DIGITÁLIS TECHNIKA I 2. ELİADÁS LOGIKAI (BOOLE-ALGEBRA) BOOLE-ALGEBRA, DIGITÁLIS TECHNIKA, LOGIKAI HÁLÓZAZOK LOGIKAI (BOOLE-)ALGEBRA

Átírás

1 DIGITÁLIS TEHNIK I Dr. Pıdör álint M KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 2. ELİDÁS: LOGIKI (OOLE) LGER 2. ELİDÁS LOGIKI (OOLE-LGER). evezetés a logikai (oole-) algebrába 2. oole-algebra axiómái 3. Logikai alapmőveletek (logikai ÉS, VG, NEM, stb.) 4. oole-algebra tételei és alkalmazásaik 28/29 tanév. félév OOLE-LGER, DIGITÁLIS TEHNIK, LOGIKI HÁLÓOK oole-algebra a logikai hálózatok analízisének és szintézisének legalapvetıbb eszköze LOGIKI (OOLE-)LGER logikai algebra, a logikai mőveletek rövid, tömör matematikai formában való leírásával foglalkozik. Megalkotója George oole (85-864) angol matematikus. Nevét viseli a logikai algebra mint oole-algebra. Jelentıs még ugustus De Morgan (86-87) brit (skót) matematikus hozzájárulása is (De Morgan tételek). OOLE-LGER oole és De Morgan 847-tıl kezdve dolgozták ki a formális logikát (oole-algebrát). Ekkor már régóta használták a bináris kapcsolásokat órák, automaták vezérlésére. The Mathematical nalysis of Logic (847) illetve n Investigation of Laws of Thought (854) a két alapvetı munkája George oole-nak OOLE-LGER ÉS KPSOLÓ ÁRMKÖRÖK oole-algebrát az 93-as évek végén kezdték alkalmazni a kapcsolóáramkörök tervezésére. laude Elwood Shannon (96-2) az információelmélet úttörıje, az MIT hallgatója, majd a ell Labs munkatársa ismerte fel 938-ban a oole algebra alkalmazhatóságát a relékbıl felépített (telefon-)kapcsoló-rendszerek vizsgálatára és tervezésére. Ma a oole-algebra a logikai hálózatok analízisének és szintézisének legalapvetıbb eszköze.

2 Jelfogó és kapcsoló áramkörök szimbolikus analízise 7 8 LOGIKI VÁLTOÓK logikai változók az egyes események absztrakt leírására alkalmasak. Két értéket vehetnek fel, vagy, attól függıen, hogy az esemény bekövetkezik vagy sem. Ha az esemény bekövetkezik, akkor a logikai változó értéke. Ha az esemény nem következik be, akkor a logikai változó értéke. LOGIKI VÁLTOÓK ÉRTÉKKÉSLETE IG/HMIS,TRUE/LSE, illetve IGEN/NEM az esemény bekövetkezésére vonatkozik. z és itt nem számjegy, jelentésük szimbolikus: IG és HMIS. HIGH/LOW jelentése a logikai értékek szokásos elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg, pl. (névlegesen) V illetve + 5 V. LOGIKI VÁLTOÓK: ÜGGİ ÉS ÜGGETLEN VÁLTOÓK logikai változók két csoportba oszthatók, úm. független-, és függı változókra. Jelölés:,,,...,,. z elsı betőket általában a független változókra tartjuk fent. LOGIKI VÁLTOÓK SEMLÉLTETÉSE VENN diagram: VEITH diagram: D D Idıdiagram D t

3 OOLE LGER IÓMÁI z axiómák olyan elıre rögzített kikötések, alap állítások, amelyek az algebrai rendszerben mindig érvényesek, viszont nem igazolhatók. Ezen állítások a halmaz elemeit, a mőveleteket, azok tulajdonságait, stb. határozzák meg. tételek viszont az axiómák segítségével bizonyíthatók. oole algebra az alábbi öt axiómára épül: OOLE-LGER:.- 3. IÓMÁK. z oole-algebra kétértékő elemek halmazára értelmezett. 2. halmaz minden elemének létezik a komplemens -e is, amely ugyancsak eleme a halmaznak. 3. z elemek között végezhetı mőveletek a konjunkció ( logikai ÉS ), illetve a diszjunkció (logikai VG). OOLE-LGER: 4. ÉS 5. IÓM 4. logikai mőveletek: kommutatívak ( a tényezık felcserélhetık ), asszociatívak (a tényezık csoportosíthatók), disztributívak ( a két mővelet elvégzésének sorrendje felcserélhetı ). 5. halmaz kitüntetett elemei az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IG, azaz ), és a nulla elem (értéke a halmazon belül mindig HMIS, azaz ). EGSÉG ÉS NULL ELEM halmaz kitüntetett elemei, melyek mindig léteznek az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IG, azaz ), és = = a null/zérus elem (értéke a halmazon belül mindig HMIS, azaz ) + = + = KOMPLEMENSKÉPÉS: TGDÁS logikai algebra illetve a oole-algebra a felsorolt axiómákra épül. logikai feladatok technikai megvalósításáh oz a halmaz egy elemének komplemens-ét képezı mővelet is szükséges. Ezért a mőveletek között a logikai TGDÁS is szerepel. = és + = LOGIKI MŐVELETEK változókkal végezhetı logikai mőveletek: - ÉS (konjunkció) - logikai szorzás; - VG (diszjunkció) - logikai összeadás; - NEM (negáció, invertálás, komplementálás) - logikai tagadás. z ÉS, illetve a VG logikai mővelet két-, vagy többváltozós, a változók legalább két eleme, vagy csoportja között értelmezett logikai kapcsolatot határoz meg. tagadás egyváltozós mővelet, amely a változók, vagy változócsoportok bármelyikére vonatkozhat.

4 ÉS (ND) MŐVELET, LOGIKI SORÁS (KONJUNKIÓ) logikai változókkal végzett ÉS mővelet eredménye akkor és csak akkor IG, ha mindegyik változó értéke egyidejőleg IG. logikai algebrában az ÉS kapcsolatot szorzással jelölik (logikai szorzás), de a logikai szorzás jelét általában nem szokás kitenni. K = algebrai egyenlıségben és a független változók, és K a függı változó, vagy eredmény. Jelentése pedig az, hogy a K akkor IG, ha egyidejőleg az és a is IG. ÉRTÉKTÁLÁT, IGSÁGTÁLÁT logikai függvénykapcsolatok többféleképen is megadhatók, az egyik általánosan használt a táblázatos megadási mód. Mivel minden változó csak két értéket vehet fel ezért n változó esetén összesen 2 n különbözı kombináció különböztethetı meg (2 elembıl álló n-ed osztályú ismétléses variáció!). Így két változó esetén az összes lehetséges kombinációk száma négy. z igazságtáblázat bal oldalán adjuk meg a bemeneti vagy független változók értékét, míg jobb oldalán a kimentei vagy függı változó értékei szerepelnek. ÉS MŐVELET IGSÁGTÁLÁJ K = LOGIKI SORÁS (KONJUNKIÓ), (LOGIKI ÉS KPSOLT) Definícíó: = = = = mővelet eredménye tehát csak akkor a logikai érték, ha mindkét tényezı logikai értéke. mővelet a definíció szerint kommutatív. ormailag megegyezik az aritmetikai szorzással, de az és értékek jelentése csak logikai. ÉS (ND) ÁRMKÖRI SIMÓLUMOK VG (OR) MŐVELET Kapuáramkörök esetében Kapcsoló áramkörök esetében logikai változókkal végzett VG mővelet eredménye akkor IG, ha a független változók közül legalább az egyik IG. lgebrai formában ezt a független változók összegeként írjuk le (logikai összeadás). &. Sorbakötött és nyugalmi állapotban nyitott (=MKE) kapcsolók K = + alakú algebrai egyenlıségben a K eredmény akkor IG, ha vagy az, vagy a, vagy mindkettı IG. VG mőveletet leíró táblázat tehát az alábbi:

5 VG MŐVELET IGSÁGTÁLÁJ K = + LOGIKI ÖSSEDÁS (DISJUNKIÓ), (LOGIKI VG KPSOLT) Definíció: + = + = + = + = mővelet eredménye tehát csak akkor a logikai érték, ha vagy az elsı, vagy a második tag (vagy mindkettı) logikai értéke. mővelet a definíció szerint kommutatív. z utolsó definíciós összefüggés kivételével formailag az aritmetikai összeadás szabályai is alkalmazhatók a logikai értékekre. LOGIKI ÖSSEDÁS (DISJUNKIÓ), (LOGIKI VG KPSOLT) Definíció: + = + = + = + = mővelet eredménye tehát csak akkor a logikai érték, ha vagy az elsı, vagy a második tag (vagy mindkettı) logikai értéke. mővelet a definíció szerint kommutatív. z utolsó definíciós összefüggés kivételével formailag az aritmetikai összeadás szabályai is alkalmazhatók a logikai értékekre. VG (OR) ÁRMKÖRI RJJELEK Kapuáramkörök esetében. Kapcsoló áramkörök esetében Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban nyitott (= MKE) kapcsolók LOGIKI SORÁS ÉS ÖSSEDÁS KETTİNÉL TÖ VÁLTOÓR Mindkét definiált logikai mővelet értelemszerően kiterjeszthetı kettınél több tényezıre, illetve tagra is. Ekkor természetesen a mőveletek elvégzésének sorrendjét megfelelı zárójelek alkalmazásával kell jelölni, akárcsak aritmetikai mőveletek esetén. TGDÁS (INVER, KOMPLEMENTÁLÁS) MŐVELET logikai tagadást egyetlen változón, vagy csoporton végrehajtott mőveletként értelmezzük. Jelentése pedig az, hogy ha a változó IG, akkor a tagadottja HMIS és fordítva. lgebrai leírásban a tagadást a változó jele fölé húzott vonallal jelöljük. Ezek szerint a K = Ā egyenlıség azt jelenti, hogy a K akkor IG, ha az HMIS. Szóban nem - nek, felülvonás-nak vagy tagadott-nak mondjuk.

6 TGDÁS MŐVELET IGSÁGTÁLÁJ K K = Ā LOGIKI NEGÁIÓ (INVERTÁLÁS, KOMPLEMENTÁLÁS), LOGIKI TGDÁS MŐVELET Definíció: = = mővelet tehát logikai értékekhez ellentettjüket rendeli hozzá. mőveletet páros számú esetben alkalmazva, eredményül a kiindulási logikai érték adódik: = és = Páratlan számú alkalmazás az ellentett, negált értéket eredményezi. negáció (folytatás) NEM-ÉS (NND) ÁRMKÖRI RJJELEK negáció nem két- hanem csak egyargumentumos mővelet. gyakorlatban sokszor szükség van egy változó negáltjának az elıállítására. z erre való eszköz az inverter. ( negációt a köröcske jelenti): Talán éppen azért tekintik sokszor a negációt mőveletnek mert a kapuáramkörök között van eszköz a végrehajtására. Kapuáramkörök esetében & Kapcsoló áramkörök esetében Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=REK) kapcsolók NEM-VG (NOR) ÁRMKÖRI RJJELEK POITÍV ÉS NEGTÍV LOGIK Kapuáramkörök esetében Kapcsoló áramkörök esetében IG/HMIS,TRUE/LSE, illetve IGEN/NEM az esemény bekövetkezésére vonatkozik. z és itt nem számjegy, jelentésük szimbolikus: IG és HMIS. Sorosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=REK) kapcsolók HIGH/LOW jelentése a logikai értékek szokásos elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg, pl. (névlegesen) V illetve + 5 V.

7 Positive vs. Negative Logic Positive logic: truth, or assertion is represented by logic, higher voltage; falsity, de- or unassertion, logic, is represented by lower voltage. Negative logic: truth, or assertion is represented by logic, lower voltage; falsity, de- or unassertion, logic, is represented by lower voltage Gate Logic: Positive vs. Negative Logic Normal onvention: Postive Logic/ctive High Low Voltage = ; High Voltage = lternative onvention sometimes used: Negative Logic/ctive Low Positive and Negative Logic (ont d.) Voltage levels low low low low high low high low low high high high Physical ND gate Positive logic levels = Negative logic levels = + V oltage T ruth T able Positive Logic Negative Logic Voltage levels Positive logic levels Negative logic levels low low high high low high low high low low low high low low high low high high high low high high high low ehavior in terms of Electrical Levels Two lternative Interpretations Positive Logic ND Negative Logic OR Physical NND gate = = + Dual Operations LOGIKI MŐVELETEK TULJDONSÁGI LOGIKI MŐVELETEK TULJ- DONSÁGI: KOMMUTTIVÍTÁS Kommutativitás sszociativitás Disztributivitás z ÉS (logikai vagy) és VG (logikai összeadás) mőveletek alapvetı tulajdonsága a kommutativitás, azaz az operandusok sorrendjének felcserélhetısége: = + = + LOGIKI MŐVELETEK TULJ- DONSÁGI: SSOITIVÍTÁS z ÉS (logikai vagy) és VG (logikai összeadás) mőveletek másik alapvetı tulajdonsága az asszociativítás, azaz az operandusok csoportosíthatósága: ( ) = ( ) = + ( + ) = ( + )+ = + + zárójelek a mőveletei sorrendjét adják meg. Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével. LOGIKI MŐVELETEK TULJ- DONSÁGI: DISTRIUTIVÍTÁS z ÉS (logikai vagy) és VG (logikai összeadás) mőveletek harmadik alapvetı tulajdonsága a disztributívitás, azaz az operandusok átrendezhetısége: ( + ) = + + ( ) = ( + ) ( + ) Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével.

8 MŐVELETEK DISTRIUTIVÍTÁS ÉS és a VG mőveletek azonos értékőek. Mindkettı disztributív a másikra nézve. z elsı azonosság alakilag megegyezik a közönséges matematikai mőveletvégzési szabályokkal. második azonosság csak a logikai algebrában érvényes. Kifejezi azt, hogy egy logikai szorzat (ÉS) és egy logikai érték (állítás) logikai összege (VG) úgy is képezhetı, hogy elıször képezzük a VG mőveletet a szorzat tényezıivel és az így kapott eredményekkel hajtjuk végre az ÉS mőveletet. LOGIKI KIEJEÉSEK ÁTLKÍTÁS logikai mőveletek tulajdonságai segítségével a logikai kifejezések algebrai átalakítása hajtható végre, és így lehetıség van a legegyszerőbb alakú kifejezés megkeresésére. Ezt a késıbbiekben még részletesebben fogjuk tárgyalni. LOGIKI LGER TÉTELEI ontosabb tételek, azok részletes bizonyítása nélkül. Helyességükrıl a logikai értékek összes lehetséges kombinációinak behelyettesítésével lehet meggyızıdni. kitüntetett ( illetve ) elemekkel végzett mőveletek: = = = = + = + = + = + = LOGIKI LGER TÉTELEI: ONOS VÁLTOÓK z azonos változókkal végzett mőveletek: Tautológia (idempotencia): = Negáció szabályai: + = Ā = + Ā = z -val jelzett logikai változó nem csak egy változó, hanem egy logikai mőveletsor eredménye is lehet. LOGIKI LGER TÉTELEI: TGDÁS logikai tagadásra vonatkozó tétel (kettıs negáció): = Általánosan: a páros számú tagadás nem változtatja meg az értéket, míg a páratlan számú tagadás azt az ellenkezıjére változtatja. TOVÁI ÖSSEÜGGÉSEK bszorpciós szabály ( + ) = + = fenti, a logikai algebrában érvényes összefüggések természetesen nem érvényesek a szokásos algebrában.

9 DE MORGN TÉTELEK logikai algebrában kitüntetett szereppel bírnak a De Morgan-azonosságok + = = + Logikai összeg negáltja azonos a tagok negáltjainak logikai szorzatával. Logikai szorzat negáltja pedig azonos a tényezık negáltjainak összegével. DE MORGN TÉTELEK + = = + reak the line, change the operation! Vágd el a vonalat, cseréld fel a mőveletet! DE MORGN ONOSSÁGOK DE MORGN TÉTELEK logikai (oole) algebrában centrális helyet foglalnak el az ún. De Morgan tételek vagy azonosságok. De Morgan-azonosságokat a középkori skolasztika logikusai már ismerték, de az idı folyamán jelentıségük elhomályosult. két matematikai logikai azonosságot egzakt formában ugustus De Morgan fogalmazta meg 847-ben, William Ockham korábbi megállapításai (325) alapján. De Morgan tételek vagy azonosságok általánosan azt fogalmazzák meg, hogy egy logikai kifejezés tagadása úgy is elvégezhetı, hogy az egyes változókat tagadjuk, és a logikai mőveleteket felcseréljük (VG helyett ÉS, illetve ÉS helyett VG mőveletet végzünk). DE MORGN SÁLOK LKLMÁS De Morgan szabályok alapján az ÉS és a VG mőveletek csak egyikét a NEM mővelettel együtt használva a harmadik mővelet elıállítható. = ( + ) DeMorgan s Theorem DeMorgan s theorem: = = = + = + = ( ) = + =

10 DE MORGN TÉTELEK ÁLTLÁNOSÍTÁS DE MORGN TÉTELEK LKLMÁS LOGIKI HÁLÓTOK KILKÍTÁSÁN digitális rendszerek analízisében és szintézisében fontos szerepet játszanak a De Morgan-féle tételek. Több változóra érvényes alakjuk az alábbi... = =... ÁLTLÁNOSÍTOTT DE MORGN- (SHNNON) ÉLE TÉTEL z általánosított De Morgan (Shannon) tétel a logikai összeadás és szorzás segítségével felépített logikai függvényekre vonatkozik f(,,,..., +, ) = f(,,,...,, +) z egész függvény tagadása helyettesíthetı az egyes változók tagadásával, ha a függvényben valamennyi logikai összeadást szorzásra, és valamennyi szorzást összeadásra cserélünk fel. LOGIKI ÁRMKÖRÖK KILKÍTÁS Tetszıleges logikai összefüggés, vagy logikai függvény is elıállítható a NEM-ÉS vagy NEM-VG alapmővelet párokkal. Vagyis tetszıleges logikai áramkör kialakítható csupán NEM-ÉS, vagy csupán NEM-VG kapuk alkalmazásával. Gyakorlati jelentıség: az elektronikus erısítık általában invertáló jellegőek (8 fokos fázistolás). Ezért a gyakorlatban a NEM-ÉS (NND) és a NEM- VG (NOR) a szokásos alapelem. Végsı soron mindez a De Morgan tételeken alapul! LOGIKI ÁRMKÖRÖK KILKÍTÁS GKORLTN gyakorlatban kétféle áramköri technológia terjedt el. szilícium MOS (complementary metal oxide semiconductor) technológián alapuló áramköri rendszerben többnyire a NEM-VG (NOR) kapu az áramköri alapelem. LOGIKI KPUK logikai áramkörök építıkockái. logikai alapmőveleteket valósítják meg. Ezek egyszerő kombinációjával további áramköröket tudunk felépíteni pl. az aritmetikai mőveletek megvalósítására. szilícium bipoláris technológián alapuló transistortransistor-logic (TTL) áramköri rendszerben a NEM-ÉS (NND) kapu az alapelem.

11 NEM-ÉS ÉS NEM-VG KPUS MEGVLÓSÍTÁSOK NEM LOGIKI LPKPUK Áramköri magvalósítás elvei. Pozitív logika: magas feszültségszint, alacsony szint ÉS VG z ábra bemutatja, hogyan realizálható a NEM, ÉS és a VG mővelet kizárólag NEM-ÉS, illetve NEM- VG mőveleti elemekkel (kapukkal). LOGIKI LPKPUK RELIÁLÁS logikai alapáramkörök két általánosan elterjedt elektronikus áramköri megvalósításában a kapcsolóelem az n- és p-csatornás (szilícium) térvezérléső tranzisztor pár (MOS ET, complementary metal-oxide-semiconductor field effect transistor), illetve a (szilícium) dióda és a bipoláris tranzisztor (TTL áramkörök). z erısítı-elem mindkét esetben a megfelelı tranzisztor. LOGIKI KPUK RJJELEI Ugyanazon logikai funkció illetve logikai kapu jelölésére az irodalomban, mint pl. könyvek, folyóiratok, tervrajzok, gyártó- és kereskedelmi cégek alkalmazási segédletei és katalógusai, stb., (sajnos) többféle jelölési rendszer, és ennek megfelelıen többféle szabvány létezik. z MS 92/33-73 szám alatt rögzíti a kötelezı elıírásokat kétállapotú (bináris) logikai elemek rajzjeleire vonatkozóan. Negáció ÉS (ND) * VG (OR) + EKVIVLENI = + RELIÁLÁS KPUKKL MS US jelkép & RELIÁLÁS KPUKKL NEM-ÉS (NND) * NEM-VG (NOR) + NTIVLENI = + = MS US jelkép &

12 LOGIKI KIEJEÉSEK LGERI ÁTLKÍTÁS következıkben néhány példával illusztráljuk a logikai függvények algebrai átalakítását. Hangsúlyozni kell, hogy a logikai algebra mőveleti szabályai eltérnek a szokásos algebra szabályaitól! LOGIKI LGERI ÁTLKÍTÁS () Hozzuk egyszerőbb alakra az alábbi kifejezést = + + D z változó kiemelhetı, utána a zárójelben lévı kifejezés fokozatosan egyszerősíthetı _ = ( + + D) = ( + D) = Válasz: = LOGIKI LGERI ÁTLKÍTÁS (2) Hozzuk egyszerőbb alakra az alábbi kifejezést = lkalmazzuk a De Morgan azonosságokat! _ = = ( + ) + + = _ = + + LOGIKI LGERI ÁTLKÍTÁS (3) Hozzuk egyszerőbb alakra az alábbi kifejezést _ = jobboldalon szereplı tagot kétszer hozzáadva, a logikai kifejezés nem változik meg! Páronként kiemelést végezve _ = ( + ) + ( + ) + ( + ) = = + + IGSÁGTÁLÁTTL MEGDOTT LOGIKI ELDT ÉS MEGOLDÁS Példaként egy igazságtáblázatával megadott logikai függvény algebrai alakját határozzuk meg, majd azt megfelelıképen átalakítjuk, és kapuáramkörökkel realizáljuk. PÉLD LOGIKI KIEJEÉS LGERI ÁTLKÍTÁSÁR SOR z igazságtáblázatával megadott (,,) logikai függvény algebrai alakja az oszlopból kiolvasható, és három konjunkció (ahol = ) diszjunkciójaként írható fel: (,,) = + +

13 LOGIKI LGERI ÁTLKÍTÁS (,,) = + + Megfelelı kiemelésekkel (,,) = ( + ( + )) = ( + ) Most alkalmazzuk az + = ( +) ( + ) tételt (,,) = ( + )( + ) = ( + ) = + Látható, hogy többféle ekvivalens algebrai alak létezhet, bármelyik realizálható. z utolsó konjunktív / diszjunktív alak a pl. a Karnaugh táblán végzett minimalizálással nyerhetı forma. Igazolás LKLMOTT TÉTEL: + = ( +) ( + ) + = ( +) ( + ) = = = ( + + ) + = + Q. E. D. LOGIKI ÜGGVÉN RELIÁLÁS Mind az eredeti függvény (,,) = + + mind az ún. minimalizált alak (,,) = + kétszintő, ÉS és VG kapus hálózattal illetve a De Morgan szabály szerint NEM-ÉS (NND) és NEM-ÉS (NND) kapus hálózattal realizálható, 2, illetve 6 kapubemenettel. NND KPUS RELIÁLÁS kétszintő NND kapus realizálás az alábbi átalakításon alapul (De Morgan szabályok!) (,,) = + = () () & & & LOGIKI MŐVELETEK ÉS DULITÁS kétargumentumos mőveletek közül kettıtkettıt alapmővelet velet-párokként választhatunk. (Egyiket vagy a másikat, de nem mindkettıt.) Ezek a mővelet-párok a következık: ÉS ( szorzás) VG (összeadás: +) NEM-ÉS (NND) NEM-VG (NOR) mőveletpárok egyik tagja a másik un. duális párja. duális mőveletpárokat De Morgan tételek kapcsolják össze. z alapmőveletekre való visszavezetés duális mővelet-párokkal (és a negációval) kifejezhetjük bármelyik másik mőveletet. Itt a következıkben a logikai szorzással (ÉS) és a logikai összeadással (VG) valamint a negációval fejezzük ki a továbbiakban még megvizsgálandó (nem triviális) mőveleteket.

14 Duális mőveletpárok és a De Morgan tételek duális mőveletpárokat az ún. De Morgan tételek kapcsolják össze. Szóban: Egy kétváltozós mővelet negáltja a duális mőveletpárt adja a változók negáltjaival. De Morgan tételek:. = + ; VÉGE 2. ELİDÁSNK + =.