Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben Sztochasztikus rezonancia Makra Péter SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék 2009-2010. őszi félév Változat: 0.1 Legutóbbi frissítés: 2009. november 4. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 1 / 36
Tartalom 1 Bevezetés 2 A jel-zaj viszony 3 A sztochasztikus rezonancia eredete 4 Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy 5 Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben 6 Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 2 / 36
Bevezetés Zajok jótékony szerepben zajok információforrásként vízforralás motordiagnosztika: motorhang neutronfluxus-ingadozások mérése atomreaktorokban integrált áramkörök roncsolásmentes megbízhatósági tesztje szívritmus- és vérnyomásfluktuációk Lehet-e haszna a zaj növelésének? zajok konstruktív szerepben technikai alkalmazások dithering sztochasztikus rezonancia Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 3 / 36
Bevezetés Sztochasztikus rezonancia Jelátvitel-optimalizálás zaj segítségével Jel Zaj + Jel-zaj viszony 7 6 5 4 3 2 1 Nemlineáris rendszer 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Zajintenzitás Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 4 / 36
Bevezetés Sztochasztikus rezonanciát mutató rendszerek jégkorszakok váltakozása két stabil állapottal rendelkező lézer (gyűrűlézer) gyenge mágneses terek érzékelésére szolgáló eszköz: SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) biológiai rendszerek (idegsejtek, érzékelés, pl hallás) általában: küszöbszinttel rendelkező rendszerek: monostabil, bistabil, multistabil zajos rendszerek Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 5 / 36
A jel-zaj viszony A jel-zaj viszony jel/zaj teljesítményhányados keskenysávú: az alapharmonikusnál szélessávú: a teljes spektrumban S ( f ) S jel S ( f ) S jel, 3 S jel, 1 S jel, 2 S zaj f S zaj f Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 6 / 36
A jel-zaj viszony A jel-zaj viszony Keskenysávú: Szélessávú: R := lim f 0 f 0 + f f 0 f S zaj (f 0 ) S jel (f)df R w := P jel P zaj = lim kf 0 + f k=1 f 0 kf 0 f S zaj (f)df 0 S jel (f)df Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 7 / 36
A jel-zaj viszony A kétféle definíció sávszűrőn átengedett jelnél Amplitúdó (V) 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t (s) Amplitúdó (V) 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t (s) S (V 2 /Hz) 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 R 0 = 4410 R w, 0 = 0,503 S (V 2 /Hz) 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 R 1 = 4560 R w, 1 = 407 1E-6 1E-6 0 20 40 60 80 100 f (Hz) 0 20 40 60 80 100 f (Hz) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 8 / 36
A sztochasztikus rezonancia eredete Éghajlatváltozások BENZI, R SUTERA, A VULPIANI, A: The mechanism of stochastic resonance. Journal of Physics A, vol 14 (1981) L453 L457. p. kovamoszat-üledékekben található oxigénizotópok aránya jégkorszakok kb 100 000 éves periódussal ismétlődnek Föld-pálya excentricitásának ingadozásában föllelhető periodicitás modell (T a globális átlaghőmérséklet): C dt dt = µ (t) P [1 α (T)] σt4, (1) ahol C a Föld hőkapacitása, µ (t) egy a Föld-pálya excentricitását jellemző paraméter, P a Föld felszínét érő napsugárzás átlagos sugárzási teljesítménye, α (T) az átlagos albedó, σ pedig a Föld infravörös sugárzás útján történő hűlését jellemző átlagos renormált Stefan Boltzmann-állandó. az excentricitás 10 5 év periódusidővel változik: µ (t) = 1 + A cos (Ωt) Ω := 2π 10 5. (2) év Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 9 / 36
A sztochasztikus rezonancia eredete Éghajlatváltozások az (1) egyenlet átírható egy φ (T) potenciál terében mozgó részecske T koordinátával leírt túlcsillapított mozgásának egyenletével analóg formába: dt dt = φ, φ (T) := T T 0 1 µ (t) P [1 α (ϑ)] + σϑ 4 dϑ. (3) stabil egyensúlyi állapotok: φ (T) minimumhelyei (T 1 : jégkorszak., T 2 : jégmentes korszak) becslések: µ (t), azaz az excentricitás ingadozása nem elegendő az átmenethez C ξ (t): a légköri és az óceáni áramlások fluktuációinak és a véletlenszerű albedóváltozások együttes hatása; fehérzaj az új modell: dt dt = φ + ξ (t), ξ (t) = 0, ξ (t) ξ (t + τ) = 2Dδ (τ), (4) T Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 10 / 36
Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy A kettős potenciálvölgy V(x) x V -x m x m Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 11 / 36
Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy Általánosított modell részecske mozgása erős, sebességfüggő közegellenállás mellett egy negyedfokú V(x) potenciáltérben, ahol V(x) := a 2 x2 + b 4 x4. az m tömegű részecskére periodikus gerjesztés és egy ξ(t) fehérzaj hat, a mozgásegyenlet: mẍ = γẋ x V(x) + A 0 cos(ωt) + ξ(t). egyszerűsítés: stacionáriusnak tekintett mozgás (ẍ = 0), skálatranszformációkkal dimenziótlanná tétel a modell alapegyenlete: ẋ = x x 3 + A 0 cos(ωt) + ξ(t). analóg megoldásoknál a megfelelő integrálegyenlet: t x(t) = x x 3 + A 0 cos(ωϑ) + ξ(ϑ) dϑ 0 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 12 / 36
Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy Megoldások lineáris válasz -elmélet: amikor a zaj mellett a periodikus gerjesztés kis perturbációnak tekinthető, és a rendszer válasza lineárisként közelíthető; a statisztikus fizika módszereivel kétállapotú közelítés: csak azt az információt tartjuk meg, hogy a részecske melyik potenciálvölgyben tartózkodik; a dinamika a +x m és a x m állapotok közötti átmenetek leírására egyszerűsödik modellezés: numerikus szimuláció analóg modellezés Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 13 / 36
Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy A kétállapotú közelítés ha n ± (t) annak a valószínűsége, hogy a t időpillanatban a részecske a ±x m állapotban tartózkodik, és W (t) a ±x m x m átmenet időegységre vonatkoztatott valószínűsége, az alapegyenlet ṅ ± (t) = W (t)n ± + W ± (t)n ennek megoldása asszimptotikus határesetben (a tranziensek elmúltával): E as [x(t)] := lim E[x(t) x 0, t 0 ] = z(d) cos Ωt φ(d), t 0 ahol D a zaj effektív értéke és z(d) := A 0x 2 m D 2r K, 4r 2 K + Ω2 Ω φ(d) := arctg 2r K és r K az ún. Kramers-ráta, amely periodikus gerjesztés nélküli esetben leírja a potenciálvölgyek közti átmenetek gyakoriságát: r K = 1 2 π e V D. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 14 / 36
Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy A jel-zaj viszony kétállapotú közelítésben R (Hz) 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 D A0 x 2 m R(D) = π r K = D 1 2 A0 x m D 2 e V D Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 15 / 36
Általánosított modell: a kettős potenciálvölgy Kimeneti jelalakok 1,5 1,0 1,5 1,0 1,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0-0,5-0,5-0,5-1,0-1,5 1000 2000 3000 t (s) -1,0-1,5 1000 2000 3000 t (s) -1,0-1,5 1000 2000 3000 t (s) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 16 / 36
Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben Cochlea-implantátumok Cochlea-beültetés: a külső mikrofon jelét a jelföldolgozó egység elektromos impulzusokká alakítja, amelyeket a csigában (cochlea) elhelyezett elektródák továbbítanak Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 17 / 36
Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben Cochlea-implantátumok normális esetben a csigában (cochlea) található szőrsejtek a hang hatására mozgásba jönnek, és elektromos impulzusokat adnak le, ezt érzékelik az idegsejtek a szőrsejtek hiánya vagy károsodása esetén: beültetés, elektromosan ingerli a hallóideget a külső mikrofon jelének kódolása: sokféle FFT-vel, beszédhangokra jellemző komponensek azonosításával, &c a beteg továbbra is nehezen hallja a beszédet zajos szobában, vagy a zenét megoldás: zajt keverni a kódolt elektromos jelhez egészséges emberben a szőrsejtek véletlenszerű mozgása, illetve az ingerületátvivők fölszabadulásának véletlenszerűsége része a természetes kódolásnak, a mesterséges zaj ezt pótolja 1 1 lásd MONITA CHATTERJEE MARK E ROBERT, Journal of the Association for Research in Otolaryngology 2 (2001), illetve itt Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 18 / 36
Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben Hogyan vadászik a kanalas tokhal? D F RUSSELL &al, Nature 402 (1999) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 19 / 36
Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben A tokhal hatáskeresztmetszete D F RUSSELL &al, Nature 402 (1999) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 20 / 36
Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben Baroreflexes sztochasztikus rezonancia emberben HIDAKA &al, Physical Review Letters 85 (2000) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 21 / 36
Sztochasztikus rezonancia biológiai rendszerekben Baroreflexes sztochasztikus rezonancia emberben HIDAKA &al, Physical Review Letters 85 (2000) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 22 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés 15000 BEMENET ERÕSÍTÉS R ki > R be? Jel-zaj viszony 10000 5000 KIMENET 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Zajintenzitás szűrők: működésük lényege a nagy jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonancia: a zajszint növelése a zajos bemenő jelhez képest is javítja a kimenő jelet jelentősége biológiai rendszerekben lehet, másutt a szűrők jobban teljesítenek Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 23 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben A periodikus bemenőjel és spektruma A bemenőjel T 0,3 0,25 A S (V 2 /Hz) 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 10 20 30 f (Hz) Kitöltési tényező: θ = 2τ T 100% Jelentőség: a technikai alkalmazásokban, idegi jelenségekben előforduló jelek impulzusszerűek Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 24 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben Eredmények: az amplitúdó szerepe Jel-zaj viszony R 100000 10000 1000 100 Keskenysávú Jelamplitúdó KI, 70% KI, 80% KI, 90% BE, 70% BE, 80% BE, 90% R w 100,0 10,0 1,0 Szélessávú Jelamplitúdó KI, 70% KI, 80% KI, 90% BE, 70% BE, 80% BE, 90% 10 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Jelamplitúdó 100,00 70% 80% 90% 10,00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Jelamplitúdó 100,00 70% 80% 90% 10,00 Erõsítés G 1,00 0,10 G w 1,00 0,10 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Növekvő amplitúdók (erősödő nemlinearitás) növekvő erősítés. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 25 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben Eredmények: a kitöltési tényező szerepe Jel-zaj viszony erõsítés G 100,00 10,00 1,00 0,10 Keskenysávú Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás G w 100,00 10,00 1,00 0,10 Szélessávú Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Keskeny impulzusok növekvő erősítés. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 26 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben Miért a kis kitöltési tényező jó? Jel-zaj viszony 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 BEMENET Kitöltési tényezõ KIMENET 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás 10% 20% 30% Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 27 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben Összehasonlítás: Schmitt-trigger kettős potenciálvölgy: dinamikai rendszer véges válaszidő egyfajta szűrés a kimeneten ez-e a jeljavítás oka? eldöntés: összehasonlítás egy nemdinamikai rendszerrel, a Schmitt-triggerrel (hiszterézises komparátor) Módszer: numerikus szimuláció Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 28 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés a kettős potenciálvölgyben Schmitt-trigger: eredmények 100,0 Keskenysávú Jelamplitúdó 70% 80% 90% 100,0 Szélessávú Jelamplitúdó 70% 80% 90% 10,0 10,0 Jel-zaj viszony erõsítés G 1,0 100,0 10,0 Zajszórás G w 0,1 0,1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% 1,0 100,0 10,0 Zajszórás Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% G G w 1,0 1,0 0,1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Zajszórás 0,1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Zajszórás Hasonló a kettős potenciálvölgyhöz nem a dinamika a döntő Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 29 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Színes zajú gerjesztések a legtöbb vizsgálat: fehérzajjal ok: egyszerűbb elméleti kezelés a színes zajok jelentősége: igen elterjedtek valós rendszerekben a sztochasztikus rezonanciában legtöbbször lerontják a jel-zaj viszony értékét az optimalizáció lehetősége: egy neuronmodellben kisebb zajintenzitás elegendő a maximum eléréséhez (Nozaki &al, 1998) a színes zajok hatása a jel-zaj viszony erősítésre? Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 30 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra A vizsgált modellek és paraméterek Szintmetszésdetektor Schmitt-trigger Jel-zaj viszony erõsítés G max Zajszórás max Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 31 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Eredmények: a színes zajok hatása 25 G w 20 15 10 = 0 = 0,2 = 0,4 = 0,6 = 0,8 = 1 5 0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 A szélessávú jel-zaj viszony erősítés különböző, 1/f κ spektrális összefüggéssel jellemezhető színes zajokra Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 32 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Eredmények: maximumhely Maximumhely ( max ) 0,50 Keskenysávú Szélessávú 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 Szintmetszésdetektor 1/f Maximumhely ( max ) 1,6 Keskenysávú Szélessávú 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Schmitt-trigger 0,15 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) Nincs optimalizáció Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 33 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Eredmények: maximumérték Maximumérték (G max ) 140 Keskenysávú 120 Szélessávú 100 80 60 40 20 0-20 Szintmetszésdetektor 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) 1/f Maximumérték (G max ) 300 250 200 150 100 50 0 Schmitt-trigger Keskenysávú Szélessávú 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) A keskenysávú jel-zaj viszony erősítést a színes zajok optimalizálják Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 34 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra A keskenysávú jel-zaj viszony erősítés a bemeneti zaj spektrumának alakja: S zaj, be (f) = C(σ,κ), ahol σ a zajszórás f κ Parseval-tétel: az összteljesítmény (integrált amplitúdónégyzet) ugyanannyi időtartományban, mint frekvenciatartományban σ 2 = f max 0 S zaj, be (f) df C(σ, κ) = σ 2 f max 0 1 f df κ így a zaj teljesítménysűrűség-spektruma a bemeneten: S zaj, be (f) = σ 2 1 κ fmax 1 κ f κ (0 κ < 1) ebből megkaphatjuk a bemeneti jel-zaj viszonyt: R be (κ, σ) = lim f 0 f 0 + f f 0 f 1 = σ 2 1 κ f 1 κ max S jel, be (f) df f 1 κ max = P(A, f 0 ) f κ 0 S zaj, be (f 0 ) σ 2 (1 κ) ahol P(A, f 0 ) a bemenőjel teljesítménye az alapfrekvencia közvetlen környezetében (0 κ < 1) (0 κ < 1), Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 35 / 36
Jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonanciával Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra A keskenysávú jel-zaj viszony erősítés 2 R be ( )/P(A, f 0 ) 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 BEMENET 1/f 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Spektrális kitevõ ( ) Maximumukkal normált értékek 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 BE- ÉS KIMENET R be, elméleti R ki, szimulációból G 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Spektrális kitevõ ( ) R be (κ, σ) = P(A, f 0 ) f 1 κ max f κ 0 σ 2 (1 κ) (0 κ < 1) κ ext = 1 + 1 ln f 0 fmax Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben 2009-2010. őszi félév 36 / 36