Mintavételezés és FI rendszerek DI szimulációja Dr. Horváth Péter, BME HVT 5. december.. feladat Adott az alábbi FI jel: x f (t) = cos(3t) + cos(4t), ([ω] =krad/s). Legalább mekkorára kell választani a mintavételi körfrekvenciát, hogy a jel a mintáiból visszaállítható legyen? A jelet (a) ω s = krad/s (b) ω s = 5 krad/s mintavételi körfrekvenciával mintavételezzük. Vázoljuk fel a mintavételezéssel kapott DI jel spektrumát a [ 4, 4] intervallumban! Adjuk meg a mintavett jel időfüggvényét! A jel Ω H = 4 krad/s-ra sávkorlátozott. A mintavételi tétel értelmében ω s > Ω H = 8 krad/s mintavételi körfrekvencia szükséges. Az FI és a DI körfrekvenciák közötti = ωt, vagyis = ω ω s összefüggés alapján (a) ω s = krad/s esetben = 3 =,6, = 4 =,8. (b) ω s = 5 krad/s esetben = 3 5 =,, = 4 5 =,6. A FI jel spektruma X f (jω) = δ(ω + 3) + δ(ω 3) + δ(ω 4) + δ(ω + 4). Az x (t) ill. x[k] jelek spektrumára levezetett összefüggések: X (jω) = n= ( X f [j ω n )] = T n= X f [j(ω nω s )]. ahol X(e j ) = T n= ω s = /T ( )] X f [j T n = T T n= ( )] X f [j T nω s. () Ezeket az összefüggéseket használjuk közvetlenül. Az a) esetben a spektrumok az. ábrán láthatók. A mintavételi tételt betartottuk. A b) esetben a mintavett jel időfüggvénye ami megegyezik a x[k] = cos(,8k) + cos(,4k), x(t) = cos(t) + cos(t) jel 5 krad/s mintavételi frekvenciával vett mintáival. Az ideális aluláteresztővel megvalósított rekonstrukció ezt a folytonos idejű jelet állítaná vissza.
X f (jω)/ 5 5 5 5 ω T X b(e j ) 4 3, 3 4 T X b(e j ),8,6,6,8. ábra. ω s = krad/s (alul az. Nyquist-zóna kinagyítva) X f (jω)/ 4 8 6 4 4 6 8 4 ω T X b(e j ) 4 3, 3 4 T X b(e j ),8,4,4,8. ábra. ω s = 5 krad/s (alul az. Nyquist-zóna kinagyítva)
.8.6.4. f(t)..4.6.8 4 6 8 t [ms] 3. ábra. ω s = 5 krad/s mellett az ω = 3 krad/s-os koszinuszos jel mintái megegyeznek egy ω = krad/s-os koszinusz mintáival.
. feladat Az ( ) x[k] = cos 5 k DI jelet ω s = krad/s mintavételi körfrekvenciával, nulladrendű tartó segítségével rekonstruáljuk. Vázoljuk a rekonstruált FI jel amplitúdóspektrumát a [ ω s, ω s ] intervallumon!.8.6.4. x f (t)..4.6.8 5 5 5 3 35 4 45 5 t [ms] 4. ábra. Jelrekonstrukció nulladrendű tartóval A visszaállított jel spektruma az előadáson levezetett összefüggés alapján ˆX f (jω) = T H r(jω) X (jω), ahol nulladrendű tartó alkalmazása esetén (T/ = /ω s ) sin ωt/ H r (jω) = T e jωt/, T =, ωt/ ω s K r (ω) = T sin ωt/ ωt/. A számláló nullhelyei a ±ω s egész számú többszörösére esnek; az amplitúdókarakterisztika értéke az ω = -ban T. Az FI és a DI körfrekvenciák közötti = ωt, vagyis = ω ω s összefüggés alapján a =,-nek felel meg. ω = ω s = krad/s, X (jω) = T X(e j ) =ωt, ami az előző feladathoz hasonlóan az alábbi ábrán látható. A rekonstrukciós szűrő átviteli tényezőit az alábbi táblázat foglalja össze: ω [krad/s] U K r Y,983,983 9,9,9,9,9 9,5,5
T X(e j ) 4 3 5 5 3 4 X (jω) ω [krad/s] ω s 3ω s ω s ωs ω s ω s 3ω s ω s T K r(ω) ω [krad/s] ω s 3ω s ω s ωs ω s ω s 3ω s ω s X f (jω) ω [krad/s] ω s 3ω s ω s ωs ω s ω s 3ω s ω s 5. ábra. Rekonstrukció nulladrendű tartóval, ω s = krad/s.
3. feladat Soros RC-kört feszültségforrással gerjesztünk. A hálózat által reprezentált rendszer válaszjele a kondenzátor feszültsége. Készítsük el a rendszer DI szimulátorát az impulzusválasz mintavételezésével, ha T d =,RC! Az fi rendszernek a keresett válaszra vonatkozó átviteli függvénye H C (s) = U c(s) U s (s) = /sc R + /sc = az impulzusválasza pedig h C (t) = RC ε(t)e t/rc. Az impulzusválasz mintavételezésére vonatkozó szabály alapján átviteli függvénye átviteli karakterisztikája /RC s + /RC, h D [k] = T d ε[k]h C (kt d ) = T d RC ε[k]e kt d/rc h D [k] =,ε[k]e,k =,ε[k](e, ) k h D [k] =,ε[k](,95) k, H D (z) =,z z,95, H D (e j ) = Figyeljük meg, hogy az FI rendszer frekvenciás erősítése,ej e j,95. H(j) =, míg a DI rendszernél H(e j ) =,,95 =,53...9 5 DI FI.8.7 h[k], h[k T d ].6.5.4 k(), k(ω) [db] 5.3. 5. 3 4 5 k..4.6.8, ω T d 6. ábra. Az FI és a DI rendszer impulzusválaszának és amplitúdókarakterisztikájának összehasonlítása A szimulátor amplitúdókarakterisztikáját összevethetjük az FI rendszer amplitúdókarakterisztikájával = ωt d mellett (6. ábra).
4. feladat Egy FI rendszer átviteli függvénye H c (s) = s + s +, adjuk meg a DI szimulátor átviteli függvényét a bilineáris transzformáció segítségével, ha T d =, s! Adjuk meg a DI rendszer átviteli karakterisztikáját! Hogyan lehet implementálni a DI szimulátort? H D (z) = H c (s) s= p z T d z+ Mivel az eredeti DI rendszer aluláteresztő jellegű, p = (kis frekvencián optimális) választással élünk. H D (z) = ( H D (z) = z, z+ (z + ) ) = + z, z+ + (z ) + (z )(z + ) + (z + ) z + z + (z z + ) + (z ) + (z + z + ) = z + z + 5,4z 98z + 85,86, normálalakban H D(z) =,87z +,74z +,87 z,7z +,754 A DI szimulátort az alábbi rendszeregyenlet realizálja: y[k],7y[k ] +,754 =,87u[k] +,74u[k ] +,87u[k ]. Ez alapján pl. másodrendű kanonikus jelfolyamhálózat készíthető. A DI rendszer két pólusa q, =,86 ±,j az egységkörön belül van, a szimulátor valóban GV-stabil. Az átviteli karakterisztika (mivel kauzális és GV-stabil a rendszer) A FI rendszer átviteli karakterisztikája H D (e j ) =,87 +,74e j +,87e j,7e j +,754e j H c (jω) = (jω) + jω +. A két rendszer amplitúdókarakterisztikája a 7. ω = /T d van feltüntetve). ábrán látható (a DI rendszer esetén az x tengelyen az 5 FI DI 5 k(ω) [db] 5 5 3 3 4 5 6 ω, /T d 7. ábra. Az FI és a DI rendszer amplitúdókarakterisztikájának összehasonlítása (bilineáris transzformáció) másodrendű ún. Butterworth-féle aluláteresztő szűrő, Hz törésponti frekvenciával. https://en.wikipedia.org/wiki/ Butterworth_filter Matlab/Octave segítségével: [numd, dend] = bilinear(, [ sqrt()], /.)
..8.6 h D [k].4.. 5 5 5 3 35 4 45 5 k 8. ábra. Az FI és a DI rendszer impulzusválaszának összehasonlítása (bilineáris transzformáció)
5. feladat Ismételjük meg az előző feladatbeli transzformációt az impulzusválasz-invariancia módszerével! 5.. *Direkt megoldás Tudjuk, hogy az impulzusválasz mintavételezése során az FI rendszer pólusaiból a q i = e pit d leképezéssel kapjuk a DI rendszer pólusait. Mivel az FI rendszernek csak pólusai vannak, zérusokat nem kell transzformálni, használhatjuk ezt a módszert. A példában a FI rendszer pólusai: p, = ( ± j). [ H D (z) = j,,77z 5.. Indirekt megoldás,77j H C (s) = s (,77 +,77j) +,77j s (,77,77j), [ ] j,77jz H D (z) = T d (z e,,77( +j) ) + j,77jz (z e,,77( j) ) ] (z,86,j) + = (z,86 +,j),346z z,7z +,753 Az FI rendszer impulzusválaszát az átviteli függvény inverz Laplace-transzformációjával kapjuk. { } h C (t) = L,77j s (,77 +,77j) +,77j s (,77,77j) h C (t) = ε(t) [,77je (,77+,77j)t +,77je (,77,77j)t] h C (t) = ε(t),77je,77t [ e,77jt + e,77jt] = ε(t),77je,77t [ j sin(,77t)] Az impulzusválasz szimulátora h C (t) = ε(t),44e,77t sin(,77t). h D [k] = T d ε[k]h C (kt d ) =,,44ε[k]e,77,k sin(,77,k) =,88ε[k]e,44k sin(,44k) h D [k] =,88ε[k](,868) k sin(,44k) Az előző feladat eredményével való összevethetőség érdekében számítsuk ki a szimulátor átviteli függvényét! amivel Z{ε[k]q k sin( k)} = H D (z) = zq sin z q cos z + q,,346z z,7z +,753, ami megegyezik a direkt megoldással kapott átviteli függvénnyel. Függelék Lássuk be, hogy Z{ε[k]q k sin( k)} = = { (qe j Z j ) k ( qe j ) k } = ( j zq sin z q cos z + q! Z { ε[k]q k sin( k) } { = Z ( j qk e jk e jk) z z qe z j z qe j ) = j } = z(z qe j ) z(z qe j ) (z qe j )(z qe j ) = j zqe j + zqe j z zq(e j + qe j ) + q = zq sin z q cos z + q
5 FI DI 5 k(ω) [db] 5 5 3 3 4 5 6 ω, /T d 9. ábra. Az FI és a DI rendszer amplitúdókarakterisztikájának összehasonlítása (impulzusválasz-invariancia)..8.6 h D [k].4.. 5 5 5 3 35 4 45 5 k. ábra. Az FI és a DI rendszer impulzusválaszának összehasonlítása (impulzusválasz-invariancia)