Elôzó A terézet a ateatika nyelén íródott. (Galileo Galilei, 1564 1642) Ha azt, airől zó an, érni tudjuk, akkor a tárgyról tudunk alait, a azonban ne tudjuk záokkal egadni, akkor ieretünk zegénye é ne kielégítő. (Lord Kelin, 1824 1907) Azoknak, akik ne ierik a ateatikát, neézéget okoz kereztüljutni a zépég alódi érzééez, a legélyebb zépégez, a terézetez... Ha a terézetről akarz tanulni, éltányolni akarod a terézetet, aoz zükég an arra, ogy értd a nyelét, ain zól ozzád. (Ricard Feynan, 1918 1988) Háro különböző korzak legtekintélyeebb fizikuától idéztünk. Ne eglepő ódon ugyanazt angúlyozták: a ateatika fontoágát a terézet egieréében. Teát a alaki a fizikáal kíán foglalkozni, akkor ne nélkülözeti a egfelelő zintű ateatikai iereteket, é azt a kézéget, ogy a felerülő probléákkal a ateatika ezközeiel i tudjon foglalkozni. Így nyilánalóan a fizika oktatáában i eg kell, ogy jelenjenek a ateatikai ezközöket igénylő feladatok, ezt egyébként az érettégi köetelényrendzer i egyértelűíti. Ezért a feladatgyűjteény nagyzáú, különböző neézégi zintű záoláo feladatot tartalaz az érettégi, alaint a kerettanteri köetelényeknek egfelelően. A köny özeállítáánál azt tartottuk ze előtt, ogy a középikolai tanulányok alatt az folyaatoan aználató legyen. Az új fogalak é törények egierée után egoldató egyzerűbb példák éppúgy zerepelnek a példatárban, int az érettégi előtt álló diákok záára kitűzött özetettebb probléákat tartalazó feladatok. Akik pedig a fizikai feladatok rabjaiá áltak, é zíeen oldanak eg erenyfeladatokat i, zintén találnak fejezetenként egykét ilyen típuú, kiíát jelentő feladatot. A ateatika azonban cupán egy ezköz, igaz, a legfontoabb, a fizika űelééez. Cak akkor tudjuk eredényeen aználni ezt az ezközt, a ierjük a fizika fogalait, értjük törényeit. A feladatgyűjteény teát ne nélkülözeti az ieretélyítő, gondolkodtató, éréelező, agy logikai feladatokat e. Miel az érettégi feladatorokban az ilyen jellegű feladatok főként teztek forájában jelennek eg, ezért a feladatgyűjteényben az egye fejezetekez jelentő zában catoltunk teztkérdéeket i. Az eelt zintű érettégi köetelényei között zerepel, ogy a jelöltnek átfogó ieretei legyenek az egye téakörökről, é erről egadott zepontok zerint ezét tudjon írni. Eiatt a feladatgyűjteény fejezetenként 23 ezékérdét i tartalaz. Egy jó feladatgyűjteénytől elárató az, ogy az önálló tanulát i leetőé tegye. Ebben egít a feladatgyűjteényez kézült egoldákötet, aely tartalazza az öze feladat rézleteen kidolgozott egoldáát.
Beezeté A feladatgyûjteény felépítée A feladatgyűjteény a jelenleg érényben léő kerettanterekben (NAT 2012) előírt középikolai tananyag téaköreit tartalazza. A feladatok neézégi zintje alkalazkodik az érettégi izga köetelényeiez. A példatárban a 14 fejezet téája egegyezik a középikolai kerettanteri köetelényekben, így a középikolai tankönyekben léő téakörökkel. Az egye téakörököz kínált feladatok jól kiegézítik a fizikatankönyek feladatanyagát. A feladatgyűjteény tanórai é ottoni gyakorláoz egyaránt aználató. A fejezetek feladattípuai: alapozófeladatok, gyakorlófeladatok, teztek, ezékérdéek, kiíát jelentő feladatok. Az alapozófeladatok a téakörök egye leckéiez kötetők, így tanórai agy ázi feladatokként egyaránt feladatók, toábbá dolgozatra aló felkézüléez i ajánljuk. Ezek a feladatok az alapfogalak egértéét, az adott leckében tanult özefüggéek begyakorláát egítik elő. A gyakorlófeladatok a téakör élyebb elajátítáát zolgálják. Az egye feladatok a téakör több leckéjének, illete korábbi téaköröknek az ieretanyagára i épületnek. Jólleet a gyakorlófeladatokat ne álogattuk zét téakörök zerint, de itt i ügyeltünk arra, ogy a feladatok orrendje a tananyag feldolgozáát köee. A gyakorlófeladatok egoldáát a gyakorlóórákra jaaoljuk, ezt köetően a aonló típuú példák feladatóak ázi feladatnak. Ezek a feladatok alkalaak differenciált tanórai unkára, a jobb tanulók önállóan i egoldatják azokat. A teztek egítégéel gyakorolató a egiert fizikai fogalak, törények alkalazáa, ezáltal a tudá elélyítető. Az érettégire aló felkézülét i egítik. Alkalaak az elajátított ieretek ellenőrzéére. Az ezékérdéek, elyek a fejezet tananyagát feldolgozó irányított kérdéorok, az eelt zintű érettégi izgára kézítenek fel. Jaaoljuk a középikolai éek alatt a folyaato egoldáukat, izen ezek a középikolai tananyag élyebb elajátítáát i egítik. Azon diákok záára, akik jobban el zeretnének élyedni a fizikafeladatok rejteleiben, ajánljuk a fejezetek égén találató kiíát jelentő feladatokat. Ezek a feladatok neezebb, özetettebb, erenyzintű feladatok. Néely példa kizáítááoz olyan adatokra i zükég leet, elyek a feladatban ne zerepelnek. Ezek az adatok a Négyjegyű függénytáblázatokban egtalálatóak, é erre a feladat zöegében fel i íjuk a figyelet. A feladatgyűjteény feladatait kettő záozáal láttuk el. Az elő zá a téakör orzáát, a áodik zá pedig a feladat téakörön belüli orzáát utatja. Az eelt zintű érettégi anyagát feldolgozó feladatok orzáa fekete elyett zürke. Azoknál a feladatoknál, aol ne az egéz feladat eelt zintű, ott cak az eelt zintű rézfeladat betűjele zürke. A feladatgyűjteényben zereplő grafikonok, rajzok é fotók orzáa annak a feladatnak a orzááal egyezik eg, aiez az adott ábra tartozik.
6 Beezeté Hogyan oldjunk eg fizikafeladatot? A köetkezőkben néány jó tanácot adunk, elyek figyelebeétele egít a feladatok egoldáában. A záítáo fizikafeladatok egoldáát terézeteen a feladat zöegének alapo elolaááal kezdd. Ha az elő olaá után ég tanáctalan agy, célzerű akár többzör i újra elolani a feladat zöegét. A feladat zöegében zereplő adatokat gyűjtd ki, é a zükége, egyégeítd a fizikai ennyiégek értékegyégeit. Előfordulat az i, ogy a feladat zöege egy adatot közetetten tartalaz, például a űold indig a Föld ugyanazon pontja felett an. Ez az inforáció azt jelenti, ogy a űold keringéi ideje (egy kör egtételének ideje) é a Föld forgái perióduideje (1 nap) egyenlő. Az adatok kiíráa után fogalazd eg a feladat kérdéeit i. Sok feladat egértéét egíteti, a el tudod eélni a benne zereplő történetet. Miközben eleéled agadban a feladat történetét, kézít ázlatrajzot. A rajz kézítée közben közelebb kerületz a probléáoz. Az i előfordulat, ogy a izgált történet több epizódra tagolódik. A rajz alóban ázlato legyen, azaz a leető legegyzerűbb. Például egy kineatikai feladatban zereplő autót gyakran elég egy pici négyzettel jelölni. A ázlatrajzra ne írj záokat. Áttekintetőbb a unkád, a a záok elyett a feladatban zereplő fizikai ennyiégek jele kerül a rajzra. Gondolkozz el azon, ogy a feladat történetében ilyen fizikai jelenégek zerepelnek. Idézd fel, ogy az adott fizikai jelenégeket ilyen fizikai ennyiégek írják le. Gyakran a egfelelő fizikai ennyiég értelezée elezet a feladat egoldááoz. Má eetekben fogalazd eg a zóba jöető fizikai ennyiégek kapcolatát leíró törényeket i. Minden törénynek egan az érényeégi feltétele. Mielőtt alkalazod őket, izgáld eg, ogy teljeüle az alkalazni kíánt törény érényeégi feltétele. Például a ecanikai energiák egaradáának tétele akkor alkalazató, a a izgált tetre cak konzeratí erők atnak. A feladatban zereplő, adott jelenéget leíró törény a ateatika nyelén i egfogalazató, legtöbbzör egy egyenlet felírááal. Előfordulat, ogy a probléa izgálata több egyenlet felíráát i egkíánja. Az így nyert egyenletrendzert ateatikai ezközökkel tudod egoldani. Akkor lez elegán a egoldáod, a ne elyetteítez be rögtön a egoldá elején, ane égig paraétereen (a fizikai ennyiégek betűjeleit aznála) dolgozol. Ilyenkor az eredényt i paraétereen kapod eg. Ez leetőéget ad arra, ogy a izgált jelenégről általáno egállapítát tegyél. A paraétereen kifejezett égeredénybe elyetteítd be az adatokat! A fizikai ennyiégnek necak a záértékét, ane a értékegyégét i érdee beelyetteíteni, é elük i elégezni a kijelölt űeleteket. Ez egyben ellenőrzét i jelent. Leetége, ogy kezdetben neézéget okoz az egyenletrendzer paraétere egoldáa. Terézeteen az a egoldá i elye, a rögtön beelyetteítez a izgált egyenletrendzerbe, é így oldod eg az egyenletet, illete egyenletrendzert. Így i egkapatod a elye égeredényt, izont egfoztod agad attól az örötől, ait az általáno gondolatok egfogalazáa kínál. A beelyetteíté után kapott égeredény alódiágát érdee ellenőrizned. Végül adj egy röid zöege álazt a feladatban egfogalazott kérdére! Ha úgy érzed, ogy egoldottad a feladatot, érdee azt ég egyzer elolanod, ogy tényleg a kérdére adtále álazt, illete inden kérdére egadtade a álazt. Célzerű a tankönyed leckéiben léő kidolgozott feladatokat otton, önállóan, figyeleen áttanulányozni. Eközben i igen okat tanulatz.
Beezeté 7 A teztfeladatok (feleletálaztó feladatok) egítik felérni, ogy elajátítottade a tananyagot. A középzintű érettégin a teztfeladatok az alapető ieretek, alkalazáok, köetkeztetéek záonkéréére zolgálnak. Olyan jelenégekre, özefüggéekre kérdeznek rá a teztek, elyekről zelélete képpel kell rendelkezned. A teztfeladatok többnyire egy kérdéből állnak, é a felkínált 34 leetége álazból kell kiálaztanod a elyeet agy a aiat. Sokzor érdee azt a tratégiát alkalaznod, ogy előzör egpróbálz a feltett kérdére álazolni, é cak ezután nézed eg, ogy az általad adott egoldá elyik felkínált álaznak felel eg. Az eelt zintű érettégin ár élyebb tudá i elárató. Az előzőeken túl olyan teztfeladat i leetége, aelynek egálazoláa cak egy röidebb záítáo feladat egoldáa után leetége. Ezékérdé cak az eelt zintű írábeli érettégin zerepel. Ebben a feladattípuban fizikai jelenégekre onatkozó kérdéeket találz. Terézeteen ne elég az, ogy égigaladz a kérdéeken, é indegyikre egyegy elye álazt adz. A egoldáod akkor lez igénye, a egy olyan fogalazát kézítez, aelynek a ezérfonalát, ázlatát a feladatban egtalálató kérdéek adják. Folyaato zöeget kézít, egéz ondatokban fejtd ki a gondolataidat. Az általad alkotott zöeg legyen tagolt, a ondatokon túl tartalazat rajzot, táblázatot, grafikont, képleteket. Ügyelj a elyeírára, aználd a zakzaakat! Grafikonok, táblázatok elezée é kézítée A fizikafeladatok egy rézében a történetet, a jelenéget grafikonnal zeléltetjük, grafikonnal ondjuk el. A feladatod ilyen eetben az, ogy kiolad a benne rejlő inforációkat, adatokat. A grafikon az eetek többégében két fizikai ennyiég közötti özefüggét ábrázol, teát lényegében egy olyan ateatikai függény, ainek a független áltozójáoz é a függényértékéez i egyegy fizikai ennyiéget rendelünk. A grafikon bizonyo eetekben cak a zereplő fizikai ennyiégek jelét é a görbét, görbéket (egyenet, egyeneeket) tartalazza. Ilyenkor kalitatí (inőégi) egállapítáokat teetünk, int például: a két ennyiég között lineári kapcolat an, agy az egyik folyaat gyorabban játzódik le, int a áik, agy létezik egy időpont, aikor két tet éppen azono elyen an. Jó példa erre az 1.121. feladat, ainek a grafikonjáról leolaató, ogy a kérdée tet ebeége zakazonként lineárian nöekzik, de a nöekedé értéke egyre kiebb, bizonyo időpontokban pedig a ebeég iránya előjelet ált é nagyága cökken. Má V ( 3 ) 150 100 50 0 0 100 200 300 400 5.87. ábra T (K) 1.121. ábra eetben a grafikon záértékeket i tartalaz például az 5.87. feladatban, így adatokat nyeretünk a feladat egoldááoz. Gyakran a grafikon agy annak egy réze alatti területnek fonto fizikai jelentée an. Például az 1.27. feladatban a grafikonról leolaató a függények alatti területek nagyága, aik a tetek által egtett utakkal arányoak. Ilyen t
8 Beezeté k ( ) 20 10 0 0 10 20 30 40 1.27. ábra t (perc) eetben figyelni kell a értékegyégre! Az út értékegyége egydienzió (; c), a terület értékegyége kétdienzió ( ; c 2 2 ). Egy feladatot, a ne tartozik ozzá grafikon, zokáo ódon analitikuan (egyenletek felírááal, azok egoldááal) oldunk eg. Megpróbálkozatunk azonban grafiku egoldáal i, például két tet ozgáát egadó útidő függény ábrázolááal a tetek találkozái időpontja, elye a grafikonról leolaató. Olyan feladat i an, aikor grafikont kell rajzolni. Az ábrázoláoz zükége értékeket záoláal kapjuk eg. Például a 6.121. feladatban ki kell záolni, ogy a őennyiég atáára egolade a jég agy cak felelegzik. Ezután tudjuk egrajzolni a őérékletőennyiég grafikont. Előfordulat, ogy a feladat ok adat (például éréi adatok) özeetéét, elezéét kéri. Az adatok felorolázerűen rendelkezére állnak. Ilyenkor a jobb áttekintetőég érdekében érdee táblázatba foglalni azokat. De az i leet, ogy ár táblázat forájában kapjuk eg az adatokat, ilyen feladat például az 1.17. záú. Célzerű leet grafikonon ábrázolni az értékeket, ert azok egyáoz izonyított áltozáát, a tendenciákat így könnyebben ézreeetjük. A egoldáként kapott adatokat i érdee táblázatban özefoglalni. Út () 50 100 150 200 Idő (perc) 1,1 2,42 3,24 4,1 A fizikafeladatok kapcolata a alóággal A feladatok egfogalazáa orán, aol ezt a tartalo egengedte, törekedtünk arra, ogy ne záraz, a alóágtól elonatkoztatott elyzeteket ábrázoljunk. A Vízzinte íkon töegű tetre F erő at a zög alatt, a tet é a ík között an úrlódá. Mekkora a tet gyoruláa? iár zöegezé elyett zeélyeebb, a környezetünkbe elelyezett, életzerű példákat próbáltunk írni. Terézeteen ok téakörben, főleg az özetettebb feladatok eetén ez ne indig leetége, de itt i igyekeztünk jól elképzelető környezetet ábrázolni. A jól egfogalazott feladat foráját tekinte töör, egyértelű. Ne zólat azonban inden körülényről. Iereteidet, gyakorlati tapaztalataidat érlegele kell eldöntened, elyek azok a jelenégek, aiket figyelebe kell enni é iket zabad elanyagolni. Ki ebeégeknél, leegőben általában eltekintetünk a közegellenállái erő atáától, de nagyobb ebeégeknél agy ki űrűégű tetek eetében ezzel i záolni kell. Általában elondató, ogy airől a feladat ne zól, az ninc, agy atáa elanyagolató. Például az álló, illete ozgócigát tartalazó feladatok eetén, a ne zólunk a ciga tulajdonágairól, akkor elanyagolató töegűnek, úrlódáenteen forgónak tekintjük. Terézeteen a teljeen triiáli dolgokat adottnak kell tekintened, ég a ne i zól róluk a feladat. Például a jelenégek a Földön játzódnak, kiée, a külön kieeljük, ogy például a Föld körül keringő űrálloáon, agy inden bolygótól, cillagtól táol, a ilágűrben. Fizikatudáodon kíül realitáérzékedet i tudod fejlezteni a feladatok egoldáa orán. A feladat zöegének egértée után ne kezdj azonnal beelyetteíteni a egfelelőnek élt egyenletekbe! Becüld eg a árató eredény nagyágát, agy próbáld kitalálni, ogy i történik! A záítáok elégzée után pedig indig értékeld a kapott eredényt! A záértékeket úgy álaztottuk eg, ogy reáli, akár ellenőrizető i legyen a feladatban egfogalazott történé, kíérlet agy az eredény.
Beezeté 9 Ne félj akár kíérletekkel, éréekkel i ellenőrizni a kapott eredényt! Táolágot, ozzúágot könnyen tudz érni onalzóal, érőzalaggal, időt digitáli kijelzéű karóráal, telefonnal, záítógéppel, töeget (áttételeen erőt i) konyai érleggel. Erőérőt kézítetz egy expanderből agy golyótollból kizerelt rugóból, eetleg akár egy guizálból i. Iert töegű tárgyakkal tudod iteleíteni az erőérődet. Hőérő akad a lakában, jeget tudz kézíteni, izet tudz elegíteni, forralni. Multiéter elérető áron egáárolató. Érdee befektetni egybe, a étköznapokban i zükég leet rá. Ele, akkuulátor, ezeték agy an otton, agy könnyen bezerezető. Haználd a záítógép, telefon kaeráját, ikrofonját, a an, a beépített GPSt, gyoruláérzékelőt, iránytűt! A feladatok egoldáánál köetkezeteen SIértékegyégekben, az alapegyégekkel é a záraztatott egyégekkel záolj! A feladatok záértékeit gyakran zándékoan ne SIalapegyégekben adtuk eg, ane úgy, aogy a gyakorlatban például egy éré orán egkapnánk, agy aogy az adott elyzetben a legzeléleteebb. Vannak peciáli elyzetek, aikor ne kell feltétlenül az alapegyégekkel záolni, de ezekben az eetekben figyelned kell arra, ogy köetkezeteen térj el az alapegyégektől, ilyen például a 3.60. feladat. Elektroo álózatok záítáánál a V, kω, A egyégek köetkezete együtte aználata zintén egyzerűíteti a egoldá tecnikai rézét. Bizonyo elyzetekben agad i definiálatz egyégeket. A ázi értékegyégeiddel egyzerűíteted a feladat egoldáát, az eredény értékeléénél azonban figyelebe kell enni, ogy peciáli egyégben kapod azt. Erre példa az 1.90. feladat. 1.90. Építkezéen egy unkagép egy illanyozlopot úz laan aga után. Szeretnénk egtudni az ozlop ozát, ezért egyenlete ebeéggel elaladunk az ozlop ellett, é egállapítjuk, ogy 22 lépé alatt értünk a égétől az elejéig. Szeben alada ele, az elejétől a égéig 14 lépét tettünk. Milyen ozú az ozlop? Megoldá: Mot egy lépéünk ozát tekintjük a ozúág értékegyégének, é ezzel fejezzük ajd ki a illanyozlop ozát. Ez gondot okozat á, éterekben kifejezett táolágokkal aló özeaonlítában. Terézeteen, a leetőégünk lez lépéozunkat (a toábbiakban lal jelöljük) pontoan leérni é azt éterben kifejezni, akkor utólag a illanyozlop ozát eg tudjuk ajd adni éterben i. Az időt i ajáto értékrendzerben, lépéoz l lépéidőben (li) adjuk eg. Így a ebeég értékegyége = lépéidô li. l Legyen L az ozlop oza (lban kifejeze), 0 az ozlop ebeége li értékegyégben, a aját ebeégünk zintén l li értékegyégben. A feladat áodik ondatában egfogalazott állítát egy egyenletbe tudjuk átírni. Az ozlop égétől az elejéig történő 22 eljutá ideje a aját adatainkkal kifejeze: t1 =. Ugyanez az idő az ozlop adataial: 22 L t1 = 22 L 0. A két egyenlet jobb oldalát egyenlőé tée kapjuk, ogy 22 = 0 (1). A feladat aradik ondata zerint, elejétől égéig alada az ozlop ellett az eltelt idő 14 L 14 aját adatainkkal kifejeze: t2 =, ugyanez az idő az ozlop adataial: t2 =. Az 0 14 L 14 utóbbi két egyenlet özeetééből kapjuk, ogy = (2). 0 Két egyenletünk an áro ieretlennel, é ne tudunk több özefüggét felírni. Azonban a a két egyenletet eloztjuk egyáal, akkor cak egy ieretlen (L) arad: 22 22 L 14 = L 14. Ennek a egoldáa: L = 17, 11. Vagyi az ozlop oza 17,11 lépéoz.
Táblázatok Prefixuok Előtag Jele Nee Értéke Előtag Jele Nee Értéke yotta Y kadrillió 10 24 deci* d tized 10 1 zetta Z ezertrillió 10 21 centi* c zázad 10 2 exa E trillió 10 18 illi ezred 10 3 peta P ezerbillió 10 15 ikro illiood 10 6 tera T billió 10 12 nano n ezerilliood 10 9 giga G illiárd 10 9 piko p billiood 10 12 ega M illió 10 6 feto f ezerbilliood 10 15 kilo k ezer 10 3 atto a trilliood 10 18 ekto* záz 10 2 zepto z ezertrilliood 10 21 deka* da tíz 10 1 yocto y kadrilliood 10 24 A *gal jelölt négy prefixunak a aználata cak az alábbi kiétele eetekben ajánlott: Mértékegyég Jel Mértékegyég Jel ektoliter l, L centiéter c ektopacal Pa centigra cg dekagra dag agy dkg centiliter c agy cl deciliter dl agy dl centigray cgy deciéter d centiieert cs Az alábbi egyégekez tilo prefixuot kapcolni: fok, íperc, íáodperc perc, óra, nap, ét, ónap, é Celiufok cillagázati egyég, parec, fényé, tengeri érföld ektár
Táblázatok 11 Unierzáli állandók Az állandó nee Jele Gyakorlatban aznált értéke fényebeég (ákuuban) c 3 $ 10 8 A a ákuu dielektroo állandója f 0 8, 85 10 12 $ $ V $ a ákuu pereabilitáa n0 V 4 10 7 $ r $ A $ 11 graitáció állandó c 6, 67 $ 10 2 kg $ Planckállandó 6, 63 $ 10 34 J $ 3 Fizikaikéiai állandók Az állandó nee Jele Gyakorlatban aznált értéke elei tölté e 1, 6 $ 10 19 C atoi töegegyég u 1, 66 $ 10 27 kg atoi töegegyég energiaértéke E u 1, 5 $ 10 27 J E u 931,5 MeV Aogadroállandó N A 23 1 6 $ 10 ol Boltzannállandó k J 1, 38 $ 10 23 K Faradayállandó F C 96 500 ol Locidtzá (0 C, 101 325 Pa) N L 25 1 2, 7 $ 10 3 unierzáli gázállandó (Regnaultállandó) R J 8, 31 ol $ K Stefan Boltzannállandó 8 W 5, 67 $ 10 2 4 $ K Wienállandó b 2, 9 $ 10 3 $ K ideáli gáz olári térfogata (0 C, 101 325 Pa) d V 22, 41 ol 3
12 Táblázatok Megállapított tandard értékek a 12 C Az állandó nee Jele Ponto értéke óltöege M( 12 C) 12 $ 10 3 kg ol graitáció gyorulá norálértéke g N 9, 806 65 2 légköri nyoá p 101 325 Pa Atofizikai állandók Az állandó nee Jele Ponto értéke alfarézecke töege a 6, 644 $ 10 27 kg alfarézecke töege a 4, 001 u Borugár a 0 0, 529 $ 10 10 elektronugár (klaziku) r e 2, 817 $ 10 15 elektron Coptonulláoza C 2, 426 $ 10 12 deutériu töege D 3, 343 $ 10 27 kg elektron g faktor g e 2, 002 elektron ágnee oentua n e, 928 4 $ 10 26 elektron töege e 9, 109 $ 10 31 kg 4 elektron töege e 5, 485 $ 10 u éliu töege 5, 006 $ 10 27 kg üon töege n 1, 883 $ 10 28 kg neutron Coptonulláoza C, n 1, 319 $ 10 15 neutron g faktor g n 3, 826 neutron töege n 1, 674 $ 10 27 kg neutron töege n 1, 008 u proton Coptonulláoza C, p 1, 321 $ 10 15 proton g faktor g p 5, 586 proton töege p 1, 672 $ 10 27 kg proton töege p 1, 007 u Rydbergállandó R a 1, 097 $ 10 7 l J T
1. Kineatika Mozgátan Alapozófeladatok Mecanikai ozgá. Egyene onalú egyenlete ozgá. Változó ozgáok 1.1. Egyenlete ebeéggel aladtunk 10 áodpercig, é 12 éter utat tettünk eg. Utána 15 áodperc alatt zintén egyenlete ebeéggel alada 21 étert gyalogoltunk. Ábrázoljuk indkét útidő függényt egy koordinátarendzerben! Száítá nélkül állapítuk eg, ogy elyik eetben entünk gyorabban! 1.2. Egy labdarúgóérkőzé égén a tatiztikai adatok között olaatjuk, ogy az egyik játéko 8,58 kt futott a telje játékidő (90 perc) alatt. a) Mekkora olt az átlagebeége? b) Mennyire jellezi ez az adat a játéko ozgáát? 1.3. Vízzinte, ia aztallapon áro tet ozgááról kézítünk orozatfelételt azono időközökben. a) Melyik tet égez egyene onalú ozgát? b) Melyik tet ozog állandó ebeéggel? c) Melyik tet gyorul agy laul? 1.4. Egyenleteen alada at perc alatt 400 t tettünk eg. a) Mennyi utat tettünk eg a 4. percben? b) Mennyi idő alatt tezünk eg 100 étert? Az időt perc, áodperc egyégekben adjuk eg! k k 1.5. A gepárd 86 ebeéggel 40 áodpercig futott, az antilop 75 ebeéggel 50 ig. Melyikük tett eg több utat? Az ennyiel futott többet? 1.6. Két gyerek itatkozik, ogy elyikük tud gyorabban futni. Az egyik 46 étert 5,9 alatt teljeít, a áik 82 étert 10,2 alatt tez eg. Ki a gyorabb? k 1.7. Állandó, 4, 5 ebeéggel aladunk öt percig. A telje út ányadrézét tezük eg a 2 4 perc interalluban, agyi a 2. perc elejétől a 4. perc égéig? Ez ány éter? k k 1.8. Bálint 36 ebeéggel 20 percig, Lilla 26 ebeéggel 30 percig biciklizett. Melyikük tett eg több utat? Ő ány krel ent többet? 1. 2. 3. 1.3. ábra
14 Kineatika Mozgátan () 1.9. ábra 45 A 30 15 0 0 2 4 6 t () 1.9. A grafikon egy robotkarral ozgatott alkatréz ozgáának egy rézletét utatja. a) Határozzuk eg a tet ebeégét az elő é a áodik zakazon! b) Mennyi utat tett eg az alkatréz az elő négy áodperc alatt? 1.10. A Forula 1 autóerenyen az élen állónak 6 előnye an a áodikkal zeben, é ez körönként 1,7 al nöekzik. Hány kör után eet kereket cerélni, a zeretne az élre izaállni, é a cerére a ki é beálláal együtt 22 ra an zükége? 1.11. Kedenc kutyánk a áz kapujából ézreez egy 20 re léő ackát. A acka 15 re an a édelet nyújtó zozéd kaputól, aol be tud ugrani a biztonágo kertbe. k k Vane eélye a ackának egenekülni, a a kutya 50, a acka 36 ebeéggel képe futni, é az üldöző é üldözött egyzerre indulnak é egy egyene entén futnak? 1.11. ábra 1.12. Házunk kapujától egyene úton 3 perc alatt elétálunk az elő arokig. Mekkora é ilyen irányú ebeéggel étáljunk toább, a azt zeretnénk, ogy 6 perc úla az elozduláunk nulla legyen? 1.13. Egy futó ozgáát utatja a grafikon. a) Hány étert futott a telje idő alatt? b) Mennyi olt az átlagebeége? c) Mennyi olt az átlagebeége az elő 15 áodpercben? d) Mikor futott éppen az átlagebeéggel? ( ) 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 1.13. ábra t ()
Alapozófeladatok 15 1.14. Fürge Szara a Coopertezt 12 perce futáán 2,817 kt teljeített. Mennyi olt az átlagebeége? Adjuk eg az értéket k, é perc értékegyégekben i! 1.15. Mikor érünk a tőlünk 786 éter táol léő zozédo buzegállóba, a 7 : 22kor k indulunk é 4, 68 átlagebeéggel aladunk? 1.16. Beérünke becengetére (8 : 00) a tőlünk 1180 re leő ikolába, a ot 7 : 48 an k é érékelten ietünk, 4, 5 ebeéggel együnk? Milyen ebeéggel kellene aladnunk, ogy éppen beérjünk? 1.17. Megpróbáltunk egyenleteen gyalogolni. Egy ozú, egyene utcán 50 éterenként jelölét tettünk, ajd égigentünk a pályán. A ellékelt táblázatban léő időket értük. Út () Idő (perc) 50 1,1 100 2,42 150 3,24 200 4,1 Ábrázoljuk az egye zakazokon az útidő é átlagebeégidő grafikonokat! 1.18. Mennyi idő alatt érünk a tőlünk 2400 táolágban léő fitnezterebe, a az út k k egyaradát 5 ebeéggel, kétaradát 6 ebeéggel tezük eg? Az időt perc, áodperc egyégekben adjuk eg. Mennyi az átlagebeégünk a telje úton? k 1.19. A Tiza áralái ebeége azályo időben, alacony ízállánál 2. Milyen ebeéggel kell eeznünk, ogy áro óra alatt elérjünk a folyáirányban 24 kre léő kikötőbe? 1.20. Egy néet autópálya 47 ke zelényénél 13 : 40kor felajt egy koci, é egyenlete, 160 k ebeéggel alad a nöekő kiloéterzelények irányába. A 74 ke zelénynél 13 : 10kor felajtott egy áik koci, zintén a nöekő kiloéterzelények irányába, é 108 k ebeéggel alad. Hol (az autópálya elyik kiloéterzelényénél) éri utol a gyorabb koci a laúbbat? 1.21. Anikó egy futópadon előzör 10 percig Hány kiloétert tett eg? 4, ajd 6 percig 6 ebeéggel futott. 1.22. Két futó egyene úton, egyá ellől indula, ellentéte irányban kezd futni 4 é 5 ebeéggel. Ábrázoljuk a közöttük leő táolágot az idő függényében! 1.23. Az ábrán látató elyzetből egyzerre indul két pók a zákányért. a) Melyikük éri el előbb? b) Mennyi a táolág közöttük az induláuk után 8 áodperccel? pók 1 15 1.23. ábra 45 c pók 2 légy 30 c 12
16 Kineatika Mozgátan 1.24. A illaoegállóban a koci utoló ajtaján zállunk fel, de tapaztalatból tudjuk, ogy a köetkező egállóban célzerűbb az 50 re léő elő ajtón lezállni, ert a egálló elejénél an a zebra. Ezért enet közben előreegyünk az elő ajtóig. A illao a két egálló közötti 480 e táolágot 1 perc 8 áodperc alatt tezi eg. Mennyi időt nyertünk, a a ebeégünk 1? Mennyiel kellett keeebbet ennünk a zebráig, inta az utoló ajtónál aradtunk olna? 1.25. Egy eztelenciga 1, 4 ebeéggel ágtat a iar elől édelet nyújtó, 18 c táolágban leő nagy lapuleél felé. Odaére ég a 3 perc úla kezdődő iar előtt? 1.26. Zófi kerékpárral 8 ebeéggel alad 30 áodpercig. Mennyi idő alatt tez eg ugyanannyi utat a 6 ebeéggel kerekező Ildikó, int Zófi? Grafikuan oldjuk eg a feladatot! 1.27. A grafikon egítégéel állapítuk eg, ogy elyik ozgáoz tartozik a nagyobb egtett út! Hányzor nagyobb út? k ( ) 20 1.27. ábra 1.28. Uain Bolt a 2009e atlétikai 10 ilágbajnokág 100 e íkfutá záának döntőjében 20 e bontában az alábbi eredényeket érte 0 0 el: 20 : 2,89, 40 : 4,64, 60 : 6,31, 80 : 7,97, 100 : 9.58. Száítuk 10 20 30 40 t (perc) ki az egye zakazok átlagebeégét, é foglaljuk táblázatba az adatokat! Meddig nőtt az egye zakazok átlagebeége? Mekkora az átlagebeége a telje táon? 1.29. A peciáli autónk agy 4, agy 10 ebeéggel tud aladni. Úgy zeretnénk égigaladni a 600 e pályán, ogy ugyanannyi ideig aladjunk indkét ebeéggel. a) Hány éter egtétele után kell ebeéget áltanunk? b) Mennyi a telje enetidő? c) Mekkora az átlagebeég a telje útra? 1.30. Az alábbi áro útidő függény alapján álazuk ki, ogy elyikez tartozó ozgának legnagyobb a ebeége! () () () 1.30. ábra 24 500 3 0 0 0 0 5 t () 0 2 t (perc) 0 2 t () 1. 2. 3.
Alapozófeladatok 17 Egyene onalú egyenleteen áltozó ozgá. Kezdô ebe éggel rendelkezô egyenleteen áltozó ozgá 1.31. Jelleezzük annak a tetnek a ozgáát, aelynek a elyidő függényét az ábrán látató grafikon írja le! 1.32. Jelleezzük annak a tetnek a ozgáát, aelynek a ebeégidő függényét az ábrán látató grafikon írja le! 1.31. ábra 1.33. Rajzoljuk eg ázlatoan az ábráoz tartozó ebeégidő é gyoruláidő grafikonokat! I. II. III. IV. t 1.34. Rajzoljuk eg az ábráoz tartozó útidő é gyoruláidő grafiko nokat! 1.35. Piro lápánál a kociban üle olatuk az előttünk álló autó átó zélédőjén a kocit éltató feliratot: 3,2 alatt éri k el a 100 ebeéget. Mennyi a gyoruláa, é ennyi utat tez eg 3,2 alatt? (A lápa zöld jelzée után alóban, por ce aradt utána.) k 1.36. Egy 36 ebeéggel aladó autó ezetője gyorítani kezd, ert látja, ogy ég 6 áodpercig zöld a 100 re léő lápa, é zeretne átérni. Mekkora legyen a gyoruláa, ogy ég biztonágoan átérjen a zöldön? Mennyi lez a ebeége a lápa alatt? 1.37. A Ferrce árkájú autó 6 2 tel gyorul 7 áodpercig, ajd egyenlete ebeéggel alad. a) Mennyi idő alatt lez a 6, 1 2 gyoruláú Porrari árkájú autó ebeége azono a Ferrceel, a a Porrari indégig gyorul? b) Hány éter lez ekkor a két autó közötti táolág, a ugyanarról a elyről indultak? 1.32. ábra I. II. III. IV. t 1.33. ábra I. II. III. IV. V. t 1.34. ábra I. II. III. IV. t
18 Kineatika Mozgátan 1.38. Marci kerékpározni indul a dob tetejéről. A lejtőn 6 áodpercig egyenleteen gyorít, ezalatt 15 ebeéget ér el, é ezzel a ebeéggel alad toább. a) Mennyi a gyoruláa? b) Mennyi utat tez eg az indulától záított 25 áodperc alatt? 1.39. Egy állandó gyoruláal ozgó tet adott időinterallura záított átlagebeége é a ozzá tartozó idő zorzata a ozgá elyik jellező adatát adja eg? k 1.40. Meg tude állni a 130 ebeéggel aladó autó az előtte 80 táolágban ugyanolyan ebeégű koci ögött ütközé nélkül, a az elöl aladó 8 2, a átó pedig 7 2 lauláal tud fékezni? A átó koci ezetőjének reakcióideje 1,5. Mennyiel aarabb áll eg az elöl aladó autó? Szabadeé, ajítáok 1.41. Egy kezdőebeég nélkül induló zabadon eő tet útjának elyik zakazán tez eg egy áodperc alatt 20 t? Idő é ely zerint i adjuk eg ezt a zakazt! 1.42. Mennyi idő alatt eik le egy érett körte a fáról 4 agaágból? Mennyi lez a földet éré ebeége? 1.43. Mekkora ebeéggel éri el a 170 c aga Ágota fejét a 3,1 éter aga erezről leeő ízcepp? 1.44. Megfigyeljük egy zabadon eő tet eéének 30 e zakazát, ait a tet 2 alatt tez eg. a) Mennyi utat tez eg az indulától a egfigyeléünk égéig? b) Mekkora a tet ebeége a egfigyelé kezdetének pillanatában? 1.45. Függőlegeen feldobunk egy köet 0 kezdőebeéggel. Milyen agaágban lez a ebeége a kezdőebeég fele? 1.46. Egy labdát 15 ebeéggel dobunk fel. a) Milyen agaan lez a labda a feldobá után 2 áodperccel? Milyen irányban alad ekkor? b) Mekkora é ilyen irányú lez itt a pillanatnyi ebeége? 1.47. Adjuk eg é ábrázoljuk a függőlegeen lefelé 2 kezdőebeéggel eldobott kő ebeégét az idő függényében! A felfelé utató irányt tekintük pozitínak! 1.48. Adjuk eg é ábrázoljuk a függőlegeen felfelé 8 ebeéggel eldobott kő ebeégét az idő függényében! A felfelé utató irányt tekintük pozitínak!
Alapozófeladatok 19 1.49. Péter az utcáról zeretné a labdát feldobni Zolinak, aki a áodik eeleti ablakban, 8 agaban árja. Péter 1 agaból dobja el a labdát. a) Milyen kezdőebeéggel kell indítani, ogy Zolinak a leető legkönnyebb legyen elkapnia? b) Mennyi idő alatt érkezik fel a labda? 1.50. Egy 62 éter aga kilátóból leejtünk egy kaicot. Mekkora ebeéggel kell egy áodperccel kéőbb utánadobni egy áikat, ogy egyzerre érjenek le? 1.51. Bátor Sándor őlégballonbeutatón felzáll egy ballonnal, é telefonon tudóít élényeiről a földön aradt Gyáa Haernak, aikor egyzer cak kieik kezéből a telefon. Felordít, ait Haer a telefonon kereztül egallott. Gyáa Haer jól tud áodpercenként egyenleteen záolni, é egállapítja, ogy 5 áodperc alatt eett le a földre a telefon. Bátor Sándor a telefon elejtéekor egnézte a ballonra zerelt ebeégérő kijelzőjét, ai 4 eelkedét utatott. a) Mekkora ebeéggel ért földet a telefon? b) Milyen agaról eett le a telefon? 1.52. Egy 62 éter aga kilátóból leejtünk egy kaicot, ai a talajon koppan. Mennyiel kéőbb kell kicit odébb leejteni azt a kaicot, ai az előzőel azono időben koppan a bejárat feletti 3,5 aga tetőn? 1.53. Függőlegeen felfelé dobunk egy ógolyót 8 ebeéggel. Egy áodperc úla utánadobunk egy áikat 6 ebeéggel. Melyik ér iza előbb é ennyiel? 1.54. Gábor függőlegeen felfelé dob egy labdát 15 ebeéggel. Dáid cak 10 ebeéggel tud dobni. Mennyiel kéőbb dobjon el egy labdát Dáid, ogy az öé fél áodperccel előbb érkezzen iza? Egyenlete körozgá kineatikai leíráa, centripetáli gyorulá 1.55. Egy 1,2 ugarú körintán ülő gyerek egéri, ogy egy kört 4 alatt tez eg. Mekkora a körintán ülő gyerek fordulatzáa, zögebeége é kerületi ebeége? k 1.56. Egy erenykerékpár 18 ebeéggel alad, é a kerék átérője 0,7. Határozzuk eg a erenykerékpár kerekének zögebeégét é fordulatzáát! 1.57. A arokcizoló 0,115 ugarú korongja igen gyoran forog. A kézüléken ez az adat zerepel: 6000 rp. Ez az angol reolution per inute kifejezé röidítée, ai a percenkénti fordulatzáot jelenti. A korongot ágára agy cizolára aználják. a) Mekkora ebeéggel repül le a korong külő pontjáról egy zikra? b) Mekkora a korong perióduideje?
20 Kineatika Mozgátan 1.58. Egy 1,5 ugarú körpályán ozgó tet 5 alatt 20 fordulatot tez eg. a) Mekkora a fordulatzáa é a perióduideje? b) Mekkora a kerületi ebeége? 1.59. A Hold kié lapult ellipzipályán kering a Föld körül, ait közelítőleg 384 400 k ugarú körpályának tekintetünk. A Hold 27,3 nap alatt kerüli eg a Földet. Mekkora a Hold középpontjának kerületi ebeége? 1.60. Magyarorzág a 45. zéleégi kör közelében fekzik. Mekkora ezen a zéleégi körön a Föld tengely körüli forgáából zárazó kerületi ebeég? A Föld ugara R = 6370k. 1.61. Egy kerékpáro a 200 ugarú körpályán 12 alatt 252 utat tett eg. a) Mekkora a kerékpáro ebeége, zögebeége? b) Mekkora a perióduideje é fordulatzáa? 1.62. Egyenlete körozgát égző körinta 120 o zöget 5 alatt fut be. A körintán léő tet pályaugara 3,2. Mekkora a perióduideje, a fordulatzáa, a kerületi ebeége é a zögebeége? 1.63. Egyenlete körozgát égző lendkerék belő A pontjának 2, íg külő B pontjának 2, 5 a kerületi ebeége. Mekkora a két körpálya ugarának különbége, a a lendkerék zögebeége 1, 6 1? Gyakorlófeladatok 1.64. Két futó egy arokról, egyára erőlege utcákon egyzerre kezd el futni. Mekkora ebeéggel táolodnak egyától? 1.65. Egy tengerjáró ajó a part közelében anőerezett. A élyégérő által kibocátott ultraangipulzu 14 illizekundu alatt érkezik iza a tengerfenékről a űzerbe. A ajó 12 éter ély ízben tud biztonágoan közlekedni. Az ultraang terjedéi ebeége tengerízben 1530.Merézkedjene ég közelebb a kapitány, agy ürgően táolodjon el a parttól? A űzer a íz felzínéről indítja az ultraangipulzuokat. 1.66. Reggelenként az ikolába gyalogoan 12 perc é 20 perc közötti idő alatt érünk, attól függően, ogy ennyi idő an ég a becengetéig. Az átlago enetidőt együk 16 percnek, az eez tartozó ebeéget neezzük ot közepe átlagebeégnek. Fejezzük ki az ikolába járá legnagyobb é legkiebb átlagebeégét a közepe átlagebeéggel! 1.67. A Voyager 1 űrzonda a Földtől legezebbre jutott eber által kézített ezköz. 1977. zepteber 5én indították, é 2011. noeber 30án 119,82 CE (cillagázati egyég) táolágra olt a Földtől. Mekkora olt az átlagebeége a telje útra záíta? A 2011. noeber 30án 12 : 00 : 00kor kibocátott rádiójelek ikor érkeztek eg a földi fogadóálloára? A jelek terjedéi ebeége 300000 k. Az űrzonda kiaználta az útja entén léő bolygók gyorító atáát, ezért kicit cikcakkoan aladt, de a telje ozgáára onatkoztata ot jó közelítéel egyenenek tekintjük a pályáját.
Gyakorlófeladatok 21 1.68. Egy jó úzó a partra erőlegeen 1, 2 ebeéggel úzik át a 150 zéle folyón. A folyó odráa kici, a part ellett zinte áll a íz, középen a legnagyobb. Modellezzük a folyó odráát úgy, ogy ebeége a parttól a közepéig lineárian nő, ott eléri az 1 ot! Mennyiel lejjebb fog partot érni a túloldalon? k 1.69. A tenizező 231 kezdőebeégű adogatáa ennyi idő alatt éri el az adogatóudar 18,3 re leő onalát ( ég éppen bent an )? A játéko 210 c agaágban üti eg a labdát az alaponalra erőlegeen. A légellenállá iatt a labda erően laul, átlagebeégét tekintük 200 k nak, útját pedig egyenenek! 1.70. A Föld legkülő réze, a litozféra ún. tektonikai leezekből áll, aelyek egyáoz képet ozognak. A ízzinte irányú tipiku ebeégük néány centiéter éente. Fejezzük ki ezt a ebeéget zelélete értékegyégben földtörténeti időléptékkel, ez c legyen 10 illió é é köznapi időléptékkel, perccel! Induljunk ki 5 ebeégből! é 1.71. Egy pók a ennyezetről lelógó fonálon függ a talajtól 60 c agaágban. Elindul felfelé 25 ebeéggel. Adjuk eg é ábrázoljuk a talajtól ért agaágának időfüggényét! A ennyezet é talaj közötti táolág 270 c. 1.72. A é B autó azono irányban alad különböző ebeéggel. Egy pillanatban egyá ellett annak. A laabb autó záára ogyan áltozik annak az időnek az értéke, ai a learadáát jellezi, agyi ogyan áltozik az az idő, ai aoz zükége, ogy a pillanatnyi, táolágban ért learadáát beozza? 1.73. Ha Tii, a curlingjátéko 0, 8 ebeéggel indítja a köet, akkor az éppen a áz közepén, 28,35 táolágban áll eg. Mennyit téedet az indítái ebeégnél, a azt zeretné, ogy legalább a ázba kerüljön a kő? 0 r = 1,83 r áz 1.73. ábra 28,35 1.74. Locolócőel töltünk eg egy 400 l térfogatú ordót. A 2, 5 c 2 kereztetzetű cőben 1, 3 ebeéggel áralik a íz. Mennyi idő alatt telik eg a ordó? 1.75. Ági é Péter egbezélték, ogy ete negyed 8kor találkoznak a zínáz előtt. Ági k 1100 re, Péter 1300 re lakik a zínáztól. Ha indketten 5, 4 ebeéggel ennek é Ági 19 : 05kor, Péter 18 : 50kor indul, ennyit fog Péter Ágira árni? Hány percet kéik Ági?
22 Kineatika Mozgátan 1.76. Ági (zabálytalanul, póráz nélkül) étáltatja kutyáját. Az egyene úton zeből közeledik felé Péter, akit a kutya táolról felier. Ágitól indula elroan Péter felé, aki ekkor éppen 400 re an tőlük. Aikor odaér, akkant egyet, ajd izaroan Ágioz, neki i akkant, é iét Péter felé roan. Ezt addig folytatja, aeddig Ági é Péter ne találkoznak. Ági 1, 2, Péter 1, 5 ebeéggel alad, az eb 12 al roan. Mennyi utat tez eg a kutya a két gyerek találkozááig? 1.77. A Párizból 17 : 16kor induló TGV nagy ebeégű onat 18 : 18kor érkezik a 214 k k táolágban fekő Lillebe. Mekkora az átlagebeége? A onat utazóebeége 320. Mennyi idő alatt érne Lillebe, a égig ezzel a ebeéggel tudna aladni? 1.78. Két, páruzaoan futó aúti ínpár egyikén egy 360 ozú zerelény alad k 60 ebeéggel. A áik pályán utoléri (a ozdony eleje egy onalba kerül a laabb k zerelény égéel) egy 72 ebeégű, 420 éter ozú zerelény. Mennyi utat teznek eg az egye zerelények, aeddig a gyorabb ége i elagyja a laabb ozdonyának elejét? 1.79. Két angya 18 é 22 ebeéggel indul egyá ellől a 32 cre leő kenyérorzáért az aztalon. Mennyi lez a táolág közöttük, aikor a gyorabb eléri a orzát? A gyorabb felkapja a orzát é zalad toább ele, de ár cak 16 ebeéggel. Közben a orza eredeti töegének 5%át egezi áodpercenként. Vane ég a orzából, aikor a áik angya utoléri? 1.80. Mennyi lez a függőlegeen feldobott kő ebeége az eelkedéi agaágának a felénél? (A feladat egoldááoz ierni kell a áodfokú egyenlet alaelyik egoldái ódját.) 1.81. Milyen gyakoriággal pattan a Holdon az 1,5 agaágból leejtett töör guilabda, a tökéleteen rugalanak tekintjük a pattogáát? (Mindig azono agaágig eel kedik.) A neézégi gyorulá értéke a Holdon: gh = 1, 6 2. 1.82. Gábor 15 ebeéggel feldob egy labdát. Mikor dobjon utána egy áikat Dáid, a ő cak 10 kezdőebeéggel tud dobni, é azt zeretnék elérni, ogy a két labda a kéőbb feldobott axiáli eelkedéi agaágának felénél zeben ütközzön egyáal? 1.83. Ábrázoljuk egy tökéleteen rugalaan pattogó labda által egtett út időfüggényét! Feltételezzük, ogy a labda indig izapattan az elejté agaágába. 1.84. Mennyi az átlagebeége a függőlegeen 12 ebeéggel feldobott kő pályájának leglaabb egyétere zakazán? Hol an ez a zakaz? 1.85. Milyen ízzinte ebeéggel kell ellöknünk a 75 c aga aztal zéléről a radírt, ogy kétzer olyan táol érjen földet, int ailyen agaról indult?
Gyakorlófeladatok 23 1.86. Mekkora az elozdulá nagyága a 100 c aga polc zéléről 1, 8 ebeéggel ízzinteen elpöckölt pénzérének, aikor a telje ízzinte elozduláának a felénél jár? 1.87. Két labdázó gyerek kikíérletezte, ogy akkor jut legtáolabbra a labda, a azt 45 o zögben dobják el. Így eldoba a labdát, ilyen táol álljanak egyától, a azt akarják, ogy 1 áodperc legyen a repüléi idő? Mekkora kezdőebeéggel kell eldobni a labdát? Feltételezzük, ogy az eldobá é elkapá azono agaágban történik. 1.88. Az erezcatorna picit lyuka, cepeg belőle a íz. Az 1 aga ablak előtt leeő ok cepp eéi idejét leérjük, ezek átlaga 0,19. Az ablak párkányagaága (az ablak aló kerete é a talaj közötti táolág) 1 éter. Milyen agaan an a catorna? A leegő közegellenálláa a ízcepp eéét cak a éréi ibán belül befolyáolja, ezért ne kell figyelebe enni. 1.89. A 276 c agaan leő lyuka erezcatornából cepeg a íz. Aikor az egyik éppen földet ér, két áik ár úton an, a aradik pedig éppen leálik. Mennyi idő alatt cepeg le 1 l íz, a egy cepp átérője 4? 1.90. Építkezéen egy unkagép egy illanyozlopot úz laan aga után. Szeretnénk egtudni az ozlop ozát, ezért egyenlete ebeéggel elaladunk az ozlop ellett, é egállapítjuk, ogy 22 lépé alatt értünk a égétől az elejéig. Szeben alada ele, az elejétől a égéig 14 lépét tettünk. Milyen ozú az ozlop? k 1.91. Egy ajó a ízez képet 20 ebeéggel alad a folyón felfelé. Mennyi idő alatt k ér a 40 kre léő kikötőbe? A folyó ebeége 5. A kikötőben a ajó izafordul, é kikapcolt otorral corog lefelé. Mennyi idő alatt ér a kikötőtől a folyáirányban 22 kre leő ídoz? k 1.92. Egy ajó a ízez képet 23 ebeéggel egy a folyón felfelé. Mekkora ebeéggel kell ennie a kerékpáronak a parton, a együtt zeretne aladni a ajóal? A folyó k ebeége 2. 1.93. Egy rozul elgurított dobókocka a 75 c aga aztal zéléről 1, 2 ízzinte ebeéggel leeik. Mekkora lez a pillanatnyi ebeégének nagyága 0,3 úla? 1.94. Vízzinteen elajítunk egy tetet. a) Vane a pályájának olyan pontja, aol a ízzinte é függőlege elozduláa azono nagyágú? b) Mekkora az elozduláektor nagyága ebben a pontban? 1.95. A trandon léő óriá cúzdáról = 5 ízzinte irányú ebeéggel, 3 agaból cobbanunk a ízbe. Mennyi időt töltünk a leegőben? Száítuk ki a cúzda elagyáától a ízbe cobbanáunkig tartó ozgáunk elozduláektorának nagyágát!
24 Kineatika Mozgátan 1.96. Egy robotkarnak 80 c táolágra kell odébb tenni egy unkadarabot a leető legröidebb idő alatt. A kart ozgató otorok legfeljebb 8 2 gyorítát é laítát tudnak biztoítani. Mennyi idő kell a unkadarab átelyezééez? 1.97. Egy rigó 6 ebeéggel, 45 o zögben repül felfelé. Aikor 12 agaban an, elejti a zákányolt kukacot. Hol ér talajt a kukac? 1.98. Egy kerék egyenleteen 12 fordulatot tez eg percenként. Mekkora a forgátengelytől 0,25 táolágra léő pontjának a) zögebeége? b) kerületi ebeége? 1 1.99. A zélturbina lapátjai függőlege íkban 20 perc fordulatzáal forognak. A lapátok oza 30. a) Mekkora a lapátok perióduideje é kerületi ebeége? b) Mekkora a lapátok égpontjainak centripetáli gyoruláa? k 1.100. Egy köríen 54 egyenlete ebeéggel é 2, 4 2 gyoruláal alad egy otorkerékpár. a) Mekkora a körí ugara? b) Mekkora a zögebeége, fordulatzáa é a perióduideje? k 1.101. A 36 ebeéggel aladó zeélygépkoci kerekéről árdarabok repülnek le. Legfeljebb ekkora ebeégű leet a árdarab ebeége a) a zeélygépkocioz képet? b) a földöz képet? 1.102. A filekben a intók kereke úgy látzik, inta állna, őt időnként izafele forogna. A intó kerekeiben a küllők záa 12, íg áodpercenként 24 filkockát etítenek a ázonra. Mekkora zögebeégeknél látatjuk ezt a jelenéget? 1.103. A régi típuú leezjátzón két különböző éretű bakelit angleezt leet lejátzani. A nagyobb éretű (300 e átérőjű) angleez 33 3 perc 1 1, íg a kiebb (170 átérőjű) 45 perc 1 fordulatzáal forog. Mekkora a két angleez perióduideje, zögebeége é kerületének ebeége? 1.104. Egy záítógép SCSI rendzerű ereleeze 15000 perc 1 fordulatzáal forog. A ereleez átérője 8,89 c. Mekkora a ereleez egy külő pontjának zögebeége é kerületi ebeége? 1.105. Egy gyerek a 4 ugarú körintára ült fel, aely állandó 0, 3 1 zögebeéggel egyenlete körozgát égez. Száítuk ki a ebeégáltozá nagyágát az idő alatt, aíg a gyerek a) 60 kal fordul el a pályán! b) 90 kal fordul el a pályán!
Gyakorlófeladatok 25 1.106. A Föld kb. 150 illió k táolágban kering a Nap körül. A keringéi ideje 1 é. Határozzuk eg az Uránuz keringéi idejét, a tudjuk, ogy a Naptól aló átlago táolága 2875 illió k! 1.107. A Naprendzer kibolygóöében előként a Cere kibolygót fedezték fel 1801ben, aely 4,6 é alatt kerüli eg a Napot. Mekkora átlago táolágra kering a Cere kibolygó a Naptól? 1.108. Az ábra a zerelőpadon (centí ro zógépen) léő zeélygépkoci kereke zelepének zögelforduláidő függényét utatja. A kerék ugara 0,36. a) Milyen ozgát égez a kerék zelepe? b) Ábrázoljuk a zögebeéget az idő függényében! c) Ábrázoljuk a zelep által egtett utat az idő függényében! (rad) 25 13 1.108. ábra 5 0 1 3 6 t () Teztek 1.109. Egyenlete ozgáal kétzer nagyobb utat feleannyi idő alatt tezünk eg. Mekkora a ebeégünk az eredetiez képet? A) Fele. B) Kétzeree. C) Változatlan. D) Négyzeree. E) Ezekből az adatokból ne atározató eg. 1.110. Melyik a pillanatnyi ebeég egyik leetége értékegyége az alábbiak közül? A) éter/pillanat. B). C) A pillanatnyi ebeég egy izonyzá, ezért ninc értékegyége. D) k. 1.111. Mi jellezi az egyene onalú egyenlete ozgát az alábbiak közül? A) Azono nagyágú utakat egyre röidebb idő alatt tez eg a tet. B) Azono nagyágú utakat egyre ozabb idő alatt tez eg a tet. C) A egtett út kiebb, int az elozduláektor nagyága. D) A egtett út az időel egyeneen arányo. 1.112. Állandó ebeégű ozgá eetén i igaz az átlagebeégre? A) Mindig kiebb, int az állandó ebeég. B) Mindig nagyobb, int az állandó ebeég. C) A két ebeég indig egegyezik. D) Ninc özefüggé a két ebeég között.
26 Kineatika Mozgátan 1.113. Melyik grafikon tartozik aoz a ozgáoz, aelyiknél a ozgá orán alaikor éppen 3 ig áll a tet? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. 1.113. ábra 0 3 6 t 0 3 8 t 0 3 9 t 0 2 5 7 1. 2. 3. 4. t 1.114. A ellékelt ábra ely zakazán aladt a tet a legnagyobb ebeéggel? A) I. C) III. B) II. D) IV. 1.114. ábra 1.115. Melyik ábrára igaz, ogy a ozgá folyaán kétzer i ozaabban állt a tet? A) 1. C) 3. B) 2. D) 4. I. II. III. IV. t 1.115. ábra 1. t 2. t 3. t 4. t 1.116. Hározor nagyobb kezdőebeéggel függőlegeen feldobott labda ányzor agaabbra eelkedik? A) Kétzer agaabbra. B) Hározor agaabbra. C) Kilenczer agaabbra. D) Hatzor agaabbra. 1.117. A Holdon a neézégi gyorulá értéke atodréze a földinek. Mekkora ebeéget ér el azono idő alatt a Holdon leejtett tet a Földön leeőöz képet? A) Hatzorot. B) Harincatzorot. C) Egyatodát. D) Ninc özefüggé a két folyaat között.
Teztek 27 1.118. Kétzer nagyobb kezdőebeéggel feldobott kőnek ekkora az eelkedéi ideje? A) Kétzer nagyobb. B) 2 zör nagyobb. C) Négyzer nagyobb. D) Feleakkora. 1.119. Milyen ozgát írat le ez az útidő grafikon? A) Gyorító autó t 1 időpontban ebeéget ált. B) Fékező autó laít, ajd t 1 től állandó ebeéggel alad. C) Egy ablakból függőlegeen feldobott kő ozgáa. D) Egy agaágból leejtett labda pattogáa. t 1 1.119. ábra t 1.120. Melyik ábra utatja egy negatí kezdőebeéggel induló tet ozgáát? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. 1.120. ábra t t t t 1. 2. 3. 4. 1.121. Milyen ozgát írat le ez a grafikon? A) Egy autó ozgáa ároi forgaloban. B) Tenizlabda ozgáa érkőzé közben. C) A földre leejtett labda ebeége a leegő fékező atáát elanyagola. D) Kerékpár pedáljának ozgáa. 1.122. Milyen a ozgáa kezdetben az egyen lete ebeéggel felfelé aladó liftben elejtett kulc coónak a lépcőázoz izonyíta? A) Szabadeé. B) Függőlege ajítá felfelé. C) Függőlege ajítá lefelé. D) Egyene onalú egyenlete. 1.121. ábra t 1.123. Milyen ennyiég záértékéel egyezik eg a gyorulá záértéke? A) Az átlagebeég záértékéel. B) A áodpercenkénti ebeégáltozá záértékéel. C) A áodpercenként egtett út négyzetének záértékéel. D) A áodpercenkénti ebeégáltozá négyzetének záértékéel.
28 Kineatika Mozgátan 1.124. Egy tet elozduláa leete nagyobb, int a egtett útja? A) Ne, ert az elozdulá indig kiebb, int a egtett út. B) Igen, az elozdulá legtöbbzör nagyobb a egtett útnál. C) Ne, ert a kettő indig egegyezik. D) Ne, ert az elozdulá kiebb agy egyenlő a egtett úttal. 1.125. Az aztal zéléről egyzerre indítunk két labdát. Az egyiket ízzinteen lökjük el = 4 ebeéggel, a áikat cupán leejtjük. Melyik é ennyiel ér előbb a padlóra? A) Attól függ, ogy ilyen aga az aztal. B) A leejtett labda ér le előbb. C) Egyzerre érnek talajt. D) Ha elég nagy a kezdőebeég, akkor a ízzinteen induló ér le előbb. 1.126. Körpályán ozgó tet ebeége kétzereére nő. Hogyan áltozik a centripetáli gyoruláa? A) Kétzereére nő. B) Negyedére cökken. C) Ne áltozik. D) Négyzereére nő. 1.127. Egy r ugarú enger állandó zögebeéggel forog, kerületi pontjainak ebeége. Mekkora zögebeéggel forgauk a feleakkora ugarú engert, a azt zeretnénk, ogy ennek a kerületi pontjai i ugyanolyan ebeéggel ozogjanak? A) Feleakkora zögebeéggel. B) Ugyanolyan zögebeéggel. C) Kétzere zögebeéggel. D) Négyzere zögebeéggel. 1.128. Egy állandó ebeéggel aladó onaton elejtünk egy kaicot. A ínek ellett álla ilyennek látjuk a kaic pályáját? A) Függőlege egyenenek. B) Lefelé tartó fél parabolaínek. C) Ferde egyenenek. D) Lefelé tartó körínek. 1.129. A Földön leejtünk egy köet agaágból, ai ebeéggel ér földet. Mekkora agaágból kellene leejtenünk egy köet a Holdon, ogy az ugyanolyan ebeéggel érjen talajt? A Holdon a neézégi gyorulá a földi érték egyatoda. A) 6 $. B) 3 $. C) 6 $. 2 D) 6 $. 1.130. Föld körüli körpályán ozgó űrajón olyan pályaódoítát kell égreajtani, ogy a körpálya ugara az eredeti kétzeree legyen. Mennyi lez az űrajó keringéi ideje? A) Változatlan arad. B) Négyzereére nő. C) Kétzereére nő. D) 2 2 zereére nő.
Ezékérdéek 29 1.131. Föld körül keringő űrajónál ikor kell a ajtóűeket bekapcolni? A) A ajtóűek folyaatoan űködnek. B) Cak felzállákor é lezállákor. C) Felzállá, lezállá é pályaódoítá orán. D) Cak pályaódoítákor. E) Cak felzállákor é pályaódoítáok orán. Ezékérdéek 1.132. Autó ozgáának elezée ároi forgaloban Eleezze egy autó ozgáfajtáit egy parkolóból aló elindulától a ároi forgaloban történő ozgá orán a kiindulái elyre történő izaérkezéig! Coportoíta az előforduló ozgáfajtákat a pálya alakja, illete a ozgá lefolyáa zerint! Leetége, ogy utunk orán ezélyelyzetben gyor anőerre kényzerülünk, arazolunk a dugóban. Milyen kineatikai ennyiégekkel írató le ekkor az autó ozgáa? Ezeknek ilyen tipiku záértékei fordulatnak elő a ároi közlekedében? 1.133. Átkelé folyón, cónakkal Egy folyón zeretnénk átkelni úgy, ogy indig a partra erőlegeen eezünk. A folyó odráa a partoknál nulla, közepéig lineárian nő. Hol köt ki a cónak? Milyen ozgáforák jelennek eg az átkelé orán? Milyen a ozgá pályája? Milyen paraéterektől függ a folyón aló átkelé időtartaának nagyága? Hogyan atározná eg a kiindulái ely é a kikötéi ely közötti táolágot? 1.134. A kerékpározá kineatikája Vegye zába, ogy kerékpározá közben ilyen ozgáfajták lépnek fel! Vizgálja az egye alkatrézeknek, a kerékpár ázának é a kerékpározó zeélynek a ozgáát! Kiíát jelentô feladatok 1.135. Gyorulái erenyen induló A é B autó közül az egyik kicit beragad, kéőbb indul. Sebeégük időfüggényét utatja az ábra. Feltételezzük, ogy a találkozáig indkét autó egyenleteen gyorul. Mikor leznek iét egyá ellett? (A feladat egoldááoz ierni kell a áodfokú egyenlet alaelyik egoldái ódját.) 1.135. ábra t 1 t 2 t
30 Kineatika Mozgátan 1.136. A curlingerenyen a kő indítáa után egállapítják a erenyzők, ogy laú olt az indítá, a kő cak a áz elejéig fog elcúzni. 8 után elkezdenek öprűzni, é elérik, ogy pontoan középre, a célpontba érkezzen. Tudják, ogy a jégen az átlago lauláa 0, 0127 2. A eprűzéel ennyit kell ezen áltoztatni, ogy éppen középre, a célpontba érkezzen? 0 r = 1,83 r áz 1.136. ábra 28,35 1.137. Vilo állandó ebeéggel aladó ozgólépcőn a lépcőöz izonyíta állandó ebeéggel alad lefelé, így 70 áodperc alatt ér le. Ha kétzer nagyobb relatí ebeéggel egy, akkor ár 50 alatt leér. Mennyi időt takarít eg aoz képet, inta égig állna? Hogyan áltoznának az eredényeink, a indezt a felfelé úton izgálnánk? 1.138. Egy ízzinte tengelyű, R ugarú ályú felületén függőlege íkban cúzáenteen gördül le egy r ugarú golyó. Adjuk eg a aladó ozgáának ebeége é a zögebeége közötti kapcolatot!