. Relativisztikus kvantummechanika.. Minkowski-tér A négydimenziós Minkowski-tér bázisvektorai e µ µ = 0,,, 3, a téridő-vektorok x = x µ e µ, ahol a kontravariáns koordináták, x = x 0, x, x, x 3 = ct, x. A bázisvektorok skaláris szorzata, e µ e ν = g µν 3 ahol g = {g µν } a metrikus tenzor fundamentális mátrix: g =. 4 A pszeudo-euklidészi Minkowski-téren a skaláris szorzat Minkowski-szorzat kifejezhető a kontravariáns vektorkomponensekkel: x y = x µ y ν e µ e ν = x µ g µν y ν = x g y. 5 Egy téridő-vektor normája: x x = c t x, 6 ami lehet pozitív időszerű vektor, negatív térszerű vektor vagy zérus fényszerű vektor. A Minkowski-tér duális terét az l lineáris formák alkotják, l x = l x µ e µ = x µ l e µ. 7 A skaláris szorzaton keresztül az l lineáris forma egyértelműen azonosítható a Minkowski-tér következő vektorával, l = l µ e µ, 8 úgy, hogy azaz l x = l e µ x µ l x = l ν g νµ x ν, 9 l e µ = g µν l ν. 0 Vezessük be a metrikus tenzor inverzét: g = {g µν },
melyre ahol és a Minkowski-szorzat esetében nyilvánvalóan fennáll, hogy g µν g νλ = δ µ λ, g µν g νλ = δ λ µ, 3 { δ µ ha µ = λ λ = δ µ λ = 0 ha µ λ, 4 g µν = g µν. 5 A lineáris formához rendelt Minkowski-vektor kontravariáns komponensei, l µ = g µν l e ν. 6 Egy x téridő-vektor kovariáns vektorkomponenseinek nevezzük a hozzárendelt lineáris leképezés duális komponenseit: x µ x e µ = g µν x ν, 7 és x µ = δ µ ν x ν = g µλ g λν x ν = g µλ x λ. 8 A kovariáns koordinátákat kiírva: x µ = ct, x. 9.. Lorentz-transzformációk A Minkowski-távolság négyzete, ds = c dt d x = dx µ dx µ 0 független az inerciarendszer választásától. Homogén Lorentz-transzformációnak nevezzük a Minkowski-tér mértéktartó, valós értékű lineáris transzformációit. A bázisvektorok transzformációja, e ν = e µ Λ µ ν implikálja a kontravariáns koordináták transzformációját, x = x µ e µ = x µ e ν Λ ν µ = x ν e ν = x ν = Λ ν µ x µ vagy rövidebben, Λ = {Λ µ ν} = x = Λ x. 3 A Lorentz-transzformáció mértéktartó: x µ y µ = x µ g µτ y τ = Λ µ ν x ν g µτ Λ τ λ y λ = x ν Λ µ ν g µτ Λ τ λ y λ = x ν y ν, 4
amiből g µτ Λ µ ν Λ τ λ = g νλ 5 következik. A Λ mátrix transzponáltjával: Λ T µ ν Λ µ ν 6 a fenti azonosság átírható: azaz Λ T µ ν g µτ Λ τ λ = g νλ 7 Λ T g Λ = g. 8 Fennállnak a következő tulajdonságok: Λ µ ν = δ µ ν megoldás: δ τ µ g τσ δ σ ν = g µν det Λ T gλ = det Λ det g = det g = det Λ = ± 3 Ha Λ megoldás, akkor Λ is megoldás: g = Λ T gλ = Λ T gλ 4 Ha Λ és Λ megoldás, akkor Λ Λ is megoldás: Λ Λ T gλ Λ = Λ T Λ T gλ Λ = Λ T gλ = g, melyekből következik, hogy a Lorentz transzformációk csoportot alkotnak Lorentz csoport. Infinitezimális Lorentz-transzformáció, ω: Λ = I + ω = I + ω T g I + ω = g = elsőrendben ωt g = gω 9 ω T τ µ g τν = ω τ µ g τν = g ντ ω τ µ = ω νµ és g µτ ω τ ν = ω µν 30 Hogyan transzformálódnak a kovariáns koordináták? ω µν = ω νµ 3 x µ = g µν x ν = g µν Λ ν τ x τ = g µν Λ ν τg τσ x σ = Λ σ µ x σ 3 ahol vagy Λ σ µ = g µν Λ ν τg τσ 33 Λ = g Λ g. 34 Fennáll a következő reláció: Λ T τ µ Λ ν τ = Λ τ µ g τσ Λ σ ρ g ρν = g µρ g ρν = δµ ν 35 vagy Λ T Λ = Λ T gλg = gg = I = Λ = Λ T. 36 3
Négyes-derivált: µ = x = µx ν = δ ν µ µ 37 µ = c t, 38 µ kovariáns vektor: µ = xν = x µ x µ x = Λ ν Λ ν µ ν = ] T ν ν = Λ ν µ ν 39 µ Következésképpen µ =, kontravariáns vektor és a d Alembert operátor, c t Lorentz-invariáns. µ µ = c t 40.3. Relativisztikus kinematika A négyes-sebesség definíciója u µ = dxµ dτ = c, v 4 v c ahol τ a sajátidő és d r t v =, 4 dt amiből következik, hogy a négyes-sebesség normája Lorentz-invariáns: u µ g µν u ν = u µ u µ = c v v c = c. 43 Az energia-impulzus négyesvektor, p µ = mu µ = E c, p, 44 ahol m a részecske nyugalmi tömege és E = a részecske energiája. Nyilván a p µ normája is Lorentz-invariáns: ami expliciten kiírva az ún. energia-impulzus összefüggés: mc v c 45 p µ g µν p ν = p µ p µ = m c 46 E c p = mc. 47 4
.4. Elektrodinamika Négyes-potenciál: A µ = φ c, A, A µ = melyből a térerősség tenzor az alábbi módon definiálható: φ c, A, 48 F µν = µ A ν ν A µ 49 Négyes áramsűrűség: F i0 = E i c j µ = F ij = ɛ ijk B k. 50 cρ, j, 5 melyre fennáll a kontinuitási egyenlet, illetve A Maxwell-egyenletek: µ j µ = 0, 5 ρ t + j = 0. 53 µ F µν = µ 0 j ν 54 ɛ λτµν τ F µν = 0, 55 ahol ɛ λτµν a négy-dimenziós teljesen szimmetrikus tenzor ɛ 03 = normálással. A relativisztikus energia-impulzus összefüggés a Lagrange- és Hamilton-formalizmus rövid összefoglalója a Kvantummechanika szemelvények függelékében található Négyes kinetikus impulzus: E qφ K µ = p µ qa µ =, p q A c E qφ K µ = p µ qa µ =, p + q A c 56 57 azaz K µ K µ = E = E qφ c p q A = m c 58 m c 4 + c p q A + qφ. 59 A relativisztikus kvantummechanika feladata az, hogy a 58 összefüggésnek megfelelő, Lorentzinvariáns állapotegyenletet vezessen be úgy, hogy a hullámfüggvényre és operátorokra kirótt kvantummechanikai axiómák pl. valószínűségi értelmezés, felcserélési relációk érvényben maradjanak. 5
.5. Felcserélési relációk és operátorok koordináta reprezentációban A nem-relativisztikus kvantumelméletben a koordináta és a kanonikus impulzus operátorok felcserélési relációja: Figyelembevéve, hogy p i, x j] = { i ha i = j 0 ha i j a fenti felcserélési relációkat az alábbi módon írhatjuk, p i, x j] = i δ ij, i, j =,, 3. 60 δ µν = δ τ µ g τν = g µν, 6 δ µν = δ µ τg τν = g µν, 6 és terjesztjük ki a négyesvektorokra, p µ, x ν ] = i δ µν = i g µν. 63 A p µ négyes-impulzus operátorok kontravariáns vektorként transzformálódnak, ami biztosítja a felcserélési relációk Lorentz-kovarianciáját: azaz C µν p µ, x ν ] C = ig 64 C µν = p µ, x ν ] = Λ µ τλ ν λ p τ, x λ] = Λ µ τ p τ, x λ] Λ T ν λ Λµ τc τλ Λ T ν λ 65 C = ΛCΛ T = iλg Λ T = ig gλg Λ T = ig ΛΛ T = ig. 66 Koordináta reprezentációban ezért a négyesimpulzus operátort a következőképpen definiáljuk, p µ = p 0,. 67 i ahol p 0, ct ] = i p 0 = i c t. 68 Mivel p 0 = E, a fenti definícióból következik, hogy az energia operátora: c Összefoglalva tehát: E = i t. 69 i p µ = c t, = i i c t, = i µ 70 i p µ = c t, = i i c t, = i µ 7 A kinetikus impulzus operátora: K µ = p µ qa µ = i µ qa µ = c i t qφ, i q A, 7 K µ = p µ qa µ = i µ qa µ = c i t qφ, i + q A. 73 6
.6. A Klein-Gordon egyenlet A 7 és 73 operátorokat behelyettesítve a Lorentz-kovariáns 58 egyenletbe és hattatva a hullámfüggvényre, kapjuk a Klein-Gordon egyenletet, c i t qφ i + q ] A ψ r, t = m c ψ r, t. 74 Az A r, t = 0, φ r, t = 0 esetben szabad részecske a fenti egyenlet a + κ ] ψ r, t = 0 75 alakra redukálódik, ahol κ = mc a Compton hullámszám és = c t. Időtől független vektor- és skalárpotenciálra a hullámfüggvényt a szokott ψ r, t = ψ r e i Et 76 alakban keresve kapjuk a stacionárius Klein-Gordon egyenletet: ] i + q E qφ A + m c ψ r = 0. 77 c Szabad részecskére a ] E c + m c ψ r = 0 78 egyenlet megoldása a síkhullám, és a 59 egyenletnek megfelelően adódik. Ebből következik, hogy a szabad részecske energiája ψ r = A e i p r 79 c p + m c 4 E = 0 80 E = ± m c 4 + c p 8 tehát E mc vagy E mc. A negatív energiás megoldások megjelenése újdonság a klasszikus relativisztikus mechanikához képest. Belátható, hogy a pozitív és negatív energiás megoldások együtt alkotnak teljes rendszert az állapotok Hilbert terén. A A staconárius Klein-Gordon egyenlet a H-atomra r = 0, φ r = Ze /r megoldható és a pozitív energia sajátértékeket /c szerint sorfejtve kapjuk, hogy E nl mc m Ze + m Ze 4 3 n 4 4 n 4 c 4n +... l +, 8 ahol n és l a nem-relativisztikus tárgyalásban megismert fő- és mellékkvantumszámok. Látható, hogy a H-atom energiaszintjeinek durvaszerkezetét Balmer-tag jól kaptuk vissza, a finomszerkezetre viszont a Klein-Gordon egyenlet a kísérleteknek ellentmondó predikciót ad. 7
Még komolyabb problémába ütközünk, ha a hullámfüggvény valószínűségi értelmezésén alapuló koontinuitási egyenletet próbáljuk levezetni. A 75 egyenletet konjugálva, + κ ] ψ r, t = 0, 83 majd ψ r, t-vel balról beszorozva, ugyanakkor a 75 egyenletet ψ r, t -vel balról beszorozva és az így nyert két egyenletet egymásból kivonva nyerjük, hogy amit tovább átalakíthatunk a ψ r, t ψ r, t ψ r, t ψ r, t = 0, 84 ψ c t ψ ψ t ψ ψ ψ ψ ψ = c t ψ t ψ ψ t ψ ψ ψ ψ ψ = 0 85 formában. Az egyenletet i -mel beszorozva, majd a megtalálási valószínűségsűrűséget m és az áramsűrűséget ρ r, t = i mc ψ r, t t ψ r, t ψ r, t t ψ r, t = Re ψ r, t i t mc ψ r, t j r, t = ψ r, t ψ r, t ψ r, t ψ r, t im = Re ψ p r, t m ψ r, t 86 87 módon definíálva, valóban adódik, hogy t ρ r, t + j r, t = 0. 88 Míg az áramsűrűség definíciója megegyezik a Schrödinger egyenlet alapján nyert kifejezéssel, a valószínűségsűrűségé különbözik attól. A problémát az jelenti, hogy ρ r, t nem pozitív definit. Ugyanis az időben másodrendű Klein-Gordon egyenletben a t ψ r, t-re, aminek nincs fizikai jelentése, ψ r, t-től független kezdeti feltétel róható ki. A szabad részecske valószínúségsűrűsége: ρ r, t = E mc ψ r, t, 89 ami negatív energiás megoldásokra, E = m c 4 + p c, negatív valószínűségsűrűséghez vezet. Ezenkívül a hullámfüggvény skalár volta miatt nincsen lehetőség spin értelmezésére sem, így a Klein-Gordon egyenlet - amint azt a kvantumtérelmélet megmutatta - a nulla spinű részecskék pl. π-mezonok téregyenlete. 8
.7. A Dirac egyenlet Láttuk tehát, hogy a Klein-Gordon egyenlet valószínűségi értelmezését az akadályozta meg, hogy benne az időderivált négyzete szerepelt. Ezért Paul Dirac 98 nyomán a hullámfüggvény mozgásegyenletében p µ lineáris formáját engedjük meg az elektromágneses térrel kölcsönható részecske mozgásegyenletét később tárgyaljuk γ µ p µ mc ψ = 0, 90 ahol a γ µ operátorok felcserélhetők a p µ operátorokkal. Ezt úgy interpretálhatjuk, hogy a ψ hullámfüggvény a négyzetesen integrálható függvények Hilbert-terének ahol a p µ operátorok hatnak és egy új szabadsági fokokat reprezentáló Hilbert-tér ahol a γ µ operátorok hatnak tenzorszorzatának eleme. Hattassuk a γ ν p ν + mc operátort a fenti egyenletre: γ ν p ν + mc γ µ p µ mc ψ = γ ν p ν γ µ p µ m c ψ = 0, 9 A p µ operátorok felcserélhetőségét is figyelembe véve: γ ν γ µ p µ p ν = γν γ µ p µ p ν + γ ν γ µ p ν p µ 9 = γν γ µ + γ µ γ ν p µ p ν. 93 Szeretnénk ugyanakkor, ha érvényben maradna a relativisztikus energia-impulzus összefüggés. Ehhez megköveteljük, hogy a fenti kifejezés p µ p µ -vel legyen egyenlő, azaz teljesülnie kell a következő antikommutációs relációknak: γ µ γ ν + γ ν γ µ = {γ µ, γ ν } = g µν. 94 Ebből egyúttal az is következik, hogy γ 0 = és γ i = i =,, 3 95 A fenti csererelációkat teljesítő operátorok ún. Clifford algebrát alkotnak. Mivel p µ = i µ, Dirac egyenlete szabad részecskére: ahol mint a Klein-Gordon egyenletben κ = mc iγ µ µ κ ψ = 0, 96 a Compton hullámszám..8. A Dirac mátrixok.8.. A γ µ mátrixok dimenziója Állítás: A γ µ operátorok véges, n dimenziós ábrázolásaira fennáll, hogy n páros. 9
Bizonyítás: i Belátható, hogy bármely γ µ operátor nyoma zérus. Ugyanis: Trγ 0 = Trγ 0 γ j = Trγ j γ 0 γ i = Tr γ j γ 0 = Trγ 0, 97 Trγ j = Trγ j γ 0 = Trγ 0 γ j γ 0 = Tr γ 0 γ j = Trγ j, 98 ahol felhasználtuk a nyomképzés ciklikus tulajdonságát. ii Mivel γ 0 =, γ 0 lehetséges sajátértékei vagy, illetve γ j = miatt γ j lehetséges sajátétékei ±i. Tételezzük fel, hogy m sajátérték vagy i és n m sajátérték vagy i. Ekkor, Trγ 0 = m n m = m n = 0, 99 Trγ j = m n m] i = m n i = 0, 00 tehát n páros..8.. Standard ábrázolás Belátható, hogy a négydimenziós Dirac csoport irreducibilis ábrázolásai egy vagy négydimenziósak. Ezek közül csak az utóbbi felel meg a Clifford algebrának, így a γ µ operátorokat a továbbiakban 4 4-es mátrixokkal reprezentáljuk. Az alábbi, ún. standard ábrázolás, γ 0 0 0 σ = γ i i = 0 σ i 0 eleget tesz a megkövetelt antikommutációs relációknak: 0 { γ i, γ k} { σ = i, σ k} { 0 0 σ i, σ k} = δ ik 4 = g ik 4 0 { γ 0, γ i} 0 σ i 0 σ i = σ i + 0 σ i = 0 03 0 A továbbiakban szükségünk lesz még a mátrixok adjungáltjaira vonatkozó összefüggésekre: γ 0 = γ 0 γ i = γ i 04 γ 0 γ i = γ i γ 0 = γ i = γ 0 γ i γ 0 05 A Dirac egyenletben szereplő hullámfüggvények következésképpen négykomponensűek: ψ r, t ψ r, t = ψ r, t ψ 3 r, t ψ 4. 06 r, t 0
Megjegyezzük, hogy a γ 5 = iγ 0 γ γ γ 3 Dirac mátrix: γ 5 0 0 σ 0 σ 0 σ3 0 I = i = 0 σ 0 σ 0 σ 3 0 I 0 }{{}}{{} 0 σ iσ 0 σ 0 0 iσ is a Clifford algebra szerint antikommutál a γ µ mátrixokkal.. 07.9. Az elektromágneses térrel kölcsönható részecske mozgásegyenlete Elektromágneses tér jelenléte esetén a Dirac egyenletbe a p µ kanonikus impulzusok helyett a K µ kinetikus impulzusokat írjuk, γ µ K µ mc ψ = 0 08 ahol K µ = p µ qa µ = i µ qa µ 09 γ µ i µ qa µ mc ψ = 0 0 vagy iγ µ µ + iq A µ κ ψ = 0. A nem-relativisztikus elmélethez hasonlóan vizsgáljuk meg a Dirac egyenlet invarianciáját a A = A + φ Λ, φ = φ t Λ A t Λ µ =, A Λ = A µ µ Λ c mértéktranszformációval szemben: iγ µ µ + iq A µ κ ψ = 0 3 iγ µ µ + iq A µ iq µλ alakban írható. Nyilvánvaló, hogy a hullámfüggvény ] κ ψ = 0 4 ψ = ψe iq Λ 5 transzformációja kielégíti a 4 egyenletet. Ugyanis µ iq µλ ψe iq Λ = e iq Λ µ ψ, 6 és utána e iq Λ -val egyszerűsítve a 0 Dirac egyenlethez jutunk. A 5 transzformáció teljes mértékben ekvivalens a nem-relativisztikus esetben levezetett mértéktranszformációval!
A 0 egyenletben kiírva µ és A µ idő- és térszerű komponenseit, K µ = c i t qφ, p q A, 7 kapjuk, hogy c γ0 i t qφ γ melyet cγ 0 lal balról szorozva, i t + qφ + cγ 0 γ p q A ] mc ψ = 0, 8 p q A + γ 0 mc ] ψ = 0, 9 majd az idő szerinti deriváltat külön kezelve nyerjük a következő egyenletet, i t ψ = cγ 0 γ p ] q A + qφ + γ 0 mc ψ. 0 Vezessük be az α γ 0 γ és β γ 0 mátrixokat. Az α i mátrixok alakja, I 0 0 σi 0 σi α i = =, 0 I σ i 0 σ i 0 míg a β mátrix nyilvánvalóan Az új mátrixokkal a Dirac egyenlet az i t ψ = c α I 0 β =. 0 I p q A + qφ + βmc ] ψ, 3 alakot ölti, melyből az i t ψ = Hψ 4 analógia alapján leolvashatjuk a relativisztikus Hamilton operátort: H = c α p q A + qφ + βmc, 5 mely az α és β mátrixok ismeretében nyilvánvalóan hermitikus. Időfüggetlen vektor- és skalárpotenciál esetén a hullámfüggvényt ψ r, t = ψ r e i Et alakban keresve a Hamilton operátor sajátérték problémájához, azaz a stacionárius Dirac egyenlethez jutunk Hψ r = c α p q A r + qφ ] r + βmc ψ r = E ψ r. 6.0. A kontinuitási egyenlet Induljunk ki a Dirac egyenlet i t ψ = c α p ] q A + qφ + βmc ψ 7
alakjából, melyet a hullámfüggvény komponensei szerint kiírunk: Konjugáljuk az egyenletek mindkét oldalát: ahol felhasználtuk, hogy p ψ r = i t ψ r = c α rs p ψ s q A ψ s + qφψ r + mc β rs ψ s. 8 i t ψ r = c α rs p ψ s q A ψ s + qφψ r + mc β rsψ s 9 = c p ψ s α sr q A ψ s α sr + qφψ r + mc ψ sβ sr, 30 i ψr = i ψ r = p ψ r, valamint, hogy az α és β mátrixok hermitikusak. A fenti egyenletek összefoglalhatjuk a következő módon: i t ψ = c p q A ψ α + qφψ + mc ψ β, 3 c ahol ψ = ψ, ψ, ψ 3, ψ 4 3 a hullámfüggvény adjungáltja. Az 7 egyenletet ψ + -szal balról, a 3 egyenletet ψ-vel jobbról beszorozva, majd az így nyert két egyenletet egymásból kivonva kapjuk, hogy i ψ t ψ + t ψ ψ ] = c ψ α p ψ + p ψ ] α ψ 33 t ψ ψ + cψ α ψ = 0, 34 amiből a megtalálási valószínűségsűrűség és áramsűrűség megfelelő definíciójával, ρ = ψ ψ és j = cψ α ψ, 35 a t ρ + j = 0 36 kontinuitási egyenlet kapható. Nyilvánvaló, hogy ρ pozitív definit, tehát a Dirac egyenlet által leírt részecskére alkalmazható a kvantummechanika valószínűségi értelmezése. A későbbiekben belátjuk, hogy a j µ = cρ, j = cψ γ 0 γ µ ψ 37 négyes áramsűrűségvektor kontravariáns négyesvektor és így a kontinuitási egyenlet a kovariáns alakban írható, azaz tetszőleges inerciarendszerben érvényes. µ j µ = 0 38 3
.. A konjugált spinor, konjugált Dirac egyenlet A fenti eredményhez eljuthatunk a Dirac egyenlet kovariáns alakjából is, γ µ µ ψ + iq γµ A µ ψ + iκψ = 0 39 amit ismételten a hullámfüggvény komponensei szerint írunk fel, γ rs µ µ ψ s + iq γµ rsa µ ψ s + iκψ r = 0 40 majd konjugálunk, γ µ rs µ ψ s iq γµ rs A µ ψ s iκψ r = 0 4 4 µ ψ s γ µ sr iq A µψ s γ µ sr iκψ r = 0. 43 A hullámfüggvény adjungáltjával, ψ = ψ ψ ψ 3 ψ 4 44 a fenti egyenlet a µ ψ γ µ iq A µψ γ µ iκψ = 0 45 alakban foglalható össze. A γ µ mátrixok adjungáltjára vonatkozó azonosságot felhasználva, µ ψ γ 0 γ µ γ 0 iq A µψ γ 0 γ µ γ 0 iκψ = 0, 46 melyet jobbról γ 0 -lal beszorozva és bevezetve a ψ = ψ γ 0 47 konjugált spinort, nyerjük a konjugált Dirac egyenletet: µ ψ γ µ iq A µψγ µ iκψ = 0. 48 A 39 egyenletet balról ψ-sal, a 48 egyenletet jobbról ψ-vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy ψγ µ µ ψ + µ ψ γ µ ψ = 0, 49 azaz illetve ahol µ ψγ µ ψ = 0. 50 µ j µ = 0, 5 j µ = cψγ µ ψ = cψ γ 0 γ µ ψ. 5 4
.. A szabad elektron spektruma Zérus vektor- és skalárpotenciál esetén a 6 egyenlet, mc I c σ p c σ p mc ψ r = Eψ r, 53 I megoldását kereshetjük a ψ r = Ue i p r = u u u 3 u 4 e i p r 54 alakban, ahol p most az impulzusoperátor sajátértékét jelöli. Behelyettesítés után a H p U = E U 55 mátrix sajátértékegyenletet kapjuk, ahol H mc p = I c σ p c σ p mc I. 56 Nemtriviális U 0 megoldás csak akkor létezik, ha a szekuláris mátrix determinánsa, det E H p, eltűnik. Kihasználva a σ p = p I azonosságot, E mc E + mc c p = 0. 57 Innen a szabad részecske energiája E = ± m c 4 + c p 58 értékeket vehet fel, csakúgy mint a Klein-Gordon egyenlet esetében. A megoldásokat részletesen a gyakorlaton vizsgáljuk: itt csak annyit jegyzünk meg, hogy p = 0 esetén álló részecske mindkét pozitív és mindkét negatív energiás megoldásokból a koordinátarendszer bármely tengelyére vonatkoztatva határozott, ±/ spinű állapotok keverhetők ki, mivel a Hamilton operátor mátrixa felcserélhető a Pauli mátrixokkal: ] mc I 0 σi 0 0 mc, = 0 I 0 σ i i = x, y, z. 59.3. Nem-relativisztikus közelítés: kinetikus energia korrekció, spinpálya kölcsönhatás és a Darwin-tag Ebben a fejezetben /c -tel arányos korrekciókat találunk a Pauli-Schrödinger egyenlethez. A c α p ] q A + qφ + βmc ψ = Eψ 60 stacionárius Dirac egyenlet megoldását bontsuk fel két egyenként két-komponensű részre, χ ψ =, 6 ϕ 5
ahol χ és ϕ az ún. nagy- és kiskomponens. Írjuk ki részletesen a 60 egyenletet: E mc qφ c σ K χ 0 c σ = K E + mc qφ ϕ 0 E mc qφ χ c σ Kϕ = 0, 6 E + mc qφ ϕ c σ Kχ = 0. 63 A ϕ kiskomponens kifejezhető a 63 egyenletből, ϕ = E + mc qφ c σ Kχ. 64 Pozitív energiás megoldásokra szorítkozva, először éljünk az E + mc qφ mc közelítéssel: ϕ = σ Kχ. 65 mc Ezt visszahelyettesítve a 6 egyenletbe és bevezetve az E = E mc jelölést, valamint alkalmazva a σ a σ b = a b + i a b σ és K K = q i B összefüggéseket, E qφ m = E qφ σ K σ K ] χ = E qφ K m i K ] K σ χ 66 m ] K m + q B σ χ = 0, 67 m a χ nagykomponensre a szokásos Pauli-Schrödinger egyenletet kapjuk a spin-paramágneses járulékot is beleértve, ahol bevezettük a Pauli-Schrödinger Hamilton operátort, E χ = H P χ, 68 H P = σ K σ K + qφ = m K m q + qφ B σ. 69 m Lépjünk túl ezen a közelítésen! A ϕ = mc mc + E qφ c σ Kχ mc E qφ mc c σ Kχ, 70 kifejezést imételten visszahelyettesítve a 6 egyenletbe kapjuk, hogy E qφ χ = σ K E qφ σ Kχ, 7 m mc 6
ill. a fenti egyenlete átrendezve és kihasználva H P definícióját, E χ = H P χ 4m c σ K E qφ σ K χ = H P χ 4m c σ K σ K E qφ χ 4m c σ K E qφ, σ K = H P χ mc H P qφ E qφ χ 4m c σ K σ K, qφ ] A 7 egyenlet második tagja /c rendig közelíthető mint ] χ. 7 H M mc H P qφ χ 8m 3 c K4 χ, 73 ahol a mágneses teret tartalmazó járulékokat figyelmen kívűl hagytuk. Ez a járulék a relativisztikus tömegnövekedést kinetikus energia korrekciót írja le, hiszen E qφ = m c 4 + K c mc K m 8m 3 c K4 +... 74 Nézzük meg, hogy ez a korrekció mennyiben befolyásolja a hidrogén atom energiaszintjeit az időfüggetlen perturbációszámítás elsőrendjében: H 0 = p m Ze r ahol α = e /c = /mca 0 a finomszerkezeti állandó,, E 0 n = m Ze n = mc Zα n, 75 H = p4 8m 3 c = mc = H Ze mc 0 + H 0 r H 0 + Ze r + Ze r. 76 Innen δe nlm = nlm H nlm = E 0 mc n + E 0 Ze n + Z e 4 r nlm r }{{} nlm }{{} E 0 n Z /a 0 n3 l+/] = 34 mc m c 4 α 4 Z4 n + 4 α4 m c 4 Z 4 = n 3 l + / = mc Zα Zα n n n l + / 3 4 }{{} E n 0, 77 7
azaz a korrekció α nagyságrendű és a főhéjak mellékkvantumszám l szerinti felhasadását eredményezi. Ez az eredmény egyébként megegyezik a Klein-Gordon egyenletből kapott sajátenergia /c rendű közelítésével. Foglalkozzunk most a 7 egyenlet harmadik tagjával: σ K σ K, ] qφ = K, ] K qφ i K K, ] σ qφ 4m c 4m c 4m c A jobboldalon álló első kifejezés az ún. 78 Darwin taghoz ad járulékot, mellyel a későbbiekben foglalkozunk. A 78 kifejezés második tagját tovább alakítjuk, K K, ] qφ = ε ijk K j K k, qφ] = ε ijk K j K k, qφ] ε i }{{} ijk K j, qφ] K k q ic B i } {{ } =0 K, ] = qφ K i }{{} = p,qφ] i σ p, qφ] K = ] σ qφ 4m c 4m c Stacionárius elektromágneses térre szorítkozva, ezt a korrekciót H sp = σ q E K 4m c K alakban írhatjuk, amit a spin-pálya kölcsönhatással azonosítunk. Centrális potenciálra és zérus mágneses tér esetén, H sp = q 4m c r E = φ r = dφ r dr dφ r dr σ r p = m c r. 79 r 80 r d qφ r dr L S, 8 adódik, amit az M L = e m L pálya-mágneses momentum és M S = e m S spin-mágneses momentum operátorok segítségével q = e, V r = qφ r átírhatunk a H sp = c e r dv r dr M L M S 8 formába. Ennek elsősorban nagyobb rendszámú elemek esetén ill. szilárdtestekben a kötött atommaghoz közeli pályák spin-pálya j = l ± felhasadásában van szerepe. Mágneses anyagokban ugyancsak elsősorban a spin-pálya kölcsönhatás felelős az ún. magnetokristályos anizotrópia jelenségéért. Vizsgáljuk meg a H-atom energiaszintjeinek korrekcióját spin-pálya kölcsönhatás következtében a perturbációszámítás elsőrendjében. Ehhez a H = Ze L S 83 m c r 3 8
perturbáló operátort átírjuk a H = Ze J L S 84 4m c r 3 alakra és a perturbálatlan hullámfüggvényeket a J, J z, L, és S vesszük föl, n, l, j, m j = m s=± C j, m j ; l, m l m s n; l, m l, m s, m s ahol C j, m j ; l, m l m s a Clebsh-Gordan együtthatók és j = l ± δe n,l,j,m j = Z e 4m c r 3 nl. Ekkor, j j + l l + 3 4 közös sajátfüggvényeiként, 85, 86 valamint 3 Z = 87 r 3 nl na 0 l + l l + felhasználásával, Némi algebrai átalakítás után, δe n,l,j,m j = Z e m c n j j + l l + 3 4 l + l l + j j + l l + 3 4 l + l l + Z 3 na }{{ 0 } E 0 n = j=l+ = j=l Zα n l + = l + l n j j + l l + 3 4 l + l l + l + 3 l l + 3 4 l + l l + l + = l + = j + l + l l + 3 4 l + l l +. 88 l + l +, 89 = l + l = l + l = l + j +, 90 δe Zα n n,l,j,m j = E n 0 n l + n j +. 9 Ezt az eredményt összevonva az energiaszintek relativisztikus kinetikus energiakorrekciójával, adódik, hogy δe n,l,j,m j = E n 0 Zα n n j + / 3 4, 9 ami megegyezik a H-atom Dirac egyenletből számolt sajátenergiájának /c -rendű korrekciójával. A fenti levezetés azonban l = 0 esetén nem érvényes, mivel akkor r nl divergál. Véges 3 l méretű atommagot feltételezve r nl véges, de az L S operátor mátrixeleme zérus, így a spinpálya kölcsönhatás az s-pályák energiáját nem változtatja meg a perturbációszámítás első 3 rendjében. 9
.3.. A normálás szerepe A továbbiakban szorítkozzunk a zérus mágneses tér esetére. A Pauli-Schrödinger egyenlet relativisztikus korrekcióira tett fenti meggondolások akkor lennének maradéktalanul érvényesek, ha a χ nagykomponenst tekinthetnénk az elektron állapotát meghatározó normált hullámfüggvénynek. Nem szabad azonban elfelednünk, hogy a teljes négykomponensű hullámfüggvényt kell normálnunk, azaz d 3 r ψ + ψ = d 3 r χ + χ + ϕ + ϕ =. 93 A kiskomponens normája ezért = d 3 r ϕ + ϕ 4m c 4m c d 3 r χ + + p χ = 4m c d 3 r χ + σ p σ p χ d 3 r χ + p χ, 94 d 3 r χ + S χ S, 95 ahol a normált nagykomponenst χ S -sel jelöltük. /c rendben: χ S = + p χ = χ = p χ 8m c 8m c S. 96 Ez azt jelenti, hogy egy normált kétkomponensű hullámfüggvénnyel dolgozva a hiányzó kiskomponens ϕ normáját az p 8m c operátor hatásával vehetjük figyelembe /c rendig. Vegyük észre, hogy ezzel az eljárással valójában egy -rendű unitér transzformációt hajtottunk végre a c χs négykomponensű ψ és függvények között. 0 Az előző fejezetben levezetett /c -rendű Hamilton operátort H-val jelölve, következik, hogy amiből ugyancsak /c rendig az E χ = Hχ, 97 E χ S = + p H p χ 8m c 8m c S, 98 E χ S ] p H + 8m c, H χ S 99 egyenletet kapjuk. Látható, hogy az egyetlen újabb /c -rendű korrekcióhoz akkor jutunk, ha a kommutátorba H helyett a qφ operátort helyettesítjük, mivel a többi járulék vagy kiesik vagy /c -ben magasabb rendű korrekciót szolgáltat. Kezeljük ezt a tagot együtt a 78 jobboldalának első tagjával K-t p -vel helyettesítve: H D = 4m c p p, qφ] + 8m c p, qφ ] = 8m c p, qφ] p p p, qφ] 00 = 8m c p, p, qφ]] =,, ]] qφ = qφ, 0 8m c 8m c 0
amit Darwin-tagnak nevezünk, melynek nincsen klasszikus magyarázata. Eredete arra vezethető vissza, hogy az elektron nem tekinthető pontszerű részecskének, hanem egy h/mc Compton hullámhossz lineáris méretű tértartományban rezeg Zitterbewegung. A Zitterbewegung a pozitív és negatív energiás állapotok közötti interferencia következménye: a klasszikus elmélet erről valóban nem ad számot. Mivel a qφ = Ze /r Coulomb potenciálra, δe nlm = ami csak az s-pályák esetén zérustól különböző: H D r = Ze π m c δ r, 0 d 3 r ψ nlm r H D r ψ nlm r = Ze π m c ψ nlm 0, 03 amiből ψ n00 0 = Z 4π na 0 3/ ψ n00 0 = π Z na 0 3, δe n00 = Ze 3 Z Z n e m = m c na 0 ma 0n mc a 0 = E n 0 n mc. 04 Összefoglalva tehát, a Dirac egyenlet /c -rendű sorfejtésével a H P + H M + H D + H sp χ = E mc χ 05 sajátértékegyenlethez jutottunk, ahol χ a normált kétkomponensű hullámfüggvény, a Pauli-Schrödinger Hamilton operátor, H P = K q B σ + qφ, 06 m m H M = 8m 3 c K4, 07 a kinetikus energia relativisztikus tömegnövekedés következtében fellépő korrekciója, H D = qφ, 08 8m c a Darwin tag, mely a potenciális energia klasszikus analógiával nem rendelkező korrekciója és H sp = q E σ K 09 4m c a spin-pálya kölcsönhatás..3.. A nemrelativisztikus áramsűrűség származtatása Nézzük meg, hogy mi a kapcsolat a relativisztikusan származtatott áramsűrűség és annak korábban megismert nemrelativisztikus formája között. Most csak a vezető rendű tagokat vizsgáljuk, ezért elegendő használnunk a ϕ σ K mc χ 0
közelítést. Ezért j = cψ α ψ = c χ, ϕ 0 σ = χ σ m σ K χ + σ χ = c χ σ ϕ + ϕ σ χ 0 ϕ Kχ ] σ σ χ. σ σ K i K = σ i σ j K j = δ ij + iε ijk σ k K j = K i + i σ i Kχ Kχ ] σ σi = K j χ σ j σ i = K i χ i σ i j = χ Kχ Kχ + χ + i m m χ K σ χ Kχ σ χ. Az első tag: j nr χ m Re Kχ = ] im χ χ q m χ Aχ, 3 megegyezik a nemrelativisztikus eredménnyel. A második tag: χ K σ χ = i χ σ χ qχ A σ χ Kχ σ χ = χ A σ χ qχ σ χ i j m i K χ Kχ σ χ σ χ m = χ σ χ + χ σ χ m = m új járulékot jelent, mely a spin-mágnesezettséghez kapcsolódik töltésáram χ σ χ = χ M S χ 4 e M S = e m σ. A megfelelő e j m r, t = rot M S r, t, 5 ahol M S r, t = χ r, t M S χ r, t 6 az elektron spinje miatt fellépő mágnesezettség sűrűség.
.4. A Dirac egyenlet Lorentz invarianciája Írjuk fel a Dirac egyenletet a γ µ i µ qa µ x mc ψ x = 0 7 Λ = e ω, ω T g = gω, ω µν = ω νµ, 8 homogén Lorentz transzformáció x µ = Λ µ ν x ν, µ = x ν x µ ν = νλ ν µ = Λ T ν µ ν µ = Λ ν µ ν 9 A µ x = Λ ν µ A ν x, 0 alkalmazásával: γ µ i µ qa µ x mc ψ x = 0 γ µ Λ ] ν i µ ν qa ν x mc ψ x = 0. ahol ψ x a transzformált hullámfüggvény. Bevezetve a hullámfüggvény S Λ transzformációját, melyet a γ µ -hez hasonlóan 4 4-es mátrixszal reprezentálunk, ψ x = S Λ ψ x, 3 a egyenletet a ] γ µ Λ ν µ i ν qa ν x mc S Λ ψ x = 0 4 alakban írhatjuk. A 7 egyenlet segítségével eliminálva az mc S Λ ψ x tagot a γ µ Λ ν µ S Λ S Λ γ ν i ν qa ν x ψ x = 0 5 összefüggést nyerjük. Tetszőleges hullámfüggvény és négyespotenciál esetén ez csak úgy teljesülhet, ha megköveteljük a egyenlőséget, illetve γ µ Λ ν µ S Λ S Λ γ ν = 0 6 S Λ γ µ S Λ Λ ν µ = γ ν. 7 Kihasználva, hogy Λ T = Λ, a fenti összefüggés a következőképpen alakítható: Állítás: A 8 egyenlet megoldása S Λ γ µ S Λ Λ ν µ Λ T µ ν = S Λ γ µ S Λ δ µ µ = S Λ γ µ S Λ = γ ν Λ T µ ν = Λ µ νγ ν. 8 S Λ = e 4 ωµνγµ γ ν 9 3
Bizonyítás: Vezessük be az infinitezimális τ mátrixot, Az ismert Hausdorff kifejtés szerint, S Λ = e τ. 30 e τ γ µ e τ = γ µ + τ, γ µ ] +! τ, τ, γµ ]] + 3! τ, τ, τ, γµ ]]] +.... 3 Ugyanakkor Λ µ νγ ν = e ω µ ν γ ν = γ µ + ω µ νγ ν + ω µ! ν γν + ω 3 µ 3! ν γν +.... 3 Könnyen belátható, hogy a két fenti sorfejtés azonosságát a második, azaz elsőrendben infinitezimális tagok egyenlősége, biztosítja. Ugyanis ekkor teljes indukcióval bizonyítható, hogy τ, γ µ ] = ω µ νγ ν, 33 τ, τ,... τ, γ µ ]]] = ω n µ }{{} ν γν, 34 n ahol n az egymásba ágyazott kommutátorok számát jelöli. Mivel feltételezésünk szerint n = -re a fenti állítás teljesül, csak azt kell belátnunk, hogy τ, τ, τ,... τ, γ µ ]]]] = τ, ω n µ }{{} γν] = ω n µ τ, ν ν γν ] n = ω n µ ν ων λγ λ = ω n µ λ γλ. 35 Ezek után bizonyítjuk, hogy a 33 egyenlet megoldása τ = 4 ω µνγ µ γ ν. A γ µ mátrixok antikommutációs relációja alapján ugyanis: τγ µ = 4 ω λδγ λ γ δ γ µ = 4 ω λδγ λ γ µ γ δ ω λδγ λ g µδ = 4 ω λδγ µ γ λ γ δ + ω λδγ δ g λµ ω λδγ λ g µδ = γ µ τ + ω λδγ δ g λµ + gµδ ω δλ γ λ = γ µ τ + ω µ λ γλ, 36 ahol felhasználtuk, hogy ω λδ = ω δλ és g λµ = g µλ. Ezzel az állítást bizonyítottuk. Mivel 4 ω µνγ µ γ ν = 8 ω µνγ µ γ ν 8 ω νµγ µ γ ν 37 = 8 ω µν γ µ γ ν γ ν γ µ = 8 ω µν γ µ, γ ν ] 38 a S Λ spinor transzformáció a S Λ = e i ωµνσµν 39 formában is írható, ahol σ µν = i 8 γµ, γ ν ], 40 a hullámfüggvény Lorentz transzformációjának a Lorentz transzformáció spinor ábrázolásának infinitezimális generátora. 4
.5. Fizikai mennyiségek Lorentz transzformáltja Az O hermitikus operátorral megadott fizikai mennyiségnek egy adott ψ állapotban a Minkowski téren értelmezett sűrűsége, O x = ψ x Oψ x. 4 melyet a konjugált Dirac-spinor, ψ x = ψ x γ 0, segítségével az O x = ψ x O ψ x, 4 alakban is írhatunk, ahol O = γ 0 O. 43 Példa a valószínűségsűrűség és valószínűségi áramsűrűségre, ill. a négyes áramsűrűségre, ϱ x = ψ x γ 0 ψ x, j k x = cψ x γ k ψ x k =,, 3, 44 j µ x = cϱ x, j x = ψ x cγ µ ψ x. 45 Segédtétel: Bármely Lorentz transzformációra S Λ = γ 0 S Λ γ 0. 46 Bizonyítás: Felhasználva, hogy γ 0 S Λ γ 0 = γ 0 e τ γ 0 = n=0 n! γ0 τ n γ 0 47 γ µ = γ 0 γ µ γ 0, 48 γ 0 τ γ 0 = 4 ω µνγ 0 γ ν γ µ γ 0 = 4 ω µνγ 0 γ ν γ 0 γ 0 γ µ γ 0 49 = 4 ω µνγ ν γ µ = 4 ω µνγ µ γ ν = τ 50 γ 0 τ γ 0 = γ 0 τ γ 0 = τ... γ 0 τ n γ 0 = τ n 5 γ 0 S Λ γ 0 = n=0 τ n n! = eτ = S Λ. 5 5
Következésképpen az O x sűrűség transzformáltja, O x = ψ x O ψ x = S Λ ψ x] O S Λ ψ x = ψ x S Λ O S Λ ψ x = ψ x γ 0 S Λ γ 0 γ 0 O S Λ ψ x = ψ x S Λ γ 0 OS Λ ψ x = ψ x S Λ OS Λ ψ x, 53 amit úgy fogalmazhatunk meg, hogy a hullámfüggvény helyett az O operátor transzformálódik: O = S Λ OS Λ 54 és ezzel O x = ψ x O ψ x. 55.5.. A négyes áramsűrűségvektor A 8 és 53 egyenletek alapján, j µ x = c ψ x S Λ γ µ S Λ ψ x = c ψ x Λ µ νγ ν ψ x = Λ µ ν c ψ x γ ν ψ x ] = Λ µ ν j ν x, 56 tehát a négyes áramsűrűség vektorként transzformálódik. Ebből azonnal következik, hogy a ϱ x = c j0 x megtalálási valószínűségsűrűség nem invariáns a Lorentz transzformációra nézve. Belátható továbbá, hogy a ψψ és ψγ 5 ψ skalár, ψγ 5 γ µ ψ vektor, valamint, hogy ψγ µ γ ν ψ kétindexes tenzor..6. Térbeli forgatások és a spin Az n tengely körüli, óramutató járásával ellentétes irányú, ϕ szögű infinitezimális térbeli forgatás: r = r + ϕ n r, 57 azaz x i = x i + ε ikj n k x j ϕ. Az infinitezimális Lorentz transzformáció mátrixa tehát, ω i j = ε ikj n k ϕ i, j =,, 3, 58 ω µ 0 = ω 0 µ = 0 µ = 0,,, 3. 59 6
Ezért a spinor-téren értelmezett infinitezimális transzformáció, ahol 4 ω µνγ µ γ ν = 4 ω ijγ i γ j = 4 ε ijkγ i γ j n k ϕ = i n S ϕ, S k = i 4 ε kijγ i γ j, 60 vagy illetve komponensenként kiírva, i S = γ γ, 6 4 Vizsgáljuk meg az S i mátrixok felcserélési relációit: S = iγ γ 3, S = iγ3 γ, S 3 = iγ γ. 6 és ugyanígy, azaz S, S ] i = γ γ 3, γ 3 γ ] i = γ γ 3 γ 3 γ γ 3 γ γ γ 3 63 i = γ γ + γ γ = i i γ γ = is 3, 64 S, S 3] = is, S 3, S ] = is 65 S i, S j] = iε ijk S k. 66 A térbeli forgatás S i infinitezimális generátorai a spinor-téren teljesítik a Lee-algebrát, ezért ezeket spin-operátoroknak nevezzük. Továbbá: S = 4 γ γ 3 γ γ 3 = 4 I 67 és ugyanígy S = S 3 = 4 I, 68 tehát S = 3 4 I = s s + I = s =. 69 A Dirac egyenlet által leírt hullámfüggvény komponenseit a térbeli forgatásokkal hatására egy -es impulzusmomentum spin operátor transzformálja. Ezt úgy értelmezzük, hogy az elektron s = spinnel rendelkezik. Érthető, hogy a Klein-Gordon egyenletnél, ahol a hullámfüggvény skalár egykomponensű volt, nem beszélhettünk spinről. A γ µ mátrixok standard ábrázolásait használva, i S = γ i 0 σ 0 σ γ = 4 4 σ 0 70 σ 0 = i σ σ 0 4 0 σ = σ 0 σ 0 = Σ, 7 σ 7
ahol σ 0 Σ = 0 σ. 7 Ez megnyugtató abból szempontból, hogy a Pauli egyenletben a σ -t vezettük be a spin operátoraként..7. A teljes impulzusmomentum A hullámfüggvény transzformációja térbeli forgatásra tehát, ψ R ϕ, n r, t = exp i n S ϕ ψ r, t 73 illetve ψ r, t = exp i n S ϕ ψ R ϕ, n r, t. 74 Számítsuk ki ψ R ϕ, n r, t-t egy infinitezimális forgatásra: ψ R ϕ, n r, t ψ r, t ϕ n r ψ r, t = ψ r, t ϕ n r ψ r, t 75 = ψ r, t i ϕ n r p ψ r, t = I i ϕ n ] L ψ r, t, 76 ill. véges forgatásra ψ R ϕ, n r, t = exp i n L ϕ ψ r, t. 77 Következésképpen a négykomponensű hullámfüggvény teljes transzformációja a térbeli forgatásokkal szemben, ψ r, t = exp i n J ϕ ψ r, t, 78 azaz a relativisztikus kvantumelméletben a térbeli forgatások infinitezimális generátora a J = L + S 79 teljes impulzusmomentum operátor. A Dirac egyenlet i t ψ = Hψ 80 alakja különös jelentőségű, mert a nem-relativisztikus tárgyalással teljesen analóg módon lehetőséget ad valamely O operátor kvantummechanikai időderiváltjának kiszámítására, do dt = i H, O], 8 8
és ezáltal annak megállapítására, hogy az adott operátorhoz rendelt fizikai mennyiség mozgásállandó vagy sem. Gömbszimmetrikus potenciál esetén a nem-relativisztikus esetben láttuk, hogy az impulzusmomentum L = r p 8 mozgásállandó volt. Nézzük meg, hogy fennáll-e ez a relativisztikus esetben is! Zérus vektorpotenciált véve a Hamilton operátor H = c α p + βmc + qφ 83 alakú. Ekkor H, L i ] = c α p + qφ, ε ijk x j p k ], 84 hiszen L i kommutál βmc -tel. Az L i operátor a spinorok terén egységoperátorként hat, ezért valójában L i I-t kellene írnunk. A fenti kommutátort két részre bontva, cα l p l, ε ijk x j p k ] = cε ijk α l p l, x j p k ] = cε ijk α l p l, x j ] p }{{} k + x j p l, p k ] }{{} i δ 0 lj = c i α p i 85 kapjuk, hogy qφ, ε ijk x j p k ] = qε ijk φ, x j p k ] = qε ijk φ, x j ] p }{{} k + x j φ, p k ] }{{} 0 i kφ = q r φ, 86 i i H, ] L = c α p q r ] φ i, 87 melyből centrális potenciálra csak a második tag tűnik el. Relativisztikus esetben centrális potenciálra a impulzusmomentum nem mozgásállandó! Bizonyítjuk, hogy centrális potenciál esetén a teljes impulzusmomentum J = L + S 88 mozgásállandó, ahol σ 0 S = Σ = 0 σ, 89 9
a spin-operátor. Ugyanis H, S i ] = c α lp l, Σ i ] = c p l α l, Σ i ] = = c 0 p σl l σ l 0 σi 0 0 σ i σi 0 0 σ i 0 σl σ l 0 ] = c p l 0 σ l, σ i ] σ l, σ i ] 0 = icε lik p l 0 σk σ k 0 így tehát = c i α p i. 90 d J dt = q r φ = r F, 9 ahol F = qφ az erő. A fenti összefüggés szerint a Dirac egyenlet által leírt részecskére ható forgatónyomaték a teljes impulzusmomentum időderiváltjával egyezik meg, ami centrális potenciál esetén valóban zérus..7.. Térbeli tükrözés A Minkowski térben a koordináta tengelyek tükrözését az x 0 = x 0 x i = x i i =,, 3, 9 transzformáció írja le, tehát Λ = = Λ. 93 A transzformált Dirac egyenlet: γ 0 K 0 γ i K i mc ψ x = 0, 94 amit tovább átalakítva kapjuk K0 γ 0 γ i K i mcγ 0 ψ = K 0 + γ i γ 0 K i mcγ 0 ψ = 0 95 γ 0 K 0 + γ i K i mc γ 0 ψ = 0, 96 azaz a hullámfüggvény ψ = γ 0 ψ 97 30
transzformációja mellett a Dirac egyenlet invariáns marad a tükrözésre. Vizsgáljuk meg a korábban bevezetett mennyiségek viselkedését a térbeli tükrözésre: ψ ψ = ψ γ 0 γ 0 ψ = ψ ψ 98 ψ ψ = γ 0 ψ γ 0 γ 0 ψ = ψ γ 0 ψ = ψψ. 99 Ezek valódi skalárok. Továbbá, ψ γ 5 ψ = ψ γ 5 γ 0 ψ = ψ γ 0 γ 5 ψ = ψγ 5 ψ, 300 amit pszeudóskalárnak nevezünk. Ugyanígy: ψ γ i ψ = ψγ i ψ és ψ γ 0 ψ = ψγ 0 ψ, 30 tehát j µ = icψγ µ ψ poláris vagy normál vektor, valamint ψ γ i γ 5 ψ = ψγ i γ 5 ψ és ψ γ 0 γ 5 ψ = ψγ 0 γ 5 ψ, 30 azaz ψγ µ γ 5 ψ ún. axiálvektor. 3