Csavarokról és rokon témákról

Átírás

1 Csavarokról és rokon témákról A Gépészeti alapismeretek tantárgy tanítása / tanulása során megbeszéljük a csavarvonal és a csavarmenet származtatását, például mozgásgeometriai alapon. Azonban ez talán még kevés, egy amúgy térgeometriai alapokkal már rendelkező, érdeklődő középiskolás tanulónak. Most egyebek mellett összeállítjuk néány fontos és egyszerűbb csavarmenet - felület matematikai megadásának egyenleteit. Ebben lényegesen támaszkodunk a szakirodalomra. A felsoroltak közül [ ] ajánlató szakközépiskolásoknak is. A közönséges csavarvonal és vetületei Az egyenes körengerre írt, más néven: közönséges csavarvonal egy térgörbe, melynek származtatása az alábbi [ 2 ]. Ha egy P pont úgy mozog, ogy a t egyenessel páruzamos eltolódása a t tengely körüli elfordulás szögével arányos és mindig ugyanolyan irányú, akkor a P pont pályája: közönséges csavarvonal. ábra. Az imént leírt mozgás: a csavarmozgás, amely ezek szerint egy állandó szögsebességű forgómozgás, és egy a kör síkjára merőleges egyenes vonalú egyenletes aladó mozgás eredője. Ha a aladó mozgás v t sebességvektora és a forgómozgás ω t szögsebesség - vektora egyállásúak, akkor a csavarmozgás jobbos, ellenkező esetben balos. Ennek megfelelően a mozgó P pont jobbmenetű, illetve balmenetű csavarvonalat ír le. A definíció matematikai leírása:. ábra s p, ( ) aol: ~ s: a P pont t tengely menti eltolódása; ~ φ: a P pont t tengely körüli elfordulási szöge; ~ p: arányossági tényező.

2 2 A közönséges csavarvonal egyenletét egy ( Oxyz ) derékszögű koordináta - rendszerben írjuk fel 2. ábra. 2. ábra Legyen a csavarvonal tengelye a z tengely, az x tengely aladjon át a csavarvonal K kezdőpontján, és legyen R az OK szakasz ossza! Az egyenletek független változója a φ szögelfordulás lesz, függő változói pedig a csavarvonalat leíró P pont ( x, y, z ) P merőleges vetületei. A 2. ábra alapján, ( ) - gyel is: x( ) R cos, y( ) R sin, ( 2 ) z( ) p. A ( 2 ) egyenlet szerinti koordinátákat tekintetjük az r OP elyvektor koordinátáinak, így a megfelelő ( i, j, k ) egységvektorokkal: r( ) x( ) i y( ) j z( ) k, ( 3 ) majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal: r( ) R cos i R sin j p k. ( 4 )A ( 4 ) egyenlet: a közönséges csavarvonal vektoregyenlete. A p paraméterre fennáll, ogy p, 2 aol: : a menetmagasság, amellyel ( ) és ( 5 ) szerint: s( 2 ) z( 2 ) p2 2, 2 ( 5 ) ( 6 )

3 vagyis ( 6 ) szerint a menetmagasság: a φ = 2π szögelfordulásoz tartozó eltolódás. Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: r( ) R cos i Rsin j k. ( 7 ) 2 A csavarvonal ( 7 ) egyenlete alapján mondatjuk, ogy a csavarvonal geometriai paraméterei: ~ R: az alapkör sugara, ~ : a menetmagasság. Az eddigiek alapján könnyen felíratjuk a csavarvonalnak a koordináta - síkokra vett vetületi görbéinek egyenleteit is. Az ( xy ) - síkra vett vetület ( felülnézet ): 3 r xy ( ) R cos i R sin j, ( 8 ) vagyis x( ) R cos, ( 8 / ) y( ) R sin, ami egy R sugarú kör egyenlete, iszen négyzetre emeléssel és összeadással: x 2 y 2 R 2 cos 2 sin 2 R 2. ( 9 ) Az ( yz ) - síkra vett vetület ( elölnézet ): ryz ( ) R sin j k, ( 0 ) 2 vagyis y( ) R sin, z( ). 2 Hogy ez milyen síkgörbének felel meg, azt kiküszöböléssel állapítjuk meg: ( 0 / ) 2 z, ( 0 / 2 ) amit ( 0 / ) első képletébe elyettesítve: 2 y(z) R sin z. Teát a csavarvonal elölnézete szinuszgörbe. Az ( xz ) - síkra vett vetület ( oldalnézet ): 2 ( ) rxz ( ) R cos i k, ( 2 )

4 4 vagyis a fentiekez asonlóan: x( ) Rcos, z( ). 2 Innen kiküszöböléssel: 2 x(z) R cos z. Teát a csavarvonal oldalnézete koszinuszgörbe. ( 2 / ) ( 3 ) A csavarokról A csavarok melyek fizikailag mint kötőelemek, gépelemek, stb. jelennek meg olyan testek, vagy azok részei, melyek atároló felületei között csavarfelületek is szerepelnek. A csavarfelületek adott vonal csavarmozgásából származtatott felületek. Egyes csavarok mozgásgeometriai származtatása: ~ laposmenetű csavar: egy derékszögű négyszög csavarmozgásából származik; ~ élesmenetű csavar: egy egyenlőszárú áromszög csavarmozgásából származik lásd 3. ábra! A téglalap, illetve a áromszög által súrolt térrész a csavarmenet. 3. ábra A 4. ábrán már nemcsak a csavarorsók, anem a csavaranyák felületei is szemléletők.

5 5 4. ábra Az ábrák szerint e csavarokat csavar ~ és engerfelület - darabok atárolják. A csavarfelület definíciójának megfelel a enger is: a csavarmozgást végző vonal ekkor a enger egyenes alkotója, amely a csavar tengelyével páruzamos elyzetű. A minket érdeklő esetek nem ennyire egyszerűek: a két legfontosabb csavarfelület esetén a csavarmozgást végző vonal az alkotó egy egyenes, amely valamilyen szögben metszi a csavartengelyt. Ennek megfelelően beszélünk: ~ laposmenetű egyenes vonalú csavarfelületekről derékszögű a metsződés, és ~ élesmenetű egyenes vonalú csavarfelületekről nem derékszögű a metsződés. Mindkettő gyakorlatilag is nagyon fontos, a gépészet, az építészet, stb. számára is. A lapos - és az élesmenetű csavarfelületek leírása Eez tekintsük az 5. ábrát! Itt a csavartengellyel ε egyesszöget bezáró egyenes alkotó egy b osszúságú szakaszát rajzoltuk meg, a 0 és az elyzetekben. A csavarfelület tetszőleges P pontját az u és φ változókkal adjuk meg, aol: b u b, ( 4 ) 0 2. A P élesmenetű csavarfelületi pont koordinátái az 5. ábra szerint: x(u, ) usin cos, y(u, ) usin sin, z(u, ) ucos. 2 ( 5 ) A P laposmenetű csavarfelületi pont koordinátái, az

6 6 5. ábra, b R ( 6 ) 2 specializációval ( 5 ) - ből: x(u, ) ucos, y(u, ) usin, z(u, ). 2 Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Érdekes leet még néány további, könnyen megkapató eredmény tanulmányozása is. Ezek: a t = z tengelyű csavarfelület ~ meridiánmetszete, melyre φ = φ = konst., ~ normálmetszete / keresztmetszete, melyre z = z = konst. A meridiánmetszetek az 5. ábráról közvetlenül leolvasatóan 2b osszúságú egyenes szakaszok; az ábrán ennek csak a fele lett megrajzolva. A vetületi egyenesek egyenleteinek a felírását az Olvasóra bízzuk, mindkét felületre. A normálmetszetek egyenletéez: ( 5 ) armadik egyenletéből, z = z - gyel: z u cos, 2 innen: ( 7 )

7 7 u z ; cos 2 ( 8 ) továbbá ( 5 ) első egyenletével: sin x(u, ) u sin cos z cos, cos 2 azaz: x(u, ) tg z cos ; 2 asonlóképpen ( 5 ) második egyenletével: sin y(u, ) u sin sin z sin, cos 2 azaz: y(u, ) tg z sin. 2 Most bevezetjük az r ( ) r(z, ) tg z 2 képlettel értelmezett vezérsugarat; ezzel ( 9 ) és ( 2 ) így alakul: x ( ) r ( ) cos ; y ( ) r ( ) sin. A ( 22 ) képlet a metszeti síkgörbe polárkoordinátás és derékszögű koordinátás egyenletei közti átszámítást tartalmazza, így a metszeti görbe polárkoordinátás kifejezése, ( 2 ) - ből: ( 9 ) ( 20 ) ( 2 ) ( 22 ) 2 r ( ) tg z tg z tg, 2 2 ( 23 ) 2 aol bevezettük a z 2 ( 24 ) jelölést is. Tovább alakítjuk ( 23 ) - at, a k tg, 2 ( 25 ) * újabb jelölések bevezetésével. Most ( 23 ) és ( 25 ) - tel:

8 8 r ( *) k *. ( 26 ) A ( 26 ) képlet az Arkimédész - féle spirális polárkoordinátás kifejezése [ 5 ]; ezek szerint a laposmenetű csavarfelület keresztmetszeti görbéje egy Arkimédész - féle spirális. Most nézzük meg, ogyan alakul a keresztmetszeti görbe ( 6 ) esetén! ( 7 ) armadik egyenletéből: z, innen: 2 z 2. ( a ) Majd ( 7 ) első két egyenletével is: z x (u) ucos ucos 2, z ( b ) y (u) usin usin 2 ; Képezve az utóbbiak ányadosát: y z tg 2, x ( c ) vagyis: z y (x ) tg 2 x. ( d ) Ez egyenes egyenlete, vagyis a spirális egyenessé fajul el ( 6 ) fennállása esetén. Összefoglalva: ~ a laposmenetű ( zárt ) csavarfelület meridiánmetszetei és keresztmetszetei is egyenesek: a felület alkotói; ~ az élesmenetű ( zárt ) csavarfelület meridiánmetszetei egyenesek, keresztmetszetei pedig Arkimédész - féle spirálisok. Az eddigiekben talált síkgörbék kör, szinuszullám, koszinuszullám, spirális szemléltetéséez 6., 7., 8., 9. ábra az alábbi adatokat vettük fel: R = 3 cm; = 2cm ; ε = 45 ; z = 0. ( Az egyeneseket nem szemléltetjük. ) Az ábrák a Grap függvényrajzoló program paraméteres és polárfüggvény függvénytípusai alkalmazásával készültek.

9 9 y x x(t)=3*cos(t), y(t)=3*sin(t) ábra 3.5 z y x(t)=3*sin(t), y(t)=t/pi ábra

10 0 z x x(t)=3*cos(t), y(t)=t/pi ábra y r(t)=t/pi 0.2 x ábra

11 Meridiánkör - csavarfelület leírása Ez a felület akkor keletkezik, a az alkotókör síkja tartalmazza a csavartengelyt. Egy ilyen felület egyenleteinek felírásáoz tekintsük a 0. ábrát! 0. ábra A meridiánkör egy P 0 pontjának koordinátái a 0. ábrán 0 u : x(u) R rcos u, y(u) 0, z(u) rsin u. ( 27 ) A φ szöggel elforgatott és ezzel egyidejűleg s úton eltolt meridiánkör, illetve az általa súrolt csavarfelület P pontjának koordinátái: x(u, ) R rcos ucos, y(u, ) R rcos u sin, z(u, ) rsin u. 2 ( 28 )

12 2 A ( 28 ) egyenletek leetnek például egy csigalépcső feletti félkörboltozat felületének egyenletei. Egy másik leetséges felületfajta a zsinórmeneté, melynek profilja a. ábrán szemlélető.. ábra Megjegyezzük, ogy = 0 esetén a ( 28 ) - ból kapott forgásfelület neve: körgyűrűfelület ( tórusz; a 0. ábra esetében a gyűrű osszában meg lett felezve ). Ezzel a feladatot megoldottuk. Javasoljuk, ogy az Olvasó írja fel a zsinórmenet felületének egyenleteit, az előzőek alapján. Irodalom: [ ] Karl Lictensteiner: Műszaki ábrázoló geometria B+V Lap és Könyvkiadó Kft., Budapest, 994 [ 2 ] Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 995. [ 3 ] Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 974. [ 4 ] Romsauer Lajos Ábrázoló geometria Franklin - Társulat, Budapest, 929. [ 5 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban Sződliget, 200. december 2. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár