ALACSONY HŐMÉRSÉKLETŰ PLAZMAFIZIKA Dr. Donkó Zoltán MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont Szilárdtestfizikai és Optikai Intézet Komplex Folyadékok Osztály MTA Csillebérc / KFKI donko.zoltan@wigner.mta.hu zoltan.donko@gmail.com (3)
Tartalom Részecsketranszport leírásának módszerei (I.) Boltzmann-egyenlet - alapok A Boltzmann-egyenlet momentumai Drift és diffúzió A Boltzmann-egyenlet megoldása kéttag közelítéssel Momentumegyenletek alkalmazása: plazmahullámok Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 2
Elektronok kinetikája Physics ± Uspekhi 53 (2) 133 ± 157 (2010) # 2010 Uspekhi Fizicheskikh Nauk, Russian Academy of Sciences REVIEWS OF TOPICAL PROBLEMS PACS numbers: 52.25.Dg, 52.80. ± s, 82.33.Xj Nonlocal electron kinetics in gas-discharge plasma L D Tsendin Such a medium, called plasma by Langmuir, in each volume of which heavy particles at room temperature co-exist with electrons having energies larger by two orders of magnitude, is, obviously, extremely nonequilibrium and far from LTE. Therefore, the kinetic approach using a particle distribution function (first and foremost that of electrons) as the basic element is absolutely necessary for a plasma analysis. Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 3
Egyensúlyi / nem-egyensúlyi transzport Rövid szabad úthossz (gyakori ütközések) Hosszú szabad úthossz & és energia relaxációs hossz Nem-egyensúlyi (nem-hidrodinamikai) (nem-lokális) transzport v Köszönet Bánó Gergelynek! Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 4
Kinetikus elmélet: a sebességeloszlás-függvény Sebességeloszlás-függvény f(r, v,t) 2D illusztráció r =(x, y, z) v =(v x,v y,v z ) A 6-dimenziós fázistér valamely pontja: v x +dv x v x (r, v) =(x, y, z, v x,v y,v z ) dn = f(r, v,t)dr dv azon részecskék száma, amelyek a (r, v) pont körüli dr dv térfogatelemben találhatók t időpontban Makroszkopikus mennyiségek: Sűrűség: x x +dx n(r,t)= f dv N = r v f(r, v,t)dr dv Fluxus: (r,t)=nu = vf dv Az összes részecske száma a fázistérben. Energiasűrűség: w(r,t)= 1 2 m v2 f dv Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 5
A részecskék mozgásának leírása a fázistérben vx t + dt Tegyük fel, hogy Nincsenek ütközések Minden részecskére F erő hat t x (t +dt) =x(t)+v x dt dx dv x v x (t +dt) =v x (t)+a x dt, a x = F/m dx dvx Mivel a részecskék ugyanazok (ugyanannyian vannak): x f(x,v x,t+dt)dx dv x = f(x, v x,t)dx dv x A fázistér térfogatelemének transzformációja: dx dv x = J dx dv x ( J: Jacobi mátrix ) J = (x,v x) (x, v x ) = x / x v x / x x / v x v x / v x = x x v x v x v x x x v x =1+O(dt 2 ) dt első rendjében a térfogatelem nagysága változatlan, ezért: [f(x,v x,t+dt) f(x, v x,t)] dx dv x =0 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 6
A részecskék mozgásának leírása a fázistérben [f(x,v x,t+dt) f(x, v x,t)] dx dv x =0 Taylor sorba fejtve dt-ben első rendig f(x + v x dt, v x + a x dt, t +dt) =f(x, v x,t)+v x f x dt + a x f v x dt + f t dt f(x,v x,t+dt) =f(x, v x,t) Ütközésmentes Boltzmann egyenlet, vagy Vlasov egyenlet: f t + v x f x + a x f v x =0 6D: @f + v rf + a r vf = apple @ + v r + a r v f =0 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 7
A sebességeloszlás-függvény Ütközésmentes eset Az ütközések következtében a részecskék ugrálnak a fázistér cellái között, illetve bizonyos folyamatok keltenek és eltűntetnek részecskéket vx t + dt vx BE t + dt dx dv x t t dx dv x KI dx dvx dx dvx x x Boltzmann egyenlet: apple @ + v r + a r v f = @f c A részecskék ki / beáramlását írja le a fázistér celláiból / celláiba Ütközési integrál Ütközési operátor Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 8
A Boltzmann-egyenlet momentumai Boltzmannegyenlet f t + v rf + a vf =0 k-adik momentum: 0. momentum: részecskemérleg (folytonossági egyenlet) v k f(v)dv f t dv + v rfdv + a vfdv =0 1. tag f t dv = t fdv = n t n(r,t)= f dv A sebesség szerinti integrálás és az idő szerinti deriválás sorrendje felcserélhető (Emlékeztető) 2. tag v rfdv = vfdv = = (nu) (r,t)=nu = vf dv Az alábbi szabály alapján: (fv) =v f + f v = v f +0 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 9
A Boltzmann-egyenlet momentumai Boltzmannegyenlet f t + v rf + a vf =0 k-adik momentum: v k f(v)dv 0. momentum: részecskemérleg (folytonossági egyenlet) f t dv + v rfdv + a vfdv =0 3. tag a vfdv = q E vfdv = q v (fe)dv = (A) fe da =0 Az alábbi szabály alapján: v (fe) =E vf + f v E = E vf +0 Gauss tétel a sebességtérben: f lecsengése elég gyors Folytonossági egyenlet Források és veszteségek jelenlétében n t + =0 n t + = S L Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 10
A Boltzmann-egyenlet momentumai Boltzmannegyenlet f t + v rf + a vf =0 k-adik momentum: v k f(v)dv 1. momentum: impulzusmérleg mv f t dv + mv(v rf)dv + mv(a vf)dv =0 a részletek mellőzésével... Impulzusmérleg: Ütközésekkel: apple @u mn apple @u mn +(u r)u = nqe rp +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn @u c Konvektív derivált Elektromos tér Nyomásgradiens Ütközések Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 11
A Boltzmann-egyenlet momentumai Boltzmannegyenlet f t + v rf + a vf =0 k-adik momentum: v k f(v)dv 1. momentum: impulzusmérleg mv f t dv + mv(v rf)dv + mv(a vf)dv =0 apple @u mn @u +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn c Ütközési tag kiszámítása (pl. elektron álló atom ütközés): @u mn c = mn m u momentum transzfer ütközési frekvencia momentum transzfer hatáskeresztmetzet m = (1 cos ) d ( ) d d =2 0 (1 cos ) d ( ) d sin d Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 12
Momentum transzfer hatáskeresztmetszet Differenciális hatáskeresztmetszet: d d = dn s = dn s d dt dn 0 da dt d d = 1 dn s d dt d dt v χ η v Teljes hatáskeresztmetszet: Szórási szög = d ( ) d d =2 0 d ( ) d sin d Momentum transzfer hatáskeresztmetszet: m = (1 cos ) d ( ) d d =2 0 (1 cos ) d ( ) d sin d x irányú impulzus veszteség: p x = m(v x v x ) p x p x = v x v x 1 = cos 1 A szórás szög szerinti eloszlásától függően a momentum transzfer h.k. kisebb / nagyobb is lehet, mint a teljes h.k. Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 13
A Boltzmann-egyenlet momentumai Boltzmannegyenlet f t + v rf + a vf =0 k-adik momentum: v k f(v)dv 2. momentum: energiamérleg 1 2 mv2 f t dv + 1 2 mv2 (v rf)dv + 1 2 mv2 (a vf)dv =0 a részletek mellőzésével... Energiamérleg: t 3 2 p + 3 pu + p u + q =0 2 Ütközésekkel: @ 3 2 p + r 3 2 pu Energia változás Konvekció + p r u + r q = @ Kompresszió / expanzió 3 2 p c Hővezetés @u u mn c + u 2 (S L)/2 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 14
Részecsketranszport apple @u mn @u +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn c nqe rp mn m u =0 Diffúzió és mozgékonyság impulzusmérleg-egyenlet stacionárius rendszer, nincsenek források és veszteségek izotermikus rendszer u = q m m E k BT rn m m n Einstein-összefüggés: D µ = k BT q mozgékonyság diffúziós együttható Szabad diffúzió Részecskefluxus drift-diffúziós alakja: = ±µne Drn E = 0 @n = Drn Dr 2 n = S Diffúziós egyenlet L Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 15
Részecsketranszport Kvázisemleges plazma, jelentős részecskesűrűség Ambipoláris diffúzió = ±µne Drn n e = n i = n e = µ e ne D e rn i = µ i ne D i rn olyan elektromos tér épül fel, ami kiegyenlíti az elektronok és az ionok fluxusát e = i = µ e ne D e rn = µ i ne D i rn E = D i D e rn µ i + µ e n ambipoláris elektromos térerősség = D iµ e + D e µ i rn D a = D iµ e + D e µ i D i 1+ T e µ e + µ i µ e + µ i T i ambipoláris diffúziós együttható Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 16
Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés Geometria: θ v x f t + v f e m E vf = C f : eloszlásfüggvény (a 6-dimenziós fázistérben) v : sebességvektor E : elektromos térerősség C : ütközések hatása az eloszlásfüggvényre Q = e f = f(v, r,t) Feltételezések (egyszerűsítések): Az elektromos tér x irányú, térben és időben állandó Az eloszlásfüggvény a sebességtérben szimmetrikus a z tengely körül Az eloszlásfüggvény csak az elektromos tér irányában változik @f + v @f x @x ee @f = C m e @v x f = f(v,,t,x) v x = v cos gömbi koordináta-rendszerben @f = cos @f @v x @v @f + v cos @f @x sin v @f @ @f = cos @v + sin2 v e E cos @f m e @v + sin2 v @f @ cos @f @ cos = C Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 17
Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés f t + v cos f z ee m cos f v + sin2 v f cos = C f = f(v,,z,t) Kéttag közelítés f(v, cos,x,t)=f 0 (v, x, t)+f 1 (v, x, t) cos (Two term approximation) Izotróp tag Anizotróp tag f 0 t + cos f 1 t + v cos f 0 z + v f 1 cos2 z ee ee m sin 2 v f 0 cos ee m cos f 0 v sin 2 ee m cos v f 1 m cos2 v f 1 = C cos Az eloszlásfüggvény két taggal való közelítése kis anizotrópia esetén alkalmazható. Ezen túl több taggal való közelítés használható ( multiterm methods ). Következő lépések: 1) Az egyenletet cos θ szerint integráljuk! 1 1 ( ) d cos 2) Az egyenletet cos θ -val megszorozzuk és cos θ szerint integráljuk! 1 1 ( ) cos d cos Ez két egyenletetre vezet... Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 18
Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés Kéttag közelítés f(v, cos,x,t)=f 0 (v, x, t)+f 1 (v, x, t) cos Boltzmann egyenlet f 0 t + 1 3 v f 1 z ee m f 1 t + v f 0 z 1 v 2 f 1 3v 2 v ee m = C 0 f 0 v = C 1 A sebességről a kinetikus energiára áttérve: v = 2 m = f 0 t + 3 1/2 f 1 z 3 1/2 ee f 1 = C 0 f 1 t + 1/2 f 0 z 1/2 ee f0 = C 1 Szokásos normalizálás: f 0,1 ( )= 2 3 n f 0,1 0 f 0 ( )d =1 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 19
Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés C 0 = 2 m 1/2 3/2 el ( )f 0 ( ) M C 1 = el( )f 1 ( ) Ütközési tagok (levezetés nélkül) feltételezve, hogy (i) csak rugalmas ütközések mennek végbe és (ii) a háttérgáz atomjai állónak tekinthetők el( )=nv m = 1/2 n m : rugalmas momentum transzfer ütközési frekvencia f 0 t + 3 1/2 f 1 z 3 1/2 ee f 1 = C 0 f 1 t + 1/2 f 0 z 1/2 ee f0 = C 1 0-dimenziós eset z =0, t =0 3 1/2 ee f 1 = 2 m M 1/2 3/2 el ( )f 0 ( ) (ennél bonyolultabbat nem vizsgálunk!!) 1/2 ee f 0 = el( )f 1 ( ) Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 20
Boltzmann egyenlet - kéttag közelítés 3 1/2 ee f 1 = 2 m M 1/2 3/2 el ( )f 0 ( ) 1/2 ee f 0 = el( )f 1 ( ) f 1 ( )= 1/2 ee el( ) f 0 ( ) 2 (ee) 2 3 el ( ) f 0 ( ) = 3m 2 f 1 ( )= Me 2 E 2 2 el f 0 ( ) 3 m2 MeE 1/2 el f 0 ( ) kéttag közelítés (kis anizotrópia) kis redukált térerősség (csak rugalmas ütközések) hideg háttérgáz nincs időfüggés nincs helyfüggés 3/2 f 0( ) +2 m M 3/2 el ( )f 0 ( ) =0 f 0 ( ), f 1 ( ) [ev -3/2 ] ~ ~ E/n egysége : 1 Td (Townsend) = 10-17 V cm 2 10 1 10 0 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 1 Td : E/p = 0.32 V / (cm Torr) @ 300 K Argon T g = 0 K ~ f 0 ( ) 0.1 Td 1 Td E<0 10-2 10-1 10 0 10 1 [ev] ~ f 1 ( ) Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 21
Kapcsolat a makroszkópikus jellemzőkkel Kéttag közelítés f(v, cos,x,t)=f 0 (v, x, t)+f 1 (v, x, t) cos n e = Z fdv =2 Z 0 Z 1 0 [f 0 (v) + cos f 1 (v)] sin v 2 d dv =4 Z 1 0 v 2 f 0 dv Sűrűség Izotróp tagtól függ e = Z v z f(v)dv =2 =2 Z Z 1 0 0 Z Z 1 0 0 v cos [f 0 (v)+cos f 1 (v)] sin v 2 dvd v 3 cos 2 sin f 1 (v)dvd = 4 3 Z 1 0 v 3 f 1 dv Fluxus Anizotróp tagtól függ Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 22
Kapcsolat a transzport együtthatókkal f 1 t + v f 0 z ee m f 0 v = mf 1 f 1 = 1 m v f 0 z ee m f 0 v stacionárius esetben = 4 3 0 4 = 3 0 v 3 f 1 dv v 4 m f 0 z dv + 4 3 ee m 0 v 3 m f 0 v dv m momentum transzfer ütközési frekvencia = z (Dn) nµe elektronokra 4 3 0 v 4 m f 0 z dv = z (Dn) 4 3 ee m 0 v 3 m f 0 v dv = nµe D = 4 3n 0 v 4 m f 0 dv Diffúziós együttható µ = 4 e 3mn 0 v 3 m Mozgékonyság f 0 v dv Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 23
Modellezési hierarchia Kinetikus szint apple @ + v r + a r v f = @f c Részecskeszám: Impulzus: Energia: apple @u mn Folyadékmodellek n t + = S L @u +(u r)u = nqe rp mu(s L)+mn @ 3 3 2 p + r 2 pu + p r u + r q = @ 3 2 p c @u u mn c c + u 2 (S L)/2 Globális modellek Folyadékegyenletek térbeli integráljai Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 24
Plazmahullámok - bevezetés A hullámjelenségeket a Boltzmann egyenlet momentumegyenleteiből (folytonossági egyenlet és impulzusmérleg egyenlet) kiindulva tárgyaljuk. Folytonossági egyenlet Impulzusmérleg egyenlet: n t + =0 mn @u = nqe rp mn mu Feltételezések: állandó részecskeszám (nincs forrás, veszteség), nincs jelen mágneses tér Nagyrészt az elektronok rezgéseivel foglalkozunk, miközben az ionokat állónak tekintjük, ezekben az esetekben az egyes fizikai mennyiségek (sűrűség, sebesség, hőmérséklet, stb.) az elektronokra vonatkoznak, mindaddig, amíg az ion-akusztikus hullámok tárgyalásánál az elektronok és az ionok mozgását egyaránt figyelembe kell vennünk Külön vizsgáljuk az ütközések hatását (egyes esetekre) Feltételezzük, hogy a hullámok kis amplitudójúak, és így a fizikai mennyiségek kis perturbációját eredményezik Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 25 2015
Plazmahullámok - bevezetés Kis amplitudójú perturbációk (pl. sűrűség) n = n 0 + n 1, n 1 n 0 E = E 1 (E 0 = 0) u = u 1 (u 0 = 0) A folytonossági egyenlet alakja a perturbált mennyiségekkel n t + (nu) =0 (n 0 + n 1 ) t + [(n 0 + n 1 )(u 0 + u 1 )] = 0 a csak elsőrendű tagokat megtartva Impulzusmérleg egyenlet: n 1 t + n 0 u 1 =0 mn @u = nqe rp mn @u 1 mu mn 0 = n 0 qe 1 rp 1 mn 0 m u 1 Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 26 2015
Plazmahullámok - bevezetés Adiabatikus esetben a nyomásgradiens tag a p = Kn állapotegyenletből határozható meg: p = p 0 + p 1 = K(n 0 + n 1 ) = Kn 0 1+ n 1 n 0 n 1 p 1 = p 0 = n 1 k B T n 0 ugyanis p 0 = n 0 k B T Adiabatikus rendszer (1 dimenziós mozgással) =3 A vizsgálandó hullámok monokromatikus síkhullámok (pl. elektromos térerősség) : E 1 (r,t)=ê1e i(k r!t) Időbeli és térbeli differenciálás: @E 1! i!e 1, r E 1! ik E 1, r E 1! ik E 1 Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 27 2015
Elektronoszcillációk hideg, ütközésmentes plazmában Kiindulási egyenletek: perturbációra vonatkozó folytonossági és impulzusmérleg egyenlet (nyomásgradiens tag nélkül) n 1 t + n 0 u 1 =0 m u 1 t = ee 1 i!n 1 + n 0 i k u 1 =0 i!mu 1 = ee 1 n 1 = n 0 k u 1 csak a terjedési iránnyal párhuzamos sebesség (térerősség) eredményez sűrűség-perturbációt) Longitudinális rezgés Gauss tétel: r E 1 = e " 0 n 1! ik E 1 = e " 0 n 1 ik E 1 = en 0 " 0! k u 1 ik E 1 =!m e k u 1 Nem hullámszámfüggő Nem terjedő hullám 2 = 2 p = n 0e 2 0m m e = en 0 0 Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 28 2015
Elektronoszcillációk hideg plazmában - ütközések hatása Kiindulási egyenletek: perturbációra vonatkozó folytonossági és impulzusmérleg egyenlet (nyomásgradiens tag nélkül) n 1 t + n 0 u 1 =0 m u 1 t = ee 1 m m u 1 i!n 1 + n 0 i k u 1 =0 i!mu 1 = ee 1 m m u 1 n 1 = n 0 k u 1 m(i! m )k u 1 = ek E 1 Gauss tétel: E 1 = e 0 n 1 ik E 1 = e 0 n 1! 2 +i! m! 2 p =0!! = i m 2 ± q! 2 p m /4 Időben csillapodó rezgés Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 29 2015
Longitudinális elektrosztatikus hullámok meleg plazmában Kiindulási egyenletek: perturbációra vonatkozó folytonossági és impulzusmérleg egyenlet (nyomásgradiens taggal) n 1 t + n u 1 0 u 1 =0 mn 0 t = n 0 ee 1 p 1 i!n 1 + n 0 i k u 1 =0 i!mn 0 u 1 = en 0 E 1 ikp 1 n 1 = n 0 k u 1 Adiabatikus közelítés: i!mn 0 k u 1 = en 0 k E 1 ik 2 3n 1 k B T e p 1 =3n 1 k B T e Gauss tétel: E 1 = e 0 n 1 ik E 1 = e 0 n 1 Homogén elektromos térben sodródó elektronok áramfluktuációja ZD, Physics of Plasmas, 21, 043504 (2014)! 2 = n 0e 2 " 0 m + 3k2 k B T e m c = p 3k B T e /m =! 2 p + k 2 c 2 / p Bohm-Gross diszperziós reláció / Langmuir hullámok k/k 0 Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 30 2015
Ionakusztikus hullámok a semleges gázokban terjedő hanghullámokhoz hasonlóan longitudinális sűrűségváltozások a részecskék töltése miatt nem szükségesek ütközések a hullám trejedéséhez a hullámban az ionok mozgása a meghatározó, az elektronok, nagy mozgékonyságuk következtében követik az ionok mozgását (i) az elektronokra vonatkozó impulzusmérleg-egyenletben elhanyagoljuk a tehetetlenségi tagot és (ii) a nyomásgradiens számításánál az elektronokra az izotermikus közelítést alkalmazzuk, az ionokra pedig az adiabatikus közelítést. e és i indexek az elektronokra, illetve az ionokra vonatkozó mennyiségeket jelölik u i1 m i n 0 = n 0 ee 1 p i1, 0= n 0 ee 1 p e1 t adiabatikus p i =3n i1 k B T i izotermikus p e = n e1 k B T e i!m i n 0 u i1 = n 0 ee 1 ikp i1 0= n 0 ee 1 ikp e1 A hullámszámvektorral történő skaláris szorzás után (felhasználva, hogy a terjedés iránya párhuzamos a térerősség irányával) és a nyomásgradiens értékeket behelyettesítve i!m i n 0 k u i1 = n 0 eke 1 ik 2 3n i1 k B T i 0= n 0 eke 1 ik 2 n e1 k B T e k u i1 = n i1 /n 0 i! 2 m i n i1 = n 0 eke 1 ik 2 3n i1 k B T i sűrűségperturbációk Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 31 2015
Ionakusztikus hullámok A sűrűségperturbációk: n i1 = n e1 = n 0 ek ik 2 3k B T i i! 2 m i E 1 n 0 e ikk B T e E 1 Gauss tétel: ike 1 = e " 0 (n i1 0=E 1 1+ n e1 )= e " 0 apple 2 pi n 0 ek ik 2 3k B T i i! 2 m i + n 0e ikk B T e E 1 3k 2 k B T i /m 2 + 1 i k 2 2 De De = 0k B T e /e 2 n 0 elektronokra jellemző Debye-hossz 2 = k 2 3k B T i m i + 2 pi 2 De 1+k 2 2 De Gázkisülések plazmáiban általában a második tag dominál, így a diszperziós reláció: = k c 1+k 2 2 De c = pi De Ion-hangsebesség Kis hullámszámok mellett a diszperziós karakterisztika lineáris, nagy hullámszámoknál telítődik Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 32 2015
Diszperziós relációk Elektrosztatikus hullámok Ionakusztikus hullámok 2 = n 0e 2 0m + 3k2 k B T m = 2 p + k 2 c 2 = k c 1+k 2 2 De c = 3k B T/m c = pi De Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 33 2015
Elektromágneses hullámok terjedése hideg plazmában Az elektromágneses hullámok terjedését leíró Maxwell egyenletek síkhullám alakú perturbáció esetén: r D =! ik D 1 = 1 r B =0! ik B 1 =0 r E = @B/! ik E 1 =i!b 1 r H = J + @D/! ik H 1 = J 1 i!d 1 A vizsgált frekvenciatartományban az ionok nem reagálnak a tér változásaira, a vezetési áramot az elektronok mozgása indukálja J 1 = en 0 u 1 ik B 1 = µ 0 J 1 i!µ 0 " 0 E 1 = µ 0 en 0 u 1 i!µ 0 " 0 E 1 ÜTKÖZÉSMENTES PLAZMA: Az elektronok mozgásegyenlete (hideg plazma közelítésben): mn 0 @u 1 = en 0 [E 1 + u 1 B 1 ]! i!mu 1 = ee 1 eu 1 B 1 A két utóbbi egyenletet vektoriális szorzatát véve a hullámszámmal: i!m(k u 1 )= e(k E 1 ) ek (u 1 B 1 ) ik (k B 1 )= µ 0 en 0 (k u 1 ) i!µ 0 " 0 (k E 1 ) k u 1 = eb 1 /im k E 1 =!B 1 (3. ME) Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 34 2015
Elektromágneses hullámok terjedése hideg plazmában ik (k B 1 ) = µ 0 en 0 (k u 1 ) i µ 0 0 (k E 1 ) ik 2 eb 1 B 1 = µ 0 en 0 im i!µ 0" 0 (!B 1 ) apple! 0=B 1 k 2 n0 e 2 + " 0 µ 0 " 0 m!2 = B 1 k 2 + " 0 µ 0! p 2! 2 Ebből a diszperziós reláció: 2 = 2 p + k 2 c 2 ; c =1/ 0µ 0 A plazmafrekvenciánál kisebb frekvenciájú hullámok nem tudnak terjedni a közegben, ezekre a hullámszám képzetessé válik, ami egy exponenciálisan lecsenegő hullámot eredményez. Donkó Zoltán: Alacsonyhőmérsékletű plazmafizika 35 2015
Számonkérés pontjai A Vlasov- és Boltzmann-egyenletek bevezetése Momentumegyenletek származtatásának elve Részecskemérleg-egyenlet származtatása Boltzmann-egyenlet kéttag-közelítéses megoldásának elve Drift-diffúziós közelítés, szabad és ambipoláris diffúzió Plazmahullámok: a perturbált részecskemérleg és impulzusmérlegegyenletek származtatása, plazmaoszcillációk hideg plazmában, elektrosztatikus hullámok meleg plazmában (levezetéssel). Ionakusztikus hullámok és elektromágneses hullámok (elvek és végeredmény). Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 36