Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek Lokalis modszerek. Implicit Fitting. Vaitkus Márton. 3D Számítógépes Geometria 2 (2016)

Implicit Fitting Vaitkus Márton 3D Számítógépes Geometria 2 (2016)

Miről lesz szó 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

Feluletreprezentaciok Haromszoghalok "Brute force", kozelito reprezentacio Tetszoleges topologia es geometria Szerkesztes, Boolean muveletek, offseteles nem trivialisak Rekonstrukciora robusztus modszerek

Feluletreprezentaciok Haromszoghalok "Brute force", kozelito reprezentacio Tetszoleges topologia es geometria Szerkesztes, Boolean muveletek, offseteles nem trivialisak Rekonstrukciora robusztus modszerek Parameteres feluletek Egzakt reprezentacio Topologia es geometria erosen korlatozott Szerkesztes egyszeru Boolean muveletek, offseteles nem trivialis Rekonstrukcio nehez es nem egyertelmu

Feluletreprezentaciok Haromszoghalok "Brute force", kozelito reprezentacio Tetszoleges topologia es geometria Szerkesztes, Boolean muveletek, offseteles nem trivialisak Rekonstrukciora robusztus modszerek Implicit feluletek Egzakt reprezentacio Tetszoleges geometria es topologia Boolean muveletek, offseteles egyszeru Szerkesztes nem trivialis Kitoltes, extrapolacio egyszeru Rekonstrukcio egyszeru Parameteres feluletek Egzakt reprezentacio Topologia es geometria erosen korlatozott Szerkesztes egyszeru Boolean muveletek, offseteles nem trivialis Rekonstrukcio nehez es nem egyertelmu

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const.

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom)

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny Tetszoleges feluletet reprezentalhat

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny Tetszoleges feluletet reprezentalhat Nincs fix fuggvenybazis

Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny Tetszoleges feluletet reprezentalhat Nincs fix fuggvenybazis Definialo tulajdonsag: f = 1

Least-squares 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek Linearis fuggvenyt illesztunk (linearis regresszio): f (x) = c 1 x 1 +... + c n x n = x T c 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek Linearis fuggvenyt illesztunk (linearis regresszio): f (x) = c 1 x 1 +... + c n x n = x T c Illeszkedes az adatpontokra: 3.5 3 2.5 c 1 x i1 +... + c n x in = p T i c = y i 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek Linearis fuggvenyt illesztunk (linearis regresszio): f (x) = c 1 x 1 +... + c n x n = x T c Illeszkedes az adatpontokra: 3.5 3 2.5 c 1 x i1 +... + c n x in = p T i c = y i Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x Pc = y

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 m (p T i c y i ) 2 min. i=1 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 Pc y 2 2 min. 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 ct P T Pc (P T y) T c min. 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 ct P T Pc (P T y) T c min. Derivalas utan normalegyenletek: (P T P)c = P T y 3.5 3 2.5 2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) = y i 6.5 6 5.5 5 4.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) = y i A fuggvenybazis tetszoleges lehet linearis egyenletrendszer az egyutthatokra: Bc = y 6.5 6 5.5 5 4.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) = y i A fuggvenybazis tetszoleges lehet linearis egyenletrendszer az egyutthatokra: Bc = y Legkisebb negyzetes megoldas: Bc y 2 2 min. -1 6.5 6 5.5 5 4.5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) = y i A fuggvenybazis tetszoleges lehet linearis egyenletrendszer az egyutthatokra: Bc = y Legkisebb negyzetes megoldas: Bc y 2 2 min. 6.5 6 5.5 5 4.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x Normalegyenletek: B T Bc = B T y

y Least-squares Least-squares altalanosabban szemlelet A fuggvenybazissal attranszformaljuk a pontokat R k -ba: p i (β 1 (p i ),..., β k (p i )) 6.5 6 5.5 5 4.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares altalanosabban szemlelet A fuggvenybazissal attranszformaljuk a pontokat R k -ba: p i (β 1 (p i ),..., β k (p i )) 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 3 2 1 0-1 0 x -2-2 x 2 2 4

y Least-squares Least-squares altalanosabban szemlelet A fuggvenybazissal attranszformaljuk a pontokat R k -ba: 8 7.5 7 6.5 p i (β 1 (p i ),..., β k (p i )) 6 5.5 5 A transzformalt pontokra legkisebb negyzetes hipersikot illesztunk R k -ban 4.5 4 3.5 3 3 2 1 0-1 0 x -2-2 x 2 2 4

y Least-squares Least-squares statisztikai ertelmezes Felteves: adapontokat az illesztett fuggvenybol mintaveteleztuk, veletlen zajjal terhelve y = f (x) + v 6.5 6 5.5 5 4.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Least-squares statisztikai ertelmezes Felteves: adapontokat az illesztett fuggvenybol mintaveteleztuk, veletlen zajjal terhelve y = f (x) + v 6.5 6 5.5 Least-squares: normalis eloszlasu zaj: p(v) = 1 2πσ e v2 2σ 2-1 -0.5 0 0.5 x 1 1.5 2 5 4.5

y Least-squares Least-squares statisztikai ertelmezes Felteves: adapontokat az illesztett fuggvenybol mintaveteleztuk, veletlen zajjal terhelve y = f (x) + v Least-squares: normalis eloszlasu zaj: p(v) = 1 2πσ e v2 2σ 2 Ekvivalens a maximum likelihood becslessel a c egyutthatok maximalizaljak annak valoszinuseget, hogy az adott adatpontokat mertuk: 6.5 6 5.5 5 4.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x log p(f c (x) y) max.

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1

y Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1 Masodfoku fv. minimalizalasa, normakenyszerrel: c T Z T Zc min. 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1 Masodfoku fv. minimalizalasa, normakenyszerrel: c T Z T Zc min. Megoldasa: Z T Z legkisebb sajatertekenek sajatvektora (Z szingularis vektora) 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1 Masodfoku fv. minimalizalasa, normakenyszerrel: c T Z T Zc min. Megoldasa: Z T Z legkisebb sajatertekenek sajatvektora (Z szingularis vektora) 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA)

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA) Z T Z ponthalmaz kovarianciamatrixa

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA) Z T Z ponthalmaz kovarianciamatrixa Nem-linearis fuggveny (pl. kor) illesztese: transzformacio utan hipersik illesztese

Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA) Z T Z ponthalmaz kovarianciamatrixa Nem-linearis fuggveny (pl. kor) illesztese: transzformacio utan hipersik illesztese Euklideszi tavolsag a transzformalt terben altalaban nem Euklideszi az eredeti terben!

Simitas, sulyozas 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk Heurisztika: egyutthatovektor normaja (Tikhonov regularizacio) Bc y 2 2 + λ c 2 2 min. 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk Heurisztika: egyutthatovektor normaja (Tikhonov regularizacio) Bc y 2 2 + λ c 2 2 min. Modositott normalegyenletek: (B T B + λi)c = B T y 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk Heurisztika: egyutthatovektor normaja (Tikhonov regularizacio) Bc y 2 2 + λ c 2 2 min. Modositott normalegyenletek: (B T B + λi)c = B T y Altalanosabban: fuggveny derivaltjainak nagysagat is optimalizaljuk: n Bc y 2 f 2 + (i) λ i 2 min. 2 i=0 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Simitas, sulyozas Sulyozas Sulyozzuk az egyes pontok hozzajarulasat az energiahoz: m p T 2 w i i c y i min. i=1 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Simitas, sulyozas Sulyozas Sulyozzuk az egyes pontok hozzajarulasat az energiahoz: m p T 2 w i i c y i min. i=1 Normalegyenletek: P T WPc = P T Wy W = diag(w 1,..., w m ) 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

Buntetofuggvenyek 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Negyzetes norma helyett altalanos buntetofuggvenyek az illesztes hibajara/simasagra: ϕ fit (Pc y) + n λ i ϕ smooth,i (f (i) ) min. i=0

Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Negyzetes norma helyett altalanos buntetofuggvenyek az illesztes hibajara/simasagra: ϕ fit (Pc y) + n λ i ϕ smooth,i (f (i) ) min. i=0 Nem negyzetes vektornormak x p = p xi p

Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat 1-norma minimalizalasa: x 1 = x 1 +... + x n min. Bemelegites: abszolutertek minimalizalasa x min. Ekvivalens feladat: Kenyszerek x-re es y-ra: y min....

Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat 1-norma minimalizalasa: x 1 = x 1 +... + x n min. Egyszerusites: abszolutertek minimalizalasa x min. Ekvivalens feladat: y min. Kenyszerek x-re es y-ra: x y x y Linearis programozas! Tobbdimenzios esetben y 1 +... + y n min.

Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat -norma minimalizalasa: x = max( x ) min. Ekvivalens feladat: y min.......

Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat -norma minimalizalasa: Ekvivalens feladat: x = max( x ) min. y min. y x 1 y x n y x 1 y x n

y Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Huber-fuggveny 4 Huber-fuggveny: { x 2 x < 1 ϕ(x) = 2 x 1 x 1 φ(x) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 7 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

y Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Huber-fuggveny 4 Huber-fuggveny: { x 2 x < 1 ϕ(x) = 2 x 1 x 1 Kis hibakra negyzete, nagy hibakra linearis erzeketlen az outlierekre φ(x) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 7 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Huber-fuggveny 4 3.5 3 Huber-fuggveny: { x 2 x < 1 ϕ(x) = 2 x 1 x 1 φ(x) 2.5 2 1.5 1 0.5 0-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x Kis hibakra negyzete, nagy hibakra linearis erzeketlen az outlierekre Tapasztalat: konvex buntetofuggveny minimalizalasa O((Least squares)) szamitasigeny 7 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

RBF 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0

RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0 F (x) = c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) de milyen bazisban reprezentaljuk F -et?

RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0 F (x) = c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) de milyen bazisban reprezentaljuk F -et? Rendeljunk radialis bazisfuggvenyeket (RBF) az adatpontokhoz: β pi ( x p i )

RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0 F (x) = c 1 β 1 (x) +... + c k β k (x) de milyen bazisban reprezentaljuk F -et? Rendeljunk radialis bazisfuggvenyeket (RBF) az adatpontokhoz: Peldak: β pi ( x p i )

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas!

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer!

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method"

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok:

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa!

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa! β(r) = r 2 log(r) Thin-plate spline (bi-harmonikus), gorbulet simitasa!

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa! β(r) = r 2 log(r) Thin-plate spline (bi-harmonikus), gorbulet simitasa! β(r) = e r 2 Osszes derivalt simitasa!

RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa! β(r) = r 2 log(r) Thin-plate spline (bi-harmonikus), gorbulet simitasa! β(r) = e r 2 Osszes derivalt simitasa! Nem-kompakt tartoju RBF (pl. bi-harmonikus) kitoltes/extrapolacio lehetseges! De: nem-ritka egyenletrendszer!

Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek RBF RBF Peldak [Carr et al. 01-03] Lokalis modszerek

RBF RBF Peldak [Carr et al. 01-03]

RBF RBF Peldak [Carr et al. 01-03] Gaussi RBF Szoras megvalsztasa

Poisson rekonstrukcio 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

Poisson rekonstrukcio Normalvektorok figyelembevetele: Poisson rekonstrukcio Egy Ω R n alakzat indikator-fuggvenye: { 1 x Ω F (x) = +1 x R n Ω

Poisson rekonstrukcio Normalvektorok figyelembevetele: Poisson rekonstrukcio Egy Ω R n alakzat indikator-fuggvenye: { 1 x Ω F (x) = +1 x R n Ω Eszrevetel: indikatorfuggveny gradiense pontosan a felulet normalmezoje.

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i )

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n Illesztesi pontossag javitasa a poziciok illesztesevel: F (p i ) n pi 2 2 + λ(f (p i)) 2 min. (p i )

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n Illesztesi pontossag javitasa a poziciok illesztesevel: F (p i ) n pi 2 2 + λ(f (p i)) 2 min. (p i ) Arnyekolt Poisson-egyenlet (Screened Poisson): ( + λ id)f = n

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n Illesztesi pontossag javitasa a poziciok illesztesevel: F (p i ) n pi 2 2 + λ(f (p i)) 2 min. (p i ) Arnyekolt Poisson-egyenlet (Screened Poisson): ( + λ id)f = n Fizikai analogia normalvektorok = erovonalak, F = potencialfuggveny

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Fuggvenybazis: pl. Fourier-sor (szabalyos grid felett), tensor-szorzat B-Spline (Octtree felett)

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Fuggvenybazis: pl. Fourier-sor (szabalyos grid felett), tensor-szorzat B-Spline (Octtree felett) Zart feluletek illesztesere alkalmas peremes feluletek eseten Neumann peremfeltetel

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Fuggvenybazis: pl. Fourier-sor (szabalyos grid felett), tensor-szorzat B-Spline (Octtree felett) Zart feluletek illesztesere alkalmas peremes feluletek eseten Neumann peremfeltetel Nyilt forraskodu implementacio: http://www.cs.jhu.edu/~misha/code/poissonrecon

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Regularizacio, SSD Indikatorfuggvenyt kozeliteni akarjuk az elojeles tavolsaghoz

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Regularizacio, SSD Indikatorfuggvenyt kozeliteni akarjuk az elojeles tavolsaghoz Simitsuk a gradiensmezot: F (p i ) n pi 2 2 + λ 1(F (p i )) 2 + λ 2 H(F (x)) min. (p i ) H az F Hesse-matrixa

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Regularizacio, SSD Indikatorfuggvenyt kozeliteni akarjuk az elojeles tavolsaghoz Simitsuk a gradiensmezot: F (p i ) n pi 2 2 + λ 1(F (p i )) 2 + λ 2 H(F (x)) min. (p i ) H az F Hesse-matrixa F egy simitott elojeles tavolsag (Smoothed Signed Distance, SSD) De: sokkal nagyobb, surubb egyenletrendszer!

Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek Lokalis modszerek Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Peldak [Kazhdan et al. 06-13, Calakli-Taubin 11]

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Peldak [Kazhdan et al. 06-13, Calakli-Taubin 11]

Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Peldak [Kazhdan et al. 06-13, Calakli-Taubin 11] Piros: Csak normalvektor, Kek: Normalvektor + pozicio

Moving Least-Squares* 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

Moving Least-Squares* Moving Least-Squares* [Levin 98, Alexa et al. 01] Idaig: az egesz ponthalmazra illesztettunk, globalisan sulyozva a pontok hozzajarulasat: m p T 2 w i i c y i min. i=1 Otlet: x pont korul lokalisan sulyozva illesztunk egyszeru feluletet (kort, vagy egyenest): m w( x p i ) p T 2 i c y i min. i=1 Vetites operator: pont w altalaban Gauss-fuggveny Lokalis egyenest, vagy kort illesztunk Vetito operator fixpontjainak halmaza: C folytonos felulet!

Partition of Unity Implicits (Andras)... 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...

Köszönöm a figyelmet!