Elemösszefügg ség és Steiner-fák

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Varnyú József Márton Matematia BSc Elemösszefügg ség és Steiner-fá Szadolgozat Témavezet : Fran András egyetemi tanár Operációutatási Tanszé Budapest, 2016

Köszönetnyilvánítás Szeretném megöszönni témavezet mne, Fran Andrásna a téma gyelmembe ajánlását, segítségét és útmutatását.

Tartalomjegyzé Tartalomjegyzé Tartalomjegyzé Bevezetés 4 1. Elemösszefügg ség 5 1.1. Menger tétele........................................... 5 1.2. A reduciós lépés......................................... 7 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo................................. 10 2. Steiner-fá 15 2.1. Éldiszjunt eset.......................................... 16 2.2. Elemdiszjunt eset........................................ 17 3. Steiner-erd 21 3.1. Algoritmus Steiner-erd paolásra............................... 21 4. Elemösszefügg irányítás 24 Összegzés 26 Hivatozáso 27 3

Tartalomjegyzé Tartalomjegyzé Bevezetés Az elemösszefügg ség egy viszonylag új és eveset tárgyalt gráfelméleti fogalom, ami összeapcsolja a özismert él- és csúcsösszefügg séget, melyehez számos lasszius gráfelméleti és ombinatorius optimalizálási eredmény f z di. Eredetileg Fran, Ibarai és Nagamochi ([8]) deniálta, amior egy elegáns általánosítást adta egy orábbi, összefügg ségi tulajdonságoat megtartó rita részgráf létezésér l szóló tételre. T lü függetlenül Hind és Oellermann ([10]) is bevezette. Ž egy gráf bizonyos csúcsait tartalmazó, azoon ívül viszont diszjunt részfáat ereste - ez az úgynevezett Steiner-fa paolási probléma, ami azóta is az els számú motivációént szolgál az elemösszefügg ség tanulmányozására. Hind és Oellermann bevezetett egy reduciós lépést, ami az elemösszefügg ség megtartása mellett csöenti egy gráf élszámát. Segítségével több elemösszefügg ségi probléma visszavezethet önnyebben ezelhet, párosilletve hipergráfora vonatozó problémára. Munám célja, hogy rövid, átteinthet bevezetést nyújtson anna, ai érdel di a téma iránt, saját maga is szeretne vele foglalozni. Az alapvet fogalma, problémá és eredménye ismertetése mellett bemutatom a reduciós lépés néhány hasznos alalmazását. A dolgozatom 4 f részb l áll: az els fejezetben ismertetem az elemösszefügg ség fogalmát, megvizsgálom az alapvet tulajdonságait, illetve apcsolatát az él- és a csúcsösszefügg ség fogalmával. Bemutatom Hind és Oellermann reduciós lépését, illetve Fran, Ibarai és Nagamochi tételét néhány érdees övetezményével együtt. A másodi fejezetben ismertetem a Steiner-fa paolás problémájához apcsolódó legfontosabb eredményeet, illetve bemutatom, hogyan használható eze bizonyítására a reduciós lépés. A harmadi fejezetben az általánosabb Steiner-erd paolási problémáját vizsgálom, és megmutatom, hogy lehet visszavezetni a Steiner-fá esetére. A negyedi fejezetben az irányított és irányítatlan elemösszefügg ség apcsolatáról lesz szó. 4

1. Elemösszefügg ség 1. Elemösszefügg ség Legyen G = (V, E) egy irányítatlan gráf. Az u és v csúcso özötti élösszefügg ség alatt az u-t és v-t összeöt éldiszjunt uta maximális számát értjü. Jelölje ezt az értéet λ G (u, v). Hasonlóan, az u és v csúcso özötti csúcsösszefügg ség alatt az u-t és v-t összeöt (belül) csúcsdiszjunt uta maximális számát értjü - ezt az értéet jelölje κ G (u, v). Egy A V csúcshalmaz élösszefügg sége λ G (A) = = min u,v A λ G (u, v), csúcsösszefügg sége κ G (A) = min u,v A κ G (u, v). G = (V, E)-re azt mondju, hogy -élösszefügg, ha λ G (V ), illetve -csúcsösszefügg, ha κ G (V ). Ehhez a ét összefügg ségi mértéhez számos lasszius eredmény apcsolódi a gráfelméletben és a ombinatorius optimalizálásban. Ezenél frissebb az elemösszefügg ség fogalma, ami a övetez : Deníció Legyen G = (V, E) egy irányítatlan gráf, T V az ún. terminálo halmaza. Elemne nevezzü G éleit, illetve a V \T -beli csúcsoat. Két ülönböz u, v V csúcs özötti elemösszefügg ség alatt az u-t és v-t összeöt belül elemdiszjunt uta maximális számát értjü. Jelölés κ G (u, v) az u és v csúcso özötti elemösszefügg ség. Jelölés A V csúcshalmaz elemösszefügg sége κ G (A) = min u,v A κ G (u, v). A továbbiaban ismertetett problémá többségében csa a terminálo özötti összefügg ségi értée leszne érdeese, ezért a globális elemösszefügg séget hasznos a övetez módon deniálni: Deníció G = (V, E) a T V terminálhalmazzal -elemösszefügg, ha κ G (T ). 1.1. Menger tétele Ha ét út csúcsdiszjunt, aor elemdiszjunt. Ha ét út elemdiszjunt, aor éldiszjunt. Emiatt tetsz leges u, v V csúcspárra κ G (u, v) κ G (u, v) λ G(u, v). Ugyanígy, tetsz leges A V csúcshalmazra κ G (A) κ G (A) λ G(A). Ha T = V, tetsz leges u, v V csúcspárra κ G (u, v) = λ G(u, v). Emiatt tetsz leges A V csúcshalmazra κ G (A) = λ G(A). Ezen ívül G aor és csa aor -elemösszefügg, ha -élösszefügg. Ha T =, tetsz leges u, v V csúcspárra κ G (u, v) = κ G(u, v). Emiatt tetsz leges A V csúcshalmazra κ G (A) = κ G(A). Ha T = {s, t}, κ G (s, t) = κ G(s, t), továbbá G aor és csa aor -elemösszefügg, ha κ G (s, t). A fentie alapján az elemösszefügg ség teinthet az él- és a csúcsösszefügg ség egyfajta özös általánosításána. Az egyi legfontosabb hozzáju apcsolódó eredmény Menger tétele, ami hasonló módon érvényes mind az él-, mind a csúcsösszefügg esetre. 1.1.1. Tétel (Menger) [17] Egy G = (V, E) irányítatlan gráfban s, t V ét ülönböz csúcs. Az éldiszjunt s t uta maximális száma megegyezi azon élhalmaz minimális méretével, melyet itörölve a 5

1. Elemösszefügg ség 1.1. Menger tétele apott gráfban nem létezi s t út. A csúcsdiszjunt s t uta maximális száma megegyezi azon (s és t özül egyiet sem tartalmazó) csúcshalmaz minimális számával, melyet itörölve a apott gráfban nem létezi s t út. Hasonló tételt szeretnén belátni elemösszefügg ségre is. Ehhez el bb vezessü be a övetez fogalmat: Deníció Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf T terminálhalmazzal. Az s, t V csúcsoat elválasztó vegyes vágásna nevezzü V egy olyan (A, Z, B) felosztását, melyre s A, t B, valamint Z V \T. A vágás méreténe teintsü a Z + E(A, B) értéet, ahol E(A, B) azon éle halmaza, melye egyi vége A-ban, a mási B-ben van. Deníció Legyen (A, Z, B) vegyes vágás. Vágó elemene nevezzü a Z E(A, B) halmaz elemeit. 1.1.2. Tétel (Menger tétele elemösszefügg ségre) Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf T terminálhalmazzal, valamint s, t V ét ülönböz csúcs. Az elemdiszjunt s t uta maximális száma megegyezi az s-t és t-t elválasztó minimális vegyes vágás méretével. Bizonyítás Legyen N = V \T a nem-terminál csúcso halmaza. Legyen továbbá N = {v v N} és N + = {v + v N}. Teintsü a G = (Ṽ, Ẽ) irányított gráfot, melyre Ṽ = N N + T és Ẽ-ot a övetez módon apju meg: i. Minden v N-re: (v, v + ) Ẽ. ii. Minden olyan uv E-re, ahol u, v N : (u +, v ), (v +, u ) Ẽ. iii. Minden olyan uv E-re, ahol u T, v N : (u, v ), (v +, u) Ẽ. iv. Minden olyan uv E-re, ahol u, v T : (u, v), (v, u) Ẽ. Továbbá, ha s N, legyen s = s +, ülönben s = s. Ha t N, legyen t = t, ülönben t = t. Enne a gráfna az élein vegyün fel egy apacitásfüggvényt, ami mindenhol az 1 értéet veszi fel. Eor minden egész érté acilius s t folyam G-ban egyértelm en megad egy elemdiszjunt s t úthalmazt G-ben, illetve minden s t vágás G-ban egyértelm en megad egy s-t és t-t elválasztó vegyes vágást G-ben. G onstruciójából egyértelm, hogy minden G-beli elemdiszjunt s t úthalmaz (illetve vegyes vágás) megad G-ban egy s t folyamot (illetve vágást). Tehát bijeció áll fenn az (acilius, egész érté ) s t folyamo és az elemdiszjunt s t úthalmazo, valamint az s t vágáso és az s t vegyes vágáso özött. Így, mivel G-ban a maximális folyam értée egyenl a minimális vágáséval, G-ben a maximális elemdiszjunt úthalmaz mérete egyenl a minimális vegyes vágáséval. Ez a bizonyítás ad egy algoritmust is κ G (s, t) iszámítására. n = V és m = E jelölést használva G legfeljebb 2n csúcsú és 2m él, valamint megonstruálható O(n + m) lépésszámban. Ezután elég G-on egy maximális folyam algoritmust futtatni. 6

1. Elemösszefügg ség 1.2. A reduciós lépés Jelölés M F (n, m) a mindenori leggyorsabb ismert maximális folyam algoritmus lépésszáma n csúcsú és m él gráfra. 1.1.3. Követezmény κ G (s, t) iszámítható O(MF (n, m)) lépésszámban. A globális elemösszefügg ség megállapítására ez triviálisan ad egy O( T 2 MF (n, m)) idej algoritmust. Létezi viszont hatéonyabb is: 1.1.4. Tétel (Cheuri, Ruanchanunt, Xu) [4] Egy n csúcsú és m él G gráfra és T terminálhalmazra κ G (T ) iszámítható O( T MF (n, m)) id ben. Érdemes még megjegyezni, hogy (az él- és csúcsösszefügg Menger-tételehez hasonlóan) bármelyi minimális vegyes vágásra létezi maximális elemdiszjunt úthalmaz, amine minden útja a vegyes vágásból pontosan egy vágó elemet tartalmaz. 1.2. A reduciós lépés Élösszefügg ségi problémá tanulmányozása során gyaran használt eszöz a Lovász által bevezetett ún, leemelési m velet, ami egy adott G irányítatlan multigráfban az s csúcsra illeszed su és sv élere a G-b l su és sv itörlésével, illetve egy uv él hozzáadásával apott multigráfot adja. Lovász bebizonyította, hogy a leemelés meg rzi a globális élösszefügg séget: 1.2.1. Tétel (Lovász) [15] Legyen G = (V {s}, E) irányítatlan multigráf, ahol V -élösszefügg valamilyen 2-re, valamint s foa páros. Eor minden su élre létezi egy t le ülönböz sv él, hogy az su és sv leemelésével apott multigráfban V -élösszefügg marad. Mader egy ennél er sebb tételt látott be ét olyan s-re illeszed csúcs létezésér l, melyeet leemelve a gráf csúcsaina páronénti éleösszefügg sége nem változi: 1.2.2. Tétel (Mader) [16] Legyen G = (V {s}, E) irányítatlan multigráf, ahol deg(s) 3 és s nem illeszedi olyan élre, melyne itörlésével megn G összefügg omponenseine száma. Eor s-ne létezi ét szomszédja (u és v), hogy az su és sv éle leemelésével apott G = (V {s}, E ) multigráfban minden x, y V -re λ G (x, y) = λ G (x, y). Csúcsösszefügg ségi problémára nem ismert a fentiehez hasonló, általánosan alalmazható tétel, viszont Hind és Oellermann bevezetett egy reduciós lépést, ami meg rzi a globális elemösszefügg séget. Jelölés G pq a G gráfból pq él elhagyásával apott gráf. Jelölés G/pq a G gráfból pq él összehúzásával apott gráf. 1.2.3. Tétel (Hind, Oellermann) [10] Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf T V terminálhalmazzal, ahol κ G (T ). Legyen továbbá pq egy olyan él, hogy p, q V \T. Eor κ G 1 (T ) vagy κ G 2 (T ), ahol G 1 = G pq és G 2 = G/pq. 7

1. Elemösszefügg ség 1.2. A reduciós lépés Kés bb, t lü függetlenül Cheriyan és Salavatipour ([6]) beláttá ugyanezt az eredményt. Lent az bizonyításuat mutatom be. Bizonyítás (1.2.3) Legyen e = pq. Eor G e és G/e ( 1)-elemösszefügg, mivel G-ben e bármelyi terminálpár özötti elemdiszjunt uta özül legfeljebb egyre illeszedhet, illetve p és q legfeljebb ett re, ami özül az egyiet megtarthatju az összehúzás után is. Tegyü fel, hogy G e nem -elemösszefügg. Eor 1.1.2 miatt létezi egy D 1 méret vegyes vágás, ami elválaszt egy s, t terminálpárt. Ebben p és q nem lehet vágó elem, ülönben D G-ben is elválasztaná s-t és t-t. Ugyanezért nem lehet p és q a vágás azonos omponensében sem. Tehát D felírható (C p, Z, C q ) alaban, ahol p C p és q C q. Az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy s C p és t C q. Legyen P(s, t) egy elem G-beli elemdiszjunt s t úthalmaz. Vegyü észre, hogy enne egy P 1 elemére illeszedi e (ülönben κ G 1 (s, t) =, de feltettü, hogy ez nem igaz). Tegyü fel, hogy G/e nem -elemösszefügg. Eor, szintén 1.1.2 miatt létezi egy 1 méret vegyes vágás, ami elválaszt egy terminálpárt. Enne vágó eleme az összehúzott csúcs, ülönben ugyanez G-ben is vegyes vágás lenne. Emiatt létezi egy méret R vegyes vágás G-ben, amine vágó eleme p és q. Eor P 1 tartalmazza R ét vágó elemét, tehát a elem P(s, t)-ben a satulyaelv alapján létezi olyan út, ami nem tartalmazza R egy vágó elemét sem. Legyen ez az út P. Emiatt az R vágó elemeine elhagyásával apott G gráfban létezi s t út. Ugyanígy belátható, hogy v, w C p terminálora létezi G -ben v t, illetve t w út, tehát létezi v w út is. Hasonlóan, ha v, w C q, létezi G -ben v s, illetve s w út, tehát létezi v w út is. Ha v C p és w C q, létezi G -ben w s, s t illetve t v út, tehát létezi v w út is. Beláttu, hogy R vágó elemeit elhagyva bármelyi ét terminálra létezi öztü haladó út. Ez viszont ellentmondáshoz vezet, mivel R elválaszt egy terminálpárt. A terminálo özötti éleet osszu etté egy-egy új (nem-terminál) csúcs beszúrásával. A apott gráfban ét út pontosan aor elemdiszjunt, ha G-ben is azo. Emiatt 1.2.4. Megjegyzés Az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy T egy független csúcshalmazt alot G-ben. A reduciós lépés ismételgetésével apun egy -elemösszefügg gráfot T terminálhalmazzal, amiben V \T független csúcshalmazt alot. Így adódi, hogy: 1.2.5. Követezmény Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf T V terminálhalmazzal, ahol κ G (T ). Eor létezi egy G = (V, E ) irányítatlan páros gráf, melyre T V és κ G (T ). Minden (A, Z, B) minimális vegyes vágást teinthetün 1.2.4 miatt olyanna, hogy E(A, B) üres (másülönben az ilyen éleet icserélhetjü egy-egy nem-terminál végpontjura), vagyis: 1.2.6. Megjegyzés Az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy ha (A, Z, B) minimális vegyes vágás, aor minden vágó eleme nem-terminál csúcs. 8

1. Elemösszefügg ség 1.2. A reduciós lépés Cheuri és Korula bebizonyította, hogy ugyanez a reduciós lépés nem csa a globális, hanem (a terminálora) a páronénti loális elemösszefügg séget is megtartja. 1.2.7. Tétel (Cheuri, Korula) [3] Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf T V terminálhalmazzal. Legyen továbbá pq egy olyan él, hogy p, q V \T. Eor, ha G 1 = G pq és G 2 = G/pq, a övetez ét állítás özül legalább egy igaz: (i) u, v T, κ G 1 (u, v) = κ G (u, v) (ii) u, v T, κ G 2 (u, v) = κ G (u, v) Bizonyítás A bizonyítás során 1.2.4 és 1.2.6 alapján feltesszü, hogy nincs él ét terminál özött, illetve minden minimális vegyes vágásna csa csúcso a vágó elemei. Egy adott s, t terminálpár elemösszefügg ségét pq törlése és összehúzása is legfeljebb 1-gyel csöentheti. S t, a ét m velet özül legfeljebb az egyi fog csöenteni: ha κ G 1 (s, t) = κ G (s, t) 1, aor bármelyi G-beli maximális elemdiszjunt úthalmaz valamelyi eleme tartalmazza pq-t, viszont az összehúzás ezt az úthalmazt megtartja, vagyis κ G 2 (s, t) = κ G (s, t). Tegyü fel, hogy létezi ét terminálpár ((s, t), illetve (x, y)), hogy egyine a törlés, másina az összehúzás csöenti az elemösszefügg ségét: ha 1 = κ G (s, t) és 2 = κ G (x, y), aor κ G 1 (s, t) = 1 1 és κ G 2 (x, y) = 2 1. A fentie miatt tudju, hogy κ G 2 (s, t) = 1, κ G 1 (x, y) = 2, illetve (s, t) és (x, y) ülönböz (viszont egy-egy elemü megegyezhet). Vizsgálju el ször azt az esetet, amior {s, t} {x, y} =. Vegyü észre, egy G 1 -ben hogy s-t és t-t elválasztó, 1 -nél isebb vegyes vágás nem tartalmazhatja vágó elemént se p-t, se q-t (ülönben ugyanez a vágás G-ben is elválasztaná s-t és t-t). Másrészt egy G 2 -ben x-et és y-t elválasztó, 2 -nél isebb vegyes vágásna tartalmaznia ell vágó elemént az összehúzott csúcsot (ülönben ugyanez a vágás G-ben is elválasztaná x-et és y-t). Mivel κ G 1 (s, t) = 1 1, létezi egy (S, M, T ) vegyes vágás G 1 -ben, hogy M = 1 1 és s S, valamint t T. Tudju, hogy p / M és q / M. Ha p, q S, aor (S, M, T ) elválasztaná G-ben is s-t és t-t, ezért ez nem lehetséges. Ugyanígy nem lehet, hogy p, q T. Vagyis p S és q T (vagy fordítva, de az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy az el bbi igaz). Mivel κ G 2 (x, y) = 2 1, létezi egy (X, N, Y ) vegyes vágás G 2 -ben, hogy N = 2 1 és x X, valamint y Y. Tudju, hogy az összehúzott csúcs N -ben van. Eor, ha N = N {p, q} { pq} ( pq itt jelölje az összehúzott csúcsot), (X, N, Y ) egy vegyes vágás G-ben, hogy N = 2 és x X, valamint y Y. Mivel p, q N, (X, N, Y ) G 1 -ben is egy x-et és y-t elválasztó 2 méret vegyes vágás. A továbbiaban végig G 1 = (V, E\{pq})-ban dolgozun. Az (S, M, T ) és az (X, N, Y ) vegy vágáso 9 részre osztjá V -t úgy, hogy p N S, q N T, valamint minden terminál S-ben vagy T -ben, illetve X-ben vagy Y -ban van. Azt mondju, hogy S X és T Y egymáshoz épest átellenesen helyezedne el. Hasonlóan S Y és T X is. Vezessü továbbá be a övetez jelöléseet: A = S N, B = X M, C = T N, D = Y M, I = M N. Eor M = B I D és N = A I C. Azt állítju, hogy x és t nem lehetne egymással átellenese. Tegyü fel, hogy azo, eor x S X és t T Y. Vegyü észre, hogy (S X, A I B, T Y ) egy x-et és y-t elválasztó vegyes vágás. Mivel 9

1. Elemösszefügg ség 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo κ G 1 (x, y) = 2 és N = A I C 2 méret, B C. Hasonlóan (T Y, C I D, S X) egy s-t és t-t elválasztó vegyes vágás. C tartalmazza q-t, így a vágás nem lehet 1 -nél isebb, tehát C I D 1. Viszont M = B I D és M = 1 1. Emiatt C > B, vagyis ellentmondáshoz jutottun. Hasonlóan belátható, hogy x és s, y és s, valamint y és t nem lehetne egymással átellenese. Így ét eset lehetséges: s S Y, t T X, x S X, y T Y, valamint s S X, t T Y, x T X, y S Y. Az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy az els áll fenn. Eor (X, N, Y ) elválasztja s-t és t-t, illetve p és q vágó eleme, tehát N 1 > M. Ugyanaor (S, M, T ) elválasztja x-et és y-t, ami 2 -elemösszefügg G 1 -ben, tehát M 2 = N, vagyis ellentmondáshoz jutottun. Maradt az az eset, amior {s, t} {x, y} = 1. Az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy x = s. Eor s S X és t vagy y nem lehet t le átellenesen (T Y -ban). Eor t T X és s S Y. Eor viszont t és y átellenese, ami ellentmondást ad. 1.2.8. Követezmény Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf T V terminálhalmazzal. Eor létezi egy G = (V, E ) irányítatlan páros gráf, melyre T V és u, v T, κ G (u, v) = κ G (u, v). Cheuri, Ruanchanunt és Xu adta egy hatéony algoritmust a fenti reduált gráf megtalálására. 1.2.9. Tétel (Cheuri, Ruanchanunt, Xu) [4] Egy n csúcsú és m él G gráfra és T terminálhalmazra a reduált gráf iszámítható O( T nm) id ben. 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo Az elemösszefügg ség fogalmát el ször Fran, Ibarai és Nagamochi ([8]) vezette be, amior egy egyszer általánosítást adta Nagamochi és Ibarai ([18]) orábbi eredményére. Ez egy lineáris idej algoritmus volt, ami egy -élösszefügg (-csúcsösszefügg egyszer ) gráfban talál egy legfeljebb V él -élösszefügg (-csúcsösszefügg ) részgráfot. Az elemösszefügg eset ad egy általánosítást a mási ett re, illetve egy hasznos eszöz lehet bizonyos gyaorlati problémá ezelésére: biztonságos hálózato tervezésénél soszor egy adott gráfna nem a pontos elemösszefügg ségi értéeit szeretnén meghatározni, hanem hogy egy adott -ra -elemösszefügg -e. Eor az élszámot lineáris id ben V -re csöentve a orábban említett, lineárisnál evésbé hatéony algoritmuso futásidejét javíthatju. Ebben a szecióban Fran, Ibarai és Nagamochi ciét ([8]) övetve az általános tételt fogom bemutatni. Jelölés G = (V, E) irányítatlan gráf, x V, Y V. Jelölje d(y, x) azon éle számát, melyene egyi vége x, a mási vége pedig Y -ban van. Deníció G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf. V egy v 1, v 2,..., v n max-vissza sorrend, ha minden 1 < i < j n-re sorbarendezése d(v i 1, v i ) d(v i 1, v j ) (1.3.1) ahol V h = v 1,..., v h. 10

1. Elemösszefügg ség 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo 1.3.1. Állítás Ha G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf, aor létezi V -ne max-vissza sorrendje. Bizonyítás Válasszun egy tetsz leges csúcsot v 1 -ne. Ezután, ha a v 1,..., v i csúcsoat már meghatároztu, v i+1 -ne válasszun egy olyan csúcsot V \V i -b l, melyre d(v i, v i+1 ) maximális. Jelölés Legyen v 1,..., v i egy max-vissza sorrend az irányítatlan G csúcsain. Egy e = v i v j élre (i < j) legyen t(e) := v i és h(e) := v j. Az e él fejéne nevezzü h(e)-t, a farána t(e)-t. Deníció G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf. E egy e 1, e 2,..., e m sorbarendezése megengedett, ha t(e i ) t(e j ) minden 1 i < j m esetén. 1.3.2. Megjegyzés Ha G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf, aor létezi E-ne megengedett sorrendje. Deníció G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf, e 1, e 2,..., e m az éle egy megengedett sorrendje, illetve pozitív egész. Legyen eor G = (V, E ) az a részgráfja G-ne, amit úgy apun, hogy itörlün G-b l minden olyan e élt, amit a megengedett sorrendben megel z legalább darab olyan e él, melyre h(e ) = h(e). 1.3.3. Megjegyzés E V (mivel minden csúcs legfeljebb él feje lehet). 1.3.4. Megjegyzés V egy max-vissza sorrendje G-ben max-vissza sorrend G -ban is. 1.3.5. Tétel (Nagamochi, Iabarai) [18] G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf. Eor (i) λ G (x, y) min(λ G (x, y), ) minden x, y V csúcspárra. (ii) Ha G egyszer, κ G (x, y) min(κ G (x, y), ) minden x, y V csúcspárra. 1.3.6. Követezmény G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf. Eor (i) G aor és csa aor -élösszefügg, ha G is. (ii) G aor és csa aor -csúcsösszefügg, ha G is. 1.3.7. Követezmény G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf. (i) Ha G -élösszefügg, aor létezi -élösszefügg, legfeljebb V él részgráfja. (ii) Ha G egyszer és -csúcsösszefügg, aor létezi -csúcsösszefügg, legfeljebb V él részgráfja. Jelölés Egy G = (V, E) gráfban X V. Jelölje S(X) azon éle halmazát, amine legalább egy végpontja X-ben van. 11

1. Elemösszefügg ség 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo Jelölés Egy G = (V, E) gráfban X, Y V. Jelölje E(X, Y ) azon éle halmazát, amine egyi végpontja X-ben, a mási Y -ban van. Legyen továbbá d(x, Y ) = E(X, Y ). Jelölés Egy G = (V, E ) részgráfban X V. Jelölje S (X), E (X, Y ), d (X, Y ) a fenti halmazoat, illetve mennyiséget G -re. Deníció Legyen G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf T V terminálhalmazzal. Azt mondju, hogy a gráf T -egyszer, ha bármelyi ét V \T -beli csúcs özött legfeljebb egy él van. 1.3.8. Megjegyzés Ha T =, a T -egyszer ség az egyszer séggel evivalens. 1.3.9. Tétel (Fran, Ibarai, Nagamochi) [8] G = (V, E) összefügg, huromentes, irányítatlan gráf T V terminálhalmazzal. Ha G T -egyszer, κ G (x, y) min(κ G (x, y), ) minden x, y V csúcspárra. 1.3.10. Lemma Legyen G = (V, E ) egy T -egyszer részgráfja G-ne. Legyen továbbá v 1,..., v n a csúcso max-vissza sorrendje, valamint C = (A, Z, B) egy vegyes vágás, ami elválasztja v i és v j csúcsoat (i < j). Jelölje F az E (A, B) élhalmazt. Eor V i 1 Z + S (V i 1 ) F d (V i 1, v j ) (1.3.2) Bizonyítás Indució j, majd i szerint: tegyü fel, hogy az állítás igaz minden olyan (i, j ) párra, amire i < j, illetve vagy j < j, vagy j = j és i < i. Legyen p := d (V i 1, v j ). A max-vissza sorrend miatt d (V i 1, v i ) p. Így, ha minden e E ({v h }, {v i }) élre (h < i) igaz, hogy v h Z vagy e F, aor minden e E (V i 1, {v i })-re vagy t(e) V i 1 Z, vagy e S (V i 1 ) F. Mivel G T -egyszer, d (V i 1 Z, v i ) V i 1 Z, így észen vagyun. Ha létezi egy e E ({v h }, {v i })\F (továbbra is h < i), amire v h V i 1 \Z. Tegyü fel, hogy az ilyene özül h maximális. Eor C elválasztja v h -t és v j -t. Legyen J := (E ({v z }, {v j }) : h z < i). 1. eset: Minden e J-re t(e) Z vagy e F. A lemmát alalmazva i := h-ra és j := j-re adódi, hogy V h 1 Z + S (V h 1 ) F d (V h 1, v j ) = p J (1.3.3) Ebb l pedig, ihasználva a T -egyszer séget V i 1 Z + S (V i 1 ) F V h 1 Z + S (V h 1 ) F + J = p (1.3.4) Így észen vagyun ezzel az esettel. 2. eset: Létezi egy e J, amire t(e ) / Z és e / F. Legyen v s := t(e ). Eor s h és C elválasztja v s -t és v i -t. Legyen I := (E ({v z }, {v i }) : s z < i). Mivel h-t maximálisna választottu, minden e I élre e F vagy t(e) Z. A lemmát alalmazva i := s-re és j := i-re adódi, hogy V s 1 Z + S (V s 1 ) F d (V s 1, v i ) = d (V i 1, v i ) I p I (1.3.5) Ebb l pedig V i 1 Z + S (V i 1 ) F V s 1 Z + S (V s 1 ) F + I p (1.3.6) 12

1. Elemösszefügg ség 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo Ezzel észen vagyun. Bizonyítás (1.3.9) Ha i < j, G i részgráfja G j -ne és κ G i (x, y) κ G j (x, y). Ha κ G (x, y) <, aor κ G (x, y) κ G (x, y), ahol := κ G (x, y), így észen vagyun. Ha κ G (x, y), legyen G := G és tegyü fel, hogy κ G (x, y) <. Eor 1.1.2 miatt létezi egy -nál isebb C = (A, Z, B) vegyes vágás, ami elválasztja x-et és y-t. Mivel κ G (x, y), ell lennie egy e E({v i }, {v j })\E ({v i }, {v j }) élne, hogy v i A és v j B. Az általánosság megsértése nélül feltehetjü, hogy i < j. Mivel e nem éle G -ne, G deníciójából d (V i 1, v j ) + E ({v i }, {v j }). A lemmát alalmazva megapju, hogy V i 1 Z + S (V i 1 ) F d (V i 1, v j ) E ({v i }, {v j }) (1.3.7) Ebb l Z + E (A, B) V i 1 Z + S (V i 1 ) F + E ({v i }, {v j }) (1.3.8) Így ellentmondást aptun. 1.3.11. Követezmény Minden G = (V, E) összefügg T -egyszer gráfna van ét szomszédos x, y csúcsa, hogy κ G (x, y) = d(x). Bizonyítás Vegyü V egy max-vissza sorrendjét. Legyen x := v n és y := v i, ahol v i a legnagyobb sorszámú szomszédja v n -ne. Nyilvánbaló, hogy κ G (x, y) d(x), ezért elég a mási irányt belátni. Legyen G := G és (A, Z, B) egy minimális vegyes vágás v i és v n özött. 1.1.2 miatt a vágás mérete κ G (x, y). Alalmazzu a 1.3.10 lemmát G -re j := n választással. Azt apju, hogy Mivel itt E({v i }, {v n }) F, azt apju, hogy V i 1 Z + S (V i 1 ) F d (V i 1, v n ) (1.3.9) κ G(x, y) = Z + F V i 1 Z + S (V i 1 ) F + E({v i }, {v n }) d (V i 1, v n )+ E({v i }, {v n }) = d(v n ) és ezt aartu belátni. (1.3.10) 1.3.12. Megjegyzés Ha G-ne legalább ét éle van, aor tartalmaz legalább ét csúcspárt a fenti tulajdonsággal. Bizonyítás A fenti bizonyításban tetsz leges v 1,..., v n max-vissza sorrendet használtun és aptun egy {v i, v n } csúcspárt a eresett tulajdonsággal. Legyen u 1,..., u n egy max-vissza sorrend, hogy u 1 := v n. Ez biztosan egy ülönböz sorrend, így, mivel G-ne legalább ét éle van, a fenti módon apott {u j, u n } ülönbözi {v i, v n }-t l. 1.3.13. Követezmény Ha egy T -egyszer G gráfban valamilyen x, y csúcsora κ G (x, y) =, aor az et elválasztó méret vegyes vágáso családja ugyanaz G-ben és G +1 -ben. 13

1. Elemösszefügg ség 1.3. Rita elemösszefügg részgráfo Bizonyítás Jelölje a G-beli ilyen vágáso családját F(G). Jelölje G = (V, E ) G +1 -et. F(G) F(G ), mivel ha egy F(G)-beli ( méret ) vágást nem tartalmazna F(G ) (vagyis itöröltü az egyi vágó élt), az adna G -ben egy -nál isebb vágást x és y özött. Ha egy F(G )-beli (A, Z, B) vágás nincs benne F(G)-ben, az azt jelenti, hogy létezi egy G-b l itörölt e = v i v j él, ami E(A, B)-ben van. Ebb l d (V h 1, v j ) + E ({v i }, {v j }) + 1 így a lemma miatt Z + E (A, B) + 1, ami ellentmondás. 14

2. Steiner-fá 2. Steiner-fá Deníció Legyen G = (V, E) egyszer, irányítatlan gráf, T V a terminálo halmaza. G egy részgráfja Steiner-fa, ha fagráf és tartalmazza T összes elemét. Deníció Nevezzü Steiner-csúcsona G V \T -beli csúcsait. A Steiner-fa paolási probléma alatt a maximális számú diszjunt Steiner-fá eresését értjü. Az ismert összefügg ségi fogalma alapján megülönböztetjü az éldiszjunt és elemdiszjunt Steiner-fá paolását. Külön csúcsdiszjunt esetre nincs szüség, mivel 1.2.4 szerint feltehetjü, hogy T független halmaz G-ben, így 1.2.6 alapján ét Steiner-fa belül csúcsdiszjunt, ha elemdiszjunt. A probléma ét extremális esete a gráfelmélet egy-egy özismert eredményét taarja: Ha T = 2, legyen mondju T = {s, t}. Eor minden s t út Steiner-fa, illetve minden Steiner-fa tartalmaz egy s t utat. Így az éldiszjunt (elemdiszjunt) Steiner-fá maximális száma megegyezi az éldiszjunt (elemdiszjunt, ami itt egyben belül csúcsdiszjunt is) s t uta maximális számával. Ezere jó araterizációt ad Menger tétele (1.1.1), amir l már orábban is esett szó. Ha T = V, az elemdiszjuntság evivalens az éldiszjuntsággal. A Steiner-fa paolás itt a maximális számú éldiszjunt feszít fa eresését taarja. Erre a problémára Tutte ([20]) és Nash-Williams ([19]) adott megoldást. Jelölés G = (V, E) irányítatlan gráf. Jelölje P a V csúcshalmaz P = {V 1, V 2,..., V h } nemüres részhalmazora való felosztásaina halmazát. Jelölés P P felosztásra jelölje E G (P ) a P -ben szerepl ülönböz részhalmazoat összeöt éle halmazát. 2.0.1. Tétel (Tutte, Nash-Williams) [20] [19] G = (V, E) irányítatlan gráf aor és csa aor tartalmaz éldiszjunt feszít fát, ha minden P P felosztásra E G (P ) ( P 1). Deníció Egy G gráf partíció-összefügg ségéne nevezzü a értéet. min E G(P ) P P P 1 (2.0.1) 2.0.2. Követezmény G éldiszjunt feszít fáina maximális száma megegyezi G partícióösszefügg ségével. 2.0.3. Követezmény Ha G 2-élösszefügg, aor tartalmaz éldiszjunt feszít fát. Bizonyítás Ha G 2-élösszefügg, minden P P felosztásra igaz, hogy bármelyi részhalmazt legalább 2 él hagy el, így E G (P ) (2 P )/2 = P ( P 1). 15

2. Steiner-fá 2.1. Éldiszjunt eset Fran, Király és Kriesell ([9]) általánosította a problémát hipergráfora: Jelölés H = (V, E) hipergráf. Jelölje P a V csúcshalmaz P = {V 1, V 2,..., V h } nemüres részhalmazora való felosztásaina halmazát. Jelölés P P felosztásra jelölje E H (P ) a P felosztást metsz éle halmazát. Deníció Azt mondju, hogy egy H = (V, E) hipergráf -partícióösszefügg, ha V minden P P felosztására E H (P ) ( P 1). 2.0.4. Tétel (Fran, Király, Kriesell) [9] Ha H hipergráf -patíció-összefügg, aor tartalmaz hiperéldiszjunt összefügg feszít részhipergráfot. A Steiner-fa paolás problémája NP-teljes a övetez esetere: 2.0.5. Tétel (Kasi) [11] Általános gráfban 2 éldiszjunt Steiner-fa eresése NP-teljes. 2.0.6. Tétel (Cheriyan, Salavatipour) [5] Általános gráfban 2 elemdiszjunt Steiner-fa eresése NP-teljes. Viszont születte fontos eredménye, ami a gráf összefügg sége alapján orlátot adna a Steiner-fá számára. A fejezet további részében ezeet az eredményeet fogom ismertetni. 2.1. Éldiszjunt eset Kriesell a övetez sejtést vetette fel 2003-ban: 2.1.1. Sejtés (Kriesell) [13] Ha T 2-élösszefügg G-ben, aor létezi éldiszjunt Steiner-fa. Enne egy bizonyított speciális esete 2.0.3, ahol T = V. Az általános sejtés a mai napig nyitott probléma, viszont születte ülönböz özelít eredménye: 2.1.2. Tétel (Lau) [14] Ha T 26-élösszefügg G-ben, aor létezi éldiszjunt Steiner-fa. 2.1.3. Tétel (West, Wu) [21] Ha T 6,5-élösszefügg G-ben, aor létezi éldiszjunt Steiner-fa. 2.1.4. Tétel (DeVos, McDonald, Pivotto) [7] Ha T (5 + 4)-élösszefügg G-ben, aor létezi éldiszjunt Steiner-fa. Fran, Király és Kriesell ([9]) belátta továbbá a övetez tételt: Deníció Egy hipergráf rangjána a legnagyobb hiperél elemszámát nevezzü. 2.1.5. Tétel (Fran, Király, Kriesell) [9] Ha H (q)-élösszefügg és a rangja legfeljebb q, aor tartalmaz hiperéldiszjunt összefügg feszít részhipergráfot. 16

2. Steiner-fá 2.2. Elemdiszjunt eset Ezt felhasználva adta egy újabb eredményt a Steiner-fa paolási probléma egy speciális esetére: 2.1.6. Tétel (Fran, Király, Kriesell) [9] Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf, T V terminálhalmaz. Ha T 3-élösszefügg G-ben, továbbá U := V \T független halmazt alot, aor létezi éldiszjunt Steiner-fa. Bizonyítás Induciót alalmazun a µ G := Σ(max(0, d G (v) 3) : v U) (2.1.1) értére. Tegyü fel, hogy µ G = 0, vagyis minden U-beli csúcs foa legfeljebb 3. 1.2.4 szerint feltehetjü, hogy T is független halmaz G-ben. Így G páros a T és U színosztályoal. Legyen H = (T, E) a G páros gráfna megfelel hipergráf (minden u U csúcsna megfeleltetün egy hiperélt, ami u G-beli szomszédaiból áll). Mivel minden U-beli csúcs foa legfeljebb 3, H rangja is legfeljebb 3. Legyen egy = X T -re X azon U-beli eleme halmaza, amine legalább egy szomszédju van X-ben és legfeljebb egy T \X-ben. Mivel minden U-beli csúcs foa legfeljebb 3, d G (X X ) = d H (X). Így a G-beli (3)-élösszefügg ségb l övetezi H (3)-élösszefügg sége. Alalmazzu a 2.1.5 tételt. Eor U felosztható diszjunt részhalmazra (U 1,..., U ), hogy minden i = 1,..., -ra V U i induál egy összefügg részgráfot G-ben (G i = (V U i, E i )). Minden G i tartalmaz egy F i feszít fát. Mivel eze diszjunta, megaptu a éldiszjunt Steiner-fát. Tegyü fel, hogy µ G pozitív és a tétel igaz minden G gráfra, amire µ G < µ G. Legyen s U egy csúcs, amire d G (s) 4. Ha létezi olyan e él G-ben, hogy G e nem összefügg, aor minden terminál G e-ne ugyanabban a omponensében van, mivel T 3-élösszefügg G-ben. Eor elhagyhatju a mási omponenst a 3-élösszefügg ség elrontása nélül. Tehát feltehetjü, hogy G 2-élösszefügg. Mader tétele (1.2.2) alapján létezi ét él E-ben (e = vs és f = zs), hogy e-t és f-et icserélve egy vz élre a loális élösszefügg sége nem csöenne. Vagyis a apott G gráfban T továbbra is 3élösszefügg és µ G < µ G. Az induciós feltétel miatt eor létezi éldiszjunt Steiner-fa G -ben. Ha eze özül valamelyi tartalmazza a leemelt vz élt, aor ezt visszacserélve e-re és f-re apun egy Steiner-fát G-ben. 2.2. Elemdiszjunt eset Az elemdiszjunt Steiner-fa paolás problémájával el ször Hind és Oellermann ([10]) foglalozott, amior Menger csúcsösszefügg ségi tételéhez hasonló eredményeet utatta 2-nél több csúcsra. A övetez éppen fogalmaztá meg a többcsúcsú Menger-problémát : Legyen G = (V, E) egyszer irányítatlan gráf, T V. Ha annyit tudun G-r l és T -r l, hogy T = = t 2, T független halmaz G-ben, valamint κ G (T ), aor t és függvényében garantáltan hány belül csúcsdiszjunt (azaz elem-diszjunt) T -t tartalmazó fa van G-ben? 17

2. Steiner-fá 2.2. Elemdiszjunt eset Jelölés T (G, T ) a T -t tartalmazó, G-ben elemdiszjunt Steiner-fá maximális számosságú halmaza. Jelölés b(t, ) = min{ T (G, T ) : T V (G), T = t, κ G (T ) } Ha t = 2, minden út a ét terminál özött Steiner-fa, illetve minden Steiner-fa tartalmaz egy utat a ét terminál özött. Így az elemdiszjunt Steiner-fá maximális száma megegyezi a ét terminál özötti elemdiszjunt uta maximális számával. Más szóval 2.2.1. Megjegyzés 1 : b(2, ) = Ha G-ne van olyan Steiner-csúcsa, hogy amit elhagyva T elemei nem ugyanabba az összefügg omponensbe erülne, aor minden Steiner-fána tartalmaznia ell ezt a csúcsot. Emiatt 2.2.2. Megjegyzés t 2 : b(t,1) = 1 Legyen t 3 és 2. Teintsü azt a gráfot, amit úgy apun, hogy egy 2t hosszú ör minden csúcsát összeötjü egy 2 méret li minden csúcsával, és a terminálo halmaza a ör minden másodi eleme. T -elemösszefügg ebben a gráfban, mivel bármelyi terminálpár özött vezet a ör mentén 2 út, illetve a li minden eleme megad egy-egy 2 hosszú utat özöttü. A Steiner-fá maximális száma nem lehet, mert legfeljebb 2 fa tartalmazhat csúcsot a lib l (minden li-csúcs csa egy fában lehet), illetve legfeljebb 1 olyan fa lehet, ami nem tartalmaz li-csúcsot. Ugyanaor 1 diszjunt fát apun, ha minden li-csúcsra vesszü az t minden terminállal özvetlenül összeöt csillagot, illetve a örb l egy él ihagyásával apott utat. Ebb l adódi, hogy 2.2.3. Megjegyzés t 3, 2 : b(t, ) 1 Ennél er sebb fels orlát is létezi: 2.2.4. Tétel (Hind, Oellermann) [10] Ha t 2 és 2, aor 1 b(t, ) t 1 t (2.2.1) 2 Bizonyítás Az állítás azzal evivalens, hogy minden t-re és -ra létezi olyan gráf, amiben a t elem terminálhalmaz -elemösszefügg és legfeljebb 1 t 1 t 2 elemdiszjunt Steiner-fát tartalmaz. Ezt úgy látju be, hogy onstruálun egy olyan H -élösszefügg multigráfot T -n, mint csúcshalmazon, amine legfeljebb 1 t 1 t 2 feszít fája van, majd minden élét felosztju egy-egy Steiner-csúccsal. Tegyü fel, hogy t 1. Eor legyen = (t 1)q + r, ahol 0 r t 2, illetve legyen T = = {s 1, s 2,..., s t }. H-t a övetez módon apju: El ször minden 1 i < j t-re össü össze s i -t és s j -t q éllel. Ha r = 0, észen vagyun (minden terminálpár -elemösszefügg, összesen t él van és minden feszít fa t 1 él ). Másülönben tegyü fel, hogy r > 0. Kössü össze s 1 -et a s t, s t 1,..., s t r+1 csúcsoal. Ezután teintsü s 2 -t. Ha d(s 2 ) <, legyen d 2 = d(s 2 ). Kössü össze s 2 -t s t r -t l ezdve (modulo t) csöen sorrendben haladva a {s j : 3 j t} halmazból d 2 csúccsal. Eor s 1 és s 2 foa. Teintsü s 3 -at és járjun el s 1 -hez és s 2 -höz hasonlóan. Miután ezt a lépést megtettü minden csúcsra, 18

2. Steiner-fá 2.2. Elemdiszjunt eset s 1,..., s t 1 foa és s t foa vagy + 1 (pontosan aor + 1, ha t és páratlan). Az így apott H -élösszefügg és legfeljebb t 2 1 éle van, így maximálisan t 1 t 2 feszít fát tartalmaz. Tegyü fel, hogy < t 1. Eor legyen H a övetez : össü össze s i -t és s j -t, ha (modulo t) j i /2. Ha páros, észen vagyun: minden foszám, összesen t/2 él van, minden fa t 1 él, továbbá önnyen látható, hogy H -élösszefügg. Ha páratlan, minden 1 i t-re tegyü a övetez t: ha ds i <, aor össü össze s i -t a (modulo t) utána jöv els 1 foú csúccsal, amivel még nincs összeötve. Ha t páros, észen vagyun, mivel minden foszám, összesen t/2 él van, minden fa t 1 él és itt is önnyen látható, hogy H -élösszefügg. Ha t és is páros, az egyetlen imaradó 1 foú csúcsot össü össze egy olyan csúccsal, amivel még nincs összeötve. Eor egy ivétellel minden foszám, egy csúcs foa + 1, így a összesen szintén t 2 él van és H eor is -élösszefügg. Ez a orlát éles t = 3, illetve t = 4 esetén: 2.2.5. Tétel (Hind, Oellermann) [10] Ha 2, aor 2.2.6. Tétel (Hind, Oellermann) [10] Ha 2, aor Általános t-re a probléma nyitott. 2.2.7. Sejtés (Hind, Oellermann) [10] Ha t 2 és 2, aor b(3, ) = 1 2 3 (2.2.2) 2 1 b(4, ) = 4 1 4 2 = 2 3 (2.2.3) 1 b(t, ) = t 1 t (2.2.4) 2 Egy mási speciális esete az elemdiszjunt Steiner-fa paolás problémájána, amior G sígráf. Erre a övetez eredmény ismert: 2.2.8. Tétel (Aazami, Cheriyan, Jampani) [1] Legyen G = (V, E) sígráf T V terminálhalmazzal. Ha T -elemösszefügg G-ben, aor létezi 2 1 elemdiszjunt Steiner-fa G-ben. Az általános esetre Cheriyan és Salavatipour ([6]) adott egy egyszer randomizált approximációs algoritmust. El ször visszavezetté az általános problémát arra az esetre, amior G páros gráf (lásd: 1.2.5). Ezután a páros gráf Steiner-csúcsait véletlenszer en iszínezté 6 log n színnel, majd bebizonyítottá, hogy az így eletezett színosztályo 1 1 valószín séggel egy-egy összefügg elemdiszjunt feszít részgráfot adna meg. Ezeb l iválasztható log n 6 log n elemdiszjunt Steiner-fa a páros gráfban. 2.2.9. Állítás Legyen G a G-b l (1.2.5) alapján reduciós lépéseel apott páros gráf. Eor elemdiszjunt Steiner-fá egy tetsz leges halmaza G -ban megad ugyanennyi elemdiszjunt Steiner-fát G-ben. Bizonyítás Végezzü el a reduciós lépéseet visszafele : vegyün fel új élt a Steiner-csúcso özött vagy húzzun szét egy Steiner-csúcsot (a rá illeszed éleet az eredeti gráf alapján elosztju a ét eletezett 19

2. Steiner-fá 2.2. Elemdiszjunt eset csúcs özött). Nyilvánvaló, hogy a G -beli Steiner-fá G-ben is Steiner-fá leszne. Mivel minden Steinercsúcsot legfeljebb 1 G -beli fa tartalmaz, a széthúzott csúcsoat is legfeljebb 1 G-beli fa tartalmazza, vagyis a apott fá is elemdiszjunta. 2.2.10. Tétel (Cheriyan, Salavatipour) [6] Létezi polinom idej, véletlenszer algoritmus, ami 1 1 log n valószín séggel talál Ω( log n ) elemdiszjunt Steiner-fát. C alinescu, Cheuri és Vondrá mutatott hasonló elven m öd determinisztius özelít algoritmust: 2.2.11. Tétel (C alinescu, Cheuri, Vondrá) [2] Egy -elemösszefügg gráfban mindig létezi Ω( log T ) elemdiszjunt Steiner-fa, és eze polinom id ben megtalálható. 20

3. Steiner-erd 3. Steiner-erd Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf, illetve {T 1, T 2,..., T h, W } egy diszjunt halmazora való felosztása V -ne. A T i halmazo elemeit terminálona, W elemeit Steiner-csúcsona hívju. Jelölés T = i T i az összes terminál halmaza Deníció Steiner-erd ne hívju G egy olyan részgráfját, ami erd és minden i-re T i ugyanabban a fájában tartalmazza (egy fa tartalmazhat több ülönböz T i -t is). összes elemét A Steiner-erd paolási probléma alatt a maximális számú diszjunt Steiner-erd eresését értjü. A továbbiaban csa az elemdiszjunt esettel foglalozun. 1.2.4 alapján feltehetjü, hogy nincsene éle a terminálo özött: ha adott elemdiszjunt Steiner-erd egy halmaza a módosított gráfban, a felosztott éleet leemelve ugyanannyi elemdiszjunt Steiner-erd t apun az eredeti gráfban. Így 1.2.6 alapján elég csa az elvágó (nem-terminál) csúcshalmazoat vizsgálnun az általánosabb vegyes vágáso helyett. 3.0.1. Állítás Ha = min i κ G (T i), aor legfeljebb elemdiszjunt Steiner-erd létezi G-ben. Bizonyítás Menger tétele (1.1.2) alapján létezi egy elem S elvágó Steiner-csúcshalmaz, ami valamilyen i-re elválaszt ét T i -beli terminált (jelöljü et u-val és v-vel). Eor ha egy fa tartalmazza u-t és v-t, tartalmaznia ell egy elemet S-b l. Így legfeljebb S = elemdiszjunt fa tartalmazhatja T i -t. Egy speciális esete enne a problémána, amior h = 1. Eor elemdiszjunt Steiner-fa paolásról beszélün. Az el z fejezetben láttu Cheriyan és Salavatipour ([6]) algoritmusát, mely során a Hind és Oellermann ([10]) által bevezetett reduciós lépést használva a globális elemösszefügg ség megtartásával visszavezetté a problémát arra az esetre, amior G páros gráf, majd véletlenszer színezéssel találta elemdiszjunt Steiner-fáat. Hasonló módszerrel adott Cheuri és Korula ([3]) algoritmust az általános Steiner-erd problémára. Ebben a fejezetben az eredményeiet teintjü át. 3.1. Algoritmus Steiner-erd paolásra El ször vezessü vissza a problémát páros gráfra. Cheriyan és Salavatipour a reduciós lépésne csa a globális elemösszefügg séget megtartó tulajdonságát használta i. Ez erd esetén nem lesz elég, hiszen magas κ G (T i) értée mellett a ülönböz T i - elemei özött lehet icsi a loális elemösszefügg ség, így κ G (T ) is icsi. Ez motiválta [3] szerz it anna bebizonyítására, hogy a reduciós lépés a loális elemösszefügg ségeet is megtartja (lásd 1.2.7). Így a Steiner-erd paolási problémát is elég a 1.2.8 övetezményben szerepl páros gráfra vizsgálni, mert a benne talált Steiner-erd a redució visszafordításával is Steiner-erd et adna. Jelölés Egy S V csúcshalmazra G S az S elemeine itörlésével apott gráf. 21

3. Steiner-erd 3.1. Algoritmus Steiner-erd paolásra Deníció Legyen G = (V, E) gráf T 1, T 2,..., T h terminálhalmazoal, hogy minden i-re κ G (T i). Eor Steiner-csúcso egy S halmazát jó szeparátorna hívju, ha (i) S /2 (ii) Létezi G S-ne olyan omponense, amiben a terminálo 3.1.1. Megjegyzés Ha κ G (T ) 2 log h, aor az üres halmaz jó szeparátor. 2 log h -elemösszefügg 3.1.2. Lemma Legyen G = (V, E) gráf T 1, T 2,..., T h terminálhalmazoal, hogy minden i-re κ G (T i). Eor létezi olyan algoritmus, ami polinom id ben talál egy jó szeparátort. Bizonyítás Az egyszer ség edvéért jelölje 2 log h-t µ. Tetsz leges terminálpár elemösszefügg sége iszámítható egy maximális folyam algoritmussal. Így terminálo tetsz leges A halmazára iszámítható κ G (T ) polinom id ben. Ha κ G (T ) µ, aor az üres halmaz jó szeparátor, az algoritmus leáll. Másülönben létezi Steiner-csúcsona egy isebb, mint µ méret halmaza, ami elválaszt ét terminált. Legyen S 1 a minimális ilyen halmaz és teintsü G S 1 omponenseit. Eor minden i-re T i összes eleme ugyanabban a omponensben van, mivel κ G (T i) és S 1 <. G S 1 legalább egy terminált tartalmazó omponensei özül teintsü azt, ami a legevesebb T i terminálhalmazt tartalmazza. Legyen ez G 1. A minimalitás miatt T 1, T 2,..., T h özül legfeljebb h/2 van G 1 -ben. Ha κ G (T ) µ, aor S 1 jó szeparátor, az algoritmus leáll. Másülönben létezi Steiner-csúcsona egy isebb, mint µ méret S 2 halmaza, ami elválaszt ét terminált G 1 -ben. Hasonlóan legyen G 2 a G 1 S 2 omponensei özül a legevesebb (de nem 0) T i terminálhalmazt tartalmazó. A minimalitás miatt T 1, T 2,..., T h özül legfeljebb h/4 van G 2 -ben. Ismételjü ezt az eljárást, amíg egy µ-elemösszefügg G l részgráfot apun. Ilyet biztosan találun, mivel a vizsgált részgráf minden iteráció után legfeljebb fele annyit tartalmaz T 1, T 2,..., T h, mint el tte. Amior már csa egy ilyen terminálhalmazt tartalmaz, aor biztosan µ-elemösszefügg, mert a T i - -összefügg. Vagyis l log h. Eor S = l S j (3.1.1) j=1 egy jó szeparátor, mivel legfeljebb (log h)µ = /2 méret, illetve elválasztja a G l -beli termináloat a többit l (minden T i vagy teljesen G l -ben van, vagy teljesen rajta ívül és a G l -belies µ-elemösszefügg ). Könnyen látható, hogy az algoritmus polinom idej, hiszen O(log h) maximális folyam algoritmust futtattun, illetve ugyanennyiszer megszámoltu a eletezett részgráfoban a termináloat. 3.1.3. Tétel (Cheuri, Korula) [3] Legyen G = (V, E) gráf T 1, T 2,..., T h terminálhalmazoal. Ha minden i-re κ G (T i), aor létezi polinom idej algoritmus, ami talál Ω( log T log h ) elemdiszjunt Steiner-erd t. Bizonyítás Induciót alalmazun h-ra. h = 1-re alalmazzu a Steiner-fa paoló algoritmust, így találun G-ben 6 log T elemdiszjunt Steiner-fát. 22

3. Steiner-erd 3.1. Algoritmus Steiner-erd paolásra Feltehetjü, hogy G páros. A lemma alapján polinom id ben találun egy S jó szeparátort és G S-ne egy G l omponensét, amiben a terminálo 2 log h-elemösszefügg. Eor a Steiner-fa paoló algoritmus talál G l -ben 12 log h log T elemösszefügg Steiner-fát. Tudju, hogy ezen fá özül egyi sem tartalmaz S-beli csúcsot. Számozzu meg a fáat 1-t l 12 log h log T -ig és jelölje T j a j-edi fát. S elválasztja G l -t a G G l -beli terminálotól. Ha S tartalmazásra nem minimális ilyen halmaz, hagyjun el bel le csúcsoat, amíg az nem lesz. Töröljü i G l -t G-b l, majd össü össze S minden elemét egymással. Az így apott gráfot jelöljü G -vel. Minden G -beli terminálpárna legalább aora az elemösszefügg sége, mint ameora G-ben volt, továbbá G h h 1 terminálhalmazt tartalmaz T 1, T 2,..., T h özül. Az induciós feltevésb l találun elemdiszjunt Steinererd t G -ben. Számozzun meg özülü erd t. 12 log h log T < 12 log h log T 12 log h log T erd t 1-t l 12 log h log T -ig és jelölje F j a j-edi Eze az erd tartalmazhatna néhányat az S elemei özé felvett éle özül. Viszont azt állítju, hogy a G -beli F j erd a G l -beli T j fával Steiner-erd t ad G-ben. Ez csa aor nem igaz, ha F j tartalmaz egy élet az S-beli u és v csúcso özött. Mivel S tartalmazásra minimális, minden eleme szomszédos egy G l -beli terminállal. Eze viszont minden G l -beli Steiner-fában benne vanna, így létezi T j -ben út egy u-val és egy v-vel szomszédos terminál özött. Ez ad egy utat u és v özött, így ha itöröljü az uv élt F j -b l, F j T j -ben minden T i terminálhalmaz összefügg. Tehát minden 1 j 12 log h log T -re F j T j csúcsai adna egy Steiner-erd t G-ben. Ez polinom id ben lefut, mivel polinom id ben találun jó szeparátort, majd reurzívan meghívju az algoritmust G -re. Mivel G a T i terminálhalmazo özül h h 1-et tartalmaz, legfeljebb h n alalommal történi reurzív hívás. 23

4. Elemösszefügg irányítás 4. Elemösszefügg irányítás Deníció Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf, T V terminálhalmaz, r T egy terminál. Eor E egy irányítását r gyöer -elemösszefügg Steiner-irányításna hívju, ha r-b l az összes többi terminálba halad elemdiszjunt irányított út. 4.0.1. Megjegyzés Ha G fagráf, T a levele halmaza és = 1, aor (egyértelm en) létezi r-gyöer -elemösszefügg Steiner-irányítás. 4.0.2. Követezmény Ha G tartalmaz elemdiszjunt Steiner-fát, aor létezi r gyöer -elemösszefügg Steiner-irányítás. A fogalom általánosítható hipergráfora. Deníció Legyen V csúcshalmaz. Irányítatott hiperélne hívun egy = a V halmazt egy iemelt elemével, amit a hiperél farána, míg a többi elemet a hiperél fejeine hívju. Deníció H = (V, A) irányított hipergráfban irányított útna hívju bizonyos csúcso és hiperéle olyan {v 0, a 0, v 0, a 0,..., a 1, v } váltaozó sorozatát, amire igaz, hogy minden 0 i < -ra az a i hiperélne v i a fara, v i+1 pedig valamelyi feje. Deníció Legyen H = (V, E) irányítatlan hipergráf, T V terminálhalmaz, r T egy terminál. Eor E egy irányítását r gyöer -összefügg Steiner-irányításna hívju, ha r-b l az összes többi terminálba halad hiperéldiszjunt irányított út. Király és Lau a övetez tétel láttá be hipergráfo irányítására: 4.0.3. Tétel (Király, Lau) [12] Legyen H = (V, E) irányítatlan hipergráf, T V terminálhalmaz, r T egy terminál. Ha T 2-hiperélösszefügg H-ban, aor létezi r gyöer -összefügg Steinerirányítás. Enne egy speciális esete, ha minden hiperél 2-elem : 4.0.4. Követezmény Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf, T V terminálhalmaz, r T egy terminál. Ha T 2-élösszefügg G-ben, aor létezi r gyöer -élösszefügg Steiner-irányítás. Elemösszefügg irányításra a övetez tétel ismert: 4.0.5. Tétel (Király, Lau) [12] Legyen G = (V, E) irányítatlan gráf, T V terminálhalmaz, r T egy terminál. Ha T 2-elemösszefügg G-ben, aor létezi r gyöer -elemösszefügg Steiner-irányítás. Bizonyítás Legyen G a 1.2.5 alapján a G-b l reducióval apott páros gráf. Tudju, hogy G is 2elemösszefügg. Legyen H = (T, E) a G által generált hipergráf (minden Steiner-csúcsra felveszün egy hiperélt, ami az adott csúcs szomszédaiból áll). Eor H 2-hiperélösszefügg, így alalmazható 24

4. Elemösszefügg irányítás rá 4.0.3, tehát létezi rajta r gyöer -összefügg Steiner-irányítás. Ez ad egy olyan -elemösszefügg irányítást G -ban, amire minden Steiner-csúcs befoa 1. Húzzu szét azoat a Steiner-csúcsoat, ami a redució során egy összehúzásból eletezte, az éleiet osszu szét az eredeti gráfna megfelel en. Egy széthúzás után a ét eletezett csúcs özül az egyi befoa 1, a másié 0, így a öztü húzódó új élt a 0 befoú csúcs felé irányítva továbbra is minden csúcs befoa 1. Megaptu tehát G-ne egy 2-elemösszefügg feszít részgráfját egy r gyöer -elemösszefügg Steiner-irányítással. G többi élét tetsz legesen irányíthatju. 25

4. Elemösszefügg irányítás Összegzés A dolgozatban el ször az elemösszefügg ség fogalmát vizsgáltu. Láttu, milyen eseteben melyi orábban ismert összefügg ségi fogalommal egyezi meg, majd általánosítottu Menger tételét. Bebizonyítottu Hind és Oellermann reduciós lépéséne a globális, majd pedig a loális elemösszefügg séget megtartó tulajdonságát, illetve meggyeltü, hogyan alaítható a segítségével tetsz leges gráf páros gráffá. Beláttu Fran, Ibarai és Nagamochi tételét, miszerint egy gráfban mindig létezi az eredetivel azonos globális elemösszefügg ség rita részgráf. Ezután bemutattu a legfontosabb ismert eredményeet az élösszefügg Steiner-fa paolás problémájára: ismertettü a Kriesell-sejtést, valamint a vele apcsolatban eddig elért részeredményeet. Ezen ívül bemutattu Hind és Oellermann elemösszefügg Steiner-fára vonatozó sejtését és néhány részeredményüet, majd felvázoltun egy véletlen algoritmust Steiner-fá eresésére. Ezt felhasználva a Steiner-erd paolás problémájára is láttun egy algoritmust. Végül megnéztü, mior van -elemösszefügg Steinerirányítása egy irányítatlan gráfna. 26

Hivatozáso [1] A. Aazami, J. Cheriyan and K. Jampani, Approximation Algorithms and Hardness Results for Pacing Element-Disjoint Steiner Trees in Planar Graphs Algorithmica, 63 (2012), pp. 425-456. [2] G. C alinescu, C. Cheuri and J. Vondrá, Disjoint bases in a polymatroid, Random Structures Algorithms, 35 (2009), pp. 418-430. [3] C. Cheuri and N. Korula, A graph reduction step preserving element-connectivity and pacing Steiner trees and forests, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 28 (2014), pp. 577-597. [4] C. Cheuri, T. Ruanchanunt and C. Xu, On element-connectivity preserving graph simplication. In Nihil Bansal and Irene Finocchi, editors, Algorithms ESA 2015, volume 9294 of Lecture Notes in Computer Science, pages 313324. Springer Berlin Heidelberg, 2015. [5] J. Cheriyan and M.R. Salavatipour, Hardness and approximation results for pacing Steiner trees, Algorithmica, 45 (2006), pp. 21-43. [6] J. Cheriyan and M.R. Salavatipour, Pacing element-disjoint Steiner trees, ACM Trans. Algorithms, 3 (2007), 47. [7] M. DeVos, J. McDonald, I. Pivotto, Pacing Steiner trees arxiv preprint, arxiv:1307.7621 (2013) [8] A. Fran, T. Ibarai and H. Nagamochi, On sparse subgraphs preserving connectivity properties, J. Graph Theory, 17 (1993), pp. 275-281. [9] A. Fran, T. Király and M. Kriesell, On decomposing a hypergraph into connected sub-hypergraphs, Discrete Applied Mathemathics, 131 (2003), pp. 373-383. [10] H.R. Hind and O. Oellermann, Menger-type results for three or more vertices, Congr. Numer., 113 (1996), pp. 179-204. [11] Petteri Kasi, Pacing Steiner trees with identical terminal sets, Information Processing Letters, 91 (2004), pp. 15. [12] T. Király and L.C. Lau, Approximate min-max theorems for Steiner rooted-orientations of graphs and hypergraphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 98 (2008), pp. 1233-1252. [13] M. Kriesell, Edge-disjoint trees containing some given vertices in a graph, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 88 (2003), pp. 53-65. [14] L.C. Lau, An Approximate Max-Steiner-Tree-Pacing Min-Steiner-Cut Theorem Combinatorica, 27 (2007), pp. 71-90. 27