Ábrázoló geometria 1.

Átírás

1 Ábrázoló geometria 1. keresztféléves gyakorlat 2014 tavasz Készítette: (A hiányzó feladatok megoldásai előadáson hangzottak el.)

2 Ábrázoló geometria I tanév 2. félév 1. rajzfeladat Tusrajz, mérete 594x420 mm Beadási határidő: február 27., gyakorlaton Feliratok: ILLESZKEDÉS ÉS ÁRNYÉKSZERKESZTÉS; KÉPSÍKTRANSZFORMÁCIÓ; SÍKIDOMOK ÖSSZEMETSZŐDÉSE 1. Ábrázoljon tetszőleges a) dőlt, b) feszített síkú ABC háromszöget! Szerkessze meg a háromszög síkjának nyomvonalait, majd illesszen a síkra két további pontot! Szerkessze meg egy alkalmasan választott fénysugárral az ötszög képsíkokra vetett árnyékát! Rajzolja be a sík A pontra illeszkedő első és második fővonalát, a B pontra illeszkedő első és második esésvonalát, valamint a C pontra illeszkedő profilegyenesét is! 2. Szerkessze meg az adott kettőslétra második képét és a képsíkokra vetett árnyékát! 3. Nyomvonalaival adott a) dőlt, b) feszített síkon ismert az AB szakasz a) első képe, b) második képe. Ábrázoljon szabályos a) négyoldalú, b) ötoldalú, c) hatoldalú gúlát, melynek alapsíkja az adott sík, egyik alapéle AB, magassága pedig ennek kétszerese! A feladatot képsík-transzformáció segítségével oldja meg! 4. Ábrázoljon két képével egy a) dőlt, b) feszített síkú paralelogrammát, majd egy vele ellentétes dőlésű háromszöget! A háromszög a) első, b) második képének belsejében vegyen föl egy szabályosnak látszó háromszöget, majd szerkessze meg a másik képét úgy, hogy ez a háromszöglapból kivágott lyuk legyen (illeszkedjen a háromszög síkjára)! Szerkessze meg a lyukas háromszög és a paralelogramma összemetsződését és az első képsíkra vetett árnyékát! Állapítsa meg a láthatósági viszonyokat és sraffozza be az önárnyékos részeket! Budapest, január 31. Bárdné dr. Feind Teréz egyetemi docens O:\ \a-AbrGeo1\ag_1_1rajz_ docx

3 A" x1,2 A' 1. ábra

4 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 1. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Ábrázoljon tetszőleges feszített síkú ABC háromszöget! Szerkessze meg a háromszög síkjának nyomvonalait, majd illesszen a síkra két további pontot! Szerkessze meg egy alkalmasan választott fénysugárral az ötszög képsíkokra vetett árnyékát! Rajzolja be a sík A pontra illeszkedő első és második fővonalát, a B pontra illeszkedő első és második esésvonalát, valamint a C pontra illeszkedő profilegyenesét is! A szerkesztés főbb lépései (a konkrét kivitelezés leírása nélkül) 1. Az ABC háromszög felvétele 2. Az AB (=a) és a BC (=b) egyenesek nyompontjainak meghatározása a megfelelő nyompontok adják a sík nyomvonalait. 3. Tetszőleges síkbeli D és E pontok felvétele segítségül hívjuk az AC szakasz X és Y pontjait. 4. Az ABCDE ötszög árnyékának meghatározása. Ez tulajdonképpen nyompontok szerkesztését jelenti, például a B ponton át, a fénysugárral párhuzamos egyenes első nyompontja B 1 (a B pont első képsíkra vetett árnyéka), a második nyompontja B 2 (a B pont második képsíkra vetett árnyéka). 5. Az A-n keresztül h és v fővonalak berajzolása 6. A B ponton keresztül az e 1 első esésvonal első képének felvétele, majd a síkbeli (v-re illeszkedő) V pontot felhasználva a második kép meghatározása. 7. Az előzőekkel analóg módon az e 2 esésvonal megszerkesztése a H pont segítségével. 8. A C-n átmenő c profilegyenes két képe egybeeső és merőleges a képsíktengelyre a Z pont ennek az egyenesnek egy további pontja. 1

5 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 2. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Szerkessze meg az adott kettőslétra második képét és a képsíkokra vetett árnyékát! A szerkesztés főbb lépései (a konkrét kivitelezés leírása nélkül) 1. A második képek meghatározása felhasználva, hogy a létra fokai az első képsíkkal párhuzamosak, és a létra az első képsíkon áll. 2. A fénysugarak állását itt az A-ból induló egyenessel határoztuk meg. 3. Először az A és B pontok képsíkokra vetett árnyékait határozzuk meg: A 1, B 1 és A 2, B A párhuzamos vetítés egy egyenesen lévő szakaszok arányait megtartja, ezért ha a létra talajon lévő pontja és az A 1 közötti szakaszt 4 részre osztjuk, megkapjuk a létrafokok szélső pontjainak első képsíkra vetett árnyékát. 5. Mivel a létrafokok az első képsíkkal párhuzamosak, ezért az első képsíkra vetett árnyékaik párhuzamosak a létrafokokkal. 6. Az első árnyékról már leolvasható, hogy a C, D és E pontok árnyéka a második képsíkra esik. 7. Határozzuk meg például a C pont második árnyékát (C 2 ). Szintén az aránytartást kihasználva, az A 2 C 2 szakasz hossza megegyezik a C 2 E 2 szakasz hosszával így nyerjük az E 2 pontot. 8. Szerkesszük meg P pont második árnyékát, hogy az arányos osztást a létra másik ágán is elvégezhessük. 9. Mivel párhuzamos egyenesek árnyékai párhuzamosak, ezért ha ismerjük az A 2 B 2 szakasz állását, azt párhuzamosan eltolva a létrafokok végpontjainak árnyékaiba, az árnyék hiányzó részeit is megkapjuk. 10. Ellenőrzés: Ha helyesen szerkesztettük, akkor például az EF létrafok első és második árnyéka nyilvánvalóan az x 1,2 -ben törik. 1

6 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 3. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Nyomvonalaival adott feszített síkon ismert egy AB szakasz második képe. Ábrázoljon szabályos hatoldalú gúlát, melynek alapsíkja az adott sík, egyik alapéle AB, magassága pedig ennek kétszerese! A feladatot képsíktranszformáció segítségével oldja meg! A szerkesztés főbb lépései (a konkrét kivitelezés leírása nélkül) 1. Az AB egyenes N 1 első és N 2 második nyompontját meghatározzuk. 2. A célunk az, hogy a gúla alapját és magasságát is valódi nagyságban lássuk. Ezért első lépésben egy negyedik képsíkot vezetünk be úgy, hogy a sík (negyedik) vetítősík legyen (n 1 merőleges x 1,4 -re). Transzformáljuk az A és B pontokat. 3. Válasszuk meg az új, ötödik képsíknak magát a síkot (de azzal párhuzamos képsík is alkalmas). Így az ötödik képen valódi nagyságban látjuk az alaphatszöget, továbbá a rá merőleges magasságot a negyedik képen mérhetjük fel. 4. Az ötödik képen az A V B V segítségével határozzuk meg a hiányzó C, D, E, F, O és M pontok ötödik képeit. 5. A negyedik képen az O IV M IV távolság éppen a megadott magasság legyen. 6. Végül elmaradó rendezőkkel határozzuk meg a hiányzó első és második képeket. 1

7 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 4. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Ábrázoljon két képével egy dőlt síkú paralelogrammát, majd egy vele ellentétes dőlésű háromszöget! A háromszög második képének belsejében vegyen fel egy szabályosnak látszó háromszöget, majd szerkessze meg a másik képét úgy, hogy ez a háromszöglapból kivágott lyuk legyen! Szerkessze meg a lyukas háromszög és a paralelogramma összemetsződését, és az első képsíkra vetett árnyékát! Állapítsa meg a láthatósági viszonyokat, és sraffozza be az önárnyékos részeket! A szerkesztés főbb lépései (a konkrét kivitelezés leírása nélkül) 1. Vegyük fel a feltételeknek eleget tevő ABCD paralelogrammát és PQR háromszöget (benne az XYZ kisebb háromszöget síkbeli szakaszok segítségével), valamint a fénysugarak irányát. 2. Rögzítsük például a PQR háromszöget. A háromszöget az AB és a CD szakasz nyilvánvalóan nem metszi. Szerkesszük meg az AD és a BC szakaszok döféspontjait a háromszöggel, a következőképpen: 3. Tekintsük az AD szakasz első képét. Ez egyúttal egy olyan 12 szakasz első képe is, amely benne van a PQR-ben (az AD-nek és az 12-nek közös első vetítősíkja van). Az 1 2 második kép rendezőkkel adódik. Az 1 2 és az A D szakaszok metszéspontja M 1. Ez egyben a háromszög és az AD döféspontjának második képe is, hiszen az 12 szakasz benne van a háromszög síkjában. Rendezővel kapjuk az első képet. Ugyanígy kell eljárni az M 2 -nél is ezen két döféspont adja a két síkidom metszésvonalát (a teljes egyenesük pedig a két síkidom teljes síkjának metszésvonalát). 4. Az XYZ háromszöget a metszésvonal az M 3 és M 4 pontokban metszi. 5. Szerkesszük meg a láthatósági viszonyokat. 6. Ezután határozzuk meg az első árnyékokat, figyelve arra, hogy a háromszög az XYZ háromszögben lyukas! 7. Önárnyékos az az oldal, ahol az adott kép és a vetett árnyék körüljárási iránya ellentétes a mi esetünkben a második képen látható az önárnyékos oldal. 1

8 Ábrázoló geometria I tanév 2. félév 2. rajzfeladat Tusrajz, mérete 594x420 mm Beadási határidő: március 20., gyakorlaton Feliratok: TRANSZVERZÁLIS SZERKESZTÉSE; ÁRNYÉKSZERKESZTÉS; GÚLA ÉS HASÁB ÁTHATÁSA; TESTKONSTRUKCIÓ LEFORGATÁSSAL 1. Adott egy általános helyzetű e egyenes, egy hozzá kitérő helyzetű a) első fővonal, b) második fővonal, c) profilegyenes, d) első vetítősugár, e) második vetítősugár, f) harmadik vetítősugár, valamint egy a) P pont, b) i irány (egyenes). Szerkessze meg a két kitérő egyenes adott P pontra illeszkedő, illetve adott i irányú transzverzálisát, valamint az egyenesek közé eső szakasz valódi hosszát! 2. Szerkessze meg az adott épület összes árnyékát alkalmasan választott fénysugárral! 3. Ábrázoljon csúcsán álló, legalább ötoldalú gúlapalástot és tetszőlegesen választott fénysugárral szerkessze meg az összes árnyékát! A bevetett árnyékot árnyékfedőpontokkal szerkessze! 4. Szerkessze meg egy vízszintes oldalélű legalább négyoldalú egyenes hasáb áthatását az első képsíkon álló a) szabályos hatoldalú gúlával, b) szabályos ötoldalú gúlával c) négyoldalú ferde hasábbal, d) szabályos ötoldalú ferde hasábbal! Az áthatás legyen a) teljes áthatás, b) bemetszés! Végül tüntesse fel az első képsíkon álló felület láthatóságát úgy, mintha a másikkal kimetszett palástrészt és a vízszintes hasábot eltávolította volna! 5. Szerkesszen szabályos a) négyoldalú, b) ötoldalú, c) hatoldalú a) gúlát, b) hasábot, melynek adott a t általános helyzetű tengely-egyenese és az A csúcspontja! A gúla magassága legyen 5 cm. A feladatot leforgatással oldja meg! Budapest, február 17. Bárdné dr. Feind Teréz egyetemi docens O:\ \a-AbrGeo1\ag_1_2rajz_ docx

9

10 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 1. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Adott egy általános helyzetű e egyenes, egy hozzá kitérő helyzetű első fővonal/második fővonal/ profilegyenes/első vetítősugár/második vetítősugár/harmadik vetítősugár, valamint egy P pont/i irány. Szerkessze meg a két kitérő egyenes adott P pontra illeszkedő, illetve adott i irányú transzverzálisát, valamint az egyenesek közé eső szakasz valódi hosszát! A szerkesztés rövid leírása 1. Legyenek adottak az e és h egyenesek, valamint a P pont. 2. Vegyünk fel egy új (negyedik) képsíkot úgy, hogy a h első fővonal vetítőegyenes legyen. (x 1,4 merőleges h-ra.) 3. A P és e transzformálása után a t transzverzális kijelölhető (mivel a h minden pontja h IV - ben látszik): h IV -en és P IV -en átmenő t IV egyenes. 4. A t transzverzális és e közös pontja az E pont. Az E és P segítségével a t egyenes első és második képe már meghatározható. 5. A két egyenes közötti szakasz az EH, amelynek hossza például különbségi háromszöggel adható meg. (Lásd utolsó feladatot.) 6. Ellenőrzési lehetőség: a transzverzális metszi a h-t a H pontban. A szerkesztés rövid leírása 1. Legyenek adottak az e és h egyenesek, továbbá az i irány. 2. Az előző feladathoz hasonlóan a célunk itt is az, hogy a h első fővonalat (és így minden pontját) egyetlen pontban lássuk. Ezért egy új képsíkot veszünk fel, amely h- ra merőleges. 3. Meghatározzuk a h és e egyenesek, valamint az i irány negyedik képét. (Az i képét két pontjának segítségével.) 4. A transzverzális t IV negyedik képe a h IV -n keresztülhaladó, i IV -gyel párhuzamos egyenes. 5. A feladatot az előző példa alapján fejezhetjük be. 1

11 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 1. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) A szerkesztés rövid leírása 1. Legyen adott az e egyenes, a p profilegyenes (az A és a B pontjaival), és egy P pont. 2. Az adott ponton átmenő transzverzális megszerkesztésének általános elvét követve, tekintsük a [p,p] síkot (amelyet az ABP háromszög reprezentál), és metsszük el az e egyenessel: E. 3. A keresett t transzverzális az EP egyenes, amely a p-t a T pontban metszi. 4. A transzverzális két egyenes közötti szakaszának valódi nagyságát az ET szakasz leforgatásával kapjuk. 5. Ellenőrzési lehetőség: A párhuzamos vetítések aránytartóak, ezért az AT és TB szakaszok aránya mindkét képen ugyanakkora. A szerkesztés rövid leírása 1. Legyen adott az e egyenes, a p profilegyenes (az A és a B pontjaival), és egy i irány. 2. Határozzuk meg a p-t tartalmazó, i-vel párhuzamos síkot: toljuk el i-t az A és B pontokba. 3. Szerkesszük meg az előbb meghatározott sík és az e metszéspontját: E. 4. A keresett transzverzális az E- n átmenő, i-vel párhuzamos t egyenes ez a p-t a T-ben metszi. 5. A transzverzális két egyenes közötti hosszát az ET szakasz hosszával egyezik meg, amelyet különbségi háromszög módszerrel határozunk meg (lásd zöld háromszögek). 2

12 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 2. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Szerkessze meg az ábrán (első és negyedik képével) adott épület összes árnyékát alkalmasan választott fénysugárral! A szerkesztés lépései 1. Szerkesszük meg az épület második képét (a negyedik képek segítségével). A 2-es pontból induló ferde eresz döféspontjai a kéménnyel az első képről leolvashatóak. Az egyik ilyen döféspont: X. Ezen pontokból indulnak a kémény és a tető (vízszintes) metszésvonalai. (A metszésvonalak a második képen jól láthatóak.) A továbbiakban a tető, a ház és a kémény vetett árnyékának határoló szakaszait szerkesztjük meg. 2. Földre vetett árnyék a. A 3-as, 4-es és 5-ös pontok földre vetett árnyékai a 3 1, 4 1 és 5 1. (Szerkesztésük a korábban már megtanult módon, nyompont-szerkesztéssel történik.) A 45-ös eresz párhuzamos a 3-asból induló egyik eresszel, ezért a vetett árnyékaik is párhuzamosak. Így kapható meg a 3 1 -ből induló 1

13 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 2. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) vetett árnyék. Ugyanezt a trükköt a 34-gyel párhuzamos eresz vetett árnyékánál ismét alkalmazhatjuk. (Ellenőrzési lehetőség: A képzeletbeli 3-as, 4-es és 5-ös pontokat tartalmazó téglalap vetett árnyéka a 3 1, 4 1 és 5 1 csúcspontokkal adott paralelogramma.) b. Az épület földre vetett árnyéka becsatlakozik a tető vetett árnyékába, ezért csak a ház szélső helyzetű éleinek vetett árnyékait keressük. Ezek a ház vetett árnyékának határai. Függőleges egyenesek vetett árnyékai párhuzamosak a fénysugár első képével, ezért az épület 7-es és 8-as pontokat tartalmazó függőleges élek árnyékai gyorsan megkaphatóak. A vetett árnyékokat a tető árnyékáig rajzoljuk meg. c. Az előző pont logikáját követjük a ház 6-os, és a kémény 9-es pontjából induló függőleges élek földre vetett árnyékainál is. Ezen élek a kéményre/házra is vetnek majd árnyékot, ezért ezekre később még visszatérünk. 3. Önárnyékos oldalak. A fénysugár helyzetéből evidens, hogy a helyzetükből adódóan nem kapnak fényt: a 6-os pontot tartalmazó (16-ra merőleges) házfal; az előzővel párhuzamos, 7-est tartalmazó fal; a ház hátsó fala; a kémény 9-es és 10-es pontokat is tartalmazó oldalsó fala; a kémény 10-es és 11-es pontokat is tartalmazó hátsó fala; valamint a tető alsó része. 4. A tető vetett árnyéka a. Az 12-es ereszél falra vetett árnyékával kezdjük. Ez az él párhuzamos az elülső fallal, ezért a rávetett árnyék párhuzamos 12-vel. (Emlékeztető: Ha egy egyenes párhuzamos az árnyékfelfogó síkkal, akkor az egyenes vetett árnyéka párhuzamos magával az egyenessel.) Emiatt elegendő csak az 1-es pont falra vetett árnyékát meghatározni, majd onnan párhuzamost húzni az 12 egyenessel. Húzzunk párhuzamost az 1-es ponton keresztül a fénysugárral. A fallal való döféspontja (a fal függőleges helyzetének köszönhetően) az első képről azonnal leolvasható, amennyiben a fal síkját balra egy kicsit meghosszabbítjuk. (Az ábrán ez a döféspont jelölés nélkül szerepel.) A második képre (a fénysugárral párhuzamos, 1-esen átmenő egyenesre) felvetíthető a döféspont második képe, innen párhuzamost húzva 1 2 -vel a falra illeszkedő árnyékot megkaptuk. (Ez a tető adott falra vetett árnyékának határa.) b. Az előbbi módszert ismét alkalmazzuk a kémény elülső falára vetett árnyék meghatározásához is (a 2-es pontból induló fénysugárral, az ábrán elnevezések nélkül). (Ezt az árnyékot még befolyásolja a ház falának vetett árnyéka.) c. A 2-es pont hátsó, látható falra vetett árnyéka a 2 * pont, ennek szerkesztése az előzőekkel megegyező módon történhet. d. A 3-as pontból induló, az 12-es éllel párhuzamos eresz falra vetett árnyékánál az előzőekkel összhangban a fal meghosszabbítottját döfi a 3-asból induló fénysugár; innen indul az eresz vetett árnyéka. e. A 2-esből induló ferde eresz árnyékot vet a kéményre és a házfalra is. Tekintsük először a kéményt. Ez az ereszél a kéményt az X pontban metszi, innen kell indulnia a rávetett árnyéknak. (Emlékeztető: Egy egyenes síkra vetett árnyéka a sík és az egyenes döféspontjából indul ki.) A 2- esnek a kémény elülső síkjára vetett árnyéka és az X pont meghatároznak egy szakaszt, amely a 2X szakasz vetett árnyéka a kémény elülső (teljes!) síkjára. Ebből a szakaszból csupán a kéményre eső részre van szükségünk. A 2X hátsó falra vetett árnyéka a 2 * -ból indul és párhuzamos az előbb meghatározott, kéményre vetett árnyékkal. (Emlékeztető: Egy egyenesnek párhuzamos síkokra vetett árnyékai párhuzamosak egymással.) (Ellenőrzési lehetőség: Az ábrán a narancssárga szaggatott vonallal jelölt szakasszal összekötött fedőpontok egyenesének második képe párhuzamos a fénysugár második képével.) (Erre az árnyékra még hatással lesz a kémény vetett árnyéka.) f. Az 15-ös ereszél falra vetett árnyéka az ábrán nem látható oldalon van, de megszerkeszthető. Az elv itt is egyszerű döféspont-szerkesztésen alapul, az 1-es vetett árnyéka 1 *, míg az 5-ös pont vetett árnyéka kívül esik a falon. (Az 5-ös árnyéka valójában 5 1.) 5. Fal és kémény vetett árnyéka a. A 6-os pontot tartalmazó önárnyékos fal a kéményre vet árnyékot. A 6-oson keresztül a fénysugárral párhuzamost húzunk, majd meghatározzuk ennek a döféspontját a kémény 2

14 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 2. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) elülső falának síkjával: 6 *. A 6-osból induló függőleges él (függőleges) falra vetett árnyéka a 6 * -ból induló függőleges (a földig tartó) szakasz. A függőleges él vetett árnyéka az eresz kéményre vetett árnyékáig tart. (Ezzel a kéményre vetett összes árnyékot, pontosabban azok határait meghatároztuk.) b. A kémény 9-esből induló, szélső helyzetű élének vetett árnyéka a kémény falra vetett árnyékának határa. A 9-es pont falra vetett árnyékát az előzőekben már többször leírt döféspont-szerkesztéssel határozzuk meg. (Az ábrán elnevezés nélkül szerepel.) Az árnyék ismét függőleges, és számításba kell venni a tető falra vetett árnyékait is. (Most már teljes a falra vetett árnyék is.) 6. A kémény tetőre vetett árnyéka a. Végül meghatározzuk a kémény tetőre vetett árnyékát, azaz a 9-es, 10-es és 11-es pontok vetett árnyékait keressük. A szokásos döféspont-szerkesztést egyszerűbben is elvégezhetjük, ha felismerjük, hogy a negyedik képen a tető síkját szakaszban látjuk. b. Ha a negyedik képen szeretnénk a fénysugarak döféspontjait megszerkeszteni, szükségünk van a fénysugár-irány negyedik képére. Tekintsük például a 3-as ponton áthaladó fénysugarat, és transzformáljuk el azt a 3-as pontja és nyompontja (3 1 ) segítségével. A negyedik képen elegendő a 9 * és 10 * vetett árnyékokat megszerkeszteni. c. Az első képen rendezők metszik ki a 9-es, 10-es és 11-es pontokon átmenő fénysugarakból a vetett árnyékok első képeit. A második képen szintén rendezők és fénysugarak metszéspontjai adják a második képeket. d. Mivel egyenes vetett árnyéka a döféspontból indul, ezért a 11 * és 9 * pontokat a kémény és a tető megfelelő döféspontjával kell összekötni. (A 9-es pontból induló függőleges él a tetőt nem döfi, de a tető síkját igen.) Így nyerjük a tetőre vetett árnyékot. (Ezzel az összes árnyékot megszerkesztettük.) 3

15 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 4. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Szerkessze meg egy vízszintes oldalélű legalább négyoldalú egyenes hasáb áthatását az első képsíkon álló szabályos ötoldalú gúlával! Az áthatás legyen teljes áthatás! Végül tüntesse fel az első képsíkon álló felület láthatóságát úgy, mintha a másikkal kimetszett palástrészt és a vízszintes hasábot eltávolította volna! A szerkesztés főbb lépései 1. Vegyük fel a gúlát. A hasáb vízszintes oldalélű, ezért érdemes egy negyedik képsíkot felvenni úgy, hogy a hasáb alapját valódi nagyságban lássuk. Állítsuk be a negyedik képsíkot (x 1,4 felvételével), amelyre merőleges lesz a hasáb összes alkotója. Transzformáljuk a negyedik képre a gúlát, majd vegyük fel a hasáb alapját úgy, hogy annak minden alkotója metssze a gúlát (teljes áthatás). 2. A hasáb és a gúla közös pontjai a negyedik képen kijelölhetőek: a. A hasáb p alkotója két pontban döfi a gúlát: az 1-es és a 2-es pontokban. Ezekhez a gúlán egy-egy alkotó tartozik, melyeket a talppontjaik és a csúcspont segítségével meghatározhatunk. Az első képen a gúlaalkotók és a hasáb p alkotójának metszéspontjai már kijelölhetőek. Ugyanígy járunk el a q, r és s alkotók esetében is. b. A gúla néhány alkotója átdöfi a hasábot két pontban: például az ME alkotó és a hasáb közös pontjai 3-as és 4-es pontok. Ezen pontok első képei rendezővel vihetőek az M E -re. Az MB és MD alkotóknál ugyanezt a logikát követjük. 3. Amennyiben megszerkesztettük az első képen az összes áthatási pontot, rendezővel a megfelelő alkotókra felvetítve kapjuk a második képeket. 4. A teljes áthatás miatt az áthatási töröttvonal két részből áll. A pontok összekötésénél azt kell figyelni, hogy a töröttvonal egyes szakaszai minden esetben mindkét felületen azonos lapon fekszenek. Például az első képet figyelve a 3-as pont nem köthető össze az 5-össel, mert bár a gúlán egy lapon vannak, de a hasáb esetén nem (lásd a negyedik képet). 1

16 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 5. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Szerkesszen (leforgatással) szabályos ötoldalú gúlát, melynek adott a t általános helyzetű tengely-egyenese, alapjának A csúcspontja és a magassága! A szerkesztés főbb lépései (az alapszerkesztések részletezése nélkül) 1. Adjuk meg a t egyenest, valamint az arra nem illeszkedő A pontot. 2. A t tengelyű egyenes gúla alapjának síkja merőleges a tengelyre, ezért első lépésben határozzuk meg az A pontra illeszkedő, t-re merőleges síkot a h és v fővonalak segítségével. (Emlékeztető: egy egyenes merőleges egy síkra, ha a megfelelő képei merőlegesek a sík megfelelő fővonalaira.) 3. A szabályos ötszög (mint alapsokszög) köré írható kör középpontja az alap síkjának és a tengelynek a döféspontja. Az 1-es és 2-es pont segítségével szerkeszthetjük meg az O döféspontot. 4. Forgassuk le az alap síkját a h első fővonal körül, az O pont segítségével. Szerkesszük meg a leforgatott rendszerben az (A)(B)(C)(D)(E) szabályos ötszöget. 5. Merőleges affinitás segítségével forgassuk vissza a B, C, D és E pontokat az első képre: B, C, D és E. 6. Ezen pontok második képeit az alap síkjában fekvő segédegyenesekkel határozzuk meg. (Az E pontot az O3 egyenessel, majd a D pontot az E4 egyenessel, végül a C és B pontokat az 5-re illeszkedő AD-vel párhuzamos egyenessel.) 7. A magasság felméréséhez forgassuk le az egyenest az O pontja és egy T segédpontja segítségével. A leforgatotton már felmérhető a gúla előre megadott magassága (lásd piros színnel jelölt szakasz a t leforgatottján). Az ábrán a sík leforgatásától való megkülönböztetés kedvéért szimbólummal jelöltük az egyenes leforgatását. Az M -ból már megkapható M, melyből rendezővel M -höz jutunk. 8. Végül láthatóság szerint kihúzzuk az ábrát. 1

17 Ábrázoló geometria I tanév 2. félév 3. rajzfeladat Tusrajz, mérete 594x420 mm Beadási határidő: május 8., gyakorlaton Feliratok: OKTAÉDER SZERKESZTÉSE LEFORGATÁSSAL; SÍKIDOMOK ELFORGATÁSA; GÚLA/HASÁB METSZÉSE ÉS ÁRNYÉKA AXONOMETRIÁBAN; ÉPÜLETÁBRÁZOLÁS ÉS ÁRNYÉK PERSPEKTÍVÁBAN; HÁROMSZÖG KÖRÜLÍRT KÖRE 1. Adott egy általános helyzetű egyenes és egy rá nem illeszkedő A pont. Szerkesszen szabályos oktaédert, melynek tengelye az adott egyenes, az A pont pedig egy csúcsa! A szerkesztést leforgatás alkalmazásával végezze! 2. Adott egy sík a nyomvonalaival, és benne egy AB szakasz. Szerkesszen a síkban az adott oldallal a) szabályos háromszöget, b) négyzetet! Forgassa el az AB oldala körül a síkidomot a) 60 fokkal, b) 90 fokkal, majd ábrázolja az így kapott három síkidomot láthatóság szerint! 3. Ábrázoljon a) merőleges axonometriában, b) frontális (qy=2/3) axonometriában xy síkon álló legalább ötoldalú a) gúlát, b) egyenes hasábot! Jelöljön ki mindhárom tengelyen egy-egy pontot, majd az így megadott síkkal metssze el a felületet! Szerkessze meg alkalmasan választott fénysugárral a csonkolt felület összes árnyékát! 4. Ábrázolja perspektívában a 2. rajzfeladatban szereplő épületet, majd alkalmasan választott fénysugárirány mellett szerkessze meg az összes árnyékát! 5. Ábrázoljon két képével egy dűlt háromszöget, majd szerkessze meg a háromszög körülírt körét! Tetszőleges fénysugáriránnyal szerkessze meg a körlemez első képsíkra vetett árnyékát is! Budapest, március 17. Bárdné dr. Feind Teréz egyetemi docens O:\ \a-AbrGeo1\ag_1_3rajz_ docx

18 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 1. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Adott egy általános helyzetű egyenes és egy rá nem illeszkedő A pont. Szerkesszen szabályos oktaédert, melynek tengelye az adott egyenes, az A pont pedig egy csúcsa! A szerkesztést leforgatás alkalmazásával végezze! A szerkesztés főbb lépései 1. Amennyiben az adott t egyenest az oktaéder (egyik) tengelyének tekintjük, az arra merőleges, az A pontot tartalmazó síkon az oktaéder további három pontja helyezkedik el, melyek egy négyzetet alkotnak. 2. Állítsunk a t-re merőleges síkot az A-n keresztül, a h és v fővonalak segítségével. 3. Határozzuk meg a t egyenes és a merőleges sík döféspontját: O pont. 4. Forgassuk le a merőleges síkot a h fővonal körül, az O pont felhasználásával. Szerkesszük meg a leforgatott síkban az (A)(B)(C)(D) négyzetet. 5. Forgassuk vissza a síkot, és határozzuk meg a B, C és D képeket. (A leforgatás során tengelyes affinitást alkalmazunk.) Síkbeli egyenesekkel szerkesszük meg a B, C és D képeket is. 6. A t tengelyre a négyzet átlóját kell felmérnünk, hogy az oktaéder (mint szabályos test) hiányzó csúcsait megkapjuk. Tekintsük a t további, tetszőleges T pontját, majd O körül forgassuk le a t egyenest. Mérjük fel rá a kívánt hosszúságot (E és F ), és a kapott végpontokat forgassuk vissza a t második képére: E és F. 7. Rendezővel határozzuk meg a hiányzó csúcsok első képeit, majd láthatóság szerint húzzuk ki az ábrát. 1

19 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 2. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Adott egy sík a nyomvonalaival, és benne egy AB szakasz. Szerkesszen a síkban az adott oldallal szabályos háromszöget! Forgassa el az AB oldala körül a síkidomot 60 fokkal majd ábrázolja az így kapott három síkidomot láthatóság szerint! A szerkesztés főbb lépései 1. Vegyük fel a síkot, majd abban az AB szakaszt. (Az AB-t egy síkbeli egyenesre illesztjük.) 2. Forgassuk le a síkot az első nyomvonala körül az első képsíkba, majd az (A)(B) szakasz alapulvételével szerkesszünk szabályos háromszöget: (A)(B)(C). 3. A feladat szerint a C pontot a későbbiekben 60 fokkal elforgatjuk az AB mint tengely körül. A térben egy pont adott tengely körüli forgatása úgy történik, hogy a C pont a tengelyre merőleges síkban, egy körön mozog. (A kör középpontja az AB szakasz és a merőleges sík közös pontja. Továbbá ebben a síkban találjuk az összes olyan egyenest, amely merőleges az AB-re.) Vegyük észre, hogy a C-t tartalmazó (AB-re merőleges) síkot az AB szakasz éppen az F felezőpontban döfi. Forgassuk vissza a C és F pontokat (C, F ), és határozzuk meg a második képeket is. 4. A C pont a CF sugarú, F középpontú körön forog a merőleges síkban. Emiatt szükségünk van a sík fővonalaira, majd azok segítségével a sík leforgatottjára. A síkot a h és v fővonalaival adjuk meg, és a h első fővonal körül forgatjuk le. (A C pont leforgatását itt ((C))-vel jelöljük.) 5. A leforgatott rendszerben szerkesszük meg az F középpontú F((C)) sugarú körön a két elforgatott pontot: ((C 1 )) és ((C 2 )). 6. Határozzuk meg a C 1 és C 2 első képeket, majd (a merőleges) síkbeli egyenesekkel a második képeket (C 1, C 2 ). 7. Végül láthatóság szerint húzzuk ki az ábrát. 1

20 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 3. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Ábrázoljon merőleges axonometriában [x,y] síkon álló legalább ötoldalú egyenes gúlát! Jelöljön ki mindhárom tengelyen egy-egy pontot, majd az így megadott síkkal metssze el a felületet! Szerkessze meg alkalmasan választott fénysugárral a csonkolt felület összes árnyékát! 1

21 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 3. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) A szerkesztés lépései (részletesen) 1. Alapötszög felvétele és a gúla ábrázolása a. Adjuk meg a merőleges axonometria tengelykeresztjét: a nyomháromszög magasságpontja az O pont képe. (A nyomháromszög oldalai: n 1, n 2, n 3 ) b. Forgassuk le az [x,y] koordinátasíkot: az n 1 nyomvonal tengelypontjai által megadott szakasz fölé mint átmérő fölé írjunk Thalész-kört. Ezt a kört az O-ból az n 1 -re állított merőleges metszi egy (O) pontban. Ez a pont az O leforgatottja. c. Szerkesszünk szabályos ötszöget a leforgatott síkban: (A)(B)(C)(D)(E), középpontja (M ). d. Az [x,y] koordinátasík leforgatottja és az [x,y] axonometrikus képe között merőleges tengelyes affinitás van, melynek tengelye az n 1 nyomvonal, O és (O) egymásnak megfelelő pontpár. Például az E pont axonometrikus képét a következőképpen kaphatjuk meg: tekintsük az (E)(O) egyenest. Ez elmetszi az affinitás (a leforgatás) tengelyét egy pontban, amely fixen marad. Így biztosan ebből a fixpontból indul ki az EO egyenes is, ráadásul az O pont is ismert; innen már adódik az EO (axonometrikus képe). Ebből az egyenesből az affinitás iránya (n 1 -re merőleges) metszi ki az E pontot. A fennmaradó pontok ősképeit ugyanilyen gondolatmenettel kaphatjuk meg, de már az E-(E) pontpárt is felhasználhatjuk. (Például az A pont képét az E és (E) segítségével szerkesztettük meg.) e. Az egyenes gúla csúcspontjának merőleges vetülete az alapsokszög köré írt kör középpontja: M. Az [x,y]-ra merőleges a z tengely, ezért z-vel párhuzamos a gúla magasságegyenese, ezen most tetszőlegesen kijelölhetjük a csúcspont axonometrikus képét: M. 2. A metsző sík felvétele, a gúla metszése a síkkal a. Válasszunk ki három pontot a három tengelyről (az ábrán jelölés nélkül), majd határozzuk meg ezek síkját. A sík nyomvonalai: s 1, s 2 és s 3. b. A gúla alapja és a síkmetszet között centrális kollineáció van, amelynek centruma a gúla csúcspontja (M), tengelye az alaplap síkjának és a metsző síknak a metszésvonala (s 1 ). Szükségünk van még egy egymásnak megfelelő pontpárra, amelyekből egyik az alapon fekvő pont, a másik pedig egy ugyanazon az alkotón lévő síkmetszetbeli pont. (Ha ez a pontpár rendelkezésünkre áll, akkor a többi alkotó metszéspontját nem egyenkénti, sík és egyenes döféspontjának megszerkesztésével kapjuk, hanem egyszerűen a centrális kollineáció felhasználásával.) Szerkesszük meg például az EM alkotó döféspontját a metsző síkkal. Az alkotó első képe az e egyenes, amely egy [s 1,s 2,s 3 ]-beli egyenes első képe is. Ezen síkbeli egyenes első nyompontja S 1, második nyompontja S 2, ezen két ponttal adódik annak axonometrikus képe: e. Az EM és e metszéspontja a keresett döféspont: E. (Ezzel nyertünk egy megfelelő pontpárt a centrális kollineációhoz.) c. A többi metszéspontot (A, B, C és D) a centrális kollineáció felhasználásával kapjuk meg. Például az A döféspontot úgy szerkeszthetjük meg, hogy meghatározzuk az AE egyenes fixen maradó pontját a s 1 egyenesen, majd ezt a pontot az E-vel összekötve az AE egyenes adódik. Ebből az egyenesből az AM metszi ki az A pontos helyét. 3. Árnyékok megszerkesztése a. Tekintsünk egy fényirányt, amelyet az M ponton keresztül adunk meg (két képével): f és f. Innen azonnal adódik a csúcspont árnyéka is: M 1. b. Az alkotók árnyékai M 1 A, M 1 B, M 1 C, M 1 D és M 1 E. Húzzunk párhuzamosokat a fénysugár axonometrikus képével a síkmetszet megfelelő pontjaiból, így kapjuk rendre az A 1, B 1, C 1, D 1 és E 1 vetett árnyékokat. c. Az ábrán a B 1 árnyék a gúlán belülre, a többi kívülre esik. A B 1 -ből A 1 -ig és C 1 -ig húzódó szakaszok belülre eső része a vetett árnyék gúlába eső része. Az árnyék problémás része ezért csupán az AB és a BC szakasz vetett árnyéka, mivel ez a két szakasz a gúla belső oldalára is vet árnyékot. d. A BC szakasz (B 1 -ből induló) vetett árnyéka a CD-hez tartozó lap alján, tehát szomszédos lapon lép ki a gúla alaplapjából. Ezért ebben a pontban törik meg a BC árnyéka, és a C-ben ér véget. 2

22 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 3. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) e. Az AB szakasz esetében láthatjuk, hogy az A pont földre vetett árnyéka az EE 1 D 1 C 1 C töröttvonalon belül helyezkedik el, ezért annak árnyéka a gúla egyik oldallapjának belsejére esik az A 1 B 1 szakasz a DE-t metszi, tehát a DEED lapra kerül az árnyéka (ugyanis az AEEA lapra nem kerülhet). Az AMM 1 háromszög által meghatározott fénysíkban (az a sík, amely párhuzamos a fénysugárral és amelynek első nyomvonala az AM szakasz vetett árnyéka) benne van az A pont és annak A 1 vetett árnyéka is, tehát a két pont által meghatározott fénysugárirányú egyenes is, amely az A pont keresett vetett árnyékában döfi el a DEM (=DEED) lapot. Másrészt ebben a síkban benne van a DEM lap egy alkotója is (a fénysík azért metsz ki biztosan alkotót, mert az M csúcspontot tartalmazza), amelynek talppontja az AM 1 és a DE metszéspontja. Mivel ez az alkotó fénysíkbeli, ezért a metszéspontja az AA 1 -gyel kijelölhető: A *, amely éppen a keresett döféspont, azaz az A pont gúlára vetett árnyéka. f. Az EAB töröttvonal vetett árnyéka E-ből indul, A * -ban folytatódik, majd a DE és A 1 B 1 metszéspontján át a B 1 -ben zárul. g. Ezek megszerkesztése után az önárnyékos lapok kijelölése evidens. 3

23 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 4. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) Ábrázolja perspektívában az ábrán látható (vetületeivel adott) épületet, majd adott fénysugárirány mellett szerkessze meg az összes árnyékát! 1

24 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 4. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) A szerkesztés lépései 1. Alaprajzi vetület perspektív képének megszerkesztése a. Legyenek adottak az alapvonal (a), a horizontvonal (h), a főpont (F), a centrum beforgatottja ((C)), továbbá az épület alaprajzi vetületének leforgatottja (az ábrán kék színnel jelölve). Az épület magassági adatait az x tengelytől számítva mértük fel (az ábrán a magassági adatok második képként szerepelnek). b. Húzzunk párhuzamost az épület balra, illetve jobbra mutató egyeneseivel a (C)-on keresztül. Ez a két egyenes a horizontvonalat az I b és I j pontokban metszi ezek az épület bal- és jobboldali iránypontjai. (Emlékeztető: Az Ib és Ij pontok ősképei az alapsík végtelen távoli egyenesén helyezkednek el, amelyeket a centrumból vetítve kapjuk a két iránypontot.) c. Az alapsík leforgatottja és perspektív képe között centrális kollineáció van, ahol a centrum a (C) pont, a tengely az a alapvonal, a horizontvonal pedig kiváltja a megfelelő pontpár megadását. Az alaprajz perspektív képének meghatározása már ismert, több úton is eljuthatunk a végeredményig, így ennek leírásától eltekintünk. Például az (1 )(4 ) szakaszból az 1 4 perspektív képet a következőképpen kaphatjuk meg: a szakasz elmetszi az a-t egy fixen maradó pontban. Ebből a pontból indul a perspektív kép, amely még áthalad az I b irányponton is, innen a szakaszt tartalmazó egyenes perspektív képe szerkeszthető. Az 1 és 4 pontokat a (C)(1 ) és (C)(4 ) egyenesek metszik ki. 2. Magasságok felvétele, az épület perspektív képének meghatározása a. A vetületen adott második képről a magassági adatok leolvashatóak. b. A magasságok felmérése perspektív rendszerben szintén ismert, így ennek részletes leírásától ismét eltekintünk. Példaképpen tekintsük ismét az 14 szakaszt. Ez a szakasz az 1 4 -vel párhuzamos (tehát vízszintes helyzetű), ezért az 14 egyenes iránypontja szintén az I b. Az 1 4 metszi az alapvonalat egy pontban. Ebből a pontból húzott függőleges egyenes éppen a képsíkban helyezkedik el, így ott bármilyen kijelölt magasság valódi nagyságban látszik. Mérjük fel itt az 14 szakasz alapsíktól vett magasságát. (Az ábrán ezt szaggatott vonallal jeleztük.) Ezen függőleges szakasz végpontját összekötve az I b irányponttal egy olyan egyeneshez jutunk, amely már az 14 szakasz egyenesének perspektív képe. Az 1 és 4 pontokban állított függőleges egyenesek pedig kimetszik az 1 és 4 pontokat ebből az egyenesből. (Emlékeztető: Képzeljük el az 1 1I b háromszöget úgy, mintha az egy függőleges szalag képe lenne, amely végig a megadott magasságú függőleges szakaszokat tartalmazza.) c. A kémény és az épület, illetve a tető közös pontjai az alaprajzról olvashatóak le. A metszéspontok vetületéből függőleges egyeneseket állítva a megfelelő élen kijelölhetőek a perspektív képek is. d. Húzzuk ki az ábrát láthatóság szerint. (Ez megkönnyíti a későbbi árnyékszerkesztést is.) 3. Árnyékok megszerkesztése (a nem látható árnyékok meghatározása nélkül) a. Tekintsünk egy fényirányt, amelyet az I f iránypontjával és a fénysugár (alapsíkra vett) merőleges vetületének I f iránypontjával adunk meg. b. Az alapsíkra (mint földre) vetett árnyékokat érdemes először meghatározni. Például az 1-es pont földre vetett árnyéka az 1I f és 1 I f egyenesek metszéspontja: 1 1. Határozzuk meg ugyanilyen módon a 21 és 31 vetett árnyékokat is. c. Függőleges egyenesek földre vetett árnyéka az árnyék vetületével párhuzamos, így az épület függőleges éleinek vetett árnyékai az I f -ben találkoznak. d. Egy, az alapsíkkal (mint árnyékfelfogó síkkal) párhuzamos egyenes vetett árnyéka párhuzamos magával az egyenessel. Emiatt a 2-esből és 3-asból induló tetőélek vetett árnyékai az I b iránypontba futnak. Az eddigiek figyelembevételével a vetett árnyék megszerkeszthető. e. Az 1-es pont vetett árnyéka az épület vetett árnyékában van, ezért az 1-es pont vagy a kémény vagy az épület egyik falára veti az árnyékát. (Ellenőrizni kell a kémény vetett árnyékát is: a 6-os pont földre vetett árnyéka szintén beleesik a teljes épület vetett árnyékába, emiatt az a tetőre veti az árnyékát. Mivel a tetőre nem látunk rá, ezért ezt a szerkesztést kihagyjuk.) 2

25 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA rajz 4. feladat (2013/14. tavasz, keresztfélév) f. Az épület önmagára vetett árnyékánál az 1-es, 2-es és 4-es pontok kulcsfontosságúak, ezek rávetett árnyékait kell megszerkesztenünk. Vegyük észre, hogy az árnyékszerkesztés minden már korábban megtanult elve felhasználható. g. Induljunk ki az 1-es pontból, és keressük ennek a kéményre vetett árnyékát. Az 1 I f egyenes (azaz az 1-ből induló fénysugár merőleges vetülete) elmetszi a kémény elülső falának vetületét. Mivel a fal függőleges helyzetű, így ez a metszéspont egyúttal a keresett vetett árnyék vetülete is. Ezért ebből a pontból induló függőleges egyenes az 1-ből induló fénysugarat (1I f ) az 1 * -ban metszi. Mivel ez a pont kívül esik a kéményen, ezért az 1-es pont az épület falára veti az árnyékát. Azonban az 1 * pont segítségével a tető kéményre vetett árnyékát meghatározhatjuk. Az 14 tetőél párhuzamos a kémény elülső falával (mint árnyékfelfogó síkkal), ezért annak vetett árnyéka párhuzamos az 14-gyel (a perspektív képe az I b -be tart). Másrészt az 1-ből induló másik tetőél metszi a kémény falát, ezért a vetett árnyéka ebből a döféspontból indul és 1 * -ig tart. h. Az előző ponthoz hasonlóan határozható meg az 1 ** vetett árnyék, illetve az abból kiinduló tetőélek házfalra vetett árnyéka. i. Szintén az 1 * megszerkesztésének elvét követve kapjuk a 2-es és 4-es pontok falakra vetett árnyékait is: 2 * és 4 *. A 2-esből és 4-esből induló vízszintes tetőélek függőleges falra vetett árnyékai párhuzamosak magukkal a tetőélekkel. Emiatt a tetőélek falra vetett árnyékait a 2 * I b és 4 * I b egyenesek megfelelő szakaszai adják. j. A függőleges falak éleinek földre vetett árnyékait már korábban meghatároztuk. Ezen függőleges élek függőleges falra vetett árnyékai függőlegesek maradnak. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen él falra vetett árnyéka az adott fal és az él földre vetett árnyékának metszéspontjából indul. Ilyen a ház a 7-es pontjából, illetve a kémény 5-ös pontjából lefelé futó él vetett árnyéka: egy része a földre vetül, majd megtörve egy függőleges falra kúszik fel. k. A megszerkesztett árnyékok közös részét tekintve az összes rávetett árnyékot megszerkesztettük. Ezekből, valamint a földre vetett árnyékokból kiindulva az önárnyékos részek meghatározása már evidens. 3