OPTIKAI ALAPISMEETEK HAJDE LEVENTE. Bevezetés Az optika a fény mint elektromos hullám különbözö közegekben való terjedésével, és különbözö fényhullámok kölcsönhatásaival foglalkozik. Ebben a rövid jegyzetben a képalkotáshoz szükséges optikai elemeket ismertetjük, melyeket az alábbiakban foglalhatunk össze: () Gömbtükrök (2) Vékonylencsék (3) Vastaglencsék 2. Fermat-elv A jegyzet nagy részében geometria optikát fogunk feltételezni, amely a Fermatelvre épül. Ez kimondja, hogy a fény egy tetszöleges A pontból úgy jut el egy másik B pontba, hogy megkeresi végtelen sok lehetségböl azt az utat (speciális esetben azokat az utakat), amelyik pontban (pontokban) a terjedési idö változása nulla. 2.. Fénytörés. Ennek az elvnek segítségével tudjuk például meghatározni a közeghatáron átmenö fény törésének összefüggését: adott két közeg, melyben a fény v és v 2 sebességgel terjed: X A(X,Y,0) v α P(X,0,Z) Y v 2 α 2 B(X,Y,0) 2 2 Date: 2007.0.0.
2 englishhajde LEVENTE Az általánosság sérelme nélkül feltehetjük, hogy A és B pontok a z 0 síkon vannak, a közeghatár pedig az y 0 síkra esik. Ennek megfelel en a két pontot az A X, Y, 0 és B X 2, Y 2, 0 koordinátákkal jelöljük, míg a közeghatáron a P X, 0, Z ponton megy át a fénysugár. A Fermat-elv alapján keressük azt az X és Z koordinátát, amely mentén a terjedési id változása zérus lesz. A terjedési id felírható: t AP v + P B v 2 A Fermat elv alapján a megoldás ott lesz, ahol igaz, hogy t X 0 t Z 0 Tudjuk, hogy AP (X X) 2 + Z 2 és P B (X X 2 ) 2 + Z 2. felírhatjuk t parciális deriváltját X szerint a következ képpen: Ezért X X t X (X X) + (X X 2) v AP v 2 P B 0 Mivel sin α AP és X X2 sin α P B 2, ezért a fenti összefüggésb l a híres Snellius-Descartes törvény adódik, miszerint: sin α v sin α 2 v 2 Vagy bevezetve az n c v ún. fénytörés fogalmát írhatjuk, hogy n sin α sin α 2 Adósak maradunk még a közeghatár harmadik koordinátájával. Ezt a második parciális derivált zérushelyéb l határozhatjuk meg: t Z Z v AP + Z v 2 P B 0 Ez pedig csak a Z 0 esetben lehetséges. Tehát kijelenthetjük, hogy a Fermat-elv alapján két különböz közegben lév pont között a fénysugár azt az utat választja, amelyik teljesíti egyrészt a Snellius- Descartes törvény, másrészt abban a síkban halad a sugár van, amelyet a két pont közeghatárra es vetületei határoznak meg. A kés bbiek számára hasznos, ha a fénytörést vektoros alakban is felírjuk. Ehhez tekintsük az alábbi ábrát (a közeghatár itt egy gömb próbál lenni) :
englishoptikai ALAPISMEETEK 3 t s 2 s α α 2 n Az ábrán két vektort vettünk fel: n jelöli a normálvektort abban a pontban, ahol a fénysugár eléri a határfelületet, t pedig ugyanabban a pontban a felületnek azt az érint vektorát, amelyik a fénysugár síkjában helyezkedik el. A fénysugarak (egységnyi hosszúságú) irányvektorát a térben jelölje s és s 2. A trigonometria alapján írhatjuk, hogy s cos α n + sin α t Megszorohatjuk ezt a kifejezést a közeghez tartozó n törésmutatóval: n s n cos α n + n sin α t és hasonlóan ehhez, a felület túloldalára felírhatjuk, hogy s 2 cos α 2 n + sin α 2 t. A Snellius-Descartes törvény alapján tudjuk, hogy n sin α sin α 2, ezért az összefüggést átírhatjuk: s 2 n s + ( cos α 2 n cos α )n 2.2. Visszaver dés. A fénytörésnél egyszer bben meghatározható a visszaver dés. Amennyiben egy közeghatáron a fény visszapattan, két pont között a legrövidebb utat igyekszik a fénysugár megtenni úgy, hogy a határfelületet is érintse. Ez pedig akkor teljesül, ha ugyanakkora szöget zár be a felület normálvektorával a bemen és a kisugárzott fény:
4 englishhajde LEVENTE s 2 t s α α n A szögfüggvények segítségével felírhatjuk, hogy s cos αn + sin αt. A visszaver dés miatt a mer leges irányú komponens el jelet vált, azaz s 2 cos αn + sin αt. Ezért írhatjuk, hogy s 2 s 2 cos αn 3. Fénysugarak viselkedése gömbfelületeken Amikor a mérnökök kamerákat terveznek, a legfontosabb céljuk, hogy a valós világ tárgyairól egy kétdimenziós lenyomatot készítsenek. Ez optikailag azt jelenti, hogy egy háromdimenziós pont által kibocsátott fénysugarakat egy sík adott pontjába szeretnénk leképezni. Ahogyan azt a továbbiakban látni fogjuk, erre a feladatra gömblencséket szakás alkalmazni. Bár geometrialiag a gömbfelületnél jobbat lehet találni (magasabbfokú felületek), de ezeket az elemeket csak nagyon nagy költségekkel képesek legyártani. A kritikus pont a precizitás, ami a magas költséget okozza. Mivel a látható fény hullámhossza pár száz nanométer, optikai megfontolások miatt a felület precizitásának 00 nm körül kell lennie. Bonyolult felületek esetén ez nehezen kivitelezhet. Gömbfelületet ellenben csiszolásos technikával nagyon egyszer en lehet készíteni, szigorú pontossági kritérium esetén is. Ebben a szakaszban megvizsgáljuk, hogyan viselkedik a fénysugár gömfelületeken. Konkrétan két esetet nézünk meg: mi történik, ha egy sugár göbtükrön, illetve gömbfelületekeb l képz d lencséken halad át. 3.. Fénysugár viselkedése gömbtükrön és gömb alakú közeghatáron. 3... Fénysugarak viselkedése általános esetben. Tekintsük az alábbi ábrát, ahol az s irányvektorral rendelkez fénysugár találkozik a C középponttal és sugárral
englishoptikai ALAPISMEETEK 5 jellemzett gömbfelülettel (Az ábrán fénytörés látható, némi fantáziával a visszaver dést is el tudjuk képzelni.): X s P y x n C s 2 Y A fénysugár a felülettel a P potban találkozik. Ennek a pontnak a koordinátáját kell el sz r meghatáronunk. A koordinátarendszert vegyük úgy fel, hogy a gömbsugár haladjon át az origón, érintve a z 0 síkot, a gömb középpontja pedig legyen C 0, 0, T. (Egy apró megjegyzés: a gömb sugarát negatívnak is feltételezhetjük, ebben az esetben a másik oldalon található a kör középpontja. Optikailag ez azt jelenti, hogy nem domború, hanem homorú felületr l van szó.) Ekkor P pontot így írhatjuk fel: P x, y, T 2 x 2 y 2 Az ábrán n-nel jelölt normálvektort pedig ki lehet fejezni P és C segítségével: n C P C P. Mivel C P, mindez koordinátákkal kifejezve így írható fel: n x, y, 2 x 2 y 2 A korábbiakban láttuk, hogy fénytörés esetén s 2 n s +( cos α 2 n cos α )n. Amennyiben a fénysugár két irányvektorának koordinátáit elnevezzüks s x, s y, s z T és s 2 s 2x, s 2y, s 2z alapján, az összefüggést felírhatjuk a következ képpen: T Z s 2x n s x + cos α 2 n cos α x s 2y n s y + cos α 2 n cos α y s 2z n s z + cos α 2 n cos α 2 x 2 y 2
6 englishhajde LEVENTE Ugyanezt meg lehet csinálni fényvisszaver désre is, ekkor az s 2 s 2 cos αn összefüggésbe kell a koordinátákat behelyettesíteni: s 2x s x + 2 cos α x s 2y s y + 2 cos α y s 2z s z + 2 cos α 2 x 2 y 2 Az optikai rendszerek vizsgálatának szempontjából még a sima terjedés is fontos szerepet tölt be. Ha egy közegben a belép fénysugár s s x, s y, s z T irányvektor mentén halad, az x x x, x y, x z T pontból az x 2 x 2x, x 2y, x 2z T pontba jut el a fény, ha igaz, hogy: x 2x 2 s x x 2y 2 s y x 2z 2 s z amennyiben 2 (x x 2 ) T (x x 2 ) a két pont távolsága. 3..2. Paraxiális közelítés. Ezzel tulajdonképpen levezettük a törés és a visszaver dés egyenleteit. Amennyiben egy megadott pontból, megadott irányvektor mentén haladó fénysugarat szeretnénk követni, s fenti összefüggések és némi gerometriai ismeret (a sugár/felületek metszéspontjának meghatározásához) segítségével követni tudjuk az egyes pontokat. A fenti összefüggésnek azonban van egy egyszer sítése, amelynek segítségével lineáris problémává tudjuk az egyébként sokkal komplikátabb problémát transzformálni. Ehhez els rend közelítést kell alkalmazni. Tudjuk, hogy kis szögek esetén igaz, hogy sin α α, természetesen a szöget radiánban kell megadni. Snellius-Descartes törvénye ekkor egyszer södik: n α α 2 Kis szögek esetén az is igaz, hogy cos α. A fenti, fénytörést leíró egyenletek mindezek hatására így módosulnak: s 2x n s x + n x s 2y n s y + n y s 2z n s z + n 2 x 2 y 2 A tükröz dést összefüggéseit hasonlóan egyszer síthetjük: s 2x s x + 2 x s 2y s y + 2 y
englishoptikai ALAPISMEETEK 7 s 2z s z + 2 2 x 2 y 2 Az azonos közegben való terjedést is módosíthatjuk. írhatjuk át a korábban leírt összefüggéseket: Ebben az esetben így x 2x x x + D 2 s x x 2y x y + D 2 s y x 2z x z + D 2 ahol D 2 x 2z x z. Mindez akkor igaz, ha (x 2x x x ) (x 2z x z ) és (x 2y x y ) (x 2z x z ), azaz ha a fénysugár nagyon közel van az optikai tengelyhez. Paraxiális közelítés esetén ezt nyugodtan feltehetjük. Nagyon fontos megjegyzés: az ábrákon a fénysugár szemszögéb l nézve homorú felületekkel dolgozunk. Ha ugyanolyan sugarú, de homorú felületekkel dolgozunk, akkor a felület normálvektora megváltozik: az els két koordináta el jelet vált, a harmadik koordináta azonban nem változik. Ez a törés és a visszever dés szempontjából nagyon hasznos, hiszen a paraxiális összefüggésekben (is) az sugártól a terjedési irányvektornak csak ez els két koordinátája függ. Ha homorú felületnél negatívnak képzeljük el a sugarat, akkor az összefüggések egy az egyben igazak maradnak. Ezt ki is fogjuk használni a kés bbiekben. 3..3. Szabad terjedés + közeghatár. Az optikai rendszereket az alapvet optikai elemek, azaz a felülethatárok és a tükrök összeállításával készítik. Ebben a szakaszban megvizsgáljuk, hogyan kell egy képet elhelyezni, hogy valódi leképzést valósítsunk meg. Els ként a gömbfelületet vizsgáljuk meg: adott tehát egy fénysugár, amely az x x x, x y, x z T pontból indul s s x, s y, s z T irányban. El ször D 2 távolságra megy az n törésmutatóval rendelkez közegen a fénysugár, ahol tör felülettel találkozik, és értelemszer en megtörik a felületen. Majd újabb közegen halad át, aminek a törésmutatója. Az els felületen átmegy a hullám, és megérkezik az x 2 x 2x, x 2y, x 2z T ponthoz, ahol az új koordinátákat így lehet felírni: x 2x x x + D 2 s x x 2y x y + D 2 s y x 2z x z + D 2 Ezek után megtörik, és az irányvektorok így változnak meg: s 2x n s x + n s 2y n s y + n s 2z n s z + n x 2x x 2y 2 x 2 2x x2 2y
8 englishhajde LEVENTE Végül az x 2 x 2x, x 2y, x 2z T pontba érkezik a fénysugár, ha ez a pont D 23 távolságra van a közeghatártól: x 3x x 2x + D 23 s 2x x 3y x 2y + D 23 s 2y x 3z x 2z + D 23 A teljes folyamatot az els felülett l a harmadikig összefoglalható három sorban: x 3x x 3y ( ) ( ) n n n D 23 x x + D 2 + D 23 D 2 D 23 s x ( ) ( ) n n n D 23 x y + D 2 + D 23 D 2 D 23 s y x 3z x 2z + D 2 + D 23 Jól látszik, hogy az els két sor, azaz az x 3x és x 3y teljesen független egymástól. Ez nem is meglep, hiszen a fényterjedésben csak a harmadik tengely kitüntetett, az els kett egyenrangú egymással. Miután levezettük az összefüggéseket, tekintsük át a leképezés problémáját. Adott a háromdimenziós terünk, amelyr l fényképet szeretnénk készíteni. Ez azt jelenti, hogy azt szeretnénk, ha a tér egy adott pontjából kiinduló összes fénysugár egy megadott pontba érkezzen. A fenti összefüggésre úgy lehet ezt lefordítani, hogy a kiinduló fény irányvektorától független legyen a beérkezés helye. Tehát az s x együtthatójának nullának kell lennie (és s y együtthatójának is, de az ugyanabban az esetben teljesül): D 2 + D 23 n D 2 D 23 n 0 Átalakítva a következ összefüggést kapjuk: + n n D 23 D 2 Azaz, ha a képet a gömb alakú tör felülett l D 2 távolságra helyezzük, a képet D 23 távolságra kapjuk meg, ha teljesítik a fenti összefüggést. 3.2. Lencsék optikai m ködése. Ismételjük át a visszever dést a korábbiak alapján. Az összefüggések a felületre alkalmazva: s 2x s x + 2 x 2x s 2y s y + 2 x 2y Mindez összevonva: s 2z s z + 2 2 x 2 y 2
englishoptikai ALAPISMEETEK 9 x 3x x 3y ( + 2 D 23 ( + 2 D 23 A leképzés akkor teljesül, ha ) ( x x + D 2 + D 23 + 2 D 2D 23 ) ( x y + D 2 + D 23 + 2 D 2D 23 ) s x ) s y D 2 + D 23 + 2 D 2D 23 0 Ez átalakítva kapjuk a leképezést szemléletesen leíró összefüggést: + 2 D 2 D 23 Jól látszik, hogy a jobb oldalon negatív érték szerepel. Ez azt jelenti, hogy ha D 2 pozitív értéket vesz fel, D 23 negtív lesz. Ez nem meglep, hiszen tükröz désr l van szó. 3.3. Mátrixos formalizmus. Most már ismerjük a lencsék leképez képességét. Érdemes még egy aspektusból megvizsgálni a fényterjedést, annak érdekében, hogy több lencsén keresztül meg tudjuk vizsgálni az áthaladást. Ehhez meg kell ismernünk a mátrixos formalizmust. Adott tehát egy képpontból kiinduló sugár, ameltre pl. törés esetén a már korábban levezetett összefüggést alkalmazhatjuk: és s 2x n s x + n x x x 2x x x Mivel a fény haladási irányára mer leges irányok egyenrangúak, most csak az x tengely irányát vizsgáljuk, az y tengelyre vonatkozó összefüggések értelemszer en teljesen hasonlóan írhatóak fel. Mátrix alakban a törést így írhatjuk, bevezetve az u i n i s ix, x T i és v i n i s iy, y T i vektort: u 2 s x x 2 n 0 s x x n 0 Az egyszer ség kedvéért szokás a n2 n hányadost P -vel jelölni. Tükröz dés esetén az összefüggés így néz ki: u Beszorozva n-nel: s 2x s x + 2 x 2x Mindez mátrixos alakban is felírható: ns 2x ns x + 2n x 2x
0 englishhajde LEVENTE 2n/ u 2 0 Egyszer, akadálymentes fényterjedés összefüggése : u Mátrixos alakban: x 2x D 2 s x + x x u 2 0 D 2 n A fényterjedést tehát leírhatjuk mátrixos alakban. Az is nyílvánvaló, hogy több közeghatár/tör felület/terjed közeg vizsgálatát is meg tudjuk ejteni, hiszen a mátrixszorzásnak megfelel en a fényutakat leíró mátrixokat össze kell szorozni, és máris megkaptuk a fénysugár terjedése sok-sok közegen át. Ennek segítségével most vizsgáljuk meg valódi lencsék viselkedését! n 2 n Megjegyzés: a törés esetén a mátrixot szokás a β n2 n ún 0 β tör er jelöléssel egyszer bb alakban is írhatjuk: 0 2. Megjegyzés: az összes mátrix determinánsa, ezért szorzatuk determinánsa is. 3.3.. Általános paraxiális leképez rendszer. Az általános leképzés egy 2 2-es mátrix segítségével elvégezhet : M M 2 T M 2 M 22 feltéve, hogy det(t ), hiszen minden leképzésnek egy a determinánsa. Ha azt szeretnénk, hogy leképzést valósítsunk meg, akkor a kiinduló sugár szögét l függetlennek kell lennie a beérkezés helyének. Ez akkor valósul meg, ha M 2 0. Ebben az esetben a determináns összefüggése miatt az is igaz, hogy M /M 22. 3.3.2. Vastag lencse. Lencsék alatt egy üvegdarabot kell érteni, amelyik két gömbfelületb l jön létre. Az általános felépítés lencse, melyet vastag lecsének is szokás hívni, két tör felületet tartalmaz, az egyiken a leveg -b l az üvegfelületre törik a fény, majd az üvegb l vissza. A két felület között is a lencse vastagságának megfelel en halad a fénysugár. A körülvev közeg törésmutatóját n -gyel, az üvegét -vel jelöljük. A teljes optikai rendszer tehát a következ 5 összetev b l állítható össze, mely 5 mátrix segítségével írható le: () Eljut a leveg ben a tárgyról els lencsefelületig: 0 (2) Megtörik a lencsén n 2 n 0 D t n u β 0
englishoptikai ALAPISMEETEK (3) A lencsében eljut a második felületig 0 D l (4) Megtörik újra, és kijut újra a leveg re n 2 β 2 0 0 (5) Eljut a képig a fénysugár 0 D k n Ahol D l a lencse vastagságát jelöli, D k és D t pedig a kép, illetve a tárgytávolságot. El ször is vizsgáljuk meg a 2-4 szakaszokat. A fényterjedést a három megfelel mátrix szorzata adja meg: T vastag β 0 0 D l β 2 0 + β D l D l n n β β 2 D l β β 2 D + β l n 3.3.3. Vékony lencse. A vékony lencsét azért nevezik vékonynak, mert a két gömbfelület közötti rész olyan vékony, hogy szinte nullának tekinthet. Ebben az esetben a transzformáció (2-4. lépésekben): T vkony β β 2 0 Mindez átfordítva irányvektorokra és poziciókra kapjuk, hogy n s 2 s 2 + (β β 2 )x x 2 x Az utóbbi összefüggés (miszerint a pontok x koordinátái megegyeznek) nem meglep : a lencse annyira vékony, hogy nincs ideje a fénysugárnak haladni. vastag lencsénél ez az összefüggés nem áll fenn természetesen. Azonban vastag lencse esetén is megmutatható, hogy ebben az esetben is létre tudunk hozni olyan (hipotetikus) képsíkokat, amelyek között egységnyi a nagyítás. Ezt a következ kben vizsgáljuk meg: 3.4. Konjugált síkok. El ször vezessük be a konjugált síkok fogalmát. Konjugált síkoknak nevezzük azokat a képsík-tárgysík párosokat, amelyek esetében minden egyes tárgysíktól kiinduló összes sugár a képsík egy pontjába érkezik. Legyen adott egy tetsz leges számú projektív rendszer, amelyet 2 2-es, determinánsú mátrixszal írhatunk le: M M 2 M M 2 M 22 det(m), ezért M M 22 M 2 M 2.
2 englishhajde LEVENTE n α Jelöljük a tárgysík egy p pontjáról kiinduló sugarat: p x α 2 megfelel pontját a leképezés után p 2. Tudjuk, hogy α 2 x 2 x 2 M M 2 M 2 M 22 n α x és a képsík Ahhoz, hogy a p pontnak megfelel x koordinátáról induló összes sugár beérkezzen a képen az x 2 koordinátára, attól függetlenül, hogy milyen szögben indul ki a sugár, az M 2 együtthatónak nullának kell lennie. Ebben az esetben a determináns kritériuma miatt igaz, hogy Tehát a leképzést így írhatjuk le: M M M 22 M M 2 0 M 3.5. F síkok. Még érdekesebb összefüggést kapunk, ha megvizsgáljuk, hogy létezike olyan síkpár, amely úgy viszi át a fénysugarakat, mintha vékony lencse lenne. Megint vegyünk egy tetsz leges leképez rendszert: Ehhez tegyünk hozzá egy eltolást a lencse elé és a lencse után: 0 M M 2 0 M D 2 M 2 M 22 D n Továbbra is igaz, hogy M M 22 M 2 M 2 0. A beszorzásokat elvégezve: M D M + M 2 2 n 2 M 2 M 2 + D2 M + D n M 22 + DD2 D n M 2 M 22 + M 2 n β Ha a vékony lencséhez hasonló átvitelt ( ) szeretnénk biztosítani, igaznak kell lennie a megfelel elemekre az alábbi 0 összefüggéseknek: M + M 2 D 2 És ebb l már adódik, hogy M 22 + M 2 D n D 2 M 2 ( M ) D n M 2 ( M 22 ) Ha ez igaz, behelyettesítéssel meggy z dhetünk róla, hogy a bal alsó elem akkor lesz nulla, azaz ha
englishoptikai ALAPISMEETEK 3 M 2 + D 2 M + D M 22 + D D 2 M 2 0 n n Ebb l fejezzük ki az M 2 -t: M 2 n ( M 2 + D 2 M + D ) M 22 D D 2 n Az M 2 elem az ered mátrix bal fels eleme, ezért az optikai rendszer tör ere. Mindebb l azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az M, M 2, M 2 és M 22 paraméterekkel leírható optikai rendszerben találunk olyan két síkot, amelyik pontosan úgy viselkedik, mint egy vékony lencse. Ennek segítségével le tudunk írni egy tetsz leges optikai rendszert. 4. Projektív rendszerek felépítése Ahogyan azt már beláttuk, a gömlencsékb l (és -tükrökb l) készített optikai rendszerben találhatunk olyan síkot, amelynél ugyanúgy viselkedik, mint egy vékony lencse. Tehát az alábbi mátrixszal írható le az optikai rendszer: β T 0 Keressük meg azt a két síkot, amellyek egymásnak konjugáltjai, azaz a tárgysík minden egyes pontjából induló összes sugár a kép egy pontjába érkezik. Írjuk fel az ered mátrixot: T 0 D k β 0 0 D t n D t n + D k β D k β D kd t n β β Dt n Ez pedig akkor lesz leképez rendszer, ha a mátrix bal alsó elem zérus: D t + D k β D kd t 0 n n Ez pedig az alábbi lépéseken keresztül alakítható át (el ször D t D k -val osztunk, majd pedig n -vel szorzunk): + β D t n D k n n + β D t D k Ez a lencsetervezés egy fontos egyenlete: a tör er és a két törésmutató segítségével írja le, hogy hova kell a tárgyat, illetve a képsíkot tenni ahhoz, hogy leképezés valósuljon meg. Fontos észrevétel, hogy abban az esetben, ha a végtelenben van a tárgy, az egyenlet szerint (D t helyettesítéssel a megfelel tört elt nik): illetve D k helyettesítéssel: D k β D t n β
4 englishhajde LEVENTE Az n β n2 és β törteket szokás a tárgy- illetve képoldali fókusztávolságnak hívni, és f-fel jelölni: f t n β és f k n2 β. A végtelenben lev pontok (magasságtól függetlenül) átmennek a fókuszponton. Ezt a állítás be kell látnunk: ehhez vegyük el ismét a mátrixos formalizmus segítségével felírt leképzést: T 0 β 0 β Dt n 0 D k D t n D k + Dt n β D kd t n β β D k Azt már tudjuk, hogy a bal alsó elem zérus. Ahhoz, hogy a végtelenb l érkez pontok a fókuszpontba fussanak, szükséges, hogy a jobb alsó elem is zérus legyen: Ez pedig akkor teljesül, ha β D k 0 D k β f k Ezzel visszakaptuk a fókusztávolság denícióját, azaz a fókuszpontba valóban a végtelenb l jöv sugár befut. A végtelenb l érkez sugarak párhuzamosak az optikai tengellyel. A végtelenb l érkez sugarak megrajzolásával tetsz leges tárgysík leképzését meg tudjuk rajzolni: y t y t y t M y k y k y k Dt Dk f t f A fenti ábrából (hasonló háromszögek alapján) az alábbi aránypárt tudjuk felállítani: Mivel D k f k, írhatjuk: D t f t y t f t y k D t y t f t y k
englishoptikai ALAPISMEETEK 5 Ebb l pedig kifejezhetjük a képmagasságot: y k f t D t y t Ez pedig a projekció alapegyenlete. Egy egyszer arányosságot ír fel a leképzésre. Ez az összefüggés leírja paraxiális közelítésben a projekciót. 5. A projektív leképzést zavaró aberrációk 5.. Geometria aberrációk. Az el z fejezetben megmutattuk, hogy paraxiális közelítés esetén projektív leképezést kapunk, ha gömfelületekb l rakunk össze optikai rendszereket. A paraxiális közlelítés azt jelentette, hogy a gömbök sugara nagy, és a tárgy messze van az optikai leképz rendszert l. Ebben az esetben azt mondtuk, hogy a sin α α közelítés jól alkalmazható. Ahogyan az várható, ez a közelítés sok esetben nem elegend. A közelítést l való eltérést nevezik a projektív rendszer aberrációjának. Az aberrációkat általában valós sugárvezetéssel (ray-tracing) szokták megvizsgálni a megfelel szoftverek segítségével, hiszen a gyártási hibából ered aberrációktól eltekintve meg tudjuk a megtervezett rendszerünket vizsgálni. Ett l függetlenül analitikusan is meg szokás az aberrációkat vizsgálni. Ehhez harmadrend közelítést szokás alkalmazni, azaz a szinusz függvény sorfejtéséb l az els és a második tagot veszik el : sin α x x3 3! Itt a megfelel egyenleteket levezetés nélkül közöljük. Így kapjuk az ún. Coddington-Taylor egyenleteket: y A ρ cos θ+a 2 h+b ρ 3 cos θ+b 2 ρ 2 h(2+cos 2θ)+(3B 3 +B 4 )ρh 2 cos θ+b 5 h 3 +... x A ρ sin θ + B ρ 3 sin θ + B 2 ρ 2 h siθ + (B 3 + B 4 )ρh 2 sin θ +... A :defókusz A 2 :nagyítás
6 englishhajde LEVENTE B :nyíláshiba (szférikus aberráció) B 2 : kóma B 3 : asztigmatizmus B 4 : Petzvál-féle képmez hajlás B 5 : torzítás A torzítások különböz foltokat alkotnak a képsíkon. Az egyes foltok jellegzetes alakjait az alábbi ábrán látszik: 5.2. Kromatikus aberráció. A gömbfelületek alakjából ered aberrációkon túl az egyik legfontosabb aberráció a kromatikus aberráció. Eddig azt feltételeztük, hogy a fény színe (azaz a frekvenciája) nem befolyásolja a fény terjedését. Ez a valóságban nem igaz: sajnos a törésmutató kis mértékben függ a sugár frekvenciától. Ezt nem is lehet kiküszöböni, annyit lehet csinálni, hogy a szétfutó sugarakat párhuzamozzá tesszük. 5.3. Fényelhajlás (dirakció). A geometriai optikában a fény homogén közegben sugárként képzelhet el. A valóságban ez nem így van, a fény képes elhajlani. Tipikus eset a résen való áthaladás. A fényelhajlás fényképez gépek és kamerák esetén is fellép, konkrétan a rekesz alkot egy rést, amelyiken elhajlik a fény.