Gazdasági Információs Rendszerek 1. előadás Bánhelyi Balázs Alkalmazott Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem 2009
A pénz időértéke Mit jelent a pénz időértéke? Egy forint (dollár, euró, stb.) ma többet ér, mint egy forint (dollár, euró stb.) holnap. Ez a meghatározás röviden, népszerű formában és szemléletesen fejezi ki a pénz időértékének lényegét. Miért van a pénznek időértéke? Nagy valószínűséggel, aki életében még nem hallott a pénz időértékéről, az is értelmes magyarázatot tud adni arra a kérdésre, hogy miért értékesebb a "ma" rendelkezésre álló 100 ezer Ft, mint az egy év múlva esedékes 100 ezer Ft.
Jövőérték (Future Value) A jövőérték-számítás a mai (jelenbeli) pénzösszeg valamely jövőbeli időpontra vonatkozó értékének a meghatározását jelenti. A jövőérték-számítás a kamatszámítás módszerén alapul. Tételezzük fel, hogy a jelenlegi jövedelmünkből megtakarítunk 100000 Ft-ot és elhelyezzük a bankba. A bank, ha egy évre lekötjük a pénzünket, 10% kamatot fizet. Tehát egy év múlva 110000 Ft-unk lesz, és ez a "ma" befektetett 100000Ft-nak a jövőbeli (egy év múlva esedékes) értéke.
Egyszerű és kamatos kamatozás I. Egyszerű kamatozás esetén minden periódusban csak a kezdő befektetés (tőke) esetünkben 100 ezer Ft kamatozik. Mivel a korábbi periódusra kapott kamatok nem kerülnek újra befektetésre, így a lekötés időtartama alatt vagyonunk lineárisan (periódikusonként azonos összeggel) nő. Bármely mai pénzösszeg jövőbeli értékét több periódusra egyszerű kamatozással az alábbiak szerint számíthatjuk ki: FV n = C 0 (1 + nr).
Egyszerű és kamatos kamatozás II. A kamatos kamatozás azt jelenti, hogy minden korábbi időszakban kapott kamat újra befektetésre kerül (hozzáadják a kezdeti bektetéshez, azaz tőkésítik) és ez a következő időszakban többletkamatot eredményez. Így a lekötés időtartlama alatt pénzünk exponenciálisan (periódikusonként azonos ütemben) nő. Bármely mai pénzösszeg jövőbeli értékét több periódusra kamatos kamatozással az alábbiak szerint számíthatjuk ki: FV n = C 0 (1 + r) n.
Jelenérték (Present Value) A jövőérték számításakor arra a kérdésre keresünk választ, hogy a ma befektetett x forintnak r kamatláb mellett mi lesz az értéke valamely későbbi időpontban. A pénzügyi döntéshozók gyakran szembesülnek azonban egy másik típusú problémával is nevezetesen; valamely jövőben esedékes adott pénzösszeg mennyit ér ma, azaz mi a jelenértéke? A jelenérték-számítás tehát a jövőben esedékes pénzösszegek jelen időpontra vonatkozó értékének a meghatározását jelenti. A diszkonttényező azt fejezi ki, hogy a jelenérték hányszorosa valamely jövőbeli időpontban (például egy év múlva) esedékes egységnyi pénzösszegnek. A diszkonttényező 1 évre r kamatláb mellett: 1/(1 + r).
Többszörös bevételek jelenértéke A befektetések hozama általában nem egyetlen évben képződik, hanem több éven keresztül. A hosszabb időtartam alatt várható jövőbeni pénzösszegek együttes jelenértékét általános alakban a következők szerint írhatjuk fel: PV = c 1 1 + r + C 2 (1 + r) 2 +... + C n (1 + r) n. PÉLDA: Egy befektetés induló tőkeszükséglete 5 millió Ft. Becslések szerint a befektetésből négy éven keresztül a következő jövedelmek várhatóak időrendben: 1500000, 1800000, 2400000, 2800000 Ft. Érdemes-e megvásárolni a befektetést, ha a diszkontáláshoz 15%-os kamatlábat célszerű használni?
Kamatozási periódusok Mind a FV, mind PV számításaiban feltételeztük, hogy a tőkésítés ill. diszkontálás évente egy alkalommal, év végén történik. A mindennapi életben gyakran találkozhatunk azonban olyan befektetésekkel, pénzügyi konstrukciókkal, amelyeknél a kamatozási periódus 1 événél rövidebb (esetleg hosszabb). Ha a kamatozási periódus egy évnél rövidebb, mind a jelenérték, mind a jövőérték-számításnál módosítani kell az eddig használt képleteket. A jövőbeli érték általános alakja n évben, amikor a kamatfizetés évente m alkalommal történik: FV n = PV 0 (1 + i/m) mn
Kamatozási periódusok példa Melyik betételhelyezés a legkedvezőbb egy éves futamidő esetén? 100Ft elhelyezése 12%-os kamatláb, évi egyszeri kamatfizetés mellett; 100Ft elhelyezése 11,5%-os kamatláb, féléves kamatos kamat számítás mellett; 100Ft elhelyezése 11%-os kamatláb, havi kamatos kamat számítás mellett;
Speciális pénzáramok - Annuitások A meghatározott ideig esedékes, periódusonként egyenlő nagyságú pénzáramlás sorozatot annuitásnak nevezzük. Az annuitások jövőértéke az alábbi formában adható meg: FVAN n = FV 1 + FV 2 +...FV n.
Annuitás példa Határozza meg az egy év alatt esedékes 360000 Ft jelenértékét 12%-os diszkontrátát feltételezve, ha a teljes összeg az év első napján esedékes; a teljes összeg az év utosó napján esedékes; az összeg havonta - minden hó utolsó napján - egyenlő részletben esedékes; az összeg havonta - minden hó első napján - egyenlő részletben esedékes; az összeg havonta - minden hó 15. napján - egyenlő részletben esedékes.
Örökjáradék A periódusonként egyenlő nagyságú, végtelen számú pénzösszegek sorozatát örökjáradéknak (perpetuity) nevezzük. Az örökjáradék felfogható úgy is, mint egy végtelen annuitás. Egy ilyen végtelen annuitás jelenértékét az alábbiak szerint lehetne felírni: C PV prev = (1 + r) t, vagy zárt formában t=1 PV prev = C/r.
Növekvő örökjáradék Az előzőek során fix nagyságú pénzösszegeket feltételeztünk. A pénzügyek területén azonban vannak olyan esetek, amikor nem fix, hanem inkább periódusonként növekvő pénzösszegek tekinthetők reálisnak. Ilyen és hasonló esetekben az évi pénzösszegek együttes jelenértékét a következők szerint írhatjuk fel: PV prev = vagy zárt formában t=1 C t (1 + r) t = t=1 PV prev = C/(r g). C 1 (1 + g) t 1 (1 + r) t,
Örökjáradék példa Lakásának szigetelése 300000 Ft-ba kerül. Ennek köszönhetően azonban a következő évben 24000 Ft tüzelőanyag-költséget tud megtakarítani. Ha a kamatláb 20%, akkor évi hány százalékos tüzelőanyagár emelkedés igazolja a befektetés helyességét?