Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük, hogy a dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal, olvashatóa javítsa ki.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőbe a feladatra adható maximális potszám va, a javító által adott potszám a mellette levő téglalapba kerüljö. 3. Kifogástala megoldás eseté kérjük, hogy a maximális potszám feltütetése mellett kipipálással jelezze, hogy az adott godolati egységet látta, és jóak miősítette. 4. Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy a hiba jelzése mellett az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra. Ha a dolgozat javítását jobba követhetővé teszi, akkor a vizsgázó által elvesztett részpotszámok jelzése is elfogadható. Ne maradjo olya részlet a megoldásba, amelyről a javítás utá em yilvávaló, hogy helyes, hibás vagy fölösleges. 5. A javítás sorá alkalmazza az alábbi jelöléseket. helyes lépés: kipipálás elvi hiba: kétszeres aláhúzás számolási hiba vagy más, em elvi hiba: egyszeres aláhúzás rossz kiiduló adattal végzett helyes lépés: szaggatott vagy áthúzott kipipálás hiáyos idoklás, hiáyos felsorolás vagy más hiáy: hiáyjel em érthető rész: kérdőjel és/vagy hullámvoal 6. Az ábrá kívül ceruzával írt részeket e értékelje. Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk. Ameyibe azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeértékű részeit, és eek alapjá potozzo.. A potozási útmutató potjai tovább bothatók, hacsak az útmutató másképp em redelkezik. Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek. 3. Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, és a megoldadó probléma léyegébe em változik meg, akkor a következő részpotszámokat meg kell adi. 4. Elvi hibát követőe egy godolati egysége belül (ezeket az útmutatóba kettős voal jelzi) a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot. Ha azoba a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel mit kiiduló adattal helyese számol tovább a következő godolati egységekbe vagy részkérdésekbe, akkor ezekre a részekre kapja meg a maximális potot, ha a megoldadó probléma léyegébe em változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóba zárójelbe szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor eek hiáya eseté is teljes értékű a megoldás. 1611 írásbeli vizsga / 18 017. május 9.
k 6. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. A javítás sorá egyértelműe jelezze, hogy melyik változatot értékelte, és melyiket em. 7. A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális potszámot meghaladó pot) em adható. 8. Egy feladatra vagy részfeladatra adott összpotszám em lehet egatív. 9. Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel. 10. A godolatmeet kifejtése sorá a zsebszámológép haszálata további matematikai idoklás élkül a következő műveletek elvégzésére fogadható el: összeadás, kivoás, szorzás, osztás, hatváyozás, gyökvoás,!, kiszámítása, a függvéytáblázatba fellelhető táblázatok helyettesítése (si, cos, tg, log és ezek iverzei), a π és az e szám közelítő értékéek megadása, ullára redezett másodfokú egyelet gyökeiek meghatározása. További matematikai idoklás élkül haszálhatók a számológépek az átlag és a szórás kiszámítására abba az esetbe, ha a feladat szövege kifejezette em követeli meg az ezzel kapcsolatos részletszámítások bemutatását is. Egyéb esetekbe a géppel elvégzett számítások idoklás élküli lépésekek számítaak, így azokért em jár pot. 11. Az ábrák bizoyító erejű felhaszálása (például adatok leolvasása méréssel) em elfogadható. 1. Valószíűségek megadásáál (ha a feladat szövege másképp em redelkezik) a százalékba megadott helyes válasz is elfogadható. 13. Ha egy feladat szövege em ír elő kerekítési kötelezettséget, akkor az útmutatóba megadottól eltérő, észszerű és helyes kerekítésekkel kapott rész- és végeredméy is elfogadható. 14. A vizsgafeladatsor II. részébe kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe feltehetőleg megjelölte aak a feladatak a sorszámát, amelyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába. Eek megfelelőe a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai. Ha a vizsgázó em jelölte meg, hogy melyik feladat értékelését em kéri, és a választás téye a dolgozatból sem derül ki egyértelműe, akkor a em értékeledő feladat automatikusa a kitűzött sorred szeriti utolsó feladat lesz. 1611 írásbeli vizsga 3 / 18 017. május 9.
1. a) A lg függvéy szigorúa mooto övekedő, ezért x < 100. (A lg függvéy értelmezési tartomáya miatt) x > 0. Tehát 0 < x < 100. I. Ezek a potok járak egy megfelelő ábráért is. 3 pot A megoldáshalmaz: ]0; 100[ 1. b) Nullára redezve: x 4x 5 0. Az x 4x 5 0 egyelet gyökei 1 és 5. Mivel a égyzetes tag együtthatója pozitív, ezért 5 < x < 1. 4 pot Ez a pot jár egy megfelelő ábráért vagy az (x + 5)(x 1) < 0 alakért. 1. c) x3 0,5 0,5 A 0,5 alapú expoeciális függvéy szigorúa mooto csökke, így x 3 >. Ez akkor teljesül, ha x 3 > vagy x 3 <, azaz x > 5 vagy x < 1. 5 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó az x 3 < egyelőtleséget oldja meg, akkor legfeljebb 3 potot kaphat.. a) (Ha Noémi szóbeli vizsgájáak eredméye x százalékos, akkor) a vizsga végeredméye ez a godolat csak a meg- 73 564 3x Ez a pot akkor is jár, ha 5 3 oldásból derül ki. százalékos. 73 564 3x A feladat szövege szerit: 70. 5 3 x 78 Noémiek legalább 78%-os szóbeli eredméyre va szüksége. 4 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó egyelőtleség helyett egyeletet old meg, és helyese válaszol, akkor teljes potszámot kapjo. 1611 írásbeli vizsga 4 / 18 017. május 9.
. b) első megoldás (Ha az első évfolyamo összese vizsgázó volt, akkor) a fiúk száma 75, a em kollégista hallgatók száma 40. 75 70 ( 75) 6 Az átlag egyrészt, 4071 ( 40) 65 másrészt. Megoldadó tehát a 75 70 ( 75) 6 40 71 ( 40) 65 egyelet. = 10 Tehát 10 hallgató vizsgázott az évfolyamo. Elleőrzés a szöveg alapjá (a 10 vizsgázó átlagára midkét csoportosítás esetébe 67% adódik). pot 7 pot Ezek a potok akkor is járak, ha ezek a godolatok csak a megoldásból derülek ki. Ez a pot az egyelet megoldásárért jár.. b) második megoldás Ha a fiúk száma f, a em kollégisták száma k, akkor a 7570 f 6 vizsgaeredméyek átlaga egyrészt, f 75 4071 k 65 másrészt. k 40 A feladat szövege szerit f + 75 = k + 40, 7570 f 6 4071 k 65 továbbá. f 75 k 40 f = 45 (és k = 80). pot Összese (75 + 45 =) 10 hallgató vizsgázott az első évfolyamról. Elleőrzés a szöveg alapjá (a 10 vizsgázó átlagára midkét csoportosítás esetébe 67% adódik). 7 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. Ez a pot az egyeletredszer megoldásárért jár. 1611 írásbeli vizsga 5 / 18 017. május 9.
3. a) A mediá: 83,5 (kg), az átlag: 79,75 (kg), a szórás:,5 + 5,75 +10,5 + 8,5 5,5 +16,75 + 8,75 8 ( 77, 9375 ) 8,83 (kg). 4 pot Ez a pot akkor is jár, ha a vizsgázó számológéppel számolva, idoklás élkül helyese válaszol. 3. b) Mivel 90 + 88 = 178, 85 + 8 + 63 = 30 és 85 + 71 + 74 = 30, ezért a három forduló valóba elegedő. 3 pot 3. c) (Bármelyik 3 személy együttes tömege kisebb 300 kg-ál.) Vagy midegyik fordulóba személy megy fel (égy forduló), vagy egy fordulóba, és további két fordulóba még 3-3 személy (három forduló). Ha midegyik fordulóba két ember megy fel, akkor a külöböző lehetőségek száma: 8 6 4 (= 50). Ha három fordulóba meek fel, akkor a liftbe utazó személyek száma + 3 + 3, vagy 3 + + 3, vagy 3 + 3 + lehet. 8 6 3 Midegyik eset (= 560) külöböző módo valósulhat meg, 3 3 8 6 3 vagyis 3 (= 1680) ilye eset lehetséges. 3 3 A lehetőségek száma összese: 8 6 4 8 6 3 + 3 = 3 3 = 400. 7 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. Sorba állítjuk a 8 embert, a égy darab -es csoporto belül a sorred em számít. A lehetőségek száma: 8! (= 50). 4 (!) Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. 8!! (3!) 1611 írásbeli vizsga 6 / 18 017. május 9.
4. a) A parabola és az egyees metszéspotjait az y x x 6 egyeletredszer megoldásaikét 0 x y kapjuk. A második egyeletből y kifejezésével: x x 6 x (Redezve: x 4, ahoa) x és x. 1 (Mivel a parabolaív a [ ; ] itervallumo az egyees felett helyezkedik el, ezért) T ( x x 6) ( x ) dx * ( x 4) dx * 3 x 4x 3 * 3 3 ( ) 16 16 4 4( ) 3 3 3 3 * 3 3 * 8 pot Megjegyzés: A *-gal jelölt 5 potot az alábbi godolatmeetért is megkaphatja a vizsgázó: 3 x x ( x x 6) dx 6x 3 34 56 3 3 3 x ( x ) dx x = 6 ( ) = 8 (Mivel a parabolaív a [ ; ] itervallumo az egyees felett helyezkedik el, ezért) T = 8. 56 3 3 3 1611 írásbeli vizsga 7 / 18 017. május 9.
4. b) Az x tegellyel való metszéspotba y = 0, így x x 6 0. Ie x 1,. Mivel a B pot első koordiátája pozitív, B(3; 0). Az f ( x) x x 6 (x R) függvéy deriváltfüggvéye f '( x) x 1 (x R). * A B potba húzott éritő meredeksége f '(3) = * (= 3 + 1) = 5. * 6 pot Megjegyzés: A *-gal jelölt 3 potot az alábbi godolatmeetért is megkaphatja a vizsgázó: A B poto átmeő, a parabola tegelyével em párhuzamos, m meredekségű egyees egyelete felírható y = mx 3m alakba is. Eek az egyeesek potosa akkor va egy közös potja a parabolával, ha az x ( m 1) x 3( m ) 0 egyelet diszkrimiása 0-val egyelő. A diszkrimiás ( m 1) 1( m ) ( m 5), tehát az éritő meredeksége 5. 5. a) II. Az ABE háromszög derékszögű és egyelő szárú, ezért ABE = 45. Ha egy egység oldalú szabályos háromszöget az egyik szimmetriategelyével kettéváguk, akkor az így kapott háromszögek egybevágók a BCD háromszöggel (két oldalukba és az ezek által közbezárt szögükbe megegyezek), ezért DBC = 30. A két átló által bezárt szög tehát: EBD = ABC ABE DBC = 75. 5 pot A BC oldal felezőpotját kössük össze a D csúccsal! Ez a szakasz a BCD háromszöget egy egységyi oldalú szabályos háromszögre és egy egyelő szárú háromszögre botja. 1611 írásbeli vizsga 8 / 18 017. május 9.
5. b) első megoldás cos 75 cos (30 45) cos 30 cos 45 si30si45 = 3 1 = 6 = (tehát az állítás igaz). 4 3 pot Megjegyzés: Közelítő értékekkel való számolás em fogadható el. 5. b) második megoldás 1 cos 150 cos 75 3 1 3. 4 6 8 1 3 Mivel 4, 16 4 ezért az állítás igaz (hisze cos 75º > 0). 3 pot Megjegyzés: Közelítő értékekkel való számolás em fogadható el. 5. c) BE BD 3 Az EBD háromszögbe a kosziusztétel szerit: 6 DE 3 3 4 = 3. Tehát valóba DE 3. 5 pot 5. d) 6 8 1 4 4 3 3 3 3 ( 3 1) 3 1 Midkét megadott szám pozitív, és a égyzetük 6 egyelő, tehát az állítás igaz. 3 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó idoklásához közelítő értéket is haszál, akkor 0 potot kapjo. 1611 írásbeli vizsga 9 / 18 017. május 9.
6. a) (1) igaz () hamis (3) igaz (4) igaz (5) hamis 3 pot 3 pot 4 jó válaszért pot, 3 jó válaszért jár. 3-ál kevesebb jó válasz eseté em jár pot. 6. b) Az állítás hamis. Bármilye megfelelő ellepélda (kört tartalmazó tízpotú egyszerű gráf legfeljebb 8 éllel). 6. c) A megfordítás: Ha egy (tízpotú egyszerű) gráf em tartalmaz kört, akkor a gráfak legfeljebb 8 éle va. A megfordított állítás hamis. Bármilye megfelelő ellepélda (tízpotú fa). pot 3 pot pot 4 pot 6. d) első megoldás 109 A 10 potú teljes gráfak 45 éle va. 45 A három él kiválasztása (= 14 190) külöböző 3 módo lehetséges (ezek midegyike azoos valószíűségű). Háromélű kört akkor kapuk, ha a kiválasztott élek végpotjai a gráfak összese 3 csúcsát jeletik, ezért a gráf bármely 3 csúcsáak kiválasztása potosa egy háromélű kör kiválasztásáak felel meg. 10 A kedvező esetek száma (= 10). 3 10 A kérdezett valószíűség: 3 45 3 0,0085. 6 pot 1611 írásbeli vizsga 10 / 18 017. május 9.
6. d) második megoldás 109 A 10 potú teljes gráfak 45 éle va. Az első kiválasztott él legye ezek közül bármelyik. Kell, hogy a második kiválasztott élek legye az elsővel közös végpotja. Az első kiválasztott él midkét végpotjából még 8-8 él idul, a maradék 44 él közül ezek valamelyikét kell kiválasztauk, tehát a jó választás valószíűsége ebbe a lépésbe. 44 16 Harmadik lépésbe a maradék 43 él közül mideképpe a már kiválasztott két él em közös végpotjait összekötő élt kell kiválasztauk, tehát a jó választás valószíűsége ebbe a lépésbe. 43 1 (Mivel a három választás egymástól függetle,) 16 1 a kérdezett valószíűség 44 43 4 0,0085. 473 6 pot 6. d) harmadik megoldás 109 A 10 potú teljes gráfak 45 éle va. 45 A három él kiválasztása (= 14 190) külöböző 3 módo lehetséges (ezek midegyike azoos valószíűségű). Rajzoljuk meg egy élt! Ezt 45-féleképpe tehetjük meg. A kiválasztott él végpotjaiból a maradék 8 csúcs közül bármelyikhez húzott két él a kiválasztott éllel együtt a gráfak egy körét határozza meg. A gráfba összese 45 8 (= 360) darab három élű kört rajzolhatuk meg ilye módo, de ekkor mide kört potosa háromszor rajzoltuk meg. Tehát a külöböző háromélű körök száma 10. 10 A kérdezett valószíűség: 45 3 0,0085. 6 pot 1611 írásbeli vizsga 11 / 18 017. május 9.
7. a) A feltételek miatt elegedő a háromszög szögeit vizsgáli. A háromszög középső szögét a-val, a sorozat differeciáját d-vel (d > 0) jelölve, a három szög a d, a és a + d fokos (a és d egészek). (a d) + a + (a + d) = 180, ahoa a = 60 (a háromszög középső szöge). Ha a háromszög hegyesszögű (és d pozitív egész), akkor a legagyobb szöge legalább 61, legfeljebb 89 fokos. Tehát 9 külöböző, a feltételekek megfelelő háromszög va. 4 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. 7. b) első megoldás Egy ilye szög belső szögeiek összege fokba mérve, így ( ) 180. 180 360 0 ( N és 3). A másodfokú egyelet megoldásai em egészek ( 177,98, illetve,0). Tehát valóba ics a feltételek megfelelő -szög. 4 pot 7. b) második megoldás Ha egy szabályos sokszög egy belső szöge 179º, akkor 360 oldala va (és em 179), tehát 179. Ha egy szabályos sokszög egy belső szöge 178º, akkor 180 oldala va (és em 178), tehát 178, hasolóképpe, ha egy szabályos sokszög egy belső szöge 177º, akkor 10 oldala va (és em 177), tehát 177. 360 Az oldalú szabályos sokszög külső szöge fordította aráyos az -el. Ha tehát a belső szög csökke, akkor (mivel a külső szög övekszik) az oldalszám is csökke, ha pedig az oldalszám övekszik, akkor a belső szög is övekszik. Ezért < 10 lehete csak, de 10º-ál kisebb belső szögei csak a szabályos három-, égy- és ötszögek vaak. Ezek sem felelek meg, tehát a feladat állítása igaz. 4 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó (megfelelő idoklással) az összes olya szabályos sokszög oldalszámát felsorolja, melyek szögei fokba mérve egészek, és ez alapjá helyese megállapítja, hogy ics a feltételek megfelelő sokszög, akkor teljes potszámot kapjo. (A 7.c feladat megoldásához fűzve megtalálható az a táblázat, amely tartalmazza a lehetséges eseteket.) 1611 írásbeli vizsga 1 / 18 017. május 9.
7. c) Az oldalú ( 3) szabályos sokszög egy belső szögéek agysága fokba mérve:, ( ) 180 és ez egy k pozitív egész számmal egyelő. * Tehát k 180 360, * Ha az oldalú szabályos sokszög egy belső szöge fokba mérve k (k N + ), akkor egy külső szöge 180 k. A külső szögek összege 360 360, így 180 k. 360 amiből k 180. * Mivel 3, ezért a 360 pozitív osztói közül a -él agyobbak mid megfelelek (mert ezekbe az esetekbe k-ra 180-ál kisebb pozitív egész szám adódik). * Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. A 360 osztópárjai: (1; 360), (; 180), (3; 10), (4; 90), (5; 7), (6; 60), pot** Mivel 3 3 5, ezért a 360 pozitív osztóiak száma 4 3 4. (8; 45), (9; 40), (10; 36), (1; 30), (15; 4), (18; 0). A 360-ak 4 pozitív osztója va. (Az osztók közül az 1 és a em felel meg, ezért) -féleképpe választható meg az értéke. 8 pot Megjegyzések: 1. Az alábbi táblázat tartalmazza az lehetséges értékeit és a hozzájuk tartozó k értékeket. k (fok) k (fok) k (fok) k (fok) k (fok) 3 60 9 140 0 16 40 171 90 176 4 90 10 144 4 165 45 17 10 177 5 108 1 150 30 168 60 174 180 178 6 10 15 156 36 170 7 175 360 179 8 135 18 160. Ha a vizsgázó legfeljebb 9 osztópárt talál meg, akkor a **-gal jelölt potból 0 potot, ha 10 vagy 11 osztópárt talál meg, akkor ot kapjo. 3. A *-gal jelölt 4 potot a következő godolatmeetért is megkaphatja a vizsgázó: Egy szabályos sokszög egy belső szöge fokba mérve potosa akkor egész szám, amikor ez egy külső szögére is igaz. Vizsgáljuk ezért a sokszög egy külső szögét. Az oldalú ( 3) szabályos sokszög egy külső 360 szöge fokos, egy belső szöge tehát fokba mérve akkor lesz egész, 360 amikor értéke (180-ál kisebb) egész szám. Mivel 3, ezért a 360 pozitív osztói közül a -él agyobbak mid megfelelek. Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. 1611 írásbeli vizsga 13 / 18 017. május 9.
8. a) első megoldás Aak a valószíűsége, hogy egy véletleszerűe kiválasztott lakos em fertőzött: 0,998. P(80 ember közt va legalább 1 fertőzött) = = 1 P(seki em fertőzött) = 80 = 10,998 0,15. 4 pot Ez a pot em jár, ha a vizsgázó em kerekít vagy rosszul kerekít. 8. a) második megoldás Aak a valószíűsége, hogy egy véletleszerűe kiválasztott lakos em fertőzött: 0,998. 80 79 P(1 fertőzött) = 0,000,998 0,1366. 1 Hasolóa P( fertőzött) 0,0108, P(3 fertőzött) 0,0006. Mivel P(4 fertőzött) 0,0000 (és a további valószíűségek értékei gyorsa csökkeek), ezért az összeg további tagjai (a kért potosság eseté) elhayagolhatók. Így P(80 ember közt va legalább 1 fertőzött) 0,1366 + 0,0108 + 0,0006 0,15. 4 pot Ez a pot em jár, ha a vizsgázó em kerekít vagy rosszul kerekít. 8. b) A fertőzöttek aráya a teljes lakosságo belül mide ap az előző api aráy 1,05-szorosára ő. A keresett apok számát jelölje x, ekkor x 0,1,05 1. 1,05 x 5 Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. lg5 x 3,99 x log 5 lg1,05 1, 05 (Mivel a fertőzöttek száma övekszik, ezért) körülbelül 33 ap alatt éré el a fertőzöttek száma az összlakosság 1%-át. 5 pot Megjegyzés: A vizsgázó teljes potszámot kaphat, ha egyelet helyett egyelőtleséggel jól dolgozik. 1611 írásbeli vizsga 14 / 18 017. május 9.
8. c) első megoldás Ha a város lakóiak száma, akkor a fertőzöttek száma 0,00, a em fertőzöttek száma 0,998. Ha mide lakost teszteléek, akkor a 0,00 fertőzött között 0,00 0, 99 = 0,00198 pozitív, 0,0000 egatív, a 0,998 em fertőzött között pedig 0,998 0,04 = 0,0399 pozitív, 0,95808 egatív teszteredméy lee. A pozitív teszteredméyek száma 0,00198 + 0,0399 = 0,0419, közülük 0,00198 fertőzött. 0,00198 0,0473, 0,0419 azaz valóba 0,05-ál kisebb a fertőzöttség valószíűsége pozitív teszteredméy eseté. 7 pot A kiidulásul választott lélekszámtól em függ a feladat kérdésére adott válasz. Legye például = 1 000 000. Ekkor a lakosok közül 000 fertőzött, 998 000 em fertőzött. A 000 fertőzött esetébe ( 000 0,99 ) 1980 pozitív, 0 egatív eredméyt ada a teszt, míg a 998 000 em fertőzött ember közül ( 998 000 0,04 ) 39 90 pozitív, 958 080 egatív eredméyt kapa. A pozitív teszteredméyek száma 39 90 + 1980 = = 41 900, közülük 1980 fertőzött. 1980 0,0473 41 900 1611 írásbeli vizsga 15 / 18 017. május 9.
8. c) második megoldás Jelölje A azt az eseméyt, hogy a teszt pozitív, B pedig azt az eseméyt, hogy a vizsgált személy fertőzött. Meghatározadó a P(BA) valószíűség. Aak a valószíűsége, hogy egy fertőzött embere végezték el a tesztet, és az pozitív lett: P(AB) = 0,00 0, 99 (= 0,00198). Aak a valószíűsége, hogy egy em fertőzött embere végezték el a tesztet, és az pozitív lett: P ( AB) 0,9980,04 (= 0,0399). (Az AB és az A B egymást kizáró eseméyek, ezért aak a valószíűsége, hogy egy a városba lakó, véletleszerűe kiválasztott ember pozitív teszteredméyt kap, a két eseméy valószíűségéek öszszege:) P(A) = 0,998 0,04 0,000, 99 (= 0,0419). P( AB) P(BA) = = P( A) 0,000,99 = 0,0473, 0,000,99 0,9980,04 azaz valóba 0,05-ál kisebb a fertőzöttség valószíűsége pozitív teszteredméy eseté. 7 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. 0,00198 0,0473 0,0419 9. a) első megoldás Ha az egyik rész tömege x toa (0 < x < 350), akkor a másik részé 350 x, és ekkor a szállítási költség x (350 x) k ( x) 05 05 (euró). 10 10 A zárójel felbotása és redezés utá: 1 k ( x) ( x 350x 63 300). 5 1 k ( x) ( x 175) 6535 (vagy k (175) = 0) miatt 5 a k függvéy értéke potosa akkor miimális, ha x = 175, tehát az állítás igaz. 1 k ( x) (x 350) 5 pot 4 pot 1611 írásbeli vizsga 16 / 18 017. május 9.
9. a) második megoldás Ha az egyik rész tömege 175 x toa (0 x < 175), akkor a másik részé 175 + x, és ekkor a szállítási költség (175 x) (175 x) k ( x) 05 05 (euró). 10 10 A zárójelek felbotása és redezés utá: 1 k ( x) x 6535. 5 Ez potosa akkor miimális, ha x = 0, tehát az állítás igaz. 9. a) harmadik megoldás Ha az egyik rész tömege x toa (0 < x < 350), akkor a szállítási költség x (350 x) k ( x) 05 05 (euró). 10 10 Ez potosa akkor miimális, ha az x ( 350 x) összeg miimális. A égyzetes és a számtai közép közötti egyelőtleség miatt: x (350 x). ( x 350 x) 350 4 Egyelőség potosa akkor lehetséges, ha x = 350 x, tehát az állítás igaz. 9. b) A vasúti szállításért fizetedő összeg: 350 05. 10 A égyzetre emelést és az osztást elvégezve kapjuk, 1 50 hogy ez valóba 05 -el egyelő. pot 4 pot 4 pot pot 3 pot Az összeg midkét tagjáért 1- jár. 1611 írásbeli vizsga 17 / 18 017. május 9.
9. c) első megoldás A szállítás és a szétosztás tervezett együttes költsége: 1 50 05 400( 1) ( N + ). (Vizsgáljuk a pozitív valós számok halmazá értelmezett f függvéyt, ha) f ( x) 605x 400. 1 50 x 1 50 Az f deriválható, és f ( x) 605. x (Ott lehet szélsőértéke f-ek, ahol f -ek zérushelye 1 50 va:) 605 0. x (Mivel x > 0, ezért) x 1 50 ( 4,4998). 605 4 500 Mivel f ( x) (x R + ) mideütt pozitív, 3 x 1 50 ezért a az f-ek abszolút miimumhelye. 605 A kapott miimumhely azoba em egész szám, ezért (az f függvéy mootoitási tulajdoságai miatt) két lehetőség va: 4 vagy 5 részre kell osztai az elszállítadó árut. Ha = 4, akkor a költség 508,5 euró, ha = 5, akkor pedig 5075 euró. Tehát 5 egyelő részre osztva legolcsóbb a 350 toa áru elfuvaroztatása. 9 pot 9. c) második megoldás f (1) = 1 455, f () = 6935, f (3) 5498, f (4) = 508,5, f (5) = 5075, f (6) 57. Azt sejtjük, hogy az 5 egyelő részre botáshoz tartozik a legkisebb költség. pot Vizsgáljuk ezért (a valós számok halmazá) 1 50 pot a 605 400 5075 egyelőtleséget, amely ( > 0 miatt) ekvivales a 11 1095 450 0 egyelőtleséggel. 490 Eek a megoldáshalmaza ; 5 11, de ebbe a halmazba ics egész szám. Tehát 5 egyelő részre osztva legolcsóbb a 350 toa áru elfuvaroztatása. 9 pot Egyéb helyes idoklások is elfogadhatók, például az első derivált előjelváltására való hivatkozás. A ]0; 4,4997[-o szigorúa mooto csökke, a ]4,4998; + [-o szigorúa mooto ő az f. Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. 1611 írásbeli vizsga 18 / 18 017. május 9.