Számítógépes vizualizáció a kalkulus oktatásában*
|
|
- Lili Kozmané
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Számítógépes vizualizáció a kalkulus oktatásában* Karsai János - Forczek Erzsébet Szent-Györgyi Albert Orvostudományi Egyetem, Orvosi Informatikai Intézet, 67 Szeged, Korányi fasor 9. Abstract. The fast graphical workstations and the scientific, visualization and multimedia softwares mean a technical basis of modernization of the education of the most theoretical subjects, like mathematics. They are new tools for illustration after the blackboard, slide projectors. It is not a new idea, but the realization is not simple at all. The show and the sight can majorize everything else, they can hide the essence of the lectures and the main ideas, they can distract the attention. Instead, the computer applications, videoclips have to help the students in understanding the theoretical problems, they must activate their thinking, but cannot control the flow of the lecture. The usage of the technical devices is not subject to the theoretical topics in general. These problems are highly accumulated in the case of mathematics because of its very abstract nature. Using the new Silicon Graphics workstations and some scientific and visualization softwares, we started a project for modernizing the educational program of biomathematics at the Faculty of Pharmacy. In our presentation we summerize the main goals, problems, and solutions from methodological, professional and technical aspects, too. Bevezetés A gyors grafikus munkaállomások, személyi számítógépek és a rajtuk futó tudományos, vizualizációs szoftverek a tudományos kutatás nélkülözhetetlen eszközeivé váltak. Bonyolult adathalmazok grafikus megjelenítése, a vizsgált modellek számítógépes szimulációja ma már teljesen megszokott. Hasonló a helyzet az oktatásban is, bár az eredményesség nem egyértelmû, különösen az elméleti, absztrakt tárgyak eesetén. A sikeres alkalmazások [] mellett számos sikertelen vagy részben sikeres példa mutatja, hogy a számítógépes vizualizáció oktatási célú megvalósítása korántsem egyszerû. A sikertelenség oka korábban a tökéletlen eszközbázis volt, (lassú gépek, gyenge grafika) amely inkább hátráltatott, mint segített. Manapság pedig éppen a technikai lehetõségek sokasága (D grafika, animáció, video, audio stb.), a látványorgia könnyen féreviheti az elõadások vonalát, elvonhatja a hallgatóság figyelmét. Komoly módszertani, tervezési feladat megteremteni az oktatási célok, a tananyag, a technikai lehetõségek, az oktatási rendszer és a hallgatóság képességeinek összhangját. Nem utolsósorban, "cost-benefit" vizsgálatokra is szükség van []. A vázolt problémák, megfontolások halmozottan jelentkeznek az igazán elméleti tantárgy, a matematika esetében. A Szent-Györgyi Albert Orvostudományi Egyetemen a gyógyszerészhallgatók matematika oktatásában 99-ben kezdtük alkalmazni a számítógépes vizualizáció lehetõségeit. Az elkészült számítógépes grafikákat, video- és ábraanyagot szívesen bocsájtjuk a kollégák rendelkezésére. A matematika tantárgy céljai, programja A SZOTE Gyógyszerésztudományi Karán a matematika alapozó tárgyként része a képzésnek. A tárgy majdnem húsz éves története során az oktatási célok letisztultak, a tematika lényegében kiforrott. Az alkalmazói környezettel az egyeztetések folyamatosak. * A kutatást az Alapítvány a Magyar Felsõoktatásért és Kutatásért támogatja (Grant no. 776/9)
2 Az oktatott anyag tartalmazza az alapvetõ függvénytani ismereteket (egy és kétváltozós függvények), a függvényvizsgálat és modellezés alapvetõ fogalmait, módszereit (differenciálés integrálszámítás, differenciálegyenletek), a gyakorlati, grafikus interpretációkat. A tárgy oktatásának alapfeladata, hogy a hallgatók gyakorlativá konvertálható elméleti alapképzésben részesüljenek. A cél olyan matematikai alaptudás megteremtése, amely a hallgatókat alkalmassá teszi, hogy szakmájukon belül matematikai modellek, eljárások és módszerek segítségével kutatási feladatokat oldjanak meg, mérési eredményeket értelmezzenek stb. Lényegesnek tartjuk a tárgyi tudás megszerzése mellett az absztrakciós képességek, a modellalkotó, a numerikus számolási készségek és nem utolsósorban a grafikus látásmód, a vizuális képességek fejlesztését. Céljaink elérése érdekében az absztrakt fogalmakat mindig valós alkalmazásokhoz kötjük, grafikus jelentéssel ruházzuk fel. A gyakorlatokon a hallgatóknak számos függvény grafikonját kell felrajzolniuk, illetve grafikusan adott folyamatokat elemezniük. Ennek ellenére azt tapasztaljuk, hogy a hallgatóság elsajátítja ugyan az anyagot, de alkalmazni már nem mindig képes saját munkája során. Általános problémának tartjuk, hogy csak kevesekben alakul ki (vagy már sokakból kiveszett?) a megfelelõ kreativitás, vizualitás, problémamegoldó és asszociációs készség. Úgy gondoljuk, hogy a hiányolt képességek kifejlõdését, az anyag megértetését elõsegíthetjük a számítógépes vizualizációs eszközök célirányos bevetésével. A vizualizáció alapelvei, eszközei A tábla és kréta a legõsibb eszközök. Használatuk lehetõvé teszi, hogy a hallgatók kövessék az anyagot, a táblán levõ ábrákat, szövegeket jegyzetelni tudják. Korlátaik ismertek. Fényképek, bonyolult ábrák kivetítésére (de nem a tábla helyettesítésére) kiegészítésül használhatunk írásvetítõt és diavetítõt. A klasszikus eszközök statikus információk (szövegek, képletek, ábrák, fotók) megjelenítését teszik lehetõvé. Nem biztosítják a folyamatok (függvények) mozgás közben való interaktív vizsgálatát. A gyors személyi számítógépeken és grafikus munkaállomásokon futó tudományos szoftverek által készített ábrák sokkal pontosabbak, tökéletesebbek, mint a kézi rajzok, amelyeket az elõadó gyorsabban tud elkészíteni. Ezen túlmenõen, a szoftverek képesek szimbólikus, numerikus számítások végzésére, D, D grafikák, animációk készítésére, a megjelenített modellek viselkedésének interaktív változtatására. A látvány tökéletessége mellett alkalmazásuk külön haszna, hogy a hallgatóság könnyebben elhiszi a látottakról, hogy nem az elõadó fiktív okoskodásainak eredményei. Mindemellett, a számítógépek nem helyettesítik a klasszikus oktatási eszköztárat, hanem kiegészítik azt. Igen nehéz az adott célnak megfelelõ eszközök, alkalmazások kiválasztása [, ]. A SZOTE-n alkalmazott számítástechnikai eszközbázis. Az alkalmazások, illusztrációk megfelelõ minõségû és sebességû futtatásához gyors gépek szükségesek. Ilyenek nem találhatók az elõadótermekben. Rendelkezésre állnak videólejátszók és írásvetítõk. Animációk esetén ezért az elõre videóra felvett anyag lejátszható. Emellett gyors notebook számítógép hordozható kivetítõvel nagy rugalmasságot biztosít. Az elõadásokon használandó bonyolultabb anyagok Silicon Graphics Indigo R/XZ munkaállomásokon ( MIPS, MFLOPS, bites D grafika, 8x 9 monitor) készülnek. Ezeket videóra vesszük fel. Az Orvosi Informatikai Intézet számítógépes oktatótermeiben AT-86 számítógépek, SGI Indigo ZX munkaállomás és X terminálok állnak a hallgatók és a kutatók rendelkezésére.
3 Ezekre a Mathematica és más tudományos szoftvereket, az elkészült és vásárolt oktatóanyagokat (PC és UNIX verziók) megfelelõ számban telepíteni kívánjuk. A Mathematica az egyik legelterjedtebb matematikai szoftver. Több platformon mûködik. Programnyelve formális matematikai programok írását teszi lehetõvé. A vele készült alkalmazásoknak nagy irodalma van. A Silicon Graphics és IBM RS-6 verzió rendelkezik a speciális live funkcióval, amely D objektumok (pl. grafikonok, felületek) élõ, egérrel történõ mozgatását és körbejárását is lehetõvé teszi. Elérhetõk más, hasonló intelligenciával rendelkezõ szoftverek, mint pl. a Maple-V, vagy a MATLAB. Az IRIS Explorer az SGI által fejlesztett, más platformokon is mûködõ vizualizációs szoftver. Több száz moduljából a grafikus Map Editor segítségével a modellezési sémák (programok) interaktív módon állíthatók össze. A modulok szintén intraktívan vezérelhetõk, így a modellek tulajdonságai tanulmányozás közben módosíthatók. A számítógépes vizualizáció alapelvei, módszerei A feladat a következõ: a fõ vonalaiban adott tananyaghoz az oktatás céljainak a minél tökéletesebb megvalósításához kell megválasztanunk, kidolgoznunk a megfelelõ segédeszközöket a fent vázolt elvek figyelembevételével. Ezek az eszközök különböznek az elõadás, a gyakorlatok és az önálló tanulás esetén. Általános elv, hogy a segédeszközök, a számítógépek használata nem helyettesítheti a gondolkodást. Az absztrakt fogalmak megértését kell megkönnyíteniök, a hallgatóságban az anyaggal kapcsolatos új gondolatokat kell ébreszteni. Ugyanakkor nem vehetik át az oktatás menetének az irányítását, minthogy ezen eszközök használata nem része az elméleti anyagnak. Nem tételezhetünk fel semmilyen számítógépes alapismeretet. Ezért a gyógyszerészhallgatók matematika oktatása alapvetõen nem számítógépre alapozott, nem számítógép által vezérelt, hanem általa illusztrált. Bár a szoftvereszközök lehetõvé teszik pl. a gyökkeresést, formális deriválást, integrálást, ezt a lehetõséget a hallgatók az órák alatt nem vehetik igénybe. A gépi számolás a fogalmak megtanulásának fázisában hátrányos. Itt emlékeztetünk a zsebszámológép korai használata által okozott gondokra. Alkalmazások az elõadáson A gyógyszerészhallgatók számára készült jegyzet teljes ábraanyaga (D, D) az SGI munkaállomásokon készült. Ezeket írásvetítõn kivetítjük ill. videon lejátsszuk. Ezt kiegészítik a Mathematica programmal elõkészített mintaalkalmazások, amelyeket a hallgatóság szeme láttára futtatunk a hordozható számítógépen (sebesség!). A megjelenítés kivetítõn történik. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi lehetõség nagymértékben növeli a az elõadás hatékonyságát. A hallgató jegyzetelõautomatából aktív résztvevõvé válik. A felmerült ötleteket az elõadó azonnal megvalósítja. Komolyabb számítási kapacitást igénylõ D animációkat videora veszünk fel és azt vetítjük le. tapasztalataink szerint a videofelvételekrõl készült állóképeket is be kell mutatni, hogy a hallgató jegyzetelni tudjon. Alkalmazások a gyakorlaton. A gyakorlatokon az alkalmazások lényegében nem különböznek az eladásoktól. Itt az interaktív lehetõségek különös szerephez jutnak. A megoldandó konkrét feladatokat az oktató illusztálja a számítógép segítségével vagy a megoldás megkönnyítése vagy éppen helyességének ellenõrzésére. A géppel készített ábrák néha egészen meglepõek a diákok számára (például az exponenciális növekedés tényleges sebességét más elmondani és látni). Önálló tanulás és speciális gyakorlatok Az elõadás és a gyakorlat számára készült illusztrációk ill. teljes oktatóanyagok (pl. []) számítógépes kabinetben rendelkezésre állnak. A közeljövõben elkészítjük a jegyzet interaktív verzóját és egy rövid összefoglalót az alkalmazott programok használatáról is. A hallgatók újrafuttathatják az elõadáson vagy gyakorlaton átott alkalmazásokat, azokat módosíthatják illetve egyszerûbb saját alkalmazásokat készíthetnek. Az érdeklõdõ hallgatók
4 speciális kurzuson vehetnek részt, amelyen megtanulhatják a matematikai szoftvereknek, mint a tudományos kutatás segédeszközeinek használatát és ezáltal a számítógéppel segített modellezést. Itt kell megemlítenünk az IRIS Explorer vagy az IBM RISC családon futó Scientific Data Explorer különös jelentõségét (6a. és 6b.ábák). A tananyaghoz kapcsolódó legfontosabb számítógépes illusztrációk Elemi függvénytani ismeretek. Elemi függvények, ezek grafikonjai, mûveletek függvényekkel (elemi transzformációk, összetett függvény, inverz függvény stb.): függvények grafikonjainak menete, azok összevetése, transzformációk grafikus elvégzése (animáció), függvény és inverzének kapcsolata. Az a. és b. ábra az (x c) +c/ és a cos(cx) függvényekre vonatkozó animációk kockáit mutatja. A differenciálszámítás elemei. Határátmenetek, változási ráták, a differenciálhányados fogalma interpretációi, sima görbék, deriválási szabályok: a minden határon túli közeledés illusztrálása animációval, példák, ellenpéldák határértékre, folytonosságra; szelõk, érintõ viszonya (animáció egy erõsen konvex vagy konkáv függvényen. Az x függvény érintõje és szelõi közti kapcsolatot mutatja a következõ animáció (a. és b. ábra). A differenciálhányados alkalmazásai: monotonitás, konvexitás, szélsõértékek, viselkedés a végtelenben. Különbözõ függvények növekedési mértékének viszonya. Exponenciális változás. Függvények közelítése, Taylor-polinomok: a grafikonok elõzetes rajzolása a sejtések megfogalmazásának megkönnyítésére, kis eltérések összevetések, aszimptotikus összehasonlítások, a függvény és Taylor-polinomjainak a viszonya a rend növekedésének a hatása (animáció, egymásra vetített ábrák), a közelítések pontossága. A cos x függvényt és Taylor-polinomjait láthatjuk a. ábrán. Az integrálszámítás alapjai: A határozatlan integrál mint a deriválás megfordítása. Határozott integrál, geomeriai, fizikai jelentés. Integrálfüggvény és tulajdonságai. Integrálási szabályok, technikák. Alkalmazások: terület- és térfogatszámítás, közelítõ integrálás: függvény rajzolása érintõmezõhöz, közelítõ téglalapok, trapézok, térfogatszámítás integrálással (közelítõ téglatestek, hengerek: live show), közelítések pontossága. Differenciálegyenletek: fogalmak, feladatok, módszerek. Néhány, a gyógyszerésztudományban elõforduló egyenlet vizsgálata: iránymezõ, megoldások illeszkedése az iránymezõhöz, egyensúlyi helyzetek, paraméterek hatása a megoldásokra (animáció). Példánk az x'=x( x) differenciálegyenlet iránymezõjét és megoldásait mutatja (a. és b. ábra).
5 c - + (-c + x) a. ábra b. ábra
6 a. ábra b. ábra
7 . ábra a. ábra
8 .5.5 b. ábra Többváltozós függvények: grafikon, parciális deriváltak, szélsõértékek keresése: grafikonok a D térben, síkmetszetek, érintõsík, parciális derivált illusztrációja síkmetszettel, maximum, minimum, nyeregpont (live show). Példaként az f(x,y)=x + cy függvények grafikonját mutatjuk be c[,] értékek szerinti animációval (5. ábra).
9 ábra Válogatott biológiai, kémiai modellek: a legfontosabb populációs, epidemiológiai, reakciómodellek, modellek fejlesztése; a modellegyenletek megoldásai: D, D live show, a modellbõvítés (egyenletek) interaktív elvégzése, interaktív szabályozás. Az alábbi két ábra IRIS Explorerrel készült sémákat mutat, amelyek egy térbeli vektormezõt és egy többváltozós függvény szintfelületeit jelenítik meg (6a. és 6b. ábra).
10 6a. ábra 6b. ábra Irodalom [] T. VAUGHAM: Multimedia, Making it work. Osborne, McGraw-Hill, 99. [] B. DAVIS, H. PORTA, J. UHL: Calculus&Mathematica. Addison-Wesley, 99. [] KOVÁCS F.: Az oktatófilm, tudományos ismeretterjesztõ film dramaturgiája. Megjelenés alatt, 99. [] KUNSZENTI Á.: A mozgóképet (is) tartalmazó megjelenítés médiumai: film, video, számítógép. Megjelenés alatt, 99. [5] KARSAI J., FORCZEK E.: Számítógépes vizualizáció a gyógyszerészhallgatók matematika oktatásában. "Számítástechnikai és kibernetikai módszerek az orvostudományban és a biológiában", a 7. kollokvium kiadványa, 99.
Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév
Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen
SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK
SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK Karsai János, karsai@silver.szote.u-szeged.hu, Forczek Erzsébet, forczek@dmi.szote.u-szeged.hu, Nyári Tibor, nyari@dmi.szote.u-szeged.hu
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
Számítógépes matematikai kísérletek: a kreatív és vizuális gondolkodás fejlesztése
Számítógépes matematikai kísérletek: a kreatív és vizuális gondolkodás fejlesztése Karsai János, Szanyiné Forczek Erzsébet Szegedi Tudományegyetem, Általános Orvostudományi Kar, Orvosi Informatikai Intézet
Gazdasági matematika
Gazdasági matematika Tantárgyi útmutató Pénzügy és számvitel, Gazdálkodási és menedzsment, Emberi erőforrások alapképzési szakok nappali tagozat új tanrendűek számára 2017/18 tanév II. félév 1 Tantárgy
Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz
I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani
Gazdasági matematika
ALKALMAZOTT KVANTITATÍV MÓDSZERTAN TANSZÉK Gazdasági matematika Tantárgyi útmutató Pénzügy és számvitel, Gazdálkodási és menedzsment, Emberi erőforrások alapképzési szakok nappali tagozat új tanrendűek
MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR
MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR Budapest, 2018 Szerző: SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA főiskolai docens 978-963-638-542-2 Kiadja a SALDO Pénzügyi
Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
A kiadásért felel dr. Táncos László, a Semmelweis Kiadó igazgatója Nyomda alá rendezte Békésy János Borítóterv: Táncos László SKD: SKD043-e
Dr. Gergó Lajos elõadásjegyzetei alapján készítették: Dr. Gergó Lajos Dr. Meskó Attiláné Gillemotné Dr. Orbán Katalin Semmelweis Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, Egyetemi Gyógyszertár, Gyógyszerügyi
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp
MATEMATIKA 2. TANTÁRGYLEÍRÁS. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves)
TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve MATEMATIKA 2. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM008 1.3 Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves) kurzustípus óraszám (heti) előadás (elmélet) 2 gyakorlat
Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN
A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN Dr. Kocsis Imre DE Műszaki Kar Dr. Papp Ildikó DE Informatikai
12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Egy gazdasa gmatematikai modell An economical mathematics model
Egy gazdasa gmatematikai modell An economical mathematics model KÉZI CS. University of Debrecen, kezicsaba@science.unideb.hu Absztrakt. Az NTP-NFTÖ-17-C-159 azonosítószámú pályázat keretében az egyik fő
Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer
Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Óbudai Egyetem Mikroelektronikai és Technológia Intézet Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Tantárgy neve és kódja: Matematika II. KMEMA21TND Kreditérték:
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.
YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
MATEMATIKA 1. TANTÁRGYLEÍRÁS. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves)
TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve MATEMATIKA 1. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM001 1.3 Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves) kurzustípus óraszám (heti) előadás (elmélet) 4 gyakorlat
SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN
SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software
Dinamikus geometriai programok
2011. február 19. Eszköz és médium (fotó: http://sliderulemuseum.com) ugyanez egyben: Enter Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori sajátosságoknak megfelelő tárgyi tevékenységnek
Döntéstámogatás terepi gyakorlatokon
Döntéstámogatás terepi gyakorlatokon Forczek Erzsébet 1 Karsai János 1 - Berke József 2 1 Szegedi Tudományegyetem, Általános Orvostudományi Kar Orvosi Informatikai Intézet, 6720 Szeged, Korányi fasor 9.
Máté: Számítógépes grafika alapjai
Történeti áttekintés Interaktív grafikai rendszerek A számítógépes grafika osztályozása Valós és képzeletbeli objektumok (pl. tárgyak képei, függvények) szintézise számítógépes modelljeikből (pl. pontok,
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 1. Bevezetés, függvények, sorozatok, határérték Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, a biomatematika célja 2 Függvénytani alapfogalmak
Mi legyen az informatika tantárgyban?
Mi legyen az informatika tantárgyban? oktatás fő területei: digitális írástudás; számítástudomány; információs technológiák. Digitális írástudás szövegszerkesztés, adat vizualizáció, prezentáció, zeneszerkesztés,
ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)
Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA
Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor
Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Bodrogné Réffy Júlia, Horváth Róbert 2018/19. II. félévtől Tantárgykód: BMETE90AX20 Félév: 2018/19. tavasz Nyelv: magyar
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára
A tantárgyelem kódja: KIT0401G. gyakorlat A tantárgyelem jellege: A tantárgyelem oktatásának ajánlott 5. félév
A mérföldkő megnevezése: A tantárgy megnevezése: A mérföldkő kódja: A tantárgy kódja: A tantárgyelem megnevezése: Számítástechnika az egészségügyben ápolóknak A tantárgyelem kredit-értéke: 1 A tantárgyelem
I. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
INTERAKTÍV MATEMATIKA MINDENKINEK GEOGEBRA MÓDRA. Papp-Varga Zsuzsanna ELTE IK, Média- és Oktatásinformatika Tanszék vzsuzsa@elte.
INTERAKTÍV MATEMATIKA MINDENKINEK GEOGEBRA MÓDRA Papp-Varga Zsuzsanna ELTE IK, Média- és Oktatásinformatika Tanszék vzsuzsa@elte.hu Abstract/Absztrakt A GeoGebra egy olyan világszerte 190 országban ismert,
Válogatott fejezetek a matematikából
Válogatott fejezetek a matematikából ---- ---- Simon Péter Válogatott fejezetek a matematikából Egyetemi jegyzet IK ISBN 978-963-489-068-3 Simon Péter --- simon_valogatott_matematika_borito.indd 1 2019.03.19.
Bevezetés a kvantum informatikába és kommunikációba Féléves házi feladat (2013/2014. tavasz)
Bevezetés a kvantum informatikába és kommunikációba Féléves házi feladat (2013/2014. tavasz) A házi feladatokkal kapcsolatos követelményekről Kapcsolódó határidők: választás: 6. oktatási hét csütörtöki
ANALÍZIS TANSZÉK Szakdolgozati téma. Piezoelektromos mechanikai redszer rezgését leíró parciális
Piezoelektromos mechanikai redszer rezgését leíró parciális di erenciálegyenlet el½oállítása és megoldása Témavezet½o: Dr. Kovács Béla Rugalmas és pizoelektromos rétegekb½ol álló összetett mechanikai rendszer
4. évfolyam. Tematikai egység/ Fejlesztési cél. Órakeret 4 óra. 1. Az informatikai eszközök használata
4. évfolyam Tematikai egység/ nevelési-fejlesztési 1. Az informatikai eszközök használata Alkalmazások megismerése, futtatása számítógépen. Kapcsolattartás a számítógéppel ismert programokon keresztül.
Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret
E-learning tananyagfejlesztő képzés tematika oktatott modulok
E-learning tananyagfejlesztő képzés tematika oktatott modulok 1142-06 - Számítógépkezelés, szoftverhasználat, munkaszervezés o Hardvert üzemeltet, szoftvert telepít o Irodai programcsomagot egyedi és integrált
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
GEOMATECH @ Sikerélmény a tanulásban
GEOMATECH @ Sikerélmény a tanulásban A KÉPZÉS RÖVID ISMERTETÉSE A GEOMATECH matematikai és természettudományos feladattár és képzés-támogatási portál olyan korszerű, digitális, a Nemzeti alaptantervhez
PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS ALAPKÉPZÉSI SZAK
PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS ALAPKÉPZÉSI SZAK 1. Az alapképzési szak megnevezése: programtervező informatikus (Computer Science) 2. Az alapképzési szakon szerezhető végzettségi szint és a szakképzettség
TÁMOP 6.1.4. Koragyermekkori (0-7 év) kiemelt projekt
TÁMOP 6.1.4. Koragyermekkori (0-7 év) kiemelt projekt Kapcsolat a Programmal II. cél: Gyermek alapellátás egységesebbé tétele az esélyegyenlőség javítása érdekében a hozzáférhetőség javításával és a jobb
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
MESÉL A SZÁMÍTÓGÉP. Interaktív mesekészítés óvodás és kisiskolás korban
MESÉL A SZÁMÍTÓGÉP Interaktív mesekészítés óvodás és kisiskolás korban Pasaréti Otília, Infor Éra 2009 TARTALOM A kutatás célja Interaktív mese A Meseszerkesztő bemutatása A kutatás menete A program fejlődése
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
Tóth János - Simon L. Péter - Csikja Rudolf. Differenciálegyenletek feladatgyűjtemény
Tóth János - Simon L. Péter - Csikja Rudolf Differenciálegyenletek feladatgyűjtemény 2011 Támogatás: Készült a TÁMOP 4.1.2.A/1 11/1 2011 0064 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
A TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület
Többváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Összeállította Horváth László egyetemi tanár
Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Intelligens Mérnöki Rendszerek Intézet Intelligens Mérnöki Rendszerek Szakirány a Mérnök informatikus alapszakon Összeállította Horváth László Budapest, 2011
Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
HŐÁTADÁS MODELLEZÉSE
HŐÁTADÁS MODELLEZÉSE KOHÓMÉRNÖKI MESTERKÉPZÉSI SZAK HŐENERGIAGAZDÁLKODÁSI SZAKIRÁNY TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR TÜZELÉSTANI ÉS HŐENERGIA INTÉZETI TANSZÉK
Csomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)
Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus
SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1
A LEGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét és programozási eszközeit használva különböző dinamikus (időben változó) ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott
cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Dinamikus geometriai programok
2010. szeptember 18. Ebben a vázlatban arról írok, hogyan válhatnak a dinamikus geometriai programok a matematika tanítás hatékony segítőivé. Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori
HELYI TANTERV / INFORMATIKA
Célok és kompetenciák Alap és legfontosabb cél INFORMATIKA TANTERV A GIMNÁZIUM 9. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA A tanuló képes legyen a modern információs társadalom előnyeit kihasználni, veszélyeit kikerülni. Legyen
Informatika tantervek. Zsakó László: Informatika tantervek
Informatika tantervek Zsakó László: Informatika tantervek Tantervfelépítés, tantárgyfelépítés Lineáris Ismeretkörök valamilyen egymás utániságát feltételezi, különböző tanévekhez különböző ismeretköröket
Informatika tanterv nyelvi előkészítő osztály heti 2 óra
Informatika tanterv nyelvi előkészítő osztály heti Számítógép feladata és felépítése Az informatikai eszközök használata Operációs rendszer Bemeneti egységek Kijelző egységek Háttértárak Feldolgozás végző
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
KÖNYVTÁR-INFORMATIKAI KÉPZÉS A KLTE-N
KÖNYVTÁR-INFORMATIKAI KÉPZÉS A KLTE-N Boda István, bodai@math.klte.hu Juhász István, pici@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract The library and information science course in Lajos
Komputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti
Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
Kétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
DINAMIKUS RENDSZEREK OKTATÁSA VRML SEGÍTSÉGÉVEL. Juhász Ferencné - Juhász Ferenc Gábor Dénes Főiskola. Összefoglaló. Abstract
DINAMIKUS RENDSZEREK OKTATÁSA VRML SEGÍTSÉGÉVEL TEACHING OF DYNAMICAL SYSTEMS BY MEANS OF VRML Juhász Ferencné - Juhász Ferenc Gábor Dénes Főiskola Összefoglaló Az irányításelmélet tanításához, a rendszerelemzés
n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
A tantárgyelem kódja: KIT0301G
A mérföldkő megnevezése: A tantárgy megnevezése: A mérföldkő kódja: A tantárgy kódja: A tantárgyelem megnevezése: Számítástechnika az egészségügyben védőnőknek A tantárgyelem kredit-értéke: A tantárgyelem
A NetSupport School oktatást támogató rendszer
A NetSupport School oktatást támogató rendszer 1. Célcsoport A NetSupport School oktatást támogató rendszer alkalmas valamennyi tanár-diák, oktatóhallgató kapcsolatot igénylő oktatási folyamat támogatására.
TANTÁRGYI ADATLAP. Mechatronika/Mechatronikus mérnök Végzettség
TANTÁRGYI ADATLAP 1. A tanulmányi program jellemzői 1.1 A felsőoktatási intézmény Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem 1.2 Kar Marosvásárhelyi Műszaki és Humán Tudományok Kar 1.3 Tanszék Gépészmérnöki
2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Feladataink, kötelességeink, önkéntes és szabadidős tevékenységeink elvégzése, a közösségi életformák gyakorlása döntések sorozatából tevődik össze.
INFORMATIKA Az informatika tantárgy ismeretkörei, fejlesztési területei hozzájárulnak ahhoz, hogy a tanuló az információs társadalom aktív tagjává válhasson. Az informatikai eszközök használata olyan eszköztudást
GEOMATECH @ Velünk játék a tanulás
GEOMATECH @ Velünk játék a tanulás A KÉPZÉS RÖVID ISMERTETÉSE A GEOMATECH matematikai és természettudományos feladattár és képzés-támogatási portál olyan korszerű, digitális, a Nemzeti alaptantervhez illeszkedő