A Pell-egyenlet és története

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Pell-egyenlet és története Szakdolgozat Papp Franciska Matematika Bsc., elemz szakirány Témavezet k: Szabó Csaba, Algebra és Számelmélet Tanszék Pongrácz András, CEU Budapest 20.

Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Arkhimédesz és a marha-probléma 3 2.. Arkhimédesz élete................................ 3 2.2. Mese a Pell-egyenletr l............................. 4 2.3. Marha-probléma................................ 5 3. Pell-egyenlet 0 3.. Deníció, elnevezés............................... 0 3.2. A Pell-egyenlet története............................ 4. A Pell-egyenlet és a lánctörtek kapcsolata 7 5. A Pell-egyenlet egy speciális esete 22 5.. Lánctört-módszer................................ 22 5.2. Gy r elméleti módszer............................. 22

. fejezet Bevezetés A diophantoszi egyenletek megoldása igen változatos módszereket igényel, univerzális megoldási módszer nem létezik. Ez a témakör b velkedik híres megoldatlan problémákban. Dolgozatom célja egy nevezetes diophantoszi egyenlet, a Pell-egyenlet részletesebb megismertetése, és történetének bemutatása. Már az ókori görögök is oldottak meg Pell-típusú egyenleteket. Arkhimédesz marhaproblémája is Pell-típusú egyenletre vezet, ezért el ször a tudós életét, majd a marhaproblémát és annak megoldását ismertetem. Ezen megoldás matematikusok több száz éves munkája által vált ismertté. Ezek után deniálom a Pell-egyenletet és bevezetem a hozzá tartozó legfontosabb tételeket és deníciókat. Matematikusokon keresztül szemléltetem a Pell-egyenlet megoldási módszereinek fejl dését, kialakulását. A Pell-egyenlet gyökeinek meghatározására számos módszer létezik: lánctörtekkel, absztrakt algebrai módszerekkel és kvantumszámítógéppel is kereshetjük a megoldásokat. A 4. fejezetben a lánctört fogalmát vezetem be, majd tételek segítségével mutatom meg, hogyan találjuk meg a Pell-típusú egyenletek megoldását a lánctört-módszer segítségével. Az utolsó fejezetben az x 2 2y 2 = Pell-egyenletnek keresem a megoldását a lánctört-módszer és a gy r elméleti módszer felhasználásával. 2

2. fejezet Arkhimédesz és a marha-probléma 2.. Arkhimédesz élete Arkhimédesz kb. i. e. 287., Szirakúza - i. e. 22., Szirakúza) természettudós, matematikus, lozófus, zikus, csillagász és mérnök volt. Életér l nagyon kevés írásos dokumentum maradt fenn. Ezek a iratok sem tekinthet k teljes érték eknek, mert sok bennük a bizonytalan tényez. Arkhimédeszt minden id k egyik legnagyobb matematikusaként tartják számon napjainkig is. Felfedezései, találmányai a mai technikával felszerelt világban is megdöbbentik az embert, és méltó csodálatot vívnak ki maguknak. Heracleides i. e. 390. Hérakleia, - i. e. 322., görög lozófus, csillagász) megírta Arkhimédesz életét, de sajnálatos módon ez az írásos dokumentum nem maradt fenn. Arkhimédesz i. e. 287-ben született Szirakúzában, és ott is halt meg i. e. 22-ben. Fenn maradt dokumentumok szerint 75 éves korában érte a halál, csak ez alapján következtetünk születési dátumára. Édesapja Pheidiasz nagy csillagász volt, aki valószín leg már gyermekkorában bevezette Arkhimédeszt a természettudomány szépségeibe. Gyermekkorától kezdve jó kapcsolatot ápolt Hieron királlyal és ával, egyes feljegyzések szerint rokoni kapcsolatban is álltak. Fiatal korában Alexandriában, a kor szellemi központjában élt és tevékenykedett. Itt ismerkedett meg többek között Eratoszthenésszel i. e. 276. Alexandria, i. e. 94., hellenisztikus matematikus, földrajztudós, csillagász, lozófus, költ, zenész.), aki állítólag ezekben az években magánál Euklidesznél i. e. 300. körül, görög matematikus, lozófus) lakott, és az tanítványa volt. Ezek alatt az évek alatt barátkozott össze Cononnal i. e. 260.). Szirakúzába való hazatérése után a matematikai kutatásának és találmányai- 3

nak szentelte életét, közben levelezést folytatott Cononnal és Eratoszthenészszel ezekben a témákban. Leveleiben felfedezései publikálása el tt mindig kikérte Conon véleményét. Eratoszthenésznek Módszer cím híres írása mellett a marha-problémát is elküldte, amely szakdolgozatom alappillére. Az életér l a római történészek is sok legendát riznek, melyek általában valamelyik találmányához köthet ek. Életében híressé a zseniális mechanikai találmányai tették, ilyen például az arkhimédeszi csavar és a csigasor. Szirakúza az Arkhimédesz által szerkesztett hadigépekkel állt ellen a Marcellus i. e. 268. - i. e. 208.) vezette római ostromnak, a II. pun háború idején. Arkihimédesz munkássága csak levelezések, elbeszélések útján maradt fenn. Felfedezeséit nem hagyta fenn az utókorra, egyetlen könyvet írt, Gömb készítése címmel. Halálának körülményeit ugyanolyan misztikum övezi, mint életét. Plutarkhosz i. u. 45., Khairóneia - i. u. 20.) a következ képpen írta le a tudós halálát: A matematikus mértani idomokat tanulmányozott otthonában. Annyira elmerült ebben a munkában, hogy észre se vette amikor a rómaiak elfoglalták a várost. Egy római katona betört Arkhimédesz otthonába és felszólította, hogy azonnal kövesse t Marcellushoz. Arkhimédesz csak azzal a feltétellel egyezett ebbe bele, hogyha el tte végiggondolhatja a vizsgált geometriai problémát. Ez a válasz annyira felb szítette a katonát, hogy kardjával leszúrta a tudóst. Marcellus a gyilkos katonát megbüntette, Arkhimédeszt pedig a kívánsága szerint helyezte végs nyugalomba. Eszerint végakaratában arra kérte rokonait, barátait, hogy legkedvesebb tételének ábráját véssék sírkövére: egy egyenl oldalú hengerbe írt gömb és kúp körvonalait. A tétel szerint az egyenl alapú és magasságú kúp, félgömb és henger térfogatának aránya: :2:3. Ebb l arra lehet következtetni, hogy magának tulajdonította ezen arány felfedezését. Sok évvel kés bb i. e. 75-ben a híres római szónok, Cicero megtalálta és helyreállíttatta a már elvesztettnek hitt síremléket. Kés bb sajnos ismét elt nt, de 965-ben egy hotel építkezésekor rábukkantak. 2.2. Mese a Pell-egyenletr l A Pell-egyenlet eredetét Arkhimédesz nevéhez kapcsolják, pontosabban a tudós egyik feladványához. A feladatot marha-problémának nevezete el, és Eratoszthenésznek ajánlotta egyik levelében. Magyar nyelven Ponori Thewrewk Emil, Görög Anthólogiabeli Epigrammák cím m vében olvashatjuk, amelyben ezen kívül, több matematikai témájú 4

epigrammát gy jtött össze. Érdekessége a történetnek, hogy a feladvány 8 ismeretlent tartalmaz, de csak 7 egyenletet tudunk hozzá felírni az egyenletrendszerben. Ezen kívül tartozik még hozzá 2 segédegyenlet is. Arkimédesz feltehet leg ismerte a feladvány megoldását, ami azért csodálatraméltó, mert a fennmaradt feladványt csak a 7-8. században tudták matematikusok együttes er vel megfejteni. A megfejtéshez a mai napig nagyon hosszas számolásra, vagy számítógépes programok segítségére van szükség. A feladvány keletkezésének körülményeit kétes körülmények övezik. A legenda szerint, Arkhimédesz egy olimpia játék alkalmával adta fel ezt a feladatot az egyik néz társának, ezen beszélgetésnek Heiron király is tanúja volt. A néz nehezményezte, hogy miért csak zikális olimpiát rendeznek, a tudást, az észt miért nem mérik össze hasonló keretek között. Arkhimédesznek erre az volt a válasza, hogy ez azért lehetetlen, mert a bírónak minden kérdésre tudnia kellene a választ, ezáltal nem a gy ztest illetné meg a babérkoszorú, hanem magát a bírót. Azért, hogy az illet megnyugodhasson, feladta neki a marha-problémát, ha azt meg tudja fejteni, akkor méltán indulhatna a szellemi olimpián. A király felajánlott díj fejében egy aranybika szobrot. Az említett versenyz egy napot kért az eredmény kiszámolásához, Arkhimédesz nagyvonalúan két hetet adott probléma megoldásához. A történet szerint az úr sose jelentkezett a megoldással. 2.3. Marha-probléma A feladvány: A Napisten Thrinákia szigetén legeltette marháit. Négy csordája volt, az egyikben minden állat fehér, a másikban mind fekete, a harmadik csorda bikái és tehenei sárgásbarnák voltak, végül a negyedikben tarkák. Mindegyik csordában a bikák száma jóval meghaladta a tehenekét. A fehér bikák száma annyi, mint a fekete bikák fele meg egyharmada, meg valamennyi barna bika. A fekete bikáké annyi, mint a tarka bikák negyede meg ötöde meg valamennyi barna bika. Végül a tarka bika annyi van, mint a fehér bikák hatoda meg hetede meg valamennyi barna bika. A fehér tehenek száma annyi, mint az egész fekete csorda - tehát a bikák és a tehenek együtt - számának egyharmada meg egynegyede, a fekete tehenek száma annyi, mint a tarka csorda egynegyede meg egyötöde, tarka tehén annyi van, mint a barna csorda egyötöde meg egyhatoda, végül barna tehén annyi van, mint a fehér csorda egyhatodának meg egyhetedének az összege. Ha megfelel en állítjuk fel valamennyi fehér és fekete bikát, akkor az állatok alakzata egy négyzet lesz, ha pedig 5

a barna és tarka bikákat állítjuk fel, akkor háromszöget kapunk. Az egyszer ség kedvéért, a következ jelöléseket alkalmazom: x = fehér bikák, y = fekete bikák, z = barna bikák, t = tarka bikák, x = fehér tehenek y = fekete tenehek z = barna tehenek t = tarka tehenek A feladat matematikai formában: x = y 2 + y 3 + z y = t 4 + t 5 + z t = x 6 + x 7 + z x = y + y 3 y = t + t 4 t = z + z 5 z = z + z 6 + y + y 4 + t + t 5 + z + z 6 + z + z 7 A fenti egyenletrendszerb l fejezem ki az x-et, y-t és t-t. x = 742 78 580 z, y = z, t = 297 99 89 z Mivel x, y, t N, és az együtthatójukban, a számlálójuk és a nevez jük relatív prímszámok, ezért a z számról tudjuk, hogy oszthatónak kell lennie 297-tel, 99-cel és a 89-gyel. A három szám legnagyobb közös osztója a 89, tehát z = 89 k, ahol k N. Ebb l adódóan az egyenleteink: x= 2226k, y =602k, t= 580k. 6

Az így kapott eredményeket behelyettesítve az egyenletrendszerbe: x = 7 2 y + 896 2 k y = 9 20 t + 7k t = 30 z + 3267 0 k z = 3 42 x + 689k. Ezekb l az egyenletekb l kifejezve x-et, y-t, z-t és t-t: x = 7206360 4657 egyenleteket kapjuk. k, y = 4893246 4657 543923 355820 k, z = k, t = 4657 4657 k. Ahhoz, hogy x, y, z, t, x, y, z, t N feltételnek a megoldásaink eleget tudjanak tenni, az kell, hogy k = 4657n alakú legyen és n N. egyenletrendszerünk megoldása: Így a 8 ismeretlenes 7 egyenletb l álló x = 0366482n, y = 746054n, z = 449387n, x = 7206360n y = 4893246n z = 543923n t = 7358060n, t = 355820n. Összesen 50389082k marha legelészik Trinákia mezején. Most felhasználom az utolsó két feltételt, amely a bikák alakzatára vonatkozik. Ha megfelel en állítjuk fel valamennyi fehér és fekete bikát, akkor az állatok alakzata egy négyzet lesz: x + y = a 2 = 7826996 = 2 2 3 } {{ 29 4657} k α a 2 = 2 α k k = a2 2 2 α = a2 2 2 α α 2 7

K = a 2 α, K2 = a2 2 2 α 2, k = K 2 α Ha a barna és tarka bikákat állítjuk fel megfelel en, akkor háromszöget kapunk: t + z = b+) b = 507447 t = 7 353 4657 2 } {{ } k b+) b 2 = β k, 2b + ) 2 = 8β k + β 2b + ) 2 = 8 β k + = 8 α β K } {{ } 2 + L L 2 8 α K 2 = L 2 40286423278424 K 2 = Az egyenlet rövid megoldása: A megoldás megkönnyítése érdekében az L 2 40286423278424 K 2 = egyenletet átírjuk a következ alakba: l 2 4729494 } {{ } k 2 =, ahol l = L és k = 2 4657 K ϕ Az l, k ) számpár az l 2 4729494 } {{ } k 2 = egyenlet minimális megoldása. Minimális ϕ megoldáson azt a számpárt értem, amely az egyenlet megoldásai közül a második változójában minimális.) l + k ϕ = 09939867328297349798662328243354390088049+ 505494852343503307447789735540408986340 ϕ = 300426607942873365 609 + 8429507677858393258 7766 ) 2 Ezután megkeressük a minimális megoldást, amely eleget tesz a 2 4657 k oszthatóságnak: l + k ϕ) 2 329 = L + K 40286423278424 8

k i = ) 2 l + k ϕ) 4 658 i l +k ϕ) 368238304 i =, 2,...) Hosszú számolások után kapjuk meg az összes marha számát, gyelembevéve az utolsó két feltételt. Ha megfelel en állítjuk fel valamennyi fehér és fekete bikát, akkor az állatok alakzata egy négyzet lesz, ha pedig a barna és tarka bikákat állítjuk fel, akkor háromszöget kapunk.) Az összes marha száma: 7, 760274... 0 206544. A teljes megoldás 47 oldal terjedelm, ezért is egészen elképeszt, ha Arkhimédesz valóban meg tudta oldani ezt a feladványt. Fontos kérdés lehet akár az is, hogy Arkhimédesz biztosan tudta-e, hogy a válasz létezik. 9

3. fejezet Pell-egyenlet 3.. Deníció, elnevezés Ebben a fejezetben bemutatom a dolgozatom f témáját a Pell-egyenletet, és deniálok néhány fogalmat, amelyeket a kés bbiek során felhasználok. Deníció: Diophantoszi egyenletnek általában olyan egész együtthatós algebrai egyenletet nevezünk, melynek a megoldásait is az egész esetenként a racionális) számok körében keressük. Az ax + by = c egyenletben a, b, c rögzített egész számok, és megoldáson, például egy x, y) egész számpárt értünk. A Pell-egyenlet az egyik legegyszer bb diophantoszi egyenlet. Deníció: Pell-egyenletnek nevezzük az x 2 dy 2 = alakú diophantoszi egyenletet, illetve általánosabb formában az x 2 dy 2 = b alakú egyenleteket, ahol d N, b Z és d / Q. Az x, y) megoldásokat tehát az egészek között keressük. Az x 2 dy 2 = egyenletnek vannak triviális megoldásai: x = ±, y = 0. Ha d <, akkor x 2 dy 2 >, kivéve, ha x = y = 0, így ez esetekben nincs megoldása az x 2 dy 2 = egyenletnek. Ha pedig d =, akkor további két triviális megoldása van: x = 0, y = ±. Végül, ha d = n 2 esetben is csak triviális megoldásai vannak, hiszen az x 2 dy 2 = x 2 n 2 y 2 = x + ny) x ny) = esetben x + ny = x ny = ±, 0

ami ismét csak az x = ±, y = 0 esetekben áll fönn. Így csak azt az esetet kell vizsgálnunk, amikor d > 0, és nem négyzetszám. Nyilvánvaló, hogy elegend a pozitív megoldásokat megkeresni, és ha x, y N megoldás, akkor ln.k.o.x, y ) =. Pell-egyenletre vezetett a korábbiakban említett marha-probléma is. A Pell-egyenlet elnevezése A Pell-egyenlet John Pell 6-685) angol matematikusról kapta a nevét, aki munkássága során algebrával és számelmélettel foglalkozott. F munkája egy táblázat megalkotása volt, amelyet 668-ban adott ki, amelyben az els 00000 szám szorzatra bontása szerepelt. Sokat publikált, f bb írásai: Idea of Mathematics 638), Controversiae de vera circuli mensura 647). Kés bb jutott csak napvilágra, hogy Euler tévesen nevezte el a x 2 dy 2 = típusú egyenleteket Pell-egyenletnek, az érdemi munka Lord Brouncker nevéhez f z dik. 3.2. A Pell-egyenlet története A Pell-típusú egyenletek több évszázadon keresztül foglalkoztatták a matematikusokat. Az egyenletet el ször Diophantosz nevéhez köthetjük, mivel a Pell-egyenlet egy diophantoszi egyenlet. Kés bbiekben két indai matematikus, Aryabhata és Brahmagupta az euklideszi algoritmus felhasználásával közelítette meg a problémát. Ezek után Bhaskara, Brahmagupta módszerét továbbfejlesztve megoldásokat el állító algoritmust adott meg az x 2 dy 2 = típusú egyenletekre. Több száz évig a probléma feledésbe merült, amíg Fermát felhívására a 7-8. században él matematikusok újabb megoldási módszereket nem kerestek. A 7. században Lord Brouncker a lánctört-módszerével általános eljárást adott a Pell-típusú egyenletek megoldására, amely helyességét kés bb Lagrange bizonyította. Ebben a fejezetben err l a fejl désr l írok részletesebben. Diophantoszt kb. i. e. 250.) az egyenletekkel kapcsolatos munkája emelte ki a görög matematikusok közül. Szakított a görög geometrikus hagyományokkal, és szinte kizárólag algebrai és számelméleti feladatokkal foglalkozott. Diophantoszt tekintik az algebrai jelrendszer megalapítójának. Els és másodfokú egyenleteket oldott meg, ezek megoldásait és együtthatóit az egész számok körében kereste. Minden feladatában speciális számértékeket használt, soha nem mondott ki általános tételeket. Többségében másodfokú egyen-

letekre vezet feladatokat oldott meg. Munkája során több, mint 30 egyenlet megoldását vezette le, minden esetben csak egyetlen gyököt keresett meg. Nem dolgozott ki általános megoldási módszert, ahogyan ezen egyenleteket nem is osztályozta. A kapott eredményei helyességét csupán azzal igazolta, hogy azok a behelyettesítéskor kielégítették a feladat feltételeit. Munkásságánál meg kell még említenünk a diophantikus approximációt, amely a valós számok racionális számokkal való közelítését vizsgálja. Látható az, hogy Diophantosz munkássága lényegében kiindulópontját képezte számos algebrai és számelméleti kutatásnak, mint a Pell-típusú egyenleteknek is. Aryabhata 500.) és Brahmagupta 598-670) közös és egyéni felfedezései fontos szerepet játszottak az x 2 dy 2 = típusú egyenletek megoldásainak megtalálásában. Munkásságuknak jellemz vonása volt az aritmetikai algebrai jelleg, amely megmutatkozik abban, hogy szerettek egyenletekkel foglalkozni. Az x 2 dy 2 = típusú egyenlet megoldását az euklideszi algoritmusra alapozták. Új egyedi jelölésrendszert vezettek be, amelyet a lánctört sének is tekinthetünk. Ez azért is fontos, mert a lánctörtek módszere a Pelltípusú egyenletek ma ismert megoldási lehet ségeinek egyike. A lánctörtekkel a kés bbiekben még részletesebben foglalkozom.) Közös munkájuk során racionális megoldásokat találtak a Pell-egyenletre, mégpedig a következ módon: Észrevették, hogy ha az ax 2 y 2 = b és az ax 2 2 y2 2 = b 2 egyenleteknek van megoldása, akkor a b b 2 -nek is, ugyanis legyenek x, y és x 2, y 2, olyanok, hogy ax 2 y 2 = b, ax 2 2 y2 2 = b 2. Ekkor ezek felírhatóak b = x a y ) x a + y ), b2 = x 2 a y2 ) x2 a + y2 ) alakban, és a szorzatuk: b b 2 = ax x 2 ± y y 2 ) 2 a x y 2 ± x 2 y ) 2 kiadja a kívánt megoldást. Brahmagupta ennek alapján felfedezte a kompozíciós módszert az ax 2 y 2 = b egyenletre, amely az a, b) és c, d) megoldáspárok segítségével további megoldást eredményezett. A módszer a következ : Ha a, b) és c, d) megoldása az egyenletnek, akkor 2

ac + Dbd, ad + bc) is. Ugyanis { }} { a 2 Db 2) { }} { c 2 Dd 2) } {{ } = ac + Dbd) 2 D ad + bc) 2. Azt az esetet is vizsgálta, mikor az a=c és b=d, ekkor az a 2 + Db 2, 2ab) is megoldása lesz az egyenletnek. Bhaskara 4-85) továbbfejlesztette Brahmagupta és Aryabhata munkáját, a következ módszerrel adott megoldást az x 2 dy 2 = egyenletre. Els lépésben próbálgatással keresett olyan x, y, b számokat, amelyek kielégítették az x 2 dy 2 = b egyenletet, emellett az y, b ) = feltételnek is megfeleltek. Következ lépésben keresett olyan y 2, z Z számokat, hogy y z+x b = y 2, vagyis y z + x = b y 2 és z 2 d a lehet legkisebb = b 2 Z, dy2 2 + b 2 pedig négyzetszám, amelyet x 2 2-tel jelölünk, vagyis legyen. Ekkor z2 d b dy2 2 + b 2 =x 2 2. Az eljárás megismétlésével kapott az egész számoknak egy sorozatát: b, b 2,..., b k, így végül b k = azaz dy 2 k + = x2 k. Ekkor az x k, y k ) lesz az x 2 dy 2 = eredeti egyenletünk megoldása. A 7. században több neves matematikus is foglalkozott az x 2 dy 2 = egyenlettel. Ennek a valószín síthet oka az lehetett, hogy Fermat 60-665) felhívta angol, francia, német tudóstársainak gyelmét ezen és az ilyen típusú egyenletek megoldásának problémájára. Ž maga is sokat foglalkozott a diophantoszi határozatlan analízissel, amely a Lord Brouncker-t 605-675) az els európai tudósként tartják számon, aki általános megoldást adott az x 2 dy 2 = egyenletre, felfedezte a lánctört módszerét. A lánctört segítségével az egyenlet általános megoldási módszere: x + y ) d } {{ } nagy x y ) d = } {{ } kicsi Ekkor x y ) d 0 x y d. A d lánctört alakjának valamely kezd szelete lesz az x, y) megoldáspár. racionális számok között keresi a megoldást a határozatlan egyenletekre és egyenletrendszerekre. Brouncker ezt a megoldási módszert nem bizonyította. Megoldott több x 2 dy 2 = típusú 3

egyenletet, például az x 2 33y 2 = -et. Az egyenlet legkisebb megoldása az x, y) = 32882082934848, 893805856460) számpár. Állítása szerint a megoldáson csupán néhány órát dolgozott. Frenicle de Bessy 605-675) csak kedvtelésb l foglalkozott ezen problémával, munkája mégsem elhanyagolható. Táblázatba gy jtötte a minimális megoldáspárokat D 50-ig. Deníció: Minimális megoldáson azt a számpárt értem, amely az egyenlet megoldásai közül a második változójában minimális.) Wallis, John 66-703) volt az, aki publikálta ezen matematikusok 657-58-ban folytatott levelezéseit, eredményeit és igazolta Brahmagupta módszerének helyességét. Rahn 622-676) könyvében megjelenik az x 2 dy 2 = egyenlet általános megoldása, amely megírásában Pell segédkezett. Ez az egyedüli biztos kapcsolat Pell és az x 2 dy 2 = típusú egyenletek között. Leonhard Euler 707-783) több szempontból is fontos szerepet játszott az egyenlet történetében. Eulert l származik a "Pell-egyenlet" elnevezése összekeverte Lord Brouncker munkáját John Pell eredményeivel). A diophantikus problémák megoldásának segédeszközeként kidolgozta és szigorú alapokra helyezte a lánctört fogalmát. A lánctört módszert használta fel a megoldások megtalálásához, ezen módszerét kés bb Lagrange nomította. Hasonlóan nagy eredményeket ért el a diophantoszi analízis területén. Lagrange 736-83) - Legendre 752-833) közösen dolgozták ki a következ tételt: Tétel: Az x 2 dy 2 = egyenletnek végtelen sok megoldása van. Minden x, y) pozitív megoldás, a legkisebb pozitív x, y ) megoldásokból származtatható, valemely k N segítségével az alábbi módon: x + y D = x + y D ) k. 3.) Ekkor x + y d minimális. Az összes megoldást az x + y d = ± képlettel meghatározott x, y egész számok adják. x + y d ) n. n = 0, ±, ±2,... 3.2) A x 2 dy 2 = egyenlet felírható: x + y ) d x y ) d = 3.3) alakban. A 3.3 -as egyenl ségb l látszik, hogy: x + y d ) n) = x y d ) n. 3.4) 4

Ezért 3.2 az x + y ) n d = ± x ± y d n = 0,, 2,... 3.5) formában is megadható. Bizonyítás: A bizonyítás során többször is fel fogjuk használni, hogy ha x, y ), illetve x 2, y 2 ) egyegy megoldása az x 2 dy 2 = egyenletnek, akkor a megoldások alábbi értelemben vett szorzata is megoldás lesz: x x 2 + dy y 2 + x y 2 + y x 2 ) ) d x x 2 + dy y 2 x y 2 + y x 2 ) ) d =. Ebb l adódik, hogy x 3 = x x 2 + dy y 2, y 3 = x y 2 + y x 2 is megoldása lesz a x 2 dy 2 = egyenletnek. A fentiekb l és a 3.4 -b l nyilvánvalóan következik, hogy a 3.2 képlettel megadott x, y) számpárok kielégítik a x 2 dy 2 = egyenletet. Most belátjuk, hogy ez az összes megoldás. Tegyük fel indirekt módon, hogy létezik egy x, y) megoldás, amely nem ilyen alakú. Ekkor nyilván x, y) is megoldás és ez sem szerepel a fentiekben deniált megoldások között. Ezért feltehet, hogy x + y d > 0. Ekkor létezik olyan t egész szám, melyre: x + y d ) t < x + y d < x + y d ) t+). 3.6) A 3.6 -at x + y d ) t-nal beszorozva < x + y ) ) t d x + y d < x + y d 3.7) adódik. Itt x + y ) ) t d x + y d = x + y d a megoldások összeszorzásával keletkezett, tehát x, y ) is megoldás, azaz x + y ) d x + y ) d =. 3.8) A 3.7 -beli els egyenl tlenség szerint x + y d >. 3.9) 5

Így a 3.8 miatt 0 < x y d <. 3.0) A 3.0 miatt nem lehetségesek az y = 0, az x < 0, y > 0 valamint az x > 0 és a y < 0 esetek, a 3.9 miatt pedig nem fordulhat el az x < 0, y < 0. Ezért x > 0, y > 0, ez azonban 3.7 szerint ellentmond x + y d minimalitásának. Lagrange bizonyította be els ként Euler és Brouncker azon felfedezését, hogy bármely szóba jöhet d-re végtelen sok megoldása van az x 2 dy 2 = egyenletnek. Ginatempo 969) nevéhez f z d "Brute force" algoritmus a minimális x, y) számpár megtalálásában segít. Ez az algoritmus az összes x 2 dy 2 = egyenletre alkalmazható, viszont hasznossága igen csekély, mivel problémája, hogy nagyok a korlátok. [ D ]. Az x 2 dy 2 = egyenlet minimális megoldására teljesül, Tétel: Legyen d = hogy: ) 2 2 y 2 d + ) 3 d + d. x d + ) d. A következ példán keresztül jól látható, miért is nem hasznosítható ez igazán. Példa: D=6 Ekkor az y 5632579342, x 450605345300. Az egyenlet tényleges alapmegoldása ebben az esetben: 76639049 2 6 22653980 2 =. Vagyis x = 76639049, y 2 = 22653980. Ebb l jól látható, hogy a korlátok nem pontosak, a korlátok túl nagyok. 6

4. fejezet A Pell-egyenlet és a lánctörtek kapcsolata Lánctörtek Tetsz leges α valós szám esetén tekintsük a következ algoritmust. Legyen c 0 = α és ekkor γ = {α}, α = c 0 + γ. 4.) Ha γ 0, akkor legyen c = γ { és γ 2 = } γ, ekkor α = c 0 + γ = c 0 + c +γ 2. Ha γ 2 0, akkor γ 2 egész- és tört részét képezzük stb. Általában ha a c 0, c,..., c n és γ,..., γ n+ értékeket már meghatároztuk, és γ n+ 0, akkor legyen c n+ = γ n+ és { γ n+2 = γ n+ }. 4.2) 7

Ekkor α = c 0 + c + c 2 +...cn+ c n+ +γ n+2. 4.3) A 4.3 jobb oldalán álló sok emeletes törtet véges) lánctörtnek nevezzük, és az egyszer bb írásmód kedvéért bevezetjük rá az L [c 0, c,..., c n, c n+ + γ n+2 ] jelölést. Ha γ n+ = 0, akkor az eljárás véget ér. Az ily módon kapott c 0, c,..., egész számokat az α lánctörtjegyeinek nevezzük. Deníció: Egy α valós szám lánctörtjegyein a 4. és a 4.2 képletekkel deniált véges vagy végtelen) c 0, c,... számsorozatot értjük. Megjegyzés: A deníció alapján világos, hogy a lánctörtjegyek egyértelm en meghatározott egész számok, és c i > 0, ha i. Példa : Legyen α = 20 65. Ekkor 20 65 = 3 + 6 65, c 0 = 3, 65 6 = 0 + 5 6, c = 0, 6 5 = + 5, c 0 =, 5 = 5 + 0, c 0 = 5. A 20 65 lánctört jegyei tehát: 3, 0,, 5. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy:. 20 65 = L [3, 0,, 5] = 3 0+ + 5 Abban az esetben, ha az α irracionális, akkor a γ n is irracionális, ekkor a lánctörtbe fejtés algoritmusa sohasem áll le. Ebben az esetben a kifejezés így néz ki: α = c 0 + c + c 2 +...cn+γn+. 8

Példa 2: Legyen α = 2. Ekkor: 2 = + 2 ), c0 =, = ) 2 + = 2 + 2, c = 2, 2 = ) 2 + = 2 + 2, c = 2, 2. A 2 lánctörtjegyei tehát:, 2, 2, 2,.... Erre bevezetjük a 2 = L [, 2, 2, 2,...] jelölést és a "végtelen lánctört" elnevezést. Az algoritmus során kapott véges lánctörteket nevezzük a végtelen lánctört csonkításainak. Mivel ezek racionális számok, így ezek a csonkítások α egy racionális közelítését adják meg. Jelölése: L [c 0, c,..., c n ] = an b n. A Pell-egyenlet és a lánctört kapcsolata A lánctörtek elméletéb l tudjuk a következ t. Lemma: Legyen α irracionális, n N, továbbá α n = an b n Ha p, q Z és q < b n+, akkor a lánctört n-edik kezd szelete. b n α a n qα p. Ez mutatja, hogy a lánctörtek adják valamilyen értelemben az irracionális számok legjobb racionális közelítését. Lord Brouncker felfedezte, hogy az x 2 dy 2 = egyenlet megoldásainak hányadosa kapcsolatban van a d racionális közelítésével, ugyanis nemcsak az igaz, hogy x d, y hanem az alábbi er s állítás is. Tétel: Legyen α irracionális szám. Ha a p p, és p, q) = ) racionális szám, q és α p q < 2q, 2 9

akkor valamely n N-re p q = α n = a n b n, ahol α n az α lánctört alakjának n-edik kezd szelete. Bizonyítás: Tegyük föl, hogy p -ra teljesülnek a tétel feltételei, de nem egyezik meg q egyetlen kezd szelettel sem. Mivel a b k sorozat szigorúan monoton növekv, pontosan egy olyan n N van, amelyre b n q < b n+. Ezen n-re teljesül, hogy: b n α a n qα p = q α p q < 2q. Ebb l az egyenlet b n -nel való leosztásával egyszer en kapható, hogy: α a n <. 2qb n b n Mivel feltevésünk szerint p q an b n, így a qa n pb n különbség nem lehet 0, így qa n pb n. Ebb l azonban következik, hogy: qa n pb n qb n qb n = a n p b n q a n α b n + α p q < + 2qb n 2q. 2 A kapott: < + qb n 2qb n 2q 2 egyenl tlenségb l q < b n adódik, amely ellentmond n választásának. Vagyis p az α n-edik q kezd szelete. A következ tétel megmutatja, hogy a d szám lánctört alakjából, a lánctört csonkításával hogyan tudjuk meghatározni a x 2 dy 2 = Pell-egyenlet megoldásait. Tétel: Ha a, b pozitív, és megoldása az x 2 dy 2 = egyenletnek, akkor az a b a d lánctört alakjának valamely kezd szelete. 20

Bizonyítás: Tegyük föl, hogy a 2 db 2 =, azaz a > b d. Átalakítva az egyenletet azt kapjuk, hogy: a d = b ba+b d). Alkalmazva az a > b d becslést a következ adódik: a ) db a + ) db =. Eszerint 0 < a b d = b a + b ) < d d b b d + b ) = d d 2b 2 d = 2b 2. Ezzel az egyenl tlenséggel és az el z tételben szerepl bizonyítás segítségével bebizonyítottuk a tételt. Példa: Az el z tételek felhasználásával, és a d lánctört alakja segítségével meghatározzuk az x 2 7y 2 = egyenlet minimális x 0, y 0 ) megoldáspárját. A 7 lánctört alakja: L [ 2,,,, 4 ]. Elkezdem vizsgálni a 7 lánctört alakjának kezd szeleteit: n = 0. 2 = 2 2 2 7 2 = 3) n =. 2 + = 3 32 7 2 = 2 n = 2. 2 + + = 5 2 n = 3. 2 + + + = 8 3 5 2 7 2 2 = 3) 8 2 7 3 2 = A negyedik lépésben az egyenletbe való visszahelyettesítéskor mindkét oldalon -et kaptunk eredményül, tehát megtaláltuk az x 2 7y 2 = egyenlet minimális megoldását, a 7 lánctört alakjának segítségével. Eszerint a 8, 3) a minimális megoldás. 2

5. fejezet A Pell-egyenlet egy speciális esete Ebben a fejezetben az x 2 2y 2 = egyenlet összes megoldását adjuk meg. 5.. Lánctört-módszer Az el z fejezetben leírtak szerint jártunk el. Már kiszámoltuk, hogy a 2 lánctört alakja 2 = L [, 2, 2,...] 4.fejezet). Ennek a csonkításával a következ törtek kaphatók meg: L [] =. Ez nem ad megoldást: 2 2 2 = ). L [, 2] = 3 2. Ebb l a 3, 2) minimális megoldás adódik: 32 2 2 2 =. A 3.2. fejezetben szerepl tétel alapján a megoldások így adhatók meg: x + y 2 = ± 3 + 2 n 2), n Z. 5.2. Gy r elméleti módszer Az x 2 2y 2 = egyenlet egész megoldásait keressük. Ehhez el ször egy nagyságrendi feltételt állapítunk meg x-re és y-ra. Állítás: Ha x 2 2y 2 =, akkor y < x < 2 y kivéve, ha y = 0 és x = ±. Bizonyítás: Indirekte tegyük fel, hogy x y. Ekkor x 2 y 2. A feltétel szerint tehát 2y 2 + y 2, azaz y 2 + 0, ami ellentmondás. A másik egyenl tlenség bizonyításához tegyük fel, hogy x 2 y. Négyzetre emelés után ebb l azt kapjuk, hogy x 2 4y 2. Kifejezve az x 2 -et ebb l 2y 2 + 4y 2 adódik, ami 2y 2 -re vezet. Ennek csak az y = 0 lehet megoldása. Azt az egyenletbe beírva x = ±-et kapunk. 22

Az egyenlet bal oldala szorzattá alakítható: x 2 2y 2 = x + ) 2y x ) 2y. Ennek a lépésnek az a hátránya, hogy az x + 2y alakú kifejezések általában nem egész számok. Ezért egy, az egészeknél b vebb gy r ben kell dolgoznunk, ha az egyenletet meg szeretnénk oldani. Deníció: Z [ 2 ] = { a + b 2 a, b N }. Ez a halmaz a szokásos valós számokon értelmezett) összeadás és szorzás m veletekkel egy kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gy r t alkot. A Pell-egyenlet megoldásában segítségünkre lesz a Z [ 2 ] gy r számelmélete. Épp ezért most összefoglaljuk a legfontosabb deníciókat és tételeket, amik a megoldáshoz szükségesek lesznek. Számelméleti szempontból vizsgálva Z [ 2 ] egy euklideszi gy r, hiszen megadható rajta egy euklideszi norma. Egy a + b 2 alakú szám normája N a + b 2 ) = a 2 2b 2. Ez a szám a + b 2 Z [ 2 ] esetén egy egész szám. A Z [ 2 ] gy r ben deniálható a konjugálás is: a + b 2 = a b 2. Vegyük észre, hogy N z) = zz. Mivel a konjugálás szorzattartó, így a fenti összefüggés miatt ugyanez igaz a normára is: N z z 2 ) = N z ) N z 2 ). Ez számunkra azért lesz fontos, mert így a z = a + b 2 szám normája megegyezik a Pell-egyenletünk bal oldalával. Ezért azokat a számokat keressük, amelyek normája. Állítás: z Z [ 2 ] egység akkor és csak akkor, ha N z) = ±. Bizonyítás: Ha N z) = ±, akkor zz = ±, így ±z inverze z-nek. Ha z egység, akkor létezik r Z [ 2 ], amire rz =. Alkalmazzuk a normát: N r) N z) = N ). Itt N r) és N z) egész számok. A szorzatuk csak úgy lehet, ha mindkett ±. A Pell-egyenlet bal oldalára most úgy tekintünk, hogy az az x + y 2 elem normája Z [ 2 ] -ben. Ez alapján az x, y) számpár pontosan akkor megoldása a Pell-egyenletnek, ha N x + y 2 ) =. Mivel a norma szorzattartó, így ha N z) =, akkor N z k) = minden k Z -re. Itt z a z egység egyértelm inverzét jelöli.) Állítás: Z [ 2 ] -ben végtelen sok -normájú elem van. Bizonyítás: Észrevesszük, hogy N 3 + 2 2 ) =, hiszen 3 2 2 2 2 =. 3 ) k ) + 2 2 = minden k N-re. A korábbi meggyelések szerint N 23

Ezek a hatványok mind különböz ek, hiszen 2 együtthatója k növelésével szigorúan monoton n. Célunk az összes megoldást megtalálni, vagyis Z [ 2 ] összes -normájú elemét meghatározni. Ebben éppen az el z állítás gondolatmenete ad ötletet. Tétel: Legyen x + y 2 Z [ 2 ] egy -normájú elem, amelyre x, y > 0. Ekkor x + y 2 = ± 3 + 2 2 ) n, n Z. Bizonyítás: y szerinti teljes indukcióval. y = 0, ekkor x 2 =, tehát x = ±. Ez az, ) Z [ 2 ] elemeket adja meg, amelyek valóban felírhatóak a fenti alakban n = 0). Tegyük fel, hogy y k ) esetén igaz az állítás. Legyen most y = k, és tegyük fel, hogy N x + y 2 ) =.. eset: y > 0. Vegyük észre, hogy: N x + y 2 ) 3 2 2 )) = N x + y 2 ) N 3 2 2 ) = = Tehát x + y 2 ) 3 2 2 ) egy -normájú elem Z 2 ) -ben. Ha kibontjuk a zárójeleket: x + y ) 2 3 2 ) 2 = 3x 4y) + 3y 2x) 2. A 2 együtthatójának abszolútértéke ennek során csökkent 3y 2x < y, / y, +2x 2y < 2x, / : 2 y < x. Az indukciós feltétel szerint tehát készen vagyunk, hiszen ha ± 3 + 2 n, ) n+. d) akkor x + y 2 = ± 3 + 2 2 2. eset: y < 0. x + y d) 3 2 2 ) = Az el z eset mintájára történik a bizonyítás. Most 3 + 2 2 ) -vel szorzunk: N x + y ) 2 3 + 2 )) 2 = N x + y ) 2 N 3 + 2 ) 2 = =. A 2 együtthatója itt a 3y+2x. Vizsgáljuk meg, hogy ez abszolútértékben tényleg kisebb 24

y -nál. Ehhez két egyenl tlenségre van szükségünk: y < 3y + 2x < y. y < 3y + 2x: y < 3y + 2x / y 0 < 2y + 2x / : 2 0 < y + x, mert y < x. 3y + 2x < y: 3y + 2x < y / 3y 2x < 4y / : 2 x < 2y = 2 y. A tétel alapján ismét világos, hogy a minimális megoldás a 3, 2) számpár. 25

Irodalomjegyzék [] Michael J. Jacobson, Jr., Hugh C. Williams: Solving the Pell Equation, Springer, 2000 [2] T. L. Heath: The works of Archimedes, London [3] Sir Thomas Heath: A history of Greek matematics, Oxford, 92 [4] Nelson H. L.: A solution to Archimedes' cattle problem, 980 [5] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000 [6] K. A. Ribnyikov: A matematika története, Tankönyvkiadó, Budapest, 974 [7] Dirk J. Struik: A matematika rövid története, Gondolat Kiadó, 958 [8] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest, 974 26

Nyilatkozat Név: Papp Franciska ELTE TTK, Matematika B.Sc. szak, Matematikai elemz szakirány ETR azonosító: PAFPAAT.ELTE Szakdolgozat címe: A Pell-egyenlet és története A szakdolgozat szerz jeként fegyelmi felel sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, 20. január 4. Papp Franciska 27