) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához! ) Értelmezzük vlós számok hlmzán z f függvényt z f x x kx 9x képlettel! (A k prméter vlós számot jelöl) Számíts ki, hogy k mely értéke esetén lesz x függvénynek lokális szélsőértékhelye függvénynek! Állpíts meg, hogy z így kpott k esetén x függvények lokális mximumhelye vgy lokális minimumhelye! Igzolj, hogy k ezen értéke esetén függvénynek vn másik lokális szélsőértékhelye is! ( pont) g x x 9x képlettel b) Htározz meg vlós számok hlmzán értelmezett g függvény inflexiós pontját! (5 pont) ) Adott f és g függvény f : D f \ k ; k x tgx ctgx sinx ) Igzolj, hogy z így definiált f függvény konstns! g : D 7;7 x x 6 x g b) Számíts ki g függvény zérushelyeit! c) Adj meg g függvény értékkészletét! ) Legyen 4x x x f x, hol pozitív vlós szám és x ) Igzolj, hogy f x dx! b) Mely pozitív számokr teljesül, hogy f x dx? c) Az x mely pozitív vlós értéke lesz g x x x függvények lokális (helyi) minimum? 4) Az ABCD konvex négyszög oldlegyeneseinek egyenlete rendre: DA : x 4y AB : x 5y BC : 4x y CD : 5x y 5 ) Igzolj, hogy négyszög átlói z x és z y tengelyre illeszkednek, továbbá, hogy ennek négyszögnek nincs derékszöge! b) Bizonyíts be, hogy négyszög húrnégyszög!
OA b ; B pont helyvektor: OB lg b;lg b, hol és b olyn vlós számokt jelölnek, melyekre, illetve b teljesül ) Bizonyíts be, hogy B pont mindkét koordinátáj ngyobb z A pont megfelelő koordinátáinál! b) Bizonyíts be, hogy z OA OB vektor merőleges z OA vektorr! c) Mekkor z OA és OB vektorok hjlásszöge? d) Legyen, b pedig jelöljön tetszőleges -nél ngyobb vlós számot Adj meg (egyenletével, vgy derékszögű koordinát-rendszerben ábrázolv) z A, illetve B pontok hlmzát! 5) Az A pont helyvektor: lg ;lg 6) A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, szigettől 6 km távolságbn elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás A legénység egy mentőcsónkbn segítségre vár, náluk lévő jeldó készülék htósugr mindössze 6 km Amikor vitorlás elsüllyedt, kkor szigettől délre, szigettől 4 km távolságr volt egy tengerjáró hjó Ez hjó állndón észkkeleti irányb hld, hjótöröttek pedig vitorlás elsüllyedésének helyéről folymtosn küldik vészjeleket ) Igzolj, hogy tengerjáró legénysége észlelheti segélykérő jelzést! Egy,5 km mgsságbn hldó repülőgép éppen sziget felett vn, mikor repülőgép fedélzeti műszerei észlelik tengerjáró hjót, mely vitorlás elsüllyedése ót km-t tett meg b) Mekkor depresszió szög (lehjlási szög) ltt észlelik műszerek tengerjárót? Válszát fokbn, egészre kerekítve dj meg! Számítási során Föld görbületétől tekintsen el! 7) Igzolj, hogy h egy háromszög szögeire érvényes z lábbi összefüggés: sin : sin cos : cos, kkor háromszög egyenlő szárú és derékszögű! (4 pont) 8) A csonkkúp lkú tárgyk térfogtát régebben gykorlt számár elegendően pontos közelítő számítássl htározták meg Eszerint csonkkúp térfogt közelítőleg egy olyn henger térfogtávl egyezik meg, melynek átmérője kkor, mint csonkkúp lsó és felső átmérőjének számtni közepe, mgsság pedig kkor, mint csonkkúp mgsság ) Egy csonkkúp lkú ftörzs hossz (vgyis csonkkúp mgsság) m, lsó átmérője cm, felső átmérője 8 cm A közelítő számítássl kpott térfogt hány százlékkl tér el pontos térfogttól? (Ezt nevezzük közelítő eljárás reltív hibájánk) b) Igzolj, hogy csonkkúp térfogtát fentiekben leírt útmuttás lpján kpott - közelítő érték sohsem ngyobb, mint csonkkúp térfogtánk pontos értéke! Jelölje x csonkkúp két lpköre sugránk z rányát, és legyen x Bizonyítndó, hogy fentiekben leírt, közelítő számítás reltív hibájánk
százlékbn mérve következő függvény dj meg: f f x x : ;, 5 x x c) Igzolj, hogy f-nek nincs szélsőértéke! 9) Két egyenes hsábot építünk, H-et és H-t Az építéshez hsznált négyzetes oszlopok (négyzet lpú egyenes hsábok) egybevágok, mgsságuk kétszer kkor, mint z lpélük A H hsáb építésekor szomszédos négyzetes oszlopokt z oldllpjukkl illesztjük össze, H hsáb építésekor pedig négyzet lplpjukkl- z ábr szerint ) A H és H egyenes hsábok felszínének hánydos AH A,8 négyzetes oszlopot hsználtunk z egyes hsábok építéséhez, h H-et és H-t ugynnnyi négyzetes oszlopból építettük fel? n n sorozt szigorú monoton növekvő és 4n korlátos! b) Igzolj, hogy ) Az 594 számjegyeit leírjuk z összes lehetséges sorrendben ) Az 594 számml együtt hány ötjegyű számot kpunk? ( pont) b) Ezen számok közül hány oszthtó -vel? c) Bizonyíts be, hogy e számok egyik sem négyzetszám! ) ) Egy derékszögű háromszög oldlhosszi egy számtni sorozt egymást követő tgji, legrövidebb oldl 4 egység hosszú Számíts ki háromszög másik két oldlánk hosszát! (5 pont) b) Egy háromszög oldlhosszi egy számtni sorozt egymást követő tgji, legrövidebb oldl 4 egység hosszú Tudjuk, hogy háromszög nem szbályos Igzolj, hogy háromszögnek nincs 6 -os szöge! ( pont) ) Az A CC derékszögű háromszögben z A csúcsnál -os szög vn, z AC befogó hossz, z AC átfogó felezőpontj A Az AC szksz fölé z A CC háromszöghöz hsonló AC C derékszögű háromszöget rjzoljunk z ábr szerint Az AC átfogó felezőpontj A Az AC szksz fölé z AC C háromszöghöz hsonló AC C derékszögű háromszöget rjzolunk Ez z eljárás tovább folytthtó ) Számíts ki z így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (z összeg első tgj z AC C háromszög területe)! b) Igzolj, hogy CC C n mint,4 C töröttvonl hossz minden pozitív n-re kisebb, (9 pont) H
) Igzolj, hogy z lábbi négy egyenlet közül z ) és b) jelű egyenletnek pontosn egy megoldás vn, c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldás vlós számok hlmzán! x x ) x b) x 6 x 9 5 c) lg x x 6 lg x d) sin x lg cos x,5 cos x 4) ) Igzolj következő állítást: h egy négyszög szögei vlmilyen sorrendben egy számtni sorozt egymást követő tgji, kkor négyszög húrnégyszög vgy trpéz! b) Foglmzz meg z előző állítás megfordítását, és döntse el megfordított állításról, hogy igz vgy hmis! Válszát indokolj! Egy geometrii építőkészletben csk olyn pálcikák vnnk, melyek hossz centiméterben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul cm-től cm-ig (Mindegyik fjt pálcikából elegendően sok vn készletben) c) Hány különböző módon válszthtunk ki 4 pálcikát készletből úgy, hogy belőlük egy 4 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválsztást különbözőnek tekintünk, h z egyik kiválsztás 4 pálcikáj nem állíthtó párb másik kiválsztás 4 pálcikájávl úgy, hogy mind 4 párbn egyenlő hosszú legyen két pálcik Tudjuk továbbá, hogy h, b, c, d pozitív számok, és c b d, kkor z, b, c, d hosszúságú szkszokból szerkeszthető négyszög) 5) ) Egy kock és egy gömb felszíne egyenlő Bizonyíts be, hogy gömb térfogt ngyobb, mint kockáé! Két fémkock összeolvsztásávl egy ngyobb kockát készítünk Az egyik beolvsztott kock egy élének hossz p, másiké pedig q p, q (Feltesszük, hogy z összeolvsztássl kpott kock térfogt egyenlő két összeolvsztott kock térfogtánk összegével) 6 p g b) Igzolj, hogy z összeolvsztássl kpott kock felszíne ( pont) c) Bizonyíts be, hogy z összeolvsztássl kpott kock felszíne kisebb, mint két összeolvsztott kock felszínének összege! 6) Egy kör középpontj egy derékszögű háromszög b hosszúságú befogójár illeszkedik A kör érinti c hosszúságú átfogót és z hosszúságú befogó egyenesét is Andre és Petr egymástól függetlenül kifejezték kör
sugránk hosszát háromszög oldlink hosszávl Andre szerint kör b sugr RA c, Petr szerint pedig c RP b ) Igzolj, hogy R R! (5 pont) A P b) Bizonyíts be, hogy Andre képlete helyes! Egy derékszögű háromszög oldli 8 cm, b 6 cm és c cm Megrjzoltuk zt két kört, melyek középpontj háromszög egyik, illetve másik befogójár illeszkedik, és melyek érintik háromszög másik két oldlegyenesét c) Számítsuk ki, hogy két körnek háromszög belsejébe eső M metszéspontj milyen messze vn derékszögű C csúcstól! (5 pont) 7) ) A PQRS húrnégyszöget PR és QS átlók megrjzolásávl négy háromszögre bontottuk Igzolj, hogy ezek közül két-két szemközti háromszög hsonló egymáshoz! Az ABCD húrnégyszög AB oldl négyszög körülírt körének egyik átmérője A négyszög BC oldl cm, CD oldl 5 cm hosszú, továbbá BCD b) Számíts ki négyszög BD átlójánk, AB oldlánk és AD oldlánk hosszát, vlmint négyszög többi szögét! ( pont)