, rangkorreláció Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
Kérdés: Van-e kapcsolat a változók között? (példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)
Felvételi pontszám-görgetett átlag 10 115 110 felvételi pontszám 105 100 95 90 85 80.00 3.00 4.00 5.00 görgetett átlag 3
Kérdés: Van-e kapcsolat a változók között? Válasz: korrelációs együttható Megfigyelés sorozat: ( 1,η 1 ), (,η ), ( n,η n ), Átlagok: és η 4
: c = ( )( ) i i i η η 5
C n = η η i= 1 ( )( ) i i c < 0 i c > 0 i c > 0 c < 0 i i 6
A pontok tendenciája n ( i )( i ) C= η η> 0 i= 1 7
n ( i )( i ) C= η η< 0 i= 1 A pontok tendenciája 8
C 0 9
C függ a megfigyelések számától: n 1 n ( i )( η η i ) az változók szórásától: s s η ( )( η η) i i 1 n 1 ρη = n η η (, ) ( )( ) i i ss η tapasztalati korrelációs együttható ss η 10
Tapasztalati korrelációs együttható 1 ρη = n η η (, ) ( )( ) i i ss η r (, ) η = ( ( ) ) η ( η) ( ) M M M σσ η 11
tulajdonságai szimmetrikus: értéke: (, η) r( η, ) r = (, η) 1 1 r linearitás: (, η) = ± 1 r η = a + b Ha értéke = ±1, akkor a két változó közötti kapcsolat lineáris 1
Bizonyítás (azt akarjuk látni, hogy) r, η = ± 1 η = a + b ( ) A korrelációs együttható definíciójából: r ( η, ) ( ( ) ) η ( η) ( ) = M M M σσ η r ( η, ) ( ) M( ) M η η = M σ ση 13
Jelöljük: η= * η M( η) σ η és = * M( ) σ Ezzel (a kiinduló feltétel): standardizálás! ( * *) M η = 1 14
Belátjuk, hogy M = 0 ( * ) * = M( ) σ M * ( ) M( ) = M σ ( M( ) ) M = = σ 0 15
Belátjuk, hogy D = 1 ( * ) D ( ) D M( ) * = σ ( ) D = = 1 σ 16
( ) ( *) * ( ) = = = D 1 M M * = M M = ( * ) ( *) tudjuk: * ( ) M = 0 = M ( * ) Kaptuk, hogy ( * ) M = 1 17
Hasonló módon láthatjuk, hogy ( * ) D η = 1 és ( * ) M η = 1 18
Eddig kaptuk: Vizsgáljuk meg: ( * ) ( * ) ( * *) M = 1 M η = 1 M η = a feltétel szerint = 1 M ( * * ) η =? = M η +η = ( * * * * ) = M M η + M η = 0 ( * ) ( * *) ( * ) 19
( ) M η = 0 =η * * * * M η M η = σ σ ( ) ( ) σ σ η η η= M + M η σ σ η ( ) η= a+ b 0
Eddig azt láttuk, hogy: (, η) = ± 1 r η = a + b Visszafelé is igaz: η = a + b r(, η) = ± 1 1 A bizonyítás sokkal egyszerűbb: Indulás a korrelációs együttható definíciójából:
Tudjuk (a definició) A várhatóérték: η = a + b r ( η, ) M( η= ) M( a+ b) = ( ( ) ) η ( η) ( ) = M M M σσ η = am( ) + b A szórás: ( a b) σ = D + = η = aσ
Behelyettesítjük a kék összefüggéseket a def.-ba: r η, ( ) ( ( ) ) η ( η) ( ) = M M M σσ η r η, ( ) = ( ( )) M ( ( )) M a + b am( ) + b aσσ 3
Kapjuk: r η, ( ) = ( ( ) ) ( ) ( ) am M M aσσ r η, ( ) = M ( M( ) ) = 1 σ 4
Eddig azt láttuk, hogy (, η) = ± 1 r η = a + b A korrelációs együttható a lineáris kapcsolat szorosságát méri Ha korrelációs együttható zérus: korrelálatlanok a változók Ha korrelálatlanok és normális eloszlásúak, akkor függetlenek. 5
Ellenpélda! Legyen egyenletes (-1,1)-ben η = c j < 0 c j > 0 A kapcsolat determinisztikus, funkcionális, mégis a korrelációs együttható zérus 6-1 1
Felvételi pontszám-görgetett átlag 10 115 110 felvételi pontszám 105 100 95 90 ρ=0.65 85 80.00 3.00 4.00 5.00 görgetett átlag 7
Spearman féle rangkorreláció A megfigyelt két változó diszkrét (pl. a sorrend, a rangsorolás szubjektív) Kérdés: van e kapcsolat a két sorrend között (hogyan értékel a zsűri?). Rangszám: sorba rendezzük az adatokat Rangszám = a sorba-rendezett elem sorszáma Spearman féle rangkorreláció = korrelációs együttható a rangszámok között 8
Spearman féle rangkorreláció Minta: A B C D 1. rangszám k1 k k3 k4.. rangszám j1 j j3 j4. Rangszámok különbsége: d i = k i -j i 9 Spearman féle rangkorreláció: r 1 6 d = n n 1 i ( )
Spearman féle rangkorreláció Tulajdonságai: Ha a két sorrend azonos: r =1 Ha a két sorrend egymás ellentettje: r = -1 Ha nem sok közük van egymáshoz: r = ~0 30
Lássunk egy példát (rangkorreláció): Borversenyen vagyunk. Adott 4 féle bor. Jelöljük őket egyszerűen betűkkel. A két zsűritag más-más nedűt talál jobbnak. Hasonlítsuk össze pontjaikat, melyek a képen láthatóak. A rangszámokat vonjuk ki egymásból (d i ). Helyettesítsünk be a Spearman-képletbe. Bagó Ákos Károly 31
Lássunk egy példát (rangkorreláció): Behelyettesítés: r 1 6 d = nn 1 i ( ) 61 ( + + + 1) r= 1 = 0 44 1 ( ) 3
Lássunk egy példát (rangkorreláció): A példa eredménye: r = 0-át kaptunk eredményül. Így azt láthatjuk, nincs kapcsolat a két zsűritag véleménye közt. Újra kell kóstolni Vége... 33
korreláció Összefoglalás: r (, ) η = ( ( ) ) η ( η) ( ) M M M σσ η A változók közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri Legfontosabb tulajdonsága: 34 r(, η) = ± 1 η = a + b
Rangkorreláció: Spearman féle rangkorreláció Két sorrend (sorba rendezett minta) összehasonlítására szolgál. Rangszámok különbsége: d i = k i -j i 35 r 1 6 d = nn 1 i ( ) Ha a két sorrend azonos: r =1 Ha a két sorrend egymás ellentettje: r = -1