A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem találkoztunk e feladattal kivéve egy - két ipari szakkönyvet amilyen [ 1 ] is. A tárgyalás mozgásgeometriai alapokról indul ahogyan az a közönséges vagyis az egyenes körhengerre írt csavarvonalnál is megszokott. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Az 1. ábrán azt láthatjuk hogy egy KC egyenest ω szögsebességgel megforgatunk az OC tengely körül miközben egy pont a KC egyenes mentén haladó mozgást végez v sebes - séggel. A feladat: a mozgó pont által befutott térgörbe pálya megadása. Feltételek: v = konst. ω = konst. Az 1. ábra a t = időpillanatbeli képet mutatja. A helyzetet úgy is jellemezhetjük mintha a KOC derékszögű háromszög alakú vonalzót az OC befogója körül egyenletesen for - gatnánk miközben a KC átfogója mentén egy hangya egyenletesen haladna a vonalzó - hoz képest. Forgása közben a vonalzó egy OK = r alapkör - sugarú OC = h magasságú α félnyílásszögű egyenes körkúpot ír le. Az egyidejűleg forgó és haladó mozgást is végző K pont ( a hangya ) pályájának részle - tesebb leírásához tekintsük a. ábrát is! Eszerint: t u v. u v t Ámde az egyenletes forgó mozgásnál tanultak szerint: ( ) T ( 1 )
így ( 1 ) és ( ) szerint:. ábra vt l u v ( 3 ) T ahol bevezettük az l v T ( 4 ) képlettel értelmezett hosszat is. Jelentése: a hangya ekkora utat tesz meg az alkotó mentén amíg az egyszer éppen körbefordul a z tengely körül; ez a menetmagasság. A. ábra szerint: r( ) r usin ; ( 5 ) most ( 3 ) és ( 5 ) - tel: lsin r( ) r. ( 6 ) A ( 6 ) egyenlet az archimédeszi spirális egyenlete polárkoordinátákban. A K pont derékszögű koordinátái a. ábra szerint:
3 xk r( ) cos yk r( ) sin zk u( ) cos. ( 7 ) Most ( 3 ) ( 6 ) és ( 7 ) - tel a K indexet most már elhagyva: lsin x( ) r cos lsin y( ) r sin lcos z( ). ( 8 ) A ( 8 ) egyenletrendszer írja le a K pont ( a hangya ) mozgását a térben azaz a nyugvó ( O x y z ) koordináta - rendszerben. Ez az egyik kúpos csavarvonal paraméteres egyenletrendszere ahol φ a paraméter. Az α = speciális esetben előáll a közönséges csavarvonal ismert paraméteres egyenlet - rendszere: x *( ) r cos y*( ) r sin ( 9 ) l z*( ). Most taglaljuk tovább az eddigi eredményeket [ 1 ] alapján! A térgörbének a koordiná - ta - síkokra vett vetületei az alábbiak. Az ( x y ) síkra vett vetület egyenletei ( 8 ) - ból: lsin x( ) r cos lsin y( ) r sin z. ( 1 )
A csavarvonal eléri a kúp C ( x = y = ) csúcsát ha r ( φ ) = ; ( 1 ) szerint ekkor r l sin. Egy ilyen esetben ábrázoltuk ( 1 ) képét a 3. ábrán a Graph szoftver segítségével. 4 ( 11 ) 1 y 1 8 6 4 x -1-1 -8-6 -4-4 6 8 1 1 14 16 18 - -4-6 -8-1 3. ábra Hasonló módon a térgörbe ( x z ) síkra vett vetületéhez: lsin x( ) r cos y lcos z( ). ( 1 )
5 A harmadik egyenletből φ - t kifejezve: z (z) l cos majd ezt az elsőbe helyettesítve: l sin z x(z) r z cos r z tg cos z lcos lcos lcos z x(z) r z tgcos. lcos ( 13 ) ( 14 ) A ( 14 ) függvény grafikonja a 4. ábrán szemlélhető. 1 x f(x)=(1-x)*cos(sqrt()*pi*x) 1 8 6 4 z -4-4 6 8 1 1 14 16 18 4 - -4-6 -8 4. ábra Hasonló módon a térgörbe ( y z ) síkra vett vetületéhez:
6 x( ) lsin y( ) r sin lcos z( ). ( 15 ) A második egyenletbe téve ( 13 ) - at: l sin z y(z) r z sin r z tg sin z lcos lcos lcos z y(z) r ztgsin. lcos A ( 16 ) függvény grafikonja az 5. ábrán szemlélhető. ( 16 ) y 1 8 6 f(x)=(1-x)*sin(sqrt()*pi*x) 4-6 -4-4 6 8 1 1 14 16 18 z - -4-6 -8-1 5. ábra
A 4. és 5. ábrák készítéséhez felhasználtuk hogy a kúp magassága: 7 r h. tg ( 17 ) A csavarvonal piros merőleges axonometrikus képe a 6. ábrán szemlélhető. za y' 1 1 8 6 4 x' -18-16 -14-1 -1-8 -6-4 - Oa 4 6 8 1 1 14 16 18 - -4-6 xa -8-1 ya -1-14 6. ábra Itt: ~ ( O a x a y a z a ): az ( O x y z ) térbeli koordináta - rendszer vetülete az axono - metrikus képsíkon vagyis az orthogonális / merőleges axonometrikus tengelykereszt; ~ ( O a x y ): az axonometrikus képsíkon felvett derékszögű tengelykereszt. A 6. ábrán a zöld színű egyenes: a csavarvonal kezdő érintőjének képe. A 7. ábrán a csavarvonal felső végének kinagyított képét szemlélhetjük.
8 za y' 8.35 8.3 8.5 8. 8.15 8.1 8.5 8 7.95 7.9 7.85 7.8 7. ábra A tört vagy egész menetek száma ( 11 ) - ből: r lsin innen: n r h tg h lsin lsin lcos n. ( 18 ) Az utolsó öt ábra esetében ez az érték: n = 7716781. Most határozzuk meg kúpos csavarvonalunk β menetemelkedési szögét 8. ábra! Eszerint:
9 8. ábra dz dz dz dz d tg rd dr dr dr dr d r d r r d d d dz d tg. dr r d ( 19 ) A ( 19 ) - ben előforduló tagok és tényezők: ~ ( 8 / 3 ) - ból:
1 dz d lcos lcos d d ; ( ) ~ ( 6 ) - ból: dr d lsin lsin r ; d d ~ ( 6 ) és ( 1 ) - gyel: dr lsin lsin r r ; d ( 1 ) ( ) ~ ( 19 ) ( ) ( ) - vel: dz lcos d tg dr lsin lsin r r d r lsin lsin lcos lcos tg ( ). r lsin lsin ( 3 ) ( 3 ) - ból kiolvasható hogy a csavarvonal érintőjének a vízszintes síkkíl bezárt β szöge nem állandó hanem a pálya mentén változó mennyiség. Azonos átalakításokkal ( 3 ) - ból ( 11 ) - gyel is: lcos lcos tg ( ) r r lsin lsin lsin 1 l sin l sin 1 1 tg 1
11 1 1 tg ( ) ; tg 1 innen: 1 1 ( ) arctg. tg 1 A kúp C csúcsánál így ( 4 ) - ből: 1 tgc ctg tg9 tg így C 9. Ehhez ld. a 7. ábrát is! ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) Közönséges csavarvonal esetén α = így ( 3 ) - ból az ismert tg l r formula adódik. A korábbi görbék adataival a ( 5 ) függvény képe a 9. ábrán látható. Látjuk hogy a változás erőteljes. A függvény viselkedését környezetében a 1. ábra szemlélteti erősen kinagyítva. Megjegyzés: Könnyű kimutatni v.ö. 8. ábra! hogy a most vizsgált csavarmozgást végző K pont abszolút sebességének nagyságára fennáll hogy: ( 7 ) ds d dr dz V r dt dt dt dt ( 8 ) majd pedig ( 6 ) ( 8 / 3 ) és ( 8 ) szerint: V r lsin l. ( 9 ) Azonos átalakításokkal ( 9 ) és ( 11 ) - gyel kapjuk:
1 π/5 béta ( rad ) 7π/ 3π/1 f(x)=atan((1+(44.488938-x)^)^(-1/)) π/4 π/5 3π/ π/1 π/ fi ( rad ) 5 1 15 5 3 35 4 45 -π/ -π/1 9. ábra 1. ábra
13 l V 1 sin ; ( 3 ) most ( ) ( 4 ) és ( 3 ) - cal: v T V T 1 sin v 1 sin ( 31 ) V v 1 sin. Az utóbbi képletekből kiolvasható hogy a hangya abszolút sebességének nagysága a pálya mentén változó. Speciális esetek: ~ K = K : ( 31 ) - ből kapjuk hogy r r VK v 1 sin v 1 sin v 1 lsin l r r v 1 v v r vt T VK v r ( 3 ) ahogyan azt a szemlélet alapján is vártuk. ~ K = C : ( 31 ) - ből kapjuk hogy V v C ( 33 ) ahogyan azt a szemlélet alapján is vártuk v. ö. ( 6 )! A V / v arány alakulását a φ paraméter függvényében a 11. ábra szemlélteti az előző ábrák adataival.
14 4 V / v 35 f(x)=(1+.5*(44.488938-x)^)^(1/) 3 5 15 1 5 fi ( rad ) -5 5 1 15 5 3 35 4 45 5-5 11. ábra Látjuk hogy az abszolút sebesség nagysága monoton csökken a ( 3 ) szerinti maximu - máról a ( 33 ) szerinti minimumára. Most foglaljuk még össze az időfüggvényeket! ~ ( 1 ) és ( 5 ) szerint: r(t) r u(t) sin r vtsin r vsin t r(t) r vsin t. ( 34 ) ~ ( 14 ) szerint: (t) t. ( 35 )
15 ~ ( 1 ) és ( 7 / 3 ) szerint: z(t) u(t) cos vtcos vcos t z(t) vcos t. ( 36 ) Látjuk hogy ennél a kúpra írt csavarvonalnál az ( r φ z ) mennyiségek az idő lineáris függvényei állandó v és ω mellett. A pályamenti sebesség nagysága ( 33 ) és ( 35 ) szerint: V(t) v 1 t sin. ( 37 ) Ez nem állandó de még csak nem is lineáris függvénye az időnek ahogyan az a 11. ábra szemlélete alapján első pillantásra gondolható lenne. A mozgás időtartama: t feltételből: ~ a t ; ~ az r(t ) feltételből ( 34 ) - gyel: r vsin t innen: r v sin t ; ~ a z(t ) h feltételből ( 36 ) - tal: h vcos t innen: h t. v cos ( 38 ) ( 39 ) ( 4 ) A ( 38 ) ( 39 ) ( 4 ) képletek egymásból is levezethetők és ugyanazt az idő - értéket szolgáltatják. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk.
16 Irodalom: [ 1 ] S. B. Kantorowitsch: Chemiemaschinen VEB Verlag Technik Berlin 197. Sződliget 11. szeptember 1. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár