y(t+ t) y(t) = 0,4 t 0,2 ty(t) y (t) = 0,4 0,2y(t).

Ã Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ð Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ½ ½º½º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º Ò ¹ Ð ÜÔÓÒØØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò º º º º º º º º º º º º º ¾º ËØ Ð Ø ¾º½º Ø Ð Ø Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ä Ò Ö ÐØ Ð ÒÓ Ý ØØ Ø Ê Ø Ð Ø º º º º º º º º º ¾º º Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ð Ò Ö Þ Ð Ð º ¾º º Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ø Ð Ø Ú Þ Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ¹ Ú ÒÝ Ð º º º º Î Ö Þ Ñ Ø ½¾ º à ÒÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö ½ º½º ÜÔÐ Ø ÙÐ Ö¹Ñ Þ Ö µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÁÑÔÐ Ø ÙÐ Ö¹Ñ Þ Ö Á µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Å Ö Ò ò Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ì Ð Ô Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

½º Ð Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ½º½º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ö Ý Ø ÖØ ÐÝ Ò ½¼ Ð Ø Ö Ú Þ Ú Ò Ñ ÐÝ Ð Ø Ö Ò ÒØ ¼ ¾ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÐ Ø ÓÐÝ ¾ Ð»Ô Ö Ðº ÓÐÝ ÓÐ Ø ÞÓÒÒ Ð Þ Ú Ö Ø ÖØ ÐÝ Ò Ð Ú ÓÐÝ Ð Ú Ö Þ ÒØ Ò ¾ Ð»Ô Ö Ð ÓÐÝ Ø ÖØ ÐÝ Ðº Ö ÙÒ Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÖÖ Ó Ý t ÔÓÒØ Ò Ñ ÒÒÝ Ð Þ Ø ÖØ ÐÝ Òº Å ÓÐ º  РРy(t) Ø ÖØ ÐÝ Ò Ð Ú Ñ ÒÒÝ Ø ÖÐ Ø Þ ¹ Ø Ø Ð Þ Ñ ØÓØØ t ÐØ ÐØ Ú Ðº ½ Ô Ö Ð ØØ ¾ Ð Ø Ö ÓÐÝ t Ð ØØ 2 t Ð Ø Ö Ò 0,4 t Ú Òº Ø ÖØ ÐÝ Ò ½¼ Ð ÓÐÝ Ú Ò Þ y(t) Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖØ ½ Ð y(t) Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ Þ t Ð ØØ 2 ty(t) 10 10 ÓÐÝ º y(t) Ñ Ú ÐØÓÞ Ý ÒÐ Þ Ð Ø Ñ ÒÒÝ Ð Ò Ú Ð y(t+ t) y(t) = 0,4 t 0,2 ty(t) y (t) = 0,4 0,2y(t). ÞØ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ØÙ Ù ÓÐ Ò y(t) = 2+ce 0,2t Ú Ø Ð Ò Ó Ñ ÓÐ Ú Ò Þ ÖØ Ý ØÓÚ ÐØ Ø ÐØ ÐÐ ÒÙÒ º ÌÙ Ù Ó Ý t = 0 ÔÓÒØ Ò ¹ ÖÐ Ø Þ Ø Ò ¹ Ø ÖØ ÐÝ Ò Ø ÞØ Ú Þ Ú Ò Þ Þ y(0)=0º Þ Ø ÐØ Ø ÐÐ Ð Ý ØØ Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ y(t)= = 2 2e 0,2t º ýðø Ð Ò y (t) = f(t, y(t)) ÜÔÐ Ø Ð Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð¹ Ý ÒРغ Ý Þ ÖòÒ ØòÒ ÓÖ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ð Ø y : U R n, U R, Ñ Ñ Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ôк f : D R n, D R R n, y 1 (t) = f 1(t, y 1 (t), y 2 (t),...,y n (t)) y 2(t) = f 2 (t, y 1 (t), y 2 (t),...,y n (t)) º y n (t) = f n(t, y 1 (t), y 2 (t),...,y n (t)). ½

à ÔÐ Ö¹ Ð Ø Ö Ù Ð Ý ÓÐÝ ÑÓÞ Ø Ý ÐÐ Ö Ð ÐØ Þ Ó Ý ÐÐ ÐÝ Ò Ñ Ö ÑÓÞ Ð Ø Ø Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ Ö Ð ÓÖ ¹ Ø Ð ÒÝ ÓÐ Ù º Æ ÛØÓÒ¹ Ð Ö Ú Ø Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ F = γ mm Þ Þ Ø Ò ÐÝ Ö ÒÝ Ò F y1 = γ Ý ÒÐ Ø Ø Ø y mm (y 2 1 +y2 2 )3 2 M 1 = γ (y1 2 +y2) 2 3 2 y 1 F y2 = γ y 1 y 2 = γ M y 2. (y1 2+y2 2 )3 2 mm (y 2 1 +y2 2 )3 2 y 2 1 +y2 2 y 2 º ÑÓÞ¹ Þ Ñ Ó Ö Ò ò Ý ÒÐ Ø Þ y 3 = y 1 y 4 = y 2 Ð Ø Ø Ù Ú ÐØÓÞ Ð Ð Ö Ò òú y 1 = y 3 y 2 = y 4 y 3 M = γ y (y1 2 +y2) 2 3 1 2 y 4 = γ M y 2. (y1 2+y2 2 )3 2 Þ ÜÔÐ Ø Ð Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒРغ ÙØÓÒ ÑÒ Ú Ù Þ Ý ÒÐ Ø Ø f Ò Ñ t¹ø к À Ý Þ Ø ÐØ Ø Ð y(t 0 ) = y 0 ÓØØ ÓÖ Þ y (t) = f(t, y(t)) y(t 0 ) = y 0 ½º½µ ½º¾µ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ú ÞÞ º Ã Ö Å Ñ ÓÐ Ø ÐÞ ººº Áº Î Ò¹ Ñ ÓÐ ÁÁº Ý ÖØ ÐÑò¹ Ñ ÓÐ ÁÁÁº ÓÐÝØÓÒÓ Ò ¹ Ñ ÓÐ f¹ø Ð Þ Ø ÐØ Ø ÐØ Ð À Ñ Ò ÖÓÑÖ Ò Ú Ð Þ ÓÖ ÓÖÖ Ø ØòÞ ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ¹ Þ Ð Ò º ¾

½º¾º Ò ¹ Ð ÜÔÓÒØØ Ø Ð ½º½º Ò º (X, d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö d : X X R Ø ÚÓÐ Ú ÒÝ Ö Ò Ð Þ Ú Ø Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Ð ½ d(x, y) 0 d(x, y) = 0 x = y ¾ d(x, y) = d(y, x) d(x, y)+d(y, z) d(x, z)º ½º¾º Ò º Þ a n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ð a¹ ÓÞ Þ (X, d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ò lim n + d(a n, a)=0 Ú Ý ε>0¹ö N Ó Ý n>n ÓÖ d(a n, a)<εº ½º º Ò º Þ a n ÓÖÓÞ Ø Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Ø ε>0¹ö N Ó Ý m, n> > N Ø Ò d(a m, a n ) < εº ½º º ýðð Ø º À a n ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Øº ½º º Ò º Þ (X, d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ò Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò º ÐÐ ÒÔ Ð Q ÞÓ Ó Ø ÚÓÐ Ð d(x, y) = x y µº Ä Ý Ò a n+1 = = 1 (a 2 n + 3 a n )º n¹ö a n Q lim n + a n = 3 Ø Ø a n ٠ݺ Î ÞÓÒØ 3 / Qº ½º º Ò º Ý k : X X Ð Ô Þ ÓÒØÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò 0 < q < 1 Þ Ñ Ó Ý d(k(x), k(y)) < qd(x, y). ½º º Ì Ø Ð Ò ¹ Ð ÜÔÓÒØ Ø Ø Ðµº À (X, d) Ø Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö k X X ÓÒØÖ ÓÖ k¹ò Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò ÜÔÓÒØ! x X : k(x) = xµº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò x 0 X Ø Ø Þ Ð Ð Ý Ò x 1 =k(x 0 ) x 2 =k(x 1 )... x n+1 = k(x n )º ÆÝ ÐÚ Ò d(x n+1, x n ) < qd(x n, x n 1 ) <... < q n d(x 1, x 0 )º Þ x n ÓÖÓÞ Ø Ù Ý Ñ ÖØ n > m > N ÓÖ m 1 d(x m, x n ) < k=n + k=n d(x k+1, x k ) < m 1 k=n q k d(x 1, x 0 ) < q k d(x 1, x 0 ) = qn 1 q d(x 1, x 0 ) N 0. Å Ú Ð (X, d) Ø Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö Þ ÖØ x n ÓÒÚ Ö Ò Ð Ð Ø Ö ÖØ Ø x º k(x )=lim n + k(x n )=lim n + x n+1 =x Ø Ø Þ ÜÔÓÒغ Å ÜÔÓÒØ Ò Ñ Ð Ø Ñ ÖØ d(k(x ), k(y)) < qd(x, y)º

½º º Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò ½º º Ò º Þ f : [a, b] R n R n Ú ÒÝ Ñ Ó Ú ÐØÓÞ Ò Ä Ô ØÞ¹ØÙÐ ÓÒ ÅÎĵ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò L ÓÒ Ø Ò Ñ ÐÐÝ Ð t [a, b] y, z R n Ø Ò f(t, y) f(t, z) L y z º ½º º ýðð Ø º Þ y : [a, b] R n ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÐ Þ y (t) = f(t, y(t)) y(a) = y 0 ½º µ ½º µ Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ ÓÐ Þ ÒØ Ö Ð Ý ÒÐ ØÒ º y(t) = y 0 + t t 0 f(s, y(s)) ds ½º µ ½º½¼º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò f :[a, b] R n R n ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ò ÅÎÄ ÓÖ Þ ½º µ¹ ½º µ Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ Þ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò C[a, b] Þ [a, b] Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ø Ö h =sup t [a,b] h(t) ÒÓÖÑ Ú Ðº Þ Ø Ö Ø Ð Þ Ñ ÖØ ÞØ Ð Þ º Ò Ð Ù k : C[a, b] C[a, b] ÓÔ Ö ØÓÖØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò t k : y(t) y 0 + f(s, y(s)) ds. t 0 ½º µ Ì Ý Ð Ð Þ Ö Ó Ý L(b a) < 1º ÓÖ k ÓÒØÖ Ñ ÖØ t t d(k(y), k(z)) = k(y) k(z) = sup f(s, y(s)) ds f(s, z(s)) ds t [a,b] t 0 t 0 b a b a f(s, y(s)) f(s, z(s)) ds L y(s) z(s) ds L(b a) sup y(s) z(s) = L(b a) y z. s [a,b]

Ì Ø Ò ¹ Ð ÜÔÓÒØØ Ø Ð Þ Ö ÒØ k¹ò Ú Ò Ý ØÐ Ò ÜÔÓÒØ Ñ Ñ ÓÐ Þ ½º µ ÒØ Ö Ð Ý ÒÐ ØÒ Ø Ø Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò º À Ø Ø b a L 1 ÓÖ Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ý¹ ÖØ ÐÑòº À Ô L(b a) 1 ÓÖ Ñ Ö ØÙ Ù Ó Ý Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Þ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ Ò Ò 1 ¹Ò Ð Ö Ú Ö Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò L Ñ ØØ Ô Þ Þ [a, b]¹ò º

¾º ËØ Ð Ø ¾º½º Ø Ð Ø Ó ÐÑ Ì Ý Ð Ó Ý Þ y (t)=f(t, y(t)) ¹Ò Ñ Ò Ò y(t 0 )=p Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ º  РРÞØ Ñ ÓÐ Ø y(t, t 0, p)º ¾º½º Ò º t y(t, t 0, p) Ñ ÓÐ Ø Ð Ñ Ò Ò t t 0 ¹Ö ÖØ Ð¹ Ñ Þ ØØ Ñ Ò Ò ε > 0¹Ö t 1 t 0 ¹Ö Ð Ø Þ δ >0 Ó Ý q y(t 1, t 0, p) < δ Ø Ò y(t, t 1, q) Ñ Ò Ò t t 1 ¹Ö ÖØ ÐÑ Ñ Ò Ò t > t 1 ¹Ö y(t, t 0, p) y(t, t 1, q) < ε. Ñ ÓÐ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ð Ø Ð Ø Ð Ð Ò Ø Ð Ò Ñ Ø Ðº lim y(t, t 0, p) y(t, t 1, q) = 0. t + Þ ẋ(t) = f(x(t)) ÙØÓÒ Ñ Ø Ò x(t+t 0, t 0, x 0 ) = x(t,0, x 0 ) Ñ ÖØ Ñ Ò ØØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý x 0 ¹ Ð Ò ØÓØØÙ Ñ ÓÐ Ø Þ Ø t Ø ÐØ Ðº ÞØ Ð Ð Ø x(t, x 0 )¹Ð Ð º ÓÖ x(t+s, x 0 ) = x(t, x(s, x 0 ))º Î Ð Ò Ð ÓÐ Ð ÞØ ÔÓÒØÓØ Ð ÒØ ÓÐ Þ x 0 ¹ Ð Ò ØÓØØ Ñ ÓÐ Ð Þ s+t Ñ ÐÚ º Í Ý Ò ÔÓÒØ Ñ ÔÔ Ý Ð ÙØ ØÙÒ Ñ Ø x 0 ¹ Ð Ò Ø Ù Ñ ÓÐ Ø Ñ s Ñ ÐÚ x(s, x 0 )¹ Ò Ð Þ ÒÒ Ò ØÓÚ Ò ÙÐÚ t Ñ ÐÚ x(t, x(s, x 0 ))¹ ÙØÙÒ º À f(p)=0 ÓÖ p Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Øº Þ ẋ(t)=f(x(t)) ÙØÓÒ Ñ Ø Ò Þ x(t, p)=p Ñ ÓÐ Ø Ð Ø p º º Ø Ð Ø µ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ε> >0¹Ö Ð Ø Þ δ>0 Ó Ý x 0 p <δ Ø Ò x(t, x 0 ) p <ε Ñ Ò Ò t>0¹ö º Þ Þ ÑÔØÓØ Ù Ø Ð Ø ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ Ð Þ Ò Ð Ð lim t + x(t, x 0 )= = pº È Ð º Ì ÒØ ÔÓÐ Ö ÓÖ Ò Ø Ò Ð ÖØ ṙ = r(1 r) ϕ = cos ϕ 2 Ê¹Ø Ö ÞÓÐ Ù Ð Ñ ÓÐ Ø ÖØ ¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Òº Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Þ ÞÓÒ ÒØ Ö Ú Ð Ø Þ ÖØ Ð Ø Þ Ý ÖØ Ð¹ Ñò Ñ ÓÐ º Ø Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø (0,0) ( 1,0) ÔÓÒغ Þ 1

Ù Ö ÓÖ Þ ÔÔÓÒØ ÖÚÓÒ ÐÓÒ Ð Ñ ÓÐ Ñ ÓÞÞ Þ Ö ÑÙ¹ Ø Ø Ö Ú Ð ÐÐ Ò Þ Ö ÒÝ Òº Ö Ð Ò ṙ > 0 Ð Ò ṙ < 0 Ø Ø Ñ ÓÐ Ó Ö Þ Þ Ð Ò º ϕ = π Ð Ý Ò Ö Ð Ò Ñ Ñ ÒÒ Ð Ñ ÓÐ Ó x > 1 Ø Ò ÐÖ x < 1 Ø Ò Ó Ö Ð Ò º Þ Ð Ô Ò ( 1,0) ÔÓÒØ Ø Ö ÖØ Ú Ð Ñ ÐÝ ÖÒÝ Þ Ø Ð Ò ÙÐ Ñ Óй 1 0.5-2 -1.5-1 -0.5 0.5 1-0.5-1 ½º Ö º ( 1,0) Ñ Ò Ò ÓÞÞ Þ Ð ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐ Ô ÐÝ Ø ÚÓÒÞ Ñ Ñ Ø Ðº Ó Ñ Ò Ý Ò Ú Ú (0,0) Ñ ÓРص Þ Ð Ô Ò ÚÓÒÞ Ò Ú Ù º Í Ý Ò ÓÖ ( 1,0) ÔÓÒØ Ñ Ñ Ø Ð Ù Ý Ò ÓÞÞ ÖÑ ÐÝ Ò Þ Ð Ò¹ ÙÐ ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ Ñ 2 Ø ÚÓÐ Ö ÐØ ÚÓÐÓ ε < 2¹ Þ Ò Ñ ØÙ ÙÒ δ¹ø Ú Ð ÞØ Ò º ¾º¾º Ä Ò Ö ÐØ Ð ÒÓ Ý ØØ Ø Ê Ø Ð Ø º Å ÝÞ º Þ ẏ(t) = f(t, y(t)) Ý ÒÐ Ø Ò Ó ÞÓÖ Ð Ò Ð Ð Ò Ð Ð y¹ø Ý f¹ ص Ú ØÓÖÒ Ø ÒØ º À Þ Ý ÒÐ Ø Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÒØ Ö Ù ÓÖ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÖ Ð Þ Ð Ò Ø Ñ Ö ẏ(t) = f(t, y(t)) Ö Ñ ÓØ ÞÒ Ð Ù ÓÖ Ý ÒÐ ØÖ Ðº Ð Ò Ö Ö Ò Ð Ý ÒРع Ö Ò Þ ÖØ Ô Ð ÙÐ Ý ØÐ Ò ẋ(t) = A(t)x(t) Ð Ò Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÒØ Ð Ö Ø Ù º Æ Ò Ð Ò Ø Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Êµ ¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø µ Þ ØØ Ñ Ò Ú Þ Ø Þ Ö ÒØ Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ó Ý Ù Ý Ò ÞØ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ð Ò ÐÐ Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ú Ý Ý Ú ¹ ØÓÖ Ý ÒÐ Ø Ð Ò ÔÞ Ð ¹ Ð ÐÐ ØÚ Ó Ý Ò ÐÝÓÞÒ Þ Ö ØÒ Ò ¹ Ó Ý Ø Ý ÒÐ ØÖ Ð Ú Ò Ú Ý Ð Øµ Þ º ¾º¾º Ä ÑÑ º Þ ẋ(t) = A(t)x(t) Ð Ò Ö ÖÑ ÐÝ Ñ ÓÐ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ ÑÔØÓØ Ù Òµ Ø Ð Þ ÞÓÒÓ Ò 0 Ñ ÓÐ Þ ÑÔØÓØ Ù Òµ Ø Ðº Þ ÖØ Þ Ð Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ð Ø Ö Ðº

ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò y(t, t 0, p) y(t, t 1, q) Ø Ø Ø Þ Ð Ñ ÓÐ º ÓÖ d dt (y(t, t 0, p) y(t, t 1, q)) = A(t)(y(t, t 0, p) y(t, t 1, q)) Ú Ý Ø Ñ ÓÐ Ð Ò Ñ ÓÐ º ÌÓÚ Ø Ñ ÓÐ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò Þ Ð Ð Ò Þ Ð Ú Ò ÒÙÐÐ ÓÞº ¾º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò A ÓØØ Ñ ØÖ Üº Þ ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ð Ò Ö ẋ(t) = Ax(t) ½º ÈÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ð A Ñ Ò Ò λ Ø ÖØ Ö Rλ < 0º ¾º ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð A Ñ Ò Ò λ Ø ÖØ Ö Rλ 0 0 Ú Ð Ö Þò Ø ÖØ Þ Ð Ò ¹ Ð Ò ØÚ ØÓÖ Ø ÖØÓÞ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ò Ö Ð Ö ÓÒÝÓ ÐÑ Ñ ØØ Ò Þ Ø Ò ¹ ÞÓÒÝ ØÙÒ Ñ ÓÖ Þ A Ñ ØÖ ÜÒ Ú Ò n Ö Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ø¹ Ú ØÓÖ º ÁÐÝ Ò ÓÖ ÓÒ Ð Þ Ð Ø Þ Þ A = SDS 1 ÓÐ D ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ØÐ Ò A Ø ÖØ Ú ÒÒ S Ó ÞÐÓÔ Ò Ô A Ñ Ð Ð ØÚ ØÓÖ º ÁÐÝ Ò ÓÖ Ñ ÓÐ x(t) = Se D c = n c i e λit s i, i=1 Ñ Ð e λ it = e Rλ it Ð Ô Ò Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø º ¾º º Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ð Ò ¹ Ö Þ Ð Ð Ä Ý Ò y (t) = f(t, y(t)) f(t, p) = 0 Þ Þ p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒص Ø Ý Ð Ó Ý f Ö Ò Ð Ø º ÓÖ f(t, p+q) = f(t, p)+ 2 f(t, p) q+ε(t, q) ÓÐ lim q 0 ε(t,q) q =0º Þ Þ q¹ö f(t, p+q) 2f(t, p) qº Þ x(t)=y(t) p Ð Ð Ø Ú Þ ØÚ x (t) = f(t, p+x(t)) 2 f(t, p)x(t)º ¾º º Ì Ø Ðº Ì ÒØ Þ y (t) = f(y(t)) ÙØÓÒ Ñ ¹Ø Ø Ý Ð Ó Ý f(p) = 0 Þ Þ Ô Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ f C 1 f Ý Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò ¹ Ð Ø µº

½º À Þ f (p) Ñ ØÖ Ü Ñ Ò Ò λ Ø ÖØ Ö Rλ<0 ÓÖ y(t)=p Ñ ÓÐ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ðº ¾º À Þ f (p) Ñ ØÖ Ü ÖÑ ÐÝ λ Ø ÖØ Ö Rλ>0 ÓÖ y(t)=p Ñ ÓÐ Ò Ø Ðº ¾º º Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ø Ð Ø Ú Þ Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ¹ ¹ Ú ÒÝ Ð 1.5 y 1 0.5-1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 x -0.5-1 -1.5 È Ð º ¾º Ö º Þ ẋ = y x 3 ẏ = x y 3 Ê Ö ÒÝÑ Þ ẋ = y x 3 ẏ = x y 3. (0,0)¹ Ò Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ú Òº Þ Ö ÒÝÑ Þ Ð Ô Ò ÞØ Ø Ó Ý Ô ÐÝ Ö ÖÒ Þ ÓÖ Ö Ðº ËØ Ð¹ Þ ÓÖ Ä Ò Ö Þ Ð Ð Ò Ñ ØÙ Ù Ð ÒØ Ò Ñ ÖØ Ó ÓÐ Ð Ö Ú ÐØ 0º ØÐ Ø Ð Ý Ò V (x, y)=x 2 +y 2 º À (x(t), y(t)) Ñ ÓÐ ÓÖ Ò Þ Ø V Ñ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ÓÐ Ö Ñ ÒØ Ò V = d V V V (x(t), y(t)) = ẋ(t)+ dt x y ẏ(t) = 2xẋ+2yẏ = 2xy 2x 4 +2yx 2y 4 = 2(x 4 +y 4 ) < 0. Þ Þ t Ò Ú Þ V Òº Å ÙØ Ò V (x, y) = x 2 + y 2 Þ (x, y) ÔÓÒØ ÓÖ Ø Ð Ú ØØ Ø ÚÓÐ Ò ÝÞ Ø Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ñ ÓÐ Ô ÐÝ Þ ÓÖ ÓÞ Þ Ð Þ ÓÖ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ðº

ýðø Ð Ò ÞØ ØÙ Ù Ó Ý V (x)=c Þ ÒØÚÓÒ Ð Ö gradv Ñ Ö Ð º À Þ Ö ÒÝÑ Þ gradv ¹Ú Ð 90 Ó Ò Ð Ò ÝÓ Þ Ø Þ Ö ÓÖ Ñ ÓÐ Ó V Þ ÒØÚÓÒ Ð Ò Ð Ð Ò º Þ Þ Ñ ÓÐ Ó Ñ ÒØ Ò V Òº 6 4 2 0-2 -4-6 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 º Ö º V (x) = c Þ ÒØÚÓÒ Ð gradv º ÞØ ØÙ Ù Þ ÑÓÐÒ d dt V (x(t, x 0)) = V d (x(t, x 0 )) dt x(t, x 0) = V (x(t, x 0 )f(x(t, x 0 )) = V (x)f(x) = V (x), f(x). Ý ÐÑ Ý Ö Þ Ø V = gradv V Ö Ú ÐØ Ð ÐÐ ÓÖÚ ØÓÖ Þ Ð ¹ Þ Ô Ð Ò ( V, V x y ) d x(t, x dt 0) = f(x(t, x 0 )) Ô Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Þ Ð Þ ( ) ( ) ẋ(t) y x 3 Ô Ð Ò = ẏ(t) x y 3 º Þ ÞÓÖÞ Ø Ø Ö Ø Ù Ñ ØÖ ÜÓ Ò ÓÖ¹ Ó ÞÐÓÔ ÞÓÖÞ ØÒ Ú Ý Ð Ö ÞÓÖÞ ØÒ Ñ ÒØ Ð ÙØÓÐ V (x), f(x) Ð Òº À Ð Ð ÔÐ Ø Ò Ø Ú Ú Ý ÒÙÐÐ µ ÓÖ V Ò Ò Ñ Ò ¹ Ú Þ µ Ñ ÓÐ Ó Ñ ÒØ Òº À Ð ÙØÓÐ Ò Ø Ú Ú Ý ÒÙÐÐ µ ÓÖ V (x) f(x) ØÓÑÔ Þ Ø Ú Ý Ö Þ Øµ Þ Ö º Ø ÓÐÓ Þ ÑÐ Ð ¹ Ø Ò Ð Ø Ø Ú Ú Ð Ò ÙÐ Ú Ø Þ Ø Ø Ð Ò ¾º º Ì Ø Ð Ä ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø Ø Ø Ðµº À p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ U ÖÒÝ Þ Ø Ò Ñ Ø ÓÐÝ Ò V : U R ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ ½º V (p) < V (q) q p ¾º V (q) f(q) 0 q p ½¼

ÓÖ p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ø Ðº À Ñ V (q) f(q) < 0 Ø Ð Ð ÓÖ p Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ðº ¾º º Ì Ø Ð Ö Ò¹ÃÖ ÞÓÚ Þ µº À p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ U ÖÒÝ Þ Ø Ò Ñ Ø ÓÐÝ Ò V : U R ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ ½º V (p) < V (q) q p ¾º V (q) f(q) 0 q p º Þ R t p Ñ ÓÐ ÓÒ Ú Ð Þ U ÐÑ Þ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÐÝ Ò Ø Ð x(t, x 0 ) Ô ÐÝ Ø Ñ ÐÝ Ñ ÒØ Ò t V (x(t, x 0 )) ÐÐ Ò ÓÖ p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ðº ¾º º Ì Ø Ð Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð Ø Ø Ø Ðµº À p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ U ÖÒÝ Þ Ø Ò Ñ Ø ÓÐÝ Ò V :U R ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ ½º Ô Ò Ñ ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÐÝ Î Ú ÒÝÒ ¾º V (q) f(q) < 0 q p ÓÖ p Ý Ò ÐÝ ÔÓÒØ Ò Ø Ðº ½½

º Î Ö Þ Ñ Ø Ä Ý Ò X Ú ØÓÖØ Ö F : X R Ú ÒÝ Ñ Ò Þ Ð ÖØ Ø Ö º À x X¹ Ò Þ Ð ÖØ Ú Ò ÓÖ Ø Ø Þ Ð v x¹ö J v (t) = F(x+ + tv) Ú Ð ¹Ú Ð Ú ÒÝÒ Þ Ð ÖØ Ú Ò t = 0¹ Ò Þ Þ J v(0) = = 0 Ñ Ò Ò v¹ö º À Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ó Ð ØÙ ÓÑ Þ ÐÒ v¹ø ÓÖ ÔÓØØ Ý ÒÐ Ø Ø Þ F Ú ÒÝ Ú Ý ÙÒ ÓÒ Ðµ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º ½» Ô Ð Ä Ý Ò A Þ ÑÑ ØÖ Ù n n¹ Ñ ØÖ Ü F(x)= Ax,x Ö Ñ Ü ÑÙ¹ x,x Ñ Ø ÁØØ x,y =x T y Ø Ú ØÓÖ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ø Ð Ð º Þ ÖØ ÞÒ Ð Ù ÞØ Ð Ð Ø Ñ ÖØ Ó Þ Ø ÚÓÒ Ý Þ Öò Ú Ð Þ ÑÓÐÒ ØÓÚ Ô Ð Ð Ú Ð ÓÒÐ ÓØ Ð Ø Ø Ø Þ ºµ À ܵ Ñ Ü Ñ Ð ÓÖ ÞÓÖÓÞÚ F(x+tv) F(x) t R, v X. A(x+tv),x+tv x,x Ax,x x+tv,x+tv t R, v X. t ØÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ Ö Ò ÞÚ 0 t 2 ( Ax,x v,v Av,v x,x )+2t( Ax,x x,v Ax,v x,x ) Þ ÓÖ Ð Ø Þ Ñ Ò Ò t¹ö t Ý ØØ Ø 0 Þ Þ Ax,x x,v = Ax,v x,x v X. Þ Ax,x x,x Þ Ñ ÞÓÖÞ Ø Ú Ø Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ð Þ Þ Ax,x x,v = Ax x,x,v v X, Ax,x x Ax x,x,v v X, Þ Þ Þ Ax,x x Ax x,x Ú ØÓÖÖ Þ Þ v X Ú ØÓÖ Ñ Ö Ð Þ Ý Ð Ø Ax,x x Ax x,x = 0, ½¾

Ú Ý Ñ ÔÔ Ax = Ax,x x,x x. ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý x ØÚ ØÓÖ A¹Ò Þ Ax,x x,x = F(x) Ø ÖØ Ðº Þ Þ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒРغ Ð Þ Ò Ó Ý F(x) Ñ Ü ÑÙÑ A Ð Ò ÝÓ Ø ÖØ Ñ Ò ÑÙÑ A Ð Ø ÖØ F Ñ Ò Ø Þ Ð ÖØ Ø Ñ Ð Ð ØÚ ØÓÖÓ ÓÒ Ú Þ Ðº Â Ý ÞÞ Ñ Ó Ý Ð Ú Þ Ø ÓÖ Ò Ð Ö ÞÓÖÞ Ø ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ Ø ÞÒ ÐØÙ Ñ ÐÝ Ú Ø Þ º½º Ò Ë Ð Ö ÞÓÖÞ Ø ØÙÐ ÓÒ µº µ u,v = v,u º µ u,v 1 +v 2 = u,v 1 + u,v 2 º µ λu,v = λ u,v º ½» Ô Ð Ä Ý Ò X ={u C 2 [0, π], u(0)=u(π)=0} q:[0, π] R ÓÐÝØÓÒÓ Ú Òݺ Ã Ö Þ F(u) = π 0 u 2 +qu 2 π 0 u2 ÙÒ ÓÒ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Øº Î Þ Ú Ø Þ Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓØ X¹ Ò f, g = π 0 f(x)g(x) dx. Ñ Ú Ø ÐØ ØÙÐ ÓÒ Ó Ø Ð ÐÒ Ø Ø Þ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ð Ø Ú Ð Ý Þ ÑÓÐÒ µº Ý Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ð π 0 u 2 +qu 2 = π 0 u u+qu 2 = u +qu, u, Þ Þ Þ Au = u +qu Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ú Þ Ø Ú Ð F(u) = Au, u u, u. Þ ÓÖÑ Ð Ò Ù Ý Ò Þ Ð Ø Ñ ÒØ Þ Ð Þ º Au=λu¹Ò Ð Ð Þ Ñ Ò ÑÙÑ Þ Þ Þ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒÐ Ø u (x)+q(x)u = λu(x), u(0) = u(π) = 0. º½µ º¾µ ½

Þ ÑÓÐ Þ ÐÝÓ Ù Ý Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ñ Ú ÐØÓÞØ ØØÙ Ñ Ö Ð ¹ ÖØ ÐÑ Øº Þ ÖØ ÐÐ ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Þ ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÐÐ ØØ ÒÙÐÐÚ ØÓÖ Þ ÞÓÒÓ Ò ÒÙÐÐ Ú Òݵ Ð Ø Ñ Ò Ò Ñ Ú ÒÝÖ Ñ Ö Ð º º¾º ýðð Ø º À [0, π] R ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò v X¹Ö π uv = 0 ÓÖ 0 u = 0º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý u 0 ÓÖ Ð Ø Þ x 0 (0, π) Ý Ó Ý u(x 0 ) = 0 Ð Ý Ò Ô Ð ÙÐ u(x 0 ) > 0º À u(x 0 ) = h ÓÖ h ¹ Þ Ð Ø Þ δ > 0 Ó Ý 2 x x 0 <δ Ø Ò u(x) u(x 0 ) < h 2 Þ Þ u(x)> h 2 (x 0 δ, x 0 +δ) [0, π]µº À Ú Ò ÓÐÝ Ò v(x) Ñ Ö x (x 0 δ, x 0 +δ) Ø Ò v(x)>0 Ñ ÓÐ v(x)=0 π ÓÖ ÞÞ Ð uv = x 0 +δ uv > h x0 +δ 0 x 0 δ 2 x 0 v > 0 Þ Ú ÝÙÒ º δ Ä Ý Ò Ψ(r) = { e 1 1 r r < 1 0 r = 0 Ψ Þ Ö Ú ÐØ e 1 1 r p( 1 ) Ð ÓÐ p ÔÓÐ ÒÓѺ Þ Ø Ö ÖØ r 1 r 1 1 Þ Þ + Ø Ò 0 Ø Ø Ψ Ö ÒÝ ÞÓÖ Ö Ú Ð Ø Þ 1¹ Ò º 1 r Ä Ý Ò Ô Ð ÙÐ v(x) = Ψ( x x 0 ), δ Þ x x 0 δ¹ö 0 Ý ÒØ ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ ÞÓÖ Ö Ú Ð Ø º ¾º Ô Ð Ä Ý Ò X = {u : Ω R ¾¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø u Ω = 0} Ω R n f C 2 (Ω) ÓØØ Ð Ô Þ F(u) = Ω 1 2 u 2 +fu ÙÒ ÓÒ Ð Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð º À F(u) Ñ Ò Ñ Ð ÓÖ F(u+tv) F(u) Þ Þ Ω 1 2 u+tv 2 +f(u+tv) Ω 1 2 u 2 +fu t R, v X. ½

t ØÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ Ö Ò ÞÚ t 2 1 2 v 2 +t u v+fv 0 t R, v X. Ω Ω Þ ÓÖ Ð Ø Þ Ñ Ò Ò t¹ö t Ý ØØ Ø 0 Þ Þ u v+fv = 0 v X. Ω È Ö Ð Ò ÒØ Ö ÐÙÒ Ú Ð Ò Ö Ò¹ ÓÖÑÙÐ Ø Ð ÐÑ ÞÙÒ µ ( u+f)v = 0 v X, Ω ÓÒÒ Ò u+f = 0º Ì Ø Ú Ö ÐÚ Ø Ð ÐÑ ÞÚ Þ Ö Ø ÙÒ ÓÒ ÐØ Ð Ò Þ ¹ Ä Ý ÒÐ Ø Ð Ø Ð Ö Ý ÒÐ Ø ½» µ Ð Ø Þ ½» µ Ð Ø Ô Ö ¾µº ÓÖ ØÚ Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ö Ø ÔÙ Þ Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒ Þ ¹Ä Ý ÒÐ Ø ÓÖ Þ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÓÞ Ý Ð ÙØ ØÙÒ Ó Ý ÙÒ ÓÒ Ð Þ Ð ÖØ Ø Ñ Ö º º Ô Ð Ã Ö Þ F(y)= b f(x, y, a y ) dx ÙÒ ÓÒ Ð Þ Ð ÖØ Ø ÓÐ f ÓØØ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Þ y(x) : [a, b] R Ö ØØ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò ¹ Ø º J v (t) = F(y+tv) = t Þ Ö ÒØ Ö Ò ÐÚ Ð Ò Þ Ðݵ b a f(x, y+tv, y +tv ) dx. b J v (t) = f y (x, y+tv, y +tv )v+f y (x, y+tv, y +tv )v dx. a Å Ú Ð t=0¹ Ò J v (t) Ú ÒÝÒ Þ Ð ÖØ Ú Ò Ö Ú ÐØ ÒÙÐÐ Þ Þ b J v (0) = f y (x, y, y )v+f y (x, y, y )v dx = 0. Ñ Ó Ø Ò Ý Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ð b a a [ f y (x, y, y ) d dx f y (x, y, y ) ] v dx = 0, v X, ½

Þ Þ Þ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒРغ f y (x, y, y ) d dx f y (x, y, y ) = 0 º µ º º ýðð Ø º À f=f(y, y ) Ò Ñ ÜÔÐ Ø x¹ø Ð ÓÖ Þ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒÐ Ø Ý Þ Öò Ð Ö ÓÞ Ø f(y, y ) y f y (y, y ) = ÓÒ Ø Ò. º µ ÞÓÒÝ Ø º Ö Ú Ð Ù º µ Ý ÒÐ Ø Ø x Þ Ö Òصº f y (y, y )y +f y (y, y )y y f y (y, y ) d dx f y (y, y ) = 0. º Ô Ð Ö Ý ØÓ ÖÓÒ¹ÔÖÓ Ð Ñ µ À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÒÒ Þ y(x) Ú ÒÝÒ Þ Ð Ø Ñ ÐÝ Ò Ö Ú ¹ Ø Ø Ö Ð Ø Ð Ö Ú Ð ØØ ÙØ Ð Ø Ñ ÔÓÒØ A(0,0)¹ Ð B(b 1, b 2 )¹ b 1 > 0, b 2 < 0 g Ð Ð ÑÙØ Øµº Å ÓÐ º Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ ÓÒÒ Ò v = 2gyº ds Ø Ñ Ø Ø Ð Þ b1 0 1 2 mv2 +mgy = 0, º µ ds b1 v = 0 ds v 1+y 2 2gy dx Þ º Å Ò Ñ Ð Þ Ð Ù Ø Ø Þ F(y) = b 1 0 ÐÐ Þ ÖØ Ø Ð Ø ÓÞ 1+y 2 y º µ dx ÙÒ ÓÒ ÐØ Þ y(b 1 ) = b 2 ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ Øغ Þ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒÐ Ø º µ Ð Ô Ò 1+y 2 ÓÒÒ Ò y y 1 y 1 2 1+y 2 2y = c, D = 1 c 2 = y(1+y 2 ) Ñ ÓÐ Ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒРغ ½

º à ÒÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö º½º ÜÔÐ Ø ÙÐ Ö¹Ñ Þ Ö µ Ä Ý Ò y (x) = f(x, y) y(a) = y 0 ÓØغ Î Ù Ð Þ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ h = = b a n Ó Þ Ö Ó Ö º à h¹ö y(x+h) y(x)+hy (x) Ý Ú Þ ØÚ Þ x k = a+kh Ð Ð Ø y(x k+1 ) y(x k )+hy (x k ) = y(x k )+hf(x k, y(x k )).  РРy(x k ) Þ Ð Ø Ø y k º Þ ÜÔÐ Ø ÙÐ Ö¹Ñ Þ Ö µ ÔÐ Ø y k+1 = y k +hf(x k, y k ). µ Å Ò Ò ÔÓÒØ Ò Þ Ö ÒØ Ö ÒÝ Ð Ô Ò ØÓÚ º 2.5 2.25 2 1.75 1.5 1.25 0.2 0.4 0.6 0.8 1 º Ö º Þ y = y x y+x y(0) = 1 Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Þ ÖÖ Ð ÔÓØØ Þ Ð Ø Ñ ÓÐ º Ð Ô Þ 0,1º È Ð º Þ y = y+x y x y(0)=1 Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ y(x)= = x+ 1+2x 2 º Þ y = y+x y x y(0) = 1 Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ Ð Ô 0,1 Ð Ô Þò Ñ Þ ÖÖ Ð ÔÓØØ Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ð Ø Ø º Ö Òº y 1 = =y 0 +hf(x 0, y 0 )=1+0,1 1+0 1 0 =1,1 y 2=y 1 +hf(x 1, y 1 )=1,1+0,1 1,1+0,1 =1,22 Ø º 1,1 0,1 Þ y(1)¹ Ø Þ Ð Ø y 10 ÖØ Þ Ð Ø Ð ¾º ½ º Ð Ø ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ Ý ÒØ y(x) = x+ 1+2x 2 Þ Þ y(1) 2.73205º Å ÓÖ y(x+h)=y(x)+hy (x)+ h2 2 y (ξ) Þ Þ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò const h 2 Ö Ú Ø Ò Ðº Þ Ò n= b a Ð Ô Ú Ò Ø Ø Þ Ò h const h Ð Þº È Ð º y 1 = 16y 1+12y 2 +16 cosx 13 sin x y 2 = 12y 1 9y 2 11 cosx+9 sin x º½µ º¾µ y 1 (0) = 1, y 0 (0) = 0. º µ ½

Ñ ÓÐ y 1 (x)=cos x y 2 (x)=sin xº ÈÖ Ð Ù Ñ Ñ ÓÐ Ò n Ð Ô Ò h = π Ð Ô Ó Þ Ðº Å Ø ÖØ Ò n Ì ÒØ Þ y (x) = Ny(x) º µ Ý ÒÐ Ø Ø ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ y(x) = c e Nx Þ Þ y(x k+1) y(x k = e Nh y ) k+1 = = y k + h( Ny k ) = (1 hn)y k º À 1 Nh < 1 Þ Þ h > 2 N ÓÖ y k+1 Ò Ú Ò Ó Þ Ý Ò Ø Ñ Ö Úµ Ý ÒРغ ÁÐÝ Ò ÓÖ Ú Ý Ð Ô Ó ÞØ Ú ÐØÓÞØ Ø Ù Ú Ý ÑÔÐ Ø Ñ Þ Ö Ø Ð ÐÑ ÞÙÒ º Þ Ð Þ Ô Ð Ò Ñ ÓÐ Ñ ØÖ Ü Ø ÖØ 0 25º º¾º ÁÑÔÐ Ø ÙÐ Ö¹Ñ Þ Ö Á µ [ 16 12 dv = dx 12 9 ] v Ý ÒÐ ØÒ º Å Ò Ý Ð Ô Ò ØÓÚ Ó Ý Þ Ö ÒØ Ö ÒÝ Ú Þ Ð ÔÚ Þ Ð Þ ÔÓÒ¹ ØÓØ Ô Ù º y k+1 = y k +hf(x k+1, y k+1 ). Á µ ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ö Ø ÜÔÓÒع Ø Ö Ú Ðº Ä Ý Ò Y [0] k+1 = y k Y [n+1] k+1 =y k +hf(x k+1, Y [n] [n+1] [n] k+1 )º À Y k+1 Y k+1 <t ÓÐ t Ð Ö ÓØØ ÔÓÒØÓ Òº ØÓÐ Ö Ò ÓÖ Ñ ÐÐÙÒ y k+1 = Y [n+1] k+1 º º º Å Ö Ò ò Ñ Þ Ö Ì Ð Ô Ò Ò Ñ Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ Ø Ð Ô Ò µ Þ Ñ Ø Ù Ú Ø¹ Þ ÖØ Øº È Ð ÙÐ Ö Ò ¹Æ ÓÐ ÓÒ¹Ñ Þ Ö y k+1 = y k +hf(x k, y k ), Ñ y k+1 = y k + 1 2 h[f(x k, y k )+f(x k+1, yk+1)]. Θ¹Ñ Þ Ö yk+1 = y k +hf(x k, y k ), Ñ y k+1 = y k +h[(1 Θ)f(x k, y k )+Θf(x k+1, yk+1)]. Ƶ Θµ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Þ Ö º ½

º º Ì Ð Ô Ñ Þ Ö y n Þ Ñ Ø ÓÞ Ø Ð Þ ÖØ Ø ÞÒ ÐÙÒ Ð y n =α 1 y n 1 +α 2 y n 2 +...+α k y n k + +h(β 0 f(x n, y n )+β 1 f(x n 1, y n 1 )+...+β k (x n k, y n k )). º µ ËÔ Ð Ø Ñ ¹ÅÓÙÐØÓÒ Ñ Þ Ö α 1 = 1 α 2 =... = α k = 0º Ñ ¹ ÓÖØ Ñ Þ Ö Þ Ð Þ Ò Ð Ð β 0 = 0º Æ ÒÝ Ø ÖÑ Þ Ø ÐÚ Ö ÔÖ ÓÒÞ ÞØ Ò y (x) = 0¹Ø Ð ÓÐ Ñ Þ Ð k ÖØ ÔÓÒØÓ Ò ÓØØ Þ Þ 1 = α 1 +α 2 +...+α k º ÓÒÞ ÞØ Ò ÔÖ ÓÒÞ ÞØ Ò y (x) = 1 y(0) = 0¹Ø Ð ÓÐ Ñ Þ Þ nh = α 1 h(n 1)+α 2 h(n 2)+...+α k h(n k)+h(β 1 +...+β k ), α 1 +2α 2 +...+kα k = β 1 +...+β k. Þ Ö ¹ Ø Ð Ø y (x)=0 Þ Ð Ø Ñ ÓÐ ÓÖÐ ØÓ Ñ Ö Ò ÔÓÒ¹ Ø ØÐ Ò y 0, y 1,..., y k 1 Ø Ò º ÓÒÚ Ö Ò Ì Ý Ð Ó Ý Þ y 0, y 1,...,y k 1 Þ Ø ÖØ y(x 0 ) h Ú ÒÝ Ò ÓØØ Ý Ó Ý h 0 Ø Ò Ñ Ò Ý y(x 0 )¹ ÓÞ Ø Öغ Ò Þ Ø Ò ÖÑ ÐÝ Ò m k¹ö y m y(x m ) h 0º º½º Ì Ø Ðº º µ Ø Ð Ô Ñ Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ÓÒ¹ Þ ÞØ Ò Þ Ö ¹ Ø Ðº ½