Valószín ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Játékszabályok Max 3 gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során: 0 pont: 60 perces. ZH a félév közepén 60 pont: 90 perces. ZH a félév végén x pont: szorgalmi feladatok a pótzh-ig lehet beadni/beküldeni Mindkét ZH-n minimálisan 30 %-ot kell teljesíteni. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-kon használható: kell en buta, hagyományos számológép ( mobiltelefon) és egy A-es lapra (akár mindkét oldalára) KÉZZEL írott "puska". -es: 0 3,99 -es: 35 9,99 Osztályozás: 3-as: 50 6,99 -es: 65 79,99 5-ös: 80 0 Infók a gyakorlatvezet r l Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D 3-309 E-mail vargal@cs.elte.hu Honlap vargal.elte.hu Ajánlott irodalom mindegyik példatár Bognárné Mogyoródi Prékopa Rényi Szász: Valószín ségszámítási feladatgy jtemény Arató Prokaj Zempléni: Valószín ségszámítás elektronikus jegyzet: http:// elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/valszam/zempleni.pdf.) Egy urnában 3 fehér, zöld és piros golyó van. Egymás után kiveszük golyót az urnából. Mik lesznek a kísérlet lehetséges kimenetelei (azaz az eseménytér elemei), ha a golyók kihúzásának sorrendjét a.) gyelembe vesszük; b.) nem vesszük gyelembe. Határozzuk meg az elemi események valószín ségét!.) számozott érmével dobunk, majd még annyi érmével, ahány fejet az els két érmével kaptunk. Mik lesznek az eseménytér elemei? Határozzuk meg az elemi események valószín ségét! 3.) Tegyük fel, hogy egy irodában 3 titkárn dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i-edik titkárn megbetegszik (i =,, 3). Fejezzük ki az A i események segítségével a következ események valószín ségét: a.) az els titkárn megbetegszik; b.) csak az els titkárn betegszik meg; c.) mindhárom titkárn megbetegszik; d.) legalább titkárn megbetegszik; e.) legalább titkárn megbetegszik..) Aritmethiában az autók rendszámai ötjegy számok 00000 és 99999 között. Ezek közül találomra választunk egyet. Mennyi a valószín sége, hogy a.) van 6 a jegyek között; b.) minden számjegy különböz ; c.) minden számjegy egyforma; d.) csak két számjegy egyezik meg; e.) három, illetve kett számjegy megegyezik? 5.) A német labdarúgó válogatott edzésének megkezdése el tt, az edzésen résztvev 0 mez nyjátékost két csoportba osztják. Mi annak a valószín sége, ha találomra történik a szétosztás a két 0-es csoportba, hogy Schweinsteiger és Özil egymás ellen játszik? 6.) De Méré problémája, 65. De Méré lovag nagy szerencsejátékos volt, az alábbi két kérdéssel fordult Pascal-hoz: Ha egy kockát -szer feldobunk, akkor mi annak a valószín sége, hogy legalább egy hatos dobás lesz? Ha két kockát -szer feldobunk, mi annak a valószín sége, hogy legalább egy dupla hatos lesz? A lovag tisztában volt vele, hogy az els kérdésre adandó válasz -nél kicsivel nagyobb, a másodikra pedig -nél kicsivel kisebb, de fogalma se volt, miért. a.) Számítsuk ki a két valószín ség pontos értékét! b.) A két valószín ség miért van közel egymáshoz? 7.) Mintavétel. Adott N különböz termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elem mintát a.) visszatevés nélkül; b.) visszatevéssel. Mennyi a valószín sége, hogy az n termékb l pontosan k selejtest sikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje? 8.) Egy magyarkártya-csomagból visszatevéssel húzunk 3 lapot. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel húzunk pontosan egy piros szín lapot? c.) Milyen eséllyel húzunk legalább egy piros szín lapot? 9.) Tekintsük egy lottóhúzás (5-ös lottó) eredményét. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel lesz két találatom? c.) Milyen eséllyel lesz legalább két találatom? 0.) Adjuk meg annak a valószín ségét, hogy egy totószelvényt vaktában kitöltve, a 3 mérk zés eredménye közül éppen -et találunk el!
.) A (0, ) intervallumot felosztjuk két véletlenül rádobott pont segítségével 3 részre. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindhárom szakasz hossza rövidebb -nél; b.) a 3 szakaszból háromszög alkotható; c.) a legrövidebb szakasz hossza rövidebb 5 -nél?.) Egy egységnyi hosszúságú pálcát el bb találomra ketté törünk, majd a hosszabbik darabot újra találomra ketté törjük. Mi a valószín sége, hogy az így kapott 3 pálcából háromszög rakható össze? 3.) Buon t problémája, 777. A síkon egymástól d távolságra egyenesek vannak. Leejtünk a síkra egy l hosszúságú t t. Számítsuk ki annak a valószín ségét, hogy a t keresztezni fogja valamelyik egyenest, ha a t a.) rövid, azaz l d; b.) hosszú, azaz l > d. Mennyi lesz ez a valószín ség, ha l? SZ.) Egy urnában 50 cédula van, rajtuk az,,..., 50 számok. Orsi kivesz az urnából 5 cédulát. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott cédulákon lév számok között legalább 5 osztható 7-tel, ha Orsi a kihúzott cédulákat minden húzás után ha Orsi a.) visszateszi; b.) nem teszi vissza. (p) SZ.) Három egyforma rúd mindegyikéb l találomra letörnek egy-egy darabot. Mi a valószín sége, hogy a három szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? (p) SZ3.) Legyen n találomra választott pozitív egész szám. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy n az számjeggyel kezd dik! (3p).) Egy hattagú társaság az étteremben három pacalpörköltet, két mátrai borzas csirkemellet, és egy böllér tálat rendel. A pincér a megrendelt ételeket véletlenszer en osztja szét. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindenki azt kapja, amit rendelt; b.) senki sem azt kapja, amit rendelt? 5.) Gerike a Kinder csokoládéban lév új játékokat, 'Shali baba' gurákat gy jt. 0 különböz fajta ilyen baba van, mindegyik Kinder csokoládéba a 0 gura közül véletlenszer en kerül egy. Gerike nagymamája tudja, hogy ez a gyerek álma, ezért karácsonyra a Jézuskától 0-at rendel a kisúnak. Tegyük fel, hogy Gerikének még nincs otthon Shali babája. a.) Mennyi a valószín sége, hogy Gerike mind a 0-féle Shali babát begy jti? b.) Mi a valószín sége, hogy éppen a 0. tojás kinyitásánál gy lik össze a kisúnak a 0. fajta baba? 6.) Levelet írtunk húsz barátunknak és a leveleket a megcímzett borítékokba véletlenszer en tettük bele. Mi a valószín sége, hogy pontosan 0 levél kerül ahhoz, akinek szántuk? 7.) Mennyi a valószín sége, hogy 0 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? 8.) N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszer en kerül N darab térrész valamelyikébe. Mennyi a valószín sége, hogy mindegyik térrészben lesz legalább egy molekula? 9.) Legyen (Ω, A, P ) valószín ségi mez, ahol Ω = {,, 3, } és A = Ω. Rendeljünk az elemi eseményekhez olyan valószín ségeket, hogy az A = {, }, B = {, 3}, C = {, } események páronként függetlenek legyenek, de ne legyenek teljesen függetlenek! 0.) Egy k gyerekes családnál (k ) a ú- és lánygyerek születésének valószín sége minden gyereknél megegyezik. Tekintsük a következ eseményeket: A k : a családban legfeljebb lány van; B k : minden gyerek egyforma nem ; C k : legalább egy gyerek ú. Milyen k-ra lesz a.) A k és B k független; b.) B k és C k független; c.) A k, B k és C k teljesen független?.) Egy szekrényben 0 nadrág és 5 ing van. Egymás után, visszatevés nélkül kiveszek ruhát. Milyen k és l esetén lesznek függetlenek az alábbi események: A k : összesen k darab inget húzok; B l : az l-ediknek kihúzott ruhadarab ing?.) Milyen n>-re lesz független az a két esemény, hogy a.) A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: legfeljebb egy írás van; b.) A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: az els dobás fej? 3.) Osztozkodási probléma, 9. Hogyan osztozzon az 600 forintos téten két játékos, ha :-es állásnál félbeszakadt a k gy zelemig tartó mérk zésük? Tegyük fel, hogy az egyes játékok egymástól függetlenek, az els játékos p valószín séggel nyerhet az egyes játékoknál. Oldjuk meg a feladatot a következ esetekben: a.) k = 3; p = / b.) k = ; p = /.) Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, /3 valószín séggel Aladár, /3 valószín séggel Béla nyer meg. A jelenlegi állás 0:9 Béla javára. Mennyi annak a valószín sége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos el ny mellett legalább pontot szerezni. SZ.) Pisti feldob egy (szabálytalan) érmét 0-szer egymás után, a fej valószín sége p. Nézzük a következ eseményeket: A: a dobott számok között nyolc fej van; B: a negyedik dobás eredménye írás. Van-e olyan p, amire A és B események függetlenek egymástól? (p) SZ5.) 0 bet a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J külön cédulákra van felírva; a cédulák egy körvonal mentén véletlenszer en vannak elhelyezve, de úgy, hogy a nagy- és kisbet k a körvonal mentén váltakozzanak. Mi a valószín sége, hogy azonos kis- és nagybet ne kerüljön egymás mellé? (p) SZ6.) Határozd meg annak a valószín ségét, hogy két, találomra választott pozitív egész szám relatív prím! (3p) 5.) Mennyi a valószín sége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás 6-os? 6.) Négyen l nek egymás után egy céltáblára. A résztvev k találati valószín ségei egymástól függetlenül, sorrendben 3,, 3 és. Ketten érnek el találatot. Mi a
valószín sége, hogy a második hibázta el a lövést? 7.) Három különböz kockával dobunk. Mekkora a valószín sége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege? 8.) Egy érmével annyiszor dobunk, mint amennyi egy szabályos kockadobás eredménye. Mi a valószín sége, hogy nem kapunk fejet? 9.) 00 érme közül 0 cinkelt, ezeknél csak / a fejdobás valószín sége. Egy érmét kiválasztva és azzal 0-szer dobva, k fejet kaptunk (k = 0,,..., 0). Ezen feltétellel mi a valószín sége, hogy a hamis érmével dobtunk? 30.) Egy diák a vizsgán p valószín séggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel, és /3 a jó válasz esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is). Határozd meg p értékét, ha 3/5 annak a valószín sége, hogy amennyiben helyesen válaszolt, tudta is a helyes választ! 3.) Vándorlásai közben Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athénbe, a másik Spártába, a harmadik Mükénébe vezet. Az athéniek keresked népség, szeretik ámítani a látogatókat, csak minden 3. alkalommal mondanak igazat. A mükénéiek egy fokkal jobbak: k csak minden második alkalommal hazudnak. A szigorú spártai neveltetésnek köszönhet en a spártaiak becsületesek, k mindig igazat mondanak. Odüsszeusznak fogalma sincs, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyenl esélyt adva mindegyik útnak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, mennyi, mire közlik vele, hogy. Mi a valószín sége, hogy Odüsszeusz Athénba jutott? 3.) Egy játékos annyiszor l het egy léggömbre, ahány hatost dobott egymás után egy dobókockával. Például ha els re hatost, másodikra kettest dob, akkor egyszer l het. Mennyi a valószín sége, hogy szétlövi a léggömböt, ha minden lövésnél /000 valószín séggel talál? 33.) Két érmét dobálunk egyszerre, ezt addig ismételgetjük, amíg mindkett vel fejet nem kapunk. Amennyiben tudjuk, hogy párosadik alkalomra adódott el ször a dupla fej, akkor mi a valószín sége, hogy a kísérlet befejezése el tt csupa írást kaptunk? 3.) Két doboz közül az els ben k piros és l zöld golyó van, a másodikban k zöld és l piros. Visszatevéssel húzunk az alábbi szabály szerint: ha a kihúzott golyó piros, akkor a következ húzásnál az els dobozb l; ha zöld, akkor a második dobozból húzunk. El ször az els dobozból húzunk. Mennyi a valószín sége, hogy az n. húzásál piros golyót húzunk? Mihez tart ez a valószín ség, ha n? 35.) A négy hazudós. Ismeretes, hogy A, B, C és D személyek egymástól függetlenül, három eset közül csak egy esetben mondanak igazat. Ha A kijelenti, hogy B tagadja, hogy C meger síti, hogy D hazudott, akkor mi a valószín sége, hogy D valójában igazat mondott? Tegyük fel, hogy C tudja, hogy D igazat mondott-e; B tisztában van azzal, C igazat mondott-e; A tudja, hogy B igazat mondott-e. SZ7.) Egy dobozban cédulák vannak, melyekre a, 3, 3,,,, 6, 8, 8, 9 számokat írtuk fel (minden cédulán szám található). Marcsi visszatevés nélkül kihúz két cédulát. Annyit árult el, hogy a céduláin lév számok párosak. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy kihúzta a -est! (p) SZ8.) Két doboz közül az els ben k piros és l zöld golyó van, a másodikban m piros és n kék. Visszatevéssel húzunk az alábbi szabály szerint: ha a kihúzott golyó piros, akkor a következ húzásnál az els dobozból; ha zöld vagy kék, akkor a második dobozból húzunk. El ször az els dobozból húzunk. Mennyi a valószín sége, hogy az i. húzásnál kék golyót húzunk? Mihez tart ez a valószín ség, ha i? (p) 36.) Legyen Ω = {ω, ω, ω 3, ω } eseménytér, A = {, Ω, {ω }, {ω, ω 3, ω }}. Az alábbi függvények valószín ségi változók (Ω, A)-n? a.) X({ω i }) = i + 0 (i =,, 3, ); b.) X({ω }) = π, X({ω }) = X({ω 3 }) = X({ω }) = e; c.) X({ω i }) = i (i =,, 3, ); Amennyiben valamelyik nem valószín ségi változó, határozd meg azt a legsz kebb F σ-algebrát, hogy (Ω, F)-en már valószín ségi változó legyen! 37.) Legyenek A, B, C, D, egy szabályos tetraéder csúcsai. Egy légy az A csúcsból indulva sétál a tetraéder élein, mégpedig minden csúcsból véletlenszer en választva a lehetséges három irány közül. Jelölje X azt a valószín ségi változót, hogy A-ból indulva, hányadikra érünk vissza el ször A-ba. Írjuk fel X eloszlását! Mutassuk meg, hogy ez valóban valószín ségi eloszlás! 38.) Adjuk meg annak a valószín ségi változónak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családban a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy mindig - a úk, ill. a lányok születési valószín sége, és az egyes születések függetlenek egymástól. 39.) Határozd meg X eloszlását, ha X: hagyományos lottóhúzásnál (90/5) a a.) találatok száma; b.) 3-mal oszthatók száma; c.) legnagyobb kihúzott szám; d.) k-adik legnagyobb kihúzott szám (k =,..., 5). Mutassuk meg, hogy ezek valóban valószín ségi eloszlások! 0.) Véletlen bolyongás. Egy tétova hangya a számegyenesen bolyong. 0-ból indul és minden lépésnél egyforma valószín séggel vagy jobbra, vagy balra lép. Legyen X: n lépés után a hangya melyik pontban lesz. Határozd meg X eloszlását!.) Háromszor olyan valószín, hogy egy évben két ember öli magát a Dunába, mint az, hogy öt. Mi a valószín sége, hogy egy évben legfeljebb egy ember lesz így öngyilkos?.) Egy sportlöv p valószín séggel talál el egy léggömböt. Mi lövései számának eloszlása, ha az a.) els ; b.) ötödik találatig l? 3.) Addig dobunk két kockával, amíg kétszer el nem fordul az, hogy a két kockán lév számjegyek összege 0. a.) Mennyi a valószín sége, hogy összesen nyolcszor dobunk? b.) Mennyi annak a valószín sége, hogy pontosan nyolcszor dobunk 0-nél kisebb összeget, miel tt a keresett esemény bekövetkezik? SZ9.) Legyen Ω = {ω,..., ω n } eseménytér, A Ω σ-algebra. Mutasd meg, hogy c R esetén X({ω i }) = c (i =,..., n) valószín ségi változó (Ω, A)-n! (p) SZ0.) Egy urnában M piros és N M fehér golyó van. Ezenkívül tömérdek fehér és piros golyó áll rendelkezésünkre. Az urnából találomra kiveszünk egy golyót, majd visszateszünk a kivett szín vel azonos szín és a kihúzottal együtt összesen R+ golyót (R ). Ezután az urnából ismét húzunk egy golyót és a fenti eljárást folytatjuk. 3
Legyen X: n húzás során hány piros szín golyót húztunk. Határozd meg X eloszlását! Mi adódik R =, illetve R = 0 esetén? (p).) Számítsuk ki a kockadobás várható értékét és szórását, ha a.) a kocka szabályos; b.) a kocka szabálytalan: két -es, három -es, egy 6-os van rajta. 5.) Egy sorsjátékon darab 000 000 Ft-os, 0 db 00 000 Ft-os, és 00 db 000 Ft-os nyeremény van. A játékhoz 0 000 db sorsjegyet adtak ki. Mennyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a nyeremény várható értéke megegyezik a sorsjegy árával? 6.) Jelölje X az ötöslottón kihúzott lottószámoknál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét és szórását! 7.) Két kockával dobunk. Egy ilyen dobást sikeresnek nevezünk, ha van 6-os a kapott számok között. Várhatóan hány sikeres dobásunk lesz n próbálkozásból? 8.) Egy 00 oldalas könyvben 0 sajtóliba található véletlenszer en elszórva. a.) Mennyi a valószín sége, hogy a 00. oldalon több, mint egy ajtóhiba van? b.) Hány sajtóhuba a legvalószín bb a 00. oldalon? c.) Mennyi a valószín sége, hogy a 3. és a. oldalon együtt több, mint két hajtóhiba van? 9.) n darab dobókockát egyszerre feldobunk. a.) Hány dobókocka esetén lesz a legnagyobb annak a valószín sége, hogy a kapott számok között pontosan egy hatos van? b.) Várhatóan mennyi lesz a dobott számok összege? 50.) Átlagosan hányat kell dobnunk a.) egy érmével, amíg fej és írás is lesz a dobások között? b.) egy kockával, amíg minden szám kijön? c.) egy kockával, amíg minden páros szám kijön? 5.) Legyen X binomiális eloszlású valószín ségi változó, amir l ismertek: EX = 8, DX =. Határozd meg a P (X < 6) valószín séget! 5.) Dobjunk egy érmével annyiszor, amennyit egy szabályos kockával dobtunk. Jelölje X a fejek számát. Adjuk meg X eloszlását és várható értékét és szórását! 53.) Egy szabálytalan érmével dobunk többször egymás után, jelölje p a fej valószín - ségét. Legyen X az els, azonosakból álló sorozat hossza; Y a második, azonosakból álló sorozat hossza (ha pl. a dobássorozat FIIIF... akkor X = és Y = 3). Számítsuk ki X és Y várható értékét és szórását! SZ.) Egy szerencsejátékot igazságosnak hívunk, ha a nyeremény várható értéke megegyezik a játékon való részvétel árával (sorsjegy, lottószelvény stb. ára). Vizsgáld meg, vajon a magyar ötöslottó igazságos-e! Útmutatás: nézz utána (internet) az aktuális heti nyereményösszegeknek és a lottószelvény aktuális árának! (p) SZ.) Az {,,..., n} számhalmaz összes részhalmazai közül r-szer választunk találomra. A kiválasztott részhalmazokat jelölje A,..., A r. Az X valószín ségi változó legyen r i= A i elemszáma. EX =? (p) 5.) Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvényt, ha X a.) indikátorváltozó p = /3 paraméterrel; b.) egy olyan kockadobás eredménye, ahol a kockán egy -es, két -es és három 5-ös van. 55.) Lehetnek-e egy X valószín ségi változó eloszlásfüggvényei a következ függvények? Ha igen, akkor van X-nek s r ségfüggvénye? Jelölje [x] az x szám egészrészét. 0 ha x 0 a.) F (x) = tg x ha 0 < x π 6 ha { π 6 < x ( 6 8 b.) F (x) = x) ha x > 6 0 ha x 0 c.) F (x) = ha < x d.) F (x) = [x] ha 0 < x { exp{(x ) 3 } ha x ha < x 0 ha x 0 56.) Legyen F (x) = cx 3 ha 0 < x 3, ahol c valós paraméter. ha 3 < x a.) Mely c értékek esetén lesz F (x) eloszlásfüggvény? b.) P ( < X < ) =? P (X 3) =? c.) Mely c-re létezik s r ségfüggvény? Határozd meg! EX =? DX =? 0 ha x 9 57.) Legyen F (x) = 3a x + b ha 9 < x 6, ahol a és b valós paraméterek. ha 6 < x a.) A paraméterek mely értékeire lehet F az X valószín ségi változó eloszlásfüggvénye? b.) P (8 < X < ) =? P (X < 9) =? P (X 9) =? c.) A paraméterek mely értékeire lesz F abszolút folytonos? Határozd meg ekkor a s r ségfüggvényt, valamint X várható{ értékét és szórását! c sin x ha x ( ) 0, 58.) 3π Mely c-re lesz s r ségfüggvény f(x) =? 0 egyébként { cx 59.) ha 0 < x < Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = a.) Határozd meg a c értékét és X eloszlásfüggvényét! b.) P (X < 0, 5) =? P (X < 0, 5) =? P (X <, 5) =? c.) D (X) =? x 3 ha 0 < x < 60.) Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 6 ha < x < c a.) c =? F (x) =? P (X > 3) =? P (X = e) =? b.) E(X) =? D(X) =? 6.) Véletlenszer en választunk egy pontot az x + y < 5 kör belsejében. Jelölje Z a távolságát a középponttól. Adjuk meg Z eloszlás- és s r ségfüggvényét, valamint várható értékét!
6.) Egy egységnyi hosszúságú szakaszon találomra kiválasztunk két pontot, így a szakaszt rövidebb szakaszokra bontjuk. Jelölje X a kapott szakaszok közül a legrövidebbet. Írd fel X eloszlás-, és s r ségfüggvényét, valamint számítsd ki X várható értékét! 63.) Legyenek X N(, 3 ) és X N(, ) függetlenek. a.) P ( X < 3) =? b.) Számítsuk ki b értékét, hogy P (X b) = 0, 7 teljesüljön! c.) P ( X X > 0 ) =? 6.) Tegyük fel, hogy az egyetemisták IQ teszten elért eredménye normális eloszlású 05 várható értékkel és 0 szórással. Mi a valószín sége, hogy valaki 0-nál több pontot ér el a teszten? 65.) Mennyi garanciát adjunk, ha azt szeretnénk, hogy termékeink legfeljebb 0%-át kelljen garanciaid n belül javítani, ha a készülék élettartama 0 év várható érték és év szórású normális eloszlással közelíthet? 66.) Egy vállalatnál a szellemi foglalkozásúak teszik ki a dolgozók 60%-át, az zetésük eloszlása (ezer Ft-ban) Z + 50, ahol Z Exp ( 00) ; a zikai dolgozóé pedig Y + 00, ahol Y Exp ( 00). a.) Mi az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott szellemi foglalkozású többet keres 50 ezer Ft-nál? b.) Egy véletlenszer en kiválasztott dolgozó átlagosan mennyit keres? SZ3.) Adjuk meg a lottón kihúzott öt szám közül a legnagyobb eloszlásfüggvényének az értékét a 5 helyen! (p) SZ.) A c valós állandó mely értékére lehet az f(x) = c e x (x R) s r ségfüggvény? EX =? (p) SZ5.) Egy gyárban egyforma kockacukrokat készítenek. Egy adag cukor térfogata a (0, 0) intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó (valamilyen mértékegységben). A kockacukrok közös élhosszúsága szintén a (0, ) intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó, mely az adag térfogatától független. Jelölje X, hogy egy adag cukorból hány kockacukrot lehet gyártani. Adjuk meg X eloszlását! Folytonos vagy diszkrét eloszlású az X? (3p) 67.) Legyen X diszkrét valószín ségi változó az alábbi eloszlással: P (X = i) = 6, ahol i =,, 0,,, 3. a.) Határozd meg Y = X eloszlását és várható értékét! Igaz-e, hogy E(X ) = (EX)? b.) Igaz-e, hogy E ( ) X = EX? 68.) Legyen X Bin(n, p). Határozd meg X+ várható értékét! 69.) Határozd meg Y = log(x) s r ségfüggvényét, ha X valószín ségi változó a.) exponenciális eloszlású; b.) egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon. 70.) Legyen X E(, ) és Y = X. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! Igaz-e, hogy E( X ) = EX? 7.) Legyen X N(, ) és Y = X 5. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! A standard normális eloszlásfüggvény táblázata x 0 0.0 0.0 0.03 0.0 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5000 0.500 0.5080 0.50 0.560 0.599 0.539 0.579 0.539 0.5359 0. 0.5398 0.538 0.578 0.557 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.57 0.5753 0. 0.5793 0.583 0.587 0.590 0.598 0.5987 0.606 0.606 0.603 0.6 0.3 0.679 0.67 0.655 0.693 0.633 0.6368 0.606 0.63 0.680 0.657 0. 0.655 0.659 0.668 0.666 0.6700 0.6736 0.677 0.6808 0.68 0.6879 0.5 0.695 0.6950 0.6985 0.709 0.705 0.7088 0.73 0.757 0.790 0.7 0.6 0.757 0.79 0.73 0.7357 0.7389 0.7 0.75 0.786 0.757 0.759 0.7 0.7580 0.76 0.76 0.7673 0.770 0.773 0.776 0.779 0.783 0.785 0.8 0.788 0.790 0.7939 0.7967 0.7995 0.803 0.805 0.8078 0.806 0.833 0.9 0.859 0.886 0.8 0.838 0.86 0.889 0.835 0.830 0.8365 0.8389 0.83 0.838 0.86 0.885 0.8508 0.853 0.855 0.8577 0.8599 0.86. 0.863 0.8665 0.8686 0.8708 0.879 0.879 0.8770 0.8790 0.880 0.8830. 0.889 0.8869 0.8888 0.8907 0.895 0.89 0.896 0.8980 0.8997 0.905.3 0.903 0.909 0.9066 0.908 0.9099 0.95 0.93 0.97 0.96 0.977. 0.99 0.907 0.9 0.936 0.95 0.965 0.979 0.99 0.9306 0.939.5 0.933 0.935 0.9357 0.9370 0.938 0.939 0.906 0.98 0.99 0.9.6 0.95 0.963 0.97 0.98 0.995 0.9505 0.955 0.955 0.9535 0.955.7 0.955 0.956 0.9573 0.958 0.959 0.9599 0.9608 0.966 0.965 0.9633.8 0.96 0.969 0.9656 0.966 0.967 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706.9 0.973 0.979 0.976 0.973 0.9738 0.97 0.9750 0.9756 0.976 0.9767 0.977 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.98 0.987. 0.98 0.986 0.9830 0.983 0.9838 0.98 0.986 0.9850 0.985 0.9857. 0.986 0.986 0.9868 0.987 0.9875 0.9878 0.988 0.988 0.9887 0.9890.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.990 0.990 0.9906 0.9909 0.99 0.993 0.996. 0.998 0.990 0.99 0.995 0.997 0.999 0.993 0.993 0.993 0.9936.5 0.9938 0.990 0.99 0.993 0.995 0.996 0.998 0.999 0.995 0.995.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.996 0.996 0.9963 0.996.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.997 0.997 0.9973 0.997.8 0.997 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.998.9 0.998 0.998 0.998 0.9983 0.998 0.998 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3. 0.9990 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9993 0.9993 3. 0.9993 0.9993 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3. 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 Φ(x) = x π e t dt Φ( x) = Φ(x) 5
7.) Legyen X N(0, ). Adjuk meg a.) Y = σx + m, ahol σ > 0 és m valós számok; b.) Y = e tx, ahol t R; c.) Y = X. s r ségfüggvényét és várható értékét. P (Y < ) =? 73.) Legyen X E(, ) és Y = X. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! 7.) Egy egységnégyzetb l válasszunk ki egy tetsz leges pontot, jelölje X és Y a kiválasztott pont két koordinátáját. a.) U = X + Y b.) U = log(xy ) Határozd meg U eloszlás-, s r ségfüggvényét és várható értékét! 75.) Adjunk meg olyan X valószín ségi változót, amire a.) X d = X, azaz X és X ugyanolyan eloszlású; b.) X d = X + ; c.) X = d X ; SZ6.) Legyen X E (, ) és Y = tgx. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p) SZ7.) és várható értékét! (p) SZ8.) Legyen X N(, ) és Y = X +X +. Határozd meg Y s r ségfüggvényét Legyen X E(a, { b) és Y Weibull-eloszlású λ és n paraméterekkel, azaz Y e ( λ) x n ha x 0. Van olyan h függvény, amire 0 egyébként eloszlásfüggvénye F (x) = Y = h(x) teljesül? (3p) 76.) Legyenek X, X,... i.i.d. val. változók; N nemnegatív egész, X i -kt l független val. változó. Legyen Y = N X i (véletlen tagszámú összeg). Bizonyítsuk be, hogy i= a.) EY = EX EN Wald-lemma; b.) D Y = D X EN + E X D N. 77.) Egy dobozban az,,3, feliratú cédula van. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének a várható értékét és szórását! 78.) Addig dobunk egy szabályos kockával, míg 6-ost nem kapunk. Számítsd ki a megdobott számok szorzatának várható értékét! 79.) Egy dobozban 3 cédula van, rajtuk az,, számok. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -est nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok szorzatának várható értékét! 80.) Egy bányász a bánya egyik termében rekedt, ahonnan öt út nyílik. Az egyik egy három perces út végén a szabadba vezet. A többi négy közül kett út esetén öt, másik kett esetén pedig hét percnyi séta után visszatér ugyanebbe a terembe. A bányász teljesen össze van zavarodva, minden alkalommal a többi választásától függetlenül egyenl valószín séggel választ egyet az utak közül. Legyen X a szabadba jutáshoz szükséges id. Mennyi X várható értéke? 8.) Egy szabályos kockát addig dobálunk, amíg a 6 és 5 számot nem kapjuk két egymás utáni dobás eredményeként. Adjuk meg a szükséges dobások számának várható értékét! 8.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FF sorozat megjelenik. Átlagosan mennyit (hány dobásnyit) kell erre várnunk? 83.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FFI vagy az FIF sorozat megjelenik. Mennyi a valószín sége, hogy FFI jön el bb? Mennyit dobunk átlagosan? 8.) Eszter és Anna 3 érmével játszik. A játék során felváltva dobják fel a birtokukban lév összes érmét, s a fejre esett érméket átadják társuknak. A játék addig tart, amíg valamelyik dobás után az összes érme egyik játékoshoz kerül. Kezdetben Eszternél van mind a 3 érme és dob el ször. Mekkora valószín séggel nyer Eszter? 85.) Fej vagy írást játszunk egy szabályos érmével: ha fejet dobunk, megnyerjük a tétet, ha írást, elveszítjük. Amikor leülünk játszani, petákunk van és az a célunk, hogy 5 petákot gy jtsünk. Feltesszük az összes pénzünket, illetve annyit, amennyi hiányzik a célunk eléréséhez. a.) Mekkora valószín séggel érjük el a célunkat? b.) Válaszoljunk a kérdésekre "óvatos stratégia" esetén is, azaz, ha minden játszmában csak petákot teszünk fel! SZ9.) Egy kockával addig dobunk, amíg valamelyik korábban dobott szám ismételten el fordul. Határozd meg a szükséges dobásszám várható értékét! (p) SZ0.) Egy érmével addig dobunk, amíg k hosszúságú fejsorozat vagy s hosszúságú írássorozat nem adódik. Mennyit dobunk átlagosan? (p) SZ.) Egy városban az úthálózat gráfja egy ikozaéder élhálózatának gráfjával egyezik meg. Jolán háza az ikozaéder egyik csúcsában van, munkahelye pedig az ezzel szemközti csúcsban. Sötétedés után munkahelyér l hazafelé menet minden egyes csúcsba érve elbizonytalanodik, hogy merre is haladjon tovább. Tegyük fel, hogy minden csúcsban p annak a valószín sége, hogy találkozik valakivel, aki mutat neki egy olyan irányt, amerre elindulva a legkevesebb élen haladva a szállására juthat. Ellenkez esetben véletlenszer en halad tovább úgy, hogy egyik irány sincs kitüntetve, vagyis el fordulhat akár az is, hogy visszafordul. Mekkora p érték esetén lesz 50% annak a valószín sége, hogy el bb ér haza, minthogy a munkahelyére visszatalálna? (3p) 86.) Az Y és X valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. X\Y 3 X peremeloszlása 5 0......... 0... 0...... Y peremeloszlása...... 0... a.) Töltsd ki a táblázatot, ha EX = 7 és EY = 5! b.) X és Y függetlenek egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! c.) Add meg (X, Y ) T valószín ségi vektorváltozó kovariancia mátrixát és korrelációs 6
mátrixát! d.) P (X < 7 Y < 3) =? e.) E(Y X = 0) =? 87.) Az X és Y valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. Y \X 0 Y peremeloszlása 3 7 7 3 7 3 7 7 7 7 7 7 7 X peremeloszlása Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szórásnégyzetét! Függetlenek-e egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! 88.) Legyen X és Y független, azonos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X, ax + by ) =? 89.) Egy dobozban 0 piros, 0 fehér, 0 zöld, 0 kék cédula van, mindegyik -t l 0-ig számozva. Visszatevéssel húzunk kétszer. Legyen X a pirosak száma a kihúzottak között; Y a kékek száma; Z a 0-esek száma. Határozd meg a.) X és Y ; b.) X és Z együttes eloszlását és korrelációját! 90.) Egy 5 lapos francia kártyacsomagból húzunk lapot visszatevés nélkül. Legyen X a k rök, Y pedig az ászok száma. Adjuk meg X és Y korrelációs együtthatóját. Függetlenek-e ezek a változók? 9.) Egy szabályos kockával dobunk. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milyen maradékot ad. R(X, Y ) =? 9.) Egy szabályos érmét kétszer feldobunk. Legyen X értéke, ha az els dobás fej, és 0, ha írás. Legyen Y értéke, ha a második dobás fej, és 0, ha írás. Mutassuk meg, hogy X + Y és X Y korrelálatlanok, de nem függetlenek! 93.) Egy dobozban 5 piros és 5 kék golyó van, amib l 00-szor húzunk visszatevéssel. Jelölje X az els 50, Y az els 75, Z pedig az utolsó 30 húzásból a pirosak számát. Határozzuk meg X + Z és Y korrelációs együtthatóját! 9.) 00-szor húzunk visszatevéssel egy olyan dobozból, amelyben piros és fehér golyó van. X jelentse a kihúzott piros golyók számát az els 50, Y pedig az els 0 kísérletben. R(X, Y ) =? 95.) Egy kockát 0-szer feldobunk. X a dobott 6-osok száma, Y a dobott páratlan számok száma. Határozzuk meg X és Y korrelációs együtthatóját! 96.) Egy tízemeletes ház földszintjén 5 ember száll be a liftbe. Mindenki a többiekt l függetlenül /0 eséllyel száll ki az egyes emeleteken. Mennyi a megállások számának várható értéke és szórása? 97.) Számítsuk ki az {,..., n} halmaz véletlen permutációi között a xpontok számának várható értékét és szórásnégyzetét! 98.) Mely c valós paraméter esetén lesznek kétdimenziós s r ségfüggvények az alábbiak? Adjuk meg az együttes eloszlásfüggvényt, valamint a perems r ségfüggvényeket! P ( X >, Y < ) =? Független X és Y? R(X, Y ) =? { cxy ha (x, y) (0, ) a.) f(x, y) = { c(x + y) ha (x, y) (0, ) b.) f(x, y) = c.) f(x, y)=ce x +y {, (x; y) R x d.) f(x, y) = e y < x < c és 0 < y 99.) Legyenek a.) X Bin(n, p) és Y Bin(m, p) függetlenek; b.) X Poi(λ) és Y Poi(µ) függetlenek; c.) X Geo(p) és Y Geo(p) függetlenek. Milyen eloszlású X az X + Y = l feltétel mellett? Határozd meg az E(X X + Y = l) feltételes várható értéket! x 00.) Legyen X és Y együttes s r ségfüggvénye f X,Y (x, y) = e y y y I(x > 0, y > 0). a.) Határozd meg Y peremeloszlását! b.) Milyen eloszlású X az Y = y feltétel mellett? E(X Y = y) =? 0.) Legyen (X, Y ) valószín ségi vektorváltozó egyenletes eloszlású az {(x, y) R : x + y } egységkörlapon. Számítsuk ki az f X Y (x y) feltételes s r ségfüggvényt és az E(X Y ) feltételes várható értéket! 0.) Legyen X E ( ; ) és Y X = x E (0, x), ha < x <. a.) Határozd meg az együttes eloszlást! b.) Ez alapján oldd meg a.) feladatot! c.) Határozd meg az f X Y (x y) feltételes s r ségfüggvényt, majd az E(X Y = y) feltételes várható értéket! SZ.) Legyen (X, Y ) diszkrét valószín ségi vektorváltozó, mely 3 értéket vesz fel azonos valószín séggel: ( ; 0, 5), (0; ), (;, 5). R(X, Y ) =? Meglep -e az eredmény és miért? (p) SZ3.) Tegyük fel, hogy X, X,... azonos eloszlásúak, R(X i, X j ) = r i j esetén. Bizonyítsuk be, hogy r 0! (p) SZ.) Milyen eloszlású( X és Y, ha együttes s r ségfüggvényük ) (r [, ] R) f(x, y) = π exp r ( r ) (x rxy + y ), (x; y) R? R(X, Y ) =? (3p) 03.) Megadható-e olyan 0 várható érték és szórású valószín ségi változó, amelyre P ( X ) 0, 5? 0.) U és V valószín ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V ) = 0, 75; EU = ; EV = 6; D(U) = D(V ) =. Becsüld alulról a P (7 < U + V < ) valószín séget! 05.) Hamis érmével dobunk, a fej valószín sége 0,5. a.) Becsüljük meg a Csebisev-egyenl tlenséggel, majd a centrális határértéktétel segítségével is annak a valószín ségét, hogy 0 ezer dobásból legalább 550 fej! b.) Hányszor kell dobni, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószín séggel több legyen, mint 0,505? 06.) Tegyük fel, hogy egy tábla csokoládé tömege normális eloszlású 00 g várható értékkel és 3 g szórással, valamint, hogy az egyes táblák tömege egymástól független. Legalább hány csokoládét csomagoljunk egy dobozba, hogy a dobozban lev táblák átlagos tömege legalább 0,9 valószín séggel nagyobb legyen 99,5 g-nál? 7
07.) Egy életbiztosító társaságnak 0000 biztosítottja van, tegyük fel, hogy k egyforma korúak és egészség ek. % annak a valószín sége, hogy egy ilyen személy az év folyamán meghal. Minden biztosított az év elején ezer Ft-ot zet be, halála esetén pedig hozzátartozói millió Ft-ot kapnak a biztosítótól. Mi a valószín sége, hogy a biztosító egy évben ezen biztosításra vonatkozóan nem lesz veszteséges? 08.) Legalább hány embert kell megkérdezni egy közvéleménykutatásnál, ha egy adott párt támogatottságát (az eltérést a várható támogatottságtól) legalább 95%-os valószín séggel 0,0nél kisebb eltéréssel szeretnénk megbecsülni? a.) Számoljunk a Csebisev-egyenl tlenséggel. b.) Számoljunk a normális eloszlással. 09.) Egy dobókockát 70-szor feldobunk. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a dobott 6-osok száma legalább 0, de 0-nél kisebb! 0.) Egy dobozban cédula van, rajtuk a -,0,, számok. 9-szer húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 08, de 6-nél kisebb!.) X i -k (i =,,...) független val. változók Hova konvergál és hogyan? X a.) X i Ind(p) 5 +...+X5 n n X +...+X n n b.) X i : az i-edik kockadobás eredménye c.) X i Exp() e X +...+e Xn.) Számítsuk ki a következ mennyiséget: lim n n n e n k=0 SZ5.) Egy szabályos kockát dobálunk. Hova tart és milyen értelemben a dobott számok mértani közepe? (p) SZ6.) Számítsuk ki n elem találomra választott permutációjában az m hosszú ciklusok számának eloszlását! Mihez tart ez az eloszlás n esetén? (p) Útmutatás: használd a Jordán-formulát! SZ7.) Egy szabályos érmével addig dobunk, amíg mind a fejekb l, mind az írásokból legalább k darabot nem kapunk. Jelölje ν k az ehhez szükséges dobások számát. Számítsd ki ν k k k határeloszlását, ha k! (3p) n k k! 5.) Legyen X, X, X,... nemnegatív egész, i.i.d. diszkrét valószín ségi változó. Határozd meg Y generátorfüggvényét, ha a.) Y = ax + b, ahol a, b R; b.) Y = X + X +... + X N, ahol N az X i -kt l független, pozitív diszkrét valószín ségi változó. 6.) Két kockával addig dobunk, amíg mindkét kockán 6-ost nem kapunk. Adjuk meg a szükséges dobások számának generátorfüggvényét! 7.) Legyenek X és Y függetlenek, p, illetve q paraméter Pascal-eloszlású valószín ségi változók. Határozzuk meg a Z = min(x, Y ) generátorfüggvényét! 8.) Az alábbi függvények egy-egy valószín ségi változó generátorfüggvényei: a.) G(u) = e u ; b.) G(u) = u +u+. Határozd meg a valószín ségi változó eloszlását, várható értékét és szórását a generátorfüggvény segítségével! 9.) Egy organizmus pontosan napon keresztül él, a nap végén életet ad hozzá hasonló organizmusoknak, és elpusztul. Jelölje X n : az n. nap elején hány organizmus él, azaz az n. "generáció" hány f b l áll. Legyen N: a született organizmusok száma, ami egy µ várható érték, nemnegatív egész érték diszkrét valószín ségi változó. Tegyük fel, hogy két organizmus halálakor a született "gyerekek" száma egymástól független. a.) Határozd meg X n generátorfüggvényét! b.) Várhatóan hány f s lesz az n. generáció? c.) Számítsd ki az organizmus kihalásának valószín ségét, azaz a τ = lim P (X n = 0) n értéket! d.) Mi a feltétele annak, hogy az organizmus valószín séggel kihaljon? SZ8.) Jelölje u(n) annak a valószín ségét, hogy az A és A egymás után el ször az (n )-edik és n-edik kísérletekben következik be (P (A) = p). Írjuk fel a generátorfüggvényt, a várható értéket és a szórásnégyzetet is! (p) SZ9.) Egy kockával addig dobunk, amíg meg nem dobjuk a 6. hatost. Jelölje X a szükséges dobások számát. Határozzuk meg X generátorfüggvényét! (p) 3.) Legyen X nemnegatív egész diszkrét valószín ségi változó. X generátorfüggvényének hívjuk az Y = z X valószín ségi változó várható értékét, jelölje G X (z) = E(z X ). Mutassuk meg, hogy a.) G X () = b.) P (X = k) = G(k) (0) k! k = 0,,... c.) EX = G X () d.) D X = G X () + G X () [G X ()].) Legyenek X és Y nemnegatív egész diszkrét valószín ségi változók. Igaz-e hogy a.) amennyiben X és Y függetlenek, akkor G X+Y (z) = G X (z) G Y (z); b.) amennyiben G X+Y (z) = G X (z) G Y (z), akkor X és Y függetlenek? 8