Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 1 / 23
Tartalom 1 Lineáris algebra emlékeztető Vektorterek, vektorok Mátrixok ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 2 / 23
Tartalom 1 Lineáris algebra emlékeztető Vektorterek, vektorok Mátrixok ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 3 / 23
Vektortér - összeadás A V halmazt a T test feletti vektortérnek nevezzük, ha a következő vektortéraxiómák teljesülnek: A V halmaz elemein értelmezve van egy + : V V V összeadás művelet, amely u, v V -hoz egyértelműen hozzárendeli az u + v V elemet. Ezen összeadás műveletre igaz, hogy asszociatív: u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) kommutatív: u, v : u + v = v + u létezik nullelem, azaz 0 V : u V : 0 + u = u minden elemre létezik ellentett, azaz u V : ( u) V : u + ( u) = 0 ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 4 / 23
Vektortér - skalárral szorzás A V halmazt a T test feletti vektortérnek nevezzük, ha a következő vektortéraxiómák teljesülnek: A T test és a V halmaz között pedig értelmezve van egy : V T V skalárral szorzás művelet: bármely λ T és u V párhoz egyértelműen hozzárendelünk egy λ u -val jelölt, V -beli elemet. Erre a skalárral szorzás műveletre teljesül, hogy α, β T, u V : (α + β) u = α u + β u α T, u, v V : α (u + v) = α u + α v α, β T, u V : (αβ) u = α (β u) 1-gyel jelölve a T test egységelemét u V : 1 u = u Axiómák következményei: ld. linalg! Megjegyzés: a továbbiakban nem írjuk ki a műveleti jelet ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 5 / 23
Vektortér: sík; Helyvektorok ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 6 / 23
Vektortér: sík; Helyvektorok ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 6 / 23
Vektorok összeadása: a + b ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 7 / 23
Vektorok összeadása: a + b ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 7 / 23
Vektorok összeadása: a + b ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 7 / 23
Vektorok összeadása: a + b ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 7 / 23
Vektorok összeadása: a + b ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 7 / 23
Vektorok összeadása: a + b ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 7 / 23
Vektorok kivonása: a + ( b) ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 8 / 23
Vektorok kivonása: a + ( b) ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 8 / 23
Skalárral szorzás: λa ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 9 / 23
Skalárral szorzás: λa ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 9 / 23
Skalárral szorzás: λa ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 9 / 23
Műveletek vektorokkal Vektor hossza: a = a 2 = n 1 i=0 a2 i Skaláris szorzat (valós számtest felett): a, b = n 1 i=0 a ib i Vektor hossza skaláris szorzattal: a = a, a (indukált norma) ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 10 / 23
Műveletek vektorokkal Vektor hossza síkban: a = [ ax a y ] = ax 2 + ay 2 Skaláris szorzat sík helyvektorai között: a, b = a x b x + a y b y Skaláris szorzat vektor hosszakkal: a, b = a b cos α, ahol α az a és b vektorok által bezárt szög A fenti kettő ugyanazt adja: a x b x + a y b y = a b cos α Térben: ugyanígy! Kérdés: mekkora szöget zárnak be egymással az [ ] [ ] 1 1, vektorok? 0 1 ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 11 / 23
Műveletek vektorokkal Vektoriális szorzat síkban: a b egy olyan vektor, amely merőleges a-ra és b-re, jobbsodrású rendszert alkot a és b vektorokkal és a b = a b sin α, ahol α az a és b vektorok által bezárt szög Térben két vektor vektoriális szorzata a x b x a y b z a z b y a b = a y b y = a x b z + a z b x a z b z a x b y a y b x Többi: később ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 12 / 23
Tartalom 1 Lineáris algebra emlékeztető Vektorterek, vektorok Mátrixok ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 13 / 23
Mátrix Legyen T egy kommutatív test és k, n adott pozitív egészek. Ekkor a T test feletti k n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van és minden eleme T -ből való. A = a 0,0 a 0,1... a 0,n 1 a 1,0 a 1,1... a 1,n 1............ a k 1,0 a k 1,1... a k 1,n 1 ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 14 / 23
Mátrixok összeadása Legyen A, B T k n. Ekkor A + B = = a 0,0 a 0,1... a 0,n 1 a 1,0 a 1,1... a 1,n 1............ a k 1,0 a k 1,1... a k 1,n 1 + b 0,0 b 0,1... b 0,n 1 b 1,0 b 1,1... b 1,n 1............ b k 1,0 b k 1,1... b k 1,n 1 a 0,0 + b 0,0 a 0,1 + b 0,1... a 0,n 1 + b 0,n 1 a 1,0 + b 1,0 a 1,1 + b 1,1... a 1,n 1 + a 1,n 1............ a k 1,0 + b k 1,0 a k 1,1 + b k 1,1... a k 1,n 1 + b k 1,n 1 ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 15 / 23
Mátrixok skalárral szorzása Legyen A T k n, λ T. Ekkor λa = λ = a 0,0 a 0,1... a 0,n 1 a 1,0 a 1,1... a 1,n 1............ a k 1,0 a k 1,1... a k 1,n 1 λa 0,0 λa 0,1... λa 0,n 1 λa 1,0 λa 1,1... λa 1,n 1............ λa k 1,0 λa k 1,1... λa k 1,n 1 ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 16 / 23
Mátrixok összeadása és skalárral szorzása Tétel A k n-es mátrixok összeadása asszociatív, kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. A T számtest elemeivel való skaláris szorzással pedig A, B T k n, α, β T : (α + β)a = αa + βa α(a + B) = αa + αb (αβ)a = α(βa) 1-gyel jelölve a T test egységelemét 1A = A A k n-es mátrixok halmaza a mátrixok összeadásának és mátrixok T -beli skalárral való szorzásának műveletével vektorteret alkot T felett. ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 17 / 23
Mátrixok szorzása egymással Legyen A T k n és B T n r. Ekkor C = AB T k r mátrix i-edik sorának j-edik eleme n 1 c ij = a is b sj s=0 ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 18 / 23
Mátrixok szorzása egymással ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 19 / 23
Mátrixok szorzása egymással ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 19 / 23
Mátrixok szorzása egymással ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 19 / 23
Mátrixok szorzása egymással ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 19 / 23
Mátrixok szorzása egymással ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 19 / 23
Mátrixok szorzása egymással Legyenek A, B, C tetszőleges olyan mátrixok, amelyeken a következő szorzásműveletek értelmezve vannak és legyen λ T. Ekkor a mátrixok szorzása asszociatív: A(BC) = (AB)C disztributív az összeadásra: A(B + C) = AB + AC és (A + B)C = AC + BC λ(ab) = (λa)b = A(λB) Fontos: a mátrix szorzás nem kommutatív! ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 20 / 23
Mátrixok, determináns Az n n-es mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak T felett. Az egységelemet (egységmátrixot) I -vel jelöljük Egy A mátrixnak létezik (kétoldali) inverze, ha van olyan A 1 mátrix, amelyikre teljesül, hogy AA 1 = A 1 A = I. Figyeljünk: (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1 (ha létezik) Tétel Az A négyzetes mátrixnak pontosan akkor létezik kétoldali inverze, ha det(a) 0 Házi feladat: Hogyan számoljuk egy mátrix determinánsát? Mik a tulajdonságai? Aldeterminánsok, kifejtések. Hogyan írhatjuk fel egy mátrix inverzét determináns és adjungáltakkal? ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 21 / 23
Mátrixok determinánsai 2x2-es mátrix determinánsa: [ ] a b = ad bc c d 3x3-as mátrix determinánsa: a b c d e f = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg) g h i ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 22 / 23
Mátrixok inverzek 2x2-es mátrix inverze: [ ] 1 a b = c d 3x3-as mátrix inverze: HF! 1 ad bc a b c d e f g h i 1 [ d ] b c a =? ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014. őszi félév 23 / 23