7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen valós paraméterének változása függvényében. Ilyen valós paraméter lehet például az ω körfrekvencia. Az átviteli függvény vizsgálatához célszerő ennek ábrázolása. Az erre használatos egyik módszer a Nyquist-diagram szerkesztése. ( a másik a Bode-diagram ) A komplex átviteli függvények megfelelı vektor végpontja a hálózat kiválasztott valós paraméterének függvényében a komplex sík egy görbéjén mozog. Ez a görbe az átviteli függvény Nyquist-diagramja. Ha egy komplex mennyiség értéke valamilyen ok miatt megváltozik akkor fazora is más lesz. Ha a változás folyamatos, a fazor végpontja egy folytonos vonalat ír le a komplex síkon. A Nyquist-diagram egy a komplex síkban elhelyezkedı-vonal, amelyet a valós változójú komplex függvény farozának csúcspontja ír le, ha a valós független változó folyamatosan felveszi az értelmezési tartomány összes értékét. (. ábra ). A valós független változó értékeit a helygörbén ( Nyquist - diagram ) skálázzuk.. ábra A Nyquist-diagram megrajzolása pontonkénti ábrázolás útján oldható meg. Ha a függvény matematikai formában ismert, igyekszünk matematikai módszerekkel meghatározni a görbe alakját. ( Szokásos még a munkadiagram elnevezés is, mivel ilyen görbe jellemzi a villamos gépek üzemi állapotait. ) Geometriailag legegyszerőbb vonal az egyenes. Megrajzolásához mindössze két pontot kell ismernünk. Egyenes, jobban mondva félegyenes a soros RL -kapcsolás impedanciája a frekvencia függvényében. A soros RL -kör impedanciáját és admittanciáját ábrázoljuk az ω körfrekvencia függvényében. ( 2. ábra )
7/2. 2. ábra A kör impedanciája: ( ω ) Z = R + jω L Látható, hogy a megfelelı vektor végpontja az ω függvényében a képzetes tengellyel párhuzamos félegyenesen mozog. Az ω paraméter értékeket az egyenes pontjaihoz bejelölve, lineáris skála készíthetı. A kör admittanciája: Y = R + jω L Ezt is ábrázoljuk a komplex síkon az ω függvényében. Elıször vizsgáljuk a feszültségek fazorábráját. Ha az U feszültség a ω függvényében állandó és kezdıfázisát nullának választjuk, akkor U = U és I = Y U. Az RL körre a hurokegyenlet: U = RI + jω L I R I és jω L I fazora minden frekvencián egymásra merıleges és összegük U -val egyenlı. A Thales-tétel értelmében R I végpontja egy U átmérıjő, a jelő félkörön mozog. ( 3. Ábra ) 3. ábra
7/3. Ha ω = 0, akkor R I = U. Ha pedig ω + akkor R I = 0 Ennek a két esetnek a félkör két végpontja felel meg. Az egyes frekveniákhoz tartozó R I értékeket R -rel osztva ugyanazon. frekveniákhoz tartozó I értékeket kapjuk. Ezek végpontja is félkörön mozog ( b jelő kör ). Az I értékeket -val szorozva a megfelelı Y értékeket kapjuk U ( c jelő kör ). A diagrammok használhatóságához az is hozzátartozik, hogy imserjük a félkörök pontjaihoz tarotzó frekvenciaértékeket. Ennek egyik módja, hogy néhány frekvencián kiszámítjuk az Y admittanicát és ezeket a frekvenciákat az ábrán jelöljük. Könnyen belátható, hogy nulla frekvencia esetén maximális a kör árama, a nulla frekvenciájú pont van a legtávolabb az origótól, míg a végtelen frekvenciájú pont az origóba esik. Nulla frekvencián ugyanis rövidzárat, végtelen frekvencián pedig szakadást képvisel az induktivitás. ( 4. ábra ). 4. ábra ------------------------- Innen tovább tanulni nem fakultatív! ------------------------- Hátra van még a kör alakú helygörbénk skálázása. A soros RL -tag impedanciájának frekvencia unkadiagramja egy lineáris skálájú egyenes (5. Ábra). 5. ábra
7/4. A kördiagram skálájának az elkészítéséhez tükrözzük a valós tengelyen az impedancia munkadiagramját, a skálázott félegyenest. Ezt a tükrözéssel kapott, skálázott félegyenest paraméteregyenesnek nevezzük. Ezek után a félkör skáláját úgy készíthetjük el, hogy a félkör origóba esı, végtelen frekveniájú pontján át húzott vetítı egyenesekkel átvetítjük a paraméteregyenes skálapontjait. ( 6. ábra ) 6. ábra A paraméteregyenessel való szerkesztés során lényegében azt használtuk fel, hogy egy adott, kétpólusú kapcsolás impedanciájának és admittanciájának a fázisszöge minden frekvencián egymásnak - -szerese. A soros RL - kör áramának a helygörbéjét - mivel az áram arányos az admittanciával - az elıbbi szerkesztéssel azonos módon, az impedancia helygörbe segítségével skálázhatjuk. Tehát a gyakorlati felhasználáshoz ismernünk kell a kör egyes pontjaihoz tartozó ω értékeket és ehhez a kör paraméterskálájának a megszerkesztése szükséges, amelyet inverzió segítségével lehet a legegyszerőbben megkapni. Az inverzió olyan eljárás, amelynek segítségével a ( ) W ω átviteli függvényt ábrázoló görbébıl annak reciproka megrajzolható! Minthogy reciproka W = j We ϕ j = e jϕ We W ϕ
7/5. Az inverzió két lépésbıl áll. Az egyik lépésben ϕ elıjelének megváltoztatása vagyis W konjugáltjának megrajzolása. Ez W -nek a valós tengelyre való tükrözését jelenti.( 7. ábra ) 7. ábra A másik lépésben W abszolút értékének reciprokát kell képezni. A következıkben egyenes és kör inverzét vizsgáljuk. A W ( v) = a + bv egyenes inverze: W i = a + bv Ez egy az origón áthaladó kör egyenlete, vagyis egyenes inverze kör. ( 8. ábra ) 8. ábra
7/6. Elıször az a jelő egyenest tükrözzük a valós tengelyre. Ez lesz a. Az inverz kör átmegy az origón. Az origóból az a egyenesre merılegest bocsátva B pontban metszik egymást. A B pontnak a valós tengelyre vett tükörképe az a egyenes B pontja. Ez a két pont az a, ill. az a egyenesnek az origóhoz legközelebbi pontja. Ebbıl következik, hogy az inverzkör B -nek megfelelı B pontja lesz a körnek az origótól legtávolabbi pontja. Minthogy az origó maga is pontja az inverz körnek, az " OB szakasz a kör átmérıje. OB szakasz felezıpontja a kör középpontja, az " Az " Ezután vizsgáljuk a kör inverzét. A kör egyenlete: ennek inverze: W i ( ) W v ( v) = OB távolság fele pedig a kör sugara. a + bv c + dv c + dv = = W a + bv és ez ismét egy kör egyenlete. A szerkesztésnél elıször a W -nek megfelelı a jelő kört tükrözzük a valós tengelyre.( 9.ábra ) 9. ábra
7/7. Így kapjuk az a jelő kört. Az origón és a kör középpontján áthaladó egyenes segítségével megharáozhatjuk a körnek az origóhoz legközelebb és legtávolabb lévı pontját. ( A és B ), illetve ezek tükörképét ( A és B ). Képezzük az OA ' és az ezt felmérjük az origótól az lévı távolság az inverz kör átmérıje, a kört megrajzolhatjuk ( a jelő kör ). OB ' távolság reciprokát és OA ' egyenesre. Így kapjuk az A és a B pontot. Mivel a köztük Az inverzió felhasználásával megszerkeszthetjük a kör paraméterskáláját. Elıször a ( ) W v = a + bv egyenlető kör paraméterskáláját rajzoljuk meg. Tudjuk, hogy ez a kör a W e = a + bv egyenes inverze. ( 0. ábra ) 0. ábra Ennek az a egyenesnek - mint tudjuk - a v paraméterskálája lineáris. A valós tengelyre vett tükörképe ( a ) szintén ilyen. A kör egyes pontjaihoz tartozó paramétert errıl, az a jelő egyenesrıl a következıképpen olvashatjuk le: A kör kérdéses pontját és az origót egyenessel összekötjük. Ez az egyenes az a egyenest a kör pontjával azonos paraméterő pontban metszi, vagyis a a körnek egy paraméterskálája. Paraméterskáláual azonban nem csak a, hanem bármely vele párhuzamos egyenes szolgálhat. Az inverzió összefoglalása:. Az inverzió szögtartó. Két egymást metszı görbe inverze a metszéspont invertált pontjában ugyanolyan szög alatt metszi egymást. 2. Egyenes inverze egy olyan kör, amelyik átmegy az origón. 3. Az inverzió centrumán (origón) átmenı kör inverze egyenes. 4. Általános helyzető kör inverze egy másik kör. A középpontok egymásnak nem inverzei. A Nyquist-diagramot az elektronikában és az automatikában a visszacsatolt rendszerek stabilitásának vizsgálatára alkalmazzák.