Kvantummechanika tankönyv fizikusoknak

Átírás

1 Kvantummechanka tankönyv fzkusoknak

2 Tovább olvasnvaló a kadó kínálatából: Fre Zsolt Patkós András: Inflácós kozmológa Hraskó Péter: Relatvtáselmélet John D. Jackson: Klasszkus elektrodnamka Patkós András Polóny János: Sugárzás és részecskék Edwn F. Taylor John A. Wheeler: Térdo fzka

3 Kvantummechanka Geszt Tamás Eötvös Loránd Tudományegyetem, Fzka Intézet Budapest, 2007

4 A mu megjelenését támogatta... c Geszt Tamás, Typotex, 2007 ISBN xxx Kedves Olvasó! Önre gondoltunk, amkor a könyv elo készítésén munkálkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra fuzhetjük, ha belép a Typoklubba, ahonnan értesülhet új kadványankról, akcónkról, programjankról, és amenyet a címen érhet el. Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hbajegyzéket s, mert sajnos hbák olykor elo fordulnak. Kadja a Typotex Elektronkus Kadó Kft., az 1795-ben alapított Könyvkadók és Könyvterjeszto k Egyesületének tagja Felelo s kadó Votsky Zsuzsa Szakma lektor Patkós András Felelo s szerkeszo... Muszak szerkeszto... A borítót tervezte... Terjedelem... (A/5) ív Nyomtatta és kötötte... Felelo s vezeto...

5 Fényes Imre emlékére

6

7 Tartalom Elo szó A kvantumelmélet kezdete 1.1. A Planck-féle sugárzás törvény és a szgetelo krstályok ho kapactása 1.2. A fényelektromos jelenség: Lénárd és Ensten 1.3. Az atomos gázok színképe: a Rutherford-modellto l a Bohrmodellg 1.4. De Brogle: a Bohr-formula értelmezése anyaghullámokkal Az anyaghullámok elem tulajdonsága 2.1. Interferencakísérletek elektrontól C60 -g 2.2. A szuperpozcó elve 2.3. Hullámcsomag, csoportsebesség 2.4. Mozgás ero térben 2.5. Szemklasszkus mozgás és átmenet a klasszkus mechankába 2.6. Határozatlanság relácó 2.7. Az alapállapot mérete és energája 2.8. Véletlenszeruség és a Born-féle statsztkus értelmezés 2.9. Állóhullámok: anyagmegmaradás és komplex ampltúdó Schrödnger-egyenlet egy részecskére 3.1. A Schrödnger-egyenlet levezetése 3.2. A kvantumállapot és a Hamlton-operátor 3.3. A hely és mpulzus felcserélés relácója 3.4. Staconárus állapotok és az do to l független Schrödnger-egyenlet A Schrödnger-egyenlet megoldásanak tulajdonsága 4.1. Normálás 4.2. A határfeltételek és a spektrum 4.3. Anyagmegmaradás és komplex hullámfüggvény: a kontnutás egyenlet

8 8 Tartalomjegyzék 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása 5.1. Végtelen potencálgödör kötött állapota 5.2. Tükrözés szmmetra, páros és páratlan megoldások 5.3. Véges potencálgödör 5.4. A dobozba zárt részecske, cklkus határfeltétel, cellák a fázstérben 5.5. Alagúteffektus és rezonancaszórás 5.6. A harmonkus oszcllátor staconárus állapota Az általános formalzmus 6.1. Hullámfüggvény és kvantumállapot; megfgyelheto fzka mennységek és operátorok 6.2. A mérés statsztkája 6.3. Az állapotok Hlbert-tere; teljesség; a kvantummechanka átlag 6.4. Önadjungált operátorok 6.5. Operátorok és mátrxok; untér transzformácók 6.6. Folytonos mátrxok; koordnáta- és mpulzusreprezentácó 6.7. Suruségmátrx és Wgner-függvény Közvetlen következmények 7.1. Határozatlanság relácók 7.2. Varácós elv a staconárus állapotokra 7.3. Az átlagérték do derváltja; mozgásállandók; Ehrenfest tétele 7.4. Ido fejlo dés Schrödnger- és Hesenberg-képben 7.5. A Hamlton-operátor szmmetrá és a megmaradó mennységek 7.6. A folytonos szmmetrák generátora 7.7. Általános szmmetramuveletek: rreducbls ábrázolások és a spektrum 8. A harmonkus oszcllátor: részletek 8.1. Az algebra módszer: kelto és eltünteto operátorok és mátrxelemek 8.2. Koherens állapotok (kvantum-hnta) 8.3. Rövd ktekntés: molekula-rezgések, krstályrezgések, csapdába ejtett on rezgése 8.4. A foton

9 9 9. Impulzusmomentum a kvantummechankában 9.1. A pálya-mpulzusmomentum operátora; az mpulzusmomentum felcserélés relácó 9.2. Schrödnger-egyenlet hengerszmmetrkus potencállal: a Bohr-féle kvantumfeltétel 9.3. Schrödnger-egyenlet centráls ero térben: az energasajátfüggvények szögfüggése 9.4. Szmmetra és szmmetrasértés: partás; mágneses kvantumszám kontra propellerek és dálák 9.5. Az mpulzusmomentum spektruma és mátrxeleme A hdrogénatom A radáls Schrödnger-egyenlet megoldása Coulomb-potencálra Mozgás mágneses térben Töltött részecske Lagrange-függvénye és Hamlton-operátora mágneses mezo jelenlétében Szabad mozgás: a cklotron-pályák kvantálása, Landau-szntek A mértéknvaranca és a vektorpotencál realtása: Aharonov Bohm-effektus, fluxuskvantálás Spn A feles spn kvantumelmélete: kétkomponensu spnorok és Paul-mátrxok Spnorforgatás, kvázspn, qubt Feles spn állandó mágneses térben: Larmorprecesszó és Rab-oszcllácó Repülo feles spn A feles spn állapotanak mérése (rekonstrukcója) Mágneses rezonanca Perturbácószámítás Ido to l független perturbácószámítás: elfajult és el nem fajult eset Perturbácószámítás nem elfajult esetben Perturbácószámítás elfajult esetben Ido to l függo perturbácók; kölcsönhatás kép; a Ferm-féle aranyszabály Drac módszere Átmenetek a folytonos spektrumban; a Ferm-féle aranyszabály

10 10 Tartalomjegyzék Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó Félklasszkus sugárzáselmélet Spontán emsszó A Planck-törvény Ensten-féle levezetése Dpólátmenetek kválasztás szabálya Szórás folyamatok Szóráskísérletek: ütközések, reakcók, rugalmatlan és rugalmas szórás, potencálszórás Staconárus potencálszórás, szórás ampltúdó és hatáskeresztmetszet Gyors részecske szóródása: Born-közelítés Összetett tárgy szórás képe Gömbszmmetrkus potencál: kfejtés parcáls hullámok szernt Alacsonyenergás határeset: s-szórás, szórás hossz Többrészecskerendszerek kvantummechankája A kölcsönható részecskék összefonódása Tömegközéppont és belso mozgás; elem és összetett részecskék Azonos részecskék megkülönböztethetetlensége Kölcsönhatás nélkül azonos részecskék, egyrészecske-állapotok betöltése, átlagtérközelítés Atomok és a peródusos rendszer Vráltétel Adabatkus közelítés, Hellmann Feynman tétel A kéma kötés Impulzusmomentumok összeadása Ensten Podolsky Rosen paradoxon, Bell-egyenlo tlenség Környezet kölcsönhatások, dekoherenca és komplementartás Dekoherenca és a suruségmátrx A szemklasszkus határeset Hullámfüggvények WKB közelítésben Egydmenzós mozgások WKB közelítésben Kvantummérés: téma változatokkal Kvantum-Zénón-effektus Kölcsönhatás-mentes mérés Quantum Non-Demolton

11 Kvantum-ugrások Gyenge mérés utószelekcóval Függelékek A Feynman-féle pályantegrál B Ion- és atomcsapdák, lézerhs tés C Ms veletek koherens állapotokkal D A kölcsönhatás kép E Dekoherenca: a master-egyenlet E.1. Kétállapotú rendszer oszcllátor-fürdo ben: a spn bozon modell E.2. Oszcllátor oszcllátorok fürdo jében E.3. Nagy molekula atomos gázban F A kvantumnformácó eleme F.1. A qubtek hordozó F.2. Az alapveto stratégák F.3. Kvantum-ttkosírás F.4. Klónozás és teleportácó G A Drac-egyenlet Irodalom Tárgymutató 299

12

13 Elo szó A kvantummechanka a huszadk század elso negyedében órás ablakot nytott a vlágra, és a természettudományok muvelo és kedvelo azóta sem tudnak beteln a látvánnyal. Megtanuln a kvantummechankát része a vlág megértésének, és ak jobban megtanulja, az többet ért a vlágból. A kvantummechanka mnt tantárgy a kezdetekto l fogva része mndazok tanulmányanak, akk a fzkát szakmájuknak választották. Számukra ezzel kezdo dk a fzka legaktívabb kutatás területenek megsmerése, beleértve a statsztkus fzkát, szlárdtestfzkát, magfzkát, részecskefzkát bemutató egyetem elo adásokat, amelyek mnd megkerülhetetlenül a kvantummechankára épülnek. Néhányszor nekem s jutott abból az örömbo l, hogy ezt a tárgyat elo ször geofzkus, késo bb fzkus hallgatóknak taníthattam. Elo dem és kortársam természetesen írtak jó magyar nyelvu tankönyveket: Marx György [1], Gombás Pál és Ksd Dávd [2], Nagy Károly [3], Apagy Barna [4] könyvet haszonnal forgatják a vzsgára készülo hallgatók; külön említést érdemel Nagy Károly, Pócsk György és Szépfalusy Péter alapos Kvantumelmélet fejezete a Fzka kézkönyv muszakaknak kötetben [5]; a népszerusíto rodalomból ma s élvezetes olvasmány Károlyház Frgyes zsebkönyve, az Igaz varázslat [6]. Az oroszból fordított remekmu, Landau és Lfsc negyedszázaddal ezelo tt magyarra lefordított Elmélet fzka sorozatának Kvantummechanka kötete [7] utolérhetetlen összefoglalása mndannak, amt a huszadk század egyk kemelkedo génusza a témában fontosnak tartott. Feynman elo adásanak magyarul Ma fzka címen megjelent klenc kötete [8] s széles panorámáját rajzolja fel a kvantummechanka gondolatanak és alkalmazásanak, kvételesen eredet nézo pont szernt. Hogy érdemes ezek mellé még egy könyvet hozzátenn a választékhoz, azt az utolsó néhány évtzedben bekövetkezett vharos fejlo dés ndokolja: régebben elképzelhetetlen fnomságú új kísérletek sokasága és a rájuk épülo alkalmazások terjedése mellett a kvantummechanka gondolatvlága és hangulata s alaposan átértékelo dött. Bár a nagyenergás fzka a részecskegyorsítókban vagy az o srobbanás körülmé13

14 14 Elo szó nye között lejátszódó jelenségek fzkája változatlanul ero s érzelm húzóero t jelent a fzka egésze számára, ma az alacsonyenergás kvantummechanka önálló, aktív tudományág, amelyben napról napra születnek meglepo új eredmények, és kváló kutatók csapata gazdag élemuvek sokaságát építk tthon és a vlágban. Ezek fényében éreztem fontosnak egy új tankönyv megírását, amely közhely, de gaz akkor lesz skeres, ha hozzá tud járuln a maga melo bb elavulásához. Megérdemel egy bekezdést a magyar szaknyelv kérdése. A kvantummechanka elterjedésének do szaka egybeesett azzal az do vel, amkor az angol szaknyelv uralkodóvá vált a fzkában. Ez maga után vonhatta volna azt, hogy az új fogalmak angol nevükön terjednek el. Szerencse, hogy ez csak egy esetben történt meg: a lassan fél évszázados observable szónak mág sem alakult k jó magyar megfelelo je. Nem vettem a bátorságot, hogy a számos változat közül egyet ráero ltessek olvasómra; a döntést a következo tankönyv írójára hagyom. A tér és mezo szavaknak még a közelmúltban s ero s érzelmeket kváltott vetélkedésében, amely nem korlátozódk a kvantummechankára, bár tanulmányam során a tér változat vódott az degembe, gyekeztem a mezo szót s surun használn, mert azóta megtanultam, hogy ez lenne az gazabb változat: Maxwell, ak a feld szót megalkotta, gazdag skót földbrtokosként azt akarta kfejezn vele, hogy a valóságos dolgok nem a kastélyban történnek, ahol a gazda lakk, hanem knt a mezo n. A megírásban nagy segítséget nyújtottak azok a krtka megjegyzések, amelyeket a könyv hvatalos szakma lektorától, Patkós Andrástól, valamnt nemhvatalos barát szolgálatként a kézrat nagy részét alaposan elolvasó Frenkel Andortól és Dós Lajostól kaptam. Köszönet llet feleségemet azért a türelmes segítségért, amelyet a feszített tempójú könyvírás nem könnyu do szakában nyújtott. A könyv ajánlása Fényes Imre emlékének szól. To le tanultam, hogy a kvantummechanka a legfontosabb dolgok közé tartozk márcus 31. Geszt Tamás

15 1. fejezet A kvantumelmélet kezdete 1.1. A Planck-féle sugárzás törvény és a szgetelo krstályok ho kapactása A 19. század végére kteljesedett a fzkának az az épülete, melyet ma klasszkus fzkának nevezünk. Faraday és Maxwell munká nyomán megszületett az elektrodnamka, benne az elektromágneses hullámok ksugárzásának és terjedésének elméletével, amt Hertz kísérlete támasztottak alá, és nylvánvalóvá vált, hogy a fény és a ho sugárzás s ezeknek a hullámoknak a családjába tartozk. Ezzel párhuzamosan megszületett a termodnamka és háttértudománya, a statsztkus fzka, amely óvatosan, egyelo re kevés konkrét smeret alapján, megndult az anyag mkroszkópkus szerkezetének feltárása felé. Ebbe az rányba mutatott a kéma nagyjanak, Daltonnak és Avogadrónak néhány dráma felsmerése s. Valószínutlenül termékeny szntézshez vezetett a ho sugárzás és a termodnamka összekapcsolódása, amt Krchhoff elmélet vzsgálata ndított meg. Addgra Bunsen és mások kísérlete nyomán smern lehetett sokféle anyag ho sugárzásának spektráls szerkezetét, vagys a T abszolút ho mérsékleten tartott anyagok által, egy adott ν frekvenca körül dν frekvencantervallumba ksugárzott e(ν, T )dν energaáramot, amelybo l az anyagról anyagra változó e(ν, T ) emsszós spektrumok nagy mérés táblázata születtek meg. Azt s lehetett tudn, hogy az anyagok a rájuk eso sugárzásból mnden dν frekvencantervallumban a jelenlevo u(ν, T )dν sugárzás energasuruséggel arányos, a(ν, T )u(ν, T )dν sebességgel nyelk el az energát, és az a(ν, T ) együttható, az ún. abszorpcós spektrum mnden anyagra más és más. A mérés eredmények feltuno tulajdonsága, hogy ez a két függvény, az anyagra jellemzo emsszós és abszorpcós spektrum nem látszk függetlennek egymástól: amlyen színben (frekvencán) egy adott T ho mérsékleten egy anyag ero sen sugároz, ugyanazt a színt ugyanez az anyag ero sen el s nyel. Krchhoff arra jött rá, hogy ez nem véletlen egybeesés, hanem annak szükséges feltétele, hogy egy T ho mérsékletu falakkal körbezárt, ugyanlyen ho 15

16 16 1. A kvantumelmélet kezdete mérsékletu testeket tartalmazó üregben a ho sugárzás termkus egyensúlyba juthasson a sugárzó-elnyelo testekkel: ha az emsszó és abszorpcó aránya anyagról-anyagra változna, akkor a sugárzó energa folyamatosan áramlana az ero sebben emttáló anyagok felo l az ero sebben abszorbeáló anyagok felé, am staconárus állapot lehet, de nem termkus egyensúly. A következtetés: e(ν, T ) = u(ν, T ) unverzáls függvény. a(ν, T ) (1.1) Az u(ν, T ) unverzáls (mnden anyagra azonos) függvény jelentése s nylvánvaló: u(ν, T )dν a T ho mérsékletu üregben levo sugárzó energa suru sége a dν ntervallumban. Ennek a függvénynek a meghatározására élénk kísérlet munka kezdo dött el, am azon az észrevételen alapult, hogy ha az üreg falán egy kcsny lyukat nytunk, az nem zavarja meg lényegesen a sugárzás és a falak termkus egyensúlyát, így a lyukra rányított spektroszkóp az üregbel egyensúly sugárzás spektráls összetételét fogja mutatn. A kcsny lyukra kívülro l eso fény az üreg belsejében többször vsszavero dve elnyelo dk, melo tt alkalma lenne a lyukat újra eltalálva kszökn, ezért kapta ez a termkus sugárforrás az abszolút fekete test nevet: a lyuk mndent elnyel; rajta nem jön k más, mnt a termkus egyensúlyba jutott sugárzás (1.1 ábra). A kjövo energasuruség spektráls eloszlását a spektroszkóp ernyo jén véggvezetett ho méro (bolométer) melegedésébo l lehet mérn. Ilyen vzsgálatokat a színkép különbözo tartományaban az nfravörös ho sugárzástól a látható fényen keresztül az ultrabolyág különbözo laboratórumok sokaságában végeztek; a mérések a század fordulójára összeértek, és széles frekvenca- és ho mérséklet-tartományt lefedo u(ν, T ) spektráls függvényt produkáltak. Készen állott egy elmélet jóslat s: eszernt a szóbajöheto hullámhosszaknál sokkal nagyobb kterjedésu, V térfogatú üregben a c fénysebességgel terjedo elektromágneses sugárzásnak egy dν ntervallumban V (8π/c3 ) ν2 dν független módusa (határozott ν frekvencájú, az üreg határának megfelelo határfeltételeket kelégíto rezgés formája) van. 1 Ezek mndegyke egy harmonkus oszcllátornak felel meg, amelyekre az ekvpartícó tétele szernt 1 q Állóhullám módusok frekvencát számoljuk össze, amelyekre 2πν = ω = ck, ahol k = kx2 + ky2 + kz2 a hullámvektor hossza (kx = 2π/λx stb.) Legyen az üreg az x, y, z tengelyek rányában a, b, c kterjedésu; V = abc az üreg térfogata. Akármlyen fzkalag értelmes határfeltétel szernt a független módusok félhullámhossza x rányban λx /2 a/nx, y rányban λy /2 a/ny, z rányban λz /2 a/nz, ahol nx, ny és nz nagy egész számok. Ennek megfelelo en a hullámvektor végpontja (π/a)nx, (π/b)ny, (π/c)nz ; ezek a pontok a ~k térben V /π3 suruségu rácsot alkotnak. Egy ν frekvenca körül dν ntervallumban azoknak a hul-

17 1.1. A Planck-féle sugárzás törvény és a szgetelo krstályok ho kapactása 17 T T T 1.1. ábra. Az abszolút fekete test kísérletben megvalósítható modellje: egy köröskörül állandó T ho mérsékleten tartott zárt doboz, amelyben termkus egyensúly sugárzás alakul k, amt egy ks lyukon át spektroszkóppal meg lehet fgyeln. egyenként kb T energa jut, ahol kb = 1, J/K a Boltzmann-állandó. Eszernt (Raylegh Jeans törvény) a térfogategységre vonatkoztatott energasuruség u(ν, T ) = (8π/c3 ) kb ν2 T. Ez a jóslat sznte azonnal fnomításra szorult. Az elmélet oldaláról, a fent formula a 0-tól -g terjedo frekvencantervallumra ntegrálva végtelen sugárzás energát ad, am lehetetlen (a végtelen megjelenése a nagy frekvencák járulékából ered, ezért hívják bolyántúl katasztrófának ). A megoldást a kísérlet eredmények kínálják: az u(ν, T ) függvény levág egy νmax = B T frekvenca fölött (Wen-féle eltolódás törvény, mert a maxmum helye T növelésével arányosan eltolódk), így a frekvencára ntegrált sugárzás energa véges lesz: U (T ) V (AB/3)T 4, összhangban a Stefan Boltzmann törvénnyel, amely szernt a T 4 függés a fénynyomás tulajdonságanak általános termodnamka következménye. lámoknak a frekvencája található, amelyeknek hullámvektora a megfelelo dk vastagságú, 4π k2 dk/8 térfogatú nyolcad gömbhéjba esk (nyolcad, mert az állóhulámokra mnden k komponens poztív). Ezek száma, a kétféle transzverzáls polarzácót s fgyelembe véve, 2 V /π3 4π k2 dk/8= V (8π/c3 ) ν2 dν.

18 18 1. A kvantumelmélet kezdete A történet csattanóját Max Planck írta meg, ak rájött a B együttható fzka jelentésére, és ebbo l született meg a kvantumelmélet. Planck magyarázata szernt mnden harmonkus oszcllátor, így egy elektromágneses sugárzás módus s, csak a ν frekvencájával arányos hν adagokban, kvantumokban tud energát felvenn, ahol h = 6, J s (1.2) a Planck-állandó. Amelyk módus frekvencája olyan nagy, hogy az ekvpartícó törvényének megfelelo kb T energa nem ér el a hν energakvantumot, az a módus nem vesz fel az energát. Adott T ho mérsékleten, kvázfolytonos frekvencaeloszlású hullámmódusok közül tehát csak azok vesznek részt a termkus gerjesztésben, amelyekre hν < hνmax = kb T, ambo l a frekvencalevágás helyének együtthatója B kb /h. A pontos eredmény, amely a Raylegh Jeans törvény helyére lép, a híres Planck-törvény:2 8π h ν3. u(ν) = 3 (1.3) c exp hν 1 kb T 1.2. ábra. A felfelé tartó görbe: a klasszkus Raylegh Jeans jóslat; a vsszahajló: a Planck-függvény (dmenzótlan egységekben). Ugyanez a mechanzmus okozza a szgetelo krstályok belso energájának tehát fajho jének T 3 -ös ho mérsékletfüggését alacsony ho mérsékleten, T 4 -es, 2 A statsztkus fzka szernt ha egy módus nhν energát vehet fel, ahol n = 0, 1, 2,..., akkor a felvett energa átlaga n nhν exp( nhν/kb T )/ n exp( nhν/kb T ) = hν/(exp(hν/kb T ) 1) (a nevezo ben geometra sor összegét, a számlálóban ennek 1/kB T szernt derváltját kellett kszámítan). Ennek az eredménynek a (8π/c3 ) ν2 módussuruség gel való szorzata a Planck-függvény; ezt mutatja be a (1.2) ábra s.

19 1.2. A fényelektromos jelenség: Lénárd és Ensten 19 amt Ensten kora munká nyomán Debye tsztázott, a fnom krstályfzka részleteket pedg Max Born és Kármán Tódor tette hozzá. A szgetelo kben, amelyekben az elektronok nem mozoghatnak szabadon, az alacsony ho mérsékleten s elérheto gerjesztés egyetlen módja a krstály hanghullám-szeru mozgása, amely az elektromágneses hullámokhoz hasonló haladó hullámmódusokból tevo dk össze, és hasonlóan vesz fel az energát: alacsony T ho mérsékleteken nagyjából csak egy νmax = kb T /h határfrekvencág, amely fölött módusok fokozatosan kfagynak. A krstályban azonban a hullámhossznak van egy természetes alsó határa: a rácsállandó. Ennek felel meg a frekvenca felso határa: a νd Debye-frekvenca és a hozzá tartozó, 100K nagyságrendu TD = hνd /kb Debye-ho mérséklet; ennél magasabb ho mérsékleten már nncs több kolvasztható oszcllátor-módus, és a fajho t az ekvpartcó tétele határozza meg A fényelektromos jelenség: Lénárd és Ensten A h Planck-állandó következo megjelenése a pozsony Lénárd Fülöp Nobeldíjjal jutalmazott kísérletéhez kapcsolódk, az összefüggést Ensten fedezte fel. A vákuumban repülo elektronok által szállított elektromos áram 19. századvég felfedezésének egy érdekes elágazása volt, hogy egy fémelektródból többek között megvlágítással s lehet elektronokat kszabadítan. Lénárd kísérletében megmérte a kszabadított elektronok E f otoel energáját (1.3. ábra), és rájött, hogy az a beeso fény ntenztásától nem függ, csak a fény színéto l. A színt a fény frekvencájával kfejezve, Ensten (1905) lyen alakba írta az összefüggést: E f otoel = hν W, (1.4) ahol h a már megsmert Planck-állandó, W neve pedg klépés munka, ez a mennység a megvlágított fémelektród anyagára jellemzo. Ensten magyarázata, amt Lénárd Fülöp hosszú élete végég sem htt el, de Ensten számára Nobel-díjának hvatkozásául szolgált, a következo : a beeso fény hν energájú energakvantumokból, késo bb született szóval: fotonokból áll; egy elektron emsszójához pontosan egy foton energája használódk el, amelybo l W fordítódk a fémbo l való kszakadásra. A fennmaradó E f otoel = hν W a klépo elektron knetkus energája, ezt mérjük a Lénárd-féle kísérletben. A kvantummechanka tanulása során az olvasó meg fogja látn, hogy létezk az (1.4) egyenletnek egy másfajta értelmezése s, am ero s fényforrások esetén közelebb áll az gazsághoz: az elektron átmenete két olyan állapot kö-

20 20 1. A kvantumelmélet kezdete e I + + U ábra. Lénárd Fülöp kísérlete: a megvlágított katódról klépo elektron energája E f otoel = eu0, ahol e az elektron töltése, U0 pedg a rácsra adott fékezo feszültségnek az az értéke, amelynél megszunk az átfolyó áram. zött 3, amelyek energája egymástól E értékkel különbözk, ν = E/h frekvencájú töltésoszcllácóval jár; erre rezonál a beeso fény oszclláló elektromos térero ssége. Ensten csodálatos ntuícója mégs helyes volt, a fotonok léteznek, de ennek közvetlen bzonyítékat a fény emsszójának és abszorpcójának fnomabb törvényszerusége adták meg, amelyek felsmerésében Enstennek smételten dönto szerep jutott. A részleteket a 13.3 pontban beszéljük meg Az atomos gázok színképe: a Rutherford-modellto l a Bohr-modellg Rutherford kísérlete, amelyben nagyenergájú, poztív töltésu α-részecskék vsszapattanását fgyelte meg elektromosan semleges anyagról (1911), bzonyította, hogy a körülöttünk levo anyagok tömegének dönto része a poztív töltésu, kcsny kterjedésu atommagokba tömörül, amelyek között helyezkednek el a könnyu, negatív töltésu elektronok. Hogy az utóbbak mért nem zuhannak bele a magokba, arra Rutherford szernt nylvánvaló magyarázatul szolgál, hogy az atom olyan, mnt egy apró naprendszer: a negatív töltésu elektronok bolygóként kerngenek az o ket vonzó poztív magok körül, és a centrfugáls ero tart egyensúlyt a Coulomb-vonzással. Ezt nevezk 3 tt: a fémben kötött állapotból szabadon mozgó állapotba

21 1.3. Az atomos gázok színképe: a Rutherford-modellto l a Bohr-modellg 21 Rutherford-féle atommodellnek, am szép, de van egy hbája: a mag és a körülötte kerngo elektron együtt egy forgó (oldalról nézve: rezgo ) elektromos dpólust alkotnak, amely elektromágneses hullámokat sugározva mégscsak gyorsan elveszít forgás energáját, így az elektronnak sprálpályán bele kell(ene) zuhanna a magba. A bonyodalmak kbogozásához, akárcsak a fotoelektromos effektusnál, az elektronok és a fény kölcsönhatásának vzsgálatán keresztül vezetett az út, mégpedg a legegyszerubb anyag, az egyatomos hdrogéngáz színképének megfgyelésével.4 A mérések szernt az atomos gázok spektruma éles vonalakból áll, amelyek frekvencának sokasága leegyszerusödk, ha két tag különbségének írjuk o ket: 5 νmn = Am An. (1.5) Nels Bohr volt az, aknek erro l 1913-ban Planck kvantumhpotézse és Ensten fotonhpotézse jutott eszébe: szorozzuk meg az egyenletet a h Planckállandóval, és vezessük be a beszédes h An = En jelölést: hνmn = Em En, (1.6) amnek ezekután kézenfekvo az értelmezése: az atom egyes, élesen meghatározott Em, En energájú staconárus elektronpályá valamlyen rejtélyes okból elkerülk a folytonos dpólsugárzás csapdáját. Néha, ugrásszeruen az atom mégs ksugároz vagy elnyel egy hνmn energájú fotont; lyenkor az elektron átugrk az egyk staconárus pályáról a máskra. Hogy ksugárzás vagy elnyelés történk-e, az azon múlk, hogy a kezdet vagy a végso pályán nagyobb az elektron energája; az (1.6) egyenlet az energa megmaradását fejez k a kvantumugrás folyamatában. A dszkrét (vagys nem folytonos) energaértékekkel megkülönböztetheto, stabl elektronpályák létezését meggyo zo en bzonyította a Franck Hertz kísérlet (1914). Ebben gázksülést hoztak létre atomos hganygo zben, és mérték az átfolyó elektronok áramát, egy gyorsító rácstól felvett energa függvényében. Az áram rezonancaszeru csökkenését fgyelték meg, ha ez az energa megegyezett a színképbo l meghatározott energaértékekkel, annak megfelelo en, hogy a hganyatomokkal ütközve az elektronok éppen ekkora energát tudtak leadn. 4 Atomos hdrogén egyes kéma reakcókban születk, és hamarosan H 2 molekulákká egyesül, de nem olyan gyorsan, hogy ne lenne do felvenn az emsszós vagy abszorpcós spektrumát. 5 Ezt a felsmerést hívják Rydberg Rtz kombnácós elvnek.

22 22 1. A kvantumelmélet kezdete Az eddgek mnden egyatomos gázra érvényesek; a hdrogénatom esetében ennél tovább lehet menn: Rydberg emprkus formulája szernt6 En = Ry/n2, (1.7) ahol Ry neve Rydberg-állandó. Bohr értelmezésében ez a formula levezetheto, ha az elektron körpályákon kerng, és a folytonos sugárzást elkerülo, staconárus körpályák r sugarát az L = pr = Me vr mpulzusmomentumra (perdületre) vonatkozó h L = n nh (1.8) 2π kvantumfeltétel választja k a klasszkus mechanka által megengedett (de a sugárzást s tartalmazó elektrodnamka által összeomlásra ítélt) pályák sokaságából. Itt bevezettük a kvantummechankában általánosan használt h = h/2π jelölést; jegyezzük meg az értékét s: h = 1, Js. A számításból az n = 1 pálya sugarára (Bohr-sugár) az rb = 4π ε0 h 2 = 5, m Me e2 (1.9) értéket kapjuk, ahol Me = 0, kg az elektron tömege, e = 1, C az elektron töltése, és ε0 a vákuum delektromos permeabltása, amelynek értéke SI egységekben 8, C2 /Jm. Végül az (1.7) formulában szereplo Ry együtthatóra az Ry = e4 Me 2, J 13, 6 ev (4πε0 )2 2h 2 (1.10) érték adódk,7 amely a bemeno adatok pontos mért értéket behelyettesítve, sok tzedesjegy pontossággal vsszaadja az atomos hdrogén színképvonalanak frekvencáját.8 A fzka hagyománya szernt az lyen pontos egyezés azt 6A hdrogénatom színképvonalanak egy sorozatára Balmer adott meg egy emprkus formulát; ezt írta át Rydberg a (1.5) kombnácós elv szernt, ekkor jelent meg a (1.7) alak. 7 Az e töltésu elektron és e töltésu proton vonzó potencáls energája V (r) = e2 /(4πε0 r), ahol ε0 az SI mértékrendszerben a vákuum delektromos állandóját jelöl. Az ennek megfelelo Coulomb-ero tart egyensúlyt a centrfugáls ero vel: e2 /(4πε0 r2 ) = Me v2 /r = (Me vr)2 /(Me r3 ) = n2 h 2 /(Me r3 ), ahol használtuk az (1.8) kvantumfeltételt. Innen kfejezhetjük az r pályasugár értékét, és újra használva a kvantumfeltételt, a v kerngés sebességet s. Az energát végül V (r) + Me v2 /2 alakban számoljuk k, ahonnan leolvashatjuk a Ry együttható (1.10) formulában leírt kfejezését. 8A spektroszkópa mérések már Bohr dejében s 8-9 jegyre pontosak voltak, de a négy jegynél pontosabb egyezéshez fgyelembe kell még venn, hogy a proton s mozog; lásd a 15.2 pontban.

23 1.4. De Brogle: a Bohr-formula értelmezése anyaghullámokkal 23 jelz, hogy Bohr kvantumfeltétele a fzka valóság valamlyen fontos tulajdonságát ragadta meg. A (1.8) formulában az önkényesnek látszó 2π beírása, mnt egy páncélszekrényt nytó kód, ennek a numerkus egyezésnek a kulcsát adta Bohr kezébe. Már csak annak megértésével vagyunk adósak, hogy hogyan és mért De Brogle: a Bohr-formula értelmezése anyaghullámokkal Már Ensten megjegyezte, hogy mvel az elektromágneses hullámok E energájához a maxwell elektrodnamka szernt E/c mpulzus (lendület) tartozk, a hν energájú fotonnak s van p = hν/c = h/λ mpulzusa. Ensten szemében ez lényeges lépés volt ahhoz, hogy a fotont teljes jogú elem részecskének teknthessük. Lous de Brogle fedezte fel 1924-ben, hogy ha fordítva, a p = Me v mpulzussal mozgó elektronhoz s hozzárendelheto valamféle anyaghullám mozgása, és ha erre s teljesül az Ensten-féle összefüggés: λ= h, p (1.11) akkor ez tüneményes egyszeruséggel megmagyarázza a Bohr féle kvantumfeltételt! Valóban, ha az (1.8) egyenletet egy kcst más alakba írjuk: 2πr = n h = nλ, p (1.12) akkor n egész szám volta azt jelent, hogy a körbefutó hullám önmagába záródva, határozott (matematka nyelven: egyértéku) fázssal, bármeddg zavartalanul folytathatja staconárus (állandósult) hullámmozgását. Ez választja k a Bohr-féle staconárus körpályákat. Az (1.11) De Brogle-relácó, amely a hullámként mozgó elektron hullámhosszát kapcsolja össze a repülo golyóként mozgó elektron mpulzusával, a kvantummechanka egyk alapveto összefüggése. Ez nem csak a fotonra és az elektronra, hanem mnden kvantumos mozgásra vonatkozk. Azt az apróságot, hogy az mpulzus nem skalár, hanem vektor, könnyu fgyelembe venn, csak be kell vezetn a~k hullámvektort, amelynek nagysága k = 2π/λ, ránya pedg mero leges a hullámfrontra; ezzel (1.11) így fnomítható: ~p = h ~k, (1.13) De Brogle többféle érvelést s talált, amelyek plauzblssé tehetk az anyaghullámok feltevését. A legközvetlenebb az, hogy ha a fényhullám bzonyos körülmények között részecske (foton) módjára vselkedk, akkor nem

24 24 1. A kvantumelmélet kezdete annyra meglepo, hogy az elektron, amre mnt a katódsugárcso ben repülo részecskére szoktunk gondoln, más körülmények között (pl. egy atomba zárva) nkább hullámként mozog. Ennél jóval ntellektuálsabb, a fzkában muvelt közönségnek szóló érvelés az, hogy ha Planck nyomán egy rezgés frekvencájához az E = hν = h ω összefüggés szernt egy rezgés kvantum energája kapcsolódk, akkor jusson eszünkbe, hogy a relatvtás elmélete szernt az E energa és a ~p mpulzus együtt négyesvektort alkotnak, akárcsak az ω körfrekvenca és a ~k hullámvektor együttese: a relatvtás szmmetravlága s megkövetel az anyaghullámok létezését. Ez az érvelés elso hallásra szokatlan, de roppant hatékony: a modern fzkának mág s tartó, kedvelt játéka szmmetrák alapján megjósoln valamnek a létezését, azután megkeresn azt a valamt. A relatvtás elméletének órás heursztkus ereje különösen sokszor lendítette tovább a kvantumelmélet fejlo dését. Úgy látszk, mntha sok alapveto kérdést söpörtünk volna a szo nyeg alá: Ha valam hullám, akkor mképpen mozoghat golyócska módjára? Akárm legyen s az elektron, elektromos töltése bztosan van, akkor pedg körmozgása közben sugározna kellene; mképpen bztosítja a Bohr de Brogle kvantumfeltétel azt, hogy az elektron ne sugározza k azonnal a körbemozgás energáját? M hullámzk? Ezek a fontos kérdések meglepo könnyedséggel hárultak el, és az 1920-as évek másodk felében megszületett a kvantummechanka. A következo fejezetben ezeket a kérdéseket beszéljük meg, azokkal az alapveto kísérletekkel együtt, amelyek bzonyították az anyaghullámok létezését.

25 2. fejezet Az anyaghullámok elem tulajdonsága 2.1. Interferencakísérletek elektrontól C60 -g A hullámjelenségek leglátványosabbka az nterferenca: az, hogy a hullám szétosztható részhullámokra, amelyek térben és/vagy do ben szétválva külön haladnak, de o rzk a közös eredetbo l származó rezgés fázst, majd összetalálkozva ero sítk vagy gyengítk egymást aszernt, hogy az elkülönült terjedés közben mlyen fázskülönbséget vettek fel. Az nterferenca megfgyeléséhez kell: egy hullámforrás: fény esetében lámpa, lézer, anyaghullámok esetén többnyre valam forró anyag: zzószálból és gyorsító elektródból álló elektronágyú, atomokat vagy molekulákat elpárologtató kályha, neutronokat kbocsátó reaktor vagy protongyorsítóra telepített spallácós neutronforrás; mndez geometralag lehatárolva ( leblendézve ), hogy jól meghatározott útkülönbségeket kapjunk; egy nyalábosztó: ernyo két réssel, optka rács, félgátereszto tükör; elegendo hely a részhullámok fázsát és ampltúdóját befolyásoló tárgyak bellesztésére; esetleg egy nyalábegyesíto, am ugyanolyan, mnt a nyalábosztó; egy detektor vagy detektorok rendszere, amely az nterferencaképet észlel. Fény nterferencáját kétszáz éve skerült elo ször megfgyeln; ehhez a 20. század tette hozzá, mnt új felfedezést, a nehezen szétválasztható fénykvantumok létezését. Az anyaghullámok vszont elektronként, atomként, molekulaként azonosítható, elem vagy összetett anyagrészecskék nterferencájában mutatkoznak meg, am a maga dején sokkoló meglepetés erejével hatott. Az nterferencakép olyan ks ntenztásoknál s változatlan mntázattal rajzolódk k, ahol már nylvánvaló, hogy nem sok részecske kollektív mozgása 25

26 26 2. Az anyaghullámok elem tulajdonsága vet a hullámokat, hanem egyetlen részecske terjed hullámszeruen, válk szét 1 réseken rácson nyalábosztón, majd nterferál önmagával. Elo ször elektronok nterferencáját skerült megfgyelne a Davsson Germer ketto snek. Ez a maga dején, 1927-ben Nobel-díjas kísérlet volt; manapság az elektronmkroszkópok rutnszeru tartozéka: egy átkapcsolóval, amely megváltoztatja a szemlencse fókusztávolságát, átállhatunk a tárgy képéro l a tárgy mnt optka rács által létrehozott nterferencakép (dffrakcós kép) megjelenítésére. Neutronok nterferencája az 1970-es években vált bár nem könnyu, de rutnszeruen muvelheto kísérlet technkává. A fo nehézséget a fénynél sokkal rövdebb hullámhosszak által megkövetelt stabltás jelent: az egész nterferométert, amely félgátereszto neutrontükrökre épül, egyetlen szlcumkrstályként kell növeszten. A félgátereszto tükörben a bejövo neutronhullám a krstály atomsíkjan két rány között tükrözo dk oda-vssza. Ahol éppen fele elo re, fele a vsszatükrözött rányba halad, ott kell a krstályt elvágn, hogy kettéosztott neutronhullám jöjjön k belo le. Atomoknál és molekuláknál a forrás készítése és a detektálás s nehéz feladat. Molekuláknál külön nehézséget jelent a molekula rezgésenek és forgásanak az nterferencát elmosó hatása. A 20. század végének óvatos elo rehaladása után 1999-ben gaz szenzácóként jött a bécs Zelnger Arndt kutatócsoport kísérlete, akk elo ször C60, majd C70 fullerén-molekulával és néhány hasonló méretu szerves molekulával2 végeztek nterferencakísérletet. A legnagyobb molekuláknak, amelyekkel skerült nterferencakísérletet végezn, a tömege kg körül van, am egyelo re nehezen meghaladható határnak tunk: ennél nehezebb molekulákból álló anyagok már kályhában nem párologtathatók el, ematt az smert módokon nem lehet belo lük nterferométerben használható hullámforrást készíten A szuperpozcó elve A fényhullám ampltúdójának a helyto l és do to l függo elektromos térero sséget teknthetjük. A vízhullám ampltúdója a hullámzó víz felületének változó magassága, a nyugvó víz szntjéhez vszonyítva. Az anyaghullámok ampl1 Ennek statsztka gazolása nem könnyu: a Posson-eloszlásban ks ntenztásnál sem elhanyagolható több részecske találkozása, de a gondosan végrehajtott kísérletek teljes elmélet analízse meggyo zo en tudja azonosítan az egyrészecske-nterferencát. 2 Ne buvölje el az olvasót az, hogy szerves molekulákról s van szó: az, hogy szerves, és mndaz, amnek ebbo l az élethez köze lehet, a molekula belso szerkezetére és belso mozgásara vonatkozk, az nterferenca vszont csak a molekula egészének tömegközéppont hullámmozgását érnt. A ketto különbségéro l szól a pont.

27 2.2. A szuperpozcó elve 27 túdóját hagyományosan Schrödnger nyomán ψ(~r, t)-vel jelöljük, és a kvantummechankától többek között azt várjuk, hogy vlágítsa meg ennek a függvénynek a fzka tartalmát. Az nterferencajelenségekben a részhullámok ampltúdó összeadódnak, am elo jeles, esetleg vektor mennységekro l lévén szó az eredo hullámnak hol ero södését, hol gyengülését váltja k; ennek a kétféle hatásnak helyro l helyre, esetleg do ro l do re való váltakozása eredményez a jellegzetes nterferencacsíkokat, do bel nterferenca esetén a lebegés jelenségét. A detektorok mndezt a hulám ntenztásán észlelk, am legalábbs elektromágneses vagy mechanka hullámoknál tpkusan az ampltúdó abszolút értékének négyzete. Ha ezt próbaképpen elfogadjuk anyaghullámokra s, akkor a ψ(~r, t) 2 mennységet kell a hullám ntenztásának tekntenünk. Ezzel két részhullám nterferencáját így írhatjuk le: α ψ1 (~r, t)+β ψ2 (~r, t) 2 = α 2 ψ1 (~r, t) 2 + β 2 ψ2 (~r, t) 2 + α β ψ 1 (~r, t)ψ2 (~r, t) + αβ ψ1 (~r, t)ψ 2 (~r, t), (2.1) ahol a késo bbek kedvéért megengedtük, hogy ψ komplex szám s lehessen, így került a formulába a komplex konjugáltat jelzo csllag. Azt a leheto séget s lényeges volt belevenn a formulákba, hogy a két részhullám különbözo mértékben vehessen részt az nterferencában; ezt jellemzk a létrejövo α ψ1 (~r, t) + β ψ2 (~r, t) lneárs kombnácó α és β együttható. A fent egyenletben a jobboldal elso két tagja a két részhullám ntenztásanak a lneárs kombnácó szernt súlyozott összege. Az nterferencát a két utolsó tag jelz: a vegyesszorzatok, amelyek negatív számot eredményeznek ott és akkor, ahol és amkor a két részhullám ellentétes fázsban rezeg (destruktív, vagys romboló nterferenca), és poztív számot (konstruktív, vagys építo nterferenca), ha éppen azonos fázsban rezegnek. Vegyük észre, hogy mvel α és β általában komplex számok, a maguk komplex fázsával eltolhatják az nterferencaképet. Az, hogy két részhullámot lneársan összekombnálva, az do bel fejlo dés során az eredo hullám ugyanolyan arányú lneárs kombnácója marad annak, amvé a két részhullám külön-külön fejlo dne, a vákuumban terjedo elektromágneses hullámokra nagy pontosságú kísérletek által gazolt tény. Ezt a tapasztalatot tükröz vssza matematka formában a Maxwellegyenletek lneartása. Különbözo anyagokban terjedo elektromágneses hullámok etto l már többé-kevésbé eltérnek, az ebbo l eredo jelenségekkel foglalkozk a nemlneárs optka. Vízhullámokra a lneárs kombnácó csak durva közelítésként használható. Ezért roppant meglepo, hogy az anyaghullámok lneárs kombnácója (szuperpozcója: változtatás nélkül egymásra

28 28 2. Az anyaghullámok elem tulajdonsága helyezése) órás pontossággal mego rzo dk az do bel fejlo dés során. Ezt a tapasztalatot fejez k a szuperpozcó elve, am a kvantummechanka egyk alaptörvénye. Matematka kfejezése az, hogy ha az anyaghullámok terjedését valamlyen hullámegyenlettel akarjuk leírn, annak az egyenletnek mndenekelo tt lneársnak kell lenne. Az elektromágneses hullámok ampltúdója, az elektromos térero sség nem csak a helyto l és az do to l függo szám, hanem vektor, amelynek ránya a hullám polarzácóját fejez k. A kvantummechankában órás változatosságát smerhetjük meg az egyszeru hely- és do függésen túlmeno belso szabadságfokoknak. Itt van mndenekelo tt a spn, amely még ero sen emlékeztet a fény polarzácójára: ahogy két kválasztott polarzácós rány bázsából lneárs összeadással (szuperpozcóval) akármlyen polarzácós rányt k lehet kevern, úgy két spn-rányból (egy adott rányhoz képest felfelé és lefelé álló spn) s komplex együtthatókkal kkeverheto mnden más rány, összhangban a szuperpozcó elvével.3 Hasonló precztással érvényesül a szuperpozcó elve a repülo atomok magjanak lehetséges állapotara, so t a nagyenergájú fzka körülménye között egymásba átalakuló részecskék állapotara s: a nyolcvanéves szuperpozcó-elvet azóta sem, a legegzotkusabb körülmények között sem skerült a mkrovlágban pontatlanságon kapn. Ugyanakkor a makroszkopkus testek, amlyenek m magunk s vagyunk, sohasem jelennek meg különbözo helyek, különbözo állapotok szuperpozcójában. Pedg ha a kvantummechanka ránk s vonatkozna, elég lenne kölcsönhatásba kerülnünk egy szuperponált állapotú mkrorészecskével, és etto l magunk s szuperpozcóba kerülnénk. Ennek abszurdtására utal Schrödnger híres macska-hasonlata: egy radoaktív atomból ksugárzott α-részecske beérkezését észlelo detektor vezérel egy olyan eszközt, amely a vele összezárt macskát megöl. A lneárs kvantummechanka szernt amíg az α-részecske a még nem jött k és már kjött állapotok szuperpozícójában van, addg a detektor macskagylkos szerszám macska kölcsönhatás következtében a macska s szuperpozícójába kerül az élo és döglött állapotoknak. Ilyet senk sem látott. A tanulság nylvánvaló: macskákra, emberekre, makroszkopkus testekre nem vonatkoznak a lneárs kvantummechanka törvénye. Hogy a makro- és mkrovlág között van-e folytonos átjárás, az nytott kérdés, amre még többször vssza fogunk térn. Nagyon fontos tudn azonban, hogy az összes eddg smert fzka rendszerek a makro-mkro szakadék egyk vagy másk partján vannak, sohasem benne a szakadékban. A 3 Ezt ennybo l nem kell érten; a levezetések a pontban találhatók.

29 2.3. Hullámcsomag, csoportsebesség 29 kvantummechanka tökéletesen muködo szabályokkal írja le a két vlág között kölcsönhatásokat, amelyeknek tpkus esete egy mkrorendszer mérése makroszkopkus detektorok segítségével Hullámcsomag, csoportsebesség A hullámmozgás, akárcsak a vízhullám taraja, képes magát repülo részecske mozgásának mutatn. A szuperpozícó-elv brtokában ezt úgy fejezhetjük k, hogy különbözo hullámhosszú hullámok szuperpozícójából hullámcsomag alakul k; ez mozog részecskére emlékezteto módon. Az analóga precíz és messzre ható. A különbözo hullámhosszú hullámok egy véletlenszeruen összerakott szuperpozícóban a legtöbb helyen koltják egymást; a hullámcsomag olyan helyeken alakulhat k, ahol a részhullámok fázsa egybeesnek. Mvel a részhullámok általában más és más fázssebességgel haladnak, a hullámcsomag helye s elmozdul; ennek az elmozdulásnak a sebességét hívjuk csoportsebességnek. A fogalom matematkája nagyon egyszeru. Induljunk k egyetlen, a koordnátarendszer x-tengelye mentén haladó, k = 2π/λ hullámszámú síkhullámból: ennek megfelelo matematka leírása nylván ψk (x,t) = sn (ϕk (x,t)) = sn(kx ω t), (2.2) amelybo l leolvasható, hogy az azonos ϕ fázsú helyek vfázs = ω/k sebességgel terjednek. Rakjunk most össze (szuperponáljunk) különbözo, folytonosan változó k hullámszámú síkhullámokat, amelyek frekvencája adott ω = ω(k) módon függ a hullámszámtól. A különbözo komponenseket valamlyen c(k) valós súlyokkal összentegrálva egy Fourer ntegrál alakjában kapjuk meg az eredo hullámampltúdót: ψ(x,t) = Z c(k) sn [kx ω(k) t] dk. (2.3) Most jön a matematka csattanó. Ahogy már mondtuk, a különbözo hullámhosszú, k függvényében poztív és negatív értékek között oszclláló komponensek összentegrálva, a legtöbb x helyen és t do ben közel 0-vá adódnak össze. Kvételt azok az összetartozó (x,t) párok jelentenek, ahol és amkor a sznusz k függvényében éppen nem oszcllál: ahol és amkor a fázs k szernt derváltja eltunk, vagys ω(k) [kx ω(k) t] = x t = 0. k k (2.4)

30 30 2. Az anyaghullámok elem tulajdonsága A formulából látjuk, hogy ezek az do to l függo ktüntetett helyek vcsop = ω(k) k (2.5) sebességgel mozognak; ennek a sebességnek a neve csoportsebesség.4 Könnyu megszabaduln az x tengely rányába való mozgás megszorításától: egy síkhullám bármlyen ~k hullámvektor rányába terjedhet, ekkor az ω(~k) dszperzós függvénynek megfelelo csoportsebesség vektora: ~vcsop = ω(~k). ~k (2.6) Már csak egy lépés hányzk, hogy elhhessük, a hullámcsomag mozgásának van valam köze a pontszerunek tekntheto részecskék klasszkus mechankával leírható mozgásához. Emlékezzünk vssza a hullám részecske megfeleltetés Bohr de Brogle szabályara: h ω = E, h ~k = ~p. Ezekkel az (2.6) egyenlet így s írható: 2 E(~p,~r) p ~p ~vcsop = = +V (~r) =, (2.7) ~p ~p 2m m am megegyezk a részecske klasszkus mechanka szernt sebességével! Remélem, hogy ennek a megrendíto en szép és egyszeru összefüggésnek a hatására az eddg még kételkedo olvasó s kezd elhnn, hogy tt tényleg arról van szó, hogy mlyen körülöttünk a vlág. Ak már tanult elmélet mechankát, az azt s vegye észre, hogy az utóbb egyenlet Hamlton egyk kanonkus egyenlete, csak a részecske E(~p,~r) energája helyett kellett volna H (~p,~r) Hamlton-függvényét írn; általában ez vezérl az do függést (gondoljunk a Hamlton Jacob egyenletre). Ennek a függvénynek a természetes változó a hely és a hozzá konjugált kanonkus mpulzus, amelyet az Lagrange-függvénybo l kapunk ~r szernt derválással. L (~r,~r) Egyszeru esetekben a Hamlton-függvény megegyezk az energával, de sok nagyon fontos esetben nem, lyen pl. egy töltött részecske mozgása mágneses térben. Ilyenkor a h ~k = ~p összefüggésben s a kanonkus mpulzus jelenk meg, és ~p 6 = m~v. A hullámcsomag-képnek korláta vannak: a mkrovlágban egy hullámcsomag tszavrág-életu alakzat, keletkezk és szétfolyk. Kvételes körülmények között, pl. harmonkus rezgo mozgás esetében, létrejöhetnek szét 4 Akkor alakul k jól defnált hullámcsomag, ha a (2.5) dervált egy elég széles kntervallumon belül közel állandó, máskülönben a csoportsebesség nem jól defnált mennység, am annak a matematka jelzése, hogy a hullámcsomag hamar szétfolyk.

31 Mozgás ero térben nem folyó, stablan hntázó hullámcsomagok s; ezeket koherens állapotoknak hívjuk, és a 8.2. pontban közelebbro l s megsmerjük o ket Mozgás ero térben Nem sokat érne a kvantummechanka, ha lebénulna ott, ahol a klasszkus mechanka a legjobban teljesít: a V (~r) potencállal jellemezheto ero térben való mozgás leírásánál. A klasszkus mechankából tudjuk, hogy lyenkor a ~ V ero vel arányos gyorsulás lép fel, mközben az E = p2 /2m + V (~r) energa megmarad. Ha a mozgó test olyan helyre téved, ahol a V (~r) potencál elér a teljes E energát, vagys a test nekmegy a potencálfalnak, ott vsszapattan. A hullámok vlágában s van energamegmaradás (ezt késo bb részletesen megbeszéljük), de amúgy a mozgás a klasszkusnál sokkal gazdagabb változatosságot mutat. Elo ször s, az (1.11) egyenletnek megfelelo en, adott E energa mellett ahol V (~r) változk, ott változk a hullámhossz s. A hullámszámmal kfejezve: 1p k(~r) = 2m (E V (~r)). (2.8) h Lokalzált hullámcsomagnak tehát, ha a potencáls energa csökkenése az ero rányába mozdul el, no a hullámszáma, vagys mpulzusa s no, összhangban a newton mechankával. Ha nem lokalzált hullámcsomagot, hanem egy zárt pálya mentén szétfolyó, önmagába záródó hullámot akarunk vzsgáln ero tér hatása alatt, a Bohr féle kvantumfeltétel szép általánosításával találjuk szembe magunkat: hogy egy q koordnáta mentén körbefutó mozgásnak állóhullám vagy akármenny deg változatlanul körbefutó hullám feleljen meg, a teljes zárt pályára a változó λ(q) hullámhosszból egész számú darabnak kell ráférne. Egy adott q helyen egy dq szakaszra a hullámhossz dq/λ(q) hányada fér rá, tehát a stah conárus mozgás feltétele, hogy dq/λ(q) = n egész szám legyen, vagys hogy I p(q)dq = n h, (2.9) teljesüljön. Hogy ez a feltétel helyes lehet, azt Sommerfeld még de Brogle hullámképe elo tt megsejtette, ezért Bohr Sommerfeld kvantumfeltételnek hívjuk. Az eddgeknél sokkal megdöbbento bb, hogy a potencálfalról való vszszapattanás sem úgy gaz hullámokra, mnt a klasszkus mechanka szernt röpködo golyókra. Ezt már a klasszkus optkából s tudjuk: teljes vsszavero déskor a fény evaneszcens (a mélységgel legyengülo ) hullám alakjá-

32 32 2. Az anyaghullámok elem tulajdonsága ban valamennyre behatol a vsszavero közegbe. Ez történk tt s: ahol V (~r) > E, ott a (h k)2 /2m knetkus energa negatív, de ez hullámok esetén nem baj, csak annyt jelent, hogy a k hullámszám magnárus, vagys így írható: k = κ, ahol κ valós szám. Ilyenkor a hullám ampltúdójának függése a behatolás z mélységéto l ekz = e κz alakú, vagys nem oszclláló, hanem exponencálsan csökkeno. Elso ránézésre úgy tunhet, hogy túlhajtottuk a matematka formalzmust, pedg amt kaptunk, az az gazság: ha a tltott V > E tartomány elég vékony (konkrétan: nem sokkal vastagabb, mnt 1/κ), akkor az anyaghullámnak csak egy része vero dk vssza a potencálfalról, egy ks része áthalad. Ezt hívják alagúteffektusnak, és számos megjelenés formája van: így jut k többek között az α-részecske a bomló radoaktív atommagból, de így jut át az elektromos áram s a vllanykapcsoló oxdált fémfelületen. Fontos szerep jut a protonok alagutazásának a bológa mutácóban és fontos enzmreakcókban: nélküle m sem jöhettünk volna létre. Az alagúteffektus elméletére a késo bbekben még kétszer s vsszatérünk: az 5.5. és a pontban Szemklasszkus mozgás és átmenet a klasszkus mechankába Egy hullámcsomag általában kterjedt és bonyolult lehet; lyenkor az alakját részletesen kell smernünk, hogy a vselkedésére következtethessünk. Ha azonban olyan határesetben vagyunk, hogy a mozgás kterjedéséhez képest a hullámcsomag kcs, am azt s jelent, hogy rövd hullámokból kevertük k, a hullámcsomag mozgását klasszkus mechanka egyenletekbo l k tudjuk számítan. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a kvantummechanka szemklasszkus (félg klasszkus) közelítését használjuk.5 Fontos, kísérletleg jól vzsgálható rendszerek tartoznak ebbe a határesetbe; ezek tpkusan mezoszkopkusak, vagys a mkroszkopkus és a makroszkopkus mérettartomány közé esnek; lyenek pl. a legksebb, nagyon tszta anyagokból gyártott és nagyon alacsony ho mérsékletre lehutött félvezeto szerkezetekben mozgó elektronok. A kvantummechanka kezdetenél úgy látszott, hogy ezzel meg s értettük a kvantummechanka és a klasszkus mechanka kapcsolatát: a kvantummechanka bzonyos határesetben (rövd hullámhossz, magasan gerjesztett állapotok) egyszeruen átmegy a klasszkus mechankába. Ezt nevezte Bohr a korrespondenca elvének (korrespondenca = megfelelés: egy magasan gerjesztett kvantumos hullámnak megfelel egy klasszkus állapot). 5 Ezzel foglalkozk részletesebben a 16. fejezet

33 2.6. Határozatlanság relácó 33 6 de a tartalm egyszeruségbe Formálsan az elv muködk, vetett kezdet ht mára eltunt. Amíg a hullámcsomagnak hullámtulajdonsága vannak, vagys amíg nterferencára képes, addg az ebbo l eredo jelenségeket kvantummechankával kell leírn; attól, hogy a hullámcsomag mozgása közelíto leg követ a klasszkus mechanka törvényet, még távolról sem mondhatjuk, hogy a kvantumelmélet oldaláról megértettük a klasszkus mechanka létezését. Az gazán klasszkus fzka megértéséhez tovább nehéz lépéseket kell megtennünk. Ezek egykén a 20. század utolsó negyedében, Zeh és Zurek úttöro munká nyomán túljutott a fzka: elég részletesen megértettük, mként vész el az anyaghullámok koherencája, amnt a mkrovlágból átlépünk a makroszkopkus vlágba; a kulcs a környezettel való kölcsönhatás kvantummechanka leírása, amelyro l az E. függelékben adunk áttekntést. Hullámok azonban koherenca nélkül s szét tudnának folyn, am makroszkopkus testekkel sohase történk meg. Ez már egy tovább fontos lépés rányába mutat, ahol a kvantummechanka mérés folyamatával fémjelzett jelenségkör esetleg rejtett részlete várhatnak ránk; az devágó kérdések tsztázása az új évezredre maradt Határozatlanság relácó A hullámcsomag csak korlátozottan hasonlít egy repülo részecskére. A részecskének határozott helye és mpulzusa lenne, a hullámcsomag helye és mpulzusa csak korlátozottan határozható meg. Valóban, a hullámcsomagnak van valamlyen x szélessége,7 ezt tekntjük a helymeghatározás bzonytalanságának (az egyszeruség kedvéért beszéljünk megnt egydmenzós, x rányú mozgásról). Ugyanakkor a hullámcsomagot a (2.3) egyenlet szernt síkhullámokból keverjük k, amelyeket egy k széles hullámszámntervallumból válogatunk össze; ennek megfelel egy p = h k mpulzus határozatlanság. A két határozatlanság nem független egymástól, hanem egymással nagyjából fordítva arányosak; az általános matematka tárgyalást késo bb smerjük meg. A dolog tartalma azonban egyszeru: ha egy átlagosan nyugvó hullámcsomagot 0 és kmax k között hullámszámú síkhullámokból raktam össze (2.1. ábra), akkor a felhasznált legrövdebb hullámhossznak kb. a fele, 6 Valójában még formálsan sem egészen: a klasszkus mozgás nem a magasan gerjesztett állapotokhoz, hanem az ún. koherens állapotokhoz áll közel, amelyek végtelen sok gerjesztett állapot koherens szuperpozícójából létrejövo, stabl hullámcsomagok: lásd a 8. fejezetet. 7 Ezt pontos számításnál az átlagtól való négyzetes átlageltérés négyzetgyökeként defnálhatjuk.

34 34 2. Az anyaghullámok elem tulajdonsága 2.1. ábra. Az egy helyen fázsban összellesztett, különbözo hullámhosszú összetevo k egy x szélességen kívül koltják egymást; ez a x a hullámcsomag mérete. λmn /2 = π/kmax szabja meg a hullámcsomag méretét, vagys x λmn /2 = π/kmax. (2.10) Hasonlóan, az mpulzus szórása p h kmax /2. (2.11) x p h π/2. (2.12) A ketto szorzata: A pontos eredmény, amt smeretekben megero södve a 7.1. pontban fogunk levezetn, a durva számfaktor helyett pontos korlátot mond: x p h /2. (2.13) Ez a Hesenberg-féle határozatlanság relácó, amt sokág a kvantumelmélet legfontosabb eredményének tartottak. Mára hozzászoktunk és rutnszeruen használjuk, az analóg összefüggések sokaságával együtt. Ezek közül említsük meg az do és energa bzonytalansága között összefüggést: ha egy esemény do pontját t pontosan akarjuk körülhatároln, ehhez ω 1/(2 t) frekvencantervallumból kell perodkus rezgéseket egy t hosszú mpulzussá összerakn. Ha a kvantummechanka értelmében az ω frekvencájú rezgésnek E = h ω energa felel meg, akkor a határozatlanság relácó így szól: t E h /2, (2.14) am többek között azt mondja, hogy egy véges do után elbomló részecske energája nem lehet teljesen határozott.

35 Az alapállapot mérete és energája Jegyezzük meg, hogy a határozatlanság relácók szabta korlátok eltunné nek a h 0 határesetben, am a korrespondenca elvének egyk kfejezése. Természetesen h akkora amekkora, és nem tart 0-hoz, de nek fzka dmenzója van (J s), ennek megfelelo en egy konkrét rendszerben h -sal arányos dmenzótlan kombnácók valóban elenyészo en kcs értéket vehetnek fel, am bár jelz, de mnt már mondtuk, nem garantálja a klasszkus vselkedést Az alapállapot mérete és energája Mért olyan nagyok az atomok? Az atommmagok és elektronok elférnének sokkal ksebb helyen s, amhez a Coulomb-vonzás matt alacsonyabb potencáls energa tartozna, de akkor a határozatlanság relácó matt megno ne a knetkus energájuk. Van egy legstablabb méret, ahol a knetkus és potencáls energa összege a legksebb; ez a kvantummechanka alapállapot. Pontosabban az mpulzusnak a 0 átlagtól való négyzetes átlageltérése az, am x méretre való összeszorításkor a határozatlanság relácó szernt h 2 /(2 x)2 re no, amhez átlagosan h 2 /8m( x)2 knetkus energa tartozk. Hogy mekkora a stabl méret és a hozzá tartozó alapállapot energa, azt az E( x) V ( x) + h 2 8m( x)2 (2.15) teljes energa mnmuma határozza meg; az eredmény az összetartó V (x) potencálon múlk. Tegyünk egy-két próbát! Harmonkus oszcllátor eseténpv (x) = (m/2)ω2 x2, ambo l a mnmáls energához tartozó méretre x = h /2mω, magára az alapállapot energára ( zéruspont-rezgés ) Emn = h ω/2 adódk. Az eredmény túl szép: a harmonkus oszcllátor Schrödnger-egyenletének megoldásakor látn fogjuk, hogy durva becslésünkkel az egzakt értékeket kaptuk meg. Másk próbául válasszuk a hdrogénatomot! Amnt már a Bohr-modellnél megbeszéltük, a proton és az elektron között vonzás potencálja V (r) = e2 /4πε0 r. Az energában x helyett r-et írva, a mnmum helye r = h 2πε0 /e 2m, az energa pedg e4 m/8π2 ε20 h 2, am a Bohr-modellbo l smert alapállapot (n = 1-hez tartozó) energánál négyszer nagyobb, de akkor s nagyságrendre helyes eredmény. Egy közelíto energaformulát a benne levo szabad paraméterek (tt: x ll. r) szernt mnmalzálva, becslést kapn az alapállapot energára: ez a stratéga késo bb még elo fog jönn, mnt varácós elv. Az elmúlt nyolcvan évben felhalmozott fzka tudásunk jelento s részét varácós elvek egyre kfnomultabb alkalmazásával szereztük. Az tt bemutatott, prmtív változatot nevezhetnénk úgy s: szegény ember varácós elve.

36 Az anyaghullámok elem tulajdonsága Véletlenszeruség és a Born-féle statsztkus értelmezés Egy fontos lépés még hátra van: mt s jelent a hullám ntenztása? A közvetlen válasz: azt, amt az nterferenca-kísérletekben mérünk, detektorokkal, fényképezéssel vagy egy fluoreszkáló ernyo megfgyelésével. A fnomabb válasz akkor derül k, ha az anyaghullám olyan ks ntenztással érkezk be, hogy egyszerre általában csak egy részecskény anyaghullám van a berendezésben, vagy anny sem. A kísérlet lyenkor dráma képet mutat: egyszerre csak egy detektor szólal meg, az ernyo csak egy helyen vllan fel, a flm csak egy pontban feketedk meg, és ha a részecske túlél a detektálást, a megfgyelés után az egész anyaghullám onnan ndul tovább mozgására. Hogy hol van az a hely, az a véletlenen múlk. A véletlen eseményekbo l azonban do vel krajzolódk az nterferencakép! Ezt fejez k matematka formában a Born-szabály: ψ(~r, t) 2 d 3 r (2.16) annak a valószínusége, hogy a ψ(~r, t) ampltúdójú anyaghullámnak megfelelo részecskét egy detektor az ~r hely körül kcsny d 3 r térfogatban találja meg. Más szóval: ψ(~r, t) 2 a részecske megtalálás valószínuség-surusége. Az, hogy a láthatatlanul kcs elektron nem valam sárga golyócska, hanem hullám, végül s megszokható. A kvantummechanka furcsább tulajdonsága a detektálás véletlenszeruségével kezdo dnek. Az anyaghullámhoz egyetlen kísérlet hozzáférés leheto ségünket a detektorok jelentk, azok pedg véletlenszeru jelet adnak. Ez a tulajdonság elválaszthatatlanul hozzáköto dk a hullámfüggvényhez, amt ematt így s neveznek: valószínuség ampltúdó. Hogy egyszerre csak egyetlen detektor szólal meg, az gazán rejtélyes! Honnan tudja az egyk detektor, hogy a másk szólal meg, és akkor nek hallgatna kell? Ezt elo ször Ensten jegyezte meg egy konferencán; néhány évvel késo bb ebbo l a megjegyzésbo l no tt k az Ensten Podolsky Rosen korrelácók témaköre, amt a pontban fogunk megsmern. Akárcsak a szuperpozícó elve, a Born-szabály s nagyon nagy pontossággal teljesül mnden olyan esetben, amkor elleno rzn lehet, bár maga a detektálás folyamata általában túl bonyolult ahhoz, hogy a szgorú négyzetes arányosság közvetlenül teljesülhessen. A valószínuség és az ampltúdó között négyzetes kapcsolat mndenesetre a kvantummechanka órás matematka szerencséje; más függvénykapcsolat esetén nem muködne a Hlberttérnek nevezett fogalom, am nélkül az elmélet sokkal bonyolultabb lenne. Ezzel foglalkozk a 6. fejezet.

37 2.9. Állóhullámok: anyagmegmaradás és komplex ampltúdó 37 Ha már a matematka tulajdonságoknál tartunk, a (2.16) formulában egy komplex szám abszolút értékének négyzete szerepel. Ha a hullámfüggvényt megszorozzuk egy egységny abszolút értéku eχ komplex számmal, az az abszolút érték négyzetét nem változtatja meg. Ez a tulajdonság mnden mérheto kombnácó esetén megmarad, ezért a φ(x) és φ(x)eχ hullámfüggvényeket fzka szempontból egyenértékunek tekntjük. Ez emlékeztet arra, ahogyan az elektrodnamkában a vektorpotencálhoz s hozzáadhatunk valamt (egy skalár függvény gradensét), etto l a vektorpotencál matematkalag megváltozk, de fzka következményeben nem. Ott az lyen fzkalag következmény nélkül való változtatást mértéktranszformácónak nevezzük, és azt, hogy nncs fzka következménye, mérték-nvarancának. Ennek mntájára a hullámfüggvénynek egy eχ fázstényezo vel való szorzását s úgy nevezzük, hogy mértéktranszformácó, és hogy etto l semm mérheto mennység nem változk, az a kvantummechanka mérték-nvaranca. Az csak hab a tortán, hogy az elektrodnamka és kvantummechanka mértéknvaranca nem független egymástól: ha χ nem konstans, hanem a hely skalár függvénye, akkor ez lényegében (értelemszeru szorzóktól eltekntve) megegyezk a vektorpotencál mértéktranszformácójában szereplo skalár függvénnyel. Ezen alapul az Aharonov Bohm-effektus, amt részletesen a pontban fogunk megsmern Állóhullámok: anyagmegmaradás és komplex ampltúdó A szuperpozícó elve jó ks csapdahelyzetet teremthet. Hogy kell leírnunk azt az anyaghullámot, amely akkor jön létre, ha egy elektron éppen vsszavero dk egy tükrözo felületro l, és egyszerre van jelen a beeso és a vsszavert hullám? Adjunk össze egy jobbra haladó és egy balra haladó síkhullámot: az eredo sn(kx ω t) + sn( kx ω t) = 2 sn(ω t) cos(kx). (2.17) Ez állóhullámot ír le, amely peródusonként kétszer eltunk. Kérdés: m van lyenkor az anyagmegmaradás törvényével, hol van az elektron az eltunések pllanataban? A kérdésre az eddg játékszabályok betartása mellett nncs jó válasz. A megoldás, amre Schrödnger jött rá, az, hogy a hullámampltúdót komplex függvény alakjában kell írn. Hullámok, rezgések leírásában ez gyakran használt matematka trükk: komplex számokat könnyebb összeadogatn, mnt trgonometrkus függvényeket, de olyankor az ember észben tartja, hogy a valóság a komplex függvények valós része. Most azonban a trükk

38 38 2. Az anyaghullámok elem tulajdonsága valósággá lép elo : egy megmaradó részecskét mnt anyaghullámot valóban komplex függvénnyel kell leírn, és ennek nem csak a valós része, hanem az egésze hordozza a fzka tartalmat.8 Hogy s muködk ez? Egy jobbra haladó síkhullám ampltúdója most kx ω t e. A jobbra és balra haladó síkhullám szuperpozícója ekx ω t + e kx ω t = 2e ω t cos(kx). (2.18) Ez már sohasem tunk el, csak forog a komplex síkon. A komplex szám abszolút értékének négyzete, a hullám ntenztása, más szóval: a megtalálás valószínuségsuruség az lyen alakú függvényre do ben nem s változk, hszen e ω t 2 = 1: nncs többé bajunk az anyagmegmaradással. Ez a kulcsa a nemsugárzás paradoxonjának s, am a Bohr-féle atommodell dejében még feloldhatatlannak tunt: a staconárus elektronpályák valójában e ω t φ(~r) ampltúdójú állóhulámok, amelyekben az elektromos töltéssuruség eloszlása do ben állandó marad, ezért nem s sugároznak elektromágneses hullámokat. Amkor vszont az elektron éppen átmeno ben van két staconárus elektronpálya között, az a hullámok nyelvén egy c1 e ω1 t φ1 (~r) + c2 e ω2 t φ2 (~r) szuperpozícót jelent. Eközben az elektron megtalálás valószínuségsuru sége, és ezzel az elektromos töltéssuruség eloszlása s így változk: c1 e ω1 t φ1 (~r) + c2 e ω2 t φ2 (~r) 2 = c1 2 φ1 (~r) 2 + c2 2 φ2 (~r) 2 + 2ℜ [c1 c 2 φ1 (~r)φ 2 (~r)] cos(ω12 t) + 2ℑ [c1 c 2 φ1 (~r)φ 2 (~r)] sn(ω12 t), (2.19) am a Bohr-feltételnek megfelelo ω12 ω1 ω2 = (E1 E2 )/h körfrekvencával oszcllál.9 Ha a φ1 (~r) és φ2 (~r) függvények olyanok, hogy ennek a töltésoszcllácónak rezgo dpólmomentuma van, akkor az elektron ero sen sugározza k vagy nyel el az elektromágneses hullámokat; ha nncs dpólmomentuma, akkor gyengén. Az elso esetben beszélünk megengedett átmenetro l az 1 és 2 állapotok között, a másodk eset neve tltott átmenet. A ketto között különbségtételt nevezk kválasztás szabálynak, és az egészro l részletesebben fogunk beszéln a pont végén. 8 A fzkában megesk néha, hogy egy matematka segédmennységro l kderül, több a valóságtartalma, mnt elo ször gondolták. Nevezetes példája ennek az elektromágneses vektorpotencál, amelyro l az elo zo pontban már említett nevezetes kvantumjelenség: az Aharonov Bohm-effektus kapcsán derült k, hogy dönto és közvetlen szerepe van a kvantummechanka nterferencakép kalakításában, lásd a pontot. 9 A töltött részecske megtalálás valószínuségsurusége csak oda-vssza jár, mközben térfogat ntegrálja do ben állandó marad, lásd a 4.3. pontot.

39 3. fejezet Schrödnger-egyenlet egy részecskére Egy repülo részecske akármlyen bonyolult mozgást végez, egy adott pllanatban jól meghatározott helyen van. A hullámok mntázata ennél sokszorosan gazdagabb: a hullámok terjedésük közben akadályokba ütköznek, azokról akárhányszor vsszavero dnek, és a szuperpozícó elve azt mondja, hogy a beeso és vsszavert hullámok egyre bonyolultabb összeggé tevo dnek össze. Hogy lehet egy lyen hullámalakzatot elméletleg leírn? Az optka tudománya ezt a kérdést már a 19. században megválaszolta: hagyjuk a sokszoros vsszavero dések szorgos könyvelgetését, nkább keressünk egy hullámegyenletet: olyan lneárs parcáls dfferencálegyenletet, amt bármelyk síkhullám külön-külön kelégít, a lneartás matt tehát ezek bármlyen szuperpozícója s! Ha megvan az egyenlet, oldjuk meg adott kezdet és határfeltételek (peremfeltételek) mellett. Ezt a programot jelölte k és valósította meg a kvantummechankában Schrödnger (1926), ak ezáltal de Brogle játékos fantázálásat az anyaghullámokról az elmélet fzka teljes értéku és hhetetlenül hatékony részévé tette A Schrödnger-egyenlet levezetése Ismerjük meg a Schrödnger-egyenlethez vezeto lépéseket! Már tudjuk, hogy egy ~k hullámvektorú és ω körfrekvencájú síkhullám a ~p = h ~k mpulzusú és E = h ω energájú részecskemozgás kvantummechanka megfelelo je. Ezért a síkhullám ampltúdóját, amt Schrödnger nyomán hullámfüggvénynek nevezünk, így s írhatjuk: ~ ψ(~r,t) = e(k ~r ω t ) = e h (~p ~r Et). (3.1) Ero mentes térben mozgó, m tömegu részecske energája kzárólag a knetkus energából áll: p2 E=. (3.2) 2m Ez a feltétel korlátozza a (3.1) síkhullám alakját. A feltételt úgy elleno rzhetjük, hogy egy megfelelo matematka muvelettel leolvassuk a (3.1) síkhul39

40 40 3. Schrödnger-egyenlet egy részecskére lámhoz tartozó energát és mpulzust, és behelyettesítjük o ket a (3.2) egyenletbe. Mvel a szuperpozícó elvébe surített tapasztalatoknak megfelelo en most s lneárs egyenletet akarunk levezetn, a leolvasás muveletének s lneársnak kell lenne. Mvel a (3.1) formulában az energa és az mpulzus a ktevo ben szerepel, nem kell sokág gondolkoznunk, hogy m a megfelelo muvelet: derváln kell a ψ(~r,t) hullámfüggvényt egyszer az do, egyszer a helyvektor szernt (az utóbb a vektoranalízsbo l smert gradens képzését jelent, és a ~ ( nabla ) muvelet jellel jelöljük); mvel a (3.2) egyenletben p2 szerepel, ez utóbb muveletet kétszer kell elvégeznünk: ψ = Eψ; t h ~ ψ = ~pψ; h 2 1 (~ ~ )ψ ψ = (~p ~p)ψ = 2 p2 ψ, h h (3.3) ahol = ~ ~ a Laplace-operátor. Rendezzük az eredményeket: ψ = Eψ; t h~ ψ = ~pψ; h (3.4) h 2 p2 ψ = ψ. 2m 2m Az utóbb írásmóddal a matematkalag elég muvelt olvasó számára a leolvasás muvelete nevet kapott: a fent egyenletek lneárs operátorok konkrétan: dfferencáloperátorok sajátérték-egyenlete. Az E energa az h ( / t) operátornak, a ~p mpulzus a h~ (vektor )operátornak, a p2 /2m knetkus energa a (h 2 /2m) operátornak a sajátértékeként olvasható le. A (3.1) síkhullámról kderült, hogy mndezen operátorok közös sajátfüggvénye.1 Most már készen állunk a (3.2) feltétel felhasználására: h h 2 ψ = ψ, t 2m (3.5) 1 Vegyük észre, hogy az mpulzus operátora, amelyet eredetleg arra találtunk k, hogy leolvassuk a komplex hullámfüggvény fázsának térbel tekeredését, nem tesz különbséget, és megderválja a hullámfüggvény abszolút értékének nhomogentását s. A knetkus energa ebbo l eredo részét nevezk néha kvantumpotencálnak.

41 3.1. A Schrödnger-egyenlet levezetése 41 és ezzel dönto lépést tettünk meg: elérkeztünk a szabad (ero mentes) mozgás Schrödnger-egyenletéhez! Ebben a pllanatban megszabadultunk a síkhullámtól, nem vagyunk tovább kötve se az mpulzus, se az energa sajátfüggvényehez, hanem azok tetszo leges szuperpozícót kereshetjük a kezdet és határfeltételeknek megfelelo en. Vegyük észre, hogy bár a levezetésben az do és a helyvektor szernt derválás hasonlóképpen muködött, az eredményben szerepük egyáltalán nem szmmetrkus: az do szernt dervált azt jelz, hogy mozgásegyenletet kaptunk, amely a hullámfüggvény pllanatny mntázatából meghatározza a következo do fejlo dést. A hely szernt derváltak éppen ezt a mntázatot értékelk mnden pllanatban. Ilyen értelemben a következo kben a t muveletet sohasem az energa operátorának, hanem a mozgásegyenlet részének tekntjük. Lényeges az s, hogy do ben csak elso rendu dervált jelenk meg az egyenletben: ψ(~r, 0) teljesen meghatározza a kezdet feltételt, nem kell megadn do derváltak kezdet értéket. Ez fontos eltérés a newton klasszkus mechankától: tt a kezdet sebesség a helyfüggésbe van belekódolva, az mpulzust a hullámvektorral összekapcsoló (1.13) egyenleten keresztül. Még egy fontos lépés hátra van: meg kell szabadulnunk az ero mentes eset megszorításától, és meg kell engednünk ero terek jelenlétét. A legegyszerubb, leggyakorbb eset egy V (~r) helyfüggo potencáls energa jelenléte. Ekkor a (3.2) egyenlet helyére a klasszkus fzka logkája szernt ez kerül: E= p2 +V (~r) = H (~p,~r), 2m (3.6) ahol felsmertük, hogy a jobboldalon a klasszkus mechankából smert Hamlton-függvény áll, am egyszeru (skalár potencálos) mozgás esetén a hely és az mpulzus függvényében megadott energával egyezk. A baloldalon álló energa a (3.1) síkhullám do függésébo l került az egyenletbe, és a klasszkus mechankában az do függést általában s a Hamlton-függvény vezérl, így megjelenése tt nem matematka véletlen. Látjuk, hogy most állandó E energa esetén az mpulzus helyfüggo lesz. Amíg V (~r) sma függvény (a hullámhosszon belül keveset változk), addg könnyu ktaláln a következményeket: fenntarthatjuk az eddg ~p = h ~k kapcsolatot, de a hullám már nem síkhullám lesz, hanem helyro l helyre változó hullámhosszú hullámmozgás, összhangban a (2.8) egyenlettel. A hullámvektor értékét helyro l helyre leolvashatjuk a ~ operátor segítségével. Mndebbo l a következo hullámegyenlet adódk: h h 2 ψ = ψ +V (~r) ψ. t 2m (3.7)

42 42 3. Schrödnger-egyenlet egy részecskére Tulajdonképpen o rületes bátorság, de próbáljuk meg, mnt afféle durva matematka modellt, hogyan muködk ez az egyenlet akkor, ha V (~r) nem sma függvény, hanem meredeken változk a hullámhosszon belül s, mnt pl. a hdrogénatomban a protontól eredo Coulomb-potencál az n = 1, 2, 3 belso Bohr-pályák vdékén. Az eredmény döbbenetes: az egyenlet megoldása sok számjegyre pontosan megadják a staconárus elektronpályák energáját és mndazokat a fnomabb tulajdonságokat, amelyek kszámításának módszerét a továbbakban meg fogjuk smern. A (3.7) egyenlet tehát nem durva modell, hanem a természet fzka leírásának egy új, alapveto egyenlete. Ez egy m tömegu, V (~r) potencállal jellemzett ero térben mozgó részecske Schrödnger-egyenlete A kvantumállapot és a Hamlton-operátor Amt kaptunk, az messzebbre vezet, mnt egyetlen részecske hullámegyenletég. Mndenekelo tt, a részecske mozgását a klasszkus mechanka képénél végtelenül változatosabb hullámmozgásként smerjük meg. A részecske pllanatny kvantumállapotát a ψ(~r,t) komplex függvény megadásával tudjuk leírn. A (3.7) Schrödnger-egyenlet a kvantumállapot do bel fejlo dését írja le. Ha az egyenletre messzebbro l, hunyorítva nézünk rá, a következo szerkezetet fedezhetjük fel rajta: ψ = H ψ, (3.8) t h ahol az adott konkrét esetben H = h 2 +V (~r) 2m (3.9) a Hamlton-operátor. Ez a következo képpen épül fel: vegyük a vzsgált rendszer H (~p,~r) Hamlton-függvényét (egyszerubb esetekben: energáját mpulzusokkal és koordnátákkal kfejezve), és az mpulzust helyettesítsük a (3.4) egyenletben megsmert mpulzusoperátorral: ~p ~pˆ = h~. (3.10) A továbbakban s a klasszkus jelölésre tett kalappal jelöljük azt az operátort, amely egy klasszkus fzka mennység kvantummechanka megfelelo je. Kezd krajzolódn az operátorok szerepe a leírásban. Az mpulzus konkrét eseténél maradva, a gazdagon mntázott hullámok általában sokféle rányba

43 3.2. A kvantumállapot és a Hamlton-operátor 43 futó síkhullámokból szuperponálódnak össze, ezért az lyen mozgásban általában nncs s határozott értéke az mpulzusnak: a síkhullámok, az mpulzusoperátor sajátfüggvénye a fzka tartalomra utaló kfejezéssel: az mpulzus sajátállapota csak mnt egyfajta referenca szerepelnek. Ez a referenca azonban dönto szerephez jut az mpulzus mérésénél: a mérés úgy kezdo dk, hogy a hullámfüggvényt térben szétválogatjuk oldalrányból lehatárolt, de síkhullámokat közelíto módusok szernt, vagy általában: a mérendo mennység közelíto sajátállapota szernt (mpulzus esetén ezt egy optka rács végz el). A detektorok a szétválasztott részhullámokból választanak egyet; az ennek megfelelo sajátértéket tekntjük a mérés eredményének. A 6. fejezetben részletesen megsmerjük a kísérlet szétválasztás matematka megfelelo jét: k lehet fejten bármlyen bonyolultabb hullámfüggvényt a mérendo mennység sajátfüggvénye szernt (az mpulzus esetén ez a kfejtés éppen a Fourer-sor), és a kfejtés együtthatóból kszámítható az lleto mennység mérésének statsztkája. A Hamlton-operátor fent konstrukcója még féloldalasnak látszk: nem vlágos, hogy mért helyettesítettük egy operátorral az mpulzust, és mért nem tettünk hasonlót a helykoordnátával. Az gazság az, hogy tettünk, csak az nem tunt fel, mert a hely operátora a helyvektorral való szorzás, am mnden helyfüggvényre, így a potencálra s kterjed: V (~r)ψ(~r,t) éppen a helyes operátorkombnácó. Ennek a rejtélyesnek látszó állításnak az a magyarázata, hogy a helyoperátor sajátfüggvénye azok a függvények, amelyek meghatározott helyen vannak lokalzálva. Ezek prototípusa a Drac-féle deltafüggvény: egy végtelenül magas és keskeny, egységny térfogatú tüske, valamlyen ~r0 helyen R lokalzálva: δ(~r ~r0 )d 3 r = 1; δ(~r ~r0 ) = 0, ha ~r 6 =~r0. Egy lyen függvényre hatva a fent módon defnált helyoperátorral, ~rˆ δ(~r ~r0 ) =~r δ(~r ~r0 ) =~r0 δ(~r ~r0 ), (3.11) vagys úgy muködk, ahogy az egy operátortól elvárható: sajátfüggvényét megszorozza a sajátértékével. A Hamlton-operátornak a Hamlton-függvényen keresztül való bevezetéséhez még két megjegyzést kell tennünk: amkor a Hamlton-függvény nem egyezk az energával, amnek leghétköznapbb példája egy töltött részecske mozgása mágneses térben, akkor vssza kell mennünk a klasszkus fzkából smert konstrukcóhoz: smert mozgásegyenletekbo l, ezek híján esetleg fzka ntucóból megalkotjuk az L (q, q ) Lagrange-függvényt, ebbo l megkapjuk a q ko-

44 44 3. Schrödnger-egyenlet egy részecskére ordnátá(k)hoz konjugált p = L / q mpulzust, végül a H = q p L Hamlton-függvényt; amkor az mpulzust operátorával helyettesítjük, nem mndegy, mlyen sorrendben írjuk egy szorzatban a helykoordnáta és az mpulzus operátorat; ezt a kérdéskört a következo pontban mutatjuk be, és a késo bbekben még többször vsszatérünk rá A hely és mpulzus felcserélés relácója A hely és az mpulzus operátorának smeretében egy alapveto en fontos matematka tulajdonságra derül fény, amely önmagában s felhasználható sok kvantummechanka feladat algebra megoldására a Schrödnger-féle dfferencálegyenlet megoldása nélkül s, és heursztkus ránytuként használható sok olyan esetben, amkor még a részletes törvényszeruségeket nem smerjük. Ez a tulajdonság az, hogy ha két operátor egymás után hat egy függvényre, az eredmény szempontjából nem mndegy, mlyen sorrendben hatnak: az operátorok általában felcserélhetetlenek. Nézzünk elo ször egyetlen x koordnátától függo f (x) függvényeket. Ha ezekre egymás után hatnak operátorok, az írásmód nylvánvaló: az egymásutánt az operátorok szorzataként jelöljük, amelyben jobbra írjuk azt az operátort, amelyk elo ször hat a függvényre, balra azt, amelyk másodszor. A fentek szernt x( / x) f (x) = x f (x); ( / x) x f (x) = f (x) + x f (x). A ketto különbsége f (x). Szmbolkusan ezt így írhatjuk: ( / x)x x( / x) = 1. Használjuk fel ezt arra, hogy kszámítsuk a p x = h ( / x) és x = x operátorok felcserélésének hatását. Mndenekelo tt egy általánosan használt jelölés: vezessük be két operátor, A és B kommutátorát az ˆ B ] =: A B B Aˆ [A, (3.12) defnícóval. Akkor a fentekbo l [ p x, x ] = h. (3.13) Természetesen ugyanez a felcserélés relácó vonatkozk az y és a z rányú koordnáta- és mpulzusoperátorokra s. Ezzel szemben pl. px felcserélheto y-nal, mert x szernt derválásnál y konstansként vselkedk. Mndez így foglalható össze: [ p, r j ] = h δ j, (3.14) ahol, j = x, y, z, és δ j = 1 ha = j, különben= 0 ( Kronecker delta ). Ezeket a felcserélés relácókat elo ször Hesenberg vezette le, a Schrödngeregyenletto l független, elvontabb algebra formalzmuson keresztül.

45 3.4. Staconárus állapotok és az do to l független Schrödnger-egyenlet 45 A fent eredmény magától érteto do általánosítása a kanonkus kvantálás néven smert szabály: kanonkusan konjugált mpulzus koordnáta párok között általában ugyanlyen felcserélés relácók állnak fenn. Ez alól azonban számos kvétel van,2 ematt célszeru az egyes kommutátorokat az operátorok konkrét alakjából közvetlenül kszámoln Staconárus állapotok és az do to l független Schrödnger-egyenlet Most már könnyu pontosan megfogalmazn a staconárus, nem sugárzó Bohr-féle elektronpályák kvantummechanka megfelelo jét. A 2.6. pont végén mondottakkal összhangban, ezek a kvantumállapotok a (3.8) Schrödnger-egyenlet olyan megoldása, amelyekben az do - és helyfüggés szorzatalakban szétválk, és az do függés egy meghatározott frekvencának, vagy am ugyanazt jelent, meghatározott energának felel meg. Ezek a hullámfüggvények tehát az egyenlet ψ(~r,t) = e ω t φ(~r) = e h E t φ(~r) (3.15) alakú megoldása. Behelyettesítve ezt a (3.8) egyenletbe, majd e ω t -vel egyszerusítve, ezt az egyenletet kapjuk: ˆ = Eφ, Hφ (3.16) am roppant szemléletes: a komplex hullámfüggvény ω oszcllácós frekvencáját megszabó E = h ω energaérték a H Hamlton-operátor egyk sajátértéke. A staconárus állapotok tehát energa-sajátállapotok, és élesen meghatározott energák meghatározására a Hamlton-operátorhoz tartozó sajátérték-problémát kell megoldan. A (3.16) egyenlet neve: do to l független Schrödnger-egyenlet, vagy energasajátérték-egyenlet. Amnt már a 2.6. pontban említettük, a (3.15) alakú hullámfüggvényekhez tartozó ψ(~r,t) 2 valószínuségsuruség do ben nem változk, és vele együtt do ben állandó az elektron töltéseloszlásának surusége s. Hogy mért és hogyan sugároznak azok az állapotok, amelyek nem (3.15) alakúak, ahhoz a következo kben még többször vsszatérünk. A Hamlton-operátor, amnt az konkrét (3.9) alakjából s látszk, általában dfferencáloperátor. Ebbo l az következk, hogy a hozzá tartozó sajátértékprobléma, mnt parcáls dfferencálegyenlet, határozatlan marad, amíg a sajátfüggvényekre vonatkozó határfeltételeket k nem kötjük. Valóban, bármekkora E energaértékre léteznek megoldása az egyenletnek, csak azok 2 Lásd Patkós Polóny: Sugárzás és részecskék. Typotex, Budapest, E. függelék.

46 46 3. Schrödnger-egyenlet egy részecskére a határfeltételeknek általában nem tesznek eleget.3 A fzka követelménye pedg éppen a határfeltételek alakjában kerülnek bele a matematka eszköztárba. Ezt részletesen a következo fejezetben beszéljük meg, a késo bbekben pedg bo ségesen láthatunk rá példákat. 3 A dfferencálegyenletek határfeltétele által defnált sajátértékproblémákat nevezk Sturm Louvlle típusú peremértékproblémáknak.

47 4. fejezet A Schrödnger-egyenlet megoldásanak tulajdonsága A Schrödnger-egyenlet fzka tartalma közvetlen matematka tulajdonságokhoz kapcsolódk; a fzka háttér smerete sokszor segít a matematka probléma megoldásában. Ilyen tulajdonságokkal az egész könyv során fogunk találkozn. Ebben a rövd, de fontos fejezetben a megmaradó (nem keletkezo, el sem tuno ) részecskék megtalálás valószínuségének fzkalag nylvánvaló tulajdonságaval smerkedünk meg: látn fogjuk, hogy a valószínuségsuruség, mnt egy folyadék áramlk egyk helyro l a máskra de el nem vész. Áttekntjük az energasajátértékeket meghatározó határfeltételek tpkus esetet s Normálás A 2.8. pontban megsmert Born-szabály szernt ψ(~r,t) 2 d 3 r annak valószínusége, hogy a ψ(~r,t) állapotban levo részecskét a t pllanatban az ~r hely d 3 r környezetében találja meg egy detektor. A különbözo helyeken való egydeju megtalálás nem lehetséges (ezt neveztük részecsketulajdonságnak, am korántsem trvaltás, hanem a kvantummechanka egyk alapveto tapasztalata: egy részecskéto l csak egy detektor szólal meg). Ezért az tt és ott detektálás egymást kzáró események; annak együttes valószínusége, hogy a részecskét vagy tt, vagy ott megtaláljuk, az egyes események valószínuségenek összege. Ha a részecske egyáltalán létezk, az deáls detektorok valahol meg s találják: ennek valószínusége az összes lehetséges detektálás események valószínuségenek összege: Z ψ(~r,t) 2 d 3 r = 1. (4.1) Ezt az összefüggést nevezzük a hullámfüggvény normálásának. Mvel a Schrödnger-egyenlet (akár az do to l függo, akár az do független) lneárs, a megoldás normálásával nem kell folyamatosan töro dnünk, elég a megkapott megoldást utólag megszorozn olyan konstanssal, hogy a (4.1) egyenlet teljesüljön. Az vszont, hogy ezt megtehessük, azon múlk, hogy a 47

48 48 4. A Schrödnger-egyenlet megoldásanak tulajdonsága (4.1) ntegrál véges legyen: lyenkor mondjuk, hogy a hullámfüggvény normálható. A normálhatóság feltételét gyakran használjuk határfeltételként az do to l független Schrödnger-egyenlet megoldásánál: az E energaértékek kontnuumából sokszor a normálhatóság választja k azokat a dszkrét sajátértékeket, amelyek fzka valóságot írnak le. Fontos tudn, hogy már az eddg megsmert egyszeru hullámfüggvények között s van, olyan amely nem normálható: lyen a végtelen térbel kterjedésu síkhullám, am az mpulzus operátorának sajátfüggvénye, és lyen a Drac-féle deltafüggvény s, amely a helyvektor operátoráé. Ezek használatáról nem mondhatunk le, de nagyságukat nem az tt megsmert valószínu ségszámítás normálással, hanem más matematka eszközzel tartjuk kézben; erro l késo bb lesz szó. Az do függo Schrödnger-egyenlet megoldásanak normálásával kapcsolatban meg kell említenünk, hogy ha megmaradó részecskét írunk le ezt a Hamlton-operátor alakja bztosítja akkor elég a normálást a kezdet pllanatban kkötn; az ntegrál az do múlásával nem változk. Ezzel a tulajdonsággal foglalkozunk a 4.3. pontban A határfeltételek és a spektrum A (3.16) Schrödnger-féle energasajátérték-egyenlet a Hamlton-operátor (3.9) alakjával a következo dfferencálegyenletre vezet: h 2 φ(~r) = (E V (~r)) φ(~r). 2m (4.2) Ebben az egyenletben a V (~r) helyfüggo potencáls energa bemeno adat; az smeretlenek, amelyeket meg kell határoznunk, az E energasajátérték és a hozzá tartozó φ(~r) energasajátfüggvény. Amnt már megbeszéltük, az egyenletnek bármlyen E értékre van megoldása; választan azon az alapon tudunk, hogy a φ(~r) függvény kelégítse a fzka által krótt határfeltételeket. A határfeltételek által megengedett E energasajátértékek összességét nevezzük a Hamlton-operátor spektrumának. A határfeltételek a következo k: A hullámfüggvény legyen folytonos, és elso derváltja s legyenek folytonosak (különben a operátorban levo másodk derváltak végtelenné válhatnának, amt véges potencál nem tud kompenzáln). A potencál szngulárs helyen (pl. az 1/r helyfüggésu Coulomb-potencál orgójában) a hullámfüggvény pontosabb vzsgálatával kell meghatározn a határfeltételt, lásd a pontot. Végtelen magas potencálfal határ-

49 4.3. Anyagmegmaradás és komplex hullámfüggvény: a kontnutás egyenlet 49 esetében a hullámfüggvény derváltja határozatlanná válk, lásd az 5.1. pontot. A leírásra használt koordnátáknak a hullámfüggvény legyen egyértéku függvénye (pl. ha szögkoordnátákat s használunk, egy 2π körbeforgás után önmagába vsszatéro polárszögnek legyen 2π szernt perodkus függvénye). Ha a hullámfüggvény kötött (egy potencálgödörbe lokalzált) állapotot ír le, legyen normálható. Szabad mozgás esetében a hullámfüggvény tartalmaz végtelenbe meno síkhullámszeru részeket s. Ilyenkor az do to l független Schrödnger-egyenlet megoldásanak normálhatósága nem teljesül; o ket az do függo egyenlet szernt mozgó, egyre szélesebb hullámcsomagok határesetének teknthetjük. A határfeltételek által meghatározott spektrumnak lehetnek dszkrét és folytonos része. A dszkrét spektrum volt a mkrovlág elso üzenete a klaszszkustól eltéro természettörvényekro l;1 ebbo l ered a kvantum szó s. Dszkrét energasajátértékek tpkusan egy potencálgödörben kötött, abból az energamegmaradás matt k nem szabaduló, állóhullámszeru vagy körbefutó energasajátállapotnak felelnek meg. Ilyen pl. az atomban kötött elektronok esete. Tudnunk kell, hogy nem mnden potencálgödörben alakulhat k kötött állapot; ennek feltételevel találkozn fogunk a következo kben. Egy dszkrét sajátértékhez több különbözo sajátfüggvény s tartozhat; lyenkor azt mondjuk, hogy a sajátérték elfajult (degenerált). Az elfajulást sokszor valamlyen szmmetra okozza. Egy másk fontos oka lehet, ha egy külso adat (paraméter), pl. elektromos vagy mágneses térero sség függvényében változó sajátértékek valahol keresztezk egymást. Ezekkel az esetekkel a késo bb fejezetekben fogunk megsmerkedn. Szabadon terjedo hullámokhoz folytonos energasajátértékek tartoznak; lyenkor a (4.2) típusú egyenlet megoldása a hullámterjedés részletero l adnak nélkülözhetetlen nformácót: a hullámok szóródásáról, esetleg véges deg tartó csapdázásáról Anyagmegmaradás és komplex hullámfüggvény: a kontnutás egyenlet A (3.7) hullámegyenletbo l és komplex konjugáltjából fontos megmaradás tétel következk a ψ(~r,t) 2 = ψ(~r,t)ψ (~r,t) valószínuségsuruségre. A 1 Tulajdonképpen még korább, rejtett üzenet volt a Gbbs-paradoxon: az, hogy a keverés entrópa nem anyagfüggo, de megkülönböztet a különbözo vagy azonos gázok keverékét.

50 50 4. A Schrödnger-egyenlet megoldásanak tulajdonsága levezetés: t (ψψ ) = ψ t ψ + ψ t ψ h = (ψ ψ ψ ψ ), 2m (4.3) amt elem vektoranalízs felhasználásával (szorzat derválása, de elo kelo en nevezhetjük Green-tételnek s) így írhatunk: t (ψψ ) = ~j, (4.4) ahol ~j = h (ψ ψ ψ ψ ) (4.5) 2m a valószínuség áram surusége. A (4.4) egyenlet szabályszeru kontnutás egyenlet, ahogy azt a hdrodnamkából smerjük: egy suruség do bel változását a megfelelo áram negatív dvergencája adja meg; ez az egyenlet tehát a teljes valószínuség megmaradását írja le. Ez az oka annak s, hogy az do to l függo Schrödnger-egyenlet megoldására elég a kezdet feltételben teljesíten a normálást, akkor az már késo bb s teljesül. Próbáljuk k a kapott kfejezést egy ψ = f (t) exp[(/h )~p ~r] alakú hullámfüggvényre: ekkor ψ = (/h )~pψ és ψ = ( /h )~pψ, ezzel ~j = (~p/m)ψ ψ =~vcsop ψ ψ, amnek megnt közvetlen hdrodnamka jelentése van: az áramsuruség a suruség és az áramlás sebesség (tt: a csoportsebesség) szorzata.2 A (4.5) áramsuruség valós hullámfüggvény esetén eltunk. Ha türelmesebben nézzük a kfejezést, az s kderül, hogy helyto l független komplex szorzó sem ad áramot. A lényeg: áram csak akkor folyk, ha a hullámfüggvény fázsszöge a hely függvényében a komplex síkon elfordul. 2 Azt, hogy ~p/m a csoportsebesség, a (2.7) egyenletbo l tudjuk. Szgorúan véve, egyetlen síkhullám nem csoport, de szomszédos hullámvektorú síkhullámok eredo je már gen; ez afféle ks Zénón-paradoxon (nem tévesztendo össze a nevezetes kvantum-zénón-effektussal! Ez utóbbval a pontban fogunk megsmerkedn.)

51 5. fejezet A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása A kvantummechanka tanulását mndenk azzal kezd, hogy néhány egyszeru esetre megoldja az do to l nem függo Schrödnger-egyenletet; lyenkor kötött vagy szabad mozgást leíró energa-sajátfüggvényeket határozunk meg. Az olvasónak azt tanácsolom, hogy már ezekben az egyszeru esetekben s azokat a tulajdonságokat keresse, amelyek majd a bonyolultabb feladatokban s segíthetk az elgazodást: a valószínuség áram szerkezetét, a határfeltételek muködését a sajátérték-probléma meghatározásában, a szmmetrák felhasználását a feladat egyszerusítésére. A terjedo anyaghullámra, am egy mozgó részecske kvantummechanka megfelelo je, különféle eredetu ero k hatnak. Ha a részecske energája megmaradó mennység, az ero hatást általában1 egy V (~r), egydmenzós mozgásnál V (x) skalár potencállal lehet leírn. A jelenségek potencálgödörben kötött állapot kalakulása, potencálfalon való szóródás és áthatolás nagymértékben függetlenek a potencál pontos függvényalakjától, ezért megsmerésüket a legegyszerubb modellel kezdjük: szögletes, állandó szakaszokból összetevo do egydmenzós potencálokkal. Ha egy ntervallumban V (x) = V állandó, és az E energa megmarad, akkor a (4.2) Schrödnger-féle energasajátérték-egyenlet megoldását közvetlenül fel lehet írn. Két esetet kell megkülönböztetn: Ha E > V, akkor két lneársan független megoldás2 φ(x) = ekx (jobbra haladó hullám) és φ(x) = e kx (balra haladó hullám). A két haladó hullám helyett célszeru lehet az állóhullámnak megfelelo sn(kx) és cos(kx) valós kombnácókból knduln. A választott két alapmegoldás mnden lneárs kombnácója s megoldása a dfferencálegyenletnek, de nem a sajátértékproblémának: ez utóbbt a határfeltételek választják k. A k 1 Kvétel a töltött részecskére ható mágneses tér, amelyet vektorpotencállal kell leírn, lásd a 11. fejezetet. 2 Két függvényre a lneárs függetlenség azt jelent, hogy nem arányosak egymással; több f1 (x), f2 (x), f3 (x)... függvényre azt, hogy nncs közöttük c f (x) = 0 alakú (lneárs) összefüggés, amely a több smeretében már bármelyküket meghatározná. 51

52 52 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása hullámszámot az Epenergasajátértékkel az energa megmaradása kapcsolja össze: k = 2m(E V )/h. Kötött állapotok esetén k és ezen keresztül E lehetséges értéket s a határfeltételek szabják meg; szabad mozgásnál E a távolból bejövo részecske energája. Ha E < V, akkor a p két lneársan független megoldás φ(x) = e κx és κx φ(x) = e, ahol κ = 2m(V E)/h. A megfelelo lneárs kombnácót tt s a határfeltételek választják k. Az állandó potencálú tartományok határan, ahol a potencál ugrk, határfeltételként kell kszabn, hogy a φ(x) függvényérték és a φ (x) dervált folytonosan menjen át egyk tartományból a máskba. Staconárus állapotban az áram s staconárus, am a kontnutás egyenlet szernt csak dvergencamentes lehet, de ez többféleképpen valósulhat meg. Szabad mozgásnál az áram végtelenbo l jön és végtelenbe tart, am nylván dealzácó: gazából hullámcsomagok jönnek és mennek, de ha kterjedésük jóval nagyobb, mnt a mnket érdeklo térrész, akkor jogos a végtelen kterjedésu staconárus állapot közelítése; a bejövo és kmeno hullámokat határfeltételekkel választjuk el egymástól. Feladatankban a hullámra ott nézünk rá, ahol valam történk vele: szóródk, vsszavero dk, áthatol egy akadályon, esetleg egy do re csapdába esk. A potencálgödörbe zárt staconárus mozgáshoz s dvergencamentes áram tartozk. Etto l még lehet akár állóhullám, akár haladó. Gödörbe zárt haladó hullám csak körbe járhat, amhez legalább két dmenzóra van szükség; egydmenzós kötött mozgás csak úgy tud staconárus lenn, ha állóhullámot formáz. Mndez hasznos elso tájékozódást jelent az do független Schrödnger-egyenlet megoldásahoz Végtelen potencálgödör kötött állapota Mnden kvantummechanka feladatok legegyszerubbke a végtelen potencálgödörbe zárt elektron energasajátértékenek meghatározása. Kezdjük egydmenzós mozgással, akkor a (3.16) egyenlet lyen alakot ölt: h 2 φ (x) = (E V (x)) φ(x), 2m (5.1) ahol φ (x) a hullámfüggvény x szernt másodk derváltját jelöl, a potencál pedg 0 ha x < a, V (x) = (5.2) ha x a.

53 5.1. Végtelen potencálgödör kötött állapota 53 A külso tartományokban, ahol a potencál végtelen, ott φ(x) 0, amnek a belso tartomány határán az értéke s, a derváltja s 0. Ezzel van egy bökkeno. A határfeltételek úgy szólnak, hogy φ(x) folytonos és a derváltja s folytonos, de ez tt nem lehet gaz, mert akkor nem lehetne más megoldás, csak azonosan 0. Az ellentmondás feloldása az, hogy a végtelen potencálfal határán a dervált határozatlan, akárm lehet, vagys a belso x < a tartományban az állóhullámnak csak a ktérése van a határokon leszögezve, belül ktérhet, mnt a rezgo húr.3 Mlyenek hát a megoldások? Az x < a belso tartományban az (5.2) egyenletbo l 2mE φ = k2 φ; k2 = 2 (5.3) h egyenletet kapjuk; a megoldásoknak a kétoldal φ(±a) = 0 (5.4) határfeltételeket kell egydejuleg kelégítenük. Az ennek megfelelo megoldások sn(kx) vagy cos(kx) alakúak; az elso esetben k = n(π/a), a másodk esetben k = (n + 21 )(π/a) (n = 0, 1, 2,... ) értékre teljesítk a határfeltételt. A két számsort egyesíten lehet k = n(π/2a); n = 0, 1, 2,... alakban. Ez meghatározza az energa sajátértéket s: En = n2 π2 ; n = 0, 1, 2,.... 8ma2 (5.5) Vegyük észre, hogy sznusz és kosznusz lneárs kombnácó általában nem elégítk k a határfeltételt, csak tszta sznusz vagy kosznusz! Ezt a határfeltételekbo l olvastuk k, de elo re s tudhattuk volna. A jó hullámfüggvényekben az a közös, hogy vagy páros, vagy páratlan függvénye xnek, ez pedg annak a következménye, hogy az (5.2) potencál páros, vagys a Hamlton-operátor az x x tükrözés muveletben változatlan marad ( tükrözés-szmmetrkus, a tükrözéssel szemben nvaráns ). Ehhez hasonló, szmmetrán alapuló meggondolásokkal gyakran skerül lerövdítenünk a Schrödnger-egyenlet megoldását; am néha még fontosabb, a számértékeknél közvetlenebb bepllantást nyerhetünk a spektrum szerkezetébe. A 3 A dervált határozatlanságát könnyu belátn, ha a végtelen potencált átmenetleg egy konstans V0 falmagassággal helyettesítjük, majd elvégezzük a V0 határátmenetet, rögzítettpe energa mellett. A magas falban a normálható megoldás φ = Ae κ( x a), ahol κ = 2m(V0 E)/h, vagys a végtelen fal határátmenetekor κ. A határon ugyanekkor φ(±a) = A 0, de φ (±a) = Aκ 0, am tényleg akármekkora lehet.

54 54 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása tértükrözés konkrét esetére a logka kapcsolatot a következo pontban mondom el; a szmmetrák szerepének általános vonásat a késo bbekben részletesen megbeszéljük Tükrözés szmmetra, páros és páratlan megoldások Maradjunk az egydmenzós problémáknál. A d 2 /dx2 operátor szmmetrkus az x x tükrözésre nézve. Ha a V (x) egydmenzós potencál s tükrözésszmmetrkus, V ( x) = V (x), akkor az egész egydmenzós Hamltonoperátor s tükrözésszmmetrkus: H ( x) = H (x). Ekkor a ˆ H(x)φ(x) = Eφ(x) (5.6) energasajátérték-egyenlettel együtt ez s teljesül: ˆ H( x)φ(x) = Eφ(x), (5.7) változatlan E sajátértékkel. Most végezzük el az x = y változóhelyettesítést: H (y)φ( y) = Eφ( y), és (ez már csak precízkedés) jelöljük át y-t x-re: ˆ H(x)φ( x) = Eφ( x). (5.8) Ez a várt eredményünk: ha egy tükrözésszmmetrkus Hamlton-operátornak φ(x) az E sajátértékhez tartozó sajátfüggvénye, akkor φ( x) s sajátfüggvény, és ugyanahhoz az E sajátértékhez tartozk. M következk ebbo l φ(x) és φ( x) kapcsolatára? Ez a kérdés az elfajulás fogalomkörébe tartozk. Két eset lehetséges: 1. Ha az E sajátérték nem elfajult, vagys hozzá nem tartozk több lneársan független sajátfüggvény, akkor φ( x) sem lehet lneársan független φ(x)-to l, csak annak konstansszorosa lehet: φ( x) = aφ(x). Megsmételve a tükrözés muveletét, vssza kell kapnunk az eredet függvényt, ezért a2 = 1, vagys a = 1 vagy a = 1. Az elso esetben φ(x) páros függvénye x-nek, a másodk esetben páratlan. 2. Ha az E sajátérték elfajult, vagys több, lneársan független sajátfüggvényhez tartozk ez a közös sajátérték, akkor ezek bármlyen lneárs kombnácója s ugyanezen sajátértékhez tartozó sajátfüggvény. Ekkor a lneársan független φ(x) és φ( x) helyett választhatjuk páros és páratlan lneárs kombnácójukat: a φ ps (x) = φ(x) + φ( x) és φ ptl = φ(x) φ( x) sajátfüggvényeket.

55 5.3. Véges potencálgödör 55 A következtetés: tükrözéssel szemben nvaráns Hamlton-operátor esetén vagy automatkusan páros és páratlan sajátfüggvényeket kapunk, vagy lyeneket választhatunk. Hogy elo készítsük a szmmetrák általánosabb elméletének megsmerését, írjuk a fenteket a következo képpen: vezessük be a tértükrözés, más szóval a partás P operátorát: P f (x) = f ( x). Kétszeres tükrözés vsszaadja az eredet függvényt: P 2 = 1, vagys P 1 = P. P sajátértéke +1 és 1; a megfelelo sajátfüggvények a páros, ll. páratlan függvények. Eredményenket ezen az absztraktabb nyelven úgy foglalhatjuk össze, ˆ hogy tükrözésszmmetrkus Hamlton-operátor esetén P H(x) f (x) = ˆ H( x) f ( x) = H (x) f ( x) = H (x)p f (x), vagys P Hˆ = H P. Amnt majd a 6.1. pontban megtanuljuk, ebbo l az következk, hogy H -nak és P -nek van közös sajátfüggvényrendszere: az energa-sajátfüggvényeket választhatjuk a páros és páratlan függvények közül Véges potencálgödör Ks hatótávolságú vonzóero legegyszerubb modellje egy véges négyszögletu potencálgödör. Az energa zéruspontját tetszés szernt választhatjuk meg; célszeru úgy választan, hogy nagy távolságra a potencál eltunjön: V0 ha x < a, V (x) = (5.9) 0 ha x a, és gödörro l lévén szó, V0 < 0. Mlyen kötött állapotok alakulhatnak k ebben a gödörben? A kötött állapot a gödör környezetére lokalzálódk, energája a V0 < E < 0 ntervallumba esk. Staconárus állapotban csak dvergencamentes áram folyhatna, de egy dmenzóban, térben korlátozva, nncs honnan hova folyna, körbe se futhat, ezért a (4.5) áram azonosan 0. Ekkor az (5.1) Schrödnger-egyenlet sajátfüggvényet konstans szorzótól eltekntve valósnak választhatjuk. Tudjuk még azt s, hogy az (5.9) potencál páros függvény, ezért az energasajátfüggvények párosak vagy páratlanok. Kezdjük a páros megoldásokkal. Válogassunk a fejezet elején felkínált leheto ségekbo l. A gödör belsejének csak ez felel meg: φ(x) = cos(kx) ( x a); k2 = 2m(E V0 )/h 2. (5.10) A gödrön kívül, végtelenbe nyúló tartományban a normálhatóság követelménye jelenk meg, mnt határfeltétel: k kell zárnunk a távolsággal exponencálsan növekedo függvényeket, így ez a páros kombnácó marad: φ(x) = Ae κ( x a) ( x a); κ2 = 2mE/h 2 ; κ > 0. (5.11)

56 56 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása Ha megszámoljuk, tt négy smeretlen van: E, k, κ és az A ampltúdó. Az energát tartalmazó két egyenletet összeadva E kesk; a kapott feltételt a2 -tel szorozva, V0 = V0 felhasználásával dmenzótlanított egyenletet kapunk: (ka)2 + (κa)2 = V0. h /(2ma2 ) 2 (5.12) Vegyük észre, hogy a jobboldalon a nevezo ben az a knetkus energa áll, am a részecske x a térrészre való lokalzálásakor lépne fel a p h / x határozatlanság relácónak megfelelo en; ezt az energát hasonlítjuk össze a gödör V0 mélységével. Azt gondolhatnánk, hogy kötött állapot csak akkor lép fel, ha az arány elég nagy; mndjárt látn fogjuk, hogy ez nem gaz. Tovább egyenleteket kapunk az x = ±a gödörhatárokon való llesztésbo l. Mvel páros függvényeket választottunk (ugyanez vonatkozk a páratlanokra s), a két határ nem ad független egyenleteket; maradjunk a függvényérték és a dervált +a helyen való llesztésénél: cos(ka) = A; k sn(ka) = Aκ. (5.13) A két egyenletet elosztva egymással és a-val szorozva újabb egyenletet kapunk a dmenzótlan ka és κa smeretlenek között: κa = ka tg(ka). (5.14) Könnyu belátn, hogy az (5.12) és (5.14) egyenletekbo l álló rendszernek bármlyen sekély gödör esetén van megoldása, amelybo l, mondjuk az (5.11) egyenlet felhasználásával, megkapjuk a megfelelo energasajátértéket. Mlyen sajátfüggvény s tartozk a nagyon sekély potencálgödörben lokalzált részecskéhez? A válasz az, hogy rossz a kérdés: a hullám nem a gödörben, hanem a gödörhöz lokalzálódk, κa 1 vagys x a matt a gödörnél sokkal nagyobb térrészre szétkenve (lásd az 5.1. ábrát), a függvény smasága matt nagyon kevés knetkus energával. Ez s példa arra, hogy hullámokkal olyasm s megtörténhet, am klasszkus részecskékkel nem. A páratlan megoldások esete egyszerubb, és kevésbé meglepo : a gödrön belül φ(x) = sn(kx) ( x a); k2 = 2m(E V0 )/h 2, (5.15) a gödrön kívül pedg φ(x) = x κ( x a) Ae ( x a); κ2 = 2mE/h 2 x (5.16)

57 Véges potencálgödör 5.1. ábra. Egy dmenzóban a legksebb potencálgödör s képes lehorgonyozn egyetlen kötött állapotot, de annak hullámfüggvénye messze túllóg a gödör peremén. Több dmenzóban lyen nncs. alakú a hullámfüggvény. A ketto llesztésébo l most s a ka és κa smeretleneket összeköto egyenleteket kapunk; egykük megegyezk a páros eset (5.12) egyenletével, ezzel szemben az (5.14) egyenlet helyére ez kerül: κa = ka ctg(ka). (5.17) Most az egyenletrendszernek nagyon sekély gödörben nncs megoldása, annak megfelelo en, hogy a páratlan függvényeknek legalább egy zérushelyük van, vszont a határon már vssza kell hajlanuk, hogy normálható exponencálshoz lehessen o ket lleszten. Ematt a hullámhosszuk nem lehet 4a-nál nagyobb, am egy mnmáls h 2 π2 /8ma2 knetkus energát kényszerít rájuk. Ha a gödör ennél sekélyebb, nncs páratlan hullámfüggvényu kötött állapot. Eredményenk meghatározzák a kötött állapot energáját és a hullámfüggvény alakját, de szabadon hagynak egy konstans szorzót a hullámfüggvényben. Ezt pedg fontos tudn, mert amnt azt a következo kben bo séges példákon látn fogjuk, az operátorok mátrxelemenek nagysága tartalmazza ezeket a konstans szorzókat. Ezért jegyezzük meg, hogy a konstans szorzó nagyságát a hullámfüggvény normálása rögzít. Megemlítjük még, hogy a nagyon sekély gödörben megvalósuló sma páros kötött állapot csak egy dmenzóban jön létre, háromdmenzós megfelelo je nncs: háromdmenzós gödörnek el kell érne egy mnmáls mélységet, hogy kötött állapot alakulhasson k benne. Az egydmenzós lokalzácónak vszont messzemeno következménye vannak, pl. bármlyen gyengén

58 58 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása ngadozó véletlen potencálban s létrejönnek lokalzált állapotok; ez lényeges része a rendezetlen szlárd testekben sokat vzsgált Anderson-lokalzácó jelenségkörének A dobozba zárt részecske, cklkus határfeltétel, cellák a fázstérben Egy darab fémben vagy félvezeto ben szabadon mozgó elektron kvantummechankájának hasznos nulladk modellje egy végtelen magas falú, téglatest alakú potencáldoboz, a, b és c hosszúságú élekkel. A határfeltételek: a hullámfüggvény tunjön el a doboz határan. Az energasajátértékek összeszámolása teljesen analóg azzal, ahogy a ho sugárzással való smerkedésünk során számoltuk össze az elektromágneses hullámok állóhullám-módusat, csak most a határfeltételek egyszerubbek, mert ez a hullámfüggvény skalár: a doboz mnden élével párhuzamosan egész számú félhullámot tudunk elhelyezn úgy, hogy a határfeltételeket kelégítsék. Ennek megfelelo en, ha az orgót a tégla egyk sarkába helyezzük el, az energasajátfüggvények sn(kx x) sn( ky y) sn(kz z) alakúak, és a határfeltételeket akkor elégítk k, ha π kx = nx, a π ky = ny, b π kz = nz, c (5.18) ahol nx, ny, nz = 1, 2, 3,. (5.19) Itt állóhullámokról lévén szó, csak poztív számok szerepelhetnek; nulla sem lehet köztük, mert akkor nncs hullám. A fent k értékekhez tartozó h 2 ~k 2 /2m energasajátértékek:! h 2 π2 n2x n2y n2z Enx,ny,nz = + +. (5.20) 2m a2 b2 c2 Legyen a doboz nagyon lapos: c a, b. Ekkor a z rányú hullámok gerjesztéséhez szükséges energa nagy lesz, mvel 1/c2 1/a2, 1/b2. Ilyenkor elég alacsony ho mérsékleten, ha kb T (h 2 π2 /2m)/c2, a c rányú hullámmozgás befagy az nz = 1 alapállapotba, és a rendszer úgy vselkedk, mntha csak két dmenzós lenne. Ilyen kvázkétdmenzós rendszereket az utóbb évtzedben részletesen vzsgáltak félvezeto k határfelületen, nm méretben, 1 K körül ho mérsékleten, és a kvantummechanka egyk legzgalmasabb kísérlet megjelenés területének számítanak. Olyan s van, hogy a rendszer két rányban s sokkal ksebb, mnt a harmadkban, lyenkor alacsony ho mérsékleten csak egyetlen dmenzó gerjesztheto, és a rendszer

59 5.4. A dobozba zárt részecske, cklkus határfeltétel, cellák a fázstérben 59 kvázegydmenzósként vselkedk, so t, mnden rányból ero sen lehatárolt rendszer s készítheto, amely az adott alacsony ho mérsékleten termkusan egyáltalán nem gerjeszto dk.4 Az a motívum, hogy egy adott rányban kcsny kterjedésu rendszerek ebben az rányban csak nagy frekvencán, nagy energával gerjesztheto k, és ezért alacsonyabb frekvencán, alacsonyabb energán az lyen dmenzók kfagynak, a fzka különbözo területen elo jön, kezdve az elektromágneses hullámvezeto kto l köztük az optka szálaktól egészen az elem részecskék húrmodelljenek a négydmenzós vlágon túl dmenzóg. Van a dobozok elektronállapotanak egy másk fontos kágazása s. Nagy háromdmenzós potencáldobozban kalakuló kötött állapotoknál a feladat sokszor a doboz a, b, c élenél sokkal rövdebb hullámhosszú haladóhullám módusok közelíto leírása, akkora pontossággal, hogy a belo lük felépülo és a doboz belsejében mozgó hullámcsomagokat Fourer-sor módjára összerakhassuk. A feladatnak része a módusokhoz tartozó energasajátértékek közelíto összeszámolása egy kcsny, de véges energantervallumban. Mndennek tpkus alkalmazás területe a krstályos szlárd testek elektromos vezetésének és rugalmas hullámanak kvantumelmélete. Max Born és tanítványa, a hdrodnamka késo bb nagy alkotója, Kármán Tódor jött rá a szlárdtestfzka kezdetenek képítésénél, hogy lyenkor a határfeltételek pontos alakja nem lényeges, mert rajtuk egy mlló hullámhosszny üregben fél hullámhosszny hba múlhat, vszont az egymástól egy hullámszámnyt eltéro módusok energaszntjenek egymástól való távolságát vagys az energaszntek suruségét a határfeltételek megváltozása ennél jóval kevésbé befolyásolja. Ezzel szemben nem praktkus a haladóhullámokat állóhullámokból komplex fázsokkal összerakosgatn; célszerubb az egyszeru, bár fzkalag nem reáls cklkus határfeltételt választan, amely nagyon közvetlenül elvezet a kello pontosságú adatokhoz. Ezt a stratégát követ azóta s a krstályos szlárd testek fzkája. A leírásban a (h 2 /2m) φ = Eφ egyenlet megoldásat haladó, a doboz V = abc térfogatára normált síkhullámok alakjában keressük: 1 1 ~ φ(x, y, z) = e(k ~r+χ) = ekx x eky y ekz z eχ, V V (5.21) ahol a mértéknvaranca matt az eχ faktort el s hagyhatjuk. Ezt a próbafüggvényt llesztjük olyan határfeltételekhez, amelyeknél a hullámfüggvény 4 Ezt a mérettartományt mezoszkopkus vagy nanoszerkezet néven s emlegetk. A kvázkétdmenzós rendszerek neve kvantumgödör (angolul: quantum well), a kvázegydmenzósaké kvantumhuzal (quantum wre), a kváz-nulladmenzósaké kvantumpötty (quantum dot).

60 60 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása a doboz felületének átellenes pontjan azonos értéket vesz fel. Ez az x, y, z tengelyekre mero leges felületpárokon összesen három feltételt jelent: φ(x, y, z) = φ(x + a, y, z) = φ(x, y + b, z) = φ(x, y, z + c), (5.22) amelyek meghatározzák a hullámvektor komponensenek megengedett értéket: 2π 2π 2π kx = nx, ky = ny, kz = nz, (5.23) a b c ahol nx, ny, nz tetszo leges (poztív, 0 vagy negatív) egész számok, mvel a haladóhullámok bármlyen rányba haladhatnak. Ugyanez a p = h k ( = x, y, z ) mpulzuskomponensekben kfejezve: h px = nx, a h py = ny, b h pz = nz. c (5.24) Ezek a pontok a klasszkus mechanka által megengedett mpulzusok terében egy szabályos rácsot alkotnak, amelynek elem cellája h3 /V térfogatú; enny mpulzustérfogathoz tartozk a doboznak egy haladóhullámú energasajátfüggvénye. Még beszédesebb fogalomalkotáshoz jutunk, ha bevezetjük a koordnátaés mpulzustengelyek által kfeszített fázsteret. Ebben egy energasajátfüggvénynek megfelelo fázstérfogat az mpulzuscella és a bejárható térfogat drekt szorzata, vagys h3 nagyságú fázstérfogat. Ezt a fogalmat surun használja a statsztkus fzka. Az mpulzusrács pontjahoz tartozó energasajátértékek most Enx,ny,nz 2π2 h 2 = m n2x n2y n2z + + a2 b2 c2!. (5.25) Elso ránézésre olyan, mntha ezek rtkábban helyezkednének el, mnt az állóhullám módusok (5.20) energá, de tt mnden energasajátértékhez 8 haladóhullám tartozk, ±nx, ±ny, ±nz szernt; ennek megf elelo en egy energantervallumba az mpulzustér egy teljes gömbhéja beletartozk, nem csak a poztív nyolcad-gömbhéj. A magasan gerjesztett, a doboz méretehez képest rövdhullámú módusok energasajátállapotanak surusége arányos a doboz térfogatával, de nagymértékben független a doboz alakjától. Ezt matematkalag nehéz bebzonyítan, de fzkalag eléggé kézenfekvo ; ezen múlk a termodnamkában az extenzív mennységek létezése.

61 5.5. Alagúteffektus és rezonancaszórás Alagúteffektus és rezonancaszórás A kvantummechanka kora meglepetése közé tartozott, hogy egy E > 0 energájú hullám V0 > E magasságú potencálfalon ( potencálgáton ) s át tud hatoln, mnt Harry Potter a 9 és 3/4-edk vágányhoz vezeto falon, amelyro l pedg egy klasszkus részecske vagy regényho s az energa megmaradásának megfelelo en vsszapattanna. A hullám ntenztásának egy része így s vsszavero dk, de am nem, az átjut; ehhez csak a fal d vastagságának kell eléggé kcsnek lenne. A hullámok fzkája felo l nézve persze a dolog teljesen normáls. Az elso meglepetés óta a jelenséget számos változatában megfgyelték (α-bomlás, elektromos áram áthaladása vékony oxdrétegen, Josephson-effektus szupravezeto kben), és alkalmazták s (félvezeto alagút-dódák, Josephson-effektuson alapuló magnetométerek stb.). Most a jelenség legegyszerubb egydmenzós négyszög potencálos modelljét smerjük meg; a folytonosan változó, de még mndg egydmenzós potencálfal esetével a 16. fejezetben, a szemklasszkus közelítés tárgyalásánál foglalkozunk. Az akadályt most egy V0 ha 0 < x < d, V (x) = (5.26) 0 ha nem potencállal helyettesítjük, és keressük az do független Schrödnger-egyenlet megoldásat. A kötött állapot eddg tárgyalt problémától eltéro en, most bármlyen E > 0 értéknél találunk olyan megoldást, amely bejövo, a potencálfalon részben áthaladó, részben vsszavero do anyaghullámnak felel meg. Határfeltételnek s csak ennyt kötünk k: a megoldás álljon az egyk oldalról befutó és mndkét oldalra kfutó hullámokból. A normálás kérdése nem trváls: egy végtelen kterjedésu síkhullám normálás ntegrálja végtelen. Amnt már említettük, lyenkor szokásos a bejövo hullámot egységny ampltúdójúra választan; amt meg akarunk határozn, az az áthaladó hullám t és a vsszavert hullám r ampltúdója, majd ezeken 5 Ennek keresztül az áthaladás t 2, ll. a vsszavero dés r 2 valószínusége. megfelelo en keressük a megoldást lyen alakban: kx ha x < 0, e + r e kx kx φ(x) = te ha x > d, (5.27) A e κx + B eκx ha 0 x d, 5 Ha a beeso és a továbbhaladóhullám knetkus energája eltéro, mert a fal elo tt és után más a potencál értéke, vagy mert rugalmatlan folyamatokat s le akarunk írn, az áramsuruségben fgyelembe kell vennünk a csoportsebesség megváltozását s.

62 62 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása p ahol k = 2mE/h és κ = 2m(V0 E)/h értékét a bejövo hullám E energája határozza meg. Az egyenletrendszer harmadk sora írja le a potencálgát belsejében kalakuló evaneszcens hullámot. Ez egy áthaladó és egy a kmenetro l vsszavero do hullámból áll. Jegyezzük meg, hogy ez utóbb nagyon fontos szereplo : nélküle a falban a hullámfüggvény valós lenne, és ematt nem juthatna át a falon a részecske áramsuruség. Az smeretlen r, t, A, B ampltúdókat az x = 0, d határokon a hullámfüggvény és derváltja llesztésébo l kapott négy egyenlet határozza meg. Kvantummechanka tankönyv nem létezhet ezek nélkül, álljanak tehát tt s, ahogyan kell: 1 + r = A + B, (5.28) k(1 r) = κ( A + B), κd kd = Ae kd = κ( A e te kt e (5.29) κd +B e, κd (5.30) κd + B e ). (5.31) Az egyenletrendszer megoldása elem feladat; kfejezve elo ször A és B értékét, a harmadk egyenletbo l ném átalakítással megkapjuk az áthaladás valószínuségét: 1 t 2 =. (5.32) V E (V0 E) snh2 (κ d) Az olvasónak jó szívvel ajánlom, hogy elleno rzze ezt a fontos eredményt még két módon: 1. számolja k r 2 -et, és elleno rzze, hogy teljesül r 2 + t 2 = 1, vagys a bejövo hullám vagy elo re vagy hátra, de továbbhalad és nem vész el; 2. a (4.5) kfejezés felhasználásával számolja k a potencálgát belsejében a ~j valószínuség-áramsuruség nagyságát, elleno rzze, hogy megegyezk a t 2 alagutazás valószínuséggel, és gyo zo djék meg róla, hogy a vsszavero do evaneszcens hullám nélkül ez az áram 0 lenne. Ez az utóbb megjegyzés érdemes arra, hogy az olvasó legalább egyszer átgondolja: valós energasajátfüggvények áramot nem vezetnek; az alagutazáshoz legalább két különbözo helyfüggésu valós exponencálst kell összeadn, komplex A = A exp(δa ) és B = B exp(δb ) együtthatókkal. Ematt félrevezeto azt mondan, hogy a vsszavert exponencáls elhanyagolható; a potencálgát alatt tartományban közvetlenül kszámolható, hogy az átfolyó áramsuruség j= h h κ (φ φ φ φ ) = A B sn(δb δa ), 2m m (5.33)

63 5.5. Alagúteffektus és rezonancaszórás 63 amben a gyenge reflektált hullámnak khagyhatatlan szerepe van. Az utolsó egyenlet érdekes összefüggést mutat a két oldalról hozott kvantummechanka fázsok különbsége és az átalagutazó áram között. Ennek közvetlen kísérlet megjelenéset tapasztalhatjuk a Josephson-effektusban (1962), ahol két szupravezeto között oxdrétegen ún. Josephson-átmeneten elektronpárok alagutaznak át, és ezt áramméro vel lehet mérn. Amíg az átfolyó áram a krtkus h κ m A B érték alatt marad, ellenállás nélkül folyk át a Josephson-átmeneten, csak a δb δa kvantummechanka fázskülönbség hangolódk hozzá az áram nagyságához. Amnt azonban a fent maxmumnál nagyobb áramot akarunk áthajtan, a varázslat megszunk, az átmenet ellenállása véges értékre ugrk, a két oldal között feszültségesés lép fel. Még érdekesebb az az eset, amkor az oxdréteg egy zárt vezeto hurkot szakít meg, amelyben mágneses fluxust hozunk létre: lyenkor, amnt azt a pontban megtanuljuk, a körbezárt fluxus elhangolja a hullámfüggvény fázsát, amely az (5.33) összefüggésnek megfelelo en az alagutazó áram perodkus változásához vezet. Ez amperméro vel mérheto, amvel rendkívül érzékeny magnetométereket lehet konstruáln.6 Az alagutazásnak a félvezeto elektronkában s jut szerep. A már említett nanoszerkezetekben kapufeszültségekkel létrehozott potencálgáton át alagutazva járnak az elektronok k-be egy-egy lehatárolt térrészbe. A fontos κd 1 határesetben az alagutazás valószínusége a potencálgát vastagságával exponencálsan, e 2κd függvény szernt változk. Ez a szemléletes eredmény kterjesztheto nem szögletes, hanem folytonosan változó magasságú potencálgátakra s, a WKB (szemklasszkus) közelítés felhasználásával, amt a 16. fejezetben fogunk megsmern. Végül beszéljük meg rövden a rezonancaszórás jelenségét. Amkor az energa elegendo az akadályon való áthaladáshoz, E > V0, so t az akadály potencálgödör s lehet (V0 < 0), a bejövo E energa egyes értékenél a vsszavero dés valószínusége rezonancaszeruen megnövekszk. Az elmélet eredményeket nagyon egyszeruen lehet megkapn az alagúteffektus formulából, csak a κ = k helyettesítést kell elvégezn; ezzel snh(κ) átmegy sn(k)-ba, 6 Az eszköz neve SQUID, am a Superconductng Quantum Interference Devce rövdítése, amúgy tntahalat jelent. A Josephson-effektus folklórjához tartozk, hogy Josephson elmélet jóslatának megjelenése után jó deg nem skerült a jelenségeket kísérletleg megfgyeln. A kváló elmélet fzkus Phlp Anderson jött rá, hogy ennek oka a Föld mágneses tere, amely a Josephson-áram érzékenységéhez képest túl ero s; ezt leárnyékolva, azonnal skerült megfgyeln a Josephson-effektust.

64 64 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása más nem változk.7 Az eredmény: a túljutás valószínusége t 2 = 1 1+ V02 4 E (E V0) sn2 (k d), (5.34) p ahol k = 2m(E V0 )/h. Ez felvesz a maxmáls 1 értéket mnden olyan E értékre, ahol sn2 (k d) = 0, vagys ha az E-hez tartozó hullámhossz λ = 2d/n: a teljes oda-vssza pattogásra egészszámú hullám fér rá, és a kmenethez 0, 1, 2, 3,... pattogás után azonos fázsban odaéro részhullámok egymást ero sítk. Ha az olvasónak erro l a klasszkus optkából smert Fabry Perot rezonátor jut eszébe, nem téved: tt ugyanarról a jelenségro l van szó. A rezonanca maxmuma akkor élesek, ha E V0 V0 : ha energában alg megyünk a potencálfal teteje fölé. A Fabry Perot rezonátornál ez felel meg a majdnem teljesen reflektáló tükrök esetének A harmonkus oszcllátor staconárus állapota Az egyensúlyából kcst kmozdított nga vagy a rugóra akasztott m tömegu test szabályos, egyetlen ω körfrekvencával jellemezheto, vagys harmonkus (felhangok nélkül) rezgo mozgást végez, x x0 sn(ωt + ϕ0 ) do függésu ktéréssel, amíg a súrlódás le nem csllapítja. A klasszkus mechankából tudjuk, hogy a harmonkusság feltétele a vsszatéríto ero lneárs függése a ktérésto l: F = Gx, am általában csak ks ktérésekre érvényes közelítés; nagy ktéréseknél anharmonkus korrekcók lépnek fel. A harmonkus p rezgés körfrekvencáját az ero állandó és a tömeg határozza meg: ω = G/m; az ennek megfelelo potencáls energa V (x) = G x2 /2 = (mω2 /2)x2. A fentek szernt az egydmenzós harmonkus oszcllátor Schrödngerféle energasajátérték-egyenlete h 2 d 2 φ mω2 2 + x φ = Eφ. (5.35) 2m dx2 2 A megoldáshoz vezeto elso lépés áttérn dmenzótlan változókra. Az oszcllátor jellegzetessége, hogy van egy energadmenzójú skálaparamétere: a h ω Planck-féle energakvantum. Ezért bevezethetjük az ε := E/h ω dmenzótlan energát, ezzel az egyenlet h d 2 φ mω 2 + x φ = 2εφ. mω dx2 h (5.36) 7 Amkor a formulák okosabbak, mnt az ember, azt nevezk elo kelo en analtkus folytatásnak.

65 A harmonkus oszcllátor staconárus állapota Ez az alak közvetlenül sugallja,phogy hogyan dmenzótlaníthatjuk az x koordnátát s: csak az y := x/ h /mω dmenzótlan kombnácót kell bevezetnünk; ha jelöl az y szernt derváltat, akkor a Schrödnger-egyenlet végleges alakja φ (y) + 2ε y2 φ(y) = 0. (5.37) Ennek a szemre egyszeru egyenletnek van egy nemtrváls matematka tulajdonsága: a lényeges szngulartás y ± esetén. Itt a megoldást nem lehet közvetlenül hatványsor alakjában megkapn, ematt ezt a határesetet külön kell kezelnünk. A megoldás kulcsa az az észrevétel, hogy nagy y-ra ε (és a derváláskor fellépo y szorzó) elhanyagolható y2 mellett, ematt a megoldás aszmptotkus vselkedésében egy y2 φ(y) e 2, y (5.38) y2 tényezo domnál. A dfferencálegyenletnek e+ 2 s megoldása, de ez sért a normálhatóság határfeltételét. A fent alak csak aszmptotkusan gaz, véges y-ra nem elégít k az (5.37) egyenletet. Keressük a teljes megoldást y2 φ(y) = e 2 H(y) (5.39) alakban, ahol a H(y) függvényto l azt várjuk, hogy ne rontsa el az egyszer már kalkudott aszmptotkus vselkedést. Amnt mndjárt látn fogjuk, ez annyra ero s követelmény, hogy teljesen meghatározza az energa sajátértéket. H(y) kelégít a H 2yH + (2ε 1)H = 0 (5.40) dfferencálegyenletet; ennek megoldását keressük hatványsor alakjában: H(y) = a0 + a1 y + a2 y an yn +..., amt behelyettesítve az egyenletbe, egy tetszo leges yn hatvány együtthatójára ez adódk: (n + 2)(n + 1)an+2 (2n + 1 ε)an = 0, (5.41) amt a megoldást meghatározó rekurzós formula alakjában írhatunk: an+2 = 2n + 1 2ε an. (n + 2)(n + 1) (5.42) Most jön a módszer csattanója. Nagy y értékekre a hatványsornak az n 1, n ε tagja domnálnak. Ezekre a fent rekurzó leegyszerusödk:

66 66 5. A Schrödnger-egyenlet egyszeru megoldása an+2 (2/n)an, ambo l a2n+2 an /n. Innen konstans szorzótól eltekntve a2n+2 1/n!, am y2 exp(y2 ) hatványsorának együtthatója. Ez tényleg felülírja az (5.39) egyenletben feltételezett aszmptotkát! Egyetlen kbúvó, ha H(y) hatványsorának valahol vége szakad, vagys ha H(y) véges polnom. Innen a módszer neve: Sommerfeld-féle polnommódszer. Fejezzük be a számolást. Legyen a polnom legmagasabb fokú tagja an yn, vagys an+2 = an+4 =... = 0: ez az (5.42) rekurzó értelmében akkor következk be, ha ε = n + 1/2, vagys ha 1 E = En = h ω n + ; n = 0, 1, 2,.... (5.43) 2 A fent feltétel csak akkor vágja el az (5.42) rekurzó folytatását, ha an 1 = 0: a polnom vagy csak páros, vagy csak páratlan hatványokat tartalmazhat. Ez összhangban van azzal, hogy a harmonkus oszcllátor potencálfüggvénye páros, ematt az energasajátfüggvények a partás sajátállapota: páros vagy páratlan függvények. A párosakat úgy kapjuk, ha a rekurzót a0 6 =0, a1 = 0 értékekro l ndítjuk; a páratlanokat, ha a0 = 0, a1 6 =0-ról. Az (5.40) egyenlet így levezetett polnom-alakú megoldása, a rekurzó specálsan megválasztott kezdet értéke mellett, a kvantummechankaval azonos normálás feltételt króva, éppen a matematka nevezetes specáls függvénye közé tartozó Hermte-polnomok. Normálás ntegráljak kszámítása nem trváls feladat. Az n = 0 sajátfüggvény azonban a normálással együtt ktalálható valószínuségszámítás smeretek alapján: a 0-adrendu Hermte-polnom konstans, így a megfelelo valószínuség eloszlásfüggvény Gauss-féle (normáls) eloszlás, valamlyen σ szórással: φ0 (x) = exp( x /2σ )/( 2πσ), vagys x φ0 (x) = p e 4σ2. 2πσ (5.44) Összehasonlítva az e y /2 függvényalakkal és y defnícójával, leolvashatjuk, hogy az alapállapot hullámcsomag szórása r h σ=. (5.45) 2mω Ezt az eredményt érdemes megjegyezn; vegyük észre, hogy a szórás átmegy a klasszkus mechankának megfelelo nullába, ha h eltunk, vagy ha az oszcllátor tömege nagyon nagy, vagy ha a rugó nagyon ero s.

67 5.6. A harmonkus oszcllátor staconárus állapota 67 Külön említést érdemel az n = 0 esethez, a harmonkus oszcllátor alapállapotához tartozó energasajátérték. Amnt az (5.43) egyenletbo l látjuk, ez az energa nem 0, hanem E0 = h ω/2, a zéruspont rezgés energája. Amnt már a 2. fejezetben megbeszéltük, ez abból ered, hogy az elérheto mnmáls energát a határozatlanság relácónak megfelelo en nem a potencálgödör aljára való teljes lokalzácó bztosítja annak p végtelen nagy knetkus energa lenne a következménye, hanem egy h /2mω szélességu Gauss-görbe alakú hullámcsomag, amelynek van egy ks potencáls és egy ks knetkus energája, de a ketto összege a leheto legksebb. Az energasajátértékek és a staconárus állapotok hullámfüggvénye elvben mnden nformácót tartalmaznak egy fzka rendszerro l, de gyakorlatban ez csak félgazság: az do to l függo kvantumállapotok fontos tulajdonságahoz ezen az úton nem gazán lehet eljutn. Ezért a harmonkus oszcllátor alaposabb megsmerését elhalasztjuk a 8. fejezetg, elo tte pedg megsmerjük a kvantummechanka általánosabb formalzmusát, amelyre a kvantumvlág megsmerésének hatékony technká épülnek.

68

69 6. fejezet Az általános formalzmus A kvantumelmélet elo tt fzkát a kvantumelmélet felo l vsszanézve klaszszkus fzkának nevezzük, és a vlág egyfajta leegyszerusített képének tekntjük. Ez a leegyszerusített kép azonban a makroszkopkus vlágnak elképeszto en pontos leírását adja, amt soha, sehol nem skerült lazaságon kapn. A klasszkus fzkában egy pontszerunek tekntheto test (nevezhetjük akár részecskének s) pllanatny állapotát két vektor adja meg: hol van, és mlyen sebességgel mozog. A két vektor összesen hat komponensének megadásából a részecskére ható ero k smeretében kszámítható a részecske késo bb mozgása. Ennek szgorú kauzaltása a klasszkus fzka legjobban bzonyított ténye közé tartozk; ezért bízzuk házank és gépenk tervezését mérnökökre, nem pedg varázslókra. A mkroszkopkus vlágban ennél fnomabb, részletesebb leírásra van szükség: a szerkezet nélkül, pontszerunek mondott részecske a térben kterjedten, hullámszeruen mozog, és a hullámmozgás ampltúdóját leíró ψ(~r,t) hullámfüggvény do ben s állandóan változk: éppen o írja le a részecske pllanatny állapotát; benne van mnden nformácó helyro l, mpulzusról meg mndarról, amre még kíváncsak lehetünk. Ido bel változását a Schrödngeregyenlet írja le, amely ugyanolyan szgorú természettörvény, mnt a klasszkus test mozgását leíró Newton-egyenletek. Már találkoztunk a kvantumrendszerek mérésénél fellépo véletlenszeru séggel. A 2. fejezet végén megsmert Born-szabály csak a hely mérésével foglalkozott; ezt most kterjesztjük más mennységek mérésére s. A kapott statsztkus törvényszeruségek különbözo rendszereken végzett laboratórum kísérletek órás változatosságát írják le, köztük a kísérlet technka fejlo désével ma már nem csupán mkrorendszerek sokaságának statsztka feldolgozását, hanem atom- és oncsapdákban tartott egyes atomokon végzett mérések statsztkáját s; lásd a B. függeléket. A Schrödnger-egyenlet következményenek feltárása közben egy gyönyöru matematka szerkezet bukkan elo : a Hlbert-tér, amelynek vektora a kvantumállapotok; o ket mozgatják a fzka mennységeknek megfelelo ope69

70 70 6. Az általános formalzmus rátorok. Ennek a képnek tömör kfejezo készsége nyomán számos eredmény hullk ölünkbe. Ezek begyujtésével foglalkozk a jelen fejezet. Nem lesz rövd olvasmány, de ak az utána következo ket meg akarja érten, annak ezen át vezet az út Hullámfüggvény és kvantumállapot; megfgyelheto fzka mennységek és operátorok A hullámfüggvénnyel leírt állapotú részecskének általában nncs határozott helye, mpulzusa, mpulzusmomentuma, energája, kvéve azokat a specáls eseteket, amkor a hullámfüggvény az lleto mennység operátorának sajátfüggvénye. A 3. fejezetben megsmertünk néhány lyen specáls esetet. Megtanultuk, hogy δ(~r ~r0 ) egy ~r0 helyen lokalzált részecske hullámfüggvénye, amely az ~r-rel való szorzás operátorának, a hely operátorának az ~r0 sajátértékhez tartozó sajátfüggvénye. Hasonlóan, exp[(/h )~p ~r] egy ~p mpulzusú részecske hullámfüggvénye, amely a (h /)~ operátornak, az mpulzus operátorának a ~p sajátértékhez tartozó sajátfüggvénye. Ez az általános szabály: mnden megfgyelheto és megmérheto fzka mennységhez2 tartozk egy operátor, amelynek sajátfüggvénye azok a hullámfüggvények, amelyekben az lleto mennységnek határozott értéke van; ez a határozott érték éppen az operátornak az adott sajátfüggvényhez tartozó sajátértéke. A hullámfüggvény általában nem sajátfüggvénye valamlyen smert fzka mennység operátorának, de elo állítható, mnt bármelyk fzka menynység sajátfüggvényenek lneárs kombnácója. Matematkalag lyen pl. egy függvény Fourer-sorba fejtése. Fzkalag, ahogy a következo pontban látn fogjuk, az lyen elo állítás szoros kapcsolatban van az lleto mennység mérésével. Az alapveto fzka mennységek operátoranak sajátfüggvénye teljes rendszert alkotnak, am azt jelent, hogy lneárs kombnácójukkal akármlyen czellált hullámfüggvényt elo állíthatunk. Ezzel a tulajdonsággal a 6.3 pontban fogunk közelebbro l megsmerkedn. 1A matematka háttér két nagy magyar klasszkusa: Neumann János [9], valamnt Resz Frgyes és Szo kefalv-nagy Béla [10] könyve mellé (vagy helyett) ajánlok egy ma, a kvantummechankát aktívan muvelo matematkus által írott tankönyvet s [12]. 2 A megfgyelheto és megmérheto fzka mennység neve az angol nyelvu rodalomban egységesen observable. A magyar fzka rodalomban eddg nem alakult k egységes szóhasználat: egymás mellett léteznek a mérheto mennység, fzka mennység, megfgyelheto, obszervábls kfejezések, olvasóm más változatokat s smerhetnek. Úgy tunk, 2007-ben kora valamelyk mellett határozottan állást foglaln.

71 6.1 Hullámfüggvény és kvantumállapot 71 Ha két operátornak mnden sajátfüggvénye közös, akkor a két operátor ˆ n felcserélheto. Valóban, ha A φn = an φn és B φn = bn φn, akkor (Aˆ B B A)φ ˆ ˆ [A, B ] φn = 0. Ematt [A, B ] f (~r) = 0, mnden olyan függvényre, amely a sajátfüggvények lneárs kombnácójaként írható. Az elo zo bekezdésben említett teljesség matt azonban ez mnden függvényre teljesül, így A és B ˆ B ] = 0. tényleg mnden körülmények között felcserélheto : [A, Igaz az ellenkezo állítás s: ha az A és B operátorok felcserélheto k és külön-külön teljes sajátfüggvényrendszerük van, akkor sajátfüggvények vagy közösek, vagy (elfajulás esetén) közös lneárs kombnácók választhatók belo lük. Ennek bzonyítása egy leheletnyt nehezebb az elo zo nél. Leˆ n = an B φn, gyen A φn = an φn, akkor a felcserélheto ség matt A B φn = B Aφ vagys B φn s sajátfüggvénye A -nak, ugyanazzal az an sajátértékkel, mnt φn. Ha ez a sajátérték nem elfajult, akkor ebbo l következk, hogy a két sajátfüggvény arányos egymással: B φn = const φn bn φn, ahol az utolsó lépésben nem történt más, mnt hogy a konstanst elneveztük bn -nek. Ezzel vszont beláttuk, hogy φn sajátfüggvénye B -nek s.3 Az elfajult esetben egy-két lépéssel még többet kell tenn: φn helyett egy ˆ A-ban elfajult altér jelenk meg, amelyen B -t dagonalzáln kell, így jutunk el a közös sajátfüggvényekhez. A részletek kdolgozását gyakorlatként az olvasóra hagyom. Nem felcserélheto operátorokra ékesszóló példa a helyvektor és az mpulzus esete, amelyek felcserélhetetlenségét a 3.3 pontban smertük meg. Az elso nek az egy pontra lokalzált delta-függvények, a másodknak az egész térre kterjedo síkhullámok a sajátfüggvénye; ezek annyra különbözo ek, amennyre csak két dolog különbözhet egymástól. A fzka mennységekhez rendelt operátorok a kvantummechanka alapveto eszköze. Szerepük nem korlátozódk a sajátállapotok és sajátértékek kválasztására. Bár a szuperpozícó elve matt a kvantumállapotok általában nem sajátállapota semmlyen fontos fzka mennységnek, az operátorok lyen esetben s teljes értéku matematka kfejezése az lleto mennységnek, a kvantumállapot dnamkájában éppen úgy, mnt magának a mennységnek a mérésében. Ez utóbb a kvantummechankában különösen forró téma, amvel a következo pontban kezdünk smerkedn. 3 Mark Kac, a 20. század egyk fzkában s aktív nagy matematkusa mondta: belátn azt jelent, meggyo zn egy értelmes embert; bebzonyítan azt jelent, meggyo zn egy makacs embert.

72 Az általános formalzmus A mérés statsztkája Egy specáls esetben már tudjuk, hogyan határozza meg a hullámfüggvény a mérés statsztkáját; ez a hely mérése. A részecske helyvektorát elegendo en ksméretu detektorok rendszerével mérjük. Tudjuk, hogy egy részecskéto l csak egyetlen detektor szólal meg; hogy melyk, az véletlen esemény. A megszólaló detektor helyvektora a helymérés eredménye. A 2.9 pontban megsmert Born-szabály értelmében ψ(~r, t) 2 d 3 r annak a valószínusége, hogy a részecskét a detektor az ~r hely körül kcsny d 3 r térfogatban találja meg. Mvel a különbözo helyen levo detektorok megszólalása egymást kzáró események, a helyvektor átlagértékét közvetlen ntegrálással kapjuk meg: Z Z 2 3 h~r = ~r ψ(~r, t) d r = ψ ~rˆ ψd 3 r, (6.1) ahol az utolsó lépésben khasználtuk, hogy a hely operátora a helyvektorral való szorzás. Hogyan érvényesül a véletlenszeruség statsztkája, ha valam más menynységet mérünk, például az mpulzust? Mvel az mpulzus a hullámvektor h -szorosa, kézenfekvo mndenekelo tt az anyaghullámot egy optka ráccsal hullámvektorok szernt felbontan. A rács a különbözo hullámvektorú komponenseket az mpulzus operátorának sajátfüggvényet akárcsak egy optka spektrométer a színeket, különbözo rányba terel, és ha eléggé eltávolodunk a rácstól, térben el s különít o ket.4 Ilyen távolságban zárjuk le mnden komponens útját egy-egy detektorral; amelyk detektor megszólal, az annak a hullámvektornak megfelelo mpulzus a mérés eredménye. Már csak azt kell meghatároznunk, m a valószínusége annak, hogy egy adott mpulzusértéket mérünk? A választ általánosabban, egy A fzka mennység mérésére fogjuk megkeresn. Legyen az A-hoz tartozó kvantummechanka operátor A. Keressük meg sajátértéket és normált sajátfüggvényet: ˆ n (~r) = an ϕn (~r). Aϕ (6.2) Az A-szeparáló eszköz úgy muködk, hogy a különbözo A -sajátfüggvényeket más és más helyre terel: ϕn (~r) Φn (~r). (6.3) 4 Emögött meghúzódk egy trükkös határátmenet: az mpulzus sajátfüggvénye az egész teret ktölto síkhullámok, de o ket véges szélességu nyalábokkal közelítjük; elo ször elmegyünk olyan messze, hogy a komponensek jól szétváljanak, azután szélesítjük a nyalábot. Ez persze csak matematkában számít trükkösnek, kísérletben természetes.

73 A mérés statsztkája A Φn függvények változatlanul normált hullámmódusok5, amelyek olyan távol kerülnek egymástól, hogy már ne legyen köztük átfedés. Amnt ezt Neumann János megfogalmazta (róla nevezk ezt a stratégát von Neumannmérésnek ), ehhez olyan ero hatást kell alkalmaznunk, amely az A mennységto l függ, pl. az mpulzus mérése esetén egy optka rácsot, a mágneses momentum mérése esetén nhomogén mágneses mezo t (Stern Gerlach kísérlet).6 A detektorokat úgy helyezzük el, hogy a térben elkülönített Φn hullámmódusok mndegykét teljesen befogja egy-egy detektor. Ekkor, ha a detektálás rendszer deálsan muködk, és a szeparálás elo tt a rendszerünk tszta ϕn (~r) állapotban volt, az n-edk detektor bztosan (1 valószínuséggel) megszólal, a több bztosan nem. De a részecske kvantumállapota általában nem egyetlen sajátfüggvénynek felel meg, hanem ezekbo l épül fel az a hullámcsomag, amelyen A értékét szeretnénk megmérn. Mvel a szeparálás a lneárs Schrödnger-egyenlet szernt történk, közben a szuperpozícó súlya változatlanok maradnak: ψ(~r,t = 0) = cn ϕn (~r) n cn Φn(~r). (6.4) n Ilyenkor, mvel a szétválasztott komponensek már nem nterferálnak egymással, az 1 valószínuség a Born-szabálynak megfelelo en megszorzódk cn 2 tel, vagys annak valószínusége, hogy éppen az an sajátértéket mérjük, pn = cn 2. (6.5) Ez a kvantummechanka egyk alapveto összefüggése, amt gyakran posztulátumként mondanak k; tt azt láttuk be, hogy ez az eredmény a térbel szétválasztás stratégájából következk. A valószínuségek megnyugtató módon nem függnek a mérés technka részleteto l, csak az eredet hullámfüggvény állapotát jellemzo cn együtthatóktól. A hullámfüggvény normálása a felbontás után tovább él: valahol bztosan megtaláljuk a részecskét, ezért pn = cn 2 = 1, n (6.6) n 5 A normálás mego rzését hívjuk a mozgás untartásának, amnek tartalmát még ebben a fejezetben megsmerjük. 6A közvetlen Neumann-séma nem mndg muködk, pl. egy atom energasajátfüggvényet nem lehet térben elválasztan. Ilyenkor gyakran egy közvetíto kvantumrendszert, pl. egy szórt vagy éppen az atom által ksugárzott fotont csatolunk a megfgyelendo rendszerhez, és a közvetíto t tereljük állapotok szernt elkülönítve (spektroszkóp!) a detektorok rendszeréhez.

74 74 6. Az általános formalzmus 6.1. ábra. Neumann-mérés: a bejövo hullámcsomagból térben szétválasztjuk a mérendo mennység sajátfüggvényet. am matematkalag a sajátfüggvények ortogonaltásából következk, lásd a következo pontban. A (6.5) eredmény meghatározza az A fzka mennység más szóval: az Aˆ operátor mérés eredményenek átlagát a ψ = n cn φn állapotban: ˆ ψ = pn an = cn 2 an. ha n (6.7) n A kapott kfejezést a következo pontban még tovább alakítjuk, mégpedg nem egyed számítás trükkökkel, hanem a sajátfüggvények messzemutató, a fzka tartalomba s mélyen bevlágító matematka tulajdonságanak felhasználásával Az állapotok Hlbert-tere; teljesség; a kvantummechanka átlag Egy függvényt valamlyen függvényrendszer szernt kfejten olyan, mnt egy vektort egységvektorok rendszere ( bázs ) szernt kfejten. Mndketto höz szükség van egy alapmuveletre: a skalárszorzat muveletére, amely két vektorhoz (ll. két függvényhez) egy számot rendel, hogy segítségével meg-

75 6.3. Az állapotok Hlbert-tere; teljesség; a kvantummechanka átlag 75 határozhassuk a kfejtés együtthatókat. A számolás a legegyszerubb akkor, ~ ~ ~ ha az, j, k bázsvektorok ortogonálsak, azaz a különbözo bázsvektorok skalárszorzata 0, és normáltak, azaz önmagukkal való skalárszorzatuk 1. A két tulajdonságot együtt úgy mondjuk, hogy a bázs ortonormált. Ilyenkor egy ~a = a ~ + a j ~j + ak ~k alakú kfejtésben pl. az a j együtthatót így kaphatjuk meg: ~j ~a = a ~j ~ + a j ~j ~j + ak ~j ~k = a 0 + a j 1 + ak 0 = a j. Hogyan defnálhatjuk a skalárszorzatot két függvényre? A megtalálás valószínuség normálása adhat útbagazítást: egy egységvektor önmagával R R 2 3 való skalárszorzatának az ψ d r = ψ ψ d 3 r = 1 összefüggés felelhet meg. Ezért defnáljuk két különbözo komplex függvény, f (~r) és g(~r) skalárszorzatát így: h f g = hg f = Z f (~r)g(~r)d 3 r. (6.8) Könnyu elleno rzn, hogy ez a defnícó megfelel a skalárszorzat smert matematka tulajdonságanak. Hogy ezenkívül még a fzkában hasznos s, azt a fzka mennységekhez rendelt operátorok egy nevezetes tulajdonsága: az önadjungáltság bztosítja, amelyre hamarosan vsszatérünk. A fent defnícóval bevezettük a hullámfüggvénnyel jellemezheto kvantumállapotok Hlbert-terét. A Hlbert-tér szemléletes és hatékony matematka szerkezete arra való, hogy geometra fogalmakkal vektorok összeadása, hossza, ortogonaltása írjuk le olyan elemek halmazát tt: egy fzka rendszer kvantumállapotanak összességét, amelyek között két mu velet defnálható: 1. lneárs kombnácó, 2. skalárszorzat. Az elso, lneárs muveletet a kvantumfzkában a szuperpozícó elve bztosítja, a másodkat a valószínuségekre vonatkozó kvadratkus Born-szabály, valamnt a sajátfüggvényekrszernt felbontás számos megjelenése. Az ψ 2 d 3~r normálás ntegrál konvergencáját már többször említettük, mnt az energasajátfüggvényeket kválasztó határfeltételt. Ez a feltétel általában belekerül a Hlbert-tér defncójába; úgy szoktuk mondan, hogy a Hlbert-teret négyzetesen ntegrálható függvények alkotják ( L 2 függvényosztály ). Fontos hangsúlyozn, hogy a függvények kfejtésére szolgáló bázsfüggvények sokszor nem tartoznak az L 2 függvényosztályba, lyenkor azonban az o ortonormálás és teljesség tulajdonságakat nem a (6.8) skalárszorzat szernt kell bztosítan. Ezzel a 6.5 pontban részletesen foglalkozunk. A (6.8) egyenlet jobboldala a skalárszorzat defnícója, de koncentráljunk most a baloldalra, ahol egy fontos szmmetratulajdonság kmondása mellett, mntegy ráadásul bevezettük Drac híres bra-ket jelölését. Ebben az a nagy lelemény, hogy a skalárszorzat szétszedheto : ha azt akarjuk hangsúlyozn, hogy a g(~r) függvényt a Hlbert-tér vektorának tekntjük, akkor

76 76 6. Az általános formalzmus jelölése g; ha egy skalárszorzat elso tényezo jeként egy f (~r) függvény jelenk meg, akkor o az adjungált tér vektorának tekntheto és vektorjelölése h f. Végül ha elvégezzük a skalárszorzást, annak jelöléseként a két szmbólumot összetoljuk, így keletkezk az h f g jelölés. Külön említést érdemel Drac angol nyelv leleménye: a skalárszorzattal együtt a bracket (zárójel) szót s kettéhasítja, így lesz az h f típusú adjungált vektorok neve bra vektor, a g típusú vektoroké ket vektor. Egy fzka rendszer mnden lehetséges kvantumállapotát egy ket vektor írja le; bra vektorok csak a skalárszorzatban jelennek meg. Mnden a ket vektornak van egy adjungált ha bra megfelelo je; az α a + β b ketnek az α ha + β hb bra az adjungáltja. A Drac-féle vektorjelölés azt akarja hangsúlyozn, hogy a kvantumállapot fzka tartalma független attól, hogy mlyen koordnátarendszerben írom le: a helyvektor függvényeként reprezentálom, vagy egy mpulzus sajátfüggvények szernt kfejtés Fourer-együtthatóval, esetleg valam más bázsfüggvények szernt kfejtve. Ennek megfelelo en a bra vagy ket belsejébe csak egy ndexet, vagy más, a kvantumállapotot azonosító mnmáls jelölést szoktunk írn. Legyen n (n = 1, 2,...) a vektorjelölése egy un (~r) hullámfüggvényekbo l álló ortonormált bázsnak: hm n = δmn, (6.9) ψ(t) = cn (t) n, (6.10) és fejtsük k a ψ(~r,t) hullámfüggvénynek megfelelo ψ(t) kvantumállapotot a bázsvektorok szernt: n amt az hm bra vektorral balról skalárszorozva és khasználva a bázsvektorok ortonormáltságát, megkapjuk a kfejtés együtthatót: Z cm (t) = hm ψ(t) u m (~r)ψ(~r,t)d 3 r. (6.11) Ezt vsszahelyettesítve a (6.10) kfejtésbe és az együttható elé írva az n ket-vektort, ezt kapjuk: ψ(t) = nhn ψ(t). (6.12) n Vegyük észre, hogy a baloldalon s, a jobboldal jobbszélén s ugyanaz a ψ(t) állapotvektor áll, tehát am közben vele történk, az maga az egységoperátor: (6.13) nhn = 1. n

77 6.3. Az állapotok Hlbert-tere; teljesség; a kvantummechanka átlag 77 Ebben van egy dolog, am nagyon nem trváls: az, hogy az n bázsvektorok (az un (~r) bázsfüggvények) elegen vannak ahhoz, hogy akármlyen ψ állapot mnden részletét össze lehessen rakn belo lük. Ha ez a fontos követelmény teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az n (n = 1, 2,...) ortonormált bázs teljes, és az ezt kfejezo (6.13) egyenlet neve teljesség relácó. 7 A Drac-jelölésro l térjünk vssza egy pllanatra a hullámfüggvényekhez! M felel meg ekkor a teljesség relácónak? Írjuk k a hullámfüggvény kfejtését egy teljes ortonormált függvényrendszer szernt, használva a skalárszorzat defnícóját: ψ(~r,t) = un (~r) n Z u n (~r )ψ(~r,t)d 3 r. (6.14) Ebbo l leolvashatjuk a hullámfüggvények teljesség relácóját: un(~r)u n (~r ) = δ(~r ~r ), (6.15) n am összhangban van a (6.13) egyenlettel, hszen a Drac-féle deltafüggvény az ntegráloperátorként írt egységoperátor magfüggvénye. A (6.13) összeg egyes nhn tagjanak van egy fontos és szemléletes geometra jelentése: ezek az n bázsvektorokra vetíto projekcós operátorok (rövden: projektorok). Általában a ψhψ operátor úgy hat a to le jobbra álló ket vektorra, hogy elo ször skalárszorozza hψ -vel, ezáltal leolvassa a ψ egységvektorra való vetület hosszát, majd ezzel a számmal megszorozva ugyanezt az egységvektort, elo állítja a vetületet. Abban a fontos esetben, amkor az n teljes ortonormált rendszer eleme egy A fzka mennység A operátorának sajátvektora, és az n sajátvektorhoz az an sajátértékek tartozk, az A operátor így hat a (6.12) állapotra: Aˆ ψ(t) = A nhn ψ(t) = an nhn ψ(t) nan hn ψ(t), n n (6.16) n ematt magát az A operátort szmbolkusan így írhatjuk (az operátor egységfelbontása): Aˆ = nan hn. (6.17) n 7 Ennek közsmert alappéldája az mpulzus sajátfüggvénye szernt kfejtés leánykor nevén: Fourer-sor teljessége, amely azon múlk, hogy a perodkus határfeltételeket kelégíto trgonometra ll. komplex-exponencáls függvények sora tetszo legesen rövd hullámhosszakat tartalmaz, így tetszo legesen fnom részletek krazolására s képes. A kfejtés gyors konvergencájára nncs automatkus garanca.

78 78 6. Az általános formalzmus Használjuk fel ezt az eredményt arra, hogy végleges alakba hozzuk az operátor átlagértékének (a véletlen eredményeket adó mérések statsztka középértékének) (6.7) kfejezését: ˆ ψ = cn 2 an = hψ nhn ψ an = hψ ha n n nan hn ψ, (6.18) n vagys ha ψ = hψ A ψ. (6.19) Ez az az alapveto átlagolás formula, amelyre a kvantummechanka legtöbb alkalmazása épül. Egy rányban ez még általánosítható: amkor az átlagot tovább átlagoljuk, különbözo kvantumállapotok statsztka sokaságára. Ezt az általánosítást a 6.5 pontban smerjük meg Önadjungált operátorok A mérheto fzka mennységeket a kvantummechanka általában a klasszkus fzkától örökölte;8 mért értékek értelemszeruen valós számok. Hogy a megfelelo operátorok sajátértéke valósak legyenek, azt az önadjungáltság tulajdonsága bztosítja, amelynek messzemeno tovább következménye vannak. Megértéséhez meg kell smernünk az adjungált operátor fogalmát. A fogalom megértéséhez vezessük be az A u =: A u jelölést, és legyen ennek a vektornak az adjungáltja ha u. Ezekkel a jelölésekkel élve, az A operátor A adjungáltjának azt az operátort nevezzük, amely tetszo leges hu és v vektorokkal kelégít az ha u v = hu A v (6.20) egyenletet. Önadjungált vagy Hermte franca matematkus nevébo l képzett szóval hermtkus az A operátor, ha Aˆ = A. (6.21) Hogy az önadjungált operátor sajátértéke valósak, azt közvetlenül beláthatjuk a (6.8) egyenletben megsmert szmmetratulajdonság felhasználásával: legyen A n = an n, akkor an = hn Aˆ n = haˆ n n = hn Aˆ n = a n, (6.22) 8 Nem mndegyket: van, amelyk a valószínuségszámítás felo l érkezett; lyen pl. a szórás folyamatok hatáskeresztmetszete. Ilyenkor a valós értéket nem egy operátor önadjungáltsága, hanem a Born-szabály bztosítja.

79 Operátorok és mátrxok; untér transzformácók vagys an tényleg valós. Egy másk fontos tulajdonsága az önadjungált operátoroknak, hogy különbözo sajátértékekhez tartozó sajátfüggvénye ortogonálsak. Valóban, ha ˆ = an n és A m = am m, akkor A n hm Aˆ n =an hm n = haˆ m n =am hm n, (6.23) (am an )hm n = 0, (6.24) ahonnan következk vagys vagy am = an teljesül, vagy az ortogonaltás: hm n = 0. Lássuk még be, hogy az eddg megsmert operátorok tényleg önadjungáltak. A helykoordnátával való szorzásra az önadjungáltság trválsan teljesül; belátnvalónk csak az mpulzus operátoránál marad: az egyszeruség kedvéért egy dmenzóban maradva, teljesül-e Z Z h d h d u (x) v(x) dx = u(x) v(x)dx? (6.25) dx dx A válasz az, hogy gen, a két oldal egy parcáls ntegrálással átmegy egymásba, feltéve, hogy a távol határokon az u(x) és v(x) függvények eltun nek, vagy pedg cklkus határfeltételt elégítenek k. Mndkét eset elo fordul a kvantummechanka alkalmazásaban Operátorok és mátrxok; untér transzformácók Egy A operátorról mndent megtudunk, ha megsmerjük egy tetszo leges ψ állapotra gyakorolt hatását. Kövessük azt a stratégát, hogy a (6.10) és (6.11) formulák segítségével fejtsük k egy n (n = 1, 2, 3,...) ortonormált bázs szernt mnd a knduló ψ-t, mnd az ebbo l az A operátor hatására létrejött ˆ A ψ vektort. Ez a muvelet úgy s leírható, hogy az A operátor elé s, mögé s beírjuk a (6.13) formula szernt egységoperátort: ˆ A ψ = bm m = mbm m m = mhm A ψ = mhm A nhn ψ = m Amn cn, m m n m (6.26) n ahol bevezettük az A operátor hm A n Amn mátrxelemét. A leolvasható végeredmény: bm = Amn cn, (6.27) n

80 80 6. Az általános formalzmus vagys a Hlbert-térbel n bázson a ψ ket-vektort ábrázoló cn együtthatóvektorból az A ψ-t ábrázoló bm együttható-vektort az Amn mátrxszal való szorzással kaphatjuk meg. Jegyezzük meg, hogy egy önadjungált (hermtkus) operátor mátrxeleme rendelkeznek az Anm = A mn (6.28) szmmetratulajdonsággal.9 Egy másféle felépítésben ezt a tulajdonságot s teknthetjük az önadjungáltság defnícójának. Elso gyakorlatként írjuk át az do to l függo Schrödnger-egyenletet mátrxalakba: ˆ t ψ = H ψ(t) = Hˆ cn (t) n, (6.29) h h n amt balról skalárszorozva az hm bra-vektorral, kapjuk a keresett mátrxos Schrödnger-egyenletet: c m = Hmn cn. h n (6.30) Mndjárt írjuk fel az adjungált do függo Schrödnger-egyenletet s: c m = Hmn cn = c n Hnm, h n h n (6.31) am talán kevéssé elegáns bzonyítása annak a sokszor használt összefüggésnek, hogy t hψ = hψ H. (6.32) h Az operátorok mátrx-ábrázolása roppant hajlékony matematka leheto séget teremt arra, hogy az adott problémához legjobban lleszkedo bázson kszámított mátrxelemeket használva, a lneárs algebra eszközevel jussunk el kvantummechanka feladatok megoldásához. Ez mndenekelo tt azt a leheto séget jelent, hogy a Schrödnger-féle energasajátérték-egyenletet az eredet parcáls dfferencálegyenlet peremértékproblémája helyett egy mátrx sajátértékproblémájának megoldására vezessük vssza. Természetesen ezzel a dfferencálegyenlet határfeltételeben rejlo fzka nformácót nem nyelhetjük le: ez az nformácó a bázsfüggvények kválasztásán keresztül 9A bzonyítás trváls: hn Aˆ m = haˆ n m = hm Aˆ n.

81 Operátorok és mátrxok; untér transzformácók épül bele a mátrxelemekbe.10 Az algebra módszerben a fel nem cserélheto mátrxok pl. a koordnáta és mpulzus operátoranak megfelelo mátrxok smert kommutátoraból egyenleteket kaphatunk a mátrxelemek meghatározására. Ennek példát a következo kben többször fogjuk látn (harmonkus oszcllátor, mpulzusmomentum). A Hlbert tér bevezetésekor már hangsúlyoztuk, hogy az állapotvektorok és operátorok jelentése független attól, mlyen módon ábrázoljuk o ket, vagys mlyen bázsvektorok szernt fejtjük k. Ennek megfelelo en a kvantummechanka egyk alapmuvelete a bázsváltás, vagys áttérés egyk bázsról a máskra. Végezzük el ezt a muveletet a fent vektorokkal és mátrxokkal, és térjünk át a knduló n bázsról egy különbözo, α teljes ortonormált bázsra, vagys keressük meg a ψ = cm m = m dα α (6.33) α felbontás dα együtthatót! A számolás most s az egységfelbontás beszúrásával történk: dα = hα ψ = hα mhm ψ m = Uαm cm, (6.34) m ahol bevezettük az Uαm := hα m (6.35) transzformácós mátrxot. M történk lyenkor a mérheto fzka mennységeknek megfelelo operátorok mátrxaval? Természetesen o k s transzformálódnak a bázsváltáskor: hα Aˆ β = hα mhm A nhn β m,n = Uαm Amn(U 1)nβ = m,n U A U 1 αβ, (6.36) ahol khasználtuk, hogy hn β az új β bázsból az eredet n bázsba vsszavezeto U 1 nverz transzformácó mátrxeleme. 10 Azt, hogy egy kvantummechanka feladatot mátrxalgebra eszközökkel s meg lehet oldan, Hesenberg fedezte fel, még a Schrödnger-egyenlet megalkotása elo tt, ma már hhetetlennek tuno absztrakt gondolatmenettel. Hesenberget nagyon meglepte, hogy Schrödnger hullámegyenletén keresztül egy szemléletesebb út s elvezet az o mátrxahoz. A reprezentácóktól elszakadó, absztrakt, de geometrájában mégs szemléletes Hlbert-tér nyelvezetének kmunkálásában Drac és Neumann János szerzett elévülhetetlen érdemeket. Ebbo l a nézo pontból Schrödnger legnagyobb hozzájárulása az volt, hogy behozta a történetbe a kvantumállapotot: a vektort, amelyre az operátorok/mátrxok hatnak.

82 82 6. Az általános formalzmus Az U mátrxnak van egy különleges matematka tulajdonsága: ez untér mátrx, vagys az nverze megegyezk az adjungáltjával: U U = 1. Ez abból látszk, hogy (U 1 )mα = hm α = hα m = (Uαm ). (6.37) Ez nem holm matematka véletlen! Az untartás szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a bázsváltás, vagy bárm más lneárs operátorral leírt transzformácó, ne változtassa meg a kvantumállapot normálását. Valóban, vsszatérve mátrxokról a bázsfüggetlen operátorok jelölésére, ha teljesül az Uˆ Uˆ = 1 (6.38) untartás feltétel, akkor a transzformált ψ = U ψ (6.39) huˆ ψ U ψ = hψ Uˆ Uˆ ψ = hψ ψ = 1. (6.40) állapotvektor normája Ezért aztán untér operátorok a bázsváltó mátrxokon kívül s nagyon gyakran és sokféle szerepkörben fordulnak elo a kvantummechankában. Mndenekelo tt, ha nem a Hlbert-térben, hanem a valós, háromdmenzós térben változtatjuk koordnátarendszerünket, nézo pontunkat, azzal a fzka jelenségek nem változnak, de a hullámfüggvények és operátorok matematka alakja gen. Etto l azonban a hullámfüggvények normálása nem változhat, így ha valam mégs változk, az csak untér transzformácóval történhet, ˆ ˆ ) ψ azonosságból leamelynek során az operátorok az U A ψ = (Uˆ AU olvasható Aˆ = U A U (6.41) szabály szernt transzformálódnak. Amnt a következo fejezetekben többször fogjuk látn, ez kényelmes matematka eszközt jelent a szmmetrák kezelésére. Külön, rendkívül fontos téma az állapotvektor do bel fejlo dése. Mvel ennek során a teljes valószínuség megmarad (gondoljunk a kontnutás egyenletre), az do fejlo dést s untér operátor írja le. Ezzel s gyakran találkozunk a következo kben.

83 6.6. Folytonos mátrxok; koordnáta- és mpulzus-reprezentácó Folytonos mátrxok; koordnáta- és mpulzusreprezentácó Amnt már említettük, a folytonos spektrumú koordnátaoperátor sajátfüggvénye, a δ(~r ~r0 ) függvények nem normálhatók, de teljesek, hszen összegezve (ntegrálva) az ~r0 sajátértékek spektrumára, kelégítk a (6.15) teljesség relácót: Z δ(~r ~r0 ) δ(~r ~r0 ) d 3 r0 = δ(~r ~r ), (6.42) amt könnyu elleno rzn, csak egy f (~r ) függvényre vett hatását kell kszámolnunk. Mvel a Drac-féle deltafüggvény valós, a fent egyenlet kerül az ortonormálás relácó helyébe s. A δ(~r ~r0 ) hullámfüggvénynek az állapotvektorok Drac-jelölése szernt ~r0 felel meg, és az állapotvektor folytonos kfejtése ezek szernt a koordnáta-sajátvektorok szernt ψ(t) = Z C(~r0,t) ~r0 d 3 r0, (6.43) ahol a kfejtés együttható C(~r0,t) = h~r0 ψ(t) = Z δ(~r ~r0 ) ψ(~r,t) d 3 r = ψ(~r0,t), (6.44) vagys amt eddg hullámfüggvény néven smertünk, az a Hlbert-tér nyelvén az állapotvektor kfejtés együtthatónak folytonos vektora, a koordnáta sajátvektoranak bázsán! Térjünk át a folytonos spektrumú operátorok másk nevezetes példájára: az mpulzusra, amelynek értéke korlátozatlan mozgás esetén11 folytonosan változhatnak. Ilyenkor az mpulzus-sajátfüggvények szernt kfejtés Fourer-sor helyett Fourer-ntegrál lesz, amelynek alapveto formulája Z ekx dx = 2π δ(k), (6.45) ahol d > 1 dmenzóban a ktevo ben skalárszorzatot, a jobboldalon (2π)d szorzót kell írn. Ebbo l kndulva megkaphatjuk a ~p mpulzus-sajátállapotoknak megfelelo mpulzus-sajátfüggvények teljes rendszerét. Keressük 11 Ennek alternatívája az a szokásos leírásmód, amelyben a hullámfüggvényre egy elképzelt, elég nagy (az adott folyamatot nem akadályozó) doboz peremén cklkus határfeltételeket rovunk k; lyenkor az mpulzusnak nem folytonos, hanem suru dszkrét spektruma van.

84 84 6. Az általános formalzmus o ket C exp[(/h )~p ~r] alakban, és a C normálás együtthatót határozzuk meg abból a feltételbo l, hogy teljesüljön a folytonos spektrumra vonatkozó h~p ~p = Z 3 h~p ~rh~r ~p d r = Z C C e h (~p ~p ) ~r d 3 r = δ(~p ~p ) (6.46) normálás összefüggés, amely hasonlóan a helyvektor-sajátfüggvényekre vonatkozó (6.42) egyenlethez egyben a teljesség relácó szerepét s betölt. Felhasználva a (6.45) formulát és még a δ(ay) = δ(y)/ a tulajdonságot s, C-t valósnak választva, az eredmény: h~r ~p = (2πh ) 3/2 e h ~p ~r (6.47) (a normálás faktor ktevo je d dmenzóban d/2). A (6.43) és (6.44) egyenletek mntájára, a kvantumállapotot mpulzussajátvektorok szernt s kfejthetjük: ψ(t) = Z φ(~p,t) ~p d 3 p, (6.48) ahol a φ(~p,t) = h~p ψ(t) = Z 3 h~p ~rh~r ψ(t) d r = Z e (/h )~p ~r ψ(~r,t) d 3 r (2πh )3/2 (6.49) együttható az mpulzus-reprezentácóbel hullámfüggvény. Az utóbb egyenletet, amely természetesen egy megfelelo fzka együtthatókkal feldíszített Fourer-ntegrál, úgy teknthetjük, mnt a koordnátareprezentácóból (ψ(~r,t)) az mpulzusreprezentácóba (φ(~p,t)) való áttérés ttkos formuláját. A (6.48), (6.47) egyenleteket felhasználva könnyu felírn a vsszavezeto út formuláját s: ψ(~r,t) = h~r ψ(t) = Z h~r ~ph~p ψ(t) d 3 p = Z e(/h )~p ~r φ(~p,t) d 3 p. (2πh )3/2 (6.50)

85 Suruségmátrx és Wgner-függvény Gyakorlatként használjuk fel ezt az eredményt arra, hogy találjuk k a helyvektor operátorának az mpulzusreprezentácóban használható alakját:12 e(/h )~p ~r ~r φ(~p,t) d 3 p (2πh )3/2 " # Z h e(/h )~p ~r = φ(~p,t) d 3 p ~p (2πh )3/2 Z (/h )~p ~r e h = φ(~p,t) d 3 p, 3/2 ~ p (2πh ) ~rˆ ψ(~r,t) = Z (6.51) ahonnan leolvashatjuk, hogy az mpulzusreprezentácóban a helyvektor operátorának az h ~rˆ (6.52) ~p muvelet felel meg. Természetesen akár koordnáta-, akár mpulzusrepreˆ ~r] ˆ = h / felcserélés zentácóban számolunk, mndenképpen teljesül a [~p, relácó, ahogy annak lenne kell Suruségmátrx és Wgner-függvény A mátrx formalzmus nagyjelento ségu alkalmazását jelent a kvantummechanka átlagolás formulájának nevezetes átalakítása. Használjuk a ψ = m cm m, hψ = n c n hn felbontást; ekkor a (6.19) formulát így írhatjuk át: ˆ ψ = c n hn A mcm = ρmn Anm = Tr(ρ A), ˆ ha m n (6.53) m n ahol bevezettük a ρmn = cm c n (6.54) mátrxelemekkel rendelkezo suruségmátrxot és a nek megfelelo ρ = ψhψ (6.55) suruségoperátort (pongyolán ezt s nkább suruségmátrxnak szokták nevezn), amely a ψ állapotra vetíto projekcós operátor. Jegyezzük meg koordnátareprezentácóban érvényes, folytonos mátrx alakját s: ρ(x, x ) = hx ψhψ x = ψ(x)ψ (x ). 12 Az (6.56) utolsó lépésben parcáls ntegrálást hajtunk végre.

86 86 6. Az általános formalzmus Az do függo Schrödnger-egyenletbo l könnyu meghatározn a suruség operátor mozgásegyenletét: ˆ ρ = ψ hψ + ψhψ = H ψhψ + ψhψ H, h h (6.57) vagys ˆ ρ = [H, ρ ]. (6.58) h A suruségmátrx fogalmát Landau és Neumann János vezette be egymástól függetlenül; a (6.58) mozgásegyenlet Neumann Jánostól származk, és von Neumann-egyenletnek nevezk. A suruségmátrxban az a nagy felfedezés, hogy a kvantummechanka átlagban megjeleno ψ és hψ faktorokat egyetlen objektumba foglalja össze, amelyet nem csak egyetlen ψ tszta állapot esetén lehet használn, hanem együtt lehet átlagoln különbözo kvantumállapotú rendszerek sokaságára s (kevert állapot). Mvel a Neumannegyenlet lneárs, változatlan alakban túlél ezt a muveletet. Ilyenkor s érvényes marad a (6.53) levezetésbo l megsmert ˆ ψ = Tr(ρ A), ˆ ha (6.59) alapveto összefüggés, csak ez most általában kétszeres átlagolás egymásutánját fejez k: egy mérheto fzka mennység kvantummechanka átlagolása egy adott kvantumállapotban, majd másodk átlagolás különbözo kvantumállapotok sokaságára. Ez a sokaság, akárcsak a statsztkus fzkában, Gbbs nyomán elképzelheto úgy, mntha a kvantumrendszer rengeteg példányban lenne elo ttünk, várva, hogy rajta a mérést elvégezzük, de jelenthet egyetlen kvantumrendszeren sokszor, azonos kezdet preparálás után elvégzett mérések sokaságát s. Statsztkus fzkában a ketto egyenértékuségét ergodctásnak mondjuk. A kvantummechankában pár évtzeddel ezelo tt még mndenk a Gbbs-féle sok példányt érezte a jó elképzelésnek, mondván, hogy az atomok mndg sokan vannak; mára a kérdés külön ízt kapott attól, hogy on- és atomcsapdákban (lásd a B. függeléket) egyes onokat ll. atomokat lehet hosszú deg mego rzn, és rajtuk sokszor megsmételt kísérleteket végezn. A hullámfüggvény normálása a suruségmátrx nyelvén elmondva Tr ρ = 1, (6.60) vagys az egységoperátor átlaga 1. Ez változatlan marad kevert állapotra (sokaságra) s.

87 6.7. Suruségmátrx és Wgner-függvény 87 Ezzel azonban a keverésre érzéketlen tulajdonságoknak végére s értünk. Mvel a tszta állapotra vonatkozó (6.55) kfejezés projektort ír le, tszta állapotban az s teljesül, hogy Tr ρ 2 = 1. (6.61) Ha vszont a suruségoperátort különbözo állapotokra átlagoljuk, az utóbb összefüggés már nem gaz: kevert állapotra általában Tr ρ 2 1. (6.62) Van még egy, kevésbé elo relátható, de roppant jelento ségu megjelenés formája s a suruségmátrxnak: leírja az olyan sztuácókat s, amelyekben egy nagyobb környezethez Feynman kfejezésével élve: a vlág több részéhez (the rest of the world) csatolt részrendszer dnamkáját akarjuk követn. Az alapjelenség a részrendszer kvantummechanka nterferencaképességének koherencájának fokozatos elmosódása a környezethez való csatolódás, vagy am sznte ugyanaz, a környezetbo l eredo zaj hatására. Ilyenkor s a kevert állapotra jellemzo suruségmátrx alakul k. A részletekkel a 15. fejezetben fogunk megsmerkedn. Fontos azonban megjegyezn, hogy a keverék-suruségmátrx matematka alakján semm módon nem látszk meg, hogy átlagolással vagy környezet hatások beszámításával jött létre: ez nkább teljesen új tulajdonságokat hordozó vegyület, mnt az összetevo ket o rzo keverék ; nncs az a kvantum-hamuppo ke, ak szétválogassa. Térjünk vssza a drekt alkalmazásokhoz, használjuk a (6.56) koordnáta reprezentácót, és átlagoljuk a sokaságban w valószínuséggel elo forduló ψ állapotok sokaságára: w h~x ψ hψ ~x = w ψ (~x)ψ (~x ) := ρ(~x,~x ). (6.63) Ennek a mennységnek messzre mutató, fontos átalakításával jutunk el a Wgner-függvény fogalmához, amely a suruségmátrx egy sajátos reprezentácója. Wgner Jeno ötlete az volt, hogy a (6.63) mennység egyszerre tapogatja le egy hullámcsomag helyét és különbözo ~x, ~x helyek összehasonlításával mpulzusát, de hogy az utóbbt kézzelfoghatóvá tegyük, az mpulzust egy Fourer-transzformácóval le kell olvasn. Ezért bevezette az azóta Wgner-függvénynek nevezett mennységet: Z ~η ~η ~p ~η d 1 fw (~x,~p) = ρ ~x +,~x e h d η (6.64) (2πh )d 2 2

88 88 6. Az általános formalzmus (a "d ktevo a dmenzószámot jelent). A Wgner-függvény a klasszkushoz közel kvantummechanka mozgások leírásának érzékeny és szemléletes eszköze; valós függvény,13 amely a formáls h 0 határátmenettel átmegy a klasszkus fázstérbel f (~x,~p) eloszlásfüggvénybe. Könnyu belátn, hogy ntegrálja már a határátmenet nélkül s a megfelelo eloszlásfüggvényt szolgáltatják. Az egyszerubbel kezdjük: mpulzus szernt kntegrálva, és felhasználva a d (2πh ) Z exp[ (/h )~p ~η] d d p = δ(~η) (6.65) összefüggést, kapjuk: Z fw (~x,~p) d d p = ρ(~x,~x) = w ψ (~r) 2 = P(~x), (6.66) am a hely szernt eloszlásfüggvény. A fordított eset bzonyítása hosszadalmasabb; számoljuk ezt k egy dmenzóra, és vezessük be az y± = x ± η/2 jelölést. Ezzel, a Wgner-függvényt a helykoordnáta szernt ntegrálva, ezt kapjuk: Z fw (x, p) dx = w (2πh ) 1 Z Z ψ (y+ )ψ (y ) e h py+ e h py dη dx. (6.67) Most térjünk át az y+, y ntegrácós változókra: mvel (y+, y )/ (η, x) = 1, a ketto s ntegrál szorzattá esk szét. Használva még az mpulzusreprezentácóbel (6.49) hullámfüggvényt 1 dmenzóra szabva, végül ezt kapjuk: Z fw (x, p) dx = Z Z h py+ dy+ py dy h = w ψ (y+ ) e ψ (y ) e (6.68) 2πh 2πh = w φ (p)φ (p) = w φ (p) 2 = P(p), vagys az mpulzus eloszlásfüggvénye, ahogy vártuk. Jegyezzük meg vszont, hogy az ntegrálás nélkül a Wgner-függvény általában nem tekntheto fázstérbel valószínuségeloszlásnak, amnek ékesszóló jele, hogy ero sen kvantumos, vagys a (szem)klasszkus határesetto l távollevo rendszereknél tpkusan átcsap negatív értékekbe s. Mndezzel együtt, a Wgner-függvényt 13 Gyakorlat: bzonyítsuk be, hogy valós!

89 6.7. Suruségmátrx és Wgner-függvény 89 és a mntájára bevezetett más fázstér-kvázeloszlásokat kterjedten használják bonyolult kvantummechanka problémák szemléltetésére. Gyakorlat: Számítsuk k 1 dmenzóban a Wgner-függvényét: 1. a harmonkus oszcllátor alapállapotának, 2. egy koherens állapotnak14, 3. két koherens állapot szuperpozícójával létrehozott Schrödnger-macskának! 14 Lásd a 8.2. pontot.

90

91 7. fejezet Közvetlen következmények Az elo zo fejezetben megsmertekbo l néhány általános és fontos eredmény következk, amelyek a kvantummechanka emblematkus tulajdonsága. Ide tartoznak a híres határozatlanság relácók, de az energasajátértékek meghatározásának közvetlen és hatékony varácós módszere, és néhány alapveto eredmény a mért statsztka átlagok do bel fejlo désére; ez utóbbakból no k a mozgásállandók és szmmetrák témaköre Határozatlanság relácók A kvantummechanka átlagolás receptjének és az önadjungáltság fogalmának megsmerésével felkészültünk a Hesenberg-féle határozatlanság relácók matematkalag pontos levezetésére. Egy matematka smeretre még szükségünk van, ez a skalárszorzatra vonatkozó Schwartz egyenlo tlenség, amely a vektorokra vonatkozó a ~ ~b = a b cos α a b egyenlo tlenség Hlbert-térbel megfelelo je: ha b 2 ha a hb b. (7.1) ˆ ψ A ˆ ψ h B ˆ ψ B ˆ ψ h A ˆ ψ B ˆ ψ 2. h A (7.2) ˆ =: A ha, B ˆ =: B hb önadjungált operátorokat, ametekntsük a A ˆ ˆ ˆ B ]. Egy ψ állapotban alkalmazzuk a lyek kommutátora [ A, B] = [A, ˆ ˆ ψ vektorokra: Schwartz egyenlo tlenséget a A ψ és B Most használjuk k az operátorok önadjungáltságát: ˆ 2 ψ h ψ ( B) ˆ 2 ψ h ψ A ˆ B ˆ ψ 2 h ψ ( A) 2 1 ˆ B ˆ B ˆ A ˆ ψ + 1 h ψ A ˆ B ˆ + B ˆ A ˆ ψ h ψ A (7.3) ˆ B ˆ + B ˆ A ˆ ψ 2, ˆ B ] h ψ A = h [A, 4 4 ahol az utolsó lépésben khasználtuk, hogy a középso sorban az elso tag magnárus, a másodk valós, így négyzetek összeadódnak. Az utolsó sor = 91

92 92 7. Közvetlen következmények másodk tagja vszont nemnegatív (A és B között korrelácókat jelez), így az alább egyenlo tlenségre jutunk: ˆ 2 ψ h ψ ( B) ˆ 2 ψ 1 h [A, ˆ B ] 2. h ψ ( A) (7.4) 4 q ˆ 2 ψ jelölést, megkapjuk a határovégül bevezetve a A =: h ψ ( A) zatlanság relácó szokásos alakját: A B 1 ˆ B ]. h [A, 2 (7.5) Ennek specáls esete a közsmert x p h /2 relácó. A határozatlanság relácókat a kvantummechanka kezdet éveben kterjedt folklór övezte, amelynek lényeges része volt Hesenberg mkroszkópgondolatkísérlete. Ebben egyetlen λ hullámhosszú foton vlágítja meg a tárgyat, és a szóródott fotonról egyszerre akarjuk leolvasn a tárgy helyét és mpulzusát. A fotont egy θ szöget befogó tárgylencse gyujt be. Ilyenkor, a mkroszkóp smert elmélete szernt, a felbontható legksebb méret x = λ / sn θ; annál ksebb, mnél nagyobb szöget fogunk be. A θ szöggel vszont p = (h/λ) sn θ arányban no a bzonytalansága a fotonról leolvasható, tárgysík rányú mpulzusvetületnek. Láthatóan a két hatás kompenzálja egymást, és x p h. Látnunk kell azonban, hogy ez nem bzonyítja, csak llusztrálja a határozatlanság relácót: egy konkrét példán mutatja be, hogy a kvantummechankából eredo korlátokat nem lehet trükkös mérés tervekkel megkerüln, ugyanúgy, mnt ahogy az energa megmaradását sem lehet holm trükkös örökmozgóval vagy vízzel hajtott autóval átvern. A 2.6 pontban megsmert energa do határozatlanság relácó nem llk bele az tt megsmert sémába, mert az do a kvantummechankában paraméter, amelynek nncs operátora, így az ott adott szemléltetés többé-kevésbé a végleges levezetést jelent. A relácó megjelenés formának azonban se szer, se száma: elo bukkan mnden rövd életu alakzat energájának bzonytalanságában. Egy említésre érdemes újabb fejlemény annak felsmerése, hogy az mpulzus és hely között határozatlanság relácóban a két partner szerepe nem szmmetrkus, mert szabad mozgásnál az mpulzus mozgásállandó. Méréséhez két helymérésre van szükség különbözo do pontokban. Ha az elso helymérés túlságosan pontos, az mpulzus bzonytalansága nagy lesz, am megnövel a másodk helymérés bzonytalanságát s: a helymérések pontosságát optmalzáln kell, nem maxmalzáln. A véges deg tartó mérések vsszahatásának optmalzálása a kvantummechanka egyk aktívan kutatott

93 7.2. Varácós elv a staconárus állapotokra 93 területe; szorosan kapcsolódk a Quantum Non-Demolton témaköréhez, amt a pontban mutatunk be Varácós elv a staconárus állapotokra Az alapállapot energája kemelkedo en fontos fzka mennység. Ez határozza meg molekulák és szlárd testek kötésének ero sségét, különbözo összetett rendszerek stabltását. Mnél bonyolultabb a rendszer, annál nehezebb megoldan a Schrödnger-egyenletet. Jó tudn, hogy van egy módszer, amely éppen az alapállapot energa meghatározásában roppant hatékony, és eredményet akár nemzedékro l nemzedékre javíthatják a fantázadús fzkusok: ez a varácós módszer. Alkalmazzuk a (6.19), (6.7) formulákat a Hamlton-operátorra, amelynek sajátértéke növekvo sorrendben E0 E1 E2..., vagys E0 az alapállapot energája, és szorítkozzunk do to l nem függo φ(~r) hullámfüggvényekre. Ekkor a fent egyenlo tlenségek matt hφ Hˆ φ = cn 2 En E0, (7.6) n ahol khasználtuk a (6.6) normálás tulajdonságot s. A kapott egyenlo tlenség tetszo leges φ(~r) hullámfüggvényre gaz, és a baloldal átlagot kszámítva, felso korlátot kapunk az alapállapot energájára. A felso korlátot egyre jobb próbafüggvényekkel lefelé szorítva, a korlátok egyre jobb becslésekké válnak. Ez leheto vé tesz, hogy nehezen megoldható Schrödnger-egyenletek esetén megpróbáljuk ktaláln a hullámfüggvény helyfüggésének alakját, szabad paramétereket hagyva a függvényben, amelyek hullámcsomagok szélességét és alakját, összegek súlyozását, és még amt fontosnak vagy legalább lehetségesnek érzünk, mndent változtathatnak. Ekkor már néhány paraméter szernt derválással tudjuk meghatározn az adott alakú függvényekkel elérheto legjobb becslést. Más kutatók, más próbafüggvényekkel esetleg alacsonyabb felso korlátot érnek el, am vsszafelé, a kvantumállapot szerkezetéro l ad fontos nformácót: jobb alapállapot, jobb hullámfüggvény. A módszer alkalmazásánál olyan próbafüggvényekkel gyekszünk kfejezn az elgondolt fzka tartalmat, amelyekkel a H átlagolásához szükséges ntegrálokat k lehet számítan. Ilyen ntegrálokból órás adatbázsok halmozódtak fel. Külön fgyelmet érdemel, hogy a paraméterek változtatásakor a hullámfüggvény normálását mego rzzük. A varácós módszert legtöbbször a bonyolult alapállapotok kutatására használják, de nem mndg: ha egy mellékfeltétellel kkötjük, hogy a próbafüggvényünk ortogonáls legyen az alapállapotra, akkor vzsgálhatjuk vele

94 94 7. Közvetlen következmények az elso gerjesztett állapotot, ha arra s ortogonalzálunk, akkor a másodkat, és így tovább. A megfelelo próbafüggvények kválasztásában és a számítások kezelheto méretek között tartásában sokszor nélkülözhetetlen szolgálatot tesznek a szmmetrák és a kezelésükre hvatott csoportelmélet módszerek. Konkrét fzka rendszerek szerkezetéro l és fzka tulajdonságaról a kvantummechanka kezdete óta felhalmozott smeretenk jelento s része származk varácós számításokból; a Newton-féle híres órások vállán állunk metafora sokszor ebben a konkrét alakban jelenk meg: a te eredményed az én próbafüggvényem Az átlagérték do derváltja; mozgásállandók; Ehrenfest tétele ˆ ψ = hψ A ψ ˆ Egy fzka mennység A operátorának ha átlaga két okból s változk az do múlásával: egyrészt mert a ψ(t) kvantumállapot változk (ezt írja le a Schrödnger-egyenlet), másrészt mert maga a fzka mennység ˆ s változk: A ˆ = A/ t 6 = 0. Ez utóbb egyáltalán nem valam egzotkus bonyodalom: ha váltóáramot engedünk át egy tekercsen, a mágneses terében mozgó elektron Hamlton-operátora s változk az do ben. A fentek megjelennek az átlag do derváltjában: d ˆ ˆ ha = hψ A ψ + hψ A ψ + hψ A ψ dt Aˆ = hψ H A ψ + hψ ψ hψ A H ψ h t h ˆ A = hψ [Hˆ, A ] ψ + hψ ψ, h t (7.7) ahol felhasználtuk a ket- és bra-vektorok do függését leíró (6.29) ll. (6.32) Schrödnger-egyenleteket. A (7.7) eredmény legtöbbet emlegetett alkalmazása az, hogy ha az A operátor felcserélheto a rendszer Hamlton-operátorával és explcte nem függ az do to l: ˆ A] ˆ = 0, [H, ˆ A/ t = 0, (7.8) akkor kvantummechanka átlaga do ben nem változk, tehát A mozgásállandó. Természetesen ezek a feltételek jóval többet bztosítanak, mnt az átlagérték állandóságát: teljesülésük esetén az A operátor mérésének teljes

95 7.3. Az átlagérték do derváltja; mozgásállandók; Ehrenfest tétele 95 statsztkája független az do to l. Külön említést érdemel, hogy a mozgásállandóknak H -val való felcserélheto ségük matt létezk H -val közös sajátˆ A] ˆ = 0 feltétel tartalmának, különös tekntettel függvényrendszerük. A [H, a szmmetrákkal való kapcsolatára, sok kötetny az rodalma, és ebben a könyvben s sokat fogunk vele foglalkozn.1 Lépjünk túl a mozgásállandók témakörén, és a (7.7) egyenletet alkalmazzuk egyetlen részecske helyének és mpulzusának átlagos do függésére! Az egyszeruség kedvéért maradjunk egydmenzós modellrendszereknél (három dmenzóban mnden ugyanígy érvényes), és nduljunk k a jól smert Hˆ = ( p 2 /2m) +V (x ) Hamlton-operátorból. Az eredmények: d h h p = h[v (x ), p] = x,v (x) dt h h V (x) = = hf(x), x d hx = h[ p 2, x ] = dt 2mh p. m (7.9) (7.10) A két egyenlet levezetéséhez egy-egy kommutátort kellett felhasználn: az elso höz készen kaptuk az smert p x = (h /) x dfferencáloperátoros reprezentácót, a másodkhoz le kellett vezetnünk a kevésbé trváls [ p 2x, x ] = p x [ p x, x ] + [ p x, x ] p x = (2h /) p x eredményt.2 A (7.9) és (7.10) egyenleteket nevezzük Ehrenfest tételenek. Tartalmuk az, hogy a Newton-féle mozgásegyenletek (ll. a megfelelo Hamlton-féle kanonkus egyenletek) jól meghatározott átlagos értelemben a kvantummechankában s érvényesek: az mpulzus kvantummechanka átlaga határozza meg a tömegközéppont átlagos sebességét, és az F(x) = V (x)/ x ero kvantummechanka átlagával egyenlo az mpulzus átlagának do derváltja. Ezek fontos és egyáltalán nem trváls eredmények, amelyek jó elso tájékozódást nyújthatnak bonyolult do függo problémák természetéro l. 1 Még ˆ A] ˆ = 0 összefüggés csak közelíto leg érvényes, és valamlyen akkor s, ha a [H, gyenge perturbácó lassan módosítja A átlagértékét és mátrxelemet, a közelíto mozgásállandó A sajátértékevel elo nyösen ndexelheto k a rendszer állapota, ezért hívják o ket néha jó kvantumszámoknak. 2 Ez utóbb nem egyed trükk: a módszer az, hogy a p x p x x szorzatban az x tényezo t lépésro l lépésre kell átvnn a jobbszélro l a balszélre, és mnden lépésnél hozzáadn ll. levonn a megfelelo [ p x, x ] kommutátort.

96 Közvetlen következmények Ido fejlo dés Schrödnger- és Hesenberg-képben A kvantummechankát követo mkrorendszerek do bel változását statsztka átlagokon keresztül tudjuk méréssel követn: a rendszert sokszor egymás után, azonos kezdo állapotban kell preparáln, és t do vel késo bb valamlyen Aˆ fzka mennységet (vagy fzka mennységek egy bo vebb választékát) megmérn. A mérés eredmények teljes jegyzo könyvébo l A függvényenek átlaga, pl. a határozatlanság relácókban szereplo szórás s kértékelheto. Az eredmények átlagát az elmélet oldaláról a megkerülhetetlen, mnden nformácót tartalmazó (7.7) egyenlet adja meg. Ennek levezetésénél az állapotvektor fejlo dését nyomon követo Schrödnger-egyenletbo l ndultunk k (Schrödnger-kép), de a végeredmény nkább az átlagolt operátor tulajdonságanak aktív szerepét látszk hangsúlyozn. Ez utóbb szemléletet ero sít, ha felhasználjuk azt a 6.5 pontban már kmondott észrevételt, hogy az állapotvektor fejlo dését untér transzformácónak teknthetjük, hszen az állapotvektor úgy változk, hogy normája (önmagával vett skalárszorzata) változatlan, ezért így írható: ψ(t) = U (t) ψ(0), (7.11) ahol t = 0 egy önkényesen választott kezdo pllanat, és az U (t) untér opeˆ ˆ = 1) kelégít a Schrödnger-egyenletbo l közvetlenül következo rátor (UU t U (t) = H (t) U (t) h dnamka egyenletet, az U (0) = járt az adjungált egyenletet s: (7.12) 1 kezdet feltétellel. Jegyezzük meg mnd- U (t) H (t). h Az eddgek felhasználásával a vzsgált átlagérték így írható: t U (t) = hψ(t) Aˆ ψ(t) = hψ(0) Uˆ (t) A U (t) ψ(0). (7.13) (7.14) Most jön az érdekes lépés: vegyük észre, hogy az elso alakból a másodkba való átmenetet úgy teknthetjük, mnt egy S (t) fordított untér transzformácót, amelynek operátora U (t) nverze: ˆ S(t) := U 1 (t) = U (t). (7.15) A transzformált állapotvektort és operátorokat jelöljük H ndexszel, amely most Hesenberg nevére utal: ψh = S (t) ψ(t) = U 1 (t)uˆ (t) ψ(0) = ψ(0); Aˆ H (t) = S (t) A S (t) = U (t) A U (t). (7.16)

97 7.4. Ido fejlo dés Schrödnger- és Hesenberg-képben 97 Ezzel megérkeztünk a Hesenberg-képbe, amelyben az állapotvektorok do ben nem változnak; az do függést az operátorok hordozzák. Az átlagérték do függése vszont nem változk: a (7.14) egyenletbo l hψ(t) Aˆ ψ(t) = hψh Aˆ H (t) ψh. (7.17) A teljesség kedvéért meg kell még adnunk az A H (t) Hesenberg-operátor do függését leíró operátor egyenletet: (7.11) és (7.12) felhasználásával d A H (t) = [Hˆ H (t), Aˆ H (t)] + t A H (t), (7.18) dt h ˆ ~pˆ(t),t operátor explct, valamlyen do ahol az utolsó tag az A H ~r(t), ˆ ˆ Hesenbergfüggo külso térto l eredo, tehát nem a benne szereplo ~r(t), ~p(t) operátorokon keresztül do függésének felel meg. Amnt azt vártuk, az operátor-mozgásegyenlet alakja híven követ az átlagérték do fejlo dését leíró (7.7) egyenletet, annak mnden következményéˆ A] ˆ = 0 felvel. Mndenekelo tt, ha nncs explct do függés, akkor a [H, tétel választja k a mozgásállandókat. Egy fokkal kevésbé trváls, hogy az Ehrenfest-tételek a Hesenberg-képben operátoregyenlet alakjában s érvényesek. Igazán fontos példa a (4.4) kontnutás egyenlet és a (4.5) áramsuruség megjelenése a Hesenberg-képben. Az ~r helyen (paraméter, nem dnamka változó!) vett részecskesuruség Hesenberg-operátora ~rˆ (t) helyvektor ˆ operátorú és ~p j (t) mpulzus-operátorú részecskékbo l álló rendszerre nylvánvalóan ˆ = δ(~rˆ ~rˆ (t)). ρ H (~r,t) (7.19) Ennek Hesenberg-do derváltja, ha a Hamlton-operátor 1 Hˆ H (t) = ~pˆ (t) +V {~rˆ (t)}, 2m (7.20) a következo beszédes alakba írható: d ˆ = ~ ~j (~ˆr,t), ρ H (~r,t) H dt (7.21) ahol az~r helyen vett áramsuruség Hesenberg-operátora: ~jˆh (~r,t) = 1 2M ~pˆ (t)δ(~rˆ ~rˆ (t)) + δ(~rˆ ~rˆ (t))~pˆ (t). (7.22)

98 98 7. Közvetlen következmények A levezetés kdolgozását gyakorlatul ajánlom az olvasó számára; a kndulás természetesen a (7.18) egyenlet, amelyben az utolsó tag elhagyható, hszen a (7.20) Hamlton-operátorban nncs explct do függés. A Hesenberg-kép a kvantummechanka Hesenbergto l származó, Schrödnger elo tt mátrxos megfogalmazásában merült fel elo ször, mnt a klasszkus mechanka mozgásegyenletek kvantummechanka megfelelo jét jelento (7.18) egyenlet mátrxokkal reprezentált alakja. Teljes jelentése azonban csak az állapotvektor szerepének tsztázásával vált vlágossá. A kvantumelmélet késo bb fejlo dése szempontjából ennél sokkal fontosabb volt annak felsmerése, hogy a Schrödnger- és Hesenberg-képek mntájára közbenso képek s konstruálhatók, amelyekben pl. különválaszthatjuk a kölcsönhatás nélkül, csupasz részecskék Hamlton-operátorát a kölcsönhatást leíró tagtól. Ha az operátorok do fejlo dését a csupasz Hamlton-operátor, az állapotvektorét pedg a kölcsönhatás szabályozza, akkor jutunk el a kölcsönhatás képbe, amely a bonyolult kölcsönható kvantumrendszerek vzsgálatának nélkülözhetetlen eszköze. Ez az eszköz elo ször Drac munkában jelent meg, mnt az do to l függo perturbácószámítás kerete (lásd a 13.2 pontban); késo bb az elem részecskék fzkáját leíró relatvsztkus kvantumtérelméletben vált félelmesen hajlékony és sokoldalú technkává, Tomonaga, Schwnger, Feynman és Dyson munká nyomán. A kölcsönhatás kép formalzmusának rövd áttekntését adjuk a D. függelékben; ebben a könyvben csak egy helyen alkalmazzuk: az E. függelékben leírt master-egyenletek levezetésénél A Hamlton-operátor szmmetrá és a megmaradó mennységek Már említettük az untér transzformácók egyk nevezetes felhasználás területét: velük lehet leírn, hogyan változk ugyanannak a fzka rendszernek a matematka leírása, ha a háromdmenzós térben nézo pontot váltunk: más helyro l, más rányból nézünk rá a rendszerre. Az alapveto példák: a koordnátarendszer eltolása, elforgatása, tükrözése, de de tartozk az óra átállítása s. Mndezeknek egy-egy T lneárs, untér transzformácó felel meg, amelynek során a kvantummechanka állapotvektor matematka alakja megváltozk: ψ ψ, ahol ψ = T ψ. (7.23) Megváltozk az operátorok matematka alakja s: A A, ahol A = T A T. (7.24) Ha egy papírból kvágott fgurát körülrajzolok, majd megfordítom és ráteszem a rajzra, általában nem llk rá, de van, amkor gen: akkor, ha a fgura

99 7.5. A Hamlton-operátor szmmetrá és a megmaradó mennységek 99 tükrözés-szmmetrkus. Ugyanígy a kvantummechankában s elo fordul, hogy egy fzka mennység operátora egy transzformácó során nem változk meg: akkor, ha a transzformácó a fzka rendszer valamlyen szmmetráját fed fel. A szmmetra függ attól, hogy mlyen mennységet próbálok transzformáln. A kvantummechankában mndg a Hamlton-operátor, ll. bonyolultabb esetben a megkonstruálására használt Lagrange-függvény szmmetráját vzsgáljuk, mert annak vannak messzemeno következménye.3 Legyen a H Hamlton-operátor szmmetrkus a T untér transzformácóra nézve: T H T = H. (7.25) Szorozzuk meg az egyenletet jobbról a T operátorral és használjuk k T untartását: az eredmény T H = H T, vagys ˆ T ] = 0. [H, (7.26) Ezen alapulnak a szmmetrák kvantummechanka alkalmazása: a szmmetramuvelet untér operátora mozgásállandó (megmaradó mennység); a Hamlton-operátor sajátfüggvénye választhatók úgy, hogy a szmmetramuveletnek s sajátfüggvénye legyenek. Az utóbb tulajdonság sokszor megkönnyít az energasajátfüggvények meghatározását, amre a következo kben több példát s fogunk látn. Mndenekelo tt említsük meg a tükrözés példáját, amellyel már találkoztunk az egydmenzós potencálgödör és a harmonkus oszcllátor esetében. Az egydmenzós problémák specálsak, amennyben a szmmetrák egy lépésben muködnek. Amnt már az említett példákban megtanultuk, a tükrözés operátora a P x partásoperátor, amelynek sajátfüggvénye a páros és a páratlan ˆ P x ] = 0 akkor teljesül, ha a potencáls energa tükrözésfüggvények. [H, szmmetrkus: P x V (x) = V ( x) = V (x); lyenkor az energasajátfüggvények vagy párosnak, vagy páratlannak választhatók (ha nncs elfajulás, akkor maguktól vagy párosak, vagy páratlanok). Az do fejlo dés során a partás 3 Kedvenc vzsgakérdésem: a fejem magasságában a gravtácós ero ugyanakkora, mnt lent a padlón. Ez transzlácós szmmetra, mégsem marad meg a leejtett pohár mpulzusa, hanem növekszk a széttörésg. Mért? A válasz természetesen ez: nem az ero, hanem a Hamlton függvény transzlácószmmetrája bztosítja az mpulzusmegmaradást. Ha a függo leges ero állandó, akkor a Hamlton-függvény helyfüggo része, a potencáls energa nem állandó, hanem lneársan változk a magassággal, tehát az mpulzus nem marad meg.

100 Közvetlen következmények megmarad: páros kezdet állapot késo bb átalakulása során s páros, páratlan kezdet állapot késo bb s páratlan marad. Több dmenzóban az egy dmenzóra vonatkozó szmmetra nem ennyre egyszeruen hat, de khasználására még mndg van egy egyszeru recept: a szeparálás módszere. Ha P x V (x, y, z) = V ( x, y, z) = V (x, y, z), akkor a Schrödnger-egyenlet megoldása f (x)φ(y, z) alakban keresheto k, és az f (x) tényezo párosnak, ll. páratlannak választható, am az do bel fejlo dés során s megmarad. Különösen fontos téma a folytonos szmmetrák esete, mert ez vezet el a klaszszkus fzkából smert, alapveto megmaradás tételekhez. A lényeg roppant egyszeru. Válasszunk egy koordnátát, mondjuk x-et, meg egy f (x, y, z) függvényt, és számoljunk: H H f (x, y, z) = f (x, y, z) + H f (x, y, z), x x x (7.27) ezért ha H független x-to l, akkor felcserélheto a / x muvelettel. Az, hogy Hˆ független x-to l, az x rányú transzlácóval szemben nvarancát (változatlanságot), más szóval: x rányú transzlácó-szmmetrát jelent, a következménye pedg p x = (h /) x megmaradása. Meglepetés nncs a dologban: H csak a V (x, y, z) potencáls energában függhetne x-to l; ha nem függ, akkor Fx = V / x = 0, vagys nem hat x rányú ero, így természetes, hogy az x rányú mpulzus nem változk, hasonlóan a klasszkus mechankához. Ugyanerre a mntára muködk az mpuzusmomentum megmaradása s: ha ϕ egy tengely körül forgás szögkoordnátája, és a potencáls energa rajta keresztül pedg H nem függ ϕ-to l, akkor rendszerünknek az adott tengely körül forgásszmmetrája van; ugyanebbo l az s következk, hogy a potencáls energának megfelelo ero vektora átmegy a forgástengelyen, így nncs forgatónyomatéka. Másrészt lyenkor H felcserélheto a / ϕ muvelet tel, vagys (h /) ϕ megmaradó mennység. Hamarosan megtanuljuk, hogy ez éppen az adott forgástengelyhez tartozó mpulzusmomentum (perdület), tehát azt kaptuk, hogy ha forgásszmmetra van, vagys nem hat forgatónyomaték, akkor az mpulzusmomentum megmarad, ahogy vártuk. Kakukktojás, de fontos különleges eset az energa megmaradása: trvሠH] ˆ = 0, és ha H -nak explct do függése sncs, vagys H nvaráns lsan [H, az do eltolással szemben,4 akkor mndebbo l következk, hogy az energa megmaradó mennység. Ez amnt a következo pontban s látn fogjuk nem azon a matematka pályán kapcsolódk az do eltoláshoz, mnt az mpulzus a térbel transzlácóhoz, hszen t nem az energa operátora, de a 4 Például nncs jelen do függo elektromágneses mezo.

101 A folytonos szmmetrák generátora Schrödnger-egyenlet mégscsak összekapcsolja t -t a Hamlton-operátorral, ematt az eredményeken nem látszk meg a különbözo eredet A folytonos szmmetrák generátora Azt, hogy mnden folytonos szmmetrához tartozk egy megmaradó mennység, Noether tételének nevezk. A tételnek van egy általánosabb megfogalmazása s, am az elo zo pontbel elso smerkedés után megtanulásra érdemes. Maradjunk az x koordnáta példájánál, és vezessük be a koordnátarendszer x rányú, véges a nagyságú eltolásának T x (a) untér operátorát: T x (a) f (x, y, z) = f (x a, y, z). (7.28) Ha a Hamlton-operátor x rányban transzlácószmmetrkus, akkor 1 ˆ T x (a)] = 0, így T x (a) megmaradó T x (a) H T x (a) = Hˆ, tehát [H, mennység. A véges transzlácó operátorát a Taylor-sor összekapcsolja a derválás mu veletével, ezen keresztül pedg az mpulzus operátorával! Elleno rzzük a levezetést, emlékezve arra, hogy egy operátor függvénye a függvény hatványsorával defnált operátor: ( a)2 ( a)3 f (x a) = f (x) a f (x) + f (x) + f (x) ! 3! ( a x ) ( a x )2 ( a x )3 = f (x) (7.29) 1! 2! 3! = e a x f (x) = e h a p x f (x), ahonnan leolvashatjuk, hogy T x (a) = e h a p x (7.30) a véges a távolságú transzlácó operátora. Adjungáltja T x (a) = e h untartása p x önadjungáltságából következk. Legyen az eltolás nagysága a = δx nfntézmálsan kcs; akkor T x (a) 1 δx p x. h a p x ; (7.31) Ezt úgy szokták kfejezn, hogy az mpulzus az eltolások csoportjának generátora, am azt a szemléletet fejez k, hogy a (7.30) véges eltolás a (7.31) nfntézmáls eltolásokból épül fel exponencáls operátorrá. Mvel egy

102 Közvetlen következmények operátor és annak bármlyen analtkus függvénye ugyanazokkal az operátorokkal felcserélheto, a Hamlton-operátor véges transzlácóval szemben nvarancájából nem csak T x (a) megmaradása, hanem a generátor, a p x mpulzus megmaradása s következk. Ugyanígy épül fel egy önkényesen kválasztott z tengely körül δϕ nfntézmáls rotácókból, amelyek generátora az L z mpulzusmomentum, a véges ϕ szögu rotácók operátora: R z (ϕ) = e h ϕ L z. (7.32) Ha a Hamlton-operátor nvaráns a z körül rotácóval szemben, a forgás generátora, L z megmaradó mennység. Természetesen sem a transzlácó x rányának, sem a rotácó z tengelyének nncs ktüntetett szerepe; értelemszeru vektorjelölésekkel megszabadulhatunk to lük: ~u egységvektor rányába történo a hosszú eltolás operátora ˆ T ~u (a) = e h a ~u ~p ; ~u egységvektor rányú tengely körül ϕ szögu forgatás ~ˆ operátora R ~u (ϕ) = e h ϕ ~u L. Egy adott egyenes ment transzlácók sorrendje nem befolyásolja az eredményt: a megfelelo untér operátorok felcserélheto k. Ugyanez vonatkozk egy adott tengely körül forgások egymásutánjára. A különbözo tengelyek körül véges forgások azonban nem felcserélheto k: az eredmény szempontjából nem mndegy, hogy hasrafekszem és balra fordulok, vagy balra fordulok és hasrafekszem. Ennek megfelelo en az mpulzusmomentum vektorkomponense sem lesznek felcserélheto ek. Kommutátorak közvetlenül következnek a forgás geometrájából; akárhogyan vezetjük le o ket, az eredmény az mpulzusmomentum mnden fajtájára unverzálsan gaz lesz. Erre a kérdésre a 9.1. pontban térünk vssza. Amnt már az elo zo pontban s említettük, az do eltolás és az energamegmaradás kapcsolata formulában megegyezk az eddgekkel: ha H explcte nem függ az do to l, a Schrödnger-egyenlettel egyenértéku (7.12) egyenlet megoldásából közvetlenül megkapjuk az do fejleszto (do transzlácós) untér operátort: Uˆ (t) = e h H t. (7.33) Az eltéro eredet ellenére tovább már ez s ugyanúgy muködk, mnt a térbel ˆ ˆ (t)] = 0, így nem csak szmmetrák: ha U (t) H (Uˆ (t)) 1 = H, akkor [H,U Uˆ (t), hanem annak generátora, H s mozgásállandó.

103 7.7. Általános szmmetramuveletek: rreducblsábrázolások és a spektrum Általános szmmetramuveletek: rreducbls ábrázolások és a spektrum A térbel szmmetrák kaknázása bonyolultabb molekulák vagy krstályok esetén komoly matematka felkészültséget gényel, amelynek fo eszköztárát a csoportelmélet adja.5 Hasonlóan nagy csoportelmélet apparátussal dolgozk a részecskefzka, amely a részecskefajták sokaságában többféle rejtett közelíto szmmetra felsmerésével teremt rendet. A csoportot szmmetramuveletek alkotják, amelyek kombnálásával a használatos szakkfejezés szernt: szorzásával létrejövo szmmetramu veletek s eleme ugyanannak a csoportnak. A szorzás a muveletek egymásután elvégzését jelent. Az alkalmazások a muveletek ábrázolására épülnek: alkalmasan megválasztott kvantumállapotok bázsán a muveleteknek untér mátrxok felelnek meg; ezek ábrázolják a csoportot. Az alapfogalom a Hlbert-tér nvaráns altere: bázsvektorok olyan lneárs kombnácója, amelybo l a szmmetramuvelet nem vezet k. Az ábrázolások manpulálásában az alapmuvelet a redukálás: olyan mnmáls nvaráns alterek megkeresése, amelyeknek már nncsen még ksebb nvaráns altere. A redukálás technkáját, amely ortogonaltás tulajdonságok khasználásán alapul, az olvasó csoportelmélettel foglalkozó könyvekbo l tanulhatja meg. A kredukálással megtalált, mnmáls nvaráns alterek bázsa alkotják a csoport rreducbls ábrázolásat. Egy rreducbls ábrázolás bázsvektora a szmmetramuvelet során egymás között kombnálódnak. Mndennek legközvetlenebbül az energasajátértékek és sajátvektorok meghatározásában vehetjük hasznát. Ha a szmmetramuvelettel szemben az adott fzka rendszer Hamlton-operátora nvaráns, akkor az azonos rreducbls ábrázoláshoz tartozó, szmmetramuvelettel egymásba transzformálandó bázsvektorokhoz azonos energasajátértékek tartoznak. A szmmetra különbözo rreducbls ábrázolásanak bázsvektorahoz általában különbözo energasajátérték tartozk; ha mégs azt találjuk, hogy a sajátértékek makacsul egybeesnek, akkor gyanakodhatunk, hogy valam új szmmetratulajdonságot fedeztünk fel. A csoportábrázolások elméletének legegyszerubb esete a partás már többször megsmert példája. Az elso gazán nem trváls példa a forgáscsoport esete, amellyel részletesen fogunk foglalkozn. 5A terület nagy klasszkusa Wgner Jeno magyarul s megjelent könyve [11].

104

105 8. fejezet A harmonkus oszcllátor: részletek Ezzel a fejezettel a kemény alapozó edzésekro l vsszatérünk a konkrét rendszerekhez. A harmonkus oszcllátor a fzka legfontosabb megoldható, vagys mnden részletében analtkus (nem numerkus) számolással követheto modellje, amely a természetben található rendszerek sokaságát írja le: molekulák és krstályok rezgéset, de egyszeru változóhelyettesítéseken keresztül az elektromágneses mezo rezgéset s. Ezen túlmeno en számos bonyolultabb fzka rendszer elmélet tárgyalását tesz leheto vé, hogy harmonkus oszcllátorokból rakjuk össze o ket, vagy harmonkus oszcllátorok ks megváltoztatásával perturbácójával közelítve jutunk el a megértésükg. Az 5. fejezet végén már megsmertük a harmonkus oszcllátor do független Schrödnger egyenletének megoldásával kapott energaspektrumot és a staconárus állapotok hullámfüggvényet. Most az do közben megsmert általános formalzmus nagyobb hajlékonyságát és teljesíto képességét használjuk k ennek a fontos modellnek az alaposabb megsmerésére Az algebra módszer: kelto és eltünteto operátorok és mátrxelemek A Hamlton-operátor spektrumát a Schrödnger-egyenlet megoldása nélkül s sokszor meghatározhatjuk a felcserélés relácók (az oszcllátor esetén: [ p, x ] = h /) felhasználásával. Ilyenkor a Schrödnger-egyenlet határfeltételeben megjeleno nformácót általában azzal vesszük fgyelembe, hogy a számolásban khasználjuk a kvantumállapotok normálhatóságát. 105

106 A harmonkus oszcllátor: részletek A harmonkus oszcllátor Hamlton-operátora mω2 2 p 2 Hˆ = x + 2 2m mω = h ω x p 2h m ω r r mω mω 1 = h ω x p x + p + 2h mω 2h mω 2 1 = h ω a a +, 2 (8.1) ahol a harmadk sorban a komplex számokra teljesülo a2 + b2 = (a + b) (a b) összefüggés mntájára a négyzetösszeget szorzattá alakítottuk, de fgyelembe vettük, hogy x és p felcserélhetetlen operátorok; végül az utolsó sorban bevezettük az r mω 1 aˆ = x + p = x + σ p, 2h mω 2σ h (8.2) r mω 1 a = x p = x σ p 2h mω 2σ h operátorokat, amelyek felcserélés relácója p és x smert kommutátorából közvetlen behelyettesítéssel adódk: [a, ˆ aˆ ] = 1. (8.3) p A (8.2) defnícókban σ = h /(2mω), összhangban az (5.45) egyenlettel. A most bevezetett a és a operátorok egymásnak adjungáltja, am abból következk, hogy x és p önadjungáltak. a neve eltünteto operátor, a neve kelto operátor. Amt eltüntetnek, ll. keltenek, az az oszcllátor egy gerjesztés kvantuma, ahogy azt mndjárt belátjuk. Elo bb azonban jegyezzük meg a (8.2) összefüggések fordítottját s: x = σ(aˆ + a ); p = h (aˆ a ). 2σ Írjuk a Hamlton-operátorra kapott eredményt lyen alakba: 1 ˆ H = h ω N + ; N = a a, ˆ 2 (8.4) (8.5) és koncentráljunk az N operátor sajátértékere és a hozzájuk tartozó normált sajátvektorokra: N n = n n; hn n = 1. (8.6)

107 8.1. Az algebra módszer: kelto és eltünteto operátorok és mátrxelemek 107 A (8.3) felcserélés relácó felhasználásával könnyu megmutatn, hogy nnel együtt a n és a n s sajátvektorok, kvéve ha valamelykük 0: N a n =(aˆ a)a n ˆ ˆ = (aa ˆ ˆ 1)a n ˆ = (aˆn a ) n = (n 1) a n; N a n =aˆ (aa ˆ ˆ ) n = a (aˆ aˆ + 1) n = (aˆ N + a ) n = (n + 1) a n. (8.7) Az így kapott sajátvektorok nem normáltak. Felhasználva, hogy a n ˆ = hn aˆ a n = n, kapjuk, hogy a n = n n 1. (8.8) (8.9) Hasonlóan, aˆ n = hn aˆ a n = hn aˆ aˆ + 1 n = n + 1 felhasználásával a n = n + 1 n + 1. (8.10) (8.11) A (8.9) egyenlet szernt egy n sajátértékbo l kndulva sajátállapotok sorozatát generálhatjuk n 1, n 2,... sajátértékekkel. A sajátértékek sorozata azonban (8.8) matt nem mehet át negatív értékekbe. Ez csak akkor kerülheto el, ha n egész értékéro l ndulunk, és egész értékeken át eljutunk a 0-g. Ott a sorozat megszakad, mert (8.9) szernt a 0 ˆ = 0, (8.12) vagys 1 állapot nem generálódk, 0 a harmonkus oszcllátor alapállapota. Ebbo l (8.11) smételt alkalmazásával elo állíthatjuk az összes gerjesztett állapotokat: 1 n = (aˆ )n 0. (8.13) n! Innen az a operátor (8.2) alakjába beírva x és p koordnátareprezentácóját, és felhasználva az alapállapot hullámfüggvény (5.44) alakját, megkapjuk a gerjesztett állapotok normált hullámfüggvényenek számolásra alkalmas alakját: 1 x d n x22 p φn (x) = hx n = σ e 4σ. (8.14) dx n! 2π σ 2σ Ezeknek a formuláknak a segítségével mndent kszámíthatunk a harmonkus oszcllátor staconárus állapotaról. Úgy alakult azonban, hogy a nemstaconárus állapotok a késo bbekben több fgyelmet kaptak.

108 A harmonkus oszcllátor: részletek Koherens állapotok (kvantum-hnta) Schrödnger 1928-ban, kevéssel hullámegyenletének megalkotása és a harmonkus rezgo mozgást leíró megoldásának megtalálása után rájött, hogy a klasszkus oszcllátornak nem a kvantumos oszcllátor magasan gerjesztett állapota felelnek meg, hanem egy oda-vssza hntázó alapállapot hullámcsomag, amelynek alakja változatlan marad, nem folyk szét, csak a hullámfüggvény fázsa szed fel egy trváls do függést a zéruspontrezgés energája matt. Az do függo Schrödnger-egyenletnek ezt az érdekes megoldását hívjuk koherens állapotnak, és különösen az elektromágneses hullámok kvantumelméletében tett szert órás jelento ségre, mert ezeknek a hullámmódusoknak koherens állapotaval van tele körülöttünk a vlág1 ; to lük szól a rádó, a TV, a mobltelefon. Amnt mndjárt látn fogjuk, a koherens állapot végtelen sok különbözo gerjesztett állapot szuperpozícója, meghatározott együtthatókkal. A következo kben belátjuk, hogy a keresett koherens állapot az a eltünteto operátor sajátvektora, megfelelo do függo sajátértékkel. Mndenekelo tt, az a α ˆ = α α (8.15) sajátérté egyenletet kelégíto α normált sajátvektorokat fel lehet építen a harmonkus oszcllátor sajátvektoraból:2 α = e α 2 2 αn n, n=0 n! (8.16) amt a (8.9) egyenletbe való közvetlen behelyettesítéssel gazolhatunk. A következo lépésben megmutatjuk, hogy a fent formula, megfelelo do függo α(t) sajátértékkel, kelégít az do függo Schrödnger-egyenletet. Ehhez nduljunk k egy α0 kezdet állapotból, és írjuk be az n oszcllátorsajátállapotok smert do függését: e α0 2 2 αn n!0 e ω(n+1/2) t n = e ω t/2 α0 e ωt, (8.17) n=0 vagys a zéruspontrezgésnek megfelelo trváls fázsfaktortól eltekntve vsszakaptuk a (8.16) koherens állapotot, amelynek paramétere az oszcllátor ω frekvencájával körbejár a komplex síkon: α(t) = α0 e ω t = α e (ω t+δ), 1 Más (8.18) szóval: amro l a Maxwell-egyenletek szólnak, azok a mezo koherens állapota. 2 Mvel a nem önadjungált, sajátértéke általában komplexek.

109 Koherens állapotok (kvantum-hnta) ahol δ-val jelöltük a komplex α(t) kezdo fázsát. Hogy mozog eközben a hullámcsomag? Számítsuk k a hely- és mpulzusoperátor do függo átlagát, a (8.4) eredmények felhasználásával: hxt = hα(t) x α(t) = σ hα(t) a + a α(t) = σ (α(t) + α (t)) (8.19) = 2σ ℜ[α(t)] = 2σ α cos(ω t + δ), hpt = hα(t) p α(t) h h = hα(t) a a α(t) = (α(t) α (t)) 2σ 2σ h h = ℑ[α(t)] = α sn(ω t + δ), σ σ (8.20) vagys a koherens állapot az (x(t), p(t)) fázssíkon egy ellpszsen jár körbe, amely x rányban 2σ α, p rányban (h /σ) α kterjedésu. Eközben az átméro je változatlan marad: x rányban 2 x = 2σ, p rányban 2 p = h /σ. Ha a komplex síkon egy α 1 koherens állapot körbejáró foltjára meszszro l nézünk rá, a foltot már körbejáró pontnak látjuk, megfelelo en a klaszszkus mechanka fázssíkján való mozgásnak. α vszont az átlagos gerjesztettséget mér: n := hnα = hα a aˆ α = α α hα α = α 2, vagys α n, (8.21) (8.22) úgyhogy ebben az átlagos értelemben gaz a korrespondencaelv: nagy n klasszkus mozgás. Azonban közelebbro l ránézve a kérdésre, a sok gerjesztett állapot koherens szuperpozícója nélkülözhetetlen eleme a klasszkusságnak. Ezt legközvetlenebbül az (8.4) egyenletekbo l láthatjuk: x és p lneársan tartalmazza a kelto és eltünteto operátorokat, amelyeknek átlagértéke bármelyk energasajátállapotban 0, csak átmenet mátrxelemek vannak különbözo sajátállapotok között. Ezért ahhoz, hogy az nga klasszkus módon klenghessen, vagys hogy x és p átlaga makroszkopkus lehessen, az ngát olyan kvantumállapotba kell átvnn, amelyben különbözo energasajátállapotokat szuperponálunk. Még egy elem tulajdonságát említsük meg a koherens állapotnak: ha az α(t) paraméter ϕ = ω t + δ fázsát óramutatónak tekntjük és leolvassuk róla

110 A harmonkus oszcllátor: részletek a t do t, az n = E /h ω átlagos gerjesztettségro l pedg az átlagos energát, akkor alkalmazhatjuk a E t h határozatlanság relácót, hogy egy újabb relácót kapjunk a fázs és a gerjesztés szám szórása között: ϕ n 1, (8.23) vagys a koherens állapotnak éppen azért lehet határozott, koherencát hordozó fázsa, mert a gerjesztés száma határozatlan: végtelen sok különbözo n gerjesztett állapotból szuperponálódott össze. A gerjesztés szám sok alkalmazásban úgy jelenk meg, mnt egy rezgés módusban jelenlevo részecskék száma lásd a következo pontban. Ilyen értelemben a (8.23) összefüggés a kollektív fázs és a részecskeszám között határozatlanság relácó alakjában jelenk meg, am számos kvantumjelenség megértésének kulcsa. Matematkalag pontos megfogalmazása megleheto sen nehéz, mvel a fázs eltéro en mondjuk az x koordnátától nem végtelen határok között változhat, hanem 2π szernt perodkus, de ha a koherenca ero s: φ 2π, akkor ez nem okoz gondot, és a fent pongyola megfogalmazást nyugodtan használhatjuk. A koherens állapotok matematka kezelésére ötletes és nem túl bonyolult technkák alakultak k, amelyekbo l a C. függelékben adunk ízelíto t Rövd ktekntés: molekula-rezgések, krstályrezgések, csapdába ejtett on rezgése Az atomok úgy gerjeszto dnek, hogy elektronfelho jük magasabb energasajátállapotba megy át. Az ennek megfelelo E gerjesztés energa nagyságrendben J 1 ev, am E/kB 104 K ho mérsékletnek felel meg. A molekulák és krstályok azonban jóval alacsonyabb energával s gerjesztheto k, ha rezgésbe hozzuk o ket; ha a rezgés ktérése nem túl nagy, a rezgést a harmonkus oszcllátor modelljével írhatjuk le. Az ehhez tartozó rezgés kvantumnak megfelelo ho mérséklet a molekula tömegéto l függ: h ω/kb a H2 molekulára 6000 K, J2 molekulára 300 K.3 A molekulák rezgés módusa nagy változatosságot mutatnak, a mnden esetben jelen levo nyújtás rezgésto l az egyenes bot-molekulák hajlító rezgésen át a bonyolultabb szerkezetek csavarás módusag. A módusok sokaságának számbavételében a szmmetrák jelentenek ném fogódzót. A szmmetra legdurvább tulajdonsága közvetlenül s megjelennek az optka spektrumokban. Egy különbözo atomokból álló kétatomos molekula, 3 A szabadon lebego -repülo molekulának van egy még alacsonyabb gerjesztés módusa: ha forgásba jön. Krstályoknál ez a leheto ség hányzk.

111 8.3. Rövd ktekntés: molekula-rezgések, krstályrezgések 111 pl. HJ rezgo dpólmomentuma elnyel és kbocsát a rezgéssel megegyezo frekvencájú nfravörös sugárzást. Olyan molekula, amely két azonos atomból áll, pl. O2, erre csak két lépésben képes: a bejövo fény dpólmomentumot ndukál, am azután képes sugározn; ezt a sokkal gyengébb folyamatot nevezk Raman-effektusnak. Krstályok hanghullám-szeru, ún. akusztkus rezgés módusa egy sávban helyezkednek el, amelyek 0 tól az ωd Debye-frekvencág terjednek; ωd /kb nagyságrendje anyagtól függo en néhányszor 100 K. A többatomos elem cellájú krstályoknak vannak még olyan, magasabb frekvencájú, ún. optka rezgése s, amelyek nem hanghullámra, hanem rezgo dpólusokra emlékeztetnek; bennük az elem cellát alkotó atomok egymáshoz képest rezegnek. T ωd /kb ho mérsékleten a krstályok rezgés módusa s harmonkus oszcllátornak tekntheto k. Rezgés kvantumakat fononnak nevezzük; ezt a szót Landau alkotta a foton mntájára, a hang görög nevébo l. Alacsony ho mérsékleten a fononok domnálják a szgetelo krstályok tulajdonságat; fémekben az elektronok szabad mozgásának hatása sokszor ero teljesebbek. Magas gerjesztés sznten a harmonkus oszcllátor közelítése elromlk. Molekuláknál az ebbo l eredo anharmonkus effektusok a színképek szétmosódásától a molekula dsszocácójág, csavarás módusoknál a szabad forgásg terjedhet. Krstályoknál a domnáló anharmonkus jelenség a fonon-fonon kölcsönhatás; magas ho mérsékleten ez lényegesen befolyásolja a szgetelo krstályok fajho jét és ho vezetését. A molekulák és krstályok rezgése elmélet leírásának nélkülözhetetlen keretét jelent a Born Oppenhemer közelítés (más néven: adabatkus közelítés). Eszernt a nehéz atommagok lassú rezgéset késedelem és gerjeszto dés nélkül követ és leárnyékolja a könnyu és gyors elektronok felho je, amelynek energáját vszont a magok úgy érzékelk, mnt egy járulékot a potencáls energájukhoz. Mnderro l a pontban olvasható egy rövd leírás. Az utóbb évtzedek nagy találmánya, az oncsapda, amely mágnesekkel és elektromos töltésu elektródokkal tart helyben egyes onokat, újabb példáját teremtette meg a kvantummechanka oszcllátornak. A csapdázó potencál gödrében az onok 10 MHz nagyságrendu frekvencával rezegnek, amelynek kvantuma (ezt s fononnak nevezk!) h ω/kb 10 3 K ho mérsékletnek felel meg. Ilyen alacsony ho mérsékletet lézeres hutéssel lehet létrehozn. A csapdázás és lézerhutés témakörét foglalja össze a B. függelék. Lehutve, az egyes on rezgo mozgása vagy néhány on kollektív rezgése félresmerhetetlenül követ a kvantummechanka leírásból smert tulajdonságokat. A rezgés alapállapot hullámfüggvényének kterjedése (lásd az

112 A harmonkus oszcllátor: részletek (5.45) formulát) néhányszor 10 nm nagyságrendu, am egy nagyobb molekula mérete. Fénympulzusok élesen hangolt kombnácóval a csapdázott onokat mozgásba s lehet hozn; rezgésük koherens állapotot jelenít meg. Még trükkösebb mpulzuskombnácókkal a koherens állapotot ketté s lehet hasítan; az egydo ben kétfelé hntázó hullámcsomag volt az elso kísérlet megjelenítése Schrödnger boldogtalan macskájának, amely egyszerre él s, hal s A foton A kvantumelmélet története az elektromágneses hullámok kvantumos jellegének Planck és Ensten által való felsmerésével kezdo dött. Késo bb a fejlo dés az elektronok mozgástörvényenek feltárása felé haladt elo re. Az atomos anyagról változatlanul a fény elnyelés spektruma szolgáltatták a legrészletesebb nformácót, de ennek elmélet leírásában (lásd a pontot) elegendo volt az elektromágneses mezo t klasszkus ero térnek teknten. Ennek utólagos magyarázata az lehet, hogy az ero s fényforrások olyan fényt bocsátanak k, amelyben a mezo módusa magasan gerjesztett, koherens állapotokhoz közel állapotba kerülnek. Az elmélet tovább fejlo dése során azonban kötelezo feladatként merült fel, hogy a sugárzás kvantumos tulajdonsága s kerüljenek az épületen belülre. Ezzel fnom és fontos jelenségek sora vált vzsgálhatóvá, mndenekelo tt a spontán emsszó: amíg a sugárzás kvantumosságát nem vesszük fgyelembe, érthetetlen, hogy ha egy elektron kezdetben gerjesztett energasajátállapotban van, amelyben a töltéseloszlás do ben állandó, mért kezd el ksugározn energáját, vsszatérve az alapállapotba vagy egy alacsonyabban gerjesztett állapotba. A jelenség kulcsa a kvantált elektromágneses mezo aktív szerepe; ezt tekntjük át most rövden. Az elméletet az Olvasó részletesebben részecskefzka könyvekbo l4 (gen, a foton s egy részecske ), vagy a kvantumoptka rodalmából5 smerhet meg. Az alábbakban feltételezzük a klasszkus elektrodnamka elméletének (Maxwell egyenletek) smeretét. Az egyszeru eredményekhez a leggyorsabb út a Coulomb mérték választásán át vezet: használjunk dvergencamentes vektorpotencált, vagys legyen ~A = 0. Ezzel összhangban, legyen a skalár potencál a töltésekhez hozzáfagyott Coulomb ero potencálja, am a tszta sugárzás térben nulla (φ = 0). Ekkor a közvetlen mérheto elektromos és mágneses térero sségek 4 Lásd 5A pl. a [13] tankönyvet. legelterjedtebb tankönyv: [20].

113 A foton így adódnak: ~ ~E = A ; ~B = ~ ~A. (8.24) t Mért került ez a témakör a harmonkus oszcllátorról szóló fejezetbe? Azért, mert a szabad, tehát a sugárzó-elnyelo testeket nem tartalmazó sugárzás felbontható egy véges térfogat (rezonátor, vagy akár csak elképzelt, véges de nagy doboz) normál módusanak teljes rendszere szernt: ~A(~r,t) = Al (t) ~ul (~r), (8.25) l ezek a normál módusok pedg a 2~A ~ = c2 A t 2 (8.26) hullámegyenlet6 ~ul (~r) sn(ωl t + ϕl ) alakban harmonkusan oszclláló megoldása. Helyfüggo részek, az ~ul (~r) módusfüggvények a + kl2 ~ul (~r) = 0; ~ ~ul (~r) = 0 (8.27) vektor hullámegyenlet transzverzáls megoldása; ezek a kl2 = ω2l /c2 összefüggésen keresztül kapcsolódnak az oszclláló do függéshez. Az ~ul (~r) függvények a rezonátor vagy doboz határán fzka eredetu határfeltételeknek tesznek eleget; ezek választják k a módusokat és azok ωl sajátfrekvencát. Az l ndexszel különböztetjük meg a különbözo helyfüggésu és/vagy különbözo polarzácójú módusokat. Az egyszeruség kedvéért elo ször egy zárt rezonátor esetét számoljuk végg, amelyben állóhullámok alakulnak k. Az ennek megfelelo módusfüggvények valósak, és mvel maga az ~A(~r,t) vektorpotencál valós, így valósak lesznek az Al (t) módusampltúdók s. A különbözo ωl frekvencákhoz tartozó módusok ortogonálsak és normáltak: Z ~ul (~r) ~ul (~r) d 3 r = δll. (8.28) A frekvencában elfajult módusokból választható ortonormált bázs. A (8.25) sorfejtést behelyettesítve a (8.26) hullámegyenletbe és khasználva a (8.28) ortonormáltság összefüggést, a módusok különválnak, és független harmonkus oszcllátorok mozgásegyenletét kapjuk: A l = ω2l Al. 6 c2 = 1/(ε0 µ0 ), ahol ε0 és µ0 a vákuum delektromos állandója, ll. permeabltása (8.29) mágneses

114 A harmonkus oszcllátor: részletek Hogy az oszcllátor-módusok kvantumos vselkedését feltárjuk, rakjuk össze ezekbo l a módusokból az elektromágneses mezo energájának smert kfejezését, újra használva az ortonormáltságot, valamnt a térmennységeket a vektorpotencálra vsszavezeto (8.24) összefüggéseket: Z k2 ε0 ~ 2 1 ~ 2 ε0 H = E + B = (A l )2 + l A2l 2 2µ0 2 l l 2µ0 (8.30) ε0 ωl Al ε0 (A l ) = l Álljunk meg egy pllanatra: hszen ha tt ε0 helyébe egy m tömeget gondolunk, akkor mnden tag pontosan egy harmonkus oszcllátor energája, kfejezve az Al koordnátával és az A l sebességgel. Akkor vszont, px = mx analógájára, πl = ε0 A l (8.31) az Al koordnátához kanonkusan konjugált mpulzus. Innen már egyenes út vezet a kvantumelmélethez: az Al (t) és πl (t) klaszszkus mennységek helyett vezessünk be A l és π l operátorokat, amelyek kelégítk a h [π l, A l ] = (8.32) felcserélés relácót. A továbbakban csak a 8.1. pont menetét kell követnünk, és eljutunk a Hamlton-operátor 2 π l ε ˆ H = + ω A = h ωl a l a l + (8.33) 2ε0 2 l l 2 l l kfejezéséhez, ahol bevezettük az l-edk módus r ε0 ω aˆl = A l + π l 2h ε0 ωl (8.34) eltünteto operátorát és a l = r ε0 ω A l π l 2h ε0 ωl (8.35) kelto operátorát, amelyek felcserélés relácója [aˆl, aˆ l ] = 1. (8.36)

115 A foton Ennek felhasználásával d a l = dt d a = dt l ˆ [H, a l ] = ωl aˆl, h ˆ [H, a l ] = ωl aˆ l, h (8.37) ambo l a megfelelo Hesenberg-képbel do függo operátorok: aˆl (t) = a l e ωl t ; a l (t) = a l eωl t. (8.38) A (8.34) és (8.35) egyenletekbo l kfejezve az A l operátort és behelyettesítve a (8.25) sorfejtésbe, végül áttérve a kelto és eltunteto operátorok Hesenberg-képbel alakjára, megkapjuk az ~A(~r,t) vektorpotencálnak megfelelo Hesenberg-operátort: s h h ωl t ˆ ωl t ~A(~r,t) = a l e + a l e ~ul (~r). (8.39) 2ε0 ωl l A (8.24) relácó segítségével azonnal adódk az elektromos térero sség Hesenberg-operátora s: s h ωl h ωl t ˆ r,t) = ωl t ~E(~ a e a e ~ul (~r). (8.40) l 2ε0 l l Említsük meg még, hogy a fent eljárást végg lehet csnáln haladó hullámmódusokkal s, amelyeknek komplex módusfüggvények felelnek meg. Gondosan kézben tartva a vektorpotencál és az elektromos térero sség valós, ll. operátoruk önadjungált voltát, és a valós kombnácók között keresve meg a kanonkusan konjugált változópárokat, a végeredmény alg változk; (8.39) ll. (8.40) helyett ezt kapjuk: s h h ωl t ˆ r) = ωl t ~A(~ a e ~ u (~ r) + a e ~ u (~ r) ; l 2ε0 ωl l l l l s (8.41) h h ωl ˆ r) = ~E(~ 2ε0 a l e ωl t ~ul (~r) a l eωl t ~u l (~r). l A sugárzás és a töltött anyag kölcsönhatásának leírásában ezek az operátorok lépnek a klasszkus vektorpotencál, ll. elektromos térero sség helyére. A fény hullámhosszához ( nm) képest ksméretu tárgyak (atomok,

116 A harmonkus oszcllátor: részletek nem túl nagy molekulák) esetén a kölcsönhatás Hamlton-operátorára alkalmazható a dpólközelítés; ennek érvényesség határan belül az alább két kfejezés ekvvalens: ˆ Hˆ kolcs = ~jˆ ~Aˆ = ~Pˆ ~E. (8.42) Jegyezzük meg, hogy a vektorpotencál, ll. a térero sség lneársan tartalmazza a kelto és eltünteto operátorokat, am szemléletes matematka formában fejez k azt a tényt, hogy töltött részecskék a kölcsönhatás során fotonokat sugároznak k és nyelnek el. Ugyanez arra s utal, hogy amkor a klasszkus elektrodnamkának megfelelo térero sségeket észlelünk, ott mndg koherens állapotok vannak jelen; fotonszám-sajátállapot nem lehet, mert abban a térero sségek átlaga 0. A sugárzás folyamatokra a 13. fejezetben térünk vssza, felvértezve a perturbácószámítás eszközevel, hszen a töltések és áramok jelenléte az elektromágneses mezo megzavarását, közkeletu latn szóval: perturbácóját jelent. Most nézzük meg alaposabban a perturbálatlan ( szabad ) elektromágneses mezo állapotat. A (8.33) Hamlton-operátor sajátértéke nylvánvalóan 1 En1,n2, = h ωl nl +, 2 l (8.43) szavakban kmondva: az l-edk módusban nl foton található; ezek energájából tevo dk össze a szabad elektromágneses mezo energája. A formulától egyenes út vezet a Planck-féle sugárzás törvényhez, mvel a zéruspont rezgésnek megfelelo 1/2 tagok csak az energa skáláját tolják el.7 Enny számolás után jogot szereztünk, hogy megkérdezzük: m hát a foton? Vagy helyesebben szólva: m hát egy foton? A kérdés némképpen flozofkus, és a válasz s az. Egy foton: amben egy módus egyfoton-állapota különbözk a nullafoton-állapotától. Más szóval: maga a tárgynak tekntett gerjesztés. De lehet a gerjesztést tárgynak teknten? Mért ne? Energája van; ha a módus haladó hullám, akkor mpulzusa s van; a módus polarzácójától függo en spnje, helyfüggése szernt még pálya-mpulzusmomentuma s van. Nyugalm tömege (a relatvtás elméletének értelmében) éppen nncs, de ez csak azon múlk, hogy energája és 7 A (8.43) energasajátérték-formula egyaránt érvényes valós vagy komplex módusfüggvények használata mellett.

117 8.4. A foton 117 mpulzusa között a kapcsolat lneárs. Persze ezen az esetlegességen múlk a fény alapveto tulajdonsága: a fény más szóval: a fotonok szabad keletkezése és elnyelo dése. Most jön a beugrató kérdés: akkor hát m két foton? Ezt már sokkal nehezebb megválaszoln. A kérdéssel van a hba: egy oszcllátor másodk gerjesztett állapotának hullámfüggvénye nylván nem két elso gerjesztett állapot valamféle összege, hanem valam egyed tárgy: egy kétfoton. Ugyanez vonatkozk a mezo olyan állapotára s, amelyben két módus a maga elso gerjesztett állapotában, a több módus alapállapotban található. Hullámcsomagok alakjában ebbo l két fotonszeru tárgy még szétfuthat akár száz klométerre s, de az egész akkor s egy darab kétfoton marad, egyed korrelácókkal a két szétfutott fotonszeru tárgy között. Erro l szólnak a híres EPR-korrelácók és a Bell-egyenlo tlenségek, lásd a pontot. Az egyfoton- és kétfoton-állapotok az utóbb években kísérlet realtást nyertek azáltal, hogy egyre megbízhatóbb egyfoton- és kétfoton-források, és ezzel párhuzamosan, egyfoton- és kétfoton-detektorok jöttek létre. Kezdjük a detektorokkal. A fotoelektron-sokszorozó nem újdonság, Bay Zoltán ötletébo l jött létre az 1940-es évek végén. Elve az, hogy egy foton által kváltott fotoelektron nagy feszültséggel való felgyorsítás után becsapódva, egy fémfelületbo l néhány másodlagos elektront szakít k, knetkus energájából fedezve azok klépés munkáját. Ezt sokszor smételve egy hosszú vákuumcso mentén, az elektronok lavnaszeruen szaporodnak, míg végül az anódon mérheto áramlökés jelenk meg. Ugyanennek jóval fatalabb, félvezeto alapú változata a lavna-fotodóda, ahol az ugyancsak feszültséggel gyorsított elektronok nem felület becsapódással, hanem sáv-sáv átmenetekkel hozzák létre a másodlagos elektronok lavnáját. Am matt az gaz egyfotondetektálás mégs nehéz dolog, az mndenekelo tt a detektorok véges reakcódeje: ha a fotonok véletlenszeruen, Possoneloszlás szernt érkeznek, akkor távolról sem elhanyagolható annak valószínusége, hogy egy elektronlavna véggfutása alatt több foton csapódk be, ezeket pedg a detektor nem tudja megkülönböztetn. Az utóbb évek újdonsága az a technka, hogy a bejövo fotonok áramát üvegszál-nyalábosztókon sokszorosan szétválasztva sok detektor felé küldk szét, amvel drasztkusan lecsökkentheto a majdnem-egybeesések matt elmulasztott detektálások száma. Megmarad azonban az a tény, hogy az elnduló elektronlavnák nem mndg fejlo dnek k, így a detektorok hatásfoka valahol % között van. Ehhez járul még a foton nélkül, termkus gerjesztésre elnduló lavnák leheto sége: a detektorok sötétzaja. Ematt, bár a fotonok sokkal könnyebben kezelheto k, mnt bárm más részecskefajta, a fotonokkal végrehajtott kísér-

118 A harmonkus oszcllátor: részletek letekben mndg jelen van a detektálásból eredo hba, am megnehezíthet az eredmények értelmezését. A Posson-eloszlás foton-csoportosulás hajlama matt tehát az ntenztás lecsökkentésével nem lehet megbízható egyfoton-forrást készíten. Az egyfoton-források ma vharos fejlo dése a kétfoton-forrásokkal kezdo dött: a paraméteres lekonvertálásnak nevezett nemlneárs optka folyamatban egy ω frekvencájú lézerrel gerjesztett krstályból páros spontán emsszóval egyszerre két ω/2 frekvencájú foton lép k,8 amelyek együtt egy jóldefnált kétfoton-állapotot alkotnak. Ennek kaknázása kvantummechanka alapkísérletek céljara P. Mandel munkával kezdo dött az 1980-as években. Ekkor merült fel az elso megbízható egyfoton-források ötlete s: ha a fotonpár egyk tagját egy detektor jelz, akkor am ezzel egydejuleg (koncdencában) az optka rendszer másk ágán történk, azt nagy valószínuséggel a másk foton váltja k.9 Ezek a véletlenszeru pllanatokban emttáló, de a társfoton által bejelentett (angolul: heralded ) egyfoton-források az utóbb években fokozatosan átadják helyüket a megrendelésre (angolul: on demand ) muködo forrásoknak: ezek többnyre egy csapdázott atomot vagy félvezeto kvantumpöttyöt hangolva, azt gerjesztett állapotba, majd adott pllanatban rezonancába hozzák az o t körülvevo optka rezonátorral; ebben a pllanatban bekövetkezk az emsszó. Tudn kell azonban, hogy ezek drága és egyelo re csak laboratórum célokra használható eszközök; a gyakorlat alkalmazások többnyre még mndg az ntenztás lecsökkentésével közelítk meg az egyfoton-állapotokat, küszködve a Posson-eloszlás mellékhatásaval. Hogy egyfoton- és kétfoton-állapotok preparálása és detektálása ekkora feladatot jelent, az csak alátámasztja, hogy egyes fotonok rtkán fordulnak elo vlágunkban: a fotonszám-sajátállapotok (más szóval: Fock-állapotok) csak afféle koordnátarendszert jelentenek; a valóságos fény ezek szuperpozícóból, leggyakrabban koherens állapotokból épül fel. 8 Ilyen klasszkus nemlneárs optka folyamat nem létezk: nemlneartással frekvencát duplázn lehet, felezn nem. A spontán emsszó (lásd a pontot) tpkus kvantumjelenség. 9 Ahogy a rég vcc mondja: Hogy fogjunk egy oroszlánt? Egyszeru: fogjunk ketto t és az egyket eresszük el.

119 9. fejezet Impulzusmomentum a kvantummechankában A kvantummechanka a hdrogénatomból született. A hdrogénatom gömbölyu, és ennek messzemeno következménye vannak: a háromdmenzós tér legero sebb szmmetrája nyomot hagy az atomos hdrogén mnden megfgyelheto tulajdonságán. Ennek háttere a hdrogénatom Schrödnger-egyenletének Schrödnger által talált megoldásában tsztázódott. A kapcsolatot már smerjük: a forgásnak megfelelo untér transzformácónak generátora az mpulzusmomentum (perdület); forgásszmmetrkus rendszerben az mpulzusmomentum mozgásállandó. A részletek most következnek. Az mpulzusmomentumnak van még egy alapveto szerepe: az elem részecskéknek a pályamozgástól független saját mpulzusmomentuma, spnje van; ennek felderítése a kísérletekto l és az elso fenomenológa elmélet leírásoktól az algebra-csoportelmélet meggondolások dadalmas térnyerésén keresztül vezetett az mpulzusmomentum mndenütt megjeleno hatásanak tsztázáság. Ezzel egy következo fejezetben foglalkozunk A pálya-mpulzusmomentum operátora; az mpulzusmomentum felcserélés relácó Transzlácószmmetrkus potencálban nncs ero, ematt a teljes mpulzus megmarad. Forgásszmmetrkus potencálban nncs forgatónyomaték, ematt a teljes mpulzusmomentum megmarad. Klasszkus mechankában egy pontszeru test mpulzusmomentuma: ~L = ~r ~p. (9.1) Ismerjük ~r és ~p operátorát; ezeket a fent formulába beírva, megkapjuk egy részecske mpulzusmomentumának kvantummechanka operátorát. Általában a hely és mpulzus operátora nem felcserélheto k, ezért meg kellene küzdenünk a helyes sorrend kderítésének problémájával, de ez magától 119

120 Impulzusmomentum a kvantummechankában megoldódk a vektorszorzat szerkezete matt: h L x = y p z z p y = y z z y h L y = z p x x p z = z x x z h L z = x p y y p x = x y y x h =, ϕ (9.2) hszen az egymásra mero leges koordnáta- és mpulzuskomponensek mndg felcserélheto k. A utolsó sorbel egyenlo ség levezetése a következo : hengerkoordnátákra áttérve, a ϕ változó a z tengely körül elfordulás szöge, x = r cos ϕ és y = r sn ϕ. Tekntsünk egy f (x, y) = f (r, ϕ) függvényt; ennek megváltozása a z tengely körül elforgatáskor f f x f y = + = x y f. (9.3) ϕ r x y ϕ r y x ϕ r y x Alapveto en fontos feladat az mpulzusmomentum-komponensek kommutátoranak kszámítása. Természetesen most s abból ndulunk k, hogy [ p k, r l ] = (h /) δkl ; [r k, r l ] = [ p k, p l ] = 0, ahol (k, l) = x, y, z. Fogjunk hozzá! [L x, L y ] = [yˆ p z z p y, z p x x p z ] = (yˆ p x x p y ) [pz, z] (nyolc tagból négy kesett) = L z (h /). A végeredmény, cklkusan permutálva az ndexek között: [L x, L y ] = h L z [L y, L z ] = h L x (9.4) [L z, L x ] = h L y, am tömören így s írható: [L j, L k ] = ε jkl h L l, (9.5) ahol a teljesen antszmmetrkus tenzor ε jkl = ±1 aszernt, hogy ( j, k, l) páros vagy páratlan permutácója az x, y, z ndexeknek, és ε jkl = 0, ha két vagy mndhárom ndexe megegyezk. Azt kaptuk tehát, hogy az mpulzusmomentum komponense általában nem felcserélheto k; ahogy már a 7.6. pontban megbeszéltük, ez abból ered,

121 9.2. Schrödnger-egyenlet hengerszmmetrkus potencállal 121 hogy a különbözo tengelyek körül elforgatások sem felcserélheto k, eredményük függ az elvégzés sorrendjéto l. Az tt levezetett felcserélés relácók ezt a geometra tartalmat tükrözk, és függetlenek az adott fzka levezetésto l. Ez azért fontos, mert a felcserélés relácókon keresztül juthatunk el majd a pályamozgás nélkül perdület: a spn megértéséhez. Következo feladatunk az L 2 L 2x + L 2y + L 2z operátor kommutátoranak kszámolása. Nézzük pl. ezt: [L 2x, L z ] = [L x L x, L z ]. Az eredményt úgy kapjuk meg, ha L z -t két lépésben a jobbszélro l átvsszük a balszélre, és mnden lépésben hozzáadjuk a megfelelo kommutátort. Ilyen lépéseket végrehajtva kapjuk meg a fontos végeredményt: [L 2, L x ] = [L 2, L y ] = [L 2, L z ] = 0. (9.6) Az mpulzusmomentum négyzetének operátora tehát az mpulzusmomentum vektoroperátorának mnden komponensével, mnden vetületével felcserélheto, de a komponensek egymás között nem. Az mpulzusmomentumról tanultakat különbözo mértékben forgásszmmetrkus Schrödnger-egyenletek megoldásánál szeretnénk hasznosítan, olyan alakban keresve az energasajátfüggvényeket, hogy azok mndjárt a megfelelo forgás untér operátorának, tehát a megfelelo mpulzusmomentumoperátoroknak s sajátfüggvénye legyenek. A fent eredményekbo l az következk, hogy nem kaphatunk meg mndent: az mpulzusmomentum mndhárom komponensének közös sajátfüggvénye általában nem léteznek; a legtöbb, am elérheto : L 2 és egy önkényesen választott komponens, többnyre L z közös sajátfüggvényeként keressük a Schrödnger-egyenlet megoldásat. Az elo zo hosszú mondat közepén nem véletlenül volt ott az általában szó. Van egy kvétel: a teljesen gömbszmmetrkus hullámfüggvény mndhárom mpulzusmomentum komponensnek 0 sajátértékhez tartozó, közös sajátfüggvénye. Nncs baj a felcserélés relácókkal; lyenkor a jobboldalon s 0 áll Schrödnger-egyenlet hengerszmmetrkus potencállal: a Bohr-féle kvantumfeltétel Keressük az do független Schrödnger-egyenlet megoldásat olyan potencáls energa jelenlétében, amely a z tengely körül elforgatással nem változk, vagys hengerszmmetrkus.1 Ilyenkor célszeru az x, y, z derékszögu koordnátákról áttérn az r, z, ϕ hengerkoordnátákra; a hengerszmmetra azt jelent, hogy a potencál a szögkoordnátától nem függ, tehát V (r, z) alakban 1 Ugyanezt a fogalmat jelent a párhuzamosan létezo tengelyszmmetrkus szó s

122 Impulzusmomentum a kvantummechankában írható. Persze lyenkor a Schrödnger-egyenlet knetkus energa tagjában szereplo Laplace-operátort s át kell írn hengerkoordnátákba: a megoldandó parcáls dfferencálegyenlet 2 h r V (r, z) φ(r, z, ϕ) = E φ(r, z, ϕ). 2M z2 r r r r ϕ (9.7) (a tömeget mostantól M-mel jelöljük, mert m egy mpulzusmomentumhoz kapcsolódó kvantumszám szerepét kapja meg). Vegyük észre, hogy a baloldalon szereplo szög szernt dervált az mpulzusmomentum operátorával van közvetlen kapcsolatban: 2 / ϕ2 = h 2 L 2z. Ezért a fent egyenlet így s írható: 2 L 2z h r +V (r, z) + φ(r, z, ϕ) = E φ(r, z, ϕ). 2M z2 r r r 2M r2 (9.8) A potencáls energára emlékezteto, de az mpulzusmomentumtól függo (Lz )2 /(2M r2 ) tagról könnyu belátn, hogy ez a centrfugáls ero potencálja, ha ezt az ero t nem a rosszul defnált sebesség függvényeként, hanem a megmaradás által élesen meghatározott mpulzusmomentum függvényében, (Lz )2 /Mr3 alakban adjuk meg. A (9.8) alakról már nylvánvaló, hogy L z megmaradó mennység: am a szögletes zárójelben részletezett H -operátorból nem L z függvénye, az ϕ-to l nem függ, és azért felcserélheto L z -vel. Ematt H sajátfüggvényet lehet és célszeru s olyan alakban keresn, hogy mndjárt L z -nek s sajátfüggvénye legyenek. Mvel koordnáta-reprezentácóban L z = (h /) / ϕ, vagys ez az operátor a három koordnáta közül csak ϕ-re hat, egy háromváltozós hullámfüggvény csak akkor lehet sajátfüggvénye L z -nek, ha ϕ-függése szeparálódk, vagys szorzatalakba válk szét: φ(r, z, ϕ) = g(ϕ) f (r, z), (9.9) ahol g(ϕ) sajátfüggvénye L z -nek, f (r, z) pedg L z alatt konstans szorzóként vselkedk. Keressük meg L z sajátértéket és sajátfüggvényet! h dg(ϕ) = λz g(ϕ). dϕ (9.10) Ennek a dfferencálegyenletnek bármlyen λz érték mellett van megoldása: g(ϕ) = e h λz ϕ. (9.11)

123 9.3. Schrödnger-egyenlet centráls ero térben 123 Az L z operátor λz sajátértékekét a határfeltételek választják k; szögkoordnátáról lévén szó, a határfeltétel az a követelmény, hogy a függvény egyértéku, vagys 2π szernt perodkus legyen. Ez csak akkor teljesül, ha λz /h = m egész szám (negatív vagy 0 s lehet), vagys L z sajátértéke: λz = m h ; m =..., 2, 1, 0, 1, 2,... (9.12) Vegyük észre, hogy ez éppen a Bohr-féle kvantumfeltétel, a levezetés pedg lényegében a de Brogle-féle meggondolás, a hengerszmmetrkus Schrödnger-egyenletre alkalmazva. A megfelelo sajátfüggvény: gm (ϕ) = e m ϕ. (9.13) Vsszatérve a (9.8) teljes Schrödnger-egyenletre, a hengerszmmetrából annyt nyertünk, hogy Lz megmaradása matt a különbözo m sajátértékekhez tartozó gm (ϕ) fm (r, z) szorzatalakú sajátfüggvényekre különálló egyenleteket kapunk, amelyekben L z helyett a megfelelo sajátérték, m h jelenk meg. Az egyenlet a szögfüggo tényezo vel egyszerusítheto, és három helyett két változós, tehát könnyebben megoldható egyenletünk marad: (m h )2 +V (r, z) + fm (r, z) = E fm (r, z). 2M r2 (9.14) Ez az egyenlet tartalmazza az mpulzusmomentumtól függo centrfugáls potencált. Megoldásának tovább menete a V (r, z) hengerszmmetrkus potencál részleteto l és az fm (r, z) radáls-axáls hullámfüggvényre vonatkozó tovább határfeltételekto l függ. h 2 2M r z2 r r r Schrödnger-egyenlet centráls ero térben: az energasajátfüggvények szögfüggése Áttérünk a gömbszmmetrkus V (r) potencál és a hozzá tartozó, az orgó felé mutató centráls ero tér esetére. Ilyen potencál hat a hdrogénatomban az elektronra; ez volt Schrödnger elso komoly ero próbája; ezzel kezdo dött a kvantummechanka dadalmenete. Gömbszmmetrkus esetben a teljes mpulzusmomentum megmarad; ennek megfelelo en a szögfüggés sokkal gazdagabb változatosságot mutat, mnt a hengerszmmetra esetén. Ebben a változatosságban vszont nem kell kézmunkára hagyatkoznunk, hanem használhatjuk a gömbfüggvények jól smert

124 Impulzusmomentum a kvantummechankában matematka eszköztárát.2 Elo ször ezzel a kapcsolódással kell megsmerkednünk. Természetesen most a Schrödnger-egyenletet gömb koordnátákban írjuk fel:3 h r + 2 ϕ,ϑ +V (r) φ(r, ϕ, ϑ) = E φ(r, ϕ, ϑ), (9.15) 2M r r2 r ahol bevezettük a szög szernt Laplace-operátort : ϕ,ϑ := sn ϑ +. sn ϑ ϑ ϑ sn2 ϑ ϕ2 (9.16) Nem véletlen, hanem a gömbszmmetra játszóterén való összetalálkozása jó fzkának a jó matematkával, hogy most s ugyanolyan szerencsénk van, mnt a hengerszmmetra esetében: ha az L 2 operátort türelmes helyettesítések sorával átírjuk gömb koordnátákba, kderül, hogy L 2 = h 2 ϕ,ϑ, (9.17) úgy, hogy mndaz, amt a szög szernt Laplace-operátor sajátfüggvényero l és sajátértékero l tudunk, egy szempllantás alatt kvantummechanka tudássá válk.4 Ez pedg nem kevés; álljon tt egy mnmáls felsorolás: jól smerjük az Yl,m (ϕ, ϑ) = Nl,m emϕ Plm (cos ϑ) gömbfüggvényeket, ahol az s 2l + 1 (l m )! ( 1)m, ha m 0, Nl,m = 1, ha m < 0 4π (l + m )! (9.18) (9.19) normálás tényezo bztosítja az Z Yl,m (ϕ, ϑ) Yl,m (ϕ, ϑ) dω = δll δmm (9.20) 2 Ez az elmélet fzkában szokásos hozzáállás; jobb elo bb megszokn, mnt késo bb. Ak az elektrodnamkából [14] nemcsak a Maxwell-egyenleteket smer, de az alkalmazások sokaságán s átrágta magát, annak mndez nem lesz új. 3 Ez nem a legszokásosabb írásmódja a Laplace-operátor radáls részének, de gaz, ha fgyelembe vesszük, hogy a derválás mndenre hat, am to le jobbra van, beleértve a hullámfüggvényt s. 4 Matematkus barátam kedvéért nem írtam válk helyett azt, hogy nemesül.

125 Schrödnger-egyenlet centráls ero térben ortonormálás relácót, amelyben dω a teljes térszögre való ntegrálást jelent. A (9.18) formulában Plm az asszocált Legendre-polnom : R Plm (cos ϑ) = (sn ϑ) m m Pl (cos ϑ), (cos ϑ) m (9.21) végül Pl (y) az l-edfokú (l = 0, 1, 2,...) Legendre-polnom, az ortogonáls polnomok népes családjának legegyszerubb tagja, a következo normálással: Z 1 1 Pl (y) Pl (y)dy = 2 δll. 2l + 1 (9.22) Az l-edfokú polnom m -edk derváltja matt Plm csak addg nem 0, ameddg m l, vagys m = l, l + 1,... l 1, l. A kulcseredmény pedg, amely mndezt a gömbölyu tárgyak, köztük a hdrogénatom kvantummechankájához kapcsolja, a következo : ϕ,ϑ Yl,m (ϕ, ϑ) = l(l + 1) Yl,m (ϕ, ϑ) L 2 Yl,m (ϕ, ϑ) = l(l + 1) h 2 Yl,m (ϕ, ϑ); Yl,m (ϕ, ϑ) = m Yl,m (ϕ, ϑ) ϕ L z Yl,m (ϕ, ϑ) = m h Yl,m (ϕ, ϑ) (9.23) (a másodk tulajdonság ránézésre s látható trvaltás, de fzkalag fontos). Foglaljuk össze szavakban s: az Yl,m gömbfüggvények sajátfüggvénye az mpulzusmomentum nagyságát méro L 2 operátornak, l(l + 1)h 2 sajátértékkel; az ezt ndexelo l szám neve: mellékkvantumszám; az mpulzusmomentum vektornak egy önkényesen választott z rányra való vetületét méro L z operátornak, m h sajátértékkel; m neve mágneses kvantumszám. Az azonos l-hez, de különbözo m-hez tartozó energasajátállapotok elfajultak (energasajátértékük megegyezk) a gömbszmmetra matt, amely megtltja, hogy valam egy önkényes ránytól függjön; külso mágneses térben, amely vszont kjelöl egy rányt a térben, az elfajulás megszunk, az energaszntek szétválnak. Ezt hívjuk Zeeman-effektusnak; részletesebben lásd a pontban. Az, hogy az q mpulzusmomentum maxmáls vetülete, h l rövdebb, mnt a vektor hossza, h 2 l(l + 1), a kvantummechanka egyk kora meglepetése

126 Impulzusmomentum a kvantummechankában volt. Úgy szokás értelmezn, hogy a vektor nem állhat teljesen párhuzamosan a z tengellyel, hszen akkor mndhárom komponense teljesen határozott lenne, ellentétben a felcserélés relácókkal. Használjuk fel, amt kaptunk! Szeparáljuk a hullámfüggvényt egy szögfüggo mpulzusmomentum-sajátfüggvény és egy radáls hullámfüggvény szorzatára: φ(r, ϕ, ϑ) = Yl,m (ϕ, ϑ) Rl (r). (9.24) Ezt behelyettesítve a (9.15) egyenletbe és felhasználva a (9.17), (9.23) eredményeket, a Schrödnger-egyenlet szétválk a megmaradó mpulzusmomentum l, m kvantumszáma szernt sajátfüggvényekre; a szögfüggo tényezo vel egyszerusítve, megkapjuk a radáls Schrödnger-egyenletet: h h 2 l(l + 1) r + + V (r) Rl (r) = E Rl (r), 2M r r2 2Mr2 (9.25) ahol felsmerhetjük a hengerszmmetrkus esetben már megsmert centrfugáls potencált, a gömbszmmetrának megfelelo mpulzusmomentum-sajátértékkel. A radáls Schrödnger-egyenlet megoldása a V (r) potencál részleteto l és a radáls hullámfüggvényre vonatkozó határfeltételekto l függnek. A hdrogénatom konkrét példáját a következo fejezet mutatja be. Nem felületesség, hanem roppant fontos körülmény, hogy a radáls hullámfüggvényt nem Rl,m (r), hanem egyetlen ndexto l függo Rl (r) alakba írtuk. Ez fzkalag ndokolt elo relátása volt annak a ténynek, hogy a (9.25) egyenletben az L z -re utaló m mágneses kvantumszám nem jelenk meg; a centrfugáls potencál csak az L 2 -hez tartozó l mellékkvantumszámot tartalmazza. Ennek oka, amnt már említettük, a gömbszmmetra: az energasajátértékek nem s függhetnek az mpulzusmomentum vektorának rányától, csak az abszolút értékéto l Szmmetra és szmmetrasértés: partás; mágneses kvantumszám kontra propellerek és dálák Ismerkedjünk a gömbfüggvények természetrajzával! Elo ször ntézzük el a (9.18) függvények vselkedését a gömb középpontjára való tükrözéskor. Három dmenzóban, derékszögu koordnátákban ez mndhárom koordnáta elo jelváltását, gömb koordnátákban pedg a ϑ π ϑ; ϕ ϕ+π (9.26)

127 Szmmetra és szmmetrasértés helyettesítést jelent. Ilyenkor a következo változások történnek a gömbfüggvények tényezo ben: emϕ emϕ ( 1) m ; cos(ϑ) cos(ϑ) (9.27) Pl,m (cos ϑ) Pl,m (cos ϑ) ( 1) l m. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy tértükrözéskor Yl,m (ϑ, ϕ) Yl,m (ϑ, ϕ) ( 1)l, (9.28) vagys a gömbfüggvények partását egyedül az l kvantumszám párossága határozza meg. Ez az eredmény fontos lesz a kválasztás szabályok tárgyalásában (lásd a pont végén). Az l = 0, teljesen gömbszmmetrkus Y0,0 1/ 4π hullámfüggvényeket hagyományosan s-pályáknak nevezzük,5 az l = 1-eseket p-pályáknak6, az l = 2-eseket d-pályáknak 7. A legegyszerubb nemtrváls példát a p-pályák jelentk: r 3 Y1,0 (ϕ, ϑ) = cos ϑ pz (ϕ, ϑ), 4π (9.29) r 3 ±ϕ Y1,±1 (ϕ, ϑ) = e sn ϑ. 8π Az elso nek tényleg propellerformája van, a másodkoknak nkább úszógum. A két utóbbból azonban könnyu valós lneárs kombnácókat készíten, amelyek már propellerek: r Y1, 1 Y1,1 3 = sn ϑ cos ϕ px (ϕ, ϑ); 4π 2 (9.30) r Y1, 1 +Y1,1 3 = sn ϑ sn ϕ py (ϕ, ϑ). 4π 2 Könnyu belátn, hogy a (9.29) egyenletbel három függvényt tetszo leges komplex együtthatókkal lneárkombnálva, tetszo leges térbel rányba mutató pskótát lehet kkevern. 5 Ál-szófejtés szernt szférkus, de az elnevezés olyan rég, hogy akkor még nem s tudták, hogy ezek szférkusak. 6 Marx György szernt propeller vagy pskóta. 7 dála

128 Impulzusmomentum a kvantummechankában Nagyobb l mpulzusmomentumú pályák valós kombnácóban hasznos elgazodást teremt, hogy általában l csomófelület szabdalja szögfüggésüket poztív és negatív tartományokra. A komplex bázsfüggvényekre (L z sajátfüggvényekre) ez a geometra számlálás nem muködk. Amíg érntetlen a gömbszmmetra, mndegy, hogy mlyen lneársan független kombnácókat használunk bázsfüggvényekként. Ahogy valam külso hatás perturbácó megszuntet a szgorú gömbszmmetrát, a célszeru bázsfüggvények azok, amelyek a perturbácó szmmetrájához gazodnak: z rányú mágneses térben8 a (9.29) komplex hullámfüggvények írják le kfejezo en a Zeeman-effektust: bennük különbözo köráramok folynak, különbözo mágneses momentummal, így a mágneses térben különbözo energasajátállapotokká válnak; ha az atom vagy on egy krstályba épül be, ott a gömbszmmetrától eltéro lokáls elektromos terek hatnak rá; az l = 1-es pskóták vagy a nagyobb l-hez tartozó, czelláltabb töltéseloszlású valós kombnácók be tudnak álln az elektromos vonzás rányokba, így találva rá az energasajátállapotokra. Ilyen állapotokban nem folyk köráram; a pályamozgáshoz tartozó Zeeman-effektus kfagy. Ezt jól smerk a mágneses rezonancával foglalkozók: krstályban az elektronnak csak a spnje ad rezonancajelet, a pályája nem; ezért s az a módszer neve, hogy ESR (elektron spn rezonanca). Említésre érdemes még a (9.21) függvényben a sn ϑ m tényezo : nagy m a z tengely körül gyors pörgésnek felel meg, lyenkor a centrfugáls ero a tengelyre mero leges egyenlíto síkba húzza a hullámfüggvényt; ezt láthatjuk sn ϑ m szögfüggésén, amely nagy m -re ϑ π/2 körül kcsúcsosodk Az mpulzusmomentum spektruma és mátrxeleme Mndazt, amt a gömbfüggvények tulajdonságan keresztül megtudtunk az mpulzusmomentumról, megtudhatjuk dfferencálegyenletek és specáls függvények nélkül s, tsztán algebra úton: a felcserélés relácókból levezetett algebra egyenletek megoldásával. Az algebra út olyat s ad, amre a gömbfüggvények képtelenek: betekntést a spn fzkájába. Itt az deje, hogy megsmerjük ezt a módszert. Megelo legezve a részecskék belso mpulzusmomentumának, a spnnek a létezését, tartsuk fenn az L jelölést a mozgásból eredo pálya-mpulzusmomentumra, az S jelölést a spnre, és a mndezekbo l összetevo do, teljes m8 Nem a mágneses tér tudja, hogy nek z rányúnak kell lenne, hanem m forgatjuk a mágneses tér rányába a z-tengelyt.

129 Az mpulzusmomentum spektruma és mátrxeleme ˆ pulzusmomentum operátorát jelöljük J-vel. Ennek legáltalánosabb defnícója, hogy o a forgás untér transzformácójának generátora: ~u egységvektorú tengely körül α szögu forgásnál k kell számítan a tengelyre való vetület Jˆ~u operátorát, és az elfordulás untér operátora R ~u (α) = e h α J~u. ˆ (9.31) Mvel az egymás után, különbözo tengelyek körül forgások geometrája teljesen meghatározza a Jˆ operátorok felcserélés relácót, most s gaz lesz, hogy [Jˆx, Jˆy ] = h Jˆz [Jˆy, Jˆz ] = h Jˆx [Jˆz, Jˆx ] = h Jˆy, (9.32) ahonnan most s következk, hogy a Jˆ 2 = Jˆx 2 + Jˆy 2 + Jˆz 2 operátor felcserélheto Jˆ mndhárom vektorkomponensével. A játszma most s az lesz, hogy keressük az önadjungált Jˆ 2 és Jˆz operátorok közös λ, m normált sajátvektorat és sajátértéket: Jˆ 2 λ, m = h 2 λ λ, m, Jˆz λ, m = h m λ, m. (9.33) A spektrum algebra feltárásához vezessük be a Jˆ± := Jˆx ± Jˆy Jˆ = (Jˆ+ ) (9.34) lépteto operátorokat, amelyek hasonló szerepet játszanak az analízsben, mnt a kelto és eltünteto operátorok a harmonkus oszcllátor esetén: az m kvantumszámot léptetk m ± 1-re. Ez a lépteto tulajdonság a [Jˆz, Jˆ± ] = ±h J± ; [Jˆ2, Jˆ± ] = 0 (9.35) felcserélés relácókon alapul, amelyek (9.32) közvetlen következménye; ezek alkalmazásával kapjuk, hogy Jˆz Jˆ± λ, m = h (m ± 1) Jˆ± λ, m, (9.36) vagys Jˆ± λ, m λ, m ± 1. Ez még csak arányosság: a kapott vektor nem normált. A korrekt normáláshoz még egy operátor-relácót kell levezetnünk: a (9.34) defncóból és a (9.32) felcserélés relácókból következk, hogy Jˆ± Jˆ = Jˆ 2 Jˆz 2 ± h Jˆz. (9.37)

130 Impulzusmomentum a kvantummechankában Ennek felhasználásával nduljunk k egy normált λ, m sajátvektorból, léptessük, majd normáljuk újra: Jˆ± λ, m 2 = hλ, m Jˆ Jˆ± λ, m = hλ, m Jˆ 2 Jˆz 2 h Jˆz λ, m = h 2 (λ m2 m) = h 2 (λ m(m ± 1)), (9.38) a helyesen normált léptetett sajátvektorok pedg: λ, m ± 1 = h p Jˆ± λ, m. λ m(m ± 1) (9.39) Jegyezzük meg, hogy a négyzetgyök elo jelét szabadon választhatjuk, so t még egy tetszo leges egységny abszolút értéku komplex számmal s megszorozhatjuk az eredményt, csak a késo bbekben tartanunk kell magunkat választásunkhoz. Eddg mnden automatkusan ment, de λ-ról még nem tudunk semmt. Most kell elkezdenünk gondolkozn. Mndenekelo tt, h 2 λ = hλ, m Jˆx 2 + Jˆy 2 + Jˆz 2 λ, m 0, mert mndhárom tagja külön s 0: pl. hλ, m Jˆx 2 λ, m = Jˆx λ, m 2, mvel Jˆx önadjungált. A jobboldal szemlátomást nem negatív. Nézzünk rá vszont a (9.38) formulára: a lépteto operátorok hatására m kezdet értékéto l egységny lépésekben megy felfelé és lefelé. m(m ± 1) elo bb-utóbb túlno λ értékén, és akkor a norma negatívba megy át, am lehetetlen. A sajátértékeket az választja k, hogy egy adott λ mellett a sajátvektorok generálása leálljon egy mmax maxmáls és egy mmn mnmáls értéknél, ahol mmax (mmax + 1) = λ, és mmn (mmn 1) = λ. A két feltétel akkor teljesülhet, ha mmax = mmn. Jelöljük ezt a közös értéket j-vel, ekkor λ = j( j + 1); m = j, j + 1, j + 2,..., j 2, j 1, j. (9.40) Most jön a csattanó: m-nek egész lépésekben kell eljutna j-to l + j-g, és ez két esetben lehetséges: ha j egész szám, vagy ha félegész! Az elso esetet jól smerjük a pálya-mpulzusmomentum elméletébo l, ekkor j = l = 0, 1, 2,.... Félegész értékek ott nem kerülnek elo, de a természet leleménye rátalált erre a leheto ségre s a spnhez kapcsolódó jelenségkörben. Ezzel foglalkozk a 12. fejezet. Írjuk le még a normált léptetett sajátvektorokat a λ sajátérték megtalált azonosításával: j, m ± 1 = Jˆ± j, m p. h j( j + 1) m(m ± 1) (9.41)

131 9.5. Az mpulzusmomentum spektruma és mátrxeleme Ebbo l leolvashatjuk a lépteto operátorok mátrxelemet: p j (Jˆ+ )m+1,m = h j( j + 1) m(m + 1); p j (Jˆ )m 1,m = h j( j + 1) m(m 1). 131 (9.42) Ezekbo l, mnt játékkockákból, felépíthetjük a Jˆx = (Jˆ+ + Jˆ )/2, Jˆy = (Jˆ+ Jˆ )/2 operátorok mátrxelemet s. Eredményenket a j = 21 esetre bo ségesen fogjuk használn a feles spn elméletében. A csoportelmélet szempontjából az egy-egy l mellékkvantumszámhoz tartozó, különbözo m mágneses kvantumszámú állapotok a forgáscsoport egyegy rreducbls ábrázolását feszítk k. A csoportelmélet módszerek gaz játéktere ott nyílk meg, ahol több részecske mpulzusmomentuma kombnálódnak egy összetett részecske, atom, molekula, atommag vagy krstály állapotanak bonyolult mpulzusmomentum-dzsungelévé, amelynek kísérlet adathalmazában a csoportelmélet jól kézreálló bozótvágó késként segít rendet teremten. Annak az eredménynek, hogy a (9.40) formulák szernt az mpulzusmomentum négyzetének sajátértéke h 2 j( j + 1) alakúak, ahol spn nélkül a j kvantumszám nemnegatív egész, van egy egyszeru alkalmazása: ebbo l következk, hogy egy Θ tehetetlenség nyomatékú merev test (rotátor) forgás energája h 2 j( j + 1)/2Θ alakban kvantálódk. Ezt az egyszeru modellt kterjedten alkalmazzák a molekulák rotácós színképének értelmezésénél.

132

133 10. fejezet A hdrogénatom A hdrogénatom kötött staconárus állapotanak és energasajátértékenek meghatározása volt a Schrödnger által megoldott elso nemtrváls feladatok egyke. Akárcsak a harmonkus oszcllátor 5.6. pontban leírt megoldása, ez s a Sommerfeld-féle polnom-módszeren alapul, és ero sít azt az érzésünket, hogy a specáls függvények alaposabb smeretéto l az ember jobb elmélet fzkussá válk. Schrödnger erre a felsmerésre nem magától jutott el: vele egy ntézetben, egy folyosón volt a szobája a nagy matematkus Hermann Weylnek; to le kért és kapott segítséget a hdrogénatom egyenletének megoldásához. A megoldás smertetésében ndulhattunk volna a nulláról s, de az mpulzusmomentum azóta kfejlo dött elmélete mélyen bevlágított az elso lépések a megoldás szögfüggésének feltárása fzka értelmébe, úgy hogy kár lett volna enélkül, a parcáls dfferencálegyenletek puszta gyakorlófeladataként bemutatn a számítást. Így vszont mostanra már csak egy egyváltozós közönséges dfferencálegyenlet, az elo zo fejezetben levezetett radáls egyenlet megoldása maradt hátra A radáls Schrödnger-egyenlet megoldása Coulomb-potencálra Tekntsük a protont rögzített ponttöltésnek,1 és nduljunk k az általa létrehozott Coulomb-potencálban mozgó elektron radáls Schrödnger-egyenletébo l: (9.25) szernt h 2 1 d 2 h 2 l(l + 1) e2 r + Rl (r) = E Rl (r), 2M r dr2 2Mr2 4π ε0 r (10.1) 1 A proton mozgásának fgyelembevétele nem trváls, de nem s nehéz, lásd a ponttban. 133

134 A hdrogénatom ahol e az elem töltés, és ε0 a vákuum delektromos állandója. Vegyük észre, hogy az egyenletet megszorozva r-rel és bevezetve az r R(r) =: u(r) (10.2) jelölést, erre a függvényre közönséges egydmenzós Schrödnger-egyenletet kapunk: 2 h 2 h l(l + 1) e2 u (r) + E u(r) = 0. (10.3) 2M 2Mr2 4π ε0 r Dmenzótlanítsuk ezt az egyenletet! A benne szereplo fzka állandókból alkothatunk egy hosszúságdmenzójú kombnácót, ez az (1.9) egyenletben bevezetett rb Bohr-sugár, és egy energadmenzójú kombnácót, ez az (1.10) egyenletben bevezetett Ry Rydberg-állandó. Vezessük be a ρ = r/rb dmenzótlan távolságot és az ε = E/Ry dmenzótlan energát! Ezzel az egyenlet unverzáls alakot ölt: d2 u l(l + 1) ε u = 0. (10.4) dρ ρ2 ρ Ennek az egyenletnek megfelelo határfeltételekkel való megoldása adja meg az ε dmenzótlan energa kötött állapotoknak megfelelo sajátértéket. Vsszaemlékezve az 1. fejezetben megsmert Rydberg-formulára, ha 1/n2 jön k, akkor nyert ügyünk van. Melyek a megfelelo határfeltételek? ρ -re nylvánvalóan az u 0 feltételt kell kkötn, különben a hullámfüggvény nem lesz normálható (négyzetesen ntegrálható). Bonyolultabb a ρ 0 határ kérdése, mert ott a normálás nem ad elég támpontot: ha u(ρ) a 6 =0, akkor az orgó körül R(ρ) u(ρ)/ρ a/ρ. Ez bár végtelenhez tart, de négyzetesen ntegrálható. Mégsem jó, mert (1/ρ) = 4π δ(~ρ) ( a ponttöltés potencálja ), így az orgóban nem elégít k a Schrödnger-egyenletet. Ematt a krovandó feltétel a ρ 0 határon s u 0. A (10.4) egyenletben ρ esetén a zárójelben a ε tag domnál; az ennek p megfelelo aszmptotkus megoldás exp(±αρ) alakú, ahol α = ε = ε (a négyzetgyök poztív értéke). A négyzetes ntegrálhatóságot a két elo jel közül a lecsengo exponencáls, exp( αρ) bztosítja. Véges ρ-ra az aszmptotkus alakot korrgáln kell: u(ρ) = e αρ (as ρs + as+1 ρs ) (10.5) A megoldás tovább menete s követ a harmonkus oszcllátorra az 5.6. pontban leírt gondolatmenetet. A fent próbafüggvényt behelyettesítve a

135 10.1. A radáls Schrödnger-egyenlet megoldása Coulomb-potencálra 135 (10.4) egyenletbe, a zárójelben levo hatványsor együtthatóra rekurzós formulát kapunk: 2 (α k 1) ak+1 = ak. (10.6) k(k + 1) l(l + 1) Ha k, akkor az terácós összefüggés így egyszerusödk le: k ak+1 = [2α/(r + 1)]ak, amnek megoldása ak (2α) /k!, am éppen exp(+2αρ) hatványsora. Ez elrontja az optmsta módon posztulált exp( αρ) lecsengést, kvéve ha valamlyen k = n értéknél elvágjuk az terácót. Ehhez az kell, hogy teljesüljön α n 1 = 0, vagys α = ε = 1, n (10.7) (10.8) ambo l 1 Ry En = 2. (10.9) n2 n Erre vártunk: megkaptuk a Rydberg-formulát! A benne szereplo n = 1, 2,... szám neve: fo kvantumszám. Ha rászántunk egy pllanatot a meghatódásra, folytassuk a radáls hullámfüggvény megsmerésével. Egyelo re annyt tudunk, hogy ε = εn = u(ρ) = e α ρ (as ρs an ρn ). (10.10) Szerepel benne egy mnmáls s ktevo, amt a ρ 0 körül határfeltételbo l kell ktaláln. Ott l 6 =0 esetén a (10.4) egyenletben a legalacsonyabb fokú, ρs 2 tagok domnálnak; az o együtthatókból az adódk, hogy s(s 1) = l(l + 1). (10.11) Ez s-re másodfokú egyenlet, két megoldással: s = l + 1 és s = l. Az elso a jó; a másodk nem elégít k a határfeltételt ρ 0-nál. Foglaljuk össze az eredményt, most már a teljes R(ρ) = u(ρ)/ρ radáls hullámfüggvényre:, a normálás faktortól eltekntve, amt tt nem fogunk meghatározn, R(ρ) = e ρ/n (al ρl + al+1 ρl an 1 ρn 1 ). (10.12) Egy valamt ránézésre s leolvashatunk az eredménybo l: adott n fo kvantumszám mellett az l mellékkvantumszám maxmáls értéke n 1. Másrészro l l mnt az mpulzusmomentum nagyságát méro kvantumszám (L 2 sajátértéke: h 2 l(l + 1) ) legksebb értéke l = 0, így lehetséges értéke: l =

136 A hdrogénatom 0, 1,..., n 1. Ezek mndegykéhez az m mágneses kvantumszámnak m = l-to l +l-g 2l + 1 különbözo értéke tartozk. Ez összesen n 1 (2l + 1) = n2 (10.13) l=0 ortonormált energasajátállapotot jelent, amelyek mndegykének energája Ry/n2. A 12. fejezetben látn fogjuk, hogy ez a szám még az elektron feles spnje matt megketto zo dk, tehát a hdrogénatom mnden energasajátértéke 2 n2 -szeresen elfajult. Ez az optka spektrumban néhány tucat állapotot jelent, de a mkrohullámú spektrumban, ahol n 50 körül fo kvantumszámok között átmeneteket látunk, többezerszeres elfajulás nehezít a kvantumállapotok pontos beazonosítását, ll. pontos preparálását. Az elfajulást többnyre szmmetra okozza. Itt az adott l-hez tartozó különbözo m-ek között elfajulást már többször megbeszéltük: ez a forgásszmmetra következménye: m az mpulzusmomentum-vektor különbözo rányú beállásat ndexel, ezek között pedg centráls (gömbszmmetrkus) potencál esetén nem lehet energában különbség. Másképpen áll a dolog az adott n-hez tartozó különbözo l-ek között elfajulással. Ehhez nem tartozk nylvánvaló fzka szmmetra, mondhatjuk véletlen elfajulásnak s, amely csak a radáls potencál specáls alakjára (az 1/r Coulomb-potencálra, és még a gömbszmmetrkus harmonkus oszcllátor r2 -es potencáljára s) teljesül. Valóban, a hdrogénto l eltéro atomok spektrumában, ahol az elektronfelho töltéseloszlása matt a Coulomb-ero k potencálja nem 1/r alakú, az azonos n-hez tartozó, de különbözo l mellékkvantumszámú állapotok energá jelento sen különválnak. A hdrogénatom precíz 1/r-es potencáljában fellépo elfajulás mögé lehet azért találn, ha nem s fzka, de matematka szmmetrát: a (10.4) egyenlet egy meghatározott változótranszformácóval önmagába megy át; ennek tulajdonítható az l szernt elfajulás, amely tehát nnen nézve nem s annyra véletlen. Érdemes hangsúlyozn, hogy pl. egy l értékhez nem 2l + 1, hanem végtelen sok, so t, kontnuum számosságú különbözo kvantumállapot tartozk, hszen a különbözo szuperpozícók együtthatót folytonosan változtathatjuk. Amt a fentekben és más hasonló esetekben össze lehet számoln, az egy bázs dmenzószáma: a Hlbert-tér egy alterében található lneársan független vektorok célszeruen: ortonormált bázsvektorok száma. Jegyezzük meg még, hogy a már emlegetett mkrohullámú spektroszkópában bonyolultabb atomoknak s megjelennek olyan magasan gerjesztett hdrogénszeru állapota, amelyekben egyetlen elektron emelkedk k magasan a poztív ontörzs fölé, amely a több elektronokból és a magból áll. A

137 10.1. A radáls Schrödnger-egyenlet megoldása Coulomb-potencálra 137 kemelkedo elektron az ontörzset a magasból majdnem pontszerunek látja, és ematt a spektruma s közel áll a hdrogénatom Rydberg-spektrumához. Ezeket az ún. Rydberg-atomokat az utóbb évtzedben elo szeretettel használták a kvantummechanka alapkérdésere és nformatka alkalmazásara rányuló kísérleteknél.

138

139 11. fejezet Mozgás mágneses térben Melo tt a pálya-mpulzusmomentumról (9.1. pont) és az mpulzusmomentum általános elméletéro l (9.5. pont) továbblépnénk a részecskék belso mpulzusmomentuma: a spn megsmerése felé, közelebb smeretséget kell kötnünk azzal a jelenségkörrel, amely a spn felfedezését leheto vé tette: a töltött részecskékre ható mágneses mezo hatásaról kell beszélnünk. A mágneses mezo ben mozgó töltött részecskék dnamkája szép, érdekes és fontos fejezete a kvantummechankának, amely a régóta smert Zeeman és Stern Gerlach-effektus, valamnt a neutronspnnel kapcsolatos látványos nterferencaeffektusok mellett az utóbb do ben a szlárdtestfzka számos jelenségében kapott dönto szerepet. Különösen zgalmas fejlemény az Aharonov Bohm-effektus, amely a mágneses vektorpotencál kvantummechanka szerepét helyezte új megvlágításba. Ez a fejezet olyan jelenségekro l szól, amelyekben a mágneses vektorpotencált klasszkus külso ero térnek teknthetjük. Az eddgekbo l már megtanultuk, hogy ez akkor megengedheto, ha az elektromágneses tér magasan gerjesztett, koherens állapotban van. Kísérletenkben ez ngyen hull az ölünkbe: az ero s mágnesek éppen lyen állapotot hoznak létre, akár tudunk róla, akár nem Töltött részecske Lagrange-függvénye és Hamlton-operátora mágneses mezo jelenlétében A Lorentz-ero mero leges a sebességre, ematt nem végez munkát: ezen az úton nem lehet bevezetn mágneses energát. Hogy kerülnek be a mágneses hatások a Hamlton-operátorba? A választ már a Schrödnger-egyenlet bevezetésénél említettem: kétség esetén vssza kell menn a klasszkus mozgásegyenlethez azt smerjük: ott jelenk meg a Lorentz-ero. A mozgásegyenlethez meg kell konstruáln az Lagrange-függvényt, ebbo l megkapjuk az~r koordnátához konjugált L (~r,~r) ~p = L / ~r mpulzust, végül a H = ~r ~p L Hamlton-függvényt. Ebben 139

140 Mozgás mágneses térben ~r-et és ~p-t a felcserélés relácót kelégíto operátorakkal helyettesítve, megkapjuk a Hamlton-operátort. A q töltésu, M tömegu pontszeru testre ható Lorentz-ero t reprodukáló Lagrange-függvényt smerjük a klasszkus elektrodnamkából: L = Mv2 q V (~r,t) + q~v ~A(~r,t), 2 (11.1) ahol ~A(~r,t) a vektorpotencál, amely a ~B(~r,t) mágneses ndukcót határozza meg a ~B = rot ~A ~ ~A összefüggésen keresztül. Egy adott ~B mágneses ndukcót különbözo ~A(~r) vektorpotencálokból lehet származtatn, amelyek egymásba egy mértéktranszformácóval vheto k át (lásd alább, a pontban). A Lagrange-függvénybo l a kanonkus mpulzus ~p = L = M~v + q ~A, ~v (11.2) ~ 2 (~p qa) + q V (~r) 2M (11.3) a Hamlton-függvény pedg H = (az elso tag az Mv2 /2 knetkus energa; a vektorpotencál a sebesség kfejezésén keresztül jelenk meg). Írjuk le a (11.2) összefüggés nverzét s: ~v = H 1 ~ = (~p qa) ~p M (11.4) a sebesség, amelynek az a jelento sége, hogy vele arányos az elektromos áramsuruség, am a mágneses mezo forrása,1 vagys mágneses mezo jelenlétében o a megfgyelheto mennység, nem a kanonkus mpulzus. A kvantummechankára való áttérés úgy történk, hogy a fent formulákban a kanonkus mpulzusnak és a helyvektornak egy-egy operátort felelteˆ = (h /)1 felcserélés relácót. A tünk meg, amelyek kelégítk a [~pˆ, ~r] klasszkus Hamlton-függvénynek megfelelo Hamlton-operátort úgy kapjuk meg, hogy az összeg négyzetének kszámításánál mego rzzük a felcserélheˆ operátorok sorrendjét: tetlen ~pˆ és ~Aˆ = ~A(~r) H = 2 ~pˆ 2 q ˆ ~ˆ ˆ + q A 2 + qv, (~p A + ~Aˆ ~p) 2M 2M 2M (11.5) 1 Gondoljunk a ~ ~ = ~j Maxwell-egyenletre, amely a klasszkus fzka egyk legero sebb H pllérének, az Ampère-szabálynak matematka megfogalmazása.

141 11.1. Töltött részecske mágneses mezo jelenlétében 141 ˆ A sebesség operátorának felírásánál nncs gondunk a sorahol V = V (~r). renddel: 1 ˆ ˆ ~vˆ = (~p q~a); (11.6) M ennek megfelelo en a (7.22) áramoperátorban s ~pˆ helyett a ~pˆ q~aˆ kombná- có jelenk meg. A következo kben ~B = (0, 0, Bz ) mágneses ndukcójú homogén mágneses mezo re szorítkozunk. Egy lehetséges vektorpotencál-függvény, amely ezt szolgáltatja, ˆ ~Aˆ = 1 (~B ~r), (11.7) 2 amelynek komponense; Aˆ x = Bz y /2; A y = Bz x /2; A z = 0. (11.8) Ez kelégít a Coulomb-mértéknek nevezett ~ ~Aˆ = 0 feltételt. Ematt, mvel ~ egy konstans szorzótól eltekntve az mpulzus operátora, a Coulomb-mértékben elvégezhetjük a következo átalakítást (általában nem!): q ˆ ~ˆ ˆ = q ~Aˆ ~pˆ (~p A + ~Aˆ ~p) 2M M q ~ q ~ ˆ ˆ ˆ = q Bz L z. = (B ~r) ~pˆ = B (~r ~p) 2M 2M 2M (11.9) Itt már rásmerhetünk, hogy ez az egész tag egy µ z = γ L z nagyságú mágneses momentum potencáls energája a z rányú mágneses mezo ben, ahol γ := q/2m a gromágneses arány. Egy töltött részecske körmozgása, mnt köráram a klasszkus fzka szernt s mágneses momentumot kelt, éppen ekkora gromágneses aránnyal.2 Elektronra a gromágneses arány γel = Cb/Kg = Hz/Tesla. L z sajátértéke mh alakúak, ahol az m egész szám a mágneses kvantumszám. Ha m = 1 és Lz = h, az elektron pályamozgásához tartozó mágneses momentum nagysága µb = eh /2M J/Tesla, a Bohr magneton. Helyettesítsük be a kapott eredményt a Hamlton-operátorba: ~pˆ 2 µb e2 2 Hˆ = Bz L z + A + ev. 2 Me h 2Me (11.10) 2A klasszkus elektrodnamka szernt egy A területet befogó I köráram által létrehozott mágneses momentum µ = A I. Ha az áramot egy körpályán v/(2rπ) gyakorsággal körbejáró q töltés okozza, I = q v/(2rπ). Ekkor µ = r2 π q v/(2rπ) = qrmv/(2m) = (q/2m)l.

142 Mozgás mágneses térben Ez a Hamlton-operátor a Schrödnger-egyenleten keresztül jelenségek sokaságát írja le. Az elso és utolsó tagot már sokszor láttuk; tekntsük át a közbenso, mágneses hatásokat leíró tagokat! A másodk, Bz -ben lneárs tagot Zeeman-energának s nevezk. Homogén mágneses mezo ben ez az energa a dpólmomentumnak ~B rányára való vetületéto l, vagys Lz -to l függ, am a kvantummechanka szernt dszkrét m h értékeket vesz fel: l mellékkvantumszám esetén ez 2l + 1 különbözo energasajátértékhez vezet, am az atom színképvonalanak 2l + 1 közel színképvonalra való felhasadásában mutatkozk meg. Ezt nevezk Zeeman-effektusnak, és elso megfgyelése 1896-ban történt, jóval a kvantummechankára utaló felfedezések elo tt. Amennyben Bz nhomogén, a mágneses dpólus potencáls energája a hely függvénye, tehát az atomra ero hat; ez okozza a látványos Stern Gerlach-effektust (1922). Ilyenkor egy kályhában elpárologtatott anyag go zébo l blendék között kengedett éles atomnyaláb válk szét 2l + 1 ágra, amnt átröpül egy nhomogén mágnes pólusa között, hogy végül 2l + 1 foltot hagyjon az útjába tett üveglapon. A (11.10) egyenlet harmadk, A2 -es tagja a vektorpotencál (11.8) kfejezésének megfelelo en = (e2 /2M) B2z (x 2 + y 2 ). Itt az utolsó tényezo átlagának nagyságrendje atomokra a2b, ahol ab a Bohr-rádusz. Az ennek megfelelo energa csak 105 Tesla ero sségu mágneses térnél válk összemérheto vé az elo zo Zeeman-taggal. Mvel 1 Tesla már gen ero s mágnest jelent, ennek a tagnak a járuléka föld körülmények között rtkán jut szerephez, csak az atomok gyenge damágnességében fgyelheto meg. Asztrofzka körülmények között, pl. neutroncsllagokban elo fordul 105 Tesla nagyságrendu mágneses mezo. Fémekben azonban, ahol az elektronok az egész fémdarabot bejárják, a Bohr-rádusz helyébe a fémmnta makroszkopkus mérete kerül: a fémek damágnessége ero s effektus, markáns kvantummechanka tulajdonságokkal. Ezzel foglalkozunk a következo pontban. Végül vsszatérve a knduló (11.3) Hamlton-operátorhoz, egy meglepo tulajdonságot fedezhetünk fel: az mpulzust a mágneses vektorpotencállal összekapcsoló mértéknvarancát. Ennek szenteljük a fejezet utolsó pontját. A homogén mágneses térben mért Zeeman-effektus és az nhomogén térben megfgyelt Stern Gerlach-effektus azt a meglepo eredményt hozta, hogy a (11.10) Hamlton-operátor nem írja le helyesen a kísérleteket: a színképvonalak néha a mágneses tér bekapcsolásakor két vonallá hasadnak fel; ezt hívták elente anomáls Zeeman-effektusnak. Hasonlóan, a Stern Gerlachnyaláb két ágra válk szét. Ennek nem szabadna így lenne: ha az l pálya-

143 11.1. Töltött részecske mágneses mezo jelenlétében 143 mpulzusmomentum 0, nem lehetne sem felhasadás, sem szétválás; ha l = 1, annak háromféle beállása (m = 1, 0, 1) hármas felhasadást adna ábra. A Stern Gerlach-effektusban (1922) egy nhomogén mágnes pólusa között átrepülo ezüstatomok nyalábja kettéválk, és két foltot hagy az útjába tett üveglapon. Ha a mágnest elforgatjuk, a foltok vele forognak. Ez a feles spn legközvetlenebb kísérlet bzonyítéka. Uhlenbeck és Goudsmt (1925) jutott elo ször arra a gondolatra, hogy e furcsa jelenségek oka az elektron tengely körül pörgése lehet, amt o k neveztek el spnnek, és o k mondták k azt s, hogy ez olyan, mntha 2l +1 = 2 lenne, vagys a pörgésnek h /2 nagyságú mpulzusmomentum felelne meg. Hogy ezt hogyan s kell elképzeln anyaghullámok esetén, és m mnden következk belo le, annak szenteljük az egész következo fejezetet. Itt, egyetlen elektronra specalzálva, már csak annyt vllantunk fel, hogy mképpen változk meg a Hamlton-operátor a spnnel kapcsolatos tagok hozzáadásától. Ehhez azonban még valamt kell tudnunk: azt, hogy a spnhez tartozó gromágneses arány γel spn = e/m, am éppen kétszerese a pályamozgáshoz tartozónak,3 vagys az elektronspn h /2 mplzusmomentumához s µb mágneses momentum tartozk. Ezt az adatot már Ensten és De 3 Pontosabban: szor akkora; az eltérést a Drac-egyenleten túlmeno sugárzás korrekcók okozzák.

144 Mozgás mágneses térben Haas 1916-os kísérlete tartalmazta, akk egy torzós nga átmágnesezésekor fellépo perdületet mérték meg, de hogy a vártnál kétszerte nagyobb eredmény a spnnel kapcsolatos, az csak jóval késo bb derült k. Az elektronspn nagyságát a hozzá tartozó mágneses jelenségkörrel együtt pontosan leírja az elektron relatvsztkus kvantummechanka egyenlete, a Drac-egyenlet.4 Végül a spn hatásat s tartalmazó Hamlton-operátort lyen alakban kapjuk meg: ~pˆ 2 µb e2 2 ˆ (11.11) Hˆ = Bz (L z + 2Sˆz ) + A + ev + λ ~Lˆ ~S, 2 Me h 2Me ahol ~Sˆ a spnto l eredo mpulzusmomentum operátora. Az utolsó tagot kézzel tettük be az egyenletbe, a levezetésbo l nem következett. A neve: spn pálya kölcsönhatás. Ez relatvsztkus eredetu járulék az energához, amelynek létezése egy elektron esetén leolvasható a Drac egyenletbo l. Hatása a nehezebb atomok színképében jól látható; sokelektron rendszerekben, pl. félvezeto vékony rétegekben még jelento sebb effektusok okozója lehet. Kvaltatív magyarázata az, hogy az elektromos mezo ben mozgó elektron a maga mozgó koordnátarendszerében (ndukált) mágneses mezo t érez, am a spnre hat Szabad mozgás: a cklotron-pályák kvantálása, Landau-szntek A fémekben várható damágneses effektusok feltárását kezdjük azzal, hogy megoldjuk egyetlen elektron do független Schrödnger-egyenletét. Használva a (11.2) és (11.8) formulákat, az egyenlet a következo alakot ölt: M 2 (v + v y2 + v z2 ) ψ 2 x! q Bz q Bz 2 p x + y + p y x + p z ψ = E ψ, 2M 2 2 (11.12) ahol ~vˆ a (11.6) egyenletben defnált sebességoperátor. Áttérve a koordnátareprezentácóra, elo ször szabaduljunk meg az ártalmatlan p 2z operátortól, a hullámfüggvénybo l válasszuk le ennek sajátfüggvényét, az energából pedg a megfelelo knetkus energát: hx, y, z ψ Φ(x, y, z) = e(/h ) pz z f pz (x, y); E = 4A p2z + Ex,y, (11.13) 2M Drac-egyenletro l rövd áttekntést adunk a G. függelékben.

145 11.2. Szabad mozgás: a cklotron-pályák kvantálása, Landau-szntek 145 amvel az (x, y) síkbel mozgás kétdmenzós Schrödnger-egyenlete: 2 2! 1 q B q B z z Hˆ x,y f pz (x, y) p x + y + p y x f pz (x, y) 2M 2 2 = Ex,y f pz (x, y). (11.14) Hˆ x,y két olyan operátor négyzetösszege, amelyek kommutátora az egységoperátor valamlyen számmal megszorozva, így a megoldásra közvetlenül alkalmazhatjuk a harmonkus oszcllátorra a 8. fejezetben megsmert algebra módszert. A dmenzótlanítás eredménye: 1 Hˆ x,y = h ωc a a +, (11.15) 2 ahol q Bz (11.16) M a cklotron-frekvenca, a kelto és eltünteto operátorok defnícója pedg ωc = M aˆ = (v x + v y ); 2h Bz a = M (v x v y ). 2h Bz (11.17) A fent analízst Landau végezte el. A (11.15) Hamlton-operátor sajátértéket a harmonkus oszcllátor smeretében tovább számolás nélkül meg tudjuk mondan: 1 En = h ωc n + ; n = 0, 1, 2,... (11.18) 2 Ezeket az energasajátértékeket Landau-sznteknek nevezzük. Tszta fémekben, nagyon alacsony ho mérsékleten és ero s mágneses mezo ben, ahol az elektronok képesek a 2π/ωc do többszöröség szabadon, ütközés nélkül mozogn, a Landau-féle kvantálásnak sokféle jelét lehet megfgyeln, kezdve a damágneses szuszceptbltás oszcllácótól a mágneses térero sség függvényében (De Haas Van Alphen-effektus), a mágneses ellenállásváltozás és a Hall-feszültség oszcllácójág (kvantum Hall-effektus). A harmonkus oszcllátorra emlékezteto spektrum a négyzetösszegbo l eredo matematka véletlen. Itt a klasszkus határesetben körmozgásról van szó: a q Bz v Lorentz-ero tart egyensúlyt az Mv2 /r centrfugáls ero vel; ez határozza meg a körmozgás ωc = qbz /M körfrekvencáját, amely független

146 Mozgás mágneses térben a körpálya sugarától; ezt használja k a cklotron muködése s. A körmozgást Bohr szernt kvantálva vsszakapjuk a (11.18) Landau-sznteket, persze a zéruspontrezgéshez hasonló 1/2 nélkül. A Landau-féle teljes kvantummechanka tárgyalás, amelyet pontos szlárdtestfzka mérések sokasága támaszt alá, ennél sokkal részletesebb leírást ad, amelyben az s a kvantálás részévé válk, hogy a hullámfüggvény örvénye a mnta síkjában krstályrácshoz hasonlóan helyezkednek el. A szemléletes képeket azonban óvatosan fogadjuk: ero sen függhetnek a vektorpotencálra választott függvényalaktól; más szóval: a mesék nem nvaránsak a mértéktranszformácóval szemben. Ezzel a kérdéssel részletesebben foglalkozk a következo pont A mértéknvaranca és a vektorpotencál realtása: Aharonov Bohm-effektus, fluxuskvantálás A klasszkus elektrodnamka mértéknvarancája azt jelent, hogy ha a vektorpotencálhoz hozzáadjuk egy tetszo leges helyfüggo skalár gradensét: ~A ~A + ~ χ, (11.19) attól a ~B = ~ ~A mágneses ndukcó nem változk. A kvantummechankában ez a muvelet fel kell hogy keltse a gyanakvásunkat, mert az áramsuruség operátora a sebességgel arányos, amelynek operሠˆ ~ tora (~p qa)/m, ez pedg szemmelláthatóan megváltozk a mértéktranszformácótól. A sebességgel arányos áramsuruség pedg nem változhat, hszen o a forrása a mágneses mezo nek! ˆ A megoldás a koordnáta-reprezentácóban kézenfekvo : mvel ~p-nek a ~ (h /) muvelet felel meg, a hullámfüggvényhez hozzátehetünk egy megfelelo helyfüggésu fázsfaktort, amelynek gradense helyrehozza a változást: ψ e ϕ(~r) ψ. (11.20) Hogyan kell megválasztan a ϕ(~r) fázst? Egyszerre elvégezve a (11.19) és (11.20) muveleteket, a sebesség várható értékével ez történk: Z 1 h ~ ~ ψ d3r ψ qa M (11.21) Z 1 h ~ ~ q(~ χ) ψ d 3 r, ψ e ϕ e ϕ + h (~ ϕ) qa M am akkor lesz változatlan, ha ϕ(~r) = (q/h ) χ(~r), vagys a vektorpotencál (11.19) mértéktranszformácójához a hullámfüggvény ψ e h qχ ψ (11.22)

147 11.3. Mértéknvaranca, Aharonov Bohm-effektus, fluxuskvantálás 147 mértéktranszformácója tartozk. Használjuk fel most megszerzett tudásunkat annak a különös felfedezésnek a leírására, amt a sokasodó kísérlet elleno rzések ellenére s sokan sokág vonakodtak elhnn. Ez az Aharonov Bohm-effektus: az a jelenség, hogy ha egy kettéváló elektronhullám körbezár egy mágneses fluxust, majd összetalálkozva nterferál, az nterferencacsíkok eltolódnak a fluxus változásával akkor s, ha az elektronhullám helyén a mágneses ndukcó mndenütt 0 (11.2. ábra) ábra. Aharonov Bohm-effektus: ha a kettéváló, majd egyesülve nterferáló elektronhullám által körbezárt területet átdöfo mágneses fluxust hozunk létre, az nterferencacsíkok a fluxussal arányosan eltolódnak akkor s, ha az elektron helyén a mágneses ndukcó mndvégg nulla marad. A jelenségben az a nagyon meglepo, hogy a mágneses hatások az elektron mozgását éppen a vektorpotencálon keresztül érntk. Azelo tt a vektorpotencált csak afféle segédmennységnek tekntették, amely a ~B = ~ A mágneses ndukcón kívül nem jelent semmt. Az Aharonov Bohm-effektussal az derült k, hogy fzka jelentéssel nemcsak a mágneses ndukcó rendelkezk, hanem a vektorpotencál más mértéknvaráns kombnácó s! Egy lyen mértéknvaráns kombnácó pedg, amelynek önálló fzka jelentése van, I ~ = ~A dr Z (~ ~A) d~ f = Z ~B d~ f = Φ, (11.23)

148 Mozgás mágneses térben vagys az ntegrácós kontúr által közbezárt fluxus, am átdöf a kontúrra feszített ntegrácós felületet, és természetesen akkor s lehet nullától különbözo, ha a kontúr helyén sehol sncs mágneses ndukcó. Az Aharonov Bohm-fázseltolást éppen ez az ~A(~r,t)-to l nemlokálsan függo, de mértéknvaráns mennység határozza meg; ezt látjuk be az alábbakban. A bzonyítás azon a ravasz észrevételen alapul, hogy ha az elektronhullám helyén mndenütt ~B = ~ A = 0, akkor találhatunk olyan mértéktranszformácót, amely után az elektronhullám helyén mndenütt teljesül ~A = 0 s. Valóban, mvel ~A(~r) rotácómentes, származtatható egy F(~r) skalárpotencál negatív gradenseként. Fel s írhatjuk ezt a potencált: F(~r) = Z ~r ~. ~A(~r ) dr (11.24) Ha éppen ezt választjuk a mértéktranszformácó skalárfüggvényének: χ(~r) = F(~r), akkor a vektorpotencál a (11.19) egyenlet szernt így transzformálódk: ~A(~r) ~A(~r) + ~ F(~r) = 0. (11.25) Ezzel egydejuleg transzformálnunk kell azonban a hullámfüggvényt s: ψ(~r) exp q F(~r) ψ(~r) = ψ0 (~r) (11.26) h vagys az eredménynek meg kell egyezne a mágneses fluxus nélkül hullámfüggvénnyel, hszen most már az elektronhullám helyén vektorpotencál sncs! Fordítsuk meg a formulát, hogy leolvashassuk a mágneses fluxus (pl. ferromágneses tukrstály) behelyezésével a hullámfüggvényen fellépo fázseltolódást: Z ~r ~ ~ ψ(~r) = exp q A(~r ) dr ψ0 (~r) (11.27) h Az nterferencában a két út között fázskülönbséget, vagys a körntegrált látjuk csíkok alakjában: ϕ = I q~ ~ = q Φ. A(~r ) dr h h (11.28) Hány csíkkal tolódk el az nterferencakép a fluxus behelyezése (bekapcsolása) következtében? A válasz: ϕ Φ = ; 2π Φ0 Φ0 := h. q (11.29)

149 11.3. Mértéknvaranca, Aharonov Bohm-effektus, fluxuskvantálás 149 A jobboldalon álló kombnácó neve fluxuskvantum. Szupravezeto, vagy akár nem szupravezeto nanostruktúrák tulajdonsága a fluxuskvantum függvényében sokszor mutatnak perodkus változásokat; szupravezeto ben ezekbo l azt olvashatjuk le, hogy a töltéshordozó egységek q = 2e töltésu, két elektronból álló kötött Cooper-párok. Félvezeto nanostruktúrákban gyakran észlelnek Aharonov Bohm típusú nterferencát. Az Aharonov Bohm-fázseltolódás topologkus fázs : nem függ az elektron által befutott pálya pontos alakjától, csak attól, hogy a pálya megkerül-e a fluxust vagy nem. Topologkus fázseltolódások a kvantumfzka más területen s elo fordulnak.

150

151 12. fejezet Spn A spnre utaló mágneses kísérleteket, a színképvonalak kettéhasadását a Zeeman-effektusban és az atomnyalábok kettéválását a Stern Gerlach-effektusban az elo zo fejezet elején smertük meg. Itt még tegyünk hozzá annyt, hogy a Stern Gerlach kísérletben a mágneses momentumnak tpkus Neumannmérése történk (lásd a 6.2. pontban), amt az üveglapon megjeleno folt mnt detektor zár le. Amt a Stern Gerlach kísérletben kettéválasztunk, az nem keveréke, hanem kvantummechanka szuperpozícója kétféle mágneses momentumnak: ha az nhomogén mágnest elforgatjuk, a két folt az üveglapon vele fordul. Erro l a furcsaságról az elméletnek mndenképpen számot kell adna. Uhlenbeck és Goudsmt (1925) a mágneses momentumot az elektron, mnt elektromosan töltött golyócska pörgésének tulajdonította, hasonlóan ahhoz, ahogy a Föld s forog, mközben a Nap körül kerng. O k vezették be a spn (pörgés) szót s. Ez végérvényesen összekapcsolta a jelenségkört az mpulzusmomentum kvantumelméletével. Mután azonban de Brogle és Schrödnger óta az elektront nem repülo golyócskának, nkább terjedo hullámnak látjuk, a spnre s más hasonlatot kell keresnünk, mnt egy golyó pörgését. Egy hullám crkulárs polarzácójára gondoln már sokkal közelebb vsz a dolog lényegéhez, csak nem kell nagyon szó szernt vennünk: a spn forgástengelye nncs a hullám terjedés rányához kötve, hanem a térben szabadon orentálódhat, amnt azt az elfordított Stern Gerlachmágnes esete mutatja A feles spn kvantumelmélete: kétkomponensu spnorok és Paul-mátrxok Az mpulzusmomentum általános elméletében (9.5. pont), amely a felcserélés relácók algebra elemzésén alapul, készen áll a leheto ség olyan mpulzusmomentum-sajátállapotok létezésére, melyeknek bázsa kétféle orentácóból áll; ezek komplex szuperpozícóból lehet kkevern mnden más rányt. Spnro l lévén szó, jelöljük ennek a specáls, a részecske belso tulajdonságá151

152 Spn nak számító, pályamozgást nem génylo mpulzusmomentumnak az operátoˆ rát ~S-sel. Vektorkomponensenek felcserélés relácó megegyeznek a (9.32) egyenletekkel, vselve azoknak mnden következményét. Mndenekelo tt, S z nek két sajátértéke van: +h /2 és h /2. S 2 egyetlen sajátértéke h 2 s(s + 1) = (3/4) h 2, ahol s = 1/2. A megfelelo sajátvektorok annyra alapveto en fontos tartalmat hordoznak, hogy megérdemlk a saját, stabl jelölést, nem s egyet: Drac-féle ket-vektor jelölésükbo l s legalább kétféle van forgalomban, szuperpozícókat pedg kézenfekvo kételemu oszlopvektorként írn. A jelöléskészlet tehát: 1 1/2, +1/2 =: + 0 (12.1) 0 1/2, 1/2 =: 1 Az elso a z tengely mentén felfelé álló spn, a másodk a lefelé álló spn. Szuperpozícókat így írhatjuk: α χ = α + β α + + β, (12.2) β ahol α és β komplex számok; a normálás megkövetel, hogy α 2 + β 2 = 1. (12.3) Hamarosan látn fogjuk, hogy egy lyen komplex szuperpozícó a háromdmenzós tér meghatározott rányába mutató spnvektort ír le. A Hlbert-tér feles spnu alterében lakó lyen kétkomponensu oszlopvektor, amely a háromdmenzós térben való forgáskor meghatározott módon transzformálódk, külön nevet kapott: spnor; bo vebben: Paul-spnor (mvel másféle spnor s van). Szokjuk meg, hogy a spnvektor operátora vektor a háromdmenzós térben, és spnorokra ható 2 2 es mátrx a Hlbert-térben. A sajátvektorok bázsán, a sajátértékek smeretében közvetlenül felírhatjuk, hogy az S z operátort a következo 2 2-es mátrx ábrázolja: h /2 0 Sˆz. (12.4) 0 h /2 A (9.42) formulák segítségével, j = 1/2 és m = ±1/2 behelyettesítésével könnyu felírn a lépteto operátorok mátrxát s: 0 h 0 0 ˆ S+ ; S. (12.5) 0 0 h 0

153 A feles spn kvantumelmélete Ezekbo l épül fel S x = (Sˆ+ + S )/2 és S y = (Sˆ+ S )/2 operátora: S x 0 h /2 h /2 0 Hogy ne kelljen mndg mátrxokat: 0 σx := 1 1 σz := 0 ; S y 0 h /2 h /2 0. (12.6) ennyt írn, vezessük be a nevezetes Paul ; σy := ; ; 1 := (12.7) Ezek segítségével a spnoperátorok komponense tömören így írhatók: h Sˆl σl ; 2 l = x, y, z. (12.8) A Paul-mátrxok könnyen belátható tulajdonsága, hogy σ2x = σ2y = σ2z = 1, ambo l következk, hogy σx, σy és σz sajátértéke egyaránt ±1, ematt természetesen S x, S y és S z sajátértéke ±h /2. Jegyezzük meg a megfelelo sajátvektorokat s: 1 +x = 2 1 +y = x = 2 1 y = (12.9) A Paul mátrxokkal való smerkedést kerekítsük le a felcserélés relácókkal: a (9.32) egyenletekbo l trválsan következk [σ j, σk ] = 2 ε jkl σl. (12.10) Talán kevésbé trválsak az antkommutátorok: {σ j, σk } σ j σk + σk σ j = δ jk. (12.11) Hogy ebben a pontban ne csak új fogalmak szótára legyen, számoljuk k egy tetszo leges ϕ, ϑ polárszögekkel megadott rányba mutató spnállapotnak megfelelo spnor komponenset!

154 Spn Ez a spnor a +h /2 sajátértékhez tartozó sajátvektora lesz az adott rányba mutató (sn ϑ cos ϕ, sn ϑ sn ϕ, cos ϑ) egységvektorra vetített spnvektor operátornak. Írjuk fel az operátor mátrxalakját: Sˆϕ,ϑ = sn ϑ cos ϕ S x + sn ϑ sn ϕ S y + cos ϑ S z = h sn ϑ cos ϕ + sn ϑ sn ϕ + cos ϑ ϕ h cos ϑ sn ϑ e =. ϕ sn ϑ e cos ϑ 2 (12.12) A kapott 2 2-es mátrxot dagonalzálva, megkapjuk a sajátvektorokat: ϕ/2 ϕ/2 e cos ϑ2 e sn ϑ2 +ϕ,ϑ = ; ϕ,ϑ = (12.13) e ϕ/2 sn ϑ2 e ϕ/2 cos ϑ2 Elleno rzzük, hogy tényleg arra mutatnak-e, amerre kell: h± S x ± = ±(h /2) sn ϑ cos ϕ; h± S y ± = ±(h /2) sn ϑ sn ϕ, ahogy vártuk Spnorforgatás, kvázspn, qubt Itt az deje elmedtálnunk azon, hogy a (12.13) formulákban félszögek jelennek meg. Ez nem kevesebbet jelent, mnt hogy ha teljesen, 2π vel körbeforgatjuk a ϕ, ϑ szögek bármelykét, akkor bár a spnvektor átlaga vsszatér knduló értékéhez, a kvantummechanka állapotvektor nem: nek kétszeres körbejárásra, 4π körbefordulásra van szüksége, hogy egyszer vsszaérjen! Ez nem csalás, nem tévedés: mágneses mezo ben megpörgetett spnu neutronok nterferencájával közvetlenül meg lehet fgyeln a 4π perodctást.2 Az egész a feles spn furcsa játéka: mvel pl. a z tengely körül α forgás untér operátora exp(( /h )Jˆz α) és feles spnre Jz = (h /2)σz, így α/2 α e 0 R z (α) = exp σz =, 0 e α/2 2 (12.14) am tényleg 4π fordulat után jut el az egységoperátorhoz. Hogy ezt nterferencakísérletekben látn s lehet, az a kvantummechanka váratlan szépsége közé tartozk. 1 Ha ez az eredmény nem akar kjönn, annak nagy valószínuséggel az az oka, hogy az olvasó elfelejtette a bra-vektorban a komplex számokat konjugáln. 2 Badurek et al., 1976.

155 12.2. Spnorforgatás, kvázspn, qubt 155 Tanuljunk meg egy hasznos trükköt: a fent módon felépülo untér operátort nagyon könnyu átírn 2 2-es mátrx alakjába, akkor s, ha ott nem σz, hanem egy tetszo leges ~u rány körül forgató σ~u mátrx áll. A trükk arra épül, hogy amnt azt a Paul-mátrxok megsmert tulajdonságaból könnyu belátn tetszo leges rány esetén teljesül σ~2u = 1, ematt σ~u mnden páros hatványa s 1, és mnden páratlan hatványa σ~u. A mátrx exponencáls függvényét vszont hatványsora defnálja. A hatványsorban szétválasztva a páros és páratlan hatványokat, ezt kapjuk: α α α R ~u (α) = exp σ~u = cos 1 sn σ~u. (12.15) A feles spn szemléletének és matematkájának hasznossága nem korlátozódk a feles spnu elektronra és más elem részecskékre, hanem mnden kétállapotú kvantumrendszerre, gyakran használt szóval: kváz-spnre, amelynek dnamkája két állapot szuperpozícónak fejlo désébo l áll. Az lyen rendszerek, ha a szuperpozícó koherencáját elég sokág fenn tudjuk tartan, sok mndenre használhatók, legnkább nformácókezelésre. A két állapotba egy bt nformácót lehet belekódoln: az egykbe az gent, a máskba a nemet. A kvantummechanka ehhez a szuperpozícót tesz hozzá. Igen és nem szuperpozícó: ez a kvantum-bt, elterjedt tömör nevén: qubt. A szuperpozícók megsokszorozzák az nformácókezelés leheto séget: ez a kvantum-nformatka álma. A megvalósulás legfo bb korlátja pedg a koherenca elvesztése: a környezet mnt zajforrás elmossa a szuperpozcót, hamarabb, mnt hogy a kvantum-számítógép a számítás végére érne. A remélt elo nyök azonban órásak; a kutatás ntenzíven folyk. A területro l az olvasó rövd áttekntést találhat az F. függelékben. Kétállapotú kvantumrendszereket találn egyáltalán nem könnyu feladat. Mvel az atomoknak és egyéb valóságos fzka rendszereknek sok állapotuk van, ezekbo l a kísérletezo nek valahogyan k kell tudna választan ketto t. Ennek módja anny, ahányféle rendszer létezk. Tpkus megközelítések: nagyon alacsony ho mérséklettel kzárn a gerjesztett állapotok sokaságát; nagy jóságú rezonátort élesen ráhangoln két állapot energakülönbségére.

156 Spn Feles spn állandó mágneses térben: Larmorprecesszó és Rab-oszcllácó Az elo zo fejezetben már megemlítettük, hogy bár a spn nem köráram és nem s egy elektromosan töltött golyócska pörgése, ~µˆ = γ ~Sˆ mágneses momentum tartozk hozzá. Elektronra a γ gromágneses arány apró korrekcóktól eltekntve3 kétszer akkora, mnt ha a spn köráram lenne. A neutronnak nncs s töltése, de mégs van feles spnjéhez kapcsolódó mágneses momentuma, am mögött a benne megbúvó töltött kvarkok hatása rejlk. Ha a spnt Bz homogén mágneses mezo be helyezzük, a két spnbeállás energája különválk. A rendszer kezdo állapotától függo en oszcllál a két energasajátállapot között, am most már tudjuk a spnvektor rányának folytonos változását jelent. A megfelelo klasszkus jelenség az, hogy a mágneses dpólus vektora az ωl = γ B Larmor-frekvencával körbejárva kúpot ír le a z tengely körül, ez a Larmor-precesszó. Most belátjuk, hogy átlagértékben a kvantummechanka szernt s ugyanez történk. Valóban, a mágneses mezo be helyezett dpólus Hamlton-operátora h h ωl Hˆ Larmor = µ B = γ σ z B = σ z. (12.16) Ennek sajátvektora az és spnbázsvektorok, és a hoz0 1 zájuk tartozó sajátértékek (h /2)ωL, ll. (h /2)ωL. Ezekbo l felépítheto az do függo Schrödnger-egyenlet általános megoldása: ha (ϕ, ϑ) a t = 0-bel kezdo állapothoz tartozó spnvektor-orentácó, akkor a e+ωlt/2 ψt =, (12.17) b e ωlt/2 ahol a = cos(ϑ/2) exp( ϕ/2) és b = sn(ϑ/2) exp(ϕ/2). A kapott állapotvektorral kszámíthatjuk (feladat!), hogy a spnkomponensek átlaga így fejlo dnek az do ben: h sn ϑ cos(ϕ ωl t) 2 h hψt Sˆy ψt = sn ϑ sn(ϕ ωl t) 2 h hψt S z ψt = cos ϑ, 2 hψt Sˆx ψt = (12.18) 3 A sok tzedesjegyre megmért korrekcók nem közvetlen hatásakban fontosak, hanem azért, mert sok tzedesjegyre értjük s o ket, és ezzel vsszagazolják, hogy jó úton járunk.

157 12.3. Feles spn állandó mágneses térben 157 amro l az, ak dág eljutott a könyv olvasásában, bztosan ránézésre látja, hogy pontosan úgy mozog, ahogy a klasszkus Larmor-preceszszótól elvárjuk. Akkor hát a kvantummechanka tett-e hozzá ehhez a jelenséghez valamt? Igen: azt, hogy mkroszkópkus kvantumrendszerek esetén ezek az átlagok az oszclláló S x és S y spnkomponensek ±h /2 értéku véletlen mérés eredményenek statsztkájából rajzolódnak k. Kváz-spnek, vagys koherens kétállapotú rendszerek nyelvén az eddgek azt jelentették, hogy ha a rendszer kezdet állapota nem energasajátállapot, hanem két különbözo energához tartozó energasajátállapot (tt: S z sajátállapotok) szuperpozícója, akkor mnden nem megmaradó mennység (tt: S x és S y ) átlaga oszclláln fog, a két energasajátérték különbségének megfelelo frekvencával. A természetnek ezt a rengeteg változatban eljátszott játékát nevezzük Rab-oszcllácónak, Rab nyomán, ak repülo atomok és neutronok mágneses spektroszkópájában elo ször azonosította a jelenséget.4 Az eddg leírásban azonban van egy esetlegesség: az, hogy éppen a két energasajátvektort választottuk bázsnak. Ha pl. menet közben változtatjuk a mágneses tér rányát, amnt az éppen Rab kísérleteben s történt, célszeru a leírást fejéro l a talpára állítan: ne az energasajátvektorokat, hanem azt válasszuk bázsnak, amt mérn akarunk, és amelyben a kezdet állapotot preparáln tudjuk! Fnomítsuk ennek megfelelo en a jelölést: a (12.1) formulákban felsorolt leheto ségek ne maradjanak mnd ekvvalensek, hanem a 1 0 =, =, (12.19) 0 1 jelölést tartsuk fenn a preparálható-mérheto bázsvektorok számára, a két ortonormált energasajátvektor pedg ezen a bázson legyen α β + =, =, (12.20) β α ahol α és β valósak és α 2 + β 2 = 1. A sajátvektorokhoz tartozó energasajátértékek legyenek E+ ll. E, és defnáljuk az R = 4 Lásd: E+ E h (12.21) [8], 7. kötet, pont.

158 Spn Rab-frekvencát. Ekkor egy kezdet bázsvektor így fejlo dk az do ben: 1 α β = α +β 0 β α α β h E+t α e +β e h E t (12.22) β α 2 α + β2 er t h E+ t = e αβ(1 er t ) Innen leolvashatjuk annak valószínuségét, hogy t do után a mérés a rendszert a kezdet állapotban találja: P (t) = 1 P (t) = α2 + β2er t = α2 β α2 β2 cos2 Rt 2 (12.23). Ez tényleg R frekvencával oszcllál; az oszcllácó ampltúdója akkor a legnagyobb a háttérhez képest, ha α2 = β2 = 1/2. Ez teljesül nylvánvalóan, amkor a z-tengely körül Larmor-precesszót az (x, y) síkban fgyeljük meg. Rab-oszcllácók elo fordulnak a részecskefzkában s, valahányszor a gyorsítóban vagy a természetben preparált kezdo állapotról kderül, hogy nem staconárus állapot. Ennek nevezetes példája a neutrnóoszcllácó: a neutrnó a feles spn kétféle beállásával analóg módon háromféle íz (elektron, müon, tau) szuperpozícóban létezk. Egy adott környezetben meghatározott szuperpozícók felelnek meg az energasajátállapotoknak, ahol az energasajátértékek nyugalm tömegükben térnek el egymástól. A neutrnókat kelto reakcókban vszont nem energasajátállapotok, hanem tszta ízek keletkeznek, ezért lép fel az oszcllácó a különbözo ízek között. Ennek kísérlet bzonyítéka most kezdenek statsztkalag meggyo zo vé gyuln Repülo feles spn A spnt néha egy krstályban rögzített atom hordozza, de sokszor pl. magában a Stern Gerlach kísérletben egy röpülo atom. Ilyenkor a spn úgy jelenk meg, mnt a folytonosan változó koordnáták mellett egy új, kétértéku szabadságfok. 5A neutrnóoszcllácó elméletéro l lásd a [13] könyben a 9.4. pontot.

159 Repülo feles spn Ez megkétszerez a bázsvektorokat: pl. koordnáta-spn reprezentácóban egy feles spnu részecske állapotát ~r, σ bázsvektorok szernt lehet sorbafejten, amelyek a helyvektor operátora mellett sajátvektora a σ z operátornak s, σ = ±1 sajátértékkel. Nézzük az alapmuveleteket! A spnto l s függo hullámfüggvény: Ψσ (~r,t) = h~r, σ ψ(t). (12.24) Jól használható a kétkomponensu spnor-írásmód s: Ψ+ (~r,t) h~r ψ(t) =. Ψ (~r,t) (12.25) Két állapotvektor skalárszorzata a spnfüggo hullámfüggvényekkel kszámolva: hφ(t) ψ(t) = = Z σ 3 d r Z d 3 r φ σ (~r,t) Ψσ (~r,t) φ + (~r,t) Ψ+ (~r,t) + Z (12.26) 3 d r φ (~r,t) Ψ (~r,t). A részecske megtalálásának valószínuség-surusége: ρ(~r,t) = Ψσ (~r,t) 2. (12.27) σ Annak valószínusége, hogy a részecskét akárhol, de +, ll. spnbeállással fogjuk megtaláln: Z P± (t) = Ψ± (~r,t) 2 d 3 r. (12.28) Ha a részecskére, atomra, onra vagy molekulára spnfüggo ero k, tpkusan mágneses mezo k hatnak, ezt a formalzmust kell használnunk spn és pálya együttes mozgásának leírására. Homogén mágneses térben csak a spn pörög; erro l szól a következo pont. Inhomogén mágneses térben a mágneses momentumra ~ (~µ ~B) = (~µ ~ )~B ero hat; ez okozza magát a Stern Gerlacheffektust s. A létrejövo mozgás elmélete az elo zo fejezetben bemutatott (11.11) Hamlton-operátoron alapul, amely a (12.25) állapot do bel fejlo dését vezérlo Schrödnger-egyenleten6 keresztül meghatározza a repülo spnek dnamkáját, és még sok más jelenséget. Képzeljünk el egy homogén mágneses térben mozgó neutront. Elképzelhetjük úgy, hogy a röpülo hullámcsomagon ül a neutron spnje és pörög. Ha 6 A spnfüggo ero ket s tartalmazó nemrelatvsztkus Schrödnger-egyenletet elo ször Paul írta fel, ezért Paul-egyenletnek s nevezk.

160 Spn azonban a neutront jól monokromatzáltuk, am a neutronnterferenca kísérleteknél szokásos, akkor a hullámcsomag hosszabb, mnt az az út, amelyen a Larmor-precesszáló spn egyet körbefordulna. Ilyenkor a valósághoz közelebb áll egy másfajta kép,7 amely a síkhullámokból összetevo do staconárus állapothoz áll közelebb. Eszernt ha a neutron egy d hosszúságú szakaszon halad a mágneses mezo ben, ott a spn (12.16) potencáls energája matt megváltozk a mozgás hullámszáma, mégpedg a két spn-komponensre különbözo képpen: 2 h 2 k02 h 2 k± h ωl =, 2M 2M 2 (12.29) amt gyenge mágneses térre sorbafejthetünk ωl szernt; az eredmény: k± k0 ± ωl, 2 vcsop (12.30) ahol vcsop = h k/m a csoportsebesség. A két részhullám között a d hosszúságú szakaszon felvett fázskülönbség tehát ϕ = (k+ k ) d = ωl t, t= d, vcsop (12.31) am megegyezk a repülo hullámcsomag képébo l adódó eredménnyel. A fent képbo l az optkában képzett olvasónak bztosan a ketto s törés, esetleg a mágneses térre való tekntettel a Faraday-effektus jut eszébe. Itt és most azonban kvantummechankáról beszélünk, és fontosabb egy másk asszocácó. Am tt történk, az hasonlít a Stern Gerlach-effektushoz, amennyben a két részhullám spnbeállásától függo en különbözo képpen mozog. Ez azonban gyenge Stern Gerlach, amelyben a hullámcsomagok nem válnak szét, hanem együtt maradva nterferálnak; ez okozza a spn Larmorprecesszóját A feles spn állapotanak mérése (rekonstrukcója) A kvantumállapot nem tartozk a mérheto fzka mennységek közé, de mérésekkel meg lehet határozn. Neumann János könyve szernt ehhez sokszor azonosan újra kell preparáln a kvantumállapotot, és különbözo mérheto fzka mennységeket sorozatban mérn rajta. 7 Meze Ferenc, 1988

161 12.6. Mágneses rezonanca 161 A kvantumállapot mérésének dvatos szóval: rekonstrukcójának újabban egy kcst másféle stratégája alakult k: ugyanazt a mérheto mennységet mérjük sokszor, de elo tte különbözo untér (koherens, a Schrödngeregyenletnek megfelelo ) muveleteket, tpkusan: forgatások sorozatát végezzük a rendszeren. Ezzel, mntha az állapotvektort körbejárva, sokféle rányból néznénk rá, emlékezetünkben (a mérésfeldolgozást végzo számítógép memórájában) krajzolódk mnden részlete. Hasonló muveletsorozatot követ az orvos tomográfa s, ezért az eljárás másk használatos neve: a kvantumállapot tomográfája. A feles spn állapotát két szám határozza meg: a ϑ és ϕ polárszögek. A fent stratéga szernt mndg az S z spnkomponenst mérjük egy Stern Gerlach méréssel. Amkor közvetlenül a forrásból jövo spnes részecskén végezzük el a Stern Gerlach analízst, abból a ϑ szöget lehet megmérn: P = sn2 (ϑ/2). Ha a Stern Gerlach mágneses szeparátor elo tt a részecskenyalábot áteresztjük egy x rányú elektromágnes tekercsen, amely az x rány körül adott szöggel elforgatja a spnt, az utána következo Stern Gerlach S z mérés eredményében megjelenk a másk polárszög s. Gyakorlat: számoljuk végg részletesen a feles spn állapotának rekonstrukcóját Mágneses rezonanca A (12.18) átlagok kmérésének, és ezen keresztül az ωl frekvenca pontos meghatározásának létezk hatékonyabb módja s, mnt a S x, S y, S z komponensek drekt detektálása. Ez a mágneses rezonanca módszere: az anyagmnta helyén az állandó mágneses mezo re mero leges, ω ωl körül frekvencával oszclláló mezo t s létrehozunk. Ha a frekvencát pontosan eltaláljuk, a rendszer rezonancaszeruen energát vesz fel az oszclláló mezo bo l. A tpkus frekvencák elektronspn esetén a mkrohullámok, magspnek esetén a rádófrekvencák tartományába esnek. A módszer a legpontosabb anyagvzsgálat eszközök közé tartozk, amely fnoman feltérképez az atomok helyén különbözo okokból fellépo mágneses mezo ket. A magrezonancára nagyfelbontású képalkotó orvos dagnosztka eszköz (MRI: Magnetc Resonance Imagng) épül. A jelenség do függo perturbácószámítással (13.2. pont) könnyen leírható, mnt a spektroszkópa kterjesztése az optka tartományból a ksebb frekvencák felé. A perturbácószámítás odág követ a mozgást, amíg egy kvantumrendszer elkezd átmenn az egyk staconárus állapotból a máskba. A közönséges spektroszkópában vzsgált atomok és molekulák elektronja

162 Spn eközben a környezet kölcsönhatások (mondhatjuk így s: zajok) következtében gyorsan elveszítk kvantummechanka koherencájukat, és a perturbácószámításból kapott átmenet valószínuség teljes jellemzését adja a kapott spektrumoknak. Az 1940 es években azonban Felx Bloch úttöro munká nyomán kderült, hogy az atommagok spnje a környezetto l különlegesen jól elszgetelt kvantumrendszert alkot, amelynek hosszú életu koherencája matt jobb elmélet leírást kapunk, ha egyenletenkkel a rádófrekvencás térben szabadon pörgo spn képét rajzoljuk k. Ez a mágneses ndukcó jelenségköre, amely oda-vssza átmenetek gazdag kombnácót mutatja fel a kvantummechanka koherenca élettartama alatt. Az elmélet leírást megkönnyít egy olyan trükk, amely éppen az ellenkezo je a kölcsönhatás kép8 flozófájának: üljünk bele a Larmor-precesszóval együttforgó koordnátarendszerbe; ezzel a perturbálatlan mozgást nem hogy nagyfrekvencájúvá, hanem éppen mozdulatlanná transzformáljuk.9 Induljunk k egy (Bx, By, Bz ) = (B1 cos(ω t + δ), B1 sn(ω t + δ), B0 ) mágneses mezo bo l, amelynek (x, y) vetülete a (12.18) Larmor-precesszóval egyezo rányban forog. A hozzá tartozó Hamlton-operátor: h ˆ H(t) = [ωl σ z + Ω σ u (t)] 2 (12.32) ahol ωl = γb0, Ω = γb1, σ u (t) = cos(ω t + δ) σ x sn(ω t + δ) σ y = e 2 (ω t+δ)σ z σx e 2 (ω t+δ)σ z (12.33) a (ω t + δ) szöggel elforgatott σ x operátor, és felhasználtuk a forgatás operátorának (12.14) alakját. Írjuk fel a Schrödnger-egyenletet: ˆ ψ(t) = H(t) ψ(t) t h (12.34) h h = ωl σ z + Ω e 2 (ω t+δ)σ z σx e 2 (ω t+δ)σ z ψ(t). 2 Most térünk át a Larmor-precesszóval együttforgó koordnátarendszerre, am kvantummechankában azt jelent, hogy bevezetjük a φ(t) = e 2 (ω t+δ)σ z ψ(t) 8 Lásd a D. függelékben. 9 Lásd pl.: [15]. (12.35)

163 Mágneses rezonanca transzformált állapotvektort. Az nverz transzformácó: ψ(t) = e 2 (ω t+δ)σ z φ(t); (12.36) ezt felhasználva megkapjuk φ(t) Schrödnger-egyenletét a forgó koordnátarendszerben: h φ(t) = [(ωl ω) σ z + Ω σ x ] φ(t). t 2 (12.37) Ez a keresett egyenlet: a forgó koordnátarendszerben, pontos ω = ωl rezonanca esetén, az állapotvektor Ω = γb1 körfrekvencával forog oda-vssza a spn-fel és spn-le bázsállapotok között. Ha a forgó mágneses teret adott t hosszúságú mpulzusokban kapcsoljuk be, tetszésünk szernt végezhetünk pl. Ω t = π/2 vagy π szögu spnforgatást. Ezekre a muveletekre és kombnácókra a magrezonanca-spektroszkópa bonyolult és roppant hatékony stratégá épülnek. Ha a feles spn állapotat egy bt nformácó fzka hordozójának tekntjük, a π spnforgatás jelent a nem logka kaput, a π/2 forgatás pedg egy olyan muveletet az ún. Hadamard kaput, amely a klasszkus nformácókezelésben nem létezk, csak a kvantumnformácóban: gen és nem koherens szuperpozícójának létrehozását.

164

165 13. fejezet Perturbácószámítás A Schrödnger-egyenletet általában nehéz megoldan. Nemcsak hatványokból és trgonometrkus függvényekbo l nem lehet összerakn a megoldásat, de többnyre még a legnagyobb könyvekben vagy adatbázsokban megtalálható specáls függvényekbo l sem, amelyek pedg az emberség egyk folyamatosan gyarapodó kultúrkncsét alkotják. A numerkus megoldások, a belo lük felépülo függvénygrafkonokkal, nagyon sok nformácót adnak a dolgok természetéro l, de sokan úgy érzk, egy ks formula azért mégscsak sokkal jobb lenne, akkor s, ha nem olyan pontos. Ekkor kezd az ember közelíto módszerek után nézn, és ezek között elo kelo helyen áll a perturbácószámítás. Az az alapgondolata, hogy a bonyolult problémák sokszor közel állnak valam kevésbé bonyolulthoz, csak valam ks zavaró körülmény perturbácó tesz o ket bonyolulttá. Kézenfekvo stratéga: oldjuk meg elo ször a közel egyszerut, és használjuk k, hogy a perturbácó vszont kcs. Ezt Raylegh fejlesztette matematka módszerré akusztka és optka hullámok tárgyalására, és Schrödnger vette át a kvantummechanka céljara. Raylegh lyen kérdéseket vzsgált: hogyan változk meg egy dob hangja attól, hogy membránjára egy ks baracklekvár kerül? Schrödnger pedg lyet: hogyan változk meg egy atom színképe, ha mágneses mezo be tesszük? Azért az ördög nem alszk; nem mnden kcsny perturbácó, am annak látszk. Ha az atomra nem mágneses, hanem elektromos tér hat, annak csak egyk következménye a színképvonalak eltolódása, a Stark-effektus. A másk az, hogy a csökkeno potencál oldalán a Coulomb-potencál átjárhatóvá lesz a kalagutazn vágyó elektron számára: a tér elo bb utóbb onzálja az atomot, am a külso áramkörben elektronsokszorozás útján mérheto jelet adhat. Ennek gyakorsága nemcsak az elektromos térero sségto l függ ero sen, hanem az elektron kezdet bezárt állapotától s, ezért az effektust semleges atomok állapot-szelektív detektálására lehet használn. 165

166 Perturbácószámítás Ebben a fejezetben vszont célunk megtanuln a perturbácószámítást, am nélkül a kvantummechanka nem lenne az, am Ido to l független perturbácószámítás: elfajult és el nem fajult eset Írjuk a Schrödnger-féle energasajátérték-egyenletet mátrxalakba: Hmncn = E cm ( m), (13.1) n ahol cm az állapotvektor kfejtés együtthatója valamlyen m bázson: ψ = m cm m, és Hmn = hm H n a Hamlton-operátor mátrxeleme ugyanezen a bázson. ˆ, és próbáljuk khasználn azt, hogy Legyen H = H 0 +W Hˆ 0 sajátérték problémáját meg tudjuk oldan, Wˆ valamlyen gyenge hatásnak felel meg. Egy operátor aszernt gyenge vagy ero s, hogy mlyen függvényre hat, de a gyenge hatást jól jellemz, ha az operátor mátrxeleme kcsnyek: Wmn (H0 )mn. A kcsség khasználásának Raylegh-tól eredo trükkje, hogy írjunk be egy dmenzótlan λ ks paramétert : ˆ, Hˆ = H 0 + λw (13.2) am késo bb vsszakapja λ = 1 értékét, de elo ször sorbafejtünk a hatványa szernt, és lyen sorfejtés alakjában keressük a (13.1) egyenlet megoldását. A λ0 rendet H 0 smert megoldása adja. Akkor vszont bázsnak érdemes H 0 smert sajátvektorat használn: legyen (0) (0) Hˆ 0 n = En n; (H0 )mn = Em δmn. (13.3) Ezen a bázson a (13.1) egyenlet így alakul: (Em E)cm + λ Wmn cn = 0. (0) (13.4) n Most jön a λ hatványa szernt sorfejtés, az Em sajátértékben s, a cm állapotvektorban s (az elso ben λ2 rendg, a másodkban λ1 rendg követjük a megoldás menetét): E = E (0) + λe (1) + λ2 E (2) +..., (0) (1) cm = cm + λcm +... (13.5)

167 Ido to l független perturbácószámítás Írjuk be ezeket a (13.4) Schrödnger-egyenletbe: (0) (0) (1) (Em E (0) λe (1) λ2 E (2)...)(cm + λcm +...) + λ Wmn (cn + λcn +...) = 0. (0) (1) n (13.6) A következo lépés természetesen adódk: össze kell gyujten λ különbözo hatványanak együtthatót, nullától felfelé haladva. A nulladk rend ezt adja: (0) (0) (Em E (0) ) cm = 0, m. (13.7) Ez az a pont, ahol különválk a perturbácószámítás elfajult és nem elfajult esete. Az elfajulás kérdése a H 0 operátorra vonatkozk; elfajult (0) esetro l akkor beszélünk, ha az Em perturbálatlan energasajátértékek között azonosak s vannak Perturbácószámítás nem elfajult esetben (0) Ha az Em sajátértékek mnd különböznek egymástól, akkor a (13.7) egyen(0) (0) let megoldása trváls: vagy E (0) = Em, vagy cm = 0. Induljunk k mondjuk az -edk perturbálatlan sajátállapotból, ezt válasszuk nulladk közelítésnek: (0) (0) E (0) = E, cm = δm. (13.8) Etto l kezdve a megoldás akadálytalanul megy a maga útján. A (13.6) egyenletbo l s vegyük k elo ször az m = sort: akkor a nulladrendu tagok éppen kesnek, és ez marad: (1) ( λe (1) λ2 E (2)...)(1 + λc +...) +λ (1) W (1 + λc +...) +! (1) Wn (λcn +...) n6 = = 0. (13.9) Elérkeztünk az elso eredményhez. A λ1 rendu tagokból leolvashatjuk az perturbálatlan energa elso rendu perturbácóját: (0) E E (1) = W = h Wˆ = Z φ (~r) W φ (~r) d 3 r. (13.10) Ez érdekes és megjegyzésre feltétlen érdemes eredmény: a perturbáló operátort a perturbálatlan sajátállapotokra átlagolva kapjuk az energa elso rendu

168 Perturbácószámítás korrekcóját. Ez az eredmény különösen a statsztkus fzkában futott be órás karrert: ezen alapul a lneárs válasz és a fluktuácó-dsszpácó tételek egész fegyvertára. Még mndg az m = sornál maradva: ha a (13.10) eredményt vsszaírjuk a (13.9) egyenletbe, onnan már csak másodrendu tagokat kapunk; ezekbo l E (2) = Wn cn (1). (13.11) n6 = A továbblépéshez már a (13.6) egyenlet m 6 = sorara van szükségünk: (0) felhasználva, hogy E (0) = E, (0) (0) (1) (Em E λe (1) λ2 E (2)...)(λcm +...)! + λ Wm (1 + λc +...) + Wmn (λcn +...) (1) (1) n6 = = 0. (13.12) Innen a λ0 és λ1 tagokat megtartva kapjuk meg következo eredményünket, az állapotvektor elso rendu korrekcót: (1) cm = Wm. (0) (0) E Em (13.13) Ezt vsszaírva a (13.11) formulába, végül megkapjuk az E energasajátérték másodrendu perturbácóját: E (2) = n6 = Wn 2 (0) (0) E En. (13.14) Ezen a ponton kell megkérdeznünk, hogy m s a feltétele annak, hogy a perturbácós sorfejtésnek valam esélye legyen a konvergencára, vagys hogy a sorfejtés elso 1-2 tagjából tényleg megértsünk valamt a vlág mukö déséro l. A válasz legvlágosabban a (13.13) egyenletbo l látszk: a perturbácó átmenet mátrxelemenek kell kcsnek lennük a perturbálatlan energaszntek különbségéhez képest: a perturbácószámítás jól muködk, ha Wm (0) (0) E Em 1. (13.15) Egy esetben bztosan nem muködk az eddg eljárás: ha H 0 elfajult, vagys ha az energanevezo k között nullák vannak. Ám ez az eset sem reménytelen, csak hozzá kell gazítan a módszert. Erre térünk most át.

169 Ido to l független perturbácószámítás Perturbácószámítás elfajult esetben (0) Ha az Em perturbálatlan energaszntek között azonosak s vannak, a (13.7) (0) egyenlet nem határozza meg a cm együtthatókat; erre s a következo λ1 rendet kell felhasználn. Mvel a (13.8) választás most nem használható, a (13.10) egyenlet s elbonyolódk: Wmn cn (0) (0) = E (1) cm, (13.16) n vagys a helyes nulladrendu állapotvektorokat úgy kapjuk meg, hogy az elfajult altéren a perturbácó operátorát dagonalzáljuk. Hogy ezt hogy kell csnáln, azt mndenk tudja, ak a mátrxmuveletek és a Hlbert-tér elemet egyszer megtanulta. Vegyünk egy p-szeresen elfa(0) jult E sajátértéket és a hozzá tartozó 1, 2,..., p bázsvektorokat, ezekkel számoljuk k a perturbácó Wrs = hr W s mátrxelemet; végül oldjuk meg a p-edfokú karaktersztkus egyenletet: E (1) W11 W12 W13... (1) W21 W22 E W23... (1) W31 W32 W33 E = 0, (13.17) amely az E (1) elso rendu energakorrekcó sajátértéket szolgáltatja. Az elfajult perturbácószámítás alkalmazásanak se szer, se száma. Az alapjelenség az, hogy a szmmetra okozta elfajulást feloldja egy kevésbé szmmetrkus perturbácó; az alappélda a Zeeman-effektus, ahol egy gömbölyu atom különbözo m mágneses kvantumszámhoz tartozó elfajult szntjet bontja szét a mágneses mezo, amelynek ránya van, tehát nem gömbszmmetrkus. A különbözo elfajult alterek sokaságában való elgazodáshoz nagy segítséget jelenthetnek a csoportelmélet módszerek; segítségükkel megtalálhatjuk a perturbácó valamlyen szmmetramuvelettel szemben nvaráns alteret, és a perturbáló mátrx a dagonáls mentén blokkokra bomlk szét, amelyek karaktersztkus egyenletet egyenként oldhatjuk meg. Elfajulás nemcsak szmmetra matt jöhet létre, hanem akkor s, ha egy λ paraméterto l függo Hamlton-operátor két perturbálatlan sajátértéke, (0) (0) Em (λ) és En (λ) a paraméter függvényében valahol keresztezné egymást. Amnt azt Wgner Jeno és Neumann János nem túl számos közös munkájuk egykében megmutatta, lyenkor a rendszer hper-érzékennyé válk a perturbácókra, amelyek hacsak valam okból nem ugyanott tunnek el az el-

170 Perturbácószámítás fajulást feloldják és a keresztezést eltuntetk. Ez a híres nem-keresztezés szabálya (angolul: non-crossng rule). A ks perturbácó matt elkerült keresztezésnek számtalan példája van a molekulák fzkájában, ahol az elektronspektrumok esetén a hangoló paraméter szerepét a magok pllanatny helyzete játssza el. Bonyolult rendszerek, mnt amorf (nem-krstályos) szlárd anyagok vagy nehéz atommagok spektrumában az energaszntek véletlenszerunek látszó eloszlásában s dönto szerepe van az elkerült keresztezésnek: ematt a teljesen véletlen Posson-eloszláshoz képest jóval rtkábban kerül két sznt egymás közvetlen közelébe; a szntek energában mért távolságának eloszlása meredeken levág a nulla közelében. Ezt a sznt-statsztka nevu kutatás területet s Wgner Jeno ndította útjára Ido to l függo perturbácók; kölcsönhatás kép; a Ferm-féle aranyszabály Az do függo Schrödnger-egyenlet megoldásának s fontos módszere a perturbácószámítás: a (d/dt) ψ(t) = H (t) ψ(t) egyenlet megoldása ˆ ˆ (t), H(t) = H 0 + λw (13.18) alakú do függo Hamlton-operátor esetén, a λ ks paraméter hatványa szernt haladó sorfejtés segítségével. A módszer elso változatát Drac dolgozta k; késo bb hhetetlenül gazdag és hatékony technka épült rá, amellyel elmélet fzkusok serege bontogatják az smeretlen vlág falat. Az, hogy mkor elég gyenge a perturbácó ahhoz, hogy a sorfejtés konvergáljon és már az alacsony rendek s jó közelítést jelentsenek, tt még nehezebb kérdés, mnt az energasajátérték problémájának perturbácós kezelésénél. Ks változások s felhalmozódhatnak hosszú do alatt, úgy hogy az do függo perturbácószámítás alapveto en rövd deju változásokra érvényes. Vannak azonban mno sített esetek, amkor a módszer jobb, mnt ebbo l az óvatoskodó meggondolásból hnnénk: hosszú do kre általában a környezet hatások matt elromlk a szuperpozícók koherencája, ematt romlk az esélye a hosszú deju változások felhalmozódásának; folytonos spektrumú rendszerekben van egy közbenso do skála, amelyen az eredmények leegyszerusödnek, de a perturbácószámítás még jól muködk. Erre vonatkozk a Ferm-féle aranyszabály (lásd alább).

171 13.2. Ido to l függo perturbácók; kölcsönhatás kép; a Ferm-féle aranyszabály Drac módszere Most s a Schrödnger-egyenlet mátrxalakját használjuk. H 0 sajátvektoranak ( H 0 n = En n ) bázsán kfejtve az állapotvektort ( ψ(t) = n cn (t) n ), a (13.18) Hamlton-operátorral a Schrödngeregyenlet: c m (t) = Em cm (t) + λ Wmn (t) cn (t). (13.19) h n A megoldást hatványsor alakjában keressuk: (0) (1) cm (t) = cm (t) + λcm (t) +..., (13.20) ahol a nulladk rend gyors, de trváls változást ír le: (0) cm (t) = e h Emt cm (0). (13.21) A továbblépés kézenfekvo útja a közönséges dfferencálegyenletek megoldásának az a módszere, amt állandók varálásának neveznek; operátorok nyelvén megfogalmazva ebbo l lett a kölcsönhatás kép (lásd a D. függelékben). Vezessük be a bm (t) := e h Emt cm (t) (13.22) mennységet, amely az elo zo egyenlet szernt λ0 rendben állandó; ez az az állandó, amt varál a perturbácó jelenléte. Felhasználva a (13.19) és (13.21) egyenleteket és a (13.22) defnícót, ezt kapjuk: b m (t) = λ h e h Em t Wmn (t) e h Ent bn (t) n = λ h e ωmn t (13.23) Wmn (t) bn (t), n ahol bevezettük az ωmn := (Em En )/h jelölést. A perturbácószámítás λ1 rendu közelítését egyszeruen akkor kapjuk, ha a jobboldalon bn (t)-t kezdet értékével, bn (0) = cn (0)-val közelítjük mnden t-re. Ekkor az egyenletet közvetlenül ntegrálhatjuk az do szernt: beírva a λ = 1 értéket, bm (t) h n Z t 0 eωmn t Wmn (t ) dt cn (0). (13.24)

172 Perturbácószámítás Legyen a kezdet állapot egy H 0 -sajátállapot: cn (0) = δn. Annak a valószínusége, hogy egy késo bb t pllanatban a rendszert egy különbözo, f 6 = végállapotban találjuk, más szóval: az átmenet valószínusége, a (13.24) egyenlet alapján1 Pf = 1 h 2 Z t 0 2 eω f t W f (t ) dt. (13.25) Az eredmény tartalma roppant szemléletes.2 A perturbálatlan Hamltonoperátor nagy abban az értelemben, hogy az ωmn frekvencák határozzák meg a leggyorsabb változások do skáláját. Ematt az ntegrandus gyorsan oszcllál, és eredo je közel lesz a semmhez, kvéve ha a W f (t) perturbácó ugyanlyen frekvencával oszcllál! Akkor ugyans, ha mondjuk W f (t) = W f0 sn(ω f t), ennek (/2) exp( ω f t) összetevo je kompenzálja az ntegrandusban levo exp(ω f t) tényezo t, kettejük szorzata konstans, ntegrálja pedg nagy és az do vel arányosan növekszk. Ezt a magyarázatot adja az do függo perturbácószámítás az do ben perodkus külso mezo legtöbbször: fény által okozott kvantumátmenetek rezonancaszeru vselkedésére. Nncsen ebben semm ugrásszeru, mnden az do ben folytonos Schrödnger-egyenlet szernt történk, de mégs, az átmenetek gyorsak, ha hν a Bohr-feltételnek megfelelo en eltalálja a kezdet és végállapot energakülönbségét. Akkor s, ha a bejövo -perturbáló fényt klasszkus külso hatásnak tekntjük, am bár korlátozott érvényu, de hasznos közelítés, a Bohr-feltételro l eszünkbe kell hogy jusson az energa megmaradása egyetlen foton elnyelo désénél és ksugárzásánál. Az energa do határozatlanság relácóból azt sejtjük, hogy a rezonanca annál élesebb lesz, mnél hosszabb do t engedünk a fény által keltett átmenetnek. Az egyfotonos folyamatok és az ero s fényben lejátszódó átmenetek között pontos kapcsolatot azonban csak az elektromágneses tér kvantumelmélete alapján lehet feltárn. Ezzel foglakozunk a pontban. 1 Az és f ndexek hagyományosak és beszédesek: az angol ntal (kezdet), ll. fnal (végso ) szavak rövdítése. 2 Érdemes odafgyeln arra, hogy ha a kezdo állapot nem egyetlen perturbálatlan energasajátállapot, hanem mondjuk ketto nek a szuperpozícója, akkor egy közös végállapotba való átmenet valószínuségében a két forrásból jövo részhullámok nterferálhatnak: az átmenet valószínuség ártalmatlannak látszó fogalma csak egyszeru esetekben felel meg klasszkus valószínuségszámításon nevelkedett szemléletünknek.

173 13.2. Ido to l függo perturbácók; kölcsönhatás kép; a Ferm-féle aranyszabály Átmenetek a folytonos spektrumban; a Ferm-féle aranyszabály A alpont végén említett specáls eset: az do ben perodkusan változó külso perturbácó annyra fontos, hogy megérdeml az alaposabb vzsgálatot.3 Legyenek tehát és f most s a perturbálatlan H 0 sajátállapota, és a perturbácó átmenet mátrxeleme legyenek lyen alakúak: W f (t) = W f (t) = W f 2 cos ωt = W f [exp(ωt) + exp( ωt)]. (13.26) Helyettesítsük be ezt a (13.25) formulába: Pf W f 2 = h 2 Z t 0 e(ω f +ω)t + e(ω f ω)t 2 dt 2 W f 2 e(ω f +ω)t 1 e(ω f ω)t 1 = + ωf + ω ωf ω h 2 t t sn (ω f ω) W f 2 (ω f +ω) t sn (ω f + ω) 2t (ω ω) = e + e f (ω f + ω) 2t (ω f ω) 2t h 2 2 t 2. (13.27) Ezen a ponton konkretzáljuk élesebben, hogy mro l s beszélünk. A fent formulák akkor hasznosak, ha a h ω f perturbálatlan energakülönbségek surun helyezkednek el az energatengelyen, vagys ha a rendszernek kvázfolytonos spektruma van.4 Ennek megfelelo en, nézzük az eredményt adott ω > 0 frekvencájú külso jel esetén ω f függvényében. A (13.27) egyenletsor végén megjeleno kfejezésnek elég hosszú do, ω t 1 esetén5 ω függvényében két csúcsa van. Az elso csúcs a spektrumnak azon a részén jelentkezk, ahol ω f = (E f E )/h ω. Mvel értelemszeruen ω > 0, ez a csúcs olyan átmeneteket választ k, amelyekre E > E f, vagys ahol a kezdet állapot gerjesztett, és a perodkus külso hatás a rendszert energában lefelé nyomja, mközben a felszabaduló energakülönbség hozzáadódk a 3 Érdemes hangsúlyozn, hogy tt és a következo kben mndg a Schrödnger-képben számolunk: az operátorok do függése csak a külso terek explct do függésébo l ered. frekvenca között távolságra: ω 1/t( ω). Ha az do túl hosszú, a rendszer érezn kezd, hogy a spektrum dszkrét: elértük a klasszkus mechankából smert Poncaré-cklusok dejét. 4 A krtérum két szomszédos 5 Enny do kell, hogy gazán kderüljön, hogy a bejövo jel perodkus volt.

174 Perturbácószámítás külso tér energájához! Ezt nevezzük Ensten nyomán ndukált emsszónak vagy stmulált emsszónak. Ez a folyamat ero sít a bejövo jelet. Ezen alapul a lézer muködése: az ero síto köré csak tükrökbo l álló vsszacsatolás kell, hogy oszcllátorrá váljék. A másodk csúcs ω f = (E f E )/h ω esetén jelenk meg: ez akkor muködk, ha E f > E, vagys ha a végállapot magasabban van energában, mnt a kezdet állapot. Ilyenkor a perodkus külso hatás a rendszert gerjeszt, mközben a rendszer a megfelelo energakülönbséget elnyel a külso térbo l. Ez az abszorpcó esete. A csúcsok szélessége az elso zérushelyek távolságában mérve ω = 4π/t, vagys energában: h E = 4π. t (13.28) Ez nylvánvalóan az energa do határozatlanság relácó egyk megjelenése: ahogy az do halad, a rezonancaszeruen kválasztott végállapotok egyre élesebben választódnak k a kontnuumból, adott E energájú kezdo állapot esetén két lehetséges energaérték körül: E + h ω, ahova abszorpcóval juthat el a rendszer, és E h ω, ahova ndukált emsszóval.6 Ha teljesül a már többször említett t ω 1 feltétel, a két spektráls csúcs jól különválk egymástól, így nem nterferálnak, és a (13.27) végeredményben tagonként lehet négyzetre emeln: W f 2 h t t 2 g (ω ω) + g (ω + ω) t f f 2 2 h 2 W f 2 h t t 2 = g (E E h ω) + g (E E + h ω) t, f f 2h 2h h 2 (13.29) Pf = ahol g(y) := sn2 y ; y2 Z g(y)dy = π. (13.30) 6 Az abszorpcónak és ndukált emsszónak klasszkus fzka megfelelo je s van: az elektromosan töltött oszcllátor a rezonanca-frekvencán oszclláló külso elektromos térto l felvesz vagy lead energát aszernt, hogy a térhez képest fázsban set vagy késk.

175 13.2. Ido to l függo perturbácók; kölcsönhatás kép; a Ferm-féle aranyszabály 175 Amnt már megbeszéltük, t növekedésével a csúcsok beszukülnek, mközben ntegráljuk változatlan marad: W f 2 h t t 2 Pf π δ (E E h ω) + δ (E E + h ω) t f f 2h 2h h 2 W f 2 2πh = [δ(e f E h ω) + δ(e f E + h ω)] t 2, t h 2 (13.31) ahol khasználtuk, hogy δ(ax) = a 1 δ(x). Végso rendezés után kapjuk a híres Ferm-féle aranyszabályt: P f (t) w f t, (13.32) ahol w f az do egységre eso átmenet valószínuség: 2π W f 2 [δ(e f E h ω) + δ(e f E + h ω)]. (13.33) h Külön esetként kell megemlíten a konstans (0-frekvencájú) perturbácó esetét. Ilyenkor a két csúcs természetesen egyáltalán nem válk szét, hanem azonosak lévén, mndvégg ero sítk egymást. Ha most a kölcsönhatás mátrxelemet W f (t) = W f (t) = W f = const. (13.34) w f = alakban vesszük fel (2-es szorzó nélkül!), akkor az eredmény, összhangban a (13.25) formulával, 2π W f 2 δ(e f E). (13.35) h Mndkét változatra vonatkozó megjegyzés, hogy a deltafüggvények a konkrét feladatokban nem a frekvencák éles hangolását fejezk k, hanem kezdetvagy végállapotok folytonos eloszlásából való válogatást. A példákat bo ven kínálja a sugárzás és szórás folyamatok elmélete. A Ferm-féle aranyszabályt rengeteget alkalmazzák a vlágban lejátszódó legkülönbözo bb folyamatok leírására. A belo le számolt átmenet valószínu ség teljesen belellk a valószínuségszámítás klaszkus fogalomkörébe. Melo tt az olvasó elraktározza, mnt egy kváló mno ségu csavarhúzót, foglaljuk össze még egyszer a korlátat: w f = Nagyon rövd do re az átmenet ampltúdó sok különbözo energájú végállapotra lneársan kezd növekedn az do vel, az átmenet valószínu ség pedg ennek megfelelo en kvadratkusan. A (13.33) szernt energaválogatás és a kválasztott állapotok lneársan növekvo feltöltése t 1/ ω f do után áll be.

176 Perturbácószámítás A levezetésnél hallgatólagosan feltettük, hogy a megcélzott végállapotok üresek. Hosszú do re, amkor t w f egységny nagyságrenduvé lép elo, ez már nem gaz, így a lneárs szakasz csak korlátozott do szakra érvényes. Ez elég súlyos korlátozásnak látszk, de a helyzet sokszor nem ennyre komoly: ha az átmenettel egydejuleg környezet kölcsönhatások s muködnek, amelyek a koherencát folyamatosan lerontják, az a Ferm-aranyszabály alkalmazhatóságát messze ktolhatja a hosszú do k felé. Ezeknek a hosszú do kre feljavított aranyszabály-alkalmazásoknak jólmuködo keretét jelent a master-egyenletek módszere; lásd az E. függeléket. A fentekben két korlát közé szorítottuk az alkalmazhatóság dejét: ω f 1 t w 1 f. Hogy ez az ntervallum ne legyen üres, ahhoz az kell, hogy ω f w f legyen. Ez összhangban van azzal, hogy az egész módszer a perturbácószámításon alapul; ha a perturbácó átmenet mátrxeleme nagyok, w f W f 2 olyan nagy lehet, hogy nem marad aranyszabályos do ntervallum. Ha már a kezdet pllanatban több H 0 sajátállapot szuperpozícójából ndulunk, ezek fejlo dése nterferálhat egymással; lyenkor az átmenet valószínuség fogalma nem használható, vssza kell mennünk a kvantummechanka ampltúdókhoz. Végül számoljuk k annak valószínuségét, hogy egy ω frekvencájú perturbácó hatására a rendszer kezdo állapotából akárhová átmegy, pl. egy gerjesztett atom akármlyen végállapotba ksugározva gerjesztés energáját, átmegy az alapállapotba. Mvel a Ferm-aranyszabály érvényesség határán belül a különbözo átmenetek nem nterferálnak, így valószínuségszámítás értelemben független eseményeknek tekntheto k, és valószínuségek összentegrálódnak. Ez az átalakítás s kettéágazk a fentek szernt: véges ω frekvencájú perturbácóra P f (t) f t Z w f ρ(e f )de f 2π = t h W f 2 f (ρ(e + h ω) + ρ(e h ω)), h (13.36) do ben állandó perturbácó esetén pedg ugyanígy, P f (t) = f t 2π h W f 2 f ρ(e ), h (13.37)

177 13.3. Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó 177 ahol ρ(e) a végállapotok surusége az energatengelyen, h f pedg a mátrxelem négyzetének végállapotok szernt átlagolását jelz. Néha ezeket a formulákat s Ferm-féle aranyszabálynak nevezk Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó Ensten a Planck-féle sugárzás törvény elemzésébo l jött rá, hogy a fény anyag kölcsönhatásban7 három elem folyamatot lehet megkülönböztetn: Abszorpcó: egy atom8 a beeso fény hatására E energájú kezdet állapotából E f > E energájú állapotba gerjeszto dk, az ehhez szükséges energát a fénybo l vesz fel, mközben teljesül az elnyelés E f E = hν Bohr-feltétele; a folyamat gyakorsága arányos a beeso fény ntenztásával. Indukált emsszó: egy atomot E energájú gerjesztett állapotából a beeso fény lenyom egy E f < E energájú állapotba, mközben teljesül a ksugárzás E E f = hν Bohr-feltétele; a felszabaduló energa sugárzás alakjában koherensen hozzáadódk a beeso fényhez, azzal azonos hullámmódusban. Ennek a folyamatnak a valószínusége s arányos a beeso fény ntenztásával, am a ksugárzott energa által felero sítve halad to9 vább; ez az alapfolyamata a lézerek muködésének. Spontán emsszó: gerjesztett állapotú atomok elo bb vagy utóbb akkor s vsszatérnek alapállapotukba, ha elo tte a környezetben nem volt jelen sugárzás. Az lyenkor emttált sugárzás s megfelel az E E f = hν feltételnek; semmlyen környezet mozgással nem koherens; bármlyen hullámmódusban észlelheto. Hogy mndez hogyan kapcsolódk a Planck-féle sugárzás törvényhez, arra még vsszatérünk a alpontban. Most azonban fontosabb dolgot 7 Természetesen a fény s anyag; az elterjedten használt fény anyag kölcsönhatás kfejezésben az anyag nyugalm tömeggel rendelkezo anyagot jelent, amely elektromos töltése és/vagy spn eredetu mágneses momentuma révén kerül kölcsönhatásba az elektromágneses mezo vel. 8 Csak a rövdség kedvéért beszélünk atomról; természetesen lehet molekula, krstályos vagy nemkrstályos kondenzált anyag s. 9A lézer mnt oszcllátor muködéséhez az ero sítésen kívül vsszacsatolásra s szükség van, amt tükrözo felületek bztosítanak. Az ero sítéshez az kell, hogy az ndukált emsszó folyamataból több legyen, mnt az abszorpcóból. Ez az átmenet mátrxelemek hermtkus szmmetrája matt (do tükrözés szmmetra) csak úgy lehetséges, ha a gerjesztett atomok többen vannak, mnt az alapállapotúak. Hogy ezt a populácó-nverzónak nevezett állapotot megvalósítsuk, ahhoz a rendszert folyamatosan pumpáln kell gerjesztett állapota felé.

178 Perturbácószámítás kell megbeszélnünk: a három alapfolyamat klasszkus, ll. kvantumos jellegét. Arról van szó, hogy az abszorpcó és ndukált emsszó folyamatat a klasszkus elektrodnamka alapján s meg lehet érten, legalábbs nagy vonalakban: egy rezgo dpólus és a jelenlevo, ugyanolyan frekvencájú elektromágneses sugárzás között energaátadás ránya a két rezgés között fázskülönbség elo jeléto l függ: eszernt fog vagy az elnyelés, vagy a ksugárzás domnáln. Ha a rezgo dpólus klasszkus képéro l áttérünk az atom kvantummechanka leírására, attól még a kép tartalma változatlan marad: a gerjesztett kezdo állapotú atomot a bejövo sugárzás éppen olyan fázsban hozza rezgésbe két állapot között, hogy a ksugárzás folyamata domnáljon, és fordítva: a kezdetben alapállapotú atomot olyan fázsban rezget meg, hogy az elnyelés legyen ero sebb. Mndez egyetlen sugárzás móduson belül történk; abban a módusban érkezk a bejövo sugárzás, azt ero sít az ndukált emsszó.10 Mndezt jól lehet követn akkor s, ha az elektromágneses mezo kvantáltságáról átmenetleg elfelejtkezünk. Ezt tesszük meg a alpontban. A spontán emsszó keményebb dó a részletes elmélet szempontjából. Ahogy már a 2.8. és 3.4. pontokban s megjegyeztük, egy gerjesztett energasajátállapotban az elektronsuruség do ben szgorúan állandó, nncs rezgo dpólus vagy bármlyen multpólus, a klasszkus elektrodnamka szempontjából nncs, am sugározzon. A kvantált elektromágneses tér módusa azonban alapállapotukban s mndenütt jelen vannak és a zéruspont-rezgésben jelenlevo elektromos téren keresztül mutatják az utat, hogy egy foton felvételével gerjesztett állapotba menjenek át. Ennek matematka kfejezése a (8.42) kölcsönhatásban jelenlevo fotonemsszós operátor, amely véges valószínuséggel vsz át a zéruspont-rezgésbo l az egyfoton állapotba, mvel a (8.35) egyenletben bevezetett kelto operátornak a zéruspont-rezgés Gausshullámcsomagja felo l van átmenet mátrxeleme az egyfoton állapot felé, nem a semmto l a valam felé. A sugárzásra vonatkozó konkrétumokat a alpontban beszéljük meg. Az összes sugárzás folyamatok leírásánál van egy durva korlátozás: ha az f átmenetnek megfelelo elektromos töltésoszcllácónak nncsen dpólmomentuma, akkor az ero s dpólsugárzás nem jelenk meg, se emsszóban, se abszorpcóban. Emögött többnyre az atom állapotok szmmetrá rej10 Amkor a fény egy módusból elnyelo dk és azonnal egy másk módusba sugárzódk vssza, az a fényszórás jelensége. Ez jóval gyengébb folyamat, mnt az ndukált emsszó; a kvantummechanka perturbácószámítás szernt s csak a sorfejtés magasabb rendjében jelenk meg.

179 13.3. Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó 179 to znek. Ez a kválasztás szabályok témaköre, amellyel a alpontban foglalkozunk Félklasszkus sugárzáselmélet Kndulópontunk a kölcsönhatás Hamlton-operátor (8.42) egyenletbel másodk kfejezése, amelyben azonban az ~E(~r,t) elektromos térero sséget a fény ntenztása által meghatározott klasszkus mennységnek tekntjük. Induljunk k monokromatkus (élesen meghatározott frekvencájú) fénybo l, és használjuk a dpólközelítést s, amelynek értelmében a térero sséget az atom ~r0 helyén felvett ~E(~r0,t) = ~Eω cos(ω t) értékével helyettesítjük: ~Eω ωt Wˆ (t) = ~Pˆ e + e ωt. 2 (13.38) Ez olyan operátor, amely a sugárzás klasszkus leírása matt csak a töltött részecskerendszer (pl. egy atom elektronfelho je) Ψ kvantumállapotára hat. A fent egyenletben ~Pˆ = n q j ~rˆ j (13.39) j=1 a folyamatban résztvevo töltött részecskék együttesének dpólmomentum operátora. Összehasonlítva a (13.26) formulával, leolvassuk az oszclláló kölcsönhatás ampltúdójának átmenet mátrxelemét: ~Eω ~P f 2 (13.40) Ψ f ~Pˆ Ψ d 3n r (13.41) W f = ahol ~P f = Z a dpólmomentum átmenet mátrxeleme a részecskerendszer és f energasajátállapota között. A (13.40) mátrxelemet behelyettesítve a Ferm-féle aranyszabály (13.33) formulájába, megkapjuk az do egységre vonatkozó átmenet valószínuséget: 2π ~Eω ~P f 2 [δ(e f E h ω) + δ(e f E + h ω)] h 4 2π ~Eω 2 P f 2 2 [δ(ω f ω) + δ(ω f + ω)], 4 3 h w f = (13.42)

180 Perturbácószámítás ahol a másodk lépésben a térben szabadon forgó atomot feltételezve kátlagoltunk a dpólmomentum lehetséges beállás rányara,11 és a deltafüggvényekben áttértünk az ω változókra. A két deltafüggvényes tag közül az elso E f E energának a fénybo l való elnyelését (abszorpcóját) írja le, a másodk E E f energának a sugárzás jelenléte által kváltott, ndukált emsszóját, amely ero sít a beeso fényt. Egy adott f átmenetben az elso folyamat akkor valósul meg, ha E f > E, a másodk akkor, ha E f < E. Az elnyelt, ll. ksugárzott fény energája éppen egy fotonny, de erro l a félklasszkus elmélet leírás nem vesz tudomást; h ω csak mnt az atomos rendszer által felajánlott frekvencaskála jelenk meg. A hosszú hullámokra érvényes dpólközelítést a továbbakban s fenntartjuk. Azonban hogy közelítsünk a reáls helyzetekhez és megszabaduljunk a deltafüggvényekto l, lépjünk tovább a monokromatkus beeso fényro l a folytonos spektráls eloszlású fényre: ~E(t) = Z dω ~Eω cos(ω t + ϕω ), (13.43) amelyhez az elektromágneses hullámok elmélete szernt u(ω) = ε0 Eω 2 2 (13.44) frekvenca és térfogat szernt energasuruség tartozk. Ezzel a (13.42) átmenet valószínuség kntegrálható a frekvenca szernt, és a deltafüggvények kválasztják a megfelelo frekvencájú energasurusé get. Az eredmény legfeltuno bb tulajdonsága az, hogy két tagja megegyezk egymással: külön-külön mndketto 2π P f u( ω f ) h ε0 π P f 2 = 2 u( ω f ), h 3ε0 wnd.em. = wabsz = (13.45) am azt jelent, hogy adott beeso sugárzásra az abszorpcó, ll. az ndukált emsszó do egységre eso valószínusége megegyezk egymással; hogy melyk következk be ezzel a valószínuséggel, az csak azon múlk, hogy a kezdet állapot az alacsonyabb vagy a magasabb energájú. Egy kcst mélyebbre nézve, a két valószínuség egybeesése azon múlk, hogy W (t) és benne P önadjungált, ezért P f 2 = Pf 2, am végso soron az untér do fejlo dés do tükrözés szmmetráját fejez k. 11 Az ~E és ~P által bezárt ϑ szögre cos2 (ϑ) = 1/3.

181 13.3. Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó 181 A (13.45) formulák alább, a alpontban felbukkannak, mnt Ensten-féle átmenet valószínuségek Spontán emsszó Ebben a folyamatban az atom egy gerjesztett állapotból átmegy egy alacsonyabb energájú f állapotba, mközben a környezo foton-módusok összességében megjelenk egyetlen foton. Az atom foton rendszer kezdet állapota:, 0, ahol a 0 azt jelent, hogy az összes foton-módusok alapállapotban (a zéruspont-rezgés állapotában) vannak. A végállapot f, 1k állapotok szuperpozcója, ahol 1k azt jelent, hogy a k módus 1 foton állapotba kerül, a több megmarad a 0 foton alapállapotban. Ahhoz, hogy megkaphassuk az do egységre jutó átmenet valószínuséget, amt Ensten nyomán A f -vel jelölünk, elo ször k kell számolnunk a (8.42) fény-anyag kölcsönhatás átmenet mátrxelemét, amelyben most az elektromos térero sséget s operátornak kell tekntenünk. Konkrét alakját a (8.41) formulából olvashatjuk le, amelybo l a Schrödnger képnek megfelelo en elhagyjuk az do függo tényezo ket. Mvel egy foton emsszóját akarjuk leírn, a kszámítandó mátrxelemekbe a térero sségbo l csak a kelto operátoros tagok fognak járulékot adn: s h ω ~ W fk = h f, 1k ~Pˆ ~Eˆ, 0 = Pf h1k a k 0k eω t ~u k (~r) 2ε0 (13.46) s h ω ω t ~ = e Pf ~u k (~r), 2ε0 ahol ω = ω f = (E E f )/h az emttált foton frekvencája. Most kell megmondanunk, mlyen foton-módusokról beszélünk: feltételezve, hogy az atom nagy, üres térben lebeg, mnden fényvsszavero vagy fényelnyelo faltól távol, válasszuk egy nagy V térfogatra normált, a határokon cklkus határfeltételeket kelégíto ~ek exp( ~k ~r) vektor síkhullámok teljes rendszerét, ahol ~ek a polarzácós vektor. Mvel azonban az atomot, akárcsak az elo zo alpontban, kcsnek gondoljuk a fény hullámhosszához képest, most s használhatjuk a dpólközelítést, amelynek értelmében exp( ~k ~r) helyfüggését az atom méreten belül elhanyagoljuk: 1 ~uk (~r) ~ek. (13.47) V Ezt behelyettesítve a mátrxelem kfejezésébe, négyzetre emelve és az elo zo alpont mntájára elvégezve a polarzácós skalárszorzat rány szernt átlago-

182 Perturbácószámítás lását s, végül ezt kapjuk: W f 2 = h ω Pf ε0 3 V (13.48) Az do egységre eso átmenet valószínuséget a Ferm-féle aranyszabály (13.37) alakjából akarjuk kszámítan, de ehhez szükségünk van még a foton-végállapotok energa szernt suruségére s. Tudjuk, hogy a cklkus határfeltételek mellett egy skalár módusnak a fázstér egy h3 = (2πh )3 térfogatú cellája felel meg; a transzverzáls polarzácó még megketto z a módusok számát. Végül az állapotsuruség így adódk: ρ(h ω) = V 4πp2 d p ω2 2 =, (2πh )3 h dω π2 c3 h (13.49) ahol fgyelembe vettük, hogy fotonokra p = h k = h ω/c. Most már csak szoroznunk kell egyet: a (13.37) egyenlet szernt Af = Pf 2 ω3 2π W f 2 ρ(h ω) =. h 3π ε0 h c3 (13.50) Ez a végeredményünk a szabadba sugárzó atom esetére, amely spontán emsszóval egy soha vssza nem téro fotont bocsát k. Ezt a fotont bárhol, bármlyen rányban detektálhatjuk; ennek megfelelo en az atomra gyakorolt vsszalökése s akármlyen rányú lehet, így a spontán emsszó egyfajta sznonmája lett a véletlen zajnak. Ez azonban nem a teljes gazság. A kísérlet kvantumoptkában egyre nagyobb szerephez jutnak azok az esetek, amelyekben a spontán emsszó nem a szabadban megy végbe, hanem egy nagy jóság tényezo ju optka vagy mkrohullámú rezonátorban, amelynek egy módusa élesen ráhangolódk egy atom átmenetre. Ilyenkor ha a rezonátor elég jó a foton többször odavssza járhat az atom és a rezonáns módus között. Ez érdekes példája a koherens kvantumjelenségekben gyakor Rab-oszcllácónak, amt mágneses rezonancára vonatkozóan a pontban smertünk meg. A két helyzetben az a közös, hogy a kísérletleg létrehozott kezdo állapot tt:, 0 nem energasajátállapot, ematt a rendszer oszcllácóra kényszerül a csatolt atom foton rendszer gaz energasajátállapota között, amelyek a jelen esetben, 0, és f, 1 meghatározott szuperpozcó: az un. felöltözött atomok. Erre a sztuácóra természetesen a perturbácós leírás és a Ferm aranyszabály közvetlenül nem alkalmazható; külön kell kézzel megoldan az egyszeru oszcllácós dnamka Schrödnger-egyenletét.

183 13.3. Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó 183 A szabadba sugárzó atom esetében s túlléphetünk a perturbácószámítás kereten, amnt azt Wgner és Wesskopf alapveto munkája (1930) megmutatta: a csatolt atom foton rendszer Schrödnger-egyenletének van olyan közelíto megoldása, amely gerjesztett atomból és alapállapotú fotontérbo l12, mnt kezdet állapotból kndulva, exponencáls lecsengéssel közelít az alapállapotú atom és egy ksugárzott foton aszmptotkus végállapota felé. A (13.50) átmenet valószínuséget ebben a számításban úgy kapjuk meg, mnt az exponencáls lecsengés nverz do állandóját. 13 Állítsuk elo az állapotvektekntsük át rövden a módszer muködését. tort ψ(t) = e h Et b0 (t), 0 + e h (E f +h ωk )t bk (t) f, 1k (13.51) k6 =0 alakban; akkor14 a (13.23) egyenletek lyen alakot öltenek: b 0 (t) = h e(ω f ωk )t W0k bk (t), k6 =0 (13.52) (ω f ωk )t b k (t) = e Wk0 b0 (t), h p ahol W0k = h ωk /2ε0 ~Pf ~u k (~r), és ωk a k-adk módusba emttált foton frekvencája, amely nem feltétlenül esk egybe az atom átmenet frekvencájával. A feladat része éppen a kjövo foton spektráls ntenztáseloszlásának meghatározása. Integráljuk (13.52) másodk egyenletét a bk (0) = 0 kezdet feltétellel, b0 (t)-t adottnak tekntve, és az eredményt helyettesítsük vssza az elso egyenletbe. Ekkor az alább zárt ntegro-dfferencálegyenletet kapjuk b0 (t)-re: 1 t e(ωk ω f )(t t ) W0k 2 b0 (t ) dt 2 h 0 k " Z # 1 t 2 e(ωk ω f )(t t ) W0k 2 dt b0 (t) h k " Z # 1 (ωk ω f )τ 2 = 2 W0k dτ b0 (t). e h 0 k b 0 (t) = Z (13.53) 12 foton vákuumból, am mnt azt már unalomg hangsúlyoztuk nem a semmt, hanem a mnden módus zéruspont-rezgés állapotát jelent. 13 Ez haladóknak szól; elso olvasáskor khagyható. Másodk olvasáskor az olvasó már haladó. 14 Mvel most nem perturbálunk, így λ = 1.

184 Perturbácószámítás Az elso sorból a másodkra térve hajtottuk végre a Wgner Wesskopf közelítést, amely utóbb számtalan alakváltozatban jelent meg; az olvasó felsmerhet pl. a suruségmátrx master egyenletének Markov közelítésében, amelyet az E. függelékben mutatunk be. A közelítés azt használja k, hogy 1. a sokféle ωk frekvencájú exponencáls tag W0k 2 kölcsönhatás mátrxelemekkel súlyozott összege olyan gyorsan lecseng t t növekedésével, hogy ezalatt b0 (t ) csak keveset változk, ematt b0 (t)-vel helyettesítheto és az ntegrálból kemelheto ; 2. ugyanezen okból az ntegrálás alsó határa 0-ból -be vheto. Végül az utolsó sorban áttértünk a τ = t t ntegrácós változóra, hogy eltuntessük a zárójeles kfejezés látszólagos do függését. Ennek az do ntegrállal és összegezéssel defnált kfejezésnek válasszuk külön a valós és magnárus részét; akkor a fent egyenlet így írható: b 0 (t) = γ δe 2 h b0 (t), (13.54) amnek a b0 (0) = 1 kezdet feltételhez tartozó megoldása γ b0 (t) = e 2 t e h δe t, (13.55) vagy felhasználva a (13.22) egyenletet, γ c0 (t) = e 2 t e h (E +δe ) t. (13.56) A szereposztás vlágos: γ az exponencáls lecsengés együtthatója,15 δe pedg az atom állapot energájának eltolódása ( renormálása ) a sugárzás térrel való kölcsönhatás következtében. Az állapotonként különbözo mértéku eltolódás jelenségét felfedezo jéro l Lamb féle eltolódásnak (angolul: Lamb shft) nevezk. A csllapítás és az eltolódás mértékének kszámítására a (13.53) egyenlet utolsó sorában használjuk a lm t Z t 0 eω τ dτ = π δ(ω) + P 15 P (t) = c (t) = h π δ(h ω) + P ω ω (13.57) = e γ t

185 13.3. Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó 185 összefüggést, amely nem egészen közsmert, de ném türelemmel bebzonyítható.16 Az eredmény: 2π W 2ω f ρ(h ω f ), h Z W 2ω ρ(h ω) δe = P dω, ω ω f γ = (13.58) ahol W 2ω az ω frekvencájú fotonmódusok valamelykébe történo emsszóhoz tartozó kölcsönhatás mátrxelem négyzetnek a módusokra vett átlaga. A gerjesztett állapot γ bomlás állandójára kapott eredmény egybeesk a spontán emsszó do egység alatt valószínuségére kapott (13.50) kfejezéssel, de most látjuk, hogy ez nem csak a ksugárzás kezdetekor, hanem a teljes exponencáls lecsengés do tartama alatt érvényes. A δe vonaleltolódás kfejezéséro l érdemes megjegyezn, hogy a fo érték ntegrálba olyan átmenetek adnak járulékot, amelyekben az energa megmaradása nem teljesül. Ezek a járulékok a kölcsönhatást másodk rendben tartalmazzák, összhangban a kétlépéses folyamattal: egy vrtuáls foton ksugárzódk, majd újra elnyelo dk. A hányzó energa a nevezo ben az újraelnyelésg eltelt do t mér, az energa-do határozatlanság relácónak megfelelo en. Térjünk vssza végül a (13.52) egyenletek másodk sorához. A jobboldalon helyettesítsük be a (13.55) eredményt, és ntegráljuk az do szernt, bk (0) = 0 kezdet feltétellel. Az eredmény: exp [(ω f ωk ) + (γ/2)] t 1 bk (t) =, (13.59) h (ω f ωk ) + (γ/2) ahol bevezettük az ω f = (E + δe E f )/h renormált átmenet frekvencát. Hosszú do re a számlálóban az exponencáls tényezo lecseng, csak az állandó marad meg. Ennek négyzete: bk ( ) 2 = 1/h 2 (ω f ωk )2 + (γ/2)2 (13.60) annak valószínusége, hogy a ksugárzott foton éppen a k módusban, ωk frekvencával jelenk meg. Ez a jellegzetes, a γ 1 deg tartó atom átmenet eω τ dτ = (eω t 1)/(ω) = (1 cos ωt)/ω + sn ωt/ω. Ha ez egy folytonos ω-függvény ntegráljában jelenk meg, növekvo t-re cos ωt mnden véges ω körül egyre gyorsabban oszcllál, így az ntegrálba csak 1/ω ad járulékot. ω 0 körül azonban (1 cos ωt)/ω (t 2 /2)ω, am kvágja ω 0 szmmetrkus környezetét; ez együtt éppen a R P (1/ω) fo értéket defnálja. A valós tagban (sn ωt/ω) = π; t esetén a függvény π δ(ω)-vá keskenyedk. 16 R t 0

186 Perturbácószámítás (renormált) frekvencája körül a határozatlanság relácónak megfelelo γ/2 szélességu csúcsot mutató sugárzás spektrum a Wgner Wesskopf módszer nevezetes eredménye. Gyakorlat: végezzük el a jelen alpont elején leírt perturbatív számítást olyan kezdet állapotból ndulva, amelyben egyetlen módusban 0 helyett N 1 foton van jelen. Igazoljuk, hogy ekkor a mnden módusba sugárzó spontán emsszóhoz hozzáadódk a magasan gerjesztett módusba történo ndukált emsszó, amelynek ero ssége összhangban van az elo zo alpontban kapott (13.45) félklasszkus eredménnyel A Planck-törvény Ensten-féle levezetése Ensten abból a meggondolásból jutott el a spontán és ndukált (stmulált) emsszó megkülönböztetéséhez, hogy enélkül érthetetlen, hogyan kerül termkus egyensúlyba a ho sugárzás az üreg falával. A meggondolás reprodukálására a (13.45) eredményben az energasuruségro l térjünk át az effektív 17 fotonszám-suruségre: n(ν) = 2π n (ω) = 2π u(ω), h ω (13.61) ahol még Ensten hagyományossá vált jelölése kedvéért áttértünk a ν = ω/2π frekvenca szernt effektív fotonszám-suruségre. Ezzel a (13.45) formula így írható: wnd.em. = wabsz = B f n(ν), (13.62) ahol P f 2 ω. (13.63) 3ε0 2h A (13.62) formula beszédes jelentése: B f az do egységre eso valószínusége annak, hogy egy foton elnyelo dk vagy ndukált emsszóval még egy foton születk aszernt, hogy a jelenlevo ν frekvencájú sugárzásra rezonáló atom átmenetnek az atom az alján vagy a tetején tartózkodk. Melo tt tovább mennénk, vegyük észre, hogy a B f együttható az átmenet mátrxelemet ugyanolyan kombnácóban tartalmazza, mnt a spontán emsszó A f együtthatója; a pontos kapcsolat: B f = B f = Af = 2ω2 8π ν2 B = B f. f π c3 c3 (13.64) 17 Azért effektív fotonszám-suruség, mert amnt a 8. fejezetben többször hangsúlyoztuk, a körülöttünk járó sugárzás általában nem fotonszám-sajátállapotban, hanem sok különbözo fotonszámú állapot koherens szuperpozcójában jelenk meg.

187 13.3. Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó 187 És most vssza a ho sugárzáshoz!18 Modellezzük a falat különálló atomokkal; közülük Nn legyen egy n gerjesztett állapotban és Nm az m alapállapotban. Az atomok oda-vssza járnak a két állapot között, ν = (En Em )/h frekvencájú fotonokat cserélgetve az üreggel, de eközben változatlannak kell maradna a T ho mérsékletnek megfelelo Nn En Em hν = exp = exp (13.65) Nm kb T kb T egyensúly gerjesztés aránynak. Ensten arra jött rá, hogy ezt az abszorpcó ellenében csak a spontán és ndukált emsszó együttese képes bztosítan: [Amn + Bmn n(ν)] Nn = Bnm Nm, (13.66) ahonnan felhasználva a Bmn = Bnm untér szmmetrát, valamnt a (13.64) és (13.65) arányokat, ezt kapjuk a fotonszám egyensúly eloszlására: n(ν) = 8π ν2, c3 exp h ν 1 kb T (13.67) am hν-vel megszorozva vsszaadja az (1.3) Planck-törvényt Dpólátmenetek kválasztás szabálya Már a 2.8. pont végén szóba került, hogy egy f átmenet akkor csatolódk az elektromágneses sugárzáshoz, ha rezgo dpólusa van. Az do to l függo perturbácószámítás ezt egyszeru technka kérdéssé tesz: a (11.5) egyenletben hanyagoljuk el a vektorpotencálban kvadratkus tagot, vagys a sugárzást klasszkusnak tekntve legyen egy q töltésu részecske (elektron) esetén a kölcsönhatás Hamlton-operátor a q Wˆ (t) = ~p ~A(t) = q~r ~E(t) M (13.68) dpól-kölcsönhatás.19 Ekkor azok az f átmenetek nyelk el és bocsátják k ero sen a sugárzást, amelyekre nézve a fent kölcsönhatás átmenet mátrxeleme W f 6 =0. Ezeket megengedett átmeneteknek nevezzük. 18 Ensten még nem smerte az elektromágneses mezo kvantálását, ezért a fordított rányban járta végg ugyanezt az utat. 19 A két alakot a hatásban egy do szernt parcáls ntegrálás köt össze, mvel Coulomb~ mértékben ~ E = A/ t.

188 Perturbácószámítás Amelyk átmenetre a dpól-mátrxelem eltunk, azok a tltott átmenetek. Ezek s bekövetkezhetnek, de csak a csatolás magasabb rendjében: vagy a multpól-sorfejtés egy ksebb, mondjuk kvadrupól tagján keresztül, vagy a dpólcsatolás szernt perturbácószámítás magasabb rendjében, vagy a (11.5) operátor tt elhanyagolt kvadratkus (damágneses) tagjából származóan. Hogy egy adott átmenet megengedett vagy tltott, azt általában egyszeruen kmondható, de nem annyra egyszeruen megkapható kválasztás szabályok kötk össze azokkal a kvantumszámokkal, amelyek a kvantumállapotok szmmetráját osztályozzák; a tovább részletek smeretére nncs szükség. ˆ Van egy egyszeru szabály, amely a partással kapcsolatos: a d~ dpólmo~ˆ mentum vektor, tehát a koordnátáknak páratlan függvénye. Ezért egy h f d R ˆ = Ψ f d~ Ψ d 3N r átmenet mátrxeleme csak akkor lehet 0-tól különbözo, ha a teljes ntegrandus nem páratlan, vagys ha Ψ és Ψ f közül az egyk páros, a másk páratlan. A tovább kválasztás szabályok általában nem ennyre egyszeruek. Egy ˆ ˆ ~ atom vagy molekula dpólmomentumának operátora d = l ql~r, ahol ql az l-edk töltött részecske töltése. Az elektronok elmozdulása sokszorosa az atommagokénak, úgyhogy az utóbbak helyzetét az elektronátmenetek spektrumának vzsgálatánál többnyre rögzített klasszkus paraméternek lehet teknten. Hogy egy sokelektron-rendszer dpólmomentumának két adott kvantumszámokkal rendelkezo állapot között van e átmenet mátrxeleme, annak eldöntése egy konkrét esetben lehet könnyu vagy nehéz feladat; nehezebb esetekben a csoportelmélet módszerek jó szolgálatot tesznek. Az egyszeru eset az egy elektronos atom: a hdrogénatom. Itt a radáls hullámfüggvény gömbszmmetrkus, tehát az orgóra való tükrözésnél nem változk: a fo kvantumszám nem jut szerephez. A gömbfüggvényekro l a 9.4. pontban megtanultuk, hogy aszernt párosak vagy páratlanok, hogy l páros vagy páratlan; ebbo l a fentek matt leszurhetjük, hogy a megengedett dpólátmenetekben l párosságának változna kell. Ez már valam, de még túl sok varácót enged meg. A megfgyelt spektrumok ero sebb megszorításokról árulkodnak, különösen a Zeeman-effektusban mágneses térrel felhasított színképvonalak vannak jóval kevesebben, mnt lehetnének. Ennek értelmezésére komolyabban hozzá kell látnunk a számoláshoz. A kérdés úgy veto dk fel, mlyen mpulzusmomentumú állapotba vhet át ~ a sugárzás egy q~r ~E-vel arányos perturbácó egy l, m kezdet állapotot (E elektromos térero ssége). ~r-nek a fény polarzácós rányába eso komponen-

189 Abszorpcó, ndukált és spontán emsszó sét kell néznünk; a z rányt a Zeemann-effektusnál használt mágneses tér ránya jelöl k. A z rányban polarzált fény esetében, mvel [z, L z ] = [z, (x p y y p x )] = 0, (13.69) L z sajátértéke nem változhat: a megfelelo kválasztás szabály m m. (13.70) Ha a sugárzásnak van a mágneses térre mero legesen (x vagy y rányban) polarzált komponense, akkor ezeknek a dpólkomponenseknek a kommutátorat kell kszámoln: elleno rzzük, hogy [L z, (x ± y)] ˆ = ±h (x ± y), ˆ (13.71) ematt az (x ± y) ˆ kombnácók lépteto operátorok: ezek a komponensek m m±1 (13.72) átmeneteket engednek meg. Az l kvantumszám kválasztás szabályat többféleképpen meg lehet kapn: gömbfüggvények szorzatat ntegrálva, vagy az [L 2, x ] típusú kommutátor elemzésével. Az eredmény: l egy lépésben egynél többet nem változk, vszont a partásának változna kell, ezért a végleges kválasztás szabály: l l ± 1. (13.73) A tltott átmenetek nem feltétlenül jelentenek valam negatív dolgot. Mvel ezek tltottságuk matt lassan következnek be, az energa-do határozatlanság relácó matt bennük az energa nagyon élesen meghatározott marad. Ezért a tltott átmenetek spektroszkópája, bár technkalag gényesebb, mnt a megengedett állapotoké, különleges pontosságot ígér. Ennek nevezetes példája a Dehmelt által ktalált és azóta sok változatban megvalósított kvantumugrás kísérlet, más néven: a polcra tett elektron, amt a pontban smertetünk.

190

191 14. fejezet Szórás folyamatok Szóráskísérletek: ütközések, reakcók, rugalmatlan és rugalmas szórás, potencálszórás A szórásjelenségek kategórájába rengeteg különféle folyamat tartozk, amelyekben elem részecskékto l bonyolult molekulákg különbözo mkroszkopkus tárgyak ütköznek egymásba vagy makroszkopkus akadályokba. A kvantummechanka szempontjából az bennük a közös, hogy a jelenségek anyaghullámok terjedésével írhatók le; a kísérletezo gyekszk a bejövo részecskenyaláb állapotát síkhullám-szerunek preparáln, és az ütközés helyéto l gömbhullám-szeruen szétterjedo szórt részecskéket detektorokkal megszámoln. A cél az ütközéskor lejátszódó kölcsönhatás megsmerése. A bejövo részecskék lehetnek elektronok, fotonok, alfa-részecskék, atomok, onok, molekulák, ponok, müonok, és mndaz, ambo l a fzkusok sugárforrást tudnak készíten. Az ütközo partnerek ugyanezek lehetnek, egy másk sugárforrásból kjövo nyalábban, vagy szlárd céltárgyba foglalva. A detektorok a detektálandó tárgyak természete szernt sokfélék lehetnek; a bejövo részecske észlelésekor többnyre elektromos mpulzust adnak le, amt trükkös és némképpen önkényes elektronkus berendezések gyekeznek felero síten és közben megtsztítan mndenféle eredetu zajoktól, amelyek hatásukban kétfélék: a) a detektor megszólal, pedg nem jött részecske, b) a detektor nem szólal meg, pedg jött részecske. A kvantumfzka ho skorában elterjedt ködkamrák és buborékkamrák eltuno ben vannak az elektronkus jelfeldolgozáshoz egyre jobban lleszkedo detektorrendszerek hatására. A céltárgyak és a detektorok között analzátorok helyezkedhetnek el, amelyek a szórt részecskéket energa vagy mpulzus, esetleg belso állapotjellemzo k szernt szétválasztják, pl. elektromos és mágneses mezo kkel, a Neumann-mérés elvevel összhangban. Az ütközo partnerek sokféle reakcóba léphetnek egymással, keletkezhetnek és eltunhetnek, gerjeszto dhetnek és le s adhatnak energát. Szukebb értelemben szórásról akkor beszélünk, ha az ütközo részecskék azonossága megmarad, pl. elektron jön be, és ugyananny elektron jön k. Még 191

192 Szórás folyamatok szukebb kategóra a rugalmas szórás : lyenkor a szóródó részecske energája változatlan marad. Ennek modellje és sokszor tartalmlag s hu leírása a potencálszórás : lyenkor a céltárgyat egy térben rögzített V (~r) potencállal írjuk le, amelyen a bejövo anyaghullám szétszóródk. Ilyenkor a 2 ψ/ t = ( /h ) p /2M + V (~r) ψ do függo Schrödnger-egyenlet írja le a bejövo és szétszóródó hullámcsomagok mozgását Staconárus potencálszórás, szórás ampltúdó és hatáskeresztmetszet A bejövo hullám elméletleg egyszeru és kísérletleg s jól defnált kezdo állapotát úgy lehet megteremten, ha nagymértékben monokromatkussá tesszük: élesen meghatározott energát és hullámvektort valósítunk meg rajta. A határozatlanság relácók matt ez do ben és térben nagykterjedésu hullámcsomaggal valósítható meg. Mnél jobban skerül, annál nkább hasonlít egy síkhullámhoz. Ennek megfelelo en a potencálszórás standard elmélet modellje így épül fel: staconárus állapot, amelyben egy bejövo síkhullám folyamatosan szóródk a potencálon, és egy része a szórócentrumból knduló gömbhullám módjára halad tovább. A kísérletben szabályozn tudjuk a forrásból bejövo monokromatkus nyaláb részecske-áramsuruségét; azzal arányos lesz a szórt ntenztás s. A ~ síkhullámot az egyszeruség kedvéért ek ~r alakban vesszük fel; ennek valószí~jbe =~vcsop = h ~k/m. nuség-surusége 1, valószínuség-áramsurusége A szórócentrumtól elég távol, egy adott ϑ, ϕ rányba (ϑ = 0 a bejövo nyaláb ránya) elhelyezett detektor és a hozzá csatlakozó elektronka számolja az do egység alatt beérkezo részecskéket. Az do egységenként beütésszám arányos a bejövo jbe áramsuruséggel és a detektor által befogott dω térszöggel; nagysága jbe dσ = jbe σ(ϑ, ϕ) dω. A már csak az eltérülés polárszögeto l függo dσ σ(ϑ, ϕ) dω (14.1) arányt dfferencáls hatáskeresztmetszetnek nevezzük. Ezt a függvényt mérjük k detektorrendszerrel vagy mozgatott detektorral; a kvantummechanka tárgyalástól azt várjuk, hogy ezt kapcsolja össze a szóró potencállal. Mlyen lesz a hullámfüggvény a szórócentrumtól távol? A szórt ntenztás 1/r2 távolságfüggése matt az ampltúdó 1/r. Van még egy távolságfüggo fázsa s; az optka hullámegyenletbo l tudjuk, hogy ehhez változatlan frekvenca/energa esetén (rugalmas szórásról beszélünk) változatlan nagyságú

193 Gyors részecske szóródása: Born-közelítés hullámszám tartozk. Van ezenkívül rányfüggése s, am jellemzo módon függ a szóró potencáltól és a bejövo részecske energájától. A staconárus állapot hullámfüggvényét tehát a szórócentrumtól elég nagy távolságra lyen aszmptotkus alakban keressük: ~ ψ ek ~r + f (ϑ, ϕ) ekr. r (14.2) Az f (ϑ, ϕ) függvény neve szórás ampltúdó. Mvel a kfutó gömbhullámon a csoportsebesség ugyanakkora, mnt a bejövo síkhullámon, az áramsuruségek arányát a hullámfelületen mért valószínuség-suruség határozza meg. Összehasonlítva a (14.1) egyenlettel, leolvashatjuk, hogy σ(ϑ, ϕ) = f (ϑ, ϕ) 2, (14.3) am a szóráselmélet alapveto formulája. A szórás ampltúdót az do független Schrödnger-egyenlet megoldásával akarjuk meghatározn, ha smerjük a V (~r) szórópotencált; az nverz probléma a szórópotencál mnél pontosabb reprodukálása a mért hatáskeresztmetszet szög- és energafüggésébo l. A Schrödnger-egyenletben az energasajátértéket tudjuk: rugalmas szórásra ez a bejövo részecske h 2 k2 /2M knetkus energája. Az egyenlet tehát: h 2 h 2 k2 +V (~r) ψ = ψ. (14.4) 2M 2M Rendezzük ezt úgy, hogy nylvánvalóvá tegye, a szóró potencál által kváltott kauzáls hatást akarjuk vele leírn: ( + k2 )ψ(~r) = 2M V (~r) ψ(~r). h 2 (14.5) Ennek az egyenletnek keressük olyan megoldásat, amelyek a szórócentrumtól elég távol aszmptotkusan a (14.2) alakba mennek át. Az, hogy a síkhullámhoz éppen kfutó gömbhullámot akarunk hozzátenn, a megoldásban a határfeltétel szerepét tölt be. Ez a fajta határfeltétel a kauzaltás fzka elvét képvsel Gyors részecske szóródása: Born-közelítés A szórás ampltúdó, majd belo le a hatáskeresztmetszet kszámításához egy Schrödnger-egyenletet kell megoldan, am már megszokhattuk általában nehéz feladat. Két határesetben azonban leegyszerusödk: ha a bejövo

194 Szórás folyamatok részecske nagyon gyors, vagy ha nagyon lassú. Az elso tpkus játéktere a perturbácószámításnak: a gyors részecske knetkus energájához képest a szórócentrum hatása gyenge perturbácó. A másodk határeset tartalma nem ennyre nylvanvaló; azzal a következo pontban külön foglalkozunk. A szórás feladat legalacsonyabb rendu perturbácós megoldását nevezk Born-közelítésnek. Levezetésére a (14.5) egyenletet írjuk ntegrálegyenlet alakjába: Z 2M ~ ψ(~r) = ek ~r + 2 d 3 r G(~r ~r ) V (~r ) ψ(~r ). (14.6) h Ez a szóráselmélet egyk hatékony eszköze, a Lppmann Schwnger egyenlet, amelyben G(~r) a hullámegyenlet Green-függvénye. Ez kelégít a ( + k2 ) G(~r) = δ(~r). (14.7) dfferencálegyenletet, de a megoldásba határfeltételként be kell építenünk a (14.2) feltételezést, hogy kválasszuk a Green függvények közül a kfutó gömbhullámot. Kezdjük teráln a (14.6) egyenletet, nulladk közelítésnek a bejövo hullámot tekntve: ~k ~r ψ(~r) e 2M + 2 h Z ~ d 3 r G(~r ~r ) V (~r ) ek ~r. (14.8) Ez maga a Born-közelítés, de amíg ebbo l ktermeljük a (14.2) alakot és leolvashatjuk az f (ϑ, ϕ) szórás ampltúdót, addg még dolgozn kell. Fogjunk hozzá. Fourer-transzformáljuk a Green-függvényt és a deltafüggvényt: G(~r) = Z d 3 q ~q ~r e G~q ; (2π)3 δ(~r) = Z d 3 q ~q ~r e. (2π)3 (14.9) Ezt behelyettesítve a (14.7) egyenletbe, azt kapjuk, hogy G~q = 1 k2 q2, (14.10) amvel,~r rányát választva a gömb koordnáták tengelyéül, G(~r) = d 3 q e~q ~r 1 = dq (2π)3 k2 q2 (2π)3 0 Z Z 1 1 q2 = 2 dq 2 dyeqry, 4π 0 k q2 1 Z Z Z π 0 dϑ 2π q2 sn ϑ eqr cos ϑ k2 q2 (14.11)

195 Gyors részecske szóródása: Born-közelítés ahol az utolsó lépésben bevezettük az y := cos ϑ jelölést. Elvégezve az utolsó ntegrált, a Green-függvény következo alakja: G(~r) = 1 4π2 r Z 0 dq q 1 q qr qr (e e ) = dq 2 eqr k q 4π r k q2 qr Z 1 e eqr = 2 dq +. 8π r q+k q k (14.12) Z Ez az a pont, ahol fgyelembe kell vennünk a határfeltételt: kfutó gömbhullámra van szükségünk, befutóra nncs. Ezt komplex ntegrálással lehet elérn: az utolsó ntegrál kontúrját a felso félsík peremén zárjuk, a q-tengely mentén pedg megnézzük, melyk pólus ad kfutó hullámot, azt a kontúron belülre vesszük, a máskat kívül hagyjuk. A nyero pólus: q = k; a nek megfelelo rezduum: ekr, ez adja a gömbhullámot: G+ (~r) == 1 ekr kr 2π e =. 8π2 r 4πr (14.13) Ez a kfutó Green-függvény, amt kerestünk. Helyettesítsük be a (14.6) egyenletbe, és próbáljuk meg belelátn az elvárt aszmptotkát: ekr 2M 1 f (ϑ, ϕ) = 2 r h 4π Z k ~r ~r ~ 3 e d r V (~r )ek ~r. ~r ~r (14.14) A tört nevezo je már sznte jó: nyugodtan közelíthetjük r-rel és kemelhetjük. A ktevo ben a nagy k szorzó (nagy energájú részecskék gyorsan mennek!) matt pontosabban kell számoln! Fgyelembe véve, hogy r r, az utóbb szernt sorba fejthetünk:1 q ~ r ~ r k ~r ~r = k r2 + (r )2 2~r ~r kr 1 2 = kr ~k ~r, (14.15) r ahol felhasználtuk, hogy~r ránya egyben a kmeno hullámvektor ~k ránya s, mközben rugalmas szórásról lévén szó ~k = ~k = k. Most már csak össze kell gyujten a tényezo ket: f (ϑ, ϕ) = M V~, 2πh 2 Q (14.16) 1 Ak azt gondolja, hogy ez az optka dffrakcó elméletébo l smert Fraunhoffer-sorfejtés, nem téved.

196 Szórás folyamatok ahol ~ = h ~k h ~k h Q (14.17) a szórócentrum által a szóródó részecskének átadott mpulzus, és VQ ~ = Z ~ d 3 r e Q ~r V (~r ) (14.18) a szóró potencál Fourer-transzformáltja; lényegében átmenet mátrxeleme a bejövo és egy kmeno síkhullám között. Ez csak aláhúzza, hogy amt kszámoltunk, az lényegében egy perturbácós sorfejtés legalacsonyabb rendje. Négyzetre emelve a (14.16) eredményt, megkapjuk a szórás dfferencáls hatáskeresztmetszetét: σ(ϑ, ϕ) = M2 V~ 2. 4π2 h 4 Q (14.19) Ugyanezt kaptuk volna a Ferm-féle aranyszabályból s. (Gyakorlat: vezessük le!) Összetett tárgy szórás képe A hosszú levezetés után phenésül számoljuk k Born-közelítésben sok, azonosan szóró, de különbözo helyen tartózkodó tárgy (pl. atomok egy krstályban) együttes rugalmas szórásának ampltúdóját és hatáskeresztmetszetét. Legyenek a szóró atomok ~R helyeken rögzítve; akkor az együttes szórópotencál V (~r) = v(~r ~R ), (14.20) amnek a Fourer-transzformáltja a (14.18) formulával összhangban VQ ~ = e Q R ~ ~ vq ~, (14.21) ahol vq ~ = Z ~ d 3 r e Q ~r v(~r ). (14.22) Mvel a konstans szorzók nem változnak, a végeredmény a szórás ampltúdóra: ~ ~ f (ϕ, ϑ) = f0 (ϑ) e Q R, (14.23) ahol f0 (ϑ) = M v~, 2πh 2 Q (14.24)

197 Kfejtés parcáls hullámok szernt a hatáskeresztmetszet pedg σ(ϕ, ϑ) = σ0 (ϑ) e Q (R R ), ~ ~ ~ j (14.25) j ahol σ0 (ϑ) = f0 (ϑ 2. (14.26) Az eredmény két tényezo szorzatára esk szét: egy σ0 (ϑ) alakfaktorra, amely csak az egyes atom alakjától és egyéb tulajdonságatól függ, és egy szerkezetfaktorra, amely az atomok térbel elhelyezkedésére jellemzo. Ha az atomok termkus mozgására átlagolunk, a szerkezetfaktor lényegében a két-atom-eloszlás térbel Fourer-transzformáltja, amt szóráskísérletekkel legtöbbször röntgensugarak vagy neutronok szórásával k lehet mérn. Az utóbb száz évben ezzel a módszerrel alapos smereteket szereztünk a körülöttünk levo anyagok szerkezetéro l. Ha még rugalmatlan szórást s megengedünk, és a szórt anyaghullámokat energa szernt s analzáljuk,2 akkor nem csak a szerkezetro l, hanem az atomok kollektív mozgásáról s sok nformácó nyerheto Gömbszmmetrkus potencál: kfejtés parcáls hullámok szernt A parcáls hullámok módszere az mpulzusmomentum sajátfüggvénye szernt kfejtést jelent. Ez a maga általánosságában mnden gömbszmmetrkus potencálra érvényes, de gazán akkor hasznos, ha a beeso részecske energája kcsny; lyenkor a ks mpulzusmomentumok domnálnak a kfejtésben, és a konvergenca gyors: elég néhány tagot gyakran csak egyet fgyelembe venn. Am gömbszmmetrkus, az hengerszmmetrkus s, ematt a hullámfüggvény nem függhet a ϕ szögto l, így csak m = 0 tagok szerepelnek benne: ψ(~r) = cl Rl (r) Yl (ϑ). (0) (14.27) l=0 Hasznos lesz tudn, hogy (0) Yl (ϑ) 2 Ennek = r 2l + 1 Pl (cos ϑ), 4π (14.28) technká fo leg neutronszórásra fejlo dtek k.

198 Szórás folyamatok és ezzel a normálással a térszögre ntegrálva ezek a függvények ortonormáltak: Z (0) (0) Yl (ϑ) Yl (ϑ) dω = δll, (14.29) továbbá még annyt s, hogy Pl (1) = 1, l. (14.30) Amnt már a centráls potencál kötött állapotanál megtanultuk, a radáls Schrödnger-egyenlet szngulartásat jótékonyan enyhít, ha bevezetjük a χ(r) := rrl (r) függvényt, amely a következo radáls egyenletnek tesz eleget: l(l + 1) 2M 2 χl + k 2 V (r) χl = 0. (14.31) r2 h Ez olyan, mnt egy egydmenzós Schrödnger-egyenlet, és ugyanúgy megoldható. Rl (0) végességébo l következk a χl (0) = 0 határfeltétel. V (r) 0 esetén a fent egyenlet megoldása az Rl (r) = jl (kr) gömb Bessel-függvények ; belo lük összerakható a bejövo síkhullám: ekz = l=0 p (0) 4π(2l + 1)l jl (kr)yl (ϑ). (14.32) A kölcsönhatás megváltoztatja az egyes radáls komponenseket, és a megváltozásokból tevo dk össze az aszmptotkusan kfutó gömbhullám. Kövessük nyomon, hogy történk ez. A gömb Bessel-függvények aszmptotkus alakja: jl (kr) sn(kr l π2 ) ekr 1 ( )l e kr 1 l =. kr r 2 k r 2 k (14.33) Hogyan változk meg ez a kölcsönhatástól? Túl a potencál hatósugarán, a függvény alakja nem változhat, csak két dolog történhet vele: egy fázseltolás és egy számmal való szorzás: jl (kr) Cl sn(kr l π2 + δl ) ekr Cl eδl ( )l e kr Cl e δl l =. (14.34) kr r 2 k r 2 k A jobboldalon az elso tag a kfutó, a másodk a befutó hullám, és a kauzaltás matt csak a kfutó hullám változhat meg, a befutó nem, ezért Cl e δl = 1, Cl = eδl. (14.35)

199 14.5. Kfejtés parcáls hullámok szernt 199 Ezzel a kfutó hullám megváltozása: ekr e2δl 1 ( )l ekr δl ( )l = e sn δl. r 2 k r k (14.36) Ezt behelyettesítve a (14.32) összegbe, megkapjuk a hullámfüggvény megváltozását a V (r) potencál bekapcsolásától; ez a megváltozás tényleg egy kfutó gömbhullám, amelynek ampltúdója a keresett szórás ampltúdó: 4π (0) f (ϑ) = (14.37) 2l + 1 eδl sn δl Yl (ϑ). k l=0 A szórás hossz a V (r) potencál alakját, ero sségét, hatótávolságát kzárólag a δl (E) fázstolásokon keresztül érz meg, amelyek karakteresen függnek az E = h 2 k2 /2M energától. A fázstolásokat a (14.31) egyenlet kapcsolja össze a potencálfüggvénnyel. A radáls Schrödnger-egyenlet megoldása nélkül s szolgáltat a (14.37) formula néhány fontos általános tanulságot. Mndenekelo tt számítsuk k a teljes (a dω térszögre ntegrált) hatáskeresztmetszetet, khasználva a gömbfüggvények (14.29) ortonormáltságát: 4π (2l + 1) sn2 δl (E). k2 l=0 0 (14.38) Vegyük észre, hogy amennyben a hatáskeresztmetszetben egyetlen fázstolás domnál (lásd a következo pontot), akkor az energa függvényében a hatáskeresztmetszet élénken változhat, feltuno effektusokat okozva: σtot = Z dω f (ϑ) 2 = Z π dϑ 2π sn ϑ f (ϑ) 2 = Lassú elektronokat szóratva egy atomon, δ0 (E) domnál (lásd a következo pontot); amelyk energánál δ0 (E) = nπ (n = 1, 2,... ), ott az atom átlátszóvá lesz az elektronok számára. Ez a Ramsauer-effektus. Ha valamelyk l-re egy E0 energán δl (E0 ) = (n + 21 )π, azon az energán a σtot (E) teljes hatáskeresztmetszet rezonancaszeru maxmumot mutat. Ha a maxmum félértékszélessége E, ez a határozatlanság relácónak megfelelo en h / E élettartamú, E0 energájú, h l mpulzusmomentumú kváz-kötött állapotot jelez. Ez nem csak potencálszórásra gaz: az smert nstabl (10 23 s körül élettartamú) elem részecskék sokaságát szórás rezonancaként fedezték fel az 1960-as években; ebbo l a felfedezésbo l no tt k az ero s kölcsönhatások standard modellje. Még egy alapveto általános tulajdonsága van a (14.37) szórás ampltúdónak. Számítsuk k a 0 szöghöz tartozó értékét, vegyük fgyelembe a (14.30)

200 Szórás folyamatok tulajdonságot, és vegyük az eredmény magnárus részét: ℑ f (0) = ℑ 1 k (2l + 1) eδ sn δl l l=0 = 1 k (2l + 1) sn2 δl. (14.39) l=0 Hasonlítsuk össze az eredményt a (14.38) formulával: ℑ f (0) = k σtot. 4π (14.40) Ennek az eredménynek külön neve van: ez az optka tétel. Szavakban elmondva: a teljes szórást kötelezo en elo reszórás kísér; az elo reszórás ampltúdójának magnárus része arányos a teljes hatáskeresztmetszettel. Ez a tétel a szórás folyamatokra a kvantummechanka do fejlo dés untartását, vagys a valószínuség megmaradását fejez k, a következo logkával: a (14.2) formulában úgy látszk, mntha a kfutó gömbhullám megjelenése érntetlenül hagyná a befutó síkhullámot. Ez nem lehet gaz: am egyszer kszóródk, az nem mehet tovább. A szuperpozícó elve matt ezt csak egyféleképpen lehet bztosítan: a továbbmeno síkhullámból nterferencával k kell oltan annyt, amenny kszóródott. Ezt bztosítja az elo reszórt hullám. A (14.40) összefüggés nemcsak a levezetésben szereplo potencálszórásra, hanem mnden rugalmas és rugalmatlan szórásra vagy reakcóra s érvényes: am bármlyen csatornán eltunt a bejövo nyalábból, azt mnd k kell oltan elo reszórással Alacsonyenergás határeset: s-szórás, szórás hossz Lassú bejövo részecskének hosszú a hullámhossza. Ha hosszabb, mnt a szóró potencál r0 hatótávolsága, akkor a potencál nem érz, hogy honnan jött a részecske, és gömbhullám alakjában szórja vssza: lyenkor csak shullám marad, és a parcáls hullámok szernt sorfejtés egyetlen tag után levágható. A tszta s-szórásnak szögekto l nem függo, zotróp szórás ampltudó felel meg. Ezt így szokták írn: 4π δ0 f (ϑ) = a = = e sn δ0 ; σ(ϑ) = a 2, (14.41) k ahol a neve: szórás hossz. Az eddgeknek van azonban egy feltétele: a szóró potencál hatótávolságának végesnek kell lenne. Egy nevezetes ellenpélda: Coulomb-ero kre,

201 14.6. Alacsonyenergás határeset: s-szórás, szórás hossz 201 amelyek karaktersztkus hosszúság nélkül, hatványfüggvény alakjában csökkenve, nagy távolságra s érezheto k, a parcáls hullámok sora rosszul konvergál. Annak logkája, hogy a parcáls hullámok mpulzusmomentum szernt haladó sora akkor konvergál gyorsan, ha a bejövo részecske nagyon lassú, egy kcst részletesebben s megértheto. A (14.31) egyenletben megjelenk a (h 2 /2M)[l(l + 1)/r2 ] centrfugáls potencál, amely l 1 esetén taszító, és a bejövo részecske nekütközk. Ahol a centrfugáls potencál megegyezk a bejövo részecske (h 2 /2M)k2 knetkus energájával, ott van a részecske vsszapattanását jellemzo r l(l + 1) r = rl = (14.42) k2 klasszkus fordulópont,3 ahol (h k rl )2 = h 2 l(l + 1). Ha ez a fordulópont kívül esk az r0 hatótávolságon, a részecske nem s találkozk a potencállal, mert a centrfugáls ero messzre pörget: ezek a nagy mpulzusmomentumú parcáls hullámok nem szóródnak. Mnél lassabb a részecske, annál nagyobb távolságra kell kpörögne, hogy egy adott l mpulzusmomentum kteljen belo le: annál ksebb l-nél következk be a sor levágása. l = 0-ra nncs centrfugáls potencál: az s-hullám mndg eljut a szórócentrum aktív részébe, ematt s-szórás mndg van. Kvéve persze a már említett Ramsauer-effektusnak megfelelo esetet, amkor egy adott energán δ0 = nπ (n egész), ematt a = 0. 3 Természetesen a vsszapattanó hullám még egy kcst tovább szvárog, a mélységgel lecsengo evaneszcens hullám alakjában.

202

203 15. fejezet Többrészecskerendszerek kvantummechankája Ez a hosszúra no tt fejezet sok tekntetben a lelke az egész könyvnek; az eddgek megtanulása bár mnden része önmagában s fontos mntha csak azt készítené elo, hogy az olvasó az tt következo ket könnyebben megértse A kölcsönható részecskék összefonódása A hdrogénatom elektronjának mozgását a 10. fejezetben smertük meg, A mozgást egy ψe (~re,t) hullámfüggvénnyel írtuk le, amely eleget tesz az elektron Schrödnger-egyenletének: h 2? t ψe (~re,t) = e +V ( ~re ~r p ) ψe (~re,t), (15.1) h 2me ahol~r p a proton helye. A proton azonban, ha közel kétezerszer nehezebb s az elektronnál, maga s elem részecske; kétségkívül a mkrovlág része, amely ugyanúgy anyaghullámként mozog, azon belül akárhol lehet. Mozgását, gondolhatnánk teljes joggal, egy másk Schrödnger-egyenlet írja le: h 2? t ψ p (~r p,t)) = p +V ( ~r p ~re ) ψ p (~r p,t), (15.2) h 2m p ahol~re a elektron helye. Ez így együtt nem lehet gaz. Nem tudjuk, mt írjunk az elso egyenletben ~r p helyére és a másodk egyenletben ~re helyére, mert ezek maguk s egy anyaghullámban vannak elkenve. A két kölcsönható részecske mozgása tehát kbogozhatatlanul összefonódk: amíg kötve maradnak egy hdrogénatom alakjában, addg amerre az egyk megy, nagyjából arra megy a másk s. Schrödnger találta meg ennek megfelelo matematka kfejezését1 : lyenkor nncs külön hullámfüggvénye 1 Schrödnger nemcsak a matematka kfejezését, hanem a nevét s ktalálta, to le ered maga az összefonódás kfejezés, németül Verschränkung, de a vlágban legnkább an- 203

204 Többrészecskerendszerek kvantummechankája az elektronnak és a protonnak, hanem a ketto nek együtt van egy Ψ(~re, ~r p, t) hullámfüggvénye a 6 dmenzós konfgurácós térben, amely egyetlen, közös Schrödnger-egyenletet elégít k: t Ψ(~re,~r p,t) = H ep Ψ(~re,~r p,t), h ahol H e,p = h 2 h 2 e p +V ( ~re ~r p ) 2me 2m p (15.3) (15.4) a kölcsönható elektron proton rendszer Hamlton-operátora. A közös hullámfüggvényhez s tartozk egy Born-szabály. A két részecskét két detektorral lehet megtaláln: egy elektrondetektorral az ~re hely d 3 re környezetében, és ugyanakkor egy protondetektorral az~r p hely d 3 r p környezetében; lyenkor az egydeju megtalálás valószínusége Pep (~re,~r p,t) d 3 re d 3 r p = Ψ(~re,~r p,t) 2 d 3 re d 3 r p. (15.5) Természetesen nem tlos egyetlen detektort használn; lyenkor a mérés statsztkáját úgy kapjuk meg, ha a nem detektált változóra kntegráljuk a közös valószínuséget. Pl. ha az elektrondetektorunkat tartjuk meg, akkor Z Pe (~re,t) d re = Ψ(~re,~r p,t) d r p d 3 re. (15.6) A közös hullámfüggvényben kfejezett összefonódás az do elo rehaladtával a kvantummechanka legfontosabb és sok tekntetben legrejtélyesebb tulajdonságává lépett elo. Az összefonódásnak sok közvetlen megfgyelheto következménye van; legsmertebb talán a Van der Waals-ero : az a jelenség, hogy elektromosan semleges testek s gyengén vonzzák egymást. Ezért tapad a ceruza graftja a papírhoz, a vrágpor a méh potrohához. Az oka a két test elektronjanak összefonódása: ha az egyk test elektronja közelebb megy a másk testhez, akkor annak az elektronja távolabb megy és vszont; így s, úgy s egymást vonzó dpólusok néznek egymással szembe. Ilyet a klasszkus statsztkus fzkában, so t a mndennapok statsztkájában s láthatunk; a neve: korrelácó. Kvantummechankavá a korrelácót az fnomítja, hogy a közös hullámfüggvény nterferencára képes, ematt ero sítések és koltások markánsan befolyásolják a megfgyelheto korrelácókat, golul használják: entanglement. Ez az angol tangle =bozót jelentésu szóból ered, és jobban kfejez a lényeget, mnt német vagy magyar megfelelo je.

205 15.2. Tömegközéppont és belso mozgás; elem és összetett részecskék 205 am többek között a kéma kötések természetrajzát tesz sokkal változatosabbá; ha az ember beletanul a kvantumkémába, ehhez s hozzá fog szokn. Önmagában véve a korrelácó nem rejtélyes: az, hogy egy egymást vonzó elektron és proton hdrogénatomként egymás közelében marad, egy cseppet sem szokatlanabb, mnt az, hogy egymást kedvelo vagy nem kedvelo emberek keresk vagy kerülk egymás közelségét. Az élesen mntázott közös nterferenca azonban már magát az összefonódott partnerek egyén létezését korlátozza, sokkal durvábban, mnt akárm, amt klasszkus korrelácónak gondolnánk. Etto l lesz gazán rejtélyes az s, hogy a kvantummechanka összefonódás akkor s megmarad, ha az egyszer kölcsönhatásba került részecskék egymástól messze eltávolodnak. Ezt elo ször Ensten, Podolsky és Rosen (1935) írta le a fzka rodalom egyk legtöbbet hvatkozott ckkében. Elente hnn sem akarták, hogy lyen lehetséges, de ma már a távol kvantumos összefonódást számos kísérlet bzonyítja, olyan fotonokon, amelyek üvegszálakon vagy szép do ben szabad levego ben akár száz klométernél többre s eltávolodtak egymástól. Ennek részletevel a pontban fogunk megsmerkedn Tömegközéppont és belso mozgás; elem és összetett részecskék Az eddgek legegyszerubb alkalmazása a (15.3) egyenlet megoldása a hdrogénatom esetére. Vsszaemlékezve, hogy mt s tettünk, amkor eszünkbe jutott, hogy a Nap sncs odaszögezve az égre és mégs kerngünk körülötte, vezessük be az~re és~r p helyvektorok helyett a hdrogénatom ~r := ~re ~r p (15.7) ~R := me~re + m p~r p me + m p (15.8) belso koordnátáját és tömegközéppont koordnátáját. A változóhelyettesítéseket elvégezve, a (15.4) Hamlton-operátor szétesk két tagra: H e,p = H ~r + H ~R, ahol 2 h Hˆ~r = ~r + V (r); 2µ H ~R = h 2 ~, 2M R (15.9) 2 Két részecske összefonódásának látványos hatása addg fgyelheto k meg, amíg csak ketten vannak; amnt a környezet s bekerül az összefonódásba, a mérheto jeleket elmossa a zaj.

206 Többrészecskerendszerek kvantummechankája amelyben M = m p + me (15.10) me m p me = me + m p 1 + mmep (15.11) a hdrogénatom tömege, és µ = a klasszkus Kepler-problémából smert redukált tömeg. Maradjunk az do to l független Schrödnger-egyenletnél: Ψ(~r, ~R,t) = φ(~r, ~R) exp E ; H e,p φ = Eφ. h (15.12) Keressük a megoldást szorzatalakban: φ((~r, ~R) = f (~r) F(~R); Hˆ~r f (~r) = E(~r) f (~r); H ~R F(~R) = E(~R) F(~R). (15.13) Behelyettesítve, nem nagy meglepetésre, azt kapjuk, hogy E = E(~r) + E(~R). (15.14) Ha pl. a belso mozgás a hdrogénatom egy n fo kvantumszámú staconárus ~ állapotának felel meg, a tömegközéppont pedg síkhullámszeruen mozog h K mpulzussal, akkor ~ = E(n, K) Ry(µ) h 2 K 2 +, n2 2M (15.15) ahol a Rydberg-állandó kszámításánál az (1.10) formulában az me elektrontömeget a µ redukált tömeggel kell helyettesítenünk. Ez fél ezrelékes korrekcó, amt a pontos spektroszkópa mérések könnyen gazoltak. Nehéz hdrogén esetén a korrekcó megfelezo dk; ez volt a spektroszkópa bzonyítéka a deutérum létezésének (Urey, 1931).3 A tömegközéppont mozgását akárhány részecskébo l álló kötött rendszer konfgurácós térbel hullámfüggvényébo l le lehet választan; am marad, azok a belso mozgások. Ilyen értelemben egy sok nukleonból álló atommag, egy atom vagy akár egy órás molekula s a tömegközéppont mozgás szempontjából egyetlen részecskének tekntheto, és akár részecskeszeru 3 A neutront 1932-ben fedezte fel Chadwck; ez magyarázta meg, hogy m s a deutérum, ennek nyomán kapott kéma Nobel-díjat Urey 1934-ben.

207 15.3. Azonos részecskék megkülönböztethetetlensége 207 nterferencaképet s képes létrehozn, mndaddg amíg a mozgás közben a belso állapota lényegesen meg nem változk, mondjuk egy kemény ütközésto l. A szellem játékot folytathatjuk a nukleontól lefelé s: sohase tudhatjuk, hogy amt mozogn látunk, az már gazán oszthatatlan elem részecske, vagy még elembb alkotókból van összetéve, csak a tömegközéppontja mozog olyan lassan, hogy belso állapota befagyva marad az alapállapot közelében. Ez a kvantummechankába kódolt ttok jelentékeny hajtóereje a mnd nagyobb részecskegyorsítók építésének Azonos részecskék megkülönböztethetetlensége Ha nem egy protont és egy elektront szeretnénk leírn, hanem két elektront, a (15.4) Hamlton-operátor szmmetrkussá válk a két részecske felcserélésével (permutácójával) szemben, ematt a Hamlton-operátor és a permutácó muveletenek kommutátora eltunk. Ekkor az energasajátfüggvények választhatók úgy, hogy a felcserélés szmmetramuveletének s sajátfüggvénye legyenek. Mvel kétszer, oda-vssza csere után vsszajutunk a knduló állapotba, a felcserélés operátorának sajátértéke csak +1 vagy 1 lehet; a megfelelo sajátállapotokat a felcseréléssel szemben szmmetrkusnak, ll. antszmmetrkusnak nevezzük. Áttérve az do függo Schrödnger-egyenletre, a Hamlton-operátorral felcserélheto permutácó operátora megmaradó mennység, tehát ha szmmetrkus vagy antszmmetrkus kezdo állapotból ndulunk, a kezdet szmmetratulajdonság az do bel fejlo dés során s megmarad. A felcserélés muveletébe a belso szabadságfokokat s bele kell érten; elem részeknél4 ez többnyre a spnt jelent. Két részecskére tehát: Ψs (~r1,~s1 ;~r2,~s2 ) = Ψs (~r2,~s2 ;~r1,~s1 ) (15.16) szmmetrkus hullámfüggvényt, Ψa (~r1,~s1 ;~r2,~s2 ) = Ψa (~r2,~s2 ;~r1,~s1 ) (15.17) antszmmetrkus hullámfüggvényt jelent. Elterjedt tömör írásmódban (~r1,~s1 ) =: 1, (~r2,~s2 ) =: 2. Így írva, a szmmetrkus eset: Ψs (1, 2) = Ψs (2, 1), az antszmmetrkus Ψa (1, 2) = Ψa (2, 1). Enny következk a Hamlton-operátor szmmetrájából. A kísérlet eredmények sokasága azonban, hosszadalmas és göröngyös úton, fo leg Paul zsenaltásának köszönheto en, ennél sokkal élesebb eredményhez vezetett el: 4 Vagy azonos összetett részecskéknél, pl. atomoknál, ha azok belso mozgásakat tekntve azonosan alapállapotban vannak.

208 Többrészecskerendszerek kvantummechankája a szmmetrkus és antszmmetrkus hullámfüggvények nem választhatók szabadon és nem s szuperponálhatók szabadon, hanem az elem részecskék fajtájától függ a választás: vannak szmmetrkus és vannak antszmmetrkus hullámfüggvényu részecskék!5 Hogy melyk részecske melyk szmmetraosztályba tartozk, az pedg a részecskék spnjén múlk: Feles spnu részecskék (elektron, proton, neutron, neutrnó, müon, 3 He atom stb.) hullámfüggvénye két részecske felcserélésekor elo jelet vált, vagys antszmmetrkus. Ennek legfeltuno bb következménye, hogy ha a két részecske azonos spnnel közelít egymáshoz, a közös hullámfüggvény csak úgy o rzhet meg antszmmetrkusságát, hogy 0-hoz tart. A feles spnu részecskék tehát mnden taszító kölcsönhatás nélkül s kerülk egymás közelségét ; ez a Paul-elv. A kölcsönös elkerülés kényszere a sokrészecskerendszereket még alacsony ho mérsékleten s vszonylag magas energájú állapotokba kényszerít. Az ezt kaknázó statsztkus fzka leírás, a Ferm Drac statsztka nevére utalva, a feles spnu elem vagy összetett részecskéket fermonoknak nevezk. Egész spnu részecskék (foton, pon, kaon, 4 He atom stb.) hullámfüggvénye két részecske felcserélésekor nem változk, vagys szmmetrkus. Ennek legfeltuno bb következménye, hogy alacsony ho mérsékleten a részecskék tömör, alacsony energájú állapotba surusödnek (Bose Ensten kondenzácó; Bose Ensten statsztka). Erre utalva az egész spnu elem vagy összetett részecskéket bozonoknak nevezk. Az eddgeknek van egy fontos, közvetlen következménye, amely független attól, melyk csoporthoz tartozó részecskéket vzsgálunk. Mvel nncsenek vegyes szmmetrájú részecskék, azonos részecskékbo l álló rendszernek tartozna kell valamelyk kategórába: hullámfüggvénye két részecske felcserélésével szemben vagy szmmetrkus, vagy antszmmetrkus. Mvel mnden mérheto tulajdonság csak a hullámfuggvény abszolút érték négyzetéto l függ, azonos részecskék felcserélése az eredetto l megkülönböztethetetlen állapotot hoz létre, vagys azonos részecskék megkülönböztethetetlenek. Ez a kvantummechankának váratlan és kemény állítása, amely már jóval a kvantummechanka megszületése elo tt jelt adott magáról a Gbbs-paradoxon alakjában, amely a keverés entrópa egyfelo l természetes, másfelo l mégs rejtélyes tulajdonsága. Különbözo gázok összekeverése entrópanö5 Matematkalag létezhetnének a permutácók csoportjának vegyes szmmetrájú ábrázolása s; a fzka tapasztalat azt gazolta, hogy ezeket megvalósító elem részecskék nem léteznek.

209 15.4. Kölcsönhatás nélkül azonos részecskék 209 vekedéssel jár, amely a gázok anyagától nem függ, csak a keverés aránytól. Azonos gázok összekeverésekor azonban nem változk az entrópa: nem létezk az egyre jobban hasonlít, a végén teljesen megegyezk határátmenet. Ennek hátterébben a kvantummechanka rejto zk: ez tesz éles különbséget az azonos vagy nem azonos részecskék esete között. Az entrópa az állapotok összeszámlálásán alapuló mennység; azonos részecskék helycseréjével nem keletkezk új állapot: nem változk az entrópa. Az, hogy éppen a feles spnhez tartozk az antszmmetrkus, az egészhez a szmmetrkus hullámfüggvény, ellentmondás nélkül llk egymáshoz: páros számú fermonból álló összetett részecskék felcserélésekor páros számú jelváltás történk, tehát nem történk jelváltás, összhangban azzal, hogy páros számú feles spn eredo je egész spn. Fordítva ez nem muködne. Hogy mért éppen a feles vagy egész spnen múlk a hullámfüggvény antszmmetrkus vagy szmmetrkus volta (más szóval: a Ferm Drac vagy Bose Ensten statsztka választása), az mégsem egyszeru kérdés. A relatvsztkus kvantumtérelmélet szolgáltat egy bzonyítást ( Paul Lüders tétel ), de újabban egyre többen keresnek ndokolást a nemrelatvsztkus kvantummechanka kereten belül. Az alapgondolat eléggé kézenfekvo : két részecskét egy tengely körül 180o -os forgatással meg lehet cseréln, ezért a forgatást generáló mpulzusmomentum, a spn tartja kézben a felcserélés mu veletét. A nehezebb része a dolognak az, hogy m történk lyenkor a több részecskével. Ematt a spn-statsztka kapcsolat nemrelatvsztkus levezetése a jelen könyv írásakor a fejlesztés állapotában vannak Kölcsönhatás nélkül azonos részecskék, egyrészecske-állapotok betöltése, átlagtérközelítés A kölcsönható sokrészecskerendszerek kvantummechankájára épül a molekulák tulajdonságanak kvantummechanka meghatározását jelento kvantumkéma, továbbá a szlárd testek fzkájának jelentékeny része. Mvel sokváltozós Schrödnger-egyenletek analtkus megoldása általában reménytelen feladat, órás fegyvertára alakult k a többnyre perturbácós vagy varácós alapokból knduló és kterjedt numerkus számításokban végzo do módszereknek. Ezekbo l a kvantummechanka nyolcvan éve alatt rengeteg eredmény, és kísérletleg jól vzsgálható, szép és érdekes jelenségek sokaságának megértése született meg. Van azonban egy megoldható határeset: a kölcsönhatás nélkül részecskék esete, amelynek tanulsága nélkülözhetetlen kndulópontot jelentenek a bo-

210 Többrészecskerendszerek kvantummechankája nyolultabb esetek felé vezeto úton, és közvetlen átjárást kínálnak egy durva, de sokszor hatékony közelíto módszer: az átlagtérközelítés felé. Ha nncs kölcsönhatás, akkor a Hamlton-operátor azonos egyrészecske(1) (1) energa tagok összege: H = l H l ; ahol H l := (h 2 /2m) l + V (~rl ). Ilyenkor a Schrödnger-egyenletnek mndenképpen léteznek szorzatalakú megoldása: φ0 (1, 2, 3, ) = ϕa (1)ϕb (2)ϕc (3), (15.18) ahol a ϕa (~r,~s) stb. egyrészecske-állapotok a H (1) egyrészecske Hamltonoperátor különbözo ortonormált sajátfüggvénye: Hˆ (1) ϕa = εa ϕa, stb. (15.19) A (15.18) szorzatok megoldása a Schrödnger-egyenletnek, de általában nem elégítk k a szmmetrafeltételeket. Azonban az egyrészecske-állapotok között mnden módon permutálva az 1, 2, részecskék kosztását, majd a permutácókat megfelelo elo jelekkel összeadva és a végeredményt normálva, megfelelo en szmmetrzált konfgurácós térbel hullámfüggvényeket kapunk. A bozon-esetben a ϕa, ϕb stb. egyrészecske-állapotok némelyke többször s elo fordulhat a részecskék kosztásában; lyenkor a végeredmény alakja kevéssé áttekntheto. Fermonokra az eredmény egyszeru: N részecskét N különbözo egyrészecske-állapotban lehet elhelyezn; a különbözo kosztások antszmmetrkus kombnácója a nevezetes Slater-determnáns:6 ϕa (1) ϕb (1) ϕc (1)... ϕ a (2) ϕb (2) ϕc (2)... 1 Ψ(1, 2, 3, ) = N! ϕa (3) ϕb (3) ϕc (3) (15.20) A determnánsnak van egy jól smert tulajdonsága: ha két oszlopa megegyezk, a determnáns eltunk. Itt ez azt jelentené, hogy két fermont próbáltunk ugyanabba az egyrészecske-állapotba elhelyezn. Ilyenkor a Slaterdetermnáns érzékeny rasztóként jelz, hogy ezt nem tehetjük: 6 A Slater-determnánst kterjedten használják kvantummechanka számításokban. Jegyezzük meg azonban, hogy egy adott egyrészecske Hamlton-operátor végtelen sok sajátfüggvényébo l sokféleképpen lehet N darabot kválasztan N részecske elhelyezésére. Ezeknek a különbözo determnánsoknak kvantumkéma nyelven: különbözo konfgurácóknak mnden lneárs kombnácója s helyesen antszmmetrzált hullámfüggvény

211 15.4. Kölcsönhatás nélkül azonos részecskék 211 mnden egyes egyrészecske-állapot csak 0 vagy 1 fermonnal töltheto be.7 Ez a jól smert elem megfogalmazása a Paul-elvnek. Most látjuk, hogy ez csak akkor gaz, ha egyáltalán léteznek egyrészecske-állapotok. Ebben gazán csak a kölcsönhatás nélkül rendszerek dealzált modelljenél lehetünk bztosak. Van azonban egy roppant fontos kvétel. Ha a gáz nem deáls, de a részecské között kölcsönhatás hosszú távú ero, pl. Coulomb-ero, akkor skerrel alkalmazhatjuk a bevezeto ben már említett átlagtérközelítés valamelyk változatát. Ez azt jelent, hogy egy adott részecske helyén sok másk részecskéto l eredo hatás adódk össze, amely kevéssé érzékeny arra, hogy az egyetlen adott részecske éppen hol van és merre megy. Ezért ezt az eredo t külso térnek teknthetjük, és beírhatjuk a (15.19) egyenletbe. Ezzel megoldjuk, megkapjuk az egyrészecske-sajátfüggvényeket, behelyettesítjük a Slater-determnánsba, és újraszámoljuk a részecskerendszer által létrehozott átlagos Coulomb-potencált. Ezt addg teráljuk, amíg be nem konvergál. Akkor azt mondjuk, hogy megkaptuk az önkonzsztens mezo t (angolul: Self-Consstent Feld, rövdítve: SCF), más néven: átlagteret (angolul: mean feld). Az átlagtérközelítésnek számos változata van. Amkor éppen egyetlen Slater-determnáns alakjában tartjuk a hullámfüggvényt és azt gazítjuk az önkonzsztens átlagtér követelményéhez, azt hívják Hartree Fock módszernek. Ilyenkor terácó helyett sokszor varácós módszerrel keressük meg a legjobb Slater-determnáns alakú közelítést. Az átlagtérközelítések sokszor a dönto okát mutatják meg egy-egy bonyolult fzka jelenségnek, ematt a nagyon sok részecskés, magasan gerjesztett rendszerekkel foglalkozó statsztkus fzkában s gyakran használják, pl. fázsátalakulások durva leírására, ahol a lényeg az, hogy a rendezett fázst a saját maga által keltett átlagtér stablzálja. A közelítés azonban elhanyagolja a fnomabb korrelácókat: azt, hogy az egy adott részecskére ható ero egy kcst mégs függ annak az adott részecskének a mozgásától. Ilyen korrelácók fgyelembevételére s számos módszer született, statsztkus fzkától kvantumkémág és tovább. 7 A determnánst az 1 fermonnal betöltött egyrészecske-állapotok alkotják; a 0 betöltésuek kmaradnak belo le. Jegyezzük meg: az egyrészecske-állapot koordnátától és spnto l függ. Ha az anyag nem mágneses, ez a ketto egymástól független, lyenkor egy pálya kétféle spnnel töltheto be.

212 Többrészecskerendszerek kvantummechankája Atomok és a peródusos rendszer Az eddgek alapján már gyorsan eljuthatunk a kvantummechanka egyk kora legendás skerének, az elemek peródusos rendszere magyarázatának megértéség. Ehhez célszeru még egyet egyszerusíten a megcélzott közelítésen: a többelektron-hullámfüggvény Slater-determnáns alakja helyett, amely bztosítaná a Paul-elvnek megfelelo szmmetratulajdonságokat, használjunk egyszeru szorzat alakú hullámfüggvényeket: semleges atomra Z Ψ = u j (~r j ), (15.21) 1 ahol Z az atom rendszáma. A Paul-elv érvényesüléséro l külön kell gondoskodnunk azáltal, hogy az u j egyrészecske-hullámfüggvénnyel jellemzett elektronpályát legfeljebb kétszeresen (a spnvetület két beállásának megfelelo en) engedjük betölten. A számolás kezdetén határozzuk el az atom konfgurácóját, amely tt azt jelent, hogy melyk egyelektron-állapot hányszorosan van betöltve. Induljunk k a betöltött u j (~r) hullámfüggvények valamlyen durva közelíto alakjából, válasszunk közülük egyet, és fokozatosan fnomítsuk a közelítést. Evégett oldjuk meg a h 2 + V j (r) u j (~r) = ε j u j (~r) (15.22) 2M egyrészecske Schrödnger-egyenletet, amelyben a potencáls energába az atommag vonzása mellé belevettük a több elektronok töltésfelho jéto l eredo elektromos mezo t: Ze2 V j (~r) = + e2 4πε0 r k6 =j Z uk (~r ) 2 1 d 3 r ; ~r ~r (15.23) a V j (r) centráls potencál ennek a kfejezésnek szögek szernt átlaga. Ezzel megoldva a (15.22) egyenletet, javított közelítést kapunk az u j (~r) egyrészecske-hullámfüggvényre. Vegyük sorra a következo t, majd az összes betöltött pályákat, és ezt teráljuk körbe-körbe, amíg nem konvergál, közben az éppen megjavított hullámfüggvénnyel mndg felfrssítve a centráls potencált. Amt kapunk, az egyfajta átlagtérközelítés, hszen nem veszünk fgyelembe egyed korrelácókat az elektronok helyvektora között. Ez a Hartree módszer (1928); ez volt a kvantumelmélet elso nagykterjedésu numerkus kutatása, amelyhez még tekero s számológépeket használtak, és ezzel kezdo dött a numerkus kvantumkéma térhódítása.

213 15.5. Atomok és a peródusos rendszer 213 Mvel a V (r) átlagpotencált mndg radáls szmmetrájúvá átlagoljuk vssza, a kapott egyrészecske-állapotokat beszámozhatjuk egy n, l kvantumszám-párral; az l szám helyett a hagyományos s, p, d, f,... betujelet használjuk. Egy konfgurácóban azt s jelöljük egy ktevo vel, hogy melykük hányszorosan van betöltve, pl. 2p3 azt jelent, hogy n = 2, l = 1 állapotok (2 (2 + 1) = 6 darab van belo lük) összesen 3 elektronnal vannak betöltve. Hogyan magyarázza a Hartree-közelítés az atomok kéma tulajdonságanak rendszámfüggését, amelyeknek feltuno tulajdonságat az elemek peródusos rendszere olyan látványosan foglalja rendszerbe? A megértés kulcsa az, hogy az egyes elektron számára a több elektron negatív töltésfelho je leárnyékolja a mag poztív töltését: ha az elektron a mag közvetlen közelébe kerül, ott Z e töltéssel találja magát szembe, de ha a magtól távol, a leárnyékoló felho n kívül van, ott már Z-szer ksebb, csupán e töltés vonzását érz. Közel vagy messze jár az elektron a magtól? Ez legnkább az l mellékkvantumszámtól függ: nagy l-re az l(l + 1)-gyel arányos centrfugáls potencál az elektront a magtól távolabbra pörget.8 Ematt a nagyobb mellékkvantumszámú egyrészecske-állapotok kszorulnak az ero sebben leárnyékolt helyekre, amnek gyengébb kötés, magasabb energasajátérték a következménye. Ezzel megszunk a hdrogénatom energaszntjenek l szernt elfajulása: adott n fo kvantumszámra az energasajátértékek l = 0-tól l = n 1-g növekvo sorozatot alkotnak.9 A Hartree-közelítésre alkalmazott Paul-elv szernt az atom alapállapotában az egy-elektronszntek a növekvo energa sorrendjében tölto dnek be. Ez a sorrend a konkrét számítások szernt így kezdo dk: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4 f, 5d, 6p, 7s, 5 f, 6d, (15.24) Vegyük szemügyre ezt a sorozatot: az ero s leárnyékolás matt gyengén kötött 3d állapot energája annyra megemelkedett, hogy föléje került a 4s állapoténak; ugyanez történt a 4d, 4 f, 5d stb. nagy mpulzusmomentumú állapotokkal. 8 Matematkalag ez abban nylvánul meg, hogy a (10.12) radáls hullámfüggvény r = 0 körül rl hatvánnyal ndul. 9l = 0-ra nncs centrfugáls potencál: az s-állapotok elektronsurusége véges az atommag helyén. Ez az elektronspn és a magspn között kontakt kölcsönhatást eredményez, am akár a magrezonancában, akár az elektronspn rezonancában markánsan megmutatkozk: a szntek eltolódásán kívül a rezonancajel csllapításához s hozzájárul.

214 Többrészecskerendszerek kvantummechankája Most vszont fgyeljünk a fo kvantumszámokra! Vegyük észre, hogy akárhol vágjuk el Paul elve szernt a sort, az odág betöltött legmagasabb fo kvantumszámú állapotok mndg s és p állapotok! Mért fontos ez? Azért, mert az atom külso határán éppen a fo kvantumszám határozza meg, hogy egy egyrészecske-állapot hullámfüggvénye mennyre nyúlk k.10 Ematt azt találtuk, hogy az atom elektronhéjának legkülsején mndg s- és p-elektronok találhatók. Am kívül van, az vesz részt a kéma kötésben, az alakítja a kéma tulajdonságokat. Számoljuk össze: 2 különbözo elem atomja létezhet n = 1-es külso héjjal (H és He), 2+6=8 elem n = 2-essel, megnt 8 elem n = 3-assal, és így tovább. Színük, szaguk, ízük az s és p pályák fokozatos betölto désével változk, hogy azután magasabb fo kvantumszámnál újra kezdje: íme, Mengyelejev peródusa. A belül, védetten meghúzódó d és f állapotok, ha a kéma kötés erejéhez kevéssé járulnak s hozzá, az anyagok fnomabb (optka, mágneses stb.) tulajdonságaban lényeges szerephez jutnak Vráltétel Ha szeretnénk megérten az egyes atomnál bonyolultabb összefonódott kvantumrendszerek tulajdonságat s, nélkülözhetetlen szolgálatot tesz néhány általános eredmény, amelyek általánosságuk ellenére sem semmtmondóak. Ezek közé tartozk a címben említett vráltétel s. Neve a térben korlátos más szóval: kötött mozgások egy mélyértelmu tulajdonságát jelent, amt klasszkus mechanka alakjában Clausus fedezett fel még a 19. században, de a kvantummechankában s hasznosnak bzonyult, különösen a kéma kötés jobb megértéséhez segít hozzá. Annak jelzéseképpen, hogy az alább eredmények klasszkus rendszerekre s közvetlenül gazak, ebben a pontban az operátorokat nem jelöljük meg kalappal. Az Ehrenfest-tétel (7.3. pont) felhasználásával számítsuk k ezt az do derváltat: * + * + * + d ~p ~r ~p = ~p + ~r ~F dt m * + (15.25) = 2 ht + ~r ~F. 10 Ehhez megnt a (10.12) radáls hullámfüggvényre kell ránéznünk: nagyobb n-re az exponencáls lassabban csökken, a polnom maxmáls ktevo je s nagyobb, tehát a függvény messzebbre tolódk k az orgótól.

215 Vráltétel A jobboldal elso tagjában T a knetkus energa szokásos jelölése; az utolsó tagot nevezte el Clausus vrálnak, am a latn vs (ero ) szóból származk. Az átlagok tt kvantummechanka átlagolást jelentenek. Eddg mnden azonos átalakítás volt. Most használjuk k, hogy térben és mpulzustérben s korlátozott a mozgás11. E célból szorítkozzunk staconárus állapotokra, és átlagoljuk k az egyenlet mndkét oldalát egy hosszú t do re. Staconárus állapotban vett kvantummechanka átlagon az do átlag semmt sem változtat, a baloldalból vszont ez lesz: 1 t Z t d 0 dt * ~r ~p + 1 = t * ~r ~p + t * ~r ~p +! 0 0, t (15.26) azért, mert a zárójelbel különbség a kötött mozgás matt korlátos. Ekkor vszont csak a (15.25) egyenlet jobboldal tagja maradnak: 2 ht = * ~r ~F +. (15.27) Ez a Clausus-féle vráltétel kvantummechanka alakja. Érdekességét az adja, hogy a távolságoktól 1/r alakban függo párpotencálokra egyszeruen k lehet számítan az egyenlet jobboldalát.12 Márpedg Coulomb-potencálok tartják össze a legbonyolultabb atomokat és molekulákat s, így a vráltétel mndegykükre gaz. Az eredmény pedg így adódk: legyen ~r j :=~r ~r j, és származzanak az ~F ero k ebbo l a Coulomb-potencálból: V = < j> q j, r j (15.28) 11 A tömegközéppont szabad mozgására az eredmények nem vonatkoznak, de az egymáshoz kötött részecskék rendszerének pl. egy atomnak vagy molekulának belso mozgásara gen. Hogy mt jelent a belso mozgás, arról lásd a pontot. 12 Gyakorlat: mutassuk meg, hogy nem csak 1/r, hanem bármlyen hatványfüggvény esetén kapható zárt eredmény!

216 Többrészecskerendszerek kvantummechankája ahol < j > azt jelent, hogy mnden különbözo párra összegezn kell. Az összeg mnden tagja két taggal járul hozzá a vrálhoz, ezek: q j q j ~r + ~r j ~r r j ~r j r j q j r j r j q j ~r j (15.29) = 2 ~r +~r j = 2 (~r ~r j ) ~r ~r j r j r j r j q j =, r j vagys Coulomb ero kre13 a vrál egyszeruen megegyezk a potencáls energa átlagával. Ezért a (15.27) összefüggés végso alakja atomokra, molekulákra, szlárd testekre és mnden olyan anyagra, amt csak Coulomb-ero k tartanak össze: hv = 2 ht, (15.30) vagy staconárus állapotokról lévén szó 1 E = ht + hv = hv. 2 (15.31) Mt árulnak el ezek a formulák a Coulomb-ero k által létrehozott kötés természetéro l? Azt, hogy a kötést az energa lecsökkenését a vonzó Coulomb-potencál létesít, de annak éppen a felét be kell fzetn a knetkus energa növekedésében, mnt afféle lokalzácós adót. Ez ellentmond annak az elterjedt álkvantumos magyarázatnak, amely szernt a kéma kötést a hosszabb köto pályákra szétfolyó elektronok knetkus energájának csökkenése okozná! Az gazság ennek éppen a fordítottja: bár a köto pályák keresztrányban befuzo dnek és ez a knetkus energa növekedésével jár, ezáltal olyan helyre lokalzálódnak, ahol mndkét atom magjának vonzó potencálja hat rájuk, am kétszeresen megtérít a befektetést a potencáls energa csökkenése által Adabatkus közelítés, Hellmann Feynman tétel A molekulák és krstályok kötésének és rezgésenek részletesebb magyarázatához a kulcs az az észrevétel, hogy az atommagok nehezek és lassan mozognak, az elektronok könnyuek és gyorsak. Ennek matematka kfejezését a kvantummechanka valószínuség jellegét felsmero Max Born és a késo bb az atombomba atyjaként smertté vált J. Robert Oppenhemer 1927-es ckke tartalmazza. Az eljárás két részbo l áll: 13 És persze a klasszkus esetben gravtácós ero kre: pl. a Naprendszerre s.

217 15.7. Adabatkus közelítés, Hellmann Feynman tétel oldjuk meg az elektronrendszer do to l független Schrödnger-egyenletét valamlyen ~R helyen rögzített atommagokkal, és olvassuk le az elektronok energasajátértékét ~R függvényében; 2. oldjuk meg a magok mozgásának Schrödnger-egyenletét, amelyben az elo zo lépésben kapott elektron-energa a magok potencáls energájaként jelenk meg, hozzáadódva a magok Coulomb-kölcsönhatásához. A következo formulákban nem írjuk k a spnváltozókat. Jelentse ~r az elektronrendszer koordnátát (N elektronra ez egy 3N-dmenzós konfgurácós tér vektora), ~R pedg a magok koordnátát. Használva a drektszorzatbázs ~r ~R =: ~r, ~R jelölését, a molekula vagy krstály Ψ állapotvektorának koordnáta-reprezentácóban egy h~r, ~R Ψ = Ψ(~r, ~R) hullámfüggvény felel meg. Erre vonatkozk a Born-Oppenhemer közelítés: ~ χ(r) (~r) ~ Ψ(~r, ~R) χ(r) (~r) ψ(~r), (15.32) ahol a közelíto elektronállapot, ~R helyen rögzített atommagokkal kszámolva, ψ(~r) pedg a magok közelíto állapota olyan potencálban, amely már az elektronrendszer energáját s tartalmazza. A két utóbb függvényt az elektron-mag rendszer Hamlton-operátora határozza meg: (~R) Hˆ = H + H mag, (15.33) el ahol (~R) H el = T el + V (~r, ~R) (15.34) az elektronrendszer energája ~R helyen rögzített atommagok esetén, Hˆ mag = T mag + V mag (~R) (15.35) pedg a magok knetkus energájának és egymás között Coulomb-taszításból eredo potencáls energájának összege. Mvel a nagyon lassan mozgó atommagokról feltételezzük, hogy nem gerjesztenek átmeneteket különbözo elektronállapotok között, a (15.32) közelíto szorzat elso tényezo jét energasajátállapotnak tekntjük, amelynek azonban mnd a hullámfüggvénye, mnd az energasajátértéke függ egy lassan változó paraméterto l: a magok ~R helyéto l. Ez a tartalma az adabatkus közelítés kfejezésnek.14 A j-edk közelíto elektronállapotot tehát a (~R) (~R) (~R) Hˆ el χ j (~r) = U j (~R) χ j (~r) (15.36) 14 A kfejezés egy álmos félrehallásból született. Paul Ehrenfest egy konferencán félálmából felradva mondta: Ez olyan, mnt a termodnamkában az adabatkus folyamat. A helyes kfejezés kvázsztatkus folyamat lett volna, de a termodnamkában adabatkus és kvázsztatkus gyakran együtt jár, így keveredhettek össze álom és ébrenlét határán.

218 Többrészecskerendszerek kvantummechankája do to l független Schrödnger-egyenlet határozza meg. A belo le leolvasható U j (~R) = Z (~R) χj (~R) (~R) (~R) (~r) H el χ j (~r) d 3N r = h j, ~R H el j, ~R (15.37) elektronenerga-sajátérték az, amely vszont megjelenk a magok mozgásában, mnt járulék az effektív potencáls energához: adabatkus közelítésben a magok mozgását a (ad) Hˆ j,mag = T mag + V mag (~R) + U j (~R) (15.38) effektív Hamlton operátor határozza meg. A V mag (~R) + U j (~R) összeg az a potencál, amelynek mnmuma a kémalag kötött állapotokat jelentk. Az lyen mnmumok körül alakulnak k a molekulák és krstályok rezgése, amelyek alacsony gerjesztettség szntek esetén harmonkus rezgésnek tekntheto k, magasabb gerjesztésre anharmonkus korrekcókkal kell számoln. Még magasabb gerjesztéskor a molekula felbomlásához vagy átrendezo déséhez: kéma reakcóhoz érkezhetünk el. A Born Oppenhemer közelítés az elektron-mag rendszer teljes Schrödnger egyenletébo l formálsan úgy kapható meg, mnt az elektron-mag tömegarányból származtatott (me /Mmag )1/4 ks paraméter hatványa szernt haladó sorfejtés vezeto tagja. Tudn kell, hogy a közelítés olyankor romlk el, amkor az elektronok s lassan mozognak, ez pedg az érntett elektronenergaszntek különbségén múlk: ahol ~R függvényében egy U (~R) és egy U j (~R) sznt keresztez egymást, ott van a lassú elektronmozgás; ott keverednek pl. egy molekula elektronkus és rezgés gerjesztése. Az lyen kevert ( hbrdzált ) gerjesztés módust hívják polartonnak. Az effektív potencáls energa ~R szernt negatív gradense a magokra az elektronrendszer részéro l ható ero. Erre van egy megejto en egyszeru állítás, amely matematkalag azon a ketto sségen alapul, hogy az effektív potencál egyszerre sajátérték s (lásd a (15.36) egyenletet), átlagérték s (lásd a (15.37) egyenletet): ~Fmag = U j (~R) = h j, ~R H (~R) j, ~R el ~R ~R (~R) Hˆ = h j, ~R el j, ~R U j (~R) h j, ~R j, ~R. ~ R ~R (15.39) A másodk tag a normálás matt eltunk, az elso tagba vszont a (15.34) Hamlton operátorból csak a potencáls energa ad járulékot. A végeredmény: ~ ~Fmag = h j, ~R V (~r, R) j, ~R, ~R (15.40)

219 15.8. A kéma kötés 219 vagys az elektronenerga részéro l a magokra ható ero be semm más nem ad járulékot, mnt az elektronfelho nek a magokra gyakorolt Coulomb-vonzása; a kéma kötéshez az kell, hogy az elektronok besurusödjenek a magok közé, és vonzó hatásukkal kompenzálják a poztív magok között taszító ero t. Ezt az egyszeru és fontos eredményt nevezk Hellmann Feynman tételnek.15 Az adabatkus közelítésnek van még egy kísértetes tulajdonsága. Számoljuk k a magok mpulzus-operátorának az elektronfelho re átlagolt hatását, kndulva a (15.32) faktorzált hullámfüggvénybo l: hasonlóan a (15.37) egyenlethez, Z h ~ h ~ (~R) (~R) 3N ~ ~ d r χ j (~r) ~ χ (~r) ψ(r) = h j, R ~ j, ~R ψ(~r) R j R h ~ = ~R + ~A ψ(~r), (15.41) ahol ~A = h h j, ~R ~ ~ j, ~R (15.42) R teljesen úgy vselkedk, mnt egy mágneses vektorpotencál, annak mnden hatásával, beleértve az Aharonov Bohm-szeru fázseltolásokat, amelyek többek között molekulák rezgés spektrumaban okoznak meglepo kválasztás szabályokat. Ez a Berry-fázsok [16, 17, 18] egyk megjelenés formája. Ebben a jelenségkörben azt csodálhatjuk meg, hogy az adabatkusan lassú mozgások, bár gerjesztést nem okoznak, jól kszámítható és mérheto fázseltolásokban ott hagyják az ujjlenyomatukat a kvantumjelenségeken A kéma kötés Az elo zo három pont elo készítésül szolgált annak az élménynek befogadására, amt a 20. század elso harmadának fzkusa és kémkusa éltek át, amnt a kvantummechanka mélyen bevlágított a molekulák tulajdonságanak hátterébe. A kvantummechanka kora, látványos skere volt a kovalens kéma kötés értelmezése. Hogy egy elektront könnyen leadó atom, mnt a nátrum, és egy elektront könnyen felvevo atom, mnt a klór, találkozva ellentétes töltésu onokká válnak és etto l vonzzák egymást, abban addg sem volt túl sok 15 A levezetésbo l látszk, hogy a matematka trükk nem csak az ero, hanem bármlyen paraméter szernt dervált átlagolására s használható.

220 Többrészecskerendszerek kvantummechankája rejtély. Hanem hogy két hdrogénatomból hogyan lesz egy ero sen kötött H2 molekula, arra a kvantummechanka elo tt elképzelésük sem volt a kutatóknak. Hetler és London 1927-es munkája hónapokkal a Schrödnger-egyenlet publkálása után talált egy közelíto megoldást, amely már mutatta a kötés tényét: a molekula alapállapot energája mélyebbnek mutatkozott a két szabad atoménál. A kéma kötés kvaltatív képe nem sokat változott az elso általános meggondolások óta. A Born Oppenhemer adabatkus közelítés értelmében a kötés vzsgálatánál a magokat nyugvónak teknthetjük, és elég az energát a magkonfgurácó függvényében vzsgáln; ha van mnmuma, annak mélysége határozza meg a kötés erejét. Hogy mto l van kötés, azt a vráltétel (15.6. pont) és a Hellmann Feynman tétel (15.7. pont) vlágosan megmondják: attól, hogy az elektronok besuru södnek a magok közé, ahol a magok vonzó potencálja összeadódk, így az eredo potencáls energa mélyebb lehet (vráltétel); egy helyro l lehet két magot egymás felé vonzan (Hellmann Feynman). A közössé vált elektronok a kötésben elveszítk az egyes atomhoz való köto désüket; ezt fejez k a hagyományos kcserélo dés kölcsönhatás kfejezés. A besurusödésnek azonban korláta s vannak: a ksebb helyre szorulás a knetkus energa növekedésével jár, a Paul-elv akadályozza túl sok azonos spnu elektron összegyülekezését ks helyre, ematt a sokelektron-állapotban sokszor jól felsmerheto egy-egy molekulapályán ellentétes spnu elektronokból álló párok kalakulása, ez felel meg legnkább az elem kémában pálckákkal ábrázolt kötéseknek; az elektronok egymás között Coulomb-taszítása lényegesen befolyásolja az elektronállapot szerkezetét és a létrejött kötés energáját. Mndezek matt bár a kötés eredetét kvaltatíve jól lehet érten, a pontos számítások gen nehezek. A kora modellekro l hamar kderült, hogy nagyon pontatlanok, és smeretlen kéma körülmények között elo rejelzésre alg használhatók. A kvantumkéma azonban vsszavonhatatlanul megszületett, fejlo dése vharos volt, és a nagyteljesítményu számítógépek megjelenésével különösen felgyorsult. Mára a molekulák kötését a Schrödngeregyenlet numerkus megoldásaból parszeruen lehet vzsgáln; egy új vegyület szntetzálását sokszor megelo z a kvantumkéma becslés. A számítógépek teljesítménye és a véggszámolható molekulák mérete együtt fejlo dk, mnt az oroszlánok és a gazellák futása.

221 Impulzusmomentumok összeadása A molekulák tulajdonságanak kszámítása a kvantummechanka segítségével: önálló szakma, amelynek részletet nem egy bevezeto kvantummechanka könyvbo l kell megtanuln. A magyarnyelvu kvantumkéma rodalom gazdag termésébo l Kapuy és Török klasszkusát [19] ajánlom olvasóm fgyelmébe Impulzusmomentumok összeadása Kölcsönható részecskék általában kölcsönös forgatónyomatékot gyakorolnak egymásra, ezért külön-külön egykük mpulzusmomentuma sem marad meg, csak az összetett rendszer teljes mpulzusmomentuma. Feladat: kszámoln ennek lehetséges nagyságát és vetületet, ha az összetevo kre ezek az adatok smertek. Az skolapélda: két feles spn összetevése egy eredo vé. Az egyes spnek mndegykének állapota egy +, bázson kfejtett α α + + β = (15.43) β spnorral adható meg. Az összetett rendszer állapota valahol a két spn bázsanak drekt szorzatán, vagys a + +, +, +, (15.44) nyers bázson adható meg, ahol pl. + := Ezen kell meghatározn S 2 és S z mátrxalakját, hogy kszámolhassuk a közös sajátvektorak által alkotott rreducbls bázs vektorat és a hozzájuk tartozó sajátértékeket. Fogjunk hozzá kéz ero vel! A z-komponensek összeadása trváls: Sˆz = S z1 + S z2 = h (σz1 + σz2 ) = h. (15.45) Trükkösebb az eredo négyzetének kszámítása: ˆ ˆ ˆ S = (S1 + S 2 ) = S 1 + S 2 + 2S1 S 2 = h + σ1 σ2 2 2 (15.46) h S(S + 1), 2 ahol khasználtuk, hogy S 12 = S 22 = h 2 21 ( ), és hogy S = 12 h σ, ahol σ a Paul-mátrxokból alkotott háromdmenzós vektort jelent. Végül jeleztük,

222 Többrészecskerendszerek kvantummechankája hogy majd a kszámolt sajátértékeket a két spn S eredo jének leolvasására kívánjuk felhasználn. A két spn egymáshoz képest többféleképpen állhat be, ezért azt várjuk, hogy S-nek többféle lehetséges értéke lesz. A σ1 σ2 = σ1x σ2x + σ1y σ2y + σ1z σ12z kfejezést vakon k lehet dolgozn a (15.44) nyers bázson. Az eredmény (gyakorlat: számoljunk utána!): σ 1 σ2 = S 2 = h (15.47) 0 2 Ennek az operátornak két sajátértéke van; h 2 S(S + 1) = 0, vagys S = 0, am a két ellentétesen rányított feles spn eredo je. A semm csak egyféleképpen tud beálln: nem csoda, hogy hozzá csak egy sajátvektor tartozk, a 1 ( + +) (15.48) 2 sznglett spnvektor (a 2 a normálást bztosítja)16, amelyre természetesen Sz = 0. h 2 S(S + 1) = 2h 2, vagys S = 1: tt a két feles spn azonos rányba áll. Ennek vszont háromféle beállása lehetséges, ezek alkotják a trplettet : ( + + +) (15.49) 2 A hozzájuk tartozó Sz sajátértékek rendre: +1, 0, 1. Érdemes megjegyezn, hogy csak egy elo jelen, vagys egy csak nterferencában érvényesülo fázstényezo n múlk, hogy egy felfele és egy lefele álló spn mlyen eredo be kombnálódk össze: a 0 hosszúságú sznglettbe, vagypedg az 1 hosszúságú, de 0 vetületu trplett-komponensbe. Klasszkus korrelácók szempontjából mndketto ugyanazt mondja: tökéletes antkorrelácó; am az elso részecskének fehér, az a másodknak fekete, és vszont. A kvantummechanka oldaláról nézve azonban a sznglett és a trplett: ég és föld; másként kattannak rájuk a detektorok. 16 A magyar nyelvu szakrodalomban párhuzamosan létezk a sznglett és szngulett változat.

223 Impulzusmomentumok összeadása A sznglett-trplett ketto sségnek van egy tulajdonsága, am durván beleavatkozk a körülöttünk levo, nagyrészt elektronokból építkezo vlágba: az, hogy a sznglett antszmmetrkus, a trplett-komponensek pedg szmmetrkusak a két elektron felcserélésére nézve. A Az elektronok azonban fermonok, ematt a teljes kételektron-hullámfüggvénynek vszont, amelyben hely- és spnváltozók s szerepelnek, antszmmetrkusnak kell lenne. Ezért a spn-szngletthez kötelezo en a koordnátákban szmmetrkus hullámfüggvény tartozk, a spn-trpletthez pedg koordnátákban antszmmetrkus hullámfüggvény. Ezek energája lényegesen különbözhet; ezt a különbséget hívják kcserélés kölcsönhatásnak. Ezen a nem mágneses alapon, hanem Coulomb-ero és knetkus energa alapján muködo kapcsoló-szerepen keresztül vezérlk a spnek a kéma kötések létrejöttét, közvetve az élet kalakulását s. Vsszahatásként, ugyanlyen nem-mágneses kcserélés ero k hozzák létre a ferromágneses anyagok mágneses rendezo dését s, amre Hesenberg jött rá. A feles spnek eddg látott, fáradságos kézero vel való összeadásánál a csoportelmélet elegánsabb utat kínál, amelyet bonyolultabb esetekben jóval könnyebb véggjárn, csak a módszert kell megtanuln hozzá. Adjunk össze két mpulzusmomentumot, amelyek nagysága J1, ll. J2, vetületük M1 [ J1, +J1 ], ll. M2 [ J2, +J2 ]; a megfelelo nyers bázst a J1 J2 M1 M2 := J1 M1 J2 M2 (15.50) drektszorzat-vektorok alkotják. Ezekbo l szuperponálódnak az eredo mpulzusmomentum sajátvektora, amelyek között mnden lehetséges J [ J1 J2, J1 + J2 ] hosszúság és M [ J, +J] vetület elo fordul. Egy adott J, M sajátvektor így tevo dk össze ezekbo l az összetevo vektorokból: J, M = M1,M2 J1 J2 M1 M2 CJM J1 J2 M1 M2 ; M = M1 + M2. (15.51) J1 J2 M1 M2 Az összeg CJM együttható a nevezetes Clebsch Gordan együtthatók. Itt annyt jegyzünk meg róluk, hogy szemben a sznglett-trplett sajátvektorok megtalálásánál követett elem eljárással, ezeket az együtthatókat a forgáscsoport tulajdonsága teljesen meghatározzák. Az lyen típusú csoportelmélet módszerek kdolgozásában meghatározó szerepe volt Wgner Jeno nek. Többelektronos atomokban az elektronok pályampulzusmomentumanak és spnjenek összeadása bonyolult játékszabályokat követ, amelyek fordulatat a Zeeman-effektus tesz áttekntheto bbé. Hol az egyes elektronok tel-

224 Többrészecskerendszerek kvantummechankája jes mpulzusmomentuma, hol a sok elektron eredo pályampulzusmomentuma és eredo spnje bzonyul ero sebb egységnek a mndent szétszedn vágyó mágneses mezo vel szemben. A színképek durva szerkezetét az ero s Coulomb-kölcsönhatás alakítja k; erre rakódk rá a pontban említett spn pálya kölcsönhatástól eredo fnomszerkezet. Nagy felbontású spektroszkópában az atommag spnjének és töltéseloszlásának perturbáló hatásából eredo hperfnom szerkezet s megjelenk. Ugyanennek a hperfnom kölcsönhatásnak túlsó oldala az elektronok vsszahatása a mágneses magrezonancára, amely ematt a kéma analízs egyk legérzékenyebb módszere, és fontos képalkotó orvos dagnosztka eszköz s épül rá. Végül a alpontban említett, mkrohullámú spektroszkópával mérheto Lamb-féle vonaleltolódás az elektromosan töltött anyag és a sugárzás kölcsönhatásáról hoz nélkülözhetetlen nformácót Ensten Podolsky Rosen paradoxon, Bell-egyenlo tlenség Már a fejezet elején szóba került, hogy az összefonódás legrejtélyesebb vonása, hogy a kölcsönhatás megszunésével, a részecskék sok klométeres eltávolodásával sem szunk meg. A téma történelm elo zménye Enstennek egy 1929-es konferencán tett megjegyzése: jó, hogy egy részecskét csak egy helyen lehet detektáln, de honnan tudja meg a több detektor, hogy egy már megszólalt? A kérdésre adható ma válasz: a részecske összefonódk a detektorok rendszerével, ezáltal a detektorok egymással s. Mndazonáltal a jelenséget nem könnyu megemészten. A kérdéskör gazán Ensten Podolsky Rosen ( EPR) 1935-ös ckkével [21] került be a köztudatba. Ez a ckk hívta fel a fgyelmet a távol összefonódás rejtélyes voltára. Ezt a tulajdonságot azóta s a kvantummechanka rendszerek Ensten-féle nonszeparabltásának (szétválaszthatatlanságának) nevezzük. Lényege: a kétrészecske-állapot a szétválás után s megmarad, és nem lehet két független részecskének teknten. Egy kétfoton-forrásból kétfoton jön k, nem két foton; az kerként született részecskék sohasem válnak függetlenné. Az 1935-ös EPR-ckk álláspontja ezzel még ellentétes: arra koncentrálnak, hogy ha ezt nem fogadják el, hanem a szétrepülo két részecskét két független rendszernek tekntk, akkor ellentmondásra jutnak a kvantummechanka valószínuség jellegével, amt úgy fogalmaznak, hogy a kvantummechanka nem lehet teljes.

225 Ensten Podolsky Rosen paradoxon, Bell-egyenlo tlenség 225 Három évtzeddel késo bb azonban megndult a kérdéskör poztív hozzáállású, ntenzív elmélet, majd kísérlet kutatása, amely mndenben a kvantummechanka gazát támasztotta alá. A gondolkodást Bohm példája ndította el, amely az eredet EPR gondolatkísérleteknél sokkal valószerubbnek hangzott: egy sznglett spn-állapotú részecskepárt kell szétrepíten, akkor a két részecske spnvetületét megmérve (Stern Gerlach) tökéletes antkorrelácót találunk: ha 1 akkor 2, ha 1 akkor 2. A késo bb valóságos kísérletek nem gaz feles spnu részecskékkel történtek, hanem polarzált fotonpárokkal, amelyekbo l ugyanúgy, so t könnyebben lehet polarzácó-sznglett párokat elo állítan. Velük csak az a baj, hogy a fotondetektorok nem annyra megbízhatóak, de a kísérletek töretlenül mennek elo re. Tekntsük át bevezetésül kcst részletesebben az EPR-ckkben megfogalmazott követelményeket, a spnek nyelvén elmondva: 1. tökéletes antkorrelácó; 2. lokaltás: a szétrepülés után van két rendszerünk kölcsönhatás nélkül (kvantummechanka: nncs!); a másodk rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy az elso n mt mérünk (kvantummechanka: nncs elso és másodk!); 3. valóság: a másodk spnvetület értékét az elso mérése után a rendszer megzavarása nélkül bztosan tudjuk, ez tehát egy eleme a fzka valóságnak, am a kvantummechankában nncs benne; 4. teljesség: a kvantummechanka nem teljes, mert a fzka valóság egy elemét nem tartalmazza. A ma legelterjedtebb álláspont szernt ebben a krtkus feltevés a lokaltás: a kvantummechanka teljes, de csak a kétrészecske-állapotok valóságosak, amelyek (tt) egy részecske spnvetületét mérve meghatározhatók, a másodk mérés ezt csak elleno rzhet. Ez nemlokáls kapcsolatot jelent a kétrészecske-állapot két detektornál való megjelenése között. Ez a nemlokaltás azonban nem sért a relatvtás elvét, mert jeladásra nem használható ( no-sgnallng ), ugyans egy detektor jelén nem látszk, mt csnáltunk vagy mt láttunk a máskon: ez békés egymás mellett élés a kvantummechanka és a specáls relatvtás között (Shmony 1984) Fatalabb olvasóm már nem nagyon tudják, mt jelent ez a kfejezés, de amkor Shmony mondta, akkor még smert volt: a Szovjetúnó és az USA fnom kegyensúlyozottság-

226 Többrészecskerendszerek kvantummechankája Wseman [22] élesebben fogalmaz: elo bb vagy utóbb le kell nyelnünk, hogy a kvantummechanka nemlokáls. A rejtett paraméterek problémája Az gaz fellendülést John Bell 1964-es munkája [23] ndította el. O az összefonódásnak egy specáls, a kvantummechanka kora éveben népszeru kvaltatív magyarázatát vette célba, amely így szólt: a kvantummechanka mérés által produkált véletlen mögött a leírás hányossága rejlk; léteznek olyan rejtett paraméterek, amelyekro l a kvantummechanka nem ad számot, de smeretükben a véletlen mérés eredmények s teljesen megjósolhatók lennének.18 A szétrepülo részecskék távol összefonódása esetén ez a magyarázat még fnomításra szorul: ha a kép gaz, a szétrepülo részecskepár (ant-) korrelácóját a szétrepülés elo tt, a közös forrás helyén beléjük táplált rejtett paraméter; rövden: lokáls rejtett paraméter déz elo. Bell kérdése: le lehet-e írn a tökéletes antkorrelácót egy lokáls közös okkal, vagys egy véletlen paraméterrel, amelynek egyes értékehez 1 és 2 tartozk, más értékehez 1 és 2? A kérdésre a helyes válasz: mért ne? Bell ennél tovább ment: rájött, hogy a tökéletes antkorrelácó lebutított kérdés, a kvantummechanka ennél sokkal gazdagabb! Elég, ha a két spnvetületet nem párhuzamos Stern Gerlach analzátorral (ll. a két foton polarzácóját nem párhuzamos analzátorokkal) mérjük, akkor már ugyanarra a kérdésre a válasz: NEM! A feles spnek példájánál maradva, legyen ~a = (sn θ1 cos φ1, sn θ1 sn φ1, cos θ1 ), ~b = (sn θ2 cos φ2, sn θ2 sn φ2, cos θ2 ) (15.52) a két Stern Gerlach rányának egységvektora. Mndketto höz tartozzon egy detektorpár; a spnvetületet h /2 egységekben mérve, mndkét oldalon az egyk detektor megszólalásához +1, a máskéhoz 1 mérés eredmény tartozk. ban fenyegeto, de egymást meg nem támadó együttélését jellemezte így Hruscsov szovjet pártvezér. O a kfejezést Csou En Laj kína poltkustól kölcsönözte. 18 Neumann János készített egy bzonyítást a rejtett paraméterek lehetetlenségéro l, ez azonban csak olyan súlyos matematka megszorításokkal volt érvényes, hogy a fzka valóságból sznte semmre sem volt alkalmazható.

227 Ensten Podolsky Rosen paradoxon, Bell-egyenlo tlenség ábra. A Bell-féle kísérlet séma: a központ kétrészecske-forrásból spnsznglett állapotban szétrepülo részecskepár két tagját különbözo rányú Stern Gerlach analzátorok fogadják. A kétoldal mérések eredményét a berendezés összeszorozza és átlagolja. Valahányszor a forrás kbocsát egy részecskepárt 1 Ψ = ( ) 2 (15.53) sznglett spn-állapotban, és a két oldalon egy-egy detektor megszólal, a kétoldal eredményeket szorozzuk össze: az eredmény +1 vagy 1 lesz.19 Egy hosszú méréssorozatra átlagoljuk ezeket az eredményeket, és próbáljuk meg elméletleg megjósoln az eredményt. A kvantummechankáé az elso lépés joga: az átlag E Ψ (a, ~ ~b) = hψ (a ~ ~σ)1 (~b ~σ)2 Ψ, ahol ~σ = ,, a Paul-mátrxokból alkotott háromdmenzós vektor, és ~a ~σ = cos θ1 sn θ1 eφ1 sn θ1 e φ1 cos θ1. 19 Párhuzamos detektoroknál a szorzat mndg -1 lenne, a tökéletes antkorrelácónak megfelelo en.

228 Többrészecskerendszerek kvantummechankája Analóg kfejezés írja le a ~b ~σ szorzatot, θ2 és φ2 polárszögekkel. A keresett átlag végül lyen alakban adódk: E Ψ (a, ~ ~b) 1 = (h+ 1 +h 2 + h 1 h h+ 1 h 2 + h 1 +h+ 2 ) 1 = (cos θ1 ( cos θ2 ) + ( cos θ1 ) cos θ2 2 sn θ1 e φ1 sn θ2 eφ2 sn θ1 eφ1 sn θ2 e φ2 = cos θ1 cos θ2 = a ~ ~b. cos(φ1 φ2 ) {z } cos φ1 cos φ2 +sn φ1 sn φ2 (15.54) sn θ1 sn θ2 Most értünk el a híres Bell-féle egyenlo tlenségek bevezetéséhez. Bell célja az volt, hogy olyan kísérletsorozatot találjon, amelyben a kvantummechanka eredményt nem lehet reprodukáln lokáls rejtett paraméteres modellel. Itt a kulcsszó a lokáls: ez azt jelent, hogy még a kétrészecske-forrásban, ahol a részecskék együtt vannak, eldo lne, hogy a detektorok adott beállítása mellett melyk oldalon m lesz az eredmény. Ha a vlág nem így muködk, az kísértetes távolhatás (Ensten: spukhafte Fernwrkung, angolul spooky acton-at-a-dstance ), de a kísérletek éppen ezt látszanak gazoln bzonyos kbúvókkal (loophole: ahol a vad kbújk a hurokból). Az alábbakban nem az eredet Bell-féle változatot, hanem a Clauser Horne Shmony Holt (CHSH) csapat változatát smerjük meg, amelynek az az elo nye, hogy rossz detektorokra s értékelheto eredményt ad. Fotonkísérleteknél kötelezo ezt használn, mert a fotondetektorok a bejövo fotonoknak alg több mnt a felére szólalnak meg. A kísérletek terve a következo : Végezzünk négy mérés sorozatot, amelyekben a két analzátor rányát két-két elo re elhatározott rány közül választjuk: 1-es analzátor: ~a vagy ~a 2-es analzátor: ~b vagy ~b Mnd a négy kombnácóban a kétoldal detektorpárok között koncdencákat számoljuk össze ++, +, +, felbontásban, ambo l egy-egy átlagot kapunk az adott analzátor-kombnácóra: E= N++ + N N+ N +. N++ + N + N+ + N +

229 Ensten Podolsky Rosen paradoxon, Bell-egyenlo tlenség 229 Jegyezzük meg, hogy a detektorok véges hatékonyságának torzító hatása a törtbo l kesk; ez a CHSH-változat elo nye az eredet Bell-féléhez képest. A négy átlagból értékeljük k a következo t: S = E(a, ~ ~b) E(a, ~ ~b ) + E(a ~,~b) + E(a ~,~b ). Amennyben az egyes detektorpárok jelét (a választott analzátor-állások szernt egyk oldalon x1 ll. x 1, másk oldalon x2 ll. x 2 ) egy λ lokáls rejtett paraméter teljesen meghatározza, a fent összeget erre való átlagolással lehet kszámítan: S = hx1 x2 x1 x 2 + x 1 x2 + x 1 x 2 = hx1 (x2 x 2 ) + hx 1 (x2 + x 2 ). Mvel x2 x 2 és x2 + x 2 közül az egyk 0, a másk ±2, a másk faktor ±1, az összeg mndenképpen +2 és -2 között van: E(a, ~ ~b) E(a, ~ ~b ) + E(a ~,~b) + E(a ~,~b ) 2. A kvantummechanka az egyes E átlagokra meghatározott értékeket jósol, ezeket behelyettesítve ~a ~b + ~a ~b ~a ~b ~a ~b 2. Könnyu azonban találn olyan négy ~a, ~b, ~a,~b rányt, akár egy síkban s, amelyek sértk az egyenlo tlenséget!20 Ilyen rányokba állítva az analzátorokat, a kísérletek mndg a kvantummechankának megfelelo és a CHSH (Bell) egyenlo tlenségeket megsérto eredményt adnak! Ez kísérlet cáfolatát jelent a lokáls rejtett paraméter feltevésének. A kísérletek egyre jobb mno ségu kétfoton forrásokkal és detektorokkal, egyre nagyobb távolságra szétküldött fotonpárokkal mág s folytatódnak. Értelmezésükben a kbúvót (loophole) még a CHSH-változatban s a detektorok korlátozott hatékonysága jelent: bár az eredmények tökéletes összhangban vannak a kvantummechanka jóslattal, de a gyenge detektorok matt ném üggyel-bajjal még gyárthatók olyan rejtett paraméteres modellek, amelyek reprodukálják a kísérlet adatokat. Ezek a modellek a játék zgalmán kívül ezdeg semm hasznosat nem árultak el a vlág muködéséro l. 20 Gyakorlat: próbálkozzunk; addg ne hagyjuk abba, amíg nem találtunk négy megfelelo rányt; ha még maradt türelmünk, próbáljuk megtaláln az egyenlo tlenséget maxmálsan sérto beállításokat!

230 Többrészecskerendszerek kvantummechankája A fotonoknál jóval ksebb statsztkával, de részecskefzka rendszereken s végeznek Bell-egyenlo tlenségeken alapuló teszteket. Fotonoknál egy zgalmas fejlemény a háromfoton-állapotok korrelácónak vzsgálata. Itt az elmélet jóslatok még markánsabbak, mnt a Bell-típusú kétfotonos esetekben, de a háromfoton-források egyelo re nagyon gyenge mno séguek, így a kísérletekbo l nehéz megbízható következtetésekre jutn Környezet kölcsönhatások, dekoherenca és komplementartás A mkrorendszerek, amelyekkel kvantummechanka kísérleteket tervezünk, bármlyen gondos preparálás után elo bb-utóbb kölcsönhatásba kerülnek a környezetükkel és összefonódnak vele. Ennek legfeltuno bb következménye az, hogy fokozatosan elvész a kszemelt mkrorendszer koherencája: az nterferencakép elmosódk. A kvantummechanka kezdet napjaban úgy mondták, hogy az nterferenca attól mosódk el, ha nformácót szerzünk arról, hogy merre ment a részecske ( út nformácó ), ezzel a részecskeszeru tulajdonságokat ero sítjük, a hullámszerueket gyengítjük. Ez a két, gyökeresen különbözo nek látszó kép mára konvergáln látszk: mndegy, hogy az nformácó az agyunkba jutott, vagy a környezetbe szvárgott, összefonódás alakjában. A dolog mögött van egy nagyon egyszeru matematka mechanzmus. Nézzük 1 dmenzóban két anyaghullám nterferencáját, amelyek ampltúdója térben lassan változk, fázsuk vszont gyorsan: u1 (x) exp( ϕ1 (x)), u2 (x) exp( ϕ2 (x)). Egy 1 ψ(x) = (u1 (x) + u2 (x)) 2 (15.55) szuperpozícóban az nterferencaképet az ntenztás rajzolja k: I(x) = ψ(x) 2 = 1 u1 (x) 2 + u2 (x) 2 + u1 (x)u 2 (x) + c.c cos (ϕ1 (x) ϕ2 (x)), (15.56) am 0 és 2 között oszcllál a fázskülönbség függvényében. M történk, ha ez az anyaghullám kölcsönhatásba kerül a környezetével, és ematt állapotuk összefonódk? Jelöljük a környezet koordnátának összességét q-val, akkor az összefonódott állapot legegyszerubb közelíto

231 Környezet kölcsönhatások, dekoherenca és komplementartás 231 alakja:21 1 Ψ(x, q) = [u1 (x)χ1 (q) + u2 (x)χ2 (q)], (15.57) 2 ahol χ1 (q) és χ2 (q) normált hullámfüggvények. Az nterferencakísérletben most s csak az eredet anyaghullám nterferencáját látjuk, ezért a Born-szabálynak megfelelo ntenztást a környezet változóra k kell ntegráln: Z 1 I(x) = Ψ(x, q) 2 dq = u1 (x) 2 + u2 (x) 2 + V (u1 (x)u 2 (x) + c.c.) V cos (ϕ1 (x) ϕ2 (x) + α), (15.58) ahol V = Z χ 1 (q)χ2 (q)dq = hχ1 χ2 (15.59) az nterferenca láthatósága ( V mnt vsblty ), és α a skalárszorzat komplex fázsa.22 Az eredmény nagyon szemléletesen mutatja, hogy m történk a környezet kölcsönhatások következtében: amkor egy nterferométerben az anyaghullámot szétosztjuk egy u1 és egy u2 részhullámra, azok máshol haladva, másképpen csatolódnak a környezethez. Ematt a környezet változásaban különbözo nyomot hagynak. Ha ezek a nyomok ero sen különböznek, a környezet χ1, ll. χ2 állapota egymásra ortogonálssá válnak.23 Ez jelenk meg, mnt V lecsökkenése; ez mossa el az nterferencajelet. Ezt a mechanzmust nevezk környezet okozta dekoherencának (Zeh, 1970, Zurek, 1981). Itt kapcsolódk a történet az nterferencavesztés egy jóval régebb ndokolásához, a komplementartás elvéhez. Ez úgy szólt, hogy egy elektronnak részecske- és hullám-tulajdonsága lehetnek, de ezek kegészítk egymást: hol az egyk domnál, hol a másk. A részecske-tulajdonságokat ero sít az, ha egy kétrés-nterferencaberendezést kegészítek valam olyan útdetektorral, am megsúgja, hogy az elektron melyk résen ment át; lyenkor az nterferenca leromlk, esetleg elvész. 21 Am közelítés benne, az az u (x)χ (q) szorzat-alakú tagok megjelenése. Igazából tt összefonódott s (x, χ) függvényeknek kellene álln; ezek átlagtér-szeru közelítése a szorzattá szétvágott alak. 22 Az optkában a láthatóságot úgy defnálják, hogy ha egy nterferencaképben az ntenztás Imax maxmáls és Imn mnmáls értékek között váltakozk, akkor V = (Imax Imn )/(Imax + Imn ). 23 Ez nem nylvánvaló, de egy nagyon sokdmenzós térben könnyu két vektornak ortogonáls rányokba forduln.

232 Többrészecskerendszerek kvantummechankája A fent formulákból látjuk, hogy ez mképpen muködk (Wootters és Zurek 1979): az út-detektor, akárhogy muködjék s, része a környezetnek : azáltal tudja megsúgn, merre ment az elektron, hogy összefonódk vele, és a két úthoz a maga lényegesen különbözo állapotat társítja. Ezek tárolják az elektronról a környezetbe kszvárgott út-nformácót, és ezek mossák el a koherencát. A környezetbe eltárolt nformácó mno ségét éppen azon mérhetjük, hogy a tároló χ állapotok mennyre ortogonálsak, vagys skalárszorzatuk mennyre kcs. Bevezetve a D= q 1 hχ1 χ2 2 (15.60) megkülönböztetheto séget ( D mnt dstngushablty ), látjuk, hogy D 2 + V 2 = 1. Ha az összefonódásba más partnerek s betolakodnak, amelyek nem tárolnak megkülönböztetésre használható nformácót, akkor általában D 2+V 2 1 (15.61) (Englert 1996). Ez az összefonódásalapú magyarázat tartalmában s, matematkájában s nagyon más, mnt az a határozatlanság relácók sugallta kapcsolat, amelynek alapján a komplementartás elvét az alapító atyák kmondták. Azóta az s kderült, hogy a határozatlanság relácókra valóban épül egyfajta ketto sség: ha x attól csökken, hogy egy optka rácsra nagyon keskeny nyalábot bocsátunk, akkor nncs, am letapogassa a rácsot: bzonytalanná lesz az mpulzusmérés. Azonban valam más jön helyette, nem a koherencavesztés, hanem egy rég smero sünk: a Stern Gerlach-szeru szelektív eltérítés a bejövo részecske belso állapota szernt; legyen az spn, gerjesztés vagy bárm más belso szabadságfok Dekoherenca és a suruségmátrx A 6. fejezetben megsmertük a suruségmátrx fogalmát, és láttuk, hogy kvantumállapotok sokaságára átlagolva kvantummechanka keveréket kapunk, amelynek tulajdonsága markánsan különböznek a hullámfüggvényekkel (a Hlbert-tér vektoraval) leírható, tszta állapotokétól. Az eltérés általában a koherenca elmosódásából áll. Ebben a fejezetben a koherencavesztésnek egy új, mndenütt jelenlevo mechanzmusát smertük meg: a környezettel való összefonódást. Ennek s a suruségmátrx fogalma jelent a legközvetlenebb leírásmódját.

233 Dekoherenca és a suruségmátrx Induljunk k a részrendszer és környezete közös Ψ(x, q) hullámfüggvényébo l, ahol x jelöl a részrendszer, q pedg a környezet koordnátát. Átlagoljuk ezen az állapoton a részrendszer valamlyen megfgyelheto tulajdonságát, vagys egy olyan A x operátort, amely csak a részrendszer változóra hat: haˆ x = Z dx Z = Z dq Ψ (x, q) A x Ψ(x, q) A x Z Ψ(x, q) Ψ (x, q) dq = Tr(Aˆ x ρ ), ahol ρ x,x = Trq ρx,q;x,q Z dx (15.62) x =x Ψ(x, q) Ψ (x, q) dq (15.63) 24 Ahogy ezt a mennységet elo állíta részrendszer redukált suruségmátrxa. juk, az a környezettel összefonódott rendszerek elméletének alapmuvelete: a ktrészelés a környezet változókra.25 Általában a részrendszer az, amt kézbevehetünk, ránézhetünk, méréseket végezhetünk rajta. A részrendszer még ksebb, összefonódott részekbo l áll: egy molekula atommagokból és elektronokból. Ha nem lenne környezet, ezek összefonódásáról vlágos képet adna a Schrödnger-féle közös hullámfüggvény. Ha azonban bejönnek a környezet hatások, a részrendszer belso összefonódásanak leírása, mérése, szabályozása pokolan bonyolulttá válk. Ez a kvantumnformácó elméletének egyk legaktívabban kutatott területe. Egyelo re csak rtka és egyszeru esetekben lehet megmondan egy többrészecske-suruségmátrx alapján, hogy az mlyen ero sen összefonódott részecskéket ír le. Vsszatérve a környezettel való összefonódásra, az nem puszta knematka, hanem a rendszer és környezete között kölcsönhatás által vezérelt dnamka folyamat eredménye. Mvel a kölcsönhatás kölcsönös hatás, úgy s teknthetjük, hogy a koherencát legalábbs részben a környezetre gyakorolt ero k vsszahatása mossa el, amely zajforrásként muködk. Közönséges körülmények között ez nagyon gyors folyamat. A kísérlet muvészetnek a kvantummechanka ma gyakorlatában egyk fo feladata, 24 A (15.62) egyenlet középso sorában elo ször a zárójelet kell kszámítan: ez adja az (A ˆ x ρ ) operátorszorzatot. Ezután végezzük el az x x változó-egybeejtést és az azt követo ntegrálást: ez együtt a trész muvelete. 25 Németesen még kspúrozásnak s lehet mondan; valamennyre s jól hangzó magyar neve nncs. A knyomozás valam mást jelent. Végül s, a ktrészelés nem s hangzk olyan rosszul.

234 Többrészecskerendszerek kvantummechankája hogy lassú dekoherencájú körülményeket teremtsen. Ez fotonok esetén könnyen megy, elektronoknál elég jó vákuummal megoldható, nagyobb kvantumrendszerek esetén nehéz feladat. Az ntenzíven kutatott megoldás leheto ségekro l a F. függelék tartalmaz ném áttekntést a kvantumnformácó nézo pontjából. Ennek a lassú dekoherencának legelterjedtebb elmélet leírása s a redukált suruségmátrx fogalmára épül. Legyen H x,q részrendszer és hozzá csatolt környezete együttes Hamlton-operátora: akkor a teljes suruségmátrx kelégít a (6.58) egyenlettel analóg d ρ = [Hx,q, ρ ] dt h (15.64) Neumann-egyenletet. Ebbo l a környezetre ktrészelve, Born-közelítésszeru terácóval, zárt egyenletet kaphatunk a redukált suruségmátrxra. Ebben az egyenletben a környezet hatása mnt csllapítás és koherencavesztés jelenk meg. Ez az ún. master-egyenletek módszere, amelyro l az E. függelékben adunk áttekntést.

235 16. fejezet A szemklasszkus határeset Ha egyszer megszoktuk, hogy a mkrovlág mozgása a kvantummechankát követk, egyszerre csak az válk nehéz kérdéssé, hogy megértsük, mért létezk egyáltalán klasszkus fzka, mért nem vselkednek kvantumosan a körülöttünk levo makroszkopkus testek. Tudjuk, hogy a relatvtáselméletnek a nemrelatvsztkus fzka egyszeru határesete, ha a fénysebességgel végtelenhez tartunk. A kvantumelmélet esetében kézenfekvo llúzó, hogy hasonlóan, ha a Planck-állandóval nullához tartunk, megkapjuk a klasszkus fzkát. Ez azonban távolról sem lyen egyszeru. Részleges válaszokat már kaptunk a klasszkusság kérdésére. Az anyaghullámok dszperzója matt hullámcsomagok jönnek létre, amelyeknek kterjedése makroszkopkus esetben mérhetetlenül kcs, élettartama hosszú, tömegközéppontjának mozgása a klasszkus fzkát követ. Egyfajta kvaltatív tájékozódást kínál az ún. korrespondenca-elv", amely arra orentál, hogy a klasszkus vselkedést a magasan gerjesztett állapotok táján keressük. Ez a krtérum csak kötött állapotokra használható, és ott s fnomításra szorul, lásd a koherens állapotok dszkusszóját a 8.2 pontban. Ugyanennek a kvaltatív képnek alapos és megvlágító matematka leírását jelent a WKB közelítés, amt a következo pontban smerünk meg; ez nemcsak kötött állapotokra érvényes, és a magas gerjesztettség helyett a rövd hullámhosszra helyez a hangsúlyt. Az utóbb néhány évtzedben sokat haladtunk elo re a klasszkusság megértése felé. A hangsúly fokozatosan eltolódott a koherenca elvesztése, az ún. dekoherenca vagy fázsvesztés felé, amelyben a környezettel való kölcsönhatásoknak jut dönto szerep. Ezeknek mára alaposan kdolgozott elmélete jött létre (lásd az E. függeléket), de sok tekntetben nytva maradt még azoknak a sztuácóknak a kérdése, amelyekben a lneárs Schrödngeregyenlet szernt egyes makroszkopkus testek mozgásának makroszkopku235

236 A szemklasszkus határeset san szét kellene válna két vagy több részhullámra. Ilyet senk sem látott; ez a kvantummérés híres-hírhedt kérdésköre, benne az emblematkus Schrödnger-macskával. Mndezekro l az utolsó fejezetben adunk áttekntést. Hogy a rövd hullámhossz határesete nem a végso szó a klasszkusság magyarázatában, annak számos kísérlet bzonyítéka gyult össze az utóbb években (lásd alább, a pontban); akármlyen rövd a hullámhossz vagy magas a gerjesztés, ameddg az anyaghullámok nterferencaképessége megmarad, addg az bzony kvantummechanka. Ezért manapság a WKB közelítést és korszeru kterjesztéset nem klasszkus, hanem szemklasszkus (félklasszkus) közelítéseknek nevezzük, hangsúlyozandó, hogy eredménye csak hasonlítanak a klasszkus fzkára, de koherens kvantummechanka mozgásokat írnak le. Az utóbb években elérheto vé vált félvezeto nanostruktúrák készítése a tsztaság és hbamentesség olyan fokán, hogy 1 K körül ho mérsékletre hutve, az elektron az eszköz többszáz nm-es méretén többször végghaladva s mego rz kvantummechanka koherencáját. Az elektron de Brogle-hullámhossza a befutott útnál általában rövdebb, tehát ezek az eszközök tpkusan a kvantummechanka szemklasszkus közelítésével írhatók le Hullámfüggvények WKB közelítésben Emlékezzünk vssza a Schrödnger-egyenlet levezetésére (3.1 pont): p mpulzusú, E energájú mozgás esetén a hullámfüggvény ktevo jében levo fázs térben p/h, do ben E/h sebességgel változk. Ha közelítünk a makroszkopkus méretekhez, amelyek skáláján a h nevezo nagyon kcs, a fázs térbeldo bel változása nagyon gyors lesz. Ezzel szemben a hullámfüggvény ampltúdója lassan változk, aszernt, hogy a V potencáls energa mlyen gyorsan változó függvénye a helynek és/vagy az do nek. Mndez azt sugallja, hogy Wentzel, Kramers és Brlloun (WKB, 1926) nyomán lyen alakban vegyük fel az egyrészecske-hullámfüggvényt: ψ(~r,t) = A(~r,t) e h S(~r,t), (16.1) ahol S(~r,t) és A(~r,t) valós függvények. Az S jelölés nylvánvaló utalás a klasszkus mechanka hatásfüggvényre ; ez már a kvantummechanka keresésének do szakában s nylvánvaló volt, ezért s hívják a Planck-állandót do nként hatáskvantumnak. Hamarosan látn fogjuk, hogy egy jól defnált szemklasszkus határesetben S(~r,t) tényleg pontosan a klasszkus hatásfüggvénybe megy át. Ez az a határeset, amelyben a fent említett gyors és lassú változások megkülönböztetését k tudjuk aknázn. Formáls matema-

237 16.1. Hullámfüggvények WKB közelítésben 237 tka szempontból a határesetet h 0 határátmenettel találhatjuk meg,1 de közben tudjuk, hogy h akkora amekkora, és gazából S válk hozzá képest naggyá. Helyettesítsük be a (16.1) próbafüggvényt a t ψ = (/h )[ (h 2 /2M) 2 + V ]ψ Schrödnger-egyenletbe, és vezessünk le belo le egyenleteket az S(~r,t) és A(~r,t) függvények meghatározására! A derválásokat elvégezve, az eredményt osszuk el ψ-vel, majd válasszuk szét az egyenlet valós és magnárus részét. Kezdjük az magnárus résszel: t S = h 2 2 A ( S)2 V. 2M A 2M (16.2) Kézenfekvo, hogy tt a formáls h 0 határátmenet ugyanazt jelent, mnt az, hogy az S/h fázs gyors változásához képest az A ampltúdó változása lassú: mndenképpen arra jutunk, hogy a jobboldalon az elso tagot el kell hanyagolnunk.2 Így jutunk a tulajdonképpen WKB közelítéshez: ( S)2 + V + t S = 0. 2M (16.3) Amt kaptunk, azok számára akk jártasak a klasszkus elmélet fzkában ~, ~r) = 0. Emlérég smero s: a Hamlton Jacob egyenlet; t S + H ( S ~ = ~p kezteto ül a tagok azonosítása az elem mechanka mennységekkel: S az mpulzus, t S = E az energa. Egy gyors próba: a (16.1) egyenlet ktevo jében szabad mozgásnak megfelelo síkhullámra az A ampltúdó állandó, a ktevo ben pedg S = ~p ~r Et, ahogy kell. A hullámhosszhoz képest lassan változó potencálban, am a WKB közelítés alkalmazás területe, A, S, és ha a potencál do függo, akkor még E s, térben-do ben lassan változó mennységek lesznek. Ha E = t S = const, akkor a (16.3) egyenletbo l a staconárus állapotok hullámfüggvényét meghatározó Schrödnger-féle energasajátérték-egyenlet WKB-megfelelo jét kapjuk: ( S)2 + V = E. 2M (16.4) 1 Vegyük észre, hogy a (16.1) kfejezésnek h 0 esetén lényeges szngulartása van, ezért kell ném óvatossággal kezeln a határátmenetet. Amnt Wgner Jeno mondta, ígérem, hogy óvatos leszek. 2 Ez analóg a hullámoptkából a fénysugarak felé vezeto ekonál-közelítéssel. A WKB szerzo hármas tudatosan hvatkozk erre a hasonlóságra. Az analóga abban s korrekt, hogy az ekonál-egyenlet s fénysugár tulajdonságú hullámokat ír le, határozott fázsvszonyokkal.

238 A szemklasszkus határeset Ezt használjuk a WKB módszer legtöbb alkalmazásánál. Térjünk át a szétszabdalt Schrödnger-egyenlet valós részére: A 1 A S = 2 S. A 2M AM (16.5) Szorozzuk meg az egyenletet 2A2 -tel! Az eredmény apró átrendezés után így írható:! ~ S 2 2 t A = ~ A. (16.6) M Itt nncs mt sorbafejten, ez nylvánvalóan a kontnutásegyenlet WKBnyelven: A2 a valószínuségsuruség, a jobboldalon pedg a zárójelben az áram áll; a tört a csoportsebesség, am h 0 határesetben a klasszkus sebességgel esk egybe. Vsszatérve a (16.2) egyenlethez: a jobboldal elso tagja, az a tag, amt késo bb elhanyagoltunk, a szemklasszkus határesetbe bele nem féro kvantumeffektusok hordozója. Jelentése eléggé nylvánvaló: ez az a része a knetkus energának, am nem a ktevo ben levo fázs helyfüggésébo l (a klasszkus mpulzusból) ered, hanem az A ampltúdó helyfüggésébo l. A kvantummechanka szempontjából ez s, az s mpulzus, elv különbség nncs közöttük. A szemklasszkus határesetben ezek mégs elég élesen elválnak; ezt fejez k az a szóhasználat, hogy a most elhanyagolt tagot néha kvantumpotencálnak nevezk, és úgy tekntk, mnt a klasszkus mozgást befolyásoló ero forrását Egydmenzós mozgások WKB közelítésben A staconárus Schrödnger-egyenlet szemklasszkus megfelelo jét úgy kapjuk, ha a (16.4) és (16.6) egyenletek megoldását behelyettesítjük a (16.1) egyenletbe, és az eredményben felhasználjuk a fzka körülményeknek megfelelo határfeltételeket. Egy dmenzóban a (16.4) egyenlet és megoldása: p(x) = S (x) = p 2M(E V (x)); S(x) = Z x x0 p(x ) dx + h ϕ0, (16.7) 3 Létezk a vlágban szétszórt fzkusoknak egy kcsny, de lelkes közössége, akk ezen az alapon egyfajta alternatív kvantummechankát muvelnek, Bohm-féle mechanka néven. A többség nézet ezt nem teknt a kvantumelmélet valós alternatívájának.

239 Egydmenzós mozgások WKB közelítésben ahol a ϕ0 kezdo fázst a határfeltételek rögzítk. A (16.6) egyenlet ennek megfelelo staconárus megoldása: const A(x) = p, p(x) (16.8) ahol a konstanst a normálás rögzít: mnt eddg s, kötött állapotok esetén a teljes megtalálás valószínuségre, szórás-alagutazás problémáknál a bejövo valószínuség áramra kell normáln. A (16.8) formula nagyon szemléletes: az A2 suruség fordítva arányos a p(x)/m csoportsebességgel: ahol a részecske lassabban mozog, ott több do t tölt. Rakjuk össze a megoldást! Mvel staconárus megoldásokat keresünk, ψ(x,t) = exp[ (/h )Et]φ(x). A továbbakban φ(x)-re koncentrálunk. Ennek jellege lényegesen függ attól, hogy klasszkusan megengedett (E > V (x)) vagy tltott (E < V (x)) tartományban vagyunk: az elso esetben Z x 1 φ(x) p exp ± k(x ) dx + ϕm ; xm k(x) k(x) = 1p 2M(E V (x)); h (16.9) a másodk esetben: Z x exp ± κ(x ) dx + ϕt ; 1p 2M(V (x) E). h xt κ(x) (16.10) A megengedett és tltott tartományok határan, a mozgás klasszkus fordulópontjan, ahol E V (x) 0, a kétféle megoldást llesztenünk kell. Ez a WKB közelítésben kemelkedo en nemtrváls feladatot jelent. Ennek az az oka, hogy a fordulópontokon maga a WKB közelítés romlk el, mvel ott p(x) = h k(x) 0, vagys a hullámhossz, amt a WKB közelítés mndenhez képest kcsnek tesz fel, végtelenhez tart. A kút: a fordulópont környezetében a potencált közelítsük lneárs függvénnyel, erre oldjuk meg a Schrödnger-egyenletet, és vgyük el a megoldást olyan messzre, ahol már jó lesz a WKB közelítés. Az eljárás természetesen akkor használható, ha olyan messzre még jó a potencál lneárs közelítése, vagys a potencál elég smán változk a fordulópont körül.4 Amennyφ(x) p 4 Gyakorlat: 1 κ(x) = dolgozzuk k ennek pontos feltételét!

240 A szemklasszkus határeset ben az eljárás használható, a megoldandó egyenlet: h 2 φ + F x φ = E φ; 2M Fx0 = E ξ := x x0 ; 2 (16.11) 2 φ h + F ξ φ = 0. 2M ξ2 Az utóbb egyenlet ném változóhelyettesítés után az Ary-függvények (tört ndexu J1/3 (z) Bessel-függvények) dfferencálegyenletébe megy át. Ezek aszmptotkus vselkedése jól smert, és a fordulópont két oldalán könnyen llesztheto a (16.9), ll. (16.10) formulákhoz. Az eredmény kétféle aszernt, hogy a megengedett tartományban oszclláló függvényhez a tltott tartományban lecsengo vagy növekvo exponencálst llesztünk, a (16.10) egyenletbel két elo jel szernt. Kötött állapotoknál csak a lecsengo jut szerephez, de az alagutazás leírásához mndkét esetre szükségünk lesz. Legyen x < 0 a megengedett és x > 0 a tltott tartomány, akkor a lecsengo exponencáls llesztése: Z 0 1 π φ(x) p sn k(x ) dx + x < 0; 4 x k(x) Z x (16.12) 1/2 p exp κ(x ) dx x > 0, 0 κ(x) a növekvo exponecáls llesztése pedg: Z 0 1 π φ(x) p sn k(x ) dx x < 0; 4 x k(x) Z x 1/2 p exp κ(x ) dx x > 0. 0 κ(x) (16.13) A nevezetes eredmény ebben a ±π/4 fázs: a lneárs potencállal közelítheto fordulópontnál, ha az exponencáls lecsengo, a vsszavero do hullám 1/8 hullámhossznyt lóg bele a tltott tartományba, ha pedg növekvo, a hullám 1/8 hullámhossznyt kszorul a tltott tartományból.5 5A fent llesztés formulákat az Ary-függvények részletes vzsgálata nélkül s k lehet találn x szernt, az x = 0 szngulárs pontot megkerülo analtkus folytatás alapján (Kramers 1926; Landau Lfsc: Kvantummechanka, 47. ).

241 Egydmenzós mozgások WKB közelítésben Beszéljük meg elo ször a kötött állapotok kérdését. Ha a sznuszt oda- és vsszahaladó hullámra bontjuk fel, a π/4 duplán számít: a hullám a Bohr Sommerfeld kvantáláshoz képest mnden vsszavero désnél π/2 extra fázstolást vesz fel. A zárt pályára vonatkozó szemklasszkus kvantálás feltétel tehát a (2.9) egyenlethez képest így változk: I 1 p(q)dq = n + 2 h. (16.14) Fontos még egyszer megjegyezn, hogy ez a korrekcó akkor jogos, ha teljesülnek a lnearzált fordulópont feltétele. Ha a potencálfal tetszo leges belso potencál peremén végtelen magas és meredek, az 1/2-et el kell hagyn. Meredek, de véges potencálok esetén persze mnden közbenso érték s elo fordulhat, lyenkor a potencált pontosabban kell számoln, és az Ary-függvény nem használható közvetlenül.6 A (2.9), ll. (16.14) egyenletnek (a különbség tt nem számít) van egy nevezetes értelmezése: ez a szemklasszkus állapotszámlálás ndokolása, amt a statsztkus fzka kterjedten használ. Szavakban elmondva, a formula szernt a (p, x) fázstér h területu fázscellája felel meg egy kvantált pályának.7 Nem kevésbé fontos alkalmazás területe a WKB közelítésnek az alagúteffektus vzsgálata. Az 5.5. pontban megsmert szögletes potencálfal modellje általában rosszul írja le a kísérletleg vzsgált rendszereket, radoaktív bomlástól a félvezeto nanostruktúrák kapufeszültséggel beállított potencálgátjag. Ezeknek a sma potencálfalaknak a tárgyalására általában a WKB módszert használjuk. Vegyük fel az alagutazó WKB hullámfüggvényt a potencálgátat határoló x = a és x = b fordulópontok között lyen alakban: Z x Z b 1/2 φ(x) = p a+ exp κ(x ) dx + a exp κ(x ) dx, a x κ(x) (16.15) a két megengedett tartományban pedg, fgyelembe véve a fent exponencálsoknak a határokon felvett értéket, valamnt a (16.12) és (16.13) llesztés a számot, am a sma falnál a (16.14) formulában megjeleno 12, végtelen meredek falnál 0, közbenso esetekben pedg valam más, Maszlov-ndexnek nevezk. 6 Azt 7d dmenzós mozgásnak megfelelo 2d dmenzós fázstér esetén hd térfogatú; N részecskére általában d = 3N. Az ortogonáls bázsállapotok teljes összeszámlálásánál a spnt és egyéb belso szabadságfokokat s fgyelembe kell venn.

242 A szemklasszkus határeset formulákat, így: x<a: Z a 1 π φ(x) = p a+ sn k(x ) dx + 4 x k(x) Z b Z a π a exp κ(x ) dx sn k(x ) dx ; 4 a x (16.16) x>b: Zb Z x π 1 a+ exp κ(x ) dx sn k(x ) dx φ(x) = p 4 a b k(x) Z x π +a sn k(x ) dx +. 4 b (16.17) A végso kértékelésnél van egy határfeltételünk: balról jobbra történo alagutazást kell leírnunk, ezért az x > b tartományban csak kfutó hullám lehet jelen: a sznuszfüggvények komplex felbontásából az Rx exp( ( b k(x ) dx ) szorzót tartalmazó tagoknak k kell esnük. Ebbo l az alább feltétel adódk: Z b a = a+ exp κ(x ) dx. (16.18) a Ezután már kszámíthatjuk a (4.5) kfutó valószínuség áramsuruséget s: Z b h a+ 2 jk = exp 2 κ(x ) dx. (16.19) M 2 a Hogy az alagutazás valószínuségét megkapjuk, smernünk kell még a bejövo áramsuruséget s. A (16.16) kfejezésben s kválasztva a sznuszok jobbra haladó komponensét,8 azt találjuk, hogy az a -hullám járuléka exponencálsan kcs; az eredmény: jbe = h a+ 2. M 4 (16.20) 8 Ezúttal természetesen a balra haladó, a fordulóponton reflektált komponens s jelen van, majdnem ugyanakkora ntenztással; a csekély hány éppen az, am alagutazással továbbjutott.

243 16.2. Egydmenzós mozgások WKB közelítésben 243 A kmeno és bemeno áramsuruségek aránya az alagutazás valószínuség nevezetes WKB formulája: Z b T = 2 exp 2 κ(x ) dx, (16.21) a am elegendo en sma és széles potencálgátakra jó közelíto kfejezés. Az utóbb évtzedekben a szemklasszkus kvantummechankának a WKB módszernél hatékonyabb módszere jelentek meg. Ezek tpkusan egy többdmenzós rendszer egész mérheto spektrumát írják le; a feltuno jelenség az, hogy a kvantumfeltételeket kelégíto, akármlyen bonyolult alakú zárt pályák élesen kugranak a nem záródó pályák elmosódó háttere elo tt, akkor s, ha a zárt pályák a klasszkus mechanka szempontjából nstablak: ha a rendszer eltalálja a jó pályát, azon sokág rajta marad. Ilyen tulajdonságoknak lényeges szerepe van a kvantumkáosz jelenségkörében, amt kísérletleg többek között a már említett félvezeto nanostruktúrákban lehet vzsgáln. A jelenségkört szupravezeto határok beépítése trükkös határfeltételekkel gazdagítja.

244

245 17. fejezet Kvantummérés: téma változatokkal A kvantummechanka mérés mnden részletto l lecsupaszított modellje ez: mérn akarom egy részecske feles spnjének z komponensét, olyan méro eszközzel, amely kétféle válaszra képes: a spn felfelé vagy lefelé áll. Φ-vel jelölve a mutató-koordnátát : a méro eszköz leolvasható adatát, amely kezdetben Φ0, a kétféle válasz esetén Φ+ ll. Φ értéket vesz fel, a mérés így játszódk le:1 ha a bejövo részecske spnje felfelé áll, + Φ0 +, Φ+, (17.1) ha a bejövo részecske spnje lefelé áll, Φ0, Φ. (17.2) M történk, ha most egy olyan részecskét engedünk be, amelynek spnje nem felfelé, nem s lefelé áll, hanem valam más rányba, tehát α + + β szuperpozcóban van? A lneárs Schrödnger-egyenlettel leírt untér do fejlo dés szernt nem kétséges, hogy mnek kell történne: (α + + β ) Φ0 α +, Φ+ + β, Φ. (17.3) De nem ez történk. A két tag közül az egyk megvalósul, a másk eltunk. Hogy melyk valósul meg, az a véletlenen múlk; α 2 valószínuséggel az 2 elso, β valószínuséggel a másodk. Ilyenkor a mért spn beállása s ugrásszeruen megváltozk: csak a méro eszköz által mutatott érték marad életben; ez lesz a tovább fejlo dés kezdet állapota. 1 Tudjuk, hogy ez a méro eszköz egy Stern Gerlach mágneses szétválasztó után elhelyezett két detektorból áll; felfelé esetén az egyk szólal meg, lefelé esetén a másk. A mágneses szétválasztó végz az elo zetes Neumann-mérést, lásd a 6.2. pontban. A mérés után a két detektor egymással s összefonódott állapotba kerül. Ezekkel a részletekkel most nem töro dünk. 245

246 Kvantummérés: téma változatokkal Van erre egy elterjedt kfejezés: a mérés folyamatban a hullámfüggvény összeomlk, kollapszust szenved; ráesk egy véletlenül kválasztott vetületére. Ott újraéled, és amíg nem mérk újra, tovább fejlo dk a Schrödngeregyenletnek megfelelo en. Ezt a forgatókönyvet számtalan elvégzett kísérlet gazolja, és semm sem látszk ellentmondan nek. Másfelo l nylvánvaló ellentétben van a lneárs Schrödnger-egyenlettel és a belo le eredo untér do fejlo déssel. Ezt a helyzetet nylván értelmezn ( nterpretáln ) kell. A Bohr Hesenberg Neumann János nevével fémjelzett koppenhága nterpretácó álláspontja: a kvantummechanka a mkrovlágra vonatkozk; a méro eszközök ezzel szemben a makrovlág része, ahol a klasszkus fzka törvénye érvényesek. A kvantummechanka mérésben a két vlág érntkezk, ennek különleges törvénye vannak: ez az ugrásszeru, véletlenszeru mérés folyamat.2 Ez a leírásmód hallatlanul skeres fenomenológája lett a vlág leírásának. A szuperpozícó elve a mkroszkopkus vlágban kérlelhetetlen pontossággal érvényesül, az elektronhullámoktól egyfelo l az atomok és molekulák mozgáság, másfelo l az elem részecskék családjan belül létrejövo szuperpozícókg. A nagy molekulák felé haladva a koherenca elvész, de ennek okat jól értjük: a környezettel való kölcsönhatás ero södk meg; ha a környezettel való összefonódást követn tudnánk, ott s érvényesülne a szuperpozícók lneartása. Ugyanakkor a mérés folyamat és benne a méro eszközök különleges státusát Bohr napja óta s khívásként él meg a fzkusok egy része.3 Ahogy a kísérlet eszközök fejlo désével fokozatosan tárul fel a mkro és makrovlág határán élo, mezoszkopkus kvantumrendszerek fzkája, amelyekben tszta anyagok, abszolút nullához közel ho mérséklet, nagy vákuum, mechanka és optka eszközök csúcsfnomsága és kvételes stabltása, valamnt a nanotechnológa teljes fegyvertára o rz a kvantummechanka koherencát, kézenfekvo Bohr és követo nek taktkus távolságtartásáról lemondva nekrugaszkodn és türelmesen keresn a hdat a mkro és makrovlág között, a 2 Flozófa szempontból zavarbaejto, hogy a normáls untér fejlo désro l semm közvetlen kísérlet tapasztalatunk nem lehet, hszen a kísérletekben mndg a kvételes mérés folyamatot látjuk. Van, ak ezt úgy mondja, hogy az állapotvektor csak könyvelés eszköz a mérés jegyzo könyvek áttekntheto bbé tételére. A fzka azonban számos példát mutatott rá, hogy a bár közvetett, de nagyon szemléletes fogalmakat elo bb vagy utóbb teljes értéku valóságnak fogadjuk el. 3 Egy elterjedt mondás szernt, amt a folklór Feynmannak tulajdonít, de Davd Mermn magának gényl a szerzo ségét, a koppenhága nterpretácó ezt mondja: Shut up and calculate, magyarul: Befogod a szád és számolsz!

247 17.1. Kvantum-Zénón-effektus 247 törvényt, amelynek egyk határesete a Schrödnger egyenlet, másk a newton mechanka és a maxwell elektrodnamka. Hogy lyen törvény létezk, az nem nylvánvaló, de keresése tsztességes tárgya a fzka kutatásnak.4 Addg s, és etto l függetlenül, a jól o rzött koherencájú untér do fejlo dés és az azt do nként megszakító mérés folyamatok építo kövebo l a huszadk század a vlág addg elképzelhetetlenül mély és részletes megértéséhez jutott el. Végül, nem utolsósorban, ugyanezekbo l kezd felépüln az utóbb évtzedekben az nformácókezelés kvantummechanka eszközenek5 egyre növekvo fegyvertára. A kutatás számos, markánsan különbözo sztuácót azonosított; ezekbo l adunk az alábbakban áttekntést Kvantum-Zénón-effektus Az elea Zénón néven smert görög flozófus6 emlékét legnkább a mozgással kapcsolatos paradoxonja o rzk. Ezek paradox voltát a matematka analízs megszületése oldotta fel: ma már senk sem csodálkozk azon, hogy két egymás után helymérésbo l határátmenettel egyetlen pllanatbel sebességet kaphatunk, vagy hogy végtelen sok szám összege, pl. végtelen sok esemény együttes do tartama s lehet véges. Ez utóbbra utal Msra és Sudarshan (1977) felfedezése, amely egy valóságos kvantumjelenséget körvonalaz: ha egy rendszer untér do fejlo déssel gyorsan kmozdulna kezdet állapotából, de suru mérésekkel mndg elleno rzöm, hogy még ott van-e abban a kezdet állapotban, akkor tényleg nagyon sokág nem tud onnan kmozduln. A levezetés egyszeru. A gyors untér fejlo dés bztosítására olyan dszkrét állapotok között átmenetekbo l kell kndulnunk, amelyek nem sajátállapota az energának; formálsabban szólva, egy dszkrét spektrumú, nem megmaradó mennység sajátállapotaból.7 Egy n kezdet állapotból kndulva engedjük muködn az untér do fejlo dést egy rövd τ deg, majd elleno rzzük, 4 Akt a téma érdekel, részletes, sokoldalú és vszonylag frss áttekntést találhat róla a [24] kötetben. 5 Lásd 6 Kr. az F. függeléket, részletesebben pedg a [25] és [26] monográfákat. e ; az angolnyelvu rodalomban Zeno néven említk. 7 Ez a Rab-oszcllácóknak megfelelo sztuácó, lásd a pontot. Folytonos spektrummal a dolog nem megy: ha egy ko a fejemre akar esn, hába nézem egyfolytában, akkor s leesk. Hasonlóan, egy exponencáls do függésu radoaktív bomlást sem lehet zénózással lelassítan.

248 Kvantummérés: téma változatokkal hogy a rendszer ott van e még a kezdet állapotban. Ennek valószínusége: ˆ 1 Pn (τ) = hn e h H τ n 2 hn 1 Hτ 2 H 2 τ2 + n 2 h 2h (H 2 )nn (Hnn )2 τ2 h ( E)2 2 1 τ 2 h ( E)2 exp 2 τ2, h (17.4) ahol E az energa szórása az n állapotban.8 A kezdet állapot elleno rzésa projektív mérés : ha genlo választ adott, az a kvantumállapotot vsszavetít az n kezdet állapotba, és rendszerünk újra nnen ndul nek a változásnak. Ismételjük meg az egész eljárást N szer, és legyen t = Nτ egy adott do tartam, amelyet N növelésével egyre rövdebb τ szakaszokra szabdalnak fel az egyre surubb kvantummérések. Annak valószínusége, hogy mndannyszor, és még a t do szakasz végén s az n kezdo állapotban találjuk a rendszert, ( E)2 t 2 N Pn (t) = [Pn (τ)] exp 2 N N h (17.5) ( E)2 t 2 = exp 2 1. h N N A látványos eredmény: a suru kvantummérések odaszögezk a rendszert a kezdo állapothoz; ez a kvantum-zénón-effektus. 9 A levezetés szemléletesen mutat rá az untér do fejlo dés és a kvantummérés között alapveto eltérésre: untér dnamkában a változások do ben lneársan halmozódnak fel, suru kvantummérések dnamkájában ennél lassabb kvadratkus összegezéssel. A jelenséget kísérletekkel s elleno rzték [27]. Induljunk k egy csapdázott Be+ on két energasajátállapotából; az alacsonyabb energájú legyen a kezdo állapot. Az ont az energasajátértékek különbségének megfelelo ero s rezonáns lézerfénnyel megvlágítva, a két állapot megszunk energasajátállapot lenn, az on gyors untér dnamkával oda-vssza oszcllál a két állapot között. Ha azonban egy harmadk kvantumállapotba gerjeszto fénympulzusok által kváltott rezonanca-fluoreszcenca megfgyelésével elég surun 8 Ez természetesen nem 0, mert nem energasajátállapot. 9 Ez olyan, mnt amkor egy nagyon álmos emberto l tíz másodpercenként megkérdezzük: Még ébren vagy? és etto l tényleg nem tud elaludn.

249 17.2. Kölcsönhatás-mentes mérés 249 elleno rzöm, hogy a rendszer ott van-e az alapállapotban, ez lebénítja az oszclláló untér dnamkát: a rendszer tényleg legtöbbször ott lesz, ahol keresem. A kvantum-zénón-effektus kterjedt folklórjának része egy angol közmondás: Watched pot never bols, vagys ne nézegesd a forraln feltett vzet, ne emelgesd a fedo t, mert az meggátolja a forralást; am magától s megy, azt nkább hagyd, ne elleno rzgesd. Angolul a jelenséget nevezk még watchdog effect -nek s: ha az embert egy barátságos ptbull fgyel, akkor jobb nem nagyon mozogn. A fzka valóság azonban gazdagabb: ha a megfgyelések surítésével elérjuk a τ = t/n h / E határt, akkor egyre újabb állapotok kapcsolódnak be a dnamkába, és a változások újra felgyorsulnak: a kvantum-zénón-effektus átcsap ant-zénón-effektusba. Ez egyfajta magyarázatot jelent arra, mért vszonylag rtkák a kvantum-zénón-effektus tszta megjelenés formá Kölcsönhatás-mentes mérés Ez a kfejezés Eltzur és Vadman nevezetes munkája [28] óta a következo sztuácót jelent. Építsünk nterferométert, amelyben két részhullám találkozása egy detektornál koltó nterferencát okoz. Ha ezt meggátolom az egyk részhullám útjába helyezett elnyelo tárggyal, akkor a detektor megszólal. A dologban az a furcsa, hogy ha az elnyelo elnyelné a részecskét, akkor nem maradna, amto l a detektor megszólaljon, tehát a detektor megszólalása az elnyelo t elnyelés nélkül, más szóval: kölcsönhatás nélkül jelz. Hogy még furcsább legyen, Eltzur és Vadman azt ajánlja, képzeljünk az elnyelo helyébe egy bombát, amely az elnyelt részecskéto l felrobban. A kölcsönhatásmentes mérés az nterferenca törvénye által megszabott eséllyel arra ad esélyt, hogy a bomba jelenlétét felrobbanás nélkül észlelhessük. A látszólagos ellentmondást többféleképpen s k lehet bogozn. Kedvenc 10 a kvantummechamagyarázatom [29] szernt tt az elo reszórás muködk: nka untartása nem enged, hogy egy tárgy egyetlen hatása az elnyelés legyen; a bejövo hullámot az árnyéktérben k s kell oltan egy elo reszórt hullám kbocsátásával. Ez az elo reszórt hullám, az árnyékot veto tárgy szluettje az, amely eljut a detektorba és leheto vé tesz a kölcsönhatás mentes mérést. 10 Lásd az optka tétel tárgyalását a pontban.

250 Kvantummérés: téma változatokkal Quantum Non-Demolton A határozatlanság relácók tárgyalásánál, a 7.1 pont végén már említettük, hogy a mérés vsszahatása tekntetében a különbözo változók nem egyenértékuek: ha pontosan mérünk koordnátát, az az mpulzus szórása matt hamarosan pontatlanná válk. Fordítva ez nem gaz: az élesen megmért mpulzus éles marad. A különbség azon múlk, hogy az mpulzus mozgásállandó. Kézenfekvo a stratéga: akármt s akarunk mérn, egy közvetíto rendszer közbektatásával vezessük vssza valamlyen mozgásállandó mérésére; ezt mérjük meg a leheto legpontosabban, mközben a hozzá konjugált, de érdektelen mennységet gátlástalanul beszennyezhetjük a határozatlanság relácónak megfelelo mérés zajjal. Az alapveto példa a fotonszám mérése. A közönséges fotondetektorok úgy számolják meg a fotonokat, hogy közben megeszk o ket. Ez jelentékeny kárt tesz pl. optka távközlésnél egy gyenge, csak néhány fotonny gerjesztés tartalmazó fénympulzusban, amelynek nformácótartalmát szeretnénk kolvasn, anélkül, hogy meggátolnánk a jel továbbhaladását. A kvantummechanka megoldás: emlékezzünk vssza, hogy a fotonszám és a fény kvantummechanka fázsa konjugált mennységek (lásd a (8.23) egyenletet); keressünk tehát olyan közvetett mérést, amelyben a fotonszámot megzavarás nélkül tudjuk mérn, mközben a távközlés szempontjából érdektelen kvantummechanka fázst elmossuk. Ezt egy nemlneárs optka jelenség: a Kerr-effektus tesz leheto vé. Ez azt jelent, hogy az n törésmutató függ az E elektromos térero sségto l: n(e) = n0 + n2 E 2. (17.6) Másrészro l a térenerga arányos az N fotonszámmal: E 2 N, vagys a megfgyelt fényvezeto szakasz törésmutatója a fotonszámmal arányosan modulálódk. Ezt egy gyenge szondázó hely fénynyalábbal le lehet tapogatn, és rajta a törésmutató változásából eredo fázstolást nterferometrkusan meg lehet mérn. Ilyenmódon megmértük az optka kábelen áthaladó fotonok számát, a fotonok megsemmsítése nélkül, pusztán fázs vsszahatást okozva nekk. A fénykvantumok (fotonok) megsemmsítés (szétroncsolás) nélkül megszámlálása angolul: quantum non demolton (rövdítve: QND). A kfejezést a fzka ötlet megalkotója, Vlagymr Bragnszkj (angolosan: Vladmr Bragnsky) orosz fzkus találta k a roncsolásmentes anyagvzsgálat mntájára, amely akkor 1975 körül a Szovjetúnóban poltkalag támogatott parfejlesztés eszköz volt, így számíthatott a fölöttesek hallgatólagos egyetértésére. Az elnevezés fennmaradt; elterjedt magyar fordítása nncs.

251 Kvantum-ugrások Az optka távközlésnek gazából nem nagyon hányzk a QND, mert az optka kábelekben a fényntenztást nem engedk a néhány fotonos szntre csökkenn. Az gazán ígéretes alkalmazás a gravtácós hullámok detektálása lehet. Néhány fejlesztés alatt álló változatban ennek eszköze egy kvarcüveg szálon ngaként lengo mázsás kvarcüveg tömb, amelynek lengését befolyásolhatják az elhaladó gravtácós hullámok. A lengo ngának sem a helye, sem az mpulzusa nem mozgásállandó. A klasszkus mozgásegyenlet szernt az nga x ktérése és p mpulzusa x(t) = X1 sn ωt + X2 cos ωt; p(t) = mω [X1 cos ωt X2 sn ωt] (17.7) alakban függ az do to l, ahol m a lengo tömeg. Am mozgásállandó, azok az X1, X2 kvadratúra ampltudók ; ezeket tesz do függo vé a gravtácós hullámtól származó gyenge ero. Felhasználva p és x kommutátorát, [X 1, X 2 ] = h, mω (17.8) ambo l következk a h (17.9) 2mω határozatlanság relácó. A QND stratéga ezek után: mérjük az egyk kvadratúra ampltudót (mndegy, hogy melyket) amlyen pontosan tudjuk, és hagyjuk, hogy a másk vegye magára a mérés vsszahatás mnden zaját. Hogy mlyen ero sek a gravtácós hullámok, azt nem tudhatjuk, amíg még egyet sem skerült detektáln. Addg pedg nytva áll a leheto ség: rákényszerülhetünk a mérések olyan mértéku fnomítására, ahol a kvantumos hatások már lényegesen befolyásolhatják az eredményeket, és a QND stratéga komoly segítséget nyújthat a cél elérésében. Ehhez persze még az s kell, hogy extrém körülmények között a mázsás kvarctömb mozgását s a kvantummechanka törvénye szabják meg. X1 X Kvantum-ugrások A közvetett kvantummérés nevezetes példája a Dehmelt által ktalált és azóta sok változatban megvalósított kvantumugrás-kísérlet, más néven: a polcra tett elektron (17.1 ábra). Akárcsak a kölcsönhatásmentes mérés, ez s az untartás számos játékának egyke: tt egy közvetlenül észlelhetetlenül gyenge tltott átmenet szluettjét látjuk; a konkurrens megengedett átmenet serényen sugárzó oda vssza rohanása megszakad, amkor a tltott átmenet bekövetkezk.

252 Kvantummérés: téma változatokkal a) 1.lézer 2.lézer b) I ábra. a) A Dehmelt-féle kvantumugrás-kísérlet: egy oncsapdában tartott, lehutött atom három szntje között egy megengedett átmenet (vastag vonal) és egy tltott átmenet (szaggatott vonal) létezk. Az 1. lézer a megengedett átmenetet folyamatosan gerjeszt; a folyamatosan kjövo rezonanca-fluoreszcenca jel ntenztását a b) ábra mutatja. A 2. lézer a tltott átmenettel áll rezonancában. Ido nként az atom ezen az ágon gerjeszto dk, elektronja egy do re polcra kerül ; lyenkor a fluoreszcenca jel megszakad. Késo bb az elektron leesk a polcról és smét a megengedett ágon folytatja. A polcra tett elektron hosszú élettartama matt ez a legpontosabb spektroszkópa: a kvantumugrások csak akkor jelennek meg, ha a 2. lézer nagyon pontosan eltalálja a tltott átmenet frekvencáját Gyenge mérés utószelekcóval A 6.2. pontban smertetett Neumann-mérés stratégája abból ndult k, hogy az állapotvektor azon komponenset, amelyek a mért mennység különbözo sajátállapotanak felelnek meg, térben külön kell választan olyan részhullámokra, amelyek egymással már nem nterferálhatnak; ekkor az egyes komponensek detektálás valószínuségét közvetlenül meghatározza a Bornszabály. A makroszkopkus mennységek mérése ezt a térbel szétválasztást általában nem teljesít; lyenkor kvantummechanka értelemben pontatlan, más szóval gyenge mérést hajtunk végre. Aharonov és munkatársa [30] jöttek rá, hogy lyen gyenge mérést gaz mkrorendszerek esetén s érdemes végrehajtan; lyenkor a kevéssé szétválasztott részhullámok között érdekes nterferenca-jelenségek lépnek fel, amelyeket egy utószelekcónak nevezett eljárással lehet láthatóvá tenn. Induljunk k egy y rányba haladó, z rányban szélességu, Gauss-proflú hullámnyalábból, amely feles spnu részecskéket tartalmaz, x rányba pola-

253 17.5. Gyenge mérés utószelekcóval 253 rzálva. A kezdet állapot tehát így írható11 : C z2 /4 2 1 hz = e, 1 2 (17.10) ahol a C = 1/( 2π ) tényezo bztosítja, hogy a z rányú hullámfüggvény négyzete 1-re legyen normálva. A formulából elhagytuk az y rányba haladó hullámmozgásnak megfelelo tényezo t, amelynek semm szerep nem jut az alábbakban. Végezzünk el a nyalábon egy z rányú gyenge Stern Gerlach mérést! Ez a fent kezdet állapotot két egymáshoz képest kssé eltolt Gauss nyaláb szuperpozcójára bontja szét:! 2 2 C e (z δ) /4, (17.11) e (z+δ) /4 ahol a mérés gyengesége azt jelent, hogy δ, tehát a nyalábok nem válnak szét. Ezen az alg szétválasztott hullámnyalábon sznte semmt sem lehet látn. Most jön azonban az utószelekcó: végezzünk egy másodk, ero s Stern Gerlach szeparálást, ezúttal az x rány mentén! Ez a nyalábot lyen komponensekre bontja szét: ( C e (z δ) /4 + e (z+δ) /4 1 f1 (x) (17.12) ) e (z δ) /4 e (z+δ) /4 1 + f2 (x), 1 2 ahol f1 (x) és f2 (x) az ero s Stern Gerlach szeparálás következtében teljesen szétválk. Mt látunk a két ágban z függvényében? Nézzünk rá a két spnkomponens z-függo szorzójára! Az elso, amely az S x = h /2 spnbeálláshoz tartozk, a két, alg különbözo Gauss-görbe összegével semm érdekeset sem gér. Nem úgy a másodk, S x = h /2 spnu komponens: a két Gauss-görbe különbsége destruktív nterferencával majdnem mndenütt koltja egymást, csak az eloszlás peremen marad belo le két éles csúcs; egymástól nem az alg látható δ, hanem a jóval nagyobb távolságra szétválva. 11 Az írásmódot lleto en lásd a pontot.

254 Kvantummérés: téma változatokkal Ez a lényege a gyenge mérés és utószelekcó trükkös kombnácójának: az alg különbözo hullámkomponensek nterferencája jól látható kísérlet kontrasztot teremt. Az effektust, amelynek ttkos történelm elo zménye a fázskontraszt-mkroszkópa (Zernke 1935), többféle kísérlet elrendezésben kpróbálták, legnkább polarzált fotonokon, ahol a Stern Gerlach spnszeparálás szerepét ketto störo optka krstály vesz át. Ez még alg megy túl egy klasszkus hullámoptka kísérleten, de végeztek már lyen elvu mérést kétfoton-nterferencában s, am már gaz nehézsúlyú kvantumjelenség. Ezzel zárjuk látogatásunkat a kvantummechanka mérés alakváltozatat bemutató tárlaton. Olvasómnak legyen ez jó hír: ambo l már enny látványos ötlet született, ott érdemes tovább gondolkozn, untér fejlo dés és kvantummérés újabb szép és hasznos kombnácót keresve.

255 Függelékek

256

257 A. függelék Feynman-féle pályantegrál A pályantegrálok Feynmantól eredo módszere egy eredet és fontos megkö zelítése annak a problémának, hogy az állapotvektor ψ(t) = e h H t ψ(0) untér do fejlo dését számítással követhessük. A feladat nehézségét az adja, hogy mvel a Hamlton-operátor két tagból, egy knetkus és egy potencáls energából áll, amelyek nem felcserélheto k: Hˆ = T + V ; [T, V ] 6 =0, (A.1) az összeg exponencáls függvényét nehéz kszámítan, hszen e h H t 6 =e h T t e h V t. (A.2) Feynman eredet meglátása az, hogy eléggé rövd ε do re az exponencáls operátor közelíto leg mégscsak szorzatra esk szét: e h (T +V )ε 1 T ε V ε + O (ε2 ) h h 1 T ε 1 V ε + O (ε2 ) h h (A.3) e h T ε e h V ε + O (ε2 ). Ebbo l ered az az ötlet, hogy számítsuk k elo ször lyen rövd do kre az do fejlo dés untér operátorának pontos kfejezését, majd lyen ks lépésekbo l rakjuk össze a véges do alatt lejátszódó teljes fejlo dést. Maradjunk egy dmenzóban, és számoljuk k a két faktor mátrxelemet koordnáta-reprezentácóban. A potencáls energa trváls: hx e h V ε y = e h V (x) ε δ(x y). (A.4) A knetkus energával kell még egy kcst dolgozn. Ez a tényezo mpulzusreprezentácóban trváls: p2 hp e h T ε p = e h 2m ε δ(p p ). (A.5) 257

258 258 A. Feynman-féle pályantegrál Ebbo l, felhasználva, hogy12 egy dmenzóban hx p = exp[(/h )px]/ 2πh, végül a szokásos módon kszámítva a kapott Gauss-ntegrált, h T ε hx e y = Z dp Z d p hx php e h T ε p hp y h p2 1 p(x y) 2m = d pe h 2πh r x y 2 m m = e h 2 ( ε ) ε. 2πh ε Z ε Tegyük hozzá a potencáls energából eredo faktort: r h x y 2 m m h T ε h V ε h 2 ( ε ) V (y) ε Kε (x, y) := hx e e y = e, 2πh ε (A.6) (A.7) ahol a K jelölés a kernel szó rövdítése; ez a függvény a magfüggvénye annak az (untér) ntegráltranszformácónak, amely a ψ(x,t) = hx ψ(t) hullámfüggvény rövd ε do alatt fejlo dését írja le:13 ψ(x,t + ε) = Z dy Kε (x, y) ψ(y,t). (A.8) Amért ez az egész különösen érdekes, az a következo : ha ε 0, akkor az (A.7) egyenlet jobboldalának ktevo jében (x y)/ε x, am a klasszkus sebesség. Ekkor pedg a ktevo ben éppen az m(x )2 /2 V (x) = L (x, x) kombnácó jelenk meg, vagys a Hamlton-operátorból kndulva, a klasszkus Lagrange-függvényhez érkeztünk! Ennek órás heursztkus ereje van: a Lagrange-függvény skalár a klaszszkus mechankától az elektrodnamkán át bármlyen térelméletg, nvaráns mnden szmmetratranszformácóval szemben, beleértve a Lorentztranszformácót s, így deáls kndulópontja mnden szellem expedícónak a fzka smeretlen tartományanak felderítésére Lásd a (6.47) egyenletet. 13 Ez ero sen emlékeztet arra, ahogy optka dffrakcóban a hullámfrontot Huyghens Fresnel elve szernt a front mnden pontjából knduló, a megfgyelés helyén egymással nterferáló gömbhullámok eredo je vsz tovább. A szereposztásban természetesen Kε (x, y) az y pontból knduló, x helyen megfgyelt gömbhullám. 14 A pályantegrált elo ször a valószínuségszámításban, sztochasztkus folyamatok leírására vezette be Norbert Wener; azt, hogy kvantummechankára s alkalmazható, Feynmantól lényegében függetlenül egy másk matematkus, Mark Kac s felsmerte, a kvantumelmélet alkalmazásanak és kterjesztésenek unverzáls háttérflozófájává azonban Feynman munkája tette.

259 259 A. Feynman-féle pályantegrál Térjünk vssza eredet célunkhoz: rakjuk össze a véges t deg tartó untér fejlo désnek megfelelo h H t ψ(x,t) = hx e ψ(0) = Z Kt (x, y)ψ(y, 0)dy (A.9) ntegráltranszformácó Kt (x, y) = hx e h H t y (A.10) magfüggvényét N egymás után, egyenként ε = t/n hosszúságú szakaszból, használjuk az (A.7) formulát, és a végén vegyük az N határátmenetet: Kt (x, y) = lm N Z m 2πh Nt N/2 dxn 1 dxn 2 dx1 exp " #! N 1 m xn+1 xn 2 t V (xn ). h n=0 2 t/n N (A.11) Tulajdonképpen elérkeztünk a végeredményhez, de így még egy kssé bonyolultnak látszk, ezért beszéljük meg, mt s látunk a végso formulában. A 0-tól t-g egymást követo t = nε do khöz tartozó y, x1, x2, xn 1, x pontok egy x (t ) pályát rajzolnak k, és m az összes lehetséges pályákra ntegrálunk. Az ntegrandus ktevo jében, ahogy már mondtuk, a pálya ment klasszkus mozgás Lagrange-függvénye jelenk meg, mégpedg do szernt ntegrálva. Arról pedg tudjuk, hogy a klasszkus mechankából smert S[x (t )] = Z t,x 0,y L (x, x )dt (A.12) hatásfüggvényt állítja elo, amely egy adott x (t ) pályán való végghaladás funkconálja. Mndezek felhasználásával a (A.11) eredmény szokásos, tömör írásmódja: Z t,x Z x Z x Kt (x, y) = D x exp L (x, x )dt = D x e h S[x (t )], (A.13) h 0,y y y ahol a D x jelölés fejez k az do felszabdalását ks ntervallumokra, majd mndegyk osztásponton a koordnátára való véggntegrálást, végül a felszabdalás fnomítását mnden határon túl: mndazokat a lépéseket, amelyekkel az (A.11) egyenlet a pályákra való ntegrálást végrehajtja.

260 260 A. Feynman-féle pályantegrál A félklasszkus határesetben az S hatás klasszkus méretu: S h, amt formálsan a h 0 határátmenet fejez k. Ilyenkor a pályantegrál vadul oszcllál, kvéve ott, ahol az S[x (t )] hatásfüggvény szélso értéke vannak: a legksebb hatás Hamlton-elvének megfelelo, klasszkus pályákon, ahol a hatás varácója eltunk: δs = 0. Ebben a határesetben tehát csak a klasszkus pályák adnak járulékot a kvantummechanka do fejlo désbe. A kapott határeset azonban félklasszkus, nem teljesen klasszkus: amenynyben több extremáls pálya létezk, pl. egy kétrés-nterferencakísérletben a két résen áthaladó egy egy pálya, ezek mnd kválasztódnak, megmaradnak, és ampltúdók összeadódásával nterferálnak s. Maga az extremáls pályák kválasztása s a hullámok nyelvén gazán szemléletes: S/h az adott pályán haladó hullám fázsa. Az extremáls pálya közelében ez nem változk: a szomszédos pályák sokaságán ugyanazzal a fázssal fut be a hullám, egymást ero sítve, masszív hullámfrontot alkotva. Ugyanez a mechanzmusa annak s, ahogy a fénysugár kalakul a fényhullámokból, a Fermat-elvnek megfelelo extremáls pályák mentén. A félklasszkus határesetben, az attól kcst eltéro kvantumkorrekcók megtalálásában, és a félklasszkustól nagyon eltéro, mélyen kvantumos jelenségek vlágában s Feynman pályantegrálja nemcsak az elvek megfogalmazásának szép kerete, hanem hatékony technka eszköz s nehéz feladatok megoldásában.

261 B. függelék Ion- és atomcsapdák, lézerhutés A 20. század utolsó harmadának kemelkedo kísérlet teljesítménye volt az egyes onok és atomok csapdázása, lehutése és egyed megfgyelése, amely a koherens kvantumrendszerekkel való kísérletezés új dmenzóját teremtette meg. Az elso csapdák készíto, Hans Dehmelt és Wolfgang Paul 1989-ben, az alapállapot közelébe történo lézeres hutés kdolgozó, Steven Chu, Wllam D. Phllps és Claude Cohen-Tannoudj 1997-ben kaptak Nobel-díjat. Ionokat a legkönnyebb csapdába fogn, mert rájuk hatnak a könnyen kalakítható ero s elektromos terek. Egy poztív töltésu on a Φ(~r) elektromos potencál mnmumában csapdázva marad, ha energája eléggé kcs. A gond ott kezdo dk, hogy a potencálnak nncs mnmuma, mvel sztatkus vagy ksfrekvencájú mezo ben Φ 0, így a potencálnak legfeljebb nyeregpontja lehet, am pl. egy kvadrupól-szmmetrájú elrendezésnél egyk rányban mnmum, a rá mero leges két rányban maxmum. Etto l kezdve két megoldás lehetséges: 1. Pennng-csapda: egy forgástengely mentén hozunk létre mnmumot; a rá mero leges rányban kfutn készülo onokat pedg ero s (1 Tesla nagyságrendu) tengelyrányú mágneses mezo vel körpályára kényszerítjük Paul-csapda: a befutó és kfutó rányokat perodkusan váltogatjuk. Egy adott frekvencánál meghatározott tömegu onok éppen nem tudnak kszabaduln, mert mre rátérnek a kfutó rányra, addgra az ero k vsszafordulnak, így mndg fallal találják szemben magukat. A csapdázott onok egyed megfgyelése a rezonanca-fluoreszcenca folyamatával történhet: rezonáns fénnyel megvlágítva, az elnyelt fényt folyamatosan vsszasugározzák; ezt egy CCD kamerára leképezve, a kamera mér15 Pennng, a tudományos célú vákuumtechnka egyk megalapozója a harmncas években konstruált lyen csapdákat, a vákuumot rontó gázatomok onzálás után befogására; modern felhasználását Dehmelt kezdeményezte. 261

262 Buzság Kadó 262 B. Ion- és atomcsapdák, lézerhutés U z0 r0 ~mm B.1. ábra. Az oncsapdában a gyuru és a kupakok között létrehozott feszültség kvadrupól elektromos tere fogja meg az onokat. A csapdázáshoz szükség van még vagy a tengellyel párhuzamos mágneses térre (ezt jelzk a nylak: ez a Pennngcsapda), vagy az U feszültség elo jelének perodkus váltogatására (Paul-csapda). Az onokat a felso kupakon vágott ks lyukon át fgyelk meg; fényüket a lencse egy CCD-kamerára képez le. heto jelet ad. Kevésbé ero szakos beavatkozás az on életébe a nem rezonáns, csak rezonancához közel fény szóródásának detektálása. A kezdet szenzácó az egyes onok csapdázása volt; a betöltés úgy történt, hogy nagy vákuumba ks mennységben beengedett gázatomokat sugárzással onzáltak; némelykük a csapdában rekedt. A késo bb kísérleteknél fontossá vált sok on egydeju csapdázása s. A csapdázás csak a befogott onok egydeju hutésével együtt vált a kvantumfzka jól használható kísérlet technkájává. Az alapmódszer a Doppler-hutés: egy atom rezonanca alá hangolt frekvencájú lézer fényét a szembefutó atom a Doppler-effektus matt nagyobb frekvencájúnak látja, így a rezonancához közelítve, nagyobb valószínuség gel nyel el. Az elnyelt foton mpulzusa fékez a mozgást. Hat rányból sugárzó lézerek közül mndg annak a fénye nyelo dk el legnkább, amelykkel az atom szembe halad: az atom mndenképpen ms nagyságrendu do alatt, 105 g körül gyorsulással lefékezo dk, mntha nagyon nagy vszkoztású közegben mozogna Ezért nevezk ezt az elrendezést úgy, hogy optka melasz.

263 Buzság Kadó B. Ion- és atomcsapdák, lézerhutés 263 B.2. ábra. Doppler-hutésnél a rezonanca alá hangolt, szembevlágító lézer fényét az atom a Doppler-effektus matt nagyobb frekvencájúnak, rezonancához közelbbnek látja, elnyel, és mpulzusától lefékezo dk. Az elért ho mérsékletet úgy lehet megmérn, hogy a hutést kkapcsolva, rezonanca-fluoreszcencával nézzük a hdeg Maxwell-sebességeloszlású atomok szétszaladását. A megfgyelések szernt a Doppler-hutéssel µk ho mérsékleteket lehet elérn, am jobb a vártnál: a hutés folyamatáról utóbb kderült, hogy bonyolultabb az tt elmondottaknál. A csapdákba befogott onok a csapdákban rezeghetnek, és a rezgések kvantáltsága a Doppler-hutéssel elért ho mérsékleten már jól megmutatkozk. Ekkor tovább hutés leheto ségeket jelent a rezgés alnívókra hangolt lézerpárokkal létrehozott Raman-átmenetek felhasználása az alacsonyabb szntek felé való eltolódás kkényszerítésére. Ilyen módon oncsapdában a rezgés alapállapothoz közel szntre lehet onokat lehuten, am a kvantum nformácókezelés egyk kísérlet megvalósítás leheto ségét kínálja fel; lásd az F. függelékben. Semleges atomok csapdázása sokkal nehezebb feladatnak látszott, mert náluk nem csak a hutést, hanem a helybentartást s a Coulomb ero nél jóval gyengébb fényero kkel kell megoldan. Vszonylag egyszerunek és hatékonynak bzonyult azonban Jean Dalbard találmánya, a magnetooptka csapda (MOT: Magneto-Optcal Trap). Ez két szembekerngo körárammal létrehozott kvadrupól mágneses mezo zéruspontja körül állítja meg az atomokat, az optka kválasztás szabályok trükkös felhasználásával: a hatfelo l érkezo crkulársan polarzált lézerfény valahol a csapdázott térfogat határán rezonancába kerül a Zeeman-felhasadó mágneses alnívókkal, és elnyelo dve, vsszakerget az atomot. A hutés elo rehaladtával át lehet térn ksebb frekvencájú lézerekre és ennek megfelelo en választott, egymáshoz közelebb eso atom energaszntekre. Adott mágneses alnívókon levo atomokra már a Stern Gerlach-effektusból megtanultuk ero t gyakorol az nhomogén mágneses mezo ; ezt s lehet csapdázásra használn. Ezt hasznosítja az utóbb néhány év ígéretes találmánya: a chpek felületén, párologtatott vezetékekben folyó áramokkal

264 Buzság Kadó 264 B. Ion- és atomcsapdák, lézerhutés B.3. ábra. A magnetooptka csapdában két köráram által létrehozott nhomogén mágneses mezo ben a fotonok ott kényszerítk vsszatérésre az atomokat, ahol rezonancába kerülnek a mágneses alnívókkal. létrehozott mágneses mkrocsapda. Ez a fejlesztés kszabadítan látszk a csapdázás technkáját a szoba nagyságú vákuumtechnka laboratórumokból, és gyakorlat felhasználások leheto ségét kínálja, a nem túl távol jövo ben. B.4. ábra. A chp-csapdában egy párologtatott vezeto szálon folyó áram mágneses terének és egy külso homogén mágneses térnek az eredo je egy adott vonalon éppen koltja egymást; ott csapdázódnak a megfelelo Zeeman-alnívón levo atomok.