Név: Salamon Péter Dokumentáció I. Elméleti áttekintés A felaat a nematikus folyaékkristályok térbeli irektoreloszlásának moellezése volt. Folyaékkristályos mezofázisok egyensúlyi állapota jól jellemezhetı a molekulák átlagos irányultságát leíró irektortér segítségével. Ha a renszerünk aott hımérséklető hıtartállyal áll kapcsolatban, ahol csak hıtranszport engeélyezett, termoinamikai egyensúlyi állapot esetén a szabaenergia-sőrőség minimális. A folyaékkristályok szabaenergia-sőrőség funkcionálja külsı terek és egyéb kölcsönhatások nélkül a rugalmas eformációhoz kapcsolóó tagokból áll: rr r r r r r r ρ f = K ( n) + K ( n( n)) + K ( n ( n)) (.) ahol: n = n(r) a irektortér, K K K rugalmas állanók. További kölcsönhatások figyelembe vétele, mint pélául a külsı terek hatásai (mágneses, elektromos) és a ferroelektromos kölcsönhatás után a szabaenergia minimumát variációszámítási mószerek segítségével határozhatjuk meg, rögzített határfeltételek mellett. Az ebbıl nyert ifferenciálegyenletet megolva megkapjuk a irektoreloszlást a paraméterek függvényében. (pl. mágneses, elektromos tér, anyagi állanók). Jelen esetben homogén mágneses tér jelenlétével is számoltunk, így megjelenik egy mágneses tag a szabaenergiasőrőségben. Összesítve tehát: rr r r r r r r r r ρ f = K ( n) + K ( n( n)) + K ( n ( n)) µ χ ( nh ) a (.) A leíranó renszerünket a következıképpen képzelhetjük el: Aott két párhuzamos síklap, egymástól távolságra: Az egyik (x,z) sík y = ban, a másik (x,z) sík y = ben. A lapokat elıször tekintsük végtelennek, hogy kihasználhassuk az ebbıl következı szimmetriákat. Ezek miatt csak egy imenziós problémát kell megolanunk. φ legyen a irektor és az x tengely által bezárt szög. A mágneses tér legyen homogén és párhuzamos az y tengellyel. Ekkor: π φ, r n = φ φ ( cos,sin,) r H = (, H y,) Ha (.)-t, (.)-t, és (.)-t beírjuk (.)-be, az alábbit kapjuk: (.) (.) (.)
φ φ ρ f = K cos φ + K sin φ µ χ sin φ H y y a (.6) Egyensúlyi állapotban (.6) funkcionál minimális. Ekkor φ kielégíti a hozzá tartozó Euler- Lagrange egyenletet: y ρ f φ ' ρ f = φ (.7) Behelyettesítés után a következı nemlineáris közönséges ifferenciálegyenletet kapjuk: sin χa sin cos + sin + + = φ φ φ φ ( K φ K φ ) ( K K ) B y y µ (.8) (.8) peremérték problémájának numerikus megolását keressük a következı feltételek mellett: φ() φ( ) = áll. ( pl. ) (.9) A irektoreloszlást közvetlenül nem lehet mérni, viszont bizonyos mennyiségek csatolónak a irektorhoz. Pl. permittivitás. Megmutatható, hogy a ielektromos állanó lokálisan az alábbi móon függ φ-tıl: ε ( φ) = ε cos φ + ε sin φ (.) m p ahol ε m és ε p a ielektromos állanó, ha a irektorra merılegesen (φ = ) illetve azzal párhuzamosan (φ = Pi/) mérjük. A ielektromos állanót kapacitásméréssel tujuk meghatározni. Most tekintsük a fentebb leírt renszerünket azzal a különbséggel, hogy a végtelen síkok helyett legyenek A területő négyzetek. A szél-effektusok elhanyagolása akkor a jó közelítést, ha A (.) Ebben az esetben egy üres cella (síkkonenzátor) kapacitása: C üres A = ε (.) Folyaékkristállyal töltve (térben változó irektoreloszlás mellett) peig a következı összefüggés alapján számolhatjuk:
C y = ε A (.) ε ( y) Az eigiek alapján megajuk az effektív ielektromos állanóra vonatkozó képletet: ε eff = y (.) ε cos ( ) sin ( ) m φ y + ε p φ y A jelen elrenezésben a φ fix (és ) peremekhez képesti nem nulla megváltozását csak egy küszöbtér meghalaása után tapasztalhatjuk. A irektortér mágneses térrel való megváltoztatását (vagy akár a teljes átorientálást) mágneses Freeericksz-átmenetnek hívjuk. (.8)-ból kiinulva aható egy jó becslés a küszöbtérre: B crit ( a) π µ K χ = (.) a II. Numerikus megolás MATLAB segítségével Az (.8) egyenlet numerikus megolását a freemo matlab függvény aja: function [y phi eeff] = freemo(k,k,chia,ep,em,b,,p,p) Bemenet: rugalmas állanók (k,k), párhuzamos és merıleges ielektromos állanók (ep,em), mágneses szuszceptibilitás anizotrópiája (chia), mágneses inukcióvektor nagysága (b), a lemezek távolsága() és a peremfeltételek (p,p - φ konstans értéke a két lemezen) Kimenet: y(phi) vektorok, eeff az effektív permittivitás. A peremérték-problémát az erre alkalmas matlab-solverrel (bvpc) oljuk meg. Ennek szüksége van a megoláshoz közeli kezeti initial guess re. A tapasztalatok alapján ennek minél pontosabb megaása nagyban hozzájárul ahhoz, hogy minél mereekebb ( stiff ) problémákat oljuk meg pontosan és stabilan. Fizikai szemlélettel tekintve a problémát, sejtjük, ha nagyon nagy mágneses teret aunk a cellára, akkor az anyagban a irektor nagyrészt párhuzamos lesz a térrel (feltéve, hogy a mágneses szuszceptibilitás anizotrópiája pozitív), ezért a peremeknél nagyon éles változást kell, hogy szenvejen. Az initial guess-t tehát egy megfelelıen transzformált kapufüggvény Fourier-soraként ajuk meg. A megolanó (.8) egyenletet át kellett írnunk egy elsıfokú ifferenciálegyenletrenszerré, mert a solver ebben a formában tuja kezelni.
Az effektív permittivitást már a solver megolásának felhasználásával, trapézformula segítségével az (.) alapján számoljuk. III. A grafikus felület ismertetése A jobb kezelhetıség és áttekinthetıség érekében a freemo megolómaghoz készült a camhf nevő MATLAB GUI. A bejelentkezı képernyı alább látható: Megahatjuk a különbözı paramétereket, a numerikus értékek minig SI-ben értenık. Az alapértelmezett aatok a ClPbisBB jelő anyagra vonatkoznak. Sajnos a MATLAB grafikus objektumok String tulajonságában nem mőköik a TeX/LaTeX támogatás ezért a gombokon és a paneleken nem lehetett görög betőket használni. A mágneses inukció megaása után a phi(y) gombra kattintva láthatóvá válik a φ y- függése. Az effektív permittivitás térfüggésének moellezéséhez meg kell anunk a kezeti (B), a végsı (Bmax) teret és az osztópontok számát (n). Az e-eff(b) gomb lenyomása után egy kis iı múlva megjelenik a térfüggés grafikonja. A D cut gomb aott térnél szemlélteti a molekulák irányítottságát (vagyis a irektort) a cella egy imenziós metszetében. A Results panelen láthatók az ereményül kapott mennyiségek e-eff jelöli konstans térnél az effektív ielektromos állanót, B-crit jelöli az aott elrenezésben a Freeericksz-átmenethez tertozó, térfüggésbıl grafikusan számított küszöbteret. B-crit(a) az (.)-bıl származó értéket jelöli. IV. Eremények
Szögprofil B = Tesla és B = Tesla tér mellett: 9 9 8 8 7 7 6 6-6 x - - 6 x - 6 x - 6 x - - - 6 x - - - 6 x - Látszik, hogy nagy tér mellett élessé válik az eloszlás. A küszöb alatt nincs torzulás. Ezt szemlélteti az alábbi B =. T és B =. T beállítással készült grafikon: 9 9 8 8 7 7 6 6-6 x - - 6 x - A metszeteken jól látható a kezeti planáris orientáció változatlansága:
6 x - 6 x - - - 6 x - - - 6 x - A térfüggés ereményei, Bmax = T és Bmax = T esetén ( n = ): 7 6.8 6.6 6. 6. 7 6.8 6.6 6. 6. 6 6.8.6.. -....6.8..8.6.. - 6 8 A küszöbtér meghatározásánál behúztuk a zöl egyenest, ami a görbe legmereekebb érintıje és megnéztük, hogy hol metszi a e-eff = ep = állanó egyenest. A metszéspontba pirossal behúztuk a küszöbteret jelzı aszimptotát. Az iroalmi viselkeés kvalitatíve teljesen jól egyezik az fentebb számoltakkal. V. Felhasznált iroalom: Bata Lajos: Folyaékkristályok (Mőszaki Kiaó)(986) Buka Ágnes, Éber Nánor: Folyaékkristályok c. ea. jegyzet (ELTE) () D. Wiant, N. Éber, T. Katona, A. Jákli, Phys. Rev. E7, 7 ()