Optimális erőforrás-tervezés

Átírás

1

2 Kosztyán Zsolt Tbor Optmáls erőforrás-tervezés DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Témavezető: Dr. Bencsk Andrea... Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktor Iskola Veszprém 2005

3 OPTIMÁLIS ERŐFORRÁS-TERVEZÉS Értekezés doktor (PhD) fokozat elnyerése érdekében *a Veszprém Egyetem... Doktor Iskolájához tartozóan*. Írta: Kosztyán Zsolt Tbor **Készült a Veszprém Egyetem Gazdálkodás és Szervezéstudományok Doktor skolája keretében Témavezető: Dr.Bencsk Andrea Elfogadásra javaslom (gen / nem) (aláírás)** A jelölt a doktor szgorlaton... % -ot ért el, Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: gen /nem Bíráló neve: gen /nem ***Bíráló neve: gen /nem. (aláírás). (aláírás). (aláírás) A jelölt az értekezés nylvános vtáján...% - ot ért el Veszprém/Keszthely,. a Bíráló Bzottság elnöke A doktor (PhD) oklevél mnősítése... Az EDT elnöke Megjegyzés: a * között részt az egyén felkészülők, a ** között részt a szervezett képzésben résztvevők használják, *** esetleges

4 Tartalm kvonat Optmáls erőforrás-tervezés A hálótervezés és erőforrástervezés technkák különböző területeken és sokféle formában jelenhetnek meg. Széles körben alkalmazzák a termelés, tervezés, elosztás, telepítés, erőforrás-gazdálkodás, pénzügy tervezés, projekt-menedzsment stb. területén különböző problémák megoldására. A szerző a doktor értekezésében olyan algortmusokat mutat be, melyeket széles körben lehet majd alkalmazn a projektmenedzsmentben, erőforrás-tervezésben, logsztkában egyed és kssorozatgyártás termelésrányítására. Olyan módszereket fejlesztett k, amely: - garantáltan véges lépésben megadja az adott célfüggvényre optmáls megoldást; - használható olyan esetekben, amkor az erőforráskorlát dőben nem állandó; - alkalmazható a már elkezdett projektekben lévő megváltozott lefutás dejű, erőforrásszükségletű tevékenységek újraütemezésére; - használható ott s, ahol az dő-, költség- és erőforrásgény együttes optmálása a cél; - képes többfajta erőforrás egydejű, lletve párhuzamosan működő projektek között erőforrás-megosztás kezelésére; - a fel nem használt erőforrások kezelését s bztosítja; - használhatók bzonytalan átfutás dejű projektek lletve termelés programok tervezésére s.

5 Summary of contents on Optmal Resource Allocaton Network plannng and resource allocatng technques can be used n a varety of dfferent felds of logstcs and project management. These technques are wdely used n producton, plannng, dstrbuton, nstallaton, resource management, fnancal plannng and project management to solve dfferent knds of problems. In ths dssertaton some new algorthms are ntroduced whch could hopefully be wdely used n project management, resource plannng and n methodology of small-scale seres producton management. Some new algorthms have been developed whch - result the optmal soluton n fnte steps, where target functon s gven; - can be used wth when the avalablty(s) of resource(s) s/are constant by sectons; - can be used when the project n progress and the duraton tmes and/or resources of actvtes are changng; - can be used to determne a resource allocaton wth mnmal total project tme (TPT) and mnmal total project cost; - are capable of usng dfferent resources and can be appled n parallel projects; - ensure the management of the resources not n use; - can also be used n stochastc resource allocaton.

6 Zusammenfassung über Optmal Ressourcen-Vertelung De Netz-Plantechnken und de Technken der Ressourcenplanung erschenen auf verschedenen Gebeten und n verschedenen Formen. Dese Technken werden wetverbretet angewendet, Probleme be der Produkton, Planung, Zutelung, Installerung, Ressourcenwrtschaft, fnanzellen Planung, be dem Projekt-Management usw. zu lösen. Im Artkel werden solche Algorthmen vorgestellt, de be dem Projekt- Management, der Ressourcenplanung und Steuerung von Enzelherstellung oder von klenen Seren n der Logstk hoffentlch wetverbretet angewendet werden könnten. Neue Algorthmen wurden entwckelt, de - de optmale Lösung von ener angegebenen Zelfunkton nach endlcher Schrttzahl ergeben; - auch n Fällen, wobe de grenzen der Ressourcen kene Festwerte snd, angewendet werden können; - auch für de Neutakterung von Tätgketen, be denen de Ressourcenanforderungen oder de Ablaufszet während des Prozesses geändert werden, geegnet snd; - für solche Probleme angewendet werden können, wo das Zel de Gesamtoptmerung von Zet-, Kosten- und Mttelanforderungen st; - glechzetge Behandlung von verschedenen Ressourcen bzw. Ressourcenvertelung zwschen parallelen Prozessen ermöglchen; - de Behandlung von den ncht verwendeten Ressourcen verschern; - für Projekte mt unscher durchlaufene Zet und für Konstrukton der Produktonsprogramme benutzbar snd.

7 A témaválasztás ndoklása Az erőforrás-elosztás problémájával először egyetemstaként Szervezéstechnka című órán találkoztam. Az tt tanult módszerrel egy projekt tevékenységet úgy kellett beütemezn, hogy a tevékenységek erőforrásgénye ne lépjék túl a rendelkezésre álló erőforráskorlátot. Már az órán felfgyeltem, hogy ez a módszer csak egy megengedett megoldást szolgáltat. Ennek a módszernek a kegészítését, mellyel a tevékenységek lehető legkorább kezdését lehetett meghatározn (a rendelkezésre álló tevékenységek erőforráskorlátanak fgyelembevételével) egyetemstaként készítettem el egy hétoldalas beadandó feladat formájában. Az eljárást továbbfejlesztettem; több haza és nemzetköz konferencán s bemutattam, és még 2001-ben szabadalmaztattam. Többször ndultam ntézmény és országos Tudományos Dákkör versenyen, melyeken valamennyszer díjazásban részesültem ben pedg dolgozatommal megnyertem a Magyar Logsztka Beszerzés és Készletezés Társaság éves dákpályázatát. Ekkor döntöttem el, hogy ezzel a témával szeretnék tovább foglalkozn doktoranduszként s. Témavezetőm egykor szervezéstechnka-tanárom lett, aknek ezúton s köszönetet szeretnék mondan azért a sok segítségért, amvel egyetem, doktorandusz munkámat segítette.

8 Köszönetnylvánítás Ezúton s szeretnék köszönetet mondan szülemnek, hogy segítettek az egyetem évem alatt és ösztöndíjas PhD hallgatóként abban, hogy munkámat a lehető legjobb tudásom szernt végezhessem el. Köszönetet szeretnék mondan témavezetőmnek, Dr. Bencsk Andreának, ak mndenfajta (tárgy és szellem) segítséget bztosított munkám elvégzéséhez. Külön szeretnék köszönetet mondan feleségemnek, Mátra Rtának, ak munkámban mndvégg segítségemre volt, valamnt Póta Szabolcsnak és Hogyor Andrásnak, akk az elmélet nformatka mplementálásában segédkeztek. A módszer gyakorlat vzsgálatát valós projekteken tesztelhettem, mely lehetőségért köszönettel tartozom Perjés Zoltánnak, az INTEGRÁL-HEXA Rt ügyvezető gazgatójának.

9 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Bevezetés Projekt, projektmenedzsment A projektek közös eleme A projekttervezés eleme A munkalebontás szerkezet Hálótervezés A hálótervezés módszerek csoportosítása Alapfogalmak Gráfelmélet alapfogalmak Tevékenységdő- és eseménydő-adatok Tartalékdők Az MPM-háló Véletlen dőtartamú tevékenységek Költségoptmalzálás Determnsztkus költségoptmálás tevékenység-nyíl típusú hálók esetén Determnsztkus költségoptmálás tevékenység-csomópontú hálók esetén Determnsztkus költségoptmálás tovább módszerek Bzonytalanság kezelése hálótervezés technkák segítségével különböző logsztka feladatok esetén Bzonytalanság Standard bzonytalanság Összetett bzonytalanság Kterjesztett bzonytalanság Erőforrás-tervezés Algortmusok csoportosítása Ütemezés, erőforrás-allokácó Allokálás A soros allokálás eljárás A párhuzamos allokálás eljárások Erőforrás-allokácó (ERALL-módszer) Optmumkeresés eljárások Kegyenlítés Heursztkus és algortmkus eljárások összehasonlítása A Branch and Bound algortmus Dnamkus programozás Az ütemezés, erőforrásallokácó alkalmazás területe A módszerek alkalmazás feltétele, lehetősége Számítógépes projekttervező szoftverek Módszerek, szoftveres alkalmazások értékelése Hpotézsek AZ OPTIMÁLIS ERŐFORRÁS-ALLOKÁCIÓ KERESÉSÉNEK MÓDSZERTANI BEMUTATÁSA Erőforrás-allokácó, megengedett megoldásból optmáls megoldás keresése (ERALL-OPT, OPT-RALL) A feladat megfogalmazása Az algortmus leírása Példák Erőforrás-allokácó szakaszonként konstans erőforráskorlátozás esetén (ERALL-OPT/SZK, OPT-RALL/VRA) A feladat és a megoldás leírása Példa Tovább alkalmazások (tevékenységek, erőforrásgények követése, megszakítható tevékenységek kezelése)... 79

10 Tartalomjegyzék Erőforráskorlát változása (ERALL-OPT/ON-LINE/VK, OPT-RALL/ON- LINE/VRA) Példa Tevékenységek erőforrás-szükségletének változása (ERALL-OPT/ON- LINE/EV, OPT-RALL/ON-LINE/VR) Példa Tevékenységekhez szükséges dő változása (on-lne módon) (ERALL-OPT/ON- LINE/TLV, OPT-RALL/ON-LINE/VRT) Példa Tevékenységek megszakíthatósága (ERALL-OPT/MSZT, OPT-RALL/IA) Költség-, dő-, erőforrás-optmálás egydejű megvalósítása (ERALL- OPT/KLTG, OPT-RALL/COST) A feladat megfogalmazása Az algortmus leírása Példa Költségcsökkentés alternatív megoldások segítségével Alternatív megoldások Alternatív megoldások keresése Példa Többféle erőforrás egydejű kezelése, párhuzamos projektek között erőforrás-elosztás Párhuzamos projektek között erőforrás-elosztás (ERALL-OPT/PP, OPT- RALL/PP) Példa Többfajta erőforrás egydejű kezelése (ERALL-OPT/TE, OPT-RALL/MR) Példa Erőforráscsoport csoportos erőforrás-tervezés Erőforráscsoportok Csoportos erőforrás-tervezés Kompetenca alapú kválasztás nformatka támogatása Tökéletes helyettesítéstől a tökéletes kegészítésg Bzonytalan átfutás dejű projektek optmáls erőforrás-elosztása Sztochasztkus dőtervezés Példa Költségtervezés bzonytalan átfutás dő esetén Determnsztkus költségtervezés sztochasztkus dőtervezés esetén Sztochasztkus költségtervezés sztochasztkus dőtervezés esetén Bzonytalanság kezelése kssorozatgyártás termelésrányításában Paraméterek becslése Példa az dőtartamok becslésére Változó költség és az dőtartam kapcsolatának meghatározása Példa a bzonytalan átfutás dejű projektek erőforrás-tervezésére Összefoglalás A MÓDSZER EGY GYAKORLATI ALKALMAZÁSA AZ INTEGRAL-HEXA RT- NÉL Meglévő adatok feldolgozása Alkalmazott nformatka technológák bemutatása Eredmények TÉZISEK FÜGGELÉK... I 5.1 Felhasznált rodalom: A dolgozatban használt jelölések... xl 5.3 Az algortmusok szerkezete, tulajdonságok öröklődése... xl

11 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 1.1 Bevezetés Egy szervezet, legyen az proftorentált vállalkozás vagy közszolgáltatást megvalósító kormányzat szerv, mnden esetben valamlyen - többé-kevésbé jól körülhatárolható - feladat ellátása érdekében működk. Ilyen közvetlenül teljesítendő cél lehet bzonyos termékek előállítása és értékesítése, szolgáltatások teljesítése stb. [126, 158, 159] Egy működő szervezet nap feladatat, valamnt a feladatok teljesítésének körülményet és feltételet hosszabb-rövdebb távon a szervezet belső adottsága és az azokon keresztül érvényesülő külső környezet alakítja k, lletve határozza meg. A belső és a külső körülmények változásával szükségszerűen együtt jár egy szervezet nap feladatanak változása s, mert szükségszerűvé, és gyakran ezzel együtt lehetővé s válk például a korábban gyártott termékek módosítása, esetleg új, korábban nem gyártott termékek vagy szolgáltatások bevezetése. Az esetek többségében azonban nemcsak a teljesítendő nap feladatok módosulnak, hanem ezek teljesítésének szervezeten belül körülménye s megváltoznak, így például új technológák kerülnek alkalmazásra, új gyártókapactások jönnek létre, új pacok kerülnek megszerzésre, új szervezet struktúra és új tulajdonos összetétel, lletve tulajdonforma alakul k stb. Az lyen változások közben természetesen az adott szervezet folyamatosan teljesít és megvalósítja egy adott dőszak nap feladatat és közvetlen céljat. [158, 159] Ez a szervezetek működésében megnylvánuló kettősség - rövd távon a nap feladatok folyamatos teljesítése vszonylag azonos belső körülmények között, hosszú távon pedg a nap sznten ellátandó tevékenységek változása vagy azok teljesítés körülményenek az átalakulása - nylvánvalóvá tesz, hogy egy szervezet vezetése többdmenzós feladat. A vezetés egyk dmenzója a szervezetben, hogy bztosítsa az éppen aktuáls közvetlen célok és nap feladatok folyamatos és eredményes teljesítését, így például egy szératermékeket előállító vállalatnál a beszerzést és készletezést; a gyártást, összeszerelést és mnőségellenőrzést; a raktározást és értékesítést; valamnt a reálfolyamatokkal összefüggő pénzügy, számvtel és egyéb admnsztratív tevékenységeket. A vezetés ebben a dmenzójában ún. operatív menedzsment. [158, 159] 1

12 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Az éppen aktuáls közvetlen célok és nap feladatok folyamatos teljesítése mellett egy szervezet vezetőségének szembe kell nézne a változásokkal s. A vezetésnek ebben a mnőségében a külső körülmények várható változásaból, valamnt a belső adottságok sajátosságaból meg kell határozna a szervezet jövőben változás pályáját, k kell jelölne azt az állapotot, amelyet fennmaradása érdekében a jövőben el kell érne. Természetesen ahogy maga a környezet és a szervezet belső adottsága s változnak, annak megfelelően válk többékevésbé folyamatossá a szervezet változás pályájának alakítása s, és így újabb és újabb - egymást dőben követő, de egymásnak nem szükségszerűen ellentmondó - célállapotok jelennek meg a szervezet jövőképében. A vezetés ebben a dmenzójában stratéga menedzsment. [158, 159] Reáls jövőkép kalakítása esetén - és az annak megfelelő reáls stratéga célok megfogalmazását s feltételezve - a szervezet jövőben működőképessége nagymértékben a stratéga célok realzálásának mkéntjén múlk, ugyans a stratéga célok megvalósításának eredménye egy bzonyos dőszakra a nap operatív tevékenységek részévé válnak, és jelentősen befolyásolják a szervezet működésének eredményességét. Egy szervezetben a jövőkép elérése érdekében egydejűleg több stratéga cél és részcél s megfogalmazásra kerül, és ezek megvalósítása sokszor párhuzamosan, lletve egymással bzonyos átfedésben vagy egymásutánságban történk. A stratéga célok és részcélok realzálásának folyamata nemcsak dőben különülhetnek el egymástól, hanem a szakma tartalom tekntetében s (pl. új termék kfejlesztése, a gyártókapactás létrehozása, a termék pac bevezetése), így e vonatkozásban a stratéga realzálásának egy-egy jól körülhatárolható, komplex és egyszer feladatat s képezk. Ezek a feladatok mnd az operatív menedzsmenttől, mnd pedg a stratéga menedzsmenttől eltérő vezetés szemléletet, továbbá eltérő módszereket és technkákat hoztak magukkal a szervezetek vezetésében. Ezért ebben a dmenzójában a vezetés elsősorban projektmenedzsment. [158, 159] A szervezetek vezetésének ez a hármas megnylvánulás módja gyakorlatlag mnden szervezetben tetten érhető, noha sok esetben mndez nem tükröződk a szervezet struktúrában. Természetes, hogy ksméretű vállalkozásban ezek a funkcók nem különülnek el, és ugyanígy természetes, hogy nagyméretű szervezetekben a stratégaalkotás, a projektrányítás és az operatív vezetés funkcó mntegy látható módon vsszatükröződnek a szervezet struktúrában s. [158, 159] A projektmenedzsment tehát egyfajta köztes kategóra a vezetés stratéga és operatív szntje között, és mnt lyen, a stratéga célok realzálását valósítja meg, amelynek 2

13 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak következtében a stratéga célok a nap operatív működés szntjére transzformálódnak, vagys az elkészült projekteredmény ntegrálódk a szervezet nap operatív folyamataba. Gyakorlatlag ezzel valósul meg a stratégában megfogalmazott változás. Ebben az értelemben a projektmenedzsment a stratéga megvalósításának eszköze, maga a projekt pedg egy-egy konkrét stratéga program vagy részprogram, lletve stratéga akcó vagy annak egy jól körülhatárolható része. [158, 159] A hálótervezés technkák különböző területeken és sokféle formában jelenhetnek meg. A termelés, tervezés, elosztás, telepítés, erőforrás-gazdálkodás, pénzügy tervezés, projektmenedzsment stb. területén különböző problémák megoldására alkalmazzák. [25, 77, 84, 137, 191, 197] Egy beruházás, vagy egy nnovácós projekt megvalósításánál három fontos szempontot kell szem előtt tartanunk: a lehető legrövdebb dő alatt, a lehető legksebb költséggel kell a projektet megvalósítanunk úgy, hogy a rendelkezésre álló erőforrásankat (munkaerő, anyagok, gépek stb.) ne lépjük túl. [4, 158, 159, ] Mért s fontos, hogy a lehető legrövdebb dő alatt és a lehető legksebb költséggel valósítsuk meg a projektet? Ha egy beruházás megvalósítására több cég vagy szervezet pályázk, akkor általában annak a pályázónak van nagyobb esélye a kírt tender elnyerésére, ak hamarabb és kevesebb költséggel tudja a beruházást megvalósítan. Ezt a problémát már az ötvenes-hatvanas években hálótervezés (pl. CPM, MPM, PERT), ütemezés [ , 389] (pl. Gantt-dagramok, LOB) és ezekhez tartozó költség-optmalzácós eljárásokkal (pl. CPM/COST-, MPM/COST-, PERT/COST-módszerek) kezeln tudták. A legnagyobb problémát az erőforrások kezelése jelentette. A megvalósítás során az erőforrások kezelésétől nem teknthetünk el, hszen egy projekt esetén a rendelkezésre álló erőforrásank szűkösek. Meghatározott létszámú munkaerővel, géppel stb. dolgozhatunk. [25, 134, 158, 159] Ha azt szeretnénk, hogy a lehető legrövdebb dő alatt, a lehető legksebb költséggel valósítsuk meg a projektet vagy a beruházást úgy, hogy a rendelkezésre álló erőforrásokat (munkaerő, anyagok, gépek stb.) ne lépjük túl, és az erőforrásokat a lehető legjobban használjuk fel, akkor könnyen (akár már elvégzendő tevékenység esetén s) olyan komplex problémához juthatunk, amelyet a ma számítástechnka programok csak nagyon hosszú számítás dővel tudnak megoldan. [202, 298] A megoldandó feladatot tovább bonyolítja, hogy pl. egy beruházás megvalósítása során az elvégzendő tevékenységek megvalósítás dejét, (változó)költség-gényét, erőforrásszükségletét csak becsüln tudjuk. [182, 189, 241, 275, 298] 3

14 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Értekezésemben olyan módszereket mutatok be, melyek kváló lehetőségként állnak rendelkezése a menedzserek számára. Az eljárással tetszőleges projekt erőforráskorlátos (költség-, erőforrásgény-, dő)optmáls erőforrás-allokácóját lehet meghatározn, fgyelembe véve az egyes paraméterek becslésének bzonytalanságát s. A bemutatandó módszereket a menedzsment területén mnden olyan esetben lehet alkalmazn, ahol a lehető legrövdebb megoldás dő, a lehető legksebb költség és optmáls erőforrásfelhasználás a cél. Ezen belül s a módszert legnkább a projektmenedzsmentben, erőforrás-tervezésben, logsztkában, egyed termékek gyártásában lehet alkalmazn. 1.2 Projekt, projektmenedzsment Az átalam használt módszereket elsősorban a projektek tervezésénél, szervezésénél lehet alkalmazn, ezért szükséges néhány fogalmat defnáln, melőtt a hálótervezés és erőforrásallokácós módszereket átteknteném. Aggteleky Béla: A projektek dőben lehatárolt, gyakorlat vonatkozású vagy absztrakt tervek, amelyek méretük, bonyolultságuk, jelentőségük és egyedségük matt a menedzsment rutnszerű terv- és vezető feladatanak kerete között általában nem oldhatók meg kelégítően. [4] Bajna Mklós: A projektek egyed, egyszer előforduló, nagyobb, gényes és komplex problémák, amelyek nagyobb tervezés ráfordítást, specáls szaksmereteket és esetenként különleges tervezés eljárást tesznek szükségessé, ezenkívül pontosan meghatározható kezdés és befejezés dőponttal, terjedelemmel rendelkeznek. [4] Görög Mhály: Projektnek teknthetünk mnden olyan feladatot, lletve annak végrehajtását, amely eltér egy szervezet szokásos, s így rutnjellegűnek nevezhető nap tevékenységétől, és valamlyen egyszer, komplex feladatot jelent a szervezet számára. [ ] Robert J. Graham: A projekt konkrét, általában egy meghatározott költségvetés és dőkereten belül elérendő cél megvalósítására deglenes jelleggel összeválogatott emberek és egyéb erőforrások csoportja. [159] 4

15 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak A projekt" egyetlen defnícója sem felel meg mnden projekthelyzetnek, de az ISO szabványokban leírt defnícót a felhasználók elfogadhatónak tartják. Az ISO 8402 (1994) a következőket állapítja meg: Projekt: egyed folyamatrendszer, amely kezdés és befejezés dátumokkal megjelölt, specfkus követelményeknek - beleértve az dő-, költség- és erőforráskorlátokat - megfelelő célktűzés elérése érdekében vállalt, koordnált és kontrollált tevékenységek csoportja. [202] A fent defnícó mnd a költségek, mnd a tevékenységek dőtartamat, mnd pedg az erőforrások kezelését szem előtt tartja. Ezért ezt a defnícót alkalmazom a továbbakban értekezésem során. Ehhez a defnícóhoz az ISO-dokumentumok - a projekt" kfejezés pontosítására - tovább magyarázatokat s fűznek. Az ISO szabvány - Irányelvek a mnőség projektmenedzsmenthez - a projektek alább jellemző smérvet közl: [202] Ismérvek: 1. A szervezet deglenes, és a projekt élettartamára alakították. 2. A projekt számos esetben egy nagyobb projektstruktúra részét képez. 3. A projektcélktűzéseket és termékjellemzőket folyamatosan lehet meghatározn és elérn a projekt dőtartama alatt. 4. A projekt eredménye lehet egy termék egy vagy több egységének megteremtése. 5. A projekttevékenységek között vszony összetett s lehet. A projektmenedzsment elsődlegesen a változások bevezetéséhez és menedzsmentjéhez kapcsolódk. Bzonyos szempontból mnden projekt egyed, és különbözhet attól a szokásos üzletvteltől, amelyre az anyacéget létrehozták. A projektszervezetet - amelyre gyakran projekt-teamként hvatkoznak, bár ez a teljes projektszervezetnek csak ks része azért alakítják k, hogy egy meghatározott célktűzést a projektterméket valósítson meg. [202] 5

16 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak A projektmenedzsment: A vezetéstudomány önálló, független ága, amely egy totáls rendszerbe" ntegrálja azokat a technkákat, amelyek elősegítk a projekt céljanak hatékony és eredményes realzálását. [202] A projektek közös eleme A projektterméknek számos formája lehet, az egészen fzkatól (egy új város létrehozása vagy egy új mozdony megépítése) a vrtuálsan absztraktg bezárólag (folyamat egy lehetséges vészhelyzet kezelésére). E két szélsőséges eset között számos eltérő termék van, mndegyk a maga sajátos követelményevel, amelyek eltérő projektmenedzsmentet gényelnek. Ez a - cégek és parágak között elterjedt - sokszínűség gátolta annak a kora felsmerését, mszernt mnden projektnek vannak közös eleme. [158, 159, 202] Ennek ellenére mndegyk projekt rendelkezk az összes alább tulajdonsággal vagy közülük legalább néhánnyal: a projektnek van terméke, azaz megvalósítandó célja; létezk a megvalósítást leíró projektterv; adott a projekt megvalósítására szánt dőkeret; adott a megvalósításra szánt költség; létezk a projektdőre bontott költségterv; léteznek a projekttermékkel szemben megfogalmazott mnőség elvárások, követelmények; létezk a projekt megvalósítását gátló bzonytalanság területek megjelölése, valamnt az esetleges kockázatok értékelése és a megfelelő reakcók. A projektkövető rendszereket úgy kell kalakítan, hogy folyamatosan (real tme) gyűjtsék össze a megvalósításra és a költségekre vonatkozó adatokat. Az adatelemzéshez és az elemzés eredményenek lehető legrövdebb dőn belül terjesztéséhez megfelelő technkák és eszközök szükségesek. Ezek az eszközök mnden projekt esetében jellemzőek, s a terméktől, a projekt méretétől és attól az parágtól függnek, amelyben használják őket. [202, 307] Amkor egy hagyományos funkconáls alapon működő cég rájön, hogy kényelmetlenül magas azoknak a projekteknek a száma, amelyekkel foglalkozna kell, és elég sok olyan projekt van, am rendszeres gazgatóság konzultácót és jóváhagyást gényel, akkor 6

17 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak (gazgatóság sznten) meg kell fontoln a szervezet felépítés módosítását. Gyakran nem érzékelk, hogy az lyen változtatáshoz sok dő szükséges. Az egyk szerző a tapasztalatok alapján úgy vél, hogy bármlyen méretű cégnél 3-5 év kell ahhoz, hogy az új szervezet zökkenőmentesen működjön, lletve kényelmes legyen az emberek számára. Közben kérdések merülnek fel, egyesek tltakoznak a nylvánvaló státuszvesztés ellen, poltka mozgások és átrendeződések történnek a projekt ellenében vagy mellett, és kfejlődk a munkát nagymértékben megkönnyítő nem hvatalos struktúra. Kezdetben az egyes projekteket nemcsak megoldandó problémaként látják, hanem valam olyan dologként, amvel szemben ellenállást kell tanúsítan. [158, 202] A projekttervezés eleme A hvatalos tervezés rendszerre vonatkozó legkorább kísérlet a Gantt-dagram volt, amelyet az egyszerű sávos dagramból származtattak. A sávos dagram" vagy sávos ütemterv" kfejezés használata mostanra már általánossá vált. [202] A projektterv legegyszerűbb formája a projektet alkotó tevékenységek dőtáblázatba foglalása. Ez a projektmenedzsment folyamat első fő lépése, kjelöl, hogy mkor", k és mt" mként" csnál. A fnomítás következő fázsában azt s meghatározza, hogy mlyen teljesítmény- és mnőségsznten" és mekkora költség" mellett. A fnomítás egy még magasabb fokán a tevékenységek elvégzéséhez szükséges erőforrások hozzárendelése s megtörténk. Ahogy az egyes fázsokat átgondoljuk, szükség lehet az előzők újraértékelésére és módosítására. [202] A projektterv elkészítésének folyamata a projektmenedzser és a projekt-team felelőssége. A projektterv elkészítése terácós és smétlődő folyamat. A tervet folyamatosan felül kell vzsgáln és frssíten, ahogy a projekt kfejlődése során az újabb nformácók hozzáférhetővé válnak. A projektterv sohasem végleges dokumentum; tervezésre gaz, egyre csökkenő mértékben, de egészen a projekt befejezéség sor kerülhet. A projektterv képez az összes projektbel előrehaladás vszonyítás alapját. Ezért a lehető legpontosabbnak és naprakésznek kell lenne. Egyetlen tervet sem szabad megváltoztathatatlannak teknten hszen ezek munkaeszközök. [157, 158, 202] A projektterven belül mndg számos, ún. pojekttervezés sznt lesz. A legmagasabb sznten helyezkedk el az összegzés, amely a felső vezetésnek szánt áttekntésként mutatja be a projekt kulcseseményet és mérföldkövet. Konzorcum-projekt esetén a terv jelz a konzorcum tagja között munka megállapodás szernt megosztását. Az alacsonyabb szntek 7

18 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak egyre több részletet tartalmaznak, míg a legalacsonyabbak megadják azon feladatgazdák tevékenységlstáját, akk egy meghatározott költségközpontban vagy funkcóban felelősek a tevékenységekért. [202] A tervben mndg szerepel az elvégzendő munka megvalósítás ütemterve. Ez az ütemterv általában sávos ütemterv formátumú, de célszerűbb, ha a tevékenységek kezdés és befejezés dőpontjanak kszámítására az ún. hálótervezés technkák valamelykét használjuk. A projekt előrehaladtával a terveket aktualzáln kell, így lehetőség nyílk a végrehajtásra (előrehaladásra) vonatkozó nformácóknak a tervezett megvalósulással való összevetésére. Hosszú átfutás dejű projekt esetén a tervbe foglalt részletek mennységének az dővel összhangban kell változna. Rövd távnál - amely háromtól hat hónapg terjedhet vagy néhány esetben tovább - a részletek teljes kterjesztésének meg kell jelenne, de a részletezettség az előrehaladással párhuzamosan egyre csökken. A részletek száma mnden egyes frssítésnél vagy újratervezésnél nő. [202] A terv tartalmazza a projekt költségvetését és pénzügy kmutatásat, amelyekből látható a nettó jelenértékhez gazított kadás, bevétel és a nettó cash flow. A projekttervnek ezt a részét, ha a több részhez hasonlóan bzalmas nformácót tartalmaz, a vezetők bzonyos szntjere lehet korlátozn. [121, 178, 202, 393] A projekttervben szerepeln fognak a változás- és konfgurácó-menedzsmentre, a mnőségre és beszerzésre, valamnt a kockázatértékelésre vonatkozó tervek s. Ezek bemutatják mnd a pénzügy, mnd pedg a szakma kockázatokat és azok lehetséges hatását a projektre. Ez lehet az anyacégen belül különálló csoportok munkája, amelyek a megfelelő technkára szakosodtak, de a projektet lletően a projektmenedzsernek jelentenek, aknek egyetértés és jóváhagyás joga van. Ha léteznek különálló csoportok, akkor elképzelhető, hogy delegálnak egy tagot a projekt-teambe a megfelelő tevékenységek támogatására. Ha nagy projektről van szó, vagy a projekt a kezdeményező cégtől fzkalag távol valósul meg, akkor a projekt-team részeként létrejöhetnek támogató teamek a projektterv néhány vagy összes aspektusára vonatkozóan. [202] A munkalebontás szerkezet Az dő alapú terv elkészítésével egydejűleg a munkalebontás szerkezetet (work breakdown strukture - WBS) s el kell készíten, am a projekt összes tevékenységét ábrázolja annak herarchkusan felépített felosztásával. A WBS-t alkalmazásától függően számos alternatív módon lehet felépíten. Megszokott módszer a termék főbb összetevőkre való felosztása, 8

19 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak amelyeket aztán funkconáls lebontással vagy költségközpontkóddal alcsoportokra és smét összetevőkre bontanak. A kválasztott mód általában a projekt típusával, lletve azzal az par vagy közszektorral van összefüggésben, amelyben elhelyezkedk. [202] A WBS legalacsonyabb szntje mnden esetben tevékenységcsoportokból áll vagy egyedülálló tevékenységekből, ha elég nagyok amelyek egy megnevezett egyén a feladatgazda felelősségét képezk. A feladatgazda feladata a munka előrehaladásának beazonosítása, becslése, tervezése, végrehajtása és jelentése a projekttervnek megfelelően. A feladatgazda felelős továbbá a projektterv nputjanak mnőségéért, lletve annak bztosításáért, hogy az előrehaladás adatokat pontosan szerezzék meg és a terv szernt dőben adják át. Mnden egyes feladathoz szükség van egy munkakmutatásra" (statements of work - SOW), am kelégítő részletességgel írja le a feladatban szereplő tevékenységeket. Ez félreérthetetlenül kmutatja a feladatgazda projekt ránt elkötelezettségét, és ezáltal bztosítja a tevékenység lsta adatanak teljességét. A szükséges adatok magukba foglalják majd a becsült dőtartamot az gényelt erőforrásokkal, költségekkel, teljesítménymérésekkel együtt, beleértve az egyes megállapított mnőség követelmények értékelésének mkéntjét, az esetleges kockázatokat és bzonytalanságokat, lletve a jelentés folyamatok részletet. [202] Amkor a feladat saját jogán s alprojekt, tehát a feladatgazda a projekt beszállítójává válk, akkor a munkakmutatásnak lehet, hogy egy jog szerződés formáját kell magára öltene. Abban az esetben ez természetesen így lesz, ha a feladatgazda az anyacégen kívül. [202, 310] A projektmenedzsernek a munkamegbízás elfogadása előtt értékelne kell és meg kell vtatna a feladatgazdák által bztosított munkakmutatásokat. A megállapodás szerves része, hogy a feladatgazda képes a feladat teljesítésére a projekttervben kjelölt dőpontban és a kmutatásban meghatározottak szernt. Tehát a feladatgazda köteles a megfelelő dőben megadn az gényelt erőforrásokat anélkül, hogy más munkájába beavatkozna. [202] A WBS-el egydejűleg meg kell tervezn a projekttevékenységek között logka kapcsolatokat sávos ütemtervek alkalmazásával (ahol a tevékenységek között logka kapcsolatokat bonyolult kfejezn), vagy nkább hálós ütemtervek használatával (amelyekben a logka kapcsolatok használata a technka részét képez). A hálós ütemterv két alapvető megjelenés módja közül tevékenység a nylakon ábrázolva (actvty-on-arrow AoA) vagy tevékenység a csomópontokon ábrázolva (actvty-on-node - AoN) bármelyket használhatjuk. [202] 9

20 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 1.3 Hálótervezés Az előző fejezetben említett nehézségeket a hálótervezés technkák családjának kfejlesztésével oldották meg. A hálótervezés technkák (Project Network Technques - PNT) az 1950-es évek közepén és az 1960-as évek elején keletkeztek, amkor ezen technkák két alaptípusát fejlesztették k. Ezek a javasolt projektet lényegében az élek és az azokat összekötő csomópontok sorozatából felépülő gráfként ábrázolják. A dagram (projektmodell) szerkezete csak a projekt javasolt megvalósítás módszerétől függ, és úgy ábrázolják, hogy a terv logka struktúrája könnyen megfgyelhető és ellenőrzhető legyen. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy az elkészített hálóterv bármlyen más tervhez hasonlóan bármlyen részletezettséggel készüljön s, nem a projekt legjobb megvalósítás lehetőségét mutatja be. A terv csupán az alkotó elképzeléset önt modell formába, s ez a modell lehetőséget ad a tervező elképzelésenek megértéséhez, lletve ha szükséges, a modell módosításához. [25, 54, 70, 77, 84, 116, 123, 127, 202, 203, 205, 247] Mután a dagram vélhetően elfogadható logkát mutat, meghatározhatják a különböző tevékenységek dőtartamát. Ezután számításokkal meghatározzák a projekt megvalósítás dejét. Ha az eredmények kelégítők, akkor a projektterv készítését felfüggeszthetjük. A tervezés folytatására akkor kerülhet sor, ha újabb nformácók merülnek fel a projekttel kapcsolatban. Ha csökkenten kell a projekt átfutás dejét, akkor megvzsgálják a megvalósulás dőtartamot meghatározó tevékenységeket a krtkus tevékenységeket", hogy lássák, van-e lehetőség az átfutás dő megfelelő mértékű rövdítésére a tevékenységdőtartamok csökkentésével vagy a terv logkájának megváltoztatásával. Egy tevékenység dőtartamát megváltoztatn tulajdonképpen lehetetlen, kvéve ha azt technológa változtatásokkal vagy a tevékenységhez rendelt erőforrás nagyságának megváltoztatásával érk el. Sajnos ez gyakran elfogadhatatlan a felső vezetés számára, melynek tagja azt hszk, hogy egy rendelet kadásával már meg s oldották a problémát. Nem érdekel, hogy m áll a tervében, a feladatot a rendelkezésre álló erőforrásokkal rövdebb dő alatt kell elvégezn." Ezt a kjelentést mnden tervező számos alkalommal hallja. A javaslatok változtatása addg folytatódk, míg elfogadható megoldást nem érnek el. [202, 239, 259, 315, ] Mután az dőt és a logkát átgondoltuk, néhány eset kvételével szükséges lehet a terv jelenleg állása szernt gényelt és a rendelkezésre álló erőforrások összevetése. Ezt a hálóterven történő áthaladással és az egyes dőperódusokban gényelt erőforrások 10

21 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak összeadásával ( aggregálás") lehet megtenn. Az összesített erőforrásokat ( erőforrás terhelés") össze kell hasonlítan a rendelkezésre álló erőforrásokkal ( kapactás"), és ha az gény meghaladja a hozzáférhetőséget, a hálótervet újra meg kell vzsgáln, hogy lássuk, valamlyen módosítással van-e lehetőség az erőforrásgények kelégítő elosztására". Ha nncs, akkor vlágos, hogy vagy a rendelkezésre álló erőforrás-kapactásokat, vagy a projekt megvalósítás dejét (total project tme - TPT), vagy mndkettőt növeln kell. [202, 297] Tudatában kell lenn annak, hogy a hálóterv dőelemzése" mnden tevékenységet a legkorább megvalósulásra jelöl k, ezért az erőforrások összesítése a tevékenységek kora kezdésére vonatkozó összesítést jelent. A hálónak tehát a teher csökkentésére rányuló valamenny módosítása elkerülhetetlenül késleltet ugyan az egyes tevékenységeket, de a projekt befejezés dátumát nem szükségszerűen. Az eredményként kapott, más tevékenységekkel való kölcsönhatások és azok erőforrásgénye rendkívül összetetté válhatnak, és a nagyon ks projektek vagy egyszerű sztuácók kvételével az lyen módosításokat megfelelő számítógépes program nélkül nem szabad megkíséreln. [202, 297] A háló megrajzolásának egyk nagyon fontos velejárója, hogy a dagram hasznos kommunkácós lehetőséget bztosít. Bemutatja, hogy a projektet hogyan lehet végrehajtan, és lehetővé tesz a vezető számára, hogy nformácót továbbítson egy felettesének vagy alárendeltjének. Valószínű, hogy a hálót nem azok az emberek használják majd, akk elkészítették. Ezért fontos, hogy a tevékenységek a megvalósítandó projektfeladatban egyértelműen legyenek defnálva. Ezenkívül, ahol lehetséges, az összetevőket oly módon kell kválasztan, hogy a tevékenység elvégzésének felelősségét egyértelműen át lehessen ruházn. Ha a helyzet úgy kívánja, a hálótervet könnyedén át lehet alakítan sávos ütemtervekké, amelyekben szükség esetén lehetőség van a változtatás beépítésére vagy módosításra. [202, 310] A hálótervezés technkákat vzsgálva két hálótervezés család smeretes: a tevékenységeket a gráf élen ábrázolt (actvty on arrow - AoA) család, ahol a tevékenységet a gráf éle jelöl; és a tevékenység-csomópont ábrázolása (actvty on node AoN) család, ahol a tevékenységet a gráf csomópontja jelöl. Mndkét technkának vannak híve. Egyk sem mutat túlzott előnyt a máskkal szemben. Néhány szervezetben szükséges, hogy a vevők/ügyfelek gényenek kelégítése matt mndkét technka alkalmazható legyen. Körültekntően kell eljárn, nehogy összekeverjük őket. Jelenleg számos ktűnő számítógépes program áll rendelkezésre mnd az AoA, mnd pedg az AoN családhoz. [25, 54, 77, 84, 116, 123, 127, 202, 203, 205, 247] 11

22 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak A hálótervezés technkákat olyan helyzetekben lehet alkalmazn, amkor a feladat kezdetét és befejezését meg lehet határozn; a folytonos vagy folyamatos nagyüzem termelést nem érdemes hálótervezés technkákkal modellezn. A projekt mérete nem fontos; a hálótervezést ugyanolyan skeresen használták már egyszerű tesztfolyamat megtervezésére, mnt egy új város konstrukcójának kalakítására vagy egy űrhajó ndítására. [157, 158, 202] Mnt mnden más új menedzsmenteszközt, a hálótervezés technkák alkalmazását s körültekntően kell bevezetn a szervezetbe. [158, 202] Mnden ütemezés technkánál, így a tevékenységekhez rendelt dőnek tt s reálsnak kell lenne, azaz számításba kell venn mnden jelenleg hely körülményt. Elmélet becslések helyett jobban alkalmazhatók a tapasztalat adatokon alapuló becslések, bár a munka elvégzésének feltételet össze kell vetn a tapasztalat adatokkal. Rendkívül hasznos összegyűjten az erőforrásokra és feladatokra vonatkozó adatokat, hszen az dő- és erőforrásteljesítmény előre nehezen látható módon hathat egymásra. Rögzítés után ezek segítenek a becslést végzőnek a jelenleg körülmények átgondolásában, és jobb dőtartambecslésekhez vezetnek. Az dőtartamoknak nkább reálsnak, mnt elvárhatónak kell lennük, és el kell őket fogadtatn azokkal, akk megvalósításukért felelősek. [202] A hálós rányítás rendszerek két smert alapváltozatát, a PERT- és a CPM-módszert közel egy dőben dolgozták k és publkálták ben az USA hadtengerészetének különleges tervezés hvatala megbízást kapott a POLARIS rakéták kfejlesztésével kapcsolatos sok száz tevékenység rányítására. [25, 63-66, 71, , 205, 252] Az E. I. DuPont de Hemonds and Co ban átfogó kutatást ndított olyan módszer kfejlesztésére, mely lehetővé tesz számítógép felhasználását a műszak feladatok megtervezésében és ütemezésében. Walker és Kelley 1957-ben jutott el egy nyíldagramos, hálós módszert alkalmazó és később CPM néven közsmertté váló rendszer kpróbáláság. A módszert 1959-ben publkálták. [25, 63-66, 71, , 205, 252] A fejlődés azóta sem állt meg, a hálós eljárások egész sora jött létre, és számuk óvatos becslések szernt s több mnt százra tehető. [25] Egy (beruházás, nnovácós stb.) projekt megvalósításánál három fontos szempontot kell szem előtt tartanunk: a lehető legrövdebb dő alatt, a lehető legksebb költséggel kell a projektet megvalósítanunk úgy, hogy a rendelkezésre álló erőforrásankat (munkaerő, anyagok, gépek stb.) ne lépjük túl. [25, 202, 262] 12

23 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak A hálótervezés módszerek csoportosítása A hálótervezés módszerek felosztása sokféleképpen elvégezhető, ezek közül néhány gyakor csoportosítás szempont: [25, 116] 1. Időtervezés jellege: sztochasztkus, determnsztkus 2. Felhasználás céljuk alapján: dő-, költség- és erőforrásoptmáló technkák 3. A hálók rányultságuk alapján: tevékenységorentáltak vagy eseményorentáltak 4. Megjelenés formájuk szernt: tevékenység-nyíl, tevékenység-csomópontú és eseménycsomópontú hálók Természetesen még tovább csoportosítás lehetőségeket sorolhatnánk fel, azonban az általunk kfejlesztett algortmus(ok) szempontjából ezek smerete elegendő. Determnsztkus hálótervezés módszerek: Olyan hálótervezés módszerek, melyeknél a tevékenységdők jól meghatározott értékek. (Ilyen, pl. a CPM-, MPM-, DCPM- stb. háló.) [71, 78, 159, 193] Ezeket a módszereket elsősorban akkor lehet alkalmazn, ha vszonylag pontos becsléssel rendelkezünk a tevékenységek dőtartamat lletően. Ha a tervezett és a tényleges dőtartamok eltérnek, akkor a hálót aktualzáln kell, lletve k kell számoln újra a tevékenységek dőadatat. Determnsztkus hálótervezés módszerek nem csak kevés, hanem sok tevékenységet tartalmazó, lletve bonyolult hálók esetén s alkalmazhatók. [160, 190, 232] Sztochasztkus hálótervezés módszerek: Olyan hálótervezés módszerek, melyeknél a tevékenységdőt valamlyen valószínűség eloszlás sűrűségfüggvénye határozza meg. (Ilyen pl. a PERT- vagy a GERT-háló.) [50, 115] Ezzel a hálótervezés technkával már a tevékenység dőtartamának bzonytalanságát s tervezhetjük. [195] Előnye, hogy már a tervezés fázsában meg lehet határozn a projekt egy adott valószínűség sznthez tartozó várható átfutás dejét. [67, 68, ] Előnye, hogy a betervezett bzonytalanságnak köszönhetően előre fel tudunk készüln az esetleges nehézségekre. [201] Szakrodalom szernt ezzel a tervezés technkával akár 10-12% költség s megtakarítható. [217, 219, 245] Hátránya, hogy a tevékenységek dőtartamának eloszlása általában nem smertek, a projekt során sok esetben nncs előzetes nformácónk a tevékenységek dőtartamát lletően, így nagyon nehéz meghatározn a projekt átfutás dejét. [202, 260] Az dőtervezés eljárásoknál cél a projekt átfutás dejét megtaláln. (Ilyen pl. PERT, CPM, MPM stb.). [265] Az dőtervezés eljárásoknál determnsztkus esetben vszonylag 13

24 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak könnyű meghatározn a projekt átfutás dejét, míg sztochasztkus hálótervezés eljárásoknál nagyon sok számítás módszer létezk. Ezek közül a legsmertebbek az ún. PCI (Path Crtcal Index) módszer [107] és az ACI (Actvty Crtcal Index) módszer. [131] A legújabb kutatások más sztochasztkus hálótervezés módszereket s vzsgálnak [146, , 172, 271, ], ezek közül az egyk az ún. Fuzzy-logkán [45, , 388] alapuló sztochasztkus módszerek. Néhány ckk foglalkozk a hagyományos projektmenedzsmentben használt PERT-módszer és a Fuzzy-logkán alapuló becslések összevetésével. [45, 50, 147, 270, 326] A sztochasztkus dőtervezés módszerekről elmondható, hogy a projekt átfutás dejére jellemző bzonytalanság meghatározásának módszereben jelentősen eltérnek. Ennek következtében egy adott valószínűség sznthez tartozó átfutás dő s jelentősen eltérhet. Ennek a problémának jelentős szakrodalma van. A módszerek mnd a kszámítás komplextásában, mnd pedg a becslés pontosságában jelentősen eltérnek. [117, 134, 136, 142, 162, 163, 168, 189, 191, 203, 234, , ] A PERT-módszernél tehát a tevékenységek dőtartamának bzonytalanságát modellezzük. Egy kutatás, fejlesztés projektnek azonban a kmenetele s bzonytalan lehet attól függően, hogy az egyes tevékenységek (pl. kísérletek) mlyen eredményhez vezettek. Ennek megfelelően a háló tovább tevékenysége s ennek függvényében alakulnak. Ezt a problémát pl. az általánosított PERT-módszer (GERT-módszer) modellez. [15, 293, 327, 329, 386] A költség- és erőforrásoptmáló eljárásoknál az átfutás dő meghatározása mellett a költség-, erőforrásoptmálás, kegyenlítés s fontos szempont. (Ilyen pl. CPM/COST, MPM/COST, CPA stb. RAMPS, RAPP, ERALL stb.). [8-9, 15, 25, 35, 88-91, 94, 102, 149, 156, 214, 215, 272, 278, 279, ] A költségoptmáló módszereknél feltételezzük, hogy létezk a tevékenységek dőtartama és a közvetlen költségek között egy determnsztkus vagy egy sztochasztkus függvénykapcsolat. Determnsztkus függvénykapcsolat esetén feltételezzük továbbá, hogy ez a kapcsolat egy konvex függvénnyel írható le. [8, 96, , 128, 135, 198, 239, 259, 351, 389] Ebben az esetben vszonylag gyorsan (polnomáls dőben) meg lehet határozn egy mnmáls átfutás dővel/mnmáls összköltéggel járó projektet. [8, 9, 82, 90] Amennyben a költséggörbék nem konvexek, úgy a feladat vsszavezethető egy ún. szeparálás feladatra, melyben a nemkonvex költséggörbék konvex burkanak meghatározásával lehet a mnmáls közvetlenköltségű dőtartamot megtaláln. [195, 356] Az erőforrás-optmáló módszereknél a tevékenységek dőtartamán kívül azok erőforrásszükségletet s nylván kell tartan. Az erőforrás-szükségletek alapján a 14

25 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak rendelkezésre álló erőforrásankat kell optmálsan elosztan úgy, hogy adott tevékenységeket később dőpontra ütemezünk be. [25, 183] Ahhoz, hogy költség- vagy erőforrásoptmálást végezzünk, járulékos nformácókra van szükségünk (közvetlen költsggény, erőforrásgény, erőforráskorlát). Ha ezek nem állnak rendelkezésre, akkor ezeket az optmalzálásokat nem lehet elvégezn. [183] Ma napg nytott kérdés, hogy hogyan kezeljük az egyes költségek, erőforrásgények bzonytalanságát. A tevékenységorentált hálóknál a tevékenységek, míg az eseményorentált hálóknál az események hangsúlyozása kerül előtérbe. Mndegyk módszernek megvan a maga létjogosultsága. Eseményorentált hálóknál nkább az eseményekre (határdőkre, egy adott részmunka (várható) lezárására stb.) koncentrálunk, míg a tevékenységorentált hálóknál a tevékenységek lehető legkorább vagy legkésőbb megkezdése, lletve befejezése kerül a számítás előterébe. [25, 202] A tevékenység-nyíl hálóknál az élek reprezentálják a tevékenységeket, a csomópontok az eseményeket. A tevékenység-csomópontú hálóknál az élek reprezentálják a tevékenységek között kapcsolatokat, a csomópontok a tevékenységeket. Az esemény-csomópontú hálóknál s az élek reprezentálják a tevékenységeket, a csomópontok pedg az eseményeket, de tt az események hangsúlyozása lényeges, míg a tevékenység-nyíl hálóknál az események ábrázolását el s hagyhatjuk. [25] Az angolszász szakrodalomban csak kétfajta ábrázolást különböztetnek meg attól függően, hogy a tevékenységeket a csomópontokon, vagy az éleken reprezentáljuk. Tulajdonképpen mndkét hálótervezés technkának megvannak az előnye és a hátránya. [202] A tevékenység-nyíl hálók mnd az események (legkorább/legkésőbb) bekövetkezése, mnd pedg a tevékenységek legkorább/legkésőbb kezdése, lletve befejezése kszámítható. Hátrányuk vszont, hogy általában csak vég-kezdet kapcsolatot lehet velük reprezentáln. Sok kellemetlenséget okozhat továbbá az ún. látszattevékenységek helytelen használata. Tpkus képvselőjük a CPM-, lletve a klasszkus PERT-hálók. [115, 202] A tevékenység-csomópontú hálók esetén általában többfajta kapcsolatot (kezd-kezd, vég-vég, kezd-vég stb.) s használhatunk. Előnyük továbbá, hogy nncs szükség 15

26 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak látszattevékenységek alkalmazására. Jellemzőjük, hogy eseményeket nem használnak. Tpkus képvselőjük az MPM/PDM. [78, 267] Alapfogalmak A legfontosabb gráfelmélet és hálótervezés alapfogalmakat tekntem át a következőkben. A hálótervezés alapfogalmak egy része az egyes hálókra specfkus Gráfelmélet alapfogalmak Gráf: G = (N,A) egy véges ponthalmaz (csúcsok), és egy véges pontpárhalmaz (élek) együttese. N ponthalmaz a csúcsok halmaza N={N 1, N 2,.., N n }. A pontpárhalmaz az élek halmaza A={A 1, A 2,.., A m }, ahol A k =(N,N j ). Irányított gráf esetén a pontpárok rendezettek, ekkor N az A k él kezdőpontja, N j pedg a végpontja. Irányítatlan gráf esetén a pontpárok nem rendezettek, vagys (N, N j ) = (N j, N ). [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Hurokél: Ha A j =(N, N )A, akkor azt mondjuk, hogy A j egy hurokél. Többszörös él: Ha m,n melyre (N,N j )=A m =A n =(N,N j ), és A m, A n A; N, N j N, akkor a gráfban N, és N j között többszörös él van. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] (Irányítatlan) út: Az élek olyan sorozata, melyben bármely két szomszédos élnek van közös pontja. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] A továbbakban hurok- és többszörösél-mentes rányított gráfokkal foglalkozom. (Irányított) út: Élek olyan sorozata, amelyben bármely él végpontja azonos a következő él kezdőpontjával (kvéve az utolsót). [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] (Irányított) egyszerű út: Olyan (rányított) út, ahol mnden él csak egyszer szerepel. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] (Irányított) kör: Olyan (rányított) út, amelyben az első él kezdőpontja azonos az utolsó él végpontjával. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] (Irányított) egyszerű kör: Olyan (rányított) kör, amelyben egy él csak egyszer szerepel. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Erdő: (Irányított) körmentes gráf. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Összefüggő gráf: Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely két pontja között létezk egy (rányítatlan) út. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] 16

27 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Erősen összefüggő gráf: Egy gráfot erősen összefüggőnek nevezünk, ha bármely két pontja között létezk egy (rányított) út. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Fa: Összefüggő, kört nem tartalmazó gráf. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Acklkus gráf: Kört nem tartalmazó gráf. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Súlyozott gráf: rányított vagy rányítatlan gráf akkor, ha mnden élhez egy vagy több számot rendelünk. [6, 13, 62, 65, 180, 200, 376] Háló: Olyan súlyozott körmentes, rányított gráf, amelynek egy kezdő és egy végpontja van. [25, 376] A továbbakban tárgyalt hálóknál a többszörös és hurokél nem megengedett, a súlyok dőadatokat reprezentálnak. Megjegyzés: a CPM-hálóknál az alább esetek mndg fennállnak: 1. A hálóban nem lehet rányított kör. 2. A hálóban csak egy forrás (kezdő esemény) és egy nyelő (záró esemény) van. Ha ez nem teljesül, akkor a háló felrajzolásakor logka hbát vétettünk. [203] A továbbakban a hálót adottnak tekntjük, valamnt smertnek tételezzük fel a tevékenységek dejét, erőforrásgényét Tevékenységdő- és eseménydő-adatok A TPT (Total Project Tme = teljes projekt átfutás deje) kszámításához el kell végeznünk a progresszív dőelemzést, amvel az egyes tevékenységek legkorább kezdés dőpontját (EST (,j) ) számítjuk k. Ebből meghatározhatjuk a legkorább befejezés dőpontot, ahol a legkorább befejezés dőpont (EFT (,j) ) = a legkorább kezdés dőpont (EST (,j) ) + a tevékenység dőtartama (d (,j) ). A teljes projektdő (TPT) tehát az a legrövdebb dőtartam, am alatt a projekt befejezhető, és ezt a tevékenységek sorrendje (vagy sorrendje) krtkus útként (vagy utakként) határozza (határozzák) meg. [200, 203] A krtkus út meghatározására a retrográd számítás elvégzése után kerülhet sor, így a tevékenység legkésőbb kezdés pontját (LST (,j) ), valamnt a hozzá tartozó legkésőbb befejezés dőpontot (LFT (,j) ) határozhatjuk meg a következőképpen: Legkésőbb kezdés dőpont (LFT (,j) ) = legkésőbb befejezés dőpont (LST (,j) ) tevékenység dőtartama (d (,j) ). 17

28 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Egy csomóponthoz (eseményhez) két dő tartozk. A progresszív elemzésből az esemény legkorább bekövetkezésének dőpontja (EET ), vagys az a legkorább dőpont, amelyre az eseményt realzáln lehet. Számítása: EET j max EFT, j. A retrográd elemzésből az esemény legkésőbb bekövetkezésének dőpontja (LET ), vagys az a legkésőbb dőpont, amelyre az eseményt realzáln kell LET mn LST, j. [200, 203] j ábra: esemény- és tevékenységdők Tartalékdők A szakrodalomban tevékenységek esetében általában négy tartalékdőt különböztetnek meg. Ezek az alábbak: [200, 203] Teljes tartalékdő (Total Float): az a teljes dőtartam, amvel egy tevékenység kterjedhet vagy késhet a teljes projektdőre (TPT) gyakorolt hatás nélkül. Számítása: TF (,j) :=LST (,j) - EST (,j) =LFT (,j) -EFT (,j). A gyakorlatban ezt a tartalékdőt alkalmazzák a leggyakrabban, hszen ez adja meg egy tevékenység maxmáls csúszásának mértékét, mellyel még nem változk meg a projekt átfutás deje. Fontos megjegyezn ezzel a típusú tartalékdővel kapcsolatban, hogy egy tevékenység teljes tartalékdején általában több azonos ágban lévő tevékenység osztozk. Szabad tartalékdő (Free Float): az a teljes mennység, amvel egy tevékenységdő megnőhet, vagy a tevékenység csúszhat anélkül, hogy hatással lenne bármely, soron következő tevékenység legkorább kezdetére. Számítása: FF (,j) := EET j -EFT (,j). Ennek a típusú tartalékdőnek kulcsszerepe van az erőforrástervezés során. A szabad tartalékdő mondja meg ugyans, hogy mennyvel csúszhat maxmálsan egy tevékenység úgy, hogy az őt követő tevékenységek még dőben el tudjanak nduln. A megvalósítás során a tevékenység ezen tartalékdejével szabadon gazdálkodhatunk, ezen más tevékenységgel nem osztozk, vagys az adott tevékenység csúszása, ha ksebb, mnt ez a szabad tartalékdő, akkor az más tevékenység kezdés dejére nncs hatással. A szabad tartalékdő e fontos tulajdonságát használják k a heursztkus erőforrástervezésben, hszen ezen tartalékdővel rendelkező tevékenységeket később dőpontra mozgatva egyrészt a több tevékenység kezdés deje nem módosul, másrészt sok esetben a szabad 18

29 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak tartalékdővel rendelkező tevékenységek később dőpontra történő mozgatásával meg lehet határozn egy erőforráskorlátos erőforrásallokácó megengedett megoldását. Általánosságban elmondható, hogy a szabad tartalékdő nem lehet negatív szám, és nem lehet nagyobb, mnt a teljes tartalékdő. Szabad tartalékdő csak a csomópontokban jöhet létre. Feltételes tartalékdő: a teljes és a szabad tartalékdő különbsége. Független tartalékdő (Independent Float): azt az dőmennységet adja meg, amennyvel az adott tevékenység eltolható, ha az őt közvetlenül megelőző tevékenység a lehető legkésőbb dőpontban fejeződk be, és a közvetlenül következő tevékenység a legkorább dőpontban kezdődk. Számítása: IF (,j) :=EET j -LET -d (,j). Ha IF>0, akkor belefér a tevékenység megvalósítása. Ha IF<0, akkor IF -el csúszhat az egész program megvalósítása. [25, 200, 203] Az MPM-háló Az MPM (Metra Potencáls Módszer, az angolszász országokban Precedence Dagrammng Method)-technka a franca Roy nevéhez kötődk. A kéz ábrázolású technka a tevékenységeket a gráf csomópontjaként ábrázolja, a gráf éle pedg a tevékenységek között logka kapcsolatokat szmbolzálják. [203, 265] Az MPM-háló a logka kapcsolatoknál kezel az ún. mnmáls és maxmáls kapcsolatokat, kezel a vég-kezdet, kezdet-vég kapcsolatok mnden kombnácóját. [203, 265] Az MPM-technkával megszakítható tevékenységek s tervezhetők. Kora kezdés Késő kezdés Tevékenység dőtartama Tevékenységnév / azonosító Teljes tartalékdő Kora befejezés Késő befejezés ábra: egy tevékenység az MPM-hálóban 19

30 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak d A d A d A A B A Befejezés-kezdés d B B Azonnal kezdés (szgorú vég-kezdet kapcsolat) =0 A d B B Átlapolás 0 A d B B Késleltetett kezdés 0 d A A d A A d A A A B Kezdés-kezdés B Egydejű kezdés (szgorú kezd-kezd kapcsolat) =0 d B d B B Átlapolás d A Késleltetett kezdés d B d B B d A A d A A d A A A B Befejezés-befejezés B Egydejű befejezés (szgorú vég-vég kapcsolat) =0 d B d B B Átlapolás d B d B B Késleltetett befejezés d B A B d A d A A A Kezdés-befejezés d B d B B B Egydejű kezdés =d B, egydejű befejezés =d A d A A d B B Átlapolás d A d B d A A d B B Késleltetett befejezés d B A B Kezdés-kezdés, befejezés-befejezés d A A d B B d A A d B B =0, =0 d A A d B B Átlapolás d A A Késleltetett kezdés d B B ábra: tevékenységek lehetséges kapcsolata az MPM-hálóban Bzonyos megszorításokkal a különböző tevékenységkapcsolatok egymásba s konvertálhatók. Irányelvek: A hálótervezés során a kértékelésnél egy mnmáls lletve egy maxmáls kapcsolatot használunk. A különböző kapcsolatok egymásba csak bzonyos megszorításokkal konvertálhatók (különösen fgyeln kell ezekre a megszorításokra költségtervezésnél), így ezeket a konverzókat célszerű jelezn. Példa: mnmáls kapcsolatok konvertálása kezd-kezd kapcsolatokká: Befejezés kezdés kapcsolat konverzója: =d A + Befejezés befejezés kapcsolat konverzója: =d A +-d B Kezdés befejezés kapcsolat konverzója: 20

31 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak = -d B Számos programcsomag tevékenység-csomópontú hálót kezel, ezért gyakran előfordulhat, hogy egy tevékenység-nyíl hálót át kell alakítan tevékenység-csomópontú hálóvá. [203, 265] A CPM =>MPM átalakítás menete: 1. Mnden tevékenységből (kvéve a látszattevékenységet), melyet a tevékenység-nyíl hálókban a nylakon szerepeltetünk, most csomópontokként reprezentáljuk. 2. A tevékenységeket a logka kapcsolatak szernt kapcsoljuk össze. 3. A tevékenységek legkorább, lletve legkésőbb kezdés lletve befejezés deje, a projekt átfutás deje, a tevékenységek tartalákdeje meg kell hogy egyezzenek a két hálóban. 4. MPM-ben az eseménydőket nem használjuk! Véletlen dőtartamú tevékenységek Főleg kutatás és fejlesztés programokban, lletve nagy rzkójú projektek esetén a tevékenységek tartama kevéssé smertek, és nem determnsztkusan meghatározottak. Ilyenkor két eset fordulhat elő: [55, 140, 200, 203, 281, 311] 1. a szóban forgó tevékenységek vagy nem teljesen smeretlenek és mndegykükre közelítőleg smerjük az dőtartamuk valószínűség-eloszlását (pl. par), 2. vagy pedg teljesen smeretlenek és/vagy nem smerjük mnden dőtartam valószínűségeloszlását (kutatás). Ha nem smerjük az dőtartamok eloszlását, akkor a projekt tervezésekor a számítások megkönnyítése érdekében sok esetben - a hálótervezésben használt - PERT-módszert használjuk, és feltesszük, hogy az dőtartamok ún. -eloszlást követnek. [98, 200, 203, , , 370] (Természetesen más módszerrel s lehet modellezn az dőtartamok bzonytalanságát. [14, 72, 231, , 256, 275, 369, 390] Mégs a projektmenedzsmentben sztochasztkus dőtartamok tervezésére a legtöbb esetben PERT-módszert alkalmaznak.) A -eloszlás sűrűségfüggvénye a normáls eloszláséra hasonlít, de mndkét rányban korlátos (egy-egy A, lletve B ponttól kezdve kfelé azonosan nulla). [129, 140, 203, 206, 267] 21

32 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Defnícó: A valószínűség változót és paraméterű béta-eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: f x x 1 0, 1 1 x, x 0,1, ( ) x 0,1 ahol és paraméter rögzített, és az ún. gamma függvény a következőképpen számítható: 1 u u e du, >0. ( ) 0 Az eloszlás momentuma: [3, 109, 129, 188, 203, 267, 275] M r r r, r>0. ( ) Ebből a várható érték és a varanca (szórásnégyzet): [109, 203] E D x 2 x A módusz: 1 2. ( ) 1 M. ( ) 2 A PERT-módszerben a gyakorlatban legtöbbször olyan -eloszlást választunk, amelyre a tevékenységek várható dőtartama, varancája (szórásnégyzete), lletve szórása az alább módon számítható: [263, 266] D 1, j t, j A, j km, j B, j E t 2 k t, j, j u, j t, j k 4 1 A, j 4M, j B, j k 41 2 B, j A, j 6 6 ( ) ahol A (,j), B (,j) és t (,j) valószínűség változó alsó, lletve felső korláta, M (,j) a legvalószínűbb értéke (módusza), E(t (,j) ) a várható értéke, D 2 (t (,j) ) pedg a varancája (szórásnégyzete). [129, 140, 188, 195, 200, 202, 203] A tevékenység dőtartamának becslésekor mnden egyes tevékenységről az azzal foglalkozó szakemberekhez a következő három kérdést ntézzük: [261] 1. Mennyre becsül (,j) tevékenység A (,j) mnmáls dőtartamát (optmsta becslés)? Legyen a,j a mnmáls dőtartam becsült értéke. 22

33 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Mennyre becsül (,j) tevékenység B (,j) maxmáls dőtartamát (pesszmsta becslés)? Legyen b (,j) a maxmáls dőtartam becsült értéke. 3. Véleménye szernt menny (,j) tevékenység M (,j) legvalószínűbb dőtartama (módusza)? Legyen a m (,j) legvalószínűbb dőtartam becsült értéke. [203] Mnthogy más smeretekkel nem rendelkezünk, azért feltesszük, hogy ezek az nformácók A (,j), B (,j), M (,j) torzítatlan becslését adják, amt a következőképpen jelölünk: j j j j j j M m B b A a,,,,,, ˆ, ˆ, ˆ ( ) Ekkor felírható a várható értékre: j j j j j j j b m a B M A t,,,,,,, ˆ ˆ 4 ˆ 6 1 ˆ ( ) A szórásnégyzetre már nem írható fel hasonló összefüggés, de közelítésként elfogadjuk az alább összefüggéseket: 2,, 2,, 2, 6 6 ˆ ˆ j j j j j a b A B ( ) A B M t p -eloszlás 1 f(t) ábra: a -eloszlás sűrűségfüggvénye Ekkor felhasználjuk a független valószínűség változók várható értékere, lletve varancára vonatkozó addtvtás összefüggéseket, hszen elegendően sok független valószínűség változó esetén az összeg közelítőleg normáls eloszlásúnak mondható. [140, 195, 200, 202, 203] n n t E t E 1 1 ( ) Tehát a projekt várható átfutás deje meg fog egyezn a krtkus úton lévő tevékenységek várható dőtartamanak összegével. [23, 192, 195, 200, 202, 203] A projekt átfutás dejének szórásának meghatározására több módszer s létezk. Az egyk lyen az ún.

34 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak PCI/ACI-értékek kszámítása, mely érték megmondja, hogy egy tevékenység mkor lehet krtkus úton. [108, 131] Ha egy tevékenység krtkussá válhat, akkor azt valamlyen módon fgyelembe kell venn az átfutás dő bzonytalanságának kszámításánál s. Az alkalmazott módszerek többségében ebben térnek el egymástól. Talán a legegyszerűbb módszer, amkor csak a krtkus úton lévő tevékenységek szórásnégyzetenek összegét választjuk az átfutás dő szórásnégyzetének. Ez tulajdonképpen egy alsó becslése az átfutás dő varancájának, hszen egyáltalán nem vesz fgyelembe, hogy bzonyos valószínűséggel az alternatív utakon lévő tevékenységek s válhatnak krtkussá és ekkor e tevékenységek dőtartamanak szórását nem lehet elhanyagoln. Tehát ezt a módszert csak bzonyos fenntartásokkal lehet alkalmazn. [115] A másk gen egyszerű módszer azt az esetet teknt, hogy adott valószínűséggel bármelyk tevékenység válhat krtkus tevékenységgé, így a leghelyesebb, ha valamenny tevékenységet számításba vesszük. [191] Nylvánvaló, hogy ebben az esetben egy felső becslést kapunk. Az arany középút megtalálása gen komoly matematka feladat. Ennek megfelelően a problémára számos különféle megoldás született a heursztkus megoldásoktól Monte Carlo analízsen át az egzakt megoldásokg. [36, 46-49, 56, 68, , , , 133, 142, 143, 150, 151, 162, 163, 191, 201, 209, 230, , , , 300, , 342, , 353, , 371, 375, 381, 385, 387] PERT-háló felrajzolása, dőtartamok, és azok szórásanak kszámítása A PERT-háló felrajzolásakor, a tevékenységek dőtartamanak kszámításához az alább teendőket kell elvégeznünk: [349] 1. Logka háló elkészítése. 2. A (,j), B (,j),m (,j), t (,j), (,j) meghatározása. 3. Megfelelő hálós modell kválasztása (tevékenység-nyíl, tevékenység-csomópontú). (A PERT-módszert mndkét hálótervezés eljárásnál lehet alkalmazn) 4. Az előző fejezetekben tárgyalt módszerekkel (lásd: CPM, MPM) a krtkus út kszámítása. 5. A megvalósítás dő szórásának kszámítása. 6. Alternatív úton lévő tevékenységek, lletve a tartalékdők szórásanak kszámítása A PERT-háló aktualzálása 24

35 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Annak ellenére, hogy a PERT-módszer segítségével a projekt átfutás dejének bzonytalanságát közelítőleg becsüln tudjuk, nem várt események matt amelyek jelentősen befolyásolhatják a projekt átfutását szükség lehet a PERT-háló aktualzálására. A háló aktualzálásakor a következőképpen járunk el: [349, 357] 1. A már lefutott tevékenységek tényleges dőadatat írjuk be a hálóba a várható értékük helyett. Ekkor ezen tevékenységek szórása nulla. (Ha semmlyen változás sem történk a becsült dőhöz képest, akkor s az átfutás dőre egy pontosabb értéket kapunk, hszen az átfutás dő varancája csökken). 2. A még le nem futott tevékenységek dőtartamat módosít(hat)juk aszernt, hogy a lefutott tevékenységek mennyre térnek el a becsülttől. 3. A változtatott adatokkal a hálót (vagy a részhálót) újra számítjuk Költségoptmalzálás A pénzügy költségvetés meghatározása a következő: Pénzügy és/vagy mennység kmutatás, amely egy meghatározott dőszak előtt készül, az dőszak alatt követendő poltka szernt, azzal a céllal, hogy egy adott célktűzést elérjen. Ez a hálóterv jellemzője s sőt, bármely átfogó projekttervé, és gyakran sokat segíthet, ha a hálót dő-költségvetésként fogjuk fel, azaz meghatározzuk, hogy adott dőszakokra mlyen költségek merülnek fel. A gazdaság szakemberek és a könyvelők sok smeretet szereztek a pénzügy költségvetések összeállításában és alkalmazásában. A hálótervek felvázolásakor és alkalmazásakor hasznos lehet fgyelembe venn ezt a tapasztalatot. [202] A hálók herarchája olyan, mnt a költségvetések herarchája: lehetővé tesz a problémák felesleges részletek nélkül beazonosítását, és a felelősséget a cég szerkezetének megfelelő pontjára képesek helyezn. [202, 309] Nem lehet eléggé hangsúlyozn, hogy az dőtartamok, erőforrások és költségek értékelése a tervezés nagy fontosságú aspektusa. A hálótervből levont következtetések nem lehetnek jobbak, mnt a kalkulácókban használt nformácók; következésképpen fontos, hogy a tevékenységek végrehajtásáért felelős menedzserek feltétlenül vegyenek részt az 25

36 Költség (eft) 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak értékelésben. Ha nem konzultálnak velük, akkor esetleg fgyelmen kívül hagyják a tervet, mert teljesen rreálsnak tartják, s ez katasztrofáls következményekkel járhat a projekt számára. [202] Az dő- és erőforrásadatok elengedhetetlenek az ütemezéshez és az erőforrásallokácóhoz. Ezenkívül közöttük alakul k a tevékenységek költségalapja, am azután a projekt költségtervét képez. Sok különösen a feldolgozó parágakon belül szervezet számára bonyolult a projekt erőforráskontrollja, mvel a projekthez felhasználható erőforráskapactások előzetesen gyakorlatlag smeretlenek, így a projektköltségterv a projektkontroll legfőbb módja. [182, 202] A költségoptmalzálás során vagy a mnmáls összköltséggel rendelkező termelés programot, vagy a mnmáls átfutás dejű, lehető legksebb változó költséggel járó termelés programot keressük úgy, hogy fgyelembe vesszük, hogy egy átlagos projekt, lletve termelés program esetén a költség-dő függvények általában a következőképpen alakulnak: Költségek alakulása az dő függvényében Összes fx költség (eft) Összes költség (eft) Változó költségek (eft) Költségek alakulása az dő függvényében A változóköltség-dő függvény általában monoton csökkenő a mnmáls és a projekt normál átfutás deje alatt, hasonlóan gaz ez az egyes tevékenységekre s. A normál átfutás, lletve a tevékenységeknél a normál dőtartam után a függvény általában monoton nő. A fxköltség-dő függvény általában monoton nő a teljes projekt átfutás dejére nézve. Valamenny költség-dő függvény általában konvex. [8, 96, , 128, 135, 198, 239, 259, 389] 26 dő

37 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Determnsztkus költségoptmálás tevékenység-nyíl típusú hálók esetén A determnsztkus költségoptmálás mnd tevékenység-csomópontú, mnd pedg tevékenység-nyíl típusú hálók esetén használható. (A továbbakban a determnsztkus tevékenység-nyíl hálók költségoptmálását CPM/COST-módszereknek nevezem, noha az alkalmazott módszerek eredményenek kszámítás módjában eltérhetnek.) A CPM/COSTmódszerek elsősorban projektmenedzsmentben alkalmazott hálótervezés és költségtervezés technkák. Az algortmusok során először egy CPM-hálót kell felrajzoln, majd a krtkus úton lévő mnmáls költségnövekedéssel járó tevékenységek dőtartamat csökkentjük. A módszerekre jellemző, hogy algortmkus, mohó (greedy) eljárások, tehát egyben költség- és dőoptmáls megoldásokat találnak, valamnt ha adott egy költségkorlát, amelyet nem léphet túl, akkor meghatározható a költségkorlátot nem túllépő költség- és dőoptmáls megoldás. [29, 96, 126, 129, 137, 156, 239, 259, , 389] Determnsztkus költségcsökkentésre esettanulmány található Dr. Papp Ottó: Projektmenedzsment a gyakorlatban című könyvének 13. fejezetében: Számítógépes nformácós rendszer képítése és a rendszerfejlesztés projekt átfutás dejének csökkentését célzó döntések megalapozása a hálós pojekttervezés technkák felhasználásával; egy nnovácós (fejlesztés) projekt esetén. című esettanulmányban. [310] Determnsztkus költségoptmálás tevékenység-csomópontú hálók esetén Ezek a módszerek (továbbakban MPM/COST-módszerek) s hasonlóan a CPM/COSTmódszerekhez a krtkus ut(ak)on lévő tevékenységek közül azok dőtartamat csökkent, amelyek (egységny) költségnövekedés tényezője a legksebb, és a csökkentés révén az átfutás dő s csökken. [8, 9, 356, 382] Determnsztkus költségoptmálás tovább módszerek A CPM/COST-, MPM/COST-módszert elsősorban lneárs költségfüggvények esetén lehet alkalmazn, bár létezk konvex függvényekre kalakított változatuk s. Determnsztkus tevékenység-nyíl hálók költségmnmalzálására számos módszer született. Ezen módszerek elsősorban a futás sebességben térnek el egymástól. [83, 88-90, 94, 96, 100, 112, , 27

38 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 129, 167, 197, 200, 274, 315, ] Kamburowsk költségmnmalzáló algortmusával pl. lneárs, lletve közel lneárs futás dőt s el lehet érn. [194] Bzonytalanság kezelése hálótervezés technkák segítségével különböző logsztka feladatok esetén Gyakran előfordul, hogy egy logsztka feladat során nemcsak arra vagyunk kíváncsak, hogy az adott feladat várhatóan mkor hajtható végre, mlyen költséggel jár, hanem arra s, hogy egy termelés során ezt az előírt dőt, költséget mlyen valószínűséggel fogjuk tudn ténylegesen betartan. [224] Sztochasztkus folyamatok jellemzése staconer folyamatok: A sztochasztkus folyamatok egyk legfontosabb alosztályát a staconárus folyamatok képezk. A staconartás a statsztka jellemzők dőfüggetlenségével (dőbel eltolásra való nvarancájával) van kapcsolatban. Pl. ha valak egy adott dőpllanatban smer a folyamat egydmenzós projekcójának az eloszlását, akkor vajon mlyen hosszú deg marad "érvényes" ez az smeret? Időben ugyanaz marad-e, vagy megváltozk a folyamat vselkedését meghatározó "véletlen sorsolás mechanzmus"? Egy staconer folyamatnál érvényes, hogy amt statsztkalag smerünk a folyamatról egy adott dőpllanatban, az gaz lesz bármlyen jövőbel dőpllanatban. (Pl. egy kockadobás eredménye mndg egyenletes eloszlást követ, függetlenül attól, hogy vasárnap 5 órakor vagy szerdán 10 órakor végezzük el a kísérletet, feltehető továbbá, hogy a tevékenységek lefutás deje s mnden esetben -eolszlást követ, melyet a későbbekben tárgyalunk.) [48, 72, 92] A staconartás fogalma attól s függ, hogy a folyamatot mlyen mélységg jellemző statsztka jellemzőre teljesül az dőbel eltolással szemben nvaranca. Ebben két szntet különböztetünk meg: - gyenge staconartás, amkor csak a várható érték és a korrelácós függvény dőeltolással szemben nvarancája teljesül; - erős staconartás, amkor az összes véges dmenzós projekcó valószínűségeloszlásfüggvénye nvaráns az dőbel eltolásra. 28

39 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Az erősen staconárs folyamatokon belül fontos alosztályt képeznek az ergodkus folyamatok. Egy folyamat statsztkájának a felderítéshez valak megfgyeléseket végezhet az dő folyamán (különböző dőpllanatokban mntavételezvén a folyamatot), majd ezen mnták alapján dőbel átlagokkal próbálja közelíten a folyamat statsztka jellemzőt. Pl. az egydmenzós projekcó alapján a várható értékét úgy próbálja megállapítan, hogy a folyamat tíz különböző dőpllanatban megfgyelt értékét átlagolja. Ez az eljárás a következő fundamentáls kérdést vet fel: mennyre megbízhatók az dőátlagolással kapott becslése a folyamat valód statsztkájának? A kérdés hasonló ahhoz a kísérlethez, amkor valak egyszerre dob fel tízezer kétforntost, vagy dőben egymásután tízezerszer dob fel egy darab kétforntost azért, hogy emprkusan határozza meg a fej vagy írás valószínűség változó várható értékét (vagy bármlyen más statsztka jellemzőjét, pl. eloszlását). Van-e bármlyen különbség a két kísérlet között? (Azt leszámítva, hogy az első kísérlethez jóval nagyobb "tőkeberuházás" kell, mnt a másodkhoz.) A választ az ergodctás fogalma adja meg. Egy sztochasztkus folyamat ergodkus, ha sznte bármlyen g függvényre (pontosabban bármlyen g Borel-mérhető függvényre) az dőbel és statsztka átlagok azonosak, azaz: 1 lm gxt dt Eg t. ( ) T T A tevékenységek lefutás dejének tovább statsztka vzsgálatának szempontjából a g függvénynek két konkrét választása érdekes. Mkor g az denttásfüggvény, az maga után vonja, hogy 1 lm xt dt E t. ( ) T T Mkor g a négyzetes függvény, az maga után vonja, hogy 1 lm T T x 2 2 t dt E t. ( ) Ez annyt jelent, hogy a folyamat első- és másodrendű statsztkája dőben egymásután megfgyelésekből és átlagolásokkal rekonstruálható. [72, 92] 29

40 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Ezeket a tulajdonságokat feltesszük a tevékenységek lefutásanak, költségenek, erőforrásszükségletenek becslésekor. (Lásd fejezet) (Tehát a továbbakban a vzsgált valószínűség változókról feltesszük, hogy ergodkus folyamatok.) Bzonytalanság A méréstechnkában az ISO GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENT 1993 as ajánlásában 3 bzonytalanság fogalmat különböztet meg. Ezek a következők: [397] Standard bzonytalanság (standard uncertanty) Összetett bzonytalanság (combned standard uncertanty) Kterjesztett bzonytalanság (expanded uncertanty) Standard bzonytalanság A standard bzonytalanság meghatározásához először fel kell állítanunk egy modellfüggvényt. Y=f(X 1,X 2,..,X N ) ( ) Y a modellfüggvényünk kmenete, X 1,X 2,..,X N a függvényünk paramétere. Legyen y Y 1 becslése (általában teknthető y Y mért értékek átlagának: y N átlagának) [397] N 1 Y Y ). (Vagy súlyozott A várható érték standard bzonytalanságát úgy számíthatjuk, hogy a várható értéktől való átlagos négyzetes eltérések összegét osztjuk a szabadságfokkal, és ebből négyzetgyököt vonunk. Képlettel: u 2 x s x 1 N 1 N x, j E X 2 ˆ j1 2, ahol =1,2,..,M. ( ) A képletben u az ún. standard bzonytalanság. M db paramétert (tt az utak költségét) kell becsülnünk. x,j. paraméter j. becslése (pl. egy adott út költsége). Ha az adott paraméter közvetlenül megfgyelhető (tt a költség közvetlenül megmérhető), akkor x,j =X,j, vagys. paraméter j. becslése megegyezk. paraméter j. mérésével. Ê X az. paraméter várható értékének becslése. A várható érték becslésére választhatunk egyszerű átlagot, mozgó átlagot, exponencáls llesztést stb. Az egyszerű átlag sokszor azért nem jó becslés módszer, mert valamenny mérést ugyananny súllyal vesz fgyelembe, ezzel a módszerrel pl. nagyon nehéz 30

41 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 31 a költségnövekedéseket (pl. nflácó) megfelelően fgyelembe venn. Ezért célszerűbb egyéb más módszerrel becsüln a várható értéket, amely a régebb méréseket csökkentett súllyal vesz fgyelembe. A standard bzonytalanságunk akkor lesz mnmáls, ha a várható érték becslésére az egyszerű átlagot választottuk. Ez egyrészt az egyszerű átlag becslés tulajdonságaból adódk, másrészt a standard bzonytalanság a várható értéktől történő eltérést ugyanolyan súllyal kezel. Ezért ha fgyelembe akarjuk venn a súlyokat s, akkor a bzonytalanság kszámításánál a tapasztalat szórás helyett súlyozott tapasztalat szórást alkalmazhatunk. [397] N j j j w w X E x w N x s x u 1 2, 2 2 ˆ 1 1, ahol =1,2,..,M. ( ) Ekkor a standard bzonytalanság helyett súlyozott standard bzonytalanságot (u w ) számítunk. Ha a bzonytalanságokat össze akarjuk hasonlítan, akkor a relatív standard bzonytalanságokat kell meghatározn (u, u w ). Ezeket úgy számíthatjuk k, hogy az adott (súlyozott) standard bzonytalanságot elosztjuk a várható érték becslésével. [397] Összetett bzonytalanság Az összetett bzonytalanság a következőképpen számítható k általános esetben: , 2, M M j j j M M M j j j c x x u x f x f x u x f x x u x f x f y u, ( ) ahol u c (y) az ún. összetett standard bzonytalanság, u(x,x j ) x és x j paraméter között kovaranca. A képlet korrelácókkal s felírható, amely a következőképpen módosul: [397] , 2 N N j j j j N c x x r x u x u x f x f x u x f y u, ( ) ahol -1 r(x,x j ) 1 x és x j paraméter között korrelácó. Az összetett bzonytalanság kszámításánál nem feledkezhetünk meg a korrelácóról, mely megmutatja a különböző paraméterek között kapcsolatok erősségét. [3, 397] Kterjesztett bzonytalanság A (súlyozott) kterjesztett bzonytalanságot a következőképpen írhatjuk fel: y ku y U c ( )

42 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak U y y ku ( ) w c, w Itt U az ún. kterjesztett bzonytalanság, U w pedg a súlyozott kterjesztett bzonytalanság. k az ún. átfedés tényező (coverage factor). Ez az érték egy eloszlásfüggő paraméter (pl. tt =N-1=9 szabadságfokú egyoldalú t-eloszlás esetén k=2,26). A központ határeloszlás tétele matt N esetén t-eloszlás helyett használhatunk normáls eloszlást s. A mntaelemek számának növelésével (legalább 50, 100) ezt a közelítést megtehetjük, anélkül hogy számottevő hbát elkövetnénk. [397] Az ISO által bevezetett ajánlott mérés kértékelés módszereket már számos területen különböző méréseknél széles körben alkalmazzák. Ez a módszer azonban alkalmazható különböző logsztka problémák megoldására, tervezésre, előrejelzésre s. [397] Erőforrás-tervezés A számítástechnka fejlődésével lehetőség nyílt olyan problémák megoldására s, amelyek megoldása korábban elképzelhetetlennek tűnt. Ilyen probléma volt az erőforrás-elosztás kérdése s. A gyakorlatban az erőforrás-elosztás problémája sok helyen előkerül. [362, , 392] Hatékony erőforrás-elosztásra van szükség például egy hálózat operácós rendszer, vagy egy telekommunkácós rendszer megvalósítása során. Itt például erőforrás lehet a felhasznált memóra, különböző háttértárolók stb. Mvel ezeknek az eszközöknek különböző az elérés sebességük, a feladatok helyes ütemezése kulcskérdés lehet a gyors feldolgozás szempontjából. Ilyen jellegű problémákra elsősorban heursztkus algortmusok készültek melyek ezt a fajta erőforrás-tervezés problémát vszonylag gyorsan gen nagy hatékonysággal oldják meg. [16, 17] A projektmenedzsmentben fellelhető erőforrás-tervezés problémák általában azonban más jellegűek. A feladat megoldására készültek heursztkus, evolúcós-szmulácós és egzakt algortmkus eljárások s. A menedzsment területén kétfajta erőforrás-tervezéssel, erőforrásallokácóval foglalkozunk attól függően, hogy mt tekntünk erősebb korlátnak. [39, 343, 373] Időkorlátos erőforrás-allokácónak nevezzük azt az erőforrás-tervezést, amkor az erőforrásankat úgy kell csoportosítan, hogy az adott projektet vagy beruházást egy adott dőkorlát alatt végre lehessen hajtan. Itt tehát a korlátot elsődlegesen az dőkeret adja, a cél pedg: mnél kevesebb vagy mnél egyenletesebb erőforrás-felhasználás. [39, 98, 110, 111, 202] 32

43 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Olyan projektek esetén célszerű ezt a módszert használn, ahol lehetőség van pótlólagos erőforrások bevonására, de a projekt csúszása nem megengedhető (pl. reaktorcsere). [98, 202, 297] Ezzel szemben az erőforrás-korlátos erőforrás-allokácónál a korlátot a meglévő erőforrásank szolgáltatják. Ezt az erőforrás-korlátot tehát nem léphetjük túl, a célunk pedg: a program végrehajtása a lehető legrövdebb dő alatt. [31, 33, 39-44, 133, 202, 243, 244, 287, 297, ] Ebben az esetben tehát az erőforrásank jelentk a szűk keresztmetszetet. Természetesen tt s az a célunk, hogy a projektet mnél hamarabb be tudjuk fejezn, de a meglévő erőforrásankból kell gazdálkodn. Pótlólagos erőforrások génybevételére általában nncs mód. A legtöbb projekt esetén ezt a módszert alkalmazzák, hszen a projekt vezetője pontos képet kap, hogy a rendelkezésére álló erőforrásokból adott dőpontra meg lehet-e valósítan a projektet vagy sem. Ha nem, akkor még mndg elgondolkodhat azon, hogy pótlólagos erőforrásokat vesz-e génybe, lletve kadja-e a részmunkákat alvállalkozóknak. [39, 69, 79-81, 85-87, 97-99, 110, 111, 118, 246, 250, 273, 297, ] Bármelyk erőforrás-allokácós módszert alkalmazzuk s, legtöbb esetben a beruházó cégek megelégszenek egy ún. megengedett megoldás megtalálásával, vagys egy olyan ütemtervvel, ahol a megvalósítás során a rendelkezésre álló erőforrásankat vagy dőkeretünket nem lépjük túl. Egy lyen megengedett megoldás néhány tevékenység esetén kézzel, több tevékenység esetén számítástechnka szoftverekkel (pl. Mcrosoft Project, CA- SuperProject, Prmavera stb.) vszonylag könnyen megtalálható. Egy lyen ún. megengedett erőforrás-allokácó esetén sokszor számos probléma merülhet fel. [111, 202, ] Több mnt 200 tevékenységet tartalmazó projektek esetén fontos lehet például, hogy az erőforrásankat vszonylag egyenletesen használjuk fel, vagy a tevékenységeket a lehető legkorábban végrehajtsuk stb. Ezeket a kívánalmakat célként (célfüggvényként) fogalmazhatjuk meg. Egy erőforrás-allokácós probléma (adott célfüggvényre nézve) optmáls megoldása egy olyan megengedett ütemterv lenne, amely az adott célt legjobban kelégít (vagy másképpen a célfüggvény értéke ebben az esetben mnmáls/maxmáls). [202, , 296, 328] 1.4 Algortmusok csoportosítása Általában egy probléma megoldására használt módszereket három csoportba oszthatjuk. [6, 20, 101, 144, 187, 242, 251, 306, 336, 344, 376] 33

44 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Heursztkus módszerek Evolúcós módszerek Algortmkus módszerek A heursztkus módszerekre jellemző, hogy hamar adnak gyors megoldást, melyek vszonylag jól használhatók, de legtöbbször nem garantálják az optmáls megoldás megtalálását. Az lyen algortmusok valamlyen jól bevált tapasztalat módszereket követnek, melyek néha egymásnak s ellentmondanak. A heursztkus módszerek gen közkedveltek. Ennek egyk oka, hogy vszonylag kevés számítás dőt gényelnek, másk nagy előnye, hogy a fejlett heursztkus módszerek (pl. genetkus algortmusok) vszonylag gyorsan optmumközel megoldást szolgáltatnak. [10-12, 24, 27, 32, 37, 41, 204, 211, 212, 216, 254, 290, , 313, 338, 341, 374, ] Legújabb kutatások a mesterséges ntellgenca eszköztárát s khasználják. Ennek köszönhetően az algortmusok képesek tanuln. Korább megoldáskereséseket elemezve a következőkben esetleg gyorsabban találnak egy elfogadható megengedett megoldást. Másk fontos kutatás terület az ún. genetkus algortmusok alkalmazása. Ezt a módszert az evolúcós módszereknél s előszeretettel alkalmazzák. A módszer lényege, hogy a különböző egyedek melyek pl. maxmalzálás/mnmalzálás feladatban egy adott pontban helyezkednek el, és a maxmalzálandó, vagy mnmalzálandó függvény abban az adott pontban lévő értékével rendelkeznek egymással rekombnálódhatnak és új egyedeket hozhatnak létre. Kutatás eredmények azt mutatják, hogy ezekkel a módszerekkel vszonylag gyorsan lehet megengedett megoldást találn a legtöbb optmalzácós feladatra. [ , 301, 321, 323] Sajnos azonban, ha az optmaltás számunkra fontos, akkor ezek a módszerek kevésbé használhatók, hszen optmáls megoldás megtalálását egyk módszer sem garantálja. Az algortmkus módszerek ezzel szemben garantálják az optmáls megoldást, ennek ára vszont az, hogy általában jóval lassabbak a heursztkus módszereknél. Vszonylag gyors (polnomáls) lefutás dejű problémák esetén sznte kzárólag algortmkus módszereket alkalmaznak, hszen ebben az esetben a probléma számítás génye még kezelhető, és valóban optmáls megoldást el tudunk érn véges (és még belátható) dőn belül. Heursztkus, vagy algortmkus módszerek alkalmazásának kérdése kombnatorkus feladatok esetén vethető fel elsősorban. [242, 306] Itt a feladatok számítás génye gen nehéz. NP-teljes vagy NP-nehéz 34

45 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak feladatok megoldása sok esetben egyszerű algortmkus eljárásokkal sznte reménytelen. [144, 181, 306] A feladatmegoldás gyorsítására általában két rányba lehet elnduln. Az egyk módszer az ún. korlátozás és szétválasztás (angolul: Branch and Bound), ahol a kértékelés során olyan allokácókat, melyek nem vezetnek optmáls megoldásra, kejtjük a döntés fából. Ezeket a részproblémákat tovább nem értékeljük k. Ezáltal jelentősen csökkenthetjük a probléma nagyságát. [61, 169, 170, 242, 298, 306] A másk gyakran alkalmazott módszer a dnamkus programozás, melyben szntén felbontjuk a problémákat tovább részproblémákra. Ezeket akár egydejűleg s kértékelhetjük. [26, 101, 118, 335] Több számítógépen egydejűleg futtatva egy lyen problémát akár töredékére csökkenthetjük a szükséges számítás dőt. Az evolúcós módszerek a kettő közt átmenetet képvselk. Egy heursztkus módszer által megadott megengedett megoldásból ndulnak, amelyet fokozatosan javítanak. Hátrányuk ugyanaz, mnt a heursztkus megoldásoknak, vagys nem garantált az optmáls megoldás megtalálása véges lépésben. Ide tartoznak például a különböző szmulácós módszerek, melyek mnden lépésben egyre jobb megoldást szolgáltatnak. [34, 57, 76, 242] 1.5 Ütemezés, erőforrás-allokácó A hálótervezés egyk legfontosabb feladata, hogy a ma gazdaság életben az egyes folyamatokat leírjuk, tevékenységeket megadott sorrendben és adott dőtartammal szemléltessük, valamnt az így kapott gráfból matematka segédletekkel, algortmusokkal a legmegfelelőbb sorrendet állítsuk fel a folyamatok közt, fgyelembe véve a tervezés során a technológa, gazdaság összefüggéseket. [38, 119, 202, 212] Egy projekt tervezésekor adottak bzonyos tevékenységek (pl. egy építés esetén alap ásása, betonozás, a tetőszerkezet kalakítása stb.) A tevékenységekhez rendelhetők erőforrások, amelyek megmutatják, hogy az adott tevékenység elvégzéséhez menny erőforrásra van szükség (pl. hány emberre, berendezésre stb.). [28, 161, 162, 202] A tevékenységek egymásutánságát (rákövetkezés relácót) sokféle módon ábrázolhatjuk. Talán a legsmertebb módszer a CPM-háló vagy MPM-háló alkalmazása. Az dőegység lehet bármlyen (nap, hét, hónap stb.). A tervezéskor mndg azt az dőtartamot rendeljük a szóban forgó tevékenységhez, amely alatt a tevékenység normáls körülmények között elvégezhető. Ezen tevékenységekhez (pl. CPM-háló esetén) nylakat 35

46 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak rendelünk, ezzel jelöljük őket a hálóban. Ennek az dőtervezésnek a célja, hogy az egész hálóterv átfutás dejét meghatározzuk. [4, 25, 202] A logka háló tervezése után a kezdő és befejező esemény között az egyes tevékenységeket jelölő nylak mentén haladva több utat találhatunk. Az egyes utak az dőtervezés szempontjából akkor nyernek értelmet, ha hozzájuk a végrehajtáshoz szükséges dőtartamot rendeljük. A hálóban a kezdő és befejező esemény között több út s létezhet, és ezek különböző összdőt gényelnek. Ezek közül kell kválasztanunk azt az utat, mely a leghosszabb dejű, és ezt nevezzük krtkus útnak. Ez azért krtkus, mert ha ezeknek a tevékenységeknek melyek ezen az úton találhatóak a kezdése csúszk, akkor az egész program deje elcsúszhat, mely egy nagy projekt esetében hatalmas veszteséget jelenthet. [4, 25, 122, 202, 307] A módszer során különféle dőmutatókat használhatunk fel az elemzésre, mnt például legkorább kezdés dőpont, legkorább befejezés, legkésőbb kezdés és befejezés stb. Ezek segítségével a tartalékdők kfejezhetők, melyek a feltételektől függően különbözőek. (Lásd fejezet) [4, 25, 202, 307] A CPM- és az MPM-hálótervezés és ezek elemzése messzebb mutat, mnt azt elsőre felsmerjük. Ezen eljárással költségoptmalzálást s végezhetünk, mert az élet legtöbb területén a tevékenységek bzonyos költséggel hajthatók végre, vszont a végrehajtás dő rövdíthető s megfelelő költségnövekmény ellenében. [8, 9, 18, 25, 137, , 239, 352] Erre a problémára a Kelley-Fulkerson-féle algortmus meghatározza az egész háló közvetlen költséget. [139, ] A költségek mnmalzálása mellett az erőforrások hatékony felhasználása s cél a projekt megvalósítása során. Az erőforrások hatékony felhasználásának vzsgálatát végezhetjük az ütemezéssel együtt vagy az ütemezés után. Mndegyk módszernek megvan a maga előnye és hátránya. Fontos megjegyezn, hogy míg az ütemezés, lletve konvex költségfüggvények esetén a költségmnmalzálás polnomáls dőben megoldható (vszonylag kevés számítás dőt génylő) feladat [51, 88, 94, 120], addg az erőforások optmáls allokálása (kombnatorkus) NP-nehéz feladat. [7, 81, 144, 181, 242, 276, 306] Legújabb kutatások nyomán erőforrás-allokácóra a mesterséges ntellgencában használt heursztkus algortmusokat, lletve genetkus algortmusokat s alkalmaznak. Ezek a módszerek képesek a korább allokálásokból tanuln. Többször alkalmazás során hasonló erőforrás-allokácókra egyre jobb eredményt kapunk.[10, 164, , 301] 36

47 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak elvégeznünk. A legtöbb erőforrás-allokácó alkalmazása esetén először a következő lépéseket kell Erőforrásallokácós módszerek lépése Start Tevékenységek, rákövetkezés relácók meghatározása Logka háló felrajzolása Tevékenységek dőadatanak meghatározása Ütemezés (pl. CPM, MPM, PERT) Tevékenységek erőforrásgényenek, lletve az erőforráskorlát meghatározása Megengedett/ optmáls megoldás keresése Megoldás kíratása Stop ábra: erőforrás-allokácós módszerek lépése A logka tervezés során olyan hálótervet készítünk, amely a technológa szempontból megengedhető maxmáls párhuzamosítás lehetőségeket tüntet fel. Így a logka tervezés eredménye egy maxmálsan tömörített háló lesz. Amennyben meghatároztuk / megbecsültük a tevékenységek (várható) dőtartamát, akkor valamely ütemezés algortmussal kszámítjuk a tevékenységek legkorább, lletve legkésőbb kezdését, lletve befejezését. Ha tovább nformácónk vannak, pl. meg tudjuk határozn vagy becsüln a tevékenységek (várható) erőforrásszükségletet, lletve a rendelkezésre álló erőforrásankat, akkor egy erőforrásallokácós módszerrel lehetőségünk van olyan ütemtervet készíten, melynél az erőforrásankat megfelelően használjuk fel. [4, 73-75, 157, 158, , , 312] Léteznek olyan módszerek s, melyek az ütemezés során s fgyelembe veszk a 37

48 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak tevékenységek erőforrásgényét, és a tevékenységek legkorább, lletve legkésőbb kezdését, lletve befejezését ennek függvényében módosítják. [7, 28, 42, 118, 264, 340] Az egyes tevékenységekhez felvett erőforrásgényt egy vonalas ütemterven szemléltethetjük, majd ezután felrajzolhatjuk a terhelés dagramot. Ennek tervezés szabálya (erőforráskorlátos erőforrás-allokácó esetén) a következő: Az erőforrásgényt négyszöggel jelöljük. Először mndg a krtkus út tevékenységenek erőforrásgényét rajzoljuk be, mutatva ezzel azt, hogy ezen tevékenységeknek tt kell maradnuk ahhoz, hogy a krtkus dőpont ne csússzon. Így kapunk egy olyan ún. terhelés dagramot, melyen feltüntetjük az egyes tevékenységeket a megfelelő erőforrásgényükkel. Célunk kettős: egyrészt az egész programot továbbra s a legrövdebb dő alatt fejezzük be, de úgy, hogy egy meghatározott erőforráskorlátot ne lépjünk túl. [113, 341] A knduló állapotban mnden tevékenységet a lehető legkorább dőre ütemeztük be. Ezt az dőpontot meg lehet határozn egyrészt az ütemezésnél (ebben az esetben vszont a legtöbb esetben túllépjük az erőforráskorlátot), [ ] másrészt alsó korlátot lehet keresn, mely fgyelembe vesz az erőforrásgényeket, lletve az erőforráskorlátokat s (ez a megoldás általában szntén nem lesz megengedett, de jobb becslését kapjuk a tevékenységek lehető legkorább kezdésének). [43, , 210, 280, , , , 396] Bármelyk módszert használjuk s, az erőforráskorlátot túlléphetjük. Ezért például egy úgynevezett smító eljárást alkalmazhatunk a kapott terhelés dagramon, mely segítségével egy megengedett megoldást kapunk, mely azt a feltételt teljesít, hogy a munkafolyamatunk dőtartama alatt nem fogjuk túllépn az adott erőforráskorlátot, valamnt nem sértjük meg a rákövetkezés relácókat, melyek megadják, hogy egy tevékenységet mlyen más munkafolyamat követ. [166, 282, ] Valamenny eddg alkalmazott módszer nagy hányossága, hogy a humán erőforrásoknál nem számol annak az adott munkában való jártasságával, lletve nem foglalkozk azzal a kérdéssel, hogy amennyben az ajánlat ár ksebb, akkor mekkora az a maxmáls mnőség kompromsszum, amellyel még elvállalható a projekt megvalósítása. Olyan projektek esetében, amelyek több mnt tevékenységet tartalmaznak, nncs mód az optmáls eredmények előállítására, mvel a probléma naggyá és összetett kombnatorkussá válk. [202] 38

49 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Vannak olyan algortmusok s, melyek az ütemezést és az allokálást egyszerre végzk. Előnye, hogy dőt takarítanak meg. Hátránya, hogy a közbenső lépések sokszor ütemezés szempontjából sem megengedettek. [7, 19, 21, 22, 92, 93, 347] Allokálás A hatvanas évek elején kfejlesztették az allokálás probléma két megközelítését, amelyek erőforráskorlátos és dőkorlátos vagy smításos allokálás eljárásként smertek. Azt remélték, hogy ezek esetleg megfelelő választ adnak az erőforrás- vagy dőkorlátok alternatív problémájára. Mndegykre több eljárást dolgoztak k. Az eljárások két csoportba oszthatók: soros és párhuzamos feldolgozáson alapulókra. [202, 213] Az eltérés a tevékenységek megszakításának projektekbe tervezett mennységét érnt. Egy tevékenység megszakíthatóságát a következőképpen defnálhatjuk: Egy jelenleg folyamatban lévő tevékenység megállása azáltal, hogy erőforrásat elveszk azért, hogy egy magasabb prortású tevékenységhez használják fel őket. A tevékenységmegszakítást általában mndkét eljárásban megvalósítják, a procedúra kválasztását a tervezett megszakítás várható mértékének kell rányítana. Ha a projektben a tevékenységek jelentős hányadát szándékozzák megszakítan, akkor párhuzamos allokálást kell alkalmazn; egyébként pedg soros allokálást. [202, 213] A soros és párhuzamos eljárásokat valamlyen formában valamenny jelenleg rendelkezésre álló projektmenedzsment-szoftverben alkalmazzák. Ez a csoportosítás ma s hasznos módja a programok osztályozásának. Különböző feltételek mellett mndkettő skeresen célozza meg az erőforráskorlátos eset problémáját. [13] A soros allokálás eljárás Ez olyan eljárás, amelyben egy konstans prortás szabály alkalmazásával még a tevékenységek ütemezése előtt rangsorolják a projekt(ek)ben szereplő tevékenységeket. E prortás lsta alapján szgorú rendben ütemezk be a tevékenységeket a lehető legkorább dőpontban, az erőforrások hozzáférhetőségének és a háló(k) követelményenek megfelelően. Egy soros eljárásban megszokott a megelőzés korlátoknak (rákövetkezés relácónak) a háló dőelemzésén alapuló, szabályozott, automatkus számításba vétele. A legelterjedtebben használt szabály az, hogy a tevékenység legkésőbb kezdés dőpontját használják a dátumok 39

50 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak emelkedő sorrendjében, és a teljes tartalékdő alkalmazása által felmerülő esetleges kötöttségeket feloldják megntcsak növekvő sorrendben. [202, 213] A fgyelembe vett tevékenységek ütemezésekor arra alapozva, hogy mnden megelőző tevékenység befejeződött a rendszer először azt a legkorább dőpontot ellenőrz, amelyhez a tevékenységet allokáln lehet. Azután meghatározza, hogy abban az dőpontban elegendő erőforrás áll-e rendelkezésre a tevékenység megkezdéséhez. Ha nem, akkor előkeres az erőforrás-hozzáférhetőség táblázatokat, hogy meghatározható legyen a tevékenység-dőszak ütemezése. A tevékenység ütemezése után a rangsorolt lsta következő tevékenységét ugyanígy fontolóra veszk. [202, 213] A párhuzamos allokálás eljárások Ez olyan eljárás, amelyben prortásuk szernt csak a kezdésre képes tevékenységek kerülnek rangsorolásra az egyes ütemezés dőszakoknál alkalmazott állandó szabállyal. Az ütemezéshez ebből a lstából felmerülés sorrendben, az erőforrások hozzáférhetőségétől függően veszk k a tevékenységeket. A be nem ütemezett tevékenységeket vsszahelyezk a lstába, hogy a következő ütemezés dőszakban az új tevékenységekkel együtt rangsorolhassák őket. Ez az ütemezés nagyon eltérő flozófájú, mert egy lstában gyűjt össze az összes olyan tevékenységet, amely egy meghatározott ütemezés dőszakban fgyelembe vehető. Tekntettel arra, hogy mnden nformácó rendelkezésre áll, a tevékenység ütemezésére vagy késleltetésére rányuló döntést megalapozottan lehet meghozn. Ez különösen a megszakított tevékenységnél fontos, és ez az oka annak, hogyha a projektben sok tevékenységet szándékoznak megszakítan, ezt a megközelítést kell alkalmazn. [202, 213] Ez az eljárás s jól megvalósítható ütemterveket hoz létre, de lényegesen nagyobb számítás génnyel. Ennek oka a rangsorolandó tevékenységek élő lstája. Ez a leglassabb művelet, amt a számítógép elvégez, és ráadásul a párhuzamos eljárásban mnden dőlépésnél, míg a soros eljárásban csak egyszer kerül végrehajtásra. [202, 213] Erőforrás-allokácó (ERALL-módszer) A logka tervezés során (a CPM-módszerrel) olyan hálótervet készítünk, amely technológa szempontból megengedhető maxmáls párhuzamosítás lehetőségeket tüntet fel. A logka tervezés eredménye maxmálsan tömörített háló. Ennek megfelelően az dőtervezésnél mnmáls dőtartamokat kapjuk meg az egyes tevékenységekre nézve. Amennyben 40

51 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak elkészítjük a hálóra vonatkozó erőforrásterhelés dagramot (lásd pl ábra), akkor láthatjuk, hogy egy adott erőforráskorlátot túlléphet. Az erőforrás-allokácó célja az, hogy (lehetőleg) az átfutás dőt nem növelve, a kapactáskorlátot nem túllépve a nem krtkus (alternatív) úton (utakon) lévő tevékenységeket a tartalékdejükön belül mozgassuk el úgy, hogy az erőforrásterhelés dagram a kapactáskorlátot mnden pontjában kelégítse. Ezt egy smítás eljárással valósíthatjuk meg, mely egy heursztkus eljárás. Ez a módszer, ha létezk a feladatnak egy megengedett megoldása, akkor megtalálja. Az eljárás először megpróbálja úgy beütemezn a tevékenységeket, hogy a krtkus út ne növekedjen. Ha ez skerül, akkor ezt a továbbakban nevezzük nem krtkus megoldásnak. Ha lyen megengedett megoldás nem létezk, akkor a módszer megpróbálja úgy beütemezn a tevékenységeket, hogy a krtkus út mnél kevésbé növekedjen. Ha egy tevékenység erőforrásgénye nagyobb, mnt az erőforráskorlát, akkor bztosan nncs megengedett megoldás. [ ] Mért csak megengedett megoldást talál ez a módszer? Azért, mert a nem krtkus úton lévő tevékenységeket nem egy adott célfüggvénynek megfelelően (pl. a lehető legkorább dőpontra) ütemez be. Az optmáls megoldás az lenne, hogy ha a tevékenységeket úgy ütemeznénk be, hogy ezeket a célfüggvényeket fgyelembe vesszük, de úgy, hogy az erőforráskorlátot egyetlen dőpllanatban se lépjük túl. 1.6 Optmumkeresés eljárások Dnamkus, Branch & Bound és lneárs programozás [251] technkákat alkalmaztak skeresen 200 tevékenység alatt, néhány erőforrással rendelkező hálókra vonatkozó optmáls megoldások kalakításához. Ennek ellenére az lyen projektek csekélyek azokhoz vszonyítva, amelyek 5000 tevékenységgel rendelkeznek és különböző erőforrást alkalmaznak. [26, 41, 61, 85, 118, 202, 319, 363, 394, 395] A modern rendszerekben természetesen nem követelmény, hogy az erőforrásokat a tevékenység teljes dőtartama alatt használják, vagy egy dőben kzárólag egyet használjanak fel egy tevékenységre, vagy a tevékenységet ne osszák meg. Végül nem szabad elfelejten, hogy a számítás eljárások által felhasznált adatok nem pontosak mvel becsléseken alapulnak és az esetleges hbák érvénytelenítk az optmumot. [7, 202] Kegyenlítés Az erőforrás/dő korlátozottság problémájának megoldását az elsők között célozta meg a kegyenlítés technka. Ez legegyszerűbb formájában azt jelent, hogy valamlyen eljárással 41

52 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak előállított ütemtervnél megpróbálják kegyenlíten az erőforrásgények csúcsat és völgyet néhány tevékenység (alternatív utakon lévő tevékenységek) újraütemezésével. A kezdés ütemterv sok esetben a legkorább kezdés aggregácó, de lehet egy nagyon kfnomult allokácós eljárás által kalakított összetett ütemterv s. A kegyenlítés egyszerűen hangzk, de a gyakorlatban nem az. Ha egynél több projekt létezk a szervezetben, akkor az eltérő erőforrások között kölcsönhatás rendkívül bonyolult helyzetet teremt. Továbbá mvel az egyensúly jelentésének nncs általánosan elfogadott defnícója rendkívül nehéz meghatározn a kegyenlítés eljárás leállás pontját. Sok esetben az a gyakorlat, hogy a rendszer számára kjelölnek egy lefutás dőt, és az dő végén megszerzett eredményt elfogadják. Sajnos a kereskedelm szoftverek közül néhány helytelenül használja a kegyenlítés kfejezést, ugyans szerntük az allokácónak a rendelkezésre álló erőforrással szemben egyensúlyát jelent. Ugyanígy vannak olyan szoftverek s, amelyek szernt a kegyenlítések tulajdonképpen allokálások. [202, 272] Ezek az algortmusok egy egészváltozós (IP) [148] vagy egy egészváltozóval kevert lneárs programozás feladatra (MILP) vezetk vssza a problémát. [242] Heursztkus és algortmkus eljárások összehasonlítása Erőforrás-tervezésre leggyakrabban a ma napg heursztkus eljárásokat használnak. Ennek az az oka, hogy bzonyos (10 000) tevékenységszám és néhány (5-10) erőforrástípus esetén a probléma kezelhetetlenné válk. [7, 59, 170, 202] A ma számítástechnka teljesítmény ellenére s gyakran az optmáls megoldás megtalálása reménytelen feladat. Az optmumkereső algortmusok másk nagy hányossága, hogy a közbenső megoldása általában nem megengedettek. Ha tehát a feladat annyra bonyolult, hogy valószínűsíthető, hogy az adott erőforrás-tervezés problémát nem tudjuk meghatározott dőn belül megoldan, akkor nem tudjuk megállítan a keresést, és az eddg legjobb megoldást elfogadn, mert az sem garantált, hogy ez a megoldás egyáltalán megvalósítható (megengedett erőforrás-allokácó) lesz. [7] Az erőforrás-tervezés során használt evolúcós eljárások knduló megoldása ugyan lehetnek megengedettek, de tt sem garantált, hogy a közbenső lépések megengedettek lesznek. [7] A következő táblázatban heursztkus és algortmkus eljárások összehasonlítását láthatjuk futás dő szempontjából. 42

53 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Tevékenységek száma:=50 Algortmus Futás dő (sec) Branch and Bound 1920,7 Dyn. Programmng 0,0026 Tevékenységek száma:=1000 Célfüggvény Algortmus Futás dő (msec) optmáls megoldástól való eltérése Dyn. Programmng ,00 % Peak Heurstc < 1 123,81 % Merge Heurstc 2 4,79 % Splt Heurstc 10 25,93 % LP Heurstc ,34 % Merge and Splt 5 3,85 % LP + Merge and Splt 452 1,77 % táblázat: algortmkus és heursztkus módszerek átlagos futás deje A fent táblázatból s láthatjuk, hogy a heursztkus eljárások nagyon gyorsan vszonylag jó megoldást adnak. Ha a feladat során más a célfüggvény (pl. egyenletes erőforrás-khasználás, lehető legkorább kezdés stb.), akkor ezekre más és más heursztkus eljárásokat kell alkalmazn. [7, 98, 118, 165, 182, 315, ] Egy erőforrás-allokácós probléma (adott célfüggvényre nézve) optmáls megoldása egy olyan megengedett ütemterv lenne, amely az adott célt legjobban kelégít (vagy másképpen a célfüggvény értéke ebben az esetben mnmáls/maxmáls). Az optmumkereső eljárások nagyságrendekkel lassabbak. Gyakorlatban kétfajta eljárás terjedt el ezek közül, az egyk az ún. Branch and Bound eljárás, a másk az ún. dnamkus programozás. [7, 314] A Branch and Bound algortmus A kombnatorkus optmalzálásban lletve a mesterséges ntellgencában gen elterjedt módszer a korlátozás és szétválasztás módszere. A legtöbbször olyan NP-nehéz optmalzálás feladatok megoldásánál alkalmazzák, ahol a nem heursztkus eljárásokkal történő megoldás meghaladná a ma számítás kapactásokat. [65, 144, 179, 242, 306] Az optmáls erőforrás-tervezés s NP-nehéz feladat, am azt jelent, hogy nagyszámú erőforrás esetén lehetetlen belátható dőn belül eredményhez jutn, pedg a feladat gazából nagyszámú erőforrás esetén válk zgalmassá és gyakorlat haszna s ekkor van. Mára már számos könyv és publkácó foglalkozk az eljárással, hol kterjesztve azt a legáltalánosabb esetekre [242, 276], hol pedg egy-egy specáls problémát taglalva [85, 168, 181, 368]. A feladattípusok sokrétűsége ellenére azonban mndg jellemző, hogy valamféle globáls 43

54 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak mnmum vagy maxmum értéket keresünk, lletve az, hogy a feladat nagyságának növelésével jelentősen (sokszor exponencálsan) nő a kértékelendő részproblémák száma. Az, hogy az eljárás lyen széles körben alkalmazható, az annak köszönhető, hogy ez csupán egy kereteljárás, melyet mndg az aktuáls problémához kell gazítan. A kereteljárást úgy értelmezhetjük, hogy adott több részeljárás, vagy más néven szabályok, melyeknek csupán általános működését, valamnt sorrendjét adja meg a B&B-algortmus. Azt vszont, hogy az egyes részeljárásokat pontosan hogyan alkalmazzuk, azt már az adott feladat szabja meg. [242, 276] A B&B-algortmus formáls leírása Ahogy az előző részben láthattuk, a B&B-algortmus leírása, különféle absztrakcós sznteken, már számos tudományos munkában megjelent. Melőtt az eljárást áttekntenénk, fgyelembe kell vennünk, hogy célunk csupán a megvalósítandó rendszer működésének megértése, lletve elmélet hátterének megalapozása, és nem az eljárás teljes részletekbe menő matematka leírása, vagy például helyességének vzsgálata. Az elosztott rendszerünk egy általános keretet bztosít a már meglévő, specáls feladatokra optmalzált B&B-eljárások számára, így ennek az absztrakcós szntnek megfelelően elegendő a kereteljárással és annak komponensevel megsmerkedn. A jelen fejezet célja tehát az általános keretalgortmus megsmerése és formáls leírása. Más, matematkalag részletesebb leírást találhatunk például Imreh Balázs Kombnatorkus optmalzálás című könyvében. Számunkra fontosabb az eljárás részet képező szabályok kemelése. [242, 276] Az algortmusban alkalmazott szabályok és szerepük Az egyszerűség kedvéért a továbbakban feltételezzük, hogy mnden tekntett optmalzálás probléma mnmalzálás feladat, azaz a lehetséges megoldások közül a mnmáls értékűt szeretnénk kválasztan. A B&B algortmus négy alapvető szabállyal jellemezhető, melyek a következők: [242, 276] 1. szétválasztás szabály (branchng rule): ez a szabály határozza meg, hogy egy adott részproblémát m alapján választunk szét kettő vagy több részproblémára. 44

55 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 2. korlátozás szabály (boundng rule): azt határozza meg, hogy mként számolható k egy adott részprobléma optmáls megoldásának alsó korlátja. 3. kválasztás szabály (selecton rule): ez a szabály defnálja, hogy mként válasszuk k a következő szétválasztandó részproblémát a még feldolgozásra váró részproblémák közül. 4. kzárás szabály (elmnaton rule): ez a szabály adja meg, hogy m alapján zárhatjuk k azokat a részproblémákat, amelyek megoldása nem vezethetnek a kndulás probléma egy optmáls megoldásához. Legyen P 0 a megoldandó mnmalzálás probléma. A szétválasztás szabály smételt alkalmazásával az eredet P 0 problémának egyre fnomodó felbontását hozzuk létre. Az így kapott új részproblémák egy B=(P,A)-val jelölt fa struktúrába rendezhetők, ahol P a csúcsok, A pedg az élek halmaza. Ezt a fát keresőfának nevezzük. A keresőfa gyökere a P 0 kndulás probléma. Ha egy P j részprobléma a P részprobléma dekompozícójából jött létre, akkor (P, P j ) A. Egy csúcs szntje a fában megegyezk a gyökértől az adott csúcsg vezető élek számával. A gyökér a 0. sznten helyezkedk el. Legyen továbbá f(p ) a P részprobléma optmáls megoldása, valamnt ha P részproblémát P 1 P k részproblémákra bontjuk szét, akkor az f függvényre teljesül, hogy: f P mn f P. ( ) j1,.., k j Ezek után legyen g(p ) a P részproblémához tartozó alsó korlát, melyet a korlátozás szabály alapján számítunk k, T pedg azoknak a részproblémáknak a halmaza, amelyek már nem bonthatók tovább részproblémákra, azaz a keresőfa levelet képvselk. A g függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezk: g(p ) f(p ), bármely P P esetén; ( ) g(p ) = f(p ), bármely P T esetén; ( ) g(p ) g(p j ), bármely (P, P j ) A esetén. ( ) A tulajdonságok fentről lefelé a következőket jelentk: g egy alsó becslése f-nek, g pontos becslés, ha P dekompozícó nélkül megoldható, valamnt az alsó korlátok monoton nem csökkenőek. A B=(P,A) keresőfa adott P csúcsahoz címkeként hozzárendeljük a g(p ) értéket. Ezeknek a címkéknek a továbbakban fontos szerepe lesz abban, hogy eldöntsük, a keresőfa egy adott ágát lezárhatjuk-e, vagy tovább folytassuk a keresést. A keresés, azaz a 45

56 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak keresőfában található tovább felbontásra váró részproblémák feldolgozás sorrendje különféle stratégák szernt történhet. Ilyen stratégák, vagy más néven heursztkus keresések lehetnek például a mélység, szélesség vagy legjobb értéken alapuló keresések. A keresés sorrendjét a kválasztás szabály határozza meg, és jelentősen befolyásolhatja az algortmus hatékonyságát. A kzárás szabályban háromféle tesztet alkalmazhatunk, hogy megállapítsuk, az adott részproblémát kzárhatjuk-e az optmáls megoldás kereséséből. [242, 276] Az első lyen teszt azt vzsgálja, hogy az adott részproblémának lehetséges-e olyan megoldása, amely kelégít a kezdet feltételeket (feasblty test). Azt a megoldást, amely kelégít a kezdet feltételeket, lehetséges megoldásnak (feasble soluton) nevezzük. [242, 276] A másodk teszt azt vzsgálja, hogy az adott részproblémához címkeként hozzárendelt alsó korlát érték nagyobb, lletve egyenlő-e az eddg smert legjobb lehetséges megoldás értékével (boundng test). Azaz P részprobléma esetén g(p ) f*(p 0 ) feltétel teljesül-e, ahol f*(p 0 ) az eddg smert legjobb lehetséges megoldás, angol nevén: ncumbent. Ugyans, ha ez a feltétel teljesül, akkor a ( ) és ( ) egyenlőtlenségek alapján a P ágat a keresőfában lezárhatjuk, hszen P bármely P j gyermekére teljesülnek a f(p j ) g(p j ) g(p ) f*(p 0 ) egyenlőtlenségek. Más szóval ez azt jelent, hogy P bármely P j részproblémájának megoldása legfeljebb olyan jó lehet, mnt az eddg smert legjobb megoldás, tehát felesleges a P részproblémát tovább bontan. [242, 276] A harmadk teszt, a domnanca teszt (domnance test) ugyanazon a megfontoláson alapszk, mnt az előző alsó korlát teszt, azzal a különbséggel, hogy tt a vzsgálandó P részproblémát nem az eddg smert legjobb lehetséges megoldáshoz hasonlítjuk, hanem mnden korábban kértékelt részproblémához. Ha a korább P j részproblémák közül akár egy olyat s találunk, amelyre fennáll, hogy f(p j ) g(p ), akkor azt mondjuk, hogy P j domnáns P -vel szemben, azaz P -nek nem lehet jobb megoldása, mnt P j -nek, tehát ezt az ágat szntén lezárhatjuk. [242, 276] Dnamkus programozás A dnamkus programozást rendszernt valamlyen numerkus paraméterektől függő érték optmumának meghatározására használjuk. A lényeg a következő: az optmáls megoldást optmáls részmegoldásokból állítjuk elő. Az optmáls részmegoldásokat egy táblázatban 46

57 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak tároljuk, s a feladat ennek a táblázatnak szsztematkus feltöltésével oldható meg. A táblázat elemet rendszernt egy rekurzív összefüggéssel határozhatjuk meg. [26, 101, 238, 242, 276] A dnamkus programozás alapötlete, hogy a megoldandó problémát egy nagyobb problémacsomagba ágyazza be, amely problémacsomag alkalmas sorrendben könnyen felgöngyölíthető. Mnden egyes probléma egyszerűvé válk a korábban megoldott más problémák eredményének smeretében. [26, 101, 238, 242, 276] A két módszert nagyon jól lehet ötvözn, előnyeket khasználn. Tovább gyorsítás lehetőség, ha az egyes részproblémákat elosztjuk a különböző számítógépek között, és a részfeladatok kértékelését külön számítógéppel végezzük, majd a kértékelés eredményet vsszaküldjük a központ számítógéphez, amely újból kosztja a feladatokat a több munkaállomásra. [26, 101, 238, 242, 276] A párhuzamos B&B algortmus A párhuzamos B&B algortmussal foglalkozó művek [69, 80, 237, 258] száma sznte ugyanolyan bőséges, mnt az általános algortmussal foglalkozók száma. Melőtt azonban belekezdenék a párhuzamosítás lehetőségenek tárgyalásába, fel kell tenn a kérdést, hogy valójában mért s kell egy hatékonyan működő eljárást párhuzamosítan? Ahogy azt az előző fejezet bevezetésében már említettem, a B&Balgortmust nagyon gyakran NP-nehéz problémák megoldásánál alkalmazzák. Ezeknél a problémáknál a feladat nagyságának növelésével drasztkusan nő a megoldás dő, és ezzel együtt a számítás erőforrásgénye s (pl. memóra). A párhuzamosítás egyk előnye, hogy a feladat felosztásával és azok egydejű végrehajtásával nagymértékben csökkenthető a feladat megoldásához szükséges dő, lletve ha a megközelítő B&B eljárásokat nézzük, akkor ugyananny dő alatt sokkal pontosabb eredményhez juthatunk. Másrészt gyorsan a szekvencáls számítógépek fzka korlátjaba ütközhetünk, például a processzor teljesítménye, vagy a bővíthető memórahelyek száma erősen korlátozott. [26, 101, 242, 276] Ezzel szemben, ha több számítógépet kapcsolunk össze, az erőforrások tetszőleges mértékben növelhetőek, a teljesítmény megsokszorozható. Anomálák A párhuzamosítás előnye ellenére a gyakorlatban gen nehezen valósítható meg, lletve csak nagyon specáls esetekben mondható el, hogy a processzorok (vagy a rendszerbe kapcsolt 47

58 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak számítógépek) számának lneárs növelésével a teljesítmény s lneársan növekedjen. Előfordulhat, hogy a párhuzamos eljárásnak több dőre van szüksége, mnt a megfelelő szekvencáls (soros) algortmusnak, ezt lassulás anomálának (deceleraton anomaly) nevezzük. Jó esetben azonban elérhető, hogy a párhuzamos algortmussal szuper-lneárs vagy nagyobb gyorsulás érhető el a szekvencálssal szemben, ezt gyorsulás anomálának (speedup anomaly) nevezzük. A gyakorlat tapasztalatok azt mutatják [80], hogy leggyakrabban az úgynevezett hátrányos anomála (detrmental anomaly) érvényesül, azaz a végrehajtáshoz szükséges dő valahol a szekvencáls és a szuper-lneárs végrehajtás dő között helyezkedk el. 1.7 Az ütemezés, erőforrásallokácó alkalmazás területe Ütemezést, erőforrástervezést nem csak a projektmenedzsment és a logsztka területén alkalmaznak, hanem pl. nformácós hálózatok optmáls terhelésénél, forgalomrányítás, lletve kéma folyamatok rányításában s. [5, 30, 52-54, 58, 138, 141, 145, 198, 330, 337, 339] Következőkben elsősorban a projektmenedzsment területén alkalmazható módszerek alkalmazás lehetőséget mutatom be. A legtöbb vállalat kevéssé használja k a hálós, vagy más tervezés technkák adta lehetőségeket. Ennek oka számos problémára vezethető vssza. 1. Sokszor csak azzal van tsztában a szervezet, hogy mt szeretne létrehozn, megvalósítan (vagy sokszor ezzel sem). Ennek pontos mkéntjét, a tevékenységek, folyamatok meghatározását majd a megvalósítás során határozza meg részletesen. Ennek hátránya, hogy nagyon nehezen bztosítható, hogy az adott projekt a meghatározott dőn belül befejeződjön. 2. Néhány vállalat meghatározza részletesen az elvégzendő tevékenységeket. Ezek között rákövetkezés relácót s felállítanak. Ennek ellenére úgy gondolják, hogy a megvalósítás közben a meghatározott tevékenységadatok annyt változnak, hogy ez teljesen meghúsítja a terv alkalmazhatóságát. Ezért sok esetben csak Ganttdagramokat alkalmaznak. A csúszások a legtöbb esetben azért következnek be, mert a tevékenységek dőtartamát a tervezés során fx dőként és nem valószínűség változóként kezelk, ezáltal az dőtartamok bzonytalanságát a tervezés során nem veszk fgyelembe; nem veszk fgyelembe tervezéskor a tevékenységek erőforrás-szükségletét. 48

59 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak 3. Ha egy vállalat erőforrás-allokácót s alkalmaz, akkor számára legtöbb esetben elegendő egy valamlyen megengedett megoldás megtalálása. Látható, hogy az alkalmazott módszerek szervezés kérdéseket s felvetnek, hszen a pontos ütemezéshez, lletve az erőforrástervezéshez meg kell becsüln a tevékenységek dőtartamat, rákövetkezés relácót, valamnt a tevékenységek erőforrás-szükségletet s A módszerek alkalmazás feltétele, lehetősége Egy projektszervezet dönthet úgy, hogy nem alkalmazza az ütemezés és erőforrás-allokácós módszer lehetőséget. Ebben az esetben azonban főleg nagyobb projektek esetén nehezen bztosítható, hogy a projekt meghatározott dőn belül befejeződjön. Ksebb projektek esetén gyakran eltekntenek az ütemezés és erőforrás-allokácós módszer lehetőségetől, mert azt egy tapasztalt projektvezető sok éves tapasztalatából adódóan átlátja, és az egyes váratlan eseményeket kezeln tudja. Ha egy vállalat csak ütemez a projektben elvégzendő tevékenységet, akkor s meg kell becsülne az egyes tevékenységek várható dőtartamát. Két lehetősége van: vagy fx lefutás dőként kezel az egyes tevékenységek dőtartamat, és a korrekcókat később a projekt futása közben végz majd el a tervben, vagy eleve valószínűség változóként kezel a tevékenységek dőtartamat, ezzel bzonyos határokon belül kezeln tudja a projekt átfutás dejének bzonytalanságát. Tervezn tudja, hogy adott valószínűség sznt mellett várhatóan mkor fog befejeződn a projekt. Az ütemezés feltétele a logka összerendelés, lletve a logka háló megléte. Ennek ellenére a gyakorlatban használt projektmenedzsment szoftverek nem követelk meg a logka háló elkészítését. Egy tevékenység kezdés, lletve befejezés dejét manuálsan s meg lehet adn. Ez a látszólagos kényelm funkcó gyakran nagyon csalóka lehet. Hszen a tevékenységek csúszását már nagyon nehezen lehet ezzel a módszerrel kezeln, hszen ha egy tevékenységhez nncsen hozzárendelve az őt követő tevékenység, akkor egy esetleges csúszás esetén a logka sorrend akár teljesen fel s borulhat. A csúszások egyk oka lehet, hogy nem megfelelően használja fel a vállalat a rendelkezésére álló erőforrásokat, így fontos szempont főleg nagyobb beruházások esetén az erőforrások helyes felhasználása, az egyes tevékenységekhez kapcsolódó erőforrás-gények összevetése a rendelkezésre álló erőforrás-kerettel. Ahol sok párhuzamos tevékenység folyk egy dőben, és ezek elvégzéséhez pl. több munkaerőre van szükség, mnt amenny a cég 49

60 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak rendelkezésére áll, ott vagy más vállalat segítségét kell génybe vennünk (pl. alvállalkozók bevonása), ha dőben el akarjuk végezn a tevékenységeket (dőkorlátos erőforrás-allokácó), vagy ha erre nncs mód, akkor dőben későbbre kell beütemezn a tevékenységeket (erőforráskorlátos erőforrás-allokácó). Ahogyan azt a korább fejezetekben láthattuk, sok esetben a beruházó cégek megelégszenek egy ún. megengedett megoldás megtalálásával, vagys egy olyan ütemtervvel, ahol a megvalósítás során a rendelkezésre álló erőforrásankat vagy dőkeretünket nem lépjük túl. Egy lyen megengedett megoldás néhány tevékenység esetén kézzel, több tevékenység esetén számítástechnka szoftverekkel (pl. Mcrosoft Project, CA-SuperProject, Prmavera stb.) vszonylag könnyen megtalálható. Egy lyen ún. megengedett erőforrás-allokácó esetén azonban sokszor számos probléma merülhet fel. [255, ] Ha a tevékenységeket nem a lehető legkorább dőpontra ütemezzük be, akkor előfordulhat, hogy a krtkus úton lévő tevékenységeken kívül alternatív úton lévő tevékenységek csúszása s a projekt átfutás dejének csúszását eredményezhet. Néhány esetben fontos lehet, hogy az erőforrásankat vszonylag egyenletesen használjuk fel. A megengedett megoldások a legtöbb esetben ezekkel az előnyös tulajdonságokkal nem rendelkeznek. Ezért a heursztkus eljárások s gyekeznek egy adott célfüggvényre nézve optmáls megoldást mnél jobban megközelíten. [182, ] 1.8 Számítógépes projekttervező szoftverek Nagy számítógépes programcsomagok (kezdet alkalmazás) IBM család: Az Internatonal Busness Machnes Corporaton nagy múlttal és tapasztalatokkal rendelkező számítástechnka cég, mely a hardvereken kívül komoly programrendszerekkel és alkalmazás tapasztalatokkal s rendelkezk. [25, 182] A különböző operácós rendszerek lehetőségenek megfelelően több programcsomagot fejlesztettek k, melyek közül hazánkban a PROJACS (Project Analyss and Control System) volt a legelterjedtebb. A rendszer több, egymáshoz kapcsolódó modulból épül fel. Ezek: főprogram (Man Processor) 50

61 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak erőforrás-allokáló program (Resource Allocaton Processor) költség-kértékelő program (Copst Evaulaton Processor; hálóelőkészítő program (Network Preparaton Processor). Egydejűleg 500 hálót tud kezeln; egy háló max. l00 alhálóra bontható, ezen belül kapcsolatok száma max lehet. Az alhálókat grafkusan CPM/PERT vagy PDM eljárás szernt ábrázolhatjuk. A tevékenységek dőtervezése az MPM háló számítása szernt történk. [25, 182] A PROJACS 6-féle kmutatást készít: tevékenységorentáltság, és aggregált tevékenység szernt, erőforrás-felhasználás, költség-, dsplay-kmutatást, hálókrajzolást. ICL család: Az ICL cég két, hazánkban s üzemelt gépcsaládjára az 1900-as és a System 4 típusú gépekre egyaránt jól használható hálótervezés programcsomagot készített. A két programcsomag nagy méretű hálók feldolgozására volt alkalmas, segítségével dő-, erőforrás-, és költségtervezést végezhettek. [25, 182] A két programcsomagban a hálókat modulszerűen, alhálónként állíthattuk össze, és típusháló könyvtárakat s kezeln tudtunk. Az dőtervezést CPM-módszerrel lehetett végezn, de használható olyan tevékenység s, melyeknél hármas dőbecsléssel dolgoznak, s ezekre a tevékenységekre a programok elvégzk a szokásos PERT számításokat s. Az alháló struktúra tesz lehetővé, hogy a számítógép korlátozott belső memórakapactása ellenére sznte korlátlan méretű hálókat lehetett feldolgozn. [25, 182] Egy hálóban max. 500 alháló lehet, ezek pedg max tevékenységet tartalmazhatnak. 51

62 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak SINETIK programcsomagok A programcsomagot a Semens cég fejlesztette k Semens 4004 számítógépre. A program MPM és CPM típusú hálók feldolgozására volt alkalmas. A hálón belül tevékenységek száma max. 6000, és a kapcsolatok száma s max lehet. A lehetséges alhálók száma tetszőleges. A háló krajzolására alkalmas modullal a program nem rendelkezk. [25, 182] A mndnkább előtérbe kerülő gények sürgetésére fejlesztették k a mkroszámítógépekre alkalmazható hálótervezés programrendszereket, melyek közül elsőként a SZENZOR (korábban SYSTEM) Szervezés Vállalat jelentkezett a HSZR-mkro elnevezésű programjával. Ez a rendszer képes megoldan mndazon feladatokat, amelyeket korábban a hasonló, közép- és nagy-számítógépes hálótervezés programcsomagok. Jelenleg hazánkban saját fejlesztésű programként ez az egyetlen mkrogépre alkalmazható hálótervezés programcsomag. Ismertek, és gyakorlatban használatosak nyugat cégek által kfejlesztett olyan szoftverek, melyek többet tudnak haza testvérüknél, a gyakorlat példa bemutatását azonban célszerűnek tartjuk a haza változat lehetőséget khasználva véggkísérn a következő fejezetben. [25, 182] Napjankban a legtöbb kereskedelm forgalomban kapható projektmenedzsmentszoftver az ún. tevékenység-csomópontú ábrázolástechnkát használja. A ma korszerű számítógépes programok készítő gyekeznek a különböző módszerek elemet ötvözn. Az elmélet kutatás és az eredményeknek a gyakorlatba történő átültetése a ma napg sem állt meg. Újabb és újabb modellezés megoldások és szoftverek jelennek meg, lletve az elmélet eredmények beépülnek a már elterjedt projektmenedzsment-szoftverek újabb verzóba. [25, 182, 207, 208] A gyakorlatban alkalmazott projekttervezés szoftverek Mcrosoft Project (2000, XP, 2003) Az MS Project 2000/XP/2003 az MPM-modell egyszerűsített változatával dolgozk. Fő jellegzetessége a tevékenységek egymáshoz vszonyított helyzetének egyszerű kezelését lehetővé tevő négyféle kapcsolat típus és a kapcsolat dők alkalmazása. Az ütemezés 52

63 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak eredmények fő megjelenítés formája a vonalas ütemterv (Gantt Chart), az erőforrásterhelés és költségfelmerülés görbék, valamnt ezek táblázatos formá. A Gantt Chart-on az ütemvonalak mellett a tevékenységek között kapcsolatokat s megjeleníthetjük, ezért ez az ábrázolás több, mnt egy egyszerű vonalas ütemterv. A hálóterv-modellt Network Dagram elnevezés alatt jelenít meg a rendszer. (Az MS Project 98-ban még PERT Chart volt a hasonló funkcójú nézet neve.) A tevékenység-dőtartamok felvtelénél lehetőségünk van hármas dőbecslés megadására s. A program a PERT Analyss funkcóban kszámítja a tevékenység-dőtartamok és a projekt átfutás dejének pesszmsta, optmsta és várható értékét, de az értékek szórását nem. [399] A Mcrosoft Project Standard mnden eddgnél egyszerűbbé tesz az ütemezések és erőforrások kezelését, a projekt állapotának közlését és a projekt adatanak kmutatását. A jobb eszközök és a beépített támogatás révén a munka hamar megkezdhető, még a projektvezetéssel most smerkedők s gyorsan megbarátkozhatnak a program kezelésével. A Mcrosoft Project projektvezetés szolgáltatásanak köszönhetően mnden nformácó a rendelkezésére áll, így a projektek dőben elkészülnek, és nem lépk túl a költségvetést. [399] Az MS Project specfkácója Taszkok (tevékenységek) száma projektenként egy mlló Erőforrások száma projektenként egy mlló Az erőforrás mennysége hozzárendelésenként egység Erőforrás sznt változások száma 100 Taszk-kapcsolatok száma projektenként korlátlan Kapcsolatok száma két taszk között l Megelőző kapcsolatok száma taszkonként korlátlan Követő kapcsolatok száma taszkonként korlátlan Konszoldált (összevont) projektek száma 998 Megnytott projektfájlok száma konsz. projektenként 998 Közös erőforráshalmazt használó projektfájlok száma 999 Nytott ablakok száma 50 Bázsnaptárak száma korlátlan Kvételek száma naptáranként l.400 A hav naptárban nyomtatható taszkok száma

64 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Fajlagos költségtáblák száma erőforrásonként 5 Változások száma költségtáblánként 25 A költségmező max. értéke A munkamennység max. értéke órában Munka hozzárendelésnél perc Változó anyag hozzárendelésnél egység Fx anyag hozzárendelésnél egység A nyomtatás skála beállítás tartománya 10-től 500 %-g Legkorább dátum január 1. Legkésőbb dátum december 31. Előnyök: Hatékonyabb projektvezetés: a dnamkus ütemezés révén egy ütemezés vagy egy erőforrás változása azonnal tükröződk a projekt ütemezésében. A projektútmutató testreszabásával a már bevált projektvezetés eljárásokat s alkalmazhatjuk a programból. Több nformácó áll rendelkezésre: a Gantt-dagramokban és a használat nézetekben három dőskálát jelenít meg, az oszlopok és sorok végösszegét pedg k lehet nyomtatn. Egyszerűen használható eszközök: a projekttervek módosításakor alternatív ütemezés lehetőségeket ajánlanak fel. A Mcrosoft Excel vagy Outlook programokban már meglévő feladatlsták egyszerűen alakíthatók Mcrosoft Project-tervekké. Hátrányok, hányosságok: Nem követel meg a logka összerendeléseket. Ez a látszólagos könnyebség a projekt aktualzálásakor sok problémát okozhat a csúszások nyomonkövetésénél. Az erőforrástervező komponense általában nem optmáls erőforrásallokácót határoz meg. (A Mcrosoft Project által alkalmazott erőforrás-allokácós módszer a párhuzamos erőforrásallokácóhoz hasonlatos heursztkus módszer) Programrövdítésre, költségoptmálásra, költségoptmáls erőforrás-allokácó meghatározására (pl. CPM/COST, MPM/COST, PERT/COST) nncs lehetőség. A PERT-módszer alkalmazásánál az átfutás dő bzonytalanságát, lletve egy adott valószínűség sznthez tartozó átfutás dőt nem tud számoln. 54

65 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak CA-SuperProject A felhasználó programok ma már elérhető árúak, és többnyre jó mnőségűek. A skála az alapfokú, ngyenes programoktól a mesterséges ntellgencával felruházott Prmavera-g terjed. A kettő közt széles skálán egy jó átlagos program pl. a Computer Assocates SuperProject-je, amellyel közös erőforrás-csomagból dolgozó több projekt s kezelhető egyszerre. Felhasználóbarát, vszonylag könnyen kezelhető program. Jól használható, hasznos segítőtárs egy beruházás területen dolgozó mérnöknek. [401] A CA SuperProject (4.0) specfkácója Taszkok száma projektenként Erőforrások száma projektenként korlátlan Az erőforrás mennysége hozzárendelésenként korlátlan Erőforrás sznt változások száma 254 Taszk-kapcsolatok száma projektenként korlátlan Kapcsolatok száma két taszk között l Megelőző kapcsolatok száma taszkonként korlátlan Követő kapcsolatok száma taszkonként korlátlan Prortás szntek 1000 Outlne szntek száma projektenként Fajlagos költségtáblák száma erőforrásonként 5 Változások száma költségtáblánként 37 A költségmező max. értéke A munkamennység max. értéke órában Előnyök: Gyors, egyszerű használat. Széles funkconaltás (dő-, költség- és erőforrás-tervezés). Több projekt egydejű kezelése (erőforrás-megosztás lehetőségek a projektek között). Együttműködés más szoftverekkel (mportálás, exportálás pl. Excel). 55

66 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Hátrányok, hányosságok: Nem követel meg a logka összerendeléseket. Az erőforrástervező komponense általában nem optmáls erőforrásallokácót határoz meg. Programrövdítésre, költségoptmálásra, költségoptmáls erőforrás-allokácó meghatározására (pl. CPM/COST, MPM/COST, PERT/COST) nncs lehetőség. Prmavera Project Planner (P3) A Prmavera Project Planner egy mesterséges ntellgencával felruházott projektmenedzsment-szoftver, mely képes egyszerre több projekt között hatékonyan elosztan az erőforrásokat. Többfajta, egymással herarchkusan összerendelhető erőforrást s kezeln tud. [401] A Prmavera specfkácója Projektek száma korlátlan Taszkok száma projektenként Erőforrások száma projektenként korlátlan Az erőforrás mennysége hozzárendelésenként korlátlan Erőforrás sznt változások száma korlátlan Taszk-kapcsolatok száma projektenként korlátlan Kapcsolatok száma két taszk között 10 Megelőző kapcsolatok száma taszkonként korlátlan Követő kapcsolatok száma taszkonként korlátlan Prortás szntek 1000 Outlne szntek száma projektenként korlátlan A költségmező max. értéke A munkamennység max. értéke órában Előnyök: Széles funkconaltás (dő, költség és erőforrás-tervezés). 56

67 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Több projekt egydejű kezelése (erőforrás-megosztás lehetőségek a projektek között). Együttműködés más szoftverekkel (mportálás, exportálás pl. Excel). Herarchkus erőforrások kezelése. A mesterséges ntelgenca alkalmazásának köszönhetően az optmáls megoldáshoz közel megengedett megoldás szolgáltatása. Hátrányok, hányosságok: Nem követel meg a logka összerendeléseket. Az erőforrástervező komponense általában nem optmáls erőforrásallokácót határoz meg. 1.9 Módszerek, szoftveres alkalmazások értékelése A korábban alkalmazott megoldások két részre bonthatók. Vannak algortmkus megoldások, lyen például a kegyenlítéses módszer, és vannak heursztkus megoldások, melyekre tpkus példa az allokácó. A heursztkus megoldások általában gyorsabbak, de nem garantálnak optmáls megoldásokat, és ezek a módszerek más eredményhez vezethetnek bzonyos esetekben. (Például, ha egy tevékenység megszakíthatóságát megengedjük, akkor más eredményt kapunk soros, lletve párhuzamos allokácó esetén). A kegyenlítéses algortmus nem megengedett megoldásból ndul k, így nem gaz rá, hogy mnden lépése megengedett megoldást adna. Így, ha olyan feladatot kell megoldanunk, ahol nagyszámú tevékenységet kell optmalzálnunk, akkor nem bztosított, hogy meghatározott dőn belül legalább egy megengedett megoldást kapjunk. A következő táblázat az rodalm hvatkozások egyfajta kategozálását tartalmazza. 57

68 Sztochasztkus Algortmkus Heurs Algortmkus Determnsztkus Heursztkus 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak Időtervezés, ütemezés Költség/dőtervezés Időkorlátos [17]; [82]; [184]; [214]; [301]; [313]; [357] [83]; [338] [28]; [39]; [ ]; [182]; [297] Erőforrás-tervezés Erőforráskorlátos [7]; [10-12]; [24]; [28]; [31-34]; [37]; [39]; [41-43]; [53]; [57-59]; [75]; [108]; [111]; [133]; [135]; [ ]; [164]; [166]; [171]; [173]; [176]; [182]; [204]; [210]; [212]; [ ]; [ ]; [246]; [250]; [ ]; [280]; [282]; [ ]; [ ]; [297]; [299]; [ ]; [317]; [338]; [ ]; [343]; [347]; [ ]; [366]; [ ]; [377]; [379]; [ ] [16]; [51]; [71]; [82]; [126]; [ ]; [165]; [ ]; [184]; [193]; [ ]; [205]; [ ]; [245]; [265]; [312]; [357]; [390] [8-9]; [18]; [29]; [88-91]; [93-94]; [96]; [98]; [100]; [ ]; [ ]; [139]; [156]; [167]; [194]; [197]; [ ]; [203]; [239]; [274]; [315]; [320]; [335]; [ ]; [356]; [383]; [389] [39]; [111]; [182]; [297] [5]; [7]; [19]; [39]; [44]; [61]; [69]; [74-75]; [79]; [81]; [85-87]; [97-99]; [111]; [113]; [118]; [149]; [169]; [170]; [176]; [182]; [183]; [189]; [198]; [219]; [264]; [272]; [297]; [299]; [314]; [ ]; [340]; [ ]; [ ]; [362]; [365]; [367]; [49-50]; [143]; [147]; [152]; [154]; [191]; [ ]; [254]; [281]; [293]; [331]; [369]; [381] [1-2]; [14]; [27]; [47-48]; [64]; [68]; [72]; [76-78]; [115]; [117]; [ ]; [134]; [136]; [140]; [ ]; [153]; [155]; [ ]; [168]; [172]; [ ]; [188]; [192]; [195]; [ ]; [209]; [231]; [ ]; [245]; [ ]; [ ]; [ ]; [263]; [ ]; [271]; [275]; [ ]; [ ]; [300]; [311]; [ ]; [329]; [ ]; [342]; [ ]; [353]; [ ]; [370]; [ ]; [391] [92] [361] [15]; [35]; [60]; [ ] [368] táblázat: rodalm hvatkozások csoportosítása Mvel elsősorban erőforráskorlátos allokácóval foglalkoztam, így a hvatkozások elsősorban erről a területről származnak. Ütemezés és költségmnmalzálás területéről sznte kzárólag algortmkus módszerekkel találkozhatunk, hszen tt a feladat komplextása nem túl nagy, így az ütemezéshez csak akkor célszerű valamlyen heursztkus módszert alkalmazn, amkor nagyon nagy projektek valós dejű ütemezését kell megvalósítan. Az erőforráskorlátos erőforrás-allokácó problémája már sokkal nehezebben oldható meg még nagyteljesítményű számítógépek segítségével s. Éppen ezért tt már nagyon sok heursztkus, lletve evolúcós módszerrel találkozhatunk. Sztochasztkus költség-, lletve erőforrástervezés körébe soroltam azokat a módszereket, melyeknél már legalább egy paraméter (pl. dőtartam, költség-, erőforrásgény stb.) sztochasztkus. Ebben a témakörbe még nagyon sok megválaszolatlan kérdés van. A projektmenedzsment számára fontos, hatékony eszköztárat nyújtó módszert, mely egyaránt alkalmazható olyan esetekben, amkor a tevékenység dőtartama, költséggénye, lletve az erőforrás-szökséglet előre meghatározható (determnsztkus), lletve becsülhető (sztochasztkus), valamnt kezel a szakaszonként konstans erőforráskorlátokat, a projekt lefutása során bekövetkezett tervadatoktól való eltérését, mndezdág nem publkáltak. A dsszertácóm készítése során a fent problémákra kerestem a válaszokat. Módszerem az erőforrás-korlátos erőforrás-allokácós probléma megoldására alkalmazható megújuló erőforrások optmáls erőforráselosztására. Az általam kfejlesztett módszer s 58

69 1. Irodalm áttekntés, alapfogalmak algortmkus jellegű, vagys garantáltan optmáls megoldást kapunk egy adott célfüggvényre. Megengedett megoldásból ndul, amt bármely heursztkus módszer szolgáltathat. Célfüggvény lehet a lehető legkorább/legkésőbb kezdés. Amennyben a projekt működése közben az erőforráskorlát, vagy a tevékenységek erőforrásgénye, dőtartama megváltoznak, a javasolt módszer segítségével meghatározható egy új termelés program a még futó, lletve a még el nem kezdett tevékenységekre. Az eljárás segítségével olyan projektre s meghatározható várható átfutás dő, költség- lletve erőforrásgény, ahol a tevékenységek dőtartamat, költség- lletve erőforrásgényet csak becsüln tudjuk. Ezzel a módszerrel több párhuzamosan működő projektet optmalzálhatunk, lletve többféle erőforrás egydejű kezelését valósíthatjuk meg. Kezeln tudjuk továbbá a fel nem használt erőforrásokat s. Munkám során olyan módszert fejlesztettem k, mely hatékonyan használható a projektmenedzsment területén. Célom az volt, hogy a projektmenedzserek számára egy hatékony eszközt bztosítsak a projektek tervezésére. A javasolt módszer mnd a ksebb ( tevékenység, néhány erőforrás), mnd pedg nagyobb ( tevékenység erőforrástípus) esetén s alkalmazható. Mnél több nformácóval rendelkezünk a tervezés során, annál pontosabb és megbízhatóbb tervet készíthetünk. A bemutatandó eljárás a szakrodalomban eddg publkált módszerekkel szemben olyan esetekben s használható, amkor költség-, erőforrás- és dőoptmálás együttes cél. A módszer alkalmazható olyan esetekben s, amkor a tevékenység dőtartama, közvetlen költsége lletve az erőforrásszükségletek adata determnsztkusak lletve valószínűség változók Hpotézsek H1. A menedzserek számára a különböző tevékenységek szervezését bztosító gyakorlat módszerek, eljárások, szoftverek nem alkalmasak valamenny erőforrás-tervezés/költségtervezés probléma megoldására. H2. A gyakorlatban használt algortmkus módszerek nagyméretű projekteknél (több mnt tevékenység) nem képesek belátható dőn belül legalább megengedett megoldást találn. H3. A gyakorlatban használt módszerek, eljárások, szoftverek nem kezelk a költségek és erőforrásgények bzonytalanságát. 59

70 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 2.1 Erőforrás-allokácó, megengedett megoldásból optmáls megoldás keresése (ERALL-OPT, OPT-RALL) Annak gazolására, amt a hpotézsemben megfogalmaztam, első lépésként egy olyan módszert mutatok be, mellyel egy erőforráskorlátos erőforrás-allokácós probléma megengedett megoldásából adott célfüggvényre (pl. lehető legkorább kezdésre) egy optmáls megoldást keres. Az általam kfejlesztett algortmus az erőforráskorlátos erőforrás-allokácós probléma megengedett megoldásából ndul k. Egy olyan optmáls megoldást keres, ahol az erőforráskorlátot nem túllépve a felhasznált tartalékdőket mnmálsra csökkentjük. A továbbakban megújuló erőforrásokkal foglalkozom (pl. munkaerő, berendezés stb.). Az erőforrás-allokácó során egy megengedett megoldáshoz jutunk. Bemutatom, hogy ha egy lyen problémának létezk megengedett megoldása, akkor létezk az erőforráskorlátot kelégítő optmáls megoldása s, amely véges lépésben elérhető. [ , 223, 226] A bemutatandó módszernek magyarul ERALL-OPT (erőforrás-allokácó optmáls megoldása), angolul OPT-RALL (Optmzed Resource Allocaton) nevet adtam A feladat megfogalmazása Defnícó: Egy ütemezést maxmálsan párhuzamosított megoldásnak nevezünk, ha valamenny a projektben/termelés programban szereplő tevékenység a legkorább kezdés dejére van beütemezve. Defnícó: Egy tevékenység tényleges kezdése és a legkorább kezdés között dőt felhasznált tartalékdőnek nevezzük. Megjegyzés: A felhasznált tartalékdő mndg egy nemnegatív egész vagy valós szám, hszen a tevékenységeket a legkorább kezdés dejüknél korábbra nem lehet beütemezn. Defnícó: Legkésőbb befejezés és a tevékenység tényleges befejezése között dőt rendelkezésre álló tartalékdőnek nevezzük. 60

71 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Defnícó: Egy erőforrás-allokácós probléma megengedett megoldásának nevezünk egy olyan ütemtervet, amelynél a projekt végrehajtása során mnden dőpllanatban az összes erőforrásgény nem haladja meg az erőforráskorlátot. Defnícó: Az erőforrás-allokácó (egy adott célfüggvényre) optmáls megoldásának nevezünk egy olyan megengedett megoldást, ahol a célfüggvény értéke a lehető legksebb (legnagyobb). Megjegyzés: Ilyen célfüggvény lehet pl. a megengedett megoldásokban elmozgatott tevékenységek felhasznált tartalékdőnek mnmuma, vagy a tevékenységek felhasznált tartalékdőnek összegének mnmuma stb. Legyen például a célfüggvény a megengedett megoldás érdekében elmozgatott tevékenységek lehető legkorább kezdése. Itt csak azokat a tevékenységeket kell optmalzáln, amelyeket elmozdítottunk annak érdekében, hogy egy optmáls megoldást kapjunk (ezeket a tevékenységeket fehérrel jelöltem). Ugyans a több esetben a tevékenységeket nem mozgattuk el a megengedett megoldás keresésénél. Vagy azért, mert a krtkus úton helyezkednek el (zölddel jelöltem), vagy az erőforráskorlátot nem sértették meg (sárgával jelöltem). Felírható az összefüggés: Legyen: x (,j) az (,j) tevékenység által felhasznált tartalékdő (amelyeket nem mozgattuk el, azoké nulla). Legyen z (,j) a tevékenység legkorább kezdés deje (EST (,j) ). Legyen (t ) a t. dőpllanatban lévő erőforrásgény nagysága (pl. a ábra látható 7. dőpllanatban ez 15) stb. Legyen w (,j) az (,j) tevékenység kezdés deje a megengedett megoldásban. Mvel a feladat a lehető legkorább kezdések meghatározása, az egyk legnehezebb probléma alsó, lletve felső korlátot adn a lehetséges kezdéseknek. A legkorább kezdés általában elérhetetlen alsó korlátnak bzonyul. Az elmúlt két évben publkáltak olyan módszereket, melyekkel pontosabb becslését adhatjuk a lehető legkorább, lletve legkésőbb kezdésnek. Ezek a módszerek már fgyelembe veszk a tevékenységek erőforrás-szükségletet s. w (,j) és z (,j) meghatározása után w (,j) -z (,j) konstans, és kezdetben w (,j) -z (,j) =x (,j). Legyen továbbá P azoknak a tevékenységeknek a halmaza, amelyeket elmozgattunk, valamnt a 61

72 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása korlátozás legyen c. (Általános esetben P halmaz legyen az optmalzálandó tevékenységek halmaza.) Ekkor gaz a következő: + x (,j) w (,j) -z (,j), ahol x (,j), w (,j), z (,j) R o ( ) (z (,j) + x (,j) ) c, ahol c R + o, R + o {r 1,r 2,..,r n }, r 1,r 2,..,r n R + o, n Z + ( ) (,j) Q, ahol Q (P)\, (k,l)a\ Q esetén. Ha (,j) tevékenység rákövetkezés relácóban áll (k,l)-l, akkor z (,j) +x (,j) z (k,l) +d (k,l). ( ) Feltételek teljesülése esetén a feladat mnmalzáln P halmaz tevékenységenek felhasznált tartalékdejét: q mn x, j, j P ( ) Ugyanlyen feladatként lehet megfogalmazn, ha a felhasznált tartalékdők összegének mnmumát szeretnénk meghatározn. Ekkor a egyenlet a következőképpen módosul. q mn x, j, j P ( ) Hasonlóan lehet a felírn a problémát, ha a cél a lehető legkésőbb kezdés; ekkor a feladat a felhasznált tartalékdők maxmalzálása. Korlátot a (lehető) legkésőbb kezdés adja meg. Ilyen felső korlátot adó algortmusokat szntén az utóbb két évben publkált módszerek segítségével lehet találn. Ezen módszerek sajátossága, hogy általában pontosabb becslését lehet adn a lehető legkésőbb/legkorább kezdéseknek. Ezek a módszerek fgyelembe veszk ugyan az erőforráskorlátokat, de a szolgáltatott megoldás nem bztos, hogy megengedett. A modellből látszk, hogy a feltételek teljesülését egyrészt a töréspontokban kell vzsgáln, másrészt a rákövetkezés relácókból következk, hogy egy tevékenységet maxmum meddg lehet vsszatoln. E két dő határozza meg, hogy mkor kell döntenünk az egy lépésben optmalzálandó tevékenységekről (Q halmaz). 62

73 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Az algortmus leírása Khasználjuk a következőket a módszer során: 1. Csak a P halmaz elemet optmalzáljuk. (Ez lehet az alternatív úton lévő tevékenységek halmaza, lehet továbbá a megengedett megoldásban később dőpontra ütemezett ( elmozgatott ) tevékenységek halmaza). 2. Felhasználjuk, hogy -függvény mnden olyan helyen, ahol nncs törés konstans, bármelyk tevékenységet s változtatva a módszer a megengedettségen nem változtat, ha fgyelembe vesszük a rákövetkezés relácókat s. 3. A 2. pont szernt tehát egy bzonyos deg a ( , ) feltétel elhagyható. Ekkor vszont egy lneárs problémához (LP) jutunk. Tehát arra az ntervallumra a választott kválasztást alkalmazva a megengedettség nem sérül. Defnícó: Egy (,j) tevékenységre vonatkozó töréspont értéke megmutatja, hogy az (,j) tevékenységet elvéve az összes erőforrásra vonatkozó erőforrásgény függvény a tevékenység kezdése pllanatában hogyan változk. Ha az erőforrásgény csökken (nő) a tevékenység kezdetekor, akkor a töréspont ebben a pllanatban poztív (negatív). Példa: A ábrán (6,9) lletve (7,8)-as tevékenységre vonatkozó töréspont nulla, míg ugyanez a ábra esetében (6,9)-re 2 lletve (7,8)-ra 5. Menny ez a bzonyos dő. Ennek kszámolása nagyon egyszerű. Legyenek adottak azok a tevékenységek (Q), amelyek felhasznált tartalékdejét (együttesen) csökkenten szeretnénk. Ekkor legyen t az az dő, amenny deg valamenny csökkenthető úgy, hogy törésponthoz nem érnének, lletve ha elérk, akkor ez a töréspont negatív. Másrészt a rákövetkezés relácók meghatározzák, hogy az elmozgatandó tevékenységek közül mennyvel mozgathatjuk el őket, hogy a rákövetkezés relácó ne sérüljön. Ezt az dőt pedg úgy számíthatjuk k, hogyha egy tevékenységnek van megelőző tevékenysége, akkor a megelőző tevékenység befejezéséből kvonjuk a követő tevékenység kezdés dőpontját. Ez a szám legyen t s (pl. Ez az dő a ábrán a (7,8) ra 33-(18+6)=9). Továbbá legyen QP azon tevékenységek halmaza, amelyeket az adott lépésben mnmalzáln szeretnénk. Ekkor az az dő, ameddg a lneárs modellt használhatjuk (legyen t l ) az alább módon számítható: t l :=mn(t s(,j) ; t (,j) ), ahol (,j)q. ( ) 63

74 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Ekkor x (,j) :=x (,j) -t l, ahol (,j)q. Ebből következk, hogyha a kválasztott felhasznált tartalékdőket az így kszámolt dővel csökkentjük, a megengedettséget nem szegjük meg. Az algortmus leglényegesebb pontja most következk. Mégpedg amkor t l -el csökkentettük x (,j) -ket, akkor meg kell választanunk a következő Q halmazt. Nylvánvaló, hogy QP, vagys a kválasztható tevékenységeknek (az elmozgatott tevékenységeknek) részhalmaza az a halmaz, amelyet ténylegesen kválasztunk. A feladat megoldására egy úgynevezett Branch & Bound módszert alkalmaztam, amely a döntés pontokban a következőt tesz: P halmazban kezdetben az optmalzálandó tevékenységek szerepelnek. Q legyen részhalmaza P-nek. Ekkor rekurzívan smételhetjük elölről, amíg nem lesz olyan tevékenység, amt vsszatolhatnánk. Az algortmus nformáls leírásában találkozhatunk egy olyan esettel, amt eddg még nem említettem. A smítás eljárás során egyfajta specáls tulajdonságú megengedett megoldást kapunk, amelyre teljesül a következő: Az alább eset nem fordulhat elő: ábra: ütemezés csapdák Ilyen a smításon alapuló megengedett megoldáskeresésnél azért nem fordulhat elő, mert csak addg kell smítan (eltoln) a tevékenységet, míg el nem érünk egy megengedett megoldást, tehát rögtön a másodk esetet kapnánk. Párhuzamos lletve soros allokácós eljárás alkalmazása esetében, valamnt az algortmus futása során köztes állapotként előfordulhat az első eset s. Éppen ezért, hogy a módszer ezt az esetet s kezelje, kbővítettem egy olyan vzsgálattal, amely megnéz, hogy van-e olyan hely, ahol a tevékenységet úgy be lehet ütemezn, hogy a korlátozó feltételek érvényessége ne boruljon fel. Nylván tt s csak a töréspontokat kell fgyelembe venn, valamnt azt, hogy a tevékenység alatt van-e olyan töréspont, amely esetben a korlátozó feltétel sérülne. Ahhoz, hogy mnden esetben helyes töréspont adatokkal számoljunk, a kválasztott Q halmazbel elemeket kvesszük a tevékenységek közül, majd az így kapott erőforrásterhelés dagram tetejére rendezzük. 64

75 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Vezessük be a következő jelöléseket: Legyen P az optmalzálandó tevékenységek halmaza. Legyen továbbá A az összes tevékenységet tartalmazó halmaz (alaphalmaz). Legyen QP. Az optmalzálás során elmozgatandó tevékenységek halmaza. Legyen z (,j) az (,j)-tevékenység legkorább kezdésének dőpontja. Legyen x (,j) az (,j)-tevékenység felhasznált tartalékdeje, z (,j) a (lehető) legkorább kezdése, w (,j) (,j)-tevékenység tényleges kezdés deje a megengedett megoldásban, d (,j) (,j) tevékenység dőtartama. Legyen T a töréspontok halmaza, ahol tároljuk jobbról-balra a töréspontok helyét és mértékét. Pl. a ábrára: T:={(40, 1), (33, -2), 27, -7), (24, 5), (20, 2), (18, -1), (15, 3)}. Korább töréspontokat nem érdemes tároln, hszen a korább dőszakban kezdődő tevékenységeket nem mozgattuk el. A T (,j) halmazban tároljuk a Q halmazra vonatkozó legkorább kezdés dőt megelőző töréspont értékét. Tehát pl. a ábrán a Q={(7,8)}-as tevékenységre: a töréspontok (27,-7), (24, 5), (20, 2), (18, -1), (15, 3), (7, -6), (4, 4). Vagys 27. dőpllanatban a töréspont értéke relatíve 7, mvel ha a (7,8)-as tevékenységet egy ks (dt) dővel a 27. dőpont elé tolnánk, akkor az ott lévő erőforrás-khasználás értéke 7-tel csökkenne az eredethez képest. Így t értéke Q={(7,8)}-as tevékenységre 33-24=9, mvel a (7,8)-as tevékenységet maxmum 9 dőegységgel tolhatjuk el anélkül, hogy egy poztív törésponthoz a 24. dőpllanatban nem érnék. A töréspont értéke tt 5. Így T (,j) -ben a (7,8)-as tevékenységet a következőképpen tároljuk: {{(7,8)}, {(6, -7),(9, 5)}}. A több töréspontot erre a tevékenységre nem érdemes tároln, hszen a 21. dőpllanatnál előbbre nem tolhatjuk, mvel ekkor x (7,8) negatív lenne, am ellentmondana azzal a feltevéssel, hogy a smítás eljárás előtt állapot ( ábra) a felhasznált tartalékdőkre nézve optmáls. Legyen T s a rákövetkezés relácók dejének halmaza mnden tevékenységre. Pl. a ábrán (7,8)-as tevékenységre 33-24=9. Vagys a (7,8) tevékenység kezdete mínusz az (5,8)-as tevékenység befejezése = 9. Ugyanígy tt s csak a nem nulla (negatív nem lehet) poztív számokat tároljuk. Ezek kezdetben adottak, később mndg újra számíthatók. Tehát az előbb példára egy elem a T s -ben {{(7,8); (5,7)},{9}}. Vagys ez azt s jelent, hogy a (7,8)-as tevékenységet csak maxmum 9 egységgel tolhatjuk el, hogy ne sértsük meg a rákövetkezés relácót. 65

76 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Legyen (t) a t. dőpllanatban lévő összes erőforrásgény, (t)=c pedg az erőforráskorlát, am jelen esetben konstans. Legyen továbbá a ReCalculate egy olyan függvény, amely kszámítja a T (,j) és T s halmazokat a Q és A halmazok fgyelembevételével, vagys kszámítja a töréspontok, és a rákövetkezés relácók dejét úgy, hogy a Q halmazbel elemeket az erőforrásterhelés dagram tetejére rendez, hogy valós töréspontokat számíthassunk. (Ha nem rendeznénk a mnmalzálandó tevékenységeket a dagram tetejére, akkor a töréspont defnícója matt nem vennénk észre valamenny töréspontot.) Nylvánvaló, hogy T (,j) lletve T s s véges számú elemet tartalmaz, hszen véges számú tevékenység van. 66

77 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Az algortmus formáls leírása: Procedure ERALL-OPT(A, P, T (,j), T s, T) Begn Whle P do {Addg smételgetjük az eltolásokat, ameddg csak lehet.} Begn Let be Q another subset of P where all q (,j) Q satsfy that (z (,j) +x (,j) +t)c and x (,j) >0 where t[0- dt,d (,j) ]; {csak olyan elemeket optmalzálhatunk, amelyeknél nem fog sérüln a megengedettség.} ReCalculate(T, T (,j), T s, Q, A); {Számítsuk k újra T (,j), T s halmazokat úgy, hogy a kválasztott Q-bel elemeket az erőforrásterhelés dagram tetejére rendezzük.} t l :=max(x (,j) ), where (,j)q; {Kezdetben a maxmálsan csökkenthető eltolásra állítjuk, ugyans ettől csak bztos, hogy kevesebbel tolhatjuk el az erőforrásokat.} f (Q,{w 1,w 2 })T (,j) and w 2 >0 then t :=w 1 else t :=t l ; {Ha nncs lyen korlátozó feltétel, akkor teljesen vsszatolhatnánk, ha vszont van lyen, akkor csak annyval toljuk vssza, amennyvel lehet.} For all (,j)q do Begn f (({q (,j), p (k,l) },{w})t s where q (,j) Q and p (k,l) A\Q and w s mnmal) then t s(,j) :=w else t s(,j) :=x (,j) ; {Ha van olyan rákövetkezés relácó, amely korlátozná az elmozgatandó tevékenységet, akkor ez az érték legyen a korlátozó feltétel; egyébként legyen anny, amennyvel a megengedett megoldás érdekében elmozdítottuk a tevékenységeket. Hszen ha nncs lyen korlátozás, akkor akár teljesen vsszatolhatnánk az eredet helyére.} t l(,j) :=mn(t s(,j),t ) f t l > t l(,j) then t l := t l(,j) ; {A mnmálsan eltolható dőértékkel kell valamenny tevékenységet eltoln, hogy megőrzzük a megengedettséget.} End; For all (,j)q do Begn T:=T\{w (,j), (q (,j) )- (q (,j) -dt)}; {Kvesszük azt a töréspontot, ahonnan most elmozgatjuk az elemet} x (,j) := x (,j) -t l ; {Mnden kválasztott elemet vsszatolunk t l -el} w (,j) :=z (,j) +x (,j) PRINT x (,j) ; T:=T{w (,j), (q (,j) )- (q (,j) -dt)}; {Betesszük azt a töréspontot, ahová most elmozgattuk.} PRINT Q; End; P:=P\{p (,j), p (,j) P and s (k,l) A\P where (p (,j), s (k,l), w)t s }; {P-ből kvonom azokat az elemeket, amelyeket a rákövetkezés relácók matt nem lehetne már vsszatoln. If Q= then For all (,j)p do t l :=Hole((,j), A, T); If Q= and t l =0 then P:=; {Nem tudunk tovább optmalzáln, mvel sehogyan sem tudunk újabb részhalmazt kválasztan, valamnt semennyvel sem tudtuk vsszatoln az elemeket.} ERALL-OPT (A, P, T (,j), T s, T); {Rekurzívan meghívjuk a függvényt.} End; End. 67

78 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Recalculate segédfüggvény, amely kszámítja a T (,j), T s halmazokat. Procedure ReCalculate(T, T (,j), T s, Q, A) Begn TempT:={}; {Kezdetben a halmazok üresek} T s :={{},{}}; q (,j) :=(q (k,l) of Q where q (k,l) Q and w (,j) s mnmal); {egy Q-bel elemet kválasztunk, mely a leghamarabb kezdődk.} j (,j) :=w (,j) -z (,j) Whle j (,j) 0 Do Begn TempT :=TempT {(w (,j) -a,b) where (a,b)t and a-z (,j) <j (,j) and a-z (,j) >0}; {Ebbe a halmazba gyüjtjük a Q halmazra vonatkozó legközelebb töréspontokat és a töréspontok értékét.} j (,j) :={j, (a,b)t j:=a-z (,j) where j0 and j<j (,j) } {j (,j) értékét a következő töréspontg csökkentjük} End; T :={Q,TempT }; For all (q (,j) Q and p (k,l) A\Q) Do Begn If (w (,j) -(w (k,l) +d (k,l) )>0) then T s :=T s {{q (,j), p (k,l) },w (,j) -(w (k,l) +d (k,l) )}; {Feltöltjük a T s halmazt.} End; End; ERALL-OPT algortmus kterjesztése Branch and Bound keretalgortmus használatával Kezdet probléma alakja: R A, P, T, T, c, Q U 0 A: tevékenységek alaphalmaza; S 0, P 0 : optmalzálandó tevékenységek knduló halmaza; T 0 : töréspontok knduló halmaza; 0, ahol T S0 : A P 0 halmaz tevékenységenek rákövetkezés relácó ( T S, j, t 0, ahol, j P0, valamnt t ); R 0 c: erőforráskorlát konstans; Q 0 : az R 0 problémához tartozó optmalzálandó tevékenységek halmaza, Q 0 = Ø; U 0 : U 0 = Ø; Egy tetszőleges részprobléma alakja: R A, P, T, T, c, Q, U S, ahol A: tevékenységek alaphalmaza; P : az optmalzálandó tevékenységek aktuáls halmaza; P = Ø, ha R a B&B fa egy levele, azaz tovább nem optmalzálható megoldás; T : a töréspontok aktuáls halmaza; T S : a P halmaz tevékenységenek rákövetkezés relácó (T S ={{, j},{t}}, ahol (, j) P valamnt t R + 0 ); 68

79 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása c: erőforráskorlát konstans; Q : az R részproblémához tartozó optmalzálandó tevékenységek halmaza, Q (P ). Megjegyzem, hogy Q vagy egy tevékenységet tartalmaz, vagy olyan tevékenységeket, melyek között átlapolás van; U : a P 0 halmaz azon eleme, amelyek már nem vonhatóak be az optmalzálás folyamatba, azaz U = P 0 \ P. Tovább jelölések: H: aktív halmaz, azon részproblémák halmaza, amelyek még nem kerültek kértékelésre; kezdetben H = Ø; f : az R részproblémához tartozó megoldás értéke; g : az R részproblémához tartozó alsó korlát értéke, g f ; x (k,l) : a (k,l) eseményhez tartozó tartalékdő, ahol (k,l) A; f * : az aktuálsan legjobb megoldás; R: az aktuálsan legjobb megoldáshoz tartozó részprobléma; Az algortmus lépése: 1. R 0 kezdet problémát betesszük a H aktív halmazba, f 0 x( k, l). 2. A kválasztás szabály alapján kválasztunk egy aktív R részproblémát H halmazból. 3. Ha Q Ø, ahol Q R, akkor 1. meghívjuk az ERALL-OPT algortmust R részprobléma paraméterevel 2. f x( k, l). P 0 Megjegyzés: a feltétel csak akkor nem teljesül, ha R = R 0, ugyans ekkor Q 0 = Ø, máskülönben Q Ø. 4. Ha P = Ø, akkor az eddg f * legjobb megoldást lletve R részproblémát aktualzáljuk f alapján. 5. A szétválasztás szabály alapján P halmazból létrehozzuk a Q j halmazokat, azaz egy Q (P ) halmazt. Ha van olyan tevékenység, amelyet P -ből nem választhatunk, akkor azt U -hez adjuk. 6. Mnden Q j Q halmazra: 1. létrehozunk egy R j {A, P, T, T S, c, Q j, U } részproblémát; P 0 69

80 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 2. kszámoljuk a következő képlet alapján g j alsó korlátot: x t x, ahol ( k, l) gj g j ( m, n) P \ U 0 U x ( k, l) ;mn ts( k, l P \ U t gj mn mn P0 \ U 0 algortmusból származnak; ), valamnt t s értékek az ERALL-OPT 3. ha g j < f *, akkor R j -t betesszük H-ba (korlátozás szabály). 7. Ha H Ø, akkor a 2. lépésre ugrunk; egyébként az algortmusnak vége és a legjobb megoldást az R részprobléma tartalmazza. U halmazban elhelyezzük a P halmazból keső elemeket. Állítás: Az algortmus nem ad rosszabb megoldást, mnt amlyenből kndultunk. Bzonyítás: Mnden lépésben x (,j) -n, vagys a felhasznált tartalékdőn csökkentünk, ha ez lehetséges. Így legrosszabb esetben a knduló megoldást kapjuk. Állítás: Az algortmus véges lépésben megáll. Bzonyítás: Felhasználva, hogy egy lépés a töréspontoktól és a rákövetkezés relácóktól függ, amelyek véges számúak, valamnt az lyen pontokban (legyenek továbbakban döntés pontok) P-ből az elmozgatott tevékenységekből álló halmazból választjuk k az optmalzálandó tevékenységeket, valamnt az előző állítás értelmében mndg egy nem rosszabb állapothoz jutunk. Amnt nem tudunk tovább optmalzáln, az algortmus megáll. Véges helyen kell dönten; amnt egy döntés pontból nem tudunk tovább haladn (nem tudunk olyan Q-t kválasztan, amelyre a feltételek gazak lennének), az algortmus szntén megáll. Állítás: Az algortmus mndg megadja az optmáls megoldást. Bzonyítás: Ezt az bztosítja, hogy mnden döntés pontban (rekurzó matt) mndenféleképpen kválasztjuk a P-bel elemeket, tehát az összes megoldást megkapjuk. Állítás: Az algortmus az összes optmáls megoldást megadja. Bzonyítás: Az előző állításból következk, hszen mnden lehetséges választást kpróbál. 70

81 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Defnícó: Két megoldás ekvvalens, ha valamenny tevékenységre gaz, hogy a két megoldásban ugyanakkor kezdődnek, valamnt mnden dőpllanatban ugyananny az erőforrásgényük. Megjegyzés: Ekkor csak a felrajzolásban különbözhetnek (melyk helyezkedk el a másk felett az erőforrásterhelés dagramban). Defnícó: Legyen egy (megengedett/optmáls) megoldáshalmaz fokszáma a megoldáshalmazban lévő nem ekvvalens megengedett/optmáls megoldások száma Példák Adott egy tevékenységlsta alapján felvett CPM-háló vagy MPM-háló (pl ábra), valamnt a tevékenységekhez rendelt erőforrásgény ( táblázat). Ekkor a tevékenységek legkorább beütemezésére felrajzolható egyértelműen az erőforrásterhelés dagram (pl. ehhez tartozó: ábra). Ezen kívül adott egy megengedett megoldás, amelyre teljesül, hogy mnden pontban az összes erőforrásgény nem nagyobb, mnt az erőforráskorlát. Tevékenység jele Erőforrás-szükséglet Időtartam (1,2) 8 4 (1,3) 5 7 (2,4) 4 9 (3,5) 3 8 (3,6) 8 13 (4,6) 4 5 (5,6) 0 0 (5,7) 5 6 (6,8) 6 20 (6,9) 7 19 (7,8) 2 7 (8,9) táblázat: CPM-tevékenységjegyzék 71

82 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: krtkus út egy CPM-hálóban ábra: terhelés dagram Ha csak azt vzsgálnánk, hogy a rendelkezésünkre álló tartalékdőt mennyre használjuk k, akkor ez az állapot lenne az optmáls, mvel tt az egyes tevékenységeket olyan hamar kezdjük el, amlyen hamar csak tudjuk. Azonban van egy erőforráskorlátunk, amely korlátot úgy szeretnénk betartan, hogy a teljes átfutás dő (a krtkus út hossza) ne változzon. Erre a pl. a smító (allokácós) algortmus ad egy heursztkus megengedett megoldást. A bemutatandó módszer nnen ndul. 72

83 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Az előző fejezetben említettem, hogy általában egy heursztkus megoldás nem garantálja az optmumot, ellenben rendkívül gyors. A most bemutatandó algortmus ezzel szemben garantálja az optmumot ábra: egy megengedett megoldás ábra: egy másk megengedett megoldás Induljunk k a ábrán lévő megengedett megoldásból. Ekkor P:={(5,7),(6,9),(7,8)}. Q- nak csak olyan tevékenységet választhatok, amelyre nem lépjük túl a megengedés feltételt. Ez pedg csak a (6,9) tevékenység. Itt t l =3; vagys maxmum 3 egységgel kezdhetne korábban. Ezután már nncs olyan tevékenység, amt optmalzáln lehetne. Ekkor az optmáls megoldás a ábrán látható. Ha a ábrán lévő megengedett megoldásból ndulunk k, akkor szntén P:={(6,9),(5,7),(7,8)}, Q lehet (6,9) vagy (7,8). Ennek megfelelően a Branch & 73

84 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Bound fánk a ábrán látható. Az algortmus megadja a megoldásokat, amelyek ebben az esetben ugyanahhoz a megoldáshoz vezetnek ábra: az erőforrás-allokácó optmáls megoldása ábra: döntés fa Általában egy lyen algortmus azért lassú, mert valamenny megoldást megkeres. Vszont egy megoldást vszonylag gyorsan elér. Ha úgy módosítjuk az algortmust, hogy adunk egy olyan feltételt a befejezéshez, amelyet ha elérünk, az már elégséges, akkor az algortmus rendkívül gyorssá tehető. A korlátozás és szétválasztás módszerét alkalmazva tovább gyorsíthatjuk az algortmus lefutását. Ha egy megoldásról meg tudnánk mondan, hogy ez optmáls, akkor szntén nem kell tovább keresnünk. Az algortmus során 74

85 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása prortásokat s kezelhetünk. Megmondhatjuk, hogy mely tevékenységeket optmálja előbb. Elmondható, hogy az algortmusunk nem dszkretzál, tehát az egyes töréspontok, rákövetkezés relácók értéke felvehetk egy nemnegatív valós szám bármely részhalmazának tetszőleges értéket a több feltétel (rendelkezésre álló tartalékdő stb.) betartásával. (Ez különösen akkor lehet fontos, amkor a hálón alkalmazott dőtartamok egysége nagyobb, mnt egy óra, pl. nap, hét, hónap stb.) 2.2 Erőforrás-allokácó szakaszonként konstans erőforráskorlátozás esetén (ERALL-OPT/SZK, OPT-RALL/VRA) A gyakorlatban sokszor előfordul, hogy a rendelkezésünkre álló erőforráskorlát függ az dőtől. (Pl. egy szálloda építésekor ünnepnapokon előfordulhat, hogy rendelkezésünkre jóval kevesebb munkaerő áll, mnt más napokon.) Megmutatom, hogy lyenkor bzonyos megszorításokkal vssza lehet vezetn a feladatot az eredet problémára. Így egy megengedett megoldást kereső heursztkus algortmus (néhány apró ponton módosított változata) s működk, és egy megengedett megoldást talál. Látn fogjuk, hogy az általam kfejlesztett algortmus vszont teljes egészében, lényegében változtatás nélkül vsszavezethető az eredet feladatra. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/SZK (optmáls erőforrás-allokácó szakaszonként konstans erőforráskorlát esetén), angolul OPT-RALL/VRA (Optmzed Resource Allocaton wth Varable Resource Avalablty) nevet adtam. (A /-jel után írodott rövdítések az alap algortmushoz képest történt bővítést jelölk.) A feladat és a megoldás leírása Az előző fejezetben tárgyalt erőforrás-allokácó kzárólag konstans korlátozás esetén működött. Látn fogjuk, ha az erőforráskorlát szakaszonként konstans függvény, és a függvénynek csak véges sok helyen van szakadása, akkor egyszerűen vsszavezethető az eredet problémára. Legyen adott egy függvény, mely az erőforráskorlátot adja meg mnden pontban. Ennek a függvénynek véges sok helyen legyen csak szakadása, valamnt e pontok kvételével legyen (szakaszonként) konstans függvény. Ilyen erőforráskorlátok mellett keressünk először egy megengedett megoldást. Mnt azt látn fogjuk, első lépésként megpróbálunk egy olyan erőforráskorlátot keresn, amely konstans. Legyen ez a szám a függvény maxmuma. 75

86 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Azokon a szakaszokon, ahol függvény értéke ksebb ennél, ott vezessünk be olyan látszaterőforrásgényt, amelyeket semmképpen sem mozgathatunk el a megengedettmegoldáskeresésben. Rendezzük ezeket a látszat-erőforrásgényeket az erőforrás-terhelés dagram aljára. Ha létezk megengedett megoldás, akkor az algortmusom megtalálja az optmáls megoldást, hszen a látszat-erőforrásgényeket nem mozgattuk el. Így ezeket a látszaterőforrásgényeket optmálnunk sem kell. Fontos megjegyezn, hogy a megengedett mgoldás keresésébe a látszaterőforrásgényeket olyan erőforrásgényekként/tevékenységekként kell kezeln, amelyeket semmlyen körülmények között sem szabad elmozdítan. Ha másképpen nem lehet megoldan a feladatot, akkor a feladatnak nncs megengedett megoldása, hszen ez ellentmondana a kezdet erőforráskorlát-/erőforrásgény-feltevésenknek. Ha létezk megengedett megoldás, akkor az algortmusunk ezeket a tevékenységeket semmképpen sem mozgatja el (nem optmalzálja), ugyans a megengedett megoldás keresésekor ezeket a tevékenységeket TILOS volt elmozdítan! Defnícó: Egy szakaszonként konstans erőforráskorlát-függvény maxmuma, és a függvény értelmezés tartományában lévő pont között erőforrásgényt látszaterőforrásgénynek nevezzük. Állítás: A módosított ERALL-OPT/SZK-algortmus s véges lépésben megadja az optmáls megoldást. Bzonyítás: Vsszavezetjük a feladatot az előző problémára. Tegyük fel, hogy a feladatnak létezk megengedett megoldása. (Amennyben nem létezk, úgy optmáls megoldása sem lehet, hszen az optmáls megoldás egyben megengedett megoldás s.) Használjuk k, hogy a megengedett megoldás keresésében a látszat-erőforrásgényeket nem mozgattuk el. (Ebben az esetben ugyans ez szntén nem lenne megengedett a megoldás). Ezért az ERALL-OPT-algortmus ezeket a tevékenységeket nem s fogja optmáln. Rendezzük a látszat-erőforrásgényeket a terhelés dagram aljára. Az optmalzálandó tevékenységek halmaza legyen P, ezután alkalmazzuk az ERALL-OPT-algortmust. 76

87 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Példa A ábrán láthatunk egy olyan esetet, melynél az erőforráskorlátnak véges sok helyen szakadása van. Ezen pontok kvételével vszont az erőforráskorlát egy konstans függvény. A ábrán az eredet feladatot úgy rajzoljuk át (az erőforráskorlát és az erőforrás-terhelés függvényenek különbségét olyan látszat-erőforrásgényeknek tekntve, melyet nem mozgathatunk el), hogy az előző feladattal ekvvalens feladatot kapjunk. Egy megengedett megoldást ( ábra) optmalzálunk az eredet algortmussal ábra: terhelés dagram ábra: a terhelés dagram látszat-erőforrásgény elrendezése után 77

88 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: egy megengedett megoldás ábra: az optmáls megoldás Megjegyzés: Olyan eseteket vzsgáltunk, ahol a maxmáls erőforráskorlátozó függvény független volt a tevékenységektől, csak az dőtől függött. Legyen az erőforráskorlát, tehát 0,m y,..,, ahol : 1 y n m R, n Z. Az erőforráskorlát-függvényt 0-tól m-g értelmeztük. m=tpt legyen a projekt átfutás deje; a függvénynek véges sok (n db) helyen van szakadása. Itt a függvény y 1,.., y n értékeket vehet fel. Amnt láthatjuk, ez az algortmus sem dszkretzál. A szakadások a projekt átfutás dején belül bármely nem negatív valós számot felvehetnek. 78

89 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 2.3 Tovább alkalmazások (tevékenységek, erőforrásgények követése, megszakítható tevékenységek kezelése) Nemcsak a projektek tervezése, de a projektek nyomonkövetése s elengedhetetlen egy skeres projekt végrehajtásához. A tevhez képest gyakran előfordulhatnak a megvalósítás során ksebb-nagyobb változások (pl. tevékenység dőtartama, költséggénye, erőforrás-szükséglete stb.). Az lyen eltérések kezelésére két fajta módszert s választhatunk. Vagy beépítjük a projekttervbe az egyes változók (tevékenység dőtartama, költség- és erőforrásgénye stb.) bzonytalanságát (lásd fejezet), vagy a megváltozott paraméterekkel újra ütemezzük a tevékenységeket. Ebben a fejezetben először a másodk módszer lehetőséget mutatom be. Legyen v(t) egy adott dőpont a koordnátarendszeren. Tegyük fel, hogy eddg az dőpontg a tevékenységek egy adott módon már végbementek. (pl. valamlyen optmalzácós eljárás által meghatározott módon. Lehet pl. v(t) a ma dátum, amkor tudomásunkra jut a változás). Mnt látn fogjuk, lényegében a v(t) dőpont előtt befejezett tevékenységekkel nem kell foglalkoznunk, hszen az már végrehajtódott. A végrehajtás alatt lévő tevékenységeket két csoportra bonthatjuk. Az első csoportot azok a tevékenységek alkotják, melyeket semmlyen körülmények között nem szabad megszakítan (lyen lehet pl. egy kéma kísérletsorozat, építőparban bzonyos betonozás munkák stb.). A másk csoportba azok a tevékenységek tartoznak, amelyeket megszakíthatunk. A továbbakban először a nem megszakítható tevékenységekkel foglalkozunk, majd a modellemet kterjesztem megszakítható tevékenységek kezelésére s. A futás alatt lévő be nem fejezett, nem megszakítható tevékenységek még be nem fejezett részét nem szabad elmozgatnunk. Így az előző módszerhez hasonlóan úgy kezeljük őket, mntha látszat-erőforrásgények lennének. Ily módon bztosítjuk azt, hogy ne szakadhassanak meg. [ , 223, 226] Erőforráskorlát változása (ERALL-OPT/ON-LINE/VK, OPT-RALL/ON- LINE/VRA) Az erőforráskorlátok, erőforrásgények, tevékenységek dőtartamanak nyomonkövetése fontos feladat, mert így e paraméterek esetleges változásara a szervezet jobban fel tud készüln. Az előbb felsorolt paraméterek lehetséges változása közül most tekntsük a legegyszerűbb problémát, ha a projekt megvalósítása közben kderül, hogy az erőforráskorlát 79

90 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása megváltozk. Az éppen futó tevékenységeket két csoportba kell bontan aszernt, hogy a tevékenységek megszakíthatók vagy sem. Először tehát azzal az esettel foglalkozom, amkor a tevékenységeket nem lehet megszakítan. (Azzal az esettel, amkor defnáljuk egy tevékenység megszakíthatóságát, később foglalkozom). Tehát ügyelnünk kell arra, hogy a már elkezdett tevékenység (v(t) dőpllanat előtt elkezdett tevékenység) nem szakadhat meg. Ezt úgy érhetjük el, hogy a folyamatban lévő tevékenységet az előző fejezetben tárgyalt látszaterőforrásgények módjára kezeljük. Ezzel elérhetjük, hogy egy megengedett megoldást kereső algortmus (pl. párhuzamos allokácó, soros allokácó stb.) nem fogja a tevékenységet elmozdítan. Az ERALL-OPT módszer (mvel elmozdítás nem történt) így nem fogja a látszat-erőforrásgényeket optmáln. Ezzel a megszorítással elegendő a v(t) dőpont után optmalzáln, hszen a már végrehajtott tevékenységeket szükségtelen s lenne optmalzáln. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/ON-LINE/VK (on-lne optmáls erőforrásallokácó erőforráskorlát változása esetén), angolul OPT-RALL/ON-LINE/VRA (On-lne Optmzed Resource Allocaton wth Varable Resource Avalablty) nevet adtam. Állítás: Bzonyítás: A módosított ERALL-OPT/ON-LINE/VK megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Vsszavezetjük a feladatot az előző problémára. Legyen adott egy v(t) dőpont, ahol 0v(t)TPT, vagys ez az dőpont a kezdés és a projekt átfutás deje között van. Az eddg az dőpontg befejezett tevékenységeket nem kell ütemeznünk. Az ebben a pllanatban folyamatban lévő tevékenységek közül a nem megszakíthatókat a következőképpen kezeljük: Legyen z (,j) a folyamatban lévő tevékenység kezdés deje, d (,j) a tevékenység dőtartama valamnt A n a folyamatban lévő nem megszakítható tevékenységek halmaza, ahol z (,j) +d (,j) -v(t)>0 (,j)a n ( ) A folyamatban lévő tevékenységeket a terhelés dagram aljára rendezzük. A továbbakban csak v(t) és a TPT dőpont között lévő dőntervallumban optmalzálunk. A folyamatban lévő tevékenységeknek a látszaterőforrással azonos prortást adunk, ezzel bztosítva azt, hogy a megengedett megoldáskeresésben ne mozgassuk el. Jelölje A m a v(t) dőpontban megszakítható tevékenységek halmazát. Ezeket a tevékenységeket a terhelés dagram tetejére rendezzük, az alternatív úton lévő tevékenységekkel azonos 80

91 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása prortást adunk ezeknek a tevékenységeknek. Amennyben létezk megengedett megoldás és A m =, úgy az ERALL-OPT/SZK-algortmussal optmáls megoldást kaphatunk; amennyben A m, úgy erre az ntervallumra (v(t) és TPT között) használjuk az ERALL-OPT/MSZT ( fejezet) módszert optmáls megoldás keresésére Példa A gyakorlat életben sokszor előfordul, hogy a már működő projektbe menet közben kell beavatkoznunk. Ennek több oka s lehet. Előfordulhat, hogy a projekt/termelés végrehajtása közben bzonyos nehézségek lépnek fel. Például egy adott tevékenység a tervezettnél több erőforrást gényel, vagy éppen dőtartama tovább tart, mnt arra számítottunk. Az s lehetséges, hogy az erőforráskorlát másképpen alakul, mnt azt eredetleg elterveztük. Megmutatom, hogy ebben az esetben - az előző két algortmust kombnálva - hogyan oldhatjuk meg ezeket a feladatokat. A következő példában az egyszerűség kedvéért olyan kapactáskorlátból ndultunk k, amelynél nem volt szükség sem smításra, sem optmalzálásra. A 20. napon azonban kderül, hogy a 21. naptól a kapactáskorlát (pl. munkások száma) lecsökken átmenetleg 13 ra (pl. váratlan nfluenza-járvány következtében 5 ember nem tud munkába jönn), a 25. napon vsszaáll 18-ra (meggyógyultak). Formálsan: v(t):=20, 1 (t 1 )=18, ha 0<t 1 21, vagy 25<t 1, és 2 (t 2 )=13, ha 21<t Láthatjuk, hogy ezekkel a megszorításokkal vsszavezethetjük az előző fejezetekben tárgyalt megoldás módszerekre. 81

92 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: terhelés dagram knduló állapota ábra: terhelés dagram az erőforráskorlát megváltozása után Ez a gyakorlatban azt jelenthet, hogy a 21. naptól 4 napon keresztül 4 emberrel kevesebbre számíthatunk. Ilyen változások például egy-egy nfluenzajárvány esetén fordulhatnak elő. Ha az erőforrás egy berendezés, akkor ez a változás azt jelent, hogy a 21. napon (például meghbásodás matt) 4 napg (a javítás munkák befejezéség) 4-gyel kevesebb berendezéssel kell megvalósítan a projektet. A kérdés az, hogy a projekt átfutás deje változk-e, vagy tud-e alkalmazkodn a vállalat a megváltozott körülményekhez. 82

93 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: az ütemezendő tevékenységek és erőforrásak ábra: a megengedett megoldás 83

94 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: az optmáls megoldás Megjegyzések: Láthatjuk, hogy a feladatot vsszavezettük az eredet problémára. Hasonlóan az előző fejezetekben tárgyalt példákhoz: a krtkus úton lévő tevékenységeket zölddel, az optmalzálandó tevékenységeket fehérrel, a megengedett megoldás érdekében elmozgatott tevékenységeket pedg sárgával jelöltem. A már végrehajtott tevékenységeket kékkel, a folyamatban lévő tevékenységeket pedg narancssárgával jelöltem. Az (5,7)-es tevékenység még be nem fejezett részét, hasonlóan a látszat-erőforrásgényhez (okkersárgával jelöltem), nem optmalzáltuk, mvel a modellünkben egy tevékenység megszakítását nem engedélyeztük. Ha ezzel a megszorítással nem találunk megengedett megoldást, akkor a feladatnak (hasonlóan az előző fejezetben tárgyaltakhoz) nncs megengedett megoldása Tevékenységek erőforrás-szükségletének változása (ERALL-OPT/ON- LINE/EV, OPT-RALL/ON-LINE/VR) Ebben az esetben a projekt végrehajtása közben változk az egyes tevékenységek erőforrásszükséglete. Elképzelhető, hogy egy már megkezdett tevékenység erőforrásgénye s változk. Ezt az esetet s megvzsgáltam, mvel a legtöbb heursztkus módszer, köztük az ERALLmódszer sem alkalmazható abban az esetben, ha egy tevékenység erőforrás-szükséglete dőben változk [ ], kvéve ha ez a változás egybeesk v(t)-vel. Ha vszont létezk erre az esetre egy megengedett megoldás, akkor azt az algortmusunk megtalálja azzal a 84

95 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása módosítással, hogy a töréspontokhoz az erőforrás-szükséglet változását s hozzávesszük. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/ON-LINE/EV (on-lne optmáls erőforrásallokácó erőforrásgény változása esetén), angolul OPT-RALL/ON-LINE/VR (On-lne Optmzed Resource Allocaton wth Varable Resources) nevet adtam. A már megkezdett tevékenységeket szntén az előző fejezetben megtárgyalt módon látszaterőforrások módjára kezeljük. Nem mozgathatjuk el őket. Állítás: Bzonyítás: A módosított ERALL-OPT/ON-LINE/EV megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Lásd bzonyítást Példa Induljunk k szntén a ábrán látható feladatból. v(t) legyen smét 20. Növekedjen meg (5,7) tevékenység erőforrás-szükséglete 1-el. (7,8) tevékenység erőforrás-szükséglete pedg növekedjen 2-vel. Erőforrás-szükséglet megváltozása legtöbbször akkor fordul elő, ha helytelenül mértük fel a tevékenységek erőforrásgényét, lletve valamlyen dőjárás ok matt az előzetesen kkalkulált erőforrásgény előreláthatólag kevésnek bzonyul. Különösen az építés projektek során a vállalatok sokszor úgynevezett tevékenységnormákat alkalmaznak, melyek standard tevékenységre (pl. betonozás, alap ásása stb.) tartalmazzák a szükséges tevékenység dőtartamát és erőforrásgényét. Ettől az értéktől a vállalat az alkalmazott technológa, valamnt a különböző külső körülmények (pl. dőjárás) matt eltérhet. Ha a vállalat folyamatosan fgyel a tevékenységek dőtartamanak, erőforrásgényenek betartását, akkor a tapasztalatokból nyert adatok alapján módosíthatja a tervét, ezáltal pontosabban megbecsülhet a még végrehajtásra váró tevékenységek erőforrásszükségletét. Valamnt arra a számára legfontosabb kérdésre s pontosabb választ tud adn, hogy vajon a megváltozott adatok fgyelembevételével s be tudja-e határdőre fejezn a projektet. 85

96 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: terhelés dagram az erőforrásgény megváltozása után ábra: megengedett megoldás 86

97 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: az optmáls megoldás Megjegyzések: Láthatjuk, hogy ebben az esetben s a módszer ugyanúgy használható. Ha olyan problémával találkozunk, ahol a két probléma kombnáltan fordul elő, azaz mnd az erőforráskorlát, mnd pedg a rendelkezésre álló tevékenységek erőforrás-szükséglete s megváltozk, akkor a problémát ugyanígy kezelhetjük. Szntén elmondható, ha nem található megengedett megoldás, akkor a problémának nncs optmáls megoldása sem Tevékenységekhez szükséges dő változása (on-lne módon) (ERALL- OPT/ON-LINE/TLV, OPT-RALL/ON-LINE/VRT) Az előző fejezetben már említettem, hogy a tevékenységek dőtartamanak és erőforrásszükségletenek változása elsősorban abból adódk, hogy helytelenül mértük fel ezen paramétereket. A problémát az s nehezít, hogy a változás során a krtkus út s megváltozhat. Ennek következtében egyrészt az átfutás dő s változhat, másrészt megváltoznak a tevékenységek tartalékdő. Ebből adódóan olyan tevékenységek dőben megvalósulására s fokozott fgyelmet kell fordítan, amelyek eddg az alternatív utakon helyezkedtek el, és esetleg jelentős tartalékdővel rendelkeztek. Ezért tehát joggal teknthetjük ezt a problémát az on-lne ütemezés legnehezebb problémájának. Ez azért nehezebb feladat, mnt az előzőek, mert ekkor egy újabb hálót kell létrehoznunk, amennyben a változás nagyobb, mnt a rendelkezésre álló tartalékdő. Elképzelhető az s, hogy az eddg krtkus úton lévő tevékenységek esetleg alternatív útra 87

98 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása kerülhetnek, s fordítva. Ezért első lépésként fel kell rajzolnunk egy új hálót. Ebből a hálóból az erőforrásgényt tartalmazó táblázat segítségével egy új terhelés dagram rajzolható. Erre egy heursztkus módszert (pl. ERALL-módszert) alkalmazva smét egy megengedett megoldáshoz jutunk. Ezt optmalzálva juthatunk smét optmáls megoldáshoz. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/ON-LINE/TLV (on-lne optmáls erőforrásallokácó tevékenység dőtartamanak változása esetén), angolul OPT-RALL/ON- LINE/VDT (On-lne Optmzed Resource Allocaton wth Varable Duraton Tme) nevet adtam. Defnícó: Az olyan eseményt, melyet az on-lne ütemezés során, a háló tulajdonságanak fenntartása érdekében vezettünk be, látszateseménynek nevezzük. Megjegyzés: Az lyen eseménynek a szerepe csupán anny, hogy megőrzzük a háló tulajdonságat. Amennyben az ütemezés során tevékenység-csomópontú hálóval dolgoztunk, úgy látszatesemény helyett látszattevékenységet kell bevezetnünk a háló defnícójának megtartása érdekében. Ha nem vezetnénk be látszateseményt (vagy látszattevékenységet), akkor nem bztos, hogy teljesülne a hálónak az a tulajdonsága, hogy csak egy kezdő eseménye (tevékenységcsomópontú hálóknál egy kezdő tevékenysége), kezdőpontja lehet. Ezt a (látszat)kezdőpontot a folyamatban lévő tevékenységekkel, lletve az éppen nduló tevékenységekkel össze kell kötn látszattevékenységekkel, szntén a háló tulajdonságanak fenntartása érdekében. Az tt alkalmazott látszattevékenységeknek azonban van átfutás dejük: v(t). Állítás: A módosított ERALL-OPT/ON-LINE/TLV megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Bzonyítás: Amennyben bármely tevékenység rendelkezésére álló tartalékdeje ksebb, mnt a változás mértéke, úgy nem kell új gráfot felrajzoln. Ellenkező esetben fel kell rajzoln a végre nem hajtott, lletve folyamatban lévő tevékenységekre egy új gráfot úgy, hogy egy látszat-kezdőeseményt (tevékenység-csomópontú hálóknál látszat-kezdőtevékenység) vezetünk be. Ezután a megengedett megoldás megkeresése után használjuk az ERALL-OPT/VK módszert. 88

99 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Megjegyzés: Az on-lne algortmusokat kombnálhatjuk, vagys alkalmazhatók olyan feladatokra s a módszerek kombnácója, melynél valamenny paraméter megváltozk Példa Szntén nduljunk k a ábra alapján felvázolt problémából az egyszerűség kedvéért. Legyen v(t) smét 20. Növekedjen (5,7) tevékenység deje 1 egységgel, (6,9) 10 egységgel. Vegyünk fel egy 0. látszateseményt, hogy a háló defnícóját bztosítan tudjuk. Ennek erőforrásgénye legyen 0 (bármenny lehetne, hszen csak v(t)-től optmalzálunk), hossza pedg v(t). Nylván a v(t) dőpont előtt elkezdődött, még folyamatban lévő tevékenységeket az előzőekhez hasonlóan kezeljük = = EST,j EET LET LST,j D,j TF 7 EFT,j EFT,j EETj j TF LETj ábra: a CPM-háló tevékenységek dőtartamanak megváltozása után 89

100 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: a terhelés dagram Megjegyzések: Ebben a példában a gráf után reprezentácó egyben az optmáls megoldást s szolgáltatta. Ez általában persze nem gaz. Mégs mnden esetben lyen ütemezés esetén, ahol a tevékenységekhez szükséges dők változnak, először egy új segédgráfot kell felrajzolnunk, amennyben a változás nagyobb, mnt a tevékenység rendelkezésére álló tartalékdő. Ezután (ha szükséges) először megengedett megoldást kell keresn, majd pedg ezt optmalzáln. Az olyan on-lne ütemezéseknél, ahol egyszerre több paraméter változk (erőforráskorlát, tevékenység(ek) erőforrásgénye, tevékenység(ek)hez szükséges dő), azt, hogy fel kell-e rajzoln egy újabb gráfot, az dönt el, hogy van-e olyan tevékenység, amelyhez a szükséges dő megváltozott. Ha gen, akkor valószínűleg fel kell rajzoln. Nem kell felrajzoln a gráfot, ha egy tevékenységhez szükséges dő úgy változott meg, hogy erre a változásra a rendelkezésre álló tartalékdők fedezetet nyújtanak. Ezek az optmáls megoldások v(t) függőek, hszen v(t) dőpont előtt lezajlott tevékenységekkel már nem foglalkozunk, nem optmalzáljuk, az algortmusunk során nem vesszük őket fgyelembe Tevékenységek megszakíthatósága (ERALL-OPT/MSZT, OPT-RALL/IA) A gyakorlatban vannak olyan tevékenységek, melyeket megszakíthatunk, és vannak olyan tevékenységek, amelyeket nem. A megszakítható tevékenységekre s gaz, hogy egy bzonyos 90

101 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása deg (pl. a technológa matt) nem szakíthatók meg. Továbbá értelmezhető egy olyan (maxmáls) dő, amely elteltével az adott tevékenységet mndenképpen folytatn kell. Ha egy tevékenység esetében megengedjük a megszakíthatóságot, akkor az pl. ERALL-algortmus erre az esetre egy megengedett megoldás keresésére nem használható. Az rodalm áttekntésben említettem a soros lletve párhuzamos allokácókat. Ezek mndegyke használható ebben az esetben egy megengedett megoldás keresésére. Bár ezek az optmumkereső algortmusok csak heursztkusak. [202, 213] Ha ebből a megengedett megoldásból ndulunk k úgy, hogy a megszakított tevékenységeket külön tevékenységekként kezeljük azzal a megszorítással, hogy azt a maxmáls dőt, amely e két megszakított tevékenység között van, ne lépje túl az előírtat, akkor egy optmáls megoldást kaphatunk. Vagys be kell vezetnünk egy t f(k,l,l,m) dőt, mely megadja, hogy két megszakított résztevékenység ((k,l), (l,m)) menny dő után követ egymást. Ez egy optmalzálás lépésben nem léphet túl az előírt értéket. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/MSZT (optmáls erőforrás-allokácó tevékenységek megszakíthatósága esetén), angolul OPT-RALL/IA (Optmzed Resource Allocaton wth Interruptable Actvtes) nevet adtam. Defnícó: Egy megszakított tevékenység egyk résztevékenységének befejezése, lletve követő résztevékenységének kezdése között eltelhető maxmáls dőt nevezzük maxmáls megszakítás dőnek. Állítás: Bzonyítás: A módosított ERALL-OPT/MSZT megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Tegyük fel, hogy létezk megengedett megoldás. Legyen M a megszakítható tevékenységek halmaza. Legyen M (,j) egy megszakítható tevékenység résztevékenységenek halmaza, ahol (,j)m. Legyen z (k,l) egy adott résztevékenység kezdés deje, d (k,l) a dőtartama, ahol (k,l)m (,j), (,j)m. Két résztevékenység között maxmáls megszakítás dő legyen t fmax(k,l,l,m), ahol (k,l), (l,m)m (,j), (,j)m, és 1egyen t f(k,l,l,m), ahol (k,l), (l,m)m (,j), (,j)m két résztevékenység között eltelt dő. Bármely előző fejezetekben tárgyalt optmumkeresés eljárást használhatjuk, az egyes megoldásoknál azonban fgyelembe kell venn, hogy t f(k,l,l,m t fmax(k,l,l,m). A megadott megoldáshalmazból 91

102 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása kválasztjuk az olyan megoldás(oka)t, amelyek a fent egyenlőséget kelégítk (k,l), (l,m)m (,j), (,j)m esetén. 2.4 Költség-, dő-, erőforrás-optmálás egydejű megvalósítása (ERALL- OPT/KLTG, OPT-RALL/COST) Az eddg fejezetekben ütemezéssel és erőforrásoptmálással foglalkoztam. A menedzsment számára azonban a költségek fgyelembevétele, esetleges csökkentése s fontos szempont lehet. Egy projekt megvalósítása során az rodalm áttekntésben az ISO 8402-es szabvány projektre vonatkozó defnícójának megfelelően az dőtartamok és erőforrás-szükségletek megfelelő kezelése mellett a költségek mnmáls sznten tartása s fontos célunk. Amennyben a költségeket s fgyelembe vesszük az optmalzálás során, számos cél(függvény)t fogalmazhatunk meg. Ilyen feladat lehet a költségek felmerülésének kegyenlítése, a projekt végrehajtása lehető legrövdebb dő alatt a legksebb (változó) költségnövekménnyel, optmáls erőforrás-khasználás mellett, lletve lehető legksebb összköltség meghatározása. Az első esetben a költségeket mnt (specáls) erőforrást kell kezelnünk. A másodk és harmadk esetet vzsgálom meg részletesen ebben a fejezetben. Láthatjuk majd, hogy ebben az esetben valamenny előzőekben tárgyalt módszerre szükség lehet. Ezeket ntegráltan kell használn a cél elérése érdekében. [ , 223, 226] Először meghatározzuk a CPM-módszer (vagy MPM-módszer) segítségével a tevékenységek legkorább kezdés dejét. Ezután egy CPM/COST- (vagy MPM/COST-) módszerrel meghatározzuk, hogy mnmáls költségnövekménnyel mennyvel lehet gyorsítan a tevékenységek dőtartamat. Ennek a módszernek számos (számunkra) előnyös tulajdonságát khasználjuk. Khasználjuk például, hogy adott költségkorlát esetén s (a költségkorlát fgyelembevételével) költégoptmáls megoldást szolgáltat a változó költségekre nézve. Meghatározzuk a (változó) költség dőcsökkenés, erőforrásgény dőcsökkenés függését. Az dőrövdítés során ugyans a menedzsment a következő problémával kerül szembe: Ha csökkent a program átfutás dejét, akkor növekszk a tevékenységek változóköltséggénye. Elmondható azonban az s, hogy a program fxköltsége vszont a program rövdítésével szntén csökken. Ebből vszont következk, hogy konvex költségfüggvények esetén az összköltség mnmalzálható, vagys található egy olyan program, melynek 92

103 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása összköltséggénye mnmáls. Ezáltal a vezetés mnd a projekt átfutás dejét, mnd pedg az összköltségét csökkenthet. Egy CPM/COST-módszerrel szolgáltatott hálót tekntünk kndulás állapotnak. Ezután egy heursztkus módszerrel megengedett megoldást keresünk (pl. alkalmazhatjuk az ERALL-módszert, soros vagy párhuzamos allokácót). Ha van olyan megengedett megoldás, melynél a módszer alkalmazása után nem változott a teljes projektdő, akkor alkalmazzuk az ERALL-OPT optmalzálást (2. fejezet). Megvzsgálok olyan eseteket s, amkor e három krtérum (mnmáls átfutás dő, mnmáls összköltség, optmáls erőforrásfelhasználás) csak kompromsszumokkal elégíthető k egyszerre. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/KLTG (optmáls erőforrás-allokácó költségek fgyelembevételével), angolul OPT-RALL/COST (Optmzed Cost and Resource Allocaton) nevet adtam A feladat megfogalmazása Ahogyan azt az előző fejezetben már említettem, a három krtérum: 1. mnmáls összköltség elérése, 2. mnmáls átfutás dő elérése, valamnt 3. az optmáls erőforrás-felhasználás bztosítása legtöbb esetben kompromsszumok nélkül nem elégíthető k egyszerre. Tegyük fel, hogy egy projektet, melynél a tevékenységeket, a tevékenységekhez szükséges dőt, költséget, erőforrásgényt már meghatározták. Adott mnden tevékenységre vonatkozóan, hogy ha az adott tevékenységet hamarabb szeretnénk befejezn, akkor az mlyen költség- és erőforrás-növekménnyel jár. Ebben a helyzetben két feladatot s meghatározhatunk: az első szernt egy olyan programot kell meghatároznunk, mely a mnmáls költségnövekménnyel, a legrövdebb dő alatt, maxmáls párhuzamosítás mellett beütemez a tevékenységeket a legkorább dőpontra úgy, hogy egy adott erőforráskorlátot ne lépjen túl. Ez a program tulajdonképpen egy mnmáls átfutás dővel rendelkező projekt. Ennél rövdebb dő alatt nem lehet végrehajtan a programot. Ezenkívül az s elmondható, hogy nem található olyan projekt, mely ksebb összköltséggel ugyanenny dő alatt végrehajtható. A másk feladat a mnmáls összköltség meghatározása. Ebben az esetben olyan programot kell meghatározn, melyben az összköltség mnmáls. 93

104 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása A módszer alkalmazásához a következő feltételezésekkel élünk: 1. A költség-dő függvények konvexek. 2. A fxköltségek (az dő előrehaladtával) monoton nőnek. 3. A változóköltség-dő függvény mnmuma a normál átfutás dejű projekt esetén van. Ezek a megszorítások a legtöbb projekt esetén teljesülnek. Az első megszorítás szernt olyan költségfüggvényekkel dolgozunk, melyek konvexek. Nem konvex költségfüggvények esetén a költségmnmumok meghatározása gen nehéz feladat. Ilyen esetekben legtöbbször genetkus algortmusokat alkalmaznak a függvénymnmum megtalálásának céljából. Ez a módszer bármlyen gyors s, nem szolgáltat mnmumot. Specáls esetekben mód van arra, hogy algortmkus módszerekkel s belátható dőn belül eredményt szolgáltathassunk. Ilyen specáls eset, amkor a feladat szeparálható, jelen esetben ez azt jelent, hogy a tevékenységek változóköltség-génye adja meg az összes változó költséget, valamnt a változó költségek és fxköltségek összege adja meg az összköltséget. Ezek a költségfüggvények egymástól függetlenül vzsgálhatók. Az összköltség ezen költségek összege lesz. Ha ez teljesül, akkor lehetőség van a költségfüggvények szeparálására. A konvex függvények mnmumát hagyományos módon, a nem konvex függvények mnmumát egyre ksebb ntervallumon vett konvex burkuk segítségével lehet meghatározn. A módszer szempontjából nem lényeges, hogy egy megengedett erőforrásallokácót mlyen módszerrel találunk meg. Ezért a továbbakban csak azt feltételezzük, hogy egy lyen megengedett megoldást meg lehet találn. Ha nncs megengedett megoldás, akkor ebben az esetben sncs optmáls megoldás. Az egyszerűség kedvéért most költségoptmáls erőforrásallokácó esetén a módszer véggkövetése céljából CPM/COST-módszert alkalmazunk az ütemezés fázs végrehajtására. Már most meg kell azonban jegyeznem, hogy bármely más mnmáls összköltségű, lletve mnmáls átfutás dejű programot meghatározó költségoptmáló módszert alkalmazhattunk volna. A CPM/COST-módszernél fel kell tennünk, hogy az előzőekben tárgyalt három megszorítás (költségfüggvények konvextása, fxköltségfüggvény monoton növekedése, valamnt az, hogy a változóköltség-dő függvény mnmum helye a normál átfutás dejű projekt esetén van) teljesül. Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor számos tovább következtetést s levonhatunk. 1. A mnmáls összköltségű program a normál és a mnmáls átfutás dejű projekt között van. 94

105 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 2. Ha a költségfüggvények szgorúan konvexek, akkor csak egy összköltség-mnmumhely van. A három krtérum (lehető legrövdebb átfutás dő, lehető legksebb összköltség és optmáls erőforrásfelhasználás mellett történő megvalósítás) nem mndg elégíthető k egyszerre kompromsszumok nélkül. A továbbakban vzsgáljuk meg a (változó)költségnövekmény dőtartam csökkentése, valamnt az erőforrásgény és az dőtartam csökkentése között kapcsolatot. Az alábbakban defnáljunk néhány fogalmat, melyet a költségtervezés kapcsán a CPM/COST-, MPM/COST-módszereknél (s) alkalmaznak. Normál (dőtartam) dő: Az az dőmennység, amely a tevékenység normál/tervszerű végrehajtásához szükséges. Megjegyzés: A továbbakban feltesszük, hogy a tevékenység normál dőtartama esetén legksebb a (változó)költség-génye. Mnmáls vagy rohamdő: Az a legksebb dőmennység, amely alatt a tevékenységet végre lehet hajtan. Elmondható, hogy a (változó) költségek és az dőtartamok között általában fordított arányosság fgyelhető meg. [372] ábra: változóköltség-dő, erőforrásgény-dő kapcsolata Az ábrán látható, hogy a rohamdőnél (r) rövdebb dő alatt nncs értelme a költséget és az erőforrásgényt vzsgáln, hszen ennél kevesebb dő alatt a tevékenységet nem lehet végrehajtan, így ezek a görbék lyen dőpontokra nncsenek s értelmezve. A tevékenység erőforrásgénye (attól függ persze, hogy mt tekntünk erőforrásgénynek) fordítottan arányos 95

106 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása az dőtartamokkal (például, ha az erőforrásgény a munkaerő, akkor több dő alatt kevesebb, míg kevesebb dő alatt több munkás tudja elvégezn ugyanazt a munkát). Később látn fogjuk, hogy az algortmus szempontjából teljesen mndegy, hogy az dő és az erőforrásgény között mlyen függvénykapcsolat van. Egy fontos követelmény van csupán, mégpedg az, hogy bármely (dszkrét) dőpontban (de legalább a normál dő (n) és a rohamdő (r) között dőntervallumban) meg tudjuk mondan az adott dőhöz tartozó erőforrásgényt. Az előző pontban a költségfüggvényekre szorosabb krtérumokat tettünk. A (változó) költségek általában a normál dő (n) és a rohamdő (r) dőntervallum között fordítottan arányosak a tevékenység dőtartamával. Vszont, ha egy tevékenység dőtartama a tervezettnél tovább tart, akkor költségnövekménnyel (s) járhat. Mégs látn fogjuk, hogy m csak a normál és a rohamdő között ntervallumot tekntjük, hszen ezen az dőntervallumon belül optmalzálunk (ugyans az előző pontban leírt költségfüggvényekre vonatkozó krtérumokból következk, hogy csak ezen ntervallumon belül lehet összköltségmnmáls program). Ezen az dőntervallumon belül megkívánjuk a függvénytől, hogy szgorúan monoton csökkenő legyen. (Ez a CPM/COST-módszer alkalmazhatósága matt szükséges.) Továbbá mndkét függvénytől elvárjuk, hogy a vzsgált pontokban értelmezve legyenek Az algortmus leírása A továbbakban a fent feltételeknek megfelelő erőforrásgény és (változó)költség függvényekkel foglalkozunk. Először a legkorább (normál) dőre vonatkozó ütemezést végezzük el. Ez a módszer megadja a tevékenységek maxmáls párhuzamosítása mellett legkorább kezdés dőpontokat. Ezután költségoptmalzálást végzünk. Ilyen a példában szereplő CPM/COST-módszer s. A módszer lépéset egy táblázatba összefoglaljuk. Ha költségoptmalzálásra a CPM/COST-módszert alkalmazzuk, akkor ezen módszer néhány specáls tulajdonságát s khasználhatjuk. Egyk fontos, számunkra nagyon kedvező tulajdonsága ennek a módszernek, hogy ez egy mohó algortmus. Mnden lépésben a legksebb költségnövekedéssel járó krtkus úton lévő tevékenység(ek) dőtartamát csökkent. Tehát, ha az összes (változó) költségre megszabnánk egy korlátot, akkor ez a módszer az ennek megfelelő legjobb megoldást szolgáltatja. Ekkor a módszer lépéset csak addg kell végrehajtan, ameddg a változó költségek összege ksebb vagy egyenlő, mnt ez a korlát. A módszer csak a krtkus úton lévő tevékenységeket csökkent úgy, hogy fgyel arra, hogy egy nem krtkus út a krtkus úton 96

107 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása lévő tevékenységek dőtartamanak csökkentésével már krtkus úttá válhat. Továbbá egy lépésben nem lehet többet csökkenten az dőtartam(ok)on, mnt a nem krtkus úton lévő tevékenységek tartalékdeje. Ha egy CPM/COST-módszerrel meghatároztuk a lépéseket, akkor meghatározzuk a terhelés dagramot. Ha van olyan dőpllanat, ahol az összes erőforrásgény nagyobb, mnt az erőforráskorlát, akkor a megfelelő erőforrásadatokkal megengedett megoldást keresünk. Ha valamely megengedett megoldást kereső algortmussal (mnt pl. az ERALL-módszerrel) találtunk olyan termelés programot, amelyben a krtkus utat nem kellett megváltoztatn, vagys a krtkus út hossza nem nőtt a megengedett megoldást kereső módszer alkalmazása után, akkor az általunk kfejlesztett ERALL-OPT-algortmust futtatjuk le. Ekkor a feladat költség-, dő- és erőforrás-optmáls lesz egyben. [ , 223, 226] Nevezzük a továbbakban az olyan megengedett megoldásokat melyeknél a megengedett megoldás keresése során a módszer a krtkus út hosszát megváltoztatta krtkus megoldásnak, valamnt az olyan megengedett megoldásokat, melyeknél a krtkus út hossza nem változk, nemkrtkus (megengedett) megoldásnak. Ha nncs olyan nemkrtkus megengedett megoldás, akkor a CPM/COST-módszer által szolgáltatott lépések közül az utolsó előttre végezzük el a fent vzsgálatokat. Ha egy lépésben több dőegységnyt javítottunk a projekt átfutás dején, akkor ezekre a közbenső állapotokra s el kell végezn a fent vzsgálatokat, mvel elképzelhető, hogy ebben az esetben találunk egy nemkrtkus megoldást. Ha a CPM/COST-módszer egyetlen lépése sem szolgáltat nemkrtkus megoldást (valamnt a közbenső lépéseknél sem található lyen megoldás), akkor azt mondjuk, hogy a teljes projekt dőtartamát az adott erőforráskorlát mellett nem lehet lerövdíten. Ekkor vsszaérkeztünk a másodk fejezetben tárgyalt esethez, vagys először egy megengedett megoldást kereső heursztkus algortmust, majd egy ERALL-OPT-módszert kell végrehajtanunk a feladaton. Meg kell továbbá jegyezn, hogy az előző fejezetekben tárgyalt esetekre alkalmazott algortmusokat az ERALL-OPT-algortmus helyett tt s alkalmazhatjuk. Tehát, ha az erőforráskorlát nem konstans függvény, akkor használható az ERALL-OPT/VK, on-lne ütemezésnél az ERALL-OPT/ONLINE/VK és így tovább. Az algortmus menetét az alább folyamatábra s reprezentálja (ahol m a CPM/COST lépésnek száma). 97

108 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Defnícó: Az olyan megengedett megoldást, ahol a projekt átfutás deje (TPT) megegyezk a maxmálsan párhuzamosított megoldásban lévő krtkus út hosszával, nemkrtkus megoldásnak nevezzük. Defnícó: Az olyan megengedett megoldást, ahol a projekt átfutás deje (TPT) nagyobb, mnt a maxmálsan párhuzamosított megoldásban lévő krtkus út hossza, krtkus megoldásnak nevezzük ábra: az ERALL-OPT/COST algortmus folyamatábrája Állítás: Bzonyítás: A módosított ERALL-OPT/KLTG megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Amennyben a költségoptmalzálás (pl. a CPM/COST-módszer) lefutása után létezk nemkrtkus megoldás, akkor valamenny (általam készített) optmáló eljárással optmáls megoldás adható. Amennyben ez a megoldás krtkus, akkor ezen dő alatt, lyen költségsznt mellett nem lehet optmáls erőforrásallokácót meghatározn, mvel nncs olyan megengedett megoldás, mely ütemtervét ezen dő alatt végre lehetne hajtan. Khasználjuk a következőt: csak ott lehet költségnövekmény-optmáls megoldást találn, amely rajta van a CPM/COST által megadott költségnövekmény-dő függvényen. Ezért vzsgáljuk meg valamenny dszkrét dőpontra, hogy található-e nemkrtkus megoldás. Amennyben található, ezek közül a legrövdebb átfutás dőt meghatározó ütemtervre végezzünk optmálást valamely optmáló algortmusunkkal. Amennyben a költségnövekmény-dő függvény egyetlen 98

109 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása dszkrét pontjára sem határozható meg nemkrtkus megoldás, akkor azt mondjuk, hogy a projekt átfutás dejét nem rövdíthetjük úgy, hogy az egyszerre legyen erőforrásgény-, költségnövekmény- és dőoptmáls. Ekkor az eredet feladatra végezzük el a megengedett megoldás keresését, majd ha létezk megengedett megoldás, akkor az optmálást. Mnmáls összköltség meghatározása esetén s hasonlóan járunk el. A költségoptmalzálás során kválasztjuk azt a megoldást, melyre az összköltségek mnmálsak. Ha van nemkrtkus megengedett megoldás, akkor van optmáls megoldás s, melyeket el lehet véges lépésben érn (2. fejezet szernt). Ha egyetlen pontban sem található összköltségmnmáls megoldás, akkor az előzőekhez hasonlóan vsszajutottunk a 2.1 fejezetben tárgyalt problémához: normál átfutás dejű projektre kell megengedett, majd pedg optmáls megoldást találn. Ha nncs megengedett megoldás, akkor optmáls megoldás sem található Példa A következőkben az egyszerűsítés kedvéért a tevékenységek esetében az erőforrásgény- és költségnövekmény legyen azonos egységny dőtartam-csökkenésre. Az adatokat az alább táblázat foglalja össze.: Tevékenység Normál Rohamdő Normál Egységny Normál Egységny dő (t n,j ) (t r,j ) költség költség- erőforrásgény erőforrásgény (C n,j ) növekedés (C,j ) (R n,j ) növekedése (R,j ) (1,2) ,5 (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5) Összesítés táblázat 99

110 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Az erőforrás legyen a munkaerő, az erőforráskorlát pedg 10 fő. A költségek eft-ban értendők. Az adatokból megszerkeszthető a CPM-háló, valamnt felírhatók a CPM/COSTmódszer lépése ábra: CPM-háló A CPM/COST-módszer lépése Lépések száma Csökken- Csök- Összes Egységny Összes Teljes tett tevékenységek növekedés kentés költség költség- költségnövekedés projektdő = = táblázat Az utolsó (negyedk) lépés alapján meghatározhatjuk a hálót, és a hozzá tartozó terhelés dagrammot. 100

111 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: a CPM-háló és a hozzá tartozó terhelés dagram a CPM/COST-módszer utolsó lépésére Látható az erőforrásterhelés dagram alapján, hogy nemkrtkus megoldás nem található, ezért egy lépéssel vssza kell lépn a CPM/COST táblázatban. Erre a lépésre s meghatározható egy háló, és a hozzá tartozó terhelés dagram. Tekntettel arra, hogy a harmadk lépés után csak egy dőegységgel javult az átfutás dő, így nem kell közbenső dőegységekre megvzsgáln a terhelés dagramot ábra: a CPM-háló és a hozzá tartozó terhelés dagram a CPM/COST-módszer utolsó előtt lépésére Ebben az esetben már található nemkrtkus megengedett megoldás. Pl. az ERALLalgortmus alkalmazása után az ERALL-OPT-algortmussal optmáls megoldást kapunk az adott feltételrendszerre. 101

112 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: megengedett lletve optmáls megoldás Az ábrákból leolvasható, hogy a projekt összes (változó) költsége eft, 10 munkással a program 16 nap alatt végrehajtható. Az egyes tevékenységek kezdés deje leolvasható az optmáls erőforrás-allokácó terhelés dagramjából. Amennyben a költségekre s meghatározunk egy korlátot, akkor a CPM/COSTmódszert csak addg kell folytatn, ameddg el nem érjük ezt a korlátot, utána az algortmust ugyanígy folytatjuk tovább. 2.5 Költségcsökkentés alternatív megoldások segítségével A projektek tervezése és megvalósítása során nagyon sokszor előfordul, hogy az előzetes kalkulácó után a mnmáls összköltséggel megvalósítandó optmáls erőforrás-allokácójú projektet sem lehet azon az áron megvalósítan, amelyen a tendert kíró megvalósítan szeretné. [229] Ezzel a problémával a gyakorlatban sokszor találkozhatunk, különösen építés, lletve beruházás projektek esetén. Erre a prolémára egy más megközelítésű megoldást láthatunk Dr. Papp Ottó: Projektmenedzsment a gyakorlatban című könyvének 15. fejezetében: A projektköltségek csökkentése értékelemzéssel Építés vállalkozáson lletve szervezetfejlesztés példán bemutatva című esettanulmányban. [310] A módszer segítségével meghatározott maxmáls költségvetés esetén meg lehet határozn a lehető legjobb mnőséggel végrehajtandó projekt ütemtervét, költséggényét és erőforrás-szükségletét. 102

113 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Alternatív megoldások Ha az előzetes kalkulácók során kszámított mnmáls összköltségre vonatkozó optmáls erőforrás-allokácós megoldás esetén a költségek magasabbak, mnt a program megvalósítására szánt költségvetés, akkor három lehetőségünk van: vagy lemondunk a projekt megvalósításáról, vagy veszteséggel, de megvalósítjuk a projektet, vagy pedg az egyes megvalósítandó tevékenységeket költségcsökkentés céljából más tevékenységekkel váltjuk k. Az első választás lehetőséggel az elemzés során most a továbbakban nem foglalkozunk, hszen ebben az esetben elesünk az üzlettől, és tt nncs értelme tovább optmáls erőforrás-tervezést készíten. A másodk választás lehetőséget néha akkor s bevállalják, ha az átmenet veszteség ellenére arra számítanak, hogy később projektek megvalósításakor ez a veszteség megtérül. Ekkor meg kell határozn egy mnmáls összköltséggel járó adott célfüggvényre optmáls erőforrás-allokácót. A továbbakban a harmadk esettel foglalkozom, vagys egyes megvalósítandó tevékenységeket költségcsökkentés céljából más tevékenységekkel váltjuk k. A harmadk esetben először egy lstát kell készítenünk az egyes tevékenységek alternatív megvalósításaról. Itt a célunk megfogalmazásakor három szempontot kell fgyelembe venn (tt a pontok a választás során prortásokat s jelölnek): 1. először s a lehető legjobb mnőségben végezzük el az adott tevékenységeket 2. lehető legtöbb költségcsökkenéssel járjon az alternatív megoldás bevezetése 3. lehető legksebb mértékben változzon (és ha lehet, nkább csökkenjen) a tevékenység dőtartama, erőforrásgénye. Ezen krtérumok mellett mnden tevékenység esetén meghatározható egy mnmáls mnőség követelmény, melyet mndenképpen a szerződés értelmében teljesítenünk kell. Célszerű az adott tevékenységhez tartozó alternatív megoldásokat ezen szempontok szernt rendezn. Azokat a tevékenységeket, melyek a mnőség követelményeknek nem felelnek meg, k kell zárn a lehetséges megvalósítandó alternatív tevékenységek lstájából. A kválasztás során a célnak legnkább megfelelő alternatív megoldással újraütemezzük a tevékenységeket, lletve újból megkeressük az optmáls megoldást. Az alternatív megoldások 103

114 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása keresése egy több célfüggvényre meghatározott kválasztás probléma. Optmáls megoldást Branch & Bound módszerrel vagy dnamkus programozás segítségével kereshetünk Alternatív megoldások keresése A módszer kndulópontja egy költség-optmáls megengedett, vagy adott célfüggvényre nézve optmáls erőforrás-allokácó. Ilyen megoldást úgy kereshetünk, hogy először meghatározunk egy összköltség-mnmáls ütemtervet. Ha található erre az ütemtervre nézve nemkrtkus megengedett megoldás, vagys található olyan megengedett megoldás, amely az erőforráskorlátot nem túllépve a krtkus út hosszát sem váltatja meg, akkor a 2. fejezetben meghatározott célfüggvénynek megfelelően kell alternatív tevékenységeket keresnünk úgy, hogy az alternatív tevékenységek alkalmazása után létezzen nemkrtkus megoldás. Ha nemkrtkus megoldás létezk, akkor létezk optmáls erőforrás-allokácó s, és ez véges lépésben megtalálható. A módszer menetét az alább ( ) folyamatábra szemléltet. A feladat megoldásához tehát először ütemeznünk kell. Ehhez szükségesek a tevékenységek dőtartamanak és rákövetkezés relácónak smerete. Az ütemezést bármely gyakorlatban használt módszerrel (CPM, MPM, PERT stb.) elvégezhetjük. Ezután meg kell határozn egy összköltség-mnmáls megoldást. Ezt bármely, gyakorlatban használt költségoptmáló módszerrel (CPM/COST, MPM/COST, PERT/COST stb.) elvégezhetjük. A módszer használatához szükség van a költséggények, valamnt a költségkorlátok és dőtartamköltséggény függvények smeretére. Az dőtartam-költséggény függvényeket vagy megbecsüljük, vagy például kssorozatgyártás esetén statsztka módszerekkel adott valószínűséggel meghatározzuk. (Kssorozatgyártás esetén a költség-dő függvények statsztka becslését részletesen a as fejezetben tárgyalom). A költségfüggvények meghatározása/becslése után meg kell vzsgáln, hogy van-e nemkrtkus megengedett megoldás. Az előző bekezdésben tárgyaltak szernt ha létezk lyen, akkor az adott célfüggvényre nézve optmáls erőforrás-allokácó véges lépésben meghatározható. Ha vszont nncs lyen, akkor tt s alternatív megoldást kell keresn, de ekkor az előző fejezetben vázolt célfüggvény 2. és 3. prortás pontja felcserélődnek. Továbbra s az a cél, hogy az adott tevékenységeket a lehető legjobb mnőségben végezzük el, de ahhoz, hogy találhassunk nemkrtkus megoldást, olyan tevékenységet kell alternatív módon megvalósítanunk, amelynek erőforrásgénye és/vagy dőtartama ksebb. 104

115 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Ha nem található több alternatív megoldás, akkor a CPM/COST-, MPM/COST-, PERT/COST-módszer megoldás lstájából válasszuk k a mnmáls összköltséggényű programhoz legközelebb eső megoldást, és a vzsgálatot végezzük el újból. Start Lefutás dők, rákövetkezés relácók Ütemezés (pl. CPM, MPM, PERT) Költséggények (változó és fxköltségek), költségkorlátok Mnmáls összköltségű program meghatározása (pl. CPM/COST, MPM/ COST, PERT/COST módszerekkel) n Erőforrásszükségletek, erőforrás-korlátok A költségkeret + nyereség < összes költség? n Létezk nemkrtkus megengedett megoldás? Alternatív megoldások bevtele Alternatív megoldások keresése (2) Található alternatív megoldás? CPM/COST, MPM/COST, PERT/COST által meghatározott programok közül az optmumhoz legközelebb eső program kválasztása A kapott megoldás jobb-e, mnt az ütmezés során talált megoldás? n n Célfüggvény meghatározása Optmáls erőforrás-allokácó keresése (ERALL- OPT) Az optmáls megoldás kíratása n A költségkeret + nyereség < összes költség? n A feladat nem megoldható! Alternatív megoldások bevtele Alternatív megoldások keresése (1) Található alternatív megoldás? Stop ábra: alternatív megoldások keresése Példa Legyen adott a következő tevékenységekkel egy projekt. A tevékenységeket az alább táblázat tartalmazza. 105

116 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Tevékenység Normál dő (t n,j ) Roham- Normál Egységny Normál Egységny dő költség költség- erőforrás- erőforrás- (C n,j ) növekedés gény gény (eft) (C,j ) (R n,j ) (fő) növekedése (t r,j ) (eft) (R,j ) (fő) (1,2) ,5 (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5) Összesítés táblázat: tevékenységek dőtartamat, költég- és erőforrásadatat tartalmazó táblázat ábra: normál dőtartamokra vonatkozó CPM-háló Tegyük fel, hogy a fxköltség eft 19 hétre. Ha az átfutás dő csökken, az hetenként 1000 eft megtakarítást eredményez. Ekkor a mnmáls összköltségű program a mnmáls átfutás dejű program lesz, a program teljes költsége pedg eft (összes változó költség eft (összes fxköltség) - 4 x 1000 eft megtakarítás, amért hamarabb tudtuk a projektet befejezn. Tehát az összes költség = = eft. A lehetséges megoldásokat szemléltet az alább táblázat. 106

117 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Lépések száma Csökkentett tevékenységek Csökkentés Összes változó költség (eft) Egységny költségnövekedés (eft) Összes változóköltségnövekedés Teljes projektdő (hét) (1,2) (1,2)+(1,3) = (4,5) (2,4)+(3,4) = táblázat: költségcsökkentés lépése CPM/COST-módszerrel Vzsgáljuk meg azt az esetet, amkor az erőforráskorlát 10 fő. A rendelkezésre álló költségkeretünk eft. A másodk esetben az erőforráskorlát 11 fő. A rendelkezésre álló költségkeret eft. megoldásuk. Az alább táblázat azokat a tevékenységeket tartalmazza, amelyeknek van alternatív (1,2) (3,4) (4,5) q vc/vc r/r q vc/vc r/r q Vc/vc r/r /100 3/0, /500 3/ /650 1/ /90 2/0, /90 2/ /600 1/1, táblázat: mnőség- és költségadatok q jelöl a mnőség tényezőt. A módszer alkalmazásához nem kell feltétlenül ezeket a mnőség tényezőket számokkal ellátn. Elegendő az alternatív megoldásokat mnőség szempontból sorrendbe rakn. Ha azonban az alternatív megoldásokhoz valamlyen elv szernt számszerű mnőség tényezőt rendelünk, akkor a célfüggvényt könnyebben meghatározhatjuk. Ha bzonyos tevékenységek megvalósításának mnőségére különösen oda kell fgyelnünk, akkor célszerű a kválasztáshoz használt célfüggvényünket úgy megválasztan, hogy e fontos tevékenységek mnőség faktorat súlyozzuk. Tekntsük a továbbakban azt az esetet, amkor az erőforráskorlát 10 fő. A rendelkezésre álló költségkeretünk eft. Az erőforrás-terhelés dagram 15 hétre a következőképpen néz k: 107

118 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: projekt legrövdebb átfutás dejéhez tartozó terhelés dagram (tt nncs nemkrtkus megoldás) Látható a terhelés dagramon, hogy nncs nemkrtkus megoldás. Ahhoz, hogy az erőforráskorlátot ne lépjük túl, a CPM/COST megoldásaból válasszuk k a 3. termelés programot ábra: hosszabb átfutás dőhöz tartozó terhelés dagram 108

119 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: nemkrtkus megengedett és optmáls erőforrás-allokácó Az optmáls erőforrás-allokácó meghatározásánál a cél a lehető legkorább kezdés volt. Ekkor nem kellett mnőség kompromsszumokat tennünk. Az összes költség eft (összes változó költség) eft (összes fxköltség) 3000 eft (a rövdebb átfutás dőből adódó fxköltség-megtakarítás) = eft < eft (költségkeret). A másodk esetben sajnos már kénytelenek vagyunk a tevékenység(ek)et mnőségleg kevésbé magas színvonalon végrehajtan ahhoz, hogy a tervezett költségkeretet ne lépjük túl ábra: Projekt legrövdebb átfutás dejéhez tartozó terhelés dagram Itt található nemkrtkus megengedett megoldás és ebből optmáls megoldás s. 109

120 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: optmáls erőforrás-allokácó Az összes költség az előzőekben kszámolt eft, am nagyobb, mnt az eft-os költségkeret. Ha a (3,4)-es tevékenységet egy alternatív tevékenységgel helyettesítjük, akkor az erőforrásgény és az dőtartam nem változk, de a költség csökken 900 eft-tal. Ekkor az összes költség eft lesz, am már ksebb, mnt a rendelkezésre álló költségkeret. Mnél nagyobb a verseny egy projekt megvalósításáért, annál nagyobb az esélye, hogy olyan alacsony áron kell megvalósítan a projektet, hogy az már a költségenket sem fedez. Sokszor a cégek nncsenek tsztában, hogy az adott projektet menny pénzből lehet megvalósítan, és így sokszor kevesebb pénzért elvállalják a beruházás megvalósítását, és csak később jönnek rá, hogy a költségek sokkal magasabbak lesznek, mnt arra előzőleg számítottak. Ha a szerződés szernt juttatások nem fedezk a költségeket, akkor vagy elállunk az üzlettől, vagy elvállaljuk még akkor s, ha tudjuk, hogy csak veszteséggel tudjuk megvalósítan a projektet, vagy megpróbáljuk a tevékenységeket alternatív megoldásokkal kváltan. Ilyenkor vszont fgyelembe kell venn, hogy a lehető legmagasabb mnőség színvonalon valósítsuk meg az egyes tevékenységeket. 2.6 Többféle erőforrás egydejű kezelése, párhuzamos projektek között erőforrás-elosztás Nagyobb projektek esetén nem csak egy erőforrást kell fgyelembe vennünk, hanem általában többet (munkaerő, anyagfelhasználás, berendezések stb.) Ezeket együttesen kell kezeln. Ráadásul általában párhuzamosan több projekt s működhet, amelyek között optmálsan el kell osztan az erőforrásokat. [ , 223, 226] Módszereket lyen típusú problémákra korábban s publkáltak, azonban ezek mndegyke az rodalm áttekntésben bemutatottak 110

121 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása szernt nem megengedett megoldásokból ndultak. És rendelkeztek azzal az összes hátránnyal (számítás dő, specáls alkalmazás terület stb.), amt már az első fejezetben említettem. [74, 97, 314, 319, 367] Amennyben a tevékenységek többfajta erőforrásgényét optmáln kívánjuk, úgy ezekre az erőforrásokra s fel kell rajzoln a terhelés dagramot. Megengedett megoldást a soros vagy a párhuzamos allokácóval kereshetünk. Az optmálásnál fgyelnünk kell arra, hogy a terhelés dagramokon az egyes tevékenységek sznkronban kezdődjenek, lletve fejeződjenek be. Hába lehetne az egyk terhelés dagramon az adott tevékenységet korább dőpontra beütemezn, ha a másk terhelés dagramon erre nncs lehetőség. Párhuzamos projektek esetén, amennyben az azonos típusú erőforrások (pl. munkaerő) átcsoportosíthatók a projektek között, akkor ezeket a projekteket összevonhatjuk egy hálóba, tt optmálva bztosan globálsan s optmáls megoldást kapunk. Az optmálás és a szétbontás után leolvashatók a dagramról a megváltozott erőforráskorlátok s. Ha a projektek között nem valósítható meg az erőforrás átcsoportosítása (pl. nem azonos típusúak az erőforrások), akkor két független projektként kezelve külön-külön kell optmálnunk. [ , 223, 226] Párhuzamos projektek között erőforrás-elosztás (ERALL-OPT/PP, OPT- RALL/PP) Egy vállalatnál párhuzamosan több beruházás projekt s folyhat. Amennyben azonos erőforrásokat gényelnek, akkor elképzelhető, hogy érdemes bzonyos erőforrásokat átcsoportosítan az egyk projektből a máskba a hatékonyabb erőforrás-khasználás érdekében. Erőforrásokat a két projekt között csak akkor lehet átcsoportosítan, ha: 1. azonos erőforrásokat használnak, 2. az erőforrás átcsoportosítása lehetséges (nncs térbel, földrajz, technológa, egyéb akadálya) és 3. az erőforrás-átcsoportosítást a vállalat engedélyez. Amennyben a fent feltételek teljesülnek, akkor a hálók, és a terhelés dagramok összevonhatók egy hálóba, lletve egy dagramba. Az összevont hálón, lletve dagramon sem kaphatunk a felhasznált tartalékdőkre jobb megoldást, mnt a legkorább dőre beütemezett, maxmálsan párhuzamosított megoldás, hszen a rákövetkezés relácókat tt s be kell tartan. 111

122 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Mégs általában jobb, hatékonyabb megoldást kapunk, mntha két független párhuzamosan működő projektet külön-külön optmálnánk. Amennyben a fent feltételek bármelyke nem teljesül, akkor csak külön-külön optmálhatjuk a projekteket. A módszernek magyarul ERALL-OPT/PP (optmáls erőforrás-allokácó párhuzamosan működő projektek esetén), angolul OPT-RALL/PP (Optmzed Resource Allocaton wth Parallel Projects) nevet adtam. Állítás: A módosított ERALL-OPT/PP megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Bzonyítás: Amennyben két projekt között nem valósítható meg erőforrás-megosztás, akkor független projektként kell kezelnünk. A két projektre külön-külön kell elvégezn az optmalzálást, valamely fent említett optmáló eljárásunkkal. Ha a projektek között az erőforrások megoszthatók, akkor egy új háló rajzolható, ahol az erőforrások összeadhatók. Az összetett projektben kell először egy megengedett megoldást keresn. Amennyben létezk megengedett megoldás, akkor valamely optmáló megoldással határozzuk meg az optmáls megoldást. A szétválasztás után fennmaradó khasználatlan erőforrások elosztása az optmumot nem befolyásolja. A fennmaradó erőforrást többféleképpen s eloszthatjuk. Amennyben például az erőforrás a munkaerő, úgy csak anny munkást kell foglalkoztatn az adott dőben a projekten, amennyt a projekt erőforrásgénye megkíván. Ha az erőforrás nem a munkaerő, hanem pl. valamlyen anyag, berendezés, akkor a k nem használt erőforrást az alábbak fgyelembe vételével oszthatjuk el: 1. Ha a legfontosabb szempont, hogy a termelés program akkor se változzon, ha valamlyen többlet-erőforrásgény lép fel, akkor célszerű a fennmaradó erőforrásokat vagy egyenlően, vagy valamlyen súlytényező fgyelembevételével ahhoz a termelés programhoz rendeln, ahol az erőforrásokra nkább szükség lehet. 2. Az előző esetben előfordulhat, hogy sokszor kell egyk projektből a máskba szállítan olyan anyagokat, amelyeket lehet, hogy fel sem használunk. Ha az a szempont, hogy a projektek között anyagszállítás mnmáls legyen, akkor a következőképpen járunk el. Khasználjuk, hogy a projektekhez szükséges 112

123 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása összes erőforrás elegendő az összes projekt számára, így azt kell meghatároznunk, hogy hogyan lehet kelégíten az összes erőforrásgényt mnmáls anyagmozgással Példa Az első projekt: ábra: első projekt 113

124 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása A másodk projekt: ábra: másodk projekt Az első esetben a projektek között az erőforrások nem csoportosíthatók át. Ekkor csak külön-külön optmálhatjuk a projekteket. Az optmáls megoldások ebben az esetben könnyen számíthatók. Az optmáls megoldás bemutatása előtt azonban nézzük meg azt az esetet, amkor a projektek párhuzamosan s végezhetők. A másodk projektet az első elkezdése után 14 nappal kell elkezden. Az első projektben lévő (7,8)-as tevékenységet elkezdése után a harmadk napon meg lehet szakítan, de 9 nap elteltével folytatn kell a tevékenységet. (Az első projektben lévő tevékenységeket kerek zárójellel, míg a másodk projektben lévő tevékenységeket szögletes zárójelben jelölöm.) 114

125 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: projektek között erőforrás-megosztás Ezek után hasonlítsuk össze az optmáls megoldásokat: ábra: optmáls megoldások: megoszthatóság, lletve meg nem oszthatóság esetén 115

126 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Az első oszlopban látható az az eset, amkor a projektek között erőforrás-megosztás nem lehetséges. A másodk oszlopban a párhuzamosan működő projektek között az erőforrások megoszthatók. Látható, hogy a legkorább beütemezéshez képest alg változott a tevékenységek beütemezése. Amennyben lehetőségünk van a projektek között erőforrásmegosztásra, akkor elmondható, hogy általában gaz az, hogy a tevékenységeket hamarabb be tudjuk fejezn, mnt ha az erőforrásokat nem oszthatnánk meg a projektek között. A másk fontos szempont, hogy míg az első esetben, független projekteknél a feladat (optmálás) bonyolultsága a két részfeladat bonyolultságának összege, addg jól látható, hogy amennyben megengedjük a projektek között erőforrások megoszthatóságát, a feladat bonyolultsága általában ksebb, de legfeljebb egyenlő a két részfeladat bonyolultságának összegével. Előfordulhat az az eset s (pl. a fent példa), hogy a feladat egyszerűsödk, tehát jóval kevesebb lépés alatt juthatunk el az optmáls megoldásg. A fennmaradó erőforrásokat tetszés szernt eloszthatjuk a párhuzamosan működő projektek között. Választhatjuk pl. azt a megoldást, hogy vszonylag egyenlően osszuk el a projektek között a fel nem használt erőforrásokat, így azonnal megkapjuk az erőforráskorlátot s. Ez azért célszerű, mert így ksebb változás esetén még részleges (on-lne) újraütemezésre sncs szükség. A fennmaradó erőforrások kezelésénél először meghatározzuk az összevont erőforrásterhelés dagram lokáls maxmumat. Ezután meghatározzuk az egyed projektek terhelés dagramjanak maxmumat. Ezekhez a lokáls maxmumokhoz szntvonalakat húzunk. Olyan szntvonalat kell meghatároznunk, amely a lehető legkevesebb lokáls maxmumot metsz k a terhelés dagramon. Mvel az összes erőforráskorlát rögzített, úgy kell a szntvonalakat meghatározn a terhelés dagramokon, hogy a lehető legkevesebb helyen lépje túl az erőforrásgény a szntvonalak által meghatározott erőforráskorlátot. Ahol túllép, ott szntvonalat kell lépn, de úgy kell ezeket a szntvonalakat összekötn, hogy a lehető legkevesebb törés legyen az erőforráskorlátban. Az algortmus egy megoldását láthatjuk a ábrán. 116

127 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: maradék erőforrások optmáls erőforrás-elosztása Többfajta erőforrás egydejű kezelése (ERALL-OPT/TE, OPT-RALL/MR) A gyakorlat életben a legtöbb projekt megvalósítása komplex feladat, így természetes gényként jelentkezhet az az eset, hogy egy tevékenységet több erőforrás felhasználásával valósítunk meg. Egy létesítményprojekt esetén például a legtöbb esetben egy tevékenységhez több erőforrást s fgyelembe kell venn. (Pl. munkaerő, berendezések együttes kezelése stb.). Meghatározható valamenny erőforrás-felhasználásra egy-egy korlát. Ekkor fel kell rajzolnunk valamenny erőforrásfajtára egy-egy terhelés dagramot. Ezeket csak együttesen optmálhatjuk, hszen az tt megkapott ütemterveknek meg kell egyeznük. A tevékenységeket mndegyk dagramról leolvasva ugyanakkor kell kezden, befejezn, megszakítan lletve tovább folytatn. Míg az előző eset nem feltétlenül járt a probléma bonyolódásával, az optmáláshoz szükséges lépések növekedésével, ebben az esetben egy bonyolultabb feladatot kell megoldanunk. [ , 223, 226] A módszernek magyarul ERALL-OPT/TE (optmáls erőforrás-allokácó több erőforrás egydejű kezelése esetén), angolul OPT-RALL/MR (Optmzed Resource Allocaton wth Multple Resources) nevet adtam. 117

128 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Állítás: A módosított ERALL-OPT/TE megadja az optmáls megoldást véges lépésben. Bzonyítás: Tegyük fel, hogy létezk megengedett megoldás. Az optmáls megoldás keresésénél fgyelembe kell venn, hogy csak olyan ütemtervet fogadhatunk el, amely mndkét korlátozás feltételt kelégít. Valamenny erőforrásfajtára meg kell határozn a terhelés dagramot. A rákövetkezés relácók tt s ugyanúgy érvényesek. A töréspontok halmazanak kszámításánál valamenny dagramot fgyelembe kell venn, így a töréspontok halmaza ezek unója lesz. Ekkor használhatjuk valamely optmáló eljárást, ügyelve arra, hogy valamenny korlátozást betartsuk Példa ábra: többfajta erőforrás egydejű kezelése A megengedett, lletve az optmáls megoldás keresésénél a tevékenységeket együtt kell mozgatn. Csak olyan ütemterv fogadható el, am mnd a kettő feltételrendszernek megfelel. 118

129 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ábra: optmáls megoldás többfajta erőforrás egydejű kezelése esetén 2.7 Erőforráscsoport csoportos erőforrás-tervezés A vállalat vezetés egyfajta újszerű szervezet törekvése a csoportos munkavégzés. Órás jelentősége van a komplex problémamegoldásban, a döntéselőkészítésben és a projektek kvtelezésében s. Egy projekt kvtelezésénél bevett gyakorlat például, hogy bzonyos munkákat egy-egy csoport végez. Sokszor előfordul az s, hogy bzonyos tevékenységeket alvállalkozóknak adnak k. A fővállalkozó sok esetben csak e munkák koordnálásával foglalkozk. A projektmenedzsmentben használt erőforrás-tervezés módszerek legnagyobb hányossága, hogy ezeket az eseteket nagyon nehezen kezelk. A leírt módszer segítséget nyújt, hogy a fent gyakorlatban előforduló problémákat kezeln tudjuk. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha egy-egy munkát egy alvállalkozó vagy egy csoport végez, akkor hogyan kell az adott munkát elosztan a csoporton belül ahhoz, hogy azt a lehető legrövdebb dő alatt az erőforráskeretét nem túllépve költség-hatékonyan végezze el. 119

130 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Erőforráscsoportok A ma projektmenedzsment-szoftverek (MS-Project, Prmavera, CA-SuperProject stb.) hatékonyan kezelnek ún. erőforráscsoportokat (resource group). Ennek lényege, hogy az azonos típusú erőforrásokat (pl. munkaerő, ezen belül: segédmunka, szakmunka stb.) egy csoportba szervezhetjük. Ezen erőforrások bzonyos tulajdonsága megegyeznek (pl. munkadő, költségfelmerülés stb.). Fontos kérdés lehet azonban még, hogy az egyes erőforrástípusok mennyre helyettesíthetők egymással. Ez a probléma azonban a ma projektmenedzsment szoftvereken mnt ahogy később látn fogjuk túlmutat. Felmerülhet a kérdés, hogy erre a plusz nformácóra egyáltalán mért lehet szükség? Ha feltesszük, hogy egy-egy tevékenységet egy-egy csoport végez, akkor feltehetjük azt s, hogy a csoport tagjanak közel azonos típusú munkát kell elvégeznük, tehát az általuk elvégzett munkák (többnyre) azonos típusú erőforrásokat gényelnek. Továbbá feltesszük, hogy a csoport érdeke, hogy a rendelkezésére álló erőforrásaval gazdálkodva a lehető legrövdebb dő alatt és a lehető legksebb költséggel végezze el a rábízott tevékenységeket. Ha megengedünk az azonos jellegű erőforrások között bzonyos konverzót, akkor akár egy hatékonyabb erőforrás-terheléshez, ksebb dőtartamokhoz, vagy kevesebb költséggel járó ütemtervhez juthatunk. Mt értünk az azonos jellegű erőforrások konverzóján? Egy erőforrásgény bzonyos megszorításokkal kváltható egy másk (hasonló jellegű) erőforrással. Gyakorlatban s előfordul, hogy egy segédmunkát egy szakmunkás végez. (Sajnos ennek fordítottja s előfordul.) Ennek következménye sokszor a munka nem megfelelő mnősége, költséghatékonysága stb. Először a modell szempontjából két szélsőséges esetet tekntünk. Az egyk eset, amkor két erőforrás egyáltalán nem helyettesíthető egymással. Ebben az esetben a több erőforrás egydejű kezelésére használható technkákat (Mult Resource Management) alkalmazhatjuk. Ebben az esetben erőforrás-típusonként fel kell rajzoln egy-egy terhelés dagramot. Az optmalzálás során a tevékenységek kezdés és befejezés dejét sznkronzálnunk kell az erőforrás-terhelés dagramoknak megfelelően. A másk modell szempontjából szélsőséges eset, amkor két erőforrás tökéletesen helyettesíthető egymással (pl. azonos típusú munkák különböző épületrészen). Ekkor a feladat a párhuzamosan működő projektek között erőforrás-megosztásra vezethető vssza. Ekkor az erőforrásokat egy közös terhelés dagramba rajzolhatjuk fel. A gyakorlatban előfordulhat 120

131 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása azonban olyan eset s, amkor két erőforrásgény egymással bzonyos megszorításokkal helyettesíthető. Ennek kezelésével foglalkozunk a következő fejezetekben Csoportos erőforrás-tervezés Egy szervezetben vagy egy csoportban egy-egy ember általában többféle munkához s érthet különböző mértékben. Kérdés lehet, hogy kt mre alkalmazzunk, ha a fent célt tartjuk szem előtt. Egyénekkel, vagy csoportokkal dolgozzunk? Ha csoportokat foglalkoztatunk, akkor hogyan válogassuk össze a csoportot? Erre mlyen nformatka támogatottságot vehetünk génybe? Először arra a kérdésre válaszoljunk, hogy egyénekkel vagy csoportokkal dolgozzunk? Melyk hatékonyabb? Amnt azt később látn fogjuk, ezt általában a feladat jellege ezen belül s az erőforrásgények határozzák meg. Ha az erőforrások egymást egyáltalán nem helyettesíthetk, akkor erőforráskhasználás szempontjából az egyén, vagy csoportos hozzárendelés bármelyke jó megoldásnak bzonyulhat. Ebben az esetben egy tevékenység erőforrásgénye (pl. 8 CNChegesztőmunkás) más erőforrással nem helyettesíthető. A modell szempontjából lényegtelen, hogy 8 CNC-hegesztő végz-e el a munkát vagy egy 8 tagú CNC-hegesztő csapat. (A csoportban lévő esetleges sznergahatásokkal most nem foglalkozunk). Amennyben az erőforrások tökéletesen helyettesíthetők egymással, abban az esetben a csoport foglalkoztatása már általában célravezetőbb, mnt egyes egyének alkalmazása. A feladat ebben az esetben a párhuzamosan futó projektek között erőforrás-megosztásra vezethető vssza. Ha egyénekkel dolgozunk, és az erőforrások nem megoszthatók, akkor párhuzamosan futó független projektekhez analóg feladatot kapunk. Amennyben az azonos típusú tevékenységeket egy csoport végez, úgy az erőforrásgények összevonhatók. A csoport tagja között eloszthatja a különböző tevékenységeket, lletve az ehhez szükséges erőforrásgényeket. A fent meggondolások alapján csoportot célszerű alkalmazn abban az esetben s, ha az erőforrások bzonyos mértékg helyettesíthetők egymással. A modell részletezését a következő fejezet tárgyalja. A következőkben azt szeretnénk megvzsgáln, hogy a feladat szempontjából hogyan érdemes összeválogatn a csoport tagjat. A csoport tagjanak megválasztásánál a következő szempontokat kell fgyelembe venn. 121

132 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 1. Lehetőleg hasonló kompetencákkal rendelkező csoporttagokat célszerű egy csoportba összeválogatn. Erre a csoportra olyan tevékenységeket célszerű rábízn, amelyek azonos típusúak, részben vagy teljesen helyettesíthetők egymással. Ha a csoportban hasonló kompetencájú egyének dolgoznak, akkor közöttük a munkamegosztás, lletve ezáltal hatékony erőforrás-khasználás valósítható meg. 2. Mvel a modellből s ktűnk, hogy a csoport mérete csak addg bővíthető, ameddg található olyan erőforrás, am egymással tökéletesen vagy részben helyettesíthető, a csoport méretére fokozottan fgyelnünk kell. A csoport méretének még egyéb szempontok s gátat szabnak. A túl nagy csoport nehezen kezelhetővé válhat. A csoportra hatékony erőforrás-megosztására felírandó probléma túlságosan bonyolulttá válhat Kompetenca alapú kválasztás nformatka támogatása A kompetenca alapú kválasztást néhány nformácós rendszer már ma s támogathatja. Ezek a rendszerek ún. tudástérképet használnak, melyben az alkalmazottak tudását, kompetencáját térképezk fel. Az nformácós rendszerek tervezése során olyan metodkák s léteznek, melyek az lyen tudástérképeket támogatják. Ilyenre egy példa az ARIS-rendszer. A metodka a kompetencákhoz mértéket s rendel. Ezáltal nylvántarthatjuk, hogy k mlyen területen a leghatékonyabb. Ezt az ARIS-metodkában lefedettség foknak nevezzük. Meyer úr munkatárs rányítás smerete Projektmenedzsment Szaksmeret ábra: tudástérkép az ARIS-metodkában 122

133 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása A modell során feltesszük, hogy aknek az adott területen nagyobb a lefedettség foka, nagyobb hatékonysággal s végz el a kompetencájába tartozó munkákat. Ebből egyenesen következk, hogy az adott tevékenységekre a legnagyobb lefedettség fokkal rendelkező egyéneket válasszuk k. Természetesen előfordulhat az az eset s, hogy az adott tevékenységekre nem tudjuk kválasztan a legmegfelelőbb embert, mert ők már párhuzamosan más munkán dolgoznak. Az optmáls hozzárendelést egy párosítás feladatként lehet meghatározn, melyben az egyk csoport az elvégzendő tevékenységek, a másk csoport a rendelkezésünkre álló munkaerő. A páros gráf élen pedg a lefedettség fok szerepel. Két csúcs pontosan akkor van összekötve, ha az llető az adott munkát el tudja végezn, vagys a lefedettség fok nem nulla. a b c d ábra: hozzárendelés gráf Ha kválasztottuk a megfelelő embereket a megfelelő munkára, akkor az előző fejezetben tárgyalt módszer szernt meghatározhatjuk a csoportokat s, akk majd elvégzk a rájuk bízott tevékenységet. Ha előző feltételezésünkkel élünk, vagys ha feltesszük, hogy aknek a lefedettség foka az adott munkát lletően magasabb, az hatékonyabban/gyorsabban végz el a munkát, akkor ezáltal dőtervezésünket, erőforrás-tervezésünket pontosíthatjuk s. Ha az dőtervezésünket úgy készítettük el, hogy a lehető legnagyobb lefedettség fokkal rendelkező egyéneket választottuk k a megfelelő munkára, akkor feltételezhetjük, hogy ksebb lefedettség fokkal rendelkező egyén lassabban végezné el a munkát, lletve azonos dő alatt több embert kellene foglalkoztatnunk. Feltesszük tehát, hogy az dőtartam, lletve az erőforrás-szükséglet függvénye a tevékenységet végzők lefedettség fokától fordított arányban függ. Ha a lefedettség fok alacsony, vagys ha a tevékenységet végzők kevésbé értenek az elvégzendő munkákhoz, akkor a tevékenységek dőtartama s megnövekedhetnek, ha vszont 123

134 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása a rendelkezésre álló dő alatt el szeretnék végezn a feladatot, akkor pótlólagos erőforrásokra lehet szükségünk. A módszer menete tehát a következő: először meg kell határoznunk a megvalósításhoz szükséges tevékenységeket, meg kell állapítan a rákövetkezés relácókat. Ezután felrajzolhatunk egy ún. logka hálót. Ez a háló megmutatja a tevékenységek közt logka kapcsolatokat (rákövetkezés relácókat). Ezután meg kell határoznunk, vagy meg kell becsülnünk a tevékenységek (várható) dőtartamát, majd egy ütemezés módszerrel (pl. CPM, PERT, MPM stb.) meghatározhatjuk a teljes projekt átfutás dejét. Az ütemezés feladat megoldása után meg kell határozn, vagy meg kell becsüln a tevékenységek végrehajtásához szükséges erőforrásokat, lletve ezek mennységét. (Pl. egy adott munka végrehajtásához hány fő szükséges, mlyen anyagokat kell felhasználnunk, lletve mlyen berendezésekre van szükségünk.) Ha a szükséges kompetencákról tudomásunk van, akkor ezáltal kválaszthatjuk a megfelelő embereket a megfelelő munkákra, lletve összeállíthatjuk a megfelelő csoportokat. A hozzárendelések után az dőtartam- és/vagy erőforrásgény-adatokat pontosíthatjuk. Ha adott(ak) az erőforrás-korlát(ok), akkor keresnünk kell egy megengedett megoldást. Ebben az esetben egy olyan ütemtervet kapunk, amely során a teljes projekt átfutás deje lehetőleg nem növekszk és a rendelkezésre álló erőforráskorlátot a program megvalósítása során egyszer sem lépjük túl. Ezután meg kell határoznunk, hogy mlyen erőforrás-felhasználást szeretnénk megvalósítan, vagys meg kell határozn a célfüggvényt. Ha található megengedett megoldás, akkor található véges lépésben az adott célfüggvényre nézve legjobb megoldás, amt a továbbakban az erőforrás-allokácós probléma adott célfüggvényre nézve optmáls megoldásának nevezünk. A módszer leegyszerűsített folyamatábráját láthatjuk az alább ábrán. 124

135 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Start Tevékenységek, rákövetkezés relácók meghatározása Logka háló felrajzolása Tevékenységek dőadatanak meghatározása Ütemezés (pl. CPM, MPM, PERT) Tevékenységek erőforrásgényenek, lletve az erőforráskorlát meghatározása Lefedettség fok meghatározása Optmáls munkaerőhozzárendelés (párosítás, csoportosítás) Lefutás dők, erőforrásgények pontosítása Megengedett megoldás keresése n Nncs megengedett megoldás! Létezk megengedett megoldás? Célfüggvény meghatározása Optmáls megoldás keresése Adott célfüggvényre nézve optmáls megoldás kíratása Stop ábra: a módszer lépése 125

136 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Tökéletes helyettesítéstől a tökéletes kegészítésg Az előző fejezetben azokkal az esetekkel foglalkoztam, amkor az erőforrások tökéletesen helyettesítk egymást (ekkor egy terhelés dagramba összevonhatók a tevékenységek), lletve tökéletesen kegészítk egymást (ekkor két terhelés dagramot kell felrajzoln és a tevékenységeket pedg sznkronzáln kell). A kérdés az, hogy e két szélsőséges eset között van-e más lehetőség s. Mnt azt az előző fejezetben már láthattuk, hogy k mlyen munkát végez, már a tervezés során eldőlt. Kérdés az, hogy a terhelés dagramot külön, vagy egybe kezeljük. Ha külön-külön rajzolunk fel erőforrás-terhelés dagramot mnden egyes erőforrástípusra, akkor az esetleges erőforrás-átcsoportosítások nem jelennek meg. Ha pedg egy dagramban kezeljük az erőforrásokat, akkor hams képet kapunk, hszen az erőforrásgények nem mnden esetben helyettesíthetők egymással. Csak azokat az erőforrásokat célszerű egy dagramba összevonn, amk vszonylag jól helyettesíthetők egymással. Mnt azt a korább fejezetekben említettem, a helyettesíthetőséget a dolgozók kompetencájának lefedettség foka határozza meg. Ebbe az esetben a lefedettség fok recprokával súlyozott (a fordított arányosság matt) dő, vagy erőforrásadatokat kell fgyelembe venn. Láthatjuk, hogy tökéletes kegészítés esetén a súly végtelen lenne, tehát nem lenne tartható az egy dagramba való összevonás. Látható továbbá, hogy mnél ksebb a lefedettség fok, vagys mnél nkább helyettesíthetk egymást olyan emberek, akk az adott tevékenység elvégzésére kevésbé kompetensek, annál több lesz a becsült átfutás dő és/vagy az erőforrás-szükséglet. Ebből s következk, hogy a megfelelő csoport kválasztása, lletve a tevékenységekhez rendelendő kompetens személyek kválogatása dőt és/vagy erőforrást takarít meg a vállalat számára. [286] Ezek az eljárások bármely a projektmenedzsmentben használt (pl. Mcrosoft Project, CA-SuperProject, Prmavera stb.) szoftver által szolgáltatott megengedett megoldásból ndulhatnak. Fgyelembe veszk a tevékenységeket végző kompetencáját, ezáltal pontosabb becslést kaphatunk a szükséges erőforrásgény és dőtartam nagyságáról. Ezeket a megoldásokat egy adott cél (vagy célfüggvény) szernt a módszerünk mnden lépésben javítja. Több projektre, több erőforrást kezelve mnmáls összköltségű, optmáls erőforrás-terhelésű programokat határozhatunk meg. [ ] 126

137 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 2.8 Bzonytalan átfutás dejű projektek optmáls erőforrás-elosztása A gyakorlat életben mnd a fejlesztés, mnd a beruházás, de különösképpen a kutatás projektek esetén nem tudjuk bztosan meghatározn egy adott projekt vagy termelés program tevékenységenek lefutás dejét. Különösen gaz ez kutatás és fejlesztés programokra, ahol a tevékenységek dőtartama kevéssé smertek. A tervezett és a tényleges tartam sokszor különbözk egymástól. [222, , 230] A módszer segítségével tetszőleges projekt (költség-, erőforrásgény-, dő-)optmáls erőforrás-allokácóját lehet meghatározn úgy, hogy fgyelembe véve a tevékenységek dőtartamanak bzonytalanságát s. A módszer egy megengedett erőforrás-allokácó alternatív úton lévő tevékenységet adott célfüggvénynek megfelelően ütemez be (ez a célfüggvény lehet pl. lehető legkorább kezdés, lehető legkésőbb kezdés stb. lásd 2. fejezet), fgyelembe véve, hogy az adott tevékenységek várható dőtartama valószínűség változók, melyeknek van várható értéke lletve szórása. A szakrodalom szernt általában 10-12% költséget takaríthatunk meg azáltal, hogy a tevékenységek dőtartamat nem determnsztkus változóként, hanem egy valószínűség változóként kezeljük, hszen így az dőtartamok bzonytalanságát már előre fgyelembe tudjuk venn. Hozzávetőlegesen meg tudjuk határozn, hogy egy adott bztonság sznt mellett menny lesz a program átfutás deje. Mégs nagyon sokszor nem várt események s befolyásolhatják a projekt vagy a termelés program átfutását. Amennyben a projekt működése közben az erőforráskorlát, vagy a tevékenységek erőforrásgénye, dőtartama megváltozk, a módszer segítségével meghatározható egy új termelés program a még futó, lletve a még el nem kezdett tevékenységekre. [152, 222, , 230] Az algortmus segítségével olyan projekteket tervezhetünk, ahol a lehető legrövdebb dő alatt a legksebb (változó) költségnövekménnyel, optmáls erőforrás-khasználással, maxmáls párhuzamosítás mellett hajthatjuk végre a projektünket a lehető legksebb bzonytalanság mellett. Ezzel a módszerrel több párhuzamosan működő projektet optmalzálhatunk, lletve többféle erőforrás egydejű kezelését valósíthatjuk meg. Kezeln tudjuk továbbá a fel nem használt erőforrásokat s. 127

138 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Sztochasztkus dőtervezés A sztochasztkus dőtervezés során az egyes tevékenységek dőtartamát egy-egy valószínűség változóként kezeljük. Két eset lehetséges: a szóban forgó tevékenységek vagy nem teljesen smeretlenek, és mndegykükre közelítőleg smerjük tartamuk valószínűség-eloszlását; vagy pedg teljesen smeretlenek (vagy legalábbs nagyon kevéssé smertek), és nem smerjük mnden tartam valószínűség-eloszlását. Ha smerjük az dőtartamok eloszlását, akkor mnden nehézség nélkül meghatározhatjuk az egyes tevékenységek átlagos dőtartamát (az dőtartam várható értékét) és szórásnégyzetét (varancáját) valamnt a szórását (standard bzonytalanságát). [1, 2, 195] Ezeket így jelöljük: t t D t u t E, j, j,, j, j, j. Ha nem smerjük az dőtartamok eloszlását, akkor a projekt tervezésekor a számítások megkönnyítése érdekében a projektmenedzsmentben használt PERT-módszert alkalmazzuk és feltesszük, hogy az dőtartamok -eloszlásúak. [195] Egyed- és kssorozatgyártás termelésrányításában egy-egy termék elkészítésének menete szntén sok szempontból felfogható úgy, mnt egy projekt megvalósítása. Itt azonban a tevékenységek tartamának eloszlásáról sokszor semmlyen nformácónk sncs, és gyakran nem s feltételezhetjük, hogy az adott tevékenység dőtartama -eloszlást követ, így a várható értékeket, lletve az dőtartam várható értékének szórását (standard bzonytalanságát) s nehéz meghatározn. [267] Itt segítségünkre az lehet, hogy azt az adott terméket mnden bzonnyal többször s legyártjuk. Ha az egyes gyártásoknál az egyes tevékenységek dőtartamat feljegyezzük, akkor ebből a várható érték a következőképpen becsülhető: N gyártás, lletve M tevékenység esetén az egyes tevékenységek várható értéke: E 1 N X X x N j1 X, j A standard bzonytalanság négyzete: u x s x s X s 2, ahol =1,2,..,M. ( ) X N 1 N N 1 N X, j X j1 Megjegyzés: Hasonló becsléseket lehetne adn az egyes tevékenységek változóköltség-, lletve erőforrásgény vonzatára s. A továbbakban mndvégg (erősen) staconer, ergodkus folyamatokkal foglalkozunk. (Lásd: fejezet) 128 2, ahol =1,2,..,M. (2,8.1-2)

139 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Ha a három módszer valamelykével (smert eloszlás esetén közvetlenül, smeretlen eloszlásnál -eloszlást feltételezve, lletve több gyártás során szerzett tapasztalat útján) meghatároztuk a várható értéket, lletve az dőtartamok várható értékenek szórásnégyzetét (standard bzonytalanságának négyzetét), akkor kszámítható a projekt átfutás dejének szórása (összetett standard bzonytalansága) az alább megfontolásokat felhasználva: [397] A központ határeloszlás tételét felhasználva: a projekt, lletve a termelés program átfutás dejének várható értéke az dőtartamok várható értékenek összege. E M y E 1 X M tevékenységet feltételezve a krtkus úton. ( ) A projekt, lletve termelés program átfutás dejének szórásnégyzete (az összetett standard bzonytalanság) általános esetben a következőképpen számítható: u u 2 c 2 c M M M M 1 M f f f 2 f f y ux, x j u x 2 ux, x j 1 j1 x x j 1 x 1 j1x 2 x j, ( ) ahol u c az un. összetett standard bzonytalanság, u(x,x j ) x,x j tevékenységek között kovaranca, y=y=f(x 1,x 2,..,x M ) pedg a modellfüggvényünk. A projektek, lletve a termelés során legtöbbször feltehetjük, hogy y=y=f(x 1,x 2,..,x M )= x 1 +x x M =X 1 +X X M. (Ezt a feltételezést tettük tulajdonképpen az első pontban s. Vannak olyan modellek, melyek az dőt, lletve a költséget s egységes függvényként kezelk. Ebben az esetben az összetett standard bzonytalanság kszámításánál más lesz a modellfüggvényünk.) Ha a fent feltételezést elfogadjuk, akkor derváltak 1-ek, és a képlet a következőképpen egyszerűsödk: M M M M 1 M M M 1 M 2 2 y ux, x j u x 2 ux, x j u x 2 ux u x j r x, x j 1 j1 1 1 j1 1 1 j1, ( ) ahol r(x,x j ) x, x j tevékenységek között korrelácó. Ha a korrelácó értéke egy, vagys az egyes tevékenységek várható dőtartama függ a másk tevékenység várható dőtartamától, akkor az összetett standard bzonytalanság (a projekt (várható) átfutásának szórása): u y u M. ( ) c x 1 Ha a tevékenységek dőtartama egymástól (lneársan) független (vagys a korrelácó nulla valamenny esetben), akkor a projekt várható átfutásának 129

140 0, Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása szórásnégyzete (az összetett standard bzonytalanság négyzete) a következőképpen alakul: u y u M. ( ) c x 1 Mnden tevékenységről meg lehet állapítan, hogy az (adott valószínűség sznt mellett) a krtkus úton van-e vagy sem. Tevékenységek legkorább/legkésőbb kezdésének/befejezésének standard bonytalanságának meghatározásához számos módszer létezk. Ezek a módszerek elsősorban abban különböznek egymástól, hogy mennyre veszk fgyelemebe, hogy egy alternatív úton lévő tevékenység mkor válhat krtkus úton lévő tevékenységgé, ezáltal szórása hogyan befolyásolja az átfutás dő szórását. A módszer szempontjából adottnak tekntem egy tevékenység dőtartama standard bzonytalanságát, és a továbbakban elsősorban az erőforrásallokácóra koncentrálok Példa Egy termék gyártása három egymást követő folyamatból áll, melyeknek - 10 gyártást követően az adata a következőképpen alakultak. Gyártás 1. tevékenység 2. tevékenység 3. tevékenység Összesen dő (nap) költség (eft) dő (nap) költség (eft) dő (nap) költség (eft) dő (nap) költség (eft) 1 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8 99 8, , ,9 349 Átlag 4,15 100,20 8,03 150,30 4,04 100,20 16,22 350,70 Bzonytalanság 0,0601 0,2494 0,0367 0,1528 0,0371 0,2494 0,0742 0,4485 Korrelácó (dő 1,2) -0,3278 Korrelácó (dő 1,3) 0,3985 Korrelácó (dő 2,3) -0,4245 Korrelácó (kltg. 1,2) -0,4666 Korrelácó (kltg. 1,3) 1,0000 Korrelácó (kltg. 2,3) -0,4666 Összetett bzonytalanság (dő): Összetett bzonytalanság (kltg.): 0, táblázat: tevékenységdők lletve változó költségek között korrelácó. Látható, hogy az egyes tevékenységek dőtartama lletve változó költsége között van korrelácós kapcsolat, így az összetett standard bzonytalanság kszámításánál ezeket a korrelácós együtthatókat s fgyelembe kell venn. Ez azonban még mndg csak egy statkus modell, mely a különböző költségnövekedéseket (pl. nflácós hatásokat), lletve a begyakorlásokat nem vesz fgyelembe. Ha olyan modellt szeretnénk alkalmazn, am ezeket a változásokat s fgyelembe vesz, akkor a standard bzonytalanságok, lletve átlagok helyett 130

141 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása alkalmazhatunk súlyozott átlagokat, lletve súlyozott bzonytalanságokat, melyek a régebb megvalósításokat kevésbé veszk fgyelembe Költségtervezés bzonytalan átfutás dő esetén A projekt, vagy a termelés program során előfordul, hogy a változó költség növekedése árán kell átfutás dőt csökkentenünk. Először bemutatok néhány gyakorlatban használt eljárást, melyek nem veszk fgyelembe a költségek esetleges bzonytalanságát, majd bemutatok néhány lehetséges módszert a költségek bzonytalanságanak meghatározására Determnsztkus költségtervezés sztochasztkus dőtervezés esetén A tevékenységek dőtartamanak becslésénél (az egyszerűség kedvéért) feltételezzük, hogy az dőtartamok -eloszlást követnek. A gyakorlatban költségoptmálásra számos módszert alkalmaznak; ezekre egy példa Bowman, Chrétenne vagy Cox összköltségmnmáló módszere [60, 64, 68]. Mvel a módszerem az erőforrások optmálására koncentrál, így tulajdonképpen a módszer használhatóságának szempontjából érdektelen, hogy az ütemezés lletve a költségmnmalzálás fázsában mlyen módszert alkalmazunk. A könnyebb átteknthetőség szempontjából egy egyszerű költségoptmáló módszert alkalmazunk, melyet a továbbakban egyszerűen PERT/COST-módszernek nevezek. A PERT/COST-módszer alkalmas mnd mnmáls összköltség-, mnd pedg mnmáls átfutás dejű program meghatározására. A sztochasztkus dőtervezés során azonban felléphetnek a tervezésből adódó problémák. Nézzünk ezek közül néhányat, lletve vzsgáljuk meg, hogyan lehet ezeket a problémákat kküszöböln. 1. Elsőként megemlíthetjük, hogy a normál megvalósítású program összköltsége általában nncs rajta az (össz)költégoptmáls görbén. (Megjegyzem, hogy ez valamenny sztochasztkus költégoptmáló módszer esetében megfgyelhető. Ennek megoldása mnden esetben az alábbakban bemutatott módszer segítségével történhet.) Ez a következők matt van így: a. A determnsztkus dőtervezés esetén egy tevékenység normál dőtartamának azt az dőt választjuk, ahol a megvalósításához szükséges (változó) költség a legksebb. Ha mnden tevékenységnél így járunk el, akkor egy olyan (ún. 131

142 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása normál átfutás dejű) programot kapunk, ahol a tevékenységek megvalósításához tartozó összes változó költség mnmáls. b. A PERT-módszernél legtöbb esetben három adatból (legvalószínűbb dőtartam, optmsta- és pesszmsta becslés) becsüljük meg a tevékenység várható dőtartamát. Ez vszont egyáltalán nem bztos, hogy mnmáls változó költséggel jár. Ugyanez gaz sajnos más költségmnmalzáló eljárásokra, ahol első lépés a tevékenységek várható dőtartamának megbecslése. Ez vszont egyáltalán nem szükségszerűen a mnmáls változóköltséggel járó normál dőtartam. c. Ha a PERT- és CPM-, vagy MPM-módszer tevékenységdőtartam-becslését összevetjük, akkor láthatjuk, hogy a CPM-, MPM-módszernél gyakran úgy becslünk, hogy a tevékenység normál dőtartamának a legvalószínűbb dőtartamot választjuk. (Ez persze nem mnden esetben teljesül, ellenben a legtöbbször a CPM, MPM által becsült tevékenység dőtartamok nem fognak megegyezn a PERT-módszer által becsült várható tevékenység dőtartamokkal.) d. A legtöbb esetben a PERT-módszer által meghatározott eloszlás nem szmmetrkus, és gyakran fennáll a következő egyenlőtlenség: a,j <t,j <m,j <b,j. 2. Ha feltesszük az 1-es pontban leírtakat, akkor az ábrákból könnyen látható, hogy a PERT-módszernél alkalmazott becslések matt a program összköltsége (általában) nem lesz rajta az összköltégoptmáls görbén (ha például a PERT-módszer által kszámolt várható dőtartamok nem egyeznek meg a CPM-, MPM-módszerek által meghatározott normál dőtartamokkal. Ugyanez fgyelhető meg más költségoptmáls megoldások esetében s.) 132

143 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Valószínűség 1 CPM/MPM PERT Egy tevékenység tartamának eloszlása (Béta-eloszlást feltételezve) A t M B Lefutás dő Költség A program költségenek alakulása Összköltség Változó költség PERT X X CPM/MPM Változó költség PERT CPM/MPM Egy tevékenység várható változó költségének alakulása az dő függvényében Fxköltség Átfutás dő Összköltségoptmáls átfutás dő Mnmáls átfutás dő Normál átfutás dő A t M B Lefutás dő ábra: költségek és várható tartamok kapcsolata determnsztkus költségtervezés esetén 3. Abban az esetben sem lleszkedk a PERT-módszer által becsült dőtartamokból számolt projekt átfutás dejének költségvonzata az összköltégoptmáls görbére, ha az egyes tevékenységekre a CPM/MPM-módszer által becsült legvalószínűbb normál dőtartam ksebb, mnt a PERT-módszer által meghatározott várható (normál) dőtartam. 4. Ha feltételezzük az egyes, lletve a kettes pontban leírtakat az egyes tevékenységekre, akkor egy a gyakorlatban használt módszer segítségével csökkenthetjük a program (össz)költségét, anélkül hogy a program várható átfutás dejét megnövelnénk. Ennek a módszernek a lényege, hogy az alternatív úton lévő tevékenységek szabad tartalékdejét csökkentjük (vagys a tevékenységek várható dőtartamát növeljük). Ez (feltételezve 1., 2. pontokban leírtakat) (össz)költségcsökkenéssel jár. (Ekkor kszámítható a szórás (standard bzonytalanság), és a módusz változása.) Ezzel a módszerrel a krtkus utak száma megnőhet, lyenkor a belépő krtkus utak matt a program várható átfutás deje s bzonytalanabbá válhat. Ezért nem növeljük a tevékenységek tartalékdejét a szabad tartalékdőn felül, hszen akkor szélsőséges esetben a teljes program összes tevékenysége krtkus úton lévő tevékenység lehet. 133

144 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Ezzel a módszerrel tehát költséget takaríthatunk meg, anélkül hogy a várható átfutás dő növekedne. 5. Ennél egy jobb módszer, am azt az esetet s fgyelembe vesz, ahol az egyes tevékenységek változó költsége, lletve várható dőtartama magasabb, mnt a (legvalószínűbb) normál dőtartam, lletve (az ehhez az értékhez tartozó) normál költség. Itt az elsőrendű cél a normál átfutás dő elérése. Ekkor az egyes tevékenységek várható dőtartamat úgy módosítjuk, hogy az mnmáls változó költséggel járjon. A várható értéket tehát erre az értékre kell módosítan. Ha a mnmáls változó költséghez tartozó dőtartam éppen a legvalószínűbb dőtartam, akkor a tevékenységek várható értékét erre az értékre kell módosítan. (A egyenletek megadják a szórások lletve az dőtartamok változásának számításához használható képleteket). Ezzel a módszerrel tehát szntén változó költséget takaríthatunk meg. Az így meghatározott átfutás dővel megvalósított program mnmáls változó költséggel fog rendelkezn, és meg fog egyezn a CPM-, MPM-módszerekkel kszámított normál átfutás dővel. A továbbakban feltesszük, hogy az dőtartamok és a változó költségük között függvénykapcsolat áll fenn. Az előzőekben vzsgált mennységek a,j, m,j, b,j, t,j és,j most vc,j változó költség függvénye. A PERT/COST-módszerben feltesszük, hogy az alább (r 1,j, r 2,j ) arányok nem változnak a költségnövekedés hatására: a 1,,, j r j t, j b, j r j t, j 2,. ( ) Az alább mennységek tehát a következőképpen változnak (a változó mennységeket ~ - jellel jelöltem): Szórásnégyzet (standard bzonytalanságnégyzet) változása: u~ 2 ~ ~ b a r r t 1 6. ( ) 36 2 ~ 2 ~ ( t ~, j ), j, j, j 2, j 1, j, j 134

145 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Tehát, ha változó költség növekedése árán csökkentjük a t,j átlagos dőtartamot, akkor ezzel egyenes arányban csökken a standard bzonytalanság (tevékenység szórása) s. Az 1 arányosság tényező pedg: r 6 r 2, j 1, j. Úgyszntén arányos a t,j átlagos dőtartammal a módusz változása: m~, j 6 r 1 r2 ~ t j 1, j, j,. ( ) 4 a~ ~ b, j, j Az optmsta, lletve pesszmsta becslések változása az alább módon írható fel: r ~ t ( ) 1, j, j r ~ t ( ) 2, j, j Az eloszlás paraméterenek becslése: 1 r1, j 6 r r 2, j r 6 r 2 2, j, j 1 r, j 1 1, j ( ) Látható, hogy az eloszlás paramétere a várható dőtartamok csökkenésétől függetlenek, így a tartamok csökkenése esetén s (feltételezve, hogy r 1, r 2 arányok állandóak) azonos paraméterű (azonos alakú ) eloszlással becsülhetők az dőtartamok (egy adott bztonság szntet feltételezve). Más költségoptmálás módszer alkalmazása esetén s a végeredményként egy összköltségmnmáls, vagy egy mnmáls átfutás dejű programot kapunk. Megkapjuk továbbá a tevékenységek adott költségsznthez tartozó (várható) legkorább/legkésőbb kezdését/befejezését, lletve ezek standard bzonytalanságát Sztochasztkus költségtervezés sztochasztkus dőtervezés esetén A tervezés során általában nem csak az egyes tevékenységek várható dőtartamáról, de a várható költség-, lletve erőforrásgényekről sncs bztos nformácónk. Általában ezeket s csak becsüln tudjuk. Hogy a költségek, lletve erőforrásgények becslésénél mért nem terjedt el az dőbecsléshez hasonló sztochasztkus modell, annak számos oka van. 135

146 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása 1. A költségek, lletve erőforrásgények becslésére nncs általánosan elfogadott eloszlásfüggvény (mnt például projektek esetén dőtartamok becslésére a - eloszlás). 2. Változó költségek, lletve a fxköltségek valószínűleg más és más eloszlást követnek. 3. Erőforrásgény-típusok (megújuló, nem megújuló) erőforrások szntén valószínűleg más és más eloszlást követnek. Látható a fent nehézségek matt, projektek esetén a költségek, lletve az erőforrásgények bzonytalanságát nagyon nehéz megbecsüln. Termelés programok esetén azonban használhatjuk a példában leírtakat. A gyártás során feljegyezzük a tevékenységek dőtartamat, költség- és erőforrásgényet. Ebből becsülhető a tevékenységek dőtartamanak várható értéke, és az átlag szórása (standard bzonytalansága), lletve a program várható átfutás deje és a várható átfutás dő szórása (összetett standard bzonytalansága). Becsüln kell továbbá azt, hogy a krtkus úton lévő tevékenységek közül melyk tevékenységet menny dővel lehet csökkenten, lletve hogy ez az dőtartam csökkenés menny változó költség növekedéssel jár. Ha ezek közül ugyanúgy, ahogy a CPM/COST-, MPM/COST- vagy a PERT/COST-módszernél a legksebb (változó)költség-növekedéssel járó tevékenység dőtartamát csökkentjük, és így módosítjuk a gyártást, akkor több gyártás esetén szntén becsülhetjük az egyes tevékenységek dőtartamat, a várható dőtartam szórását, a várható átfutás dőt, lletve annak szórását, valamnt a becslés (standard) bzonytalanságát. Ezt a folyamatot addg smételhetjük, ameddg a kívánt átfutás dőt (valamely bztonság sznt mellett) el nem érjük. Ha más nformácónk nncs az eloszlásokat lletően, akkor projektek esetén várható érték, lletve szórás becslésére az előző megvalósított projektek szolgáltathatnak nformácót. Hasonló tevékenységek esetén becsülhető a tevékenységek dőtartamánek várható értéke lletve a szórása. Vagys a gyakorlatban ez azt jelent, hogy amennyben adott tevékenységeket elvégeztünk korábban más projektek keretében, akkor az ott szerzett tapasztalatokat (dőtartam, költséggény, erőforrás-szükséglet) feljegyezve, a es példa alapján megbecsülhetjük a várható dőtartamot, a költséggényt és az erőforrás-szükségletet, lletve meghatározhatjuk ezen adatok standard bzonytalanságát. Mnél több hasonló tevékenységet végeztünk el korább projektek megvalósítása során, annál pontosabban tudjuk ezeket az adatokat (dőtartamot, költség- és erőforrásgényt) meghatározn. 136

147 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Általában a következő összefüggések állapíthatók meg egy projekt vagy egy kssorozatgyártás termelésrányításában. változó költség vc(r) vc(n) változó költség vc(b) vc(a) r (a) Tevékenység lefutás dejének és költséggényének kapcsolata n (c) Változó költségek különböző lefutás dők esetén lefutás dő adott költségsznt mellett valószínűsíthető lefutás dő b m a valószínűség (b) Lefutás dők és valószínűsíthető lefutás dők kapcsolata r n 1 (d) Adott költségsznthez tartozó lefutás dők valószínűsége -eloszlást feltételezve) lefutás dő vc(m) a m b lefutás dő a m b lefutás dő ábra: egy tevékenység dőtartamának és költséggényének kapcsolata A tevékenységek dőtartamának adott költségsznt mellett valószínűségének sűrűségfüggvényét a (d) ábra mutatja (-eloszlást feltételezve). Valamenny valószínűség sznt mellett elmondható, hogy a normál dőtartam esetén mnmáls a változóköltség-gény ( (a) ábra). Ha ennél az dőnél rövdebb dő alatt akarjuk végrehajtan a tevékenységet, akkor az általában csak a költségek növekedésével érhető el. Ebben az esetben vszont az optmsta és pesszmsta dőtartamok s változnak ( (b) ábra). Egy adott költségsznt mellett a legvalószínűbb dőtartamtól való extrém eltérések általában szntén költségvonzattal járhatnak. Valamenny tevékenységre meghatározva a költség-optmáls dőtartamot meg lehet mondan, hogy mely tevékenységek dőtartamat kell csökkenten, lletve növeln. Meg lehet továbbá határozn a mnmáls változó költséggel járó átfutás dőt, hszen a mnmáls változó költséggel járó dőtartamok esetén az átfutás dő s mnmáls változó költséggel fog járn. Ezenkívül közelítéssel kapunk mnden tevékenységre egy olyan költség-dő függvényt, mely segítségével a programot esetlegesen rövdíthetjük. Ha a fxköltségeket s mérjük adott dőszakban, akkor olyan programot határozhatunk meg, amellyel mnmáls összköltség érhető el. 137

148 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Erőforrás-tervezést ezután lehet elvégezn. Ekkor meghatározható egy adott valószínűség szntre (pl. legvalószínűbb átfutás dő) a lehető legksebb összköltséggel járó optmáls erőforrás-allokácó Bzonytalanság kezelése kssorozatgyártás termelésrányításában Sok esetben a projektekhez hasonlóan lehet a kssorozatgyártás termelésrányítását s kezeln. Amíg azonban a projektek esetén a tevékenységdők, költség- és erőforrásgények jórészt csak becsülhetők, addg tt a tevékenységek dőtartamának, költséggényének és erőforrásszükségletenek becslésére a korább termelés adatat s felhasználhatjuk. A következőkben bemutatjuk, hogyan becsülhetők meg statsztka módszerekkel e paraméterek várható értéke, szórása, valamnt ebből hogyan becsülhetjük meg az adott üzemben a várható termelést. [228] Paraméterek becslése A tevékenységek dőtartamat, költséggényet és erőforrás-szükségletet az ISO Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement 1993-ban kadott segédlete alapján becsüljük. Ez a segédlet többfajta bzonytalanságot különböztet meg. Becslésenk során ezeket a bzonytalanság fogalmat fogjuk használn Példa az dőtartamok becslésére Egy termelő vállalat nyílászárókat készít. A tevékenységenek (percekben mért) dőtartamát feljegyz, és a következő megállapításokat tesz (tapasztalata alapján). Naponta nyílászárót tud elkészíten. 25 munkása van a különböző munkák elvégzéséhez. Kérdés az, hogy hogyan tudja fokozn a termelését, ha tudjuk, hogy a tevékenységdők a legvalószínűbb dőtartamtól maxmum % között tér(het)nek el. A költséggényekkel most még nem foglalkozunk. Az erőforrás-szükségletet pedg adott tevékenység esetén konstansnak vesszük. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a tevékenység dőtartama, mnt valószínűség változó -eloszlást követ. Feltételezzük továbbá, hogy a tevékenységeket egymás után sorban hajtjuk végre. 138

149 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Srsz. Tevékenység megnevezése a b m t 2 r 1 r 2 1 Darabolás 9,0 13,0 10,0 10,3 0,44 0,87 1, Vízkfolyó és klncshely 2 kmaratása 9,0 13,0 10,0 10,3 0,44 0,87 1, Merevítő vas vágása 4,5 6,5 5,0 5,2 0,11 0,87 1, Csavarozás 4,5 6,5 5,0 5,2 0,11 0,87 1, Fő szerkezet egységek 5 összeállítása és hegesztése 6,3 9,1 7,0 7,2 0,22 0,87 1, Hegesztés után sorjázás 5,4 7,8 6,0 6,2 0,16 0,87 1, Vasalatok és pántok szerelése 7 (szárny) 13,5 19,5 15,0 15,5 1,00 0,87 1, Vasalatok és pántok szerelése 8 (tok) 13,5 19,5 15,0 15,5 1,00 0,87 1, Üvegezés (panel), üveglécezés 6,8 9,8 7,5 7,8 0,25 0,87 1, Funkconáls elemek beállítása és 10 ellenőrzése 3,6 5,2 4,0 4,1 0,07 0,87 1, S Összesen 76,1 109,9 84,5 87,3 3, táblázat: tevékenységek várható dőtartamának, standard bzonytalanságának lletve a - eloszlás paraméterenek becslése Ha az egyes tevékenységek várható dőtartama, mnt valószínűség változó -eloszlást követ, akkor használjuk a PERT-módszert az egyes paraméterek becslésére. Ekkor a legyen az optmsta becslés (tt a tevékenység legvalószínűbb dőtartamának m 90%-a). Legyen b a pesszmsta becslés (tt a tevékenység legvalószínűbb dőtartamának m 130%-a). Az előző fejezet egyenletet felhasználva kszámíthatók a fent paraméterek (várható érték, szórás, eloszlás paramétere stb.) Ha a fent paraméterek smertek, meghatározható az átfutás dő (TPT) várható értéke E(TPT), lletve szórása M E : 1 2 (összetett standard bzonytalansága u c TPT M 1 2 TPT TPT : E TPT t t, ( ) ). 2 TPT u 2 c M M M M 1 M f f f 2 f f TPT ut, t j u t 2 ut, t j 1 j1 t t j 1 t 1 j1t t j 2. ( ) A számítás megkönnyítése érdekében tegyük fel a következőket: 1. f egy egyszerű összegző függvény, tehát az átfutás dő nem lesz más, mnt a krtkus úton lévő tevékenységek (tt az összes tevékenység) dőtartamának összege. Ekkor a derváltak 1-ek lesznek. 2. A tevékenységek között nncs korrelácó. Ekkor az összeg másodk fele 0. Így az összefüggés a következőképpen egyszerűsödk: 139

150 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása M 2 TPT u t u. ( ) TPT c 1 M 1 Tehát az átfutás dő szórásnégyzete nem lesz más, mnt az dőtartamok szórásnégyzetenek összege. Látható azonban, hogy a modell akkor s alkalmazható, ha a tevékenységek között létezk korrelácó. Meghatározható továbbá adott valószínűség szntek (90%, 95%, 99%) mellett, menny lesz legrosszabb esetben a tevékenységek dőtartama. Srsz. Tevékenység megnevezése m t t p =0,9 t p =0,95 t p =0,99 t P =0,9 t P =0,95 t P =0,99 p P =0,9 p P =0,95 p P =0,99 1 Darabolás 10,0 10,3 11,3 11,6 12,1 10,6 10,7 10,9 0,68 0,71 0,77 Vízkfolyó és klncshely 2 kmaratása 10,0 10,3 11,3 11,6 12,1 10,6 10,7 10,9 0,68 0,71 0,77 3 Merevítő vas vágása 5,0 5,2 5,7 5,8 6,1 5,3 5,4 5,4 0,68 0,71 0,77 4 Csavarozás 5,0 5,2 5,7 5,8 6,1 5,3 5,4 5,4 0,68 0,71 0,77 Fő szerkezet egységek 5 összeállítása és hegesztése 7,0 7,2 7,9 8,1 8,5 7,4 7,5 7,6 0,68 0,71 0,77 6 Hegesztés után sorjázás 6,0 6,2 6,8 7,0 7,3 6,4 6,4 6,5 0,68 0,71 0,77 Vasalatok és pántok szerelése 7 (szárny) 15,0 15,5 17,0 17,4 18,2 15,9 16,1 16,3 0,68 0,71 0,77 Vasalatok és pántok szerelése 8 (tok) 15,0 15,5 17,0 17,4 18,2 15,9 16,1 16,3 0,68 0,71 0,77 9 Üvegezés (panel), üveglécezés 7,5 7,8 8,5 8,7 9,1 8,0 8,0 8,2 0,68 0,71 0,77 Funkconáls elemek beállítása és 10 ellenőrzése 4,0 4,1 4,5 4,7 4,8 4,3 4,3 4,3 0,68 0,71 0,77 S Összesen 84,5 87,3 95,8 98,3 102,3 89,82 90,53 91, táblázat: tevékenységek dőtartama különböző bztonság szntek esetén Ebben az esetben p a tevékenységekhez tartozó bztonság szntet jelöl. Tehát pl. t p=0,9 azt jelent, hogy 90%-os bztonság sznt mellett az esetek 90%-ában a tevékenység legalább enny dő alatt végre fog hajtódn. Mnél magasabb ez a bztonság sznt, annál nagyobb a (becsült) dőtartam. Ha egy tevékenység csúszn s fog, de a közöttük lévő korrelácó 0, annak az esélye, hogy mnden tevékenység csússzon, elég kcs. Ezért tt a tevékenységek 90%-os bztonság sznt mellett dőtartamanak egyszerű összegzése helyett célszerű az átfutás dő összetett standard bzonytalanságát felhasználva valamely bztonság szntre meghatározn az átfutás dőt. P ezt a valószínűséget jelöl. t P=0,9 tehát azt jelent, hogy ha az átfutás dő az esetek 90%-ában legfeljebb TPT P=0,9 =89,82 óra, akkor átlagosan t P=0,9 lesz a tevékenység dőtartama. Az esetek p P=0,9 =68%-ában egy adott tevékenység dőtartama nem lesz nagyobb ettől a t P=0,9 értéktől. 140

151 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Srsz. a b m t 2 r r max n r n r m t n t np =0,9 t np =0,95 t np =0,99 t np =0,9 t np =0,95 t np =0,99 1 9,0 13,0 10,0 10,3 0, ,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 2 9,0 13,0 10,0 10,3 0, ,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 3 4,5 6,5 5,0 5,2 0, ,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 4 4,5 6,5 5,0 5,2 0, ,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 5 6,3 9,1 7,0 7,2 0, ,62 3,97 4,07 4,24 3,72 3,75 3,80 6 5,4 7,8 6,0 6,2 0, ,10 3,40 3,49 3,63 3,19 3,21 3, ,5 19,5 15,0 15,5 1, ,88 4,25 4,36 4,54 3,99 4,02 4, ,5 19,5 15,0 15,5 1, ,88 4,25 4,36 4,54 3,99 4,02 4,08 9 6,8 9,8 7,5 7,8 0, ,75 8,50 8,72 9,08 7,97 8,03 8, ,6 5,2 4,0 4,1 0, ,13 4,53 4,65 4,84 4,25 4,29 4,35 S 76,1 109,9 84,5 87,3 3, táblázat: tevékenységek várható dőtartama, erőforrás-szükséglete A feladatban smert mnden tevékenység erőforrásgénye r. Legyen ez az erőforrás a tevékenységek végrehajtásához szükséges munkások száma. n legyen a gépek száma tevékenységenként. Ekkor egy adott tevékenység összes erőforrásgénye: r n =r. n. Ez az érték nem lehet magasabb, mnt az adott tevékenységet elvégezn tudó dolgozók száma: r max. r m legyen a maradék erőforrás, tehát: r m := r max - r n. t n az egységny dőtartam, amely megmutatja, hogy n gép esetén egy gépen átlagosan menny lesz egy adott tevékenység végrehajtás deje. Ekkor t n := t / n. Ennek maxmuma (t nmax :=max(t n )) lesz a szűk keresztmetszet (ebben a példában a dőlt betűkkel szedett 9. sorszámú tevékenység). Ha adott a munkadő, lletve a műszakok száma, akkor kszámítható, hogy átlagosan mennyt lehet termeln egy munkanapon. TPT P =0,5 87,32 Q P =0,5 77,4 TPT P =0,9 89,82 Q P =0,9 75,3 Q p =0,9 74,3 TPT P =0,95 90,53 Q P =0,95 74,7 Q p =0,95 73,5 TPT P =0,99 91,86 Q P =0,99 73,6 Q p =0,99 72 TPT 1,95 munkaórák száma 10 műszakok száma táblázat: különböző bztonság sznthez tartozó átfutás dő, lletve megtermelhető termékek mennysége 50%-hoz tartozó átfutás dő a várható átfutás dő. Feltételezhetjük a központ határeloszlás tételéből fakadóan, hogy elegendően sok tevékenység esetén az átfutás dő, 141

152 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása mnt valószínűség változó normáls eloszlást követ. Ekkor a várható megtermelhető termékek száma: Q P=0,5 :=műszakok száma (tt 1) * munkaórák száma (tt 10) * 60 (perc) / TPT P=0,5. Hasonlóan kszámítható Q értéke a több bztonság sznten s. Így pl. az esetek 90%- ában (Q P=0,9 := 1 * 10 * 60 (=600) / TPT P=0,9 = 75.3 nyílászáró/nap) ettől kevesebb terméket nem fogunk termeln. Menedzser, vezető döntést befolyásoló döntés lehet, hogy a krtkus tevékenység esetleges csúszása hogyan befolyásolja a megtermelhető tevékenységek számát. Ezt mutatja meg a Q p érték. Kszámításakor m db termelés esetén szntén feltételezhetjük, hogy az összes megtermelt mennység t nmax várható értékű tnmax szórású normáls eloszlást követ. Ennek megfelelően pl. Q p=0,9 kszámítása a következőképpen történk. Q 600, t p0,9 1 N p0,9 nmax t nnax 74,3 nyílászáró/nap, ahol a N -1 p(.,. ) függvény a p=0,9 valószínűség értékhez tartozó t n középértékű, max t nnax szórású nverz normáls eloszlás. Elemzés: Az elemzés során fontos megállapításokat tehetünk: 1. Várhatóan 77,4 darab nyílászárót fogunk tudn egy nap alatt megtermeln. Ez az előzetes becslésekkel teljesen sznkronban van. 2. Elmondható, hogy 72-nél kevesebbet 99%-os valószínűséggel egyetlen nap sem termelünk. 3. Csak úgy tudunk egy nap többet termeln, ha az dőtartamokat csökkentjük és/vagy több munkagép segítségével a termelés folyamatot párhuzamosítjuk. Ez utóbb vszont az erőforrásgény növekedésével, egyúttal költségnövekedéssel járhat. 4. Ahhoz, hogy eldöntsük, van-e értelme párhuzamosítan, költségelemzést kell végezn. 5. Csak olyan tevékenységeket célszerű párhuzamosítan, amelynek egységny (várható) dőtartama magas. Jelen esetben ez a 9., lletve esetlegesen az 1-4. tevékenységek lennének Változó költség és az dőtartam kapcsolatának meghatározása Ha maradunk az előzőekben vázolt termelés struktúránál, akkor s célszerű a termelést a lehető legksebb költséggel végrehajtan. Ehhez azonban fontos, hogy felderítsük az 142

153 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása dőtartamok, lletve a költséggények kapcsolatát. Ez a kapcsolat lehet determnsztkus vagy sztochasztkus. Ha ktöltünk az alább ábrához hasonló táblázatot, meghatározott (pl. het, kéthet, hav) rendszerességgel, akkor kellően sok táblázat ktöltése esetén (legalább 10) statsztka következtetéseket vonhatunk le dőtartamok lletve költségek, esetleg az dőtartamok és erőforrásgények között. Feldolgozott dőszak: Lefutás dők Változó költségek Erőforrásgény Srsz. Tevékenység megnevezése a b m vc (a ) vc (b ) vc (m ) vc mn vc max vc átlag r(a) r(b) r(m) r mn r max r átlag 1 Darabolás Vízkfolyó és klncshely 2 kmaratása 3 Merevítő vas vágása 4 Csavarozás Fő szerkezet egységek 5 összeállítása és hegesztése 6 Hegesztés után sorjázás Vasalatok és pántok szerelése 7 (szárny) Vasalatok és pántok szerelése 8 (tok) 9 Üvegezés (panel), üveglécezés Funkconáls elemek beállítása 10 és ellenőrzése S Összesen Összes fx költség táblázat: ktöltendő táblázat A tevékenységek dőtartama közül a-oszlopba azt az dőtartamot írjuk, am az adott dőszakban a legksebb volt. Ennek változó költsége vc(a), erőforrás-szükséglete pedg r(a). Ezeket szntén írjuk a megfelelő oszlopba. Hasonlóan az előzőkhöz, a tevékenység leghosszabb dőtartamát b, leggyakrabban előforduló dőtartamát m, ezek költségét vc(b), vc(m) és erőforrás-szükségletét r(b), r(m) s írjuk a megfelelő oszlopba. Fontos lehet, hogy átlagosan, mnmálsan és maxmálsan menny volt a költség- és erőforrásgény. Ha a tevékenységek száma kcs, akkor egy egyszerű táblázatkezelő segítségével magunk s elemezhetjük az adatokat. Ha a tevékenységek száma jelentősebb, akkor a problémára egyszerű szoftver készíthető. Az adatokat rendezzük a legvalószínűbb dőtartam szernt. A következő tevékenységet elemzésünkhöz egy hosszabb átfutás dejű kssorozatgyártásból vettük. (Az dőadatok órákban, a költségadatok euróban értendők.) Egy tevékenység elemzésénél a következő táblázatot kapjuk. (Az adatokat a legvalószínűbb dőtartam szernt sorba rendeztük.) 143

154 változó költség 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Srsz. a b m vc(a) vc(b) vc(m) vc mn vc max vc átlag r(a) r(b) r(m) r mn r max r átlag 7 8,9 9,1 9, ,9 11,8 9, ,7 11,5 9, ,8 11,3 9, ,8 10,0 9, ,7 10,1 9, ,9 9,9 9, ,0 10,8 9, ,1 10,2 9, ,1 10,1 9, ,8 10,2 9, ,7 10,7 9, ,7 11,9 9, ,4 11,0 9, ,0 12,8 9, ,3 11,1 10, ,8 11,1 10, ,0 12,0 10, ,7 11,7 10, ,1 13,7 10, ,0 13,6 10, ,1 13,3 11, ,2 12,1 11, Átlag 9,43 11,30 9, , , , , , , táblázat: egy tevékenység dőtartamának és költség-/erőforrásgénye kapcsolatának meghatározására szolgáló táblázat A táblázatból azonnal ktűnk, hogy a tevékenységek dőtartama és erőforrásgényük között nncs függvénykapcsolat. A költségek és az dőtartamok között vszont megfgyelhető sztochasztkus kapcsolat. Költségek és lefutás dők kapcsolata R 2 = 0, ,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 lefutás dő ábra: egy tevékenység dőtartama és költség-/erőforrásgényének kapcsolata 144

155 költséggény 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Az összefüggés jobban szemléltethető, ha az azonos dőtartamokhoz tartozó költséggényeket átlagoljuk. Lefutás dők és a költséggények kapcsolata R 2 = 0, ,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 lefutás dő ábra: egy tevékenység dőtartamának és költség-/erőforrásgényének kapcsolata Mndkét görbére llesztett másodfokú polnom mnmuma 9,8 óránál van. Itt most a legvalószínűbb dőtartamokra néztük meg az dőtartamok és a költséggények kapcsolatát. Ez természetesen elvégezhető a több, valószínűsíthető dőtartamra, lletve az optmsta és pesszmsta becslésekre s. Ha azt mondjuk, hogy a normál dőtartam legyen a lehető legksebb változó költséggel járó dőtartam, akkor a normál dőtartam meghatározható valamenny bztonság szntre s. A kssorozatgyártás sok esetben felfogható úgy s, mnt egy ks projekt (azzal a különbséggel, hogy a projektek mndg egyedek, de kssorozatgyártás során s dőtartamokkal, költség- és erőforrásgényekkel számolunk, így ebből a szempontból az alkalmazott módszerek s használhatók ebben az esetben s). Hasonló módon lehet tt s meghatározn a költség-optmáls programokat, valamnt erre a programra egy optmáls erőforrás-allokácót. Itt azonban a becslésenket pontosíthatjuk mérésekkel. Elemezhetjük, hogy a termelés vajon a legtöbb esetben mnmáls költséggel zajlk-e vagy sem. Meghatározhatjuk, hogyan lehet rövdíten a programot, ez menny költségbe kerül. Itt 145

156 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása azonban nem feltételezünk egy adott költség-dő, vagy erőforrás-dő függvényt, hanem a mért adatokból ezt meghatározhatjuk. A ábra segítségével megoldható az a feladat, hogy adott valószínűség szntre, pl. a legvalószínűbb esetre a legksebb költséggel járó dőtartamot határozzuk meg. Ez az elemzések szernt ebben a feladatban 9,8 volt. Az átlagban mért 9,9 közel van ehhez az értékhez, ennek ellenére a jelentős szórás matt az átlagos költséggény messze felette van a mnmáls költséggénynél. Ezért a termelés során célszerű a mnél pontosabb dőtartam betartása Példa a bzonytalan átfutás dejű projektek erőforrás-tervezésére Adott vállalat műszak fejlesztés tervében szerepel a gyártás célgépesítése. Ennek keretében a soron következő feladat egy olyan célgép kalakítása, amelynek kszolgálását pneumatkus beemelő berendezés könnyít meg. A vállalatnál néhány folyamat célgépesítését már elvégezték, így megfelelő tájékoztató adatok rendelkezésre állnak az egyes tevékenységek végrehajtás dőgényének meghatározására. A végrehajtó létszám smert, tehát az egyes tevékenységek átfutás deje becsülhető. A projektet 12 hét (=84 nap) alatt mndenképp be kell fejezn. Ekkor a várható fxköltség 1225 eft. Az átfutás dő rövdítésével a fxköltségek várhatóan nap 25 eft-tal csökkenthetők. A számítások megkönnyítése érdekében feltételezzük, hogy az erőforrások közül csak a tevékenységek elvégzéséhez szükséges munkaerőt kell optmalzáln. A projekt kezdetén maxmum 24 embert tudunk egydejűleg foglalkoztatn az egyes tevékenységek elvégzésére. A 8. héttől (56. naptól) már csak maxmum 12 embert, míg a 10. héttől (70. naptól) már csak maxmum 6 embert tudunk ezen a projekten foglalkoztatn. A feladat tehát az, hogy legksebb (várható) (össz)költséggel (legalább 90%-os valószínűséggel) a lehető leghamarabb végezzük el az egyes tevékenységeket úgy, hogy a megadott erőforráskorlátot sehol ne lépjük túl. Az alább táblázatban leírtam a tevékenységek dőtartamat (legvalószínűbb, optmsta és pesszmsta becslés alapján). Feltételeztük, hogy a tevékenységek változó költsége a legvalószínűbb megvalósítás dő mellett mnmálsak (normál megvalósítás) vc(m). Feltételezzük továbbá, hogy az optmsta becslésnél kevesebb, lletve a pesszmsta becslésnél több deg nem tart a tevékenység megvalósítása. Az optmsta becsléshez rendelünk költséget (vc(a)) (ez lesz a rohamköltség, vagy másképpen a mnmáls dőtartam mellett 146

157 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása megvalósítható tevékenység költsége). Ugyanígy rendelhetünk a pesszmsta becsléshez s költséget, mely szntén magasabb lesz, mnt a normál átfutás dőhöz tartozó normál költség vc(m). Az egyszerűség kedvéért most feltételezzük, hogy a három paraméter között a változóköltség-gény lneárs. Legyen adott továbbá az optmsta, lletve a pesszmsta megvalósításhoz tartozó (ember) erőforrásgény. Az egyszerűsítés matt most tt s feltételezzük, hogy ezen az ntervallumon az erőforrásgény lneárs (A módszer alkalmazhatósága szempontjából csak azt kell kkötn, hogy a költség-dő függvény konvex legyen, valamnt hogy mnden pontjában értelmezve legyen. Az erőforrásgény-dő függvényről csak azt kell feltennünk, hogy mnden pontjában értelmezve van). [222, 225, 227] 147

158 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása táblázat: tevékenységjegyzék 148

159 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Első lépés: A tevékenységek várható értékét úgy kell módosítan, hogy az a mnmáls változó költséggel járó dőtartamra (tt most a móduszra, vagys a legvalószínűbb dőtartamra) essen. Ezzel tehát (várható) változó költséget takarítunk meg. Ekkor a változásokat az alább táblázatba lehet összefoglaln. (A változó mennységeket nagybetűvel jelöltük.) Jel Srsz. A B M T S2 T(90%) vc(t) vc(t(90%)) r(t(90%)) A 1 3,00 5,00 4,00 4 0,111 4, , ,269 3,753 B 2 23,77 34,10 32, ,966 33, , ,565 5,034 C 3 37,00 43,00 40, ,000 41, , ,538 5,507 E 4 1,00 1,00 1,00 1 0,000 1, , ,000 2,000 D 5 4,00 6,00 5,00 5 0,111 5,507 25,000 26,520 2,507 F 6 1,00 3,00 2,00 2 0,111 2,507 50,000 52,534 5,507 M 7 1,00 3,00 2,00 2 0,111 2, , ,202 4,507 G 8 1,00 1,00 1,00 1 0,000 1, , ,000 4,000 N 9 2,00 2,00 2,00 2 0,000 2, , ,000 2,000 P 10 2,00 4,00 3,00 3 0,111 3,507 75,000 76,520 3,000 V 11 3,00 5,00 4,00 4 0,111 4,507 75,000 76,013 4,000 H 12 3,00 5,00 4,00 4 0,111 4,507 25,000 25,507 5,507 S 13 3,00 5,00 4,00 4 0,111 4,507 50,000 52,534 1,000 I 14 4,00 8,00 6,00 6 0,444 7,013 50,000 55,067 5,507 J 15 9,00 11,00 10, ,111 10,507 50,000 55,067 1,000 K 16 9,60 18,13 17, ,023 17,623 55,000 63,115 6,156 L 17 9,00 11,00 10, ,111 10,507 50,000 55,067 3, táblázat: dőtartamok, költség- és erőforrásgények változása Másodk lépés: A tevékenységdők változásával mnd a költségsznt, mnd pedg az erőforrás-szükséglet változk (lásd részletesen a harmadk lépésnél). A várható dőtartamok változásának hatására változnak az ntervallumok (optmsta, lletve pesszmsta becslések) s (2.8.3-as egyenlet szernt). Felrajzoljuk a PERT-hálót, valamnt megállapítjuk a tevékenységek átfutás dejét, lletve az átfutás dő szórásnégyzetét. Ezután meg kell határozn a krtkus utat. A háló felrajzolásához először meg kell határozn a logka kapcsolatokat, a követő és a megelőző tevékenységeket. A logka háló felrajzolása után először egy odafelé történő (progresszív) elemzés segítségével a PERTmódszernek megfelelően meghatározzuk a projekt várható átfutás dejét, majd egy vsszafelé történő elemzéssel meghatározzuk a krtkus ut(ak)at. Ezután szntén odafelé történő elemzés segítségével meghatározzuk a projekt várható átfutás dejének szórásnégyzetét (összetett standard 149

160 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása bzonytalanságának négyzetét), am közelítőleg a krtkus ut(ak)on lévő tevékenységek várható dőtartama szórásnégyzetenek (standard bzonytalanságuk négyzetének) összege lesz. (Ezt a közelítést csak akkor lehet alkalmazn, ha az alternatív utak tartalékdeje elegendően nagy ahhoz, hogy alternatív úton lévő tevékenység adott valószínűség sznt mellett (pl. 99%-os valószínűséggel) ne válhasson krtkus úttá. Ellenkező esetben az alternatív utak szórását nem hagyhatjuk fgyelmen kívül. Ebben az esetben ez a feltétel teljesül, így ez a közelítés elvégezhető. Ha adott valószínűséggel alternatív úton lévő tevékenység s válhat krtkussá, akkor Fatem Ghom Temour módszerét kell alkalmazn az átfutás dők meghatározására). Ha több krtkus út s van, akkor óvatosságból a legnagyobb összetett standard bzonytalanságúval számolunk a továbbakban. Az alább ábrán látható az nduló PERT-háló. A táblázatból látható, hogy E, G, N tevékenység dőtartama nem csökkenthető. 150

161 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ,11 1 0, ,97 2 3, ,11 4 3, ,08 2 0,11 6 3, ,11 9 4, , , ,11 134, ,44 7 3,3 4 0,11 4 0,11 3 3, , ,11 8 3,3 10 0,11 2 EET LET t,j j 2 j EET j LET j A B C E D F M G N P J K S V 16 2, I H L 105, ,j ábra: a PERT-háló. A krtkus úton lévő tevékenységek: A-B-C-E-G-N-P. Tovább már nem csökkenthető az dőtartama az E,G,N tevékenységeknek. 151

162 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Harmadk lépés: Csökkentsük a krtkus úton lévő tevékenységek várható dőtartamát. Ezután pedg határozzuk meg a mnmáls átfutás dejű és a mnmáls összköltséggel járó programokat. A programok meghatározásához készíthetünk táblázatot. Az dőtartamok csökkentésénél három szempontot kell fgyelembe venn: 1. Azon (krtkus úton lévő) tevékenység(ek) várható tartamát csökkentjük, amelyek (várható) egységny (változó)költségnövekedése a legksebb. Megjegyzés: Az egységny költségnövekedés tényezőt közvetlenül s megadhatjuk, vagy a következő képlettel számíthatjuk (lneárs vc r vc( n) költségnövekedés esetén): vc, ahol r a roham- vagy n r mnmáls megvalósítás dő, amely mellett a tevékenység még elvégezhető. n pedg a normál megvalósítás dő, amely mellett az adott tevékenységet normál körülmények között elvégezhetjük. Feltettük a példában, hogy a mnmáls (várható) megvalósítás dő az eredet dőtartam becslésénél a tevékenység dőtartamának optmsta becslése, vagys r=a, valamnt hogy a normál megvalósítás dő a legvalószínűbb megvalósítás dővel egyezk meg, képlettel: n=m. Feltettük továbbá, hogy a normál dőtartamtól hosszabb dőtartam szntén költségnövekedéssel jár (lneárs esetben hasonlóan az előzőhöz tt s számítható költségnövekedés tényező, amely azt mutatja, hogy egységny késés menny többletköltséggel jár). Ha a tevékenységek dőtartama és változó költsége között függvénykapcsolat nem lneárs, akkor folytonos esetben a költségnövekedés tényező a költségfüggvény dő szernt derváltja, dszkrét esetben pedg a dfferencáltja lesz. 2. Ha a költségnövekedés tényezők megegyeznek, akkor azon tevékenység dőtartamát célszerű rövdíten, amelynek rövdítésével nem alakul k újabb krtkus út. Ugyans a krtkus úton lévő tevékenységet nem szabad eltoln (hszen ez a program átfutás dejének növekedéséhez vezetne), ezáltal erőforrásgényet nem lehet később dőpontra ütemezn. Mnél több krtkus tevékenységünk 152

163 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása van, annál jobban meg van kötve a kezünk. Szélső esetben még megengedett megoldást sem tudunk találn az erőforrás-allokácós problémára. Ez pedg azt jelent, hogy ebben az esetben az adott a költségsznten, adott dőtartamokat, lletve korlátokat fgyelembe véve nem lehet a programot határdőre teljesíten. Sokszor előfordul, hogy a költségkeretünk szűkössége matt nem tudjuk, vagy nem ér meg a mnmáls átfutás dejű termelés programot megvalósítan, hanem valamlyen közbenső termelés programot választunk és valósítunk meg. 3. Ha több tevékenység s teljesít az előző két pont követelményet, vagys a költségnövekedés tényezőjük mnmáls, és nem lépnek be újabb krtkus utak az dőtartamok csökkentése hatására (vagy bármely választás hatására ugyanúgy lesznek alternatív utak, amelyek krtkus utakká fognak váln), akkor azt a tevékenységet (azokat a tevékenységeket) választjuk, amely(ek)nek hatására az átfutás dő szórása (összetett standard bzonytalansága) a legnagyobb mértékben csökken táblázat: a programok várható átfutása, lletve várható költsége. A táblázatban feltüntettük a lépésszámon és az azonosító adatokon kívül az dőtartam csökkentését (t), a változó költség egységny (vc), és összes várható költség növekedését (vc*t), az összes várható változó költséget (Svc), a fxköltségcsökkenést (FC), a várható összköltség értéket (STC), lletve a várható átfutás dőt (TPT), az összetett standard bzonytalanságot () és az adott bztonság szntekhez tartozó átfutás dőket (TPT(90), TPT(95), TPT(99)). A táblázatból látható, hogy az összes várható költség tekntetében a másodk programtervezet a mnmáls, és a negyedk tervezet rendelkezk a legksebb mnmáls átfutás dővel. 153

164 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása A programtervezeteknél a várható dőtartamokkal számoltunk. Ha az egyes tevékenységek adott bztonság sznt mellett dőtartamat szeretnénk megtudn, akkor -eloszlást feltételezve meghatározhatók a tevékenységek adott bztonság sznt mellett dőtartama, az ehhez tartozó változóköltséggény lletve erőforrás-szükséglet. Az dőtartamok nem lesznek feltétlenül egész számok. Ha csak egész számokat fogadunk el, akkor ezeket az értékeket kerekítenünk kell. Ha egy tevékenység dőtartamának valószínűsége egy meghatározott bztonság szntet mndenképpen el kell, hogy érjen, akkor csak felfelé kerekíthetjük a kapott dőtartam értékét. A várható erőforrásgény kszámításánál feltételeztük, hogy az optmsta dőtartam (a) és a pesszmsta dőtartam alatt az erőforrásgény (a számítások megkönnyítése érdekében) egy lneárs függvény, így egy adott bztonság sznthez tartozó dőtartamhoz rendelhető (várható) erőforrásszükséglet. Az erőforrás fajtájától függően esetlegesen szntén kerekítenünk kell az erőforrás-szükséglet értékén. A példában m mnden tevékenység esetében meghatároztuk azt az dőtartamot, amely 90%-os valószínűséggel teljesül. A kapott értékeket kerekítettük. A várható költségeket ezen dőtartamok fgyelembevételével számítottuk k. A tevékenységek dőtartamahoz tartozó erőforrásszükségleteket s kerekítettük, mvel tt az erőforrásgény a tevékenység elvégzéséhez szükséges munkaerő volt. A továbbakban a mnmáls várható összköltséggel járó programot választjuk, és ezzel számolunk tovább. Itt 90%-os valószínűséggel a program átfutás deje: 75,14 nap. 154

165 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása ,11 1 0, ,63 2 1, ,11 4 1, ,74 2 0,11 6 1, ,11 9 2, , , ,05 132, ,44 7 1,96 4 0,11 4 0,11 3 1, , ,11 8 1, ,11 2 EET LET t,j j 2 j EET j LET j A B C E D F M G N P J K S V 16 2, I H L 103, ,j ábra: mnmáls várható összköltséggel rendelkező program PERT-hálója 155

166 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása táblázat: mnmáls várható összköltséggel rendelkező program tevékenységjegyzéke 156

167 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása Ha a táblázat adata alapján határozzuk meg az átfutás dőt, akkor ez A-B- C-E-G-N-P tevékenységre kerekítés nélkül:=4,5+24,6+1+41, ,377 nap. A tevékenységek dőtartamanak kerekítéset fgyelembe véve:= =78 nap. Ha mnden tevékenységre előírjuk a 90%-os valószínűség szntet, akkor a teljes átfutás dőre nézve ez a sznt már több mnt 99%. Ha a 90%-os szntet szeretnénk tartan a tevékenységekre, akkor elegendő a tevékenységre 62-63% körül valószínűség szntű dőtartamot bztosítan. Ennek kszámítása a következőképpen történhet: a 90%-os valószínűség sznt mellett átfutás dőből ndulunk k, am 75,14 nap. Az átfutás dő várható értéke 73 nap. Ezt a 2,14 napot kell szétosztan a tevékenységek között az dőtartam arányában. Egy napra tehát 2,14/73 pótlólagos nap jut. Ezek után kszámítható a tevékenységek dőtartama, feltételezve, hogy az átfutás dő 90%-os valószínűséggel 75,14 nap lesz. Például A tevékenység dőtartama így: 4 nap (A tevékenység várható dőtartama) + 4*2,14/73 nap = 4,117 nap lesz. A tevékenység valószínűség szntje ezek után (eloszlást feltételezve): 62,17% lesz. A továbbakban a számítások megkönnyítése érdekében a kerekített dőtartamokat vesszük fgyelembe. Tehát pl. 90%-os bztonság sznthez meghatároztuk a tevékenységek dőtartamát (-eloszlást feltételezve), költséggényét és az erőforrás-szükségletét. Ezeket az adatokat most már úgy kezeljük, mntha determensztkus adatok lennének. Ekkor felrajzolható egy CPM-háló a megfelelő tartamok fgyelembevételével. 157

168 J Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása EET LET A 5,j t,j j EET j LET j B D 6 C F E 1 M G N P S 5 V I 7 H L K ábra: a CPM-háló Negyedk lépés: Felrajzoljuk az erőforrásterhelés dagramot. Ezután keresünk megengedett, majd optmáls erőforrás-allokácót. Ha eddg a pontg eljutottunk, akkor a problémának megfelelő erőforrás-allokácós algortmust választhatunk. Számos problémát megoldhatunk (párhuzamos projektek között erőforrásmegosztás, többfajta erőforrás egydejű kezelése stb.) az előző fejezetekben leírtak alapján. Itt egy megengedett megoldás keresése után (amelyet pl. a Mcrosoft Projekt programjával kereshetünk) egy célfüggvényt kell meghatározn. Legyen most ez a célfüggvény a lehető legkorább kezdés. H 20 fő Alternetív úton lévő tevékenység F M M H Krtkus úton lévő tevékenység 15 V S I 10 5 A B D J K C L E G N P nap ábra: a terhelés dagram 158

169 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása H fő F M H 20 Alternatív úton lévő tevékenység M Krtkus úton lévő tevékenység K Látszat-erőforrásgény L 15 V I C E G S N P C 10 D K J 5 C A B nap ábra: a terhelés dagram látszat-erőforrásgények bevezetése után fő A Alternatív úton lévő tevékenység Krtkus úton lévő tevékenység Alternatív úton lévő, az optmalzálás során el nem mozgatott tevékenység Látszat-erőforrásgény B D J F C V S M M K I H H K C L C E G N P nap ábra: egy lehetséges megengedett megoldás fő 20 F Alternatív úton lévő tevékenység M M 15 Krtkus úton lévő tevékenység Alternatív úton lévő, az optmalzálás során el nem mozgatott tevékenység V S H I 10 5 A B D J K C L E G N P nap ábra: az optmáls megoldás Az optmáls megoldás meghatározásához választhatunk más célfüggvényt s. Ilyen célfüggvény lehet pl. a lehető legkevesebb átlagos erőforráskhasználás (erőforrásgények kegyenlítése), a maxmáls erőforráskhasználások mnmalzálása stb. Az optmáls erőforrás-allokácó meghatározása után kaptunk egy tervet a projekt erőforrásgény-, költség- és dőszükségletere. 159

170 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása (Ötödk lépés:) A hálós-, lletve az erőforrás-tervezés technkák nem csak a projekt tervezés szakaszában, hanem a megvalósítás nyomonkövetésére, ellenőrzésére s használhatók. Amennyben megváltozk egy tevékenység erőforrás-szükséglete, dőtartama, vagy az erőforráskorlát, akkor on-lne ütemezést kell alkalmaznunk. A projekt követésénél a hálóba a már lefutott tevékenységek tényleges dőtartamát kell beírn, a tevékenység szórását (standard bzonytalanságát) pedg nullának kell teknten. A tevékenységek dőtartamának követése során így csökkenn fog az átfutás dő szórása s. A program végére a sztochasztkus hálóból egy determnsztkus háló lesz, mely megadja, hogy a tevékenységek ténylegesen mkor hajtódtak végre, mkor kezdődtek, és mkor fejeződtek be. Tegyük fel, hogy az előző példában szereplő projektben a 7. hétg (49. napg) szereplő valamenny tevékenység a 90%-os bztonság sznt mellett dőtartam alatt megvalósult. A vllamosvezeték- és szerelvényszerelés (H tevékenység) és a sűrítettlevegő-vezeték készítése és szerelése (I tevékenység) vszont a 90%-os valószínűséggel teljesülő várható dőtartamokhoz képest s várhatóan még két napot fog csúszn. Először rajzoljuk fel az aktualzált hálót, határozzuk meg a várható átfutás dőt! A háló felrajzolása után a várható átfutás dő szntén az A-B-C-E-G-N-P tevékenységek várható dőtartamanak összege:= =76 nap lesz. Mvel A és B tevékenység már lefutott, ezért ezen tevékenységek szórását nullának, várható dőtartamát pedg a tényleges dőtartamával azonosnak tekntjük. Az átfutás dő szórásnégyzete:= ,049=1,049. Ebből az átfutás dő szórása:= 1,024 nap. Ekkor a 90%-os bztonság sznt mellett az átfutás dő becslése:= 77,3 nap. Ha -eloszlás szernt, 90%-os bztonság sznt mellett összegezzük a tevékenységek várható dőtartamát, akkor kerekítések nélkül az átfutás dő:= , ,338=77,858 nap. Kerekítésekkel pedg továbbra s 78 nap. Látható, hogy a különböző becslések egyre jobban közelítenek egymáshoz. Ez elsősorban az átfutás dő szórásának (az összetett standard bzonytalanság) csökkenésével 160

171 2. Az optmáls erőforrás-allokácó keresésének módszertan bemutatása magyarázható. Rajzoljuk fel a terhelés dagramot, keressünk megengedett, majd egy adott célfüggvényre optmáls megoldást! fő H 20 F Alternatív úton lévő tevékenység M M A Krtkus úton lévő tevékenység Alternatív úton lévő, az optmalzálás során el nem mozgatott tevékenység Végrehajtott tevékenység, résztevékenység Futás alatt lévő résztevékenység B D J C V S K I H I K C L G E N P nap ábra: az optmáls megoldás on-lne ütemezés után 2.9 Összefoglalás A projektmenedzsment előtérbe kerülése tette a hálótervezést smét fontossá. Egy projektben már nem csak az a fontos, hogy a feladatot mnél hamarabb oldjuk meg, hanem az s lényeges, hogy esetenként szűkös erőforrásokkal s gazdálkodn tudjunk. Továbbá fel tudjunk készüln olyan nem várt eseményekre s, amelyek egy adott tevékenység dőtartamát, erőforrásszükségletét megváltoztatják. Munkám során olyan algortmust fejlesztettem k, amely a fent említett céloknak megfelel. 1. Garantáltan véges lépésben megadja az optmáls megoldást. 2. Használható változó (nem konstans) erőforráskorlát esetén s. 3. Használható a már elkezdett projektekben lévő, megváltozott dőtartamú, erőforrás-szükségletű tevékenységek újraütemezésére. 4. Olyan problémákat s kezeln tudunk, ahol az dő-, költség-, erőforrásgényegyüttes optmálása a cél. 5. Olyan algortmust készítettem, mely többfajta erőforrás egydejű kezelésére, lletve párhuzamosan működő projektek között erőforrás-megosztásra s alkalmazhatók. 6. Használható bzonytalan átfutás dejű projektek, lletve termelés programok tervezésére. 161

172 Összefoglalás A módszer menetét ábrákkal llusztrálva mutattam be, melyekkel olyan menedzser/vezető problémák megoldására s mód nyílk, amt a szakrodalomban eddg még nem publkáltak. A következő táblázat azt mutatja, hogy a bemutatott módszereket mlyen problémákra lehet alkalmazn. A táblázatban megtalálható, hogy egy adott probléma esetén mely fejezetek segítségével lehet megoldást találn táblázat: optmáls erőforrás-tervezés alkalmazása különböző problémák esetén Valamenny algortmus a 2.1-es fejezetben tárgyalt ERALL-OPT-módszeren alapul. Az egyes alfejezetekben azt mutattam be, hogy egy adott feladatot mlyen kterjesztésekkel, módosításokkal lletve megszorításokkal lehet vsszavezetn az alapproblémára. Mvel az egyes algortmusok modulársan építhetők fel, így egy komplex problémára több fejezetben tárgyalt módszert egydejűleg s alkalmaznunk kell (egy lehetséges modulárs felépítést mutat az es ábra). 162

173 3. Gyakorlat alkalmazás 3. A módszer egy gyakorlat alkalmazása az INTEGRAL-HEXA Rt-nél Az esettanulmányban egy zöldmezős beruházásra került sor, mely csaknem 350 tevékenységet tartalmaz. A feladat és cél az volt, hogy a tevékenységeket áttekntve megvzsgáljuk, hogy az előre elkészített ütemtervhez képest lehet-e dőt, költséget lletve erőforrást megtakarítan. A vállalat elsősorban zöldmezős beruházásokat végez. Több áruház, bevásárlóközpont építése fűződk a cég nevéhez. A vállalat a beruházásokra pályázk, mely pályázatokhoz részletes ütemtervet, lletve költségtervet mellékel. Az ütemtervet Mcrosoft Project segítségével, míg a költségtervet Mcrosoft Excel segítségével készítették el. A kérdés tehát az volt, hogy dő-, erőforrás-optmáló módszereket alkalmazva jelentősen lehet-e csökkenten a projekt átfutás dejét, lletve költséggényét. Az optmáls erőforrás-tervezést az ERALL-OPT-módszer segítségével végeztem. Ez a módszer hatékonyan alkalmazható projektek optmáls erőforrástervének meghatározására. A módszer részletes smertetését a 2. fejezet tartalmazza. Optmáls megoldás keresésére párhuzamos Branch and Bound algortmust alkalmazó elosztott optmalzáló rendszert használtunk. Ez a rendszer egy platformfüggetlen JINIalkalmazás [114, 398], mely az adatokat.xml-formátumban olvassa be, lletve az eredményeket s lyen formátumban szolgáltatja vssza. [230, 257] 3.1 Meglévő adatok feldolgozása Mcrosoft Projectben megadott ütemterv, lletve egy Excel táblázat állt rendelkezésre. Az ütemterv tartalmazta az egyes tevékenységek nevét, dőtartamát napokban megadva, tényleges kezdésének és befejezésének dőpontját, valamnt az egyes tevékenységek megelőző tevékenységet. Az Excel táblázat a felmerülő anyag- és bérköltségeket összesítette az egyes tevékenységcsoportoknál. Mvel az előzőekben említett módszer használatához szükség van az egyes tevékenységek erőforrásgényére, lletve követő tevékenységere, ezért az elsődleges feladat ezen adatok kszámítása volt a meglévő adatokból, és a módszerhez szükséges adatok felvtele.xml állományba. A projektben szereplő tevékenységeket az elvégzendő munka jellege szernt - 6 csoportba sorolta a vállalat: A, B, C, D, E és F tevékenységcsoportba. Az A 163

174 3. Gyakorlat alkalmazás tevékenységcsoportba kerültek az építőmester munkák, a B tevékenységcsoportba a gépész szerelés munkák, a C tevékenységcsoportba az elektromos szerelés munkák, a D tevékenységcsoportba a külső közművel kapcsolatos munkák, az E tevékenységcsoportba a külső létesítmények építésével kapcsolatos munkák, az F tevékenységcsoportba pedg a társvállalkozók tevékenysége. Az egyes tevékenységeket az alább táblázatok tartalmazzák. A - ÉPÍTŐMESTERI MUNKÁK Előkészítő munkák Dokkoló, aknák, padló alatt vb munka Padló lapburkolás Építés szerződés aláírás Földsznt padló acélhaj beton Üvegfalkészítés Telek, épület ktűzés Emelet aljzatok Álmennyezetek, pult hátfal belsőép. Munkaterület átadás Nyílászárók elhelyezése Ütközésvédelem, szerelvények Építés konténer telepítés Hdegburkoló munkák Takarítás Ideglenes energa képítés Festő előkészítés A-D 0-7a Kasszafelügyelet Ideglenes vízellátás képítés I. Gpszkarton munkák Tömbalapok földmunká Ideglenes vízellátás képítés II. Fém és lakatos munkák Tömbalapok betonozása Ideglenes közl. létesítmények I. Kapuk, rámpakegyenlítők Előregyártott kehelynyak Ideglenes közl. létesítmények II. Hőszgetelő és díszítő munkák Monolt vb kehelytalp, tömbalapok Építés tábla khelyezés Álmennyezetek Szerelő, fagykzáró betonok Meglévő trafó bontás Festő és mázolómunkák Előregyártott talpgerendák Telefonvonal bztosítás Asztalos munkák Monolt talpgerendák Bontás maradványok eltávolítása Árnyékolás munkák Vsszatöltések Földmunkák Melegburkolás, műgyanta Előregyártott vasbeton oszlop Humuszleszedés Szerelvényezés Függőleges monolt vb szerkezetek Szennyezettföld-eltávolítás Takarítás Acél szerkezetek Alsófeltöltés D-G 0-7 Eladótér Monolt vasbeton födém Padló alatt feltöltés Tömbalapok földkemelés Falazatok G-H 7 Raktárak, rodák Tömbalapok betonozása Mall acélszerkezet Tömbalapok földkemelés Előregyártott kehelynyak elhelyezése Tető trapézlemezelés Beton a tömbalapba Monolt kehelytalp betonozása Tető hőszgetelés Előregyártott kehelyalapok Szerelő, fagykzáró betonok Tető vízszgetelés Monolt kehelytalp Előregyártott talpgerendák Homlokzat szerelés Pontalapok Vsszatöltések Főbejárat szerkezetépítés Szerelő, fagykzáró betonok Előregyártott vasbeton oszlop Reklámtartó acélszerkezet Előregyártott talpgerendák Előregyártott vb gerenda, szelemen Bádogos munkák Monolt talpgerendák, alsó falak Homlokzat acélszerkezetek Acélhajas betonpadló Vsszatöltések Tető trapézlemez elhelyezés Válaszfalak Előregyártott vasbeton oszlopok Tető acélszerkezetek Vakolatok Előregyártott vb gerenda, szelemen Tető hőszgetelés Alumínum-szerkezetek a tetőn Földsznt falazás munkák Hő- és füstelvezetők Üvegezés a tetőn Földsznt mon.vasbeton munkák Tető vízszgetelés Alumínum-szerkezetek Tető trapézlemez elhelyezés Homlokzatszerelés Üvegezés Tető hőszgetelés Bádogos munkák Nyílászárók elhelyezése Tető, vízszgetelés Padlócsatornák betonból Lakatos munkák Födém vasbeton munka Földelő hálózat Hdegburkolatok Emelet falazás munka Nyílászárók elhelyezése Festő előkészítés Előtető monolt vb munka Acélhajas padló Gpszkarton munkák Előtető vízszgetelés Padlócsatorna acélból Álmennyezetek Homlokzat acélszerkezet Füstkötény építés Rácsok, automata ajtók Homlokzat vasbetonpanel-szerelés Fém lakatos munkák Festő, mázoló munkák Homlokzat szendvcspanel-szerelés Csemegeszget kalakítás Asztalos munkák Bádogos munkák Festő, mázoló munkák Szerelvényezés Vakolás munkák Festő, mázoló munkák Takarítás táblázat: az A tevékenységcsoport tevékenysége 164

175 3. Gyakorlat alkalmazás B - GÉPÉSZ SZERELÉSI MUNKÁK C - ELEKTROMOS SZERELÉSI MUNKÁK Földbe kerülő gép.vezetékek kassza Vllámhárító földelő szondák Kasszafelügyelet Földbe kerülő gép.vezetékek eladótér Vllámhárító földelő háló Védőcsövezés Földbe kerülő gép.vezetékek Raktár Vllámhárító felfogó rudak Kábeltálca szerelés Gebert Pluva földbe kerülő része Vllámhárító tetőn ép.gép. szerelv. Kábelezés Gebert Pluva csőszerelés Gazdaság rész Kasszák szerelése sprnkler csőszerelés az eladótérben Földsznt Vlágítás szerelés sprnkler csőszerelés az eladótérben 20kV-os kapcsoló és transzformátor Elosztók sprnkler csőszerelés szoc. és ek. Desel aggregátor Reklámok, kapuk sprnkler csőszerelés szoc. és ek. 0,4 kv-os elosztó Gépészet vllanyszerelés Sprnkler csőszerelés Kassza Süllyesztett védőcsőszerelés Tűzjelző szerelés sprnkler földalatt vezeték Aljzatok alatt védőcsőelhelyezések Sprnkler gépház sprnkler földalatt vezeték Pékség, raktár elosztók Kábeltálca sprnkler gépház szerelése Kábelszerelés Kábelezés, beüzemelés víz- és tüzvízszerelés eladótér Vlágítás és szerelvényezés Légkezelők víz- és tüzvízszerelés szoc. és ek. Gépészet vllanyszerelés Védőcsőszerelés víz- és tüzvízszerelés Kassza Kábeltálca szerelés Kábelezés fűtésszerelés az eladótérben Tűzjelző szerelés Beüzemelés kapulégfüggönyök felszerelése Emelet Épületfelügyelet fűtésszerelés szoc. és ek. Süllyesztett védőcsőszerelés Kábelezés Fűtésszerelés Kassza Kábeltálca szerelés Perférák szerelése légkezelők elhelyezése Kábelszerelés Elosztók szerelése radátorok felrakása szoc. és ek. Szerelvényezés, vlágításszerelés Bekötések, tesztelés kazánház szerelése UPS beüzemelés Beüzemelés, próba gázszerelés Gépészet terek Mérések, jegyzőkönyvek szellőzésszerelés az eladótérben Elosztószekrények szellőzésszerelés szoc. és ek. Tűzjelző szerelés szellőzésszerelés Kassza Eladótér nagy szellőzőgép bekötése Kábeltálca szerelés spltek elhelyezése Erősáramú kábelezés hűtésszerelés eladótérben Sensormatc kábelezés hűtésszerelés szoc. és ek. Hangosítás szerelés hűtésszerelés Kassza Antenna szerelés folyadékhűtő felrakása Tűzjelző szerelés szgetelés Felülvlágítók kábelezése beüzemelés, beszabályozás Gépészet Vllanyszerelés táblázat: a B és C tevékenységcsoport tevékenysége 165

176 3. Gyakorlat alkalmazás D - KÜLSŐ KÖZMŰ E - KÜLSŐ LÉTESÍTMÉNYEK F - TÁRSVÁLLALKOZÓK TEV. Vízellátás Külső felszerelés tárgyak energa bztosítás Földmunka Reklámtorony alapozás padlócsatorna Csővezeték szerelvények Reklámtorony vllamos megtáplálás padlócsatorna csőszerelés Próbák, üzembehelyezés Reklámtorony szerelés padlócsatorna lefedés Csapadékvíz elvezetés Reklámtorony üzembehelyezés hűtőpultok szerelés Földmunka Kerítés- kapu gépház zárható vezeték építés Kerítés- kapu gépház szerelés Aknák, szapfogó beépítés Tűzvz és sprnkler tározó reklámtorony alapkosár szállítás Folyókák, víznyelők reklámtorony alapozás Próbák, üzembehelyezés reklámtorony szerelés Szennyvízelvezetés reklámtorony elektromos betáplálás Földmunka homlokzat reklámtartó Vezeték építés szerelésre munkaterület Aknák, homokfogó, zsírfogó hűtőkamrák szerelése Fedlapok lámpaszállítás Próbák, üzembehelyezés Kasszafelügyelethez munkaterület Külső gázellátás kocstároló szerelés Földmunka kemencéhez munkaterület Csővezeték, nyomásszabályozó kémény és egyéb bekötések Próbák, üzembehelyezés hangosítás vezetékezés Út-járda parkoló építés szerelés, beüzemelés Földmunka Sensormatk vezetékezés Feltöltések zárterv megadás Szvárgó építés zárbetét csere szegélyképzés Útalapok Térkőburkolat készítés Btumenes burkolatok Jelzőtáblák, felfestések Kertépítés munka Földmunka Növénytelepítés táblázat: a D, E és F tevékenységcsoport tevékenysége Az egyes tevékenységeket a tevékenységcsoportokon belül feladatcsoportokba soroltam. A feladatcsoportok összesítették a bennük szereplő tevékenységek anyagköltségét, bérköltségét. A táblázatban példaként a D és E tevékenységcsoportok feladatcsoportjat láthatjuk azok költséggényével együtt. 166

177 3. Gyakorlat alkalmazás Főösszesítő - Hauptsumme Ssz. Munkanem Anyag Materal (nettó HUF) Díj Lohn (nettó HUF) Összes Summe (nettó HUF) D Külső munkák (telekhatáron b e l ü l ) 061. Külső vízellátás Külső csapadékvízelvezetés Külső szennyvízelvezetés Külső gázellátás Út-, járda- és parkolóépítés Kertépítés munkák D Külső munkák összesen E Külső létesítmények (telekhatáron belül) 071. Külső felszerelés tárgyak Reklámtorony Kerítés, kapu Tűzvíz és sprnkler tározó E Külső építmények összesen táblázat: a D és E tevékenységcsoport feladatcsoportja, lletve azok anyag- és bérköltsége Mnden tevékenység adott feladatcsoportba történő besorolását a rendelkezésünkre álló költségvetést s tartalmazó Excel-fle segítségével végeztem. Ez az állomány mnden egyes tevékenységcsoportban lévő feladatcsoportról részletes leírást adott. A táblázatban példaként a D tevékenységcsoport 67-es feladatcsoportjának tevékenységet láthatjuk azok részletes leírásával együtt. 167

178 3. Gyakorlat alkalmazás 067. Parkosítás munkák Talajjavítás, füvesítés Talajjavítás szerves trágyával Füvesítés 20%-nál ksebb rézsűn, talajelőkészítéssel, dkg/10 m2 Füvesítés 20%-nál nagyobb rézsűn, talajelőkészítéssel, dkg/10 m2 Talajjavítás, füvesítés Növényültetés Földlabdás facsemete ültetése,gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel ACER PLATANOIDES Földlabdás facsemete ültetése,gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel ACER PLATANOIDES Földlabdás facsemete ültetése,gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel TILIA TOMENTOSA, mn 20 cm Földlabdás facsemete ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel MALUS PROFUSION, mn 20 Földlabdás facsemete ültetése,gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel KOELREUTERIA Földlabdás facsemete ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel ROBINIA PSEUDOACACIA VAR. UMBRACULIFERA, mn 20 cm Földlabdás facsemete ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel SALIX ALBA cv. TRISTIS, mn Földlabdás facsemete ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel FRAXINUS ORNUS, mn 20 Földlabdás facsemete ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel SORBUS AUCUPARIA, mn Konténeres facsemete ültetése,gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel CHAMAECYPARIS Konténeres facsemete ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel PICEA PUNGENS, 125/150 Kültetett fa karózása 2db karóval Cserje ültetése szolterként,gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel COTONEASTER DAMMERI, Cserje ültetése szolterként, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel JUNIPERUS MEDIA "OLD GOLD", Cserje ültetése szolterként, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel COTONEASTER Szabadgyökerű cserje ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel BERBERIS JULIANAE, 40/60 Szabadgyökerű cserje ültetése, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel FORSITHIA x INTERMEDIA Szabadgyökerű cserje ültetése sövényként, gödörásással, víztányér készítéssel, öntözéssel LIGUSTRUM Kéregtakarás a parkolósávok közt zöld sávban 5 cm vtg-ban Humusz vsszatöltés az ültető gödrökbe Szellőző és öntöző drén elhelyezése facsemetéknél A telepített növényzet gondozása az áruház átadását követő két év dőtartamban Növényültetés táblázat: a D tevékenységcsoport 67-es feladatcsoportjának egyes tevékenysége Mután mnden egyes tevékenységről megállapítottam, mely feladatcsoportba tartozk, meghatározhattam a tevékenységek erőforrásgényét. Az erőforrásgényeket a feladatcsoportok bérköltségeből számítottam k. A feladatcsoportok bérköltsége három tényező szorzatából tevődk össze: erőforrások összegének, a munkaórák számának valamnt a munkabérnek a szorzatából. A teendő tehát a következő volt: a feladatcsoportok bérköltségét leosztan a munkabérrel, majd a munkaórák számával, azaz a tevékenységek dőtartamanak összegével (órában mérve), majd az így kapott erőforrásgényt szétosztan az 168

179 3. Gyakorlat alkalmazás egyes tevékenységek között. Mndezek előtt azonban k kellett számítan az egyes tevékenységek dőtartamát órában mérve, mvel a vállalat az dőtartamokat napokban adta meg. Példaként tekntsük a 61-es feladatcsoportot, melybe a külső vízellátás tevékenysége tartoznak (3.1-6 táblázat). Ezen belül három tevékenység van: földmunka, csővezetékszerelvények lefektetése valamnt az üzembe helyezés, kpróbálás. A feladatcsoport bérköltsége Ft. Ezt az összeget osztottuk a munkabérrel, valamnt a tevékenységek órákban mért dőtartamával, így megkaptuk az erőforrásgények összegét, 62-t. Tehát a földmunkán, a csővezeték-szerelvények lefektetésén valamnt az üzembe helyezésen összesen 62 ember dolgozott. Ezt a 62 embert el kellett osztan az egyes tevékenységek között. Az dőtartamok rendre 120, 80 és 24 óra. Matematkalag megfogalmazva a problémát, 120 órág dolgozott x ember, 80 órán át y, 24 órán át pedg z. Ezek alapján felírhatjuk az alább összefüggéseket: 120*x+80*y+24*z= /munkabér, valamnt x+y+z=62. E két egyenletből a földmunkára és a csővezeték-szerelvények lefektetésére ember jutott, a próbákra, üzembe helyezésre pedg 20. Elmondható, hogy egy adott feladatcsoportot általában azonos típusú munkaerővel meg lehetett valósítan. A feladatcsoportok tevékenysége nem tartalmaztak átlapolást, így elsősorban az összes erőforrás-szükségletre voltunk kíváncsak, lletve arra, hogy hány emberrel lehet ezt a projektet megvalósítan. 169

180 3. Gyakorlat alkalmazás táblázat: a Vízellátás feladatcsoportjának egyes tevékenysége Ezzel a módszerrel az erőforrásgények egész jó közelítését kapjuk. A táblázatból látható, hogy a vállalat az egyes tevékenységek kezdés és befejezés dőpontját pontos dátumokkal adta meg. A jelenleg programunk azonban amely még tesztelés alatt áll, csak egész számokkal tud dolgozn. Ezért mnden egyes dátum helyett egy egész számot adtam meg, amely azt mondja meg, hogy az adott tevékenység a projekt kezdés dőpontjához képest hány munkaóra múlva fog elkezdődn, lletve befejeződn. A kezdő tevékenység a 0. órában kezdődk el, ehhez képest adtuk meg a több tevékenység kezdés dejét. Ennek számítását egyszerűen az Excel-cellákban végeztük oly módon, hogy az adott tevékenység tényleges kezdés dőpontjából kvontam a projekt kezdés dejét. Ekkor megkaptam, hogy az adott tevékenység hány nappal kezdődött később a projekt kezdetéhez képest. Ha ezt beszorozzuk a munkaórák számával (fgyelembe véve, hogy a cég átlag nap 10 munkaórával számolt szombat, vasárnapot s beleértve) megkapjuk, hogy a kezdés dőponthoz képest menny munkaórával később kezdődött el az adott tevékenység. 170

181 3. Gyakorlat alkalmazás A módszer használatához szükséges, hogy megadjuk mnden egyes tevékenység követő tevékenységét vagy tevékenységet, hogy megkapjuk a tevékenységek hálóját. A háló egy körmentes, rányított gráf, amelynek egy kezdő és egy végpontja van. A gráf csomópontja maguk a tevékenységek. A háló defnícóját teljesítő gráf egyben mndg topológkusan rendezhető. Ha a hálót topológkusan rendezzük (vagys vsszafelé mutató nylakat nem engedünk meg), akkor a hálóból pontosan látn lehet, hogy az egyes tevékenységek elvégzése után mely tevékenységek következhetnek. Mnden olyan gráf, mely rányított és körmentes, topológkusan rendezhető. A program topológkusan rendezte s a gráfot a könnyebb átteknthetőség érdekében. A rendelkezésre álló megelőző tevékenységek alapján állapítottam meg a tevékenységek követő tevékenységet. Több esetben a tevékenységek között kapcsolat nem szgorú vég-kezdet jellegű volt, hanem megfgyelhetők bzonyos helyeken átlapolások s. Ez azt jelentette, hogy nem kell megvárn, míg a megelőző tevékenység teljesen befejeződk, el lehet előbb s kezden az aktuáls tevékenységet. Ilyen esetekben szükségessé vált a megelőző tevékenység szétbontása kettő (esetleg több) résztevékenységre. Például: táblázat: több tevékenység megelőző tevékenysége vég-kezdet kapcsolatban volt megadva 171

182 3. Gyakorlat alkalmazás A táblázatban több olyan tevékenységet s látunk, ahol a megadott megelőző tevékenység száma után FS-4 days vagy FS-7 days áll. Tekntsük a 115-ös tevékenységet. Ez a tevékenység akkor kezdődhet el legkorábban, amkor a 114-es tevékenység dőtartamából már csak 4 nap van hátra. A 114-es tevékenységet tehát két részre osztottuk: az első része 4.8 napg tart, a másodk része pedg 4 napg. Az erőforrásgény mndkét résztevékenységnél ugyananny maradt, mnt az eredet tevékenységnél, a változás csak a két résztevékenység dőtartamában, lletve a befejezés és kezdés dejében jelentkezett. Ezeket az átalakításokat csak a program alkalmazhatósága érdekében végeztem el. Tényleges megszakítás nem történt a tevékenységek között. Elmondható, hogy a kereskedelemben kapható projektmenedzsment-szoftverek legtöbb lehetőségét egy átlagos projektszervezet nem használja k. Fontos, hasznos funkcók vszont a legtöbb kereskedelm szoftverből hányoznak, lletve kezelésük gen nehézkes (pl. optmáls erőforrás-allokácó megtalálása, tevékenységek, költséggények, erőforrásgények bzonytalanságának meghatározása stb.) Mvel a csúszások egyk oka lehet, hogy nem megfelelően használja fel a vállalat a rendelkezésére álló erőforrásokat, így fontos szempont főleg nagyobb beruházások esetén az erőforrások helyes felhasználása, valamnt az egyes tevékenységekhez kapcsolódó erőforrásgények összevetése a rendelkezésre álló erőforrás-kerettel. Ahol sok párhuzamos tevékenység folyk egy dőben, és ezek elvégzéséhez pl. több munkaerőre van szükség, mnt amenny a cég rendelkezésére áll, ott vagy más vállalat segítségét kell génybe vennünk (pl. alvállalkozók bevonása), ha dőben el akarjuk végezn a tevékenységeket (dőkorlátos erőforrás-allokácó), vagy ha erre nncs mód, akkor dőben későbbre kell beütemezn a tevékenységeket (erőforrás-korlátos erőforrás-allokácó). Szntén nagy hányossága a kereskedelemben használt szoftvereknek, hogy nagyon nehézkesen lehet csak velük kezeln az alvállalkozásoknak kadott munkákat. Itt ugyans arról van szó, hogy az erőforrásokkal nem az adott vállalat, hanem az alvállalkozók rendelkeznek. Szerződés szernt, meghatározott díj ellenében, adott dőpontra elvégeznek egy (vagy több) tevékenységet. Többek között ez az oka, hogy azok a vállalkozások, akk alkalmaznak s valamely projektkezelő szoftvert, megelégszenek a tevékenységek ütemezésével. 172

183 3. Gyakorlat alkalmazás táblázat: az előző táblázat megvalósítása.xml állományban. Az egyes oszlopok balról jobbra a következők: tevékenység sorszáma, neve, dőtartama, legkorább kezdésének deje, legkésőbb kezdésének deje, tényleges kezdésének deje, erőforrásgénye, követő tevékenysége. Néhány tevékenység követő tevékenységet részletezve láthatjuk 3.2 Alkalmazott nformatka technológák bemutatása Egy projektszervezet dönthet úgy, hogy nem alkalmazza az ütemezés és erőforrás-allokácós módszer lehetőséget, lletve olyan nformatka alkalmazásokat, melyekkel optmáls erőforrás-allokácót határozhat meg. Ebben az esetben azonban főleg nagyobb projektek esetén nehezen bztosítható, hogy a projekt meghatározott dőn belül befejeződjön. Ksebb projektek esetén gyakran eltekntenek az ütemezés és erőforrás-allokácós módszer lehetőségetől, mert azt egy tapasztalt projektvezető sok éves tapasztalatából adódóan átlátja, és az egyes váratlan eseményeket kezeln tudja. 173

184 3. Gyakorlat alkalmazás Ha egy vállalat csak ütemez a projektben elvégzendő tevékenységet, akkor s meg kell becsülne az egyes tevékenységek várható dőtartamát. Két lehetősége van: vagy fx dőtartamként kezel az egyes tevékenységek dőtartamát, és az utólagos korrekcókat később végz majd el a tervben, vagy eleve valószínűség változóként kezel a tevékenységek dőtartamát, ezzel bzonyos határokon belül kezeln tudja a projekt átfutás dejének bzonytalanságát. Tervezn tudja, hogy adott valószínűség sznt mellett várhatóan mkor fog befejeződn a projekt. A bemutatandó projektben fx dőtartamokkal dolgoztak. Ennek egyk oka, hogy a vállalat által használt Mcrosoft Project kezel ugyan a tevékenységek dőtartamának bzonytalanságát, azonban ezek a lehetőségek gen korlátozottak. A vállalat által alkalmazott projektmenedzsment-szoftver széles körben alkalmazott ütemező és erőforrás-allokáló szoftver. Számos kényelm funkcója (pl. projektnaptár, erőforrások, költségek dőbel felmerülésének nyomonkövetése stb.) segít a projektmenedzser munkáját ábra: a Mcrosoft Project kezelőfelülete 174

185 3. Gyakorlat alkalmazás Rendelkezésre állt egy Mcrosoft Project által készített ütemterv. Ezzel a szoftverrel lehetőség van a tevékenységek logka összerendelésére. Ebből a program automatkusan kszámítja a tevékenységek legkorább és legkésőbb kezdését, lletve befejezését. Természetesen lehetőség van egy-egy tevékenység kezdés dejét közvetlenül s megadn. A logka összerendelések sem kötelező jellegűek. Ha vszont a meglévő logka kapcsolatokat nem modellezzük, akkor a tevékenységek esetleges csúszása esetén a rákövetkezés relácóban lévő, de a feladatban logka kapcsolattal nem modellezett tevékenységek csúszása nehezen követhető nyomon. Ilyen csúszások sok esetben az erőforrások helytelen felhasználásából, külső környezet hatásokból vagy előre nem várt okokból adódnak (pl. hosszú esőzés, hosszantartó fagy stb.). Mvel a vállalat ebben a programban sem a költségek felmerülésével, sem pedg az erőforrás-szükségletekkel nem számolt, így sok tevékenység logka összerendelése elmaradt, lletve hányosan állt rendelkezésre. Először össze kellett rendeln a tevékenységeket megfelelő logka sorrendben ábra: a Mcrosoft Excel kezelőfelülete 175

186 3. Gyakorlat alkalmazás A költséggényeket külön Mcrosoft Excel táblázatban kaptam meg. Az elvégzendő tevékenységek anyagköltsége, lletve bérköltsége s szerepelnek egy-egy tevékenység mellett. Ha tudjuk, hogy egy tevékenységnek menny a bérköltsége, az dőtartama, valamnt számolhatunk egy órabérrel, akkor hozzávetőlegesen meg tudjuk becsüln az ember erőforrás-szükségletet a következő képlettel: bérköltség (adott tevékenységre) (Ft)= tevékenység dőtartama (nap) x munkaóra egy nap alatt (óra/nap) x órabér (Ft/óra) x munkások száma. Ha ezen adatokat meghatároztuk, akkor a feladatra kereshető egy megengedett erőforrás-allokácó adott erőforráskorlát esetén. Optmáls megoldást egy általunk kfejlesztett párhuzamos Branch and Bound módszeren alapuló erőforrás-optmáló algortmussal kerestünk. Ehhez át kellett az adatokat konvertáln.xml formátumú fle-ba, mvel ez a program lyen típusú fle-okból olvassa be az adatokat. Az.XML (extended Markup Language) formátumú tárolás egy széles körben elterjedt tárolás módszer. A legtöbb szoftvernek így a Mcrosoft Projectnek s van.xml-fle kmenete. Ennek a tárolás módszernek előnye, hogy lényegében bármlyen nformácót, szöveget, képet, vdeót, táblázatot, különböző specáls adatokat tárolhatunk. A tárolás mkéntjére egy úgynevezett defnícós fle-t készíthetünk, mellyel az adatok helyes tárolását ellenőrzhetjük. A feldolgozás során m s kalakítottunk egy nagyon egyszerű tárolás szabályt, mely csak a legszükségesebb adatokat tartalmazza: erőforrás-korlát (Resource Bound), erőforrástípus (Resource Type), valamnt a tevékenységek csoportja (Actvtes). Ezenkívül tartalmaz olyan mezőket s a defnícós fle, melyeket nem a felhasználóknak kell ktöltene, hanem az erőforrás-optmáló program fogja ezeket futás közben ktölten; lyen pl. a Branch and Bound fában a problémák szétbontása részproblémákká (Number of Problem State), lletve a korlátszámító függvény értéke (Bound), valamnt az összes felhasznált tartalékdő összege (Total Used Slack Tme). A defnícós fle-t az Altova XMLSPY program segítségével készítettük, mely egy nagyon könnyen használható.xml-fle szerkesztő program. 176

187 3. Gyakorlat alkalmazás ábra: az Altova XMLSPY használata.xml defnícós fájl készítéséhez Egy-egy tevékenység esetében tovább adatokat s tárolunk: a tevékenység azonosítóját (ID), melyre összerendelés során hvatkozhatunk; a tevékenyég nevét (Name); a tevékenység dőtartamát (Duraton); legkorább kezdés dejét (Earlest Start Tme), mely a tevékenység tényleges kezdésének alsó korlátja lesz (ezt a logka háló segítségével s meghatározhatjuk, lletve m magunk s módosíthatjuk); tároljuk továbbá a tevékenység legkésőbb kezdés dejét (Latest Start Tme) s; ezen kívül tároljuk a tevékenységek erőforrásgényét, valamnt a követő tevékenységek azonosítóját s. Ehhez hasonló.xml fle-t kaphatunk, ha a Mcrosoft Project által használt projekt fle-t.xml-formátumban mentjük k. A projektben kszámított adatokat átalakító program híján manuálsan vttük be az előre kalakított defnícós fle-nak megfelelően. (A konvertáló program jelenleg fejlesztés alatt áll.) 177

188 3. Gyakorlat alkalmazás ábra: az Altova XMLSPY használata.xml-fle adatanak felvteléhez A defnícós fle-nak megfelelően a program mnden mentésnél ellenőrz, hogy az előre defnált szabályoknak megfelelően vttük-e be az adatokat. Az optmáló program jelenleg megvalósítása egész számokkal dolgozk, így az Excel program segítségével a kezdés, lefutás és befejezés dőket átalakítottam munkaórákra. 10 munkaórát számolva naponként könnyen vsszaírható az eredmény az eredet fle-ba. A kapott.xml-fle-ban lévő adatokat ellenőrzésképpen krajzoltattam egy általam készített programmal. Ennek a krajzoláson kívül az volt a feladata, hogy a megoldóprogramhoz tesztfeladatokat gyártson, hogy annak helyes működését teszteln lehessen. A tesztelés során a megoldóprogram sokkal gyorsabban oldotta meg a feladatokat, mnt azon módszerekre készített szoftverek, melyeket az es fejezetben bemutattam. 178

189 3. Gyakorlat alkalmazás táblázat: a megoldó program lefutás sebessége ms-ban A megoldó program 1000 tevékenység esetén 9000/329,2 = 27,28-szor gyorsabb, mnt az eddg leggyorsabbnak tartott dnamkus programozáson alapuló szoftverek. (Ráadásul a JINI-alkalmazásnak köszönhetően a megoldás sebessége mérésről mérésre egyre ksebb, hszen a rendszer maga s alkalmazkodk a feladathoz, és legközelebb már hatékonyabban osztja el a számítógép erőforrásat.) Látható, hogy nagy számú, akár tevékenységet tartalmazó projektet s 5 másodperc alatt optmálhatunk. A fent adatok természetesen 1 számítógép használata esetén értendők. 300 tevékenység felett projektek optmálása során már érdemes esetleg a vállalatban már meglévő hálózatot s khasználn egy-egy nagyobb feladat megoldására. Relatív sebességcsökkenés 1,2 1 0,8 1 processzor 0,6 2 processzor 5 processzor 10 processzor 0,4 0, Tevékenységek száma Relatív lefutás dők a számítógép számosságának függvényében 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0, ábra: az optmálás dő gyorsítása több számítógép egydejű használatával 179

190 3. Gyakorlat alkalmazás A táblázatban a tevékenységek relatív futás dő szerepelnek az egy számítógépet használó lefutás dőt 1-nek (100%-nak) tekntve. Látható, hogy jelentős gyorsítás csak megfelelő számú (legalább 300) tevékenység optmalzálásakor jelentkezk. Magába a véletlengenerátor programba s számos funkcót beépítettem, mely az ellenőrzést szolgálta (pl. háló dőadatanak, erőforrásadatanak vzsgálata, erőforrások, topológkusan rendezett hálós dagram megjelenítése stb.). Mvel a program topológkusan rendez a hálót, így ellenőrzhető, hogy a gráfban nncs-e kör (ekkor ugyans topológkusan nem rendezhető a gráf), valamnt egy kezdő, és egy befejező tevékenysége van-e a hálónak. A programmal egy véletlengráfot lehetett generáln, mellyel a megoldóprogram helyességét lehetett ellenőrzn. A véletlengráf esetén be lehet állítan a topológkusan rendezett gráf szntjenek számát, maxmáls szélességét, és a kapcsolatok maxmáls számát. (A beállításoknak megfelelő tesztfeladatok paraméteret a táblázat tartalmazza.) Ezekkel a beállításokkal tulajdonképpen bármlyen struktúrájú problémát lehetett generáln. Ennél egyszerűbb véletlengráf-generátort korábban már publkáltak. [95, 383] Ezzel a programmal azonban mnd determnsztkus, mnd sztochasztkus gráfot lehet generáln. Ezenkívül pedg költség-optmalzálást s lehet a hálón végezn mnd determnsztkus, mnd pedg sztochasztkus esetben. 180

191 3. Gyakorlat alkalmazás ábra: a feladat krajzolása, a kapott MPM-háló ellenőrzése, az algortmus tesztelése véletlenfeladatgenerátor segítségével A már.xml-fle-ban elkészített adatokat ezután magának a megoldó programnak adtam át. Ez a program ugyanlyen fle-ba írja vssza az eredményeket. Ez a program az általam kfejlesztett erőforrás-allokácós módszer alapján dolgozk. Az eredet problémát több részproblémára bontja, majd ezeket kküld más számítógépekre. Ezek a számítógépek pedg vsszaküldk az eredményt. Elsősorban ennek a szétbontásnak 200 tevékenység felett van értelme. Ekkor már számottevő a feladat megoldás dejének csökkenése. A programnak a JaBBa nevet adtuk, mely a Jn and Branch and Bound Algorthm szavak kezdőbetűt tartalmazza. 181

192 3. Gyakorlat alkalmazás solve problem User s machne wth the clent applcaton Send problem Receve result Workstaton runnng the Manager servce Network, e.g. Ethernet solve problem solve problem Network of worstatons Natve lbrares ábra: a JaBBa problémamegoldó-környezet felépítése A problémamegoldó-környezet 4 részből áll. A felhasználó (user) elküld az adatokat a menedzser-kszolgáló állomásnak (manager servce). Ennek a munkaállomásnak a feladata, hogy a feladatot több részfeladatra bontsa, valamnt ezeket szétossza a hálózaton. A feladatok megoldása háttérben több munkaállomáson (workstaton) s egydejűleg folyhatnak. Ennek koordnálása s a kszolgáló szerver feladata. A munkaállomások olyan megoldófüggvényeket használnak (natve lbrares), melyekkel az adott részproblémát k tudják értékeln. A programban alkalmazott JINI-technológa kfejezetten a hálózatos archtektúrákra kfejlesztett párhuzamos adatfeldolgozást segítő függvénykönyvtár, mellyel a feladatok szétosztása, lletve a hálózat menedzselése sokkal könnyebben és megbízhatóbban megvalósítható. 182

193 3. Gyakorlat alkalmazás ábra: a JaBBa problémamegoldó-környezet klens oldal felülete A klens oldal felhasználó környezet megmutatja az eredet megengedett erőforrásallokácót, majd optmálás után felrajzolja az optmáls erőforrás-allokácó terhelés dagramját. Mndegyk tevékenységet más színnel jelenít meg a program, hogy a tevékenységek kezdésének változását nyomon tudjuk követn. Azon tevékenységeket, amelyeknek változott a lefutás deje, a szoftver külön prossal kemel. Láthatjuk, hogy a tevékenységek kezdés deje mely értékről csökkent le az adott kezdés dőre. 3.3 Eredmények Az alkalmazott módszerrel jelentősen lehetett a tevékenységek kezdés dejét csökkenten. Pusztán a megfelelő logka összerendeléssel 2528-ról 1432 munkaórára lehetett csökkenten a projekt átfutás dejét. Ez mntegy 43,75%-os csökkenést jelent. Az optmáls megoldás jóságának értékelésére egy mutatószámot dolgoztunk k. Kíváncsak voltunk, hogy átlagosan egy tevékenység mkor kezdődhet korábban a megengedett, lletve az optmáls megoldásban. A mutatószám kalakítása során fgyelembe vettük, hogy mennyvel kezdődhettek korábban a projekt kezdetéhez képest az egyes tevékenységek a megengedett, lletve az optmáls megoldásban. Ha az eredet és az optmált adatokat osztjuk egymással, akkor megkapjuk, 183

194 3. Gyakorlat alkalmazás hogy a tevékenység kezdés deje hány százalékára csökkent a projekt kezdetéhez képest. Mnden tevékenységre elvégezve, az adatokat esetlegesen a tevékenység dőtartamával súlyozva megkaphatjuk, hogy egy átlagos tevékenység kezdés deje hány százalékára csökkent a logka összerendelések, lletve az erőforrás-optmálás után a projekt kezdetéhez képest. Erre a következő súlyozott értékeket használtuk: Q megeng. EST n 1 EST d EST n 1 d megeng., Q opt. EST n 1 EST d EST n 1 d opt., Q megeng. AST n 1 AST d AST n 1 d megeng., Q opt. AST n 1 AST d AST n 1 d opt.. (3.3-1) A változást mnd a legkorább kezdésre (EST = Earlset Start Tme), mnd pedg a tényleges kezdés dőkre (AST = Actual Start Tme) megvzsgáltuk, a megengedett és az optmáls megoldások esetén s meghatároztuk ezeket az értékeket. Azt szerettük volna tudn, hogy átlagban hány százalékára csökkentek a tevékenységek kezdés dő az eredet adatokhoz képest a projekt kezdetéhez vszonyítva. Az átlagos érték kszámításánál súlyoztuk a kezdés dők hányadosát a tevékenységek dőtartamaval. Az eredményeket az alább táblázatban foglaltuk össze (az értékek %-ban értendők): Q megeng. EST n 1 EST d EST n 1 d megeng. Q opt. EST n 1 EST d EST n 1 d opt. Q megeng. AST n 1 AST d AST n 1 d megeng. Q opt. AST n 1 AST d AST n 1 d opt. 31,72% 31,72% 38,31% 37,42% táblázat: a tevékenységek (legkorább/tényleges) kezdés dőnek változása (súlyozott értékek) értendők): Súlyozás nélkül az adatokat az alább táblázatban foglaltuk össze (az értékek %-ban 184

195 3. Gyakorlat alkalmazás Q n megeng. EST 1 EST EST n megeng. Q n opt. EST 1 EST EST n opt. Q n megeng. AST 1 AST AST n megeng. Q n opt. AST 1 30,62% 30,62% 38,06% 37,24% táblázat: a tevékenységek (legkorább/tényleges) kezdés dőnek változása (súlyozatlan értékek) AST AST n opt. Az adatokat tehát a következőképpen értelmezhetjük: egy átlagos tevékenység legkorább kezdés deje 30,62%-ára csökkent (a projekt kezdetéhez vszonyítva) mnd a megengedett, mnd pedg az optmáls megoldás esetén. Ha a tevékenységek dőtartamát s fgyelembe vesszük, akkor ez az érték 31,72%. Látható, hogy az optmáls megoldás esetében a tényleges kezdés dő a megengedett megoldáshoz képest tovább csökkent. Tovább fontos érték az összes felhasznált tartalékdő számítása. Ennek számítását a következőképpen tehetjük: TUST megeng. n 1 AST megeng. EST megeng. =3879,7 nap, TUST opt. n 1 AST opt. EST opt =3512,1 nap. Az összes felhasznált tartalékdő (Total Used Slack Tme) értéke mnd a megengedett, mnd pedg az optmáls megoldásban az összes tevékenységre a tevékenység tényleges kezdése mínusz a legkorább kezdése. A megengedett megoldásban, ahol az erőforráskorlátot (max. 400 fő) nem léptük túl, a tevékenységek összes felhasznált tartalékdeje munkaórában óra. Az optmáló algortmusunk ezt az értéket 9,47%-kal csökkentette (azaz munkaórára) úgy, hogy az erőforráskorlátot továbbra s fgyelembe vette. Ez az érték azt jelent, hogy az alternatív úton lévő tevékenységek kezdés dő tovább 9,47%-kal csökkenthetők a megengedett megoldásban szereplő tevékenységek kezdésehez képest. A megoldás dő 631 ms, ebből tsztán az algortmus lefutás deje (hálózat kommunkácós dőt nem számítva) 142 ms, tehát jóval kevesebb, mnt egy másodperc. A teljes megoldás dőhöz még hozzá kell adn a megengedett megoldás keresésének dejét s. Erre azonban már olyan heursztkus algortmusok s léteznek, amelyeknek a lefutás deje 185

196 3. Gyakorlat alkalmazás kevesebb, mnt 1ms 1000 tevékenység esetén s (lásd fejezet). Ezért ez a számítás dő gyakorlatlag elhanyagolható. Amennyben a vállalat khasználja a projektmenedzsment-szoftverek nyújtotta lehetőségeket, jelentősen csökkenthet a projekt átfutás dejét pusztán azáltal, hogy a tevékenységek megfelelő logka sorrendjét helyesen modellez. Ebben az esetben az átfutás dőt tekntve mntegy 100,00%-56,25%=43,75%-os a csökkenés. Napokban mérve 252,8-143,2=109,6 nappal előbb lehetett befejezn a projektet. Ha a szervezet az erőforrás, lletve költséggényeket s fgyelembe vesz, akkor olyan ütemtervet határozhat meg, mely a rendelkezésre álló erőforrás-, lletve költségkorlátokat s fgyelembe vesz. A módszer segítségével elsősorban fxköltséget (pl. bérlet díjak) lehet csökkenten azáltal, hogy a projektet mntegy 109 nappal előbb be lehet fejezn. Ezenkívül a megvalósítás dő nagysága a pályázat odaítélésénél fontos szempont lehet. Ha egy cég ugyananny, vagy kevesebb összköltséggel, kevesebb dő alatt meg tudja valósítan a projektet, az a több céggel szemben komoly versenyelőnyt jelenthet. Az erőforrás-szükségletek, erőforrás-korlátok nem álltak rendelkezésünkre. Költséggényekből megbecsülve az erőforrás-szükségletet az erőforráskorlátot mntegy 2/3-ára lehetett csökkenten úgy, hogy még megengedett (és ebből optmáls) erőforrás-allokácót lehetett találn. A programot tovább rövdítés után költségoptmáls erőforrásallokácó (ERALL- OPT/KLTG-módszer (lásd 5. fejezet)) segítségével több mnt két héttel tovább 14,1 nappal 143,2 napról 129,1 napra lehetett redukáln. Ez tovább 9,85%-os csökkenést jelent, am vszont Ft tovább pótlólagos költséggel jár. A projekt teljes Ft-os költségvetéséhez képest (ebből közvetlen pl. berendezések használata, anyagfelhasználás stb Ft, a fennmaradó közvetett költségek, pl. bérlet díjak alvállalkozó teljesítések stb Ft-ot tesznek k) ez a pótlólagos összeg jelentéktelennek tűnk. A módszer lépése: 186

197 3. Gyakorlat alkalmazás Egységny költségnövekedés tényező Változóköltséggény növekedése Átfutás dő Lsz. Tevékenység neve Csökkentés Gebert Pluva földbe kerülő része Telek- és épületktűzés; Munkaterület-átadás Monolt talpgerendák, alsó falak Gebert Pluva földbe kerülő része sprnkler földalatt vezeték I szellőzésszerelés az eladótérben nagy szellőző gép elhelyezése, bekötése Vsszatöltések szellőzésszerelés a szoc. és az ek. részben Építés szerződés aláírása szellőzésszerelés Mall sprnkler csőszerelés a szoc. és az ek. részben II radátorok felrakása a szoc. és az ek. részben Humuszleszedés 1.; Beton a tömbalapba Humuszleszedés 2.; Beton a tömbalapba S táblázat: a költségcsökkentés lépése ábra: a projekt megengedett és optmáls megoldása költségcsökkentés után Mvel a közvetett költségek a program előbb befejezése matt előre láthatólag Ft költségcsökkenéssel járnak naponta, így a mnmáls átfutás dő egyben mnmáls összköltséggénnyel s jár. A teljes megtakarítás = (252,8-129,1) x Ft Ft= Ft. Így az összes költség Ft-ra csökken. Tehát a költségeket mntegy 3,6 MFt-tal az átfutás dőt pedg majdnem 50%-kal lehetett csökkenten a szervezés, dőköltség és erőforrásoptmáló módszerek segítségével. 187

198 3. Gyakorlat alkalmazás Ha a projekt dőtartamának bzonytalanságát s fgyelembe akarjuk venn, akkor sztochasztkus optmáló módszert kell alkalmaznunk. A vállalat eddg tapasztalata alapján arra a következtetésre jutott, hogy a tervezett dőtartamokat általában skerül megfelelően betartan. Előfordul, hogy a tervezett dőtartamnál 10%-kal hamarabb, vagy 30%-kal később fejezk be a tevékenységet, de ennek valószínűsége gen alacsony. Ez a megfgyelés ndokolta, hogy a 3 paraméteres PERT-módszerrel sztochasztkus dőtartamokkal s megvzsgáljam a projekt átfutás dejét. Ezért valamenny tevékenység esetén m (,j) -nek a tervezett dőtartamokat választottam. Az optmsta becslés (a (,j) ) az dőtartamok 90%-a, (ahol a technológa megengedte, és nem írtak elő kötött dőtartamot). A pesszmsta becslés (b (,j) ) pedg az dőtartamok 130%-a lett. Bztonság szntnek magas 90%-os bztonság szntet választottam. Az átfutás dők meghatározásra Fatem Ghom Temour [131] módszerét alkalmaztam. E módszer segítségével a projekt átfutás deje: 155,6 nap lett 90%-os bztonság sznt mellett. Ebben az esetben s található megengedett és optmáls erőforrásallokácó: ábra: a projekt sztochasztkus dőtervezés esetén Természetesen sztochasztkus dőtervezés mellett s lehet költségtervezést végezn, ehhez a 9. fejezetben leírt sztochasztkus módszeremet alkalmaztam. A költség-dő optmálás részfeladatot pedg Chrétenne Sourd [35] módszerének segítségével végeztem, mely egy 188

199 3. Gyakorlat alkalmazás PERT-hálókra alkalmazható költségmnmalzáló eljárás (konvex függvényeket feltételezve). Az átfutás dő 90%-os bztonság sznt mellett 142,1 nap. A megengedett és az optmáls megoldás: ábra: a projekt sztochasztkus dő- és költség-tervezés esetén A gyorsítás során a változó költségek (várható) növekedése Ft. Az összes költségcsökkenés: (252,8-142,1) x Ft Ft = Ft. A sztochasztkus tervezés során a tevékenységek dőtartamanak bzonytalansága fgyelembevételével azt s meg lehet határozn, hogy egy projekt előreláthatólag pl. 90%-os valószínűség mellett hány nap alatt hajtódk végre. Így a projektmenedzser már nemcsak a megvalósítás dővel, várható költséggénnyel, lletve erőforrás-szükséglettel, de a megvalósítás bzonytalanságával (kockázatával) s előre számolhat. A módszer gyakorlat alkalmazhatóságához, lletve dő-, költség- és erőforráscsökkentéshez szükség van arra, hogy a vállalat megbecsülje a tevékenységek dőtartamát, lletve erőforrás- és költséggényét. Továbbá szükség van arra, hogy elkészítse a tevékenységek logka hálóját. Ezután az erőforrásokra/költségekre/átfutás dőre tűzzön k egy korlátot, valamnt határozzon meg egy célt (pl. lehető legkorább kezdés, egyenletes erőforrás-felhasználás stb.), melyre optmáln kívánja a feladatot. A bemutatott szoftverek, lletve módszerek alkalmazásával az optmáls megoldás megtalálható. 189