Bayes-tétel és a feltámadás

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bayes-tétel és a feltámadás"

Zalán Mészáros
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Bayes-tétel és a feltámadás Kodácsy Tamás március Feltételes valószínűség A mai valószínűségszámítás általánosan elfogadott elmélete (Kolmogorov-féle elmélet) a valószínűség fogalmát a következő módon határozza meg. Tekintsünk egy kísérletet, és ehhez kapcsolódóan egy A eseményt. Hajtsuk végre a kísérletet n-szer, egymástól függetlenül, azonos körülmények között. Jelölje k A az A bekövetkezésének a számát. Ha ka n relatív gyakoriság nagy n esetén egy fix szám körül ingadozik, akkor ezt az A-ra jellemző számot -val jelöljük, és A valószínűségének (probability) nevezzük. [Faz03] A Kolmogorov-féle valószínűségszámítás elmélete három alapvető axiómára épül: 1. 0 minden A eseményre. 2. A biztos esemény (Ω) mindig bekövetkezik, így P(Ω) Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) + P(B). A valószínűség értéke 0 és 1 közötti szám, egy A esemény bekövetkezésének a valószínűségét -val jelöljük. A 1 azt jelenti, hogy A bekövetkezése elkerülhetetlen (biztos esemény), ha pedig A bekövetkezése lehetetlen, akkor 0. Tegyük fel, hogy A és B olyan események, amelyek bekövetkezésének valószínűségét és P(B) jelöli. A kérdés az, hogy mekkora A esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha B esemény is bekövetkezett? Tételezzük fel, hogy B esemény bekövetkezésének esélye nem 0, ekkor A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségét P(A B)-vel jelöljük. A feltételes valószínűség P(A B) a következő módon adható meg (A&B az A és B esemény szorzatát jelenti, azaz A&B akkor következik be, ha mind A mind B bekövetkezik) Példa a Bayes-tételre P(B A) : P(B&A) Vegyünk egy példát. Egy zsákban 50 db golyó van, a golyók között van 20 db fehér és 30 db fekete. A fehérek közül 10 db nagy golyó, és 10 db kis golyó van, a feketék közt 20 db nagy és 10 db kis golyó van. Mekkora annak az esélye, hogy ha kihúzunk egy nagy golyót, az fehér lesz? Annak a valószínűsége, hogy húzáskor egy olyan golyót március 21. Jesenius kerekasztal-beszélgetés, Istenérvek és valószínűségszámítás 1

2 választunk, ami nagy és fehér: P(A&B) , annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó nagy: P(B) Ebből adódóan a kérdésre a válasz: P(A B) P(A&B) P(B) Bayes formula A Bayes formula a feltételes valószínűség fogalmából következik: P(B A) P(A B)P(B) Bizonyítás: P(B A) P(B&A) P(A&B)P(B) P(B) P(A B)P(B) 2. A Bayes tétel alkalmazása A Bayes tétel kiváló eszköznek bizonyult a tekintetben is, hogy egy intelligens tervező mellett statisztikai alapú érvelést lehessen megfogalmazni. Richard Swinburne korunk egyik legnagyobb teista filozófusa a bayesianus gondolatmenetet használja fel arra, hogy istenérveket állítson fel, oly módon, hogy a vizsgált hipotézist (Isten létezése) a jelenlegi háttérismeretünk, valamint a hipotézist alátámasztó bizonyítékok alapján becsüli meg. A Bayes tétel tehát egy olyan eszköz Swinburne kezében, amelynek segítségével a hipotézis, a háttérismeret, és a bizonyítékok meghatározásával különböző istenérveket fogalmaz meg, ezek összefoglalásáról lásd [Sza98]. Swinburne gondolatmeneteiben a Bayes tétel alkalmazására az alábbi összefüggésben kerül sor [Swi02, 10.o.]: Bizonyítás: P(h e&k) P(h&e&k) P(h e&k) P(e h&k)p(h k) P(e&h&k) P(e&h&k) P(e h&k)p(h k) A képletben h (hypotesis) egy hipotézist jelöl, e (evidence) azokat a bizonyítékokat, amelyek h hipotézist alátámasztják, k (knowledge) pedig a h hipotézistől független háttértudásunkat jelöli. Ez alapján az egyenletben lévő valószínűségek az alábbiakat jelentik: P(h e&k) h hipotézis valószínűségét fejezi ki annak a fényében, hogy e evidencia a k háttértudás alapján mennyire valószínű. Ez h a posteriori valószínűsége. P(e h&k) annak valószínűségét fejezi ki, hogy az e evidencia mennyire valószínű h hipotézist és k háttérismeret figyelembe vétele mellett. P(h k) azt fejezi ki, hogy h milyen valószínű akkor, ha csak a k háttérismeretre támaszkodunk. Azaz h a priori valószínűségéről van szó. Ha k tautologikus, és h&k h, akkor P(h k)1. e evidencia valószínűségét fejezi ki k háttérismeret tudatában. 2

3 3. Feltámadás melletti érv [Swi03] Swinburne Jézus feltámadására vonatkozó gondolatmenete a testetöltés (incarnatio) és feltámadás (resurrectio) csodáját kapcsolja össze úgy, hogy azt állítja: a testetöltés csodája ugyanakkora valószínűségű mint a feltámadás csodája. Hiszen ha elfogadjuk azt, hogy Isten, aki teremtette a világot, teremtménnyé lesz, akit az egek egei sem tudnak befogadni az anyaméhbe kerül, akkor nem akadhatunk meg azon, hogy az emberré lett Isten (aki a élet és halál Ura), legyőzi a halált és feltámad. Tehát: ha Isten megtestesül oly módon, hogy életének óriási csodában kell tetőznie, és a [testetöltés] feltételezése esetén egyetlen komoly jelöltje van ennek, a feltámadás, akkor lennie kellett feltámadásnak. [Swi03] A kérdés így az: hogyan írhatjuk le a testetöltés valószínűségét? Az erre választadó következtetés Swinburne egyik legösszetettebb bayesianus érvelése. A képletben szereplő változókat az alábbiakban határozza meg. A h hipotézis azt teszi fel, hogy Isten testetölt. Legyen k az a háttérismeret, amit a theologia naturalis, a természeti teológia nyújt nekünk. (Az az ismeret, amelyet Istenről nem konkrétan a Szentírásból, hanem Isten általános kijelentéséből: a természetből, a lelkiismeretből, és a történelem egészéből nyerünk.) Legyen e a történeti bizonyíték, ami három bizonyíték (e 1 &e 2 &e 3 ) szorzatából áll. Ebből e 1 ún. előzetes történeti bizonyíték, e 3 pedig utólagos történeti bizonyíték. Az e 2 annak a bizonyítéka, hogy Isten megtestesülésének előzetes feltételei teljesülnek valamely meg nem nevezett prófétában (olyan mértékben, de nem feltétlenül ugyanolyan módon, mint Jézusnál). Az e 3 annak a bizonyítéka, hogy Isten megtestesülésének utólagos következményei (pl. az élete óriási csodával tetőződik be) teljesülnek ugyanannál a prófétánál. Az e 2 pedig annak a bizonyítéka, hogy e feltételek ilyen fokig és ilyen módon egyetlen más prófétánál sem teljesültek. P(e h&k) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy a történeti bizonyítékok összessége (e) teljesül amellett, hogy a természeti teológia által nyújtott háttérismeretünk mellett feltesszük: Isten testetöltött? (e) Úgy érveltem, hogy a megtestesült Istentől azt várnánk, hogy szent életet éljen, mély erkölcsi igazságokra tanítson minket, a megtestesülését és a megváltása általi megbékélést hirdető egyházat alapítson, valamint azt, hogy ő maga isteninek hirdesse magát, és azt hirdesse, hogy az életével elégtételt ad. Az első három elvárást alátámasztja az, amit Jézusról tudunk, de az utolsó két elvárást talán nem annyira (ld. Messiás titok). (h&k) Ha Jézus életét olyan óriási csoda tetőzné be, mint a feltámadás, akkor a megjelenéseivel és az üres sírral kapcsolatban talán sokkal több bizonyítékot várnánk, mint amennyivel rendelkezünk. Legyünk szerények, és tegyük fel, hogy ez a valószínűség: P(e h&k) 1/10 3

4 P(h k) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy Isten megtestesül? Ennek a becslését két valószínűség szorzatából vezetjük le: P(h k) P(h t&k)p(t k) A t itt a teizmust jelöli, vagyis azt az állítást, hogy létezik a hagyományos felfogásnak megfelelő Isten. P(t k) annak a valószínűségét jelenti, hogy van ilyen Isten, ha feltételezzük a természeti teológia igazságát. Azaz Istennek a természetben, a történelemben és a lelkiismeretben megmutatkozó nyomai és jelei mennyiben igazolják az ő létét? Tegyük fel visszafogottan azt, hogy ez a valószínűség: 1/2. P(h t&k) az a valószínűség, hogy ha van Isten, akkor megtestesül. Mennyire szükségszerű Isten megtestesülése? Legyen ez az érték is 1/2. A fentiekből következően a természeti teológia fennállása mellet annak valószínűsége, hogy Isten megtestesül kb. 25%, hiszen P(h k) P(h t&k)p(t k) 1/2 1/2 1/4 Mekkora annak a valószínűsége, hogy a természeti teológiából kapott ismeretek fennállása mellett igaz a testetöltés mellett szóló történeti bizonyíték? Írjuk fel két valószínűség összegeként a keresett valószínűséget, azaz ugyanakkora, mint ha annak a két egymást kizáró esetnek a valószínűségét adnánk meg: P(e&k&h) + P(e&k& h) (P(h) + P( h)) P( h&k)p(e&k&h) + P( h&k)p(e&k& h) P( h&k) P(e&h&k) + P(e& h&k)p( h&k) P( h&k) P(e h&k)p(h k) }{{} + P(e h&k)p( h k) }{{} Az első kifejezés értékét már kiszámoltuk: 1/10 1/4 1/40 A második kifejezésben P( h k) 1 P(h k), azaz 3/4. Mennyi P(e h&k)? Ez azt a valószínűséget fejezi ki, hogy ha nem kerül sor megtestesülésre, de a természeti teológia által kapott ismereteink igazak, akkor mégis bekövetkeznek azok a történeti események, amelyeket e jelöl. Az e által jelölt történeti bizonyítékok azt foglalják össze, hogy egy próféta beteljesítette a megtestesülésre vonatkozó próféciákat, és ennek utólagos következményei és fennállnak (óriási csoda), és mindez csak egyszer és csak ezzel a prófétával történt meg. Ezek alapján feltenni, hogy nem történt meg a megtestesülés, szinte elképzelhetetlen, legyen ennek az esélye: P(e h&k) 1/1000. A fentiek alapján tehát 1/40+ 3/4 1/1000 }{{}}{{} 103/4000 4

5 Így végül a testetöltésre és egyben a feltámadásra kapott valószínűségünk: Hivatkozások P(h e&k) P(e h&k)p(h k) 1/10 1/4 103/ [Faz03] I. Fazekas. Valószínűségszámítás. mobidiák könyvtár, Debrecen, [Swi02] R. Swinburne. Introduction. In R. Swinburne, editor, Bayes s Theorem, pages British Academy, Oxford Univerity Press, [Swi03] R. Swinburne. A feltmámadás valószínűsége. Mérleg, (1), [Sza98] M. Szalai. Swinburne istenérvei. Magyar Filozófiai Szemle, 1,

Hasonló dokumentumok

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás