Budapesi Műszaki és Gazdaságudmányi gyeem Plimerechnika Tanszék Plimer anyagudmány BMGPT57, 3++v, 5 krp V. POLIMRK MCHANIKAI VISLKDÉSÉNK MODLLZÉS. Vas László Mihály 5.4.8. Felhasznál frrásk Irdalm. Bdr G.-Vas L.M.: Plimerek szerkezeana. Műegyeemi Kiadó, Bp... Halász L.-Zrínyi M.: Bevezeés a plimerfizikába. Műszaki K., Bp. 989. 3. Bdr G.: A plimerek szerkezee. Műszaki K. Bp. 98. 4. Bdr G.-Vas L.M.: Plimer anyagudmány. Kézira. BM, Bp.. 5. hrensein G.W.: Plymerwerksffe. Srukur und mechanische Verhalen. C.Hanser Verlag, München, 978. 6. Pukánszky B.: Műanyagk. Műegyeemi Kiadó, Bp. 995. Ajánl irdalm 7. Oswald T.A.-Menges G.: Maerials Science f Plymers fr ngineers. Hanser Pub., New Yrk, 996. 8. Ward I.M.-Hadley D.W.: An Inrducin he Prperies f Slid Plymers. J.Wiley&Sns, Chicheser, 993. 9. Srbl G.: The Physics f Plymers. Cnceps f Undersanding heir Srucures and Behaviur. Springer Verlag, Berlin. 996.. Menges G.: Werksffkunde der Kunssffe. C.Hanser Verlag, München, 985.. isele U.: Inrducin Plymer Physics. Springer-Verlag Verlag, Berlin 99. 5.4.8.
Mechanikai viselkedés mdellezése. Mechanikai viselkedés mérési és mdellezési sémája Mér Mdelleze A anyagmina, anyagperár M mdell, mdellperár X gerjeszés, Y - válasz Mdellezés célja: lyan M mdell kialakíása, hgy ad [,] időinervallumban és ε>-ra YM YA M[ X ] A[ X ] < ε 5.4.8. 3 Mechanikai viselkedés mdellezése. Fenmenlógiai (jelenségleíró mdellezés Lineárisan rugalmas (L, lineárisan elaszikus anyagmdellek (fémek, illeve plimerek igen kis defrmációja eseén; Lineárisan viszkelaszikus (LV anyagmdellek (plimerek visznylag kis defrmációja eseében; Nemlineárisan rugalmas (NL, nemlineárisan elaszikus anyagmdellek (fémek és plimerek nagy defrmációja és mnn növekvő vagy csökkenő erhelése eseében; Nemlineárisan viszkelaszikus (NLV anyagmdellek (plimerek nagy defrmációja és eszőleges erhelésmódja melle. Szerkezei-mechanikai mdellezés laszmerek saiszikus plimerháló mdellje; rősen rienál lineáris plimerek saiszikus szálköegcella mdellje; gyéb mdellek. 5.4.8. 4
Fenmenlógiai mdellezés. A LINÁRISAN VISZKOLASZTIKUS LMÉLT MÓDSZRI Minőségi mdellezés az anyagválasz alaki leírása Mechanikai mdellelemek és alapmdellek Analóg mechanikai mdellelemek Defrmáció-kmpnensek mdelljei Kúszás minőségi mdellje Feszülségrelaxáció minőségi mdellje Mennyiségi mdellezés leírás ad hibával Feszülségrelaxáció mennyiségi mdellje,, relaxációs spekrum Kúszás mennyiségi mdellje,, reardációs spekrum Blzmann-féle szuperpzíciós elv LV alapegyenleei Mdellezés frekvenciaarmányban Az LV anyagjellemzők kapcslagráfja 5.4.8. 5 Fenmenlógiai mdellezés. Minőségi mdellezés Mdellelemek. Rugó Viszkózus elem Teheelenségi elem S.Venan elem Igénybevéel: gyengelyű húzás Műszaki feszülség: F σ A Relaív nyúlás: l ε l 5.4.8. 6 3
Fenmenlógiai mdellezés 3. Minőségi mdellezés Mdellelemek. Rugó Felevés: A eheelenségi erők elhanyaglhaók Hke örvény: σ ε rugalmassági mdulus Viszkózus elem σf/a - feszülség, ε l/l - relaív nyúlás Newn örvény: σ ηε& η dinamikus viszkziási ényező 5.4.8. 7 Fenmenlógiai mdellezés 4. Defrmáció-kmpnensek mdelljei Def. kmpnens Mdell Mzgásörvény Pillananyi rugalmas Maradó Rugó Viszkózus elem Kelvin-Vig elem Hke: Newn: σ ε σ ηε& Késlelee rugalmas σ ε + ηε& 5.4.8. 8 4
Fenmenlógiai mdellezés 5. Defrmáció kmpnensek késlelee rugalmas defrmáció Kelvin-Vig elem σ ε + ηε& X σ, < : σ Y ( σ e η ε, X, < : σ Y ε( e e 5.4.8. 9 Fenmenlógiai mdellezés 6. Minőségi mdellezés Kúszás (ATP és GT ATP GT Kúszási engedékenység, érzékenység: J K ( ε (, σ σ Burgers mdell Suar mdell Kúszásgerjeszésre ad válasz: X σ, < : σ σ σ Y ε( + + e η ATP LDP GT 5.4.8. 5
Fenmenlógiai mdellezés 7. Minőségi mdellezés ATP kúszása ATP A mdellválasz szerkeszése pnnkéni összeadással 5.4.8. Fenmenlógiai mdellezés 8. Minőségi mdellezés Feszülségrelaxáció (ATP ε r εm X ε, < : Y σ( εe η Maxwell mdell: Csak a erhelési szakaszhz Relaxációs mdulus: σ(, ε R( ε Burgers mdell: Az ATP eljes relaxációs flyamaá alakilag helyesen írja le ATP ATP 5.4.8. 6
Fenmenlógiai mdellezés 9. Minőségi mdellezés GT feszülségrelaxációja Sandard-Slid mdell GT X ε, < : Y σ ( ε ε e + σ ε η 5.4.8. 3 Fenmenlógiai mdellezés. Minőségi mdellezés öparaméeres mdell Burgers mdell: Sandard-Slid mdell: és/vagy η 5.4.8. 4 7
Fenmenlógiai mdellezés. Mennyiségi mdellezés - Feszülségrelaxáció Megldás: Többféle relaxációs időállandó mdellezése összee Maxwell mdellel Összee Maxwell mdell (ÖM Álalánsí Sandard-Slid mdell Sandard-Slid mdell válasza: gyféle relaxációs időállandó Plimer anyagmina válasza: Többféle relaxációs időállandó i η i / i ; i,,n 5.4.8. 5 Fenmenlógiai mdellezés. Mennyiségi mdellezés Feszülségrelaxáció Összee Maxwell mdell (a feszülségrelaxációja (b és a diszkré relaxációs spekrum (c ( i, i n diszkré, H(ln flyns relaxációs spekrum ( relaxációs mdulus n X ε, < : Y σ ( ε ie i ε n ( ε n H (ln e d ln i η i i i ε ( 5.4.8. 6 8
Fenmenlógiai mdellezés.b. Mennyiségi mdellezés Feszülségrelaxáció jellemzői Relaxációs mdulus és inegrálja n n( ie H(ln e d ln n i i ( n n n( u du ii e i ηi e i ( u du H (ln e d ln n i i Kezdei mdulus (plaó-mdulus: n n, n ( i H d n (ln ln ( i Kezdei viszkziás (zer sress viscsiy: n ηn, n ( d ηi ( d H (ln d ln η n i 5.4.8. 7 Fenmenlógiai mdellezés 3. Mennyiségi mdellezés Feszülségrelaxáció Flyns relaxációs spekrum, H(ln A hőmérsékle haása (: 5 C, : 4 C, 3: 5 C, 4: 6 C LDP eseében Tölö, érhálós plimerek szerkezei elemeivel való kapcslaa Urzsumcev-Makszimv: MK, Bp. 98 A spekrumarmány a plimer mlekulaömegének növekedésével egyre szélesebbé válik. (Javrszkij B.M.-Delaf A.A.: Fizikai zsebkönyv. Műszaki K. Bp. 974. 5.4.8. 8 9
Fenmenlógiai mdellezés 4. Mennyiségi mdellezés Kúszás (ATP és GT Összee Kelvin-Vig mdell (ÖKV (a kúszása (b és a diszkré reardációs spekrum (c Álalánsí Suar (a és Burgers (b mdellek 5.4.8. GT n X, : Y ( J σ < ε σ i e i σ L(ln e d ln σj ( n i ATP J( Kúszási érzékenység L(ln flyns reardációs spekrum 9 Fenmenlógiai mdellezés 4.a. Mennyiségi mdellezés Kúszás (ATP és GT Kúszási engedékenység és deriválja n J ( J n i e i L(ln e d ln n i J ( n J n J& ( i e i n e i L(ln e d ln J& ( n i i i η i Aszimpikus (kúszási engedékenység/érzékenység: n J n, lim J n ( Ji L(ln d ln lim J ( J n i Kezdei (kúszási reciprk viszkziás: n L J & (ln n ( d J& J& n i η ln ( i 5.4.8.
Fenmenlógiai mdellezés 5. Blzmann-féle szuperpzició (BS LV alapegyenleek időarmányban n ε( σi J( ui i Teszőleges gerjeszésre a válasz: X σ Y ε ( X ε Y σ ( J ( u & σ ( u du ( u & ε ( u du ( u J ( u du (L-ranszfrmációval 5.4.8. Fenmenlógiai mdellezés 6. Dinamikus minőségi mdellezés Kelvin-Vig mdell Kmplex gerjeszés ~ ~ iω X ( ε ( εe ~ ε& ( iω ~ ε ( Y σ ~ ~ ε + ηε ~ & ( + i ωη ~ ε Kmplex Hke örvény ~ σ * ~ ( + iω ε Kmplex érzékenység iω J* * ( + ω Veszeségi ényező d gδ " ωη ω ' 5.4.8.
Fenmenlógiai mdellezés 7. Dinamikus minőségi mdellezés Maxwell mdell ~ ~ ( iω X ( σ σe σ~ & ( iωσ~ ( σ~ & σ~ ~ ω ε & ωε ~ i i + + σ~ η η J i * * ω Kmplex mdulus ω + iω * + ω Veszeségi ényező d " ' ω 5.4.8. 3 Fenmenlógiai mdellezés 8. Dinamikus mennyiségi mdellezés az az LV kmplex rugalmassági mdulus és kmplex érzékenység Összee Maxwell mdellből a kmplex mdulus: ω + iω * ( ω H(ln d(ln + ω Összee Kelvin-Vig mdellből a kmplex érzékenység: iω J *( ω L(ln d(ln + ω LV alapegyenleek frekvenciaarmányban: * és (, illeve J* és J( kapcslaa (BS ~ d ~ ε σ ( ( du u du ~ σ iωz *( ω ~ iω e ( z dz iω F ε ~ ε iωz J *( ω iω e J( z dz iω F ~ σ J *( ω *( ω [ ( ] [ J( ] 5.4.8. 4
Fenmenlógiai mdellezés 9. LV anyagjellemző függvények kapcslaa (BSup BSup+ÖM ( H (ln e d ln iωz *( ω iω e ( z dz ( ω + i ( ω ω ( ω H(ln d(ln +ω ω ( ω H(ln d(ln +ω ( ω ω H (ln e d ln / d( d( d H ( e d ln d ( ω ω H(ln d(ln / ( ω ( / ω d( H( d ln H( ( ω π ω / 5.4.8. Reing, W.: Hanser-Verlag, 99. 5 Fenmenlógiai mdellezés 9.a LV anyagjellemző függvények összefglalása 5.4.8. Reing, W.: Hanser-Verlag, 99. 6 3
Fenmenlógiai mdellezés. LV anyagjellemző függvények Kapcslagráf Idõarmány Spekrum armány Frekvencia armány Xε ( H(ln *(ω Xσ J( L(ln J*(ω Közelíő, numerikus összefüggések (DMA szfver: Schwarzl, Ninmiya-Ferry: ( *(ω, J( J*(ω Hpkins-Hamming: ( J( 5.4.8. 7 Fenmenlógiai mdellezés. A relaxációs mdulus és a kúszási érzékenység kapcslaa u J ( u du (, J áll. J A relaxációs és reardációs spekrumk kapcslaa Kiinduló egyenleek: (relaxáció és kúszás / ( + He d ln / J ( J + L( e d ln + η L( e ( e + Hd ln H ( ( ( π H H u d ln u + π H ( u Lineáris plimer: e, η> Térhálós plimer: e >, η 5.4.8. Je J + Ld ln L( H( π ( ( L L u J + dlnu +π L ( u η η Hd ln Állandósul flyási viszkziás Ferry J.D.: Viscelasic prperies f plymers. J.Wiley, New Yrk, 96. 8 4
Fenmenlógiai mdellezés. A relaxációs mdulus és a mlekulaömeg elszlás A lineáris plimerek eseében a karakeriszikus relaxációs idő ( és a mlekulaömeg közöi kapcsla (k, b állandók: b k m A relaxációs mdulus és a ϕ(m mólömeg sűrűségfüggvény kapcslaa: / ( m ( ϕ( m e dm 5.4.8. Urzsumcev-Makszimv: MK 98 9 Fenmenlógiai mdellezés 3. Az LV összefüggések álalánsíása öbbengelyű igénybevéelre és anizróp anyagra Lineárisan elaszikus (L anyagviselkedés (Hke örvény gyengelyű húzás σ ( ε ( ( Gγ ( Többengelyű igénybevéel σ ij C σ ( ε ( ijklεkl i, j, k, l {,,3} ( 6 ij i, j C ijkl negyedrendű enzr rugalmassági márix (6x6 Lineárisan viszkelaszikus (LV anyagviselkedés gyengelyű húzás σ( ( * ε& ( ( u ε& ( u du ( G( * γ& ( G( u γ& ( u du Többengelyű igénybevéel σ( ( * ε& ( ( u ε& ( u dm ( relaxációs mdulus márix (6x6 5.4.8. 3 5
6 3 Fenmenlógiai mdellezés 4. Fenmenlógiai mdellezés 4. Az L összefüggések Az L összefüggések anizróp anizróp anyagra anyagra 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( G G G S ij S + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( G G S ij S y x xy xy x G α α α α α 4 4 sin cs sin cs ( + + α α x y (α ( ο (9 ο ( ( S σ ε Orróp (9 fgl. áll. Mnróp (5 fgl. áll. D-s rróp anyag α-irányú húzómdulusa 5.4.8. 3 Fenmenlógiai mdellezés 5. Fenmenlógiai mdellezés 5. Mennyiségi mdellezés Mennyiségi mdellezés Hő haása. Hő haása. A viszkziási ényező, illeve a relaxációs idő(állandó az ún. Arrhenius ípusú összefüggés szerin függ a hőmérsékleől: Az Arrhenius ípusú összefüggések felhasználásával például a H(ln-relaxációs spekrum válzásá az /T reciprk hőmérsékle (Arrhenius-válzó függvényében ábrázlva az ún. Arrhenius-ípusú diagramkhz juunk, melyek alkalmasak arra, hgy egyszerűen szemlélessék a plimer anyag hőfkfüggő szerkeze-mechanikai viselkedésé. A hőfk-mechanikai viselkedés összefüggés szemléleése a WLF egyenle felhasználásával is előállíhaó. A hasnlósági elv és a WLF egyenle más környezei (nedvességaralm, nymás, illeve erhelési paraméerekre való kierjeszésével a feniekhez hasnló összefüggés, ső a vnakzó paraméerek haásösszegződésének ábrázlására és vizsgálaára is mód nyílik (ld. a arós viselkedések leírásánál. RT Ae T ( 5.4.8.
Fenmenlógiai mdellezés 6. Mennyiségi mdellezés Hő haása. Arrhenius-ípusú diagramk Szbahőmérsékleen mér relaxációs spekrum csúcsérékeinek hőmérsékle-függése PVC és PP eseén 5.4.8. Reing, W.: Hanser-Verlag, 99. 33 Fenmenlógiai mdellezés 6.a. Mennyiségi mdellezés Hő haása 3. A hőmérsékle-idő ekvivalencia és az a T ellási ényező felhasználásával az LV egyenleekben a hő haása is figyelembe veheő. A T növekedésével a és érékek csökkennek, de a spekrumerüle állandó marad: T > T ( T < ( T ; ( T < ( T at H(, T H( at, T at H, T H T a (, T at H( T>T H(,Τ H( ο,το ο H, (, T d H ( T d d / a d d ln T d ln / at d ο Hˆ ( ln, T d ln Hˆ ( ln, T d ln 5.4.8. Urzsumcev-Makszimv: MK 98 34 7
Fenmenlógiai mdellezés 6.b. Mennyiségi mdellezés Hő haása 4. A hőmérsékle-idő ekvivalencia és az a T ellási ényező felhasználásával az LV egyenleekben a hő haása is figyelembe veheő. T > T ( T < ( T ; ( T < ( T at / a T / at d d / a d d ln T d ln / at A T>T hőmérsékleen mér mdulusérékek ászámíása a T bázishőmérséklere: (, T H ( ln T e d H ( a T e d, ln ln ln T, ln, T at LV anyag relaxációs mdulusa a T>T hőmérsékleen, a T bázishőmérsékleen mér relaxációs spekrum felhasználásával: (, T H H ( ln, T d ln H ( ln, T ( ln, T e d ln H ( ln, T d ln a T e d ln 5.4.8. 4.4.8. Urzsumcev-Makszimv: MK 98 35 Fenmenlógiai mdellezés 7. LV viselkedés haárai A LV viselkedés jellemzői: A relaxációs mdulus és a kúszási érzékenység nem függ az ε, illeve σ gerjeszési (erhelési szinekől; A kúszás-, ill. relaxációs görbék fel- és leerhelési szakaszainak időállandói megegyeznek; Tisza szinuszs gerjeszésre isza szinuszs válasz kapunk, azaz nincsenek felharmnikusk; A kmplex rugalmassági mdulus és a kmplex érzékenység nem függ az ε, illeve σ gerjeszésampliúdókól; Az izkrónák (ld.3. fejeze lineárisak; A különböző ípusú gerjeszések melle kap válaszk egymásba ászámíhaók (pl. a szakíógörbe és a relaxációs görbe, illeve a kúszásgörbe menee egymásból meghaárzhaók 5.4.8. 36 8
Fenmenlógiai mdellezés 8. LV anyag relaxációs-(a és szakíógörbéinek (b kapcslaa & ε σ ( σ ( u du ε Relaxációs görbe szig. mn. csökkenő és alulról knvex (Xε LV szakíógörbe szig. mn. növekvő és alulról knkáv 5.4.8. 37 Fenmenlógiai mdellezés 9. L, LV és NLV armányk a plimer szakíógörbéjén LV armány: Ahl nem észlelheők irreverzibilis szerkezei- és alakválzásk (i a mdellparaméerek állandók. Pl. PVC: <,5% P: <,% PC: <% (hrensein könyve: 4. ld. σ L LV L NLV LV Plimer ε L lineárisan rugalmas (elaszikus LV lineárisan viszkelaszikus NLV nemlineárisan viszkelaszikus 5.4.8. 38 9
Fenmenlógiai mdellezés 3. NLV viselkedés jellemzői nagybb erheléseknél fellépő irreverzibilis szerkezei válzásk mia válznak az anyagk kisebb erheléseknél (LV viselkedés állandónak ekinheő paraméerei Az NLV viselkedés jellemzői: A relaxációs mdulus és a kúszási érzékenység függ az ε, illeve σ gerjeszési (erhelési szinekől; A kúszás-, ill. relaxációs görbék fel- és leerhelési szakaszainak időállandói nem egyeznek meg; Tisza szinuszs gerjeszésre a válasz peridikus, de nem isza szinuszs, azaz vannak felharmnikusk; A kmplex rugalmassági mdulus és a kmplex érzékenység függ az ε, illeve σ gerjeszés-ampliúdókól; Az izkrónák nemlineárisak; A különböző ípusú gerjeszések melle kap válaszk eddigi módszerekkel nem számíhaók á egymásba. 5.4.8. 39 Fenmenlógiai mdellezés 3. Az NLV viselkedés egyes leírási módszerei Félempirikus, heuriszikus megldásk Nemlineáris mdellelemek alkalmazása Blzmann egyenleek módsíása 5.4.8. 4
Fenmenlógiai mdellezés 3. NLV mdellezés Félempirikus megldásk Kúszásleírás a Nuing-féle haványegyenleel: σ α n ε (, σ + K σ K, α, n> Kúszásleírás a Kauzmann, yring, Nielsen-féle egyenleel: σ σ K( ε(, σ + K( sh + σ σc σc K( időfüggő kúszási érzékenység σ c egyfaja kriikus feszülség 5.4.8. 4 Fenmenlógiai mdellezés 33. Félempirikus megldásk POM arós kúszásának nemlineáris leírása (a paraméerek függnek az időől és/vagy a erhelésől η (σ, K (σ, ( 5.4.8. 4
Fenmenlógiai mdellezés 34. NLV mdellezés Félempirikus megldásk Feszülségrelaxáció leírása hiperblikus haványfüggvénnyel: σ (, ε + ε p + ( / Feszülségrelaxáció leírása a Khlrausch-féle (ál. exp. függvénnyel: q ( / σ(, ε + ε e 5.4.8. 43 Fenmenlógiai mdellezés 35. NLV mdellezés Nemlineáris mdellelemek S. Venan elem (ideálisan képlékeny es mdellje Culmb súrlódás mdellje (irányfüggő, de állandó ellenállás Nemlineáris rugó alkalmazása: σ f ( ε ; f ( Nemlineáris viszkózus elem alkalmazása: σ η g ( ε, ε& ; g(, A viszkziási ényező defrmáció sebesség függő (Oswald - de Waele, Bingham, Carreau-féle flyadékk σ η(& ε ε& A viszkziási ényező defrmáció függő: Kvács-féle irányfüggő viszkózus elem az η viszkziás nő a dugayú felfelé, és csökken a lefelé való elmzdíásával σ η( ε ε& Pfefferle-féleféle nemlineáris viszkózus elem a kúszás leírásáhz Pl. a Kelvin-Vig mdellben a Newn-féle elem helyébe a Pfefferle eleme éve, a kúszásgerjeszésre kap megldás alakja: σ Pfefferle X > e σ σ, : ε( ε ( e P 5.4.8. 44
Fenmenlógiai mdellezés 37. NLV mdellezés a Blzmann, illeve a kezdei ugrás is aralmazó gerjeszés eseén az alábbi, ún. Blzmann-Vlerra egyenle módsíásai (K( a nrmál relaxációs mdulus deriválja, min magfüggvény: Blzmann-Persz elv: σ( ε( + K( u ε( u du σ ( ε ( + f ε, ( ( u u Blzmann-Frese elv (feléve: húzás-nymásra azns anyagulajdnságk, ezér csak a páralan kievőjű defrmációk maradnak meg az inegrál srban: σ( ε ( + K( u ε( u du+ 3 K33( u, u, u3 ε( u ε( u ε( u3 du dudu3 +... du 5.4.8. 45 3