Optika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor Fresnel együtthatók A síkhullámfüggvény komplex alakja: ahol a komplex amplitudó: E E 0 exp i(ωt k r+φ) E 0 exp iφ exp i(ωt k r) Ẽ expi(ωt k r) Ẽ E 0 exp iφ A Fresnel összefüggések esetén megkülönböztetjük a térerősség vektor beesési síkkal párhuzamos (π mint parallel, TM polarizáció) és besési síkra merőleges (σ mint "senkrecht" merőleges szó németül, TE polarizáció) komplex amplitudó vektor komponenseket. Ezeket az irányokat σ és π polarizációs állapotoknak hívjuk (az optikában így mondjuk: síkban poláros fénykomponensek). A reflexiós tényezők definíciója: ρ σ Ẽ σ n cosθ n cosθ Ẽ σ n cosθ + n cosθ A transzmissziós téynezők: ρ π Ẽ π n cosθ n cosθ Ẽ π n cosθ + n cosθ τ σ Ẽ σ Ẽ σ 2 n cosθ n cosθ + n cosθ τ π Ẽ σ 2 n cosθ Ẽ σ n cosθ + n cosθ (A későbbiekben a hullámjelet elhagyjuk a térerősség vektor jelölésénél) 1. ábra. Fénytörés határfelületen, σ és π polarizációs állapotok esetén 1
2. ábra. A reflexiós együtthatók külső visszaverődés és belső visszaverődés esetén 1. példa: Transzmittancia, reflektancia Bizonyítsuk be, hogy az intenzitásokra felírt transzmittancia és reflektancia összege egységnyi: R + T 1! Megoldás: Definíció szerint: R E E 2 ρ 2 T E E 2 n cosθ n cosθ τ 2 n cosθ n cosθ Az amplitúdók arányaira vonatkozó összefüggéseket felhasználva írhatjuk: T + R E E 2 + E E 2 n cosθ n cosθ T + R ( n cosθ n cosθ 2 n cosθ n cosθ + n cosθ )2 + ( n cosθ + n cosθ )2 n cosθ n cosθ T + R (n cosθ n cosθ ) 2 (n cosθ + n cosθ ) 2 + 4 n cosθ (n cosθ + n cosθ ) 2 n cosθ T + R n2 cos 2 Θ 2 n n cosθ cosθ + n 2 cos 2 Θ + 4 n cosθ n cosθ (n cosθ + n cosθ ) 2 Ezzel beláttuk az állítást. T + R n2 cos 2 Θ + 2 n n cosθ cosθ + n 2 cos 2 Θ (n cosθ + n cosθ ) 2 2. példa: Brewster-szög - polarizátor T + R (n cosθ + n cosθ ) 2 (n cosθ + n cosθ ) 2 1 A törésmutatók ismeretében határozzuk meg a Brewster-szöget! Megoldás: Brewster-szögnek nevezzük azt a beesési szöget, melyre a visszavert sugárzás csak s-komponenst tartalmaz. Ekkor: ρ π tg(θ Θ ) tg(θ + Θ ) 0 2
A közeghatáron való törés következtében Θ Θ és mivel 0 < Θ, Θ < π, ezért a tört számlálója 2 sosem lehet nulla. Tehát az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a tört nevezője tart végtelenhez. tg(θ + Θ ) Θ + Θ π 2 A Snellius-Descartes törvény szerint a törésre írható: n sinθ n sinθ Felhasználva a beesési- és a törési szög közötti összefüggéseket: n sinθ n sin( π 2 Θ) n sinθ n cos(θ) Ebből a Brewster-szögre adódik: Alkalmazás: polarizátor. tgθ n n 3. példa: Merőleges beesés - s és p állapotok közötti különbség megszűnik Bizonyítsuk be, hogy merőleges beesés esetén a σ és π állapotok közötti különbség megszűnik! Megoldás: A reflexiós tényezőkre: ρ σ n cosθ n cosθ n cosθ + n cosθ ρ π n cosθ n cosθ n cosθ + n cosθ Felhasználva, hogy merőleges beesés esetén Θ Θ Θ 0: Hasonlóképpen a transzmissziós téynezőkre: τ σ τ π Felhasználva, hogy Θ Θ Θ 0 kapjuk: ρ σ n n n + n ρ π 2 n cosθ n cosθ + n cosθ 2 n cosθ n cosθ + n cosθ τ σ 2 n n + n τ π Tehát egy előjeltől eltekintve a két polarizációs állapot megegyezik egymással. Jelölje ρ és τ azon együtthatükat, ha felcseréljük a fény terjedési irányát, és az az n közegből n törésmutatójú közegbe terjed. Az alábbi összefüggések behelyettesítéssel igazolhatók: ρ ρ ττ 1 ρ 2 3
Az intenzitásokra vonatkozó reflektancia és transzmittancia értéke: R ρ 2 T 1 R τ 2 n cos(θ ) n cos(θ) Példa: Legyen egy üveg törésmutatója n 1, 5. Ekkor merőleges beesés esetén a reflexiós és a transzmissziós tényező értéke: ρ σ ρ π n n n + n 0, 2 τ σ τ π 2 n n + n 0, 8 Ebből az intenzitásokra vonatkozó reflektancia és transzmittancia: R ρ 2 0, 04 T 1 R 0, 96 Tehát n 1, 5-ös törésmutató esetén 4% a veszteség egy felületen történő reflexió hatására. Példa: Milyen törésmutató viszonyok esetén lesz azonos a reflektancia és transzmittancia értéke? R T ( n n n + n )2 ( 2 n n + n )2 n n A másodfokú egyenlet megoldásai: n 2 2 n n + n 2 4 n n n 2 6 n n + n 2 0 ( n n )2 6 n + 1 0 n n n 6 ± 36 4 2 3 ± 8 4. példa: Reflektancia elsőrendben Becsüljük meg merőleges beesés esetén a reflektancia nagyságát egymáshoz közeli törésmutatók esetén! Megoldás: Legyen a törésmutatók aránya egységnyihez közeli érték: ahol η értéke kicsi.ekkor a reflexiós együttható: n n 1 + η ρ n n n + n ρ Határozzuk meg a reflexiós együttható értékét! η η + 2 1 n n n n + 1 4
Nulladrendű közelítésben η 0 esetén ρ 0. Az elsőrendű közelítéshez használjuk a Taylor-sorfejtést: Az első derivált értéke: ahol η 0 esetén dρ dη 2 4 ρ(η) ρ(η 0) + dρ dη (η 0) η + 1 2 d2 ρ dη 2 (η 0) η2 +... dρ dη (η + 2) η 2 (η + 1) (η + 2) 2 (η + 2) 2 Ezt visszahelyettesítve a Taylor-sorba kapjuk: ρ(η) 0 2 4 η +... Tehát elsőrendű közelítésben a reflexiós együttható: Ebből a reflektancia értéke becsülhető: Interferencia - vékonyrétegek ρ(η) 1 2 η R ρ 2 1 4 η2 5. példa: Kétsugaras interferencia: plan-parallel lemez Tekintsünk egy d vastagságú n törésmutatójú plan-parallel lemezt, mely 1 törésmutatójú közegben helyezkdeik el. Vizsgáljuk az első felületről visszaverődő, illetve az első felületen megtörő, a hátsón visszaverődő, és az elsőn megint megtörő nyalábok interferenciáját. 3. ábra. Kétsugaras interferencia plan-parallel lemezen. Megoldás: A Fresnel-formulák alapján közelítésként használjuk a merőleges beesés esetén kapott reflexiós és a transzmissziós tényezket: ρ 1 n 1 + n ρ τ 2 1 1 + n τ 2 n 1 + n 5
τ τ 1 ρ 2 Ezek segítségével a kezdeti E 0 komplex amplitúdó ismeretében meghatározható a két vizsgált nyaláb komplex amplitúdója is: E 1 E 0 ρ E 2 E 0 τ ρ τ e i δ A transzmissziós és reflexiós tényezőkre vonatkozó összefüggéseket felhasználva kapjuk: τ ρ τ ρ (1 ρ 2 ) Mivel üvegre 1 ρ 2 0, 96, ezért közelíthetjük a kifejezést: Ezt visszahelyettesítve E 2 képletébe: τ ρ τ ρ (1 ρ 2 ) ρ E 2 E 0 τ ρ τ e i δ ρ E 0 e i δ ρ E 0 e i (δ+π) ahol δ 2π λ 0, melyben λ 0 a vákuumban mért hullámhossz, az optikai úthosszkülönbség. Határozzuk meg az optikai úthosszkülönbséget geometriai megfontolások alapján: Ezt felhasználva az intenzitás: n n n (AB + BC) 1 AC 2 d cosθ 2 1 2 d tgθ 2 sinθ 1 2 d cosθ 2 1 2 d tgθ 2 n sinθ 2 n 2 d cosθ 2 (1 sin 2 Θ 2 ) n 2 d cosθ 2 I E 1 + E 2 2 (E 1 + E 2 ) (E 1 + E 2) I E 1 E 1 + E 2 E 2 + E 1 E 2 + E 1 E 2 I E 1 2 + E 2 2 + E 1 E 2 e i Φ + E 1 E 2 e i Φ I I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos Φ Mivel τ ρ τ ρ, ezért E 1 E 2 és hasonlóan I 1 I 2 Ezt felhasználva I kifejezése tovább egyszerűsíthető: I 2 I 1 (1 + cos Φ) I 4 I 1 cos 2 Φ 2 Ebben az esetben I max 4 I 1 és I min 0, amiből a kontraszt: C I max I min I max + I min 1 Tehát az interferenciának nagy a kontrasztja, jó a láthatósága. 6
4. ábra. Antirelfexiós réteg 6. példa: Antireflexiós réteg - kétsugaras interferencia Tekintsünk egy n 2 1, 7 törésmutatójú üveget, melyet n 1 1, 38 törésmutatójú MgF 2 réteggel vonunk be, és 1 törésmutatójú közegben helyezünk el. Vizsgáljuk az elrendezést közel merőleges beesés esetén. Milyen vastagságú kell legyen a bevonati réteg destruktív interferencia eléréséhez abban az esetben ha a nyaláb λ 0 550 nm hullámhosszú. Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan a Fresnel-formulák alapján meghatározhatjuk a reflexiós és a transzmissziós tényezőket: ρ 1 1 n 1 1 1, 38 1 + n 1 1 + 1, 38 τ 1 2 1 1 + n 1 2 1 + 1, 38 ρ 2 n 1 n 2 1, 38 1, 7 n 1 + n 2 1, 38 + 1, 7 τ 1 2 n 1 1 + n 1 2 1, 38 1 + 1, 38 Ezek felhasználásával, a kezdeti E 0 komplex ampplitúdó ismeretében meghatározható a bevonati rétegről visszaverődő nyaláb E 1, illetve az üvegről visszaverődő nyaláb E 2 komplex amplitúdója: E 1 E 0 ρ 1 ahol δ 2 π λ 0 E 2 E 0 τ 1 ρ 2 τ 1 e i δ n 1 2 d cos(0 0 ). Az előző feladathoz hasonlóan levezethető az intenzitás értéke: I I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cosδ Destruktív interferencia abban az esetben alakul ki ha cosδ 1, vagyis δ π-nek páratlan számú többszöröse: cosδ 1 δ 4 π n 1 d λ 0 (2 m + 1) π ahol m tetszőleges egész szám. Átrendezve az egyenletet kapjuk: d λ 0 4 n 1 (2 m + 1) 7
d λ (2 m + 1) 4 Tehát a destruktív interferencia feltétele, hogy a bevonati réteg vastagsága λ 4 többszöröse legyen. páratlan számú Határozzuk meg a reflektanciát az antrireflexiós réteggel ellátott üveg, illetve bevonat nélküli üveg esetén is! Antireflexiós réteg esetén: R E R E 0 2 E 0 ρ 1 + E 0 τ 1 ρ 2 τ 1 e i δ E 0 2 R (ρ 1 τ 1 ρ 2 τ 1) 2 R (ρ 1 (1 ρ 2 1) ρ 2 ) 2 Behelyettesítve a számértékeket kapjuk a numerikus eredményt: R 0, 0161 (1, 61%) Ugyanez antrireflexiós bevonat nélküli üveg esetén: Behelyettesítve a numerikus adatokat: R E R E 0 2 E 0 ρ E 0 2 R ρ 2 1 1, 17 R 1 + 1, 17 2 0, 067 (6, 7%) Tehát az antireflexiós réteg körülbelül negyedére csökkenti a reflektanciát. 7. példa: Többsugaras interferencia Tekintsünk egy n 2 törésmutatójú üveget, melyet d vastagságú n 1 törésmutatójú réteggel vonunk be, és törésmutatójú közegben helyezünk el. Vizsgáljuk első felületen megtörő, a rétegben akár többször is visszaverődő, és a hátsó felületen ismét megtörve kilépő nyalábok interferenciáját. Számításainkat csak közel merőleges beesés esetére korlátozzuk. A Fresnel-formulák alapján meghatározhatjuk a reflexiós és a transzmissziós tényezőket: ρ 1 n 1 + n 1 τ 1 2 + n 1 ρ 2 n 1 n 2 n 1 + n 2 τ 2 2 n 1 n 1 + n 2 A fázistolás mértéke két belső visszaverődés esetén: δ 2 π λ 0 2 n 1 d cosθ 2 8
5. ábra. Többsugaras interferencia plan-parallel lemezen. Ezek felhasználásával, a kezdeti E 0 komplex ampplitúdó ismeretében meghatározható a transzmittált nyalábok komplex amplitúdója: Hasonlóan folytatva a sort írható: Tehát a transzmittált nyaláb összességében: E 1 E 0 τ 1 τ 2 E 2 E 0 τ 1 ρ 2 ( ρ 1 ) τ 2 e i δ E 3 E 0 τ 1 ρ 2 2 ( ρ 1 ) 2 τ 2 e i 2 δ E 4 E 0 τ 1 ρ 3 2 ( ρ 1 ) 3 τ 2 e i 3 δ E n E 0 τ 1 ρ n 1 2 ( ρ 1 ) n 1 τ 2 e i (n 1) δ E n E n 1 ρ 2 ( ρ 1 ) e i δ E T E 1 + E 2 + E 3 +... Mivel a szomszédos tagok hányadosa állandó, ezért az összeg egy végtelen mértani sor összege, ahol a 1 E 1 E 0 τ 1 τ 2 az első tag és q ρ 2 ( ρ 1 ) e i δ a hányados. A transzmittált nyaláb tehát felírható, mint a végtelen mértani sor összege: E T a 1 (1 + q + q 2 + q 3 +...) E T a 1 E T E 0 τ 1 τ 2 E T 1 1 q 1 1 ρ 2 ( ρ 1 ) e i δ E 0 τ 1 τ 2 1 + ρ 2 ρ 1 e i δ A transzmittált nyaláb intenzitása I T E T 2, míg a kezdeti nyaláb intenzitása I 0 E 0 2. A Fresnel-formulák alapján a transzmittancia: T E T E 0 2 n2 cosθ 2 cosθ 0 9
Közel merőleges beesés esetén a képlet a következő alakra egyszerűsödik: Behelyettesítve E T fent meghatározott értékét: T E T E 0 2 n2 T τ 2 1 τ 2 2 (1 + ρ 1 ρ 2 e i δ ) (1 + ρ 1 ρ 2 e i δ ) n2 T τ 2 1 τ 2 2 1 + ρ 2 1 ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ n2 Felhasználva a Fresnel-formulák közötti összefüggéseket: τ 2 1 (1 ρ 2 1) n0 n 1 cosθ 0 cosθ 1 τ 2 2 (1 ρ 2 2) n1 n 2 cosθ 1 cosθ 2 Illetve ezek közel merőleges beesésre felírt közelítéseit: A reflektanciára következő összefüggés írható: τ 2 1 (1 ρ 2 1) n0 n 1 τ 2 2 (1 ρ 2 2) n1 n 2 R 1 T R 1 + ρ2 1 ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ (1 ρ 2 1 ) (1 ρ2 2 ) 1 + ρ 2 1 ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ R 1 + ρ2 1 ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ (1 ρ 2 1 ρ2 2 + ρ2 1 ρ2 2 ) 1 + ρ 2 1 ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ R ρ2 1 + ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ 1 + ρ 2 1 ρ2 2 + 2 ρ 1 ρ 2 cosδ Vizsgáljuk azt a speciális esetet amikor a réteget antireflexiós rétegként alkalmazzuk. Ekkor a fázistolás mértéke π-nek páratlan számú többszöröse: δ (2 m + 1) π aminek következtében: cosδ 1 Ekkor a reflektancia a következő alakra egyszerűsödik: R ρ2 1 + ρ2 2 2 ρ 1 ρ 2 1 + ρ 2 1 ρ2 2 2 ρ 1 ρ 2 R (ρ 1 ρ 2 ) 2 (1 ρ 1 ρ 2 ) 2 10
R n 1 n 1 n 2 + n 1 n 1 + n 2 1 n 1 n1 n 2 + n 1 n 1 + n 2 R ( n2 1 + n 2 n 2 1 + n 2 ) 2 Ebből a formulából megállapítható, hogy a reflektancia mértéke 0 abban az esetben, ha n 2 1 n 2 n 1 n 2 Tehát a bevonati réteg törésmutatóját a közeg és az üveg törésmutatójának mértani közepeként célszerű megválasztani. Számítsuk ki a reflektancia mértékét többsugaras interferenciára a 3.példában megadott törésmutató értékek esetén! A közeg törésmutatója 1, a MgF 2 réteg törésmutatója n 1 1, 38, és az üveg törésmutatója n 2 1, 7. Ekkor a numerikus értékeket behelyettesítve a reflektancia: R (ρ 1 ρ 2 ) 2 (1 ρ 1 ρ 2 ) 2 ( n2 1 + n 2 n 2 1 + n 2 ) 2 0, 0032 Alkalmazás: Fabry-Perot interferométer A plan-parallel lemez egy rezonátor doboznak tekinhető, amely a többszörös reflexió miatt bizonyos frekvenciákat felerősít. Ezeken a frekvenciákon állóhullám módusok jönnek létre benne. Ezek a rendszer sajátfrekvenciái. A rendszer frekvenciafüggő reflexióval és transzmisszióval rendelkezik. A ráeső fényhullámok csak bizonyos frekvenciákon tudnak áthaladni, ezért egy speciális diszperziós relációt tudunk felírni, amely tartalmaz "vezetési" és "tiltott sávokat" (frekvenciákat). Ez egy hasonló jelenség, mint amit az elektronok szilárd testek peridódikus kristályain való szóródása esetében tapasztalunk (ld. szilárdtestfizika tárgy tananyaga). Induljunk ki a transzmisszió összefüggéséből: T τ 2 1 τ 2 2 1 + ρ 2 1 ρ2 2 + 2ρ 1ρ 2 cos δ n2 n 1 τ 2 1 τ 2 2 (1 + ρ 1 ρ 2 ) 2 2ρ 1 ρ 2 (1 cos δ) n2 T τ 2 1 τ 2 2 (1 + ρ 1 ρ 2 ) 2 4ρ 1 ρ 2 sin 2 δ 2 n2 A transzmisszió nagysága a δ 2π 2ndcos(Θ) fázistolás nagyságától függ. λ Ha δ 0, 2π, 4π, Ha δ π, 3π, T max τ 2 1 τ 2 2 (1 + ρ 1 ρ 2 ) 2 n2 T min τ 2 1 τ 2 2 (1 ρ 1 ρ 2 ) 2 n2 A transzmittált intenzitáscsíkok láthatósága: V T max T min T max + T min 2ρ 1ρ 2 1 + ρ 2 1 ρ2 2 11
Ha tükrözőfelületek reflexiós együtthatója maximális (ρ 1 1 és ρ 2 +1), akkor a láthatóság értéke a legnagyobb: V 1 A T értékét tovább alakítva: T T max 1 4ρ 1ρ 2 (1 + ρ 1 ρ 2 ) 2 sin2 δ 2 T max 1 + F sin 2 δ 2, ahol F 4ρ 1ρ 2 az ún. "finesz", és azt jellemzi, hogy mennyire keskenyek a kialakult (1 + ρ 1 ρ 2 ) 2 transzmittált intenzitás maximumok frekvencia vagy fázistérben. Az intenzitás maximumok félértékszélssége fordított arányos az F-fel: δ 2π F 6. ábra. A transzmittált intenzitás fázisfüggés két különböző finesz értékre Merőleges beesés esetén az intenzitás maximumok az alábbi frekvenciákon jönnek létre: δ 2π 2nd 2πν 2d m 2π, ahol m 0, 1, 2, λ 0 c ν m c 2d rezonátormódusok fekvenciái 7. ábra. A rezonátormódusok egymástól c/2d távolságra helyezkednek el frekvenciában mérve A Fabry-Perot interferométernek két fontos alkalmazása van. 1. Spektrométerként használható, mert kiválasztja a rezonáns frekvenciákat. 2. Lézerrezonátorként használható, ahol a rezonáns frekvenciák a lézer lehetséges módusainak frekvenciáit adják. A lézertükrök közel 100 %-os nagyságú, tökéletes reflexiója biztosítja a nagy finesz értéket, ezáltal lézermódusok "keskenységét" ( monokromatikusságát). A Fabry-Perot interferométer módusainak frekvenciáját hangolni a d vastagság változtatásával lehet, illetve a cos(θ) beesési szög állításával. 12