Algebra és Számelmélet Tanszék

Átírás

1 Å Ø Ñ Ø Ù Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÅË ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ñ Ú Ð ØÓ ¾¼½»¾¼½ Az alábbiakban a szakdolgozati témajavaslatokat tanszékenkénti bontásban soroljuk föl. Természetesen nemcsak a fölsorolt témákról lehet szakdolgozatot írni: a témavezetővel való személyes egyeztetés után egyéb témakörök is szóba jöhetnek. Algebra és Számelmélet Tanszék 1. Téma: Algebrák reprezentációdimenziója Témavezető: Ágoston István Rövid leírás: Auslander az 1970-es évek elején vezette be az algebrák reprezentációdimenziójának fogalmát: ez a dimenzió homologikus eszközökkel méri azt, hogy egy algebra milyen messze van a reprezentációvégességtől. Auslander bizonyította, hogy egy algebra pontosan akkor reprezentációvéges, ha rep.dim A 2. Sokáig nem volt ismeretes, hogy rep.dim A mindig véges-e; ezt Iyama bizonyította egy 2003-as cikkében. Igusa és Todorov 2005-ben megmutatták, hogy ha egy algebra reprezentációdimenziója legföljebb 3, akkor a finitisztikus dimenziója véges (általános véges dimenziós algebrákra ez a homologikus algebra egyik legismertebb megoldatlan sejtése). Sajnos, ezzel lényegében egyidőben (2006-ban) Rouquier mutatott példát olyan algebrákra, melyek reprezentációdimenziója 4 (ezt megelőzően ilyen példa sem volt ismeretes). Azóta számos eljárás született nagy dimenziójú algebrák konstruálására, de a finitisztikus dimenzióval való kapcsolat még számos kiderítenivalót rejt, s a fogalom kutatása meglehetősen nyitott. [1] M. Auslander: Representation dimension of Artin algebras. Queen Mary College Mathematics Notes, London. (1971) [2] O. Iyama: Finiteness of representation dimension. Proc. Am. Math. Soc. 131 (2003), [3] K. Igusa, G. Todorov: On the finitistic global dimension conjecture for Artin algebras. Repr. of Algebras and Related Topics. Am. Math. Soc. (2005), [4] R. Rouqier: Representation dimension of exterior algebras. Invent. Math. 165 (2006), [5] S. Opperman: A lower bound for the representation dimension of kcp n. Math. Z. 256 (2007), Téma: Leibniz algebrák Témavezető: Fialowski Alice Rövid leírás: A Leibniz algebrákat Jean-Louis Loday vezette be 1993-ban. A nemasszociatív algebrák egy osztálya. Egy kommutatív R gyűrű feletti L modulus, amiben egy 1

2 bilineáris [,] szorzás van értelmezve, amelyre teljesül az ún. Leibniz azonosság: [[a,b],c] = [a,[b,c]] + [[a,c],b]. Azóta intenzíven kutatják ezen algebrák tulajdonságait, és sok nyitott probléma van. A témában megjelent alapvető cikkek.. 3. Téma: Algebrai egyenlőtlenségek pozitív szemidefinit mátrixokra Témavezető: Frenkel Péter Rövid leírás: Számos részben ismert, részben csak sejtett egyenlőtlenség vonatkozik pozitív szemidefinit mátrixok permanensének, illetve a permanens különféle változatainak alsó becslésére. Ezek a multilineáris algebra eszközeivel vizsgálhatók. [1] Minc: Permanents [2] Cheon, Gi-Sang; Wanless, Ian M.: An update on Minc s survey of open problems involving permanents. Linear Algebra Appl. 403 (2005), Téma: Pszeudovéletlen bináris sorozatok és rácsok Témavezető: Gyarmati Katalin Rövid leírás: A kriptográfiában meghatározó szerepet játszó pszeudovéletlen bináris sorozatok és rácsok konstrukciója és tanulmányozása [1] A. J. Menezes, P. C. van Oorschot, Scott A. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography [2] C. Mauduit, A. Sárközy, On finite pseudorandom binary sequences. I. Measure of pseudorandomness, the Legendre symbol. 5. Téma: Eliminációelmélet Témavezető: Károlyi Gyula Rövid leírás: Hogyan lehet szisztematikusan megoldani magasabbfokú egyenletrendszereket? A kérdés minőségi vizsgálata a projektív algebrai geometria eszközeivel. [1] D.A. Cox, J.B. Little, D. O Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms további fejezetei 6. Téma: Általános algebrák, hálók Témavezető: Kiss Emil Rövid leírás: Az általános algebráknak az utóbbi évtizedekben mély elmélete alakult ki. Az alapok elsajátítása mellett szabadon lehet választani olyan témákból, mint teljességi kérdések, kommutátorelmélet, kongruenciaszelídítés, a szubdirekt irreducibilis algebrák viselkedése. [1] Kiss: Bevezetés az algebrába, 8. fejezet [2] Hobby McKenzie: The structure of finite algebras 2

3 7. Téma: Öröklődő kongruenciahálók Témavezető: Pálfy Péter Pál Rövid leírás: Az univerzális algebra talán legnevezetesebb megoldatlan problémája a véges algebrák kongruenciahálóinak jellemzése. Még egyetlen véges hálóról sem sikerült bizonyítani, hogy ne lehetne egy véges algebra kongruenciahálója, bár vélhetően a hálók nagy része nem áll így elő. Nemrégiben Snow a legkisebb moduláris de nem disztributív hálóvarietás véges tagjairól mutatta meg, hogy előállíthatók véges algebrák kongruenciahálóiként. Ezt Hegedűs és Pálfy általánosították és bevezették az öröklődő kongruenciaháló fogalmát. A szakdolgozat célja ezeknek az eredményeknek a feldolgozása és esetleg további öröklődő kongruenciahálók konstruálása. [1] Hegedűs Pál és Pálfy Péter Pál, Modular congruence lattices, Algebra Universalis 54 (2005), [2] John Snow, Every lattice in V (M 3 ) is representable, Algebra Universalis 50 (2003), Téma: Reprezentációk, amelyek a külső négyzetük faktorai (a téma már foglalt) Témavezető: Pálfy Péter Pál Rövid leírás: A feladat olyan csoportreprezentációk vizsgálata, amelyek előállnak az önmagukkal vett külső szorzat faktoraként. A kérdés az olyan p 2 exponensű véges csoportok tanulmányozásakor merült fel, amelyeknek egyetlen nemtriviális karakterisztikus részcsoportjuk a Frattini részcsoport. A munka kísérleti szakaszból és elméleti részből áll. A kísérleti szakaszban a GAP programcsomag segítségével minél több ilyen reprezentációt kell találni, utána pedig ezek alapján elméleti sejtéseket lehet megfogalmazni és bizonyítani. [1] Stephen Glasby, Pálfy Péter Pál és Schneider Csaba, p-groups with a unique characteristic subgroups, Journal of Algebra, 348 (2011), Téma: Homogén struktúrák Témavezető: Szabó Csaba Rövid leírás: A véletlen gráf mintájára létezik véletlen részbenrendezett halmaz, véletlen lénc és véletlen Abel-csoport is. Ezek az úgynevezett homogén struktúrák modellelméleti és csoportelméleti (végtelen permutációcsoportok) eszközökkel vizsgálhatók. [1] H.D. Macpherson, A survey of homogeneous structures. Discrete Mathematics 311 (2011), [2] jberger/mac.pdf 10. Téma: A p-adikus Langlands-program Témavezető: Zábrádi Gergely Rövid leírás: A p-adikus csoportok p-adikus reprezentációelmélete a matematika egy viszonylag új, dinamikusan fejlődő ága, melynek komoly alkalmazásai vannak az algebrai számelméletben. A Langlands program arról szól, hogy bizonyos Galois reprezentációknak 3

4 próbálunk (viszonylag jól meghatározható szisztematikus módon) megfeleltetni bizonyos automorf reprezentációkat. Az úgynevezett p-adikus Langlands-programban az automorf oldalon a GL n (Q p ) csoport (és további, ennél általánosabb csoportok) p-adikus Banach-tér reprezentációi, a Galois oldalon pedig a Gal(Q p /Q p ) abszolút Galois csoportnak p-adikus reprezentációi állnak, ahol Q p a p-adikus számok teste, Q p pedig annak algebrai lezártja. A szakdolgozat a hallgató érdeklődésétől függően szólhat vagy csak a Galois-oldalról, vagy csak az automorf oldalról, vagy akár ezek kapcsolatáról. angol, ill. francia nyelvű szakcikkek, előadásjegyzetek a szakdolgozó érdeklődésétől függően, többek között: [1] Pierre Colmez: Représentations de GL 2 (Q p ) et (ϕ, Γ)-modules [2] Peter Schneider és Jeremy Teitelbaum: Banach space representations and Iwasawa theory [3] Laurent Berger: Galois representations and (ϕ, Γ)-modules. Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék 1. Téma: Operátorfélcsoportok Témavezető: Bátkai András [1] K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Evolution Equations, Springer, 2000, alkalmazott matematikus 2. Téma: Késleltetett differenciálegyenletek Témavezető: Bátkai András [1] R. Bellman, K. Cooke: Differential-Difference Equations, Academic Press, 1963 [2] J. Hale, S. Verduyn-Lunel: Introduction to Functional Differential Equations, Springer, 1993 [3] A. Bátkai, S. Piazzera: Semigroups for Delay Equations, A.K.Peters, 2005, alkalmazott matematikus 3. Téma: A hővezetési egyenlet numerikus megoldása többlépéses módszerrel és a megoldás kvalitatív tulajdonságai (a téma már foglalt) Témavezető: Faragó István Rövid leírás: A hővezetési egyenlet számos, fizikai szempontból motivált kvalitatív tulajdonsággal rendelkezik. Ezek megőrződése a numerikus megoldásra lényeges kérdés. Néhány egylépéses módszerre (explicit, implicit Euler-módszerek, Crnak-Nicolson módszer) a kérdéskört már megvizsgálták. Ugyanakkor a többlépéses módszerek esetén még nem ismeretes a válasz. A szakdolgozat célja, hogy a jól ismert kétlépéses módszerek körében megadja azokat a rácsháló megválasztására vonatkozó feltételeket, amelyek mellet az alapvető tulajdonságok (diszkrét maximum elv, nemnegativitás, stb.) érvényben maradnak. 4

5 4. Téma: Végeselem módszerek összehasonlítása tárigény és konvergencia szempontjából (a téma már foglalt) Témavezető: Horváth Tamás Rövid leírás: A nemfolytonos Galjorkin módszerek egyik jelentős hátránya a folytonos módszerhez képest az ismeretlenek magas száma. A cél: a két módszer hibájának összehasonlítása az egyenletrendszerek méretének függvényében háromszögeket, illetve négyszögeket tartalmazó rácsok esetén. 5. Téma: Gravitációs vízhullámok modellezése Témavezető: Izsák Ferenc Rövid leírás: A gravitációs vízhullámok terjedésének vizsgálatára használt modell egy mozgó peremű tartományon felírt PDE, amelyet különböző elvek alapján lehet egyszerűsíteni, diszkretizálni a numerikus megoldáshoz. Ezek bemutatása esetleg konkrét szimulációk végrehajtása lehet a dolgozat célja [1] Whitham: Linear and Nonlinear Waves, Wiley, 1974, matematikus 6. Téma: Szuperdiffúzió modellezése Témavezető: Izsák Ferenc Rövid leírás: A szuperdiffúzió jelenségét több olyan szituációban is megfigyelték, amelyről korábban diffúzív dinamikát feltételeztek. Az ezt tartalmazó terjedési modellekből kapott feladatok numerikus közelítése fontos probléma. [1] Finite difference approximations for fractional advectiondispersion flow equations, JCAM, Téma: Törtrendű Szoboljev-terek Témavezető: Izsák Ferenc Rövid leírás: A törtrendű Szobolev-terek vizsgálata mind elméleti, mind gyakorlati szempontból hasznos, hiszen Többféle módon is definiálják ezeket. A különféle megközelítések összehasonlítása, numerikus szempontból a normák közelítő; kiszámítása lehet a dolgozat célja. [1] Adams - Fournier: Sobolev Spaces, Elsevier, 2003, matematikus 8. Téma: A diszkrét maximum-elv (a téma már foglalt) Témavezető: Karátson János Rövid leírás: A diszkrét maximum-elv egy parciális differenciálegyenlet numerikus megoldásának kvalitatív megbízhatóságát kifejező tulajdonsága. A szakdolgozat célja az erre vonatkozó szerteágazó eredmények rendszerezése elsősorban elliptikus feladatok végeselemes megoldására. 5

6 [1] Ciarlet, P. G., Discrete maximum principle for finite-difference operators, Aequationes Math. 4 (1970), [2] Xu, J., Zikatanov, L., A monotone finite element scheme for convection-diffusion equations, Math. Comp. 68 (1999), [3] Karátson J., Korotov, S., Discrete maximum principles for FEM solutions of nonlinear elliptic systems, in: Computational Mathematics: Theory, Methods and Applications, ed. Peter G. Chareton, Computational Mathematics and Analysis Series, NOVA Science Publishers, New York, 2010; pp Téma: Szubszonikus áramlási feladat numerikus megoldása Témavezető: Karátson János Rövid leírás: Egy test körüli szubszonikus áramlás nemlineáris elliptikus parciális differenciálegyenlettel írható le. A cél ennek numerikus megoldása alkalmas iterációs módszerekkel, és a módszerek viselkedésének vizsgálata. [1] Axelsson, O., Maubach, J., On the updating and assembly of the Hessian matrix in FEM, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg.71 (1988), [2] Faragó, I., Karátson, J., Numerical Solution of Nonlinear Elliptic Problems via Preconditioning Operators. Theory and Applications. Advances in Computation, Volume 11, NOVA Science Publishers, New York, Téma: A kémiai reakciókinetika differenciálegyenleteinek kvalitatív vizsgálata Témavezető: Tóth János (BME) Rövid leírás: A téma rendkívül nyílt, így a pontos területet a jelentkezővel pontosítjuk. Analízis Tanszék 1. Téma: Fraktálok, geometriai mértékelmélet, multifraktálok Témavezető: Buczolich Zoltán Rövid leírás: A fenti nagy témakör valamelyik érdekes, modern alfejezetének feldolgozása esetleg bekapcsolódás a témkörben folyó kutatómunkába. A lehetséges részterületek például a következők: dimenziófogalmak, sűrűségi tételek, irreguláris halmazok, multifraktál analízis, tangens mértékek, mértékek dimenziói, rektifikálhatóság, korlátos változású (BV) halmazok, topologikus Hausdorff-dimenzió. [1] Falconer, K. J.: The geometry of fractal sets. Cambridge Tracts in Mathematics, 85. Cambridge University Press, Cambridge, xiv+162 pp. [2] Falconer, Kenneth: Techniques in fractal geometry. John Wiley & Sons Ltd., Chichester, xviii+256 [3] Falconer, Kenneth: Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Second edition. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, xxviii+337 pp. 6

7 [4] Mattila, Pertti: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 44. Cambridge University Press, Cambridge, [5] Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego: Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, [6] Z. Buczolich: Non-L 1 functions with rotation sets of Hausdorff dimension one, Acta Mathematica Hungarica 126:(1-2) (2010) [7] Z. Buczolich and A. Máthé: Where are typical C 1 functions one-to-one?, Math. Bohem. 131 (2006), no. 3, [8] Z. Buczolich: Occupation measure and level sets of the Weierstrass-Cellerier function. Recent developments in fractals and related fields, 3 18, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, [9] R. Balka, Z. Buczolich and M. Elekes: A new fractal dimension: The topological Hausdorff dimension. buczo/papers/bbe.pdf [10] R. Balka, Z. Buczolich and M. Elekes: Topological Hausdorff dimension and level sets of generic continuous functions on fractals, buczo/papers/levelset pdf, alkalmazott matematikus 2. Téma: Dinamikus rendszerek, ergodelmélet Témavezető: Buczolich Zoltán Rövid leírás: A fenti nagy témakörök valamelyik érdekes, modern alfejezetének feldolgozása esetleg bekapcsolódás a témakörben folyó kutatómunkába. A lehetséges részterületek például a következők: Entrópia fogalmak, topologikus dinamika, szimbolikus dinamika, ergodtételek, maximális egyenlőtlenségek, nem konvencionális ergodikus közepek, ergodikus optimalizáció. [1] Petersen, Karl: Ergodic theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2. Cambridge University Press, Cambridge, [2] Walters, Peter: An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin, [3] B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics. With a panorama of recent developments. Cambridge University Press, New York, [4] A. Katok, B.Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, [5] Robert L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition. Addison Wesley Studies in Nonlinearity. Addison Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, [6] D. Lind, B. Marcus: An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, [7] Jenkinson, Oliver: Ergodic optimization. Discrete Contin. Dyn. Syst. 15 (2006), no. 1,

8 [8] Z. Buczolich and D. Mauldin: Divergent Square Averages, Annals of Mathematics, 171, , [9] I. Assani and Z. Buczolich: The (L 1, L 1 ) bilinear Hardy-Littlewood function and Fürstenberg averages, Rev. Mat. Iberoamericana Volume 26, Number 3 (2010), , [10] Z. Buczolich: Almost everywhere convergence of ergodic averages, Real Anal. Exchange 34 (2009), no. 1, [11] K. M. Brucks and Z. Buczolich: Trajectory of the turning point is dense for a cosigma-porous set of tent maps, Fund. Math. 165 (2000), [12] K. M. Brucks and Z. Buczolich: Universality in inverse limit spaces of the logistic famliy occurs with positive measure, Atti. Sem. Univ. Modena, 48 (2000), no. 2, [13] J. Bremont and Z. Buczolich: Maximizing points and coboundaries for rotations, buczo/papers/cbdetds.pdf, alkalmazott matematikus 3. Téma: Mikro-tangens halmazok Témavezető: Buczolich Zoltán Rövid leírás: Irreguláris, fraktál tulajdonságú függvények lokális vizsgálatára szolgál a mikro-tangens halmaz. A témavezetőtől származó definíció és első eredményeket tartalmazó cikk viszonylag új. Számos kérdés vethető fel. A kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó szakdolgozatát sikeres problémamegoldások esetén később esetleg TDK-dolgozatban, illetve önálló kutatómunkában is folytathatja. [1] Z. Buczolich, Micro Tangent Sets of Continuous Functions, Math. Bohem. 128 (2003), no. 2, [2] Z. Buczolich and Cs. Ráti, Micro tangent sets of typical continuous functions, Atti. Semin. Mat. Fis. Univ. Modena Reggio Emilia 54 (2006), , alkalmazott matematikus 4. Téma: Tipikus függvények, mértékek irregularitási tulajdonságai Témavezető: Buczolich Zoltán Rövid leírás: A tipikus folytonos függvények Hölder spektrumát és momentum összegeit vizsgáló cikk és annak előzményeit tartalmazó cikkek anyagának megértése és átgondolása után esetleg önálló kutatómunkába is kezdhet, mivel számos további kérdés vethető fel. A kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó szakdolgozatát sikeres problémamegoldások esetén később esetleg TDK-dolgozatban, illetve önálló kutatómunkában is folytathatja. [1] J. Genyuk, A typical measure typically has no local dimension, Real Anal. Exchange 23(2) (1997/8), [2] T. Zamfirescu, Most monotone functions are singular, Amer. Math. Monthly 88 (1) (1981), [3] T. Zamfirescu, Typical monotone continuous functions, Arch. Math. 42 (1984), [4] Z. Buczolich and J. Nagy, Hölder spectrum of typical monotone continuous functions, Real Analysis Exchange 26 (2000/01), no. 1,

9 [5] Z. Buczolich and S. Seuret, Multifractal spectrum and generic properties of functions monotone in several variables, to appear in Journal of Mathematical Analysis and Applications, buczo/papers/dmojmaa.pdf, alkalmazott matematikus 5. Téma: A Haight Weizsäcker probléma Témavezető: Buczolich Zoltán Rövid leírás: Alapprobléma: Legyen f : (0, + ) R mérhető függvény. Igaz-e, hogy f(nx) vagy majdnem mindenütt konvergens, vagy majdnem mindenütt divergens? Az n=1 alapprobléma nem csak H. v. Weizsäcker diplomamunkájában, hanem J. A. Haight egy cikkében is felmerült. Az alapprobléma megoldásával kapcsolatos eredmények feldolgozásán kívül számos megoldatlan probléma is van a területen így az igényes, kutatás iránt érdeklődő szakdolgozó a szakirodalom (legalábbis) jelentős részének feldolgozása után önálló kutatómunkába is kezdhet. [1] N.J. Fine and A.R. Hyde, Solution of a problem proposed by K.L. Chung, Amer. Math. Monthly 64 (1957), [2] J.A. Haight, A linear set of infinite measure with no two points having integral ratio, Mathematika 17 (1970), [3] J.A. Haight, A set of infinite measure whose ratio set does not contain a given sequence, Mathematika 22 (1975), [4] C. G. Lekkerkerker, Lattice points in unbounded point sets, I. Indag. Math. 20 (1958), [5] H. v. Weizsäcker, Zum Konvergenzverhalten der Reihe f(nt) für lambda-messbare Funktionen f : R + R +, Diplomarbeit, Universität München, [6] Z. Buczolich, J-P. Kahane and R.D. Mauldin, On series of translates of positive functions, Acta Math. Hungar. 93(3) (2001), [7] Z. Buczolich and D. Mauldin, On the convergence of f(nx) for measurable functions, Mathematika 131 (2001), no. 4, [8] Z. Buczolich and D. Mauldin, On series of translates of positive functions II., Indag. Mathem., N. S. 12 (3) (2001), , alkalmazott matematikus 6. Téma: Geometriai mértékelmélet Témavezető: Elekes Márton Rövid leírás: A témát azoknak ajánlom, akik elvégezték a Geometriai mértékelmélet kurzust. A szakdolgozó feladata az ott megismert valamelyik anyagrész részletesebb megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne. Megbeszélés szerint. 7. Téma: Leíró halmazélmélet 9 n=1 n=1

10 Témavezető: Elekes Márton Rövid leírás: A témát azoknak ajánlom, akik elvégezték a Leíró halmazélmélet kurzust. A szakdolgozó feladata az ott megismert valamelyik anyagrész részletesebb megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne. Megbeszélés szerint 8. Téma: Valós analízis és halmazelmélet Témavezető: Elekes Márton Rövid leírás: A tágan értelmezett valós analízisben, amelybe beleértjük például a leíró halmazelméletet és a geometriai mértékelméletet is, gyakran bukkan fel a halmazelmélet. Sokszor bizonyítási módszerként, időnként már a kérdésfelvetésben, és néha azért, mert egy kérdés váratlanul függetlennek bizonyul a ZF C axiómarendszertől. A szakdolgozó feladata egy ilyen téma megismerése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén a kapcsolódó nyitott problémák tanulmányozása lenne. Megbeszélés szerint. 9. Téma: Konkrét univerzális objektumok Témavezető: Elekes Márton Rövid leírás: A matematika számos területén fontos, hogy objektumok egy osztályában van-e olyan, amelybe minden osztálybeli objektum beágyazható, illetve amelynek minden osztálybeli objektum homomorf képe. Az ilyeneket injektíven illetve projektíven univerzálisaknak nevezzük. Injektíven univerzális például a (Q, <) megszámlálható rendezett halmaz, a véletlen gráf, a Hilbert-kocka mint kompakt topologikus tér, C[0, 1] mint szeparábilis Banach-tér, (T) N mint kompakt metrikus Abel csoport, az úgynevezett Uriszon-tér mint szeparábilis metrikus tér, stb. Projektíven univerzális pedig például a szabad csoport, a Cantor-halmaz mint kompakt topologikus tér, az irracionális számok mint lengyel tér, stb. A szakdolgozó feladata az irodalom összegyűjtése és feldolgozása, valamint kellő elszántság esetén ilyen típusú nyitott problémák tanulmányozása lenne. Megbeszélés szerint. 10. Téma: Geometriai mértékelméleti problémák Témavezető: Keleti Tamás Rövid leírás: Megoldatlan geometriai mértékelméleti problémákon kellene gondolkodni, aztán leírni vagy azt, ami kijött, vagy egy összefoglaló dolgozatot valamelyik problémakörről. 11. Téma: Besicovitch Kakeya-sejtés Témavezető: Keleti Tamás Rövid leírás: Az n-dimenziós euklideszi tér egy részhalmazát Besicovitch-halmaznak nevezzük, ha minden irányban tartalmaz szakaszt. A Kakeya-sejtés azt mondja ki, hogy egy ilyen Besicovitch-halmaz Hausdorff-dimenziója mindig n. Lehet foglalkozni az eddigi részeredményekkel, vagy azzal, hogyan kapcsolódik a probléma a matematika más területeihez. 10

11 tao/preprints/kakeya.html 12. Téma: Polinomokra és trigonometrikus összegekre vonatkozó egyenlőtlenségek és alkalmazásaik Témavezető: Kós Géza Rövid leírás: Olyan becslések vizsgálata, amelyben különböző, az együtthatókra vagy a gyökökre vonatkozó megkötések mellett a polinom vagy deriváltja értékeinek vagy gyökeinek eloszlását vizsgáljuk. (Pl. ha egy n-edfokú polinomnak minden együtthatója 1, 0 vagy 1, akkor legfeljebb hányszoros gyöke lehet az 1?) Peter Borwein és Erdélyi Tamás cikkei 13. Téma: Kombinatorikus nullhelytétel multihalmazokra Témavezető: Kós Géza Rövid leírás: A polinom-módszer, főleg a Noga Alon féle Combinatorial Nullstellensatz és általánosításai és ezek alkamazásai kombinatorikai problémák megoldásában. [1] N. Alon: Combinatorial Nullstellensatz [2] S. Ball, O. Serra: Punctured Combinatorial Nullstellensätze [3] G. Kós, L. Rónyai: Alon s Nullstellensatz for multisets 14. Téma: A Denjoy Young Saks-tétel többváltozós variánsai Témavezető: Laczkovich Miklós Rövid leírás: Az egyváltozós Denjoy Young Saks-tétel egyike a valós analízis legszebb tételeinek. Érdekes módon a tétel többváltozós formái kevésbé ismertek. A feladat az irodalom minél teljesebb áttekintése, a (sajnos számos esetben) hézagos vagy éppen hiányos bizonyítások kipótlása és lehetőség szerint továbbfejlesztése. [1] S. Saks: The Theorey of the Integral [2] Besicovitch, R. O. Davies, Ward és mások releváns dolgozatai 15. Téma: Gyökkeresés iterációval Témavezető: Sigray István Rövid leírás: Egyik legegyszerűbb módszer egy polinom egy gyökét (vagy általánosabban függvény zérushelyét) Newton iterációval keresni. A szakdolgozatban konkrét példák kiszámolása illetve elemzése történik; mind a valós, mind a komplex Newton-iterációt megvizsgáljuk. A dolgozat írójának jártasnak kell lennie a Matlab vagy más matematikai program alkalmazásában. [1] J. Milnor: Dynamics in one complex variable, s_method, alkalmazott matematikus 11

12 16. Téma: Ideális áramlás síktartományokon Témavezető: Sigray István Rövid leírás: Vagy számítógép segítségével bemutatott konkrét áramlásokat kell elemezni, vagy pedig konkrétan megadott példák esetén a definiált fizikai mennyiségeket kiszámolni. [1] Halász Gábor: Kis hidrodinamika, kézirat, alkalmazott matematikus 17. Téma: Komplex függvénytan gyakorló feladatok Témavezető: Sigray István Rövid leírás: Gyakorló feladatok összegyűjtése, mintamegoldások és megoldási tippek írása a Komplex Függvénytan gyakorlatokon szerepelt témák valamelyikéhez. [1] Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan, alkalmazott matematikus 18. Téma: Jordan tétele Témavezető: Sigray István Rövid leírás: Jordan egyszerű zárt görbékről szóló tétele a síktopológia egyik igen fontos tétele, amelyet a komplex függvénytan felépítésében alkalmazhatunk. A feladat a tétel bizonyítása illetve a tétellel összefüggő fogalmak bemutatása. [1] Petruska György: Komplex függvénytan, alkalmazott matematikus 19. Téma: Speciális függvények Témavezető: Tóth Árpád Rövid leírás: Azok a függvények amelyek hasznosak valamely elméleti vagy alkalmazott matematikai feladat megoldásában, általában külön nevet kapnak, és ettől speciális -sá válnak. Több speciális függvény szorosan kapcsolódik a Lie-csoportok elméletéhez, ami a konkrét alkalmazásokon túlmutató elméleti jelentőséget ad nekik. A szakdolgozat célja egy speciális függvénycsalád bemutatása az elméleti háttéren vagy egy választott alkalmazáson keresztül. A választott feladattól függően magyar vagy angol nyelvű jegyzetek., alkalmazott matematikus 20. Téma: Komplex analízis Riemann-felületeken Témavezető: Tóth Árpád Rövid leírás: Van-e meromorf függvény egy kompakt Riemann felületen? Megadható-e egy Riemann-felület mint egy komplex algebrai görbe? Lehet-e hallani egy Riemannfelületet alakját? Milyen eloszlást mutatnak a Laplace Beltrami-operátor sajátértékei? A sajátfüggvényei? A dolgozat célja a modern matematikai kutatások egy fontos ágánal felfedezése ezen kérdések megértésén keresztül. Választott témától függően angol nyelvű tankönyvek. Pl. [1] Farkas-Kra: Riemann felületek [2] Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces 12

13 Geometriai Tanszék 1. Téma: Crofton-típusú formulák Témavezető: Csikós Balázs Rövid leírás: A Crofton-formula legegyszerűbb esete egy síkgörbe hosszát adja meg abból az információból, hogy a sík egyenesei a görbét hány pontban metszik. Ennek általánosításaként az n-dimenziós euklideszi tér k dimenziós részsokaságainak térfogatát meghatározhatjuk annak ismeretében, hogy az (n k)-dimenziós alterek hány pontban metszik a részsokaságot. Ezek a formulák tovább általánosíthatók a gömbi és hiperbolikus terek, sőt bizonyos Riemann-sokaságok részsokaságaira is. A szakdolgozat célja ezen általánosítások áttekintése és összefoglalása. [1] Daniel Hug, Rolf Schneider: Kinematic and Crofton formulae of integral geometry: recent variants and extensions. 2. Téma: Geometriai szélsőérték-feladatok és geometriai egyenlőtlenségek Témavezető: Csikós Balázs Rövid leírás: A szakdolgozat célja egy geometriai szélsőérték-feladat megoldása, vagy valamely nevezetes témakör (izoperimetrikus, izodiametrális egyenlőtlenségek, ponthalmaz kontrakcióira nézve monoton geometriai mennyiségek, a Kneser Poulsen-sejtés stb.) áttekintése. A kiválasztott témától függ. 3. Téma: Hibajavító kódok és véges geometriák Témavezető: Kiss György, alkalmazott matematikus 4. Téma: Lineáris algebra indefinit vektortereken Témavezető: Lakos Gyula 5. Téma: Hőmag konstrukciója kompakt sokaságokon Témavezető: Lakos Gyula 6. Téma: Coxeter-csoportok a geometriában és a topológiában Témavezető: Moussong Gábor Rövid leírás: A diszkrét transzformációcsoportok között a tükrözésekkel generált csoportokat, illetve ezek absztrakt megfelelőit, a Coxeter-csoportokat ismerjük a legalaposabban. A szakdolgozat a Coxeter-csoportoknak a geometria és a topológia területén adódó újabb alkalmazásait tárgyalhatja. [1] M. W. Davis: The geometry and topology of Coxeter groups 13

14 [2] H. Hiller: The geometry of Coxeter groups. 7. Téma: Negatív görbületű sokaságok Témavezető: Moussong Gábor Rövid leírás: A Riemann-sokaságok elméletének klasszikus kérdéscsoportja, hogy egyes görbületi feltételek milyen következményekkel járnak a sokaság topológiájára nézve. A szakdolgozat ilyen irányú eredményeket vizsgálhat nempozitív, illetve negatív előjelű görbület feltételezése mellett. [1] W. Ballmann, M. Gromov, V. Schroeder: Manifolds of nonpositive curvature [2] M. Bridson, A. Haefliger: Metric Spaces of Non-positive Curvature. 8. Téma: Konvex geometriai módszerek Témavezető: Naszódi Márton Rövid leírás: A magasdimenziós konvex testek vizsgálatában alkalmazott valószinűségi módszert lehetne bemutatni mondjuk a Dvoretzky tétel egy bizonyításán keresztül. E tétel szerint tetszőleges k természetes számhoz van egy n természetes szám, melyre igaz, hogy minden n-dimenziós konvex testnek van egy k-dimenziós metszete, amely nagyon hasonlít az Euklideszi gömbre. [1] K. Ball: Introduction to Modern Convex Geometry [2] J. Matoušek: Lectures on Discrete Geometry 9. Téma: Orsó konvexitás Minkowski-terekben Témavezető: Naszódi Márton Rövid leírás: Az R n -beli konvexitásfogalom egy módosításával kapjuk az orsó-konvex halmazok definícióját. Ezen halmazok tanulmányozása több klasszikus diszkrét geometriai probléma megértésében segít, egy fontos példa Borsuk kérdése halmazok kisebb átmérőjű részekre osztásáról. Két pont orsója a metrikától függő objektum. Többek közt meg lehet vizsgálni azt, hogy különböző véges dimenziós valós normált terekben milyen fogalomhoz jutunk. Megbeszélés szerint. 10. Téma: Geometriai jelenségek Lorentz-sokaságokban Témavezető: Szeghy Dávid 11. Téma: Fénykép-rekonstrukciók Témavezető: Szeghy Dávid 12. Téma: Speciális részsokaságok konstans görbületű Riemann terekben. Témavezető: Verhóczki László 14

15 Rövid leírás: Amennyiben a Riemann sokaságban vett részsokaság nem hiperfelület, illetve nem görbe, akkor a normális vektornyalábja általában nem lapos. A szakdolgozó feladata olyan részsokaságok konstrukciója konstans görbületű Riemann terekben, melyeknél a normális vektornyaláb görbületi tenzora eltűnik. Egy ilyen részsokaság esetében a párhuzamos normális vektormezők által értelmezni lehet az ún. parallel részsokaságokat. További feladat a parallel részsokaságok görbületi jellemzőinek a meghatározása. [1] M. P. do Carmo: Riemannian geometry [2] B.-Y. Chen: Geometry of submanifolds 13. Téma: Kivételes kompakt Lie csoportok szimmetrikus részcsoportjai. Témavezető: Verhóczki László Rövid leírás: Az irreducibilis szimmetrikus Riemann terek osztályozása az egyszerű Lie csoportok ún. szimmetrikus részcsoportjainak a meghatározásán alapul. A szimmetrikus Lie részcsoportokhoz el lehet jutni oly módon, hogy vesszük a megfelelő Lie algebrák involutív automorfizmusait és azoknál a fixen hagyott elemekből álló részalgebrákat. A szakdolgozó feladata a kivételes kompakt Lie csoportok szimmetrikus részcsoportjainak a meghatározása és jellemzése. [1] S. Helgason: Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Matematikatanítási és Módszertani Központ 1. Téma: Additív kombinatorika Témavezető: Hegyvári Norbert Rövid leírás: Az additív kombinatorika az utóbbi évtizedben került a kutatások előterébe. Sok szép tétel és közöttük levő összefüggések feltárása olyan kutatókat foglalkoztattak, mint Bourgain, Gowers, Tao, Green, Ruzsa, Sárközy. A leendő szakdolgozót ebbe a témakörbe kívánjuk bevezetni. A témakörhöz jegyzetet is készítettem ( amit frissítek és melynek fejezetcímei egyben a témaköröket is jelentik. Ezekből lehetne választani: 1. Néhány egyszerű megjegyzés a Minkowski-összeg elemszámára Z-ben. 2. Az r A+B (x), r A B (x) függvényekről és az E + (A, B) additív energiáról. 3. Ruzsa távolságtételei. 4. Plünnecke tétele. 5. A Cauchy Davenport-tétel; Kneser tétele. 6. Nemkommutatív Kneser-tétel. 7. Fedési tételek 8. Megszorított összegek. 9. Algebrai módszerek. 10. Az Erdős Heilbronn-sejtés, a Cauchy Davenport- és az Erdős Ginzburg Ziv-tételek (újabb) bizonyításai. 11. A Gowers Balog Szemerédi-tétel és alkalmazásai. 12. Additív-multiplikatív kombinatorika véges testekben. 15

16 Operációkutatási Tanszék 1. Téma: Antimagic címkézések Témavezető: Bérczi Kristóf Rövid leírás: Ha adott egy G = (V, E) gráf, melyre E = m, akkor az élek egy számozását 1-től m-ig magic-nek nevezzük, ha minden pontra ugyanannyi a rá illeszkedő élekre írt számok összege. Ezzel bizonyos értelemben ellentétes fogalmat kapunk, ha azt követeljük meg, hogy ez az érték minden csúcsra más és más legyen. Ez esetben antimagic címkézésről beszélünk, és a gráfot antimagic gráfnak hívjuk, ha az említett tulajdonságú címkézés létezik (a két fogalom nem zárja ki egymást, egy gráf lehet egyszerre magic és antimagic is). Az antimagic címkézések fogalmát Ringel vezette be 1990-ben, és úgy sejtette, hogy az egyetlen élből álló gráftól eltekintve minden összefüggő gráfnak létezik antimagic címkézése. A sejtés azóta is nyitott, a legnagyobb előrelépést Alonék eredménye jelenti, mely szerint létezik olyan c konstans, hogy ha egy n pontú gráfban a minimális fokszám c log n, akkor a gráf antimagic. Rengeteg eredmény született, melyek egy-egy speciális gráfosztályra igazolják a sejtést, azonban meglepő módon még fákra sem ismert bizonyítás. A szakdolgozat témája a magic és antimagic címkézésekhez kapcsolódó eredmények áttekintése, és a sejtés vizsgálata, elsősorban fák esetére., alkalmazott matematikus 2. Téma: Gomory Hu-fák és alkalmazásaik Témavezető: Frank András Rövid leírás: Általánosabban, szimmetrikus szubmoduláris függvényekkel kapcsolatos eredmények áttekintése (Szigeti Z., Király T. M. Queyranne és R. Rizzi tételei.) A területen nemrégiben készült egy szakdolgozat (Fehér Borbála), ami kitűnő kiindulási alapot jelent., alkalmazott matematikus 3. Téma: Diszjunkt utak Témavezető: Frank András Rövid leírás: A két diszjunkt út problémája: az idevonatkozó alaptétel Seymourtól és Thomassentól származó bizonyításait kéne áttekinteni és lehetőség szerint egyszerűsíteni. Diszjunkt homotóp utak síkgráfban: síkgráfban adott néhány akadály, és úgy kell diszjunkt utakat keresni, hogy előre adott az utak topológiája, vagyis, hogy merről kerüljék el az akadályokat. Meglepő módon a problémára nagyon szép jellemzések születtek, ezen eredményeket kéne feldolgozni. Kawarabayashi új eredményei 4-élösszefüggő gráfban: A k élidegen út probléma fix k-ra ugyan polinomiális, de a megoldás rendkívül bonyolult. Kiderült azonban, hogy a 4 élösszefüggő esetben a feladat kezelése jóval természetesebbé válik. A szakdolgozó feladata az ilyen irányú legfrissebb eredmények feldolgozása., alkalmazott matematikus 4. Téma: Inverz kombinatorikus optimalizálási problémák Témavezető: Frank András 16

17 Rövid leírás: Kiindulás: Inverse Combinatorial Optimization: A Survey on Problems, Methods, and Results, Clemens Heuberger, Journal of Combinatorial Optimization. Az interneten fent van., alkalmazott matematikus 5. Téma: Approximációs algoritmusok a hálózati tervezésben Témavezető: Frank András Rövid leírás: Approximációs algoritmusok a hálózati tervezésben, különös tekintettel a min power típusú célfüggvényekre., alkalmazott matematikus 6. Téma: Poliéderes leírások rögzített méret esetén (a téma már foglalt) Témavezető: Frank András Rövid leírás: A poliéderes kombinatorika alapkérdése, hogy megadott kombinatorikus objektumok (például egy gráf párosításai) incidencia vektorainak konvex burkát miként lehet poliéderként, azaz lineáris egyenlőtlenségekkel (más szóval feltérek metszeteként) leírni. Ilyenkor ugyanis a lineáris programozás dualitás tétele min-max tételt szolgáltat. A legutóbbi időkben érdekes eredmények születtek olyan esetekre, amikor meg van adva, hogy a szóban forgó objektumok hány eleműek lehetnek. Például, hogyan lehet leírni a 2, 5 és 9 élből álló párosítások konvex burkát. A szakdolgozónak az ilyen irányú eredményeket kéne feltérképezni és lehetőség szerint rokon feladatokra is megvizsgálni a kiterjesztés lehetőségét., alkalmazott matematikus 7. Téma: Páros körök irányított gráfokban (a téma már foglalt) Témavezető: Frank András Rövid leírás: Páros körök viszonya a Pfaffian-irányításhoz és a hipergráfok 2-színezéséhez. 8. Téma: Optimális fenyvesek irányított gráfokban (a téma már foglalt) Témavezető: Frank András Rövid leírás: Keisper és Pendaving algoritmusa. Tudjuk-e a legolcsóbb élidegen bibranchinget számítani? Lásd Takazawa: Shortest bibranching and valuated matroids. 9. Téma: Valuated matroid metszet és alkalmazásai Témavezető: Frank András Rövid leírás: A súlyozott matroid metszet algoritmus számos helyen nélkülözhetetlen eszköz. Murota ezt általánosította ún. valuatedmatroidokra. Az algoritmust és a háttérben levő elméletet kéne részleteiben feldolgozni, valamint áttekinteni azokat a (meglevő és remélhetőleg újonnan talált) alkalmazásokat, ahol ez a modell segít., alkalmazott matematikus 10. Téma: Általánosított konvex optimalizálás alternatíva és dualitás tételei Témavezető: Illés Tibor, alkalmazott matematikus 17

18 11. Téma: Belsőpontos módszerek erősen polinomiális kerekítő eljárásai Témavezető: Illés Tibor, alkalmazott matematikus 12. Téma: Általános lineáris komplementaritási feladatok megoldásáról Témavezető: Illés Tibor, alkalmazott matematikus 13. Téma: Gráfok és szerkezetek merevségének kombinatorikus vizsgálata Témavezető: Jordán Tibor Rövid leírás: Rúdszerkezetek merevségével kapcsolatos kérdések egyrészt érdekes elméleti problémákhoz vezetnek, melyek egy része kombinatorikus (gráf- és matroidelméleti) módszerekkel vizsgálható, másrészt számos meglepő alkalmazási területen felbukkannak (molekulák stabil és mozgó részeinek meghatározása, mozgatható antennák tervezése, vezető nélküli járművek alakzatainak kialakítása, stb.). A szakdolgozó feladata a terület egy meghatározott részének áttekintése, lehetőleg érdemben hozzájárulva néhány nyitott kérdés hátterének megvilágításához is., alkalmazott matematikus 14. Téma: Szenzorhálózatok algoritmikus problémái Témavezető: Jordán Tibor Rövid leírás: A drótnélküli szenzorhálózatok sok apró műszerből állnak, melyek rádiójelekkel tudnak kommunikálni egymással (például az egymás közti távolságot is meg tudjak merni, ha elég közel vannak) és általában adatokat gyűjtenek, melyeket szinten rádiójelekkel továbbítanak. Egy hálózat működtetése során számos algoritmikus és optimalizációs kérdést kell kezelni. Ezek egyike a lokalizáció: néhány páronkénti távolságból kell kiszámolni a szenzorok pontos helyet. A szakdolgozó feladata ilyen jellegű kérdések, elsősorban a lokalizációs feladat vizsgálata, az eredmények és algoritmusok áttekintése, egységes keretbe foglalása, a nyitott kérdések vizsgálata., alkalmazott matematikus 15. Téma: Multi-vágások hipergráfokban Témavezető: Király Tamás Rövid leírás: A hipergráf k-vágás feladatban a hipergráf csúcshalmazát k nemüres részre akarjuk particionálni úgy, hogy a köztes hiperélek száma (súlyozott esetben össz-súlya) minimális legyen. Fix k esetén Fukunaga dolgozott ki algoritmust erre a feladatra, azonban algoritmusának futási ideje nagyon gyorsan nő k-val. Kérdés, hogy lehet-e ennél hatékonyabb algoritmust találni, esetleg egy gyors közelítő algoritmust Chekuri és Ene eredményeinek a felhasználásával. [1] [2] Chandra Chekuri, Alina Ene, Submodular Cost Allocation Problem and Applications, [3] Chandra Chekuri, Alina Ene, Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition, 18

19 [4] Takuro Fukunaga, Computing Minimum Multiway Cuts in Hypergraphs from Hypertree Packings, alkalmazott matematikus 16. Téma: Gráfok és hipergráfok felbontása erdőkre és korlátos fokú (hiper)- gráfokra Témavezető: Király Tamás Rövid leírás: Nash-Williams tétele szerint egy gráf élhalmaza pontosan akkor fedhető le k erdővel, ha erdő-sűrűsége legfeljebb k. Az erdő-sűrűség tört értéket is felvehet, és kérdés, mit lehet mondani olyan gráfokról, amiknek az erdő-sűrűsége csak picivel több mint k. Egy friss sejtés szerint ilyenkor majdnem le lehet fedni k erdővel olyan értelemben, hogy a kimaradó rész egy kis maximális fokszámú erdő. Számos részeredmény ismert, de a teljes sejtés továbbra is nyitott, és az is kérdés, hogy az eredmények kiterjeszthetők-e hipergráfokra. [1] bounded-degree_subgraph, alkalmazott matematikus 17. Téma: Optimalizálási problémák a tömegközlekedésben (a téma már foglalt) Témavezető: Kis Tamás (tamas.kis@sztaki.hu) Rövid leírás: A tömegközlekedés számos optimalizálási problémát vet fel, ilyenek például a menetrend tervezés, jármű hozzárendelés, buszvezető ütemezés. Ezen feladatok kézenfekvő optimalizálási feladatokhoz vezetnek, de a legtöbb publikált eredmény csak a legegyszerűbb változatokkal foglalkozik. A téma feldolgozása során az ismert modelleket néhány, a gyakorlatban felmerülő korláttal kell kiegészíteni, és hatékony megoldási módszert kidolgozni. [1] M. Desrochers, F. Soumis, A Column Generation Approach to the Urban Transit Crew Scheduling Problem, Transportation Science, Vol. 23 (1989), 1 13., alkalmazott matematikus 18. Téma: Gépütemezés nem megújuló erőforrásokkal (a téma már foglalt) Témavezető: Kis Tamás (tamas.kis@sztaki.hu) Rövid leírás: A diplomamunka témája olyan ütemezési problémák vizsgálata, ahol a feladatok nem csak gépeket igényelnek, hanem további nem megújuló erőforrásokat (pl. anyagok) is, illetve végrehajtásuk során erőforrásokat állíthatnak elő. A témában rengeteg nyitott kérdés van a rendkívüli gyakorlati jelentősége ellenére. A diplomamunka célja néhány probléma bonyolultságának vizsgálata, és polinomiális, ill. approximációs algoritmusok kidolgozása. [1] A. Grigoriev, M. Holthuijsen, J. van de Klundert, Basic Scheduling Problems with Raw Material Constraints, Naval Research Logistics, Vol. 52 (2005), , alkalmazott matematikus 19. Téma: Útvonaltervezési problémák (a téma már foglalt) Témavezető: Kis Tamás (tamas.kis@sztaki.hu) 19

20 Rövid leírás: A diplomamunka témája az Általános Útvonaltervezési Probléma és speciális eseteinek vizsgálata, különös hangsúllyal a poliéderes leiírásokra. Megvizsgálandó az is, hogy a speciális esetekre érvényes egyenlőtlenségek (vágások) hogyan viszonyulnak az általános esetre érvényes vágásokhoz, illetve az általános esetre érvényes vágások mennyire erősek a speciális eseteken. [1] A. Corberán, A.N. Letchford, J. M. Sanchis, A cutting plane algorithm for the General Routing Problem, Math. Programming, Ser A 90 (2001), , alkalmazott matematikus 20. Téma: Diszkrét Csebisev-típusú egyenlőtlenségek Témavezető: Mádi-Nagy Gergely Rövid leírás: Legyen ξ egy nemnegatív valószínűségi változó. Keressük a P(ξ a) valószínűséget. Ha csak a µ = E(ξ) várható érték ismert, akkor a Markov egyenlőtlenség segítségével felső korlátot adhatunk. Hasonlóan, ha ismert σ 2 = E(ξ 2 ) E 2 (ξ) (vagy ezzel ekvivalens módon µ 2 = E(ξ 2 )), akkor a Csebisev egyenlőtlenség ad felső becslést. Tegyük most fel, hogy ξ diszkrét, véges tartójú valószínűségi változó, tartója legyen Z = {z 0, z 1,..., z n }. Tegyük fel, hogy z 0 < z 1 < < z r 1 < a z r < < z n. Ekkor az alábbi LP feladat megoldása megadja a P(ξ a) valószínűség legjobb alsó és felső korlátját: min(max) p r + + p n subject to p 0 + p p n = 1 z 0 p 0 + z 1 p z n p n = µ z0p z1p znp 2 n = µ 2 p 0, p 1,... p n 0 Ezen a gondolatmeneten elindulva további algoritmikus ill. képletszerű korlátok adhatóak. A feladat az ezzel kapcsolatos irodalom áttekintése, esetleg valamely algoritmus numerikus implementálása., alkalmazott matematikus 21. Téma: Villamos energia beszerzés optimalizációja cvar módszertannal Témavezető: Mádi-Nagy Gergely Rövid leírás: Rendelkezésünkre állnak az alábbi előrejelzések egy adott időszakra: a fogyasztási igények, jelen és jövőbeli beszerzési árak. Mivel a fenti előrejelzések bizonytalanok, így az adott időszak beszerzési tervét érdemes a költség conditional Value at Risk értékének minimalizálásával elkészíteni. A kapott feladat megoldására két utat érdemes megpróbálni: a feladatot átkonvertálni egy nagyméretű LP feladattá és ezt megoldani; közvetlenül megoldani a feladatot valamilyen vonalmenti keresési technikával. A szakdolgozatnak szerves része, mindkét megoldási technika implementációja és azok performanciájának összehasonlítása. 20

21 [1] %20Management/Uryasev%20Rockafellar-%20Optimization%20CVaR.pdf, alkalmazott matematikus 22. Téma: Villamos energia kereskedési aukciók Témavezető: Mádi-Nagy Gergely Rövid leírás: Az EU tagállamai többségében mind a villamos energiával, mind a határ keresztező kapacitásokkal olyan aukciókon kereskednek, ahol az árat és a kiosztott mennyiséget egy egészértékű kvadratikus programozási feladat, illetve egy lineáris programozási feladat megoldásaként kapják. A szakdolgozat célja az aukciós szabályok és tulajdonságaik bemutatása mellett az aukciót szimuláló program készítése és ennek segítségével az aukciós mechanizmus mélyebb megismerése. [1] [2] COSMOS_public_description.pdf, alkalmazott matematikus 23. Téma: Erőműütemezési feladatok Témavezető: Mádi-Nagy Gergely Rövid leírás: Az erőművi blokkokat a villamosenergiaigény változásának függvényében minden egyes (negyed)órában másképp terhelik. Egy blokk ki- és bekapcsolása külön költséggel jár, és eltart bizonyos ideig. Az optimális terhelési stratégia megtalálására egy (kvadratikus) egészértékű programozási feladat írható fel. Ennek megoldása speciális technikákat (Lagrange-relaxáció, oszlopgenerálás) igényel. A szakdolgozat célja a modell bemutatásán túl, egy hatékony megoldó algoritmus kidolgozása, implementálása és tesztelése. [1] alkalmazott matematikus 24. Téma: Közelítő algoritmusok az aszimmetrikus utazóügynök-feladatra Témavezető: Pap Gyula Rövid leírás: Az aszimmetrikus utazóügynök feladatban egy ponthalmazon adott egy irányított távolságfüggvény, mely kielégíti az irányított háromszögegyenlőtlenséget, és keresendő egy legrövidebb Hamilton-kör. A szimmetrikus esetből jól ismert Christofidesalgoritmus sajnos nem ismert, sőt, máig nyitott kérdés egy konstans-approximációs algoritmus létezése. Sokáig csak O(log n)-approximáció volt ismert, melyet két különböző módszerrel is el lehet érni. Újabban ezt megjavították O(log n/ loglog n)-re. Ismertek továbbá speciális esetek, amikor a feladat mégis megoldható konstans közelítéssel. A feladat a létező algoritmusok feldolgozása, új megközelítések keresése, továbbá érdekes példák, gráfosztályok keresése, ahol az adott algoritmus rosszul teljesít., alkalmazott matematikus 25. Téma: Megrendelések lemondásának előrejelzése az IBM váci nagykapacitású háttértár gyárában 21

22 Témavezető: Szabó Jácint, (IBM Research Lab, Zürich, és Jüttner Alpár Rövid leírás: Az IBM DS8000-es nagy kapacitású és nagy biztonságú háttértár egységeit a világon egyetlen helyen, az IBM váci gyárában gyártják. A megrendelés és a gyártás negyedéves ciklusokban történik oly módon, hogy az üzletmenet sajátosságából kifolyólag minden a negyedév során megrendelt háttértár konfigurációt a negyedév végéig le kell szállítani. Egy konfiguráció összeszerelése és tesztelése időigényes folyamat. Mivel a rendelések többsége a negyedév végén érkezik, az erre való felkészülésként már a negyedév elején, a pontos megrendelések ismerete nélkül elkezdenek a gyárban konfigurációkat összeszerelni és tesztelni. A negyedév végén beérkező megrendeléseket aztán ezen előre elkészített konfigurációk átkonfigurálásával elégítik ki, amely folyamat lényegesen rövidebb egy új konfiguráció összeszerelési és tesztelési idejénél. További jellegzetesség, hogy a megrendelések jelentős részét időközben a megrendelők visszavonják. Amennyiben a gyárban nagyjából meg tudnák mondani, hogy mely megrendelés lesz visszavonva, akkor a negyedév végi roham idején a biztosabbnak ígérkező megrendelésekre fókuszálhatnának. A fentiek alapján a feladat a megrendelések lemondásának minél pontosabb előrejelzése a mesterséges intelligencia eszközeivel, az osztályozókkal. Az osztályozók a meglévő historikus megrendelés adatok alapján megtanulják, hogy adott feature-halmaz (megrendelő cég, megrendelő cég országa, konfiguráció, negyedév végéig hátralévő idő, stb) mellett mennyi a lemondás valószínűsége. Feladat a gyakorlatban használt fontosabb osztályozók (SVM, naív Bayes, döntési fák, neurális hálók, boosting) kipróbálása, ezek minél jobb paraméterezése és kiértékelése. A feladathoz a Weka adatbányász programcsomag használatát ajánljuk. Szükséges ismeretek: alapvető számítógépes gyakorlat., alkalmazott matematikus Számítógéptudományi Tanszék 1. Téma: Fehérjehálózatok analízise gráfelméleti eszközökkel Témavezető: Grolmusz Vince 2. Téma: Fehérjemolekulák térbeli szerkezetének összehasonlítása, ezzel fehérjekölcsönhatások előrejelzése Témavezető: Grolmusz Vince 3. Téma: A Fregatt fehérje-gyógyszermolekula dokkolóprogram továbbfejlesztése javított globális optimalizálási stratégiával Témavezető: GrolmuszVince 22