ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2."

Átírás

1 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 3. feladat (2013/14. tavasz) Ábrázolja egy 3,60 m szintkülönbség áthidalására szolgáló, orsótér nélküli, 2,00 m átmérőjű csavarhengeren belüli csigalépcső (jobbra csavarodó, zárt, laposmenetű torzcsavarfelület 18 fellépéssel és 1,5 fordulattal) felület axonometrikus képét ábrázolja madárvetületben (qz=1/2). Szerkessze meg a felület alkotóit láthatóság szerint, a kontúrgörbét, valamint alkalmasan választott fénysugárral az összes árnyékát! 1

2 A szerkesztés lépései 1. Csavarfelület alkotóinak megszerkesztése a. A megfelelő axonometrikus rendszer felvétele után tekintsük az O középpontú, 5 cm sugarú kört, amely a csavarfelület merőleges vetülete. Osszuk fel az alapon fekvő kört 12 egyenlő részre. A másfél fordulathoz tartozó magasság az axonometrikus képen 9 cm-nek látszik. A 18 db lépcsőfok miatt a z tengelyt 0,5 cm-enként kell felosztani. b. A csavarfelület alkotói az [x,y] koordinátasíkkal párhuzamosak, vetületük az alapon lévő kör sugarai. Ennek figyelembevételével szerkesszük meg az alkotókat, végpontjaikat 0-tól 18-ig elnevezve. A végpontokat összekötve a csavarfelület záró csavarvonalát kapjuk. (A továbbiakban amennyiben mást nem mondunk az adott sorszámú végponthoz tartozó alkotót a sorszám szerint nevezzük el, pl. 8-as alkotó.) 2. A csavarfelületre írható csavarvonalak iránykúpjainak közös csúcspontjának meghatározása a. Tekintsük azokat a felületre írható csavarvonalakat, melyek tengelye a csavarfelület tengelyével egybeesik. Belátható (a menetmagasság egyezése miatt), hogy ezen csavarvonalak iránykúpjait* tekintve, azok csúcspontja közös. Az alapkör minden esetben a felületre írt csavarvonal alapra eső merőleges vetületével egyezik meg. Emiatt elegendő egyetlen z tengelyű, a felületre írt csavarvonal iránykúpját (pontosabban annak csúcspontját) megszerkeszteni. (Magának a csavarfelületnek az iránykúpját ebben az esetben nem tudjuk értelmezni, mert ha az M-be eltoljuk az összes alkotó egyenesállását, síkot kapunk eredményül.) b. Fejtsük le a záró csavarvonal felét, amelyre most azért van szükségünk, hogy az iránykúpjának csúcspontjának magasságát meghatározzuk. Az alapkör félkerületét a 2 pontból kiindulva határozzuk meg: 2 -ben érintőt húzunk a körhöz. Az O középpontból 30 -kal elforgatjuk az O2 egyenest, amely az érintőt az A-ban metszi. Az A-ból az érintőre 3r hosszúságú szakaszt mérünk fel, melynek végpontja a B pont. A 8 B szakasz hossza megközelítőleg r π ( r 3,1415). Ezután mérjük fel a 8 B szakaszra az egyik végpontjából merőlegesen a menetmagasság felét, amelynek végpontja a C pont. A BC szakasz a lefejtett fél-csavarvonal valódi hossza. A 8 BC szög a csavarvonalhoz tartozó érintőegyenesek alappal bezárt szöge, azaz a csavarvonal emelkedési szöge (β). A B pontból az r sugarat felmérve, a kisebb háromszög másik befogója az iránykúp magassága (d). c. Mérjük fel a kapott d magasságot az O-ból a z tengelyre: M. (Ne felejtsük el, hogy a z tengely rövidülése 1/2.) d. Az iránykúp megadásával például a 7-es ponthoz tartozó felületi érintősík szerkeszthető. Az érintősíkot két felületi görbe feszíti fel. Egyik a pontbeli alkotó, a másik pedig a ponton áthaladó csavarvonal pontbeli érintője. A 7-es ponthoz a vízszintes helyzetű 7-es alkotó tartozik. Ez a helyzetéből adódóan az érintősík egy fővonala. A csavarvonal 7-beli érintőjének vetülete e 7. Az iránykúp tartalmazza az összes csavarvonalhoz tartozó érintő állását, az e 7 -vel párhuzamos az O4, melynek axonometrikus képe M4. M4 -vel párhuzamost húzva adódik a csavarvonal 7-beli érintőjének axonometrikus képe: e 7. Ennek nyompontja N 7, innen a nyomvonal már adódik (felhasználva, hogy ismerjük az érintősík egy fővonalát, a 7-es alkotót): n Kontúrgörbe meghatározása a. Elméleti háttér: adott iránnyal párhuzamos érintősíkok meghatározása. (Érdeklődőknek: a térbeli gondolatmentet lásd a dokumentum végén.) b. Az elméleti meggondolások alapján adott iránnyal párhuzamos érintősíkok érintési pontjai a következő algoritmussal kaphatók meg: I. Húzzunk párhuzamost az adott iránnyal a felületre írható (a felülettel közös tengelyű) csavarvonalak iránykúpjainak közös M csúcspontján keresztül. II. Ez a párhuzamos elmetszi az alapkör(ök) síkját egy N pontban. III. Forgassuk el az N pontot 90 -kal, a csavarfelület sodrásával megegyezően: N. IV. Írjunk Thalész-kört az ON szakasz fölé. Ez a kör tartalmazza az iránnyal párhuzamos érintősíkok érintési pontjainak vetületét. V. Válasszunk ki egy tetszőleges alkotót, amely metszi a most kapott kört egy K pontban. Az alkotóra felvetítve a K pontot adódik a keresett K pont. 2

3 c. Kontúr esetén az adott irány az axonometrikus vetítősugár iránya. Ezért az általános elvben található MN egyenes most vetítősugár, így lesz olyan pontja a kontúrgörbének, ahol annak érintőegyenese vetítőegyenes (az általános elvben az N-hez mint kontúrpont-vetülethez tartozó pontok). Emiatt csavarfelület axonometrikus kontúrja csúcspontokkal bír. (A kontúrgörbét tekintve, az iránykúp csúcspontjának axonometrikus képe az alapkörének axonometrikus képére esik. Az összeeső pontokhoz tartozó érintőállás axonometrikus vetítősugár, ehhez az érintőhöz tartozó görbepont a csúcspont.) d. Kövessük a 3.b. pontbeli algoritmust axonometrikus vetítősugár esetére: I. Az adott irány axonometrikus képe az M pont. II. A vetítősugár az [x,y]-t metszi egy pontban, melynek axonometrikus képe egybeesik M axonometrikus képével. (Az ábrán elnevezés nélkül.) III. A kapott pontot elforgatjuk 90 -kal az óramutató járásával ellentétesen. (Az ábrán a K pont.) IV. OK szakasz fölé Thalész-kört írunk. (Ez egyúttal a kontúrgörbe vetülete: k.) V. Tetszőleges alkotó ezt a kört a kontúrpontjának vetületében metszi. Például a 13-as alkotó vetülete K 13 -ben metszi, amelyből az alkotón a K 13 kontúrpont keletkezik. A kontúrgörbe csúcspontjainak vetülete a K pont, az alkotók közül 11-eshez tartozik ez a kontúrpont (K =K 13 ). e. A kontúrgörbe darabjai: K 0 -tól K 2 -ig, illetve K 8 -tól K 14 -ig, melyből a K 11 és K 14 közötti ív látszik. (Az ábrán a zsúfoltság elkerülése miatt nem szerepel minden pont elnevezése.) A többi alkotónál a kontúrpont a tengelyre illeszkedik. A kontúrpontok ismeretében az egyes alkotók látható részei kijelölhetőek, a felület láthatóság szerint megrajzolható. f. Megjegyzés: A kontúrgörbét úgy is megkaphatjuk, hogy elegendően sok alkotót megrajzolunk a felületből. Az alkotók axonometrikus képének burkológörbéje éppen a kontúrgörbe. 4. Önárnyékhatár-görbe meghatározása a. Tekintsünk egy fénysugárirányt, amelyet a tengely legmagasabb pontjában reprezentálunk: f, f. b. Önárnyékhatár-pontokat ott találunk, ahol az érintősík fénysík. Emiatt a 3.b.-beli, iránnyal párhuzamos érintősíkok érintési pontjainak megszerkesztésére szolgáló algoritmust itt is felhasználhatjuk. c. Jelen ábrában a fénysugár speciális, ugyanis az axonometrikus vetítősugár 90 -os elforgatottja. Innen következik, hogy az algoritmus lépéseit ki is hagyhatjuk, elegendő a k kört 90 -kal visszafelé forgatni, és megkapjuk az önárnyékhatár-görbe vetületét: ö. (Fontos! Más fénysugárirány esetében az algoritmus lépéseit végig kell szerkeszteni, mert tetszőleges fénysugárirány esetében az M vetülete, annak 90 -os elforgatottja nem ennyire speciális. Ráadásul az úgy keletkező Thalészkör sugara nyilvánvalóan különbözik a kontúrhoz tartozó Thalész-kör sugarától.) d. Az alkotók önárnyékhatár-pontjait a kontúrhoz hasonlóan kapjuk. Itt az önárnyékhatár-görbe nem tengelyre eső pontjai Ö 5 -től Ö 11 -ig és Ö 17 -től Ö 18 -ig tartanak. A csavarfelület helyzetéből adódóan most csupán az Ö 17 és Ö 18 közötti rész látható a önárnyékos felületdarabokból. e. Megjegyzés: Az önárnyékhatár pontjait hagyományos módon a vetett árnyékból is meghatározhatjuk. (Lásd a későbbi 5.d. pontot.) 5. Vetett árnyék megszerkesztése a. Az adott fénysugárirány mellett szerkesszük meg a 18 db alkotó vetett árnyékát. (A 0-s alkotó árnyéka önmaga.) b. A legkülső csavarvonal vetett árnyékát a 0 1 -től ig tartó ív adja. A csavarfelület tengelyének vetett árnyéka látszik azon a darabon, ahol más felületi alkotó nem takar rá. c. Vegyük észre, hogy bár a 17-es és 18-as alkotó között nem szerkesztettünk alkotókat, azonban a felület vetett árnyékára nyilvánvalóan hatással vannak. A vetett árnyékuk határa a (felületen lévő) önárnyékhatár-görbe segítségével határozható meg: a 17-es alkotó tengelypontjának vetett árnyékból indul, és az Ö 18,1 -ig tart. d. Az önárnyékhatár-görbéből megkaphatjuk meg a vetett árnyék határát, de az elv fordítva is működik. Amennyiben az összes alkotó vetett árnyékát meghatározzuk, azok burkológörbéje éppen az önárnyékhatár-görbe vetett árnyéka. (Innen a fénysugár irányával szállíthatjuk vissza a felületre az 3

4 önárnyékhatár pontjait.) Most azonban korábban már meghatároztuk az önárnyékhatár-görbét, ezért abból kiindulva szerkesszük meg annak vetett árnyékát, azaz az alkotók vetett árnyékainak burkológörbéjét (az ábrán a vetett árnyékon belül szaggatott vonallal jelezve). Ezen görbe pontjai például Ö 6,1 és Ö 8,1. 6. Rávetett árnyék meghatározása a. A rávetett árnyék meghatározásához szükségünk van az önárnyékhatár-görbe vetületére, ez indokolja annak megszerkesztését. b. A rávetett árnyékot két görbe határolja. Egyrészt a külső csavarvonal árnyékot vet a felületre, ez az egyik határoló görbe. Másrészt a felület bizonyos (még ismeretlen) pontjai, amelyek nem feltétlenül alkotó-végpontok, szintén árnyékot vetnek a csavarfelületre. c. A vetett árnyék alul lévő határoló görbéjét a földre vetett árnyékból olvashatjuk le: a 11-es ponttól a 13-asig tartó ív rávetett árnyékát keressük, ahol köszönhetően a fénysugár speciális voltának a 11-es árnyéka a tengelyre, a 13-as árnyéka éppen a 3-as végpontra esik. A két pont közötti (felületre rajzolható) íven nyugszik a 2-es alkotó egy pontja. A földre vetett árnyékon a 2-es alkotó vetett árnyéka metszi a külső csavarvonal vetett árnyékát egy P 1 pontban. Fénysugárral a 2-es alkotóra visszavetítve kapjuk az ív P * pontját. A 12-es pont rávetett árnyéka közelítőleg megkapható, ha megszerkesztjük annak a 2-es és 3-as közötti alkotónak a vetett árnyékát, amely a en átmegy. (A közelítő végeredmény az ábrán szerepel.) Ezzel a vetett árnyék alsó határát megkaptuk. d. A vetett árnyék felső határoló görbéjét pontonként szerkeszthetjük meg. A részletes elvet egy kiválasztott alkotón mutatjuk be legyen ez a 6-os alkotó. (Az ötlet elmélyítésére ellenpéldát is bemutatunk, amely alkotón nem találunk látható pontot vetett árnyékból.) A 6-os alkotót mint szakaszt tekintve, az három részre osztható: világosban fekvő rész, rávetett árnyékban lévő rész és önárnyékos rész. Tekintsük a 6-os földre vetett árnyékát. A világosban fekvő rész földre vetett árnyéka olyan tulajdonságú, hogy nincs olyan alkotó, melynek földre vetett árnyéka metszi azt. Ezek a pontok csakis az önárnyékhatár-görbe vetett árnyéka előtt lehetnek. A 6-os földre vetett árnyéka az önárnyékhatár földre vetett árnyékát (azaz az alkotók földre vetett árnyékának burkológörbéjét) a Q 1 -ben metszi. A világosban fekvő rész földre vetett árnyéka a 6 1 Q 1 szakasz. A rávetett árnyékban lévő rész földre vetett árnyéka a Q 1 Ö 6,1 szakasz. Ezen a szakaszdarabon a 6-tól magasabban fekvő alkotók vetett árnyéka metszi a 6-os vetett árnyékát. Ezek a metszéspontok árnyék-fedőpontpárok. A legkülső ilyen árnyék-fedőpontpár földre vetett árnyéka éppen a Q 1 pont. Ezért a Q 1 pontot fénysugáriránnyal visszavetítve a 6-os alkotóra a 6 1 pontot kapjuk, amely a rávetett árnyék határának egy pontja. A 6-os alkotó önárnyékos része az Ö 6 -tól az alkotó tengelypontjáig terjedő szakasz. Összefoglalva: a 6-os alkotó földre vetett árnyékán a sorrend: világos rész rávetett árnyékos rész önárnyékos rész. A 6 1 -től indulva az alábbi pontok földre vetett árnyékát találjuk: 6 1 -től Q 1 -ig a világos rész pontjai, Q 1 -ben kezdődik a rávetett árnyékos rész és az Ö 6 önárnyékhatár-pontig tart. A rávetett árnyéknál a sorrend: Q 1, 9-es, 8-as, majd 7-es alkotóval lévő árnyék-fedőpontpár, végül az Ö 6 pont. Ö 6 -tól a tengelyig az alkotó önárnyékban van. Az imént vázolt elvet végezzük el az 5-ös, 7-es és 8-as alkotókon is. Az 5-ös alkotóra éppen a 11-es alkotó tengelypontja vet árnyékot. Attól a ponttól tovább a tengely vet árnyékot az 5-ös alkotóra. A 7-es alkotó ugyanolyan általános helyzetűnek tekinthető, mint a 6-os. A 8-as alkotó az utolsó, ahol a pontok sorrendje: világos-rávetett-önárnyék. Itt a rávetett árnyék legkülső pontja éppen az Ö 8 önárnyékhatár-pont. (Ez a földre vetett árnyékból leolvasható, mert a 8-as vetett árnyéka pontosan Ö 8,1 -ben lép be az önárnyékos rész földre vetett árnyékába. Az Ö 8 -ban metszi egymást az önárnyékhatár-görbe és a rávetett árnyék görbéje.) Végül tekintsük ellenpéldaként a 10-es alkotót, amelyen nem találunk kijelölhető rávetett árnyékos részt. A földre vetett árnyékból leolvasható, hogy erre az alkotóra csak a 10-es és 11-es alkotók közötti felületdarab vethet árnyékot. A 6-os alkotónál bemutatott elvet követve a 10-esen lévő pontok sorrendje a földre vetett árnyékon a következő: es ponttól az önárnyékhatár földre vetett árnyékkal alkotott látszólagos(!) metszéspontig a 10-es alkotó biztosan fényes. Azonban ezután a metszéspont után az önárnyékhatár-pontjáig csak olyan alkotók metszik a 10-es vetett árnyékát, amelyek alacsonyabban vannak attól. Ezért egészen az önárnyékhatár-pontjáig világosban van a 10-es alkotó. Az önárnyékos részén belül találhatók a magasabban fekvő alkotókkal lévő árnyékfedőpontjai. Röviden: a 10-es alkotó esetén a világos rész után az önárnyék következik, végül pedig a rávetett árnyék. e. Az alsó és a felső határoló görbe megrajzolásával a rávetett árnyékot meghatároztuk. 4

5 Kiegészítés: Iránnyal párhuzamos érintősík meghatározása zárt, laposmenetű torzcsavarfelülethez Korábban már beláttuk, hogy felület pontbeli érintősíkját a ponthoz tartozó alkotó és a ponton áthaladó (a felület tengelyével egyező tengelyű) csavarvonal érintője feszíti fel. Egy tetszőleges alkotót kiválasztva az adott irányt figyelembe véve az érintősík meghatározott, azonban az érintési pont még ismeretlen. Mindig, amikor az M-en át az i-vel párhuzamos síkot állítunk, a síkok közös egyenese MN lesz. Ebből következik, hogy az összes ilyen sík n nyomvonala N-on megy át. Minden alkalommal 90 -kal azonos irányba forgatunk, ezért az n nyomvonalak forgatottjai, az e -k mindegyike átmegy N-en. (Vesd össze a csavarvonal érintőjénél található magyarázó ábrával.) Az alkotó a vetülete metszi az e -t egy K pontban, amely a keresett érintési pont vetülete. Az OK N derékszögű, ahol tetszőleges pont esetén az O és az N fix. Így a összes ilyen derékszögű háromszög csúcsa az ON fölé írt Thalész-körön van. Az ON-nél pedig az N pont éppen egy olyan csavarvonal érintője, ahol az érintőegyenes megegyezik az iránnyal, a többi esetben csak tartalmazza az adott irányt az érintősík. Ha minden kontúrpont vetülete ON átmérőjű körön van, akkor a kontúrpontok egy hengerre írhatóak. Ezen henger és a zárt, laposmenetű torzcsavarfelület áthatási görbéje pedig egy hengeres csavarvonal. *A precíz szóhasználatban az iránykúp és az aszimptotikus kúp elnevezések a legtöbb esetben mást jelentenek. Aszimptotikus kúpot egy- és kétköpenyű forgáshiperboloid esetén értelmeztünk, amely a megforgatott hiperbola aszimptotáinak megforgatásával keletkezik. Továbbá minden olyan esetben aszimptotikus jelzőt használunk, amennyiben végtelen távolban érintés tényére utalunk. Iránykúp (amennyiben az értelmezhető) alatt olyan kúpot értünk, melynek alkotói egy adott térgörbe vagy felület érintőegyeneseinek, illetve alkotóegyeneseinek állását gyűjtik össze. Segédfájlok: SketchUp-modell és videó Pék Johanna 5

Ferde kúp ellipszis metszete

Ferde kúp ellipszis metszete Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell

Részletesebben

Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1

Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Adott egy forgáshenger: t főegyenes tengelye két vetületi képével t: 0, 110,170-től jobb felső sarokig egy felületi pontjának második vetületi

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34.

MINTAFELADATOK. 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34. MINTAFELADATOK 1. feladat: Két síkidom metszése I.33.,I.34. 2. feladat: Testábrázolás képsíktranszformációval Gúla ábrázolása (a magasságvonalának transzformálásával) Adott az m egyenes, a ráilleszkedő

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Ábrázoló geometria 1.

Ábrázoló geometria 1. Ábrázoló geometria 1. keresztféléves gyakorlat 2014 tavasz Készítette: (A hiányzó feladatok megoldásai előadáson hangzottak el.) Ábrázoló geometria I. 2013-2014. tanév 2. félév 1. rajzfeladat Tusrajz,

Részletesebben

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január

Részletesebben

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról 1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA. Írta: Hajdu Endre

A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA. Írta: Hajdu Endre A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA Írta: Hajdu Endre Geometriai, kinematikai tankönyvekben gyakran találkozhatunk annak az AB szakasznak a példájával, melynek végpontjai egy derékszöget bezáró egyenes

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont. 1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E Az axonometria előadások és gyakorlatok vázlata Bevezetés Az axonometrikus ábrázolás feladata, hogy a térbeli alakzatok szemléletes képét gyorsan és egyszerűen állítsuk elő. Egy alakzat szemléletes képe

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az

Részletesebben

A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről

A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről 1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét,

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Kinematikus geometria. Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria o.

Kinematikus geometria. Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria o. Kinematikus geometria Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria 28-30. o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria 263-30. o. Az olyan geometriai alakzatokat, melyek pontjainak egymástól

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához 1 A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához Bevezetés Ehhez először tekintsük az 1. ábrát! 1 Itt azt szemlélhetjük, hogy hogyan lehet el - kerülni egy épület tűzfalának eláztatását. A felső ábrarészen

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel

4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

A hordófelület síkmetszeteiről

A hordófelület síkmetszeteiről 1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

A program a köröket és köríveket az óramutató járásával ellentétes irányban rajzolja meg.

A program a köröket és köríveket az óramutató járásával ellentétes irányban rajzolja meg. 894 11.4. Kör és körív 11.4. Kör és körív A program a köröket és köríveket az óramutató járásával ellentétes irányban rajzolja meg. 11.4.1. Kör/Körív tulajdonságai A kör vagy körív létrehozása előtt állítsa

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe

A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, 2004. december

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések 2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

Részletesebben

Kiegészítés a merőleges axonometriához

Kiegészítés a merőleges axonometriához 1 Kiegészítés a merőleges axonometriához Időnként találunk egy szép és könnyebben érthető levezetést, magyarázó ábrát, amit érdemesnek gondolunk a megosztásra. Most is ez történt, az [ 1 ] és [ 3 ] művek

Részletesebben

További adalékok a merőleges axonometriához

További adalékok a merőleges axonometriához 1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés

Részletesebben

Koordináta-geometria alapozó feladatok

Koordináta-geometria alapozó feladatok Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).

Részletesebben

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Ellipszis átszelése. 1. ábra 1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva

Részletesebben

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila 2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra

Részletesebben

Háromszögek fedése két körrel

Háromszögek fedése két körrel SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010. április 24. Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel. Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Motiváció

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok áthatása. Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria

Síklapú testek. Gúlák, hasábok áthatása. Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Síklapú testek Gúlák, hasábok áthatása Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Áthatás Két test áthatásának nevezzük a testek közös pontjainak összességéből

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

1. Munkalap. 1. Fejezze be az előrajzolás szerinti vonalfajták ábrázolását! Ügyeljen a vonalvastagságra!

1. Munkalap. 1. Fejezze be az előrajzolás szerinti vonalfajták ábrázolását! Ügyeljen a vonalvastagságra! 1. Munkalap 1. Fejezze be az előrajzolás szerinti vonalfajták ábrázolását! Ügyeljen a vonalvastagságra! 2. Rajzoljon merőleges egyenest az e egyenes P pontjába! e P 3. Ossza fel az AB szakaszt 2:3 arányban!

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről

A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről Már régóta rajzoljuk a táblára a közönséges csavarvonal vetületeinek és síkba teríté - sének ábráit, a Gépészeti alapismeretek tantárgy óráin. Úgy tűnik, itt

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben