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 77 b) R, ) p + q + r d p, q, r R) típusú irracionális integrálokat vagy trigonometrikus vagy hiperbolikus helyettesítéssel oldhatunk meg attól függően, hogy az p +q+r másodfokú trinom négyzetek összegeként vagy négyzetek különbségeként írható fel. Ha a R \ {0}, akkor R, ) a d esetén a helyettesítés a sin t vagy a cos t, R, ) a + d esetén a helyettesítés a sh t, R, ) a d esetén a helyettesítés a ch t. A megadott helyettesítéseket és a sin t cos t, cos t + cos t, sh t ch t, ch t ch t + azonosságokat alkalmazva a kapott integrálok alapintegrálokra vezethetők vissza. FELADATOK Oldjuk meg a következő irracionális integrálokat. d. ). Megoldás. A fentiek alapján vezessük be az sin t, d cos tdt helyettesítést. Ekkor d I ) cos tdt sin t ) sin t cos tdt cos t) cos t dt tg t + C. cos t Mivel t arcsin és tg t ezért visszatérve az eredeti változóra adódik, hogy d + ) + + sin t sin t, I tgarcsin ) + C + C. Megoldás. A gyök alatti másodfokú kifejezés most négyzetek összegeként írható fel + + + ) + alakban, ezért alkalmazzuk az + sh t, d ch tdt helyettesítést. Ekkor I d + ) + + d + ) + ) + ch tdt sh t sh t +

78 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ch tdt sh t ch t dt sh sh t cth t + C t + + C. sh t Mivel t arsh + ), ezért visszatérve az eredeti változóra azt kapjuk, hogy. d + ) + + + I + C + C. + + Megoldás. Mivel 4 4 + 4 4 + ) ezért I d 4 ) d 4 ), ) d. Vezessük be a sin t, + sin t, d cos tdt helyettesítést. Ekkor I + sin t sin cos tdt t + sin t) cos tdt 8 8 cos tdt + 8 cos t sin tdt. Az első integrálban alkalmazzuk a cos + cos t t trigonometrikus azonosságot, a másikban pedig bevezetjük a cos t z, sin tdt dz, sin tdt dz helyettesítést. Ekkor I + cos t dt z dz + cos t)dt z 8 8 6 8 6 dt + 6 cos tdt cos t 8 6 t + sin t 6 4 cos t + C 6 t + sin t cos t 6 4 cos t) + C. Térjünk most vissza az eredeti változóra. Mivel most sin t, ahonnan t arcsin ) és cos t sin t ) 4 4, ezért I 6 arcsin ) + 8 ) 4 8 ) + C 6 arcsin ) + 4 + + C.

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 79 5.4.. Trigonometrikus függvények integrálása A trigonometrikus függvények racionális kifejezéseinek integrálása mindig megoldható elemi úton. Néhány egyszerűbb típus trigonometrikus átalakításokkal visszavezethető olyan integrálra, amelyet helyettesítéssel megoldhatunk, míg más, összetettebb alakok tg t helyettesítéssel vezethetők vissza racionális törtfüggvény integráljára. a) Az egyszerűbb speciális típusok közé tartoznak n és k nemnegatív egészek esetén az sin n+ cos k d sin ) n sin cos k d cos ) n cos k sin d, illetve cos n+ sin k d cos ) n cos sin k d sin ) n sin k cos d integrálok, melyeket rendre a cos t, illetve sin t helyettesítéssel vezethetünk vissza polinomfüggvény integrálására, valamint az sin n cos k d típusú integrálok, amelyek a sin cos sin, sin cos és cos + cos trigonometriai azonosságok ismételt alkalmazásával oldhatunk meg. FELADATOK Oldjuk meg a következő trigonometrikus integrálokat.. sin 5 d Megoldás. Alakítsuk át az integrandust az előzőekben bemutatott módon. Ekkor sin I sin 5 d ) sin d cos ) sin d. Vezessük be a cos t, sin d dt helyettesítést. Ekkor I ) t dt) t + t 4) dt t + t + 5 t5 + C. Visszatérve az eredeti változóra kapjuk, hogy I cos + cos + 5 cos5 + C.

80 5.. cos sin 4 d EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Megoldás. Végezzük el az integrandus megfelelő átalakításait. Ekkor I cos sin 4 d sin ) sin 4 cos d. Vezessük be a sin t, cos d dt helyettesítést. Az integrál most így módosul: I ) t t t 4 dt 4 t 6) dt t5 5 t7 7 + C. Visszatérve az eredeti változóra kapjuk, hogy. cos sin 4 d I sin5 5 sin7 7 + C. b) Az Megoldás. Végezzük el először a trigonometrikus átalakításokat. Ekkor I cos sin 4 d 4 sin cos sin d sin cos d 4 4 cos 4 d sin cos d. 8 8 Az első integrált bontsuk tovább két integrál összegére, a másodikban pedig vezessük be a sin t, cos d dt, cos d dt helyettesítést. Ekkor I d cos 4d t dt 6 6 8 6 sin 4 d 6 4 6 t + C Ebben az esetben 6 6 Rsin, cos )d alakú integrálok a tg sin sin cos cos sin 4 d 4 48 sin + C. t helyettesítéssel racionalizálhatók. dt arctg t, arctg t, d + t, sin cos ) sin + cos cos tg ) t cos + tg + t, cos ) sin sin + cos cos tg ) t + tg + t. cos

5.4. Racionális és racionalizálható integrálok 8 FELADATOK Oldjuk meg a következő trigonometrikus integrálokat. d. + sin + cos Megoldás. Alkalmazzuk a megadott helyettesítéseket. Ekkor. d + sin + cos d cos + sin + Megoldás. Alkalmazzuk a tg dt +t + t + t +t +t t helyettesítést. Ekkor dt + t ln +t +C ln + tg +C. d cos + sin + dt +t t + 4t + +t +t dt +t t +4t++t +t dt t + ) + arctg t + ) + C arctg tg ) + + C. dt t + t + ) 5.4.4. Eponenciális és hiperbolikus függvények integrálása Az R e ) d eponenciális függvény integrálját, ahol az integrandus az e függvény racionális kifejezése, az e t, ln t, d dt t helyettesítéssel tudjuk visszavezetni racionális törtfüggvény integráljára. Minthogy sh e e, ch e + e, th e e e + e és cth e + e e e, így érthető, hogy a hiperbolikus függvények racionális kifejezéseinek integráljai ugyanezzel a helyettesítéssel racionalizálhatók. FELADATOK Határozzuk meg a következő eponenciális integrálok megoldását. e. + e d Megoldás. Vezessük be az e t, d dt helyettesítést. Ekkor t e + e d t + t dt t dt + t ln + t + C ln + e ) + C.

8 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA.. 4. e d + e Megoldás. Vezessük be az e t, d dt helyettesítést. Az integrál megoldása t most e t d + e + t dt t tdt + t tdt + t e e e + d ln + t + C ln + e ) + C. Megoldás. Vezessük be az e t, d dt helyettesítést. Ekkor t e e t e + d t t + dt t t t t + dt + t + dt e d ) dt t arctg t + C e arctg e + C. t + Megoldás. Alkalmazzuk az e t, d dt t helyettesítést. Ekkor az I e d t dt t t dt. t integrált kapjuk, amelyben a t z, dt zdz helyettesítést bevezetve adódik, hogy z z I z + zdz + ) dz z arctg z)+c z + z + t arctg t ) + C e arctg e ) + C. 5. ch + sh d e + Megoldás. Helyettesítsük be az integrandusba a ch és sh függvények eponenciális alakját. Ekkor a következő integrált kapjuk: ch + sh I d e + e + e e d e e + e + e + d e + e d. Az eponenciális függvényekkel kapcsolatos integrálok első feladata alapján a megoldás I ln + e ) + C.

5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 8 5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 5.5.. Arkhimédész módszere síkidomok területének meghatározására A gyakorlati életben sokszor van szükségünk különböző síkidomok nagyságának meghatározására. Egy mérőszámot kell hozzárendelni a síkidomhoz, amit a területének nevezünk. Sokszögek esetében nincsenek nagyobb problémák, sőt a kör esetében is megoldható a hozzárendelés. Most néhány további speciális síkidomhoz fogunk területet rendelni, s feltesszük, hogy a tekintett síkidomoknak van területe. Tekintsük azt a síkidomot, amelyet az tengely [0, ] intervalluma, az egyenes megfelelő szakasza és az f) függvény grafikonjának megfelelő íve határol. Ezt a síkidomot parabolikus háromszögnek is szokás nevezni, s területének kiszámítására Arkhimédész parabola-kvadratúráját alkalmazzuk. A módszer lényege az, hogy a keresett területet téglalapok területeinek összegével közelítjük. Írjunk a parabolikus háromszögbe és köré sokszöget a következő módon: osszuk a [0, ] intervallumot n egyenlő részre n N). A [ 0, ], n [ n, ], n [ i n, i ], n [ ] n n, részintervallumokra állítsunk beírt és körülírt téglalapokat úgy, hogy a beírt téglalap magassága a részintervallumok kezdőpontjainak függvényértéke, azaz rendre 0, ),, n ) i,, n ) n, n a körülírt téglalapok magassága a részintervallumok végpontjainak függvényértéke, azaz rendre ) ) ) i,,,,, n n n legyen. A beírt téglalapok területe: s n 0 n + ) n n + ) n n + + i n ) n + + n n ) n n [ + + + i ) + + n ) ] A körülírt téglalapok területe: n )nn ) 6n. S n ) n n + ) n n + ) ) i n n + + n ) n n + + n n n [ + + + + i + + n ] n + )nn + ) 6n.

84 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Az a sejtésünk, hogy ha egyetlen olyan szám van, amely minden s n -nél nagyobb és minden S n -nél kisebb, akkor a parabolikus háromszögnek van területe, és ez a T terület azzal a számmal egyenlő. Ezért felírhatjuk, hogy s n T S n, behelyettesítve a képleteket pedig kapjuk, hogy y y n )nn ) 6n T n + )nn + ) 6n. A fenti egyenlőtlenségek a határértékekre is érvényesek, ha n, azaz igazak a 0 n n n i n i n n n egyenlőtlenségek is. Ekkor n )nn ) lim n 6n T lim n n + )nn + ) 6n T, ahonnan T. 5.5.. A határozott integrál fogalma Legyen f egy korlátos pozitív függvény az [a, b] intervallumon, ami azt jelenti, hogy a grafikonja az -tengely felett helyezkedik el. Ekkor azt a síkbeli alakzatot, amelyet az -tengelyen az [a, b] intervallum, az a és b egyenesek, valamint az f függvény [a, b] intervallumhoz tartozó grafikonja határol, az [a, b] intervallumhoz tartozó G görbevonalú trapéznak nevezzük. A G görbevonalú trapézterület meghatározásának problémája és az Arkhimédészi módszer ötlete vezetett a határozott integrál definíciójához. y a b y f Osszuk fel az [a, b] intervallumot n számú [ 0, ], [, ], [, ],..., [ n, n ], részintervallumra úgy, hogy az osztópontokra a 0 < < < <... < n < n b

5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 85 legyen érvényes. Az [a, b] intervallum F felosztása az F { 0,,..., n } ponthalmazt jelenti. Jelölje most 0 az első, a második, és így tovább, n n n pedig az n-edik részintervallum hosszúságát. A df) ma {,,..., n } számot az F felosztás diaméterének nevezzük, s a legnagyobb részintervallum-hosszúságot jelöli. 5.7. Definíció. Legyen f az [a, b] zárt intervallum felett definiált korlátos függvény és F az [a, b] intervallum egy felosztása. Ekkor az s n m + m + + m n n n m i i i összeget, ahol m i jelenti az f függvény alsó határát az [ i, i ] részintervallumon, az f függvény F felosztáshoz tartozó alsó közelítő összegének nevezzük. Az S n M + M + + M n n n M i i i összeget, ahol M i jelenti az f függvény felső határát az [ i, i ] részintervallumon, az f függvény F felosztáshoz tartozó felső közelítő összegének nevezzük. 5.8. Definíció. Legyen f az [a, b] zárt intervallum felett definiált korlátos függvény, F az [a, b] intervallum egy felosztása és ξ ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i [ i, i ], i,,..., n, a részintervallumok tetszőleges pontjainak egy kiválasztása. Ekkor a T f, F, ξ) n fξ i ) i, összeget az f függvény F felosztáshoz tartozó Riemann-féle integrálösszegének nevezzük. 5.9. Tétel. Legyen f az [a, b] zárt intervallum felett definiált korlátos függvény, F az [a, b] intervallum egy felosztása és ξ ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i [ i, i ], i,,..., n, a részintervallumok tetszőleges pontjainak egy kiválasztása. Ekkor i s n T f, F, ξ) S n érvényes minden n N esetén, ha s n és S n az f függvény alsó és felső közelítő összegeinek sorozatai. Bizonyítás. esetén Az alsó és felső határ definíciójából adódik, hogy minden ξ pontválasztás m i fξ i ) M i, i,,..., n. Beszorozva a fenti értékeket a megfelelő részintervallumok hosszúságával kapjuk, hogy m i i fξ i ) i M i i, i,,..., n.

86 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Adjuk össze a fenti értékeket -től n-ig. Ekkor n m i i i n fξ i ) i i n M i i, i illetve amit igazolni akartunk. s n T f, F, ξ) S n, 5.9. Definíció. Legyen f : [a, b] R korlátos függvény. Ha az [a, b] intervallum minden F felosztására és bármely olyan ξ ξ, ξ,..., ξ n ) pont n-esre, amelyekre ξ i [ i, i ], i,,..., n, létezik az I : lim df) 0 n fξ i ) i i egyértelmű határérték, akkor az f függvényre azt mondjuk, hogy integrálható az [a, b] intervallumon, az I szám az f függvény határozott integrálja az [a, b] intervallumon, jelölése pedig lim df) 0 n fξ i ) i i b a f)d. Az a, illetve b számok, a < b, a határozott integrál alsó, illetve felső határai, az f függvény a határozott integrál integrandusa. Ebben az esetben az I határérték azt jelenti, hogy minden ε > 0 számra létezik olyan δ > 0, hogy minden tetszőleges F felosztásra df) < δ és a ξ ξ, ξ,..., ξ n ) pont n-esek bármely választása esetén igaz, hogy n I fξ i ) i < ε. i Történeti okokból, és azért mert más integrálfogalom is létezik, a fenti definíció értelmében integrálható függvényeket szokás Riemann szerint integrálható függvényeknek nevezni. Bernhard Riemann német matematikus 86-866.) 5.0. Tétel. Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor f korlátos [a, b] intervallumon. 5.. Tétel. Az [a, b] intervallumon értelmezett f függvény akkor és csakis akkor integrálható, ha az [a, b] intervallum bármely F felosztásához a megfelelő alsó és felső közelítő összegek s n és S n sorozatai közös határértékhez tartanak, azaz lim s n lim S n. df) 0 df) 0 5.. Tétel. Ha az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, akkor f integrálható az [a, b] intervallumon. 5.. Tétel. Ha az f függvény korlátos és monoton az [a, b] intervallumon, akkor f integrálható az [a, b] intervallumon.

5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 87 5.5.. A határozott integrál tulajdonságai 5.0. Definíció. Legyen f integrálható függvény az [a, b] intervallumon.. Ha a > b, akkor. Ha a b, akkor b a a a f)d f)d 0. a b f)d. Belátható, hogy minden f az [a, b] intervallumon folytonos függvény integrálható is az [a, b]-n. Ugyanúgy minden olyan korlátos f : [a, b] R függvény is integrálható, amely folytonos az [a, b] intervallumon, kivéve véges sok pontjában. 5.4. Tétel. Ha f a konstans függvény, azaz f) k, [a, b], akkor b a f)d kb a). 5.5. Tétel. Ha f integrálható függvény az [a, b] intervallumon és k egy valós szám, akkor a kf függvény is integrálható az [a, b] intervallumon és Bizonyítás. esetén Mivel ezért b a b a kf)d k b a f)d. Minden F felosztás és a részintervallumokon választott bármely ξ pontok T kf, F, ξ) kf)d n kfξ i ) i k i lim df) 0 lim T f, F, ξ) df) 0 T kf, F, ξ) k n fξ i ) i kt f, F, ξ). i b a lim df) 0 f)d, T f, F, ξ) k b a f)d. 5.6. Tétel. Ha f és g integrálható függvények az [a, b] intervallumon, akkor az összegük is integrálható az [a, b] intervallumon és Bizonyítás. esetén Mivel b a f) + g))d b a f)d + b a g)d. Minden F felosztás és a részintervallumokon választott bármely ξ pontok T f + g, F, ξ) n fξ i ) i + i n fξ i ) + gξ i )) i i n gξ i ) i T f, F, ξ) + T g, F, ξ). i lim T f, F, ξ) + T g, F, ξ)) df) 0 b a f)d + b a g)d,

88 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ezért b a f) + g)) d lim T f, F, ξ) + T g, F, ξ)) df) 0 lim T f + g, F, ξ) df) 0 b a f)d + b a g)d. 5.. Következmény. Ha f és g integrálható függvények az [a, b] intervallumon, k és k pedig valós számok, akkor a k f + k g függvény is integrálható az [a, b] intervallumon és b a b b k f) + k g))d k f)d + k g)d. 5.7. Tétel. Ha f és g integrálható függvények az [a, b] intervallumon és f) g) minden [a, b] esetén, akkor b a f)d a b a g)d. a Bizonyítás. esetén Ekkor Minden F felosztás és a részintervallumokon választott bármely ξ pontok b a T f, F, ξ) f)d n fξ i ) i i n fξ i ) i T g, F, ξ). i lim T f, F, ξ) lim T g, F, ξ) df) 0 df) 0 b a g)d. A következő állítások az 5.7. Tétel következményei. 5.. Következmény. Ha f és g integrálható függvények az [a, b] intervallumon, f) 0 és g) 0 minden [a, b] esetén, akkor b a f)d 0 és b a g)d 0. 5.8. Tétel. Legyen f integrálható függvény az [a, b] intervallumon és legyen minden [a, b] esetén m f) M. Ekkor mb a) b a f)d Mb a). 5.9. Tétel Az integrálszámítás középértéktétele). Legyen f az [a, b] intervallum felett folytonos függvény. Ekkor van olyan c a, b) szám, hogy fc) b a b a f)d.

5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 89 Bizonyítás. Mivel az f függvény folytonos, ezért a zárt [a, b] intervallumon felveszi M maimumát és m minimumát. Így az f függvény teljesíti az 5.8. Tétel feltételeit, ahonnan b a > 0 figyelembe vételével, m b a b b a f)d M, ebből pedig az adódik, hogy f)d a [m, M] intervallum egy közbenső értéke, b a a melyet az f függvény a folytonosság miatt felvesz. Ezért van olyan c a, b) szám, hogy s ezzel az állítás bizonyított. fc) b a b a f)d, A következő tételekben a határozott integrálok fontos tulajdonságait fogalmaztuk meg. 5.0. Tétel. Ha f integrálható függvény az [a, b] intervallumon, akkor b b f)d f) d. a 5.. Tétel. Ha f integrálható függvény az [a, b] intervallumon és ha c a, b), akkor igaz, hogy b f)d c a a c a f)d + b f)d. 5.5.4. Newton-Leibniz formula 5.. Tétel. Ha f az [a, b] intervallumon folytonos függvény és Φ) a ft)dt, akkor a Φ függvény az f függvény egy primitív függvénye az [a, b] intervallumon. Bizonyítás. A Φ függvény növekményének és az változó növekményének hányadosa Φ + ) Φ) + ) ft)dt ft)dt. A 5.. Tétel alapján igaz, hogy Φ + ) Φ) a + a ft)dt. Az f függvény folytonos, ha t [, + ], ezért érvényes az integrálszámítás középértéktétele 5.9. Tétel), ahol a, b +. Ekkor Φ + ) Φ) fc), c [, + ].

90 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Ha 0, akkor + és c, s az f függvény folytonosságából fc) f). Tehát a fenti növekmények hányadosának határértéke létezik, ha 0, és Φ + ) Φ) lim 0 f). Eszerint a Φ függvény differenciálható és Φ ) f). Az integrálszámítás alaptétele lehetővé teszi az az f függvény tetszőleges F primitív függvényének segítségével. b a f)d határozott integrál kiszámítását 5.. Tétel. Legyen f az [a, b] intervallumon folytonos függvény, F pedig az egyik primitív függvénye, azaz F ) f), minden [a, b] esetén. Ekkor érvényes a Newton-Leibnizféle formula: b f)d [F )] b a F ) b F b) F a). a Bizonyítás. Ha F és Φ az f függvény primitív függvényei, akkor ezek a függvények legfeljebb egy állandóban különböznek egymástól. Ekkor azaz Az a helyettesítési érték vezet a formulához, amiből C F a) és a a Φ) F ) + C, f)d F ) + C. 0 F a) + C Az b helyettesítés után következik, hogy f)d F ) F a). a b a f)d F b) F a). A határozott integrál számításánál felhasználjuk a határozatlan integrált, s ezért a helyettesítést vagy a parciális integrálás szabályát alkalmazhatjuk a határozott integrálra is az alábbi módon. 5.4. Tétel. Legyen f : [a, b] R folytonos függvény, φ : [α, β] [a, b] pedig olyan monoton függvény, amelynek az első deriváltja folytonos az [α, β] intervallumon. Ekkor az φt) helyettesítés után ahol a φα), b φβ). b f)d β a α fφt))φ t)dt,

5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 9 5.5. Tétel. Ha az u és v függvények folytonosan differenciálhatók az [a, b] intervallumon, akkor igaz a parciális integrálás képlete, miszerint b a b u)v )d [u)v)] b a v)u )d. a FELADATOK. Számítsuk ki a következő határozott integrálok értékét.. 4 ) d Megoldás. 4 ) d ) 4 ) 4 ) 4 8 9 + 76.. d Megoldás. d 4 4 ).. 4 d 4 Megoldás. 4 d 4 4 8 ) 7 64 9. 4. 5 d Megoldás. 5 d ln 5 ln ln 5) ln 5. 5. π 0 sin d Megoldás. π 0 sin d cos π 0 cos π cos 0) ).

9 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 6. 7. 8. 0 5 + ) 4 d Megoldás. Ha alkalmazzuk az 5 + t, d dt helyettesítést, akkor a t 5 változóval kapott integrál határait is meg kell változtatni a régi határok értékeinek behelyettesítésével, így az új határok most 5 0 + és 5 + 6 lesznek. Ekkor 6 5 + ) 4 d t 4 dt 5 5 t5 6 5 6 5 5). 5 e + d 0 Megoldás. Vezessük be a + t, d dt helyettesítést. A megfelelő határok most helyett t 5, valamint helyett t 7. Az integrál megoldása tehát 7 e + d e t dt 5 7 et e 7 e 5) 5 e5 e ). π π sin cos d Megoldás. Vezessük be a cos t, sin d dt helyettesítést. Az új határok most π helyett t cos π 0, π helyett pedig t cos π. Az integrál ekkor π π sin cos d 0 tdt 0 t 0 0. 9. π 4 π 4 tg d Megoldás. Mivel tg sin, ezért vezessük be az integrálban a cos t, cos sin d dt helyettesítést. Az új határok: π 4 helyett t cos π ) 4, valamint π 4 helyett t cos π 4. Ekkor π 4 π 4 tg d π 4 π 4 sin cos d dt t 0. 0. e e d ln Megoldás. Alkalmazzuk az ln t, d dt helyettesítést. Az új határok e helyett t ln e, illetve e helyett t ln e. Ekkor e d ln dt ln t ln ln ln. t e

5.5. A határozott integrál fogalma és tulajdonságai 9. e d Megoldás. Ha u, dv e d, valamint du d és v e, akkor e d e e d e e ) e e e e e) e.. arcsin d Megoldás. Legyen a parciális integrálás képletében u arcsin és dv d. Ekkor d du és v. Ekkor I arcsin d arcsin d. A kapott integrálban vezessük be az t, d dt helyettesítést. Az új t határok most helyett t 4, illetve helyett t. Az integrálást 4 folytatva kapjuk, hogy I π + π ) 6 arcsin ) arcsin ) + t 4 4 4 4 π 6 π + 4 4 π 6 dt ) t ) + ).. π 4 π 4 cos d Megoldás. Legyen a parciális integrálás képletében u és dv cos d, ahonnan du d és v sin. Ekkor π π π 4 π 4 4 cos d sin sin d π 4 sin π 4 π ) sin π ) 4 + cos 4 4 π 4 π 4 π 4 + π ) 4 π 4 + cos π 4 cos π ) π π + 4 8 8 +. π 4

94 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 4. 5. e e ln d Megoldás. legyen a parciális integrálás képletében u ln és dv d. Ekkor du d és v. Ekkor e ln d ln e e e e e6 e e d e6 ln e e ln e e d e e 5 9 e6 9 e e 9 e e6 e 9 5e ). e 6 e ) d 0 5 + 6 Megoldás. Az integrandus racionális törtfüggvény, s felírható alakban. Ekkor 5 + 6 ) ) I 0 d 5 + 6 0 d 0 d. Alkalmazva az t, d dt, valamint z, d dz helyettesítéseket adódik, hogy az új határokkal dt I t dz ln t z ln z ln ln ln + ln ln 4. 5.6. A határozott integrál alkalmazása 5.6.. Síkidomok területszámítása Legyen f : [a, b] R nemnegatív folytonos függvény, az [a, b] intervallumon. A Riemannféle integrál definíciója alapján kimondhatjuk, hogy az f függvényhez tartozó G görbevonalú trapéz T G) területe az [a, b] intervallum felett: T G) b a f)d. Ha az f : [a, b] R folytonos függvény nempozitív az [a, b] intervallumon, akkor az f függvényhez tartozó G görbevonalú trapéz T G) területe az [a, b] intervallum felett: b b T G) f)d, illetve T G) f)d. a a

5.6. A határozott integrál alkalmazása 95 y y a b y f y f a b Ha az f : [a, b] R folytonos függvény az [a, b] intervallumon előjelet vált, azaz az [a, c] intervallumon nemnegatív, a [c, b] intervallumon pedig nempozitív a < c < b), akkor a G degenerált görbevonalú trapéz területét kell kiszámolni. Ebben az esetben a terület kiszámítását egy -tengely feletti és egy -tengely alatti terület kiszámítására kell szétbontani, azaz y y f T G) c f)d b a c f)d. a c b Legyenek f : [a, b] R és g : [a, b] R olyan folytonos függvények az [a, b] intervallumon, hogy g) f), [a, b]. Az A {, y) a b, g) y f)} zárt alakzat területét most a következő módon számoljuk ki: y T A) b a f) g))d. y f a b y g

96 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA FELADATOK.. Számítsuk ki az y görbe és az tengely által határolt zárt tartomány területét. Megoldás. Keressük meg az y parabola és az -tengely metszéspontjait, vagyis a parabola nullahelyeit. 0, ha vagy, ezért a keresett terület az -tengelyen -től -ig terjed és a következőképpen számíthatjuk ki: T y T ) d ) y ) + ) + 4.. Számítsuk ki az y görbe, valamint az 0, és y 0 egyenesek által határolt zárt terület nagyságát. Megoldás. A határozott integrál határait az 0 és egyenesek adják meg. A keresett terület T d ln 4 ln ln ln. 0 0 y y y y ln 4 T T 0. Számítsuk ki az y ln görbe, valamint az és y 0 egyenesek által határolt e zárt terület nagyságát. Megoldás. Mivel az y ln görbe az -ben metszi az -tengelyt, így az integrálás határai az és lesznek. A keresett terület az -tengely alatt e

5.6. A határozott integrál alkalmazása 97 helyezkedik el, ezért T e ln d e ln d ln ) e ln e ) ln ) e e ) e + e. 4. Számítsuk ki az y sin görbe és az tengely által határolt zárt tartomány területét a [0, π] intervallumon. Megoldás. Állapítsuk meg, hogy a megadott intervallumon sin > 0, ha 0, π), és sin < 0, ha π, π).ezért a keresett terület nagyszágát két integrál segítségével számítjuk: T T + T π 0 sin d π π sin d cos π 0 e + cos cos π cos 0) + cos π cos π) ) + + ) + 4. π π Vegyük észre, hogy ha nem vesszük figyelembe a függvény előjelét és a keresett területet csak egy integrál segítségével számítjuk 0-tól πig, akkor a y y sin T π 0 sin d cos π 0 T Π T Π cos π cos 0) ) 0 számot kapnánk, ami természetesen helytelen lenne, mert csak arra utalna, hogy az -tengely alatti és feletti tartományok területe egymással egyenlő. 5. Számítsuk ki az f) + függvény grafikonja és az tengely által határolt zárt tartomány területét. Megoldás. Vizsgáljuk ki az f függvény területszámítási szempontból fontos tulajdonságait. Mivel f) ) + ), így a nullahelyek, 0 és, a függvény negatív, ha, ) 0, ), valamint a függvény pozitív, ha, 0), + ). Ezért a keresett területet ismét két határozott integrál segítségével számítjuk ki. y T T y T T + T 0 + )d 0 + )d

98 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA [ 0 ) 4 4 + 0 6 4 8 )] 4 ) 4 4 + 0 ) ] 0 [ 4 + 7. Vegyük észre ennél a feladatnál is, hogy a keresett területet most sem számíthatjuk egy integrállal, mert bár ebben az esetben pozitív számot kapunk, hiszen a ) T + 4 )d 4 + 4 + 6 4 + 8 + 4 7 számot kapnánk, de ez nem a keresett terület nagyságának mérőszáma. 6. Határozzuk meg az y ) ) parabola és az y egyenes által határolt zárt terület nagyságát. I.Megoldás. Az egyenes és a parabola metszéspontjai az, ) és, 0) pontok. A keresett területet megkapjuk, ha az [, ] intervallumon az y egyenes alatti T területből kivonjuk a parabola alatti T területet. Fejezzük ki y-t az adott parabola egyenletéből. Ekkor a parabola alsó ágának egyenlete y ). Így y y y y, T y,0 y,, T,0 T,0 T T )d 9 9 ) és ) ) d d. Vezessük be a kapott integrálban a t, dt d helyettesítést. Ekkor T 6 ) t t dt 4 4 8 4, a keresett terület nagysága pedig T T T. 0 0

5.6. A határozott integrál alkalmazása 99 II.Megoldás. Megmutatjuk, hogy ezt a területet egyszerűbben úgy is számíthatjuk, hogy az adott görbe y) alakját és a metszéspontok ordinátáit használjuk fel, s az adott görbék és az y-tengely közötti területek segítségével jutunk eredményhez. A metszéspontok ordinátái az előző számítások alapján y 0 és y. Az y egyenest y módon fejezzük ki, az y ) ) parabolát pedig mint + y ). A keresett területet most a következőképpen számoljuk: T 0 [ y) + )] y ) dy 0 ) y + y dy ) y + y 0 6 8 0) + 4 0). 7. Számoljuk ki az y sin és y cos görbék, valamint az y 0 egyenes szakasza által határolt zárt terület mérőszámát. Megoldás. Az y sin és y cos görbéknek a megadott intervallumon belül π -ben van metszéspontjuk, ezért [ a keresett terület egyrészt a 0, π ] intervallumon az y sin görbe 4 [ π alatti területből, másrészt a 4, π ] in- tervallumon az y cos görbe alatti területből tevődik össze. Így T T + T π 4 0 sin d + π π 4 y T T Π 4 Π cos d cos cos π ) 4 cos 0 + sin π sin π 4 + + π 4 0 y sin Π y cos + sin π π 4. [ 0, π ] 8. Számítsuk ki az y 4 és y parabolák által határolt zárt terület a nagyságát. Megoldás. A keresett területet a y T b a f) g)) d y képlettel számoljuk, ahol f) 4 és g), a és b pedig a megfelelő görbék metszéspontjainak abszcisszái. A parabolák metszéspontjaiban megegyeznek a függvényértékek, azaz 4, ahonnan a 7 0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek T.5 4 y 4

00 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA megoldása 0 vagy 7. Ezért a keresett terület T 7 0 4 ) ) d 7 0 7 ) d 7 7 49 4 4 8 0 4 4. ) 7 0 9. Számítsuk ki az + y 6 kör és y 6 parabola által határolt zárt síkidomok területének nagyságát. Megoldás. Az + y 6 középponti kör, melynek sugara r 4. Az y 6 parabola az f ) 6 és f ) 6 függvények grafikonjaiból tevődik össze. A kör és a parabola metszéspontjainak abszcisszáját az + 6 6 0 egyenlet pozitív megoldása adja. A grafikon jobboldali kisebb T területe két részből számítható ki, a parabola alatti és a körvonal alatti terület összegéből. Eszerint y 4 y 6 T T 4 4 y 6 4 y 8 y 8 T 0 6 6) ) d + 0 4 6 6 )) d 4 6d + 6 d. Vegyük észre, hogy a keresett terület szimmetrikus az -tengelyre és emiatt a T területet kiszámíthatjuk az -tengely feletti rész kétszereseként is. Vezessük be a második integrálban az 4 sin t, d 4 cos tdt helyettesítést. Ekkor T 4 6 6 0 + 6t π π 6 π + cos tdt 4 6 π 0) + 6 6 + 8 sin t π π 6 6 π π 6 + cos t)dt π + 6 π ) + 8 sin π sin π ) 6 6 + 6π 4 4 + 4π). A baloldali T terület nagyságát úgy számíthatjuk ki legegyszerűbben, ha a kör területéből kivonjuk a T területet és ez T T kör T 6π 4 ) + 4π 4 8π ).

5.6. A határozott integrál alkalmazása 0 0. Határozzuk meg az y 6 parabola, a parabola pontban húzott érintője és a parabola pontban húzott merőleges egyenese által határolt zárt terület nagyságát. I.Megoldás. A parabola érintőjének és merőleges egyenesének meghatározásához szükség van az f) 6 függvény f ) deriváltjára. Az adott parabola pontban húzott érintőjének egyenlete y + 7, az pontban húzott merőlegesének egyenlete pedig y 7 6. Az y + 7 érintőegyenes és az y 7 ) 7 6 merőleges egyenes, 0 pontban metszik egymást. y y y 6 y 7 4 T 7 y 7 6 4,4 T,0 7,0 7 A keresett területet felbontjuk a T területre, amely az -tengely felett helyezkedik el, valamint a T területre, amely az -tengely alatt helyezkedik el. Ekkor T 7 + 7 ) ) d 6 8 d 9 + 45 ) ). 7 y y 7 y 7 6 T 7,0 T 7,0, 6 7,0,0 T T 4, 6 y 6 A[ T területet ] is két részre bontva számoljuk ki, az egyik a parabola feletti terület a, intervallumon, a másik pedig a parabola merőleges egyenese feletti terület

0 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA a [, 7 ] intervallumon, azaz 7 T ) 6 d 6 ) + + 7 6 7 7 ) 6 d ) 6 + 6. A keresett terület T T + T 4. II.Megoldás. A keresett terület más felbontásban is kiszámolható. Az [, ] intervallumon az érintő alatti területből kivonjuk a parabola alatti területet, majd a [, 7 ] intervallumon az érintő alatti területből kivonjuk a merőleges alatti területet. Ekkor T [ + 7 )] 7 [ 6 d + + 7 7 )] d 6 [ 8 6 4 ] + + [ 6 + [ 6 + ] + ) 7 d + + 7 ) d ] + [ + 7 ] 7 ] [ 49 8 + 7 7 [ 4 + 7 ] 4. 5.6.. Forgástestek térfogata Ha az y f) folytonos görbe [a, b] intervallum feletti ívét megforgatjuk az -tengely körül, akkor egy T forgástestet kapunk. A kapott T forgástest térfogata V T ) π b a f)) d. Vizsgáljuk meg, hogyan juthatunk el ehhez a képlethez az Arkhimédészi módszer segítségével. Tekintsük e célból az f : [a, b] R korlátos függvényt, az [a, b] intervallum egy F felosztását és legyen ξ ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i [ i, i ], i,,..., n, a részintervallumok tetszőleges pontjainak egy kiválasztása. Legyen H i i,,..., n) olyan henger, melynek magassága az [ i, i ] intervallumon megegyezik a forgást megfelelő szeletének magasságával, azaz i, alapjának sugara pedig fξ i ). A H i i,,..., n) henger térfogata így V H i ) fξ i )) π i. Az így kapott hengerek összege V n n V H i ) i n fξ i )) π i. i

5.6. A határozott integrál alkalmazása 0 Ha létezik a V n összeg egyértelmű határértéke az [a, b] intervallum minden F felosztására és minden ξ ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i [ i, i ], i,,..., n pontválasztásra, akkor ez a határérték a tekintett forgástest térfogata, azaz V T ) lim n V n lim n n fξ i )) π i π i b a f)) d. Ha az gy) folytonos görbe [c, d] intervallum feletti ívét forgatjuk meg az y-tengely körül, akkor a kapott T forgástest térfogata FELADATOK. V T ) π d c gy)) dy.. Határozzuk meg annak a forgástestnek a térfogatát, amely az y + egyenes -tengely körüli forgatásával keletkezik a [, 4] intervallum felett. Megoldás. Mivel a görbét az -tengely körül forgatjuk, a keletkezett forgástest térfogatát a y y V π 4 + ) d formula adja. Vezessük be a t +, dt d, d dt, helyettesítést. Ekkor V π t dt πt 6 665π. Mivel a forgástest ebben az esetben egy csonkakúp, ahol H 5, r y ) és R y4), ezért a csonkakúp térfogatképletével is számolhatunk, vagyis V Hπ 5π R + Rr + r ) + + ) 665π. R r 4. Számoljuk ki annak a forgásparaboloidnak a térfogatát, amely az y parabola y-tengely körüli forgatásával keletkezik, ha 0 y 4. Megoldás. A görbét az y-tengely körül forgatjuk, tehát a térfogat kiszámításához ki kell fejeznünk a függvényt y alakban. Felhívjuk a figyelmet, hogy az

04 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA y alak is megfelelő lenne, mert mindkét görbe forgatásával ugyanazt a forgástestet kapjuk. V π 4 0 y) dy π 4 0 ydy π y 4 0 8π. y y y y 4 y 8 4 4. Számítsuk ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet az y és y 8 parabolák által határolt zárt tartomány -tengely körüli forgatásával kapunk. Megoldás. A két görbe a 0, 0) és, 4) pontokban metszi egymást. [0, ] esetén az y 8 parabola íve távolabb van az -tengelytől mint az y parabolaív, ezért a keresett térfogatot úgy számítjuk ki, hogy a nagyobb térfogatból kivonjuk a kisebb térfogatot, vagyis V V V π 0 8d π 0 ) d 8π 0 π 5 5 4π 4 0) π 5 0) 6π 5 π 48π 5. 0

5.6. A határozott integrál alkalmazása 05 5.6.. Ívhossz számítás Legyen az f függvénynek folytonos első deriváltja az [a, b] zárt intervallumon. Az f függvény grafikonja Aa, fa)) és Bb, fb)) pontokkal meghatározott l ívének hosszát a következő határozott integrál adja meg: FELADATOK. l b a + f )) d. y. Határozzuk meg az f) r függvény grafikonjának ívhosszát, ha r > 0. Megoldás. Mivel az változó a [ r, r] intervallumból veheti fel az értékeit, a függvény első deriváltja pedig f ) r, ezért a keresett ívhossz r y r r l r r + ) r r r d r r r d r Vezessük be a t, rdt d helyettesítést. Ekkor r r π l r dt r arcsin t t r π )) rπ, s ez valóban az r sugarú kör félkörívének hosszúsága. ) d. y. Számítsuk ki az y ln ) görbe ívének hosszát ha 0. Megoldás. Mivel 0 f) ln ) ln 4 esetén f ), így a keresett ívhossz y ln l 0 + ) d 0 + + 4 ) d

06 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 0 + d ) 0 + ln d ln ln. 0 + ln + 0 5.6.4. Forgástestek felszíne Legyen f : [a, b] R olyan, hogy f) 0 minden [a, b] esetén, és az f függvénynek legyen az [a, b] intervallum felett folytonos deriváltja. Forgassuk meg az f függvény [a, b] intervallumhoz tartozó grafikonját az -tengely körül. Ekkor a kapott forgástest palástjának felszíne a következő formulával adott: F π b a f) + f )) d. Ha az gy) folytonos görbe [c, d] intervallum feletti ívét forgatjuk meg az y-tengely körül, akkor a kapott T forgástest térfogata F π d c gy) + g y)) dy. FELADATOK.. Számítsuk ki annak a forgástestnek a palástfelszínét, amelyet a y görbe 0 intervallumhoz tartozó ívének - tengely körüli forgatásával kapunk. Megoldás. Mivel f) esetén f ), így a képlet alapján a keresett palástfelszínt az y y F π 0 + 4 d π 0 + 4 d képlettel számoljuk. Vezessük be az + 4 t, 4 d dt, d dt 4 helyettesítést. Ekkor F π π tdt 6 9 t t π ). 9

5.7. Improprius integrál 07. Számoljuk ki annak a gömbnek a felszínét, amely az f) r félkör - tengely körüli forgatásával keletkezik. Megoldás. Mivel az változó a [ r, r] intervallumból veszi az értékeit, a félkört meghatározó függvényértékek nemnegatívak. Az f függvény első deriváltja most f ), ezért a gömb felszíne r y r ) F π r + d r r r y r r π π r r r r r r d r d πr r r 4r π. r 0 r r 5.7. Improprius integrál 5.7.. Első típusú improprius integrál 5.. Definíció. Ha az f : [a, ] R függvény integrálható az [a, b] intervallumon, minden b > a esetén, az f függvény első típusú improprius integrálja az [a, ] intervallumon a következő határérték: T f)d lim f)d. a T a Ha a fenti határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy az a f)d improprius integrál konvergens, ha nem létezik, akkor az adott integrál divergens. Hasonlóan, az f : [, b] R függvényre, amely integrálható a [c, b] intervallumon, minden c < b esetén, úgy definiáljuk az f függvény első típusú improprius integrálját a [, b] intervallumon, mint a következő határértéket: b f)d b lim f)d. T T Végül, a definíció szerint az f : R R függvényre, amely integrálható a [c, d] intervallumon, minden c, d R, c < d esetén, f)d a f)d + Belátható, hogy ez a definíció nem függ az a számtól. Az a f)d. f)d improprius integrál a definíció szerint konvergens, ha mindkét jobb oldalon szereplő improprius integrál konvergens.

08 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA FELADATOK.. Határozzuk meg az d improprius integrál értékét. Megoldás. Az improprius integrált úgy számoljuk, mint a határozott integrál határértékét: T d lim T d lim [ln T ] T lim ln T. T y y Mivel határozott integrálról, tehát területről van szó, ez egyúttal azt is jelenti, hogy az y görbe és az -tengely közötti terület az egyenestől jobbra végtelen nagy.. Számítsuk ki az y görbe és az -tengely közötti terület nagyságát esetén. Megoldás. Ezt a területet egy első típusú improprius integrál segítségével lehet kiszámítani, azaz T lim T T d lim d T T ) + ) T lim T. y y Ez az improprius integrál tehát konvergens, a keresett terület mérőszáma, tehát véges.. Számítsuk ki az y görbe és az -tengely közötti területet a görbét + 5 meghatározó függvény teljes értelmezési tartományán. Megoldás. Az f) függvény értelmezési tartománya a valós számok + 5 R halmaza. Az f függvény páros, tehát a grafikonja, és így a keresett terület is, szimmetrikus az y-tengelyre, ezért a területet a következő módon számolhatjuk ki: T d + 5 0 d T + 5 lim T 0 Vezessük be az t, d 5dt helyettesítést. Ekkor 5 d + 5 T 5 lim T 0 d 5) +.

5.7. Improprius integrál 09 T T 5 lim 5 T 0 dt t + 5 lim T arctg t) arctg 5 lim T5 ) arctg 0 T 5 π π 5. T 5 0 5 y y 5 4. Számítsuk ki az Megoldás. 5 T lim T 5 7 5 7 lim T d improprius integrált. + + d 5 ) + 4) d 7 + 4 ln T T + 4 ln ) 9 7 ) d 7 lim T [ ) ] ln T + 4 ln ln ) 9 7 ln 9. 5 y y y y 5 5. Számítsuk ki az d + improprius integrált. Megoldás. Az adott improprius integrált az + t, t, d tdt helyettesítéssel oldhatjuk meg a következő módon: d + [ ) ] lim T ln t T t + tdt T t ) t lim T lim T dt t ln T T + ln ) ln ln ln.

0 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 5.7.. Második típusú improprius integrál 5.. Definíció. Ha az f : [a, b] R függvény integrálható a [c, d] [a, b] intervallumon, minden c, d a, b) esetén, és a következő egyenlőségek egyike érvényes: lim f) +, lim b 0 f), b 0 azaz, ha f nemkorlátos a b bármely környezetében), akkor az f függvény második típusú improprius integrálja az [a, b] intervallumon a következő határérték: b a f)d lim ε 0+0 b ε Mint az első típusú improprius integrálok esetében, az a f)d. b a f)d integrál konvergens, illetve divergens, ha a fenti határérték létezik, illetve nem létezik. Az f függvény második típusú improprius integráljához hasonlóan definiáljuk az [a, b] intervallumon az improprius integrált, ha érvényes a következő egyenlőségek egyike: FELADATOK. lim f) +, lim a+0 f). a+0. Számítsuk ki az y görbe, valamint az 0, és az y 0 egyenesek közötti terület nagyságát. y y y Megoldás. Mivel az f) függvény nem értelmezett 0- ban, ezért a keresett terület egy második típusú improprius integrállal számolható ki: d T 0 lim d ε 0 ε lim ln ε 0 ε lim ε 0 ln ln ε) ). A kapott integrál tehát divergens, a keresett terület végtelen nagy.. Számítsuk ki az y görbe, valamint az 0, és az y 0 egyenesek által határolt terület nagyságát. Megoldás. Az f) függvény nem értelmezett az 0 pontban, így a keresett területet egy második típusú improprius integrállal számolhatjuk ki. Ebben az esetben d ) ) T lim d lim ε 0 lim ε, ε 0 0 ε 0 ε tehát most az integrál konvergens, a területet meghatározó mérőszám pedig. ε

5.7. Improprius integrál. Számoljuk ki az 0 d integrál értékét. Megoldás. Az integrálandó függvény nem értelmezett az integrál felső határában, tehát improprius integrálról van szó. I 0 ε d lim ε 0 0 d. Vezessük be a t, dt d, dt d helyettesítést. Ekkor I lim ε 0 ε) 4. Számítsuk ki az 0 dt t lim t ε 0 ε) + d improprius integrált. lim ε) ). ε 0 Megoldás. Az integrandus nem értelmezett 0 pontban. Ezért második típusú improprius integrálról van szó. Ekkor + ) [ ) ] d lim 4 + 9 d lim 0 ε 0 ε ε 0 7 + 6 5. Számítsuk ki az 0 9 lim ε 0 7 + 6 9 ) 7 ε ε 6 ε 5 7 7 7. d improprius integrált. Megoldás. Vegyük észre, hogy az f) függvény nem értelmezett - ben, és ez az [, 0] intervallumba esik. Tehát az integrált szét kell bontani két integrál összegére, melyek közül az egyik az [, ], másik a [, 0] intervallumra vonatkozik. Ekkor ε 0 d d 0 + d ε lim ε 0 d 0 d + lim ε 0 +ε ε lim ) ) ε 0 lim ε ) ε 0 ) + lim ε 0 ) + lim ε 0 4 ) 0 +ε ) ε ) 9.

6. Differenciálegyenletek 6.. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon és amelyre érvényes, hogy F ) f). 6.) A probléma másik megfogalmazása: megkeresni az f függvény határozatlan integrálját az adott intervallumon annyit jelent, mint megadni a 6.) függvényegyenlet minden megoldását az adott intervallumon. A természetben bizonyos fizikai problémák megoldása matematikai szempontból egyegy ismeretlen függvény meghatározását teszi szükségessé. Ez csak akkor lehetséges, ha az adott problémára fel tudunk írni egy matematikai modellt, azaz az ismeretlen függvényre egy olyan egyenletet, amelyet annak ki kell elégítenie. Ezekben az egyenletekben, mint például a 6.)-ben is, az ismeretlen függvényen kívül szerepelhetnek annak deriváltjai is. Az ilyen egyenleteket nevezzük differenciálegyenleteknek. A differenciálegyenletek elmélete igen fontos és szerteágazó matematikai tudományterület, amelynek számos különböző alkalmazása van. 6.. Példa. Keressük meg az Oy síkban azokat a görbéket, amelyek bármely pontjában az érintő iránytényezője fordítottan arányos az érintési pont abszcisszájával. Megoldás. Ha y y) a keresett görbe egyenlete, akkor y k kell, hogy teljesüljön, ahol k az arányossági tényező. Ekkor y k d k d k ln + C, ahol C tetszőleges valós állandó. Ebből a görbeseregből egy meghatározott görbét úgy tudunk kiválasztani, ha megadunk még valamilyen feltételt. Keressük a görbeseregből azt a görbét, amely áthalad az M, 0) ponton. Ekkor a keresett görbe teljesíti az y) 0, azaz k ln + C 0 feltételt, ahonnan C 0 adódik, azaz a kiválasztott görbe az y k ln. 6.. Példa. Adjuk meg az y C e + C e görbeseregnek megfelelő differenciálegyenletet, ahol C és C valós paraméterek.

6.. A differenciálegyenlet fogalma Megoldás. Ha kétszer differenciáljuk a függvényt, akkor y C e C e, y C e + C e adódik, ahonnan a keresett differenciálegyenlet y y. 6.. Definíció. Azt a függvényegyenletet, amely a független változót, az ismeretlen függvényt, valamint az ismeretlen függvény deriváltjait tartalmazza, differenciálegyenletnek nevezzük. A differenciálegyenlet rendje az ismeretlen függvény differenciálegyenletben szereplő legmagasabb deriváltjának a rendje. Az algebrai egyenletekhez hasonlóan a differenciálegyenletekben is van ismeretlen, de az most nem szám, hanem függvény. Az egyenlet megoldásakor olyan y y) függvényeket keresünk, amelyeket deriváltjaikkal együtt a differenciálegyenletbe helyettesítve az változóban egy azonosságot kapunk. Az egyszerűbb felírás kedvéért, az független változójú y) függvény helyett a differenciálegyenletekben csak y-t írunk. A fenti definíció alapján, y elsőrendű differenciálegyenlet, y y 0 pedig másodrendű differenciálegyenlet. A modellezett fizikai problémától függően az változó helyett sokszor más betűt használunk, legtöbbször t-t, amely az időre utal; ekkor y helyett -et vagy s-t, y helyett -t, ẋ-ot vagy s -t, ṡ-ot írunk. Adott F : a, b) R R és f : a, b) R R függvényekre az elsőrendű differenciálegyenlet implicit alakja eplicit alakja pedig F, y, y ) 0, 6.) y f, y). Adott G : a, b) R R és g : a, b) R R függvényekre a másodrendű differenciálegyenlet implicit alakja G, y, y, y ) 0, 6.) eplicit alakja pedig y g, y, y ). 6.. Definíció. Az y y) függvény a 6.), illetve 6.) differenciálegyenlet megoldása az a, b) intervallumon, ha y y) egyszer, illetve kétszer differenciálható az a, b) intervallumon, és deriváltjaival együtt kielégíti a megfelelő differenciálegyenletet. Ha az y y) függvény megoldása a differenciálegyenletnek, akkor az y y) függvény grafikonját megoldásgörbének nevezzük. Megoldani egy differenciálegyenletet annyit jelent, mint megkeresni minden megoldását. A differenciálegyenletek elméletében a differenciálegyenleteknek különböző megoldásai léteznek. 6.. Definíció. Az y y, C) függvénycsaládot, ahol C tetszőleges valós állandó, az y f, y) elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük, ha az y y, C) függvények mindegyike megoldása az adott egyenletnek.

4 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Az általános jelző egy kicsit félrevezető. Előfordulhat ugyanis olyan eset, hogy az általános megoldás nem szolgáltatja az egyenlet összes megoldását. Ez azt jelenti, hogy van az egyenletnek olyan megoldása, amely nem kapható meg a C paraméter alkalmas megválasztásával. Az ilyen megoldást szinguláris megoldásnak nevezzük. 6.4. Definíció. Az y f, y) elsőrendű differenciálegyenlet minden olyan megoldását, amelyet az egyenlet általános megoldásából kapunk a C paraméter egy konkrét megengedett) C C 0 értékére, partikuláris megoldásnak nevezzük. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása egy egyparaméteres görbesereget határoz meg. Ennek a görbeseregnek egy görbéje egy partikuláris megoldás grafikonját ábrázolja. 6.. Példa. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy az y + C) az y 4 y egyenlet általános megoldása. Az egyenlet partikuláris megoldása például C esetén az y +), C esetén az y ) vagy C 0 esetén az y 4. Az egyenletnek megoldása az y 0 is. A C paramétert nem tudjuk úgy választani, hogy + C) 0 egy intervallumon teljesüljön. Ezért az egyenletnek y 0 szinguláris megoldása. y C 7 6 5 C 4 C 0 C C Általában az y f, y) elsőrendű differenciálegyenlet olyan partikuláris megoldását keressük, amely áthalad egy megadott 0, y 0 ) ponton, azaz eleget tesz az y 0 ) y 0 kezdeti feltételnek. Az y f, y) elsőrendű differenciálegyenlet az y 0 ) y 0 kezdeti feltétellel együtt kezdetiérték-problémát alkot.

6.. A differenciálegyenlet fogalma 5 6.4. Példa. Tekintsük az y y differenciálegyenletet. Határozzuk meg az adott differenciálegyenlet általános megoldását, majd azt a partikuláris megoldást, amely eleget tesz az y ) Megoldás. alakban. Ekkor kezdeti feltételnek. Írjuk fel az egyenletet y dy d d dy y y 0; y 0 egy megoldása a differenciálegyenletnek), ahonnan a két oldal integrálásával kapjuk, hogy ln y ln + ln C, C > 0, azaz y C. Innen y C vagy y C, vagyis y C, C R \ {0} az általános megoldás. Minden 0, y 0 ), 0 R \ {0} pont esetén létezik az y C görbeseregnek egy olyan egyértelmű megoldása, amely tartalmazza a megadott pontot. Eszerint a megadott, ) pontra az C egyenletnek C egyértelmű megoldása, tehát a keresett 9 partikuláris megoldás y 9. y C C 0.5 P, C 9 C 6.5. Definíció. Az y y, C, C ) függvénycsaládot, ahol C és C tetszőleges egymástól független valós állandók, az y g, y, y ) másodrendű differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük, ha az y y, C, C ) függvények mindegyike megoldása az adott egyenletnek.

6 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK A másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása egy kétparaméteres görbesereget határoz meg. 6.6. Definíció. Az y g, y, y ) másodrendű differenciálegyenlet minden olyan megoldását, amelyet az egyenlet általános megoldásából kapunk vagy csak a C, vagy csak a C, vagy mindkét paraméter konkrét C C 0 vagy C C 0 értékére, partikuláris megoldásnak nevezzük. 6.5. Példa. Az y C cos + C sin függvény az y + y 0 másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása, y C cos, y C sin, y cos sin pedig partikuláris megoldások. Általában az y g, y, y ) másodrendű differenciálegyenlet olyan partikuláris megoldását keressük, amely áthalad egy megadott 0, y 0 ) ponton és 0 pontban y a meredeksége, azaz eleget tesz az y 0 ) y 0, y 0 ) y kezdeti feltételnek. Az y g, y, y ) másodrendű differenciálegyenlet az y 0 ) y 0, y 0 ) y kezdeti feltétellel együtt kezdetiérték-problémát alkot. 6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 6... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 6.7. Definíció. Az y f)gy) alakban felírható elsőrendű differenciálegyenletet szétválasztható változójú differenciálegyenletnek nevezzük. Ha a deriváltra a Leibniz-féle jelölést használjuk, y dy d, akkor az y f)gy) egyenlet dy d f)gy) alakban írható fel. A megoldás létezésének biztosítása érdekében tegyük fel, hogy f és g folytonosak a megfelelő intervallumokban. Ha gy) 0, akkor az y f)gy) egyenlet ekvivalens a dy gy) f)d egyenlettel, és az egyenlet általános megoldása ekkor dy gy) f)d, amiből és f) primitív függvényeinek, mondjuk Gy) és F ) függvények meghatározása után azt kapjuk, gy) hogy Gy) F ) + C, ahol C tetszőleges valós állandó. Ha a gy) 0 egyenletnek b, b,..., b k valós megoldásai, akkor a fenti megoldások mellett az y b, y b,...,y b k függvények is megoldásai az y f)gy) egyenletnek.

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 7 FELADATOK.. Határozzuk meg az y differenciálegyenlet általános megoldását, majd azt a y partikuláris megoldást, amely áthalad a P, ) ponton. Megoldás. Alkalmazzuk az y dy d jelölést. Ha y 0, akkor a dy d y szétválasztható változójú differenciálegyenletet kapjuk, amiből ydy d. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát, ekkor az ydy d egyenlőséget kapjuk, innen pedig integrálás után y + C, azaz + y C. Ha C r, akkor az + y r egyenletű görbesereg, azaz koncentrikus középponti körvonalak képezik az általános megoldást. Ha a P, ) ponton áthaladó partikuláris megoldást keressük, akkor a P, ) ponton áthaladó körvonal egyenletét keressük. Ha belyettesítjük a P pont megfelelő koordinátáit az általános megoldásba, akkor + r azaz r. A keresett partikuláris megoldás tehát + y. y P, C 0 C 0.5 C C C 9

8 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. Határozzuk meg az y y 0 differenciálegyenlet y ) feltételt kielégítő megoldását. Megoldás. Az egyenlet felírható dy d y 0 alakban is, amelyből megállapítható, hogy szétválasztható változójú differenciálegyenletről van szó. A folytonosság biztosítása miatt és. Ha y 0, akkor a fenti egyenlet dy y d alakban is felírható. Integrálva az egyenlet mindkét oldaát adódik, hogy dy y d. A jobboldali integrálban vezessük be az t helyettesítést, amiből d dt. Integrálás után ln y ln + ln C, C R +, innen pedig ln y ln C. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt kapjuk, hogy y C, ahonnan y C ) vagy y C ), C R +. Ha C R \ {0} konstanst választunk, akkor a két egyenlet közös alakja y C ), C R \ {0}. Vegyük észre, hogy y 0 is megoldása az egyenletnek, mely C általános megoldásból is megkapható, tehát az 0 esetén az y C ), C R, függvénycsalád alkotja az általános megoldást, s ezen függvények grafikonjai egy parabolasereget alkotnak. Ha az általános megoldás függvényeiből azt a partikuláris megoldást keressük, amely kielégíti az y ) feltételt, akkor azt a megoldást keressük, amely esetén y értéket ad, azaz teljesül az C ) egyenlőség, ahonnan C. A keresett partikuláris megoldás tehát y.. Határozzuk meg a sin d + cos ydy 0 differenciálegyenlet általános megoldását, majd azt a partikuláris megoldást, amely eleget tesz az y0) π feltételnek. Megoldás. Mivel a megadott differenciálegyenlet ekvivalens a sin d cos ydy

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 9 egyenlettel, megállapíthatjuk, hogy egy szétválasztható változójú differenciálegyenletről van szó. Integrálás után adódik: sin d cos ydy tehát az általános megoldás cos + C sin y, sin y cos + C 0. A partikuláris megoldás meghatározásához meg kell határozni a C állandó értékét, amelyre teljesül az y0) π feltétel. Tehát keressük azt a megoldást, amely áthalad a 0, π) ponton. A sin π cos 0 + C 0 feltételből adódik, hogy C, vagyis a keresett partikuláris megoldás sin y cos + 0. 4. Oldjuk meg az y + y differenciálegyenletet. Megoldás. A változók szétválasztásához használjuk fel az y dy d dy d y és dy d, ha y ±. y jelölést. Ekkor Mindkét oldal integrálásával kapjuk, hogy dy y d. A baloldali integrál racionális törtfüggvény integrálja. Elemi törtekre való bontás után kapjuk, hogy y + ) dy + C, + y ahol C tetszőleges valós szám, innen pedig integrálás után ln y + ln + y ) + C adódik. Az egyenlet bal oldalának rendezése után az egyenlet ln + y y + C alakú lesz, általános megoldása pedig y e+c) e +C) +, C R.

0 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5. Határozzuk meg az y y, y ) kezdetiérték-probléma megoldását. y + y Megoldás. Alkalmazzuk az y dy jelölést és bontsuk tényezőire az egyenlet jobb d oldalát. Ha y 0 és, akkor dy d + y) y + ). Ha y, akkor a változók szétválasztása után kapjuk, hogy ydy + y d +, mindkét oldal integrálása után pedig a következő adódik: y + + y ydy + y d + + dy + d ) dy ) d + y + dy + y dy d + + d. A megfelelő primitív függvények meghatározása után kapjuk a differenciálegyenlet általános megoldását: illetve más elrendezésben: y ln + y + ln + + C, y + C ln + + ln + y. Mivel az y ) kezdeti feltételnek kell teljesülnie, ezért C ln + ln, 4 C ln, ahonnan C 4. A kezdetiérték-probléma megoldása tehát y + + 4 ln + ) + y), azaz e y++4 + ) + y).

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 6... Változóiban homogén differenciálegyenlet 6.8. Definíció. Az y f y ), R \ {0} alakú differenciálegyenletet változóiban homogén vagy röviden homogén) differenciálegyenletnek nevezzük. Ezt az egyenlet az y t helyettesítéssel, ahol t t) az új ismeretlen függvény, szétválasztható változójú differenciálegyenletre hozhatjuk. Ekkor y t + t, majd a homogén egyenletbe való behelyettesítés után t + t ft) adódik, azaz dt d + t ft), vagyis, hogy dt ft) t d, az ft) t feltétel mellett. A jobb és bal oldal integrálása után adódik, hogy dt ft) t ln + C. Ha az ft) t egyenletnek t, t,..., t k megoldásai, akkor a t t, t t,..., t t k konstans függvények megoldásai az átalakított egyenletnek, az y t, y t,..., y t k lineáris függvények pedig az eredeti homogén egyenletnek megoldásai. FELADATOK.. Határozzuk meg az y e y y +, 0, differenciálegyenlet általános megoldását. y Megoldás. Vegyük észre, hogy az adott egyenlet y f alakú, tehát vál- ) tozóiban homogén differenciálegyenlet. Alkalmazzuk az y t, illetve y t helyettesítést, ahonnan y t + t, mert t t) az új ismeretlen függvény. Ekkor ebből pedig t + t e t + t, dt d et. A változók szétválasztása után kapjuk, hogy dt e t d, majd mindkét oldal integrálásával az e t dt d,

6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK illetve e t ln + ln C, C > 0 egyenlőséget, ahonnan e t ln, C azaz t ln ln ). C Visszahelyettesítés után adódik az y ln ln C általános megoldás. ), azaz y ln ln ) C. Határozzuk meg az y y differenciálegyenlet általános megoldását, majd y azt a partikuláris megoldást, amely áthalad a 0, ) ponton. Megoldás. Ha y ±, 0 és az egyenlet jobb oldalán levő racionális törtfüggvényt -tel egyszerűsítjük, akkor y y y, azaz y y y adódik, amiből látszik, hogy az egyenletünk y f alakú, tehát változóiban ) homogén differenciálegyenlet. Alkalmazzuk az y t, illetve y t helyettesítést, y ) ahonnan y t + t, mert t t) az új ismeretlen függvény. Ekkor ahonnan rendezéssel az t t + t t t, t dt, azaz t d t + t t A változók szétvá- alakú szétválasztható változójó differenciálegyenletet kapjuk. lasztása után kapjuk, hogy t t + t dt d, a két oldal integrálásával pedig, hogy t d t + t dt. Mivel a baloldali integrandus egy racionális törtfüggvény, amely elemi törtek összegére bontható, azaz t tt + ) t t t +

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek érvényes, ezért a továbbiakban t t t + ) dt ln + ln C, C > 0. A baloldali második integrálban bevezetjük a t + z, tdt dz helyettesítést, így ln t ln z ln C, illetve t t + C. Ebből visszahelyettesítés és rendezés után y + y C, C R, az általános megoldás. A keresett partikuláris megoldásra teljesül, hogy ha 0, akkor y. Ekkor 0 + C, azaz C, s ebből a keresett partikuláris megoldás y + y.. Oldjuk meg az y y + y) ln + y differenciálegyenletet, ha 0. Megoldás. Fejezzük ki az adott egyenletből az ismeretlen függvény deriváltját. Ekkor y y + + y ln + y, innen pedig y y + + y ) ln + y ). Megállapíthatjuk, hogy a differenciálegyenlet változóiban homogén, tehát bevezetjük a t y helyettesítést, ahonnan y t + t. Az egyenlet most t + t t + + t) ln + t) szétválasztható változójú differenciálegyenletté alakul át, amely a változók szétválasztása után dt + t) ln + t) d alakra hozható. Integráljuk a fenti egyenlet mindkét oldalát. Ekkor dt d + t) ln + t). Ha a bal oldalon alkalmazzuk az ln + t) z helyettesítést, akkor így dz z ln + ln C, C > 0 dt + t dz, és

4 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK adódik, ahonnan ln z ln C, illetve z C, C R. Visszatérve az eredeti változókra kapjuk, hogy Ebből az általános megoldás ln + t) C, illetve e C + y, C R. y ec, amiből y e C ), C R. 4. Határozzuk meg az + y )d y dy 0 differenciálegyenlet y) kezdeti feltételt teljesítő megoldását. Megoldás. Az egyenlet rendezése után adódik, hogy + y )d y dy, illetve + y y dy, ha y 0. d Alkalmazzuk a dy d y helyettesítést és egyszerűsítsük a racionális törtfüggvényt -nal. Ekkor a differenciálegyenlet felírható mint y, illetve y + y ) ) y. +y y Megállapíthatjuk, hogy a kapott egyenlet elsőrendű változóiban homogén differenciálegyenlet, ezért bevezetjük a t y helyettesítést ahonnan y t + t. Behelyettesítés után a t + t + t t szétválasztható változójú differenciálegyenletet kapjuk, amely a változók szétválasztása után az d t t dt alakra hozható. Integrálva a fenti egyenlet mindkét oldalát kapjuk, hogy d t t dt. Vezessük be az s t helyettesítést a jobb oldalon. Ekkor ds 6t dt és ln + ln C ds s, C > 0. Integrálás és rendezés után adódik, hogy ln C ln t és C t.

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 5 Visszatérve az eredeti változóra, elhagyva az abszolút értéket, a +C, illetve C állandókat C -gyel jelölve C R) és rendezve az egyenletet kapjuk a C y ), C R általános megoldást. Az y) kezdeti feltételt teljesítő megoldásra igaz, hogy esetén y is teljesül. Ekkor C ), ahonnan C és a keresett partikuláris megoldás y. 5. Oldjuk meg az y y)arctg y, y) 0 kezdetiérték-problémát, ha 0. Megoldás. Fejezzük ki az adott egyenletből az ismeretlen függvény deriváltját. Ha y 0, akkor y y arctg y, azaz y y + arctg y. Megállapíthatjuk, hogy a kapott egyenlet elsőrendű változóiban homogén differenciálegyenlet, ezért bevezetjük a t y helyettesítést ahonnan y t + t. Behelyettesítés után a t + t t + arctg t szétválasztható változójú differenciálegyenletet kapjuk, amely a változók szétválasztása után az arctg tdt d alakra hozható. Integrálva a fenti egyenlet mindkét oldalát kapjuk, hogy arctg tdt d. A bal oldali integrál parciális integrálással oldható meg. Legyen u arctg t és dv dt, ahonnan du dt és v t. Ebből következik, hogy + t t tarctg t + t dt d. Vezessük be a baloldali integrálban az + t z helyettesítést, amiből tdt dz, illetve tdt dt. Ebből tarctg t dz ln + ln C, C > 0, z tarctg t ln z ln + ln C, C > 0,

6 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK illetve tarctg t ln C + t, C > 0. Visszatérve az eredeti változókra kapjuk az y arctg y y ), ln C + C > 0 illetve más alakban az yarctg y ln C + y, C > 0 alakú általános megoldást. Egy megoldás teljesíti az y) 0 feltételt, ha igaz, hogy 0 arctg 0 ln C + 0, ahonnan ln C 0 és C. A keresett megoldás tehát yarctg y ln + y. 6... Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 6.9. Definíció. Az y + p)y q) alakú differenciálegyenletet, ahol p és q az független változótól függő adott folytonos függvények, elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Az egyenlet megoldását y uv szorzatalakban keressük, ahol u u) és v v) ismeretlen függvények. Ekkor az y u v + uv kifejezést behelyettesítve a lineáris differenciálegyenletbe adódik, hogy illetve u v + uv + p)uv q), u v + up)v + v ) q). 6.4) Határozzuk meg a v függvényt úgy, hogy igaz legyen a p)v + v 0 egyenlőség, vagyis dv p)d. A jobb és bal oldal integrálásával adódik, hogy v ln v p)d, azaz v e p)d. Ha a v-t visszahelyettesítjük 6.4)-be, akkor az u e p)d q) egyenletet kapjuk, amiből integrálás után u C + q)e p)d d

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 7 adódik, ahol C tetszőleges állandó. Ennek alapján az y + p)y q) elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldása y e p)d C + ) q)e p)d d. FELADATOK.. Mutassuk meg, hogy az y sin )d+cos dy 0 egyenlet lineáris elsőrendű differenciálegyenlet, majd a képlet alapján határozzuk meg azt a partikuláris megoldást, amely kielégíti az y0) 0 kezdeti feltételt. Megoldás. Rendezzük az egyenletet a következő módon: cos dy y sin )d, dy d cos sin cos y, y + tg y cos. π + kπ, k Z A fenti alakból már valóban egyértelmű, hogy lineáris elsőrendű differenciálegyenletről van szó, amelyben p) tg és q). Ha az általános megoldást cos ) y e p)d C + q)e p)d d képlettel keressük, akkor két integrált kell kiszámítanunk. Ezek közül az egyik: sin p)d tg d cos d cos t dt sin d dt ln cos. t A másik integrált a kapott primitív függvény segítségével számoljuk ki. Eszerint: q)e p)d d cos eln cos d d tg + C. cos Az általános megoldás tehát y e ln cos C + tg ) cos C + tg ) C cos + sin. Az y0) 0 kezdeti feltételt teljesítő megoldásra teljesül, hogy ha 0 teljesül, akkor y 0-nak is teljesülnie kell, azaz 0 C cos 0 + sin 0, ahonnan C 0, vagyis a keresett partikuláris megoldás az y sin függvény.

8 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. Oldjuk meg az y + y + 0 lineáris elsőrendű differenciálegyenletet. Megoldás. Osszuk el az adott egyenletet -tel és rendezzük a következő alakra: y + y, 0. Keressük a megoldást y uv szorzat alakban, ahol u u), v v) és ahonnan y u v + uv. Ekkor u v + uv + uv, 0. Emeljünk ki u-t a bal oldal második és harmadik tagjából, így u v + u v + ) v, 0. Válasszuk meg a v tényezőt úgy, hogy a bal oldalon a zárójelben levő kifejezés nulla legyen, azaz teljesüljön a v + v 0 egyenlőség. Innen a változók szétválasztása után dv v d adódik, ahonnan a két oldal integrálásával kapjuk, hogy ln v ln, illetve v. Visszahelyettesítés után az u v + u 0 egyenletet kapjuk, ahonnan u, illetve du d. Mindkét oldal integrálásával az u ln + C megoldás adódik. Az általános megoldás y uv C ln ), azaz y C ln.. Határozzuk meg az y + y ln +, y) 0 kezdetiérték-probléma megoldását. Megoldás. Elosztva az egyenlet mindkét oldalát -szel egyértelművé válik, hogy lineáris elsőrendű differenciálegyenletet kell megoldani, amelynek alakja y + y + ln, > 0.

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 9 Keressük a megoldást y uv szorzat alakban, ahol u u), v v) és ahonnan y u v + uv. Ekkor u v + uv + + ln uv. Emeljünk ki u-t a bal oldal második és harmadik tagjából, így u v + u v + ) v + ln. Válasszuk meg a v tényezőt úgy, hogy a v + kifejezés nulla legyen. Ha v + 0, akkor dv v d és v. Az eredeti egyenlet tehát u + ln alakú, ahonnan du + ln )d. Mindkét oldal integrálásával kapjuk a du + ln )d egyenletet, ahonnan Mivel u + ln d. ln d parciális integrálással oldható meg oly módon, hogy bevezetjük az U ln, dv d helyettesítést, ahonnan du d és V, és ebből Így az általános megoldás u + ln ) d, u + ln + C, azaz u ln + C. y uv ln + C), azaz y C + ln. A keresett partikuláris megoldáshoz tartozó C állandó pedig az y) 0 kezdeti feltétel segítségével a 0 C + ln egyenletből határozható meg. Innen C 0, vagyis a kezdetiérték-probléma megoldása y ln. π ) 4. Határozzuk meg az y +yctg 5e cos differenciálegyenlet, 4 ponton áthaladó partikuláris megoldását, ha kπ, k Z. Megoldás. Először az általános megoldást kell meghatározni. Mivel az adott egyenlet elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, ezért keressük a megoldást y uv szorzat

0 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK alakban, ahol u u), v v) és ahonnan y u v + uv, rendezés után az egyenlet alakja u v + uv + vctg ) 5e cos. Egyenlítsük ki a zárójelben levő kifejezést nullával. Ekkor v + vctg 0 és u v 5e cos. Az első egyenletből meghatározzuk v-t, majd felhasználásával a második egyenletből határozzuk meg az u függvényt, s ezzel az y függvény is adott lesz. Az első egyenlet egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amely rendezés után dv ctg d v alakra hozható. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. Ekkor dv v ctg d innen pedig Ekkor ln v ln sin illetve v sin. v sin. A második egyenlet most az u sin 5ecos alakot veszi fel, amely szintén egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Rendezés után kapjuk, hogy du 5e cos sin d, ahonnan mindkét oldal integrálásával adódik, hogy du 5 e cos sin d. A jobboldalon alkalmazzuk a cos t helyettesítést, ahonnan sin d dt. Ekkor u 5e cos + C. Az általános megoldást az y uv képletbe való visszahelyettesítés után kapjuk, és eszerint y C 5ecos. sin π ) Hogy a megoldás áthaladjon a, 4 ponton, teljesülnie kell a 4 c 5ecos π sin π, illetve 4 C 5 e0 egyenlőségnek, ahonnan C, a keresett partikuláris megoldás pedig y 5ecos. sin

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 5. Határozzuk meg az )y + y 0 differenciálegyenlet olyan partikuláris megoldását, amely áthalad a 0, ) ponton. Megoldás. Ha és akkor osszuk az adott egyenletet )-tel. Ekkor az y + y lineáris elsőfokú differenciálegyenletet kapjuk. Keressük a megoldást y uv szorzat alakban, ahol u u), v v) és ahonnan y u v + uv. Ekkor u v + uv + uv. Emeljünk ki u-t a bal oldal második és harmadik tagjából, így u v + u v + ) v. Válasszuk meg a v tényezőt úgy, hogy a v + v kifejezés nulla legyen. Ha v + v 0, akkor a változók szétválasztása után dv v d. Integrájuk a fenti egyenlet mindkét oldalát. Ekkor dv v d. A jobb oldalon alkalmazzuk az t helyettesítést, ahonnan d dt és d dt. Ekkor ln v dt t, amiből ln v ln t, azaz v,, ). Ha visszahelyettesítünk a megfelelő egyenletbe, akkor az egyenletet kapunk, amelyből u du d ). A jobb oldalon egy irracionális függvény integrálját kell meghatározni, melyet az sin t, d cos d helyettesítéssel tudunk megoldani. Ekkor cos tdt u sin t) sin t cos tdt cos t cos t dt tg t + C. cos t

6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Mivel tg t sin t sin t az változóra való visszatéréssel adódik, hogy u + C. Az adott differenciálegyenlet általános megoldása tehát ) y uv + C, illetve y + C. A keresett partikuláris megoldásra teljesül, hogy 0 esetés y, vagyis 0 + C 0, ahonnan C. A keresett partikuláris megoldás tehát az függvény. y + 6..4. Bernoulli-féle differenciálegyenlet 6.0. Definíció. Legyen k olyan valós szám, hogy k 0 és k. Az y + p)y q)y k alakú differenciálegyenletet, ahol p és q az független változótól függő adott folytonos függvények, Bernoulli-féle vagy Bernoulli-típusú differenciálegyenletnek nevezzük. A Bernoulli-féle differenciálegyenletet lineáris differenciálegyenletre való visszavezetéssel szokás megoldani. Szorozzuk be e célból a Bernoulli-típusú differenciálegyenlet mindkét oldalát y k -val. Beszorzás után az y k y + p)y k q) alakú differenciálegyenletet kapjuk. Vezessük be a z z) y k ) helyettesítést, ahonnan z k)y k y. Szorozzuk be a fenti egyenlet mindkét oldalát k)-val. A behelyettesítés után a Bernoulli-típusú differenciálegyenlet átalkul z + k)p)z k)q), illetve P ) k)p) és Q) k)q) jelöléssel z + P )z Q) alakú lineáris differenciálegyenletté, ahol z z) az új ismeretlen függvény. A lineáris differenciálegyenletekhez hasonlóan a Bernoulli-típusú differenciálegyenlet megoldását is kereshetjük y uv szorzat alakban, ahol u u) és v v).

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek FELADATOK.. Határozzuk meg az y y y 5 differenciálegyenlet általános megoldását. I.Megoldás. Az egyenlet egy Bernoulli-típusú differenciálegyenlet, amelyet egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre szeretnénk visszavezetni, ezért mindkét oldalát megszorozzuk y 5 -nel. Ekkor az y y 5 y 5 y 5 5, illetve y y 5 y y 4 egyenletet kapjuk. Bevezetve a z y 4 helyettesítést, ahonnan z 4y y 5, és beszorozva az egyenlet mindkét oldalát 4-gyel a z + 4z 4 lineáris differenciálegyenletet kapjuk, ahol z z) az új ismeretlen függvény. Most a megoldást z uv szorzat alakban keresve, ahonnan z u v +uv, a fenti egyenlet átalakul és a továbbiakban az illetve u v + uv + 4uv 4, u v + uv + 4v) 4 differenciálegyenletet tekintjük. A v függvényt a egyenletből, az u függvényt pedig az egyenletből határozzuk meg. v + 4v 0 u v 4 Mindkét differenciálegyenlet szétválasztható változójú és a szokásos módon oldjuk meg őket. A változók szétválasztása után az első egyenletből dv v 4d adódik, amely a két oldal integrálása után az dv v 4 illetve d, ln v 4, azaz v e 4 megoldáshoz vezet. Az u v 4 egyenlet a v behelyettesítése után az u e 4 4 differenciálegyenlethez vezet. A változók szétválasztása után du 4e 4 d,

4 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK a jobboldalt parciálisan integrálva az u C e 4 + 4 e4 d megoldást adja. A lineáris differenciálegyenlet általános megoldása z Ce 4 + 4, a Bernoulli-egyenlet általános megoldása pedig a visszahelyettesítés után y 4 Ce 4 + 4, azaz 4 y ± 4 4Ce 4 4 +. II.Megoldás. Keressük most az ismeretlen függvényt y uv szorzat alakban, ahol u u) és v v). Ekkor y u v + uv és a differenciálegyenletbe való helyettesítés után az u v + uv uv u 5 v 5, illetve u v + uv v) u 5 v 5 egyenlet adódik. Határozzuk meg a v függvényt a v v 0 szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldásával. Ekkor dv v d, ahonnan ln v, azaz v e. Ekkor u e e 5 u 5, szintén szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amely a változók szétválasztása után du u 5 e4 d alakú, mindkét integrálása után pedig u 5 du e 4 d, ahonnan a jobboldali integrált parciálisan megoldva az u 4 4 4 e4 4 e4 C 4, illetve rendezés után az u 4 e4 + 4 e4 + C

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 5 megoldásfüggvény adódik. Eplicit alakban kifejezve 4 u ± 4 e 4 4 + 4Ce 4 ). Így y uv miatt y ±e e 4 4 4, azaz y ± 4 + 4Ce 4 4 4 + 4Ce 4.. Határozzuk meg az yy y differenciálegyenlet y) kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását. Megoldás. Mutassuk meg, hogy az egyenlet Bernoulli-típusú. Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát y-nal y 0). Ekkor y y y, rendezés után pedig y y y, tehát a differenciálegyenlet k értékkel Bernoulli-féle. Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát y-nal. Most yy y. Vezessük be az y z, yy z helyettesítést. Az egyenlet mindkét oldalának -vel való beszorzása és a behelyettesítés után a yy y, illetve z z lineáris differenciálegyenletet kapjuk. A képlet alapján két integrált kell kiszámítanunk. Az első: d p)d ln. A másik az előző felhasználásával q)e p)d d e ln d d Ekkor a lineáris differenciálegyenlet általános megoldása z C ), a Bernoulli-féle differenciálegyenlet általános megoldása pedig y C ), ahonnan y ± C ). d + C.

6 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK A C állandó értékét a kezdeti feltételből számítjuk ki, ahonnan A keresett partikuláris megoldás eszerint + C ), illetve C 5. y 5 ).. Határozzuk meg az )dy y y)d 0 differenciálegyenlet olyan partikuláris megoldását, amelyre y) teljesül. Megoldás. Rendezzük a differenciálegyenletet. Ekkor )dy y y)d, dy y y d, ±, y y y. Innen megállapítható, hogy az egyenlet Bernoulli-típusú. Keressük a megoldást y uv szorzat alakban, ahol u u) és v v). Ekkor y u v + uv és a differenciálegyenletbe való helyettesítés után az illetve u v + uv Határozzuk meg a v függvényt a uv u v, u v + u v ) v u v. v v 0 egyenletből. A változók szétválasztása és mindkét oldal integrálásával kapjuk, hogy dv v d. A jobb oldali integrálban vezessük be az t, d dt helyettesítést. Ekkor dt ln v, azaz ln v ln t. t Ebből v t, azaz v. Visszahelyettesítve adódik az u ) u ), azaz u u szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek megoldása a változók szétválasztása és integrálás után du u d,

6.. Elsőrendű differenciálegyenletek 7 illetve u C, vagyis u C. A Bernoulli-féle egyenlet általános megoldása y uv alapján y C ) C. A keresett partikuláris megoldásra igaz, hogy esetén y, ezért vagyis C, ezért 4 6 C, y, ahonnan y +,. 4. Oldjuk meg az y + y ln y differenciálegyenletet, ha > 0 és y 0. Megoldás. Az egyenlet y + y ln y alakra hozható, tehát Bernoulli-típusú. Keressük a megoldást y uv szorzat alakban, ahol u u) és v v). Ekkor y u v + uv és a differenciálegyenletbe való helyettesítés után az u v + uv uv ln u v, illetve Határozzuk meg a v függvényt a u v + u v ) v ln u v. v v 0 egyenletből. A változók szétválasztása és mindkét oldal integrálásával kapjuk, hogy Visszahelyettesítés után adódik az u dv v d, ahonnan v. ln u, azaz u ln u szétválasztható változójú differenciálegyenlet. A változók szétválasztásával és mindkét oldal integrálásával adódik, hogy u du ln d,

8 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK illetve u 4 4 4 4 ln 4 4 4 + C 4. A jobboldali integrált a parciális integrálás módszerével oldottuk meg. Rendezés után kapjuk, hogy u 4 4 ln 4 + C 4 ), azaz u ± 4 ln 4 + C 4. A Bernoulli-féle egyenlet általános megoldása y ± 4 ln 4 + C 4. 5. Határozzuk meg az y + yctg + ctg π ) y cos, y 0 kezdetiérték-probléma megoldását, ha y 0 és k π, k Z. Megoldás. Mivel a differenciálegyenlet Bernoulli-típusú, ezért szorozzuk be mindkét oldalát y -tel. Ekkor y y + y ctg + ctg cos. Bevezetve a z y helyettesítést, ahonnan z y y, a y y + y ctg + ctg cos, illetve z + zctg + ctg cos lineáris differenciálegyenletet kapjuk, ahol z z) az új ismeretlen függvény. Most a megoldást z uv szorzat alakban keresve, ahonnan z u v +uv, a fenti egyenlet átalakul, és a továbbiakban az u v + uv + uvctg + ctg cos, illetve u v + u v + vctg ) + ctg cos egyenlettel foglalkozunk. Határozzuk meg a v függvényt a v + vctg 0 szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldásával. Ekkor dv cos v d, ahonnan ln v ln sin, azaz v sin sin. Ekkor u sin + ctg cos

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 9 szintén szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amely a változók szétválasztása után du + tg )d alakú, mindkét oldal integrálásával pedig megkapjuk az megoldást. z uv alapján u ln cos + C z ln cos + C). sin Visszahelyettesítve, az eredeti ismeretlen függvény y ln cos + C z, vagyis y. sin 6.. Másodrendű differenciálegyenlet 6... Másodrendű lineáris differenciálegyenlet 6.. Definíció. Legyenek P, Q és f az változótól függő folytonos függvények az [a, b] intervallumon. Ekkor az y + P )y + Q)y f) alakú differenciálegyenletet másodrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Speciálisan, ha a fenti egyenletben f) 0, az így kapott y + P )y + Q)y 0 egyenletet homogén másodrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. A homogén másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldásának meghatározásában fontos szerepet játszik a függvények lineáris függetlenségének fogalma. 6.. Definíció. Az f, f,..., f n változójú valós függvények, amelyek a valós számok halmazának egy [a, b] intervallumán értelmezettek, lineárisan függetlenek a valós számok halmaza felett, ha az α f ) + α f ) +... + α n f n ) 0, [a, b], egyenletnek α, α,..., α n R) α α... α n 0 az egyetlen megoldása. Azokat a függvényeket, amelyek nem lineárisan függetlenek, lineárisan összefüggőeknek nevezzük. Két lineárisan összefüggő f és f függvény esetén α f ) + α f ) 0 úgy, hogy α 0 vagy α 0. Ekkor felírható, hogy f ) α α f ) vagy f ) α α f ),

40 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ami azt jelenti, hogy két függvény akkor és csakis akkor lineárisan összefüggő, ha az egyik felírható a másik függvény konstansszorosaként. A homogén másodrendű lineáris differenciálegyenlethez tartozó y ) és y ) megoldásfüggvények lineáris függetlenségének meghatározásához a Wronski-féle determinánst használjuk: W ) y ) y ) y ) y ). Érvényesek a következő állítások. 6.. Tétel. Legyen [a, b] a valós számok halmazának egy intervalluma. A következő állítások egymással ekvivalensek: a) Minden [a, b] esetén érvényes, hogy W ) 0; b) Az y + P )y + Q)y 0 egyenlet y ), y ), [a, b] megoldásai lineárisan függetlenek. 6.. Tétel. Legyenek y és y az y + P )y + Q)y 0 egyenlet lineárisan független megoldásai az [a, b] intervallumon. Ekkor az egyenlet általános megoldása az adott intervallumon y C y + C y, ahol C és C tetszőleges állandók. 6... Állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet 6.. Definíció. Az y + py + qy 0, p, q R alakú differenciálegyenletet állandó együtthatós homogén másodrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Az állandó együtthatós homogén másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldását most y e k eponenciális alakban keressük, ahol k állandó. Mivel y ke k, y k e k, a differenciálegyenletbe való behelyettesítéssel adódik, hogy e k k + pk + q) 0. Ebből az egyenletből kapjuk a k + pk + q 0 egyenletet, melyet az y + py + qy 0 állandó együtthatós homogén másodrendű lineáris differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének nevezünk, és megoldásainak természetéből adódóan három esetet különböztetünk meg. a) Legyen p 4q > 0. Ekkor a karakterisztikus egyenlet k és k megoldásai valósak és különbözőek, tehát az y e k és y e k függvények az y + py + qy 0 differenciálegyenlet megoldásai. Mivel a Wronski-féle determináns W ) ek e k k e k k e k ek +k ) k k ) 0, a kapott megoldások lineárisan függetlenek, így az y +py +qy 0 differenciálegyenlet általános megoldása y C e k + C e k alakú, ahol C és C tetszőleges állandók.

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 4 b) Legyen p 4q 0. Ekkor a karakterisztikus egyenlet k és k megoldásai valósak és egyenlőek. y e k az egyik megoldás és közvetlen behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy y e k is megoldása az y + py + qy 0 differenciálegyenletnek. Ekkor az y és y lineárisan független partikuláris megoldások, az általános megoldás pedig y C e k + C e k, illetve y C + C )e k, ahol C i C tetszőleges állandók. c) Legyen p 4q < 0. Ekkor a karakterisztikus egyenlet k és k megoldásai konjugált komple számok, tehát felírhatók k α + iβ, k α iβ alakban, ahol α, β R. Az Euler-formula alapján e α+iβ) e α e iβ e α cos β + i sin β) e α cos β + ie α sin β, ami azt sugallja, hogy y e α cos β és y e α sin β az y + py + qy 0 differenciálegyenlet megoldásai. Könnyen belátható, hogy ez valóban így van, mint ahogy az is, hogy ezek a megoldások lineárisan függetlenek. Az általános megoldás ahol C i C tetszőleges állandók. y e α C cos β + C sin β), FELADATOK.. Határozzuk meg az y 5y + 6y 0 másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. Keressük a megoldást y e k eponenciális alakban, ahol k állandó. Mivel y ke k és y k e k, a differenciálegyenletbe való behelyettesítéssel adódik, hogy k e k 5ke k + 6e k 0, illetve e k k 5k + 6) 0. Mivel e k 0, ezért a fenti szorzat másik tényezője kell nulla legyen, így kapjuk a k 5k + 6 0 karakterisztikus egyenletet, amelynek megoldásai k és k. Ezért y e és y e az y 5y +6y 0 egyenlet lineárisan független partikuláris megoldásai. A 6.. Tétel alapján a differenciálegyenlet általános megoldása ahol C és C tetszőleges állandók. y C e + C e,. Határozzuk meg az y 6y + 9y 0 differenciálegyenlet olyan megoldását, amely kielégíti az y0), y 0) kezdeti feltételeket. Megoldás. Keressük a megoldást y e k eponenciális alakban, ahol k állandó. Ekkor y ke k és y k e k. A differenciálegyenletbe való behelyettesítás után k e k 6ke k + 9e k 0, illetve e k k 6k + 9) 0

4 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK adódik, s mivel e k 0, ezért a fenti szorzat másik tényezője kell nulla legyen, így kapjuk a k 6k + 9 0 karakterisztikus egyenletet, amelynek megoldásai k k. A keresett lineárisan független partikuláris megoldások most y e és y e, az általános megoldás pedig y C e + C e, azaz y C + C ) e, ahol C és C tetszőleges állandók. A keresett partikuláris megoldás ki kell elégítse az y0) és y 0) feltételeket. Mivel y C + C + C ) e, C és C meghatározásához a C e 0 + C 0 e 0, C + C + C 0) e 0 két egyenletből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ebből C és C + C, vagyis a megoldás C és C, a keresett partikuláris megoldás pedig y )e.. Határozzuk meg az y 4y +y 0 differenciálegyenlet általános megoldását, majd azt a partikuláris megoldást, amely áthalad az origón és amelynek iránytényezője az origóban. Megoldás. Keressük a megoldást y e k eponenciális alakban, ahol k állandó. Ekkor y ke k és y k e k. A behelyettesítés után k e k 4ke k + e k 0,, illetve e k k 4k + ) 0 adódik, s mivel e k 0, így kapjuk a k 4k + 0 karakterisztikus egyenletet, amelynek megoldásai k + i és k i. A keresett lineárisan független partikuláris megoldások most az y e cos és az y e sin függvények, az általános megoldás pedig y C e cos + C e sin, azaz y e C cos + C sin ), ahol C és C tetszőleges állandók. A keresett partikuláris megoldás ki kell elégítse az y0) 0 és y 0) kezdeti feltételeket. Mivel y e C cos + C sin C sin + C cos ), C és C meghatározásához a e 0 C cos 0 + C sin 0) 0,

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 4 e 0 C cos 0 + C sin 0 C sin 0 + C cos 0) két egyenletből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ebből C 0 és C, vagyis a megoldás C 0 és C, a keresett partikuláris megoldás pedig y e sin. 4. Határozzuk meg az y y 0, y0), y 0) 0 kezdetiérték-probléma megoldását. Megoldás. Keressük a megoldást y e k eponenciális alakban, ahol k állandó. Ekkor y ke k és y k e k. A differenciálegyenletbe való behelyettesítás után adódik. Mivel e k 0, ezért k e k e k 0, illetve e k k ) 0 k 0 a karakterisztikus egyenlet, amelynek megoldásai k és k. A keresett lineárisan független partikuláris megoldások most y e és y e, az általános megoldás pedig y C e + C e, ahol C és C tetszőleges állandók. A keresett partikuláris megoldás ki kell elégítse az y0) és y 0) 0 kezdeti feltételeket. Mivel y C e + C e, C és C meghatározásához a C e 0 + C e 0, C e 0 + C e 0 0 két egyenletből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ebből C + C és C + C 0, vagyis a megoldás C és C, a keresett kezdetérték-probléma megoldása pedig y e + e. 5. Oldjuk meg az y y + y 0 differenciálegyenletet. Megoldás. Keressük a megoldást y e k eponenciális alakban, ahol k állandó. Ekkor y ke k és y k e k. A behelyettesítés után k e k ke k + e k 0,, illetve e k k k + ) 0 adódik, s mivel e k 0, így kapjuk a k k + 0

44 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK karakterisztikus egyenletet, amelynek konjugált komple megoldásai k i 5 és k + i 5. Mivel a konjugált komple megoldások valós része α, képzetes 5 része pedig β, a keresett lineárisan független partikuláris megoldások most y e 5 cos és y e 5 sin, az általános megoldás pedig ) y e 5 5 C cos + C sin, ahol C és C tetszőleges állandók. 6... Állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet 6.4. Definíció. Az y + py + qy f), p, q R, alakú differenciálegyenletet, ahol f folytonos, nem identikusan nulla valós függvény, állandó együtthatós inhomogén másodrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Az inhomogén differenciálegyenlet megoldásában fontos szerepet játszik a következő tétel. 6.. Tétel. Legyen y y h ), [a, b] az y + py +qy 0 homogén differenciálegyenlet általános megoldása és y y p ), [a, b] az y + py + qy f) inhomogén differenciálegyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása. Ekkor az y +py +qy f) inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y y h ) + y p ), [a, b]. Az y +py +qy f) inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldását a következő speciális esetekben tudjuk meghatározni. a) f) a 0 + a +... + a n n, a 0, a,..., a n R, a n 0. Ha f) n-edrendű polinom, a partikuláris megoldást y p ) s b 0 + b +... + b n n ) alakban keressük, ahol s a 0 számnak mint a k +pk+q 0 karakterisztikus egyenlet megoldásának multiplicitása, azaz s 0 ha a 0 szám nem gyöke az egyenletnek, s ha a 0 egyszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, illetve s ha a 0 kétszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek. b) f) ae α, a, α R. A partikuláris megoldást y p ) λe α, λ R alakban keressük. Ekkor y p) λαe α, y p) λα e α, és az egyenletbe való behelyettesítés után adódik, hogy λα e α + λpαe α + λqe α ae α,

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 45 ahonnan λα + pα + q) a következik. Ha α nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor, λ a α + pα + q. Ha α a karakterisztikus egyenlet gyöke, akkor a partikuláris megoldást y p ) λ s e α alakban keressük, ahol s az α gyök multiplicitása. c) f) a 0 + a +... + a n n )e α, α, a 0, a,..., a n R, a n 0. A partikuláris megoldást y p ) s b 0 + b +... + b n n )e α alakban keressük, ahol s a k + pk + q 0 karakterisztikus egyenlet α gyökének multiplicitása, azaz s 0 ha α nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, s, ha α a karakterisztikus egyenlet egyszeres gyöke, illetve s, ha α a karakterisztikus egyenlet kétszeres gyöke. d) f) e α a sin β + b cos β), a, b, β R. A partikuláris megoldást y p ) s e α A sin β + B cos β), A, B R alakban keressük, ahol s a karakterisztikus egyenlet α + iβ gyökének multiplicitása. Tehát, ha α + iβ gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor s, ha α + iβ nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor s 0. Ha az inhomogén differenciálegyenletben az f függvény f) f ) + f ) +... + f k ) alakú, ahol az f i, i,,..., k, függvények a fentiekben felsorolt függvények valamelyikével egyeznek meg, akkor a következő módon járunk el. Meghatározzuk az y + py + qy f i ), i,,..., k differenciálegyenletek megfelelő y pi partikuláris megoldásait. Ekkor az inhomogén differenciálegyenlet y p partikuláris megoldása alakban írható fel. y p y p + y p +... + y pk

46 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK FELADATOK.. Oldjuk meg az y + y 6y differenciálegyenletet. Megoldás. Először meghatározzuk az y + y 6y 0 homogén lineáris differenciálegyenlet y h általános megoldását, amelyet y e k eponenciális alakban keresünk. Az egyenletbe való behelyettesítéssel adódik, hogy ami ekvivalens az k e k + ke k 6e k 0, e k k + k 6) 0 egyenlettel. Mivel az eponenciális kifejezés nem lehet nulla, ezért a k ismeretlenű másodfokú polinom kell nulla legyen. A kapott egyenlet, k + k 6 0, az eredeti homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete. A k és k gyökök valósak és egyenlőek, tehát a megfelelő homogén differenciálegyenlet megoldása y h C e + C e, C, C R. Mivel a lineáris inhomohén differenciálegyenlet változójú függvénye egy lineáris polinom, az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását y p s A + B) alakban keressük, ahol s a karakterisztikus egyenlet k 0 megoldásának multiplicitása. Mivel ebben az esetben s 0, ezért y p A + B, y p A, y p 0. Minden partikuláris megoldás kielégíti az egyenletet, ezért behelyettesítve az inhomogén egyenletbe adódik, hogy ahonnan kapjuk a 0 + A 6A + B), 6A 0, A 6B 0 két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszert, amelynek megoldása A 6, B 6. A megfelelő partikuláris megoldás tehát y p 6 6, az eredeti inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása pedig y y h + y p, vagyis y C e + C e 6 6, C, C R.

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 47. Határozzuk meg az y 8y + 6y e 4, y0) 0, y 0) kezdetiérték-probléma megoldását. Megoldás. Határozzuk meg először az y 8y + 6y 0 homogén lineáris differenciálegyenlet y h általános megoldását, amelyet y e k eponenciális alakban keresünk. Az egyenletbe való behelyettesítéssel adódik, hogy ami ekvivalens az k e k 8ke k + 6e k 0, e k k 8k + 6) 0 egyenlettel. A homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete k 8k + 6 0, amelynek gyökei k k 4 valósak és egyenlőek, tehát a megfelelő homogén differenciálegyenlet megoldása y h C e 4 + C e 4, C, C R. Az inhomogén egyenletben szereplő változójú függvény f) e 4 eponenciális függvény, ezért az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását y p A s e 4 alakban keressük, ahol s a karakterisztikus egyenlet k 4 megoldásának multiplicitása. Most s, mivel a 4 a karakterisztikus egyenlet kettős gyöke, ezért y p A e 4, y p A + 4 )e 4, y p A + 6 + 6 )e 4. Behelyettesítve az inhomogén egyenletbe adódik, hogy A + 6 + 6 )e 4 8A + 4 )e 4 + 6A e 4 e 4. Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát e 4 -nel e 4 0), ekkor 6A + 6A + A 6A A + 6A, ahonnan A, illetve A. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása tehát y p e 4, az inhomogén egyenlet általános megoldása pedig y C e 4 + C e 4 + e 4, C, C R,

48 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK illetve y e 4 C + C + ), C, C R. Vegyük figyelembe most a kezdeti feltételeket. Ehhez szükséges a megoldás első deriváltja. Mivel y e 4 4C + 4C + + C + ), behelyettesítve az y0) 0, y 0) kezdeti feltételeket az e 0 C + C 0 + 0 ) 0, e 0 4C + 4C 0 + 0 + C + 0 ) két egyenletből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapjuk, amelynek megoldása C 0, C, ahonnan következik, hogy a kezdetiérték-probléma megoldása y e 4 + ).. Határozzuk meg az y +4y +4y 4e inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. Először meghatározzuk az y + 4y + 4y 0 homogén lineáris differenciálegyenlet y h általános megoldását, amelyet y e k eponenciális alakban keresünk. Az egyenletbe való behelyettesítéssel adódik, hogy ami ekvivalens az egyenlettel. k e k + 4ke k + 4e k 0, e k k + 4k + 4) 0 Mivel az eponenciális kifejezés nem lehet nulla, ezért a k ismeretlenű másodfokú polinom kell nulla legyen. A kapott egyenlet, k + 4k + 4 0, az eredeti homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete. A k és k gyökök valósak és egyenlőek, tehát a megfelelő homogén differenciálegyenlet megoldása y h C e + C e. Mivel a lineáris inhomohén differenciálegyenlet változójú függvénye egy polinom és egy eponenciális függvény összege, két partikuláris megoldást keresünk. Ezek y p A + B + C és y p De.

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 49 y p és deriváltjainak az y + 4y + 4y egyenletbe való behelyettesítése után adódik, hogy A + 4A + B) + 4A + B + C). Az egyenletet kielégítik az A 4, B és C 8 egyik partikuláris megoldás paraméterértékek, ezért az y p 4 + + 8. y p és deriváltjainak y + 4y + 4y 4e egyenletbe való behelyettesítése után kapjuk, hogy 4De + 4 De + 4De 4e. paraméterérték, tehát a másik partikuláris meg- Az egyenletet kielégíti a D 4 oldás y p 4 e. Az adott inhomohén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása tehát y y h + y p + y p, azaz y C e + C e 4 + + 8 4 e. 4. Határozzuk meg az y y +y +)e differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. A y y + y 0 homogén lineáris differenciálegyenlet megoldását y e k eponenciális alakban keressük. Az k e k ke k + e k 0 egyenletbe való behelyettesítés után adódik, hogy e k k k + ) 0. Mivel az eponenciális kifejezés nem lehet nulla, ezért a k ismeretlenű másodfokú polinom kell nulla legyen. A karakterisztikus egyenlet most k k + 0. A karakterisztikus egyenlet megoldásai konjugált komple számok: k + i és k i, így a homogén differenciálegyenlet megoldása ) ) y h C e cos + C e sin.

50 6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Mivel az + )e függvény szerepel a jobb oldalon, ezért az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását lineáris polinom és eponenciális függvény szorzataként keressük: y p A + B)e. y p és deriváltjainak az adott egyenletbe való behelyettesítése után adódik, hogy 4Ae + 4A + B)e Ae + A + B)e ) + A + B)e + )e. Az egyenletet kielégítik az A megoldás és B 0 paraméterértékek, tehát a partikuláris y p e. Az adott lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása tehát y y h + y p, azaz y C e cos ) ) + C e sin + e. 5. Oldjuk meg az y y 6y e + cos differenciálegyenletet. Megoldás. Először az y y 6y 0 homogén differenciálegyenlet általános megoldását keressük y e k eponenciális alakban. Az egyenletbe való visszahelyettesítés után adódik, hogy ami ekvivalens az k e k ke k 6e k 0, e k k k 6) 0 egyenlettel. Mivel az eponenciális kifejezés nem lehet nulla, ezért az r ismeretlenű másodfokú polinom kell nulla legyen. A karakterisztikus egyenlet most k k 6 0. A karakterisztikus egyenlet megoldásai, k és k, különböző valós számok, ezért a homogén differenciálegyenlet általános megoldása y h C e + C e. Két partikuláris megoldást keresünk, az egyiket eponenciális, a másikat pedig trigonometrikus alakban. Mivel a a karakterisztikus egyenlet egyszeres gyöke, ezért az eponenciális függvénynek megfelelő partikuláris megoldást y p Ae

6.. Másodrendű differenciálegyenlet 5 alakban keressük. y p és deriváltjainak y y 6y e egyenletbe való behelyettesítése után adódik, hogy 4Ae + 4Ae Ae Ae ) 6 Ae e. Az egyenletet kielégíti az A paraméterérték, ezért az első partikuláris megoldás 5 y p 5 e. A trigonometrikus függvénynek megfelelő partikuláris megoldást y p B cos + C sin alakban keressük. y p és deriváltjainak az y y 6y cos egyenletbe való behelyettesítése után adódik, hogy 9B cos 9C sin B sin + C cos ) 6B cos + C sin ) cos, illetve B 5C) sin 5B + C + ) cos 0. Az egyenlőség B 5C 0 és 5B + C + 0 esetén igaz, tehát B 5 78 és C. A keresett partikuláris megoldás most 78 y p 5 cos sin. 78 78 Az adott lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y y h + y p + y p, illetve y C e + C e 5 e 5 78 cos sin. 78

5 IRODALOM Irodalom [] Kleine Enzyklopädie - Mathematik, VEB Velag Enzyklopädie, Leipzig, 967. [] Matematikai kisleikon, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 97. [] Természettudományi kisleikon, Akadémiai Kiadó, Budapest, 97. [4] Bajcsai P., Fazekas F., Közönséges differenciálegyenletek Második rész), Tankönyvkiadó, Budapest, 97. [5] Bárczi B., Integrálszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. [6] Bertolino M., Diferencijalne jednačine, Naučna Knjiga, Beograd, 980. [7] Boros I., Diszkrét matematika, Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka, 008. [8] Boros I., Csikós Pajor G., Diszkrét matematika, Feladatgyűjtemény, Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka, 008. [9] Bronštejn I. N., Semendjajev K. A., Musiol G., Milig H., Matematički priručnik, SOHO GRAPH, Beograd, 004. [0] Budinčević M., Zbirka zadataka iz integralnog računa, UNS PMF, Novi Sad, 97. [] Budinčević M., Marić V., Obične diferencijalne jednačine - Problemi i zadaci, Naučna Knjiga, Beograd, 978. [] Csikós Pajor G., Matematikai analízis, Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka, 008. [] Dugopolski M., College Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, USA, 995. [4] Fazekas F., Határozatlan integrál, Tankönyvkiadó, Budapest, 977. [5] Georgijević D., Obradović M., Zbirka rešenih zadataka za drugi razred srednjih škola, Matematiskop, Beograd, 000. [6] Gy. Bartha Gy., Elbert Á., Hadnagy A., Loránt L., Riborics Gy., Scharnitzky V., Matematikai feladatok, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 998. [7] Hajnal I., Nemetz T., Pintér L., Urbán J., Matematika fakultatív B változat) IV. osztály, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 98. [8] Hajnal I., Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Tankönyvkiadó, Budapest, 986. [9] Hajnal I., Pintér L., Matematika fakultatív B változat) III. osztály, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 000.

IRODALOM 5 [0] Hadžić O., Takači Dj., Matematičke metode za studente prirodnih nauka, Újvidéki Egyetem, TTK, Újvidék, 000. [] Hatvani L., Pintér L., Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, POLYGON, Szeged, 997. [] Hatvani L., Krisztin T., Makay G., Dinamikus modellek a közgazdaságban, POLY- GON, Szeged, 00. [] Kadelburg Z., Mićić V., Ognjanović S., Analiza sa algebrom, udžbenik sa zbirkom zadataka za. razred Matematičke gimnazije, KRUG, Beograd, 008. [4] Kadelburg Z., Mićić V., Ognjanović S., Analiza sa algebrom, udžbenik sa zbirkom zadataka za. razred Matematičke gimnazije, KRUG, Beograd, 00. [5] Kadelburg Z., Mićić V., Ognjanović S., Analiza sa algebrom 4, udžbenik sa zbirkom zadataka za 4. razred Matematičke gimnazije, KRUG, Beograd, 00. [6] Kármán T., Biot M. A., Matematikai módszerek műszaki feladatok megoldására, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 96. [7] Kečkić J. D., Matematika és feladatgyűjtemény - a középiskolák III. osztálya számára, Zavod za Udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 005. [8] Kovács J., Takács G., Takács M., Analízis, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 998. [9] Korn G. A., Korn T. M., Matematikai kézikönyv műszakiaknak, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 975. [0] Marić V., Skendžić M., Obične diferencijalne jednačine, Naučna Knjiga, Beograd, 980. [] Marić V., Budinčević M., Diferencijalne i diferencne jednačine, PMF, Novi Sad, 005. [] Máté L., Rekurzív sorozatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 980. [] Miličić P. M., Uščumlić M. P., Zbirka zadataka iz više matematike I, Naučna Knjiga, Beograd, 98. [4] Miller K. S., An Introduction to the Calculus of Finite Differences and Difference Equations, Henry Holt and Company, New York, 960. [5] Monostori I., Szeredai E., Differenciálegyenletek, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 998. [6] Obádovics J. Gy., Matematika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 978. [7] Obádovics J. Gy., Szarka Zoltán, Felsőbb matematika, Scolar Kiadó, Budapest, 999.

54 IRODALOM [8] Obádovics J. Gy., Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény, Scolar Kiadó, Budapest, 999. [9] Obádovics J. Gy., Szarka Z., Felsőbb matematikai összefoglaló műszakiaknak, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 97. [40] Obradović M., Georgijević D., Matematika és feladatgyűjtemény - a középiskolák IV. osztálya számára, Zavod za Udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 998. [4] Peić H., Szarapka L., 00 rešenih ispitnih zadataka iz matematike, Univerzitet u Novom Sadu, Grad evinski Fakultet, Subotica, 996. [4] Peić H., Matematika I., Újvidéki Egyetem, Építőmérnöki Kar, Szabadka, 005. [4] Peić H., Rožnjik A., Magyar-szerb-angol matematikai szótár, ÚJ Vajdasági Módszertani Központ, Szabadka, 007. KÉP SZÓTÁR, [44] Rábai I., Elemi matematikai példatár III. - sorozatok, sorok, válogatott feladatok, Gondolat, Budapest, 976. [45] Scharnitzky V., Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. [46] Scharnitzky V., Matematikai feldatok - matematika a műszaki főiskolák számára, Tankönyvkiadó, Budapest, 989. [47] Szabó T., Kalkulus II. Példatár, POLYGON, Szeged, 00. [48] Szerényi T., Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 977. [49] Stojanović V., Zbirka rešenih zadataka za prvi razred srednjih škola, Matematiskop, Beograd, 00. [50] Vukadinović S., Stojanović V., Zbirka rešenih zadataka za četvrti razred srednjih škola, Matematiskop, Beograd, 999. [5] Zolić A., Kadelburg Z., Ognjanović S., Analiza sa algebrom, udžbenik sa zbirkom zadataka za. razred Matematičke gimnazije, KRUG, Beograd, 00.

CIP - Katalogizacija u publikaciji Biblioteka Matice srpske, Novi Sad 505.057.874) CSIKÓS Pajor, Gizella Analízis [Elektronski izvor] elméleti összefoglaló és példatár / Csikós Pajor Gizella, Péics Hajnalka ; [ábrák Rožnjik Andrea]. - Zenta : Bolyai Farkas Alapítvány, 00. - elektronski optički disk CD-ROM) : tekst, slika ; cm Dostupno i na: www.bolyai-zenta.edu.rs. - Nasl. s naslovnog ekrana. - Bibliografija. ISBN 978-86-8795-0-. Péics Hajnalka a) Matematika - Priruqnici COBISS.SR-ID 578490