Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden pont foka különböző? 3. Van-e olyan társaság, ahol minden embernek különböző számú ismerőse van? 4. Van-e olyan 9-pontú gráf (tetszőleges, illetve egyszerű), melyben a pontok foka rendre a)7,7,7,6,6,6,5,5,5; b) 6,6,5,4,4,3,2,2,1? 5. És olyan 8-pontú egyszerű, melyben a fokszámok 6,6,6,6,3,3,2,2? 6. Hány olyan, páronként nem izomorf gráf van, amelyben a) két-két másod-, harmad- és negyedfokú csúcs van, másfokszám nem fordul elő; b) három-három másod-, harmad- és negyedfokú csúcs van, másfokszám nem fordul elő 7. Mutasd meg, hogy tetszőleges gráfban a páratlan fokú pontok száma páros! 8. Rajzold ( le a következő gráfot! Egy kör kerületén vegyünk fel öt pontot! A gráf csúcsai a pontok által meghatározott 5 ) 2 húr lesz. Két csúcsot akkor kötünk össze a gráfban, ha a nekik megfelelő húroknak nincs közös végpontjuk. Ezt hívják Petersen-gráfnak. 9. Jelölje H n az n-dimenziós hiperkockát, P n az n-hosszú utat, illetve C n az n-hosszú kör. Határozd meg a H n,p n,p n P n,p n P n P n,c n,c n C n,c n C n C n (n N + ) gráfok csúcsainak számát, fokszámait és az átmérőjüket (vagyis a leghosszabb körük méretét). 10. Milyen C n gráfok részgráfjai a Petersen-gráfnak? 11. Hány olyan 3,4, illetve 5 csúcsú gráf van, amely izomorf a komplementerével? 12. Mutasd meg, hogy tetszőleges páratlan hosszúságú zárt séta tartalmaz kört. Igaz-e ez páros hosszúságúra? 13. Mutasd meg, hogy ha egy gráf minden pontja legalább másodfokú, akkor a gráfban van kör! 14. Igaz-e, hogy ha egy gráf bármely két pontja között van séta, akkor út is van? 15. Mutasd meg, hogy ha a-ból vezet út b-be, és b-ből c-be, akkor a-ból is vezet c-be! 16. Hat versenyző körmérkőzést játszik. Bizonyítsd be, hogy bármely időpontban van három olyan versenyző, akik már mind játszottak egymással, vagy három olyan, hogy egyik sem játszott a másik kettővel. 17. Mutasd meg, hogy ha egy 2n-pontú gráf minden pontjának foka legalább n, akkor a gráf összefüggő! Mi történik, ha n 1-fokú pontokat is megengedünk? 18. Igaz-e, hogy vagy G, vagy a komplementere biztosan összefüggő? 19. Igaz-e, hogy (a) minden legalább kétpontú fában van elsőfokú pont; (b) minden n-pontú fának n 1 éle van; (c) egy gráf pontosan akkor fa, ha bármely két pontja között pontosan egy út vezet; (d) minden, legalább 3-csúcsú fában van elvágő csúcs? 20. Jelöljük egy fa elsőfokú pontjanak számát f 1 -gyel, a kettőnél nagyobb fokúak számát pedig c-vel. Mutasd meg, hogy ha legalább két pontja van a gráfnak, akkor f 1 c+2. 21. Igazold, hogy egy összefüggő véges gráfban bármely két leghosszabb útnak van közös pontja! 22. Mutasd meg, hogy egy véges fában az összes leghosszabb út egy ponton megy át! 23. Legfeljebb hány szeparáló él (olyan él, amit elhagyva több komponensre esik szét a gráf) van egy n( 1) pontú gráfban? És legfeljebb hány szeparáló pont? Mindkét esetben mutass olyan példát, ahol pontosan ennyi van!
24. Igazold, hogy véges gráfban a komponensek számának és az élek számának összege nem kisebb, mint a csúcsszám. 25. Lerajzolhatóak-e a ceruza felemelése nélkül az alábbi gráfok úgy, hogy minden élet pontosan egyszer húzunk be (=van-e Euler vonala/köre)? 26. Van-e olyan egyszerű gráf, amelyben van Euler-kör, páros sok csúcsa és páratlan sok éle van? 27. Igazold, hogy minden összefüggő gráfban van olyan séta, amely a gráf minden élét pontosan kétszer tartalmazza. Igaz-e ez zárt sétára? 28. Mutasd meg, hogy ha egy gráf minden pontjának foka 4, akkor élei színezhetőek piros és kék színekkel úgy, hogy minden csúcshoz két-két piros és kék él illeszkedjen! 29. Van-e az alábbi gráfoknak Hamilton köre (útja)? 30. Bejárható-e a 9 9-es sakktábla lóugrással úgy, hogy a kiindulási mezőre érjünk vissza? 31. Mutasd meg, hogy egy dominócsomagból kirakható kör. 32. Mutasd meg, hogy a Petersen-gráfban nincs Hamilton-kör, de bárhogy töröljük egyetlen csúcsát, a maradékban már lesz. 33. Mutasd meg, hogy ha egy gráfban van Hamilton-kör, de bárhogy töröljük egyetlen élét, a maradék gráf összefüggő. 34. Bizonyítsd be, hogy amennyiben egy gráfban található k pont, melyeket elhagyva a gráf több, mint k komponensre esik szét, akkor a gráfnak nincs Hamilton-köre! 35. Bizonyítsd be, hogy ha egy véges összefüggő gráf K köréből valamelyik élt eltörölve a gráf egy leghosszabb útját kapjuk, akkor K Hamilton-köre a gráfnak! 36. Legyen n 3 pozitív egész, és G egy n pontú egyszerű, összefüggő gráf. Bizonyítsd be, hogy ha G minden csúcsának foka legalább n 2, akkor G-nek van Hamilton-köre! 37. Mutasd meg, hogy minden n 5-re igaz, hogy (a) létezik olyan n csúcsú G gráf, hogy G is és G is tartalmaz Hamilton-kört; (b) létezik olyan n csúcsú G gráf, hogy sem G sem G nem tartalmaz Hamilton-kört. 38. Egy hotelba 100 fős társaság érkezik, akik közül kezdetben bármely két ember jóban van egymással. Esténként egyetlen nagy kerek asztal köré ül le mindenki. Sajnos egy vacsora alatt az egymás mellé került emberek örökre összevesznek egymással. A társaság minden vacsora előtt úgy ül le, hogy a szomszédjaival jóban legyen. Ha ez lehetetlen, akkor minden résztvevő aznap este hazamegy. Mutasd meg, hogy legalább 25 éjszakát a hotelben tölt a társaság! 39. Jellemezd véges halmazokon az ekvivalencia-relációk gráfjait. 40. Bizonyítsd be, hogy bármely véges, hurokmentes gráf irányítható úgy, hogy a keletkező gráf nem tartalmaz irányított kört. 41. Melyik gráfot tudod lerajzolni úgy, hogy az élei ne messék egymást: (a) egy kocka éleinek hálózata; (b) teljes n-szög n = 3,4,5,..; (c) három-ház-három-kút : páros gráf 3-3 ponttal (házak, kutak), minden ház összekötve minden kúttal; (d) a Petersen-gráf. 42. Hány éle van egy n-pontú síkgráfnak, ha minden lapja (a végtelen lap is) háromszög? 43. Mutasd meg, hogy egy n 3 pontú síkbarajzolható gráfnak legfeljebb 3n 6 éle lehet!
44. Bizonyítsd be, hogy ha egy G gráf pontszáma legalább 11, akkor vagy G, vagy a komplementere nem síkbarajzolható! 45. Rajzolj egy olyan 8-pontú síkgráfot, aminek a komplementere is síkgráf! 46. Mutasd meg, hogy egy egyszerű síkbarajzolható gráfban nem lehet minden pont foka legalább 6! 47. Legfeljebb hány éle lehet egy síkbarajzolható gráfnak, ha minden köre legalább k hosszú? 48. Egy nemzetközi konferencián öt különböző ország egy-egy résztvevője ül. Bizonyítsd be, hogy van közöttük legalább kettő, akiknek az országa nem szomszédos! 49. Mutasd meg, hogy egy síkbarajzolható gráf lapjai pontosan akkor színezhetőek két színnel úgy, hogy a szomszédos lapok különböző színűek legyenek, ha a gráfnak van Euler-körsétája! 2. Csoportelmélet 1. Melyik csoport az alábbiak közül, és ha nem, milyen feltételek teljesülnek: a) a természetes számok az összeadással; b) a páros számok az összeadással; c) a páratlan számok a szorzással; d) egészek a kivonással; e) páros számok a szorzással; f) 7 többszörösei az összeadással; g) racionális számok az összeadással; h) racionális számok a szorzással; i) nem nulla racionális számok a szorzással; j) {m/n : m Z,n {1,2}} az összeadással. 2. Melyik félcsoport, illetve csoport az alábbiak közül: a) (Z, ), ha a b = (a+b)/2,(a,b Z); b) (Q, ), ha a b = (a+b)/2,(a,b Q); c) (R, osztás); d) (R \ {0}, osztás); e) a 8-adik komplex egységgyökök a szorzással; f) az n-edik egységgyökök halmaza a szorzással, ahol n rögzített pozitív egész; g) az n-edik egységgyökök halmaza a szorzással, ahol n befutja a pozitív egész számokat; h) (R, ), ha x y = ax+by,(a,b,x,y Q) és a,b rögzítettek. 3. Legyen (G, ) csoport, u G rögzített elem. Definiáljunk G-n egy új műveletet a b := a u b segítségével. Csoport lesz-e (G, )? 4. Írd le izomorfiától eltekintve az összes kételemű félcsoportot, illetve az összes egységelemes háromelemű félcsoportot. 5. Mutasd meg, hogy a páros egész számok additív csoportja nem izomorf az egész számok additív csoportjával. 6. Mutasd meg, hogy az egész számok additív csoportja nem izomorf a racionális számok additív csoportjával. 7. Igazold, hogy D 3 izomorf a háromszög csúcsainak összes permutációja által alkotott csoporttal. Igaz-e ez más n-re is? 8. Igazold, hogy a kételemű csoportok izomorfak, speciálisan (Z 2,+) és (Z,+) izomorfak. 9. Igazold, hogy R és T (az egy abszolútértékű komplex számok) nem izomorfak. 10. Egész számok körében definiáljuk az m n = m + n mn műveletet. Mutassuk meg, hogy egységelemes félcsoportot kapunk! Mely elemeknek van inverze? 11. Melyik igaz? (a) ha egy csoport rendje véges, akkor minden eleme véges rendű; (b) ha egy csoport minden eleme véges rendű, akkor a csoport rendje is véges. 12. Lássuk be, hogy ha egy csoport minden elemének inverze önmaga, akkor a csoport kommutatív. 13. Bizonyítsuk be, hogy ha a (G, ) csoport minden a,b elempárjára (a b) 2 = a 2 b 2, akkor a csoport kommutatív. 14. a) A 8-adik komplex egységgyökök szorzással alkotott csoportjában határozzuk meg a csoport rendjét és az egyes elemek rendjét; b) Ebben a csoportban határozzuk meg az egyes elemek generátumát; c) Ciklikus-e ez a csoport? 15. Bizonyítsuk be, hogy (G, ) csoportban a és a 1 rendje egyenlő! 16. Bizonyítsuk be, hogy (G, ) csoportban a és b 1 a b rendje egyenlő! 17. Legyen (G, ) véges, páros rendű csoport. Bizonyítsuk be, hogy G-nek van olyan az egységelemtől különböző eleme, amelynek az inverze önmaga. 18. Egy multiplikatív csoport c elemére c 100 = e és c 1999 = e. Határozzuk meg c-t. 19. Bizonyítsuk be, hogy ha egy (G, ) csoportnak van az egységelemtől különböző véges rendű eleme, akkor van prímrendű eleme is. 20. A D 5 diédercsoport minden részhalmazára határozd meg az általa generált részcsoportot.
21. Mutasd meg, hogy ha A és B egy csoport részcsoportjai, akkor AB pontosan akkor csoport, ha AB = BA. 22. Mik a Z additív csoportjának generátorai? 23. Bizonyítsd be, hogy az m-edik egységgyökök multiplikatív csoportja izomorf Z m additív csoportjával. 24. Melyek a primitív m-edik egységgyökök? 25. Legyen (G, ) csoport és H G. Mutasd meg, hogy rögzített g G esetén g 1 Hg G 26. Bizonyítsd be, hogy egy kommutatív csoportnak azok az elemei, melyeknek a rendje egy adott k számnak osztója, részcsoportot alkotnak! 27. Legyen (G, ) egy csoport és H = {g G : gx = xg, x G} azoknak a G-beli elemeknek a halmaza, amelyek minden más elemmel felcserélhetők. Mutasd meg, hogy H G. (Ezt nevezik a csoport centrumának.) 28. Mutasd meg, hogy Q + a szorzással a Q,R, illetve C részcsoportja. Mennyi lesz a részcsoport indexe az egyes esetekben? 29. Bizonyítsd be, hogy Z 5 nemnulla elemei a szorzásra negyedrendű ciklikus csoportot alkotnak. 30. Bizonyítsd be, hogy Z 9 szorzásra invertálható elemei a szorzással hatodrendű ciklikus csoportot alkotnak. 31. Melyik azalegkisebbmtermészetesszám, amelyrez m szorzásrainvertálhatóelemei aszorzássalnem ciklikus csoportot alkotnak? 32. Bizonyítsuk be, hogy két negyedrendű nem izomorf csoport van. 33. Bizonyítsuk be, hogy ha (G, ) véges csoport, akkor minden a G-re a G = e, ahol e a csoport egységeleme. 34. Normálosztó-e a) Z-ben 3Z; b) D 6 -ban a 120 -os forgatás által generált részcsoport; c) D 6 -ban a 180 -os forgatás és egy tükrözés által generált részcsoport. 35. Mutasd meg, hogy izomorfak a következők: a) (Z/nZ,+) és (Z n,+); b) (C/R,+) és (R,+); c) (C /T, ) és (R +, ); d) (C /R +, ) és (T, ); e) (R/Z, ) és (T, ); f) (C/Z,+) és (C, ). 36. Mutasd meg, hogy a Klein-féle csoport nem izomorf Z 4 -gyel, de izomorf Z 2 önmagával vett direkt szorzatával. 37. Tekintsük a következő permutációkat: ( ) ( 1 2 3 4 1 2 3 4 α =, β = 2 3 4 1 1 3 2 4 ) ( 1 2 3 4, γ = 2 1 4 3 ) ( 1 2 3 4, δ = 4 3 2 1 a) Bontsd fel őket idegen ciklusok szorzatára; b) számítsd ki az αβ,α 1 β,α 2 β,(αβ) 2,αβα 3,ε 1 δγ 1,γδ 2 ε,ε 3,δ 3 ε 3,(δε) 3 permutációkat. ( ) 1111 1 2 3 4 5 6 7 8 38. Határozd meg a permutációt. 8 4 3 2 7 5 6 1 39. Sorold fel a 2,3,8,6,1 sorozat öt inverzióját. 40. Legkevesebb hány transzpozícióval kaphatjuk meg az ALGORITMUS szóból a LOGARITMUS szót? ) ( 1 2 3 4, ε = 3 1 2 4 41. Keresd meg, hogy az alábbi csoportok közül melyek izomorfak: Z 2,Z 3,Z 4,Z 8,Z 3,Z 5,Z 8,Z 12,S 2,A 3,D 3,D 4,Q? 42. Az {1,2,...,n} halmaz mely permutációjára lesz az inverziók száma maximális? Mennyi ez az érték? 43. Adj meg a D 4 diédercsoporttal izomorf permutációcsoportot. Legalább hány eleműnek kell lennie a halmaznak, amelynek a permutációit tekintjük? 44. Hány automorfizmusa van az egész számok additív csoportjának? 45. Keresd meg egy 12 rendű ciklikus csoport, illetve az S 3 összes részcsoportját, az azok szerinti mellékosztályokat, az összes normálosztót és az azok szerinti faktorcsoportokat. ).
3. Gyűrűk, testek 1. Vizsgáljuk meg, hogy gyűrűt, illetve testet alkotnak-e az alábbi kétműveletes struktúrák: a) egész számok az összeadásra és szorzásra nézve; b) a páros számok az összeadásra és szorzásra nézve; c) adott n egész szám többszörösei az összeadásra és szorzásra nézve (az n = 0 esetet külön nézzük meg); d) {a+b 2 : a,b Z} az összeadásra és szorzásra nézve; e) {a+bi : a,b Z} az összeadásra és szorzásra nézve; f) n n-es egész elemű mátrixok a mátrix összeadásra és szorzásra nézve; g) n n-es valós elemű mátrixok a mátrix összeadásra és szorzásra nézve; h) (Z m,+, ) a modulo m tekintett maradékosztályok a maradékosztály összeadásra és szorzásra. 2. Írd fel a modulo 5 maradékosztályok testére vonatkozó összeadási és szorzási táblázatot. 3. Jelöljön(S,+) egyabel-csoportot. Definiáljuka műveletetakövetkezőmódon: a b = 0, ahol0az(s,+)egységeleme. Bizonyítsuk be, hogy az (S, +, ) struktúra gyűrű! (Ezt nevezzük zérógyűrűnek.) 4. Testetalkotnak-eamodulo2mmaradékosztályokközülapárosak(tehátez: {0,2,4,6,...,2m 2})amaradékosztályok közötti összeadásra és szorzásra, ha a) 2m = 10; b) 2m = 20? 5. Vizsgáljuk meg, hogy gyűrűt, illetve testet alkotnak-e az alábbi kétműveletes struktúrák: a) {a+b 3 : a,b Z} az összeadásra és szorzásra nézve; b) {( A [ 1, 1] intervallumon ) } értelmezett valós függvények a függvények pontotnkénti összeadására és szorzására nézve; a b c) : a,b R mátrixok a mátrix összeadásra és szorzásra. 2b a 6. Bizonyítsuk be, hogy ha (T, +, ) véges, legalább két elemet tartalmazó integritási tartomány, akkor test! 7. Igazold, hogy a szokásos összeadással és a megadott szorzással testet kapunk: a) Z 2 Z 2,(x,y) (x,y ) = (xx +yy,xy +x y +yy ); b) Z 3 Z 3,(x,y) (x,y ) = (xx yy,xy +x y). 8. Tegyük fel, hogy α C\Q olyan szám, amelyre α 2 +rα+s = 0, vagyis α 2 = rα s valamely r,s racionálisszámokkal. Mutasd meg, hogy ekkor Q+αQ C test. 9. Határozd meg izomorfizmus erejéig a négyelemű egységelemes gyűrűt. 10. Bizonyítsd be, hogy 2Z a Z-nek részgyűrűje! Ideál-e? Főideál-e? 11. Melyek (Z 4,+, ) részgyűrűi? Van-e köztük ideál? 12. Tekintsük a racionális számok (Q, +, ) gyűrűjét. Bizonyítsuk be, hogy a páros egészek a racionális számok gyűrűjének részgyűrűjét alkotják, de nem ideálját! 13. Bizonyítsd be, hogy az egész számok részgyűrűt képeznek a racionális számok gyűrűjében, de nem ideált! 14. Mutasd meg, hogy Z-ben (18, 30) = (6), tehát főideál. 15. Mutasd meg, hogy Z+iZ+jZ+kZ H egységelemes nullosztómentes nemkommutatív gyűrű. 16. Gyűrűhomomorfizmusok-e az alábbi leképezések? Ha igen, határozd meg a magjukat: a) C R,x+iy x; b) R R R R,(r,r ) (r,r), ahol R,R tetszőleges gyűrűk; c) Z n Z 2n, m m, ha 0 m < n; d) Z 2n Z n, m m, ha 0 m < n és m m n, ha n m < 2n. 17. Lássuk be, hogy a páros számok(p) az egészek részgyűrűjét, sőt ideálját alkotják! Határozzuk meg a Z/P maradékosztály gyűrűt! 18. Bizonyítsd be, hogy Z 12 -nek a 0,3,6,9 osztályai egy részgyűrűt alkotnak. Ideál, illetve főideál-e? Ha ideál, akkor a faktrogyűrű test-e? 19. Döntsd el, hogy a Gauss-egészek gyűrűjében az alábbi halmazok ideált alkotnak-e, és ha igen, határozd meg a faktorgyűrűt: a) Z; b) 2Z+2iZ; c) 4Z+6iZ. {( ) } {( ) } a b a b 20. Legyen R = : a,b,c,d Z és I = : a,b,c,d 2Z. Mutasd meg, hogy I ideál R-ben! Hány c d c d elemű az R/I faktorgyűrű? 21. Az következő faktorgyűrűk közül melyek izomorfak: Z 4 /( 0),Z 8 /( 4),Z 16 /( 4),2Z 16 /( 8),Z/(4),4Z/(16)? 22. a) Lehet-e egy nullosztómentes, de nem egységelemes gyűrű faktorgyűrűje egységelemes; b) lehetnek-e egy nullosztómentes gyűrű faktorgyűrűjében nullosztók; c) Lehet-e egy nem nullosztómentes gyűrű faktorgyűrűje nullosztómentes?
23. Határozzuk meg a modulo 12 maradékosztályok gyűrűjében a nullosztókat! 24. Felbonthatatlan, illetve prím-e Z 10 -ben 5? 25. Legyen D = {x : x Q,x = m 2 k,m,k Z} a véges diadikus törtek halmaza. Lássuk be, hogy a véges diadikus törtek az összeadásra és szorzásra integritási tartományt alkotnak, de nem alkotnak testet. 26. Mely számok osztói az 1-nek a véges diadikus számok gyűrűjében? Mik az egységek? Adjunk egyszerű feltételt arra, hogy ebben a gyűrűben egy szám oszt egy másikat! 27. A véges diadikus számok gyűrűjében felbonthatatlan-e a 12? Melyek ugyanebben a gyűrűben a felbonthatatlanok és melyek a prímek? 28. Legyen{a+bi : a,b Z} azösszeadásraésszorzásranézve(gauss-egészek). Legyenφ(a+bi) = (a+bi)(a bi) = a 2 +b 2. Bizonyítsuk be ennek a leképezésnek a felhasználásával, hogy a Gauss-egészek körében az egységek 1, 1, i, i! 29. A (páros számok, +, ) integritási tartományt képeznek. Euklideszi gyűrű-e? 30. Legyen L = {a+bi 5 : a,b Z} a szokásos összeadással és szorzással. (L-egészek.) a) Bizonyítsuk be, hogy az (L, +, ) struktúra egységelemes integritási tartomány; b) Bizonyítsuk be, hogy az L-egészek körében két egység van, ezek 1 és -1; c) Bizonyítsuk be, hogy az L-egészek körében 1+i 5,1 i 5,2,3 felbonthatatlan elemek, de nem prímelemek; d) Bizonyítsuk be, hogy az (L, +, ) gyűrű nem euklideszi gyűrű. 4. Polinomok 1. Add meg Z 72 felett a 8x 2 +12 és a 18x+36 polinomok szorzatát! 2. Határozd meg H felett az f = (3+2i j +5k)x 2 (2 3i+k) és a g = 2ix (4 5k) polinomokra fg gf-et. 3. Határozd meg a Z feletti 3x 8 +5x 6 11x 3 +7x 2 15x+8 és 16x 7 13x 6 +6x 3 13x+21 polinomok szorzatában a 0-ad, 9-ed, 14-ed, 15-öd és 20-ad fokú tag együtthatójút! Oldd meg ugyanezt Z 24 felett is! Mennyi lesz ekkor a szorzatpolinom foka? 4. Osszd el az f(x) polinomot g(x)-szel maradékosan Q,Z 7 és Z 6 felett, ha lehet a) f(x) = 42x 4 7x 3 +13x 2 +43x 12, g(x) = x 2 x+1; b) f(x) = x 3 3x 2 x 1, g(x) = 3x 2 2x+1; c) f(x) = 5x 4 +2x 3, g(x) = 2x 2 3x+4; d) f(x) = x 3, g(x) = 2x+3; e) f(x) = x 2 +3x 2, g(x) = 6x 4 +5x 2 3x+2; f) f(x) = x 3 +x 2 +3x+2, g(x) = 2x 2 +4. 5. Legyen f(x) = x 5 +x 4 15x 3 +25x 2 +2x 3 és g(x) = x 2 +4x 5. Osszuk el maradékosan f-et a g-vel Q és Z 3 felett! 6. Hogyan kell megválasztani a p,q,m értékeket, hogy az x 3 + px+q polinom C felett osztható legyen az x 2 + mx 1 polinommal? 7. Határozd meg a és b értékét úgy, hogy x 4 +3x 2 +ax+b osztható legyen x 2 2ax+2-vel Z,Q,R, illetve C felett! 8. Határozd meg az alábbi Q[x]-beli polinomok legnagyobb közös osztóját: a) (x 1) 3 (x+2) 2 (x 3)(x 4) és (x 1) 5 (x+2)(x 5); b) x m 1 és x n 1; c) x m +1 és x n +1. 9. Ha lehet, oldd meg az u, v ismeretlen polinomokra nézve R[x]-ben a következő egyenleteket: a) (3x 3 2x 2 +x+2)u+(x 2 x+1)v = 1; b) (x 4 x 3 4x 2 +4x+1)u+(x 2 x+1)v = x. 10. Ha lehet, oldd meg az u,v ismeretlen polinomokra nézve Z 2 [x]-ben a következő egyenleteket: a) (x 5 +x 2 +1)u+(x 4 +x 2 +x)v = 1; b) (x 4 +1)u+(x 3 +x 2 +x+1)v = x 3 +x+1. 11. Határozd meg a legalacsonyabb fokú olyan h K[x] polinomot, amely az f-fel osztva u, a g-vel osztva v maradékot ad, ha a) f = x 3 +1,g = x 3 +x 2 2,u = x 2,v = x 2 2x+2,K = Q; b) f = x 2 2x+1,g = x 3 3x 2 +2,u = x,v = x 2 +x+1,k = R; c) f = x 3 +x 2 +1,g = x 3 +x 2 +1,u = x+1,v = x 2 +x+1,k = Z 2. 12. Az x c-vel való maradékos osztás segítségével határozd meg az alábbi C[x]-beli polinomok helyettesítési értékét az adott helyen: a) x 4 3x 3 +6x 2 10x+16,c = 4; b) x 5 +(1+2i)x 4 (1+3i)x 2 +7,c = 2 i; c) x 4 3ix 3 4x 2 +5ix 1,c = 1+2i. 13. Keresd meg az f(x) = x 4 3x 3 +x+6 polinom helyettesítési értékét a 3, 1,2, 2 helyeken!
14. Határozd meg az alábbi maradékos osztások hányadosát és maradékát a Horner-módszer segítségével: f(x) = 3x 5 + 2x 2 7x+2 a) g(x) = x 3,R = Z; b) g(x) = x+2,r = Z; c) g(x) = x 1/2,R = Q; d) g(x) = x 3,R = Z 3 ; e) g(x) = x 3,R = Z 5. 15. Határozd meg az alábbi maradékos osztások hányadosát és maradékát a Horner-módszer segítségével: a) f(x) = 4x 3 +x 2,g(x) = x+1+i; b) f(x) = x 3 x 2 x,g(x) = x 1+2i. 16. Határozd meg a p értékét úgy, hogy az f(x) = x 5 +3x 4 +5x+p polinom osztható legyen x 2-vel! 17. Az x c-vel való ismételt maradékos osztás segítségével írjuk fel a következő C[x]-beli polinomokat x c hatványai segítségével: a) x 4 +2x 3 3x 2 4x+1,c = 1; b) x 5,c = 1. 18. Hányszoros gyöke 2 az x 5 5x 4 +7x 3 2x 2 +4x 8 Z[x] polinomnak? 19. Határozd meg az a együtthatót úgy, hogy 1 legalább kétszeres gyöke legyen az x 5 ax 2 ax+1 R[x] polinomnak. 20. Keresd meg a következő C[x]-beli polinomok többszörös gyökeit: a) x 6 6x 4 4x 3 +9x 2 +12x+4; b) x 5 10x 3 20x 2 15x 4. 21. Add meg az alábbi C[x]-beli polinomokhoz olyan polinomot, amelynek ugyanazok a gyökei, de egyszeresek: a) x 6 15x 4 +8x 3 +51x 2 72x+27; b) x 5 6x 4 +16x 3 24x 2 +20x 8. 22. Hány másodfokú reducibilis főpolinom van Z 7 felett? 23. Felbontható-e Z 3 felett az x 7 +2x 4 +x 2 +2x+2 polinom? 24. A Z 2 gyűrű felett a) állapítsd meg, hogy irreducibilisek-e az x 4 +1,x 3 +x 2 +1, illetve x 4 +x+1 polinomok; b) add meg az összes, legfeljebb harmadfokú irreducibilis polinomot; c) bontsd irreducibilis polinomok szorzatára az x 7 +1 polinomot. 25. Döntsd el, hogy Z[x]-ben a megadott halmazok ideált alkotnak-e, és ha igen, határozd meg a faktorgyűrűt: a) polinomok, amelyek konstans tagja páros; b) polinomok, amelyek elsőfokú tagjának együtthatója páros. 26. A 3x 4 5x 3 +3x 2 +4x 2 polinom egyik gyöke 1+i. Határozd meg a többi gyökét. 27. Add meg a következő polinomok irreducibilis felbontását C, illetve R felett: a) x 6 27; b) x 6 +27; c) x 8 16; d) x 8 +16; e) x 10 x 5 +1; f) x 22 +x 11 6; g) x 4 +4x 3 +4x 2 +1; h) x 2n +x n +1; i) x 2n 2x n 3. 28. Határozd meg a 4x 6 8x 5 3x 4 11x 3 +18x 2 +28x+8 polinom racionális többszörös gyökeit és ezek multiplicitását. 29. Bontsd fel a következő polinomokat irreducibilis polinomok szorzatára Z és Q felett: a) 3x 5 +2x 3 12x 2 +10x+14; b) 20x 4 +26x 3 +65x 2 +91. 30. Mik az f(x) = 40x 4 +45x+15 polinom racionális gyökei? 31. Keresd meg a következő egész együtthatós polinomok racionális gyökeit: a) x 4 2x 3 8x 2 +13x 24; b) x 4 +4x 3 2x 2 12x+9; c) 10x 4 13x 3 +15x 2 18x 24. 32. Igazold, hogy az alábbi polinomok irreducibilisek Z[x]-ben: a) x 4 8x 3 +12x 2 6x+2; b) x 5 12x 3 +36x 12; c) x 4 x 3 +2x+1. 5. Kódolás 1. Az adott eloszlásnak határozd meg az entrópiáját, valamint hogy hányad része az entrópia felső korlátjának: a) 0.34, 0.18, 0.17, 0.16, 0.15; b) 0.6, 0.1, 0.09, 0.08, 0.07, 0.06; c) 0.4, 0.4, 0.1, 0.03, 0.03, 0.02, 0.02; d) 0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.05, 0.05. 2. Az adott kódokról döntsd el, hogy melyik felbontható, prefix, vesszős, illetve egyenletes! Rajzold fel a kódfát is: a) {0, 10, 110, 1110, 1011, 1101}; b) {1, 011, 010, 001, 000, 110}; c) {0, 10, 110, 1110, 11110, 111110}; d) {111, 110, 101, 100, 011, 010}. 3. Az alábbi kódokról döntsd el melyik felbontható: a) {1021, 121, 2021, 021, 221, 1121, 0121, 0221}; b) {01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22}. 4. Igaz-e, hogy egy t hibát javító kód a) legalább 2t + 1 hibát jelez; b) legalább 2t hibát jelez; c) legfeljebb 2t hibát jelez?
5. Tekintsük az alábbi bináris kódolást: 00 00000, 01 01110, 10 10101, 11 11011. a) Mekkora a 01110 és az 10101 kódszavak távolsága? b) Mekkora a kód távolsága? c) Mutasd meg, hogy a kód csoportkód Z 5 2-ben! d) Mennyi az 11011 kódszó súlya? e) Mennyi a kód súlya? f Add meg a 00000 kódszóhoz legfeljebb 1 távolságra levő Z 5 2-beli szavak halmazát! g) A 01000 szót mire dekódoljuk minimális távolságú dekódolással? 6. Az alábbi bináris kódok esetében állapítsd meg a kód távolságát, hibajelző és hibajavító képességét, hogy lineáris-e, valamint a lineárisoknál add meg a szokásos bázisban a generátormátrixot és egy ellenőrző-mátrixot: a) (c 1,c 2,c 3 ) (c 1,c 2,c 3,c 1 +c 2 +c 3 +1); b) (c 1,c 2,c 3 ) (c 1,c 2,c 3,c 1,c 2 +c 3 ); c) (c 1,c 2,c 3 ) (c 1,c 2,c 3,c 1,1 c 2 c 3 ). 7. Legyen egy bináris lineáris kód generátormátrixa: G = 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 Add meg valamelyik ellenőrző-mátrixát, majd ennek felhasználásával a kódtávolságot! 8. Egy bináris kód generátormátrixa G = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Add meg a kód ellenőrző mátrixát és ennek segítségével a távolságát! 9. Egy bináris kód generátor-mátrixa G = 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Mennyi a kód számossága? Add meg a kód ellenőrző mátrixát és a távolságát!