Egy rugalmas megtámasztású tartóról Ezzel a témával gyakran találkozunk, még ha nem is így nevezzük azt. Ne feledjük, hogy a statikailag határozatlan tartók megoldásához szinte mindig alakváltozási felté - teli egyenleteket használunk, melyek lineáris rugalmasságtani alapokon nyugszanak! De ha ez egy régi, ismert téma, akkor miért vesszük elő újra? zért is, mert némi bizonytalanságot érzünk a rugalmas támaszok működésének leírásában meg az ismétlés, gyakorlás kedvéért is meg még azért is, mert találkoztunk egy könyvvel, melynek egyes részeit közös feldolgozásra alkalmasnak véljük [ 1 ]. Először foglakozzunk az [ 1 ] mű egyik példájával! Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Itt egy vízszintes helyzetű, l hosszúságú, hajlítómerevségű, állandó keresztmet - szetű, egyik végén mereven befogott, másik végén α rugóállandójú rugóval meg - támasztott, q intenzitású egyenletesen megoszló terheléssel terhelt gerendát szemlél - tettünk. feladat: az erőjáték vizsgálata a rugalmas megtámasztás figyelembe vételével. Ehhez tekintsük a. ábrát is! Megoldás. ábra Itt a tartó deformált állapotában reá ható külső terheléseket láthatjuk.
teljes tartó egyensúlyban van, így két nyomatéki egyenletet írunk fel: innen: l M = 0 M + l q = 0, M l = q. ( 1 ) l Hasonlóképpen: l M = 0 M l + q = 0, innen: l M = q +. ( ) l Ellenőrzés vetületi egyenlettel:? F = 0 + ql = 0, l M l M q q ql 0. + l + l Ezután felírjuk a rugalmas szál egyenletét, az itt alkalmazott előjelszabály figyelembe vételével [ ] : M ( x) w"( x) = ( ) most a hajlítónyomaték függvénye: q M ( x) = M + x x. ( 4 ) Majd ( ) és ( 4 ) - gyel: q w"( x) = M + x x ( 5 ) egyszer integrálva x szerint:
x q x w'( x) = M x + + C1 ( 6 ) most figyelembe véve, hogy az befogásnál a w (0) szögelfordulás zérus, ( 6 ) - ból: C 1 = 0. ( 7 ) Majd ( 6 ) és ( 7 ) szerint: q 6 w'( x) = M x + x x. ( 8 ) Ezt még egyszer integrálva x szerint: x x q x 6 4 4 w( x) = M + + C ( 9 ) most figyelembe véve, hogy a merev befogás helyén a w(0) függőleges elmozdulás zérus, ( 9 ) - ből kapjuk, hogy C = 0. ( 10 ) Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: M q 4 w( x) = x + x x 6 4 rendezve: M q w x x x x 6 4 4 ( ) = +. ( 11 ) Most alkalmazzuk az a feltételt, hogy w( l ) = ( 1 ) ekkor ( 11 ) és ( 1 ) - vel: M q 6 4 4 l l + l =, innen M - t kifejezve: q M l l l 1 =. + ( 1 )
4 Majd ( ) és ( 1 ) - mal, rendezés után: M q l 8 l = +. ( 14 ) Ezután ( 1 ), ( ) és ( 14 ) - gyel: l M l q l = q + = q + + = l 8 l 5 = q l +, 8 l tehát: 5 q l 8 l = + ( 15 ) hasonlóan: l M l q l = q = q = l 8 l = q l, 8 l tehát: q l 8 l =. ( 16 ) Most írjuk fel az igénybevételi függvényeket is! hajlítónyomaték függvénye ( 4 ), ( 14 ) és ( 15 ) szerint: q q l 5 q M ( x) = M + x x = +, + q l + x x 8 l 8 l tehát: M x q l x x 8 l 8 l q l 5 q ( ) = +. + + ( 17 )
5 nyíróerő függvénye az ismert összefüggés szerint: dm ( x) Q( x) = ( 18 ) dx majd ( 17 ) és ( 18 ) - cal: 5 Q( x) = q l +. q x 8 l ( 19 ) nyíróerő értéke közvetlenül a támasz előtt, ( 16 ) és ( 19 ) - cel: 5 Q( l) = q l + q l = q l + = 8 l 8 l = q l, = 8 l tehát: Q( l) =. ( 0 ) ( 0 ) összefüggés kapcsán tekintsük a. ábrát is! Ez a gerendavég egyensúlyának egy elképzelését mutatja be. Eszerint egy függőleges vetületi egyenlettel: Q( l) cos ϕ + = 0 Q( l) cos ϕ =, vagy cos ϕ 1 miatt : Q( l).. ábra = ( 1 )
6 Ha most összevetjük a ( 0 ) és ( 1 ) képleteket, ellentmondást találunk. Ezt azzal oldjuk fel, hogy a továbbiakban nem tekintjük Q( l ) előjelét, ami a nyíróerő függvényéhez korábban még kellett. Most térjünk rá a rugó deformációjára! Úgy képzeljük, hogy a függőlegesen álló rugót felülről egy Q( l ), alulról pedig egy nagyságú erő támadja, a rugó tengelyvonalában. Ekkor a rugóra az alábbi összefüggé - sek írhatók fel: Q( l) + = 0, = α. = α Q( l) ( ) bevezetőben említett bizonytalanság mibenlétét abban látjuk, hogy a ( ) képlet első pillantásra furcsának tűnhet ugyanis ~ a elmozdulás vektora felülről lefelé, ~ a támaszerő vektora pedig alulról felfelé mutat ezek szerint a vektori összefüggés így fest:, 0, = α α = k, 0, k = α ( k) ( α ) k = 0, = ( k ), 0, innen k 0 miatt: = α, amivel visszakaptuk ( ) - t. Ezzel szemben találkozni a szakirodalomban a ( ) = α ( 4 ) alakú összefüggéssel is, azzal, hogy a reakcióerő a benyomódással ellentétes értelmű. Ez a helyzet pl. a [ ] műnél is, a rugalmas ágyazású tartók Winkler - féle hipotézisé - nek felírásánál: p( x) = q( x) k v. ( 5 ) Itt a jobb oldalon a második tag jelenti az elmozdulással arányos nagyságú, azzal ellentétes értelmű rugalmas ágyazási reakció - erőrendszer intenzitás - részt. Ez megfelel a ( 4 ) szerinti felírásnak. Megemlítjük, hogy ugyanezt [ 1 ] - ben így írják: IV v ( x) = q( x) r( x), ( 6 ) r( x) = k v( x).
7 Látjuk, hogy ( 5 ) és ( 6 / 1 ) jobb oldalai megegyeznek. Ez rendben is van, csak a ágyazási reakció kifejezésének felírása volt más, az előjelet tekintve. Tanulságok: ~ együtt kell tekinteni az összefüggés levezetésének részeit ~ magyarázó ábrával kell szemléltetni az alkalmazott előjelszabályokat ~ világossá kell tenni, hogy pl. egy erő abszolút értéke, vagy előjeles skalár értéke! De térjünk vissza feladatunk taglalásához! Most ( ) szerint: = α ( 7 ) majd ( 16 ) és ( 7 ) szerint: 8 q l = l α rendezve: = q l 8. 1 + α l ( 8 ) Most ( 7 ) és ( 8 ) - cal: q l = 8. α 1+ l ( 8 ) és ( 9 ) képletekből rögtön következik, hogy α 0 0, q l 8 4 q l α, 0. 8 ( 9 ) ( 0 ) Ezek szerint ( 0 / 1 ) a fix támasz, ( 0 / ) pedig a támasz hiányának az esete. Látjuk, hogy fennállnak az alábbi relációk:
8 4 q l 0, 8 0 q l. 8 ( 1 ) Tudjuk, hogy a tartószerkezetek viselkedését sokszor nem tudjuk elég pontosan leírni, így a ( 1 ) szerinti határok közé szorítás információja ilyenkor aranyat érhet. Most ejtsünk szót az α rugóállandó mibenlétéről! Egy szerkezet rugalmas alátámasz - tását sokszor egy másik rugalmas szerkezet végzi. Példaként nézzük a 4. ábra esetét! 4. ábra konzolos tartót megtámasztó kéttámaszú tartó statikai váza az 5. ábrán látható. 5. ábra z idevágó szilárdságtani alapképlet szerint a kereszttartó behajlása középen [ ], az akció - reakció elvét is alkalmazva:
9 f = L 48 ( ) k ( ) ámde a két tartó behajlása megegyezik, így f =. ( ) Most ( ), ( ) és ( ) szerint: L = α, 48 ( ) k innen: L α = 48 ( ) k. ( 4 ) Ezzel tovább alakítjuk képleteinket, a 4. ábra esetére ( 8 ), ( 9 ) és ( 4 ) - gyel: q l 8 =, 48 ( ) k + L l q l = 8. L 1+ 48 ( ) l k ( 5 ) Látjuk, hogy már erre az egyszerű esetre és közelítő modelljére is elég bonyolult végképletek adódnak. Megjegyzések: M1. Úgy tűnik, a rugóállandó és a rugótényező elnevezések még a szakirodalomban is keverednek. míg [ ] - ben a c = f / F, addig [ 4 ] - ben a c = F / f típusú mennyisé - get nevezik rugóállandónak itt F a rugót terhelő erő nagysága, f pedig a rugó alakvál - tozása. Mi a [ ] szerinti meghatározást alkalmaztuk, az α = képlet szerint.
10 M. Most nézzük meg, hogy nem jó - e mégis a ( 4 ) összefüggés! Eszerint: = α végigszorozva ezt a lefelé irányított k egységvektorral: k = α k kicsit manipulálva ezt: k = α k ( ) de mivel a lefelé mutató elmozdulás -, valamint a felfelé mutató reakcióerő - vektorra: k =, ( k) = ezért az előzőekkel: = α adódik. Mivel α 0,, ez azt jelentené, hogy és egyállású vektorok minthogy ez nem igaz, így a ( 4 ) képlet is helytelen, ha és a megfelelő vektorok abszolút értékei. M. ár feladatunkat [ 1 ] inspirálta, mi itt egy másféle módon oldottuk meg azt. M4. Eddig jutottunk, amikor találkoztunk a feladatunkhoz igen hasonlóval [ 5 ] - ben. Itt igyekeztek gyakorlatiasan kezelni a feladatot. z eredmények összehasonlítása érdekében vegyük az ottani számadatok közül a következőket: kn 1 m q = l = m α = = Nm m 45 kn 6 5,,, 1,8 10! Ezekkel és a ( 9 ) képlettel azt kapjuk eredményül, hogy = 560, 779817 N 561 N. z [ 5 ] - beli megfelelő eredmény: = 560 N. Ez jól egyezik a mi képletünkkel kapott eredménnyel. M5. z itt el nem végzett további átalakításokat, újabb képletalakok felírását már az érdeklődő Olvasóra bízzuk.
11 Irodalom: [ 1 ] Ju. M. ardanov: Kursz szoprotivlenije materialov v sztrukturno - logicseszkih szemah Vüscsa Skola, Kijev, 1988. [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, udapest, 1981. [ ] Red. M. M. Filonenko - oroditsch: Festigkeitslehre, and II. Verlag Technik, erlin, 195. [ 4 ] Hans - Jürgen Zebisch: Röviden és tömören sorozat Dinamika Műszaki Könyvkiadó, udapest, 1977. [ 5 ] William. Nash: Theory and Problems of Strength of Materials 4th Edition, Schaum s Outline Series, McGraw - Hill, New York, 1998. Sződliget, 01. május 14. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár