Speciális faautomata osztályok jellemzése

SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola Számítógépes Algoritmusok és Mesterséges Intelligencia Tanszék Speciális faautomata osztályok jellemzése doktori értekezés Gyuricza György Témavezet : Dr. Gécseg Ferenc Szeged, 2010

A matematikában az ember nem megérti a dolgokat, hanem megszokja. / Neumann János /

Tartalomjegyzék Bevezetés 1 Célkit zés 4 Eredmények 5 1. Alapfogalmak, el készületek 6 1.1. Sztring nyelvek.......................... 6 1.2. Determinisztikus felszálló fanyelvek............... 11 2. Monoton nyelvek 20 2.1. Monoton sztring nyelvek..................... 20 2.2. Monoton determinisztikus felszálló fanyelvek.......... 23 2.3. A monoton DR-fanyelvek egy egyszer jellemzése....... 25 2.4. Megjegyzések η dekompozíciójával kapcsolatban........ 27 2.5. Megjegyzések az η A -ban lév segédváltozók számával kapcsolatban............................... 30 2.6. A monoton DR-fanyelvek jellemzése............... 35 3. Nilpotens nyelvek 42 3.1. Nilpotens sztring nyelvek..................... 42 3.2. Nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek.......... 48 3.3. A nilpotens DR-fanyelvek jellemzése............... 50 4. Zártsági tulajdonságok vizsgálata 56 4.1. Egyesítés.............................. 56 4.2. Metszet.............................. 60 4.3. Komplementerképzés....................... 61 4.4. x-szorzat.............................. 65 i

TARTALOMJEGYZÉK ii 4.5. x-iteráció............................. 65 4.6. σ-szorzat.............................. 66 4.7. Zártsági tulajdonságok összegzése................ 67 Értékelés, összegzés 68 Köszönetnyilvánítás 70 Irodalomjegyzék 71 Összefoglaló 73 Summary 79 Tárgymutató 85

Bevezetés Tudjuk, hogy a determinisztikus felszálló fanyelvek valódi részosztálya a reguláris fanyelvek osztályának, és így nem minden reguláris fanyelvekre ismert tulajdonság marad feltétlenül igaz erre a sz kebb nyelvosztályra. Azt is megállapíthatjuk, hogy a determinisztikus felszálló fanyelvekr l teljes általánosságban keveset tudunk. A vizsgálatainkat ezért egy jól körülhatárolt területre szerettük volna irányítani, így esett a választás a monoton és nilpotens alosztályokra. Ugyan mindkét nyelvosztály kapott már gyelmet (f leg a nilpotens sztring nyelvek), de a reguláris kifejezésekkel való jellemzésük csak a monoton sztring nyelvekre lett megadva [5]-ben. Ez adta az ötletet, hogy a monoton determinisztikus felszálló fanyelvekre is lehetne adni egy ilyen irányú jellemzést, és ugyanúgy adta magát a nilpotens sztring nyelvek és nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek reguláris kifejezésekkel való leírása. Ezen irányú kutatásaink eredménye szolgáltatja jelen értekezés gerincét. Az értekezés elején természetesen azokat az alapfogalmakat deniáltuk, amelyekre az értekezés további részében támaszkodunk. Itt kerültek deniálásra az automata, a nyelv és a reguláris kifejezések fogalma, mind a sztring nyelvek-, mind a determinisztikus felszálló fanyelvek esetében. Egyes el készületeket is itt végeztünk el, mint például a redukált reguláris kifejezések deniálását. Az alapfogalmakon túl nyilvánvalóan szükség volt néhány algebrai fogalom el zetes ismeretére, ezek meglétét feltételeztük. A monoton sztring nyelveket és monoton determinisztikus felszálló fanyelveket Gécseg Ferenc és Imreh Balázs szintaktikus monoidokkal jellemezte [5]-ben, és ugyanitt adtak a monoton sztring nyelvekre egy reguláris kifejezésekkel történ jellemzést. Megállapították, hogy egy sztring nyelv akkor és csakis akkor monoton, ha el állítható szeminormális láncnyelvek véges egyesítéseként. A monoton determinisztikus felszálló fanyelvek jellemzésénél ugyanezt az alapötletet kívántuk követni, azaz, hogy egy fa monoton de- 1

BEVEZETÉS 2 terminisztikus felszálló faautomatában való feldolgozásakor az állapotok egy monoton sorozatát tudjuk felírni, és így a nyelv leírását is erre építeni. Így született meg az úgynevezett triviális jellemzés, amely gyakorlatilag bármilyen monoton determinisztikus felszálló fanyelvet le tud írni reguláris kifejezéssel, nekünk azonban szükségünk volt olyan megszorításokra is, amelyek mellett az ilyen alakú reguláris kifejezések monoton determinisztikus felszálló fanyelveket jelölnek. Ehhez be kellett vezetni többek között az iterációs magasság fogalmát, amelynek értéke a monoton sztring nyelvek és a monoton determinisztikus felszálló fanyelvek esetében is szorosan összefügg a monotonitással. Ezek után a triviális felírás néhány tulajdonságát vizsgáltuk meg, ilyen például annak ekvivalens átalakítást eredményez felbontása, vagy segédváltozói számának redukálása. A reguláris kifejezésekkel való jellemzéshez szükségünk volt egy új fogalom, az x-homogén tulajdonság deniálására is. Ennek segítségével készültek el a monoton determinisztikus felszálló fanyelvek x-iterációra való zártságának elégséges feltételei, és ugyanúgy feltételekre volt szükségünk az x-szorzat zártságának biztosítására is. Ezután minden eszközünk meg volt arra, hogy az általunk bevezetett általánosított R-láncnyelv fogalmával jellemezzük a monoton determinisztikus felszálló fanyelveket. A nilpotens nyelvek is jellemzésre kerültek Gécseg és Imreh által, a [4] cikkben például szintaktikus monoidokkal jellemezték a nilpotens determinisztikus felszálló fanyelveket, ugyanakkor azonban a reguláris kifejezésekkel való leírásra nem került sor. Ezért itt a cél az volt, hogy mind a nilpotens sztring nyelvekhez, mind a nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvekhez adjunk egy reguláris kifejezésekkel történ jellemzést. Bevezettük a sima láncnyelv fogalmát, amely a monoton sztring nyelvek jellemzésénél használt láncnyelvek egy speciális esete, és err l mutattuk meg, hogy pontosan a nilpotens nyelveket írják le. A nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek esetében egy hasonló megoldást kerestünk, amely tulajdonképpen a monoton determinisztikus felszálló fanyelvek esetében látott triviális reguláris kifejezés egy speciális esete lett. A végs jellemzéshez szükségünk volt az út-teljesség fogalmának, valamint az x-termináló tulajdonságnak megalkotására is. Ezen fogalmak használatával fogalmaztuk meg a nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek osztálya x-szorzatra való zártságának elégséges feltételeit, és ezzel a reguláris kifejezéssel való jellemzést is meg tudtuk adni a sima R-láncnyelvek fogalmával. Mivel egyes zártsági tulajdonságokra, vagy a zártságot biztosító feltételekre szükségünk volt a monoton és nilpotens determinisztikus felszálló

BEVEZETÉS 3 fanyelvek jellemzésénél, az értekezés végén összefoglalásra kerültek a determinisztikus felszálló fanyelvek zártsági tulajdonságai a Boole- (egyesítés, metszet, komplementerképzés), valamint a reguláris (egyesítés, x-szorzat, x- iteráció, σ-szorzat) m veletekre nézve. Itt külön feltüntetésre kerültek a monoton és nilpotens alosztályokra vonatkozó eredmények, és néhány esetben a zártságot biztosító elégséges feltételeket is összegeztük. Megállapításaink többsége [3], [10], [11] és [12]-b l származnak.

Célkit zés Az értekezés alapjául szolgáló kutatási téma meghatározásánál azért esett a választás a determinisztikus felszálló fanyelvek speciális osztályainak a vizsgálatára, mert a determinisztikus felszálló fanyelvekr l teljes általánosságban keveset tudunk. Ebb l kifolyólag a monoton és nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek tanulmányozása került el térbe. Ezen kutatás eredményeképpen reguláris kifejezésekkel jellemeztük a fenti osztályokat mind a sztring nyelvek, mind a determinisztikus felszálló fanyelvek esetében, valamint megvizsgálásra került a fenti osztályok néhány zártsági tulajdonsága a Boole- és reguláris m veletekre nézve. Az értekezés célja a fenti eredmények és a hozzájuk tartozó összefüggések ismertetése, amelyben a reguláris kifejezésekkel való jellemzés bír lényegi tartalommal, a zártsági tulajdonságok vizsgálata pedig mellékes szereppel. Az értekezésnek azonban nem célja a monoton és nilpotens nyelvek egyéb tulajdonságainak a vizsgálata, és így annak ismertetése sem. 4

Eredmények Az értekezés eredményei négy fejezetbe lettek sorolva. Az els ben az alapfogalmakat tisztázzuk, ezekre mindenképpen szükség van a lényegi részek megértéséhez. Ugyanakkor az alapfogalmak ismertetésére a disszertáció önálló olvashatóságának céljából is szükség van. Ebben a részben ismerkedhetünk meg többek között a (fa)nyelvek és (fa)automaták fogalmával, valamint a reguláris kifejezésekkel, amely központi szerepet kap az eredményekben. A második fejezet a monoton sztring nyelveket és monoton determinisztikus felszálló fanyelveket tanulmányozza. Az els dleges cél ezek reguláris kifejezésekkel való megadása, de szót ejtünk a keresett konstrukció néhány további tulajdonságairól is. A harmadik fejezet a nilpotens sztring nyelvekr l és a nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvekr l szól. A cél hasonló, mint a monoton nyelvekr l szóló fejezetben, azaz a nilpotens nyelvek reguláris kifejezésekkel való jellemzése. Végül, a negyedik fejezet a determinisztikus felszálló fanyelvek egyes Booleés reguláris m veletekre való zártsági tulajdonságait gy jti össze, ahol külön kitérünk a monoton és nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvekre. Itt egyes további tulajdonságok is megvizsgálásra kerültek, mint például olyan szükséges és/vagy elégséges feltételek meghatározása, amely mellett valamely fentebb említett nyelvosztály zárt vagy éppen nem zárt egy adott m veletre. 5

1. fejezet Alapfogalmak, el készületek Ebben a fejezetben a legalapvet bb fogalmakat ismertetjük. Elöljáróban rögzítsük le, hogy a természetes számok halmazát a megszokott N bet vel jelöljük, amely nem tartalmazza a 0-át. Az N {0} halmazra a továbbiakban az N 0 jelöléssel fogunk hivatkozni. 1.1. Sztring nyelvek Mind a természetes, mind a mesterséges nyelvek alatt olyan szavak összességét értjük, amelyek bizonyos alapszimbólumokból épülnek fel. 1.1.1. deníció. Legyen X egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit pedig bet knek nevezzük. Az X ábécé elemeib l képezhet véges hosszúságú láncokat X-feletti szavaknak nevezzük. Az X ábécé feletti összes szavak halmazát X jelöli. Az üres szót (azaz azt a szót, amelyben egyetlen bet sincs) e-vel jelöljük. 1.1.2. deníció. Egy u X szó hosszán a benne el forduló bet k számát értjük multiplicitással számolva, jelölésképpen pedig az u -t használjuk rá. A 0-nál hosszabb szavak halmazát X + -szal jelöljük, és alatta mindig az X + = X \ {e} halmazt értjük. Ugyanakkor egy k N természetes számnál nem hosszabb szavak halmazát X,k -val jelöljük, és általában az X,k = {u X : u k} egyenl séggel deniáljuk. Szokás még az n N 0 hosszú szavak 6

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 7 halmazát X n -nel is jelölni, így ebb l a k-nál nem hosszabb szavak halmazát a következ képpen is felírhatjuk: X,k = X 0 X 1... X k = k X i. Az X-feletti összes szavak halmazát is felírhatjuk hasonlóképpen: X = X 0 X 1... X k... = i=0 X i. i=0 1.1.3. deníció. Legyen X egy ábécé. Az X halmaz bármely részhalmazát X-feletti nyelvnek nevezzük. A jelen értekezésben a fent deniált X-feletti nyelveket sztring nyelveknek, vagy ha ez nem vezet félreértéshez, akkor egyszer en csak nyelveknek fogjuk nevezni. 1.1.4. deníció. A w X szót az u X szó kezd szeletének (prexének) nevezzük, ha van olyan v X szó, amelyre u = wv teljesül. Továbbá azt mondjuk, hogy a w X szó valós kezd szelete az u X szónak, ha w kezd szelete u-nak, és w < u. A következ kben bevezetjük a véges automata fogalmát. 1.1.5. deníció. Legyen X egy tetsz leges ábécé. Az A = (A, X, δ, a 0, A ) rendszert véges, determinisztikus X-automatának (röviden automatának) nevezzük, ahol (i) A véges, nemüres halmaz, az állapotok halmaza, (ii) δ : A X A az átmenetfüggvény, (iii) a 0 A a kezd állapot, (iv) A A a végállapotok halmaza. Az átmenetfüggvény kiterjeszthet egy δ : A X A függvénnyé, ahol minden a A állapotra, x X bet re és u X szóra teljesül, hogy

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 8 δ (a, e) = a és δ (a, xu) = δ (δ(a, x), u). Az egyszer ség kedvéért a δ (a, u) helyett gyakran használjuk a δ(a, u), vagy egyszer en csak az au jelöléseket, ha ez természetesen nem vezet félreértéshez. 1.1.6. deníció. Legyen A = (A, X, δ, a 0, A ) egy tetsz leges automata. Az A automata által felismert L(A) nyelven az nyelvet értjük. L(A) = {u X a 0 u A } 1.1.7. deníció. Legyen X egy tetsz leges ábécé. Egy L X nyelvet felismerhet nek nevezünk, ha van olyan A = (A, X, δ, a 0, A ) automata, amely t felismeri, azaz amelyre L = L(A). X-feletti automatára és az általa felismert nyelvre tekintsük a következ példát. 1.1.8. példa. Legyen X = {x, y} egy ábécé és vegyük azt az A X-feletti automatát, melyre A = (A, X, δ, a 0, A ), A = {a 0, a 1, a 2, a 3 }, A = {a 3 }, valamint a δ átmenetfüggvény a következ képpen van deniálva: δ x y a 0 a 2 a 1 a 1 a 3 a 2 a 2 a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 Az A automata által felismert nyelv a következ : L(A) = {yxu u X }, azaz olyan X-feletti szavak halmaza, amelyek az yx bet kett ssel kezd dnek, és bármilyen bet sorozattal folytatódnak. 1.1.9. deníció. Legyen A = (A, X, δ A, a 0, A ) egy X-automata. Azt mondjuk, hogy a B = (B, X, δ B, b 0, B ) X-automata az A összefügg részautomatája, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 9 (i) B = {a 0 u u X }, (ii) B = A B, (iii) a 0 = b 0, és (iv) minden b B állapotra és x X bet re δ B (b, x) = δ A (b, x). A következ lépésben felidézzük a nyelveken értelmezett reguláris m veleteket. Tetsz leges L 1 X és L 2 X nyelvek egyesítése alatt az L 1 L 2 = {u X u L 1 vagy u L 2 } nyelvet, tetsz leges L 1 X és L 2 X nyelvek konkatenációja alatt az L 1 L 2 = {uv X u L 1, v L 2 } nyelvet, valamint tetsz leges L X nyelv iteráltja alatt az L = {e} L LL LLL... = nyelvet értjük. Most bevezetjük a reguláris kifejezések fogalmát. 1.1.10. deníció. Legyen X egy ábécé. Az összes X-feletti reguláris kifejezés RE halmazát és egy tetsz leges η RE X-feletti reguláris kifejezés által leírt L(η) nyelvet a következ párhuzamos denícióval adjuk meg: RE, L( ) =, i=0 L i x X : x RE, L(x) = {x}, továbbá ha η 1, η 2 RE, akkor (η 1 ) + (η 2 ) RE, L((η 1 ) + (η 2 )) = L(η 1 ) L(η 2 ), (η 1 )(η 2 ) RE, L((η 1 )(η 2 )) = L(η 1 )L(η 2 ), (η 1 ) RE, L((η 1 ) ) = L(η 1 ).

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 10 A reguláris kifejezésekb l némely zárójelek elhagyhatóak, ha feltételezünk egy precedenciarelációt az iteráció, konkatenáció és egyesítés m veletek között ugyanebben a sorrendben. Továbbá, ha ez nem vezet félreértéshez, az X-feletti reguláris kifejezések helyett egyszer en csak reguláris kifejezéseket mondunk. 1.1.11. példa. Legyen adott az X = {x, y} ábécé, és vegyük az η = yx(x + y) X-feletti reguláris kifejezést. Könny látni, hogy L(η) éppen az L = {yxu u X } nyelvet írja le. Az L nyelvet azonban leírhatjuk más reguláris kifejezésekkel is, például a ζ = yx(y + x)(x + y) + yx-szel. 1.1.12. megjegyzés. A reguláris kifejezésekkel leírt nyelvek pontosan a felismerhet nyelvek, így a felismerhet nyelveket szokás még reguláris nyelveknek is nevezni. 1.1.13. deníció. Legyen η és ζ két tetsz leges reguláris kifejezés. Azt mondjuk, hogy ζ az η részkifejezése, ha ζ el fordul η fenti induktív deníciójában. η összes részkifejezésének halmazát Sub(η)-val fogjuk jelölni. Egy reguláris kifejezés részkifejezésének elhagyását a következ képpen de- niáljuk. Vegyük az η 1, η 2 RE tetsz leges reguláris kifejezéseket, valamint a bel lük alkotott (η 1 ) + (η 2 ), (η 1 )(η 2 ) és (η 1 ) reguláris kifejezéseket. Az utóbbiakból az η 1 -et elhagyva rendre η 2 -t, η 2 -t és η 1 -et kapunk. Továbbá megengedjük azt is, hogy η 1 elhagyásával (η 1 ) -ból ( ) -ot kapjunk. Ha elhagyjuk η 2 -t az (η 1 ) + (η 2 ) és (η 1 )(η 2 )-b l, akkor mindkét esetben η 1 -et kapunk. Az így bevezetett részkifejezés-elhagyás (mint m velet) nyilvánvalóan nem egyértelm en meghatározott, de ahogy azt majd kés bb látni fogjuk, az egyértelm ségre nincs is szükségünk. 1.1.14. deníció. Legyen ζ az η reguláris kifejezés egy részkifejezésének el fordulása. Azt mondjuk, hogy ζ redundáns η-ban, ha ζ elhagyható η-ból úgy, hogy L(η) az elhagyás után változatlan marad. Egy reguláris kifejezést redukáltnak nevezünk, ha nincsenek benne redundáns részkifejezések. Egy reguláris kifejezés redukált alakja nem feltétlenül egyértelm en meghatározott, mint ahogy azt az alábbi példa is mutatja.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 11 1.1.15. példa. Tekintsük az η = x(yx) + z + (xy) x reguláris kifejezést. Nyilvánvaló, hogy η-ban az egyesítés m velet els és harmadik tagja ugyanazt a nyelvet írja le, így mindkett redundáns η-ban. Ha ezen redundáns részkifejezéseket külön-külön elhagyjuk η-ból, akkor a különböz x(yx) + z és z +(xy) x reguláris kifejezéseket kapjuk, amelyek viszont ugyanazt a nyelvet írják le. 1.2. Determinisztikus felszálló fanyelvek Az alábbiakban bevezetünk néhány fogalmat, amelyek a determinisztikus felszálló fanyelvek deniálásához fog kelleni. 1.2.1. deníció. M veleti szimbólumok egy véges, nemüres halmazát rangolt ábécének nevezzük. A rangolt ábécék jelölésére általában a Σ bet t használjuk, ezen értekezésben ehhez tartjuk magunkat. Minden m 0 természetes számra Σ azon részhalmazát, amely tartalmazza Σ összes m-változós m veleti szimbólumát, Σ m -mel fogjuk jelölni, és érvényes az alábbi összefüggés: Σ = m 0 Σ m. A determinisztikus felszálló fanyelvek vizsgálatánál gyakorlati okok miatt általában nem engednek meg nullváltozós m veleti szimbólumokat, ezért az m = 0 esettel a továbbiakban nem foglalkozunk, és így majd az egész értekezésben feltesszük, hogy Σ 0 =. 1.2.2. deníció. Legyen X változók egy halmaza. A ΣX-fák T Σ (X) halmazát a következ képpen deniáljuk: (i) X T Σ (X), (ii) σ(p 1,..., p m ) T Σ (X), ahol p 1,..., p m T Σ (X), σ Σ m és m 0, (iii) minden ΣX-fa el állítható az (i) és (ii) szabályok véges sokszori alkalmazásával.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 12 A következ kben X a megszámlálható {x 1, x 2,...} halmazt fogja jelölni, és minden n nemnegatív egész számra jelölje X n a {x 1,..., x n } X részhalmazt. Rögzítsük le továbbá, hogy egy S halmaz hatványhalmazát p(s)-sel jelöljük. 1.2.3. deníció. Egy determinisztikus felszálló Σ-algebra (vagy röviden DR Σ-algebra) alatt egy A = (A, Σ) párt értünk, ahol (i) A egy nemüres halmaz, (ii) Σ egy rangolt ábécé, és (iii) minden σ Σ m m veleti szimbólum egy σ A : A A m leképezésként van realizálva. Az A DR Σ-algebrát végesnek mondjuk, ha A véges. 1.2.4. deníció. Egy determinisztikus felszálló ΣX n -faautomata (vagy angol nevük alapján röviden DR ΣX n -faautomata) alatt egy A = (A, a 0, a) rendszert értünk, ahol (i) A = (A, Σ) egy véges DR Σ-algebra, (ii) a 0 A a kezd állapot, és (iii) a = (A (1),..., A (n) ) p(a) n a végállapot vektor. Ha a fenti Σ vagy X n nincs deniálva, akkor DR-faautomatákról beszélünk. Ahhoz, hogy deniáljuk a DR-faautomaták által felismert fanyelveket, szükségünk lesz a következ formális denícióra. 1.2.5. deníció. Legyen A = (A, a 0, a) egy DR ΣX n -faautomata. Értelmezzük az α A : T Σ (X n ) p(a) leképezést a következ módon. Legyen p T Σ (X n ) tetsz leges fa, és (i) ha p = x i X n, akkor α A (p) = A (i), (ii) ha p = σ(p 1,..., p m ) (σ Σ m, m > 0), akkor α A (p) = {a A σ A (a) α A (p 1 )... α A (p m )}.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 13 Adott p T Σ (X n ) fa esetén tehát α A (p) az összes olyan a A állapotból áll, amelyb l p levezethet A-ban (levezetés alatt itt azt értjük, hogy az a állapotból kiindulva, és arra p m veleti szimbólumait mint leképezéseket alkalmazva, eljuthatunk p gyökerét l a p leveleiben szerepl x i változóknak megfelel A (i) halmazokba). A továbbiakban, amennyiben nem okoz félreértést, α A (p) helyett röviden csak α(p)-t írunk. 1.2.6. deníció. Az A DR ΣX n -faautomata által felismert fanyelvet T (A)- val jelöljük, és a következ képpen deniáljuk: T (A) = {p T Σ (X n ) a 0 α(p)}. A DR-faautomaták által felismert nyelveket determinisztikus felszálló fanyelveknek, vagy röviden DR-fanyelveknek is szoktuk nevezni. 1.2.7. megjegyzés. A determinisztikus felszálló fanyelveket szokás determinisztikus erd knek is nevezni. 1.2.8. megjegyzés. A DR ΣX n -faautomatákat úgy is deniálhatjuk, hogy az a végállapot vektor helyett az α leképezést adjuk meg, hiszen fentebb már láttuk a köztük lév szoros összefüggést: a = (α(x 1 ),..., α(x n )). Ekkor egyszer en csak A = (A, a 0, α)-t írunk. Most bevezetünk néhány a fákra és fanyelvekre értelmezett igen hasznos függvény fogalmát. 1.2.9. deníció. Legyen p T Σ (X n ) egy tetsz leges fa. Ekkor a p fa height(p) magassága, root(p) gyökere, leaves(p) levelei és

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 14 részfáinak Sub(p) halmaza a következ képpen van deniálva. Ha p X n, akkor height(p) = 0, root(p) = p, leaves(p) = {p}, és Sub(p) = {p}. Ha p = σ(p 1,..., p m ), σ Σ m, p i T Σ (X n ), 1 i m, m > 0, akkor height(p) = 1 + max{height(p i ) : 1 i m}, root(p) = σ, leaves(p) = 1 i m Sub(p) = {p} leaves(p i ), és 1 i m Sub(p i ). A magasság kivételével minden fenti függvény kiterjeszthet fákról fanyelvekre a következ módon. Legyen S T Σ (X n ) egy tetsz leges fanyelv, ekkor root(s) = {root(p) p S}, leaves(s) = leaves(p), és Sub(S) = p S p S Sub(p). A továbbiakban a DR-faautomaták egy hasznos tulajdonságát vezetjük be. 1.2.10. deníció. Legyen A egy DR ΣX n -faautomata, és legyen a A annak egy állapota. Az A által az a állapotból felismert fanyelvet a következ képpen deniáljuk: T (A, a) = { p T Σ (X n ) a α(p)}. Egy a állapotot 0-állapotnak nevezünk, ha T (A, a) =. A-t normalizáltnak mondjuk, ha minden σ Σ m m veleti szimbólumra és a A állapotra

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 15 érvényes, hogy σ A (a) minden komponense 0-állapot, vagy σ A (a) egyetlen komponense sem 0-állapot. Továbbá, A-t redukáltnak mondjuk, ha minden a, b A állapotra teljesül, hogy a b maga után vonja T (A, a) T (A, b)-t. Jól ismert tény, hogy minden DR-fanyelv felismerhet egy normalizált és redukált DR-faautomatával. Ezen összefüggésr l további részleteket találhatunk a [7], [8] és [9] irodalmakban. Most értelmezzük a Σ rangolt ábécéhez tartozó (közönséges) ábécét. Minden σ, τ Σ m veleti szimbólumra legyen (i) ˆΣ σ = {σ 1,..., σ m }, ha σ Σ m (m > 0), és (ii) ˆΣ σ ˆΣ τ =, ha σ τ. Legyen továbbá ˆΣ a következ halmaz: ˆΣ = σ Σ ˆΣ σ. Világos, hogy minden Σ rangolt ábécéhez tartozó ˆΣ ábécé véges. 1.2.11. megjegyzés. Egy tetsz leges σ Σ m m veleti szimbólumhoz tartozó σ i bet re néha a (σ, i) jelölést is használjuk, ha azt a szövegkörnyezet úgy kívánja (1 i m). A továbbiakban bevezetünk egy a fák gyökerét l a levelükig vezet utakkal kapcsolatos fogalmat, amely rendkívül hasznos és viszonylag könnyen kezelhet eszköznek bizonyult a DR-fanyelvek jellemzésénél. 1.2.12. deníció. Legyen p T Σ (X n ) egy tetsz leges fa, x X n pedig egy tetsz leges változó. A p-beli x-utak g x (p) halmazát a következ módon deniáljuk: (i) g x (x) = {e}, (ii) minden y X n változóra, melyre y x, legyen g x (y) =, (iii) ha p = σ(p 1,..., p m ), σ Σ m, akkor g x (p) = σ 1 g x (p 1 )... σ m g x (p m ), ahol p i T Σ (X n ), 1 i m, m > 0.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 16 A p-beli x-utak fogalmát a következ képpen tudnánk szavakkal megfogalmazni. Írjuk a p fa σ-val címkézett csúcsából kiinduló i-edik éléhez a σ i jelölést. Ekkor p-ben a gyökért l az x-szel címkézett levelekig vezet utakon az élek címkéit összeolvasva éppen a p fa x-utait kapjuk. Az x-utak fogalmát természetes módon terjeszthetjük ki fanyelvekre, azaz bármely T T Σ (X n ) fanyelvre és bármely x X n változóra legyen g x (T ) = p T g x (p). A g x (T ) ˆΣ halmazokat szokás még T x -szel jelölni és T út-nyelveinek nevezni. Mivel bizonyos esetekben nem csak egy konkrét x változóhoz tartozó x-utakra hivatkozunk, hanem a gyökérb l bármilyen más változóhoz vezet utakra is, ezért g x (T ) fogalmát kiterjesztjük változófüggetlen esetre is. Legyen tehát T T Σ (X n ) egy tetsz leges fanyelv, és legyen g(t ) = x X T x. Amennyiben általánosságban, vagy konkrét változótól függetlenül szeretnénk a fent deniált utakra hivatkozni, akkor az x-út vagy út kifejezéseket is használjuk. 1.2.13. megjegyzés. Fontos észrevenni, hogy egy tetsz leges T T Σ (X n ) fanyelvre a T x nyelvek nem feltétlenül páronként diszjunktak. Például, ha T -ben van olyan két különböz p és q fa, amelyek egymástól csak egy levélen szerepl változóban (mondjuk x és y) térnek el egymástól. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben p és q gyökerét l ezen levélig vezet út benne van T x -ben és T y -ban is. Egy T T Σ (X n ) fanyelvet zártnak nevezünk, ha tetsz leges p T Σ (X n ) fára p T akkor és csakis akkor teljesül, ha minden x X n változóra g x (p) g x (T ). Jól ismert összefüggés, hogy egy reguláris fanyelv akkor és csakis akkor DR-felismerhet, ha zárt. A részletekkel kapcsolatban javasoljuk az [1] és [15] irodalmak megtekintését. 1.2.14. példa. Legyen X = {x, y} változók egy halmaza, legyen Σ = Σ 2 = {σ, ω} a m veleti szimbólumok halmaza, T T Σ (X n ) pedig legyen a következ nyelv: T = {p 1, p 2, p 3 }, ahol p 1 = σ(x, x), p 2 = σ(ω(x, y), y), p 3 = σ(ω(y, x), ω(x, y)). Ekkor egyrészt ˆΣ = {σ 1, σ 2, ω 1, ω 2 }, másrészt

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 17 (i) (ii) g x (p 1 ) = {σ 1, σ 2 }, g y (p 1 ) = {}, g x (p 2 ) = {σ 1 ω 1 }, g y (p 2 ) = {σ 1 ω 2, σ 2 }, g x (p 3 ) = {σ 1 ω 2, σ 2 ω 1 }, g y (p 3 ) = {σ 1 ω 1, σ 2 ω 2 }, g x (T ) = T x = {σ 1, σ 2, σ 1 ω 1, σ 1 ω 2, σ 2 ω 1 }, g y (T ) = T y = {σ 2, σ 1 ω 2, σ 1 ω 1, σ 2 ω 2 }, (iii) g(t ) = {σ 1, σ 2, σ 1 ω 1, σ 1 ω 2, σ 2 ω 1, σ 2 ω 2 }. Világos, hogy T nem zárt, ugyanis a p = σ(ω(x, x), x) fa nincs T -ben, ugyanakkor g x (p) = {σ 1 ω 1, σ 1 ω 2, σ 2 } T x, és persze g y (p) = T y. Bármely n N természetes számra és tetsz leges S 1,..., S n halmazokra legyen π i : S 1... S n S i az i-edik projekció, azaz minden (s 1,..., s i,..., s n ) S 1... S n elem n-esre π i (s 1,..., s i,..., s n ) = s i teljesül (1 i n). Most az x-utak által generált leképezések fogalmát vezetjük be. 1.2.15. deníció. Legyen Σ egy rangolt ábécé, és legyen ˆΣ a hozzá tartozó közönséges ábécé. Legyen továbbá A = (A, Σ) egy tetsz leges DR Σ-algebra. Ekkor minden u ˆΣ szóra az u A : A A leképezés a következ képpen van deniálva: (i) Ha u = e, akkor au A = a, (ii) ha u = σ j v, akkor au A = π j (σ(a))v A tetsz leges a A, σ Σ m, m > 0, v ˆΣ és j {1,..., m} elemekre. Az imént deniált leképezést természetes módon terjeszthetjük ki ˆΣ részhalmazaira. Az értekezés további részében, ha ez nem vezet félreértéshez, elhagyjuk az A jelölést u A -ból. Miel tt tovább haladnánk, ki kell térnünk a fanyelveken értelmezett reguláris m veletekre. Két fanyelv egyesítése alatt azok halmazelméleti egyesítését értjük. Bármely S, T T Σ (X n ) fanyelvekre azok T x S x-szorzata olyan fanyelvnek értend, amelyben a fák úgy állnak el, hogy S minden s fájában az x szimbólummal jelölt levelek el fordulásait valamely T-beli fával helyettesítjük. Az x szimbólum különböz el fordulásait T különböz fáival helyettesíthetjük. Továbbá azt is feltesszük, hogy T y R x S minden esetben a T y (R x S) szorzatot jelenti bármely S, R, T T Σ (X n ) fanyelvekre és x, y X n változókra. Egy tetsz leges T T Σ (X n ) fanyelv x-iteráltja alatt

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 18 azt a T,x fanyelvet értjük, amely egyrészt tartalmazza x-et és T fáit, másrészt tartalmazza az összes olyan fát, amelyeket úgy kapunk T-beli fákból, hogy azok x el fordulásait szintén T -beli fákkal helyettesítjük, és ezt a helyettesítést a kapott fákon bármilyen sokszor megismételhetjük. Legyen σ Σ m (m > 0) tetsz leges m veleti szimbólum. Ekkor tetsz leges T 1,..., T m ΣX n - fanyelvek σ-szorzata alatt a σ(t 1,..., T m ) = {σ(p 1,..., p m ) p i T i, 1 i m} fanyelvet értjük. Most bevezetjük a reguláris kifejezések fanyelvekre értelmezett formáját. A reguláris ΣX n -kifejezések RE(ΣX n ) halmazát valamint egy tetsz leges η RE(ΣX n ) reguláris ΣX n -kifejezés által leírt T (η) fanyelvet a következ párhuzamos denícióval adjuk meg. 1.2.16. deníció. Legyen Σ egy rangolt ábécé, és legyen X n változók egy halmaza. Ekkor RE(ΣX n ), T ( ) =, x X n : x RE(ΣX n ), T (x) = {x}, továbbá ha η 1, η 2,..., η m RE(ΣX n ), σ Σ m, m > 0, x X n, akkor (η 1 ) + (η 2 ) RE(ΣX n ), T ((η 1 ) + (η 2 )) = T (η 1 ) T (η 2 ), (η 2 ) x (η 1 ) RE(ΣX n ), T ((η 2 ) x (η 1 )) = T (η 2 ) x T (η 1 ), (η 1 ),x RE(ΣX n ), T ((η 1 ),x ) = T (η 1 ),x, σ(η 1,..., η m ) RE(ΣX n ), T (σ(η 1,..., η m )) = σ(t (η 1 ),..., T (η m )). A reguláris ΣX n -kifejezésekb l elhagyhatunk bizonyos zárójeleket, ha feltételezünk egy precedenciarelációt a σ-szorzat, x-iteráció, x-szorzat és egyesítés m veletek között ugyanebben a sorrendben. 1.2.17. deníció. Legyenek η és ζ reguláris ΣX n -kifejezések. Azt mondjuk, hogy ζ az η részkifejezése, ha ζ el fordul η fenti induktív deníciójában. A kés bbiekben η összes részkifejezésének halmazát Sub(η)-val fogjuk jelölni.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 19 Egy reguláris ΣX n -kifejezés részkifejezésének elhagyását a következ képpen határozzuk meg. Tetsz leges σ Σ m m veleti szimbólumra, x X n változóra, η 1, η 2,..., η m RE(ΣX n ) reguláris ΣX n -kifejezésekre tekintsük az (η 1 )+(η 2 ), (η 2 ) x(η 1 ), (η 1 ),x és σ(η 1,..., η m ) reguláris ΣX n -kifejezéseket. Az η 1 reguláris ΣX n -kifejezés elhagyásával rendre η 2, η 2, η 1 és σ(ζ, η 2,..., η m )-et kapunk, ahol ζ egy változó T (η 1 )-b l, ha van ilyen, különben ζ =. Azt is megengedjük, hogy η 1 elhagyása (η 1 ),x -ból x-et eredményezzen. Ha elhagyjuk η 2 -t az (η 1 )+(η 2 ) és (η 2 ) x(η 1 ) reguláris ΣX n -kifejezésekb l, akkor rendre az η 1 és η 1 reguláris ΣX n -kifejezéseket kapjuk. A reguláris ΣX n -kifejezések részkifejezéseinek a fenti módon értelmezett elhagyása nem egyértelm, de nincs is rá szükségünk, hogy az legyen. 1.2.18. deníció. Legyen η egy reguláris ΣX n -kifejezés, és legyen ζ az η egy részkifejezésének egy el fordulása. Azt mondjuk, hogy ζ redundáns η-ban, ha ζ elhagyható η-ból úgy, hogy T (η) nem változik ζ elhagyása után. Egy reguláris ΣX n -kifejezés redukált, ha nincsenek benne redundáns részkifejezések. Ahogy azt már a sztring nyelvek esetében láttuk, egy reguláris ΣX n - kifejezésnek több különböz alakban adott redukált formája is lehet.

2. fejezet Monoton nyelvek Ebben a fejezetben mind a monoton sztring nyelveket, mind a monoton determinisztikus felszálló fanyelveket reguláris kifejezésekkel fogjuk jellemezni. 2.1. Monoton sztring nyelvek El ször bevezetjük a monoton automata fogalmát. 2.1.1. deníció. Egy A = (A, X, δ, a 0, A ) X-automata monoton, ha létezik olyan parciális rendezés A-n, amelyre minden a A állapot és x X bemen jel esetén érvényes az a δ(a, x) összefüggés. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor minden a A állapot és u X szó esetén a au is teljesül. Ezek után deniáljuk a monoton nyelvek fogalmát. 2.1.2. deníció. Egy tetsz leges L X nyelv monoton, ha létezik olyan A monoton X-automata, amelyre L = L(A). Kés bb fel fogjuk használni azt az alapvet összefüggést, hogy minden parciális rendezés kiterjeszthet teljes rendezéssé. További részletek megtalálhatóak az [5] irodalomban. 2.1.3. deníció. Egy L X nyelv fundamentális, ha L = Y valamely 20

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 21 Y X változóhalmazra. Egy L X nyelv láncnyelv ha L megadható L = L 0 x 1 L 1 x 2... x k 1 L k 1 x k L k alakban, ahol x 1,..., x k X és minden L i (0 i k) fundamentális nyelvek egy szorzata. Egy L = L 0 x 1 L 1 x 2...... x k 1 L k 1 x k L k láncnyelvet szeminormálisnak hívunk, ha x i L i 1 teljesül minden 1 i k indexre. L normális, ha x i L i 1 és x i L i (1 i k). Egy L = L 0 x 1 L 1 x 2... x k 1 L k 1 x k L k szeminormális láncnyelvet egyszer nek nevezünk, ha minden L i (0 i k) fundamentális. A következ állítás (amely [5]-ben került kimondásra és bizonyításra) összefüggést ad a monoton nyelvek és a szeminormális láncnyelvek között. 2.1.4. tétel. Egy nyelv akkor és csakis akkor monoton ha megadható szeminormális láncnyelvek véges egyesítéseként. A következ kben bevezetjük az iterációs magasság fogalmát, amely valamely nyelv iterációjában résztvev szavak közül a leghosszabb hosszával lesz egyenl. 2.1.5. deníció. Legyen η egy redukált reguláris kifejezés a (ζ) alakban megadva. Ekkor η iterációs magassága (vagy jelölésben ih(η)) alatt az ih(η) = max{ u : u L(ζ)} összefüggéssel deniált nemnegatív egész számot értjük, ha L(ζ) véges. Ha L(ζ) végtelen, akkor ih(η) legyen végtelen ( ), amit a legnagyobb egész számként fogunk kezelni. Erre technikai okok miatt van szükség, ugyanis szeretnénk, hogy az ih függvény felvehesse a végtelent mint maximális értéket. Legyen most η egy bármilyen alakban adott redukált reguláris kifejezés. Ekkor ih(η)-t úgy deniáljuk mint ih(η) = max{ih((ζ) ) (ζ) Sub(η)}, ha Sub(η) tartalmaz (ζ) alakú részkifejezést, különben ih(η) = 0. Egy L reguláris nyelv iterációs magassága (vagy jelölésben ih(l)) alatt pedig az ih(l) = min{ih(η) η RE, L(η) = L}

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 22 nemnegatív egész számot értjük. Az iterációs magasság szemléltetéséhez tekintsük a következ példát. 2.1.6. példa. Tekintsük a ζ = xx + xxx reguláris kifejezést. Az ih((ζ) ) de- níciójából kapjuk, hogy ih((ζ) ) = 3. Vegyük most az η = x+(ζ) reguláris kifejezést. Könny látni, hogy ih(η) = 3, mivel η-nak van egy (ζ) alakban adott részkifejezése, amire ih((ζ) ) = 3. Tekintsük most az L(η) nyelvet, amire azt kapjuk, hogy ih(l(η)) = 1, mivel L(η) leírható az (x) reguláris kifejezéssel is, amire ih((x) ) = 1. Most kimondjuk és bizonyítjuk a következ segédtételt, amely összefüggést ad egyes monoton nyelveket leíró redukált reguláris kifejezések és ugyanezen nyelvek iterációs magassága között. 2.1.7. segédtétel. Legyen η egy (ζ) alakban adott redukált X-feletti reguláris kifejezés. Ha L(η) monoton, akkor ih(l(η)) 1. Bizonyítás. Legyen η egy (ζ) alakú redukált reguláris kifejezés, és legyen A egy X-automata, amely egyrészt felismeri az L(η) nyelvet, másrészt monoton a részbenrendezés mellett. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy A redukált és összefügg. Nyilvánvaló, hogy van olyan a A végállapot, amelyre au = a teljesül minden u L(ζ) szóra. S t, erre az a állapotra ax = a is teljesül bármely L(ζ)-beli szó bármely x bet jére, ugyanis monoton automatában az átmenet során nem keletkezhet 1-nél hosszabb ciklus. Azt is megállapíthatjuk, hogy a fenti tulajdonságokkal csakis az a állapot rendelkezik, ugyanis ha egy b állapot ugyanilyen tulajdonságú, akkor a és b ekvivalensek. Következésképpen a = b, mivel tudjuk, hogy egy redukált automatának nem lehet két különböz ekvivalens állapota. Láthatjuk továbbá, hogy nincs olyan a A \ {a} állapot, amelyre a a és a x = a együttesen teljesülne, bármilyen x X bet t is veszünk. Ha lenne ilyen a és x, akkor a -ben L(ζ)-beli szavakat kell tudnunk bármennyiszer feldolgozni, ráadásul bet nként, de ez az a állapot feladata, így ellentmondásba kerülnénk azzal, hogy A redukált. Ugyanúgy azt is láthatjuk, hogy nincs olyan a a végállapot, amelyre a a. Ha lenne ilyen a, akkor szintén a redukáltsággal kerülnénk ellentmondásba, hiszen a-ból minden L(ζ)-beli szó bármennyiszer levezethet. Mindezek alapján η felírható ζ ζ alakban, ahol ζ -ben nem szerepel a m velet, és ζ azon szavakból álló nyelvet írja le, amelyeket A-ban

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 23 a 0 -ból indulva a-ba érkezve fel lehet ismerni, továbbá ζ az (y 1 +... + y r ) alakban van megadva, ahol y 1,..., y r az L(ζ) szavaiban el forduló bet k. Mivel L(η) = L(ζ ζ ) és ih(ζ ζ ) = 1, azt kapjuk, hogy ih(l(η)) 1. 2.2. Monoton determinisztikus felszálló fanyelvek Ebben az alfejezetben a monoton determinisztikus felszálló fanyelvekre vonatkozó alapvet ismereteket és összefüggéseket taglaljuk. 2.2.1. deníció. Egy A = (A, Σ) DR Σ-algebrát monotonnak nevezünk, ha van olyan részbenrendezés A-n, amelyre a π i (σ A (a)) teljesül minden a A állapotra és σ Σ m m veleti szimbólumra (1 i m). Azt mondjuk, hogy A egy monoton DR ΣX n -faautomata, ha a benne szerepl A DR Σ-algebra monoton. Továbbá, T T Σ (X n ) monoton DR-fanyelv, ha T = T (A) valamely A monoton DR ΣX n -faautomatára. A fenti deníciót megtaláljuk az [5] irodalomban is. A következ segédtétel nyilvánvalóan teljesül. 2.2.2. segédtétel. Minden véges DR-fanyelv monoton. Most rátérünk az iterációs magasság fogalmának fanyelvekre történ általánosítására, amely azon leghosszabb x-út hosszát jelöli majd, amely valamely fanyelv x-iterációjában szerepet játszik. 2.2.3. deníció. Legyen x X egy változó, és legyen η egy reguláris ΣX n - kifejezés a (ζ),x alakban. Az x változó iterációs magassága η-ban (jelölésben ih x (η)) az ih x (η) = max{ u : u g x (T (ζ))} nemnegatív egész számként van deniálva, ha g x (T (ζ)) véges. Ha g x (T (ζ)) végtelen, akkor legyen ih x (η) végtelen ( ), amit a legnagyobb természetes számként fogunk kezelni. Erre technikai okok miatt van szükség, ugyanis szeretnénk, hogy az ih x függvény felvehesse a végtelent mint maximális értéket. Legyen most η egy bármilyen alakban adott redukált reguláris ΣX n -kifejezés. Ekkor ih x (η)-t az ih x (η) = max{ih x ((ζ),x ) (ζ),x Sub(η)}

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 24 egyenl séggel deniáljuk, ha Sub(η) tartalmaz (ζ),x alakban adott kifejezést, különben ih x (η) = 0. Végül az x változó iterációs magasságát egy tetsz leges T reguláris fanyelvben (jelölésben ih x (T )) az ih x (T ) = min{ih x (η) η RE(ΣX n ), T (η) = T } összefüggéssel határozzuk meg. A fanyelvek iterációs magasságának szemléltetéséhez tekintsük a következ példát. 2.2.4. példa. Legyen Σ = Σ 2 = {σ} és X = {x, y}, valamint tekintsük a ζ = σ(y, σ(y, x)) + σ(y, σ(y, σ(y, x))) reguláris ΣX-kifejezést. Nyilvánvaló, hogy ih x ((ζ),x ) = 3. Ha most vesszük az η = σ(y, x) + (ζ),x reguláris ΣXkifejezést, akkor azt kapjuk, hogy ih x (η) = 3, mert η-nak van (ζ),x alakban adott részkifejezése, amelyre ih x ((ζ),x ) = 3. Ugyanakkor a T (η) fanyelvet tekintve azt kapjuk, hogy ih x (T (η)) = 1, mert T (η) felírható a (σ(y, x)),x alakban is, amelyre ih x ((σ(y, x)),x ) = 1. A monoton fanyelveket leíró redukált reguláris ΣX-kifejezések és ugyanezen fanyelvek iterációs magassága között hasonló összefüggés van, mint amit a monoton sztring nyelvek esetében láttunk. 2.2.5. segédtétel. Legyen η egy redukált reguláris ΣX n -kifejezés a (ζ),x i alakban megadva. Ha T (η) egy monoton DR-fanyelv, akkor ih xi (T (η)) 1. Bizonyítás. A bizonyítás menete hasonlít a 2.1.7 segédtétel bizonyításához. Legyen η egy (ζ),x i alakú redukált reguláris ΣXn -kifejezés, és legyen A egy a T (η)-t felismer DR-faautomata, amely monoton a részbenrendezési reláció mellett. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy A redukált és normalizált, így pontosan egy olyan a A állapot van, amelyre a α(x i ) és au = a teljesül minden u g xi (T (ζ)) útra. Mivel A monoton faautomata a részbenrendezés mellett, ezért aw = a teljesül bármely g xi (T (ζ))-beli szó bármely w bet jére. Továbbá, nincs olyan a A \ {a} állapot, amelyre a a és a α(x i ) teljesülnek, és nincs olyan a α(x i ) \ {a} állapot sem, amelyre a a és a w = a teljesülne, bárhogyan is veszünk egy w bet t g xi (T (ζ)) valamely szavából. Ezek alapján η felírható (ζ ),xi xi ζ alakban, ahol egyrészt ζ -ben nem szerepel a,x i m velet, másrészt ζ azon fanyelvet írja le, amelyet A az A (i) = {a} megszorítással ismer fel úgy, hogy minden

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 25 j i indexre A (j) változatlan marad, és a-ban nincs átmenet önmagába. Továbbá, ζ azon fák halmazát írja le, amelyeket úgy kapunk, hogy minden p T (ζ) fát szétbontunk a g xi (p)-beli utak mentén lév csúcspontjaiban. Könnyen látható, hogy T (η) = T ((ζ ),xi xi ζ ) és ih xi ((ζ ),xi xi ζ ) = 1, azaz ih xi (T (η)) 1. 2.3. A monoton DR-fanyelvek egy egyszer jellemzése Legyen A = (A, a 0, a) egy monoton DR ΣX n -faautomata, ahol A = (A, Σ A ), A = {a 0,..., a k } és a = (A (1),..., A (n) ). Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a 0 a 1... a k teljesül. Legyen Ξ k = {ξ 0,..., ξ k } segédváltozók egy olyan halmaza, amelyre X n Ξ k = teljesül. Továbbá, legyen φ : A Ξ k egy kölcsönösen egyértelm ráképezés a φ(a i ) = ξ i hozzárendeléssel deniálva (0 i k). Konstruáljuk most meg az η reguláris Σ(X n Ξ k )-kifejezést a következ módon: ahol minden i indexre (0 i k) és ahol η = η k ξk η k 1 ξk 1... ξ1 η 0, η i = (p i 1 +... + p i l i + y i 1 +... + y i r i ) ξi (t i 1 +... + t i j i ),ξ i, 1) az y i 1,..., y i r i elemek pontosan az {x z X n a i A (z) } halmazt adják, 2) p i s = σ(ξ i1,..., ξ im ) olyan σ Σ m m veleti szimbólumra és ξ i1,..., ξ im Ξ k segédváltozókra, hogy egyrészt σ(a i ) = (φ 1 (ξ i1 ),..., φ 1 (ξ im )), másrészt nincs olyan v index (1 v m), amelyre a i = π v (σ(a i )) teljesülne (1 s l i ), 3) t i s = σ(ξ i1,..., ξ im ) olyan σ Σ m m veleti szimbólumra és ξ i1,..., ξ im Ξ k segédváltozókra, hogy egyrészt σ(a i ) = (φ 1 (ξ i1 ),..., φ 1 (ξ im )), másrészt van olyan v index (1 v m), amelyre a i = π v (σ(a i )) teljesül (1 s j i ), 4) {p i 1,..., p i l i } + {t i 1,..., t i j i } = Σ.

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 26 A fent deniált η reguláris Σ(X n Ξ k )-kifejezést az A-hoz tartozó triviális reguláris kifejezésnek nevezzük, jelölni pedig η A -val fogjuk. Azért használjuk a triviális elnevezést, mert η A úgy írja le T (A)-t, ahogy azt az A faautomata állapotról állapotra haladva felismeri, és ahol minden i indexre (0 i k) η i az a i állapotból induló átmenetekért felel s. A fenti deníció els pontjában azon változók szerepelnek, amelyek levezethet k az a i állapotból, míg a második pontban azon m veleti szimbólumok szerepelnek, amelyek az a i állapoton vett eredményvektorukban nem szerepel a i. A harmadik pontban azon m veleti szimbólumok szerepelnek, amelyek a i -n vett eredményvektorukban szerepel az a i állapot, míg végül a negyedik pont biztosítja azt, hogy minden m veleti szimbólum el fordul a második és harmadik pontok valamelyikében. A kés bbiekben η i azon részét, amely a,ξ i m velettel van iterálva, ηi iterációs részének nevezzük, továbbá η i azon részét, amely a ξi szorzással van az iterációs rész ξ i változóiba beszúrva, η i termináló részének nevezzük. Az η k ξk... ξ1 η 0 formában adott kifejezéseket láncoknak fogjuk nevezni. Legyen az A DR ΣX n -faautomata monoton az a 0 a 1... a k lineáris rendezés mellett. Deniáljuk az A i = (A i, a i, a i ) DR ΣX n -faautomatát, ahol (i) A i = (A {a i,..., a k }, Σ A ), és (ii) a i = (A (1) {a i,..., a k },..., A (n) {a i,..., a k }). Nyilvánvaló, hogy A i pontosan a T (A, a i ) fanyelvet ismeri fel. 2.3.1. segédtétel. Legyen A egy monoton DR ΣX n -faautomata. Ekkor érvényes a T (A) = T (η A ) összefüggés. Bizonyítás. Legyen A egy DR ΣX n -faautomata, ahol A = (A, a 0, a), A = (A, Σ) és A = {a 0,..., a k }. Tegyük fel, hogy A monoton az a 0... a k lineáris rendezés mellett. Legyen továbbá η A az A-hoz tartozó triviális reguláris kifejezés. A bizonyítást A állapotainak száma szerinti indukcióval végezzük. Ha k = 0, akkor T (A) = T Σ (X n {x i a 0 A (i) }) teljesül, mivel A egyelem. Nyilvánvalóan η A = η 0 is fennáll. η A deníciójából adódik, hogy minden σ Σ m veleti szimbólum jelen van η 0 iterációs részében, illetve minden x {x i a 0 A (i) } X n változó jelen van η 0 termináló részében. Így T (η A ) = T Σ (X n {x i a 0 A (i) }), azaz, T (A) = T (η A ).

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 27 Tegyük most fel indukciós hipotézisként, hogy T (A i ) = η k ξk... ξi+1 η i minden i indexre teljesül (1 i k). Megkonstruáljuk az A Σ(X n Ξ k )- faautomatát úgy, hogy A = (A, a 0, a ), ahol a = (A (1) {a 0 },..., A (n) {a 0 }, {a 0 },..., {a k }) p(a) n+k+1. Ahhoz, hogy T (A ) jelentését értelmezzük, tekintsük X n Ξ k -t úgy mint a X n+k+1 halmazt, ahol x n+i+1 = ξ i, és legyen az α leképezés a következ képpen deniálva: α(ξ i ) = α(x n+i+1 ) = A (n+i+1) (0 i k). Könnyen látható, hogy T (A) = T (A k ) ξk... ξ2 T (A 1 ) ξ1 T (A ), és T (A ) = T (η 0 ). Így T (A) = T (A k ) ξk T (A k 1 ) ξk 1... ξ2 T (A 1 ) ξ1 T (A ) = T (η k ) ξk T (η k ξk η k 1 ) ξk 1... ξ2 T (η k ξk... ξ2 η 1 ) ξ1 T (η 0 ) = T (η k ) ξk T (η k 1 ) ξk 1... ξ2 T (η 1 ) ξ1 T (η 0 ) = T (η k ξk η k 1 ξk 1... ξ2 η 1 ξ1 η 0 ) = T (η A ). 2.4. Megjegyzések η dekompozíciójával kapcsolatban Ebben az alfejezetben az η = η k ξk... ξ1 η 0 reguláris Σ(X n Ξ k )-kifejezés felbontásával kapcsolatban teszünk néhány állítást. Ha η i termináló részében legfeljebb egy szimbólum van, akkor az η i tényez ben történ dekompozíciónak nincs értelme, így ebben az alfejezetben feltesszük, hogy η i termináló részében legalább két szimbólum van. Azt mondjuk, hogy az η = η k ξk... ξi+1 η i ξi... ξ1 η 0 lánc felbontható az η i tényez ben, ha az megadható az

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 28 alakban, ahol η = η k ξk... ξi+1 η i ξi... ξ1 η 0 = η k ξk... ξi+1 (p i 1 +... + p i l i + y i 1 +... + y i r i ) ξi (t i 1 +... + t i j i ),ξi ξi... ξ1 η 0 = η k ξk... ξi+1 (y i 1) ξi (t i 1 +... + t i j i ),ξi ξi... ξ1 η 0 +. + η k ξk... ξi+1 (y i r i ) ξi (t i 1 +... + t i j i ),ξi ξi... ξ1 η 0 + η k ξk... ξi+1 (p i 1) ξi (t i 1 +... + t i j i ),ξi ξi... ξ1 η 0 +. + η k ξk... ξi+1 (p i l i ) ξi (t i 1 +... + t i j i ),ξi ξi... ξ1 η 0 (i) y i s X n (1 s r i, 0 r i n), (ii) p i s = σ(ξ i1,..., ξ im ) valamely σ Σ m m veleti szimbólumra és ξ iv Ξ k változóra, 1 v m, 1 s l i, (iii) t i s = σ(ξ i1,..., ξ im ) valamely σ Σ m m veleti szimbólumra és ξ iv Ξ k változóra, 1 v m, 1 s j i. Most megadjuk a fenti felbontás létezésének szükséges feltételét. 2.4.1. segédtétel. Az η = η k ξk... ξ1 η 0 kifejezés felbontható az η i tényez ben, ha η i iterációs részének minden fája legfeljebb egyszer tartalmazza a leveleiben a ξ i segédváltozót. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy teljesül a segédtétel feltétele. Jelöljük rendre ebben a bizonyításban az η k ξk... ξi+2 η i+1 és (t i 1 +... + t i j i ),ξi ξi... ξ1 η 0 reguláris Σ(X n Ξ k )-kifejezéseket ζ -vel és ζ -vel. Könnyen láthatjuk, hogy minden t T (ζ ) fára a g ξi (t) halmaz egyelem vagy üres. A fanyelvek x-szorzatának deníciójából, valamint a segédtétel feltételeib l azt kapjuk,

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 29 hogy T (η) = T (ζ ξi+1 (p i 1 +... + p i l i + y i 1 +... + y i r i ) ξi ζ ) = T (ζ ) ξi+1 T (p i 1 +... + p i l i + y i 1 +... + y i r i ) ξi T (ζ ) = T (ζ ) ξi+1 ( T (p i 1)... T (p i l i ) T (y i 1)... T (y i r i ) ) ξi T (ζ ) = T (ζ ) ξi+1 ( T (p i 1) ξi T (ζ )... T (p i l i ) ξi T (ζ ) T (y i 1) ξi T (ζ )... T (y i r i ) ξi T (ζ ) ) = T (ζ ) ξi+1 T (p i 1) ξi T (ζ )... T (ζ ) ξi+1 T (p i l i ) ξi T (ζ ) T (ζ ) ξi+1 T (y i 1) ξi T (ζ )... T (ζ ) ξi+1 T (y i r i ) ξi T (ζ ) = T (ζ ξi+1 p i 1 ξi ζ )... T (ζ ξi+1 p i l i ξi ζ T (ζ ξi+1 y i 1 ξi ζ )... T (ζ ξi+1 y i r i ξi ζ ) = T (ζ ξi+1 p i 1 ξi ζ +... + ζ ξi+1 p i l i ξi ζ + ζ ξi+1 y i 1 ξi ζ +... + ζ ξi+1 y i r i ξi ζ ). Azaz az η i -ben történ dekompozíció egy ekvivalens reguláris Σ(X n Ξ k )- kifejezéshez vezetett. Világos, hogy ha a ξ i segédváltozó nem fordul el az η i 1 ξi 1... ξ1 η 0 részkifejezésben, akkor az η i tényez törölhet az η kifejezésb l. Itt jegyezzük meg, hogy a felbontott részeket is láncoknak fogjuk hívni, így például a fent említett η láncot véges sok lánc egyesítésére bontottuk fel. Az y1, i..., yr i i változókat bármelyik felbontás utáni láncban hagyhatjuk, ugyanis a ξ i -szorzat során ezen változók az iterációs részbe való beszúrásával termináljuk a szóban forgó utat, azaz már nem érhet el kés bb segédváltozó ezekb l a változókból. A következ állítás az 2.4.1. segédtétel megfordítottja. 2.4.2. segédtétel. Ha az η = η k ξk... ξ1 η 0 kifejezés felbontható az η i tényez ben, akkor η i iterációs részében lév fák leveleiben legfeljebb egyszer szerepel a ξ i segédváltozó. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy van olyan t = σ(..., ξ i,..., ξ i,...) fa a szétbontott η i iterációs részében, amelyre ξ i legalább kétszer fordul el t levelei között (σ Σ m ). Jelöljék rendre ζ és ζ az η k ξk... ξi+2 η i+1 és η i 1 ξi 1... ξ1 η 0 reguláris Σ(X n Ξ k )-kifejezéseket. Az egyszer ség kedvéért σ(ξ i, ξ i )-t fogunk írni σ(ξ 1,..., ξ v 1, ξ i, ξ 1,..., ξ v 2, ξ i, ξ 1,..., ξ v 3 ) helyett, ahol

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 30 v 1, v 2, v 3 {0, 1,..., m 2}, v 1 + v 2 + v 3 = m 2, és ξ z (1 z v 1, 1 z v 2, 1 z v 3 ). Nyilvánvaló, hogy, ξ z, ξ z Ξ k Továbbá, T (ζ ξi+1 (p i 1 + + p i l i + y i 1 + + y i r i ) ξi σ(ξ i, ξ i ) ξi ζ ) T (η). T (ζ ξi+1 σ(s 1, s 2 ) ξi ζ ) T (η) is fennáll minden különböz s 1, s 2 {p i 1,..., p i l i, y i 1,..., y i r i } szimbólumpárra. Ekkor azonban a T = T (ζ ξi+1 σ(s 1, s 2 ) ξi ζ ) jelölést használva kapjuk, hogy T 1 v l i T (ζ ξi+1 σ(p i v, p i v) ξi ζ ) 1 v r i T (ζ ξi+1 σ(y i v, y i v) ξi ζ ), ami ellentmondás, mivel léteznek olyan T (η)-beli fák, amelyek nincsenek jelen η szétbontott láncaiban. Az el z két állítás a következ tételben foglalható össze. 2.4.3. tétel. Az η = η k ξk... ξ1 η 0 kifejezés akkor és csakis akkor bontható fel az η i tényez ben, ha η i iterációs részében lév minden fa leveleiben legfeljebb egyszer szerepel a ξ i segédváltozó. 2.5. Megjegyzések az η A -ban lév segédváltozók számával kapcsolatban Jelen alfejezetben az η A -ban el forduló segédváltozók számára vonatkozóan teszünk állításokat, valamint adunk egy eljárást, amellyel ez a szám többnyire csökkenthet. Nyilvánvaló, hogy ha az A faautomatának k állapota van, akkor η A jellemzéséhez elég k segédváltozó. Azt mondjuk, hogy egy p T Σ (X n ) fával termináljuk az x X n változót egy t T Σ (X n ) fában, ha az x változó nem fordul el {p} x {t} fáinak levelei között. Legyen ζ egy reguláris ΣX n -kifejezés. Azt mondjuk, hogy egy x X n változó terminálva van ζ-ban, ha az x változó nem fordul el T (ζ) fáinak leveleiben. Nyilvánvaló, hogy a felhasznált segédváltozók száma potenciálisan csökkenthet ha felbontjuk η A -t minden lehetséges tényez ben (ahogy azt az el z alfejezetben láttuk), és minden így kapott láncban egymástól függetlenül újraszámozzuk a segédváltozókat 0-tól.

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 31 Világos, hogy egy ξ i változó terminálva van az η i részben, azaz a ξ i változó nem fordul el egyetlen levélen sem ezután az η A jobbról balra történ kiértékelésében. Ez azt jelenti, hogy egyes segédváltozókat újra felhasználhatunk a láncon belül. Tegyük fel, hogy van egy ξ j segédváltozó a láncban amely legel ször η i termináló részében szerepel (a lánc jobbról balra történ kiértékelése folyamán). Ebben az esetben ξ j minden η A -beli el fordulása helyettesíthet ξ i -vel, amivel egy ekvivalens átalakítást hajtottunk végre. Valójában X n elemeit is felhasználhatjuk a segédváltozók számának csökkentésére. A módszer ugyanaz, azaz egy létez ξ i segédváltozót helyettesíthetünk egy x változóval, ha ξ i el bb terminálódik mint x els el fordulása. A fentieket alapul véve a következ lépések csökkenthetik a segédváltozók számát: (i) bontsuk fel η A -t minél több lánc egyesítésére, (ii) csökkentsük ezen láncokban külön-külön a segédváltozók számát, (iii) számozzuk újra a segédváltozókat 0-tól minden láncban egymástól függetlenül. Az el z módszert mutatja be a következ példa. 2.5.1. példa. Legyen A = (A, a 0, a) egy DR ΣX 3 -faautomata, ahol A = (A, Σ), A = {a 0, a 1, a 2, a 3 }, Σ = {σ 1, σ 2, σ 3 }, σ i Σ i (1 i 3), és a = ({a 0 }, {a 0, a 2 }, {a 1, a 2, a 3 }). Legyen Σ a következ képpen realizálva A- ban: σ 1 (a 0 ) = (a 1 ), σ 2 (a 0 ) = (a 0, a 1 ), σ 3 (a 0 ) = (a 0, a 0, a 1 ), σ 1 (a 1 ) = (a 3 ), σ 2 (a 1 ) = (a 2, a 2 ), σ 3 (a 1 ) = (a 1, a 3, a 3 ), σ 1 (a 2 ) = (a 3 ), σ 2 (a 2 ) = (a 2, a 3 ), σ 3 (a 2 ) = (a 2, a 3, a 3 ), σ 1 (a 3 ) = (a 3 ), σ 2 (a 3 ) = (a 3, a 3 ), σ 3 (a 3 ) = (a 3, a 3, a 3 ). Nyilvánvaló, hogy A monoton az a 0... a 3 rendezés mellett. Az A-hoz tartozó triviális reguláris kifejezés a következ : η A = η 3 ξ3 η 2 ξ2 η 1 ξ1 η 0 = (x 3 ) ξ3 (σ 1 (ξ 3 ) + σ 2 (ξ 3, ξ 3 ) + σ 3 (ξ 3, ξ 3, ξ 3 )),ξ 3 ξ3 (σ 1 (ξ 3 ) + x 2 + x 3 ) ξ2 (σ 2 (ξ 2, ξ 3 ) + σ 3 (ξ 2, ξ 3, ξ 3 )),ξ 2 ξ2 (σ 1 (ξ 3 ) + σ 2 (ξ 2, ξ 2 ) + x 3 ) ξ1 (σ 3 (ξ 1, ξ 3, ξ 3 )),ξ 1 ξ1 (σ 1 (ξ 1 ) + x 1 + x 2 ) ξ0 (σ 2 (ξ 0, ξ 1 ) + σ 3 (ξ 0, ξ 0, ξ 1 )),ξ 0