. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik a fürd kádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi id alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban lev vízmennyiséget az eltelt id függvényében! 80. Válasz a kérdésre: 6 perc alatt telik meg a kád, mert = 6. 5. Értéktáblázat készítése: T (perc) 4 8 6 L (liter) 5 0 5 0 40 60 80. Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt id t az x tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x 5 x vagy f (x) = 5 x.
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Mintapélda Egy 0 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt id t l függ en! 0. Válasz a kérdésre: A gyertya óra alatt = 5 cm-t csökken, fél óra alatt,5 cm-rel 4 lesz alacsonyabb.. Értéktáblázat készítése: T (h) 0 0,5,5 4 M (cm) 0 7,5 5,5 0 5 0. Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt id t az x tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x 5 x + 0. vagy f (x) = 5 x + 0.
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 0 km/h sebességgel halad. Mennyi id alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! v. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t = = 50 = 0, 4 5. s 0. Értéktáblázat készítése: s (km) 0 0 0 40 45 50 km v h 0 0 0 0 0 0 0. Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az x tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így: x 0, vagyis f (x) = 0.
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9 II. A lineáris függvény Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = mx + b képlettel adhatjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont második koordinátája. Ha m = 0, akkor az f ( x ) = b. f(x) = mx + b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans (nulladfokú) függvénynek nevezünk. Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes.. f(x) = b Ha m 0, akkor ez a lineáris függvény els fokú.. f(x) = mx, ha m > 0 4. f(x) = mx, ha m < 0 Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növ, vagyis növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökken, vagyis növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = mx függvény az egyenes arányosság függvénye, az arányossági tényez az m. (Minden x érték esetén az f(x) érték m-szerese az x-nek). A grafikonról leolvashatjuk, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.
0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x) = x 5 hozzárendeléssel megadott függvényt! Ábrázolása:. Az y tengelyt a 5 pontban metszi.. Ebb l a pontból kiindulva a + meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: x =,5. 4. Szigorúan növekv (mivel a meredeksége pozitív el jel ). Mintapélda 5 Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( x) = x + hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Ábrázolása:. Az y tengelyt a + pontban metszi.. Ebb l a pontból kiindulva a meredekség miatt 4 4 egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: x = 4. 4. Szigorúan csökken (mivel a meredeksége negatív el jel ).
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Feladatok. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f ( x) = x ; b) f ( x) = ; c) f ( x) = x ; d) ( x) f =.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f ( x) = x 5 ; b) f ( x) = x + 4 ; c) f ( x) = 5 x ; d) ( x) = x 4 f.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f ( x ) = x + 5 ; b) ( ) f x = x ; c) ( ) f x = x ; d) f ( x ) = x + 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! + = x 6 4 = x 5 x + f x. a) f ( x) ; b) f ( x) ; c) f ( x) = ; d) ( x ) =
MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 x, Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = x 8, megadott függvény grafikonját! ha ha x 5 x > 5 hozzárendelési utasítással Ábrázoljuk el ször az ( x) = x f függvény grafikonját a ] ; 5] intervallumon, majd folytassuk az ( x) = x 8 f függvény grafi- konjával az ] 5; [ intervallumon. Közben megfigyelhetjük, hogy az x = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik fel a függvények: f ( 5) = 5, ( 5) = 5 8 = f. = Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = függvény grafikonját! x 5 x 5 hozzárendelési utasítással megadott Egyszer sítsük a törtet! x 5 f ( x) = = ( x + 5 ) ( x 5 ) = x + 5, x 5 ( x 5) x 5. Ábrázoláskor figyeljünk arra, hogy a függvény az x = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük.
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! x x 6 x a) f ( x ) = ; b) f ( x ) = ; c) f ( x ) = ( x ) ; x x + 4 x x + 6x + 9 x d) f ( x ) = ; e) f ( x ) = ; f) f ( x ) = x + x x +, ha x ; x 4, ha x < x, ha g) f ( x ) = 6, ha x x, ha ; h) f ( x ) = x > x 4, ha x >. x Mintapélda 8 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( ; 5) ponton és az y tengelyt a 0 helyen metszi! b) átmegy a P( ; ) ponton és grafikonja párhuzamos az ( x) = x + 6 utasítással megadott függvény grafikonjával! f hozzárendelési a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( x) mx + b Adott: P( ; 5), valamint b = 0. =. f ( x) az x helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így x = és f ( ) = 5. Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe kapjuk: 5 = m 0 m = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: ( x) = 5x 0 f. b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( x) mx + b Adott: P( ; ). Az el z példához hasonlóan = x és ( ) = f. Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az ( x) = x + 6 =. f függvény képével, akkor a meredekségük megegyezik. A keresett hozzárendelési szabályban a meredekség tehát szintén. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe kapjuk: = ( ) + b, ebb l b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: ( x) = x + 5 g.
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( 7; 4) ponton, és a meredeksége! b) átmegy a P( ; ) ponton és az x tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P( ; 6) ponton, és meredeksége 0! d) átmegy a P( 00; ) ponton és párhuzamos az x tengellyel! e) átmegy a P( ; 4) és a Q( 4; ) pontokon! 7. a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelel en rajzold be a koordinátatengelyeket! f ( x) = x 5 ; f ( x) = x ; ( x) = x + f ; b) Írd fel a következ grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is!
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 II. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenl tlenségek grafikus megoldása. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Mintapélda 8 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank havi számlafenntartási díja 00 Ft, de havonta tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 00 Ft. A másik banknál a havi számlafenntartási díj 00 Ft, de minden tranzakció 50 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha havonta 5 tranzakció történik? Havonta hány tranzakció esetén éri meg az els bank, illetve a második? Válaszaidat indokold! Értéktáblázat készítése: Egyik bank: Havonta a tranzakciók száma 4 5 6 Díj (Ft) 00 00 400 500 600 700 Másik bank: Havonta a tranzakciók száma 4 5 6 Díj (Ft) 50 400 550 700 850 000 Hozzárendelési szabályok: x-szel jelöljük a tranzakciók számát. Egyik bank: ( x) ( x ) 00 + 00, x e = ; 00, x { ;} Másik bank: m( x) 00 + 50x =.
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Grafikon készítése: Szöveges válasz: Havi 5 tranzakció esetén az els bankot érdemes választani, mert itt csak 650 Ft-ot kell fizetnie, míg az másik banknál 850 Ft-ot. Havi egy tranzakció esetén a második bankban, de vagy annál több tranzakció esetén az els ben éri meg számlát nyitni. Feladatok Útmutató a következ 4 feladat megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat a következ képpen: töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatban a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! 8. Egy új autó 500 eft-ba kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz rá fordított költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben 00 eft-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó ára csak 800 eft, de az éves szervizdíja átlagosan 00 eft. Melyik autóra kell többet költenünk, ha a költségeket az autók 0 éves koráig összeszámoljuk? Melyik az a legkés bbi id pont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold!
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Kitöltend értéktáblázatok: Új autó év 0 6 7 8 0 5 költség (eft) Használt autó év 0 6 7 8 0 5 költség (eft) 9. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azonnal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 5 percbe telik, a busszal csak 7 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi id alatt tesz meg a busz, ill. a villamos km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltend értéktáblázatok: Villamos s (km) 0 0,5 4 5 t (min) Busz s (km) 0 0,5 4 5 t (min) 0. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autóbusszal. A táv 00 km, a biciklisták 5 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola el l. A busz 9-kor indul ugyanerr l a helyr l, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat éri hamarabb a célt? Hány órával kés bb ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kitöltend értéktáblázatok: Bicikli s (km) 0 0 40 60 70 80 00 t (h; perc) Autóbusz s (km) 0 0 40 60 70 80 00 t (h; perc). Kati szeretne beiratkozni könyvtárba. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj, és minden kölcsönzés 50 Ft. A másik könyvtárban 00 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az els, illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltend értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db) 0 5 7 8 9 Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db) 0 5 7 8 9 Összeg(Ft)
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9. Lineáris egyenl tlenségek Mintapélda 0 Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül az y + 4 < x egyenl tlenség? Az egyenl tlenséget y-ra rendezve kapjuk az y < x 4 egyenl tlenséget. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azokat a síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a baloldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatók. A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík. Az egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshalmazba (ezt szaggatott vonallal jelöljük).. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül, hogy a) y < x; b) y x + 4; c) y x + ; e) y > x 4?. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek! Hozzárendelési utasítások: f (x) = x 4 g (x) = x + h (x) = x + 4 i (x) = x Pontok: P( ; ) Q(5; ) R( ; ) S(; ) T( 6; ) U(0; ) V(,5 ; ) 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y ; b) x + 4 > 0,5, c) y < 5, d) x 4. 5. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) x + 4 > x ; b) x x + 5; c) 5 x 7 < 5 x + ; d) x x.
0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y > x ; b) y és x < ; c) y < x + és < x < 5. 7. Jellemezd az adott ponthalmazokat! a) b)
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK IV. El jel-, törtrész és egészrész függvény. El jelfüggvény Azt a függvényt, amely a negatív valós számokhoz -et, a pozitív valós számokhoz +-et, a 0-hoz pedig 0-át rendel, el jelfüggvénynek (szignum függvénynek) nevezzük., ha x > 0 A valós számok halmazán értelmezett sgn( x ) = 0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással, ha x < 0 megadott függvény grafikonja a következ : Jellemzés: É.T.: R. É.K.: { ; 0; }. Zérushely: x = 0. Monotonitás: monoton növekv. Széls érték: minimumhely: minden x < 0 esetén; minimumérték: ; maximumhely: minden x > 0 esetén; maximumérték:. Paritás: páratlan, mert sgn( x) = sgn(x).. Egészrész-függvény Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Az egészrész jele: [x] A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következ :
MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T.: R. É.K.: Z. Zérushely: 0 x <. Monotonitás: Az értelmezési tartományán monoton növekv, de szakaszonként állandó. Ha k egész szám, akkor k x < k+ helyeken k értéket veszi fel. Széls érték: nincs széls értéke.. Törtrész-függvény Ha egy számból elveszük az egészrészét, akkor a törtrésze marad. Jelölése: x [x] = {x} A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következ : Jellemzés: É.T: R. É.K: [0; [. Zérushely: x Z. Monotonitás: Ha k Z, akkor a [k; k+[ intervallumon szigorúan növekv. Széls érték: minimumhely: x Z; minimumérték: 0; maximuma nincs. A függvény periodikus, vagyis tetsz leges helyen ugyanazt a függvényértéket veszi fel, mint az -gyel, vagy bármely egész számmal nagyobb helyen. Az a legkisebb ilyen pozitív egész szám, ezt nevezzük a periódus hosszának. Jelöléssel: f(x + ) = f(x), tetsz leges k Z esetén f(x) = f(x + k).
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Mintapélda Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = [x]; b) g(x) = {x}; c) h(x) = sgn (x + ). a) A függvény a 0 értéket a [0; 0,5[ intervallumon veszi fel, pl.: [0 [ = 0, de [0,5 [ =. Az értéket a [0,5; [ intervallumon veszi fel, pl.: [0,5 [ =, de [ [ = stb. A grafikon: b) Az alapfüggvény minden függvényértéke kétszeresére n : c) A függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén egységgel:
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 8. Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = [x]; b) f(x) = [ x]; c) f(x) = [ x] d) f(x) = [x] + ; e) f(x) = [x ] ; f) f(x) = [x + ]; g) f(x) = [x ]. ; 9. Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = {x}; b) f(x) = { x}; c) f(x) = d) f(x) = {x} ; e) f(x) = {x + }. x ; 0. Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = sgn(x); b) f(x) = sgn( x); c) f(x) = sgn( x ); d) f(x) = sgn(x) ; e) f(x) = sgn(x).
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 Kislexikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az els fokú függvények összessége. Grafikonja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete) mindig megadható f ( x) = mx + b alakban, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont. koordinátája. b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón. Ha m = 0, akkor a függvény konstans függvény, grafikonja párhuzamos az x tengellyel. Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépni pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Lineáris függvény monotonitása: ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növ, vagyis ha az x helyébe bármely két különböz valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez nagyobb függvényérték tartozik. ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökken, vagyis ha az x helyébe bármely két különböz valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez kisebb függvényérték tartozik. Pont és egyenes illeszkedése: A P(x 0 ;y 0 ) pont rajta van az f ( x) mx + b = hozzárendelési utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0 -t; f(x) helyébe y0 -t helyettesítve az egyenl ség teljesül. Ha y 0 > mx0 + b, akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el, ha y 0 < mx0 + b, akkor pedig alatta van. Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f ( x) = mx, m 0 függvény írja le, ahol m az arányossági tényez. lineáris
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE El jelfüggvénynek (szignumfüggvénynek) nevezzük a valós számok halmazán értelmezett, ha x > 0 sgn( x ) = 0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt., ha x < 0 Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x nél. Az egészrész jele: [x]. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Ha egy számból elveszük az egész részét, akkor a törtrésze marad. Jelölése: x [x] = {x}. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük.
. MODUL ABSZOLÚTÉRTÉK- FÜGGVÉNY Készítette: Csákvári Ágnes
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Az abszolútérték-függvény definíciója Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0 a, ha a 0 a = a, ha a < 0 A valós számok halmazán értelmezett abszolútérték-függvényt az x, ha x 0 f (x) = x = x, ha x < 0 hozzárendelési utasítással definiáljuk. Ez szemléletesen azt mutatja meg, hogy a szám milyen messze van a 0-tól a számegyenesen. Az abszolútérték-függvény ( f (x) = x ) tulajdonságai x 5 0,5 5 4 f(x) 5 0,5 5 4 0,6. 0 0,6. 0,6,6. Monotonitás: Ha x < 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = x függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken. Ha x 0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton növekv.. Zérushely: Az f(x) = x függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel.. Széls érték: Az f (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 (Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökken, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekv.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f(x) = 0. A g (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen maximuma van. (Látható, hogy a g függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton növekv, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton csökken.) Másképp: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legnagyobb értékét, ekkor g (x)=0. Megállapításainkat értéktáblázattal is alátámasztjuk: x 5 0,5 5 4 g(x) 5 0,5 5 4 0,6. 0 0,6. 0,6,6 4. A h (x) = x függvénynek az x = 0-ban helyi (lokális) maximuma van, és maxi- mumértéke h(0)=. Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának az x = 0 hely egy környezetében van olyan valódi részhalmaza, amelyen a h függvény nem vesz fel -nál nagyobb értéket, de ez a teljes értelmezési tartományra természetesen nem feltétlenül igaz. x 6 5 4 0 4 5 6 h(x) 0 0
0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Az f (x) = x + 5 hozzárendelési szabály alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Számítás el tt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! x 0 f(x) 5 4 9 0 0 4 0 ; ; 6 5 0 4 Függvényértékek számítása: f ( 0 ) = 0 + 5 = 5 f ( ) = + 5 = + 5 = + 5 = 4 4 4 5 f ( ) = + 5 = + 5 = + 5 = + = 9 9 9 Adott függvényértékek esetén az x értékek számítása: f (x) = 6 Tipp az x helyek számára: 0 x + 5 = 6 A tipp indoklása: a x sohasem lehet pozitív, így a függvény 5 nél nagyobb értéket nem vehet fel. x = x = Ellentmondás, mert az abszolútérték-függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. f (x) = 5 Tipp az x helyek számára: x + 5 = 5 x = 0 x = 0 x = 0
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY f (x) = 0 Tipp az x helyek számára: x + 5 = 0 x = 5 0 x x = = x 0 = 0 = A többi függvényértékhez tartozó x helye(ke)t is ugyanígy kell kiszámolni. Feladatok Az.,.,., feladatok megoldásánál figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás el tt próbáld megtippelni az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellen rizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a (x) = x x 0 / a(x) 6 0 b) b (x) = x + 4 x 0 4 b(x) 0 6 4 c) c (x) = x x 0 4 c(x) 0 4 d) d (x) = x x 5 6 0 0,75 d(x) 0 5 0
MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a (x) = x a ( 8 ) =?; a ( ) =?; a ( 4 ) =? x =?, ha a (x) = 4; ; 0; ; 4 b) b (x) = x + b ( 0,5 ) =?; b ( 0 ) =?; b ( 5 ) =? x =?, ha b (x) = ; 0; ; ;. c) c (x) = x + 4 c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c (,4 ) =? x =?, ha c (x) = 5; 4; ; 0; 0,5. d) d (x) = x 4 5 d ( 8 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =? x =?, ha d (x) = 4; 0; ; 5; 6.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a (x) = x 6 + 8 a ( ) =?; a ( ) =?; a ( 0 ) =? x =?, ha a (x) = 0; 6; 4; 0;. b) b (x) = x + b ( 5 ) =?; b ( ) =?; b ( ) =? x =?, ha b (x) = 4; ; 0; ; 5. c) c (x) = x + c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c ( 0, ) =? x =?, ha c (x) = ; ; 4 ; 0; 0,5. d) d (x) = x + + d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d (,75 ) =? x =?, ha d (x) = ; ; ; 0; 4.
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Az abszolútérték-függvény transzformálása Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x, a g (x) = x illetve a (x) = x + hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasznál- hatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x 5 4, 0 g(x), 0 h(x) 7 6, 5 4 4 5 7 0 8 4 5 6 7 g (x) = x, x, ha ha x 0 x < 0 h (x) = x +, x +, ha ha x 0 x < 0 Ha az f függvény értékeib l -at vonunk ki, akkor a g függvény megfelel értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény megfelel értéke lesz az eredmény. Ez a grafikonon az f (x) függvény grafikonjának eltolását eredményezi az y tengely mentén illetve + egységgel. Általánosságban: a g (x) = x + a ( a 0 tól különböz, tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén a egységgel a < 0 esetén lefelé, a > 0 esetén felfelé.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Az abszolútérték-függvény transzformálása: x tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x, a g (x) = x + illetve a h (x) = x hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x 5 4, 0 f(x) 5 4, 0 g(x) 4, 0 4 4 4 4 5 4 5 4 5 6 x 5 4, 0 4 f(x) 5 4, 0 4 h(x) 7 6, 5 4 0 4 5 5 4 5 5 5 g (x) = h (x) = x +, ha x, ha x, ha x +, ha x x < x x < Az értéktáblázatból is látható, hogy a g függvény ugyanazokat az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt is jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény ugyanazokat az értékeit egységgel kés bb veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti egységgel, pozitív irányba történ eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = x + a ( a 0 tól különböz, tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén a egységgel a el jelével ellentétes irányba: a < 0 esetén pozitív, a > 0 esetén negatív irányba. Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonját! f (x) = x ; g (x) = x ; h (x) = x. Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! x 0, g(x) 9 6 0,9 6 9 x,5 0 h(x),5 0 x g(x)= x, ha, ha x 0 x < 0 x, ha h(x)= x, ha x 0 x < 0
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 7. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonját: f (x) = x ; g (x) = x ; h (x) = x! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! x 0, x 0, g(x) 9 6 0,9 6 9 x,5 0 x,5 0 h(x),5 0 Észrevehetjük, hogy x, ha g(x)= x, ha x 0 x < 0 x, ha h(x)= x, ha x 0 x < 0. az x és az x függvények grafikonja és tulajdonságaik megegyeznek. az f függvény értékeit -mal szorozva, a g függvény értékeit, míg del szorozva, a h függvény értékeit kapjuk meg. A definíciót felhasználva láthatjuk, hogy a megfelel lineáris függvény meredekségét változtatta meg ez a szorzótényez. Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk az abszolútérték definíciójából is két lineáris függvény ábrázolásával. Általánosságban: az f (x) = x függvényb l a g (x) = a x függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényez 0 és között van, akkor az abszolútérték-függvény grafikonja szétnyílik, -nél nagyobb, akkor a grafikon meredekebb lesz, negatív, akkor a grafikon az x tengelyre is tükröz dik. Megjegyzés: Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk egyetlen lineáris függvényb l is a következ módon: el ször a lineáris függvény grafikonját nyújtjuk vagy zsugorítjuk, majd az x tengely alatti (ahol a függvény negatív értékeket vesz fel) részt tükrözzük az x tengelyre. Ezek a transzformációk megjelennek a lineáris függvényeknél is.
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Válaszolj a következ kérdésekre!. Mit értünk egy szám abszolútértékén? Mit jelent szemléletesen?. Mi az abszolútérték-függvény definíciója?. A függvény legyen adott f (x) = x + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetsz le- ges valós szám. Ez a függvény mely y értékeket veszi fel 0, ill. helyen? 4. A függvény legyen adott f (x) = x + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetsz le- ges valós szám. Milyen b értékek esetén lesz a függvénynek 0, ill. zérushelye? 5. Mi a különbség az f (x) = x + 5, illetve az f (x) = x + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonja között? 6. Az f (x) = x + függvénynek hol van széls értéke? Maximuma vagy mini- muma van? Mekkora ez a függvényérték? 7. Hogyan változik az f (x) = x + + függvény széls értéke a 6. feladatban található függvény széls értékéhez képest? 8. Az f (x) = c x függvénynek milyen c értékek esetén van minimuma, illetve maxi- muma? 9. Hogyan változik az f (x) = x függvény grafikonja, ha az x t megszorozzuk egy ]0;[ intervallumbeli számmal? 0. Jellemezd az f (x) = c x hozzárendelési utasítással megadott függvény monotoni- tását negatív, illetve pozitív c értékek esetén!
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x, x [ 4;6 [ hozzárende- 4 lési utasítással megadott függvényt! Értéktáblázattal: x 4 0 4 5 5,9 9 9 f(x) 0 4,75 4,45 4 4 4 4 Transzformációs lépések:. h (x) = x. g (x) = x 4. f (x) = x 4 Definíció szerint: f (x) = x 4 x 4, ha, ha x 0 x < 0 Jellemzés: É.T.: 4 x < 6, ahol x valós. É.K.: 4,5 < f (x) 0. Zérushely: x = 0. Monotonitás: 4 x < 0 intervallumon szigorúan monoton növekv. 0 x <6 intervallumon szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) = 0.
40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Értéktáblázattal: x 4 0 4 f(x) 6 5 4 4 5 6 Transzformációs lépések:. h (x) = x. g (x) = x. f (x) = x Definíció szerint: x, ha f (x) = x, ha x 0 x < 0 Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: f (x). Zérushely: nincs. Monotonitás: x 0 esetén szigorúan monoton növekv. 0 < x esetén szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) =.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x 6 + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Értéktáblázattal: x 0 4 5 6 7 9 f(x) 0 7 4 4 7 Transzformációs lépések:. h (x) = x. g (x) = x 6. f (x) = x 6 + Definíció szerint: x 6 + = x 5 f (x) = x + 6 + = x + 7, ha, ha x 6 x < 6 Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: f (x). Zérushely: nincs. Monotonitás: x < 6 esetén szigorúan monoton csökken. x 6 esetén szigorúan monoton növekv. Széls érték: x = 6 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( 6 ) =.
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Transzformációs lépések:. l (x) = x. h (x) = x +. g (x) = x + 4. f (x) = x + Definíció szerint: x, ha f (x) = x +, ha x x < Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: f (x) 0. Zérushely: x = 0. Monotonitás: x < esetén szigorúan monoton növekv. x esetén szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( ) = 0.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 6 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + 8, x [ ; 5 [ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Transzformációs lépések:. l (x) = x. h (x) = x. g (x) = x 4. f (x) = x + 8 Definíció szerint: 9 5 ( x ) + 8 = x + + 8 = x + f (x) = 9 7 ( x ) + 8 = x + 8 = x + Jellemzés: É.T.: x [ ; 5 [, ahol x valós. É.K.: f (x) 8., ha, ha x < 5 x < Zérushely: nincs. Monotonitás: x < 5 intervallumon szigorúan monoton csökken. x < intervallumon szigorúan monoton növekv. Széls érték: x = helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( ) = 8. x = helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( ) =.
44 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + 5 4 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: 0 f (x). Zérushely: x = 9 és x = helyeken. Monotonitás: Transzformációs lépések:. l (x) = x. h (x) = x + 5. g (x) = x + 5 4 4. f (x) = x + 5 4 Definíció szerint: x +, ha x, ha f (x)= x + 9, ha x 9, ha x esetén szigorúan monoton növekv. x 5 x < 9 x < 5 x < 9 5 x < intervallumon szigorúan monoton csökken. 9 x < 5 intervallumon szigorúan monoton növekv x < 9 esetén szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = 9 és x = helyeken minimuma van. A minimum értéke: f ( 9 ) = f ( ) = 0. x = 5 helyen lokális maximuma van. A maximum értéke: f ( 5 ) = 4.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 45 Mintapélda 8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + x 5, x [ 5;0[ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Definíció szerint: g (x) = x = x x +, ha, ha x x < h (x) = x 5 = x 5 x + 5, ha, ha x 5 x < 5 Két függvény összege szerepel. Az egyik grafikonjának csúcspontja -nál, a másiké 5-nél van, ezért a számegyenest részre tagoljuk, és eszerint vizsgáljuk a függvényt. Összegezve: f (x) = x 8 x + 8, ha, ha, ha 5 x < 0 x < 5 5 x <
46 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T: x [ 5; 0 [. É.K: f (x) 8. Zérushely: nincs. Monotonitás: 5 x < 0 intervallumon szigorúan monoton növekv. x < 5 intervallumon állandó (konstans) értéket vesz fel. 5 x < intervallumon szigorúan monoton csökken. Széls érték: x < 5 intervallumon minimuma van. A minimum értéke: f (x) =. x = 5 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 5 ) = 8. Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) = x + 5, 8 x ; b) f (x) = x 7 ; c) f (x) = x + ; d) f (x) = x 4, 6 x 4; e) f (x) = x ; 4 f) f (x) = x, x 5 [ 4; 8 [; g) f (x) = x, x ] 6; ]; h) f (x) = x ; i) f (x) = x ; j) f (x) = x + 4, 5 < x < ; k) f (x) = x ; l) f (x) = x ; m) f (x) = x + 5. 6. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) = x 4, < x < 7; b) f (x) = x + ; c) f (x) = x + 4; d) f (x) = x +, x [ 6;4]; e) f (x) = x +, x < 5; f) f (x) = x ; 4 g) f (x) = x 5, < x < 4; h) f (x) = x + 0; i) f (x) = x + ; 4 j) f (x) = 4 x, x ] ; 5 ]; k) f (x) = x ; l) f (x) = x + +.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 47 7. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 a) f (x) = x + 4 ; b) f (x) = x 5 + 8, x [ ; 8 [; c) f (x) = x + 5 + ; d) f (x) = x + 5 +, x [ 8; ]; e) f (x) = + x 4, x [ 0;0[; f) f (x) = 4 x + 8 +, x [ ; 7 ]; 4 g) f (x) = x 5 ; h) f (x) = x, x ] 5; 6 ]; i) f (x) = x + 4 5 ; j) f (x) = x +, 5 < x 5. 8. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x ) = 5 x + ; b) f (x) = x + x; c) f (x) = x x ; x [ 6; 4 ]; d) f (x ) = x + x + ; x ] 8; [; e) f (x) = x + x 6 ; x [ 5; 0 [; f) f (x) = x + x ; g) f (x) = x x + 4 ; h) f (x) = x + x +. 9. Rajzold be az ábrákba a grafikon és a hozzárendelési utasítás alapján a koordinátarendszer tengelyeit! a) f (x) = x b) f (x) = x
48 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) f (x) = x + 5 d) f (x) = x + 8 e) f (x) = 4 x f) f (x) = x g) f (x) = x + 6 h) f (x) = x 4 i) f (x) = x + j) f (x) = x + + 4
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 49 Mintapélda 9 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m (x) = x 0 + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Egyik lehet ség: Másik lehet ség:. x tengely menti eltolás. x tengelyre történ tükrözés. x tengelyre történ tükrözés. x tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás Feladat 0. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: x tengely menti eltolás y tengely menti eltolás x tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = x + ; b (x) = x + ; c (x) = x ; d (x) = x ; e (x) = x ; f (x) = x + + ; g (x) = x ; h (x) = x + 4.
50 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 0 Állítsuk sorrendbe az el bbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m (x) = x + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Els lehet ség: (ez a sorrend általános érvény ). x tengely menti eltolás. x tengelyre történ tükrözés. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszer el bb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani) 4. y tengely menti eltolás Többi lehet ség: az els három transzformáció sorrendje tetsz legesen felcserélhet. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. ( =! = 5 ) Feladat. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: x tengely menti eltolás y tengely menti eltolás x tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a) a (x) = x + ; b) b (x) = x ; c) c (x) = x + ; 4 d) d (x) = x + 4 ; e) e (x) = x + ; f) f (x) = x +.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 III. Abszolútértékes egyenletek, egyenl tlenségek grafikus megoldása Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a x + 5 = egyenletet! A keresett értékek: x = 8, illetve x =. Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a x + 5 egyenl tlenséget! A keresett intervallum: 8 x. Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a x + 5 > egyenl tlenséget! A keresett intervallumok: x < 8 vagy x >. Feladat. Oldd meg grafikusan a következ egyenl tlenségeket! a) x ; b) x + > 4; c) x + 4 < 5 ; d) x ; e) x = x.
5 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Oldjuk meg az x 4 = x + egyenletet!. megoldás (grafikus): A keresett értékek: x = 8, x 5.. megoldás (algebrai): Az abszolútérték definícióját alkalmazzuk (esetszétválasztás): I. x 0 eset: x = x behelyettesítéssel adódik: x 4 = x +, ebb l x = 6 = 5 II. x < 0 eset: = ( x ) x behelyettesítéssel adódik: ( x ) 4 = x +, ebb l x = 8 A megoldás tehát x = 5, x = 8. Mintapélda 5 Oldjuk meg grafikusan a x 4 x + egyenl tlenséget! A metszéspontok x koordinátáját az el z mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: x < 8 vagy 5 < x
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Mintapélda 6 Oldjuk meg grafikusan a x 4 < x + egyenl tlenséget! A metszéspontok x koordinátáját a. mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: 8 x 5. Feladatok. Oldd meg grafikusan a következ egyenl tlenségeket, egyenletet! a) x + 5 < ; b) x + x + ; c) x 4 = x ; d) x > x +. 4. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket! a) = x 5; b) x 5 = 5; c) < x 5 5 ; 5. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl ség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete szín legyen! a) x < és y 4; b) x és y < 4; c) x és y > 4. Mintapélda 6 Színezzük ki azon pontok halmazát, melyek koordinátáira teljesül, hogy x < 4 és y <! A színezéshez használjuk fel a 5. feladatban leírtakat!
54 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket! a) x 8 = x ; b) x = x + ; c) x 8 x < x + ; d) x 8 > x vagy x x +. 7. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket! a) x + 5 > x + 6 ; b) x x ; c) x + 8 + 7 < x + 5 + ; d) x 4 + x 5 + ; e) x + x =. 8. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl ség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete szín legyen! a) x < 4 és y ; b) x 4 és y > ; c) x 4 és y.
. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 55 Kislexikon Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0. a, ha a 0 a = a, ha a < 0 Legyen x tetsz leges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény: x, ha x 0 f (x) = x = x, ha x < 0 Tulajdonságai:. Monotonitás Ha x < 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = x függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken. Ha x 0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekv nek nevezzük.. Zérushely: Az f (x) = x függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel.. Széls érték: Az f (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökken, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekv.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f (x) = 0
. MODUL MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes
58 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A másodfokú alapfüggvény definíciója, grafikonja és tulajdonságai A másodfokú alapfüggvény Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f (x) = x alakban írható fel. Adjunk meg táblázatban néhány értéket : x 6 0,5 5 4 f (x) 56 0,5 5 6 9 4 0,6 0 0,969 0 4 9, 4 9 7,69 Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f (x) = x függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek els tagja egy tetsz leges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következ görbét kapjuk: Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, hiszen x = ( x). A parabola szimmetriatengelyén lév pontját tengelypontnak nevezzük. Másodfokú hozzárendelési utasítással találkozhatunk az a oldalú négyzet területének, ill. az a oldalú kocka felszínének kiszámításakor, de a fizikában is találkozunk vele a szabadesés és az egyenletesen gyorsuló test mozgását leíró út id kapcsolatnál. A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai. Monotonitás Ha x 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken. Ha x 0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekv nek nevezzük.
. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 59. Zérushely Az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0. Az f (x) = x függvénynek az x = 0 pontban zérushelye van. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az x tengellyel.. Széls érték Az f (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van. Másképpen: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét. Tekintsük a g (x) = x függvényt! Adjunk meg táblázatban néhány értéket, és ezek segítségével ábrázoljuk a függvényt! x 6 0,5 5 4 g (x) 56 0,5 5 6 4 9 0,6 0 0,969 0 4 9, 4 9 7,69 A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0 helyen széls értéke, nevezetesen maximuma van. A g függvény nempozitív x-ek esetén szigorúan monoton növekv, nemnegatív x-ekre pedig szigorúan monoton csökken. Másképpen: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét. Mintapélda Az f (x) = ( x ) + hozzárendelési utasítás alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Figyeljünk arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás el tt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát!
60 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) b) x 0 4,5 6 f (x) x f (x) 4,5 6 a) Függvényértékek kiszámítása: f ( 0 ) = ( 0 ) + = ( ) + = 9 + = f ( 4,5 ) = ( 4,5 ) + = (,5 ) + =,5 + = 4,5 A többi függvényértéket is ehhez hasonlóan kell kiszámítani. Az eredmény: x 0 4,5 6 f (x) 8 4,5 b) x értékek kiszámítása: f (x) = Tipp az x helyek számára: 0 Gondolkozzunk! Az (x ) el jele pozitív, ezért a függvény grafikonja felfelé nyílik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az utána következ + miatt ez a minimumérték +, tehát ennél kisebb értéket nem vehet fel. Így f (x) = függvényértéket egyetlen helyen fogja felvenni, a többit két helyen. (x ) + = (x ) = Ellentmondás, mert egy szám négyzete 0 vagy pozitív. f (x) = (x ) + = (x ) = 0 x = 0 x = A fenti tipp ellen rzése
. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 f (x) = A fenti tipp ellen rzése (x ) + = (x ) x = x = x = x = 4 = A további x értékeket is ehhez hasonlóan lehet kiszámítani. Az eredmény: x 0,5; 4,5 4; 5; f (x) 4,5 6 Feladatok A. és a. feladatban figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás el tt tippeld meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát! Számításodat grafikonon ellen rizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a (x) = x + x 6 5 0 a(x) b) b (x) = ( x 4 ) + x 0 4 4,5 6 b(x) c) c (x) = x 8 c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =? d) d (x) = 4 x d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =?; d ( 4 ) =?
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE e) e (x) = x + 4 e ( ) =?; e ( 0 ) =? ; e (,4) =? f) f (x) = (x + ) f ( ) =?; f ( 0 ) =?; f (0,) =? g) g (x) = (x + ) g ( 6) =?; g ( 5 ) =?; g ( ) =?; g ( 0 ) =?; g ( ) =? h) h (x) = (x + ) h ( 6) =?; h ( 5) =?; h ( ) =?; h ( 0 ) =?; h ( ) =? i) k (x) = (x 4) 5 k ( 8) =?; k ( ) =?; k ( ) =? j) l (x) = (x + ) + l ( ) =?; l ( 0 ) =?; l (,75 ) =?. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékekhez tartozó x helyeket! a) a (x) = x + x a (x) 0 4 6 b) b (x) = (x 4) + x b (x) 4,5 6 c) c (x) = x 8 x =?, ha c (x) = 0; 0; 8; 4,5; 9. d) d (x) = 4 x x =?, ha d (x) = 0; 4; ; ;. 6
. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 e) e (x) = x + 4 x =?, ha e (x) = 5; 4; ; 0; 0,5. f) f (x) = (x + ) x =?, ha f (x) = 5; ; 0; ;. g) g ( x ) = ( x + ) 4 x =?, ha g (x) = ; ; ; 0; 0,5. h) h (x) = (x + ) x =?, ha h (x) = ; 0; ; ; 9 i) k (x) = (x 4) 5 x =?, ha k ( x ) = 4; 0; ; 5; 6. j) l (x) = (x + ) + x =?, ha l (x) = ; ; ; 0; 4. 5.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot! a) f (x) = ( x) x 0 4 f (x) 0 4 b) g (x) = (x ) x 5 6 0 0,75 g (x) 0 5 0
64 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Egy 4 m széles, m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút közepén haladva. Az alagút formája követi az f (x) = x + 4 másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton? 5. Egy 0 m magas árbocú vitorlás megkísérelné az átkelést a 8 m széles folyón átível híd alatt. A vitorlás szélessége m. A híd íve követi az f (x) = x + másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e úszni a vitorlás a híd alatt a folyó közepén? Át tud e kelni a folyó partjától 0 m-re? (A vitorlás árboca 0 m-re van a parttól.) 6. A Lucullus tengerjáró hajó át szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A hajó 7 méterre süllyed a tenger szintje alá. A szélessége pedig 0 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f (x) = x 8 függvény grafikonját, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter? 7. Peti elhajítja a labdáját. A labda mozgásának íve az f (x) = x + másodfokú 4 függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Peti 80 cm magas, és a fejével egy magasságból indítja a labdát, vagyis,8 méter magasságból. Hány métert repül el re a labda, amikor ismét olyan magasságba kerül, ahonnét elindult? 8. Egy m ugró bajnok 0 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata végrehajtására, miel tt beleesne a vízbe? (s = (g/) t, ahol g = 9,8 m/s ) 9. Egy ember vitorlázórepül vel szeretne leereszkedni a domb tetejér l a völgybe. Milyen magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala és a völgy az f (x) = (x 5) függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen kilométer? A domb tet pontjának talppontja (tet pont x tengelyre való vetülete) és a völgy aljának a távolsága 0,5 km. 0. Hányszorosára változik a négyzet területe, ha az oldalait másfélszeresére növeljük? Készíts értéktáblázatot, illetve grafikont a változás mértéke és a terület kapcsolatáról!
. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 65 II. A másodfokú alapfüggvény transzformációi. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f (x) = x, a g (x) = x, illetve h (x) = x + függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. Összehasonlítjuk a megfelel függvényértékeket: x 4 0 4 g(x) 6 6 h(x) 8 6 6 8 Ha az f függvény értékeib l -at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelent, illetve + egységgel. Általánosságban: a g (x) = x + v ( v 0 tól különböz, tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén v egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x, a g (x) = (x + ), illetve a h (x) = (x ) függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.
66 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Összehasonlítjuk a megfelel függvényértékeket: x 4 0 4 f (x) 6 9 4 0 4 9 6 g (x) 9 4 0 4 9 6 5 x 4 0 4 f (x) 6 9 4 0 4 9 6 h (x) 6 5 6 9 4 0 4 Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény az értékeit egységgel kés bb veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti egységgel, pozitív irányba történ eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = (x + u) ( u 0 tól különböz tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén u egységgel u el jelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.