FIZIK TNÍTÁS ÜTKÖZÉSK LMZÉS NRGI-IMPULZUS DIGRMKKL okor Nándor M, Fizika Tanszék Köszöneteet fejeze ki Hraskó Péternek táogató bírálatáért és hasznos javaslataiért. Hasznosak lehetnek a relativisztikus ütközések tanításánál az energia-ipulzus diagraok [], aelyekben a szokásos Minkowski-diagraokon szereplô idô- és a helykoordináták szerepét az energia és az ipulzus veszi át. Mint az alábbiakban látható lesz, az ilyen diagraok fô vonzereje abban rejlik, hogy az ütközés elôtti és utáni állapotokat egyszerre jeleníti eg, és hogy az összes lényeges fizikai paraéter (a töegpontok töege, sebessége, ipulzusa, energiája) azonnal leolvasható az ábráról. z egyszerûség kedvéért a képleteket végig c = egységekben fogo felírni []. z azt jelenti, hogy a t idôt hosszúságegységben érjük (például éterben), a v sebesség nagysága pedig 0 és közé esô dienzió nélküli szá. Ugyanebbôl a konvencióból az is következik, hogy az töeg, az energia és a p ipulzus ind ugyanabban az egységben érendôk. z az egység lehet például kilogra, joule, erg, elektrontöeg stb. Hogy konkrétan elyiket választjuk, annak a jelen cikkben nincs jelentôsége, ezért hacsak külön ne jelölö, indenütt az a.u. ( arbitrary unit, azaz tetszôleges egység ) egjelölés értendô a száérték után. téridô-beli Minkowski-diagraokat széles körben alkalazzák a relativitáselélet tanításában. zeken egy-egy pont egy-egy eseényt jelöl, aelynek koordinátáit (t, x) alakban, vagy (t, x, y) alakban szokás egadni, attól függôen hogy két- vagy hárodienziós diagraról, azaz egy vagy kettô térbeli dienziójú tárgyalásódról van szó. Megállapodás szerint a függôleges tengelyen szokás a t idôkoordinátát, a vízszintes tengely(ek)en pedig a térbeli koordinátá(ka)t ábrázolni. Háro térbeli dienziójú Minkowski-diagraot ne tudunk készíteni, hiszen négydienziós ábrázolásra lenne hozzá szükség. Szerencsére a relativisztikus jelenségek nagy részének tárgyalásához nyugodtan elhagyható a haradik térbeli dienzió. Minkowski-diagraokat az energia-ipulzus térben is konstruálhatunk []; ekkor a függôleges tengelyen az energia, a vízszintes tengely(ek)en pedig a p ipulzus szerepel. z ilyen diagraokon egy-egy (, p) vagy (,, ) pont valailyen töegpont adott állapotát jelöli: egadja energiáját és azt az ipulzust, aellyel a töegpont éppen ozog. z energia és az ipulzus alább felírt relativisztikus képleteibôl egérthetjük a diagraok néhány általános jellezôjét: és dienzióban illetve dienzióban = = p = v v v, v v x és = v v y, () () (3) aelyek a töeg, energia és ipulzus közötti jól isert összefüggéshez vezetnek: p =. (4) (4) egyenlet a töeg invarianciáját fejezi ki. gy adott töegpont energiájára különbözô inerciarendszer-beli egfigyelôk különbözô száértékeket fognak kapni, int ahogyan az ipulzusára is; az eltérô száoknak az a különleges algebrai kobinációja azonban, aely a (4) egyenlet bal oldalán szerepel, inden egfigyelô száára ugyanazt a száértéket szolgáltatja: a töeg invariáns. (4) egyenletbôl leolvasható, hogy az energia-ipulzus diagraokon egy adott töegû töegpont összes lehetséges állapota ugyanazon a hiperbolán illetve D ozgásnál ugyanazon a forgási hiperboloidon fekszik. (z a tény terészetesen szoros kapcsolatban van a téridô-intervallu invarianciájával; a téridôbeli Minkowski-diagraokon analóg ódon hiperbolákat használunk például arra, hogy a különbözô vonatkoztatási rendszerekhez tartozó koordinátatengelyeket egyáshoz kalibráljuk.) z a vektor, aelyet az origóból e hiperbola vagy hiperboloid egfelelô pontjához húzunk, az adott töegpont energia-ipulzus vektora. z energia-ipulzus vektor közvetlen vizuális inforációt ad a töegpontnak az ütközés szepontjából lényeges összes tulajdonságáról: a vektor által eghatározott hiperbola vagy hiperboloid és az -tengely etszéspontja egadja a részecske töegét; a vektor -tengelyhez képesti eredeksége pedig a részecske sebességét. Különösen vonzó tulaj- 54 FIZIKI SZML 0 /
donsága az ilyen diagraoknak az, hogy például egy töegpontrendszer teljes energiáját és teljes ipulzusát egyetlen lépésben láthatóvá lehet tenni: csupán eg kell szerkeszteni az egyes energia-ipulzus vektorok vektori összegét, és leolvasni az összegvektor függôleges, illetve vízszintes koponenseit. z alábbiakban azt tekinte át, hogyan olvasható le egyetlen pillantással ind a rugalatlan, ind a rugalas ütközések szinte valaennyi fontos adata az energia-ipulzus diagraokról. Ütközések z ütközésekkel kapcsolatos szápéldákban általában adottak az ütközésben résztvevô töegek és kezdeti sebességeik; a diákoknak ezután az a feladatuk, hogy kiszáítsák a) az ütközéskor keletkezett egyetlen test töegét és sebességét (tökéletesen rugalatlan ütközés esetén, ait az egyszerûség kedvéért röviden rugalatlan ütközésnek fogok nevezni) b) az ütközô töegpontok végsebességét (rugalas ütközés esetén) Rugalatlan ütközés két töegpont között z. ábra egy olyan rugalatlan ütközés energiaipulzus diagraját utatja, aelyben egy és egy töegû részecske vesz részt. töegek és a sebességek a következôk: = [a.u.], = [a.u.], v =, v = 0,6. z ütközés során a két töegpont összetapad egyetlen, töegû (továbbra is pontszerûnek tekintett) testté, aely v sebességgel indul tovább. z összetapadt test energia-ipulzus vektora a két ütközô töegpont energia-ipulzus vektorának összege. Ha felírjuk és egoldjuk az energiaegaradás és az ipulzusegaradás egyenletét, az = 3,536 [a.u.] és v = száértékeket kapjuk. ár az. ábráról ne látszanak ilyen sok tizedesjegyre a fenti száértékek, de azért az ütközés teljes sztorija leolvasható belôle, ráadásul kvantitatív válaszokat kapunk inden lényeges kérdésre: indháro test töegét látjuk, ha leolvassuk, hol etszi az -tengely a egfelelô hiperbolákat; a háro töegpont sebességét a egfelelô energia-ipulzus vektor ( -tengelyhez képesti) eredeksége utatja; energiájukat és ipulzusukat pedig ugyanezen a vektorok függôleges, illetve vízszintes koponense. z ütközés kienetele, így és v értéke is egyértelûen eghatározott. rugalatlan ütközések szokásos, algebrai tárgyalásakor ezt a tényt általában úgy agyarázzuk, hogy két iseretlen eghatározásához éppen két független egyenlet (az energiaegaradás és az ipulzusegaradás) áll rendelkezésünkre. Ha azonban az. ábrához hasonló energiaipulzus diagraot használunk, a egoldás egyértelûségének oka triviálisan látszik: az összetapadt testet az ábrán egy olyan vektor képviseli, aelyet két vektor összegeként kaptunk, és terészetesen ennek az összegvektornak ind hossza (azaz ), ind iránya (azaz v ) egyértelûen eghatározott. rugalatlan ütközések során a végállapot, azaz a keletkezett test töege és v sebességvektora a térbeli dienziók száától függetlenül indig egyértelû. lgebrai tárgyalásód esetén ezt úgy agyarázzuk, hogy a dienziószá növelésekor ailyen értékben növekszik az iseretlenek száa (azaz v koponenseinek száa), ugyanolyan értékben növekszik a független egyenletek száa is (indig egy-egy újabb koponensegyenlethez jutunk az ipulzusvektor egaradásából). Így az iseretlenek száa indig egegyezik a független egyenletek száával. z energia-ipulzus diagraos tárgyalásódban isét egyszerûbb az érvelés: a keletkezett test energia-ipulzus vektorát két energia-ipulzus vektor összegeként kapjuk, tehát hossza (azaz ) és iránya (ai v koponenseit adja) egyértelûen eghatározott. z. ábra töegpontok összetapadására, fúziójára nyújt példát. z ilyen kölcsönhatások egyik legfontosabb jellezôje a töegnövekedés: > +, hiszen a kezdeti ozgási energia egy része az új test nyugali energiájának töegének növelésére fordítódott. z ábra ezt a jelenséget is közvetlenül utatja, sôt az ( + ) töegnövekedés értéke is szászerûen leolvasható. töegnövekedés értéke annál kisebb, inél inkább közelítenek a függôlegeshez az. ábra energia-ipulzus vektorai, azaz inél kisebbek az ütközésben elôforduló sebességek. (Teljesen függôleges vektorok álló töegpontok összekobinálása az -tengely entén zajlik, ilyenkor a tengely lineáris kalibrálása iatt triviálisan teljesül a töegegaradás: az összetapadt test töege egyenlô a két kiin-. ábra. gydienziós rugalatlan ütközés. 3 0 p FIZIK TNÍTÁS 55
dulási töeg összegével.) z. ábra alapján így érthetô például az is, hogy bár a középiskolában rugalatlan ütközési típuspéldaként tárgyalt ballisztikus inga esetében is van töegnövekedés a lövedék kezdeti ozgási energiájának hôvé (a zsák-lövedék rendszer belsô energiájává) alakuló része valóban egnöveli a rendszer töegét, azt a töegnövekedést teljes joggal hanyagoltuk el. z. ábrán beutatott rugalatlan ütközést idôben visszafelé is lejátszhatjuk, ez olyan jelenségek tárgyalásához vezet inket, int a aghasadás, vagy egy boba felrobbanása darabokra stb. Terészetesen ilyen esetekben is az. ábrához hasonló diagraot kapunk; ekkor azonban a töegdefektus lesz leolvasható az ábráról. 3 0. ábra. gydienziós rugalas ütközés. gy dienziós rugalas ütközés két töegpont között Tekintsünk ost egy rugalas ütközést ugyanolyan kezdôfeltételekkel, int az. ábrán. Feladat: eghatározni a két töegpont v és v végsebességét, iután visszapattantak egyásról. z energia-ipulzus diagra nyelvére fordítva ez azt jelenti, hogy két olyan energia-ipulzus vektort keresünk, aelyek kielégítik az alábbi feltételeket:. összegük ugyanazt az energia-ipulzus vektort kell adja, int az kiindulási két energia-ipulzus vektor összege (azaz összegük a pontba kell hogy utasson);. a két keresett vektor végpontja az, illetve jelzésû hiperbolára kell utasson, hiszen az ütközés után az eredeti két töegpont halad tovább. probléa egyszerûen egoldható a következô geoetriai ódszerrel (. ábra): a pontból, int origóból, rajzoljuk fel az hiperbolát fejtetôn. z az invertált hiperbola (aelyet a. ábrán felirattal jelölte) az hiperbolát két pontban etszi. Mindkét etszéspont teljesíti a fenti feltételeket; ráadásul csak ez a két etszéspont ilyen. két etszéspont fizikai jelentése: ezek képviselik azokat az állapotokat, aelyeket ebben a kölcsönhatásban az töegû töegpont felvehet. gyikük (a. ábrán -vel jelölt pont) az ütközés elôtti állapotát jelzi; a ásikuk (az ábrán -vel jelölt pont) ugyanezen töegpont ütközés utáni energia-ipulzus vektorát adja. Mint az ábrán látszik, a vektorösszeadás paralelograa-szabályát alkalazva egyszerûen egrajzolható ezek után az töegû töegpont ütközés utáni energia-ipulzus vektora is (ezt jelzi az ábrán). Isét az ütközés teljes történetét egtudjuk egyetlen ábrából: az összes sebesség-, energia- és ipulzusadat, ind ütközés elôtt, ind ütközés után, kvantitatíven látszik az ábrán. ( keresett két végsebesség, v és v például a végsô energia-ipulzus vektorok eredeksége.) gy dienziós rugalas ütközés esetén v -ra és v -re egyértelû egoldást kapunk. sakúgy, int a rugalatlan ütközéseknél, algebrai okoskodással ezt úgy agyarázzuk, hogy az iseretlenek és a független egyenletek száa egegyezik: két egyenlet (energiaegaradás és ipulzusegaradás) két iseretlenre.. ábra energia-ipulzus diagraja azonban a sztorinak ezt a részét is elsô pillantásra eleséli : ha két hiperbola etszi egyást, pontosan két etszéspontjuk van. z egyik etszéspont a töegpontok kiindulási állapotának felel eg. ásik egyértelûen eghatározza a töegpontok ütközés utáni állapotát. Két dienziós rugalas ütközés két töegpont között z elôzô gondolatenet egyszerûen általánosítható olyan ütközésekre, aelyek két térbeli dienzióban zajlanak. z energia-ipulzus diagra háro dienziós ábrává alakul, aelyben az ütközô töegpontokat ne egy-egy hiperbola, hane egy-egy forgási hiperboloid jelképez, int az a (3) és (4) egyenletekbôl leolvasható. 3.a ábrán egy ilyen diagra látható, ugyanazokra a kezdôfeltételekre, int az. és. ábrák. ( töegpontok ütközés elôtt az x -tengely entén ozogtak.). ábra agától értetôdô általánosításaként ost az hiperboloidot rajzoljuk fel fejtetôn (isét a pontot origónak tekintve). nnek az invertált hiperboloidnak (aelyet az ábrán felirat jelöl) és az hiperboloidnak etszésgörbéje adja azon energia-ipulzus vektorok végpontjait, aelyekkel az töegpont ebben a kölcsönhatásban rendelkezhet. Két dienziós rugalas ütközéseknél végtelen sok végállapot lehetséges. zt algebrai úton úgy szoktuk agyarázni, hogy négy iseretlenünk van (a v és v végsebességek x- és y-koponensei), viszont eghatározásukhoz csak háro független egyenlet áll rendelkezésünkre (az energiaegaradás, illetve az ipulzusegaradás indkét koponensre). z energia-ipulzus diagrara azonban isét elég egyetlen pillantást vetnünk, hogy szeléletes agya- p 56 FIZIKI SZML 0 /
a) b) c) p p p p 3 p p p 3. ábra. Kétdienziós rugalas ütközés. p rázatot kapjunk a lehetséges végállapotok végtelen száára: a két hiperboloid folytonos görbe entén etszi egyást (ne csupán két pontban, int az egy dienziós esetben, lásd. ábra), és a etszetgörbe inden pontja egy-egy lehetséges egoldást ad. 3.b ábrán a két hiperboloid etszetgörbéje, egy egdöntött ellipszis látható. z ábrán szereplô és energia-ipulzus vektorok a két töegpontnak csupán egy ütközés utáni konfigurációját jelenítik eg a végtelen sok lehetséges esetbôl. (Éppen azt az esetet, aikor az töegpont a negatív y irányban ozog az ütközés után.) z ábrán láthatók az -val és -vel jelölt, ütközés elôtti energia-ipulzus vektorok is. etszetgörbét levetítve a (, ) síkba egy újabb ellipszist kapunk, ez a 3.b ábra szaggatott görbéje. 3.c ábra részletesebben utatja ezt a (, ) síkba levetített ellipszist. p alsó indexszel jelölt pontok ind a 3.b ábra egfelelô pontjainak levetítései a (, ) síkba. ( p pont egy újabb lehetséges végállapotot utat, aely ne szerepelt a 3.b ábrán.) z a fajta részleges ipulzus-diagra is hasznos lehet pedagógiai szepontból. Ha az origót összekötjük az ellipszis bárely pontjával, az töegpont egy lehetséges ipulzusvektorát kapjuk, az abból az ellipszispontból p -be húzott vektor pedig az az ipulzusvektor, aellyel ugyanekkor az töegpont rendelkezik. rendszer teljes ipulzusvektora inde kobinációra az p vektor. (z illusztráció kedvéért az ábrán kis körökkel feltüntette az ellipszis két fókuszpontját is.) Speciális esetek Kétdienziós ütközés két azonos töegpont között, aelyek közül az egyik nyugaloban van kétdienziós ütközések gyakran tárgyalt speciális esete, aikor két azonos töegû részecske ütközik össze (azaz = ), és egyikük az ütközés elôtt nyugaloban van. newtoni echanikából könnyen levezethetô ezen ütközéstípusnak az az érdekes tulajdonsága, hogy ütközés után a két töegpont ozgása egyásra erôleges. Ipulzus-diagraok segítségével szépen illusztrálható, hogy ez az eredény csak kis kezdôsebességeknél érvényes. 4. ábra ilyen ütközésekre utatja az ipulzusdiagraokat, a következô paraéterek ellett: = = [a.u.], és v = 0,9, és 0, (ilyen sorrendben az a), b) és c) ábrákon). 3.c ábrához hasonlóan és a relativisztikus tárgyalásnál indig itt is indenütt egy-egy ellipszis írja le az ütközés utáni lehetséges állapotokat. (z ellipszisek fókuszpontjait isét kis körök jelzik az ábrán.) bben a speciális esetben azonban és p (a teljes ipulzusvektor kezdôpontja és végpontja) ne ás, int az adott ellipszis nagytengelyének két végpontja. 4. ábrán a teljes ipulzust vastag vonallal húzott vízszintes vektor ábrázolja; a két töegpont ütközés utáni ipulzusainak néhány FIZIK TNÍTÁS 57
a) b) c) 0, 0,0 0, 0, 0, 0,0 4. ábra. Kétdienziós rugalas ütközés két azonos töegû részecske között, aelyek közül az egyik nyugaloban volt. lehetséges konfigurációját pedig pontozott vonalú vektorok jelzik. 4.a ábrá ból látható, hogy nagy kezdôsebességnél az ütközés utáni ipulzusvektorok egyással bezárt szöge jelentôsen eltérhet a 90 -tól. hogy közelítünk a klasszikus esethez (azaz ahogy v csökken), az ütközés utáni ipulzusok relatív helyzete egyre inkább közelít a erôlegeshez: csökkenô v ellett ugyanis az ellipszis excentricitása csökken, a diagra pedig egyre inkább körhöz kezd hasonlítani. Newtoni közelítésben a diagra pontosan kör, aelynek p az átérôje; így bárely lehetséges ipulzus-konfiguráció egy kör átérôje fölé húzott két szoszédos húrnak felel eg, aelyekrôl Thalész tételébôl tudjuk, hogy erôlegesek. 4. ábráról az is leolvasható, hogy a teljes ipulzus v newtoni képlete ennyiben tér el a helyes relativisztikus eredénytôl, és hogyan közelíti eg azt kis sebességeknél. teljes ipulzus, azaz az és p pontok közötti távolság, a 4.a, 4.b és 4.c ábrán,06, 8 és 0,0 értékûnek adódik. egfelelô newtoni száértékek: 0,90, 0 és 0,0. p p p opton-szórás két dienziósként tárgyalható ütközések egy ásik speciális esete a opton-szórás: itt egy foton ütközik egy nyugaloban levô elektronnal. foton energiájának egy része átadódik az elektronnak, így az ozgásba lendül valailyen irányban, íg aga a foton egy ásik irányba szóródik. nergiavesztesége abban nyilvánul eg, hogy hulláhossza eltolódik (nagyobb hulláhosszak felé). Fotonra p = 0, tehát a fotonokat az energiaipulzus diagraon egy kúpfelület reprezentálja (lásd a ph -val jelölt kúpot az 5.a ábrán). Fontos egjegyezni, hogy a téridôbeli Minkowski-diagraok jól isert fénykúpjaival ellentétben az 5.a ábrán szereplô kúp az összes fotont jelképezi, aelyek az (x, y) síkban bárikor, bárhol ozognak. fotonok nulla töegû részecskék, ez a tulajdonságuk azonnal látszik az 5.a ábrán, hiszen a kúp olyan elfajult hiperboloidnak tekinthetô, aely az -tengelyt = 0-ban etszi. z elektront az jelû hiperboloid jelképezi. z egyszerûség kedvéért az ebben a példában elôforduló összes töeg-, energia- és ipulzusértéket az elektrontöeg egységeiben (u.e.., units of electron ass ) fejeze ki, azaz például = [u.e..]. bejövô fotonról feltesszük, hogy a pozitív x -tengely entén ozog, = = [u.e..] energiával. lehetséges végállapotok egtalálásának geoetriai ódszere hasonló a 3.a ábrán szereplô eljáráshoz. lôször eghatározzuk a rendszer teljes energiaipulzus vektorát (jelen paraétereinkkel ennek -koponensére,5, -koponensére pedig adódik). vektor csúcsát a pont jelzi az 5.a ábrán. -bôl ezután egrajzoljuk a foton-kúpot fejjel lefelé (ezt ph jelöli az ábrán). z hiperboloid és a ph invertált kúp etszetgörbéje utatja az elektron lehetséges végállapotait a kölcsönhatás után. z 5.b ábrán a etszetgörbe látható (aely isét egy egdôlt ellipszis). Ugyanezen az ábrán az és pontok a foton és az elektron kezdeti energia-ipulzus vektorát jelölik, az és pontok pedig a foton és az elektron egy lehetséges végállapot-konfigurációját. 3.b ábrához hasonlóan a etszet-ellipszist ezután levetíthetjük a (, ) síkra. levetített ellipszist az 5.c ábra utatja. zen az ellipszisen két feltûnô sajátosság figyelhetô eg a 3.c ábrához képest (aely egy általánosabb ütközést írt le két töegpont között):. a nagytengely bal oldali végpontja az origóban van;. a p pont, vagyis a pont levetítése az ellipszis jobb oldali fókuszpontjába esik. z 5.c ábrán a p és a p pontok két lehetséges végállapotot jelölnek. Ha az origót összekötjük az ellipszis bárely pontjával, az elektron egy lehetséges ipulzusvektorát kapjuk, az abból az ellipszispontból p -be húzott vektor pedig a szóródott foton egfelelô ipulzusvektorát. z elektron és foton egyáshoz viszonyított lehetséges ozgásirányai tehát azonnal lát- 58 FIZIKI SZML 0 /
ph ph a) szanak az ábrából. foton különleges részecske: ipulzusvektorának hossza egyben egadja energiájának száértékét is. (Mint arról az alábbiakban ég szó lesz, az ellipszis pontos alakja függ a bejövô foton energiájától. Ugyanakkor a fotonenergiától függetlenül inden opton-ellipszis rendelkezik a fent felsorolt két geoetriai sajátossággal.) opton-szórás néhány kvalitatív jellezôje közvetlenül leolvasható az 5.c ábráról:. a szóródott fotonoknak feltétlenül kisebb az energiája (azaz nagyobb a hulláhossza), int a bejövô fotonnak;. a szórási szög növekedésével csökken a szóródott foton energiája, iniális energiája (azaz axiális hulláhossza) a hátrafelé szóródott fotonnak van. Folytassuk az 5.c ábrán szereplô opton-ellipszis elezését. hhez egy kis száolásra is szükségünk van. lôször határozzuk eg az ellipszis egyenletét. z hiperboloid egyenlete = p x p y, (5) a ph invertált kúpé pedig = p y. (6) z (5) és (6) egyenletek jobb oldalát egyenlôvé téve, és a kapott összefüggést átrendezve egkapjuk a etszetellipszis (, ) síkba levetített képe, azaz a opton-ellipszis az egyenletét: a p y =, a b (7) ahol a fél nagytengelyre b) a fél kistengelyre pedig a =, (8) c) b = (9) p adódik. fókusztávolság: 0, p 0, 0, p Q p f = a b = p. (0) (8) (0) összefüggéseket felhasználva az ellipszis e excentricitására és Π paraéterére a következô egyszerû képleteket kapjuk: p e f a =, () 5. ábra. opton-szórás. Π b a =. () FIZIK TNÍTÁS 59
z e excentricitás azt fejezi ki, hogy ellipszis alakja ennyire tér el a körtôl (ha e 0, az ellipszisbôl kör lesz, a két fókuszpont pedig egybeesik a kör középpontjával). () egyenletbôl ezek után látható, hogy a opton-ellipszis excentricitásának fizikai tartala is van: ha a bejövô foton energiája sokkal kisebb, int az elektron töege (azaz / << ), az ellipszisbôl kör lesz, a szóródó foton lehetséges ipulzusvektorai pedig ezen kör a rádiuszai entén helyezkednek el (lásd 5.c ábra). Ilyen esetekben tehát a foton csak ozgási irányát változtatja eg, iközben energiája gyakorlatilag változatlan arad. z ellipszis egyenlete egy olyan polárkoordinátarendszerben veszi fel legegyszerûbb és legelegánsabb algebrai alakját, aelynek origója az egyik fókuszpontban van. z egyenlet ekkor az origóból húzott rádiuszvektor r hosszát adja eg a θ polárszög függvényében: r = Π e cosθ. (3) int az 5.c ábrából látszik, a opton-ellipszis esetében a Θ fotonszórási szöghöz tartozó rádiuszvektor hossza éppen az ehhez a szórási szöghöz tartozó fotonipulzus. Így a (3) egyenletet a opton-ellipszisre felírva, és e és Π értékét a () és () kifejezésekbôl behelyettesítve a = cosθ (4) összefüggés adódik. Helyettesítsük be a kölcsönhatás elôtti és utáni fotonipulzusra a = h λ és = h λ de roglie-összefüggéseket (ahol h a Planck-állandó), és szorozzuk be (4) indkét oldalát a jobb oldal nevezôjével. zzel adódik, azaz h λ cosθ = λ λ Δλ = h cosθ. λ (5) (6) opton-szórás jól isert hulláhossz-eltolódási képletét tehát integy a opton-ellipszis geoetriai tulajdonságaiból kaptuk eg, ne pedig a szokásos tisztán algebrai ódszerrel (aelyben felírjuk az energiaegaradás és az ipulzusegaradás egyenletrendszerét, ajd kiküszöböljük belôlük az elektron végsebességét és haladási irányszögét). z itt felvázolt levezetés ugyan ne feltétlenül egyszerûbb, int a tisztán algebrai ódszer, de valószínû, hogy sok diák száára vonzóbb és elegánsabb ez a fajta geoetriai okoskodás, annál is inkább, ert az elektron végsebessége és szóródási szöge fel se bukkan benne. Összefoglalva: az energia-ipulzus diagraok az algebrai tárgyalás kiegészítôjeként hasznos pedagógiai segédeszközt nyújthatnak különféle kölcsönhatások elezéséhez. diákok egyetlen ábrára rápillantva ellenôrizhetik a kölcsönhatás inden fontos fizikai sajátosságát, sôt a lényeges fizikai ennyiségek közelítô száértékét is leolvashatják róla. Irodalo.. J. Saletan: Minkowski diagras in oentu space.. J. Phys. 65/8 (997) 799 800.. lásd például:. F. Taylor, J.. Wheeler: Téridôfizika. Typotex, udapest, 006. 60 FIZIKI SZML 0 /