Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek Lokalis modszerek. Implicit Fitting. Vaitkus Márton. 3D Számítógépes Geometria 2 (2016)
|
|
|
- Regina Szőkené
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Implicit Fitting Vaitkus Márton 3D Számítógépes Geometria 2 (2016)
2 Miről lesz szó 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
3 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
4 Feluletreprezentaciok Haromszoghalok "Brute force", kozelito reprezentacio Tetszoleges topologia es geometria Szerkesztes, Boolean muveletek, offseteles nem trivialisak Rekonstrukciora robusztus modszerek
5 Feluletreprezentaciok Haromszoghalok "Brute force", kozelito reprezentacio Tetszoleges topologia es geometria Szerkesztes, Boolean muveletek, offseteles nem trivialisak Rekonstrukciora robusztus modszerek Parameteres feluletek Egzakt reprezentacio Topologia es geometria erosen korlatozott Szerkesztes egyszeru Boolean muveletek, offseteles nem trivialis Rekonstrukcio nehez es nem egyertelmu
6 Feluletreprezentaciok Haromszoghalok "Brute force", kozelito reprezentacio Tetszoleges topologia es geometria Szerkesztes, Boolean muveletek, offseteles nem trivialisak Rekonstrukciora robusztus modszerek Implicit feluletek Egzakt reprezentacio Tetszoleges geometria es topologia Boolean muveletek, offseteles egyszeru Szerkesztes nem trivialis Kitoltes, extrapolacio egyszeru Rekonstrukcio egyszeru Parameteres feluletek Egzakt reprezentacio Topologia es geometria erosen korlatozott Szerkesztes egyszeru Boolean muveletek, offseteles nem trivialis Rekonstrukcio nehez es nem egyertelmu
7 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const.
8 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor
9 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom)
10 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek
11 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez
12 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges
13 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny
14 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny Tetszoleges feluletet reprezentalhat
15 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny Tetszoleges feluletet reprezentalhat Nincs fix fuggvenybazis
16 Implicit feluletek Szintfelulet: F (x, y, z) = const. F meroleges a szintfeluletre normalvektor Algebrai implicitek: F algebrai fuggveny (polinom) Fix fuggvenybazis: monomok, Bernstein-fuggvenyek Geometria, topologia befolyasolasa nehez Komplex feluletek reprezentalasa csak elvben lehetseges Modern megkozelites: F (elojeles) tavolsagfuggveny Tetszoleges feluletet reprezentalhat Nincs fix fuggvenybazis Definialo tulajdonsag: f = 1
17 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
18 Least-squares 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
19 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek x
20 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek Linearis fuggvenyt illesztunk (linearis regresszio): f (x) = c 1 x c n x n = x T c x
21 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek Linearis fuggvenyt illesztunk (linearis regresszio): f (x) = c 1 x c n x n = x T c Illeszkedes az adatpontokra: c 1 x i c n x in = p T i c = y i x
22 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese m adatpont R n -ben: p i = (x i1,..., x in ), hozzajuk y i fuggvenyertekek Linearis fuggvenyt illesztunk (linearis regresszio): f (x) = c 1 x c n x n = x T c Illeszkedes az adatpontokra: c 1 x i c n x in = p T i c = y i Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: x Pc = y
23 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y x
24 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 m (p T i c y i ) 2 min. i= x
25 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 Pc y 2 2 min x
26 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 ct P T Pc (P T y) T c min x
27 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 ct P T Pc (P T y) T c min. Derivalas utan normalegyenletek: (P T P)c = P T y x
28 y Least-squares Least-squares egyenes illesztese Egyutthatokra tulhatarozott linearis egyenletrendszer: Pc = y Legkisebb negyzetes "megoldas": 1 2 ct P T Pc (P T y) T c min. Derivalas utan normalegyenletek: (P T P)c = P T y x
29 y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) c k β k (x) = y i x
30 y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) c k β k (x) = y i A fuggvenybazis tetszoleges lehet linearis egyenletrendszer az egyutthatokra: Bc = y x
31 y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) c k β k (x) = y i A fuggvenybazis tetszoleges lehet linearis egyenletrendszer az egyutthatokra: Bc = y Legkisebb negyzetes megoldas: Bc y 2 2 min x
32 y Least-squares Least-squares altalanosabban Linearis fv. helyett egy (β 1 (x),..., β k (x)) fuggvenybazis egyutthatoit keressuk: c 1 β 1 (x) c k β k (x) = y i A fuggvenybazis tetszoleges lehet linearis egyenletrendszer az egyutthatokra: Bc = y Legkisebb negyzetes megoldas: Bc y 2 2 min x Normalegyenletek: B T Bc = B T y
33 y Least-squares Least-squares altalanosabban szemlelet A fuggvenybazissal attranszformaljuk a pontokat R k -ba: p i (β 1 (p i ),..., β k (p i )) x
34 y Least-squares Least-squares altalanosabban szemlelet A fuggvenybazissal attranszformaljuk a pontokat R k -ba: p i (β 1 (p i ),..., β k (p i )) x -2-2 x 2 2 4
35 y Least-squares Least-squares altalanosabban szemlelet A fuggvenybazissal attranszformaljuk a pontokat R k -ba: p i (β 1 (p i ),..., β k (p i )) A transzformalt pontokra legkisebb negyzetes hipersikot illesztunk R k -ban x -2-2 x 2 2 4
36 y Least-squares Least-squares statisztikai ertelmezes Felteves: adapontokat az illesztett fuggvenybol mintaveteleztuk, veletlen zajjal terhelve y = f (x) + v x
37 y Least-squares Least-squares statisztikai ertelmezes Felteves: adapontokat az illesztett fuggvenybol mintaveteleztuk, veletlen zajjal terhelve y = f (x) + v Least-squares: normalis eloszlasu zaj: p(v) = 1 2πσ e v2 2σ x
38 y Least-squares Least-squares statisztikai ertelmezes Felteves: adapontokat az illesztett fuggvenybol mintaveteleztuk, veletlen zajjal terhelve y = f (x) + v Least-squares: normalis eloszlasu zaj: p(v) = 1 2πσ e v2 2σ 2 Ekvivalens a maximum likelihood becslessel a c egyutthatok maximalizaljak annak valoszinuseget, hogy az adott adatpontokat mertuk: x log p(f c (x) y) max.
39 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk
40 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1
41 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1
42 y Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1 Masodfoku fv. minimalizalasa, normakenyszerrel: c T Z T Zc min x
43 y Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1 Masodfoku fv. minimalizalasa, normakenyszerrel: c T Z T Zc min. Megoldasa: Z T Z legkisebb sajatertekenek sajatvektora (Z szingularis vektora) x
44 y Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Implicit fuggvenynel az alakzattol mert euklideszi tavolsagot minimalizaljuk Kiegeszitjuk az adatpontok kooordinatait: z i = (p i, y i ) Pl. linearis fuggveny f (z) = z T c eseten legyen c 2 2 = 1 Masodfoku fv. minimalizalasa, normakenyszerrel: c T Z T Zc min. Megoldasa: Z T Z legkisebb sajatertekenek sajatvektora (Z szingularis vektora) x
45 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu
46 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA)
47 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA) Z T Z ponthalmaz kovarianciamatrixa
48 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA) Z T Z ponthalmaz kovarianciamatrixa Nem-linearis fuggveny (pl. kor) illesztese: transzformacio utan hipersik illesztese
49 Least-squares Implicit illesztes, Euklideszi tavolsag PCA Felteves: adatpontok kozelitoleg egy hipersikon fekszenek, a meroleges elteres normal eloszlasu Melyik iranyban legkisebb a ponthalmaz szorasa? Principal Component Analysis (PCA) Z T Z ponthalmaz kovarianciamatrixa Nem-linearis fuggveny (pl. kor) illesztese: transzformacio utan hipersik illesztese Euklideszi tavolsag a transzformalt terben altalaban nem Euklideszi az eredeti terben!
50 Simitas, sulyozas 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
51 y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk x
52 y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk Heurisztika: egyutthatovektor normaja (Tikhonov regularizacio) Bc y λ c 2 2 min x
53 y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk Heurisztika: egyutthatovektor normaja (Tikhonov regularizacio) Bc y λ c 2 2 min. Modositott normalegyenletek: (B T B + λi)c = B T y x
54 y Simitas, sulyozas Simitas, Regularizacio Az illesztes hibaja mellett a fuggveny simasagat is optimalizaljuk Heurisztika: egyutthatovektor normaja (Tikhonov regularizacio) Bc y λ c 2 2 min. Modositott normalegyenletek: (B T B + λi)c = B T y Altalanosabban: fuggveny derivaltjainak nagysagat is optimalizaljuk: n Bc y 2 f 2 + (i) λ i 2 min. 2 i= x
55 y Simitas, sulyozas Sulyozas Sulyozzuk az egyes pontok hozzajarulasat az energiahoz: m p T 2 w i i c y i min. i= x
56 y Simitas, sulyozas Sulyozas Sulyozzuk az egyes pontok hozzajarulasat az energiahoz: m p T 2 w i i c y i min. i=1 Normalegyenletek: P T WPc = P T Wy W = diag(w 1,..., w m ) x
57 y Simitas, sulyozas Sulyozas Sulyozzuk az egyes pontok hozzajarulasat az energiahoz: m p T 2 w i i c y i min. i=1 Normalegyenletek: P T WPc = P T Wy W = diag(w 1,..., w m ) x
58 Buntetofuggvenyek 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
59 Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Negyzetes norma helyett altalanos buntetofuggvenyek az illesztes hibajara/simasagra: ϕ fit (Pc y) + n λ i ϕ smooth,i (f (i) ) min. i=0
60 Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Negyzetes norma helyett altalanos buntetofuggvenyek az illesztes hibajara/simasagra: ϕ fit (Pc y) + n λ i ϕ smooth,i (f (i) ) min. i=0 Nem negyzetes vektornormak x p = p xi p
61 Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Negyzetes norma helyett altalanos buntetofuggvenyek az illesztes hibajara/simasagra: ϕ fit (Pc y) + n λ i ϕ smooth,i (f (i) ) min. i=0 Nem negyzetes vektornormak x p = p xi p
62 Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat 1-norma minimalizalasa: x 1 = x x n min. Bemelegites: abszolutertek minimalizalasa x min. Ekvivalens feladat: Kenyszerek x-re es y-ra: y min....
63 Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat 1-norma minimalizalasa: x 1 = x x n min. Egyszerusites: abszolutertek minimalizalasa x min. Ekvivalens feladat: y min. Kenyszerek x-re es y-ra: x y x y Linearis programozas! Tobbdimenzios esetben y y n min.
64 Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat -norma minimalizalasa: x = max( x ) min. Ekvivalens feladat: y min
65 Buntetofuggvenyek Ujjgyakorlat -norma minimalizalasa: Ekvivalens feladat: x = max( x ) min. y min. y x 1 y x n y x 1 y x n
66 y Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Huber-fuggveny 4 Huber-fuggveny: { x 2 x < 1 ϕ(x) = 2 x 1 x 1 φ(x) x x
67 y Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Huber-fuggveny 4 Huber-fuggveny: { x 2 x < 1 ϕ(x) = 2 x 1 x 1 Kis hibakra negyzete, nagy hibakra linearis erzeketlen az outlierekre φ(x) x x
68 Buntetofuggvenyek Altalanos buntetofuggvenyek Huber-fuggveny Huber-fuggveny: { x 2 x < 1 ϕ(x) = 2 x 1 x 1 φ(x) x Kis hibakra negyzete, nagy hibakra linearis erzeketlen az outlierekre Tapasztalat: konvex buntetofuggveny minimalizalasa O((Least squares)) szamitasigeny
69 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
70 RBF 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
71 RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0
72 RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0 F (x) = c 1 β 1 (x) c k β k (x) de milyen bazisban reprezentaljuk F -et?
73 RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0 F (x) = c 1 β 1 (x) c k β k (x) de milyen bazisban reprezentaljuk F -et? Rendeljunk radialis bazisfuggvenyeket (RBF) az adatpontokhoz: β pi ( x p i )
74 RBF Radial Basis Functions (RBF) p i = (x i1,... x in ) adatpontokra egy implicit fuggvenyt szintvonalat akarunk illeszteni: F (p i ) = 0 F (x) = c 1 β 1 (x) c k β k (x) de milyen bazisban reprezentaljuk F -et? Rendeljunk radialis bazisfuggvenyeket (RBF) az adatpontokhoz: Peldak: β pi ( x p i )
75 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas!
76 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra
77 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer!
78 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method"
79 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok:
80 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa!
81 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa! β(r) = r 2 log(r) Thin-plate spline (bi-harmonikus), gorbulet simitasa!
82 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa! β(r) = r 2 log(r) Thin-plate spline (bi-harmonikus), gorbulet simitasa! β(r) = e r 2 Osszes derivalt simitasa!
83 RBF RBF Egyenletrendszer es megoldasa Illesztett fugveny erteke az adatpontokban 0 homogen negyzetes egyenletrendszer, F 0 trivialis megoldas! Megoldas: PCA, vagy ha van normalvektor, pontok felvetele ±1 tavolsagra Alapertelmezesben: minden illesztett ponthoz van egy bazisfuggveny nagyon nagy, negyzetes, suru egyenletrendszer! Problema meretenek csokkentese: pontok decimalasa vagy un. "fast multipole method" Egyes RBF-ek simito energiakhoz kothetok: β(r) = r harmonikus, ivhossz/felulet simitasa! β(r) = r 2 log(r) Thin-plate spline (bi-harmonikus), gorbulet simitasa! β(r) = e r 2 Osszes derivalt simitasa! Nem-kompakt tartoju RBF (pl. bi-harmonikus) kitoltes/extrapolacio lehetseges! De: nem-ritka egyenletrendszer!
84 Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek RBF RBF Peldak [Carr et al ] Lokalis modszerek
85 Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek RBF RBF Peldak [Carr et al ] Lokalis modszerek
86 RBF RBF Peldak [Carr et al ]
87 RBF RBF Peldak [Carr et al ] Gaussi RBF Szoras megvalsztasa
88 Poisson rekonstrukcio 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
89 Poisson rekonstrukcio Normalvektorok figyelembevetele: Poisson rekonstrukcio Egy Ω R n alakzat indikator-fuggvenye: { 1 x Ω F (x) = +1 x R n Ω
90 Poisson rekonstrukcio Normalvektorok figyelembevetele: Poisson rekonstrukcio Egy Ω R n alakzat indikator-fuggvenye: { 1 x Ω F (x) = +1 x R n Ω Eszrevetel: indikatorfuggveny gradiense pontosan a felulet normalmezoje.
91 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i )
92 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n
93 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n Illesztesi pontossag javitasa a poziciok illesztesevel: F (p i ) n pi λ(f (p i)) 2 min. (p i )
94 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n Illesztesi pontossag javitasa a poziciok illesztesevel: F (p i ) n pi λ(f (p i)) 2 min. (p i ) Arnyekolt Poisson-egyenlet (Screened Poisson): ( + λ id)f = n
95 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Feladat gradiens-illesztes: F (p i ) n pi 2 2 min. (p i ) F (x) = k i=1 c iβ i (x) vegeselemes Poisson-egyenlet: F = n Illesztesi pontossag javitasa a poziciok illesztesevel: F (p i ) n pi λ(f (p i)) 2 min. (p i ) Arnyekolt Poisson-egyenlet (Screened Poisson): ( + λ id)f = n Fizikai analogia normalvektorok = erovonalak, F = potencialfuggveny
96 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Fuggvenybazis: pl. Fourier-sor (szabalyos grid felett), tensor-szorzat B-Spline (Octtree felett)
97 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Fuggvenybazis: pl. Fourier-sor (szabalyos grid felett), tensor-szorzat B-Spline (Octtree felett) Zart feluletek illesztesere alkalmas peremes feluletek eseten Neumann peremfeltetel
98 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Fuggvenybazis: pl. Fourier-sor (szabalyos grid felett), tensor-szorzat B-Spline (Octtree felett) Zart feluletek illesztesere alkalmas peremes feluletek eseten Neumann peremfeltetel Nyilt forraskodu implementacio:
99 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Regularizacio, SSD Indikatorfuggvenyt kozeliteni akarjuk az elojeles tavolsaghoz
100 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Regularizacio, SSD Indikatorfuggvenyt kozeliteni akarjuk az elojeles tavolsaghoz Simitsuk a gradiensmezot: F (p i ) n pi λ 1(F (p i )) 2 + λ 2 H(F (x)) min. (p i ) H az F Hesse-matrixa
101 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Regularizacio, SSD Indikatorfuggvenyt kozeliteni akarjuk az elojeles tavolsaghoz Simitsuk a gradiensmezot: F (p i ) n pi λ 1(F (p i )) 2 + λ 2 H(F (x)) min. (p i ) H az F Hesse-matrixa F egy simitott elojeles tavolsag (Smoothed Signed Distance, SSD) De: sokkal nagyobb, surubb egyenletrendszer!
102 Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek Lokalis modszerek Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Peldak [Kazhdan et al , Calakli-Taubin 11]
103 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Peldak [Kazhdan et al , Calakli-Taubin 11]
104 Poisson rekonstrukcio Poisson rekonstrukcio Peldak [Kazhdan et al , Calakli-Taubin 11] Piros: Csak normalvektor, Kek: Normalvektor + pozicio
105 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
106 Moving Least-Squares* 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
107 Moving Least-Squares* Moving Least-Squares* [Levin 98, Alexa et al. 01] Idaig: az egesz ponthalmazra illesztettunk, globalisan sulyozva a pontok hozzajarulasat: m p T 2 w i i c y i min. i=1 Otlet: x pont korul lokalisan sulyozva illesztunk egyszeru feluletet (kort, vagy egyenest): m w( x p i ) p T 2 i c y i min. i=1 Vetites operator: pont w altalaban Gauss-fuggveny Lokalis egyenest, vagy kort illesztunk Vetito operator fixpontjainak halmaza: C folytonos felulet!
108 Partition of Unity Implicits (Andras)... 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson rekonstrukcio 4 Lokalis modszerek Moving Least-Squares* Partition of Unity Implicits (Andras)...
109 Köszönöm a figyelmet!
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Lineáris regressziós modellek 1
Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák
Principal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
Least Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Line aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
GPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel. Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2015/16
A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2015/16 Miről lesz szó? inverziós módszerek a nehézségi erőtér paraméteres felbontása (bázisfüggvények, paraméterek
Panorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele
ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x
A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel. Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2018/19
A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2018/19 Miről lesz szó? inverziós módszerek a nehézségi erőtér paraméteres felbontása (bázisfüggvények, paraméterek)
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 2a. Háromszöghálók http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01 Dr. Várady Tamás, Dr. Salvi Péter BME, Villamosmérnöki
1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Sergyán Szabolcs szeptember 21.
Éldetektálás Sergyán Szabolcs Budapesti Műszaki Főiskola Neumann János Informatikai Kar 2009. szeptember 21. Sergyán Sz. (BMF NIK) Éldetektálás 2009. szeptember 21. 1 / 28 Mit nevezünk élnek? Intuitív
Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
Diszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
Lineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Nemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Kiegészítő előadás. Vizsgabemutató Matlab. Dr. Kallós Gábor, Dr. Szörényi Miklós, Fehérvári Arnold. Széchenyi István Egyetem
Kiegészítő előadás Vizsgabemutató Dr. Kallós Gábor, Dr. Szörényi Miklós, Fehérvári Arnold 2016 2017 1 Virágboltos feladat Egy virágboltban négyféle virágból állítanak össze csokrokat. Az első összeállítás
Feladatok és megoldások a 13. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A. Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? + e x, ha x >, (a F(x =, ha x, (b F(x = x + e x, ha x, (c F(x =, ha x, x (d F(x = (4 x, ha
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
Differenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás
MATLAB 5. gyakorlat Polinomok, deriválás, integrálás Menetrend Kis ZH Polinomok Numerikus deriválás Numerikus integrálás (+ anonim függvények) pdf Kis ZH Polinomok Sok függvény és valós folyamat leírható
Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium
Többváltozós statisztika (SZIE ÁOTK, 2011. ősz) 1 Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Likelihood függvény Az adatokhoz paraméteres modellt illesztünk. A likelihood függvény a megfigyelt
3D Számítógépes Geometria II.
3D Számítógépes Geometria II. 1. Bevezetés http://cg.iit.bme.hu/portal/3dgeo2 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav16 Dr. Várady Tamás, Dr. Salvi Péter BME, Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika
Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
1. Gauss-eloszlás, természetes szórás
1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK ILLESZTÉSE KÉNYSZEREKKEL II.
GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK ILLESZTÉSE KÉNYSZEREKKEL II. Érdekességek a geometriai modellezésben Kovács István MIRŐL LESZ SZÓ? Kényszerek automatikus felismerése 1. Lokális kényszerek (merőlegesség, párhuzamosság,
Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Numerikus integrálás április 20.
Numerikus integrálás 2017. április 20. Integrálás A deriválás papíron is automatikusan elvégezhető feladat. Az analitikus integrálás ezzel szemben problémás vannak szabályok, de nem minden integrálható
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
rank(a) == rank([a b])
![rank(a) == rank([a b])](/thumbs/92/110554624.jpg "rank(a) == rank([a b])")
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.
YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 14. Digitális Alakzatrekonstrukció - Bevezetés http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav08 Dr. Várady Tamás,
3D Számítógépes Geometria II.
3D Számítógépes Geometria II. 1. Bevezetés http://cg.iit.bme.hu/portal/3dgeo2 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav16 Dr. Várady Tamás, Dr. Salvi Péter BME, Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika
Matematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 2a. Háromszöghálók http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav08 Dr. Várady Tamás, Salvi Péter BME, Villamosmérnöki
Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea
Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea Geometrikus deformálható modellek Görbe evolúció Level set módszer A görbe evolúció parametrizálástól független mindössze geometriai
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 14. Digitális Alakzatrekonstrukció - Bevezetés http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01 Dr. Várady Tamás, Dr.
Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
Differenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Helymeghatározási alapelvek és módszerek
Helymeghatározási alapelvek és módszerek Helymeghatározás alapjai, 2. rész Hollósi Gergely 1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Távközlési és Médiainformatikai Tanszék 2015 Hollósi Gergely
Végeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Képregisztrációs eljárások. Orvosi képdiagnosztika 13. ea ősz
Képregisztrációs eljárások Orvosi képdiagnosztika 3. ea. 05 ősz Két kép egymáshoz igazítása, illesztése Példák: Időbeli követés Regisztráció célja Eltérő modalitások (PET-CT, Röntgen-MRI, UH-MRI,...) fúzió
TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet. címe:
Tantárgy rövid neve (Matematika II.) Tantárgy teljes neve (Matematika II.) Tantárgy neve angolul (Mathematics II.) Neptun kódja (SGYMMAT2012XA) Szak (Építőmérnöki szak, Menedzser szak) Tagozat (Nappali
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
LINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve
BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT LINEÁRIS MODELLBEN Móri Tamás ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék 2008 május Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve Tegyük fel, hogy egy bizonyos pl fizikai)
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
![1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1](/thumbs/88/116339870.jpg "1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1")
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
TANMENET. Matematika
Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni